Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Резонансные взаимодействия волн Россби в ограниченных областях

ВАК РФ 11.00.08, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Резонансные взаимодействия волн Россби в ограниченных областях"

На правах рукописи

КАРТАШОВА Елена Александровна

УДК 551.466.8

РЕЗОНАНСНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН РОССБИ В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Специальность - 11.00.08 - океанология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1990

Работа выполнена в Лаборатории геофизической гидродинамики Института океанологии им. П.П.Ширшова АН СССР

Нау.чный-руко.шдаг.едь.;.

доктор физико-математических наук Г.М.Резник ОФшиадыш, .ошшэат;.

доктор физико-математических наук Е.Н.Пелиновский кандидат физико-математических наук А.М.Левин

Еэдушад-одганаз.ация.;.

Морской гидрофизический институт АН УССР

Защита состоится " //" ¿йй^^У? 1990 г. в 4У час. мин. на заседании Специализированного

совета К.002.86.02 в Институте океанологии им. П.П.Ширшова АН СССР по адресу: г.Москва, 117218, ул.Красикова 23

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института океанологии им. П.П.Жиршова АН СССР

Автореферат разослан , 1990 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат географических наук /

.Г.Панфилова

На правах рукописи

КАРТАШОВА Елена Александровна

УДК 551.466.8

РЕЗОНАНСНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН РОССБИ В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Специальность - 11.00.08 - океанология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В последние два десятилетия в. геофизической гидродинамике наибольшее внимание уделялось исследованию крупномасштабных процессов, прежде всего вследствие их роли в формировании климата. В большой степени крупномасштабная изменчивость в океане и атмосфере связана с волнами Россби.

Волны Россби (или иначе' - планетарные волны) представляют собой крупномасштабные колебания тонкого слоя жидкости или газа на вращающейся сфере, их возникновение обусловлено широтным изменением параметра Кориолиса. Натурные-наблюдения последних лет свидетельствуют, что синоптические процессы являются нелинейными. Теоретический подход к изучению существенно нелинейных структур таких масштабов основывается на концепции взаимодействия когерентных структур типа солитонов или вихрей.(Ларичев, Резник, 1976). Однако достаточно часто встречаются ситуации, когда нелинейность невелика и когерентные структуры отсутствуют. В этом случае эволюция поля определяется в основном резонансными взаимодействиями. Особый интерес в этом направлении представляет работа (Лонге-Хкг-гинс, Гилл, 1970), посвященная детальному изучению резонансных взаимодействий планетарных волн, а также цикл работ Резника, Со-омере (Резник, 1987 и библ. к ней), в которых развита сравнительно полная теория слабой турбулентности волн Россби.

Все эти исследования обладают одной общей чертой: они выполнены для неограниченной бета-плоскости.. Однако, это приближение применимо лишь в узких по сравнению с радиусом Земли широтных поясах и заведомо не описывает волн Россби с масштабами порядка радиуса Земли. Требует обоснования и применимость этого приближения при изучении взаимодействий коротких (т.е. с большими зональными и .меридиональными волновыми числами) волн Рйссбж на сфере, тлеющих сложную структуру. Приближение бета-плоскости не применимо также для описания поля волн Россби в масштабах целого океана и всей атмосферы в целом (Монин, 1988). Совершенно не изучена так-? же проблема влияния береговых границ на взаимодействия планетарных волн, имеющая важное прикладное значение в океанологии. Таким образом, весьма полезно было бы отказаться от.этого приближения и рассмотреть, во-первых, взаимодействия сферических волн Россби и, во-вторых, аналогичные взаимодействия в ограниченном бассейне

на бета-плоскости. Качественное отличие этих взаимодействий от взаимодействий тех волн на бесконечной бета-плоскости состоит в том, что в ограниченных областях (резонаторах) системы-взаимодействующих волн; имеют, как правило, дискретный спектр. Взаимодействие волн в таких системах практически не изучалось, хотя именно они имеют особое1 значение в разнообразных практических задачах.ида при постановке эксперимента. Таким образом, поставленная задача является актуальной не только для геофизических: , приложений, го и для общей теории нелинейных систем. " ,

Цель и основные задачи работы. Главная цель работы состоит в изуче1Аш качественных особенностей слабонелинейных взаимодействий волн Россби в ограниченных областях.

Научная новизна работы состоит в следущем:

1. Проведено исследование резонансно взаимодействующи планетарных волн на сфере, причем обнаружены следующие качественные особенности: взаимодействия оказываются локальными в спектральном смысле (т.е. малые масштабы отделены от больших)взаимодействия коротких волн сосредоточены в окрестности широты взаимодействия; точные взаимодействия оказываются малоэффективными по сравнению су приближенными; многие волновые пакеты вообще, не 'вступают во взаимодействие.

2. Исследовано резонансное взаимодействие волн .Россби в ограниченной области на бета-плоскости (в квадратном бассейне) и установлено, что перечисленные выше качественные особенности взаимодействий сохраняются. Кроме того, доказано, что множество всех взаимодействующих волновых пакетов в этом случае делится на парциальные подсистемы, между которыми, в первом приближении, нет энергетических взаимодействий.

3. Найдено достаточное условие того, что множество слабонелинейно взаимодействующих волновых пакетов различных типов волн в системах с дискретным спектром разбивается на отдельные, не взаимодействующие между собой системы. Предложен общий подход" для исследования таких систем. л

4. Рассмотрен ряд примеров конкретных'типов- волн (капиллярные, гравитационно-капиллярные, внутренние волны в экспоненциально стратифицированной жидкости, инерционные"волны, длинные' вол- ■ ны во вращающейся жидкости, гравитационные волны на глубокой воде), для которых найденные качественные особенности имзют место.

Практическая ценность» В работе получен новый важный физический эффект - неэффективность волновых взаимодействий в передаче энергии к низшим волновым модам с пространственными масштабами, сравнимыми с размером бассейна. Практически весь энергеЕТи-ческий каскад оказывается сосредоточенным в высоких коротковолновых модах. Указанный эффект позволяет объяснить ряд наблюдаемых особенностей синоптических движений (например! возникновение и поддержание узких зональных струйных течений) и позволяет использовать локальные модели рассчета синоптических вихрей в открытом океане. Полученные результаты применимы также для анализа нелинейных взаимодействий других типов волн и для интерпретации результатов лабораторных экспериментов по распространению волн на воде в ограниченных бассейнах.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на 1У Международном симпозиуме "Нелинейные и турбулентные процесса в физике" в г.Киеве в 1989 г., на Международном симпозиуме "Генерация крупномасштабных структур в сплошных средах" в г.Пермь в 1990 г., на Всесоюзной конференции "Проблемы турбулентности в океанологии" в г.Т&ллинне в 1988 г., на Всесоюзной школе-семинаре по.алгебраической геометрии в г.Ярославле в 1990 г., на III Всесоюзном симпозиуме "Тонкая структура и синоптическая изменчивость морей и океанов" в г.Таллинне в 1990 г., на региональной конференции "Вклад молодых ученых в решение проблем океанологии" в г.Севастополе в 1988 г. , на семинарах и объединенных коллоквиумах Лаборатории геофизической гидродинамики, Группы теории морских волн и Лаборатории нелинейных волновых процессов в Институте океанологии им. П.П.Ширшова АН СССР в 1988-1990 гг.

По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и двух Приложений. Объем диссертации 115 страниц основного текста, 4 рисунка. Список литературы содержит III наименований.

Содержание диссертации.

ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность выбранной темы, дается краткий обзор литературы, а также даны пояснения по содержанию каждой главы, отмечаются публикации, апробация и структура работы.

ГЛАВА I посвящена исследованию тройных слабонели-

нейных взаимодействий волн Россби на сфере и применимости приближения бета-плоскости при рассмотрении взаимодействий волн Россби, коротких по сравнению с радиусом Земли. Исследование проводится в рамках простейшей модели баротропного океана с твердой крышкой на поверхности, тонким слоем покрывающего всю Зашло.

В § 1.2 выводятся уравнения для амплитуд резонансно взаимодействующего триплета и условия резонансного взаимодействия, которые в этом случае имеют вид

где т., (я -т-) - долготное и широтнйе волновые числа соответственно, причем все ^ являются целыми числами.

Анализу этих условий посвящен § 1.3. Нам удалось доказать, что (I) имеет бесконечное количество решений (доказательство см. в § 1.6), то есть существует бесконечное количество триплетов резонансно взаимодействующих волн Россби на сфере. Однако, эти взаимодействия оказались локальными в следующем смысле: мы показали, что волна с заданным волновым числом л- может взаимодействовать только с конечным числом волн, волновые числа ко торых п, лежат в'интервале

сти, что волны с сильно отличающимися волновыми числами не взаимодействуют между собой.

Численное исследование решений (I) в области О^'К .»'г г- 25 выявило следующие качественно ноше ло сравнению с взаимодействиями в бесконечных областях свойства рассматриваемой системы

М { -г /7г. 2 = /« з

(Г) {

^¿^ Л,

+ Ял + л*, _) - нечетно

где / 7 обозначает целую часть числа. Это означает, в частно

сферических волн Россби. Во-первых, далеко не все волны могут участвовать во взаимодействии. Установлено, что в рассматриваемой области не более 30 % от общего числа волн составляют те, которые фактически участвуют во взаимодействии, причем с увеличением рассматриваемой области доля взаимодействующих волн убывает. Во-вторых, анализ показал также, что каждая волна может одновременно входить лишь в небольшое число резонансных триплетов. Так, большая часть волн (^75 %) входит только в один триплет, а остальные - в несколько, как правило, в два-три триплета. Для всех волн в исследуемой области были построены "цепочки" взаимодействующих волн, когда для всех "партнеров" некоторой фиксированной волны отыскивались все их партнеры и т.д. Как правило, такие цепочки быстро обрывались, что указывает на слабость каскадной передачи энергии рассматриваемыми взаимодействиями. Таким образом, можно сделать вывод о том, что рассматриваемые точные взаимодействия волн Россби на сфере оказываются значительно менее эффективными в перераспределении энергии по спектру, чем аналогичные взаимодействия волн Россби на.неограниченной бета-плоскости, когда для каждой волны всегда имеется бесконечное количество взаимодействующих с ней партнеров.

§ 1.4 посвящен исследованию црименимости приближения бета-плоскости для описания слабонелинеыных взаимодействий коротких волн Россби - то есть волн с характерным масштабом, много меньшим радиуса Земли. Для таких волн волновые числа ^,/гу >■» I. Установлено, что в зависимости от значений /я,, взаимодействующих волн имеет место один из двух возможных вариантов. В первом случае существует так называемая широта взаимодействия, при этом основной вклад в коэффициент взаимодействия ¿? системы уравнений на медленно меняющиеся амплитуды взаимодействующих волн дает узкий пояс ширины ~ где п.'* определяет минимальный пространственный масштаб по широте, сосредоточенный в окрестности широты взаимодействия, причем 3! ~ п.** . Вклад от интегрирования по частям сферы вне этого пояса оказывается значительно меньшим, порядка ~ п 7Л (см. § 1.7). Таким образом, обмен энергией между волнами происходит в основном вблизи широты взаимодействия. Найдены условия существования широты взаимодействия. Установлено, что приближение бета-плоскости применимо для описания слабонелинейных взаимодействий коротких волн Россби,

для которых существует широта взаимодействия.

В § 1.5 исследуются взаимодействия с расстройкой по частоте (так называемые приближенные взаимодействия), когда условие б^ слегка нарушается, но величина невязки л -- б'з много меньше с = /, 2, 3 (здесь ^ = ) • Было установлено, что учет приближешшх взаимодействий в огромной степени расширяет область коротких сферических волн, для которых возможно резонансное.взаимодействие. В то же время, волны не очень короткие, с ж-, п. I, либо вообще не могут вступать во взаимодействие, либо-взаимодействуют так в исключительных случаях, поскольку для этих волн частота I и меняется на величину ~ I при изменении т.п. , гак что вообще говоря расстройка I- Таким образом, для сферических волн Россби слабонелинейные взаимодействия волн Россби играют существенную роль в перераспределении энергии только в коротковолновой области. В области же масштабов порядка радиуса Земли такие взаимодействия, будучи по преимуществу точными, оказываются малоэффективными.

§ 1.8 посвящен обсуждению полученных результатов. Опираясь на полученные результаты, можно качественно описать возможную эволюцию произвольного начального состояния под влиянием слабой нелинейности. Резонансные взаимодействия будут сравнительно быстро перераспределять энергию в коротковолновой области, приводя, по-видимому, к образованию перемежающихся квазизональных струй (или вихрей) с ширинами, малыми по сравнению с радиусом Земли (аналогично тому, как это происходит на бета-плоскости). Длинноволновая часть спектра (состоящая из волн с I), однако, практически не изменится и результирующее поле будет состоять из меандрирующих струй (или вытянутых в зональном направлении вихрей), толщина которых меньше характерных размеров меандров. Численные эксперименты с уравнением вихря на сфере ( ишвш » 1978) подтверждают эту качественную схему.

ГЛАВА 2 посвящена исследованию слабонелинейных взаимодействий волн Россби в квадратном бассейне на бета-плоскости. Обнаруженные в Главе I качественно новые свойсгва системы взаимодействующих на сфере волн Россби (неэффективность точных и эффективность приближенных взаимодействий, локаль-

ность взаимодействий, существование не взаимодействующих- волн) ' явились, в первую очередь, следствием того, что эта система имеет дискретный спектр. Поскольку собственные-моды в любых-резонаторах характеризуются целочисленными параметрами, то естественно ожидать справедливости этих результатов'а для других случаев слабонелинейных взаимодействий волн в ограниченных бассейнах.

В соответствии с этим в § 2.2 выводятся уравнения для ам-* . плитуд и условия резонанса для триплета резонансно взаимодейст- " вующих волн Россби в квадратном бассейне на бега-плоскости. '.'. Рассматриваются квазигеострофические движения первого роде! в баротропном прямоугольном океане постоянной глубины с твердой . крышкой на поверхности и условиями непрйгекания'на границе.. Найдено явное аналитическое выражение для коэффициента взаимодействия и выписаны условия резонанса, которые в данном- случав имеют вид (Педаоски, 1979): . ., ' ,

Г / / у

(2) 1" = \ ' ... / ^ у 2" - //3 • '

§ 2.3 посвящен анализу условий резонанса, то есть систе-* мы уравнений (2). Прежде всего, доказано, что множество всех -резонансно взаимодействующих волновых пакетов в этом случае' разбивается на непересекающиеся подсистемы (классы),.между которыми не происходит обмена энаргиай. Соответствующее разбиение множества всех волновых векторов явно построено, принадлежность конкретной волны тому или иному классу определяется однозначно-по ее волновым числам п. . Исследованы различные свойства классов (их количество, мощность, структура). Доказано, что система (2) имеет бесконечное количество решений, все решения первого уравнения системы описаны параметрически* Приведены также результаты численного исследования (2) в области 0* юг,/?-;*- 200, • которые оказались аналогичны результатам, полученным в Главе I для сферических волн Россби. Во взаимодействия участвуют только около 18 % общего числа волн, 6 увеличением области счета их' количество уменьшается. Волна с фиксированным волновым числом-

может взаимодействовать только с конечным числом волн и интервал, в котором лежат волновые числа возможных партнеров данной волны, явно выписан. Кроме того, установлено, что все множество взаимодействующих векторов разбивается на небольшие (как правило состоящие из трех-четырех волн) подсистемы, внутри которых происходит периодический обмен энергией, а между ними нет энергетического обмена.

В § 2.4 изучаются приближенные взаимодействия волн Россби в квадратном бассейне, подобно тому, как это было сделано в § 1.5 для сферических волн Россби. Установлено, что в мелкомасштабной части, где точные взаимодействия практически отсутствуют, все моды участвуют в приближенных взаимодействиях, приводящих к сравнительно эффективному энергетическому каскаду в этой области.

В § 2.5 получена асимптотическая оценка для числа волновых векторов с одинаковыми нормами в зависимости от радиуса области, в которой рассматривается взаимодействие. Наличие такой оценки означает, что как бы ни была велика конечная область взаимодействия, качественные отличия от взаимодействий на бесконечной бета-плоскости (локальность взаимодействия, наличие большого числа не взаимодействующих волн и т.д.) будут сохраняться.

§ 2.6 посвящен обсуждению получанных результатов. Здесь делается вывод о том, что крупномасштабная и мелкомасштабная части спектра оказываются практически не связанными между собой, причем крупномасштабные моды взаимодействуют слабо, а мелкомасштабные - интенсивно. Этот факт чрезвычайно существенен для приложений. Известно, что прямое атмосферное воздействие генерирует в океане в основном быстрые баротропные моды с масштабом, сравнимым с размерами бассейна. Можно было бы предполагать, что интенсивные синоптические вихри открытого океана с масштабом., много меньшим размера бассейна (гораздо слабее ¡подверженные влиянию атмосферного воздействия) могут в определенной степени поддерживаться за счет нелинейной перекачки.от этих крупномасштабных мод. Полученные результаты указывают на неэффективность такого механизма. Кроме того, независимость мелкомасштабных синоптических движений от крупномасштабных делает правомерным использование на достаточно больших временах локальных моделей расчета синоптических вихрей в открытых частях океана.

ГЛАВА 3 посвящена исследованию общих закономерно-

стей слабоналинейных взаимодайсгвяй диспергирующих волн в системах с дискретным спектром. В двух предыдущих главах был обнаружен ряд общих черт, присущих слабонелинейнш взаимодействиям сферических волн Россби и волн Россби в ограниченном бассейне на бета-плоскости. В связи с этим возникает естественный вопрос о том, являются ли эти особенности свойственными собственно взаимодействиям волн Россби в ограниченных областях или они есть проявление некоторых общих закономерностей слабонелинейных взаимодействий в резонаторах для многих типов волн.

В § 3.2 доказана теорема о том, что если дисперсия как функция целочисленного переменного удовлетворяет некоторым условиям, то множество резонансно взаимодействующих волн может быть разбито на непересекающиеся системы (классы) таким образом, что волны из разных классов не взаимодействуют между собой. Доказанная теорема неконструктивна в том смысле, что она не дает алгоритма, позволяющего построить разбиение в случае, если оно существует, или хотя бы выяснить необходимые и достаточные условия существования такого разбиения. Она формируется лишь как достаточное условие существования разбиения и дает возможность строить разбиение множества взаимодействующих векторов по известному разбиению множества векторных пространств специального вида. Тем не менее использование этой теоремы оказывается очень плодотворным для широкого класса волн.

В § 3.3 рассмотрены приемы взаимодействий различных типов волн в системах с дискретным спектром, для которых условия теоремы выполнены. Для внутренних волн в экспоненциально стратифицированной жидкости (дисперсионное соотношение имеет вид \> ) были найдены аналитически все решения си-

стемы уравнений, описывающей условия резонанса. Разбиение на классы построено в явном виде, исследованы свойства классов, аналогично тому, как это было сделано в главе 2 для волн Россби в квадратном бассейне. Показано, что простым переименованием переменных из решения данной задачи можно получить решение задачи о слабонелиненных трехволновых взаимодействиях инерционных волн. Для капиллярных волн (дисперсионное соотношение

57А/', ) доказано, что точные слабонелиней-

ные взаимодействия отсутствуют. Для гравитационно-капиллярных волн (дисперсионное соотношение ¿0-^¡к!-<х1к1 , у.*- е< //// )

соответствующее разбиение на классы построено и показано, что вероятность существования решений в каждом классе стремится к нулю. Для гравитационных волн на глубокой воде (дисперсионное соотношение (Ог= д ¡к) ) разбиение построено и показано, ^го , решений., то есть в этом случае четверок резонансно, взаимодействующих слабонелинейных волн,будет бесконечно много..Для длинных волн во вращающейся жидкости (дисперсионное соотношение ¿<-> = ^дН/хР-^кР разбиение построено и показано, что

решений в данном случае будет не более чем конечное число. Показано, что предлагаемый подход к изучению резонансных взаимодействий в.системах с дискретным спектром может успешно применяться для широкого класса различных типов волн.

§ 3.4 исследуется .свойство локальности таких взаимодействий, которое мы обнаружили для сферических волн Россби в § 1.3 Главы I и для.волн Россби в квадратном бассейне на бета-плоскости в § 2.3 Главы 2. Для каждого из перечисленных выше типов волн установлено, что это свойотво имеет место. Границы области в которой могут лежать партнеры волны с заданным волновым числом, для каждого типа воля явйо выписаны.

§ 3.5 посвящен обсуждению полученных результатов. Выявлены общие закономерности слабонелинейных взаимодействий диспергирующих волн в резонаторах. Существенная, особенность таких взаимодействий заключается в том, что, в отличие от взаимодействий в неограниченных областях, в этих системах нет стохастизации взаимодействий. Напротив, на множестве резонансно, взаимодействующих волн имеется структура - парциальные, не взаимодействующие меаду собой систёмы, состоящие часто из трех-четырех волновых пакетов. Это означает, что-применимость кинетического уравнения для описания таких систем требует дополнительного обоснования.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Приложение I содержит краткое описание программы и результаты численного исследования условий резонанса волн Россби на сфере, а Приложение 2 - краткое описание программы и результать численного исследования условий резонанса для волн Россби в квадратном бассейне.

йсжшнт дашыаи'...

I. Проведено детальное исследование слабонелинейных трех-

волновых взаимодействий волн Россби на сфере, установлена неэффективность точных взаимодействий в перераспределении энергии по спектру и эффективность взаимодействий с расстройкой по ча,-стоте для коротких волн.

2. Исследована применимость приближения бета-плоскости для описания слабонелинейных взаимодействий планетарных волн_с масштабами, много меньшими радиуса Земли. Установлено, что это -приближение применимо в том случае, когда существует так назьг-' ваемая широта взаимодействия, в окрестности которой в основном

и происходит обмен энергией. Выписаны условия существования широты взаимодействия.

3. Исследовано поведение резонансно взаимодействующих волн Россби в ограниченной области, моделирующей океанский, бассейн, установлена неэффективность точных взаимодействий и наличие большого числа не вступающих в резонансные взаимодействия мод. . Доказано существование, непересекающихся парциальных подсистем

на множестве резонансно взаимодействующих волн. !

4. Установлено, что в этом случае вся область волновых Чя- . • сел делится на две части: крупномасштабную, которая не играет роли в перераспределении энергии по спектру, и мелкомасштабную,

в которой перераспределение энергии происходит за счет приближенных взаимодействий (то есть взаимодействий с расстройкой по частоте).

5. Доказана общая теорема, описывающая широкий класс типов волн, для которых множество слабонелинейно взаимодействующих волн в системах с .дискретным спектром будет разбиваться на независимые подсистемы.

6. Предложен общий подход для исследования таких систем, на его основе рассмотрен ряд примеров таких систем (внутренние и инерционные волны, гравитационные на глубокой воде, капиллярные, длинные волны во вращающейся жидкости и др.), в каждом случае разбиение явно построено.

7. Для тех же систем волн доказано, что в большинстве,случаев фиксированная волна может вступать во взаимодействие только е.-конечным числом партнеров. Это означает, что установленное нами для волн Россби на сфере и в ограниченной области свойство

локальности взаимодействий на самом деле является общим свойством систем с дискретным спектром.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Карташова Е.А. Слабонелинейные взаимодействия сферических волн Россби и переход к бета-плоскости. Тезисы докладов Конференции молодых ученых ИОАН, 1988, с. 21-25.

2. Карташова Е.А., Питербарг Л.И., Резник Г.М. Слабонелинейные взаимодействия волн Россби на сфере. Океанология, 1989,

т. XXIX, Ш 4, с. 533-542.

3. Карташова Е.А., Резник Г.М. Слабонелинейные взаимодействия волн Россби на ограниченной бета-плоскости. Тезисы докладов Ш Всесоюзного симпозиума "Тонкая структура' и синоптическая изменчивость морей и океанов", АН СССР, Таллинн,1990,

с. 76-77.

4. Kartashova Е.А. Partitioning of Ensembles of weakly interacting dispersing waves in resonators into disjoint classes, Physica D. 1990, vol. II, p.20-28

5. Kartashova E.A. On existence of disjoint classes of interacting waves in resonators. Abstracts of the International Simposium "Nonlinear Dynamics of Structures". Moscow, SRI. 1990, p. I30-I3I