Теория и методология повышения эффективности и точности решения главных геодезических задач на поверхности эллипсоида и в пространстве

Медведев, Павел Александрович

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Теория и методология повышения эффективности и точности решения главных геодезических задач на поверхности эллипсоида и в пространстве
ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Теория и методология повышения эффективности и точности решения главных геодезических задач на поверхности эллипсоида и в пространстве"

На правах рукописи

Медведев Павел Александрович

ТЕОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ И ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ГЛАВНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА И В ПРОСТРАНСТВЕ

25.00.32 - «Геодезия»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

1 4 ИЮЛ 2011

Новосибирск - 2011

4851569

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный аграрный университет».

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Бордовицына Татьяна Валентиновна;

доктор технических наук, профессор Маркузе Юрий Исидорович;

доктор технических наук Мазуров Борис Тимофеевич.

Ведущая организация - Центральный научно-исследовательский институт геодезии, аэросъемки и картографии (ЦНИИГАиК), г. Москва

Защита диссертации состоится 22 сентября 2011 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.251.02 при Сибирской государственной геодезической академии (СГГА) по адресу: 630108, г. Новосибирск, ул. Плахот-ного, 10, ауд. 403.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГГА. Автореферат разослан « 9Я » 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета С^ Середович В.А.

Изд. лиц. ЛР№ 020461 от 04.03.1997. Подписано в печать 06.06.2011. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 2,67. Тираж 100 экз. Печать цифровая. Заказ 61 Редакционно-издательский отдел СГГА 630108, Новосибирск, Плахотного, 10. Отпечатано в картопечатной лаборатории СГГА 63010В, Новосибирск, Плахотного, 8.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В настоящее время для решения основной задачи геодезии по изучению фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля применяются астрономо-геодезический, гравиметрический и космический методы, дополняющие и контролирующие друг друга.

Так как за математическую модель Земли принимается эллипсоид вращения, то его параметры и координатная поверхность в явном или неявном видах используются при математической обработке всех видов измерений.

Классическая редукционная задача по приведению выполненных измерений к поверхности эллипсоида решается: при построении сетей с помощью хорд эллипсоида; при трансформировании базисных линий, полученных системой GPS, в референцную систему координат; при обработке спутниковых измерений с целью вычисления наклонных расстояний между пунктами базиса; при редуцировании наклонной дальности, измеренной от спутника до объекта, для решения комбинированных засечек.

Проблема определения взаимного положения двух точек на эллипсоиде вращения, на поверхности Земли и в околоземном пространстве, получившая название «решения главных геодезических задач» (ГТЗ), под влиянием научно-технического прогресса меняет только аспекты своего решения, оставаясь актуальной длительный период времени. Формулы решения прямой геодезической задачи (ПГЗ) и обратной геодезической задачи (ОГЗ) между точками на физической поверхности Земли и в околоземном пространстве применяются при обработке пространственных геодезических сетей, при решениях разнообразных геодезических засечек, для определения уклонения отвесной линии по GPS-измерениям.

В связи с освоением шельфа и богатств Мирового океана широкое распространение при геодезическом обеспечении работ получили наземные навигационные и радионавигационные системы (типа Лоран, Омега, Селедис). С их применением координаты объектов определяются засечками (азимутальной, линейной, гиперболической), использующими формулы решения ПГЗ и ОГЗ на поверхности эллипсоида. Точность этих результатов существенно повышается при совместной обработке наземных радиогеодезических и спутниковых измерений. Решения ГГЗ на поверхности эллипсоида выполняются: для уточнения фундаментальных параметров земного эллипсоида; при установлении единой координатной системы; при ориентировке референц-эллипсоида; при уравнивании геодезических сетей сгущения; при исследованиях горизонтальных движений земной коры; при определениях уклонения отвесной линии на морской поверхности по альтиметрическим измерениям; при подготовке высокоточных маршрутов движения морских судов и воздушных объектов, при запусках ракет и ИСЗ, в целях слежения за управляемыми ракетами; для определения промежуточных точек геодезической линии.

Степень разработанности проблемы. Теория определения взаимного положения точек на поверхности эллипсоида разработана Эйлером JI. еще

в 1753 г. Выведенные им дифференциальные уравнения геодезической линии (ДУГЛ) составили теоретическую основу построения математических моделей решения ГТЗ. Так как интегралы этих уравнений не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то для приближенных решений применяют различные методы аппроксимации первообразных.

В течение более двух столетий, начиная с Эйлера Л., Лежандра А., Ориани Б., как отечественными, так и зарубежными учеными разработано значительное количество способов решения ГТЗ. Методика построения и практическая реализация математических моделей решения ГТЗ всегда определялись уровнем развития вычислительной техники, а их точность обусловливалась дорогостоящими технологиями производства геодезических работ. Для исключения вычислительных погрешностей к выводимым формулам предъявляется требование, чтобы точность определяемой по ним величины была на один-два порядка выше точности, вызванной погрешностями измерений.

Общий вывод о том, что для каждого конкретного случая следует выбирать соответствующие формулы, был, безусловно, верным при ручных способах счета. При использовании современной вычислительной техники в арсенале практических приложений должно остаться наименьшее число наиболее универсальных методов. Было бы идеальным, при любых расстояниях и с любой точностью решать задачи одним способом. Но, ввиду большого спектра приложений решения ГТЗ и значительного отличия решений по эффективности, используются разные методы построения математических моделей при больших и малых расстояниях.

При малых расстояниях приближенные методы решения ДУГЛ представляются, в основном, в форме отрезка ряда Тейлора. Внедрение в геодезическое производство радиоэлектронных средств в комплексе с ЭВМ способствовало разработке теоретических вопросов решения ГТЗ с привлечением нового математического аппарата, исходя из проблемы больших расстояний. Для решения ДУГЛ, кроме разложения в ряд Фурье, стали применять численные методы, разные аппроксимации, построенные с помощью рациональных дробей, полиномов Чебышева, методом экономизации.

Однако универсальным математическим методам вычислений присущ общий недостаток: они мало учитывают свойства отдельно взятой задачи. Поэтому при выборе метода нужно теоретически обосновать возможность его использования в представленном виде, или усовершенствовать, или разработать специальный метод, приводящий к эффективному решению задачи.

Кроме этого, погрешности методов решения задач устанавливаются при условии, что исходные данные являются точными. При вычислениях с приближенными числами образуется неустранимая погрешность, обусловленная неточностью исходных данных, которая существенно влияет на точность результата при большом объеме вычислительных операций. Поэтому решения, приводящие к выполнению большого числа действий, образуют новую, очень важную проблему обоснования достоверности полученного результата. Эти положения не учитывались: при решениях ДУГЛ методом Рунге - Кутта и его модификациями, которые получили широкое распространение в практике геоде-

зических вычислений; в методе решения ОГЗ при предельных расстояниях способом определения промежуточной точки.

Развитие спутниковых технологий позволило реализовать миллиметровый уровень точности при измерениях до тысячи и более километров, а Федеральным законом «О геодезии и картографии» планируется создание геодезической сети на качественно новом, более высоком уровне точности, обеспечивающем решение фундаментальных и перспективных задач в области геодезии, геофизики, геодинамики, космонавтики, экономики и обороноспособности РФ.

В связи с повышением точности измерений возникла необходимость в проведении специальных теоретических и методологических исследований по анализу и систематизации разработанных способов решения ГГЗ, обоснованию и развитию эффективных высокоточных методов их решения на поверхности эллипсоида и в пространстве с использованием современной вычислительной техники.

При разработке математических моделей решения ГГЗ на эллипсоиде используются элементы вспомогательного сферического треугольника. С целью обоснования общего подхода к решению задач Морозов В.П. вывел дифференциальные уравнения, связывающие элементы сферического и сфероидического треугольников. Но в процессе исследований им не получена общая математическая модель, объединяющая всевозможные решения этих уравнений. В связи с этим не выполнен сравнительный анализ и не выведены оптимальные математические модели решения ГГЗ.

Разработанные в последние десятилетия простые и компактные формулы решения ГГЗ не соответствуют по точности миллиметровым погрешностям измерений. Необходимость получения более совершенных моделей решения ГГЗ с высокой точностью обусловлена как востребованностью в производственных вычислительных процессах, так и их методическим значением в процессе обучения студентов и аспирантов по геодезическим специальностям.

Кроме этого, существующие обзоры по решению ГГЗ не содержат объективного и целостного подхода в связи с исключением из анализа публикаций Лежандра и Баховена, предложивших способы решения задач, известные в литературе под именами Бесселя и Мак-Коу. Не рассматриваются исследования Ориани, составившего полную сфероидическую тригонометрию и разработавшего методы решения ГГЗ.

Объект исследования — теория и методы определения взаимного положения точек на поверхности эллипсоида, физической поверхности Земли и в околоземном пространстве.

Предмет исследования - теоретическое обоснование и систематизация разных принципов и подходов к решению ГГЗ; разработка методики сравнительного анализа математических моделей решения ДУГЛ по кратчайшей ли-

нии; развитие теории и разработка методологии совершенствования известных, построения новых математических моделей эффективного решения ГТЗ на поверхности эллипсоида и в пространстве с использованием современной вычислительной техники.

Цель исследования - совершенствование и разработка оптимальных математических моделей решения ГТЗ на поверхности эллипсоида и в пространстве, обеспечивающих точность результатов на один-два порядка выше точности, обусловленной миллиметровыми погрешностями измерений.

Задачи исследования:

- теоретически обосновать и усовершенствовать методологию вывода формул решения геодезических задач на малые расстояния путем преобразований разложений Лежандра без использования поверхности вспомогательной сферы. Разработать теорию и метод построения математических моделей и вывода на их основе формул с улучшенной сходимостью для эффективного решения ГТЗ. Исследовать точность формул со средними аргументами, используя принцип остаточных членов;

- развить теорию и разработать метод исследований ДУГЛ, полученных с помощью теоремы Клеро. Выполнить теоретические исследования применяемых в сфероидической геодезии биномиальных функций и построить математическую модель обобщенного эллиптического интеграла для вычисления длины геодезической линии. На основе разложения обобщенного эллиптического интеграла в ряд с общим членом в замкнутой форме провести классификацию формул по точности, структуре и способам их вывода. Установить перспективные направления исследований, приводящие к повышению эффективности и точности решения ГТЗ. Создать обобщенную математическую модель для вычисления геодезической долготы и выполнить ее анализ;

- разработать теоретические основы и методы совершенствования известных и вывода новых математических моделей решения ГТЗ с высокой точностью на поверхностях эллипсоида и шара на большие расстояния, включая предельные. Выведенные математические модели в виде системы формул, приводящие к эффективному решению задач, удовлетворяют следующим требованиям: имеют логически обоснованную структуру с простой оценкой их достоверности и ясной геометрической интерпретацией; содержат компактные выражения, приведенные к удобному для вычислений виду, с наименьшим числом операций и промежуточных результатов; по значениям тригонометрических функций определяют аргументы без дополнительных исследований по установлению их квадрантов; обеспечивают взаимно однозначное соответствие по точности при решениях прямой и обратной геодезических задач; являются удобными для проведения дальнейших теоретических исследований и аналитического решения смежных задач;

- выполнить анализ решений ГТЗ, полученных численными методами, с помощью дробно-рациональных приближений, применением функций Якоби. Теоретически исследовать процесс экономизации степенных рядов на основе тождества, выражающего косинусы кратных аргументов через степени косинуса аргумента. Развить теорию и разработать обобщенный метод экономизации

используемых в сфероидической геодезии разложений эллиптических радикалов и интегралов без применения полиномов Чебышева. Преобразовать формулы решения ГТЗ;

- усовершенствовать математические модели решения ГГЗ в пространстве. Для этого разработать теорию и метод отделения корня трансцендентного уравнения для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат Х,У,г к геодезическим В,ЦН. Используя принцип отделения корня, вывести разными способами формулы вычисления широты и закономерности для оценки ее погрешностей по итерациям. Обосновать метод дальнейшего сужения промежутка изоляции корня и вывести неитеративную формулу для определения широты с высокой точностью.

Теоретическую и методическую базу исследований составили работы Лежандра, Ориани, Баховена и Беспалова с использованием разработок по сфероидической геодезии других авторов. Решение поставленных задач базировалось на методах математического моделирования, анализа и синтеза, сравнения, аналогий, обобщений и оценок с привлечением теории рядов, численных методов, математического анализа, аппарата цепных дробей, функций Якоби, полиномов Чебышева, аналитической и дифференциальной геометрии, высшей алгебры, теории погрешностей, дифференциальных уравнений и комбинаторики.

На защиту выносятся следующие научные положения:

- теория и методология вывода обобщенных разложений Лежандра без использования поверхности вспомогательной сферы. Теория и метод построения оптимальных моделей и вывода на их основе формул эффективного решения ГГЗ на малые и средние расстояния путем выделения из обобщенных разложений Лежандра сферических величин по закономерностям сферической тригонометрии. Усовершенствованный метод исследования точности формул со средними аргументами;

- теория и результаты исследований ДУГЛ, полученных с помощью теоремы Клеро, на основе анализа и геометрической интерпретации подстановок, преобразующих несобственные интегралы в определенные. Совершенствование методов вывода формул решения ГТЗ с применением введенного понятия криволинейного вектора. Концепция и методология построения математической модели для вычисления долготы. Математическая модель разложения обобщенного эллиптического интеграла, способствующая изучению свойств и структуры формул для вычисления длин геодезических линий, выведенных по способам Лежандра и Баховена;

- теоретические исследования и выведенные математические модели решения ГТЗ с высокой точностью на поверхностях эллипсоида и шара на большие расстояния, включая предельные;

- теория и методология анализа и вывода формул решения геодезических задач в дробно-рациональном виде способом геометрической прогрессии. Теоретическое обоснование и обобщенный метод экономизации разложений эллиптических радикалов и интегралов на основе тригонометрических тождеств без использования полиномов Чебышева, его приложения к решению ГТЗ;

- усовершенствованные математические модели решения геодезических задач в пространстве. Теория и метод отделения корня трансцендентного уравнения для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат X,Y,Z к геодезическим B,L,H. Концепция и методы построения рабочих формул для определения широты и методология их сравнительного анализа. Теоретическое обоснование метода сужения промежутка изоляции корня и вывода неитеративной формулы для определения широты с высокой точностью.

Научная новизна результатов исследования

1. Теоретически обоснована и усовершенствована методология вывода формул решения ГТЗ на малые расстояния путем преобразований рядов Jle-жандра без использования поверхности вспомогательной сферы. Такой подход позволил получить обобщенные математические модели и привести в систему решения ГГЗ, полученные разными способами, осуществить их анализ более простым путем, не требующим учета погрешностей, вызванных заменой одной поверхности другой; разработать теорию и метод вывода математических моделей для эффективного решения ГГЗ на короткие и средние расстояния с выделенными из разложений сферическими членами путем преобразований обобщенных разложений Лежандра по схемам моделей сферических закономерностей. Принципиальное отличие предложенного метода состоит в том, что при выводе преобразуются не формулы сферической тригонометрии с помощью зависимостей изображения эллипсоида на шаре, а обобщенные разложения Лежандра по схемам моделей сферических закономерностей. По предложенной методике выведены: оптимальные формулы решения ПГЗ; формулы решения ОГЗ, в которых все члены имеют унифицированную и удобную для вычислений структуру.

Универсальность предложенного метода характеризуется следующими признаками: его применение не требует никакой проекции эллипсоида на шар; вывод формул осуществляется по единому логически обоснованному принципу как для решения ПГЗ, так и для решения ОГЗ; пригодностью для преобразований не только обобщенных разложений Лежандра, но и закономерностей изображения эллипсоида на шаре; возможностями использования для упрощения зависимостей картографических проекций эллипсоида на плоскость с помощью замкнутых формул проекций эллипсоида на шар.

Усовершенствованный метод исследования точности формул со средними аргументами для решения ОГЗ, позволяющий находить наибольшие погрешности определяемых величин, реализован на сравнительном анализе выведенных формул с классическими при сохранении в разложениях членов разных порядков, доказывая преимущества первых.

2. Теоретический анализ и разработанный метод исследований ДУГЛ, представленных по переменным и,В,г, sin«, А, о, Л, обосновал перспективность вывода формул интегрированием уравнений по сферической дуге а, так как интегрирование по другим переменным не приводит к новым результатам, а ведет только к сложным методам вывода формул.

Усовершенствованные методы исследования четырех видов ДУГЛ с переменной а, с геометрической интерпретацией подстановок Ориани и Баховена позволили: установить зависимости между элементами сферических треугольников, с помощью которых дифференциальные уравнения одного из видов не только приводятся к другим, но и по решениям одного сфероидического треугольника определяются решения остальных трех видов без вывода дифференциальных уравнений и интегрирования.

Теоретические исследования биномиальных функций эллиптического вида, содержащиеся в этих дифференциальных уравнениях, способствовали построению математической модели разложения обобщенного эллиптического интеграла с общим членом в замкнутой форме, которая содержит решения, полученные разными авторами по способам Лежандра и Баховена и позволяет не только установить зависимость между этими формулами, но и изучить их структуру и свойства, выявить достоинства и недостатки, указать пути их совершенствования. Доказано, что для вычисления длины геодезической линии наиболее перспективным является построение формул по способу Лежандра с использованием в коэффициентах параметра к,.

Теоретическими разработками установлено, что все формулы, выведенные по способу Лежандра для вычисления долготы, являются следствиями усовершенствованной общей модели Ориани. Для определения долготы предложена модель с точными выражениями постоянных величин рп упрощающая ее структуру и процесс вычислений.

3. Теоретически обоснована и разработана методика вывода рабочих формул эффективного решения ГГЗ на поверхностях эллипсоида и шара на большие расстояния. На ее основе построены математические модели в виде упорядоченных систем формул для решения прямой и обратной геодезических задач в функциях тангенсов половинных аргументов, не требующих дополнительных исследований по установлению квадрантов определяемых величин и обеспечивающих числовую стабильность вычислительных операций с наименьшим числом десятичных разрядов.

Выведенные математические модели при решениях прямой и обратной геодезических задач обеспечивают взаимно однозначное соответствие результатов по точности современных требований. Их достоинства заключаются в том, что в математической модели решения ПГЗ на основе простых структур коэффициентов с параметром к, получены формулы в степенной форме для определения 5 и а, вычислительные операции по которым осуществляются без фиксации промежуточных результатов. В математической модели решения ОГЗ содержится компактная формула для вычисления 512, представленная по степеням коэффициента £>2 в функциях параметра , составляющими которой, как и для разности долгот, являются одни и те же величины в и М,, упрощающие структуру формул и вычислительный процесс.

Разработана математическая модель решения ОГЗ на эллипсоиде, при антиподном расположении точек на вспомогательной сфере, по которой при малом объеме вычислительных операций результаты определяются неитератив-

ным способом с высокой точностью. Математическая модель решения ОГЗ при точках, близких к антиподным, по сравнению с предложенной Боурингом, имеет более простые зависимости и обеспечивает квадратичную сходимость итерационного процесса при определении азимута. Итеративные формулы решения ОГЗ для достижения высокой точности результатов требуют менее десяти итераций, на решения затрачиваются одна-две секунды машинного времени.

4. Доказана тождественность дробно-рациональных приближений бинома (1 + х)™, выполненных с помощью подходящих дробей цепной дроби Лагранжа и предложенным методом геометрической прогрессии, который не только приводит к тем же результатам более простым способом, но и имеет более широкую область применения. Теоретически обоснована эффективность построения моделей в дробно-рациональном виде методом геометрической прогрессии путем преобразования разложений эллиптических радикалов и интегралов, приводящих к компактным формулам с меньшей погрешностью без увеличения объема вычислительных операций. Этим методом приведены к дробно-рациональному виду зависимости, полученные автором для вычисления Sn и а с параметром к,, и формулы Ганзена для сравнения с выведенными Беспаловым H.A.

Теоретическое обоснование процесса экономизации степенных рядов с использованием полиномов Чебышева на основе тригонометрического подхода способствовало разработке обобщенного метода экономизации, базирующегося на тригонометрических тождествах. Его достоинства: экономизация этим методом выполняется без применения полиномов Чебышева и позволяет убедительно и просто установить равносильные между собой отрезки рядов, выявить причины, приводящие к неравноточным зависимостям, указать пути преобразования их к тождественному виду; обобщенный метод экономизации разложений эллиптических радикалов позволяет привести к экономизированному виду ряды, представленные не только по степеням cos?>, но и по степеням sin и cos 2<р; тригонометрический принцип экономизации способствовал обоснованию и применению его к формулам, полученным с помощью обобщенного эллиптического интеграла и построению оптимальных рабочих формул решения ГГЗ; пригодностью для рядов с двумя переменными.

5. Разработана теория и метод отделения корня трансцендентного уравнения для определения широты при переходе от прямоугольных координат к геодезическим и по предложенной методике установлен промежуток [Г,, Г,], внутри которого он содержится для точек с высотами Я > 0. На основе свойств малой длины отрезка корня обоснована методология и получены рекуррентные зависимости, позволившие провести сравнительный анализ итерационных процессов вычисления геодезической широты и высоты как по выведенным, так и по рекомендованным для практического использования формулам. Выполнена классификация итерационных процессов определения широты по видам и скорости их сходимости, на основе которой уменьшен интервал корня и выведена неитеративная формула для вычисления геодезической широты с высокой точностью при Н >-а+ ае2 = -6 300 км.

Выведенные формулы преобразования геодезических и полярных топо-центрических координат использованы при построении усовершенствованных математических моделей решения геодезических задач в пространстве.

Научная и практическая значимость работы

Теоретические положения и разработанные методы эффективного решения ГГЗ на малые и большие расстояния позволили решение этой проблемы выполнить на высоком научном уровне и привести в целостную и стройную систему. Полученные высокоточные формулы, иллюстрируемые в Приложениях диссертации числовыми примерами, целесообразно использовать при решениях фундаментальных и перспективных задач в области геодезии, геофизики, геодинамики и космонавтики, а также при геодезическом обеспечении съемок акваторий морей и океанов, для удовлетворения возрастающих потребностей ракетной техники, морской, воздушной и космической навигации.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Диссертация соответствует специальности 25.00.32 - «Геодезия» по следующим позициям Паспорта специальностей научных работников, разработанного экспертным советом ВАК Минобрнауки РФ по техническим наукам: 2 -«Создание геодезических сетей различного назначения с использованием геодезических (наземных и космических), астрономических, гравиметрических и других методов измерений», 7 - «Математическая обработка результатов измерений и информационное обеспечение топографо-геодезических работ».

Апробация и реализация результатов исследований. Основные положения диссертации докладывались на научно-технических конференциях ФГОУ ВПО «Омский государственный аграрный университет» в период с 1980 по 2009 гг. (г. Омск); научных конференциях профессорско-преподавательского состава Сибирской автомобильно-дорожной академии (СибАДИ, г. Омск); научно-технической конференции преподавателей ГОУ ВПО «Сибирская государственная геодезическая академия» (1998 г.); на третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (1998 г.), г. Новосибирск; научных семинарах кафедры высшей геодезии ФГОУ ВПО ОмГАУ (1995-2000 гг.); на расширенных заседаниях кафедры прикладной геодезии, фотограмметрии и географических информационных систем ФГОУ ВПО ОмГАУ (2009, 2010 гг.); на расширенном заседании кафедры высшей геодезии ГОУ ВПО СГТА (2009 г.).

Итоги научной работы методологического характера были внедрены в учебный процесс кафедры высшей геодезии, фотограмметрии и географических информационных систем ФГОУ ВПО «Омский государственный аграрный университет» в лекционных и практических курсах по дисциплинам: «Математическое моделирование на ЭВМ», «Высшая геодезия», «Основы космической геодезии» по специальности 300100 - «Прикладная геодезия».

Усовершенствованные математические модели решения ГГЗ в пространстве внедрены в производственную практику Западно-Сибирского филиала ФГУП «Госземкадастрсъемка» - ВИСХАГИ для разработки методики создания планового геодезического обоснования с применением спутниковой системы GPS при межевании земель и использованы при камеральной обработке в про-

цессе создания спутниковых геодезических сетей на территориях 13 областей и республик РФ.

Полученные в диссертации результаты составили теоретическую основу научных исследований по теме «Решение главных геодезических задач на поверхности сфероида и в пространстве», зарегистрированной Всероссийским научно-техническим центром: 12.03.2003 № 01.9.90 000 949.

Публикации. Основные результаты диссертационных исследований изложены в 30 работах, из которых 9 статей (1 - в соавторстве) опубликованы в журнале «Геодезия и картография», 5 - в журнале «Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», входящих в Перечень изданий, определенных ВАК Минобрнауки РФ, в 1 монографии, 2 статьях в республиканском межведомственном сборнике «Геодезия, картография и аэрофотосъемка» (г. Львов) и научных трудах других учебных заведений.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка использованных источников и приложений. Общий объем составляет 426 страниц машинописного текста, 12 рисунков, 16 таблиц, 6 приложений. Список использованных источников включает 327 наименований, в том числе 115 на иностранных языках.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой темы, определены объект и предмет исследования, поставлены цель и задачи, сформулированы научные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первом разделе рассмотрена теория и методология повышения эффективности решения ГГЗ на поверхности эллипсоида при малых расстояниях и выведены оптимальные формулы решения прямой и обратной геодезических задач.

На основе математической модели, представленной системой ДУГЛ:

<1В =--(¡Я, ¿Ь ---<18, йА =--(1)

М ЛГсовЛ N

применяя разные подходы и преобразования, разработано множество методов

решения ГТЗ. С целью определения перспективных направлений исследований

эти методы рассматриваются с позиций пригодности для вывода более точных

формул, удовлетворяющих ранее приведенным критериям.

В качестве исходной взята математическая модель решения уравнений (1), построенная в форме рядов Тейлора способом Эйлера:

с начальным условием 5 = 0 прохождения кривой через точку Р^В^Ц) в направлении А1. Впервые формулы для решения ПГЗ этим методом вывел в 1806 г. Лежандр, сохранив в разложениях (2) производные по третий порядок включительно. При выводе многих формул используется поверхность вспомогательной сферы. В связи с этим, сравнительный анализ и дальнейшее совершенствование

методов решения задач приводят к сложным преобразованиям по учету погрешностей, вносимых заменой одной поверхности другой. Поэтому в работе дается вывод формул, получивших наибольшее распространение, без использования поверхности сферы путем непосредственного преобразования рядов Jle-жандра (2). Эти разложения рассматриваются как исходное целостное построение, на структурных и функциональных свойствах которого образуются другие модели, способствующие выводу новых формул решения ГГЗ, более ценных в практическом отношении.

Формулы Гаусса с сохранением членов третьего порядка непосредственно выводятся из (2). Для этого содержащиеся в них функции широты В и азимута А по формуле Тейлора преобразованы к средним аргументам Вт и Ат. В результате получены неполные степенные ряды, содержащие только нечетные степени S, с коэффициентами в 22"'2 раза меньшими, которые символически представляются в виде:

b=<PÁB*>SsrnAm,ScosAm), l = >p2{Bm,SsinAm,ScosAm), a = <p}(Bm,SsrnAm,ScosAj. (3)

Если ПГЗ по зависимостям (3) решают способом последовательных приближений, то формулы

ScosAm=<p4(Bm,b,l), ssinAm=<ps(Bm,b,l), а = <p6{B„,b,¡), (4)

полученные обращением (3), широко используют для неитеративного решения ОГЗ.

Разложения (2) существенно упрощаются при азимутах A¡2 = 0° и А[2 = 90°, что приводит к образованию поверхностных прямоугольных координат х,у. С помощью формулы Тейлора и преобразованиями рядов (2) получены для вычисления разностей координат и азимутов две группы отрезков рядов в функциях вспомогательной точки Ра с широтой Ва, представленных по степеням u = ScosAn, t> = 5sin:

B^f^.u.v), d = B0-B2=f2{B0,u,v),l = f3{B0,u,v),T = ft{B0,u,v), e = /,(B0,u,v),(5) и по х = ф1{вх,и,ь), y=4>1{Bl,u,v):

г0=Фз(Д1)х), с1 = В0-В2=ф,{В0,у), I = ф5(В0,у), Т = ф6{ва,у), £ = ф7(в0,х,у). (6)

Все группы формул (2), (5), (6) являются равноточными, погрешности которых оцениваются отброшенными величинами шестого порядка малости. В работе системы (2)-(6) выведены без использования поверхности вспомогательной сферы. Поскольку отрезки рядов (3)-(5) являются следствиями (2), то равенства (2)-(6) названы обобщенными разложениями Лежандра.

По разложениям (5) и (6), сохраняя в них величины по четвертый порядок включительно, путем введения вспомогательных величин получены нелогарифмические формулы, выведенные Шрейбером О., Изотовым A.A., а также автором. Выполнен их сравнительный анализ с использованием оценок погрешностей. Доказано, что по скорости сходимости и объему вычислительных операций они не являются оптимальными. К более эффективным результатам приводит структурно-функциональный принцип решения сфероидических треугольников, предложенный Эйлером Л. Деление отрезков рядов на сфериче-

скую и сфероидическую составляющие позволило сферическую часть решения задачи выполнить по строгим формулам сферической тригонометрии. Оставшаяся сфероидическая часть имеет не только более компактный вид, но и оценивается отброшенными членами сфероидического вида, меньшими на один-два порядка соответствующих сферических. Такой подход приводит к более простым формулам и повышает их точность.

Этот способ в 1919 г. применил Крюгер Л. к разложениям (2). Решения ПГЗ на шаре он выполнил по формулам четвертого способа Гаусса. Наиболее сложная формула для вычисления широты В2 автором преобразована к более простому виду. При решениях этим способом Шедльбауэр А. и Крак К. применили теоремы косинусов, синусов, котангенсов и другие формулы сферической тригонометрии. Другой путь вывода формул, требующих при решении ОГЗ применения вспомогательной сферы, предложили Иордан В., а затем и Морозов В.П. На основе геодезического изображения эллипсоида на шаре они получили зависимости со средней широтой для вычисления X и а в форме рядов с поправочными членами сфероидического вида.

Для более эффективного использования формул были выполнены разработки, исключающие при решении двойной переход с эллипсоида на шар и обратно. Буткевич A.B. с этой целью преобразовал правые части аналогий Непера к сфероидическим величинам с помощью полученных Иорданом В. зависимостей геодезического изображения эллипсоида на шаре. При таком подходе в системе предложенных логарифмических формул оказалась неисключенной сферическая величина а. Формулы для вычисления геодезических координат по заданным прямоугольным поверхностным координатам Гельмерт Ф. вывел путем преобразования формул четвертого способа Гаусса решения сферического треугольника к сфероидическим аргументам с помощью установленных им зависимостей геодезического изображения полярного сфероидического треугольника на шаре. В результате громоздких и сложных преобразований он получил отрезки рядов, поправочные члены в которых содержат только сферои-дические величины. Если в равенствах, полученных Гельмертом Ф., первый эксцентриситет е выразить через второй е , то приходим к формулам Крюгера, выведенным им преобразованием (6).

Недостатком всех этих подходов является отсутствие общей методологии вывода формул, так как при этом не обоснованы ни выбор функции для определяемой величины, ни используемые при преобразованиях закономерности, ни структуры конечных формул. Полученные зависимости не проанализированы с теоретической точки зрения, и не сформулирован общий принцип, приводящий к рядам с улучшенной сходимостью.

Для построения таких формул необходимо сумму сферических членов ряда представить замкнутым выражением. Однако такой подход в общей постановке не приводит к цели. Решение этой задачи упрощается, если исходный ряд заменить равносильным ему с известной суммой. А это достигается только с помощью формул сферической тригонометрии. Но, если в предыдущих случаях они предназначались для решения задач на шаре или служили основой для приведения их выражений к сфероидическим величинам с учетом условий изобра-

жения эллипсоида на шаре, то теперь они используются для построения математических моделей, по схемам которых выполняются преобразования рядов с целью выделения из них сферических величин. Для этого в формулах решения геодезических задач на шаре производится замена сферических элементов полярного треугольника на соответствующие сфероидические. В полученной таким способом модели ее левая часть указывает, какой функцией следует представить исходный ряд для определения искомой величины, а правая - сумму сферических членов преобразованного ряда.

По предложенной методике выделены сферические члены из нелогарифмических формул Шрейбера по закономерностям четвертого способа Гаусса. Доказано, что относительная простота формул достигается при сохранении в разложениях величин не более четвертого порядка. С такой погрешностью получена зависимость для вычисления сфероидического избытка, а выведенная система для решения ПГЗ по объему вычислительных работ при одинаковой точности результатов является более экономичной по сравнению с предложенной Гельмертом - Крюгером.

Доказано, что выделение сферических членов из разложений Лежандра (2) по зависимостям теоремы синусов и формулам косвенного метода решения задач на шаре, приводит к громоздким и сложным выражениям для вычисления Вг и е. Из всех формул решения ПГЗ с погрешностями на величины пятого порядка наиболее оптимальными являются формулы, выведенные нами из (5) по закономерностям четвертого способа Гаусса:

В0 = Л, + arctg-J Fj ■ tg-^-cos Ап ■ [

1 —^ e'2 sin 2BX • и, +(з - 4 cos2 B{ )■ u\

¿2 = L\ + arctg

tg—• sin Aj2 ■ cos(B0 -By)-secB0 • [ l+~e'2 cos2 B0 ■ Uq N0

l . S

B2 = B0- arcsin| K0 sin Ba - tg — - sin--sin Al2

2 N«

f 1 s

x = arctg — sin--sin Ai 2 • tg50

W Ro

I S ( e'2

е = 7Г{ёТТ"'~B\)■sinA\1 ' 1" —-sin250 ■ u0 4) ¿Ka \ u ,

A2i =a12 +t-e + 180° -sign^m^), u, = (ScosAn)/N,, i = 0;l.

(7)

В выражениях (7) погрешности А < 0,0001" при 5 < 120 км и < 70°. Для сравнительного анализа в работе получен нелогарифмический вариант формул, состоящий из пяти уравнений со средними аргументами, предложенный Буткевичем A.B. для решения ОГЗ.

Преобразованием формулы Иордана для определения S по предложенной методике получена зависимость, с помощью которой исключается сферическая

величина ст и система из пяти уравнений сводится к трем формулам с выделенными сферическими величинами:

s j 1 . ъ а1

,--cos Ат ---tg—cos—

2R„ 7Ш 2 2

tg^--cos Ат = -^f--tg^cos|-[l + c1b2 +сгЬ4+с4Ь212 +c5/4]m)

tg-|-sinЛ, =КИ + + c7í>< + слЬ212 +с/]и>

¿Km 'm

tg| = sinBm •tg^sec|[l + ci0í>2 +C2l2 +cl2b4 + cnb2l2 +cul4]m. (8)

Однако равенства (8) эффективнее получаются из разложений (4). Преобразованием их выражений с учетом членов пятого порядка по аналогиям Непе-

S S

ра автором получены формулы для функций tg-и tg-.

2Rm 2Nm

Но такие построения в частных случаях приводят к неопределенностям вида (О/О). Формулы, свободные от этих недостатков, выведены путем преобразований (4) по закономерностям Деламбра. Для упрощения выражений вместо разности широт введена величина b = ¿/F„2. Получены три варианта разложе-

S S а

ний в функциях sin--eos Ат, sin--sin Ат, tg —. Для практического использо-

2Nm 2

вания рекомендуются формулы в форме рядов по степеням sin-у, sin-^: Z = I2-A>0, b=(B1-Bl)/V^ 0, ¡2 = sinocos Л,, P = sm^-sm4.,

л • b I

0 = sin—-cos—■ 2 2

P = cosВ -sin— 2

1 +

> > ■ 2 Ь , . 2 I

Л:, + k3 sin — + kt sin —

F . • t Ь , • 1 I

k6 + к-, sin — + ks sin —

■ ib (, . . 2 О • 2 I

■sin —+1 я2 +k¡ sin - I-sin —

■ ib,. . 4 /

sin — + k, sm —

tg| = tg^m-tgSm-tg|.

1 +

■ ■ • 2 О fc10+A„sin —

sin—= A,=2arctg

2 +sin

2 Nm

Sn =2NmaicsmJP2+Q2 , Аа=Ая~, A1{ = Лт + | + 180°, Ai=y[-l+cos25(2+e'2(4-3cos25))], k2=-~cos4B, =^-(l-2cos2B),

/fc4=^cos2S(ll-8cos2.B), A5=~cos45(l+3cos2£), kt =-^-(9-10cos25),

Jt7=~(7-6cos25), ¿8 = ~cos2s(9-8cos2B), fc, =-^-cos45(1-cos2B),

Отличительные особенности формул (9) заключаются в следующем: они не имеют аналогов по своей структуре; определяемые величины выражаются только через исходные данные; отсутствуют неопределенности при любом расположении геодезической линии; главные и поправочные члены разложений имеют унифицированную структуру, способствующую эффективному решению ОГЗ.

Для исследования точности формул применен принцип остаточных членов. Дано обоснование, что при 5 < 600 км остаток ряда можно оценить по наибольшим величинам одного и того же порядка малости первых отброшенных членов. В этом случае величины b = I = S/N = a = 0,09 и эксцентриситеты е = е' = 0,08 считаются малыми первого порядка.

Доказано, что для формул решения ОГЗ, представленных в функциях S, S S

sin—, tg —, дифференциальные зависимости между погрешностями опреде-2N 2N

ляемых величин AS, ААт, А а и остаточными членами 'ДЯ,, AR2, AR3 выражаются одинаковыми зависимостями:

Для упрощения выводов величины Щ с помощью главных членов разложений (4) преобразованы к переменным S, Вт, Ат.

Исследованием г, = (дR2 - АД, )sin2 Ат + AR, на экстремум при выбранной широте Вт = const устанавливается Ат, при которой |т-; | принимает наибольшее

значение. После этого для погрешности AS = const с помощью (10) определяется предельная длина геодезической линии, характеризующая область применения анализируемых формул.

Аналогично, но с учетом полученного Smax, на той же широте Вт исследованием функций, содержащихся в (11) и (12), определяются наибольшие значения ДАт и А а. Погрешность прямого и обратного азимутов А{ находится по соотношению

AS = - AR,) sin2 Д, + Щ ],

ААт = (ДR2 - AR¡) sin Ап ■ cos A,„, Aa = sína-AR¡ &a-ARy

(10)

(П) (12)

|m|=K.|+N2I-

Анализ формул проводился на широтах Вт = 0,15,30,45, 60, 75° при вычисленных длинах геодезических линий 5 с погрешностями Д5 = 0,0001; 0,001; 0,01; 0,1; 1 м.

По этой методике выполнен сравнительный анализ классических формул (4) с полученными при сохранении в разложениях членов соответственно первого, третьего и пятого порядков. И хотя с учетом членов третьего порядка эти алгоритмы являются тождественными, однако по (9) результаты вычисляются с более высокой точностью, что увеличивает пределы их действия при ДУ < 0,001 м и Вт < 75° с 125 до 440 км. Это обусловлено тем, что погрешности формул (9) без членов пятого порядка определяются величинами седьмого порядка малости, а не пятого, как в отрезках рядов Иордана - Эггерта.

Полные формулы (9) на широтах 0 < Вт < 75° имеют следующие характеристики:

если 5 < 1000 км, то Д5 < 1 мм, АЛ < 0,0002*, если 5 < 750 км, то Д5 < 0,1 мм, АЛ < 0,00003'. Сохранение в них первых членов на широтах Втй 75° и 5 = 40 км обеспечивают вычисление результатов с погрешностями Л? < 0,001 м, АА < 0,003*.

Итак, принцип пересмотра известных методов решения ГГЗ с позиций построения их математических моделей путем преобразования рядов Лежандра без использования поверхности вспомогательной сферы позволил эти решения не только обобщить и привести в систему, но и теоретически обосновать и разработать новый метод эффективного решения ПГЗ и ОГЗ.

Второй раздел посвящен развитию теории и разработке методов построения обобщенных математических моделей решения ДУГЛ интегрированием их аппроксимаций, представленных в форме рядов.

Другой подход к построению модели взаимного положения двух точек на поверхности эллипсоида основан на свойствах общего решения третьего уравнения системы (1), полученного в 1733 г. Клеро А. в виде

Г-8ШЛ = С. (13)

Методы решения задач во многом обусловлены начальными условиями интегрирования и видом представления равенства (13), допускающего различные аналитические преобразования и геометрические интерпретации.

ДУГЛ в функциях с геодезической широтой В, при любом ее расположении на поверхности сфероида, были выведены Эйлером Л. в 1753 г. Неопределенную постоянную интегрирования С он определил из условия прохождения кратчайшей линии через точку Р{, т. е. при 5=В, и А = А,. Но полученные им уравнения имеют сложную структуру, а результаты интегрирования, приведенные к рабочему виду, образуют громоздкие выражения при низкой точности определяемых величин.

Если для определения С использовать координаты В = В„, А = 90' точки вертекса Рь или координаты В = 0, А = Аа точки Р3 пересечения линии с экватором, то уравнения Эйлера представляются в виде (14)—(16), полученном Бахо-

веном Е. в 1865 г., и (17)-(19) с приведенной широтой, опубликованные Ориани Б. в 1806 г.:

eos В0 = sin Д, • W0 = -^-sinAcosB,

dS--

dL =

ayjl-e2 ■W0cosB-dB W^sin2B0-sin2B '

Vl-e2 eos B,-dB

W eos B^/sin2 Ba - sin2 В '

(14)

(15)

(16)

cos«-síny4 = cost/0 =sin4,, acoswjl-e1 eos2 и ■du

dS = -

tJcos2 u- eos2 ua

dL =

_ cos«0vl-e2 eos2 и • du

u-y/l

eos uJ eos u-eos «n

(17)

(18)

(19)

Эти уравнения Ориани Б. и Баховен Е. преобразовали к более простой форме.

Преобразования Баховена Е.:

(20)

sin£ = sin50cos<7,

ал/wVl-*2 -da , . _

dS = —-г- „,, , k = esmB0, (21)

:inS = sinS0 sin cr*,

Wl-e2Vl-fc2 da'

dL =

{l-k2cos2áfn

Vl-e2 eos Ba-dá

(l - sin2 Ba eos2 &)sll-k2 eos2 Преобразования Ориани Б.:

(22)

JS =

iL =

(l-¿2sin2 a')

J 1-е2 eosВ.-da'

(l - sin2 Ba sin2 a' ) -Jl-k2 sin2 <7

sinM =sin«0 eoscr ,

dS = bVl+k2 eos2 cr' ■ da1=a^Jl - e2 (l ■- eos2 Aa eos2 cr') • da',

dL =-f1 ^ , eos2 eos2 o/) ■ da',

1 - eos 4, eos a v 4 '

sin« =sin«0 sin a,

dS = b^j\+k2sin2a■ da = a^j 1 -e2(l-eos2A0sin2a) da, k = e'cosA0, sin Д,

1-eos Д) sin'

—yjl—e2 (l—eos2 Af¡ sin2 cr) da.

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

В геодезической литературе разные варианты полученных решений связывают с переменными, по которым выполнялось интегрирование. В связи с этим ДУГЛ были представлены в функциях переменных и, В, Ф, А, г, а, Л, sin и и др. Так как результаты интегрирования с помощью соответствующих подстановок снова выражаются через исходные, то для интегрирования применяют те из них, первообразные с которыми находятся наиболее простыми методами. Показано, что использование других переменных, кроме а, для вывода формул не является рациональным.

С целью построения качественных, более простых и логически обоснованных решений четырех видов ДУГЛ, полученных Баховеном Е. и Ориани Б., необходимо выполнить их анализ с геометрической интерпретацией полученных

результатов. Для этой цели не применяется общая теорема Клеро, представленная в форме теоремы синусов на сфере, а используются подстановки, преобразующие несобственные интегралы к определенным и приводящие к этим дифференциальным уравнениям. Подстановка Баховена (20) позволяет по катетам а и (90° - Во) построить полярный сферический треугольник РРСРЬ с гипотенузой (90° -в).

В этом случае основное уравнение геодезической линии (14) принимает вид cos.fi,, =соз5-8тЛ*, (32)

а сфероидическому полярному ДРРСРЬ (рисунок 1) ставится в соответствие сферический полярный ДРР,РЬ (рисунок 2), решения которого используются для вычисления элементов сфероидического АРРСРЬ путем интегрирования соответствующих ему дифференциальных уравнений (21), (22) при начальных условиях, обусловленных координатами точки Рь, принятой за начало отсчета длин.

Аналогично, по второй подстановке Баховена (13) строится прямосторон-ний сферический треугольник АР,ДР. В этом случае вычисление сфероидиче-ских элементов ДР3РСР выполняется по дифференциальным уравнениям (24), (25) при условии начала отсчета длин линий от экватора. Такое изображение сфероидического треугольника на сфере связывают с именем Мак-Коу, который получил уравнения Баховена в 1932 г., т. е. через 67 лет.

По зависимостям (17), (26), (29) строится изображение геодезической линии на поверхности сферы способом Лежандра, который на 36 лет раньше Бесселя разработал и применил его для решения ПГЗ при обработке рядов триангуляции, проложенных на побережьях Франции и Англии через пролив Ла-Манш. В результате такого подхода каждому из двух видов сфероидических треугольников ДР,РСР и ДРРСРЬ (с началом отсчета длин линий соответственно от точки экватора Рэ и точки вертекса Рь) оказались поставленными в соответствие по два сферических прямосторонних и прямоугольных треугольника, построенных по способам Лежандра и Баховена.

РьРе=90°-Во РРе=90°-В

РРС = 90° - и

Рисунок 2 - Сферические треугольники Лежандра и Баховена

Введенные понятия криволинейного вектора Р1Р2 и его величины, действия над которыми выполняются по правилам линейной векторной алгебры, позволили получить зависимости:

<г = я/2 + с/, Л = л/2 + Л', (33)

связывающие элементы прямоугольного и прямостороннего треугольников Лежандра. Выражения (33) при выбранном положительном направлении Р,РЬ преобразуют формулы сферической тригонометрии для решения прямоугольного треугольника РР,Р„ в формулы для решения прямостороннего сферического треугольника Р,РеР и наоборот. Кроме того, подстановка а = к¡2 + а' равенство (29) переводит в (26), а дифференциальные формулы Ориани (30), (31) приводит к (27), (28).

Аналогично устанавливаются соотношения между элементами треугольников Баховена с теми же свойствами, что и в способе Лежандра:

ст* = л/2 + 6, Х=л/2 + Х. (34)

Зависимости между элементами сферических треугольников Лежандра и Баховена применяли Мак-Коу, Ганыпин и другие для вычислений величин одного треугольника по известным данным другого. Но эти результаты можно использовать и для обоснования других выводов. В связи с тем, что углы при вершине полюса Рс в треугольниках Лежандра и Баховена равны, т. е. Я = Я*, Л' = А, это свойство позволяет построить их на одной шаровой поверхности. Поэтому понятия «сфера Лежандра» или «сфера Баховена» теряют смысл.

Зависимости:

18о = А/1 -к1 (35)

tgA;=^!i^7■tgA0, (36)

преобразуют уравнение (30) к виду (24), а (31) - к (25), которые в силу (34) приводятся к (21), (22). Символически эти преобразования можно представить, равенствами:

^ = (27) ='(30) = (24) = (21), (37)

(33) (35,36) (34)

¿г = (28) = (31) = (25) = (22). (38)

Итак, установленные закономерности позволяют дифференциальные уравнения одного из видов не только привести к другим, но и по решениям одного сфероидического треугольника получить решения остальных трех видов без вывода дифференциальных уравнений и интегрирования.

На основе полученных зависимостей строятся простые логически обоснованные модели решения сфероидического ДР,?сР2 в отличие от использования теоремы синусов на сфере для точек Р1 и Р2.

Введенные понятия криволинейного вектора РхРг, соединяющего точки Р1 и Р2 кратчайшей (или другой) линией, проведенной на поверхности их расположения или в пространстве, позволяют обобщить и с единых позиций сформулировать задачу определения взаимного положения двух точек.

Прямая задача: по координатам точки Р1, длине вектора |/]Р2| и его направлению в точке определяются координаты и направления вектора в точке Р2.

Обратная задача-, по координатам точек Р1 и Р2 определяются длина вектора РхРг и его направления в начальной и конечной точках.

Интегрирование полученных выражений приводит к эллиптическим интегралам, которые в конечном виде через элементарные функции не выражаются. Отличительной особенностью используемых в сфероидической геодезии биномиальных функций (1 + х)т эллиптического вида является разложение их в ряд по степеням малой величины |*| < 0,01, что способствует быстрой сходимости ряда к своей сумме и выводу более простой оценки остатка его частичной суммы.

Ограниченное количество показателей степени т = ± 1/2,-3/2, используемых при построении формул для решения геодезических задач, позволяет образовать обобщенный степенной ряд

(1+Х)+ (чГ(39)

В отличие от разложения биномиального ряда в равенстве (39) общий член представлен в замкнутой форме с использованием двойных факториалов, приводящих к удобной вычислительной схеме. Доказывается, что каждый последующий общий член на два порядка меньше предыдущего. В связи с этим, если за приближенную величину суммы ряда (39) принять

^' = 1 + и[а) + «<"> +...+и[а), (40)

то степень достоверности приближенного равенства при любых знаках его членов оценивается по абсолютной величине первого отбрасываемого члена ряда (39). Исследования, проводимые на основе (39), дают результаты сразу для трех случаев и позволяют определить скорость сходимости ряда (39) в зависимости от величины а. По закономерности между общими членами (39) и'1' при

а= 1 и и^ при отрицательных а = -1;-3 устанавливаем, что вывод формул на основе ряда (39) с показателем а = \ является более перспективным, чем с а = -1;-3. Например, при п-Ъ формула для вычисления длины геодезической линии, полученная по способу Лежандра интегрированием равенства (30), будет на два порядка точнее формулы, полученной по способу Баховена на основе (21).

Переменная х в основных сфероидических функциях эллиптического вида представляется в формах vsin2 <р и у eos2 q¡, где < 0,01. Если x = vún2 <р, то обобщенное разложение (39) переходит в функциональный ряд

(l+vsin2<pf =\+signa±{-\)"* (2""a"2)"vsin2"<p. (41)

v ' tí (2n)M

С помощью тригонометрических тождеств ряд (41) преобразуется к переменным cos<р, cos2<р, coslmip. Наряду с параметром v, который принимает как положительные, так и отрицательные значения, при разложениях по кратным аргументам введен новый параметр с которым число слагаемых в каждом члене уменьшается примерно вдвое:

(1 + V sin2 <pfn = 4а) + 2¿ 4а) cos гпир, (42)

/»-i

.(а) . vv lV»„+i (2и-а-2)!!(2и-1)!! „

£¡ (2п-2я|)!!(2и)!! ' W

ki=Ksignv = ^\, V = = (43)

л/ 1+V+l 1 -к,

Если в формуле (l+vsin2<p)"/2 заменить <р на л¡2+<р, то получим разложение функции (l+vcos2 <pf/2. Из приведенных зависимостей наиболее просто интегрируется равенство (42):

Í(1W<pf (44)

О т=1

с прежними выражениями коэффициентов. Этот ряд можно представить в других видах с помощью тождеств:

■ V*/ (2т + 2к-2)и .

81п2тй>= > (-1) -—--——'-—— этф-аоъаг. (45)

Г ' [2т-2к)\\{2к-\)\ г г, V >

• П V1/ ,\*+» {2т + 2к-2)\\ и_, . &т2та>=у (-1) —^-——-—- соэ аътаг. (46)

)

\Л>. м (2т-2к)\\ . . И.2М . Бт2т<р= > (-1) --Ц—-----вт2®-(сое20) , (47)

где _ целая часть числа (т +1)/2.

Разложение (44) с учетом (45) преобразуется к виду

)(l+vsin2 <р)а'2 d<p = (l-£><">) sin2"-1 <p. cos щ 0

Н ¿ (Ъг-а-ЩН^ 8

" (2m-\)\\ S ; (2/i)ü V '

На основе зависимости (48) образуется рекуррентная формула

Доказано, что в результате применения подстановки cp=x¡2+<p в исходном разложении происходит простая замена переменных по соотношениям: Ч> <Р'. cos™ 2р -> (-1)" cos™ 2<р',

sinp-ícosp', cos2mip -»(-])" cos2m<p', . ^

cos(р > — sinр', sin2mp—»(-l)™sin2m^>'

при тех же выражениях коэффициентов.

В результате, как следствие (48), без выводов получается разложение:

f(1+у cos2 <p'Y2d<p'= (l-Цм)- (p'-^D^ cos2"-' (p ■ sin (p'. (51)

о m=l

Точно также на основе (44) имеем

(52)

о |»=1 т

Отсюда следует, что решение дифференциальных уравнений можно представить в разных видах, обусловленных не методами нахождения первообразных, как это трактуется, а тригонометрическими тождествами, примененными при преобразованиях одного из результатов интегрирования.

Так, интегрированием уравнения (30) по правилу (44) при а = 1, <р = о,

v~k2 — é2cos2 Aq, =¡^]l+k2 -ijl^Jl+k1 +lj, получается ряд для вычисления длины

геодезической линии от точки Р, экватора до текущей точки Р в форме:

S(P,P) = ъУ 1 + к2 sin2 о ■ do = о+±А« , (53)

Аналогично, из (48) при а = 1, <р-ау v = k2 следует:

<Т __..

S{P,P) = ЪjVl + к2 sin2 oda = b A^sin2"4 o voso

я (2и-1)И ' ((2л)!!) U V '

с рекуррентной формулой

д!.=—oi'+нг, (2m:,3)!' к*-. (57)

2m + l " V ' (2m + l)(2m)!! V '

Из (53) при m = 4 образуется отрезок ряда, который с параметром в коэффициентах к поистине стал классическим и приводится практически во всех учебных пособиях по сфероидической геодезии. Но никто не указывает, что его автором является Ориани Б. В лучшем случае его относят к способу Бесселя и оставляют безымянным, в худшем - приписывают Бесселю Ф.

Бессель Ф. при выводе формулы для вычисления S исходит из тех же ле-жандровских условий, что и Ориани Б., но применяет другой модуль . Поэтому формулы Бесселя получаются из (53) при т = 4 по разности S12=S(P3P2)-S(P,P,), используя коэффициенты с параметром

Множество введенных элементов для характеристики формы эллипсоида привело к разным видам построения коэффициентов разложений. Так, с помощью подстановок е'2=е2/( 1-е2), Ь = а41-е2 равенство (55) приводится к зависимости:

5(PaP) = ^C0a-|;^^Cm-sin2»-VcoSaj, (58)

в которой коэффициенты С„ формируются двумя способами. При группировке членов по степеням cos2 А0, получаются соотношения:

..«к <*,

а группировкой по степеням е2:

ст = 1= ¿ИГ fry^j'w* Л- (60)

Ь {2к)\? (2п-2к)\\ ^ V '

Как видим, выражения (59), (60) имеют более сложную и громоздкую форму по сравнению с (56) и могут использоваться только при табличных вычислениях.

Аналогично, ряд (53) преобразуется к виду:

К ^ т )

A,=I(-ir+17-(w1)!! , ^cos2^, = у/2*-3)" е2*. (61)

Из (61) вытекают формулы Андреева М., которые он вывел интегрированием по переменной А.

Результаты Романовского В.А. следуют из (58) с коэффициентами (60), для вывода которых он применил две подстановки. Губений К. для вычисления ко-

эффициентов Рп (59) составил таблицы по параметрам эллипсоидов Бесселя, Хейфорда и Красовского. Если в (58) по зависимостям сферического треугольника Лежандра преобразовать функции а к приведенной широте, то получим формулы Бахвалова, а также и Сержанова без использования аппроксимации поверхности сфероида шаровыми поясами.

Подстановка сг=^г/2+сг', выполненная по закономерностям (50), ряд (53) приводит к виду

S(P,P) = bpi+k2 cos2 a' da' = ¿U"-</+¿(-1)" (62)

»=1 m )'

использованному Гельмертом Ф. с параметром А, при выводе формул для решения ПГЗ. Этим же способом на основе (55) определяем

S{PbP) = ¿JVl + k2 cos2 a'da' = b (l-Д^У-Х^зтст'-соз2™-' cr' o L

Лежандр А. при выводе использует не параметр к, а второе сжатие a=(a-b)¡b. Его формулы вытекают из (62) при =(2а+árceos2 Д,. Ганзен П. для

вычисления коэффициентов применил подстановку fc2 =¿2/(i-¿2) и получил разложения по степеням k = esmB0. Основной недостаток формул, полученных Хандриковым М.Ф. и Вировцем A.M., заключается в том, что они положительному направлению геодезической линии на эллипсоиде поставили в соответствие отрицательное направление дуги большого круга на сфере. Указываются недостатки алгоритма Питмана, использующего переменную sin«.

Аналогично строятся формулы для вычисления длины геодезической линии по способу Баховена. Показано, что для вычисления длины геодезической линии наиболее перспективным является вывод формул по способу Лежандра с параметром А,.

Интегрированием уравнения (31) получена модель для определения долготы от точки Р, до текущей точки Р:

I = L{P3P) = л -sin sin2M о-cos crj,

, ¿ (2.-1)!!,2-2 . (63)

Вычислить Рк можно и по зависимостям:

р =у/_ j*«* [2к-\)\\{2т-2к + \)\\ е>м р = 1 у , )т* {2т-\)\\ _Пт,г к ¿Í {2т + 2){2т-2к)\\{2к)\\ ' * ' (2m + 2)ü

По этим соотношениям строятся рекуррентные формулы:

" -------------Г5КГ-.Р*. (64)

{2к + 2)\\^7 к (2^ + 2)!!(л/Г7)2;

Введением в (63) величины R, = ^ Q,, получаем равенство

rm = yrj-r R, + (- тг-r cos2' Л, / = 1(1)оо, (65)

2i +1 2i +1

из которого следуют выражения, предложенные Ориани Б. для вычислений

во = Р* cos2 4, +l?2 cos4 Д, cos6 ^,

I О 10

R1 =Qt>-P0, ^^l^+^cos2^, Л3=|л2-1р2С054Л-

Для определения Д, Ориани не выводит общих формул (64), (65), а приводит выражения для PltP2,I\ при Р0=а, являющиеся следствием (64), и их разложения по степеням эксцентриситетов.

Разность долгот между точками Р, и Рг вычисляется по правилу

Губений К. для использования формулы (63) коэффициенты вычислил по параметрам эллипсоидов Бесселя, Хайфорда и Красовского. Если в (63) отбросить члены с ег, а сферическую величину <т преобразовать к приведенной широте, то воспроизведем результаты Бахвалова и Сержанова.

Решение уравнения (31), представленное по синусам кратных дуг:

L=L(P3P) = Z-smA>Ua+±cr^-r<T

^ г=1 Г

Для вычисления Рк справедливы все выведенные выше формулы.

В отличие от (63) и (66), Ганыпин В.Н. общую модель формирует по другим закономерностям с введением большего числа вспомогательных величин, используя обычные и двойные факториалы, что усложняет не только процесс вычислений, но и структуру модели. И в данном случае с помощью соотношений L=L(P3P)-*L' = L(PtP), Л->Л', ег и закономерностей (33), (50) из (66) получается формула для вычисления долготы L'=L[PbP) от вертекса до текущей точки Р с прежними выражениями сг и Pt:

r = A'-sin^[c0a'+t(-l)'CrlH^j. (67)

На основе (67) строятся формулы, выведенные Ориани Б., Ганзеном П., Лежандром А., Андреевым М., Ганыпиным В.Н., Гельмертом Ф., Хандрико-вым М., Вировцем А.М. и др. Из проведенного анализа следует, что все рассмотренные формулы для вычисления долготы являются следствиями обобщенной модели Ориани, записанной в виде (63) или (66).

Выведена общая модель для вычисления долготы по способу Баховена, из которой как следствие получаются формулы Баховена и Мак-Коу. Однако простое сравнение общих членов, выведенных по способам Лежандра и Баховена, показывает, что коэффициенты в разложениях Баховена в (2т+1) раз больше соответствующих коэффициентов в разложениях Лежандра, что при т = 4 составляет величину десятичного разряда.

В связи с этим для определения долготы предлагается использовать разложение (66) с точными выражениями коэффициентов Р, через сжатие а со знаменателем /, полученными по рекуррентным формулам (64):

1 г, а 1

Р1 = а-

- /' '' 2(1 -а) 2(/-1)' «44-3«) 4/-3 р а3(10-14«+5«2) 10/2-14/ + 5 „

2 " 8(l -af 8(/-1)3' 3 " 1б(1-«)5 " 1б(/-1)5 ' ^

Значение Р4 можно приближенно определить по зависимости Pt=—as.

Таким образом, построенные математические модели для вычисления долготы и длины геодезической линии способствовали проведению исследований методов решения ГГЗ на более высоком научном уровне.

В третьем разделе рассмотрены теория и методы построения математических моделей и вывода оптимальных формул высокой точности решения ГТЗ на поверхностях эллипсоида и шара, включая предельные расстояния.

При математической обработке геодезических измерений, решении сферических и сфероидических треугольников приходится по приближенным исходным данным находить значения тригонометрических функций определяемой величины а и наоборот. Доказано, что при сохранении в числах sin«, cosa, tga и ctga всех верных значащих цифр аргумент а по значению любой из указанных функций будет определяться с одинаковой точностью. Однако в работе для вычислений предлагаются формулы в функциях тангенса переменной, а не синуса или косинуса. Это обусловлено тем, что в области 0° < a < 90° погрешность а не превосходит погрешности tga, т. е. |Да| < |Atga|. В этом случае достигается числовая стабильность вычислительных операций с наименьшим числом десятичных разрядов, обеспечивающих точность определяемых величин, вызванных погрешностями исходных данных.

Так как функция tga при a = 90° не определена, то для исключения этого случая Бэр X. предложил использовать половинные и четвертичные аргументы по схеме: если tga = у/х, хфО, то tg-j = yj(x + -^х1 + у2). Показано, что вместо

схемы Бэра удобнее использовать тождество tg— = sina/(l+cosa), на основе ко-

А + В

торого по формулам Деламбра получены выражения для вычислений tg-,

tg А ~ В, tg —. Этим способом выведены формулы для решения прямой и об-4 4

ратной геодезических задач на шаре.

Для вычисления длины геодезической линии между точками Р, и Р2 Ориани построил формулу на основе (53) по зависимости S¡2 = S(PlP1 )-S(P3P¡). Так как при решении ПГЗ величина S = Sn является заданной, то для определения а = а2 -а,, используя теорему Лагранжа, он этот ряд обратил, сохранив в разложениях величины по порядок к' = е'% eos8 Аа включительно. Существенным недостатком этой неитеративной формулы является громоздкость и сложность ее выражений.

Впервые алгоритм для прямого вычисления а с началом отсчета от вертекса опубликовал в 1789 г. Лежандр А., используя величины eos А0 и второе сжатие для образования коэффициентов. И только в 1877 г. Винтерберг Н. предложил для обращения ряда использовать не разложение S(P,P2), а ряды с началом отсчета от экватора S(P3P) или вертекса s{PbP). В этом случае, если исходный ряд имеет вид

S, = а, + р2 sin 2а, + pt sin 4а, + р6 sin 6а, +..., (69)

то и после обращения он сохраняет прежнюю структуру

a, =S,+ рг sin2S, + pt sin4S, + p6 sin6S,+.... (70)

Отрезок ряда (53) автором представлен в степенной форме по основанию eos 2(7

S,=Da\a,~+sin2a,

12 + fc, + -j eos 2a, (3 + 2 A, eos 2a,)

(71)

в котором простые и компактные выражения коэффициентов (54) с параметром кх преобразованы к виду, позволяющему для любого эллипсоида производить вычисления «с конца к началу» без фиксации промежуточных результатов с сохранением в ячейках памяти наименьшего числа данных (Ц,, а,, к,, вт 2а,, соэ 2а,),

обеспечивая погрешность <0,002 мм, где £>0 =ь(\ + к? /&)2 ¡{1-к^. Обращением (71) получена формула

• к, a, = S, + —sin 25, ' ' 12

б + lk\-kx + eos 2 S, (l 5 + 29 k¡ eos 2S¡ J

(72)

где 5, = 5,/£>0 с погрешностью Аа, <Г-10"6.

Для вычисления а Гельмерт Ф. по разложению (70) образовал разность а = а2 -а,, а затем применил формулу разности синусов. Ганынин В.Н. для вычисления а использует график и специально составленные таблицы. Кроме рассмотренных способов, для определения а применяются методы итераций и дифференциальных поправок. Из (70) при ¿ = 2 следует: а2 = 52 + Д2(я2), тогда а = ¿2 + Д2 (¿^)- аМорозов В.П. вводит вспомогательную величину а„ = 52 - а,, которая не упрощает конечную формулу.

Установлено, если в формуле (66) отбросить член с, /3, то долгота Ь определится с погрешностью Д£ < 2" •10~8, что при вычислении длины геодезической

линии вызовет ошибку ДОс 0,001 мм. Пренебрегая этим членом и вынося общий множитель а в Р, за скобку, получим равенство

Ц =^-ОГ8тД)^с0ст,+с18т2<т|+^-зт4<т, ^ (73)

с прежними зависимостями для с,, но с величинами р,= Р,/а. На основе (73) образуется формула для вычисления разности долгот между точками Р, и Р2.

При решениях геодезических задач на поверхности эллипсоида и в пространстве используют постоянные величины, которые приведены с числовыми значениями по параметрам эллипсоида Красовского:

907 ч

а = 6 378 245 м, сс = {а-Ь)/а = 1//, / = 298,3, Ь = 6 378 245 м,

/ 298,3

еп =(2/-1)/(/-1)2 =595,6/297,3\ е2 =(2/-1)//2 =595,6/298,32,

- = д(2/ -1) = 6378245-595,6 "/(/"О" 298,3-297,3 ' 1 1

Pi=

2(f-l) 594,6'

/-1J (,297,3J ' Pi =(4/- ЗК =1190,2/594,63,

p3 =((l0/-14)/ + 5) -2pf = 1771 315,4/594,65, IT

a-6 1

k2=krp,

a+6 2/-1 595,6 Для вычисления приведенной широты и рекомендуется формула ' f-1 ^____./297,3

(74)

arctg^^-tgBj = arctg^^_-tg5j, если В Ф 90"

90° , если В = 90°.

С использованием полученных зависимостей выведена математическая модель решения ПГЗ на большие расстояния в виде системы формул: sin 4, = sin Ап • cos u¡, cos An £ 0,

cos Aq = sign (cos An)- - sin2 A0 Ф 0,

o, = 2arctg

sin«.

cos A¡¡ + cos щ cos A¡ 2

если cos Al2=0, to

= J тг/2, если A¡2 =90°, - п/2, если A¡2 = 270°,

О, =

К = tg2í iarctg(/cos^)], =¿(l +^/8)7(1-^),

S. = а, —Lsin2a-. 1 1 24 1

a = S2-а. +—sin 2S, 2 1 12 2

12 + 5^1-^ +—cos2<T, -(3 + 2fc, cos2<т,)

, S2=St+St2/D0,

б + 7fc, í - kx + i cos 2S2 ■ (l 5 + 29Jt, cos 1S2)

a, =sinii, -COSC7, b{ = sin An -sine, ег=е2 cos A12-a2,

a2 =sinwl -siner, ¿2 =sin^12 -cosu,, b3=Jbf+af, e¡ = cos u, • sin a, m, = a, + e, cos Л12,

e2 =cosm,-coscr, a3=e2-a2cosAi2,

m2 = a3 + ¿3,

х _ Г 2arctg(b1 / т2 ), если ти2 ^ О,

[sign(sin ) • к, если т2 = О, 2 агс 2

Л21 = 2arctg

63 + е3 j

U-1 1 + Аз/

+ 7С, Р = Ръсои2А<>, 2<хт = 2(7, + £7,

с0 = 1+^cos2 Л +|cos2 Л "(л ^JJ»

/ = Я-£ШпЛ0 • (с0(Т+2sin<т-(с, cos2trm+c2cos<T-(2cos22cTm -l))), L¡ =£, +/.

Если cosA0 =0, то

Я2 =0°, Л21 = sign(sin Л12) • 90° +180°, I2 =1, +sign(sin^12)-512/a. (75)

Для решения ОГЗ разность Su =S1-Sl по разложению (53) с применением тригонометрических тождеств представлена в форме

Sn =£>0{<t-2sin <t[d2 cos 2 am+ 2 Д, cos a cos 4crm + D6 (4 cos2 a - l)cos 6crm ]},

где a = £712 = <t2 - tr,, cr, +<r2 = 2om = 2c, +<r.

Проанализированы способы преобразования этой формулы, примененные Райнсфордом X., Боурингом Б., Морозовым В.П., указаны их недостатки. Для упрощения выражений коэффициентов используется зависимость (43) при v = k2. На основе связей между коэффициентами D1,Di,D6 получено более компактное удобное для вычислений выражение, которое рекомендуется для решения ОГЗ с погрешностью ASI2 < 0,001 мм. Таким же способом преобразовано и уравнение (73) для разности долгот.

Для решения ОГЗ на большие расстояния предложена система формул:

a¡ =smu, -sini/j, е2 =sinU] -cosu2, m¡ =a¡+e, cos Я,,

e¡ = a2 -e2 cos Я,,

втД, = sin - cos u,, p = (e+a¡)/sin(T¡,

M¡ =e¡ cosa¡.

a2 = cosm, -sinu2, b¡ = cosu, • sinЯ,, аг = a2 cos Я, — e2,

<J, = 2arctg

1 + m,

e, =cosm, -cos«2, b2 = cos щ ■ sin A,,

b3 = ^/b,2 + a\,

An = 2arctg

\.e3 + b3 )'

cos2 Aa =l-sin2 A0,

¿>¡=a(sin2 A0 + cr, ■ p) fi = p3costA0,

в = coser,. ■ cos2 Ад- 2a¡, вх =202-cos 4А„,

с0 =l+|cos2 А0 \-Pl cos2 Aa -{p2 -f С, - \[p\ +COS2 A0 -¡-p2 | |,

Я —l — S

S¡ =Я, -1 = as'mA0 ■ (c0a, + 2 sin a, ■ (с,в+c2M,)), Л+i =Л —\-¿' '"'

Л2, = 2arctg(il/(a3 + 63)) + я, M2 =02(4cos2<7-l),

02= 0(20, -cos4 лД

// = (4 + ^)/8,

Сферическая разность долгот Я определяется методом последовательных приближений, начиная с \ = I. Исследуется скорость сходимости итерационного процесса, построенного разными способами. Показано, что при о 180° скорость сходимости существенно снижается и при q > 1 приводит к расходящимся процессам.

Кроме метода итераций, начиная с 1950 г., было предложено несколько вариантов формул для неитеративного решения ОГЗ, которые выводятся обращением ряда для разности долгот, выполненным разными способами. Сравнительный анализ таких алгоритмов выполнен Даскаловой М. Доказано, что различие между формулами заключается только в использовании разных аналитических выражений для одних и тех же величин. При сохранении в разложениях величин порядка е8 такие формулы принимают громоздкую форму и как итеративные не решают задачу при предельных расстояниях и требуют специального исследования. К тому же, формулы сферической тригонометрии, применяемые для решения, при X = о = 180° теряют смысл.

Такая область, согласно исследованиям Гельмерта Ф., определяется условиями:

Доказано, что принципиальное отличие основных способов решения ОГЗ (76) от решения ОГЗ при предельных расстояниях состоит только в применении разных формул для вычисления азимута А0.

Основная концепция построения таких решений базируется на выводе формул для приближенного вычисления азимутов и разработке способов, приводящих их результаты к дальнейшему уточнению. Рассмотрены два случая, когда точки и Р2 на сфере, соответствующие точкам Р, и Р2 на эллипсоиде, являются: антиподными; близкими к антиподным.

При антиподном расположении точек Д и Р2 на вспомогательной сфере Я = ст = к и для определения зтЛ0 применяют уравнение

Решение уравнения (78) Морозов В.П. выполняет методом простой итерации, Зорский 3. - методом Ньютона, используя коэффициенты р,, выраженные через первый эксцентриситет. Боуринг Б. для выражения коэффициентов применил сжатие а = 1//, а для исключения итераций отрезок ряда (78) обратил.

(и, +u2f +((;r-i)cosы,)2/3 <(ал-cos2и,)2/3.

(77)

Полученная им формула не содержит информации о ее точности и не является простой для вычислений.

В работе приведен вывод формулы с учетом в уравнении (78) величин порядка рл. Для выражения коэффициентов р, использовано третье сжатие п~(а-Ь)/(а + Ь). В результате получено неитеративное, более простое решение ОГЗ, которое применяется при В1+В1 =0, 179°23'47,6902447"</<180° и обеспечивает вычисление результатов с погрешностями Д5 < 6 • Ю-10 мм, ДЛ< 1,6* -1СГ7:

е = — = 298,3(1-//4 ал

a=f(i-e2)=(i-e2)/n9i,2,

sin Aa = Q

k¡ = tg2^arctg(e'cos^0)j, 512=7C-^1 + U,2j j{\ - A,) = 19 970 674,159 654 -(l + J*?)

4' = arcsiní^\ Л$=2Х-4\ 4>=2(79)

При точках, близких к антиподным, Шмидт X. рекомендует использовать формулу Гельмерта, а Боуринг Б. предлагает зависимость

. . K-I-AÁll-acosu. eos«,)

sin 4, =-i--, (80)

ка

приводящую к более простому решению задачи, по которой определяются элементы сферического треугольника, смежного с AP,PtP1.

Принимая (80) за приближенное выражение Q, разработана математическая модель решения ОГЗ:

=/•(!-'/*)» Е1 ~(/-cosw, -costíj/л-, £3 = sinj«>s .

Для начального приближения:

4 — I-:-Г >

cos«, -д/cos к,

И 2 1МУ 11 1191,2 ' Для дальнейших итераций:

e<°>=£,/(i+¿0,

4W=

arcsin

sin i«

^ eos«,

I, АР = г

'sini<>0 . ДА«

V У

Aw + Ák)

= П«/(зш■ созЛ(<) • соз4*'), «п= (зт + ш(1+<?"°),

До" = агсвт (втАЛ■ соэи2/ьтА,), Л = я-АЛ, <7 = л-Аа, \-arctgie'соеА„)

Приведенная модель решения ОГЗ отличается от предложенной Боурин-гом Б.: начальным приближением б(0), уменьшающим число итераций при определении эт А0; более простыми зависимостями для вычисления азимута А0 пересечения геодезической линии с экватором; выражением для этЛ^*0, приводящим к квадратичной сходимости итерационного процесса, а также формулами для определения прямого и обратного азимутов и для вычисления длины геодезической линии.

Достоинства этого способа решения ОГЗ проиллюстрированы примерами, вычисленными по (81), в сравнении с формулами, предложенными Морозовым В.П., Саито Т., Шмидтом X., Русиным М.И. и др. Об эффективности способов решения ОГЗ, предложенных Саито Т. и Шмидтом X., судить трудно, так как все приведенные ими примеры решаются по основным формулам (76). Выполнены исследования критериев по применению основных формул (76) и формул решения ОГЗ (81) при предельных расстояниях.

Итак, по разработанной методике выведены формулы высокой точности для эффективного решения ГТЗ на поверхностях эллипсоида и шара на большие расстояния, включая предельные.

В четвертом разделе рассмотрена теория и методология решения ГТЗ на основе аппроксимаций эллиптических радикалов и интегралов с помощью рациональных дробей, полиномов Чебышева, функций Якоби, методом экономи-зации и численными методами.

Для приближенного вычисления значений функции (1 + х)т, кроме разложения в ряд, используется ее дробно-рациональная аппроксимация, которая строится методом неопределенных коэффициентов, с помощью полиномов Чебышева, применением аппарата проективной геометрии, подходящих дробей цепной дроби Лагранжа.

В работе доказана тождественность дробно-рациональных приближений бинома (1 + х)", построенных с помощью подходящих дробей цепной дроби Лагранжа и методом геометрической прогрессии. Действительно, если принять, что в общем разложении

(81)

(1+дг)" = 1+и, + и2 +«,...+и„,2 +и<ч +и„ +...,

члены, начиная с , образуют геометрическую прогрессию с первым членом ияЧ и знаменателем q = un/un_x, где |?|<1, то получим приближенную аппроксимацию бинома в дробно-рациональном виде

(1+х)Г =1+ц,+■■■+„ + ""' , (82)

l-uju^

из которой при п = 2, щ=тх, q = получаем выражение второй подходящей

дроби цепной дроби Лагранжа, которое Беспалов Н.А., Хитров Б.Ф., Куштин И.Ф. использовали при выводе формул для решения геодезических задач.

Интегрирование эллиптического радикала на основе равенства (82) приводит к первообразной, содержащей обратную тригонометрическую функцию. Полученная таким способом формула для вычисления длины геодезической линии приводит к очень плохой сходимости итерационного процесса при решении ПГЗ, когда приходится по заданной длине S определять а. В связи с этим возникает необходимость в дальнейшем ее преобразовании.

Беспалов Н.А. с этой целью применил формулу Лагранжа и получил решение в форме отрезка ряда b cos и

S =-- (Лст + Я sin 2а - С, sin 4а),

cos 2?0 ' * '

_ 1-0,4375к2 в 0,125 к2 1-0,0625к2 Я 1 — 0,1875¿2 q 1-0,1875к2 1-0,125 к2'

Cq = 0,00390625 • 1-°'°б25\2 • ( ** )2, (83)

4 1 — ОД 87 5Л: 1 - 0,125 А

но только более сложным путем и ограниченным по точности за счет применения приближенной зависимости (82). В итоге всех преобразований в дробно-рациональном виде представлены только коэффициенты Aq, Bf, Cq.

Автором коэффициенты формулы Ганзена, имеющей вид (83), преобразованы способом геометрической прогрессии к дробному виду:

, (1 \к2 -128)&2 +192 „ к2 1-0,21875к2 „ 1 кл

Д, =------, В, =----, С. =----, М<1мм,

' (5к -12)• (-16) 4 8 1-0,468 75fc 9 256 1-0,75/с2

с которыми разложение (83) имеет не только более компактную форму, но и на два порядка точнее. При этом для вывода не требуются ни цепные дроби, ни интегрирование приближенного равенства (82), ни использование ряда Лагранжа. Аналогично, в качестве альтернативной, с помощью разложения Ганзена строится формула для вычисления разности долгот.

Этим способом к дробно-рациональному виду приводятся не только коэффициенты ряда, но и сам ряд. Так, преобразованием (71) получено

' ' 24 ' 1-2/3к, cos2а, ' D0, В такой форме представлено равенство (72) и формула Гельмерта для разности долгот. Отсюда следует, что использование аппарата цепных дробей только для приближенной замены радикала дробной функцией не рационально

и не продиктовано ни теоретической, ни практической необходимостью, тем более, что этот раздел математики исключен в настоящее время из учебных программ школ и вузов.

Кроме дробно-рациональных приближений эллиптических радикалов, для их вычислений применяют преобразование, получившее название экономиза-ции. Морозов В.П. и Беспалов Н.А. использовали его для вычисления основных сфероидических функций, радиусов кривизны и упрощения выражений коэффициентов. Сущность процесса экономизации степенных рядов с помощью полиномов Чебышева заключается в следующем. Так как чебышевские многочлены Тп(х) = cos (и arceos х) подстановкой tp = arceos х сводятся к виду

Ta(x) = cosn<p, х = cos <р (84)

и представляют собой тригонометрические тождества, выражающие косинусы кратных аргументов cos п<р через степени cosp с натуральными показателями, то формула

eos п<р = 2- «*> +g(-1)* ¥Г > (85)

где Е = Е(п/2) - целая часть числа и/2, с учетом (84) представляет общую закономерность для построения полиномов Чебышева. В связи с этим появляется возможность анализа процесса экономизации с позиций тригонометрии. Так как * = cosp, то исходный отрезок степенного ряда представляет разложение по степеням eos(Z>:

/(cos<р) = а0 + а, cos<р+ а2 cos2 <р +... + ап cos" (р. (86)

Соотношение Тп(х) = cosп<р устанавливает тождественность разложений по полиномам Чебышева и косинусам кратных аргументов

f(cos<p) = b0 +bt cos<p+b2 cos2<p+... + bn cosn<p. (87)

Но зависимость (87) получается из (86) с помощью тождеств, выражающих степени cos™ <р через cos пкр, поэтому результаты по тождественным между собой формулам будут определяться с одинаковой точностью. Их погрешность можно оценить по остатку исходного ряда (86): Д = г„. Но отрезок ряда (86) подстановкой выражения cos" <р, полученного из (85), приводится к виду

/W = gaicosV+a„g(-l) ^cosnp. (88)

Формула (88) является не только тождественной (87), но и имеет равный с ней последний член. Поэтому Ъ„ Эта зависимость указывает, что ряд (87)

по сравнению с (86) сходится быстрее, а последний член Ьп в равенстве (87), представленном по кратным аргументам cos nip, в 2"~' раз меньше последнего члена ап (86), представленного по степеням cosrp.

При построении рабочих формул последние члены в отрезках рядов (86) и (88) отбрасывают и используют их вместе с остатком ряда для оценки досто-

верности оставшихся выражений. В результате получаются неравноточные между собой формулы. Для вычислений используется более точная (88) без последнего члена, которая и называется экономизированной.

Этот способ экономизации основан на тригонометрических свойствах и не требует использования символики полиномов Чебышева. Анализ процесса экономизации на основе тригонометрических тождеств приводит к его обобщениям, позволяет убедительно и просто установить равносильные между собой алгоритмы; выявить причины, приводящие к неравноточным выражениям; указать способы преобразования их к тождественному виду. Такие исследования с применением полиномов Чебышева не только усложняют этот процесс, но и приводят иногда к неверным заключениям.

Обобщение процесса экономизации разложений эллиптических радикалов обусловлено тем, что тригонометрические тождества:

cos2n(3 = 22"-'cos2"<р+пУ(-\)т*" j"+m~y!2'mcos2"<р, ti (n-m)'.(2m)l

cos2np = (-l)" 22-' sin2" cpt

Г5. In — m)i 12mI!

(п-т)!(2т)!

1 1/1-1 л-1 , VV iVn+г (ffl + Л— E — Í)ü."*2m 1E 1 / \n+2m-2E

cos2n<p=2 eos 2f-rj—-—t-(cos2?>)

ZÁ \E -m)\\n + 2m—2E)\

где Е = Е(п/2) — целая часть числа л/2, позволяют экономизировать не только отрезок ряда, представленный по степеням cos^>, что достигается с помощью чебышевских полиномов, но и отрезки рядов, представленных по степеням sinp и eos2ср.

При современной вычислительной технике действие извлечения квадратного корня не представляет никакой проблемы. Поэтому для вычисления значений основных сфероидических функций и радиусов кривизны не требуется никакая их аппроксимация: ни разложение в ряд, ни экономизация полученного отрезка ряда, ни представление в дробно-рациональном виде. Однако такие преобразования будут востребованными и иметь научную и практическую ценность при упрощениях результатов интегрирования эллиптических радикалов. Возможность процесса экономизации обусловлена теми же свойствами разложений по тригонометрическим переменным, а его реализация осуществляется с помощью соотношений (45)-(47).

Например, если за сумму ряда (48) принять частичную сумму 5„ первых (л + l) его членов

j"(l+v sin2 <р)Ф d<p~ S, =D¡a)(p+J^D^ sin2"4 <p eos <p+DÍa] sin2"4 <pcos<p, (89)

o m=l

где D{"] =1-Ц(а), то погрешность формулы (89), можно оценить по приближенной величине остатка ряда

i»+i

я. <И:>■ sin2"+i9.cosd<(2"ra)!(w)ir , ^

" 1 "+1 1 (2п + 2) (2 л + 2)!

Для проведения экономизации из тождества (45) получаем

• 2.-1 V*/ 1у»+»+1(л+т-1)!со8<!>8т2"'"> , „+, ш.2п(р ,пт

\п_т)!(;от_1),22^ -^(-1) (90)

Подставив (90) в последнее слагаемое равенства (89) и пренебрегая членом с втглр, приходим к экономизированному отрезку ряда

^ * ° ^ " V ^ (и — ш)! (2т — 1) !22""2™ ^

с погрешностью экономизации

о[а)Бт2п<р {2п-а-2)\]у"

22„-1 2н-(2Л)!!22лЧ

Аналогично проводится экономизация обобщенного эллиптического интеграла с помощью тождеств (46), (47). Рассматриваются способы экономизации, которые применили при преобразованиях формул Морозов В.П., Винкетги Т., Вольфрум О. Выполняется экономизация формул Вировца, повышающая их точность на порядок при прежнем объеме вычислительных операций. Этот метод использован автором при построении рабочих формул решения ГГЗ (75), (76), (81).

Выполнен анализ вывода формул для решения ГГЗ с помощью функций Якоби. Полученные Якоби результаты не содержат в выражениях введенных им эллиптических функций, кроме одного параметра q, определяющегося приближенно, независимо от них. Поэтому аппарат эллиптических и тэта-функций использовался как средство для проведения математических преобразований. В работе показано, что такие результаты несопоставимо эффективнее достигаются с помощью биномиального ряда. Например, если в формулах Лежандра второе сжатие а выразить через первое, то после элементарных преобразований сразу получаются формулы Форсайта вместо сложнейших выводов с применением функций Якоби. Аналогично, выразив коэффициенты формул Лежандра через параметр приходим к результатам, полученным Винтербергом с помощью эллиптических функций Якоби.

Из проведенного анализа сделан вывод о нецелесообразности применения функций Якоби для вывода формул в форме рядов, сложных по своей структуре и ведущих к громоздким преобразованиям.

Таким образом, поиски альтернативных решений путем представления эллиптических радикалов в дробно-рациональном виде, с использованием функций Якоби, картографических проекций и численных методов анализа не привели к новым, более эффективным алгоритмам по сравнению с полученными в форме рядов.

В пятом разделе приведено теоретическое обоснование и рассмотрена методология совершенствования математических моделей решения геодезических задач в пространстве. Для определения взаимного положения двух точек используется другой принцип построения математической модели, связанный с системами топоцентрических и геодезических координат. Практически зависимо-

сти между этими двумя системами и составляют основу решения геодезических задач в пространстве.

При обработке пространственных геодезических сетей, решении ГТЗ между точками в пространстве приходится от геодезических координат В,Ь,Н точки М переходить к ее прямоугольным геоцентрическим координатам Х,У,2 и обратно. Проблеме преобразования этих систем координат, начиная с 1958 г. и до настоящего времени, в нашей стране и за рубежом посвящены сотни публикаций. Основные сложности здесь возникают при установлении связей между пространственными геодезическими координатами В,ЦП и прямоугольными координатами X, У, 2. Для определения долготы Ь чаще всего приводится формула = У/Х без описания способа вычисления I. Один из возможных вариантов определения долготы I по значению ^ предложен автором:

Я = у1хг+У2, Ь = + я(1-81ёпг), У* О,

X + В

т (0, приХ^О „ .

ь = \' г если У = 0. (91)

при X < 0 4 '

По этому принципу с использованием половинных аргументов построена и математическая модель для вычисления полярных координат по топоцентриче-ским горизонтным прямоугольным координатам: Х'=0-ъ¡п20 -собЛ,,,

Г = £)8т2„-«пА> К = 4хп+У'\ В =

г'=/)созг0.

Л = + 1СС1-ИЕПУХ если г*о; если У' = 0. (92)

Для вычисления широты обычно используют формулу

1ёЯ = (2 + е2Мш1Я)/Д, Л = л/х2+У2 (93)

которая в функциях с приведенной широтой принимает более простой вид

1ёи = Л + С8ши, А = , С = —, (94)

Л Л

В математической литературе хорошо разработаны способы решения трансцендентных уравнений с числовыми коэффициентами. В данном случае требуется решать трансцендентные уравнения (93) или (94), коэффициенты которых являются функциями прямоугольных координат Х,У,2 и эксцентриситета. Для проведения таких исследований необходимо отделить корень уравнения, т. е. указать промежуток как можно меньшей длины, внутри которого он заключен.

Используя аналитические и геометрические методы, установлены границы корня уравнения (93) при Н>0 и уравнения (94):

Г,<18и0<Г2, Т,=А, Т2=А/(1-е2).

Отделение корня уравнения позволило не только пополнить арсенал применяемых методов приближенного решения уравнений, но и воспользоваться разработанными условиями сходимости и оценками итерационных процессов уравнений с числовыми коэффициентами.

Так как на любом референц-эллипсоиде е72 < 0,004 , то у чисел Т\ и Г2,

представленных приближенно с помощью биноминального ряда Т1Л =—

v¿

после их округлении окажутся одинаковыми не менее двух первых значащих цифр. Данное свойство имеет место и для всех точек, заключенных между ними. Следовательно, с такой точностью определяется корень уравнения и промежуточная точка в остаточном члене, что дает возможность получить хорошие оценки для анализа итерационных процессов, принимая за промежуточную точку один из концов отрезка. Благодаря этому свойству, можно сравнивать между собой погрешности как одного, так и разных алгоритмов относительно любых точек сегмента [Т\] чего нельзя было сделать ранее без решения данного вопроса. На основе этих положений автором и проведены исследования.

Решение уравнения (94) выполняется методом простой итерации по рекуррентной формуле

= * = 1(1)~, /(*) = '<p{t) = A + C-t¡JÍ77, i = tg«.

Доказано, что последовательность {ít} будет монотонно сходиться к корню t приблизительно со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q = <p'(t „)= С cos3 и о. Для оценки погрешности широты получена формула

( 2 Y

Аик = —— cos"+2 и0 ■ /(f0), наибольшие значения которой при ta =T¡ и го =Г2

\а + Н)

установлены исследованиями на экстремум по переменным Я и и.

По этой методике проведены исследования итерационных процессов определения широты по уравнениям, полученным из (94): с помощью тождества sin и = cos и• tgw, приводящего к двусторонней линейной сходимости; подстановкой sin и = sin u(sin2 ы + cos2 ы) = sin3 и + tgu • cos3 и, приводящей к квадратичной сходимости; путем введения вспомогательного угла в функциях с приведенной широтой и геодезической широтой, рекомендованными Госстандартом России. Определение промежутка [Г,,Г2] изоляции корня позволило для вычисления широты применить метод хорд.

С помощью полученных результатов выполнен сравнительный анализ как разных способов решения уравнения (94), так и формул, которые предложили для вычисления широты Морозов В.П., Урмаев М.С., Боуринг Б.Р., Герасимов А.П., Машимов М.М., Буткевич A.B., Бопп Г. и Краусс Г., Винкетти Т., Баландин В.Н., Сорокин H.A. и др. Согласно отрезку [z^rj, проведенные исследования являются обоснованными только для точек с высотами Я > 0. В работе уменьшен промежуток изоляции корня, что позволило вывести неитеративную формулу определения геодезической широты для точек с высотами Н>-а+ае2 и рекомендовать следующий вычислительный алгоритм:

a0=^R2+Z2-p, ä=a/a„, tgB0 =-{l + ae'2\

Q = Vp + tg250> В =

arctg

, 3

При положительных высотах #>0 наибольшая погрешность широты ДВ = 7"-10~® на высоте Я = 2я/3. ЕслиЯ = 0, то ДВ = 0. При отрицательных высотах по мере приближения к центру эллипсоида погрешность возрастает: ДД = 1,6'10-4 при Н=-а/2; ДЯ = 5*10"' при #=-5а/7; Д3 = 4° при Н = -а + ае2.

Наряду с приближенными методами вычисления широты рассматриваются точные способы решения уравнения (94). С помощью тригонометрических преобразований с последующим освобождением от иррациональности равенство (94) приводится к алгебраическому уравнению четвертой степени I4 + + Ь^2 +

+ c{t + d{ =0 относительно каждой из переменных t = ^sin«, cos и, tgu, ctgu,

и , гЛ tg-. ctg—I и др.

В качестве переменной t чаще всего используется тангенс геодезической или приведенной широт (Ганзен Г., Сорокин H.A., Фарао Ромао М., Пауль М., Пенев П., Фукусима Т. и др.). Основным недостатком таких решений является громоздкость их выражений, приводящих не только к большому объему вычислений, но и к действиям над числами порядка Ю40. Кроме этого, при решениях алгебраических уравнений четвертой степени по способу Феррари в его формулах в том или ином виде содержится операция вычитания двух близких по величине чисел, ведущая к потери верных значащих цифр. Следовательно, гораздо эффективнее при вычислениях применить систему формул (95). Полученные автором алгоритмы использованы в следующих усовершенствованных математических моделях решения ГГЗ в пространстве.

Математическая модель решения ПГЗ:

p-p 'sin Zl2 ■ cos Ai2 r^l

n = Dl2- sin Z12 ■ sin A,2 » = +

U'J „ cosZ12 y w v

-sin5, 0 cos5,

% Z2j

(N, + Я,) cos 5, О

R2 -Jlf^,

a0=yjR2+Z^p,

ä = a/a0, tgZ?Q = + ae'2\ Q = <Jp + tg2B0,

B2 = arctg

Z2+k, -(tgBjQy - • (l/ö)3

L2 = X, + 2arctg

X2+R2

+ 7l(l-sign?2)

Я, = R, cos B, + Z, sin B,

-a-\j 1-е2sin2 B2.

(96)

Математическая модель решения ОГЗ:

т /

Ух

v 1 /

(К /

И \

+Н2)соаВ1-соа(Ь2 -Ц} + Н2 )соэ В2 • зт(Х2 - Ц) ^ (ЛГ2 (1 - е2)+ Я2) • 8т Вг /

1 О

Хг-Хх

Л12=^2+У2'2, Д2=л/й,2+г;2) 212 = 2агс18

А.

если 7/^0, то Ап = 2ап^( *2 | + я(1 -)

X2 +

V П .. Г 0, при Х2> 0

если72=0, то п

2 12 [я, при Х2 < 0.

(97)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе диссертационных исследований получены следующие результаты.

1. Выполнен анализ разных принципов и подходов к решению ГГЗ с включением ранее неиспользованных работ Лежандра, Ориани и Баховена, меняющий не только авторство способов решения задач, но и ведущий к переоценке научных достижений в этой области.

2. Доказано, что повышение эффективности и точности решения ГТЗ на поверхности эллипсоида обусловлено очень малой величиной сжатия, составляющей 0,003 в относительной мере, и достигается только математическими моделями, построенными в форме рядов, с использованием закономерностей сферической тригонометрии.

3. Предложен метод вывода оптимальных формул в форме рядов Тейлора с поправочными членами сфероидического вида путем преобразования обобщенных разложений Лежандра по закономерностям сферических треугольников. Получены математические модели с улучшенной сходимостью для решения прямой и обратной геодезических задач на малые расстояния. Универсальность этого метода заключается в возможностях его использования для упрощения закономерностей геодезического изображения эллипсоида на шаре и закономерностей картографических проекций эллипсоида на плоскость.

4. Разработан метод исследований ДУГЛ и вывода формул в форме рядов Фурье для решения ГГЗ на большие расстояния. Коэффициенты в этих разложениях представлены по степеням параметра сжатия, что увеличивает скорость сходимости рядов. Построена математическая модель разложения обобщенного эллиптического интеграла с общим членом в замкнутой форме, объединяющая

в себе формулы не только для вычисления длин геодезических линий, выведенные разными авторами способами Лежандра и Баховена, но и для вычисления кривых, образуемых локсодромой, нормальным и геоцентрическим сечениями.

Для определения долготы предложена усовершенствованная математическая модель с точными выражениями постоянных величин Р,, упрощающих ее структуру и процесс вычислений.

5. На основе разложения обобщенного эллиптического интеграла обоснована эффективность вывода математических моделей решения ГГЗ по способу Лежандра и получены формулы в степенной форме для вычисления длины геодезической линии 5 и длины дуги на сфере а, вычислительные операции по которым осуществляются без введения вспомогательных коэффициентов с параметром к, и без фиксации промежуточных результатов.

Аналогичным способом выведены три варианта моделей для решения ОГЗ, один из которых используется при больших расстояниях, а два - при предельных. По этим формулам длина геодезической линии определяется итерациями с погрешностью ДУ < 0,1 мм, затрачивая на вычисления одну-две секунды машинного времени.

6. Применение разработанного и обобщенного тригонометрического принципа экономизации разложений эллиптических радикалов и интегралов для упрощения выражений математических моделей решения ГГЗ повышает точность формул, не увеличивая объема вычислительных операций. Этот метод можно использовать и для экономизации рядов с двумя переменными, которые нашли широкое применение в геодезии.

Погрешность отрезка ряда уменьшается путем преобразования его к дробно-рациональному виду предложенным методом геометрической прогрессии и реализованным на упрощениях математических моделей решения ГГЗ. Исследования альтернативных решений путем представления эллиптических радикалов в дробно-рациональном виде, с использованием функций Якоби, картографических проекций и численных методов не привели к новым, более эффективным решениям по сравнению с полученным в форме рядов.

7. Усовершенствованы математические модели решения ГГЗ в пространстве с помощью выведенной неитеративной формулы для вычисления геодезической широты с высокой точностью и предложенными формулами преобразования геодезических и полярных топоцентрических координат.

Эффективность решения ГГЗ на поверхностях шара, эллипсоида и в пространстве повышается предложенным методом вывода формул в функциях тангенса половинного аргумента. В этом случае обеспечивается числовая стабильность вычислительных операций с наименьшим числом десятичных разрядов, а по значениям тригонометрических функций аргументы определяются без дополнительных исследований по установлению их квадрантов.

Таким образом, цель диссертационной работы и поставленные задачи реализованы. Эффективность и точность разработанных математических моделей решения ГГЗ иллюстрируется и подтверждается численными взаимно обрат-

ными решениями прямой и обратной геодезических задач, которые приведены в Приложениях диссертации.

Теоретические и практические аспекты результатов диссертации могут найти свое применение при решениях фундаментальных, перспективных и специальных задач, перечисленных в актуальности темы исследований, а также в задачах вычислительной и прикладной математики.

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ, В КОТОРЫХ ОПУБЛИКОВАНЫ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

1. Медведев, П.А. Решение обратной геодезической задачи на большие расстояния по формулам со средней широтой и средним азимутом / П.А. Медведев // Науч. тр. Ом. с.-х. ин-та. - Омск, 1971. - Т. 80. - С. 66-75.

2. Медведев, П.А. О точности решения обратной геодезической задачи по формулам со средней широтой и средним азимутом / П.А. Медведев // Землеустройство, планировка сельских населенных пунктов и геодезия: сб. науч. тр. / Белорус, с.-х. акад. - Горки, 1972. - Т. 86. - С. 238-244.

3. Медведев, П.А. Развитие формул В.П. Морозова со средними аргументами /П.А. Медведев//Науч. тр. Ом. с.-х. ин-та. - Омск, 1972.-Т. 80.-С. 186-189.

4. Медведев, П.А. Применение рядов со средней широтой и средним азимутом при выводе формул для решения обратной геодезической задачи / П. А. Медведев // Науч. тр. Ом. с.-х. ин-та. - Омск, 1972. - Т. 90. - С. 8-9.

5. Медведев, П.А. Исследование точности формул со средними аргументами К. Губения / П.А. Медведев // Науч. тр. Ом. с.-х. ин-та. - Омск, 1972. -Т. 105. - С. 64-69.

6. Медведев, П.А. Преобразование формул для решения обратной геодезической задачи к сфероидическим аргументам / П.А. Медведев // Науч. тр. Ом. с.-х. ин-та. - Омск, 1974. - Т. 120. - С. 3-8.

7. Медведев, П.А. Решение главной геодезической задачи с применением метода проектирования, предложенного Н.С. Боголюбовой / П.А. Медведев, A.A. Мурашов // Проблемы строительства в нефтегазоносных районах Тюменской области: науч. тр. Тюм. индустр. ин-та. - Тюмень, 1974. - Вып. 29. -С. 169-273.

8. Медведев, П.А. Улучшение сходимости рядов со средними аргументами для решения прямой геодезической задачи / П.А. Медведев // Науч. тр. Ом. с. х. ин-та. - Омск, 1975. - Т. 132. - С. 51-55.

9. Медведев, П.А. Исследование точности формул со средними аргументами для решения прямой геодезической задачи / П.А. Медведев // Науч. тр. Ом. с.-х. ин-та. - Омск, 1976. - Т. 154. - С. 56-60.

10. Медведев, П.А. Об эквивалентности формул со средними аргументами для решения обратной геодезической задачи / П.А. Медведев // Науч. тр. Ом. с.-х. ин-та. - Омск, 1978. - Т. 176. - С. 69-76.

11. Медведев, П.А. Совершенствование формул со средними аргументами для решения главной геодезической задачи / П. А. Медведев // Прикладная геодезия в сельском хозяйстве: сб. тр. / Ом. с.-х. ин-т. - Омск, 1979. - С. 20-25.

12. Медведев, П.А. Формулы для вычисления синусов окончательных результатов решения прямой геодезической задачи / П.А. Медведев // Исследование точности и математическая обработка сетей сгущения: сб. тр. / Ом. с.-х. ин-т.-Омск, 1981.-С. 38-41.

13. Медведев, П.А. Вывод формул со средними аргументами для решения обратной геодезической задачи / П.А. Медведев // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1984. - № 5. - С. 20-27.

14. Медведев, П.А. Замечания к статье о решении прямой геодезической задачи на любые расстояния / П.А. Медведев // Геодезия, картография и аэрофотосъемка: респ. межвед. науч.-техн. сб. - Львов, 1984. - Вып. 39. - С. 49-51.

15. Медведев, П.А. Формулы с улучшенной сходимостью для решения главных геодезических задач / П.А. Медведев // Геодезия и картография. -1985.-№ 1.-С. 14-16.

16. Медведев, П.А. О некоторых способах решения прямой и обратной геодезической задачи в функциях начальных аргументов / П.А. Медведев // Геодезия, картография и аэрофотосъемка: респ. межвед. науч.-техн. сб. - Львов, 1990.-Вып. 52.-С. 42-46.

17. Медведев, П.А. Способ Бесселя или Ориани? / П.А. Медведев // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1993. - № 1, 2. - С. 11-24.

18. Медведев, П.А. Определение широты точки способом решения алгебраического уравнения / П.А. Медведев // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка,-1993.-№4.-С. 66-72.

19. Медведев, П.А. Исследование рекуррентных формул для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат к геодезическим / П.А. Медведев // Геодезия и картография. - 1994. - № 6. - С. 8-14.

20. Медведев, П.А. Вычисление широты методом хорд при преобразованиях пространственных прямоугольных координат к геодезическим / П.А. Медведев // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1994. - № 5. - С. 25-34.

21. Медведев, П.А. Исследование рекуррентных формул для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат к геодезическим / П.А. Медведев // Геодезия и картография. - 1994. - № 7. - С. 8-12.

22. Медведев, П.А. Исследование рекуррентных формул для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат к геодезическим / П.А. Медведев // Геодезия и картография. - 1994. — № 8. - С. 4—9.

23. Медведев, П.А. Вычисление широты методом касательных при переходе от пространственных прямоугольных координат к геодезическим / П.А. Медведев // Геодезия и картография. - 1995. - № 12. - С. 4-6.

24. Медведев, П.А. О соответствиях между погрешностями аргумента и тригонометрических функций / П.А. Медведев // Геодезия и картография. -1997. -№12.-С. 7-14.

25. Медведев, П.А. Анализ преобразований пространственных прямоугольных координат в геодезические: монография / П.А. Медведев. - Омск: Изд-во ОмГАУ, 2000. - 104 с.

26. Медведев, П.А. Решение прямой геодезической задачи по способу Ле-жандра / П.А. Медведев // Земельные ресурсы Сибири: изучение, управление, реформирование: сб. тр. / Ом. гос. аграр. ун-т. - Омск, 2002. - С. 203-213.

27. Медведев, П.А. Решение обратной геодезической задачи на сфероиде при антиподном расположении точек на вспомогательной сфере / П.А. Медведев // Геодезия и картография. - 2008. - № 10. - С. 24—26.

28. Медведев, П.А. Вычисление длины дуги меридиана методом проективной геометрии / П.А. Медведев, А.П. Макаров // Геодезия и картография. -2008. -№ 11.-С. 16-23.

29. Медведев, П.А. Вычисление эллиптических интегралов с помощью дробно-рациональных приближений / П.А. Медведев // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2008. - № 2. - С. 66-81.

30. Медведев, П.А. Определение погрешностей геодезической высоты, широты и долготы аналитическими методами / П.А. Медведев // Геодезия и картография. - 2009. - № 1. - С. 25-27.

Содержание диссертации, доктора технических наук, Медведев, Павел Александрович

Введение.

1 Теория и методология повышения эффективности решения главных геодезических задач на поверхности эллипсоида при малых расстояниях. ^

1.1 Теоретическое обоснование и совершенствование методов вывода формул решения главных геодезических задач без использования поверхности вспомогательной сферы.

1.1.1 Анализ рядов Лежандра в функциях начальных аргументов.

1.1.2 Метод вывода формул Гаусса преобразованием рядов Лежандра.

1.1.3 Методология вывода формул способом вспомогательной точки с помощью рядов Лежандра.

1.1.4 Теоретические исследования и методы вывода формул решения прямой геодезической задачи по способу Шрейбера.

1.2 Структурно-функциональный принцип построения математических моделей и методы решения геодезических задач с использованием вспомогательной сферы.

1.2.1 Принцип Эйлера решения полярных сфероидических треугольников.

1.2.2 Анализ и совершенствование математической модели Крюгера решения прямой геодезической задачи.

1.2.3 Методы построения математических моделей решения обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами.

1.3 Теория и методология вывода оптимальных формул с улучшенной сходимостью для прямого решения главных геодезических задач.

1.3.1 Теоретическое обоснование и методы выделения из разложений сферических величин.

1.3.2 Методология вывода формул эффективного решения прямой геодезической задачи преобразованием обобщенных разложений Лежандра и их сравнительный анализ.

1.3.3 Методы вывода формул эффективного решения обратной геодезической задачи преобразованием разложений со средними аргументами.

1.4 Совершенствование метода исследования точности формул со средними аргументами.

1.4.1 Вывод общих закономерностей для вычисления погрешностей.

1.4.2 Сравнительный анализ формул по точности.

2 Развитие теории и разработка методов построения обобщенных математических моделей решения дифференциальных уравнений геодезической линии интегрированием их аппроксимаций, . представленных в форме рядов.

2.1 Теория и методика исследования дифференциальных уравнений геодезической линии, полученных на основе теоремы Клеро, их геометрическая интерпретация.

2.1.1 Методы преобразования дифференциальных уравнений геодезической линии

2.1.2 Вывод закономерностей между элементами сферических треугольников Лежандра и Баховена.

2.1.3 Теоретическое обоснование выбора переменной интегрирования.

2.2 Теоретические исследования и разработка математической модели обобщенного эллиптического интеграла для вычисления длины геодезической линии и ее приложения.

2.2.1 Структурные и функциональные особенности биноминальных рядов, используемых в сфероидической геодезии.

2.2.2 Обоснование и . построение математической модели обобщенного эллиптического интеграла для вычисления длины геодезической линии.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Теория и методология повышения эффективности и точности решения главных геодезических задач на поверхности эллипсоида и в пространстве"

Актуальность темы. В настоящее время для решения основной задачи геодезии по изучению фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля применяются астрономо-геодезический, гравиметрический и космический методы, дополняющие и контролирующие друг друга.

Федеральным законом «О геодезии и картографии» планируется [1-3] создание геодезической сети на качественно новом, более высоком уровне точности, обеспечивающем решение фундаментальных и- перспективных задач в области геодезии, геофизики, геодинамики, космонавтики, экономики и обороноспособности РФ [4,5].

Так как за математическую модель Земли принимается эллипсоид вращения, то его параметры и координатная поверхность в явном или неявном видах используется при математической обработке всех видов измерений. Классическая-редукционная задача по приведению выполненных измерений к поверхности сфероида'решается [6-8]: при построении сетей с помощью хорд эллипсоида; при обработке спутниковых измерений с целью вычисления наклонных расстояний между пунктами базиса; при редуцировании наклонной дальности, измереннойот спутника до объекта, для решения комбинированных засечек.

Проблема определения» взаимного положения двух точек на эллипсоиде вращения, на поверхности Земли и в околоземном пространстве, получившая название «решения главных геодезических задач» (ГГЗ), являясь глобальной по своему назначению, под влиянием научно-технического прогресса меняет только аспекты своего решения, оставаясь актуальной длительный период времени. Формулы решения прямой геодезической задачи (ПГЗ) и-обратной геодезической задачи (ОГЗ) между точками на физической поверхности Земли и в околоземном пространстве применяются: при обработке пространственных геодезических сетей; при решениях разнообразных геодезических засечек; для определения уклонения отвесной линии по ОРЭ-измерениям [6, 8-10].

В связи с освоением шельфа и богатств Мирового океана широкое распространение при геодезическом обеспечении работ получили наземные навигационные и радионавигационные системы (типа Лоран, Омега, Селедис). С их применением координаты объектов, определяются засечками (азимутальной,- линейной; гиперболической), использующими- формулы решения ПГЗ и ОГЗ на поверхности-эллипсоида. Точность этих> результатов существенно, повышается при совместной обработке наземных радиогеодезических и спутниковых измерений- [8]. Решения ГГЗ на поверхности эллипсоида выполняются: для уточнения фундаментальных параметров земного эллипсоида; при. установлении единой^ координатной системы; при ориентировке референц-эллипсоида; при уравнивании-геодезических сетей сгущения;-при исследованиях горизонтальных движений земной коры; при определениях уклонения отвесной линии на морской поверхности по альтиметрическим измерениям; при подготовке высокоточных маршрутов движения морских судов и воздушных объектов, при запусках ракет и ИСЗ, в целях слежения за управляемыми,ракетами; для определения промежуточных точек геодезической линии.

Теория определения взаимного положения точек на поверхности эллипсоида разработана Эйлером Л. еще в 1753 г. Выведенные им дифференциальные уравнения геодезической линии (ДУГЛ) составили теоретическую основу построения математических моделей решения1 ГГЗ. Так как интегралы этих уравнений» не выражаются в конечном' виде через элементарные функции, то для приближенных решений применяют различные методы аппроксимации первообразных.

В течение более двух столетий, начиная с Эйлера Л., Лежандра А.,

Ориани Б., как отечественными, так и зарубежными учеными разработано значительное количество способов решения ГГЗ. Методика построения и практическая реализация математических моделей решения ГГЗ всегда

10 определялись уровнем развития вычислительной техники, а их точность обусловливалась дорогостоящими технологиями производства геодезических работ. Для исключения вычислительных погрешностей к выводимым формулам предъявляется требование, чтобы точность определяемой по ним величины была на один-два порядка выше точности, вызванной погрешностями измерений.

Вопрос решения геодезических задач был предметом специального рассмотрения на.Генеральной Ассамблее Международного союза геодезии и геофизики в-Торонто [11]. Общий .вывод о том, что для каждого конкретного случая следует выбирать соответствующие формулы, был, безусловно, верным при ручных способах счета. При» использовании современной вычислительной« техники в арсенале практических приложений должно остаться- наименьшее число наиболее универсальных методов. Было бы идеальным, при любых расстояниях и с любой точностью решать задачи-одним способом. Но, ввиду большого спектра приложений» решения* ГГЗ и значительного отличия решений по эффективности, используются разные методы построения их моделей при больших и малых расстояниях.

При малых 1 расстояниях приближенные методы решения ДУГ Л представляются, в основном, вс форме отрезка ряда- Тейлора. Внедрение в геодезическое производство* радиоэлектронных средств в комплексе с ЭВМ способствовало разработке теоретических вопросов решения' ГГЗ с привлечением нового математического аппарата, исходя из проблемы больших расстояний. Для решения ДУГЛ, кроме разложения в ряд Фурье, стали применять численные методы, аппроксимации с помощью рациональных дробей, полиномов Чебышева, методом экономизации.

Повысились требования к общности решений [15, с. 3; 16], к их временным затратам [15; 17, с. 135; 18]. Так как время является универсальным показателем эффективности любого труда, то эффективность решения задач обеспечивается формулами, которые при любых средствах вычислений [17] требуют наименьших временных затрат [19, с. 75]. Однако, универсальным

11 математическим методом вычислений присущ общий недостаток: они мало учитывают свойства отдельно взятой задачи. Поэтому при выборе метода нужно теоретически обосновать возможность его использования. Следует учитывать, что погрешности, методов решения задач устанавливаются при условии, что исходные данные являются точными. Поэтому решения, приводящие к выполнению большого числа действий - с приближенными числами, образуют проблему обоснования достоверности полученного результата. Эти* положения« не учитывались: при» решениях ДУГ Л' методом. Рунге-Кутта и его модификациями; которые получили . широкое распространение в практике геодезических вычислений; в методе решения ОГЗ способом определения промежуточной точки.

Развитие спутниковых технологий [7, 12] позволило- реализовать миллиметровый уровень точности при измерениях до тысячи и более километров [7, с. 4]. А это потребовало не только уточнения параметров'и модернизации действующих в России систем координат [13], но и пересмотра теории, фигуры и гравитационного поля Земли при повышении точности выводов [14]. В связи с повышением точности измерений возникла необходимость в проведении специальных теоретических и методологических исследований-по анализу и систематизации разработанных способов решения- ГГЗ, обоснованию, и развитию эффективных высокоточных методов их решения, на поверхности эллипсоида и- в пространстве с использованием современной'вычислительной техники.

Внедрение компьютерной техники увеличило скорость вычислительных процессов, но не исключило влияния на точность результатов неустранимых погрешностей, вызванных неточностью исходных данных при большом объеме вычислительных операций. Разработанные в последние десятилетия простые и компактные формулы решения ГГЗ не соответствуют по точности миллиметровым погрешностям измерений.

Необходимость получения более простых моделей решения ГГЗ с высокой точностью обусловлена как востребованностью в производственных

12 вычислительных процессах, так и их методическим значением в процессе обучения студентов-и аспирантов по геодезическим специальностям. Кроме этого, существующие обзоры по* решению ГГЗ не носят объективного и целостного подхода в связи с исключением из анализа публикаций Лежандра и Баховена, предложивших способы-решения1 задач, известные в литературе под именами Бесселя и Мак-Коу. Не.рассматриваются исследования Ориани, составившего полную сфероидическую» тригонометрию, и разработавшего методы решенияГГЗ.

Объект исследования — теория и методы определения взаимного положения- точек на поверхности эллипсоида, физической- поверхности Земли и в околоземном пространстве.

Предмет исследования — теоретическое обоснование и систематизация разных принципов- и* подходов к решению» ГГЗ; разработка, методики сравнительного анализа* математических моделей; решения- ДУГЛ по кратчайшей линии; развитие теории и разработка методологии совершенствования известных, построения новых математических моделей эффективного решения ГГЗ на поверхности эллипсоида и в* пространстве с использованием современной вычислительной техники.

Цель исследования — совершенствование и. разработка оптимальных математических моделей решения* ГГЗ на. поверхности эллипсоида и в пространстве, обеспечивающих точность результатов на один-два порядка выше точности, обусловленной миллиметровыми погрешностями измерений.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи

1. Теоретически обосновать и усовершенствовать методологию вывода формул решения геодезических задач на малые расстояния- путем преобразований разложений Лежандра без использования поверхности вспомогательной сферы. Разработать, теорию и метод построения математических моделей и вывода на их основе формул с улучшенной сходимостью для эффективного решения ГГЗ. Исследовать точность формул со средними аргументами, используя- принцип остаточных членов. 13

2. Развить теорию и разработать метод исследований ДУГЛ, полученных с помощью теоремы Клеро. Выполнить теоретические исследования, применяемых в сфероидической геодезии биномиальных функций, и построить математическую модель обобщенного эллиптического интеграла для вычисления длины геодезической линии. На основе paзлoжeниЯí обобщенного эллиптического-интеграла в ряд с общим членом в замкнутой^форме, провести классификацию формул по точности, структуре и способам их вывода. Установить перспективные направления исследований, приводящие к повышению эффективности и точности решениягГГЗ. Создать обобщенную математическую модель для« вычисления» геодезической долготы и выполнить ее анализ.

3. Разработать теоретические основы и методы совершенствования известных и вывода новых математических моделей* решения.ГТЗ с высокой точностью на поверхностях эллипсоида и шара на большие расстояния. Выведенные математические модели в виде системы формул, приводящие к эффективному решению задач, удовлетворяют следующим требованиям: имеют логически обоснованную структуру с простой оценкой их достоверности и ясной геометрической интерпретацией; содержат компактные выражения, приведенные к удобному для вычислений виду, с наименьшим числом операций и промежуточных результатов; по значениям тригонометрических функций определяют аргументы без дополнительных исследований по' установлению их квадрантов; обеспечивают взаимно однозначное соответствие по точности при решениях прямой и обратной геодезических задач; являются удобными для проведения дальнейших теоретических исследований и аналитического решения смежных задач.

4. Выполнить анализ решений ГГЗ, полученных численными методами, с помощью дробно-рациональных приближений, применением функций Якоби. Теоретически исследовать процесс экономизации степенных рядов на основе тождества, выражающего косинусы кратных аргументов через степени косинуса аргумента. Развить теорию и разработать

14 обобщенный метод экономизацни, используемых в сфероидической геодезии разложений эллиптических радикалов и интегралов, без применения полиномов Чебышева. Преобразовать формулы решения ГГЗ.

5. Усовершенствовать математические модели решения ГГЗ в пространстве. Для этого разработать теорию и метод отделения корня трансцендентного уравнения для вычисления широты при переходе от пространственных прямоугольных координат Х,У,2 к геодезическим В, Ь, Н .Используя принцип, отделения корня, вывести разными способами формулы вычисления широты и закономерности для оценки ее погрешностей по итерациям. Обосновать метод дальнейшего сужения промежутка изоляции корня и вывести неитеративную формулу для> определения широты с высокой точностью.

Методы исследований. Теоретическую ■ основу исследований составили работы Лежандра, Ориани, Баховена и Беспалова с использованием разработок по сфероидической геодезии других авторов. Решение поставленных задач базировалось на методах математического моделирования, анализа и синтеза, сравнения, аналогий, обобщений и оценок с привлечением теории рядов, численных методов, математического анализа, аппарата цепных дробей; функций. Якоби, полиномов Чебышева, аналитической и дифференциальной геометрии, высшей алгебры, теории погрешностей, дифференциальных уравнений и комбинаторики.

На защиту выносятся

Информация о работе

Медведев, Павел Александрович
доктора технических наук
Омск, 2010
ВАК 25.00.32

Диссертация

Теория и методология повышения эффективности и точности решения главных геодезических задач на поверхности эллипсоида и в пространстве - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы