Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Разработка метода расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия

ВАК РФ 25.00.20, Геомеханика, разрушение пород взрывом, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика

Автореферат диссертации по теме "Разработка метода расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия"

На правах рукописи

САММАЛЬ Сергей Андреевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДА РАСЧЕТА ОБДЕЛОК ТОННЕЛЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

Специальность 25.00.20 - «Геомеханика, разрушение горных пород, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

4856442

о г [.;др ¿он

Тула 2011

4856442

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Фотиева Нина Наумовна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

Лавит Игорь Михайлович

Ведущее предприятие - Закрытое акционерное общество

«Тоннельпроект»

Защита диссертации состоится « !7_» марта 2011 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д212.271.04 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012 г. Тула, пр. Ленина 92, учебный корпус 6, ауд. 220.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан« 16 » февраля 2011 г.

кандидат технических наук Шелепов Николай Валентинович

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Широкое применение энергии взрыва в горном и строительном деле, как правило, связано с необходимостью принятия дополнительных мер по обеспечению надежности близко расположенных подземных сооружений, поскольку в этих условиях обделка (крепь) наряду со статическими нагрузками испытывает существенные динамические воздействия.

В настоящее время общепринятыми являются подходы к прогнозу поведения подземных сооружений при динамических воздействиях, базирующиеся на изучении напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом их взаимодействия с окружающим массивом пород (грунта). Имеющиеся аналитические методы позволяют производить расчет обделок (в том числе - многослойных) круговых тоннелей глубокого заложения, когда массив моделируется линейно-деформируемой или двухкомпонентной (водо-насьпценной) изотропной средой, а динамические проявления рассматриваются как процессы дифракции стационарных или нестационарных продольных или поперечных волн на подкрепленных отверстиях. Аналогичных методов, предназначенных для расчета обделок тоннелей некругового поперечного сечения, до настоящего времени не имелось.

Отдельные результаты, полученные на основе численного моделирования, например, с использованием методов конечных элементов (МКЭ) или конечных разностей (МКР), вряд ли можно расценивать как решение указанной проблемы, поскольку учет основных особенностей расчетной схемы, в которой массив пород моделируется бесконечной средой, а источник динамического воздействия расположен на значительном расстоянии от сооружения, вносит существенные дополнительные трудности, связанные с достижением необходимой точности расчета, преодоление которых имеет смысл только при проектировании уникальных объектов.

В связи с этим разработка аналитического метода расчета подземных конструкций произвольного поперечного сечения (крепи капитальных горных выработок, обделок тоннелей и заглубленных трубопроводов) на динамические воздействия является актуальной научной задачей, решение которой открывает новые возможности для совершенствования проектирования подземных сооружений различного назначения, располагаемых в зоне влияния взрывных работ, способствуя повышению их надежности, а в ряде случаев - обоснованному принятию более экономичных проектных решений.

Целью работы являлось установление закономерностей формирования напряженного состояния обделки тоннеля произвольного поперечного сечения и окружающего массива пород как элементов единой деформируемой системы при распространении, в том числе - от близкого источника, гармонических волн сжатия - растяжения и сдвига и разработка соответствующей математической модели, аналитического метода, алгоритма и компьютерного программного обеспечения расчета обделок некруговой формы на динамиче-

ские воздействия, использование которых обеспечит повышение надежности проектируемых подземных сооружений и обоснованное облегчение конструкций за счет уменьшения их толщины или процента армирования.

Идея работы заключается в рассмотрении обделок тоннелей произвольного поперечного сечения и окружающего массива пород (грунта) как элементов единой деформируемой системы и получении новых аналитических решений соответствующих плоских динамических задач теории упругости о дифракции гармонических волн, распространяющихся (в том числе - от близко расположенного источника) в линейно - деформируемой среде, моделирующей массив пород, на кольце из другого материала, подкрепляющем отверстие произвольной формы (с одной осью симметрии), моделирующем обделку тоннеля, полагаемых в основу разрабатываемого метода расчета.

Методы исследования включают решения трех плоских задач динамической теории упругости с использованием теории функций комплексного переменного, аппарата конформных отображений, специальных цилиндрических (Бесселевых) функций и комплексных рядов, метода возмущения формы границы, модернизированного с целью построения итерационного процесса для отыскания комплексных потенциалов, определяющих напряжения и смещения точек среды и кольца, на основе рекуррентных соотношений, что позволяет рассматривать произвольное количество приближений, обеспечивая высокую точность расчета; разработку компьютерного программного обеспечения; выполнение многовариантных расчетов с целью исследования зависимости максимальных за все время прохождения волн нормальных тангенциальных напряжений в обделках двух типов поперечных сечений от основных влияющих факторов; сравнение результатов расчетов с решениями частных задач, полученными другими авторами.

Научные положения, разработанные лично соискателем, и их новизна:

- получены новые аналитические решения трех плоских динамических задач теории упругости о напряженном состоянии в общем случае некругового кольца (с одной осью симметрии), подкрепляющего отверстие в бесконечной однородной изотропной среде из другого материала, при распространении гармонических волн сжатия - растяжения (продольной) и сдвига (поперечной) произвольного направления, или продольной волны, излучаемой близко расположенным источником, при граничных условиях, отражающих непрерывность векторов напряжений и смещений на линии контакта среды и кольца, а также отсутствие внешних сил на внутреннем контуре кольца;

- на основе полученных решений разработан новый метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия, в том числе - исходящие из близко расположенного источника;

- разработан алгоритм и составлена компьютерная программа определения максимальных по абсолютной величине напряжений в обделке за все время прохождения волны;

- исследованы зависимости максимальных нормальных тангенциальных" напряжений, возникающих в точках внутренних контуров поперечных сечений двух различных форм, характерных для обделок транспортных тоннелей и крепи капитальных горных выработок, от основных влияющих факторов.

Достоверность научных положений и выводов диссертации подтверждается высокой точностью удовлетворения граничных условий (погрешность не превышает 1%), положенных в основу разработанного метода расчета задач; полным совпадением результатов, получаемых в частных случаях неподкрепленной некруговой выработки и обделки кругового тоннеля, с соответствующими аналитическими решениями других авторов.

Научное значение диссертационной работы состоит в получении новых аналитических решений трех плоских динамических задач теории упругости о дифракции гармонических волн сжатия - растяжения и сдвига, распространяющихся (как из бесконечности, так и из близко расположенного источника) в изотропной среде, на отверстии произвольной формы, подкрепленном кольцом из другого материала; "разработке на их основе нового метода расчета некруговых обделок на динамические воздействия; установлении зависимостей максимальных за все время прохождения волн нормальных тангенциальных напряжений, возникающих на внутренних контурах поперечных сечений обделок двух различных форм, от основных влияющих факторов.

Практическое значение диссертации состоит в разработке алгоритма расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия и компьютерного программного обеспечения, позволяющего производить многовариантяые расчеты в целях практического проектирования.

Реализация результатов работы. Результаты диссертации приняты к использованию ЗАО "Тоннельпроект" (г. Тула) для оценки проектных параметров обделок тоннелей, сооружаемых в зонах взрывных работ.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на Международных научно-практических конференциях «Форум горняков» (г. Днепропетровск, НГУ, 2008, 2009, 2010 г.), на III, IV, V Международных конференциях «Проблемы геомеханики и механики подземных сооружений» (г. Тула, 2006, 2007, 2008, 2009 г.), на 68-й Международной научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (г. Днепропетровск, ДИИТ), на VII Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (г. С.-Петербург, Санкт-Петербургский университет путей сообщений, 2008 г.), на Швейцарско - Российском научном семинаре «Геомеханика, строительство подземных сооружений и охрана окружающей среды» (Швейцария, г. Лозанна, Федеральный политехнический университет, 2008 г.), на научно-технических конференциях преподавателей и сотрудни-

ков Тульского государственного университета (г. Тула, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 г.г.), на И-ой Молодежной научно-практической конференции Тульского государственного университета (г. Тула, ТулГУ, 2008 г.), на Всероссийской научно-технической конференции «Приоритетные направления развития науки и технологий» (г. Тула, ТулГУ, 2008 г.), на IV Международной конференции «Теория и практика геомеханики, направленные на повышение эффективности горной разработки и строительства» (Варна, Болгария, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, в том числе 3 - в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, и заключения. Работа изложена на 195 страницах машинописного текста и содержит 78 рисунков, 6 таблиц, список использованных источников из 128 наименований, одно приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Вопросам расчета и проектирования подземных сооружений, подверженных динамическим и сейсмическим воздействиям, посвящены работы Ш.М. Айталиева, JI. А. Алексеевой, И.Б.Баймаханова, P.O. Бакирова, В.М. Бондаренко, Н.С. Булычева, В.Г. Гарайчука, С.С. Давыдова, М.А. Да-шевского, С. Джунисбекова, И.Я. Дормана, H.A. Евстропова, Ж.С. Ержанова,

A.A. Ишанходжаева, М.А. Каюпова, В.И. Колодия, Н.У. Кулдашева, Ж.К. Масанова, Н.М. Махметовой, Я.Н. Мубаракова, Ш.Г. Напетваридзе,

B.И. Нечаева, Ю.Н. Новичкова, А.Д. Омарова, Т.Р. Рашидова, С.К. Савенко, J1.B. Сафонова, O.K. Славина, H.H. Фотиевой, Г.Л. Хесина, В.Н. Шапошникова, Е.И. Шемякина, В.В. Шершнева, С.С. Mow, J.H.Pow и др., в которых для исследования напряженного состояния подземных конструкций и горных массивов применяются аналитические и численные методы, а также методы фотоупругости. При этом основу аналитических методов составляют фундаментальные положения, содержащиеся в работах Г.Н. Савина, А.Н. Гузя, В.Д. Кубенко, М.А. Черевко, Г. Кольских, В. Новацкого, и др.

В настоящее время имеются аналитические методы расчета обделок (в том числе - многослойных) тоннелей, имеющих круговую форму поперечного сечения, а также определения напряженного состояния пород в окрестности неподкрепленных выработок некругового очертания при динамических воздействиях, обусловленных распространением в массиве плоских гармонических волн. Аналогичных методов расчета, основанных на рассмотрении подземной конструкции и окружающего массива как элементов единой деформируемой системы, позволяющих определять напряженное состояние обделок, имеющих некрутовое поперечное сечение, до настоящего времени не имелось, равно как отсутствовали и необходимые для построения таких методов решения соответствующих динамических задач теории упругости.

В связи с этим целью диссертации явилась разработка нового анапитиче-

ского метода расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения (с вертикальной осью симметрии) на динамические воздействия, реализованного в виде соответствующего компьютерного программного обеспечения.

В случае, когда источник динамического воздействия удален на значительное расстояние от центра выработки (обычно под значительным понимается расстояние />10Л, где Л-средний радиус выработки), рассматривается стационарная задача динамической теории упругости для кольца произвольной формы, подкрепляющего отверстие в однородной изотропной среде из другого материала. Падающая волна сжатия - растяжения или сдвига является гармонической, имеет круговую частоту 55 и распространяется по оси Охсоставляющей произвольный угол р с вертикальной осью Ох (рис. 1).

Здесь однородная изотропная среда обладающая удельным весом у0 и деформационными характеристиками - модулем деформации Ео и коэффициентом Пуассона \>о, моделирует массив пород. Кольцо 5, толщиной в своде Д, ограниченное контурами Ьо и ¿ь материал которого имеет удельный вес у] и деформационные характеристики Е\, VI, моделирует обделку тоннеля.

Для решения плоских. динамических задач теории упругости вводятся потенциалы ф(;) и ф^ (/' = 0, 1) Рисунок 1 - Расчетная схема

связанные с напряжениями и смещениями областей 5) (/ = 0, 1), которые должны удовлетворять волновым уравнениям Гельмгольца:

(у2+оу^а)=0; (уЧСВ^^О (1)

где V2 - оператор Лапласа, со, (/= 0, 1) - безразмерные частоты колебаний частиц в областях Sj(j= 0, 1), определяющиеся формулами (í>J = Ка/с^ (/'= О, 1), с, (/= 0, 1) - отношение скоростей распространения волн сдвига с~2

О)

сжатия С|;) в среде 50 (/= 0) и области 5: (/' = 1), выражающееся формулой (/= 0,1):

Как известно, решение уравнений (1), имеющее физический смысл, получается после умножения найденных из них потенциалов ф^', на е~ш (I - время, с) и выделения действительной части.

Полные напряжения ст^ и смещения С/10> в среде 5Ь представляются как суммы напряжений а(0)(0) и смещений (/(0)(0) в падающей волне (в среде без подкрепленного отверстия) и дополнительных напряжений а^ и смещений , вызванных распространением волн, отраженных от границы Ь0, то есть

а(«)=с(ОХО)+8(0). с/(0)=[/(0)(0)+а(0); (3)

здесь символом о обозначены все компоненты тензора напряжений, а символом II-составляющие вектора смещений.

Таким образом, полным напряжениям и смещениям в среде 5о в окрестности кольца 51 соответствуют суммы потенциалов падающей и отраженных волн т.е.

+ (4)

Далее, вводя для сохранения общности записи обозначения

ф(0)=(р(0)(0)+?(0))

ф(1>=ф(1);

(5)

удается воспользоваться известными формулами для напряжений и смещений в областях (/ = 0,1) в полярной системе координат г, в (г - безразмерный радиус, отнесенный к И ):

1-у,

ш2ф(Л+2

дг1

-+—

г дгде

1 8\|г

1*Г

>2

Т(Л.

ш2<р0) + 2

'э2<р(Л 1 Эу(Л

тО) _

Тг6 -

-И/

д^ г дт-эе г1 эе 'эУЛ 1 эФ(Л а2м/(/)>

эгэе

эе

Ъг1

(6)

+Ш

(Л

дг г дв

15ф(Л

г дв

(Л

дг

где ц ■=

С/= 0,1).

2(1 +V .■)

При этом под напряжениями понимаются коэффициенты концентрации, т.е. безразмерные отношения напряжений к интенсивности основного напряженного состояния в падающей волне.

Как известно, потенциалы плоских волн, падающих вдоль оси Ох', на-

клоненной под углом р к вертикали, после выражения х' через гиб, определяются соотношениями:

- при рассмотрении действия волны сжатия - растяжения

ф(°Х0)(г>е) = __1_ ц/0)<°>=0. (7)

|Х0Ш0 V——со

- при рассмотрении действия волны сдвига

Ф(ОХО)=0> у(0)(0)(г>е) = _1_ £1^1/у(шоГ>л.(б-р)> (8)

М-О^О v=-c° Здесь Jv(x) - функции Бесселя порядка V.

Общее решение уравнений (1) при j = 0 с учетом условий излучения, выражающих отсутствие отраженных волн, приходящих из бесконечности, представляется в полярных координатах г, 0 в виде

Ф(0)М)= %(Апса$пв + Впзтпв)Нп((о<£0г),

п=О

-ДО),

(9)

н/ w (г, 9) = X (Сп cos л9 + Dn sin пд)Нп (ш0г), п=О

где #„(х) - функции Ханкеля I рода порядка п, An,Bn,Cn,Dn - неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий.

Решение уравнений (1) при j = 1 может быть представлено в виде рядов

СО ОО

Ф(1)(>',6) = £(Мп cosи9 + Nn sin "в)Лг(и+ z(°П cosnQ + Fn sin nQ)Yn(co^jr), n=0 ' n=0

со oo

v|/(1)(r,6)= ]Г(Р„ cos nQ + Qn sin ne)Jn(wlr)+ Jl(Tncosne + VnsmnQ)Yn((ülr), (10)

и=0 n=0

где Y„(z) - функции Неймана (функции Бесселя 2-го рода) порядка п\ Mn,N„ G„,Fn,Pn,Q„,Tl1,Vn - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Кольцо S\ и среда S0 деформируются совместно, то есть на линии контакта L0 выполняются условия непрерывности векторов смещений и напряжений. Внутренний контур кольца L¡ свободен от внешних сил. Таким образом, граничные условия имеют вид:

-на!» í/<»=t/«»;

(П)

CT(D = CT(0) (i) (0) (12)

и/2 и/2 ' '■us lns '

-на1, 41)=0, т$=0, (13)

где - векторы смещений соответствующих граничных точек,

принадлежащих контактирующим областям Sj (_/ = 0,1); , - соответственно нормальные и касательные напряжения.

Таким образом, поставленная задача сводится к определению 12-ти групп неизвестных коэффициентов, входящих в выражения для потенциалов (7) - (10), из граничных условий (11) - (13).

Динамическая задача с учетом близкого расположения источника колебаний формулируется аналогично, при этом отличие состоит лишь в другом представлении потенциалов падающей волны.

Как известно, потенциалы гармонической волны сжатия, излучаемой источником, расположенным на расстоянии К0 от начала системы координат хОу (рис. 2), можно записать в полярной системе координат, имеющей нача-

При условиях независимости напряжений и потенциалов от угла 0 и при отсутствии касательных напряжений в падающей волне в указанной полярной системе координат потенциалы

ф(охо)> ^(0X0)

представляются в виде

ф(0Х0) ~-Я-Нд((о0Е,0г'), (14) Цо

у(°)(°)=0, (г'=ГЧП),

где £) - постоянная, характеризующая мощность источника.

Рисунок 2 - Расчетная схема динамической Для удобства сравне-

задачи при близком расположении ния результатов определения

источника гармонических волн напряжений в случаях близ-

кого расположения источника и действия плоской волны сжатия, приходящей из бесконечности, постоянная Q задается таким образом, чтобы при удалении источника на бесконечность интенсивности напряжений в ненарушенном массиве в центре будущей выработки в обоих случаях совпадали.

Используя «теорему сложения» для цилиндрических функций, можно выразить потенциалы (14) как функции переменных г и 0 в виде

<р(0)(0)(г,е)=—^(ОХО)=о. (15)

ло в точке расположения источника 0'.

X

г

Здесь Г0=Я0/Я, г- безразмерная координата, Нх(х) - функции Ханке-ля I рода порядка

После перехода к полярной системе координат с помощью известных формул преобразования напряжений условия (12), (13) могут быть представлены выражениями вида (/ = 0,1):

£ (_1Г 1 (СТМ + (<,<»> - а«) + 2ЗД>)= 0;

т=}

где Су =^(соз2ау -1} §} = ^¡п 2а7 , а; - соответствующий угол между радиальным направлением и направлением внешней нормали к контуру £. (/ = 0,1).

Далее, для решения поставленных динамических задач применен метод возмущения формы границы. С этой целью с помощью рациональной функции ю((^) производится конформное отображение внешности круга радиуса < 1 в плоскости переменного С, (^ре17) на внешность контура в плоскости г таким образом, чтобы контуру Ь0 заданной формы в плоскости г (г = г'е) соответствовала окружность единичного радиуса Л0= 1. Отображающая функция представляется в виде

О(0 = ^Р=С+еЖ>, (17)

к

где

8 - малый вещественный параметр, изменяющийся в интервале 0<£<1, характеризующий степень отклонения формы внутреннего контура кольца от круговой, к - число членов ряда отображающей функции, необходимое для обеспечения требуемой точности конформного преобразования (ранее было показано, что для достижения приемлемой точности достаточно принимать к = 5).

С помощью формулы (17) переменные г и 8, а также все используемые при решении задачи функции этих переменных можно представить в виде рядов по степеням г

ао кп

(18)

где величина х задается своими коэффициентами разложения *, причем х0 0 принимает значения либо 0, либо 1.

Представление вида (18) позволяет производить все основные операции с рассматриваемыми величинами. Так, например, произведение двух

функций х и у определяется преобразованием

п~05=~кп

« Ь я ¿V

Остальные операции - деление, сложение, вычитание, а также получение комплексно-сопряженных величин осуществляются аналогичным образом.

С целью облегчения дальнейших преобразований на первом этапе решения искомые потенциалы (7)-(10) и (15) представляются в форме разложений (18), но по степеням е'е.

Так, потенциалы падающей волны представляются в общем (для всех рассмотренных задач) виде

Ф(0)(0)(г,е)= Ев-фГЛк^К6,

П=0 5 =—00

Ч/(0Х0)(г,е)=1: (19)

71=0 00

где (р(„'^°К - известные коэффициенты разложений выражений (7), (8),

(14) в каждом «-ном приближении.

В свою очередь, выражения (9) потенциалов в отраженной волне записываются в форме

(20)

здесь коэффициенты и-ного приближения, подлежащие

определению.

Наконец, принимая во внимание, что ЯД2) = ./¿(2) + ;}^(г), выражения (4) и (5) для потенциалов в среде 50 (/ = 0) и в кольце 5] (/' = 1) представляются в виде

со со

л=0 .у=-оо

да ос

(21)

йв

П=0 П-0 5=—Х>

Далее на основании (17) вводятся следующие функции (/ = 0,1):

-1 и ¿И

^ = ГйК) / Г П(Л;а) 1"

1. с . И;*

где .коэффициенты аУ) определяются выражениями ¡Лу'т}-* при п= 1; -к<я<0 [о при остальных значениях и, ^ В результате, вводя представления

I--1 » (_ г(•/) V _ (- аш У

Г ¿1 V

удается воспользоваться известным приемом разложения произвольной функции Ф(г,в) в ряд Тейлора:

л=ои!

др ду

ф(р,у). (22)

Таким образом, следуя методу возмущения формы границы, построение разрешающих уравнений относительно искомых коэффициентов Ф^'"/;',Уи"/"')(пРи этом учитывается, Что, как было указано выше,

являются известными) осуществляется путем последовательной подстановки представлений (19)-(21) в формулы для напряжений и смещений (6), а затем - в условия (11), (16). Далее, в результате использования приема разложения полученных выражений в ряды (22) при р = (д = 0,1) и последующего приравнивания в правых и левых частях образованных равенств коэффициентов при одинаковых степенях параметров е, еп, удается построить итерационный процесс, в каждом и-ном приближении которого составляется и решается -(кп + Щ <я <(кп + ТУ)(здесь к- число членов, удерживаемых в отображающей функции (20), N - количество гармоник, учитываемых в нулевом приближении) независимых систем размерностью 6x6 линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов

(г = 1>2) с правыми частями, уточняемыми на основе

предыдущих итераций.

Вычисленные коэффициенты разложений потенциалов позволяют перейти к определению напряженно-деформированного состояния областей ^(/ = 0,1).

Таким образом, существенным преимуществом описанного решения является то, что, будучи основанным на получении рекуррентных соотношений, оно позволяет построить итерационный процесс вычисления искомых коэффициентов разложения потенциалов, рассматривая любое количество приближений, обеспечивая тем самым высокую точность расчета.

Описанное решение реализовано в виде компьютерного программного комплекса, позволяющего производить эффективные расчеты с целью определения максимальных по абсолютной величине динамических напряжений,

возникающих в обделке за все время прохождения волны (то есть строить огибающие эпюр напряжений).

С целью проверки полученного решения и его компьютерной реализации на первом этапе выполнялась оценка точности удовлетворения граничных условий поставленной динамической задачи теории упругости. Далее было произведено сравнение результатов расчета с данными, полученными другими авторами при решении задач, которые в рамках разработанного метода могут быть рассмотрены как частные случаи.

Прежде всего были воспроизведены приведенные в работах Г.Н. Савина результаты определения безразмерных (отнесенных к основному напряженному состоянию в падающей волне) максимальных нормальных тангенциальных напряжений за все время прохождения волны на контурах кругового, эллиптического и квадратного неподкрепленных отверстий в бесконечной среде при распространении гармонической волны сжатия. Далее были воспроизведены полученные Н.Н.Фотиевой и В.Г.Гарайчуком результаты определения напряжений на контуре выработки произвольного поперечного сечения при распространении в массиве продольной и поперечной гармонических волн, а также результаты расчета обделки кругового тоннеля, приведенные в работе Ж.С. Ержанова, Ш.М. Айталиева и Л.А.Алексеевой. Во всех случаях было получено практически полное совпадение расчетных напряжений.

Выявленное удовлетворительное согласование сравниваемых напряжений позволило сделать вывод о корректности разработанного метода и его компьютерной реализации.

Ниже в качестве иллюстрации приводятся результаты расчетов обделки транспортного тоннеля, форма и размеры поперечного сечения которой показаны на рис. 3.

При расчетах в соответствии с разработанным методом использовались следующие исходные данные: окружающий массив представлен алевролитом, обладающим удельным весом у0=18кН/м3, модулем деформации Е0 = 12000 МПа и коэффициентом Пуассона Уо=0,3; материал обделки (крепи) - бетон В20 с характеристиками у,= 24 кН/м3, £,= 27000 МПа, V1 = 0,2. Круговая частота падающей волны 65=200 Гц = 1256,6 с"1. В расчетах учитывались 4 приближения, при этом в нулевой итерации в

; В результате расчета,определялись динамические напряжения, под которыми понимались максимальные за все время прохождения волн коэффици-

О)

Л 7,3 м

5,6 м

Рисунок 3 - Поперечное сечение обделки тоннеля

рядах удерживалось Л-8 членов.

енты концентрации (безразмерные отношения напряжений к интенсивности основного напряженного состояния в падающей волне).

На рис. 4 а,б в качестве иллюстрации представлены расчетные эпюры ди-

т("0

т(«)

ственно на внутреннем (рис. 4,а) и наружном (рис. 4,6) контурах обделки при распространении продольной гармонической волны сжатия под углом р=л/4 (направление распространения волны показано на рис. 4,а).

Для учета знакопеременное™ воздействия найденные напряжения должны приниматься со знаками «+» и «-».

Л»)

в тах

2,26

1 Управление волны

а)

б).

Рисунок 4 - Расчетные эпюры динамических нормальных тангенциальных напряжений на внутреннем (а) и наружном (б) контурах сечения обделки при распространении волны сжатия под углом Р=л/4

При расчете на динамические воздействия, вызываемые распространением продольной волны сжатия, излучаемой близко расположенным источником, рассматривались случаи, при которых источник находится на горизонтальной прямой, совпадающей с осью Оу, на относительных расстояниях Г0 =2, 7. Соответствующие эпюры нормальных тангенциальных напряже-

ний егд^, Стд"/ах даны на рис. 5 а,б. При этом в случае, когда расстояние до источника = 7, для сравнения пунктирными линиями приведены результаты расчета обделки (значения напряжений в скобках) на действие плоской волны сжатия, распространяющейся в направлении оси Оу из бесконечности.

Можно отметить, что эпюры напряжений, показанные на рис. 5, б сплошными и пунктирными линиями практически идентичны. Это позволяет сделать вывод о том, что в рассмотренном примере при удалении источника на расстояние г0 > 7, динамические воздействия от излучаемых этим ис-

точником волн можно с достаточной точностью определять как воздействия от плоских гармонических волн, распространяющихся из бесконечности.

2,50

Л'*)

бшах

2.15

Ш С/,94)

1.19 ,(1,26)

0,91 положение 0,40-«-

иегочника 0,71

2,63

2,91

2,75

2,58 (2,65)

а)

б)

Рисунок 5 - Расчетные эпюры динамических напряжений ст^^, на внутреннем контуре поперечного сечения обделки: а - при 7^-2,6- при Т0=1

С использованием разработанной программы выполнены многовариантные расчеты, в результате которых установлены зависимости максимальных нормальных тангенциальных напряжений (коэффициентов концентрации), возникающих на внутреннем контуре поперечного сечения обделки (при этом рассмотрены два типа сооружений: транспортный тоннель и капитальная горная выработка) от основных влияющих факторов - относительной частоты Юо колебаний частиц породы в падающей волне; безразмерного параметра X, определяемого как отношение безразмерных частот колебаний частиц пород и материала обделки X = юд/ю! = I—— (при анализе

\И0 П

зависимостей рассматривался параметр X2, который фактически представляет собой отношение деформационных характеристик материала обделки и массива, поскольку в реальных условиях уо и у, величины одного порядка); коэффициента Пуассона пород у0 (в связи с тем, что разработанный метод предназначен, в основном, для расчета бетонных обделок, при исследованиях принималось V, = 0,2); относительной толщины обделки А = Л / 7?; направления распространения волн, определяемого углом (3; положения источника, характеризуемого безразмерным расстоянием Т0 и углом р. Поскольку напряжения распределяются по периметру сечения обделки неравномерно, соответствующие зависимости максимальных напряжений на внутреннем кон-

туре подземной конструкции анализировались отдельно для точек свода и боковых стен, и точек лотковой части.

Ниже приводятся зависимости, иллюстрирующие влияние относительной частоты колебаний ш0 "а напряженное состояние рассмотренной обделки при распространении снизу вертикальной продольной волны. При расчетах использовались данные: Х2= 4; Д =0,1; v0=0,3; р=0.

12 10 8 6 4 2 0

0 1 2 3 4 5 6 ®°

Рисунок 6. Зависимости максимальных нормальных тангенциальных напряжений сте в точках свода и боковых стен (кривые 1), а также в точках лотковой части (кривые 2) внутреннего контура обделки от относительной частоты ш0 вертикальной продольной волны

Как следует из рис. 6, зависимости максимальных динамических напряжений сг0 от частоты со0 имеют волнообразный характер. При этом в рассмотренном случае наиболее неблагоприятными будут волны, имеющие частоту (Do ~ 0,9. Можно также отметить то обстоятельство, что максимальные напряжения в верхней части обделки оказываются менее чувствительными к частотам продольных волн, распространяющихся снизу.

Разработанный метод расчета принят ЗАО «Тоннельпроект» в качестве базового для расчета обделок тоннелей на динамические воздействия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации на основе математического моделирования взаимодействия обделки тоннеля произвольного поперечного сечения и окружающего массива пород как элементов единой деформируемой системы установлены закономерности формирования напряженного состояния подземной конструкции при динамических воздействиях, что имеет существенное значение при геомеханическом обосновании инженерных решений в подземном строительстве.

Основные научные и практические результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Получены новые аналитические решения трех плоских динамиче-

ских задач теории упругости о напряженно-деформированном состоянии кольца произвольной формы (с одной осью симметрии), моделирующего обделку тоннеля, подкрепляющего отверстие в бесконечной однородной изотропной среде из другого материала, моделирующей массив пород, при распространении в произвольном направлении в плоскости поперечного сечения сооружения стационарных гармонических волн сжатия - растяжения (продольных) и сдвига (поперечных), или продольной волны, излучаемой близко расположенным источником, при граничных условиях, отражающих совместное деформирование кольца и среды, а также отсутствие внешних сил на внутреннем контуре.

2. На основе полученного решения разработан новый метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия, в том числе - на действие волн, излучаемых близко расположенным источником.

3. Разработаны алгоритм и компьютерная программа, позволяющая производить многовариантные расчеты обделок тоннелей, в общем случае -некругового поперечного сечения, на динамические воздействия в целях практического проектирования.

4. Исследованы зависимости максимальных за все время прохождения волн безразмерных нормальных тангенциальных напряжений, (т.е. напряжений, отнесенных к интенсивности основного напряженного состояния в падающей волне) возникающих на внутренних контурах поперечного сечения обделок двух типов, от основных влияющих факторов - относительной частоты колебаний частиц породы в падающей волне; отношения частот колебаний частиц пород и материала обделки; коэффициента Пуассона массива пород; относительной толщины обделки; направления распространения волн; положения источника.

5. С целью оценки достоверности получаемых результатов произведена проверка точности удовлетворения граничных условий задачи, выполнено сравнение результатов расчета по предлагаемому методу с полученными другими авторами решениями задач, которые в рамках разработанного метода могут быть рассмотрены как частные случаи. Высокая точность удовлетворения граничных условий (погрешность не превышает 1 %) и полное совпадение с результатами аналитических решений частных задач свидетельствуют о возможности применения разработанного метода в целях практического проектирования.

6. Разработанный метод и полученные в диссертационной работе результаты исследований переданы ЗАО «Тоннельпроект» (г. Тула) и приняты к использованию для расчета и проектирования обделок, испытывающих динамические воздействия.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях:

1. Фотиева H.H. Расчет монолитных обделок круговых тоннелей на динамические воздействия с учетом близкого расположения источника /

ШН.Фотиева, С.А.Скобельцын, С.А.Саммаль / Известия ТулГУ. Естественные науки. Сер.: «Науки о земле». Вып. 2 — Тула: Изд-во Гриф и К, 2007. - С. 239 -243.

2. Фотиева H.H. К расчету обделок тоннелей некругового поперечного сечения на динамические воздействия /Н.Н.Фотиева, С.А.Саммаль /Вестник ТулГУ. Серия Геомеханика. Механика подземных сооружений, Вып. 1. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. -С. 40-47.

3. Саммаль С.А. Метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия /С.А.Саммаль / Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2 - Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. -С. 253-262.

4. Саммаль С.А. Расчет обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия с учетом близкого расположения источника /С.А.Саммаль / Известия ТулГУ. Естественные науки. Сер.: «Науки о земле». Вып. 3 - Тула: Изд-во Гриф и К, 2008. - С.138 -143.

5. Саммаль С.А. Расчет обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия'/Тез. докл. 68 Междунар. научно-практич. конф. «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта», Днепропетровск, 22-23 мая 2008 г. - Днепропетровск: Изд-во ДИИТа, 2008. - С. 148-149.

6. Саммаль С.А. Напряженное состояние горного массива в окрестности некруговой выработки при стационарных динамических воздействиях от близкого источника /С.АСаммаль, Н.Н.Фотиева /II-я Международная научно-практическая конференция Тульского государственного университета «Молодежные инновации» Тез. докл. — Тула: ГУЛ - Изд-во «Левша», 2008. -С. 298-300.

7. Фотиева H.H. Расчет обделок круговых тоннелей на действие гармонических волн, исходящих от близкого источника /Н.Н.Фотиева, С.А.Саммаль. /Тез. докл. VII Междунар. конф. «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», 23-24 апр. 2008 г. - С.-Петербург, Санкт-Петербургский ун-т путей сообщений, 2008. - С.188-190.

8. Фотиева H.H. Напряженное состояние горного массива в окрестности некруговой выработки при распространении волны сжатия, излучаемой близким источником /Н.Н.Фотиева, С.А.Саммаль. /Совершенствование технологии строительства шахт и подземных сооружений. Сб. научн. трудов. Вып. 14, - Донецк: «Норд-Пресс», 2008. - С. 3 - 5.

9. Фотиева H.H. О применимости решений квазистатических задач для определения напряженного состояния обделок некруговых тоннелей при действии длинных сейсмических волн, характерных для землетрясений/ Н.Н.Фотиева, С.В.Анциферов, С.А.Саммаль /Науковий Bíchhk На-цюнального прничого университету. Науково-техншний журнал, №11, 2008, Дншропетровськ. - С. 5-11.

10. Фотиева Н.Н. Напряженное состояния обделки кругового тоннеля при динамических воздействиях с учетом близкого расположения источника/ Н.Н.Фотиева, С.А.Скобельцын, С.А.Саммаль/ Приоритетные направления развития науки и технологий. Докл. Всероссийской науч.-техн. конф. - Тула: Изд-во ТулГУ - 2008, С.185-190.

11. Фотиева Н.Н. Зависимость динамических напряжений в монолитной обделке произвольного поперечного сечения от механических характеристик вмещающих пород / Н.Н.Фотиева, С.А.Саммаль / Известия ТулГУ. Естественные науки. Сер.: «Науки о земле». Вып. 4 - Тула: Изд-во Гриф и К, 2009. - С. 195 -202.

12. Саммаль С.А. Математическое моделирование напряженного состояния обделок тоннелей произвольного поперечного сечения при динамических воздействиях /С.А.Саммаль / Перспективы освоения подземного пространства. Материалы 3-й Междунар. Научно-практич. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов (16-17 апреля 2009 г.), Днепропетровск: Изд-во НГУ-2009, С. 61-69.

13. Саммаль С.А. Расчет обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на действие гармонических волн, распространяющихся от близкого источника/ С.А.Саммаль, Н.Н.Фотиева/ Матер. М^жнар. Конф. «Форум прникт - 2009» - Днтропетровськ: Нацюнальни прничий уншверситет,

2009. С. 164-171

14. Саммаль С.А. Напряженное состояние кольца произвольной формы, подкрепляющего отверстие в бесконечной среде из другого материала, при распространении гармонических волн/С.А.Саммаль/ «Современные проблемы математики, механики и информатики» Труды междунар. науч. конф. (Россия, Тула, 23-27 ноября 2009 г.), Тула, 2009. С. 264 - 267.

15. Fotieva N.N. Analytical method and software for designing tunnel linings of an arbitrary cross-section shape under dynamic effects/ N.N. Fotieva, S.A. Sammal / Proc. "of the IV-th Int. Geomechanics conf. "Theory and practice of geomechanics for effectiveness the mining production and construction" 3-6 June

2010, Varna, Bulgaria, 2010. C. 275-282.

Изд. лиц. ЛР №020300от 12.02.97. Подписано в печать //. С>1. МК

Формат бумаги 60x84 '/«.Бумага офсетам. Усл. печл.'-<у УЧ.-ИЗД.Л./.1 ТиражУУ^ экз. Заказ 00} Тульский государственный университет 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве Туг.ГУ 300600. г. Тула, пр. Ленина, 95

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Саммаль, Сергей Андреевич

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

2. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О ДИФРАКЦИИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН СЖАТИЯ-РАСТЯЖЕНИЯ И СДВИГА НА ПОДКРЕПЛЕННОМ ОТВЕРСТИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

2.1. Постановка задачи. Граничные условия

2.2. Применение метода возмущения формы границы для решения поставленной задачи

2.3. Формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений ^

2.4. Реализация итерационного процесса и определение напряжений и усилий в обделке

2.5. Алгоритм определения напряженного состояния обделки тоннеля произвольного поперечного сечения при распространении в массиве гармонических волн

2.6. Проверка точности решения поставленной задачи. Сравнение результатов расчета, с данными, полученными другими авторами при рассмотрении частных задач

2.7. Примеры расчета

2.7.1. Примеры расчета подземных конструкций на действие произвольно направленных гармонических волн сжатия-растяжения (продольных)

2.7.2. Примеры расчета подземных конструкций на действие произвольно направленных гармонических волн сдвига (поперечных)

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБДЕЛКЕ ТОННЕЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

ОТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛН, ИЗЛУЧАЕМЫХ БЛИЗКИМ ИСТОЧНИКОМ

3.1. Представление потенциалов цилиндрической волны сжатия

3.2. Примеры расчета

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБДЕЛОК ТОННЕЛЕЙ (КРЕПИ ВЫРАБОТОК) НЕКРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ, ИСПЫТЫВАЮЩИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ, ОТ ОСНОВНЫХ ВЛИЯЮЩИХ 96 ФАКТОРОВ

4.1. Зависимость напряженного состояния обделки транспортного тоннеля (тип 1) при распространении продольной гармонической волны от влияющих факторов

4.2. Зависимость напряженного состояния обделки транспортного тоннеля (тип 1) при распространении поперечной гармонической волны от влияющих факторов

4.3. Зависимость напряженного состояния крепи капитальной горной выработки (тип 2) при распространении продольной гармонической волны от влияющих факторов

4.4. Зависимость напряженного состояния крепи капитальной горной выработки (тип 2) при распространении поперечной гармонической волны от влияющих факторов

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Разработка метода расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия"

Успешное решение проблем экономического развития регионов России, как правило, связано с необходимостью совершенствования транспортной инфраструктуры, в том числе - обеспечивающей постоянно возрастающие потребности народного хозяйства в энергетических ресурсах. Это стимулирует интенсивное освоение подземного пространства, включающее как строительство новых, так и безаварийное поддержание существующих подземных сооружений различного назначения. При этом трассы тоннелей и подземных трубопроводов могут пересекать участки со сложными инженерно-геологическими условиями, характеризующимися наличием слабых, нарушенных и сильно обводненных грунтов, в массивах с динамическими проявлениями, обусловленными как сейсмической активностью регионов строительства, так и промышленным ведением взрывных работ.

Общепринятыми в настоящее время являются подходы к прогнозу поведения подземных сооружений при динамических воздействиях, базирующиеся на изучении напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом их взаимодействия с окружающим массивом пород (грунта). Существующие аналитические методы позволяют производить расчет обделок ( в том числе -многослойных) круговых тоннелей глубокого заложения, когда массив моделируется линейно-деформируемой или двухкомпонентной (водонасыщенной) изотропной средой, а стационарные или нестационарные динамические воздействия моделировать распространением продольных или поперечных волн. Аналогичных методов, предназначенных для расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения, в настоящее время не имеется. Следует отметить, что применение численного метода конечных элементов (МКЭ) при решении данного класса задач сопряжено с необходимостью преодоления трудностей принципиального характера, обусловленных особенностью расчетных схем, в которых массив пород моделируется бесконечной средой, а источник динамического воздействия расположен на значительном расстоянии от сооружения. Более приспособленным для решения динамических задач считается метод конечных разностей, позволяющий заменять дифференциальные уравнения системами линейных алгебраических уравнений. Однако в некоторых случаях, например, при отсутствии геометрической симметрии, получение корректного решения соответствующей динамической задачи численными методами сопряжено с трудностями назначения достаточного для обеспечения требуемой точности размера рассматриваемой области и сетки разбиения ее на элементы, тем более, что при этом большую роль играет отношение размеров элементов к длине волны. В связи с этим имеющиеся в научной литературе отдельные результаты, полученные на базе численных методов, вряд ли можно расценивать как решение указанной проблемы.

В последние годы при рассмотрении динамических воздействий получил логическое развитие подход к расчету подземных сооружений на заданные "активные" нагрузки, известный как метод Б.П. Бодрова — Б.Ф. Матэри. Согласно этому подходу считается, что монолитная обделка представляемая в расчетной схеме в виде криволинейного стержня (стержневой системы), под действием динамических нагрузок переходит в режим вынужденных колебаний. При этом массив пород учитывается либо путем введения сил реакций, прикладываемых к стержням и определяемых на основе гипотезы Фусса-Винклера, либо моделируется с применением так называемой стержневой аппроксимации, которую в известном смысле можно рассматривать как упрощенную разновидность метода конечных элементов (при этом роль элементов выполняют стержни определенной жесткости).

Очевидно, описанный подход, восполняя пробел в необходимых для инженерной практики расчетных методиках, тем не менее, не снижают важности актуальной научной задачи разработки строгого аналитического метода расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия, реализующего современные представления механики подземных сооружений о взаимодействии обделки тоннеля и массива пород как элементов единой деформируемой системы. Решение этой задачи открывает новые возможности совершенствования проектирования, способствуя повышению надежности принимаемых инженерных решений, а в ряде случаев - обоснованному снижению материалоемкости подземных конструкций путем уменьшения их толщины или процента армирования.

Таким образом, целью диссертационной работы является разработка математической модели взаимодействия подземных конструкций произвольного поперечного сечения различного назначения (крепи капитальных горных выработок, обделок тоннелей и заглубленных трубопроводов) с окружающим массивом пород, как элементов единой деформируемой системы, и реализация сформулированной модели в виде аналитического метода, алгоритма и программного обеспечения расчета обделок произвольного поперечного сечения на динамические воздействия, а также установление закономерностей формирования напряженного состояния подземной конструкции при распространении в массиве гармонических волн.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи: — с использованием метода возмущения формы границы получено новое аналитическое решение плоской динамической задачи теории упругости о напряженно-деформированном состоянии кольца произвольной формы (с вертикальной осью симметрии), моделирующего обделку тоннеля, в линейно-деформируемой среде, моделирующей массив пород, при распространении как из бесконечности, так и из близкорасположенного источника под произвольным углом к вертикали продольной и поперечной гармонических волн (особенностью полученного решения является то, что оно позволяет построить итерационный процесс с целью вычисления напряжений в обделке в любом заданном приближении); на основе полученного решения разработан новый аналитический метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия;

- составлен полный алгоритм, реализованный в виде компьютерного программного комплекса, полностью автоматизирующего процесс определения напряжений в обделке в любой заданный момент времени и нахождения максимальных напряжений за все время прохождения волн, то есть построения огибающей эпюр напряжений;

- установлены зависимости максимальных сжимающих и растягивающих нормальных тангенциальных напряжений, возникающих на внутреннем контуре поперечного сечения обделки тоннеля от основных влияющих факторов: безразмерной частоты колебаний и направления падения волны, отношения модулей деформации материала обделки и пород массива, расстояния до источника.

Заключение Диссертация по теме "Геомеханика, разрушение пород взрывом, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика", Саммаль, Сергей Андреевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная диссертация является научно-квалификационной работой, в которой содержится решение задачи разработки аналитического метода расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения, испытывающих динамические воздействия, имеющей существенное значение для подземного строительства.

Основные научные и практические результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Получены новые аналитические решения трех плоских динамических задач теории упругости о напряженно — деформированном состоянии кольца произвольной формы (с одной осью симметрии), моделирующего обделку тоннеля, подкрепляющего отверстие в бесконечной однородной изотропной среде из другого материала, моделирующей массив пород, при распространении в произвольном направлении в плоскости поперечного се' чения сооружения стационарных гармонических волн сжатия - растяжения продольных) и сдвига (поперечных), или продольных волн, излучаемых близко расположенным источником, при граничных условиях, отражающих совместное деформирование кольца и среды, а также отсутствие внешних сил на внутреннем контуре кольца.

2. На основе полученного решения разработан новый метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия, в том числе — на действие волн, излучаемых близко расположенным источником.

3. Разработаны алгоритм и компьютерная программа, позволяющая производить многовариантные расчеты обделок тоннелей, в общем случае -некругового поперечного сечения, на динамические воздействия в целях научных исследований и практического проектирования.

4. Исследованы зависимости максимальных за все время прохождения волн безразмерных нормальных тангенциальных напряжений, (т.е. напряжений, отнесенных к интенсивности основного напряженного состояния в падающей волне) возникающих на внутренних контурах поперечного сечения подземных конструкций двух типов, от основных влияющих факторов -относительной частоты колебаний частиц пород в падающей продольной или поперечной волне; отношения частот колебаний частиц пород и материала обделки; коэффициента Пуассона пород; относительной толщины обделки; направления распространения волн в плоскости поперечного сечения сооружения (3; положения источника.

5. С целью оценки достоверности получаемых результатов произведена проверка точности удовлетворения граничных условий задачи, выполнено сравнение результатов расчета по предлагаемому методу с полученными другими авторами решениями задач, которые в рамках разработанного метода могут быть рассмотрены как частные случаи. Высокая точность удовлетворения граничных условий (погрешность не превышает 1 % ) и полное совпадение с результатами аналитических решений частных задач свидетельствуют о возможности применения разработанного метода в целях практического проектирования.

6. Разработанный метод расчета и полученные в диссертационной работе результаты исследований переданы ЗАО «Тоннельпроект» (г. Тула) и приняты к использованию для расчета и проектирования обделок, испытывающих динамические воздействия. Соответствующий акт об использовании диссертационной работы приводится в Приложении 1.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Саммаль, Сергей Андреевич, Тула

1. Азаркович А.Е. Взрывные работы вблизи охраняемых объектов /А.Е.Азаркович, М.И.Шуйфер, А.П.Тихомиров. -М.:Недра, 1974. - 214 с.

2. Айталиев Ш. М. Влияние свободной поверхности на тоннель мелкого заложения при действии подвижных нагрузок / Ш. М.Айталиев, Л. А. Алексеева, В. Н.Украинец // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1986. № 5. С. 60—63.

3. Айталиев Ш. М. Граничные интегральные уравнения в динамических задачах теории упругости / Ш. М. Айталиев, Л. А. Алексеева, Н. Б. Жанбыр-баев // Вести АН КазССР. 1985. № 9. С. 46—50.

4. Айталиев Ш.М. Напряженное состояние породного массива при нестационарном воздействии на контуре протяженной выработки / Ш.М. Айталиев, Н. Б. Жанбырбаев /Результаты комплексных исследований в сейсмоактивных районах Казахстана. Алма-Ата, 1984. С. 148—155.

5. Айталиев Ш.М. Оптимальное проектирование протяженных подземных сооружений / Ш.М. Айталиев, Н.В. Боничук, М.Я Каюпов. Алма-Ата. Изд-во «Наука», 1986.-240 с.

6. Алексеева Л. А. О колебаниях упругой полуплоскости при действии стационарного источника цилиндрических волн / Л. А. Алексеева // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1983. № 5. С. 1—5.

7. Алексеева Л. А. Влияние угла падения и контактных условий на напряженное состояние бетонной крепи тоннеля при дифракции стационарных волн / Л. А. Алексеева // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1986. С. 59—63.

8. Алексеева JI. А. Критическая скорость движущейся нагрузки в тоннеле, подкрепленном двухслойной оболочкой / JL А. Алексеева, В. Н. Украинец //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. Вып. 4. С. 156—162.

9. Алексеева JI. А. О колебаниях упругой полуплоскости, ослабленной круговым отверстием / JL А. Алексеева // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1984. № 1. С. 1—5.

10. Алексеева Л. А. Стационарная дифракция волн на круговом отверстии в упругой полуплоскости / Л. А. Алексеева // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49, вып. 2. С. 299—306.

11. Алексеева Л. А. Упругая перфорированная полоса на неподвижном основании при стационарных колебаниях / Л. А. Алексеева // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1985. № 3. С. 8—12.

12. Н.Алексеева Л. А., Шершнев В. В. Сейсмонапряженное состояние бетонной крепи подземного сооружения в грунтах / Л. А. Алексеева, В. В. Шершнев // Результаты комплексных исследований в сейсмоактивных районах Казахстана. Алма-Ата, 1984. С. 155—163.

13. Баймаханов И.Б. Изучение собственных колебаний транстропого массива с полостью методом конечных элементов /И.Б.Баймаханов, Ж.К.Масанов //Изв. АН КазССР, Сер. Физ-мат. 1986, №1.

14. Бакиров P.O. Вынужденные колебания подземных конструкций кругового очертания / P.O. Бакиров //Промышленное и гражданское строительство. — 1996.—№ 11.- С. 24-26.

15. Бакиров P.O. К расчету подземных конструкций круговой формы на действие динамической нагрузки / P.O. Бакиров //Вестник Академии.— М.: ВИА, 1959.—№ 140.-С. 68-72.

16. Бакиров P.O. Матричный метод динамического расчета замкнутой обделки практического очертания с учетом взаимодействия волн сжатия с податливой преградой / P.O. Бакиров //Известия высших учебных заведений. Строительство. — 2000. — № 9. С. 21-24.

17. Бакиров P.O. Расчет прочности заглубленного в грунт железобетонного кольца на действие волны сжатия / P.O. Бакиров //Бетон и железобетон. — 2000. —№4.- С. 11-14.

18. Бакиров P.O. Динамический расчет и оптимальное проектирование подземных сооружений / P.O. Бакиров,Ф.В. Лой. М.: Стройиздат, 2002. -364 с.(6)

19. Баклашов И.В. Конструкции и расчет крепей обделок / И.В.Баклашов, О.В.Тимофеев. М.: Недра, 1979. 263 с.

20. Баклашов И.В. Механика подземных сооружений и конструкции крепей / И.В.Баклашов, Б.А. Картозия. М.: Недра, 1984. - 324 с.

21. Баум Ф.А. Физика взрыва /Ф.А.Баум, П.П. Орленко, К.П. Станюкевич и др.-М.: Наука, 1975.-340 с.

22. Бодров Б.П. Кольцо в упругой среде/ Б.П. Бодров, Б.Ф. Матэри /Метропроект. Отдел типового проектирования. 1936.- Бюл. №24,- 40 с.

23. Бондаренко В.М. Расчет податливых железобетонных подземных конструкций кругового очертания при действии динамических нагрузок / В.М. Бондаренко, P.O. Бакиров //Промышленное и гражданское строительство. — 2000.9.-С. 34-36.

24. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений / Н.С.Булычев — М.: Недра, 1982.- 270 с.

25. Булычев Н.С. Расчет многослойных обделок тоннелей кругового сечения на сейсмические воздействия при землетрясениях/ Н.С.Булычев //Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений. Кн. 2 Ташкент, 1977. — С. 37-40.

26. Глушков Г.И. Расчет сооружений, заглубленных в грунт/ Г.И. Глушков.

27. М.: Стройиздат, 1974.- 285 с.

28. Головчан В.Т. Дифракция упругой продольной волны на контурах двух круговых отверстий в бесконечной пластинке / В.Т. Головчан //Изв. АН СССР, «Механика твердого тела», №4, 1969. С. 60-64.

29. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений /И.С.Градштейн, И.М.Рыжик. М.: Физматгиз, 1962. -570 с.

30. Гузь А. Н. Дифракция упругих волн / А. Н. Гузь, В. Д.Кубенко, М. А. Черевко // Прикладная механика. 1978. Т. 14(24), № 8. С. 3—15.

31. Гузь А. Н. Дифракция упругих волн / А. Н. Гузь, В. Д.Кубенко, М. А. Черевко- Киев: Наукова Думка, 1978. 308 с.

32. Гузь А. Н. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. / А. Н. Гузь, В. Г. Головчан Киев: Наукова Думка, 1972. - 253 с.

33. Давыдов С.С. Динамические воздействия средств, уплотняющих грунт, на подземные конструкции городского хозяйства / С.С. Давыдов — М.: МИИТ, 1973. — (Тр. МИИТ; Вып. 427).- С. 321-332.

34. Давыдов С.С. Колебания разнородного грунта в упругопластической стадии от кратковременной нагрузки / С.С. Давыдов //Доклады к Международному конгрессу по механике грунтов и фундаментостроению. — М.: Гос-стройиздат, 1961.- С. 342-348.

35. Давыдов С.С. Расчет и проектирование подземных конструкций / С.С. Давыдов—М.: Госстройиздат, 1950. 167 с.

36. Дашевский М.А. Дифракция упругих волн на полости, подкрепленным кольцом жесткости / М.А.Дашевский Строительная механика и расчет сооружений, 1967, №2, С. 33-36.

37. Дашевский М.А. Излучение упругих волн при движении пульсирующей нагрузки вдоль тоннеля, проложенного в грунте /М.А.Дашевский //Строительная механика и расчет сооружений, 1971, №5. С. 10-13.

38. Дашевский М.А. Расчет напорного тоннеля на действие стационарных упругих волн типа сейсмических / М.А. Дашевский Гидротехническое строительство, 1969, №11, С. 43-44.

39. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические функции /Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1978 .-224 с.

40. Дорман И .Я. Сейсмическое горное давление на обделки тоннелей / И .Я. Дорман, Н.Я. Ванштейн, Л.М.Харькова //Транспортное строительство, № 6 , 1972, С.44-46.

41. Дубнов JI.B. Промышленные взрывчатые вещества / JI.B. Дубнов, Н. С. Бахаревич, А.И. Романов М.: Недра, 1973. - 260 с.

42. Евстропов H.A. Моделирование взаимодействия взрывных волн с подземными выработками /H.A. Евстропов, O.K. Славин, В.Н. Шапошников / Развитие технологии разработки мощных рудных месторождений. — М., 1973. С. 47-56.

43. Ержанов Ж.С. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов/ Ж.С. Ержанов, Ш.М. Айталиев, J1.A. Алексеева.- Алма-Ата: Наука, 1989. 240 с.

44. Ержанов Ж.С. Оптимизация формы подземного сооружения, подверженного сейсмическому воздействию/ Ж.С. Ержанов, Ш.М. Айталиев, М.А. Каюпов //Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений. Ташкент. 1981.-С. 50-52.

45. Ержанов Ж.С., Каримбаев Г.Д. Метод конечных элементов в задачах механики горных пород / Ж.С.Ержанов, Г.Д.Каримбаев. -Алма-Ата: Наука, 1975,-217 с.

46. Житняя В.Г. Дифракция плоской волны на подкрепленной круговой полости в массиве /В.Г. Житняя, А.С.Космодамианский, В.И.Черник //Прикладная механика. 1992. - Т. 28. - №3. - С.19-22.

47. Кардер Д.С. Колебания грунта при крупных подземных взрывах // Д.С. Кардер, К.Г. Клауд. — М.: Изд-во ИЛ, 1962. 328 с.

48. Колодий В.И. Напряженное состояние конструкций скважины под действием плоской волны сдвига / В.И. Колодий //Взрывные работы в геотехнологии /Сб. научн. Тр. Киев: Наукова Думка, 1991. - С.32-36.

49. Космодамианский A.C. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. / A.C. Космодамианский, В.И.Сторожев/ Киев: «Наукова Думка», 1985. 176 с.

50. Котляревский В.А. Убежища Гражданской обороны. Конструкции и расчет / В.А. Котляревский В.А. и др. — М.: Стройиздат, 1989. 320 с.

51. Кубенко В.Д. Динамическая концентрация напряжений около квадратного отверстия (установившиеся волновые движения) /В.Д.Кубенко. //Прикладная механика, т. 2., вып. 12, 1966. — с. 67-75.

52. Кулдашев Н.У. Дифракция гармонических волн на многослойных цилиндрических телах /Н.У.Кулдашев, И.И. Сафаров //Сейсмодинамика сооружений, взаимодействующих с грунтом /Сб. научн. тр. Ташкент: АН УзССР, 1991.-С.5-19.

53. Ляхов Г.М. Основы динамики взрыва в грунтах и жидких средах / Г.М. Ляхов — М.: Недра, 1964,- 340 с.

54. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики /Г.И.Марчук/ М.:Наука, 1980. 460 с.

55. Масанов Ж.К. Анализ динамического напряженного состояния транспортного тоннеля произвольного профиля с жесткой обделкой в анизотропном массиве при стационарной дифракции SH-волн сдвига. /Ж.К.Масанов, Л.Б.Атымтаева //Вестник Каз АТК, 2001, №4. С.50-54.

56. Масанов Ж.К. Динамика пространственных транспортных сооружений в упругом анизотропном массиве при геометрических нелинейностях /Ж.К.Масанов, Махметова Н.М. //Поиск. Серия естественных и технических наук, № 1,2002. С. 230-234.

57. Медведев C.B. Сейсмика горных взрывов / C.B. Медведев М.: Недра, 1964,- 440 с.

58. Мелентьев П.В. Приближенные вычисления / П.В. Мелентьев.- М.: Физ-матгиз, 1962.-570 с.

59. Метод фотоупругости в 3-х томах. Т.2. Методы поляризационно-оптических измерений. Динамическая фотоупругость./ Под общ. Редакцией Стрельчука П.А. и Хесина Г.Л. М.: «Стройиздат», 1975. 440 с.

60. Методическое руководство по оценке сейсмического действия взрывов в карьерах КМА. Губкин, Изд.: НИИКМА, 1986. 30с.

61. Мирзоев Г.Г. Крепь горных выработок глубоких рудников / Г.Г. Мирзо-ев, А.Г.Протосеня, Ю.Н.Огородников, В.И.Вхорев. М.: Недра, 1984. -252 с.

62. Миронов П.С. Взрывы и сейсмобезопасность сооружений / П.С. Миронов — М.: Недра, 1973.- 185 с.

63. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов /С.Г.Михлин /М.-.Наука, 1966.432 с.

64. Мосинец В.Н. Дробящее и сейсмическое действие взрыва в горных породах. / В.Н. Мосинец. М.:Недра, 1976. - 320 с.

65. My бараков Я.Н. Сейсмодинамика подземных сооружений типа обделок /Я.Н. Мубараков. Ташкент: «ФАН», 1987. 192 с.

66. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили, М.-.Наука, 1966, 640 с.

67. Напетваридзе Ш.Г. Сейсмостойкость гидротехнических сооружений / Ш.Г. Напетваридзе. М.: Недра, 1959. - 216 с.

68. Нечаев В.И. Расчет многослойной крепи горных выработок на воздействие сейсмической волны промышленного взрыва / В.И.Нечаев /Проблемы подземного строительства в XXI веке / Труды Междунар. конф. Тула: ТулГУ, 2002.-С. 130- 138.

69. Никифоровский B.C. Динамическое разрушение твердых тел / B.C. Ни-кифоровский, Е.И.Шемякин. Новосибирск, 1979. - 272 с.

70. Новацкий В. Теория упругости /В. Новацкий М.:Мир, 1975. - 872 с.

71. Новичков Ю.Н. Колебания подземного трубопровода в поле плоской гармонической волны /Ю.Н.Новичков , П.Гутьеррес, С.Джунисбеков //Прикладная механика, 1988, №3. С. 24-31.

72. Омаров А.Д. Статическое и сейсмонапряженное состояние транспортных подземных сооружений в анизотропном геометрически нелинейном массиве /А.Д.Омаров, Ж.К.Масанов,Н.М.Махметова/ Алматы, 2002, Бастау, 244 с.

73. Покровский Г.И. Взрывы / Г.И. Покровский. — М.: Недра, 1964. 420 с.

74. Рабинович И.М. Приближенный расчет кольца, погруженного в грунт /И.М. Рабинович // Вестник Академии. — М.: ВИА, 1957. — № 106. С. 68-74.

75. Рассказовский В.Г. Последствия Ташкентского землетрясения /В.Г.Рассказовский, Т.Р.Рашидов, К.С.Абдурашидов/ Ташкент: «ФАН», УзССР, 1967 .

76. Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений/ Т.Р. Рашидов. Ташкент, 1973. - 180 с.

77. Рашидов Т.Р. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений /Т.Р.Рашидов Ташкент: «ФАН», УзССР, 1973. 180 с.

78. Рашидов Т.Р. Сейсмостойкость подземных трубопроводов/ Т.Р. Рашидов, Г.Х. Хожметов. -Ташкент, 1986. 152 с.

79. Рашидов Т.Р. Сейсмостойкость тоннельных конструкций метрополитенов/ Т.Р. Рашидов, И.Я. Дорман, А.А.Ишанходжаев и др. М., 1980. - 120 с.

80. Родионов В.Н. Механический эффект подземного взрыва/В.Н. Родионов,

81. B.В. Адушкин, В.Н. Костюченко и др. М.: Недра, 1971. - 420 с.

82. Рулев Б.Г. Динамические характеристики сейсмических волн при подземных взрывах / Б.Г.Рулев В кн. Взрывное дело № 64/21. М.: Недра, 1968.1. C. 109- 158.

83. Савенко С.К. Ударные воздушные волны в подземных выработках /С.К. Савенко, A.A. Турин, С.П. Малый. М.:Недра, 1973.- 180 с.

84. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий /Г.Н.Савин—М.: Техиздат, 1951. 650 с.

85. Садовский М.А. Простейшие приемы обеспечения сейсмической безопасности массовых взрывов /М.А. Садовский М.: Изд. АН СССР, 1946. -280 с.

86. Саммаль С.А. Метод расчета обделок тоннелей произвольного поперечного сечения на динамические воздействия /С.А.Саммаль / Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2 Тула: изд-во ТулГУ, 2008. - С. 253 -262.

87. Сафонов Л.В. Вероятностный метод оценки сейсмического эффекта промышленных взрывов /Л.В.Сафонов, О.П.Шкреба М.,"Наука", 1970. - 187 с.

88. Сафонов Л.В. Классификация-каталог деформаций сооружений от взрыва скважинных зарядов ВВ. / Л.В.Сафонов НИИКМА, Губкин, 1985.

89. Сафонов Л.В. Основные принципы оптимизации системы "взрыв-инженерные сооружения",- Сб.трудов, вып.75, изд. ИГД, Свердловск, 1984. С. 124- 132.

90. Сафонов Л.В. Сейсмический эффект взрыва скважинных зарядов /Л.В. Сафонов, Г.В. Кузнецов М.: Наука. 1967. - 156 с.

91. Сафонов Jl.В. Экономико-вероятностный метод оценки сейсмического эффекта взрывов /Л.В.Сафонов, О.П.Шкреба "Горный журнал", №. 5, 1970. -С. 23-27.

92. Синицын А.П. Основы теории определения нагрузок на сооружение от действия взрыва в грунте / А.П. Синицын — М.: Воениздат, 1954.- 175 с.

93. Ставрогин А.Н. Механические свойства горных пород при объемном напряженном состоянии и разных скоростях деформации / А.Н. Ставрогин, Е.Д. Певзнер // ФТПРПИ, 1974, №5. С. 3 - 9.

94. Страхов A.M. Расчет параметров колебания тоннельных обделок кругового очертания под действием подвижного состава метрополитена /A.M. Страхов //Испытание и расчет тоннельных конструкций. Сб. науч. тр., вып. №241 — М.:ЦНИИС, 2007. С. 91-99.

95. Сушков Ю.В. Расчет арочных и кольцевых фортификационных конструкций в мягком грунте (плоская контактная волновая задача) /Ю.В. Сушков — М.:ВИА, 1963.-267 с.

96. Терентьев В.И. Системный метод анализа эффективности промышленных взрывов /В.И.Терентьев, Л.В.Сафонов, А.Г.Гончаров. М.: Наука, 1975. 230 с.

97. Угодчиков А.Г. О тригонометрической интерполяции конформно отображающих функций/ А.Г. Угодчиков.- Укр. матем. журнал t.XL- № 11961.- C.l 11-115.

98. Угодчиков А.Г. Построение конформно отображающих функций при помощи электромоделирования и интерполяционных полиномов Лагранжа / А.Г. Угодчиков. Киев: Наукова Думка, 1966 - 99 с.

99. Угодников А.Г., Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах/ А.Г. Угодчиков, М.И. Длугач, А.Е. Степанов. М.: Высшая школа, 1970.- 528 с.

100. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике / А.Б. Фадеев. -М.: Недра, 1987.-221 с.

101. Филатов H.A. Фотоупругость в горной геомеханике/ Н.А.Филатов, В.Д.Беляков, Г.А.Иевлев. М.-.Недра, 1975. -184 с.

102. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений: Справочн. рук-во./П.Ф.Фильчаков Киев:. Киев: Наукова Думка, 1964.- 530 с.

103. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. П.Ф.Фильчаков Киев: Наукова Думка, 1970.- 600 с.

104. Фотиева H.H. Алгоритм и программа определения напряжений в окрестности горных выработок при стационарных динамических воздействиях /Н.Н.Фотиева, В.Г. Гарайчук. М.: НИИ оснований и подземных сооружений, 1972.-37 с.

105. Фотиева H.H. К расчету обделок тоннелей некругового поперечного сечения на динамические воздействия /Н.Н.Фотиева, С.А.Саммаль /Вестник Тул-ГУ. Серия Геомеханика. Механика подземных сооружений, Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. -С. 40-47.

106. Фотиева H.H. Расчет крепи подземных сооружений в сейсмически активных районах / H.H. Фотиева . М: Недра, 1980. - 222 с.

107. Ципенюк И.Ф. Сейсмические воздействия на здания и сооружения / И.Ф. Ципенюк, С.Ф.Проскурин, Б.М.Мардонов, Я.Н.Мубараков, А.К.Каюмов. -Ташкент, 1986.-296 с.

108. Черниговский A.A. Применение направленного взрыва в горном деле и строительстве / A.A. Черниговский. М.:Недра, 1976. — 260 с.

109. Шамин В.М. Расчет защитных сооружений на действие взрывных нагрузок / В.М. Шамин.— М.: Стройиздат, 1989. 345 с.

110. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности / Е.И.Шемякин. Новосибирск, изд-во НГУ, 1968. - 337 с.

111. Шемякин Е.И. Сейсмовзрывные волны в процессе горного производства /Е.И.Шемякин. М.: ННЦГП-ИГД Им. А.А.Скочинского, 2004 с. - 76 с.

112. Щекудов Е.В. Мониторинг напряженно-деформированного состояния станции «Полянка» в Москве / Е.В.Щекудов, В.В.Чеботаев, А.А.Кубышкин и др.// Метро и тоннели. № 5, 2006. - С. 45-47.

113. Якуб М. О влиянии близости источника на динамические напряжения около цилиндрической полости /М. Якуб, С. May Прикладная механика, вып. 34, №2, 1967.-С. 145-149.

114. Mow C.C. Dynamic stresses and displacements around cylindrical discontinuities due to plane harmonic shear wave/ C.C. Mow, L.J. Mente. Trans. Of the ASME, Dec. 1963, "Journ. of applied mechanics". - P.p. 598-604.

115. Pow J.H. Dynamic Stress concentration in on elastic plate with rigid circular inclusion. / J.H.Pow, C.C.Mow. / Proc. Of the 4-th US Nat. Congr. Of Applied Mechanics. Berkeley, California, Pergamon Press, 1962. P.p. 335-345.

116. Pow J.H. Dynamical Stress Concentration in an Elastic plate /J.H.Pow/ Paper № 61- APMW-17, West Coast Conference of the Applied Mechanics Division, ASME, Seattle, Washington, 1961.