Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Методология определения площадей территорий на поверхностях эллипсоидов с изменяемыми параметрами

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Методология определения площадей территорий на поверхностях эллипсоидов с изменяемыми параметрами"

9 15-5/507

На правах рукописи

ВИНОГРАДОВ Аркадий Васильевич

МЕТОДОЛОГИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ТЕРРИТОРИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ЭЛЛИПСОИДОВ С ИЗМЕНЯЕМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 25.00.32 - Геодезия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ -2015

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный аграрный университет им. П.А. Столыпина» и Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия»

Научный консультант

доктор технических наук, профессор

Столбов Юрий Викторович

Официальные оппоненты:

Кузнецов Эдуард Дмитриевич доктор физико-математических наук, доцент, ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина», кафедра астрономии и геодезии, заведующий кафедрой

Маркузе Юрий Исидорович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет геодезии и картографии», кафедра геодезии, профессор

Подшивалов Владимир Павлович доктор технических наук, профессор, Белорусский национальный технический университет, кафедра «Инженерная геодезия», заведующий кафедрой

Ведущая организация - ФГБОУ ВПО «Государственный университет по землеустройству»

Защита диссертации состоится 22 октября 2015 г. в 14час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.224.08 при Национальном минерально-сырьевом университете «Горный» по адресу: 199106, Санкт-Петербург, 21-я линия, дом 2, ауд. 1171а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального минерально-сырьевого университета «Горный» и на сайте www.spmi.ru

Автореферат разослан 17июля 2015 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СКАЧКОВА

диссертационного совета МАРИЯ ЕВГЕНЬЕВНА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Решение задач по эффективному управлению промышленными и социальными объектами зависит от качества геодезического информационного обеспечения территорий. Достоверность наиболее важной информации - положение территории в пространстве и её геометрические размеры (площадь), зависит от точности полевых измерений, методов математической обработки и принятой системы отсчёта, в том числе параметров эллипсоида. В соответствии с требованиями нормативных документов площадь в правоустанавливающих и иных документах должна иметь одно и то же значение, погрешность которого не должна превышать 5 м2 для земель населенных пунктов при площади до 5000 м2, и 50 м2 для остальных категорий земель. Окончательное значение площади записывается в правоустанавливающие документы в квадратных метрах с округлением до 1 м2. Следовательно, погрешность вычисления площади участка не должна превышать 0,3 м 2. Существующие технологии не обеспечивают такую точность из-за больших искажений при проектировании эллипсоида на плоскость. Нет единой методологии вычисления площадей территорий. В организациях применяют различные программные продукты и географические информационные системы (ГИС), результаты обработки измерений представляют заказчику в разных системах координат. В результате площади одних и тех же участков различаются значительно больше, чем установлено руководящими техническими материалами (РТМ).

Решением задач по повышению точности вычисления и преобразования координат, выбору поверхностей проектирования, выводу необходимых математических формул занимались многие ученые, как в России, так и за рубежом. В работах Г. В. Багратуни, В. В. Войкова, А. В. Буткевича, А. М. Вировца, В. В. Витковского, А. П. Герасимова, А. В. Траура, А. А. Дражнюка, П. С. Закатова, В. Иордана, В. В. Каврайского, Ф. Н. Красовского, К. Ланцоша, Н. Л. Макаренко, М. М. Машимова, В. П. Морозова, А. А. Павлова, В. П. Савиных, Б. Б. Серапинаса, М. Д. Соловьёва, С. Г. Судакова, М. С. Урмаева, Р. В. Хемминга, П. А. Ходоровича, В. К. Христова, М. И. Юркиной и многих других учёных рассмотрены и решены задачи сфероидиче-

ской геодезии, проектирования эллипсоида на поверхность сферы или плоскость и математической обработке измерений.

Проблемами геодезического обеспечения территорий, вычисления площади участков на различных поверхностях, оценки точности, ведения государственного кадастра недвижимости занимались Ю. Г. Батраков, М. Я. Брынь, В. А. Бывшее, Н. М. Волков, А. В. Маслов, М. Ю. Маркузе, Ю. К. Неумывакин, А. Н. Савич, У. Д. Самратов, Б. Я. Швейцер и другие учёные.

Актуальность диссертационной работы связана с необходимостью обоснования и разработки методологии определения площади территории в едином координатном пространстве, как на поверхности эллипсоида, так и учётом её пространственного положения.

Степень разработанности проблемы характеризуется большим количеством различных способов вычисления площади локальных объектов на плоскости и, как правило, в одной проекции и зоне. Применение другой, более сложной поверхности - эллипсоида для обработки обширных территорий в едином координатном пространстве сдерживается отсутствием математического аппарата и методов вычисления площадей с высокой точностью. В настоящее время отмечается разобщенность исследований, отсутствие научно обоснованных решений и математически строгих способов определения площадей территорий. Следовательно, необходимо выполнить анализ существующих способов обработки информации и разработать новые методы и математический аппарат, позволяющие просто, надежно и эффективно решить поставленные задачи.

Цель работы - обоснование методологии достоверного определения площадей территорий на поверхностях эллипсоидов с изменяемыми параметрами в едином координатном пространстве с учётом современных требований к геодезическому информационному обеспечению.

Для достижения заданной цели были решены следующие основные задачи:

1) на основе выполненного аналитического обзора и анализа отечественных и зарубежных научно-исследовательских работ, нормативно-технических документов и результатов проведённых экспериментальных работ предложены способы:

- повышения точности преобразования координат из одной системы координат в другую и реконструкции существующих и установления новых местных систем координат (МСК) в проекции Гаусса;

- уменьшения погрешностей вычисления площади участка на различных поверхностях;

- вычисления площади участка на поверхностях эллипсоида с заданными параметрами и шара, полученного при эквивалентном и конформном проектировании эллипсоида на шар в соответствии с требованиями к геодезическому обеспечению территорий;

2) доказано теоретически и подтверждено экспериментально, что качество геодезического обеспечения территорий повышается при введении единой отсчётной поверхности (эллипсоида) и общей системы координат, для чего предложены:

- метод вычисления определённого интеграла и способ деления геодезической линии на эллипсоиде на равные дуги;

- пространственная геодезическая системы координат и эллипсоид с изменяемыми параметрами. Площади выражаются в геодезической систем координат телесным углом и на поверхности эллипсоида в метрической мере;

3) разработаны методы вычисления площадей территорий, в которых погрешности вычисления площади на порядок меньше влияния погрешностей измерений. Достоверность методов подтверждается:

- сравнением результатов вычислений длин дуг, в том числе дуги меридиана, и площадей сегментов кривых второго, третьего и четвёртого порядков с результатами, полученными другими способами;

- получением взаимно однозначного соответствия со способами Симпсона и Ньютона - Котеса;

- аналитическими выводами формул способом разложения функции в степенной ряд и оценкой точности полученного результата;

4) практическая реализация методов выполнена в виде алгоритмов и программного обеспечения для вычисления площади на поверхностях эллипсоида и шара, полученного при эквивалентном и конформном проектировании на него эллипсоида.

Объектом исследований являются методы вычисления площадей, их изменения в зависимости от применяемых способов, систем координат и исходных поверхностей проектирования.

Предметом исследований является методы и способы, повышающие точность определения площади с учётом простоты и надёжности решения при минимальных затратах.

Теоретическая и методологическая база исследований основана на, системно-структурном подходе и системном анализе, математической теории, математическом моделировании и программировании, способах ортогонального, конформного и эквивалентного проектирования одной поверхности на другую и современных основах геодезии и спутниковых технологий.

Методы исследования^ Использованы методы математического и статистического моделирования, численные методы математического анализа и операционного исчисления, методы сфероидической геодезии и математической картографии, теории эквивалентного и конформного преобразований, результаты геодезических измерений.

При решении поставленных в диссертации задач и проведении вычислительных экспериментов применялись современные компьютеры и программное обеспечение. Моделирование пространственных геодезических объектов и данных, их математическая обработка и оценка точности выполнялись по авторским программам.

Для проверки теоретических положений, алгоритмов, программного обеспечения использовались смоделированные автором данные и результаты производственных и экспериментальных работ.

Научная новизна исследований:

1) с целью повышения точности преобразования координат из одной системы координат в другую разработаны рекомендации по созданию новых и реконструкции существующих МСК;

2) на основе современных требований к геодезическому обеспечению территорий проведена систематизация различных способов вычисления площадей участков и оценка точности. Обоснована необходимость вычисления площадей по единой методологии и на одной отсчётной поверхности с учётом пространственного положения каждого участка;

3) разработанные способы вычисления площади на поверхностях эллипсоидов с заданными параметрами и на поверхности шара, построенного по способу эквивалентного проектирования, повысили точность вычислений;

4) повышение точности достигается применением:

- нового метода решения определённого интеграла, основанного на многократном делении на равные интервалы самой интегрируемой функции с увеличением числа интервалов в геометрической прогрессии и получением окончательного результата с учётом числа делений и знаменателя прогрессии;

- разработанного способа деления геодезической линии на поверхности эллипсоида на четыре равных интервала;

5) с целью дифференцированного подхода к каждому участку его площадь определяется величиной телесного угла в пространственной геодезической системе координат и в метрической мере на поверхностях эллипсоидов с заданными параметрами.

Теоретическая значимость работы заключается в методологическом и математическом обосновании определения площади территорий любой формы и размеров на эллипсоиде с заданными параметрами. Для этих целей обосновано введение пространственной криволинейной системы координат и выражение площади величиной телесного угла, разработаны способы вычисления двойного интеграла, деления геодезической линии на эллипсоиде на равные интервалы и вычисления малой полуоси нового эллипсоида в зависимости от абсолютной высоты объекта. Исследования проведены в соответствии с планом научно-исследовательских работ по теме НИР Омского государственного аграрного университета: «Разработка технологии учёта методологических ошибок определения площадей больших территорий при создании ГИС», регистрационный № 01.2002. 08911, период - с 2002 г. по 2007 г.

Научные положения, выносимые на защиту:

1) погрешности преобразования координат пунктов из МСК в ГСК и обратно зависят от расположения начала координат МСК относительно её осевого меридиана, что должно учитываться при установлении или реконструкции систем координат;

2) из анализа искажений площади, возникающих при проектировании территорий на различные поверхности, установлено, что при выборе поверхности начального эллипсоида получаем минимальные искажения;

3) повышение точности вычисление площади территории на поверхности эллипсоида основывается на новом методе вычисления определённого интеграла и способе деления геодезической линии на равные интервалы;

4) единую информационную базу данных РФ необходимо создавать на основе технологии совместного применения пространственной геодезической системы координат и эллипсоида с изменяемыми параметрами. Площади территорий в этой базе следует выражать в геодезической системе координат величиной телесного угла в стерадианах, и на эллипсоиде с заданными параметрами - в метрической мере.

Практическая значимость работы. С учётом результатов преобразования координат из одной системы в другую даны рекомендации по повышению точности преобразования координат и по выбору начальных параметров при установлении МСК.

На основе анализа погрешностей вычисления площадей произведена объективная оценка применяемых способов и предложены новые, по которым получены более точные результаты.

Разработанные методы вычисления площадей участков на поверхности эллипсоида или эквивалентного шара повышают качество геодезического обеспечения территорий, упрощают ведение единой информационной базы данных. Предложенные методы математически обоснованы и, следовательно, дают возможность получать результаты с высокой точностью.

Разработанный метод вычисления двойного интеграла позволяет с нужной точностью решать задачи по определению площадей участков местности, и его можно применять при решении некоторых функций, для которых трудно найти первообразную. В этом случае решение по предлагаемому методу может оказаться достаточно простым, эффективным, а в ряде случаев - единственным.

Для вычисления площади на поверхности эллипсоида и на поверхности эквивалентного шара разработаны алгоритмы, составлены и полностью отлажены программы, апробированные в условиях производства. В программах предусмотрен выбор эллипсоида с заданными параметрами.

Реализация основных результатов работы. Практическая реализация ряда разработок осуществлялась при выполнении хоздоговорных

работ с Западно-Сибирским филиалом ФГУП «Госземкадастрсъёмка» - «ВИСХАГИ». Работы выполнены по заказам департаментов управления Роснедвижимостью, комитетов по земельным ресурсам и землеустройству, ОАО «Газпром», ООО «Газпромтрансгаз».

Разработанные методы нашли применение в производственных работах Омского филиала ФГУП «Федеральный кадастровый центр „Земля"» («ФКЦ „Земля"»), ОАО «Омского треста инженерно-строительных изысканий».

Личный вклад автора заключается: в формулировке проблемы, постановке цели и задач, в обосновании и выборе направления исследований, разработке теоретических положений и методов, алгоритмов и их реализации на электронных носителях в виде различных программ, в постановке и проведении экспериментов и обобщении аналитических и практических результатов, оценке эффективности предлагаемых решений, апробации и внедрении новых технологий в производственные организации и обучении персонала.

Апробация работы и публикации. Основные результаты исследований, изложенные в диссертации, докладывались, обсуждались и были одобрены на международных научно-технических конференциях Омского государственного аграрного университета (ОмГАУ); Сибирской автомобильно-дорожной академии (СибАДИ); Сибирской государственной геодезической академии (СГГА), на международных научных конгрессах г. Новосибирск, СГГА. Всего было сделано 12 докладов.

Результаты разработок используются в учебном процессе ОмГАУ при написании выпускных квалификационных работ и в учебном процессе ИДПО ОмГАУ.

Основное содержание диссертации отражено в 28-ми научных работах, 14 из которых опубликованы в реферируемых изданиях, определённых ВАК Минобрнауки РФ (3 в соавторстве) и 14 (5 в соавторстве) - в других различных изданиях.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, списка используемых источников из 176 отечественных и 27 зарубежных работ авторов. Работа оформлена на 243 страницах, включая 27 рисунков, 32 таблицы и 7 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, поставлены цель и задачи, определены объекты и методы исследований, сформулированы научные положения, выносимые на защиту, приведены сведения о реализации диссертационных разработок.

В первой главе рассмотрены факторы, влияющие на точность определения площади. Выполнен обзор систем координат и рассмотрены способы преобразования координат. Даны рекомендации по уменьшению погрешностей преобразования. Предложен способ установления новых и реконструкции существующих МСК. Выполнен анализ способов и точности получения площадей участков в проекции Гаусса и в некоторых ГИС.

Во второй главе разработаны способы получения площади на поверхностях шара и эллипсоида и исследована точность этих способов. Рассмотрены поверхности шаров, построенных путём эквивалентного и конформного проектирования эллипсоида на шар. Установлено, что необходимо найти более точные методы вычисления площади на этих поверхностях.

В третьей главе разработан метод вычисления двойного интеграла и способ деления геодезической линии на четыре равных интервала. Достоверность разработок подтверждена большим объёмом вычислений, установлением взаимно однозначные соответствия с известными способами и проведением строгие математические выводов. Выведены формулы оценки точности вычисления площади по предложенной методологии. Доказана эффективность применения метода для определения площадей в ЦММ.

В четвёртой главе даны алгоритмы и программное обеспечение разработанного метода вычисления площади и выполнен анализ точности. Обосновано применение пространственной криволинейной (геодезической) системе координат для ведения единой информационной системы на всю территорию страны. Выполнены экспериментальные и производственные исследования предложенной методологии.

В заключении представлены обобщенные выводы по результатам исследований в соответствии с целью и решенными задачами.

ОСНОВНЫЕ ЗАЩИЩАЕМЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Погрешности преобразования координат пунктов из МСК в ГСК и обратно зависят от расположения начала координат МСК относительно её осевого меридиана, что должно учитываться при установлении или реконструкции систем координат.

В настоящее время геодезические организации и предприятия применяют разные системы координат. Камеральную обработку измерений выполняют в ГСК, а для сдачи работ заказчику координаты преобразуют в МСК. При последующих работах с объектом постоянно преобразуют координаты, применяя различные способы и формулы, хотя многие из них не соответствуют современным требованиям.

В диссертации выполнен анализ формул преобразования координат, которые рекомендуются современными РТМ и используются в различных программах и ГИС. На осевом меридиане МСК и широте 50° установлена точка начала координат первой МСК. Затем, на 10' и 20' к востоку и западу от осевого меридиана МСК выбраны четыре начальные точки координат других МСК. От каждой точки начала координат по расстояниям 10, 20, 30 и 50 км и дирекционным углам 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75 и 90° вычислены координаты 28 точек, в пяти МСК - 140 точек. Далее, в шестиградусной зоне при отступлении от её осевого меридиана на 30', Г, Г 30', 2° и 2° 30' и широте 50° выбраны начала координат пяти точек. От каждой из пяти точек, отступив к востоку и западу на 10' и 20', выбраны начала координат ещё четырёх (всего 20-ти) точек. От точек начала координат по указанным ранее расстояниям и дирекционным углам вычислены координаты 2100 точек в ГСК на плоскости. Далее координаты этих точек преобразованы из ГСК в МСК и из МСК в ГСК с соблюдением всех требований РТМ. Аналогичные вычисления выполнены на широтах 55° и 60°.

Из проведённых исследований следует, что погрешности преобразования координат из МСК в ГСК и обратно значительно превышают указанные РТМ погрешности в 0,001 м. Погрешности преобразования координат возрастают с увеличением:

- расстояния точек от начала координат МСК;

- несовпадения начала координат МСК с её осевым меридианом;

- разности долгот осевых меридианов ГСК и МСК.

Погрешности составляют 0,02-0,15 м при расстоянии от начала МСК до 10 км, а при 30 км, несовпадении начала координат МСК с её осевым меридианом на 20' и разности долгот осевых меридианов ГСК и МСК более 2° погрешности возрастают до 0,8 м.

Следовательно, применяемые способы установления МСК и рекомендованные РТМ формулы преобразования координат в ряде случаев не обеспечивают необходимой точности. Для уменьшения погрешностей преобразования координат из одной системы в другую необходимо применять формулы конформного проектирования одной поверхности на другую. При установлении новых МСК и реконструкции существующих необходимо начало координат МСК совмещать с её осевым меридианом.

2. Из анализа искажений площади, возникающих при проектировании территорий на различные поверхности, установлено, что при выборе поверхности начального эллипсоида получаем минимальные искажения.

Установлено, что влияние погрешностей измерений на точность вычисления площади в несколько раз меньше систематического искажения площади в проекции Гаусса. Однако эти искажения не учитываются, так как известные формулы вычисления систематических искажений площади не обеспечивают необходимую точность. Нет правил или рекомендаций по вычислению искажений площадей протяженных участков (линейных сооружений), расположенных в нескольких координатных зонах. Предлагается исправлять площадь участков введением поправок за масштаб изображения в проекции Гаусса. Эти рекомендации не решают проблемы, так как неизвестно как учитывать величину участка, его протяжённость и положение относительно осевого и граничных меридианов зоны.

Для повышения точности вычисления площади применим поверхность подобранного шара. Для вычисления площади ЯСф любой фигуры находим широту и долготу каждой поворотной точки / границы. За начало отсчёта примем точку полюса Р (рисунок 1), и вычислим площадь фигуры по предложенной в диссертации формуле:

р

где Л - радиус сферы; Я; - сферическая широта и долгота граничной точки г; и - число граничных точек.

Рисунок 1 - Схема участка на сфере

Найдём погрешности вычисления площади при эквивалентном и конформном (по второму способу К. Ф. Гаусса) изображении эллипсоида на поверхности шара.

При эквивалентном проектировании рассмотрено изображение всего эллипсоида на поверхность

шара по известным математическим зависимостям между меридианами и параллелями эллипсоида и меридианами и параллелями шара: <р=/(В), \=аЬ. На таком шаре окружности превращаются в эллипсы, прямоугольники в параллелограммы с сохранением площади элементарных фигур. Геодезические линии, при проектировании с поверхности эллипсоида на поверхности эквивалентного шара, не изображаются на нём дугами больших кругов. Получаем участок, границы которого не соответствуют границам участка на поверхности эллипсоида. Следовательно, площади искажаются, и применение эквивалентного шара не решает поставленной задачи.

Площади участков размерами от 10 до 15 км получаем точнее при конформном проектировании эллипсоида на поверхность шара по второму способу Гаусса, чем при эквивалентном проектировании. Повышение точности достигается определением параметров шара для каждого участка. Это усложняет вычисления и накладывает ограничения на протяженность обрабатываемой территории.

Следовательно, для геодезического обеспечения территорий, отвечающего современным требованиям производства необходимо:

1) установить единую методику работы и единую отсчётную поверхность, которая горизонтальна для любой территории (закон «О государственном кадастре недвижимости» №221-ФЗ). Наиболее подходящей для этих целей является соответствующим образом выбранная поверхность начального эллипсоида;

2) разработать математический аппарат для вычисления площади произвольного участка на поверхности эллипсоида.

Для вычисления площадей территорий на поверхности эллипсоида не существует точных и удобных способов. Рассмотрим формулу вычисления площади z широтного пояса от экватора до параллели с широтой В и разностью долгот в 180° (л):

где Ь - малая полуось эллипсоида; В - геодезическая широта; е - первый эксцентриситет.

По формуле (2) находят площади топографических трапеций по разностям площадей широтных поясов, вычисленных по северной и южной широтам, а я заменяют разностью долгот / - граничных меридианов трапеции. Вычислить площадь участка, ограниченного геодезическими линиями, по формуле (2) невозможно. В ряде работ представлена формула вычисления площади такого участка в виде определённого интеграла:

где Рэ - площадь участка на поверхности эллипсоида; Ь - малая полуось эллипсоида; ВЫ: х и Ь0: ц, - геодезические широты и долготы точек границы. Методика решения определённого интеграла (3) отсутствует, как в этих работах, так и во многих ГИС. Площади вычисляют на плоскости или на сфере, радиус которой принимают равным радиусу эквивалентного шара. Из проведённых исследований следует, что такие методы не обеспечивают точность соответствующую современным требованиям.

Для вычисления площади участка произвольной формы на поверхности эллипсоида преобразуем формулу (3) и получим:

где Ь - малая полуось эллипсоида, В и Ь- геодезические координаты поворотных точек, п - количество точек.

Граничную линию 1-2 участка заменим меридианом /'-2', долгота которого равна среднему значению долгот этих точек (рисунок 2), и вычислим площадь полученной трапеции /020 2' Г, ограниченной меридианами и параллелями. Суммируя площади таких тра-

(2)

Рэ = Ъ2 Г7"' fB"(l - е2 sin2 В)-2 cos BdBdL, (3)

2 cos В ■ dB ), (4)

пеций по всем граничным линиям, получим площадь всего участка. Фактически площади трапеций 1020 2' 1' и ]020 2 1 не равны, но когда граничные линии 1-2 менее 100 метров этими неравенствами можно пренебречь.

Повысим точность вычисления площади трапеции, используя свойства геодезической линии на поверхности эллипсоида. Для этого долготу меридиана Г-2' найдём с учётом веса долготы конечных точек линии. Вес долготы примем равным радиусу параллели точки. Ввиду малых изменений значений радиусов первых вертикалов, по которым вычисляют радиусы параллелей, вес долготы точки возьмём равным косинусу широты. Площадь участка вычислим по формуле:

_ ~ у ■ (sin Вм - sin Д.) ■ (1 + е2 sin B¡ sin Вм) | 3 2tr (1-е2 sin2 Д.)'(1-е2 sin2 Вм) | 1 ln 1 - g2 sin Bi sin Вм + e • (sin BM - sin Bi)) ¿, • eos B¡ + LM ■ eos BM (5) le 1-е2 sin fi, sin BM - e ■ (sin BM - sin B¡) eos B¡ + eos BM где b - малая полуось эллипсоида; В, и L¡ - геодезические широты и долготы точек границы, п - количество точек.

В результате исследований установлено, что наиболее точно площадь получим, если долготу меридиана 1 '-2' вычислим с весами, найденными по косинусам широт точек и при румбах линии не более 60°. Чем ближе азимут линии к значениям 90° или 270°, тем больше погрешности в вычислении площади. Так, при азимуте 89° 59' 42" и линии 500 м погрешность площади больше площади в 40 раз.

Анализ исследований показывает, что погрешности определения площади возрастают:

1) с увеличением широты и достигают максимума на полюсе;

2) при приближении азимутов линии к 90° или 270°;

3) пропорционально квадрату увеличения длин линий.

Из проведённых исследований следует, что разработанные способы позволяют вычислить площадь участка на эллипсоиде с высокой точностью, однако они не решают проблему в целом. Погрешности площади территорий не должны превышать погрешностей округле-

ограниченная геодезической линией

ний чисел при вычислении. Следовательно, необходимо найти более точный метод вычисления определённого интеграла формулы (3).

3. Повышение точности вычисление площади территории на поверхности эллипсоида основывается на новом методе вычисления определённого интеграла и способе деления геодезической линии на равные интервалы.

Сложность вычисления определённого интеграла (3) связана с неизвестными зависимостями между значениями В и Ь подынтегральной функции. Прямого решения такого интеграла в современной литературе нет. Разработанные способы численного решения определённого интеграла - прямоугольников, трапеций и ряда других -предназначены для вычисления определённого интеграла более простых функций. Поиск решения определённого интеграла (3) при произвольных значениях В и Ь представляет собой сложную задачу.

Для вычисления определённого интеграла, заданного функцией у=/(х) на отрезке [а, Ь], делят этот отрезок точками а=х0 , X/ , х2, ..., хт=Ь, расстояние между которыми Д*, на т равных интервалов, а точки (узлы) А, А/, А2,.... А,„ соединяют ломаной линией. Для каждой точки Л, вычисляют значение Значение интеграла вычисляют как сумму площадей всех трапеций по известным формулам. Между значениями, полученными по каждой трапеции или значениями интегралов, вычисленными при делении отрезка [а, Ь] на т, 2т и 4т

интервалов невозможно найти какие-либо математические зависимости, связанные с изменением числа интервалов т. Найти математическую зависимость и повысить точности вычисления интеграла возможно при делении на равные интервалы интегрируемой кривой (рисунок 3). При равных дугах А^ получаются равные хорды, и ломаная будет точнее аппроксимировать заданную кривую. Из всех вписанных в окружность многоугольников, наилучшее приближение к окружности имеет правильный многоугольник. При увеличении числа интервалов т (сторон многоугольников) в геометрической про-

х0=а

Рисунок 3 - Деление кривой на равные интервалы

грессии изменение площадей многоугольников зависит от знаменателя прогрессии ¿/ и числа этих увеличений к. Для нахождения этой зависимости разделим дугу кривой на отрезке [А, А,„] на т равных интервалов (рисунок 3) в соответствии с формулой геометрической прогрессии т=пц , где п - начальное число интервалов, на которое делится дуга кривой; д - знаменатель геометрической прогрессии; к - число увеличений интервалов п.

При к=0 вычислим первое приближенное значение интеграла Р0, включая в обработку только начальную и конечную точки А, Ат (значение и=1). Принимая к= 1, кривую делим на д отрезков и вычисляем второе значение интеграла Увеличиваем значение к на единицу, соответственно увеличивается и число промежуточных точек, по которым вычисляем третье значение интеграла Р2. Продолжая эти действия, получим остальные значения Р^.

Вычислим первые разности А\ между двумя последовательными значениями ряда Р) и затем отношения ёА] предыдущих разностей к последующим: с1А\ = Д1/Д'2, ¿Д2 = Д'2/Д'3,..= Д'4_,/Д' . (6)

При последовательном сравнении величин установлено:

/'—ЮО

На основании предела отношений разностей ц2 и первой разности вычислим теоретические значения остальных разностей, принимая, что число этих разностей стремится к бесконечности. Выполним такие же вычисления со второй, третьей и т. д. разностями. С учётом сумм членов каждого ряда найдём к новых значений интеграла Р^ по формуле:

/у=(?2./»+1-/>)/(*2-1). (8)

Назовем это первой итерацией. Новые значения Р^ будут точнее, чем исходные значения РПо вычисленным значениям Р) (/—0, 1, 2, ..., к-1) найдем вторые разности и их отношения, которые обозначим как с1А" . Из сравнения отношений вторых разностей, находим:

Итс1А'1 = д4. (9)

Используя полученные по формуле (8) результаты Р'1, 2, ..., &-1) и предел отношения разностей д4, выполним некоторые математические преобразования и вычислим следующие значения интеграла Р') (/=0, 1,2, ..., к-2) по формуле:

Вычисления интеграла по формуле (10) назовем второй итерацией. Полученные результаты будут примерно в ц раза точнее, чем первоначальные значения Р}.

Подставим в формулу (10) выражения интеграла Р) из (8), и получим формулу вычисления интеграла для второй итерации через исходные значения площади Р0, и Р2 и отношения разностей <7:

РоП= (Ч6 • Р2 -^ + Я2) ■ Рх + Я°Ро)№-1)/(^2-1). (И)

По значениям интеграла Р') возможно вычисление третьих разностей их отношений и следующих значений интеграла, которые назовём третьей итерацией. При продолжении этих действий пределы отношений разностей г/Д*, будут изменяться с каждой последующей итерацией, и для третьей итерации будут равны <?6, а для четвёртой итерации Для многих вычислений можно ограничиться тремя итерациями, так как получаем интеграл с 8-10 верными значащими цифрами.

Из сравнения результатов следует, что при каждой &-той итерации предел отношения значений двух последовательных разностей

с- 2 к+\

будет равен д

Общую формулу вычисления интеграла при разных значениях <7 и к представим в следующем виде: к

Р = А<к)^(В!к)Р;), (12) /=0

где А(к) и

В{ - постоянные коэффициенты, значения которых зависят от знаменателя геометрической прогрессии и числа увеличений интервалов к; Р, - первоначальные значения интегралов, вычисленные по точкам при делении кривой на т интервалов. Для вычисления значения интеграла с 12-ю и более верными значащими цифрами необходимо минимальное значение дуги Д^ брать в пределах от 0,02 до 0,05 радиана. Сходимость итераций наиболее эффективна при знаменателе геометрической профессии 9= 2.

Формулы вычисления значения интеграла (8), (11) и (12) и предела отношений значений двух последовательных разностей (7) и (9) получены на основании эмпирических расчётов. Для их обоснования проведем математические преобразования. Разделим дугу кривой на два интервала (рисунок 4). Подставим ц=2 в формулу (8) и получим:

Р^ = {4-Р1-Р0)/Ъ, (13)

где Pi~ площадь многоугольника аАА,„пАтЬ\ Ро - площадь трапеции аАА,„Ь

Разделим кривую А, Ат по оси абсцисс на два равных интервала Ах. При таком делении интеграл найдём по известной формуле Симпсона: у = Д^(уо+4у,„/2 + >'„|)/3.

К выражению, стоящему в скобках, добавим (уо-уо) и (ym-_ym), а затем весь много-

х0=а х,„=(а+Ь)/2 Хт=ь

Рисунок 4 - Деление кривой на 2 интервала

получим:

У = (4Л* • (у0 + 2ут/2 + Ут У2 ~ ' [УО + Ут W 3 .

член умножим и разделим на 2 и после несложных преобразований

(14)

Первая часть уравнения (14) - это площадь многоугольника аААт/2АтЬ, а вторая - площадь трапеции аААтЬ. Следовательно, между формулами (13) и (14) установлено взаимно однозначное соответствие.

Для преобразования формулы (11) возьмём д=2 и формула примет вид: Р" — (64 ■ Р2—20- Р^ + Р0)/45 . (15)

В этом случае кривую ААт делим на четыре интервала (рисунок 5). Нахождение значения функции при делении заданного отрезка на четыре интервала возможно по формуле Ньютона - Котеса «две сорок пятых», которая имеет вид:

х0=а Рисунок 5

x„rb Деление

кривой на 4 интервала

у = 2-(7у0 + 32- .у, +12- уj + 32 + 7•>>,„)Ах/45.

(16)

Заменим в (16) выражение 7у0 на (буо+Уо) и 7ут на (бу добавим (Ю^о+20^2-20^2+10^т-10ут). Всё умножим и разделим на 2 и окончательно получим:

у = (64-{у0 + 2У]+2у2 + 2у} + утУАх/2-- 20 ■ {у0 +-1у2 + Ут)-Ьх + {Уо + ут)-2- Ах)/45. П7)

В формуле (17) первый член при коэффициенте 64 соответствует Р2 формулы (15), второй член Р\ и третий член Р0. Следовательно, между формулами (15) и (17) существует взаимно однозначное соответствие, а формула (11) соответствует известной формуле Ньютона - Котеса (16). Общие формулы (7), (9) и аналогичные отношения можно вывести на примере вычисления площади круга следующим способом. Возьмём сектор АОВ с центральным углом а0 (рисунок 6) и на его основе построим треугольник ОАВ. Разделим дугу АВ на две равные дуги и на них построим два треугольника А08 и 8ОВ. Продолжим деление каждой новой дуги на две до получения шестнадцати дуг. Обозначим угол, полученный от деления на 16 частей, как а. В результате весь сектор будет последовательно составлен из одного, потом двух, четырёх, восьми и шестнадцати треугольников. Центральные углы в каждом из образованных после деления треугольников будут равны в одном 16а, в двух 8а, в четырёх 4а, в восьми 2а, и в шестнадцати а. Истинную площадь сектора вычислим по известной формуле:

Р = 0,5 • г2а.0 — 0,5 • г216 • а = 0,5 • г2 24 а , где г - радиус круга, а - центральный угол сектора.

Приближенную площадь сектора последовательно вычислим по треугольникам: в первом приближении - площадь треугольника ОАВ, во втором, как сумма площадей двух треугольников АО% и 8ОВ, в третьем - как сумма площадей четырех, в четвёртом - сумма площадей восьми и в пятом - шестнадцати треугольников. В каждом приближении площади треугольников вычислим по формуле Р[ = 0,5 г25т ос(. Центральные углы в треугольниках выразим через

Рисунок 6 - Вписанные в сектор треугольники

наименьший угол а, разложим функции синусов в степенной ряд, сохранив в нём величины порядка а9, получим:

Р0 = 0,5г2

Р. =0,5 г:

а

3!

3!

-а

5!

2.6

7!

7 2 -а + ■

9!

а.

»22

а. — ■

- сх

5! 7! 2.2 2,6 •сх--а

9!

■а.

Л = 0,5г2 24сх — —— сх3 + —— сх5 — —— а.7 + —— а.9 ...(18) ^ 3! 5! 7! 9! )

Приведём только три первых ряда. Из анализа выражений (18) следует, что с увеличением числа сторон погрешность вычисления площади сектора как суммы треугольников уменьшается. Причём вторые члены каждого последующего ряда, по сравнению с предыдущим, уменьшаются в 22, третьи в 24, четвёртые - в 26, пятые - в 28, то есть в полном соответствии с эмпирическими формулами (7), (9).

Следовательно, отношение разностей площадей в зависимости от

, 2 Ж

порядка итерации к стремится к. q , и, чем меньше угол а, тем

ближе это отношение к теоретическому значению.

На основании формул (7) и (8) и разности рядов (18) после некоторых преобразований получим:

Р' = -г2 0 2

Р:=-Г<

2а —

24 а

218 5 5 •224 7 21 • 230

-а + -а — ■ ■ ■

5! 7! 9!

214 , 5 • 218 7 21-2"

-а + -а — - 1

5! 7! 9!

а

а

(19)

Несмотря на то, что коэффициенты при а стали больше в <7~, погрешности вычисления площади значительно уменьшились, так как удалось избавиться от членов разложения ряда третьей степени. Из сравнения степенных рядов (19) следует, что отношения разностей площадей, исправленные поправками за первую разность, будут стремиться к с\. Это соответствует полученному выражению (9). В следующей итерации умножим последовательно вторые разности на д4/(<74-1) (в нашем случае на 24/15) и полученные значения вычтем из площадей, вычисленных по формуле (19). В этом случае сумма коэффициентов при а5 будет равна нулю.

После преобразований получим:

Р; = 0,5 • га(2<а - 2%а7 + 21 ■

р;= 0,5 • га {г<х - 2'%а7 + 21 • ). (20)

Из выражения (20) следует, что отношение разностей третьего порядка стремится к д6. Формулы вычисления площади после третьей итерации будут иметь вид: Л,-=0>5г2(24а_224/9! ^

Р1т=0,5г2(24а-216/9\а9). (21)

Выражение (21) по сравнению с (18) имеет более простую форму, так как не содержит величин а3, а5 и а7. Если сравнить формулу вычисления площади в выражении (21) с исходной формулой Р3 в выражении (18), то увидим, что коэффициент при а9 увеличился в д12 раз, но в результате сокращения членов ряда, содержащих а3, а5 и а7, погрешность окончательного значения площади значительно уменьшается. При а < 0,05 результат получается с 10-12 верными значащими цифрами.

Ввиду быстрой сходимости ряда погрешность формул оценим по величине первого остаточного члена ряда. После первой итерации первый остаточный член - а5, после второй итерации - а7 и т. д.

На основании выражений (18), (19), (20) и (21), установлено, что остаточный член вычисляется по формуле:

а) 2 3/3! - при одном отрезке и числе итераций, равном нулю;

б) 22а 5/5! - при делении на два отрезка и одной итерации;

в) 21а1П\ - при делении на четыре отрезка и двух итерациях;

г) 2|4а9/9! - при делении на восемь отрезков и трёх итерациях.

Остаточный член Д при д=2 в общем виде вычисляется по формуле:

(22)

где п - начальное число интервалов, на которое делится дуга кривой; к - число увеличений интервалов п.

При делении самой кривой на равные дуги во многих случаях между вычисленными последовательными значениями интеграла получается четко определяемая математическая зависимость, и поэтому возможно получить результат с большей точностью, чем другими способами.

Конечно, окружность - это кривая второго порядка, которая хорошо аппроксимируется правильными многоугольниками. Когда число сторон таких многоугольников увеличивается в геометрической прогрессии, то изменение их площади или периметра происходит по определённым математическим закономерностям. Поэтому использование найденных закономерностей при вычислении определённого интеграла даёт преимущество перед другими способами. Если разделить какую-либо кривую на равные отрезки Д5 или равные сектора Да, то по предлагаемому методу можно найти площадь любой фигуры, ограниченной этой кривой. Это относится и к геодезической кривой на поверхности эллипсоида (рис. 2). Следовательно, по разработанному методу можно вычислить площадь любого участка, любых форм и размеров на поверхности второго порядка с погрешностью меньше любой заданной.

Для уменьшения погрешностей вычисления площади необходимо разделить каждую граничную сторону участка на равные интервалы или разделить угловую величину этой стороны на равные углы. Второй способ в настоящее время не разработан. Рассмотрим первый способ и найдём математическое решение.

Выведем формулы, с помощью которых, применяя пространственные координаты, разделим геодезическую линию на поверхности

эллипсоида на две и четыре равные дуги. Возьмём геодезическую линию границы объекта и по геодезическим координатам конечных точек 1, 2 (рисунок 7) вычислим геоцентрические пространственные прямоугольные координаты. Соединим точки 7 и 2 пространственной хордой и проведём к поверхности эллипсоида нормаль с таким расчётом, чтобы она прошла через среднюю точку хорды. Тогда точка пересечения нормали с эллипсоидом будет принадлежать геодезической линии, при условии, что длина линии менее 500 км. Затем выполним такие же действия с интервалами 1-3 и 5-2 и в результате получим геодезическую линию,

Рисунок 7 - Деление геодезической линии на четыре равные части

разделённую на четыре равных интервала. Продолжая эти действия, можно разделить геодезическую линию на 8, 16 и более интервалов.

Рассмотрим способ деления линии на четыре равных интервала. Вычислим длину хорды (1 между точками 7, 2 и высоту Н средней точки хорды 3' от поверхности эллипсоида (рисунок 7). Для вывода формул заменим поверхность эллипсоида для данной линии на шар, а поверхность, нормальную к эллипсоиду и проходящую через геодезическую линию на плоскость. На поверхности шара точки 1,2 и 3 соединим дугой большого круга. Примем, что длина пространственной хорды ё и высота Н средней точки хорды от поверхности шара равны длине хорды с! и высоте Н средней точки от поверхности эллипсоида. Разделим дугу большого круга точками 4, 3, 5 на четыре равных интервала, а затем хорду точками 4', 3', 5'. Соединим дополнительными хордами точку 3 с точками 1 и 2. Средние точки этих хорд обозначим через а и Ь. Радиусы дуги, проходящие через эти точки, пересекаются с кривой в точках 4 и 5, а с начальной хордой й - в точках А и В. Для вычисления пространственных координат точек А и В найдём расстояния 5|_д=0,25 <1+ и 52-в=0,25ч/+ Расстояния £4'_д и равны. Обозначим эти расстояния как Ай и найдём из отношений катетов подобных треугольников 313\ а14' и а4'А. Вершины углов а и 4' треугольника а4'А делят пополам стороны 1-3 и 1-3' треугольника 313'. Следовательно, Возьмём отношения катетов треугольников а14' и аА4' и, с учётом принятых обозначений, запишем 0,5///0,25■ с1 = Д*//0,5• Н. После преобразований получим: М = н2 /й .

Пространственные координаты точки А, (В) найдём по формуле:

ха,(В) = 0,75дг, (2) + 0,25л:2 (|) + (х, (1) - х, (2) ) (Н / с1)2 ,

У ЛАВ) =0'75>'|,(2) +°'25:у2,(1) +(>'2,(1) -Уш))-(н /¿)2 .

=0,75г,.(2) +0,25г2,(|) +(г2.(1) ~^х2))-{Н/<1)2 . (23)

Проведём нормали к поверхности эллипсоида с таким расчетом, чтобы они проходили через точки 3', Л и Д. В результате получим исходную геодезическую линию, разделённую на четыре равных интервала.

Для проверки точности этого способа возьмём начальные точки на широтах от 0° до 75° через 15°. Присвоим такой точке номер три. От каждой точки по линиям в 12,5 км, 25 км, 50 км и 100 км и азимутам 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75° и 90° найдём геодезические координаты других точек, решая прямые геодезические задачи (ПГЗ) по формулам Бесселя. Изменим азимуты на 180° и повторим все вычисления.

Возьмем геодезические координаты точек, удалённых от исходной (3) на 100 км. Номера этих точек 1 и 2 (рисунок 7). Далее вычислим пространственные координаты точек 3', А и В, а затем широты и долготы точек 3, 4 и 5. Повторим эти вычисления с точками, удалёнными от исходной точки на 50 км и 25 км.

Сравнивая геодезические координаты точек 3,4 и 5, полученные по пространственным прямоугольным координатам, с координатами этих точек, полученными из решения ПГЗ, видим, что погрешности в вычислениях координат этих точек не превышают 1,3 мм при длине стороны в 100 км, а при длине в 50 км не превышают 0,2 мм. Следовательно, погрешности деления линии на четыре интервала не повлияют на точность вычисления площади.

Способ деления геодезической линии на равные интервалы через пространственные координаты имеет преимущества перед другими - при составлении алгоритмов и написании программы не требуется решать логические задачи, и он всегда приводит к однозначному и верному результату. Из дальнейшего решения примеров установлено, что при делении линий, длиной до 10 км на четыре интервала погрешности вычисления площади менее 0,02 м2.

Для проверки результатов, получаемых по формуле (12), вычислим произвольные длины дуг и площади сегментов кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Отрезок дуги кривой делим на равные интервалы, а затем вычислим значение длины кривой и площадь сегмента. Дифференциал длины дуги любой кривой в полярных координатах выражается известной приближенной формулой:

ds = ^dp2 + p2d(p2 , (24)

где р - радиус-вектор от начальной точки до заданной точки кривой; <р - угол от большой полуоси (оси д:) до радиус-вектора.

Для нахождения длины дуги кривой необходимо вычислить интеграл этого выражения по переменным <3р и с!<р. Поскольку для многих кривых прямое интегрирование формулы (24) невозможно, то упростим это выражение, отказавшись от переменной с1р, и в результате получим формулу:

сЪ = рй(р. (25)

Подставим в формулу (25) математическое выражение р заданной кривой и, в результате интегрирования полученного выражения, выведем приближенные, но конечные формулы для вычисления длины дуги кривой 5 и полярного угла (р.

Основываясь на приближенных значениях дуг, вычислим первоначальные значения интеграла при делении исходной кривой на 2, 4, 8, 16 и т. д. интервалов. Окончательное значение найдем по формуле (12).

Например, найдём длину дуги меридиана от экватора до полюса, по разному числу интервалов. Предварительные значения вычислим на основе формул, полученных интегрированием выражения (25). В результате по 2-м интервалам длина равна 9 747 037.155 м, по 4-м -9 937 992.341 м, по 8-ми - 9 986 077.999 м, по 16-ти -

9 998 121.171 м. Подставим эти значения в формулу (12) и получим

10 002 137.497 54 м, с погрешностью меньше 0,01 мм. Точное значение дуги 10 002 137.497 542 м.

Для исследования точности вычисления площадей по разработанному методу решения определённого интеграла вычислены длины дуг и площади сегментов кривых третьего и четвёртого порядков. В качестве примеров взяты полукубическая парабола, Декартов лист, строфоида, улитка Паскаля, Архимедова спираль. Для всех кривых получены либо длина дуги отрезка кривой, либо площади под кривой в заданном интервале [А, Л,„] (рисунок 3). Несмотря на сложные уравнения кривых, погрешности вычислений предлагаемым способом соответствуют значениям, предвычисленным по формуле (22). Число верных вычислительных цифр в окончательном результате при делении дуги кривой на интервалы в 0,02 радиана составило 14-15, а в неблагоприятных условиях (вычисление предельных значений функции при пересечении секущей и кривой под острыми углами) - 10-11.

Из проведённых исследований следует, что на основе высшей геодезии, математики и математической картографии разработан метод вычисления площадей территорий на поверхности эллипсоида.

4. Единую информационную базу данных РФ необходимо создавать на основе технологии совместного применения пространственной геодезической системы координат и эллипсоида с изменяемыми параметрами. Площади территорий в этой базе следует выражать в геодезической системе координат величиной телесного угла в стерадианах, и на эллипсоиде с заданными параметрами - в метрической мере

Применение разработанного метода вычисления площади на поверхности эллипсоида способствует введению пространственной криволинейной системы координат - геодезической широты, долготы и высоты. Эта система универсальна и связана с поверхностью эллипсоида. Кроме того, линии параллелей и меридианов наносят на многие топографические карты и планы.

Имея исходные данные в геодезической системе координат, несложно выполнить прямое и обратное преобразование координат пунктов, как в системы плоских прямоугольных координат проекции Гаусса или другой проекции, например иТМ, так и в системы пространственных прямоугольных координат. Применение геодезической системы координат позволит пользоваться единым каталогом координат пунктов для любых территорий независимо от их протяженности и размеров. Применение геодезической системы координат упростит установление МСК для населённых пунктов или МКСК для ведения кадастровых работ. Следовательно, повысится качество геодезического обеспечения территорий.

При уравнивании геодезических построений можно применить условную систему координат. Для этого выберем местный осевой меридиан, проходящий через середину объекта, относительно которого вычислим прямоугольные координаты на плоскости в любой конформной проекции, и далее уравняем всю сеть. В этом случае поправки за редуцирование результатов измерений на плоскость не учитываем, так как они будут значительно меньше погрешностей измерений. После уравнивания координаты пунктов преобразуем в

криволинейную пространственную систему координат и занесём в каталоги для постоянного хранения и пользования.

Применение пространственной криволинейной системы координат и разработанного метода определения площадей территорий позволит вести единую информационную систему баз данных на всю территорию РФ и определять площадь каждого участка с учётом его пространственного положения. Вначале данные измерений по территории обработаем в единой системе координат на поверхности начального эллипсоида, следовательно, границы участков получим в единой пространственной системе координат. Метрическое значение площади заменим угловым, то есть выразим его величиной телесного угла или угла зрения. Мерой телесного угла является площадь, вырезанная этим углом на сфере единичного радиуса с центром в вершине. Значение телесного угла выражается в стерадианах и определяется только по двум координатам - широте и долготе. Площадь любого участка, выраженная в стерадианах, не зависит от его положения относительно исходной поверхности. Реальный участок может находиться на поверхности начального (уровенного) эллипсоида, выше или ниже этой поверхности, в любом случае значение телесного угла не изменяется. Таким образом, наиболее правильно вести учёт площадей территорий на поверхности начального эллипсоида с соответствующим контролем всех данных, а вычислять площади в метрической мере на вспомогательном эллипсоиде с учётом геодезических высот участков. Площадь одного стерадиана на поверхности земного эллипсоида составит 40,6-106 км2. Территории с такими размерами не встречаются. Для небольших объектов примем другие значения: микростерадиан, площадь которого на поверхности начального эллипсоида 40,6 км2, наностерадиан 4,06 га, и пико-стерадиан 40,6 м2. Определить точные значения стерадиана или его долей в метрической мере нельзя, так как они зависят от размеров большой полуоси эллипсоида и геодезической высоты объекта. Для разных участков значение стерадиана в метрической мере различно, но площадь участка, выраженная величиной телесного угла, будет постоянной. Следовательно, площади всех объектов (территорий) страны можно представить в единой мере, применяя криволинейную пространственную систему координат.

Телесный угол находим из формул (1) для эквивалентного шара и (4) или (5) для эллипсоида. Значение телесного угла получим под знаком суммы (L). Метрическое значение площади вычислим, умножив значение телесного угла на радиус эквивалентного шара - R2 или Ь2 - малую полуось эллипсоида. Величину малой полуоси b найдём, считая, что сжатие эллипсоида постоянно, а изменяем только большую полуось а в соответствии с геодезической высотой H участка.

При обработке данных спутниковых измерений получаем координаты точек в пространственной прямоугольной системе координат. Для каждой граничной точки объекта найдём значение квадрата малой полуоси b2 вспомогательного эллипсоида. Возьмём каноническое уравнение земного эллипсоида х2 j а2 +у2/а2 +z2/b2 =1, заменим значение а=Ы{\-а) и после небольших преобразований получим: b2=(x2+y2)-{\-a)2jrz2 ■ Далее вычислим среднее значение Ьс2.

Радиус эквивалентного шара вычислим по известной формуле:

R2 = Ь% ■ (l/(l -е2 )+ (1п((1 + е)/(1 - е)))/ 2/е)/2.

Применение криволинейной системы координат способствует созданию единого координатно-временного пространства на всю территорию страны и, соответственно, повышает качество управления объектами Российской Федерации.

В целях апробации разработанного метода вычисления площади на поверхности эллипсоида решены экспериментальные и производственные задачи. Для практического применения и определения погрешностей вычислений разработаны необходимые алгоритмы, и на языке Turbo Pascal 7.1 написана программа вычисления площади участка. В программе выбираем эллипсоид с параметрами: Ф. Н. Кра-совского или ПЗ-90, или WGS-84, вводим высоту участка и координаты точек границы. Окончательные значения площадей участка вычисляем по формуле (12) на поверхностях эллипсоида и шара, построенного эквивалентным проектированием на него эллипсоида. По составленной программе выполнялись вычисления, результаты которых приведены во всех главах диссертации. Цель вычислений -найти такие положения территории на эллипсоиде или её конфигурации, при которых погрешности вычисления площади максимальны.

Вычислены площади территорий, имеющих формы вытянутых многоугольников длиной 10° и шириной 1,2°, начальные точки которых выбраны на широтах 0°, 30°, 45°, 60° и 75°. Продольные оси многоугольников ориентированы по азимутам 0°, 45° и 90°, а длины сторон между точками границ выбраны от 60 до 90 км. Для каждого многоугольника вычислены три значения площади в первой, второй и третьей итерациях. Из сравнения результатов вычислений следует, что расхождения между второй и третьей итерациями не превышают 0,02 м2. Расхождения между первой и второй или первой и третьей итерациями больше, но и они характерны для эллипсоида. Наибольшее расхождение между первой и третьей итерацией достигает 271 м", когда участок находится на широте 45° и вытянут вдоль линии, азимут которой 45°. При других азимутах и широтах эти расхождения меньше. Для многоугольников, вытянутых вдоль меридиана или параллели, расхождения получились меньше 0,02 м2. Между окончательными значениями площадей многоугольников, вычисленных на поверхности эллипсоида и эквивалентного шара, расхождений нет или они меньше 0,02 м2. Такие расхождения могут быть результатом накопления погрешностей округления.

По результатам вычислений установлено, что площади на эквивалентном шаре почти всегда в первой итерации получаются точнее, чем на поверхности эллипсоида. Только в одном случае расхождение между площадью, полученной на эквивалентном шаре в первой итерации, и точным значением, составило 1,4 м2, во всех остальных случаях расхождения были меньше 1,0 м2.

Наиболее неблагоприятный случай вычисления площади на эллипсоиде, когда линия границы пересекает меридиан под прямым углом в так называемой «точке вертекса». В этом случае погрешность площади достигает десятков квадратных метров (см. стр. 15). Для устранения этого недостатка спроектируем разделённые на равные интервалы линии границ участка на поверхность эквивалентного шара. По формуле (1) последовательно вычислим значения площади по поворотным точкам, затем поворотным и промежуточным, окончательное значение получим по формуле (12). Площадь территории получаем как сумму площадей треугольников, которые образованы ду-

гами больших кругов, и, следовательно, точка вертекса не влияет на окончательный результат.

Установлено, что метод итерации, разработанный для эллипсоида, хорошо подходит для вычисления площади на эквивалентном шаре. Окончательные значения на поверхностях эллипсоида и эквивалентного шара совпадают или различаются на одну - две единицы в 15-той значащей цифре. Применяя разработанную методологию, вычисляем точные значения площади: при делении длинных сторон на четыре интервала на поверхности эллипсоида и на два на поверхности эквивалентного шара.

Рассмотрим возможность вычисления площадей участков, расположенных в разных полушариях эллипсоида.

Могут возникнуть следующие варианты:

1) участок находится вблизи экватора, его отдельные точки совпадают с экватором, но отсчётная точка полюса и участок находятся в одном полушарии;

2) весь участок находится в противоположном полушарии от от-счётной точки полюса;

3) линия экватора пересекает участок, и его части расположены в разных полушариях.

Для нахождения погрешностей вычисления площади участков по всем вариантам изменялось положение полюса (отсчётной точки) и дополнительно вычислялись координаты точек пересечения границ участков с экватором. Во всех случаях расхождения в полученных результатах не превышали погрешностей округления. Следовательно, по составленной программе возможно вычисление площадей участков, расположенных в любых местах земного шара и в любых координатных системах.

Сравним погрешности вычисления площади большого региона состоящего из нескольких, меньших объектов. Вычислим площади Омской, Томской, Тюменской, Новосибирской областей и Алтайского края на поверхности эллипсоида и шара при эквивалентном проектировании эллипсоида на шар. По мелкомасштабным картам измерим географические координаты основных поворотных точек границ объектов. Разница в значениях широт и долгот соседних точек составляет от 20' до 30', длины сторон от 50 до 70 км.

Цель исследований - установить расхождение площади всего региона, вычисленной по внешней границе, с суммой площадей всех перечисленных областей. Результаты вычислений площадей даны в таблице. Расхождение между значениями площади на эллипсоиде и шаре не превышает 0,04 м2. Такие расхождения можно объяснить погрешностями округлений.

Разработанная методология обеспечивает вычисление площади любого участка с погрешностью менее 0,05 м2, и его можно с успехом применять при геодезическом обеспечении любых территорий.

Таблица - Результаты вычисления площадей больших территорий

Область Площадь на эллипсоиде Р), га Площадь на равновеликом шаре Ршар, га Расхождение площадей, м2

Омская 13 510 220,798 755 13 510 220,798 754 0,01

Новосибирская 16 090 839,728 181 16 090 839,728 182 -0,01

Томская 30 751 405,243 337 30 751 405,243 336 0,01

Тюменская 113 936 812,045 227 113 936 812,045 225 0,02

Алтайский край 25 503 052,520 778 25 503 052,520 777 0,01

Сумма площадей 199 792 330,336 278 199 792 330,336 274 0,04

Внешняя граница 199 792 330,336 279 199 792 330,336 275 0,04

Предложенная в диссертации методология вычисления площадей на поверхности эллипсоида была апробирована в производственных условиях. Из 32-х районов Омской области выбрано 20. Работы выполнены по материалам Западно-Сибирского филиала ФГУП «Госземкадастрсъёмка - «ВИСХАГИ». Координаты точек границ всех районов даны в системе координат СК-42 в одной шестиградусной зоне. Через пять районов проходит осевой меридиан (75°). Наибольшее значение площади района 640 855 га (Тюкалин-ский), а наименьшее - 140 754 га (Азовский).

Для сравнительного анализа были вычислены площади этих районов на плоскости в проекции Гаусса в СК-42 и в СК-95, а также на поверхности эллипсоида с исходными координатами в СК-42 и в СК-95 и на эллипсоиде с параметрами ПЗ-90.

По координатам, взятым из каталогов, в каждой системе координат была сформирована внешняя граница 20-ти районов. Все площади вычислялись до 0,01 м2 по каждому району и по внешней границе. В трёх случаях расхождения между первой и второй итерациями составили 0,01 м2, в остальных случаях расхождений не было.

Полученные значения площади территории по внешней границе и как сумма площадей всех районов полностью совпали во всех вариантах вычислений, хотя из-за большого числа точек по каждому району (л > 200) и по внешней границе (п > 800) только из-за погрешностей округления расхождение в окончательных результатах могло достигать 0,1 м2.

Из сравнения вычисленных площадей районов в разных системах координат и на разных эллипсоидах следует, что сумма площадей районов в СК-42 на плоскости (6 305 235,7 га) больше, чем сумма этих же площадей в СК-95 на плоскости (6 305 191,3 га) на 44 га. Площади, полученные на эллипсоиде в СК-42 (6 303 687,0 га), и площади, полученные на эллипсоиде с параметрами ПЗ-90 (6 303 690,4 га), различаются меньше, чем в других вариантах. Однако суммарная площадь на эллипсоиде с параметрами ПЗ-90 больше, чем на эллипсоиде в СК-42 и в СК-95 соответственно на 3,36 га и на 47,71 га.

Эллипсоид с параметрами ПЗ-90 (ПЗ-90.02) близок к общеземному эллипсоиду, а его параметры считаются наиболее точными. Следовательно, правильнее вести расчёты на этом эллипсоиде. Расхождение суммарного значения площади на плоскости в СК-42 с суммарным значением площади на эллипсоиде с параметрами ПЗ-90 составляет 1 545,3 га при величине всей площади в 6 303 690,4 га. Относительная погрешность составляет 1/ 4 000.

Искажение площади менее 1 %, но для рассматриваемой территории составляет 1 545 га. Для устранения таких искажений необходимо применить новую методологию вычислений и использовать эллипсоид с параметрами ПЗ-90.02. При постановке земельного участка на кадастровый учёт требуется вычислять площадь с погрешностью менее 0,3 м2. Из приведённых расчётов, выполненных в разных системах координат, следует, что в значении площади любого участка только из-за неверно выбранной методики вычислений и сис-

темы координат, будут верными только первые три значащих цифры. Следовательно, значение площади участка более 1 га необходимо округлять до 10 м2, более 10 га до 0,01 га.

Введение единой системы координат СК-95, а в дальнейшем -ПЗ-90.02 позволит ускорить обработку полевых измерений и повысить качество получаемых материалов. Необходимость в повышении точности преобразования координат из системы в систему и вычисление площадей различных по размерам участков в едином координатном пространстве станет в ближайшее время такой же актуальной задачей, как в настоящее время задача о необходимости введения более точной системы координат.

Из проведённых экспериментальных вычислений следует, что разработанный математический аппарат позволяет вычислить площадь любых территорий на поверхности эллипсоида с погрешностью не более 0,05 м2. Этот математический аппарат можно применять и для решения других задач.

Составленные автором алгоритмы и программа на языке «TURBO PASCAL 7.1 » позволяют вычислить площадь любого участка на поверхности эллипсоида Ф.Н. Красовского в системах координат СК-42 и СК-95, а также на эллипсоидах с параметрами ПЗ-90 или WGS-84.

Проведённые производственные испытания полностью подтвердили возможность вычисления площадей участков на поверхностях эллипсоида и эквивалентного шара по предложенному в диссертации методу в соответствии с современным уровнем технологий и требованиями различных сфер производства к геодезическому обеспечению территорий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной к защите диссертации выполнен детальный аналитический обзор существующих методов определения размеров участков и на основе современных технологий разработано математическое обоснование определения площадей территорий земной поверхности.

Получены следующие научные результаты:

1. На основе экспериментальных исследований применяемых способов преобразования координат из одной системы координат в другую даны рекомендации по повышению точности этих преобразований и реконструкции существующих и установлению новых местных систем координат.

2. С учётом современных требований к геодезическому информационному обеспечению территорий проведён анализ различных способов и методик вычислений площадей и предложены новые, более точные методы. Обосновано введение пространственной геодезической системы координат и единой отсчётной поверхности.

3. Поставлена новая научно-техническая проблема определения с высокой точностью площадей различных территорий земного эллипсоида, для решения которой разработана методология, основой которой является:

- способ вычисления площади участков на поверхности эллипсоида с изменяемыми параметрами;

- способ деления геодезической линии на поверхности эллипсоида на равные дуги;

- метод вычисления определённого интеграла.

4. На основе проведённого математического анализа и математических решений выполнено аналитическое обоснование метода вычисления определённого интеграла и выведены формулы оценки точности.

5. Новые технологические решения, алгоритмы и программное обеспечение, позволяют по принципиально новой основе и с высокой точностью вычислять площадь территории с учётом её пространственного положения.

Таким образом, поставленная в диссертации цель и предусматриваемые ею задачи полностью решены. По результатам научно-методической и практической реализации выполненных разработок можно сделать следующие выводы:

1. При установлении или реконструкции местных систем координат начальный пункт МСК необходимо выбирать на её осевом меридиане. Преобразования координат пунктов целесообразнее выполнять по способу конформного проектирования одной поверхности на другую, применяя формулы проекции Гаусса. При преобразо-

вании координат по упрощенным формулам необходимо ограничивать размеры обрабатываемой территории.

2. Вычисление площадей участков следует вести на поверхности эллипсоида или эквивалентного шара. Применение разработанных в диссертации методов способствует введению единого координатного пространства на всю территорию Российской Федерации и улучшает технологию и качество ведения баз данных. Площади территорий в единой базе данных следует выражать:

- величиной телесного угла в стерадианах в пространственной системе координат;

- в метрической системе на поверхности эллипсоида, значения полуосей которого зависят от абсолютной высоты каждого участка.

3. Методы вычисления площади на поверхностях эллипсоида или эквивалентного шара позволяют получать однозначный результат, не зависящий от исходной системы координат, проекции и порядка действий при вычислениях. Погрешность площади зависит только от погрешностей полевых измерений и округлений при вычислениях.

4. Новый метод вычисления определённого интеграла можно применять для решения различных научных и технических задач.

С помощью этого метода возможно вычисление площади произвольного участка на поверхности любого эллипсоида с заданными параметрами, а также определение площадей или объёмов любых объектов на произвольных поверхностях.

Новые методы определения площади участка на поверхности эллипсоида или на поверхности эквивалентного шара полностью удовлетворяют всем современным требованиям и нормативным документам по геодезическому обеспечению территорий. Они дают возможность вычислить площадь произвольного участка, расположенного в любом месте земного эллипсоида и в любой системе координат, с погрешностью не более 0,05 м".

Таким образом, в диссертационной работе изложены научно обоснованные технические решения крупной научной проблемы по геодезическому информационному обеспечению, которые повышают эффективность управления территориями и способствуют их социальному и производственному развитию.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Виноградов, А. В. Определение азимута земного предмета по наблюдениям пары звёзд / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. - 1988. -№ 7. _ с. 14-16.

2. Виноградов, А. В. Влияние ошибок углов при координатной привязке / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. - 1991. -№ 1. - С. 28-30.

3. Виноградов, А. В. Вычисление площади участка на поверхности вращения путём решения определённого интеграла способом итерации / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. - 2006. -№ 7. - С. 12-23.

4. Виноградов, А. В. Анализ вычисления площадей объектов на некоторых поверхностях / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. - 2006. -№ 8. - С. 10-17.

5. Виноградов, А. В. Вычисление площади участка на поверхности эллипсоида / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. -2007.-№ 6.-С. 26-29.

6. Виноградов, А. В. Совместное применение спутниковых приёмников и электронных тахеометров при создании планового обоснования на застроенной территории / А. В. Виноградов, А. В. Войтенко, М. С. Куприянов // Геодезия и картография. - 2007. - № 7. - С. 33-36.

7. Виноградов, А. В. Анализ некоторых способов преобразования координат пунктов из системы в систему // Геодезия и картография. - 2007. - № 10.-С. 31-36.

8. Виноградов, А. В. Учёт высоты при вычислении площади участка на застроенных территориях / А. В. Виноградов, Ю. В. Столбов // Землеустройство, кадастр и мониторинг земель - 2010. - № 5. - С. 61-63.

9. Виноградов, А. В. Об установлении единой координатной системы в геодезических работах // Геодезия и картография. - 2010. - № 5. - С. 16-18.

10. Виноградов, А. В. Применение поверхностей второго порядка для вычисления площади произвольного участка / А. В. Виноградов // Землеустройство, кадастр и мониторинг земель - 2010. - № 6. - С. 67-70.

11. Виноградов, А. В. Применение эквивалентного изображения эллипсоида на шаре для определения площадей территорий / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. - 2010. - № 6. - С. 8-11.

12. Виноградов, А. В. Повышение точности вычисления площади участков застроенных территорий / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. - 2010. - № 9. - С. 10-13.

13. Виноградов, А. В. Вычисление площадей территорий на разных эллипсоидах / А. В. Виноградов // Геодезия и картография. -2013.-№3,-С. 12-16.

14. Войтенко, А. В. О точности передачи координат пунктов ГГС на вспомогательные пункты с помощью спутниковых приёмников / А. В. Войтенко, М. С. Куприянов, А. В. Виноградов // Геодезия и картография. - 2005. - № 5. - С. 13-15.

15. Багровский, А. В. Анализ способов вычисления площадей в ГИС / А. В. Багровский, А. В. Виноградов, Ю. В. Столбов // Современные проблемы геодезии и оптики : материалы LIII междунар. науч-техн. конф., посвящ. 70-летию СГГА. Новосибирск, 2003 г. -Новосибирск, 2003. - Ч. IV. - С. 354-357.

16. Виноградов, А. В. Некоторые особенности определения больших площадей / А. В. Виноградов // Земельные ресурсы Сибири: изучение, управление, реформирование : сб. науч. тр. / Ом. гос. аграр. ун-т. - Омск, 2002. - С. 160-164.

17. Виноградов, А. В. Применение криволинейных координат в кадастровых работах // Современные проблемы геодезии и оптики : материалы LIII Междунар. науч-техн. конф., посвященной 70-летию СГГА. Новосибирск, 2003 г. - Новосибирск, - Ч. IV. - С. 291-293.

18. Виноградов, А. В. Способ определения площади участка на поверхности эллипсоида и на произвольной высоте H / А. В. Виноградов // Бюл. изобретений и полезных моделей. - 2003. -№ 32. - С. 259.

19. Виноградов, А. В. Определение координат базовой станции «ВИСХАГИ», находящейся на территории г. Омска, в системе координат ITRF / А. В. Виноградов, А. В. Войтенко, М. С. Куприянов // ГЕО-Сибирь-2007 : материалы III Междунар. науч. конгр. Новосибирск, 2007 г. - Новосибирск, 2007. - Т. 1, ч. 2. - С. 16-18.

20. Виноградов, А. В. Особенности вычисления площадей участков при кадастровых работах / А. В. Виноградов // Объекты недвижимости: управление, использование, ведение и инженерно-геодезическое обеспечение кадастра : материалы междунар. науч.-производ. конф. Омск, 2007. - Ч. 2. - С. 236-242.

21. Виноградов, А. В. Получение промежуточных точек геодезической линии на поверхности эллипсоида / А. В. Виноградов // ГЕО-Сибирь-2007 : материалы III междунар. науч. конгресса. Новосибирск, 2007 г. - Новосибирск : Изд-во СГГА, 2007. - Т. 1, ч. 2. - С. 144-148.

22. Виноградов, А. В. Применение сферических поверхностей в геодезических и кадастровых работах / А. В. Виноградов // ГЕО-Сибирь-2007 : материалы III Междунар. науч. конгр. Новосибирск, 2007 г. - Новосибирск, 2007. - Т. 1, ч. 2. - С. 149-153.

23. Виноградов, А. В. Усовершенствование формул оценки точности определения плановых координат точек при относительном методе спутниковых определений / А. В. Виноградов, А. В. Войтенко, А. И. Уваров // ГЕО-Сибирь-2007 : материалы III Междунар. науч. конгр. Новосибирск, 2007 г. - Новосибирск, 2007. - Т. 1, ч. 2. - С. 13-16.

24. Виноградов, А. В. Особенности вычисления площади участка на застроенной территории // ГЕО-Сибирь-2009 : сб. материалов V Междунар. науч. конгр. Новосибирск, 2009 г. - Новосибирск,

2009.-Т. 1,ч. 1.-С. 114-116.

25. Виноградов, А. В. Определение площади физической поверхности участка по способу итераций / А. В. Виноградов // ГЕО-Сибирь-2009 : сб. материалов V Междунар. науч. конгр.. Новосибирск, 2009 г. - Новосибирск, 2009. - Т. 1, ч. 1. - С. 117-122.

26. Виноградов, А. В. Оценка точности метода precise point positioning и возможности его применения при кадастровых работах / А. В. Виноградов, А. В. Войтенко, А. Ю. Жигулин // Геопрофи. -

2010,-№2.-С. 27-30.

27. Виноградов, А. В. Применение поверхностей эллипсоида и шара для геодезического обеспечения государственного кадастра недвижимости : монография / А. В. Виноградов. - Омск : Изд-во ФГОУ ВПО ОмГАУ, 2010.-152 с.

РИЦ Горного университета. 30.06.2015. 3.616. Т. 100 экз. 199106 Санкт-Петербург, 21-я линия, д.2

2015675103

2015675103