Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Исследование нелинейного взаимодействия волн во вращающемся океане методами гамильтоновского формализма

ВАК РФ 11.00.08, Океанология

Текст научной работыДиссертация по географии, кандидата физико-математических наук, Куркин, Андрей Александрович, Нижний Новгород

Нижегородский технический университет

На правах рукописи КУРКИН Андрей Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ОКЕАНЕ МЕТОДАМИ ГАМИЛЬТОНОВСКОГО

ФОРМАЛИЗМА

Специальность 11.00.08 - Океанология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пелиновский E.H.

Нижний Новгород - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..............................................................................................................3

Глава 1. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в слое полуограниченной вращающейся жидкости..................................................13

1.1. Нормальные канонические переменные ........................17

1.2. Распадное взаимодействие волн Кельвина и Пуанкаре ................................................................................................29

Выводы к главе 1 ..............................................................................38

Глава 2. Гамильтоновское описание нелинейных баротропных

волн Россби в приближении (3 - плоскости....................39

2.1. Нормальные канонические переменные ........................42

2.2. Самовоздействие баротропных волн Россби ............49

Выводы к главе 2..............................................................................54

Глава 3. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби

на сфере ..........................................................................................55

3.1. Каноническая теория баротропных волн Россби на сфере ............................................................................................56

3.2. Эффекты слабонелинейного взаимодействия баротропных волн Россби на сфере ..........................................70

Выводы к главе 3..............................................................................77

Заключение ......................................................................................................79

Приложение 1 ..................................................................................................81

Приложение 2 ..................................................................................................89

Список литературы........................................................................................91

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы гамильтоновский подход [1], обобщенный в работах [2], [3] прочно вошел в математический арсенал современной гидродинамики и зарекомендовал себя как мощный инструмент исследования разнообразных проблем динамики в широком круге приложений. Это объясняется не только действенностью аппарата канонических преобразований, позволяющего эффективно упрощать гамильтониан взаимодействия волн среды, оставляя в нем лишь существенные члены, но и инвариантностью "устройства" записанных в нормальном представлении гамильтонианов сред по отношению к физической природе последних, если общими оказываются их дисперсии и обусловленный ими характер взаимодействия волн, что позволяет легко придавать результатам, полученным для конкретной задачи, общефизический смысл. Зародившись в недрах классической механики дискретных систем и взаимодействуя с такими математическими дисциплинами как дифференциальная геометрия, теория групп и алгебр Ли, функциональный анализ и др., гамильтоновский формализм сейчас напоминает ветвистое дерево, широкая крона которого охватывает все новые и новые области приложения.

Новый этап в его развитии наступил около трех десятилетий назад, когда произошло осознание его общефизического значе-

ния. Стало ясно, что многие консервативные теории классической физики, механики и гидродинамики использующие концепцию поля, обладают скрытой гамильтоновской структурой. В их числе оказались и системы, описываемые уравнениями гидродинамического типа, имеющие важное приложение в океанологии. Решение вопроса о гамильтоновской структуре таких уравнений имеет два традиционных подхода. Во-первых, можно попытаться непосредственно угадать для той или иной системы полный набор канонических переменных, использование которых ведет к кардинальному упрощению вычислений и прояснению существенных моментов при изучении процессов взаимодействия волн в различных нелинейных средах. При этом автоматически решается проблема формулирования вариационного принципа. Однако следует отметить, что обычно гамильтонов-ские переменные выражаются через естественные физические переменные (скорость, давление) весьма нетривиальным образом.

Альтернативным путем является прямое нахождение выражения для скобок Пуассона в "естественных" переменных. Это не дает возможность ввести вариационный принцип, но для ряда физических задач оказывается полезным. Развитию этих представлений посвящены работы Л.Д.Ландау [4], В.И.Арнольда [5], Дзялошинского и Воловина [6], а также С.П.Новикова [7]. Следует

отметить, однако, что на современном уровне классификация и систематическое изучение систем и скобок Пуассона проводится в рамках дифференциально - геометрического подхода, использование которого сужает класс исследуемых задач..

Что касается первого подхода, развитию которого посвящена и данная диссертация, то использование в качестве канонических переменных системы потенциалов Клебша было еще предложено в прошлом веке в работе [8] для описания идеальной однородной несжимаемой жидкости. Позднее, в 1932 году Х.Бейтман [9], а впоследствии независимо Б.И.Давыдов [10], распространили этот результат на сжимаемую бар о тройную жидкость. Потом, в 1953 году Ито [11] рассмотрел случай из энтропического и изотермического течений жидкости с произвольным уровнем состояния. При этом одна из канонических переменных отождествлялась с энтропией (или температурой для изотермических течений). Из этих результатов можно получить канонические переменные для несжимаемой жидкости переменной плотности, в том числе и жидкости со свободной границей, что и было сделано в работах [12], [13].

Использование выведенных ранее для жидкости канонических переменных позволило В.Е.Захарову постороить гамильтонов-скую теорию волн в нелинейных консервативных средах [1], которая успешно применялась для решения многих нелинейных за-

дач и, в частности, впервые она использовалась для исследования потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости [2]. В результате такого исследования построена теория резонансного взаимодействия поверхностных гравитационно - капиллярных волн, включающая в себя случаи распадного трехволнового взаимодействия [14], а так же детальный расчет четырехвол-новых нераспадных процессов на глубокой воде [15]. Эти общие результаты успешно используются для интерпретации реально наблюдаемых эффектов, например, для обьяснения затухания метровых поверхностных волн за счет нелинейной перекачки энергии в область капиллярных волн, где энергия эффективно диссипирует за счет молекулярной вязкости [16]. Кроме того, использование результатов этой теории дало преимущество, во-первых, при изучении волновых взаимодействий в стратифицированной сжимаемой [17] и несжимаемой [18] жидкости, во-вторых, для описания волновых движений в течениях со сдвигом [19] и взаимодействий объемных и поверхностных волн в нелинейных средах [20], а также при решении задач магнитной гидродинамики [12]. Однако наряду с этим в настоящее время необходимо дальнейшее развитие гамильтоновского формализма для исследования волновых задач, характерная особенность которых заключается в том, что здесь принципиальную роль играют эффекты, связанные с вращением среды.

При этом остается открытым вопрос о гамильтоновской структуре для уравнений, описывающих нелинейное взаимодействие волн Кельвина и Пуанкаре в слое полуограниченной вращающейся жидкости. В этой системе до сих пор не удалось ввести нормальных канонических переменных, хотя существование гамильтоновской структуры является доказанным фактом.

Развитию этого направления гамильтоновского описания волн во вращающейся жидкости в применении к задаче о нелинейном взаимодействии волн Кельвина и Пуанкаре в океане, играющих чрезвычайно важную роль в процессах переноса энергии в его пограничных областях, посвящена первая глава диссертации.

В разделе 1.1 первой главы использование преобразования Клебша [21] упростило нахождение преобразования от исходных физических переменных задачи к каноническим переменным, описывающим случай полуограниченного канала вращающейся жидкости. Их использование упростило нахождение преобразования к нормальным каноническим переменным - комплексным амплитудам взаимодействующих волн и тем самым решило задачу гамильтоновского описания нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в рассматриваемой модели. В разделе 1.2 данной главы благодаря построенной теории вычислены коэффициенты нелинейного взаимодействия исследуемых волн, что позволило, во-первых, изучить один из возможных не-

линейных механизмов генерации кельвиновских волн за счет резонансного взаимодействия встречных волн Кельвина с волной Пуанкаре (процессы генерации волн Кельвина исследовались ранее в основном в рамках линейных моделей [22]-[25], однако на ряду с этим было и несколько "нелинейных" работ, (см., например [26]); во-вторых, рассмотреть стабилизацию, возникающей при этом распадной неустойчивости волн Кельвина за счет фазового рассогласования взаимодействующих волн, возникающего в результате четырехволнового взаимодействия кельвиновских волн. Этот процесс, относящийся к эффектам второго приближения, удалось рассмотреть благодаря использованию построенной гамильтоновской теории, упрощающей получение матричных коэффициентов нелинейного взаимодействия.

Второе направление проводимых в данной диссертации исследований, связанное с построением гамильтоновского описания баротропных волн Россби в приближении (3 - плоскости и на сфере до сих пор остается актуальным, не смотря на то, что в последнее время появился ряд работ [27] - [35], посвященных ему. Эта актуальность определяется, как перспективностью использования россбиевских волн для теоретического описания синоптических движений, сложность которых обусловлена многообразием факторов, определяющих их динамику, так и большим колическтвом прикладных задач. Однако, заметим,

что, используемое в работах [27] - [35] в качестве исходного пункта уравнение вихря в той или иной модели, позволяет построить гамильтоновскую теорию только для волн Россби малой амплитуды, в следствии того, что полученное преобразование к нормальным каноническим переменным требует незамкнутости изолиний потенциального вихря. Построению гамильтонов-ской теории баротропных волн Россби в приближении [3 - плоскости, учитывающей тот факт, что дифференциальное вращение (¡3 - эффект) вносит в динамику анизотропию и посвящен раздел 2.1 второй главы диссертации. В разделе 2.2 этой главы в качестве примера нелинейного взаимодействия рассматриваемых волн Россби, представляющего как теоретический, так и прикладной интерес, в связи с проблемой генерации зональных течений в океане [33], рассматривается самовоздействие волн Россби в рамках эффекта модуляционной неустойчивости последних. Отметим, что полученные в разделе 2.2 численные оценки достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными только для россбиевских волн, коротких по сравнению с радиусом Земли, поскольку как уже было доказано ранее каноническая теория баротропных волн Россби в приближении ¡3 - плоскости, применима лишь в узких по сравнению с радиусом Земли широтных поясах и заведомо не описывает волны Россби с масштабами порядка этого радиуса.

Однако в виду того, что волны Россби принадлежат к числу наиболее крупномасштабных возмущений на Земле, нередко приходится отказываться от приближения (3 - плоскости и использовать сферические координаты для их описания. Обобщение гамильтоновской теории на сферические координаты, проведенное в разделе 3.1 третьей главы диссертации представляет собой нетривиальную задачу, заслуживающую самостоятельного рассмотрения. В разделе 3.2 этой главы исследуются задачи о распадной и модуляционно неустойчивостях россбиевских волн как коротких по сравнению с радиусом Земли, так и с масштабами порядка этого радиуса. Полученные в данном разделе результаты позволяют качественно описать возможную эволюцию произвольного начального состояния под влиянием слабой нелинейности.

Основные положения, выносимые на защиту:

Основные положения, выносимые на защиту, можно сгруппировать по двум направлениям: распространение методов гамиль-тоновского формализма на теорию нелинейного взаимодействия отдельных типов волн во вращающейся жидкости; изучение прикладных аспектов нелинейного взаимодействия этих волн применительно к задачам океанологии.

По первому направлению на защиту выносятся:

1. Построение канонической теории нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в слое однородной вращающейся жидкости.

2. Построение канонической теории баротропных волн Россби в приближении /3-плоскости.

3. Построение канонической теории баротропных россбиев-ских волн на сфере.

По второму направлению -

1. Рассчет процессов нелинейной генерации кельвиновских волн за счет резонансного взаимодействия с волной Пуанкаре.

2. Описание процесса самовоздействия баротропных волн Россби в приближении /^-плоскости.

3. Исследование эффектов слабонелинейного взаимодействия баротропных россбиевских волн на сфере.

Диссертация состоит из Введения, Трех Гнав и Заключения, Приложений. Обьем диссертации составляет 103 стр., в том числе 91 стр. основного текста. Список литературы содержит 110 наименований.

Основные положения диссертации опубликованы в работах [91]—[110].

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной математики НГТУ, кафедры теории колебаний ИНГУ, отделения гидрофизики ИПФ РАН, На-

учных конференциях ННГУ (1994, 1995, 1996, 1997, 1998 гг.), VI и VII научных сессиях Совета по нелинейной динамике РАН (г. Москва, 1995, 1996 гг.), Международной школе по нелинейным колебаниям (г. Н. Новгород, 1995 г.), I и II Нижегородских научных сессиях молодых ученых (1996, 1997 гг.), Международной конференции "Contemporary problems in theory of dynamical systems" (г. H. Новгород, 1996 г.), XXII General Assembly of European Geophysical Society (Vienna, Austria, 1997 г.), Международной конференции "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows" (г. Москва, 1997 г.), 3rd European Fluid Mechanics Conference (Gottingen, Germany, 1997 г.), Научно-технической конференции факультета информационных систем и технологий НГТУ (Н.Новгород, 1998 г.), XXIII General Assembly of European Geophysical Society (Nice, France, 1998 г.), международная конференция "Stability and Control of Shear Flows with Strong Temperature or Density Gradients" (Prague, Czech Republic, 1998).

Глава 1. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в слое полуограниченной вращающейся жидкости

В динамике волн прибрежной, шельфовой зоны океана заметную роль играет особый класс собственных волн, - так называемые захваченные волны [36]—[42] -тип длинноволновых движений вращающегося океана, локализованных в прибрежной зоне, а также в областях с вытянутыми и достаточно сильными и резкими неоднородностями рельефа дна. Эти волны принадлежат к классу волн в направляющих структурах; при этом соответствующие области океана играют роль своебразных открытых волноводов. Их активное исследование началось два десятилетия назад и продолжается в настоящее время с усиленным интересом, поскольку они играют чрезвычайно важную роль в пограничных областях океана; вблизи берега на волны этого класса приходится 95-98 % энергии, причем последняя может передаваться вдоль структуры захвата на большие расстояния без существенных потерь. Наблюдения последних лет показали, что такие разнородные явления, как топографические вихри, меандрирование течений, прибрежная циркуляция, апвеллинг (подьем на поверхность холодных масс воды вблизи берега), короткопериодические

климатические флюктуации, тесно связаны с захваченными волнами [36]—[42].

Одним из основных типов захваченных волн, наряду с краевыми волнами Стокса и волнами Россби, являются волны Кельвина, впервые описанные в работе [43], захват которых, обусловленный вращением Земли и наличием береговой границы, характерен в первую очередь следующими особенностями: волны Кельвина способны распространяться только в одном направлении, при котором береговая линия остается справа; амплитуда кельвиновской волны убывает при удалении от береговой границы в простейшем случае - экспоненциально.

Линейная теория этих волн представляет собой достаточно хорошо разработанный и устоявшийся раздел теории волн в океане [41]. Нелинейные ее аспекты, напротив, изучены еще недостаточно. Одна из основных причин этого положения - отсутствие для моделей нелинейных ограниченных вращающихся сред регулярных обобщенных подходов, подобных, например сформулированному для поверхностных и внутренних волн в неподвижной жидкости гамильтоновскому формализму [20]. Попытка восполнить указанный пробел была предпринята в работе [45], в которой был предложен так называемый метод элементарных взаимодействующих мод. Но при этом, в силу