Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Рассеяние света на сферически симметричных неоднородных структурах в атмосфере и океане

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Рассеяние света на сферически симметричных неоднородных структурах в атмосфере и океане"

■5 "

££// ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА РОССИИ

ЧЙ&ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИИ И МОНИТОРИНГУ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

ГЛАВНАЯ ГЕОФИЗИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ им.А.И.ВОЕЙКОВА

на правах рукописи

ПЕРЕЛЬМАН АНРИ ЯКОВЛЕВИЧ

УДК 551.510.42+551.521.3+535.34

РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУРАХ В АТМОСФЕРЕ И ОКЕАНЕ

04.00.22 - геофизика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико - математических наук в форме научного доклада

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Работа выполнена в С.-Петербургской Лесотехнической академии

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, академик Академии Естественных наук РФ и Академии Инженерных

наук РФ Ю.А.Ананьев

— доктор физико-математических наук,

профессор В.Г.Фарафонов

— доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник А. Д. Егоров

Ведущая организация - Институт физики атмосферы РАН

Защита состоится С^Н^ркР^-Ь 1994г. в "10" часов

на заседании Специализированного совета Д 024.06.01 Главной геофизической обсерватории им. А.И. Воейкова: 194018 г. С.-Петербург, ул. Карбышева, дом 7.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Главной геофизической обсерватории им. А.И. Воейкова.

Диссертаци: разослана

Ученый секретарь специализированного совета доктор географических наук, профессор

Н.В.Кобышева

Содержание

ведение ........................................................................................................4

лава 1. Рассеяние света на сфере с радиально неоднородным

коэффициентом преломления ....................................................5

1.1. Решение системы уравнений Максвелла для радиально неоднородного сферического слоя ........................................6

1.2. Выражение компонент поля через парциальные потенциалы ................................................................................................10

1.3. Граничные условия ....................................................................12

1.4. Парциальные потенциалы волн, заданных декартовыми компонентами в радиально неоднородных средах. Случай плоской волны ....................................................................13

1.5. Рассеяние на сфере и сферических оболочках ..................17

1.6. Модифицированная проблема Ми ..............................................22

1.7. Обобщение проблемы Ми. Стандартные модели аппроксимации ............................................................................................24

'лава 2. Энергетические характеристики рассеяния и их

Б - аппроксимации ....................................................................27

2.1. Точный расчет сечений экстинкции и рассеяния во внешней области ........................................................................27

2.2. Улучшение сходимости ряда для сечения поглощения ... 30 2.2.1. Приближенные формулы для расчета сечения поглощения. 33

2.3. Б - аппроксимации факторов эффективности ......................35

2.3.1. Аппроксимации Релея, Релея-Ганса, Ван де Хюлста и

Б - аппроксимация ....................................................................37

2.3.2. Точность Б - аппроксимации для фактора ослабления .. 39

2.4. Б - аппроксимация малоугловой индикатрисы ....................40

'лава 3. Обратные задачи в теории рассеяния света ......................41

3.1. Приближение Ван де Хюлста и метод спектральной прозрачности ..............................................................................43

3.2. Приближение Релея-Ганса и метод мягкой индикатрисы.. 46

3.3. Оценка плотности распределения частиц в случае

Б - аппроксимации фактора эффективности ослабления.. 48

Основные результаты работы и их применение ..................51

Вопросы, выносимые на защиту ..............................................55

Апробация работы и публикации ............................................61

ВВЕДЕНИЕ

Многие реальные проблемы геофизики, оптики атмосферы и океа на включают необходимость наличия надежных сведений о характерис тиках радиационного поля и микроструктуре аэрозоля и гидрозоля Так, в теории переноса излучения нужно знать угловое распределе ние интенсивности рассеянного света, при анализе дисперсных сис тем используется вектор параметров Стокса и прежде всего его пер вая компонента - интенсивность (или энергетическая яркость). последние годы на ведущее место вышли проблемы разработки и соз дания систем космического, экологического мониторинга, наблюдени за состоянием биосферы в различных регионах на основе дистанцион ного зондирования атмосферы. Важное значение имеет и задача опти ческого и микрофизического анализа морских взвесей разной прирс ды, динамики развития таких систем. В космических исследования геосистемы, биосферы и экологических объектов носителем информа ции об окружающей среде является радиационное поле Земли, завис? щее от состава и распределения взвешенных частиц. Использована космических данных, сочетание решений прямой задачи - расчета уг лового и спектрального распределения излучения системы и обратнс задачи - оценки микрофизических характеристик дисперсных систе по данным оптического зондирования позволяет существенно улучшит оптико-метеорологические модели, достаточно приближенные к реал! ным условиям.

В докладе приводятся результаты исследований автора по пр5 мой и обратной задачам рассеяния света частицами, коэффицие! преломления которых равен произвольной функции от расстояния ) их центра. Эти исследования выполнены в период с начала 60 и дов, когда была поставлена проблема, намечен общий план работы получены первые результаты [7-11] до настоящего времени.

Целью работы является всестороннее изучение процессов расс( яния, поглощения и ослабления на произвольных сферических стру] турах, получение равномерных приближений для энергетических х; рактеристик и использование этих приближений как в прямых расч! тах, так и при решении обратной задачи - оценки микрострукту] дисперсных систем в атмосфере и океане. В частности полученные - аппроксимации факторов эффективности [1-3,6] удается использ вать в качестве ядер интегральных уравнений первого рода, котор

цается строго решить аналитическими методами [43-45]. Такой под-эд позволил произвести регуляризацию некорректно поставленной адачи, в результате которой оценка плотности распределения час-нц произвольной взвеси сводится к применению конечномерного опе-атора,являющегося ограниченным.

Структура работы отражает принципиальные этапы решения проб-емы рассеяния на сферически симметричных структурах: 1. Вывод очных формул для коэффициентов рассеяния и факторов эффективнос-и радиально неоднородных частиц. 2. Вывод равномерных приближе-ий для аналитических методов регуляризации ядер интегральных равнений обратной задачи рассеяния. 3. Оценки для мягких частиц обобщение приближений Релея-Ганса и Ван де Хюлста. 4. Методы олуаналитической регуляризации, позволяющие минимизировать ошиб-и обращения интегральных уравнений первого рода на основе полно-о использования экспериментальной информации относительно раз-ичных оптических характеристик акта рассеяния.

ГЛАВА 1. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СФЕРЕ С РАДИАЛЬНО НЕОДНОРОДНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Изучаются решения системы уравнений Максвелла:

[ -гс! н - и'еМ^Г) £ ,

_ (1.1)

[ля векторов напряженностей электрического Е и магнитного [Г полей |ри условии, что среда немагнитная и показатель преломления ш= Цр) зависит только от расстояния г до центра шара (0 <г< а) [1]. !десь к0=2зЛ0-1 - волновое число, Х0 = длина волны в вакууме и

(1-2)

= волновое расстояние. Сферически симметричные структуры описыва-

втся коэффициентом преломления вида (временной множитель берете в форме ехрЦшУ:

( ( *'(<>) - ^иГ'ЧЫ)6'5 0 «Гр <Jf.fi,

где ш= круговая частота, с(р)= диэлектрическая проницаемост! б(р)= удельная проводимость. Рассеяние света на этих структур? определяется с помощью решения дифракционной задачи с граничньи условиями типа: тангенциальные составляющие векторов поля Е и непрерывны на границе раздела г=а.

1.1. Решение системы уравнений Максвелла для радиально нео, нородного сферического слоя

Положим

схи у

- ¿-I П ^

(1..

нг - И^и^.^ ц&г ^ 1 _ и , = ^

V —Н^ V 1, .

^ 7

Здесь компоненты е и 7г не зависят от ф. Используя известное р венство

( А А о С е 1- А1' ^) =

1 (

и &

''Лк)Т

-1 (а

р V V

1 1А

3- —

М ^ р '

где

л) = йллт &

(1.

перепишем систему (1.1) в скалярной форме

0 г ( -ы

-И - ^

^ -Тр

1)1 Р, . £ $ г

Ст (?) ^ ---- 1_- ^ —, м 7<

' у у ое '

I I = (1Ш _ с ) х ( -ъо

0 V 1 -Э/ '

1 -г-р -г© ■

истема (1.7) распадается на две системы, первая из которых не одержит компоненты еГ и ?гг, а вторая позволяет непосредственно ычислить эти компоненты при условии, что найдено решение периой истемы относительно компонент е0, е^, к0, Ь,^. Первая система меет вид

Лд) ?>е

1>е ■ 9 > у ^ ъ $ (1.8)

г»Ч Р) - с 1 С Це-

Саждая из компонент еГ и /гг, независимо друг от друга, находится [з второй системы

СУГ

= (1.9)

(»^Ч^ 6 ^ б > К 9 1>1>1' ^ («." '-75й) ^с^,^).«-«»

Общее решение системы уравнений Максвелла (1.8)—(1.10) (полная волна) может быть представлено в виде суммы Е - волны (Нг=0 или %.=0) и Н - волны (£г=0 или ег=0). Это представление в терминах электрического 0=0(р,9) и магнитного В=В(р,6) потенциалов Дебая записывается в следующей форме

Л- ' /

е6-- -+ -1 в (1.12)

пт

'¿рЯ V '

1_12 ^ К? (1.13)

? . -г^ (1Л4)

" ^(ри ир ^ -ее ' [ . • 7 я (1.16:

-и- -*

I

ч

О I'

Потенциалы Дебая 0 н В удовлетворяют дифференциальным уравнения) в частных производных, которые получаются из соотношений (1.11) ] (1.14). Запишем эти уравнения в виде

I

(1.17

(1.18

где введен оператор

Уравнения для потенциалов решаются методом разделения переменны} Учитывая структуру операторных равенств (1.17) и (1.18), полага<

для А(6) находим дифференциальное уравнение

+ МЛ'(е) + (1)А(9) - 0, (1.19)

десь X = произвольное число,

-емС (1.20)

использовано обозначение (1.5). В силу 2ж - периодичности функ-ии А(9), допустимые значения . где

К, - п + 1) п. е" 1Ь/. (1.21)

свою очередь, замена (1.20) и А(0)=и„(д) позволяет переписать равнение (1.19) в форме

/

з (1.22) получаем

- Р,1 (>) - V рг: (1.23)

де Рп ()1) - полиномы Лежандра. Используемый метод разделения пе-еменных с учетом соотношения (1.21), позволяет выписать соот-етствующие дифференциальные уравнения для дискретных решений -арциальных потенциалов Дебая б(р)=0п(р) и (Нр)=Вп(р):

? " / \ Л- ' ) /, I , , , .1 , , и

&Л?> ;')- • (1'25)

огласно принципу суперпозиции, применение которого допустимо следствие линейности уравнений Максвелла, потенциалы электромаг-итного поля даются формулами

1 Вч(р) (1-27;

■ 1

где учтено равенство (1.20).

1.2. Выражения компонент поля через парциальные потенциалы

Воспользуемся функциями Л„=Л„ (д) и хп =1П (д), зависящими о угла рассеяния 6, где

(1-28

Согласно второму равенству (1.11) и (1.26), имеем Отсюда, в силу (1.24), получаем

По аналогии, из второго равенства (1.14) и (1.27) находим

ч)

В свою очередь, равенства (1.12), (1.13), (1.15) и (1.16) позв( ляют определить тангециальные компоненты е 0, е ^ , П0 и к у 1 терминах парциальных потенциалов. Используя соотношения (1.4) (1.28), выписываем следующие представления компонент электрома; нитного поля:

= -ТГ 7 а С Ц111 я (1.31)

чр!

Г ^

г

Г: М

И©- ^х

.1 и ~

-г.

оа

(1.32)

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

Ш 4

Отметим ,что равенство (1.31) является формальным следствием (1.35) и (1.36), а равенство (1.34) - формальным следствием (1.32) и (1.33) . В самом деле , уравнение Максвелла (1.1) дают

£ = ---(кН.-^Ш*-!^)

(1.37)

и высказаные утверждения непосредственно следуют из легко проверяемых равенств, справедливых для угловых функций :

- ^ЗТ^р -О, (1.38)

-ЯЛ^-Я/л* (1.39)

1.3. Граничные условия

Строгий вывод граничных условий в терминах парциальных по тенциалов основан на утверждении :

Решение системы двух уравнений (|]и|<1)

П - 1- • >

(1.40

и -- г

дается формулами

_ 1 ь 1 ' 1

а" -- ^ и ^г,:г>» (?> - Цг'т-(^ ^ ^ ^ ] 1-1

(1.41

Вывод этого утверждения основан на известных соотношени! ортогональности угловых функций

Г к _

3 (*«Н"Ч Р * т «л Л[*|)с<р-- С/ (1.4;

1 • ' 2 и -1-1

где бпк - символ Кронекера.

Для непрерывности тангенциальных составляющих на грани! раздела, в соответствии с (1.32), (1.33), (1.35) и (1.36) дост; точна непрерывность функций (п=1,2,...)

тир»( , Мр/,

1 П1 ( Р/ ' ' ] •

I

В силу утверждения (1.40) - (1.41) условия (1.44) являются и н обходимыми, т.к. все коэффициенты ап и Ь„ в (1.40) равны нул если Г(ц)^((1)=0 . Далее, из непрерывности парциальных потенци

)в В„(р) , в соответствии с (1.34), вытекает непрерывность нор-шьной составляющей Нг на границе раздела. Разумеется, этот факт зляется следствием предположения о немагнитности среды. Наконец, эрмальная составляющая Ег на границе раздела заведома разрывна, № как на этой границе парциальные потенциалы Г)п (р) непрерывны, то время как показатель преломления т(р) - разрывен.

1.4. Парциальные потенциалы волн, заданных декартовыми компонентами в радиально неоднородных средах. Случай плоской волны

Для удобства изложения, выпишем предварительно некоторые спомогательные результаты. Ниже используются обозначения (1.6), 1.19) и (1.20).

1. 'Угловые функции (1.29) можно представить в виде

1 >

)

(1.45)

(1.46)

2. Справедливы равенства

I'1 С'Хр !- с ч Рп(и/ с>1н - и

1

(1.47)

]_* е<хТ ^ [ з ч) ц*1\ (с! ,к г - .г (- £ а¡(и + 2)

I.; ех^-Сх^!-/^/ РДцМр-

к

(1.48)

=■ ¿{(-¿г

(1.49)

где %(х) функция Риккати-Бесселя. Вывод формул (1.47) - (1.49 основан на теореме сложения

50

и^о

ортогональности полиномов Лежандра >1

(1.51

и дифференциальных уравнениях,которым удовлетворяют функции Рп{р

и -фп(х):

(1

^'(х^ (кос"'-

3. Если ( 1к=декартовы орты; К=1,2,3 )

Д - Л^ЛЛ+^з

[Ач, В [ А^Л,, А,"]'

(1. 52

(1.5;

(1.5'

(1.5

где матрица перехода В ортогональна ( ВТ=В"1 ) и имеет вид

- КН^ СО^ о .

(1.5

десь используются формулы связи между декартовыми и сферическими оординатами:

1ЛО, 0<§<7> (1.57)

Рассмотрим волны ф -структуры,определяемой условиями (1.4). частности, только такие волны являются решениями проблемы Ми. римером электромагнитного поля, имеющего ф -структуру (1.4) мо-ут служить волны класса

Ех- £тг 0 ,

(1.58)

де Г=Их.у) и g=g(x, у) произвольные функции двух переменных. Тане волны могут распространяться в различных радиально неоднород-ых средах, если функции Г=Нх,у) и Е=Е(х, у) надлежащим образом

иксировать. Классу полей (1.58) принадлежит, в частности, плос-—> —^

ая волна Е°, Н°. В случае

т1р) = ку]д>0/ М^со^М (1.59)

меем (см.рис.1)

(1.60)

Ь- I ^о^Л).

гот результат известен и легко непосредственно проверяется, если :пользовать уравнения (1.1) в декартовой системе координат. Най-зм парциальные потенциалы для волны (1.60).

Используя (1.55) и (1.56), согласно (1.28) и (1.31) -1.36), получаем представления

(1.61

f ft e; - ^ £ <; e; </№,),

' И-1 /

J П = 1 '

/ hi 1

лаждая из пар уравнений (1.61) и (1.64), (1.62) и (1.63), (1.6! л (1.66) позволяет вычислить парциальные потенциалы Деб; Д, (р) =Dn° (р) и Вп(р)=Вп°(р) плоской волны. В случае первой пар] .. каждому из уравнений надо применить условие ортогональности

-Сtf'^Hi^ Ькип+у1^ d-6'

¡•: формулу (1.49); в случае второй и третьей пар следует использ г;ать утверждение (1.40) - (1.41) и формулы (1.47), (1.48). :?сех случаях получаем один и тот же результат

(1.6

где

р„= (-¿Г(1и + 4)п. (1-6

1.5. Рассеяние на сфере и сферических оболочках

В [1] приведены системы уравнений,соответствующие граничным условиям задач дифракции на сфере, на различных сферических оболочках и дано решение этих систем (в случае оболочек используется теорема Лапласа для линейных алгебраических систем). В качестве частных случаев получаются решения задачи Ми и задачи о шаре в оболочке для кусочно постоянного коэффициента преломления.

Приведем формулы для расчета коэффициентов рассеянного поля в случае оболочек, описываемых коэффициентом преломления вида

(см.рис 2). В соответствии с (1.3), предполагается, что функция т(р) равна постоянному комплексному числу ruj в ядре (core) 0<p<Xj, постоянному положительному числу m2=ma в окружающей среде (surrounding medium) p>x2=k0a и произвольной функции в покрытии (coating) x!<p<x2, причем

Будем предполагать, что сферическая оболочка облучается плоской волной (1.60).

Выпишем представления для парциальных потенциалов £ - волны и Н - волны, опуская при этом для краткости нижний индекс п.

(1.70)

m = ) -^ctfx1)/

К" (= to (xt~ 0) = >vci (x,) _

(1.71)

1°. Е - волна 2°. Н - волна

З^гос^

Здесь у^р), Уг (р) и г^р), гг (р) обозначают линейно независимы решения дифференциальных уравнений (1.24) и (1.25) пр ш(р)=тсс(р), используются представления (1.68) парциальных потен циалов источника возмущения, \р(х) и ¡;(х)=^(х) + 1Х(х) - функци Риккати-Бесселя и, кроме того, введены постоянные: Ас, Вс - коэЗ фициенты внутреннего поля (ядра), А1, А2, В1, В2 - коэффициент внутреннего поля (оболочки). А, В - коэффициенты рассеянного пс ля, Е° - амплитуда вектора электрического поля падающей плоскс волны.

Выпишем окончательные формулы для коэффициентов рассеяш А=А„ и В=ВП, представляющие основной интерес в приложениях. Уч! тывая условия (1.71), получаем

4

I 1 I 1 - I I г 1 / 1 I 5 , 1 ! 5

1 л (1'74)

де введены операторы (к=1,2)

Мц- - ^ бгм^-хк-; эс -*- ^ 'I ^ к * ^ | г эскгК (1'75)

Рассмотрим два типа оболочек, восстанавливая при этом нижчлн ндекс п.

Тнп 1. Пусть

де тс и а - постоянные числа. Имеем

О

2.

К " 1 -ч 4 1 А '

" л 1 П1 О*- С^

де

+ Ы + 1 мк (1.78

-1 ^ ~ с/ +1

тс= (о<+1) ^с, ,

.-—-- -1), (1. 7£

¡1

Ъг-Н. о< + 1

Здесь уравнения (1.24) и (1.25) вида (Ьт*0)

_ / К. и-и \

]>ЧГ(]>) +«с) ^ >= 0

(1.81

ЭТО дифференциальное уравнение имеет общее решение ^ о _ о.5(1-а; -7 , £,. , ((¿-«о

ЯДм^Г } ) , ^-т-Л1"8

где - цилиндрическая функция. ^

Частный случай (а=0). В этом случае шс=шс. и. в*

сто (1.78). получаем

(1.1

- ^ (м,Ук) д;

Вычислим, например, коэффициент рассеяния ап. По (1.77) и (1.82) находим

( _ rvu;f,l ( У,! (Яс) -'4- « ( aoJ)- mcf,', (^ (fr. 7»tecM-^ - aiit* i^fcj- nirfU^i^ (*«=/ ^

где

С точностью до обозначений, этот результат совпадает с результатом для шара в оболочке, приведенным в книге К. Борен и М. Хаф-мен. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.. Мир, 1986. с. 227-230, если учесть, что в этой книге временной фактор был выбран в виде ехр(-шО. Первая строка Табл 1.1 соответствует обозначениям доклада, вторая - обозначениям К. Борена и М. Хафмена.

Табл. 1.1

nij /ш2 шс /т2 х; /К0 х2 /к0 fill Xt mcxi

т2 а b mj x m2x

Ш2Х2 тсх2 (Х)=1|)п (х) t-iXn (X)

У <Т)2У Ап i,n (Х)=1|)п (X)-lXn (X)

Если дополнительно предположить гпс =шг, то, как нетрудно проверить. найденные формулы для коэффициентов рассеяния в случае шара в оболочке переходят в формулы Ми.

Тип 2. Пусть

-й

где шс - постоянное число. Имеем

где

(1.87

В данном случае (1.24) и (1.25) представляют собой дифференциал! ное уравнение Эйлера. Именно благодаря этому факту, формулы до коэффициентов рассеяния, соответствующие типу 2, существенно прс ще, чем для типа 1.

1.6. Модифицированная проблема Ми

В проблеме Ми показатель преломления кусочно постоянн; функция. Модифицированной проблеме Ми соответствует непрерывн: показатель преломления во всем пространстве. Он конструируется

юмощью введения пограничного слоя с переменным показателем пре-юмления. Если рассматривать промежуточный сферический слой :!<р<х2 произвольной ширины

Д = X, -а

г

(1.89)

'О модифицированной проблеме Ми соответствуют, например, модели с гоказателем преломления

т(р)=

1ри

ШЛг

0< =

? > ССл

(1.90)

¿и. Мл. -

(1.91)

Го = К^Зс^ = ГУ1,

Согласно (1.70) и (1.76) условия (1.91) можно переписать в виде

(1.92)

$ этом случае формулы (1.78) принимают вид где а дается (1.91),

(1.93)

(1.94)

В [1] была предложена модель (1.90) при а=-1, которой соо' ветствует

m (о)=

I VI

.г 1

С < f <' . X

« I

-1 / р > -X.

(1.91

при условии непрерывности

(1.91

Несмотря на тот факт, что в силу (1.89) и (1.96) ширина пограни' ного слоя модели (1.95) жестко связана с параметрами показате. преломления, эта модель оказалась весьма полезной для приложен] [4,5]. Следует отметить, что формулы для расчета коэффициент! рассеяния в данном случае удобно брать в виде, приведенном в [1

1.7. Обобщение проблемы Ми. Стандартные модели аппроксимац]

Задача дифракции для шара с показателем преломления, равю произвольной вещественной или комплексной функции М(р) при уел вии, что шар погружен в непоглощающую оптическую среду и облуч, ется плоской волной (1.68) (при ша=дк) является обобщением про лемы Ми. С практической точки зрения, для решения этой пробле] нет необходимости в общем виде решать радиальные дифференциальн: уравнения (1.24) и (1.25). Значительно удобнее использовать ста дартно простые решения этих уравнений для стандартных моделей а проксимации, которые которые соответствуют наборам функций тип

= или М2(|>)=С

-I

I

(1.9

где с=постоянная. В качестве стандартной модели аппроксимации

М(р)^т(р) (1.9

/

можно использовать, например, следующую структуру т(р):

= х-МС'Х^Р'1 , ^-1<Р< Р.

v » ^

(1.99)

Л,Л 0

где постоянная и

Рх

(1.100)

для произвольного набора параметров размера (ак= геометрический радиус шара)

(1.101)

Типичный ход т(р) показан на рис.3, где использованы постоянные вида (1=0,1____,к)

-с\г 1М; т( + СЬ К• .

(1.102)

Таким образом, сферическая частица трактуется как сферическая к-слойная оболочка с ядром, которому соответствует постоянный комплексный показатель преломления. Введем обозначения

т г - * _

v. ; - ж • к . £ = i

с «■ i. , ^ -1

(£-волна),

(1.103)

<-. -

е--о

(Н-волна).

Радиальные уравнения (1.24) и (1.25) для аппроксимации (1.98) - (1.99) имеют вид

5 н( / I - г е го / ф М-'у '(г) (^ -к) ц - о,

(1.104)

где использовано обозначение (1.21). Парциальные потенциалы Б(р) для каждого слоя 1=1,____к имеют вид

(1.105)

В силу [1] имеем (верхние индексы 1 и 2 пишутся для Е-волн и Н-волн соответственно)

•1 , -С.Ъ

и^(р) = !

С.» + V

6.5 -

(1.106)

где

».л»"

Коэффициенты рассеяния вычисляются по формулам

Д = - Е

— О -

Ы

Ал" «(Г)'

(1.107)

(1.108)

где дается (1.69). Функции Вп3 (ц>) и Вп3 (О вычисляется с помощью длинного, но несложного алгоритма, описанного ниже: По формулам (1=1..... к-1, к»2)

(1.109)

где

и

¿К = ( 1 + X1 (с. 5 + Ч (1- "0>

получаем ах3, (5^, ■ «М (^=1,2). Здесь используются соотношения (1.103) и (1.107). Затем вычисляются величины ак3, Ьк], ск].

(}к 3 (к-любое натуральное число, л=1,2) с помощью рекуррентных соотношений, играющих роль формул перехода:

Я, .с

^ [1 с< [ с и

Далее, находим определители

^ *

Д* =

Рс

н.ъг]

т) Г I,

(1.111:

(1.112)

Т'1

"(РФ)

Наконец, вычисляем (¿=1,2)

113)

и находим коэффициенты рассеяния по (1.108) при (х) и ^Чп !х> Для соответствующих значений х.

ГЛАВА 2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАССЕЯНИЯ И ИХ Б - АППРОКСИМАЦИИ

2.1. Точный расчет сечений экстинкций и рассеяния во внешней области

Покажем способ точного расчета сечения рассеяния С3 и экс-тинкции С в любой точке внешней среды, т.е. не делая предположения о том, что точка наблюдения расположена в волновой зоне [1].

По определению

сь--1с'п\ с-г;4п( (2.1)

где Пя = средний поток рассеянной энергии через любую сферическу поверхность Р радиуса г>а с центром в центре шара радиуса а 10 = интенсивность падающего света, которая в случае плоской во! ны равна

С р с!

1 о " 73т . "Vе (2.2)

Имеем

П*- г- & 1 х н'КЛГ

СЛ 4 '

(2.з;

(2.4

1 1 ->г '

где II - орт внешней нормали к Г и Е°, Н° - компоненты падающ плоской волны (1.60).

Вычислим сначала 1Р. По (1.6) и (2.3)

с - . кс 0

и согласно (1.32), (1.33), (1.35) и (1.36) после интегрирован по «г>и замены (1.20), находим пЬ с О.

Используя тождество [1]

•а. г-о

СМ

1. ((к <М„ ^Ч) 7 (р,

с« — 3,

- 2, У — (^«ч-^Л

и соотношение 1?е(1А)=-1тА, получаем

1 1 г>11[р)

(2.7)

В случае проблемы Ми имеем т(р)=т2>0 и, в соответствии с тождеством ^'(р)^ (р)(р)Хп'(р)=1. находим

п$ с лЛ / Ми!"" , .г,

у Иг 1

В силу (2.1), (2.2), и (2.8), сечение экстинкции в этом случае равно

- ~гЧУ 1М2'+ (2.9)

где ап и Ьп - коэффициенты рассеяния Ми. Аналогичные, но более сложные расчеты приводят к результату [11

Отметим, что независимость сечений СБ и С от положения сферы Г объясняется отсутствием поглощения (ш2>0) в среде, окружающей рассеивающий шар.

2.2. Улучшение сходимости ряда для сечения поглощения

Стандартное представление сечения поглощения Са сферической частицей в виде

с^с-е5

(2. И)

не учитывает оптическую природу частицы. Выведем новое представление для Са в виде ряда, скорость сходимости которого растет по мере уменьшения мягкости рассеивающего шара, используя с этой целью известную формулу

•Чпг^'

-> —)

где V = объем частицы, Е° электрический вектор падающей волны и Е электрический вектор рассеянной волны, который задается формулами (1.31)-(1.33) при т(р)=т2>0. Эти формулы можно записать в виде

I С г" 0

Ь ^ - и . р -, „., (2ЛЗ)

/ Л-1 <

(2.14)

Е _ £21 ^ К 1 ^'(рк + <РПК) (2. 15)

^ ] П-1 '

где внутренние коэффициенты ап и Ьп равны (х=ш2к0а, у=т1к0а) Положим

ё - г + г

г Гг ГМ' (2.17

где

."Л

(2.18)

У е, * = в;4] V«/* ^ Л е Г' (1М Е.^Щ, (219)

"о о

V

Здесь использовано соотношение Е0-Е°*=Е02, верное в случае т2 =!?ет2.

В силу (2.13) и условия ортогональности

9 Г

- И 1-1

получаем (р^кдГ, 0<г<а)

^ * г.

(2.20)

(2.21)

г ^ы3-^ 0 / г

Используя (2.6) вместо (2.20), по аналогии находим Г , и, з соответствии с (2.17) и (2.22), имеем

Представление (2.23) можно упростить, если использовать равенства

; (з ^;(р^ (

° а ■ г л , , * <224)

I1м ^ (рхн* * я Г ^ си

' 11 о АХ

+ (Х'1 - А«- •

В результате получаем

где и

Вьфажение (2.25) дает удобное для практических применений представление сечения поглощения Са. Удобство этого представлена проявляется в случае слабо поглощающих ( п <1 ) и, в частности, мягких ( п'<1. (п—11<1) частиц, где т=ш1 ш2~1 =п-1п'. Так согласнс (2.26) величины 1АП и 1ВП убывают при убьшании п', причем АП=ВП=( при п'=0. Кроме того, очевидно, ЯеСа=Са. В самом деле, Ап* =-А,. Вп*=-Вп, Не(1Ап)=1Ап и 1?еЦВп)=1Вп. Ниже будут выведены асимптотики сечения Са.

(2.25)

(2.26)

(2.27)

2.2.1. Приближенные формулы для расчета сечения поглощения

Рассмотрим приближения порождаемые точной формулой (2.15)

п-1

Найдем, например, асиптотику вида

С^з^г;^ Aílcííl+i&i/1>iП

в длинноволновом приближении

О"1** / ^(^--х1 (х-*■ о)_ Несложные расчеты дают

С* -¿^Тт^а пп' 1гщ1-ы1 *

Для мягких шаров справедливо приближение | т2+2 Г2 ~9"1 и формула (2.31) дает

С* = п\/и , V- (2.32)

где "К=2к0т2п - коэффициент поглощения вещества шара на единицу длины. Этот результат совпадает с результатом, полученным в монографии Г.ван де Хюлста, Рассеяние света малыми частицами. М.; Мир, 1961, где принято п=ш2=1. В той же монографии методом аномальной дифракции найдена асимптотика 0ан фактора эффективности поглощения шара

(Гг^Г'С* (2.33)

следующего вида

где

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

•¿1л/ Ял/"2

Найдем асимптотику фактора 0а в Б - аппроксимации [3.6] Учитывая (2.26) и теорему сложения

<й>. (4-х)

£ (1п+1) ^ тл^) = / (2.36

П = о о

получаем

= 4 А К,»*) Б М,

Т сАт-

(2.31

где

Б Ы = -= 1- • (2-3!

Аппроксимации (2.34) и (2.37) выведены в предположении мя кости рассеивающих частиц, поэтому они эффективны при услов] т«1. Степенные разложения (2.35) и.(2.38) имеют вид

.3 (2.3

з зо

= ^ Н--ГГ +.

и . в соответствии с (2.34) и (2.37), находим

Разложение (2.41) удачнее воспроизводит фактор О'1, чем разложе! (2.40) так как справедливо представление

(Г- 1- ОМ, т 41, (2.42)

вытекающее из общего результата, приведенного в монографии Г. ван де Хюлста, если учесть, что для мягких частиц можно принять

ткт^-п—гп' и ткш!2-1)2 =4п'3.

2.3. S - аппроксимация факторов эффективности

Анализ оптических и микрофизических свойств различных дисперсных систем (т.е. решение прямой и обратной задач теории рассеяния света)удобно проводить на основе достаточно точных асимптотических представлений факторов эффективности. В частности, фактор эффективности ослабления в проблеме Ми

QW = (^KT^ji + inKr ) (2.43)

ь-л + -viзл «ijrt '

где

и Hkn можно рассматривать как функции переменных х и у. Имеем

n " i i i i , (2.45)

t^^'rU'^/J^-p-^ finish

Строгое опрэдь-jíiiie приблжн. клгкпх (soft) чзоткц — S -; гфокснмации (SA¡ основано на илпзости к единице г::р-~ення при |т|~1 [2]. В случае фактора ослабления, »ио определение с-:о.! гея к использованию равенств

-.К fll -'■•'trcJ^jl^OCÍyl, к-1,2. (2

4G)

Для БА ряд (2.43) суммируется точно с помощью следующих обобщении теорем сложения для цилиндрических функций [46]

£ (П, ^=^^ Л, ,,„,

у , „„.я Л ЫЫ Ш - о11

- ^ ',2.48)

где шп=х12+х;|2-2х1х3т. Положим

р- - а)а , (2.49)

Результат суммирования дает ЗА 0(т,х) вида [2.6]

, 1 п I , I ^ (к,*)- и)(-ы,д| |

2М ^ ' (2.50)

где

х| г - ОЛх'1) \ 1

+ 1 т + lf ( Ц ' i п - Им1+1) о"Voc^ ;,; + ( -eaf(-Lc)))

причем при переходе в W(m, х) от т к -т следует одновременно заме нить р на -R.

В случае прозрачных шаров (и=Кега) непосредственное суммиро ванне ряда в (2.43) в SA дает [2,6]

(2.52

ь ÄiviV 1 Im Л

ич(к(г/ = (а(к|ч-«0(к1г1)а(г| + (г.5с

где

а0Ы = -2.(пА-4Ни-1)А

*(и}= (п*-1)1(чг-И) (2 54)

Нетрудно проверить, что ЭА сохраняет непрерьюность при переходе от поглощающего шара к прозрачному, т.е. предел (т,х) из (2.50) при п —> 0 дается выражением из (2.52) и это последнее совпадает с результатом, полученным в [3].

2.3.1. Аппроксимации Релея, Релея-Ганса, Ван де Хюлста и Б - аппроксимация

При соответствующих дополнительных предположениях о параметрах рассеяния БА совпадает с известными аппроксимациями Релея, Релея-Ганса и Ван де Хюлста.

Выражения (2.50) для БА удобно переписать в виде [6]

_J_о (/ х ~ ь)(-1ь-Щ,

где

(2.56)

00 с и, 1) ( лЫ + а, 0)2"*) + с сцИ е^г) + ^(п)

2 ' I . /

2 (2.57)

о

с учетом обозначений (2.54).

Перейдем в (2.56) к пределу при ш -»1, в предположении, чтс фазовый сдвиг р остается постоянным. Имеем ш(-1,-Ю=0,

ш(1,р)=1б[-1е1 (р)+е2(р)] и из (2.56) находим

(2.58)

Другими словами, если ш стремится к единице при условии, что х(ш-1) равно любому фиксированному значению, то

¿ОМ г к.

, (2.59)

где

IV - Ъ-'

Сн^Ш'?), 1\ (^ ) - \ -г ~г- + (2.60

хорошо известная аппроксимация аномальной дифракции Ван де Хюлст Если |т-1|х«1 (других предположений относительно ш и х н делается), то раскладывая функции, входящие в (2.56) в степенны ряды, находим

о -7сои

<5 Г

{с.5-х~1-ЦиЩ + (»,-Л 0 % (2.61

Учитьшая равенства К=4х+р, характер четности входящих в (2.65 функций и порядок их убывания при принятом предположении, получ; ем [2]

- ( т -1) (2.X хг - 6 (4 - 1 с (4*)

(2.6

Правая часть (2.62) совпадает с аппроксимацией Релея-Ганса.

Наконец, при условии х«1 формула (2.56) (независимо от дает [2]

(ЗсК*) =

(2Л

1ри условиях |т-1|<1, х<1 главная часть (2.63) дает аппроксимацию 'елея.

2.3.2. Точность Б - аппроксимации для фактора ослабления

Область фактических применений БА факторы <23 характеризуется ¡сак результатами вычислений, проведенных в [2], так и результатами проверки, проведенной независимо от автора.

1 . Результаты [2]. Существует допустимая область

О < X -<' Д 1 «М мН+М ( М > -1/ (2.64)

определяемая следующим образом: фактор ослабления Ми 0 представляется БА 0,, с относительной ошибкой менее 5%; при этом допускается, что в области 0<х<2 в отдельных точках относительная ошибка может достигать 5...25%, но в этих точках абсолютная ошибка |03-(1| имеет порядок 10"" (п>2). Поведение верхней границы х(т) при т>1 в терминах фазового сдвига

п ГУ1) Г 0/п, -!)•* (м ' (2.65)

проиллюстрировано в табл.2.1.

Табл. 2.1

Значения р(я)

т 1.00-1.06 1.03 1.10 1.12 1. 14 1. 16 1.18 1.20 1.22

р(т) 00 123 60 31 25 23 13 15 14

Точкозть БА характеризует так:ге следующий известней факт: существует последовательные максимумы хк(г,]1ч0, в которых фазовые сдвиги р=рк почти не зависят от показателя преломления т. В Табл.2.2 приведены значения рк=2(п-1 )хк (т) при к=1,2,3,4 для БА; они практически те же, что и для фактора Ми.

Табл. 2.2

Значения рк

к 1 2 3 4

Рк 4.1 10.8 17.2 23.5

Данные Табл. 2.1 и 2.2 показывают, что фактор Ми Q с большо) точностью равномерно представляется своим SA Qs в широкой облает! параметров тихи приближение Qs может быть с успехом применено при регуляризации обратных задач светорассеяния.

2 . Независимая от автора проверка. В рецензии на статью [6] написано: The approximation (имеется в виду SA) works well - compare, for example. Fig.1, Fig.2 and Fig.5 (в докладе - рис. 4,5 i 6) which I enclose.

2.4. Б - аппроксимация малоугловой индикатрисы

Индикатриса Ми определяется амплитудными функциями

Ой Л-1

ОС (2.66)

Обозначим через А1 (р) и А2(ц) их БА. Используя представление полиномов Лежандра с помощью усеченной гипергеометрической функции

удается найти следующее представление А1(ц) и Аг (д) в области малых углов 0 (/1=соз9) [6]:

Ак(р) = И« - е—о, (2.б8)

hc = t { OÍ -» v >>" ¡ n.| """л t(2l

С ( П) 11)пГ hul'^'W7 ~zfI H. - i (mt-1) nr ¡mi l'> K1 (2 '"jjljl

(2.69)

tm'^'^'N, (2>)

где

(2.70)

В [6] показано также, что БД амплитуд Ми переходят в аппроксимации Релея (естественно, при условии мягкости) и Релея-Ганса при малых углах рассеяния 8 с точностью до 0(64), если выполнены ограничения, соответствующие этим аппроксимациям.

ГЛАВА 3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ СВЕТА

Определение плотности распределения частиц, взвешенных в атмосфере и океане, по светорассеянию в настоящее время является одной из самых актуальных задач оптики мутных сред. Речь идет о разработке методов анализа информации о распределении частиц по размерам, которую содержит рассеянный свет.

Оптические свойства' систем, состоящих из сферически симметричных частиц, т.е. из радиально неоднородных шаров, определяются плотностью из распределения по размерам и (переменным) показателем преломления.

В случае "разбавленных" систем, когда можно ограничиться рассмотрением однократного рассеяния, задача сводится к обращению интегрального уравнения Фредгольма первого рода

Здесь f(a) - плотность распределения частиц по размерам; F(a, у) -ядро уравнения, известное из теории рассеяния света на отдельной частице; g(у) - экспериментально определяемая функция.

(3.1)

Ядро F(a,у) может быть, например, индикатрисой рассеяния монодисперсной системы с частицами, радиус которых г=а; в этом случае g(y) - полидисперсная индикатриса, описывающая рассеяние пол углом р=у. Далее F(a,y) может быть поперечником ослабления и, соответственно, g(y) - полидисперсным коэффициентом ослабления зависящим от длины волны Х=у, и т.д.. Во всех случаях задача теорт обращения состоит в том, чтобы дать алгоритм и программу вычисления неизвестной функции f(a) по заданной информации о F(a,y) \ g(y). При этом надо принимать во внимание возможности эксперимента, т.е. учитывать неточности измерения g(y), и, главное, тот факт, что g(y) удается измерить только для ограниченного наборе-значений у.

Обращение интегрального уравнения (3.1) дает пример некорректно поставленной задачи, т.е. задачи в которой небольшие неточности в информации на входе, неизбежные из-за ошибок измерени: или расчетов, могут привести к сколь угодно большим ошибкам i f(a). Это обстоятельство является следствием неограниченное^ оператора обращения, соответствующего (3.1). Поэтому обращени (3.1) требует предварительного использования какого-либо метода преобразующего плохо обусловленную (некорректно поставленную) за дачу в хорошо обусловленную (корректно поставленную) задачу. Лю бой такой метод называется регуляризацией. Известно много спосо бов регуляризации. В докладе рассматриваются полуаналитически методы регуляризации, основанные на следующих соображениях. Пр обращении (3.1) возникают ошибки двух типов разной природы. Пер вый тип — ошибки, связанные с неточностью в определении значени g(y). Эти ошибки принципиально неустранимы, но их можно сделат произвольно малыми, т.к. они возникают в результате применени линейного конечномерного (т.е. ограниченного) оператора, завися щего от конечного числа замеров. Второй тип — ошибки, связаннь непосредственно с обращением (3.1), именно из-за этих ошибс рассматриваемая задача некорректна и нуждается в регуляризацм Любая регуляризация сводится к наложению какого-либо дополнител! ного ограничения на решение задачи. Так, в методе Тихонова э: ограничение сводится к устранению решений с большой производно! т.е. к искусственному удалению из решения членов, соответствующ1 большим частотам.

Полуаналитические методы регуляризации основаны на предварительной замене ядра достаточно точной его аппроксимацией F(a, у) при условии, что интегральное уравнение

А с*

. J Гд (о, ¡fl i folo/o = (j(ij¡ (3.2)

решается точно аналитическими методами. Существует много обратных задач в оптике, для которых удается построить удовлетворительную аппроксимацию вида

Задачи такого типа рассматриваются в докладе.

3.1. Приближение Ван де Хюлста и метод спектральной прозрачности

Фактор эффективности ослабления Ми СНаД.т) прозрачного шара радиуса а в приближении аномальной дифракции аппроксимируется формулой Хюлста

где 1=длина волны в вакууме и

<5нГ,) = г-4«!* + 4 пр. <3.5,

В этом приближении интегральное уравнение (3.1) принимает вид

с*з

J Tia-(\H = j) (fl) (3.6)

при y=4:r(m-l)m2V"1.

Интегральное уравнение (3.6) относительно неизвестной плотности распределения частиц f(а) можно решить строго аналитически разными методами [8,14,17,18,20,31-34], общее название которых — метод спектральной прозрачности.

В [101, на основе точного решения интегрального уравнения (3.6) была получена следующая формула для расчета

m(ft\ - 'Jí(/f (a)

(3.7)

Имеем

C0'X +

(3.8)

Здесь

(3.9)

у3 соответствуют точкам наблюдения на спектральном интервале 0<у<т; коэффициенты С0 и С2 должны быть оценены на основанм представления

в терминах известной информации о g(y).

Точная формула обращения для (3.6) и расчетная и формул; (3.8) были многократно проверены на основе численных экспериментов [9.11.16-20]. а также в условиях реальных эксперименте] [13.15,26-29].

Метод прозрачности был обобщен на случай поглощающих части! [38-41], применен с учетом зависимости коэффициента ослаблени: среды от дисперсии света в веществе [30], использован для опреде ления ориентации эллипсоидальных частиц [42]. Исследование метод спектральной прозрачности на конкретных дисперсных системах, со ответствующих современным представлениям о структуре аэрозолей гидрозолей было проведено в [24.25], различные аспекты физическо го и математического характера, рассмотрены [17,18,21-23,31,34,43-45]. Существенная модификация метода спект ральной прозрачности приведена в [32,33]. В этих работах исполь зуются интегральные характеристики рассеяния, позволяющие улуч шить сходимость метода прозрачности при обращении эксперименталь ных данных. Остановимся подробнее на этой модернизации.

(3.101

Пусть по-прежнему измерения полидисперсного коэффициента ослабления g(y) проводятся на спектральном интервале 0<у<т. Справедливы следующие формулы обращения:

f ( f<) = j ^ ( G (-V I x 1 f ~Л 1 - 'Ьu- -f Cj ! T! ( .x i

- тЧк^лспНд (3.11)

1 [ 1 ■

- ]_ ( yxi-yti T [}(-xj - G-(T))xi(.n4Xtlx (3 12)

И

H") i tx<\'(v ч-2ч(Х1 -^ÎT!-i}Cc))c,\aXdX (3.13)

2 h О О '' ,J

Здесь введена интегральная характеристика.ослабления

Ct(;ï) j J I J tj .

(3.14)

Вьвод формул обращения (3.11) - (3.13) основан на использовании характеристической функции

Fix! » Л' ( (у-(Х) -_.,.)

+ Л .->,

(3.15)

где введены моменты плотности f(a) в виде

|5„=2jj tv"" f (a)dq , (3.16)

С-

Анализ решения показал, что оптимальные оценки р0 и (5г в условиях, когда оптическая информация дается на интервале О < у <т. имеют вид

(Мт> = о.гь тг( о(т| - (И i|)

(3.17)

V ,

Эти оценки соответствуют условиям гладкости Г(т)=Г (т)=0. Проверка полученных решений, проведенная в [33] показала, что они дают

/

удовлетворительный результат обращения интегрального уравнения (3.6) при условии, что интегралы в (3.11)-(3.13) оцениваются по квадратурным формулам Филона.

3.2. Приближение Релея-Ганса и метод мягкой индикатрисы

Зависимость между индикатрисой J(а,8) для отдельной сферической частицы радиуса а (8-угол рассеяния) и полидисперсной индикатрисой 1(0), соответствующей дисперсной системе с плотностью распределения частиц по радиусу f(a) определяется соотношением

К°)=Г (3.18)

В случае, когда оптические свойства системы частиц весьма мало отличаются от свойств окружающей среды допустимо индикатрису J(а,0) вычислять в приближении Борна (случай мягкой индикатрисы).

Введем обозначения:

Uc\ > -i , - 3

„л - 14, m о/ - — —Г--- /

i 1 i Hh m^l

(3.19)

(3.20!

Приближение Борна определяется равенством

ТКе)--Е° + (е) ЗМ«)),

где Е° - интенсивность падающего света,

у1 (3.21

Перейдем в (3.18) к безразмерным переменным (г0=выбранны масштаб длины). Имеем

VJ ,

] Л (^m(i)fU =

(3.22

4 fl' 1 O-Q-t

где

_ . Q ¡J--X-^11! ' Я = (3.23)

/

Wfi) E° ' w

г

Применяя к (3.22) преобразования Меллина и используя свойство свертки Меллина, решение интегрального уравнения (3.22) можно записать в виде контурного интеграла (-2<с<0) С+(сх>

Р + 1

I I в1 слл"'Г 1-Л.» 0~ г I

(3.25)

С-1

^ -г \

Г — Í С*7 I f

где (l<Rep<5)

00

(3.26)

При использовании контурного интеграла (3.25) нужно в (3.26) предварительно сделать аналитическое продолжение с полосы l<Rep<5 на полосу -2<Rep<0 [8, 36].

В случае экспериментально определяемой полидисперсной индикатрисы следует использовать формулу [36]

тК; * 4л-1 [ X т/

J

Н-^Т'^^Т)) (3-27)

где

0.5(^^1-^1), (3.28)

В [17, 36] приведены примеры обращения для Г-моделей распределения частиц, подтверждающие устойчивость предложенной выше расчетной схемы.

Большой интерес представляет оценка плотности f(а) в случае

узкого распределения частиц по данным о светорассеянии. Эти вопросы подробно рассмотрены в [22, 23].

3.3. Оценка плотности распределения частиц в случае Б-апп-роксимации фактора эффективности ослабления

В силу результатов раздела 2.3.2., SA Qs с большой равномерной точностью воспроизводит фактор эффективности ослабления Ми С внутри допустимой области (2.64). Как показано в [2, 6] эта область достаточно широка для решения обратных задач оптики океана. Это означает, что полуаналитическая регуляризация интегральногс уравнения (3.1) в терминах SA является весьма эффективной для решения обратных задач гидрооптики.

Рассмотрим интегральное уравнение

где СНа.тД) некоторая энергетическая характеристика рассеяния ] проблеме Ми. Для проведения полуаналитической регуляризации в Б. удобно предварительно преобразовать Б-ядро (2.56) к форме, удоб ной для обращения. Имеем [6]

(3.29.

(3.29

(3.30

( 2I г\tU (2\- «j »м ¡-¡(ц

(3.31

где

HU)- l-M UV + 4cui,

i -^(Zj+f&U),

f Н(z"t)Нt( ^(^j'Uf^t,

о е

(з.з;

Здесь использованы обозначения (2.54), (2.55) и

?

б = у у(2/=н~\к>,2 = [ Л^л (3.33)

Отметим легко проверяемые соотношения

НС = 1г _• ' (3.34) +

Функции 0,7 могут быть разложены в степенные ряды в х=0, т.к. для этих функций точка х=0 дает устранимую особенность. В результате находим длинноволновые асимптотики

- Яс (а И14НК-4Г + л)-V.

-^(зс^тКт'-^+а^Н^-Д,,) /

(3.35)

где

(3.36)

Длинноволновые асимптотики факторов Ми для рассеяния О550 и поглощения Оа известны. Они имеют вид

а51- Не /

О . 3 г , . / а. ^ \ (3.37)

где

л л „ . (3.38)

По (3.36) и (3.38) находим

(3.39)

т.е. для любого шара и дают удовлетворительные длинноволновые асимптоты факторов Ми и 0а, соответственно. Обратные задачи (3.29) в БА разрешимы при

ОК^Л^О^О, ( о к м, \)= о

Рассмотрим в качестве примера обращение уравнения (3.2.9) для прозрачной сферической частицы. В этом случае гп=Неш и

о* о* .

5 16ы1

Применение преобразования Меллина к интегральному уравнению (3.29), регуляризованному с помощью аппроксимации (3.40) описано и [6]. Имеем

ь ад »1 с ^ 21т и, \3) $ (й^)а^- +

+ С.Н-С fe(ftt) + СгНт-^^т^

(3.41)

где^=4тй"1, а измерения проводятся для г>'П>1( принадлежащих спектральному интервалу 0<г><т. Явные выражения гналлтически> функций ф(х), Ф0(х), ф2(х) в терминах интегралов по лолтуру Бром-•■'¡ча выписаны в [6]. Приведем степенные разложенья .гих функций, получающиеся в результате применения теоремы о шчолгх и леки -орлана: и

h-1

ОО 2>Л,

= IL (¡U-lla(M,fv)3c , (3.4г;

П rl

В [6] дано представление функции а(ш,п) в виде линейной ком '¿лнации известных коэффициентов (2.54).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ Основные результаты

Работа посвящена развитию строгих математических методов ре-нения прямых и обратных задач светорассеяния. Получены следующие результаты:

1. Выведены точные формулы для расчета светового поля при рассея--ши сферической частицей с комплексным показателем преломления, лроизвольным образом зависящим от расстояния до центра. Даны алгоритм решения и методы оценки точности результата.

2. Получено решение задачи дифракции на сферически симметричных неоднородных структурах, облученных источниками любой природы. Решение основано на предложенном аналитическом методе вычисления парциальных потенциалов Дебая по заданным декартовым компонентам любой электромагнитной волны, допустимой в рассматриваемой среде.

3. Построены модели рассеяния на сферической частице с непрерывно меняющимся во всем пространстве показателем преломления (модифицированная проблема Ми). Непрерывность достигается путем искусственного построения показателя показателя преломления в пограничном слое. Новая модель позволяет существенно улучшить результаты классической теории Ми при количественном описании процесса рассеяния различными объектами, в частности, эта модель позволяет достаточно точно аппроксимировать характеристики светорассеяния системами случайно расположенных частиц произвольной формы.

4. Разработан единый подход в теории рассеяния света на мягких частицах на основе строгого определения этих частиц. Построены Б-приближения (Б=зоШ энергетических характеристик рассеяния на мягких частицах с помощью разработанного способа суммирования рядов, содержащих произведения различных цилиндрических функций (обобщение теорем сложения).

4.1. Найдены Б - приближения для факторов эффективности, локаци-

онного рассеяния и малоугловой индикатрисы.

4.2. Показано, что S - приближение переходит в аппроксимации Ван де Хюлста и Релея - Ганса при соответствующих дополнительных ограничениях.

4.3. Проверено, что S - приближение дает высокую точность и,может быть использовано в качестве ядер интегральных уравнений при регуляризации некорректных задач теории рассеяния света полуаналитическими методами.

5. Решение обратных задач теории рассеяния света.

5.1. Метод прозрачности (обращение интенсивности в аппроксимацм Ван де Хюлста).

5.2. Метод мягкой индикатрисы (обращение функции рассеяния в аппроксимации Борна).

5.3. Метод S - обращения (обращения интенсивности в S - приближении) .

Применение результатов

Содержащиеся в докладе методы решения прямой и обратно проблем светорассеяния конструктивны и легко проверяются на тео ретических моделях. Такие проверки были проведены во многих рабо тах [4, 5, 9-12, 15, 18-20, 2о. 31. 39]. Результаты проверо подтвердили правильность построенных расчетных схем и алгоритмо и их устойчивость к мелким ошибкам измерений и вычислений. В слу чае обратных задач это означает удачность выбора метода их регу ляризации.

Остановимся сначала более подробно на методе спектрально прозрачности, описанном в разделе З.1.. При разработке этого ме тода был сделан ряд гипотез физического характера: 1) частии сферические, 2) рассеяние однократно и некогерентно, 3) в точка замеров полидисперсного коэффициента ослабления показатель пре

ломления должен быть приблизительно постоянным и не слишком отличаться от единицы. Строго говоря, ни одна из перечисленных гипотез для реальных систем не выполняется. Аналитический учет каждого из указанных ограничений возможен, но он приводит к существенному усложнению алгоритма вычислений, поэтому большое значение приобретает проведение прямых измерений. Речь идет о проверке метода на заранее прокалиброванных золях, т.е. о сопоставлении кривых распределений, полученных методом позрачности или каким-либо другим методом. В [11] установлены минимальные требования к эксперименту - оценено влияние точности замеров коэффициента ослабления, установлены коротковолновые Хгп1п и длинноволновые Хтах границы спектрального интервала, внутри которых необходимо иметь надежную оптическую информацию для успешного применения метода прозрачности. В частности, для одномодальных распределений установлены следующие границы спектрального интервала: Хт1п=2л(т-1 )ага, Хтах=5л:(т-1)ат, где т- относительный показатель преломления и ат- мода распределения сферических частиц по их радиусам. В [13] такая проверка была осуществлена. Эксперименты проводились на двух моделях: 1) для микрокристаллов бромистого серебра в желатине (т=1.47 известен), расположенных на кварцевой пластинке, 2) для спор грибов Са1уаМа (ш=1.40 оценен по формуле, приведенной в [11]), насыпанных на сухую пластинку из КИБ-б. Плотности распределения, полученные по методу прозрачности и в результате прямых измерений на электронном микроскопе оказались в хорошем согласии (см. рис. 5 и 6 из [13]). При этом выяснилась существенная роль надежной сценки параметра со из формулы обращения (3.8) на основании экспериментальных данных.

Детальная проверка была проведена для модифицированной модели Ни [1], описанной в разделе 1.6.. Этой модели отвечает двухслойная сферическая частица внутренняя часть которой является однородным ядром с показателем преломления п^, а наружная представляет неоднородный сферический слой, показатель преломления в котором непрерывно меняется от гп1 до т2 - показателя преломления внешней среды. Показано [4. 5], что оптические свойства таких просветленных частиц заметно отличаются от однородных, оптика этих частиц представляет интерес для ряда конкретных задач геофизики, биофизики, физики полимеров, астрофизики. В [4] модифицированная модель Ми была применена для описания рассеяния света ста-

тистическим ансамблем частиц неправильной формы, хаотично расположенных в визируемом объеме. Рассматривались звездчатые частицы, встречающиеся среди клеток фитопланктона в морской воде. Было показано, что индикатрисы (в частности, интенсивности рассяния назад) и степени поляризации таких частиц, рас-читанные по предложенной модели, дают результаты, близкие к данным измерений. Аналогичные результаты получены в [5] и для случая ворсистых (fluffy) частиц, из которых в значительной степени состоит межпланетная пыль. Таким образом, проведенные расчеты в целом демонстрируют близость оптических свойств изотропных ансамблей сложных частиц и просветленных сфер. Для подобных ансамблей просветленные сферы позволяют построить физически более правильную картину явления, чем однородные [5].

D [2,6] исследовано применение SA (см. раздел 2.3.) к оптике морской взвеси, которая вносит основной вклад в рассеяние света океанской водой. Фундаментальное значение для оптики океана имеют частицы биогенной и терригенной групп, относительные коэффициенты преломления которых не превышают 1.02-1.04 и 1.14-1.16 соответственно. Показано, что SA можно успешно применять при решении прямых и обратных задач светорассеяния для частиц указанных групп при всех реально возможных значениях относительного показателя преломления ш и параметра размера х. Этот факт проверен в [2] на основании микрофизических данных о рассматриваемых системах частиц и результатов, приведенных в Табл. 2.1..

- 55 -

Вопросы, выносимые на защиту

1. Решение задачи дифракции на сфере с коэффициентом преломления, равным произвольной функции, зависящей от радиуса (для любых источников возмущения).

1.1. Формулы для расчета коэффициентов рассеяния

1.2. Формулы для расчета факторов эффективности.

1.3. Модифицированная задача Ми, основные модели, алгоритм расчета, оценка точности.

1.4. Вычисление парциальных потенциалов Дебая для волн, заданных декартовыми компонентами. Случай плоской волны.

2. Факторы эффективности и их Б-аппроксимации?

2.1. Улучшение сходимости ряда для фактора эффективности поглощения.

2.2. Б-аппроксимация, математическое описание.

2.3. Б-аппроксимация как обобщение аппроксимаций Ван де Хюлс-та, Релея-Ганса. Точность Б-аппроксимаций.

3. Полуаналитические методы регуляризации некорректно поставленных задач в теории рассеяния света.

3.1. Использование точных решений интегральных уравнений первого рода.

3.2. Обращение данных оптического зондирования. Методы прозрачности и мягкой индикатрисы.

3.3. Оценка точности обращения, требования к эксперименту, оптимальная регуляризация.

4. Приложение полученных результатов в геофизике, оптике атмосферы и океана и при оценке микроструктуры коллоидных дисперсных систем.

Окружающая среда

Рис.2. Сферическая оболочка.

Рис.З. Типичная структура функции т(р), аппроксимирующей показатель преломления М(р).

MIE

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 SIZE PARAMETER

CONTOUR

rfton « to 3.eeo€ comtoua interval Of e.?t&ea ptia.31• e.iuaee-as

РЕИ

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 ЭГСЕ РАИАМЕТЕИ

сл <с

соитоий гйо э то з вам сонтоия |мтейуд1_ ог ».геем ртгэ.э!- « 2244<»€>*з

Рис. 5. Линии уровня фактора эффективности ослабления в 5А.

ERR MIE-PER

1.30

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 SIZE PARAMETER

CONTOUR fRC • го '2 ©£« СОНГ0ЦЯ JwTEHvAl. Of t РТСЭ.31« ».в^ЭС-И

рус. 6. Относительная ошибка $а (а %).

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались и были опубли-ованы в трудах следующих конференций и симпозиумов:

1. 5 Всесоюзное совещание по актинометрии и оптике атмосферы 1964, Москва)

Вычисление спектра частиц по данным о спеюпральной прозрач-ости.

2. Symposium on radiation processes in the atmosphere orga-ized by the International Radiation Comission of the Internatio-al Association'of Meteorology and Atmospheric Physics. (1964,St. etersburg)

The determination of the spectrum of small particles by ight scattering

3. Second Interdisciplinary Conference on Electromagnetic cattering (1965. Amherst)

Inversion of light scattering date for the determination of pherical particle spectrum.

4. Symposium on radiation (Bergen. 1968)

On the determination of natural aerosol by extinction coeffi-ient.

5. Symposium on radiation in the atmosphere (1976, Garmisch artenniuhen)

On the solution of the Hulst integral equation by Fourier's r arts format ion.

6. Научная конференция ЛТА (1963, С.-Петербург)

Вычисление обратных преобразований Меллина от целых степеней

амма-функции.

7. Всесоюзная конференция по рассеянию света (1972, Алма-Ата)

Определение структуры атмосферного аэрозоля методом спект-

альной прозрачности.

8. Всесоюзное совещание по распространению оптического излу-ения в дисперсной среде (1978, Обнинск)

Обращение данных о коэффициенте ослабления среды.

9. VII Пленум по оптике атмосферы и океана (1980, Таллин)

0 расчете поглощения спета в неоднородных частицах.

10. IX Пленум по cur • • атмосфггч и океана (1984, Батуми)

Рассеяние света просветленной сферой.

11. X Пленум по оптике атмосферы и океана (1988, Рос-гов-на-Дону)

Модель для оценки рассеяния света частицами сложной структуры.

12. XI Пленум по оптике атмосферы и океана (1990. Красноярск

Энергетические характеристики светового поля в S-аппроксилш-

ции.

13. Intenational aerosol symposium (1994, Moscow)

a) On radiative and optical properties of strati of big optical depth.

b) Semianaliticat methods of the ill-posed problems regula-rization in optics.

14. SPIE's International Conference on Ocean Optics XII (1994. Bergen)

a) Evaluation of the marine suspention microstructure by inversion of the polydispersive intensity.

b) Scattering and extinction of light by radially inJiomogem ous spheres.

Автором опубликовано 85 статей, основные работы по теме диссертации приведены ниже. Под научным руководством автора по рассматриваемой проблеме выполнены и успешно защищены 6 кандидатски: дисертаций.

Основные результаты диссертации изложены в следующих опубликованных работах автора:

1. Scattering in spherically symmetric media // Appl. Opt.,1979.-v.18.-No 13.-p.2307-2314.

2. Фактор эффективности ослабления частиц морской взвеси //ИАН ФАО, 1986. -т.22. -N3. -с.242-250 (р.184-189)^.

3. О рассеянии света прозрачным шаром в приближении мягких частиц // ДАН СССР. 1985. -Т.281. -HI. -с.51-54.

I. Рассеяние света двуслойными диэлектрическими частицами с непрерывными оптическими свойствами // Опт. и спектр., 1985. -т.59. -N3. -с.597-602 (Соавторы: В.М.Кокорин, К. С.Шифрин) (р.361-364).

>. Оптические свойства частиц сложной структуры. Ансамблевый подход // Письма в ЖТФ, 1985. -т.11. - Вып.13. -с.790-794 (Соавторы: В.М.Кокорин, К.С.Шифрин).

). Extinction and scattering by soft spheres // Appl. Opt., 1991.-v.30-No.4-p. 475-484.

'. Вычисление спектра частиц по данным о спектральной прозрачности // ДАН СССР, 1963. -т.151. -N2. -с.326-327 (Соавтор: К.С.Шифрин).

:. Определение спектра частиц дисперсной системы по данным о ее прозрачности. 1. Основное уравнение для определения спектра частиц // Опт. и спектр., 1963. -т.15. -N4. -с.533-542 (Соавтор: К.С.Шифрин) (р.285-289).

Определение спектра частиц дисперсной системы по данным о ее прозрачности. 2. Использование основного уравнения при аналитическом задании спектральной прозрачности // Опт. и спектр., 1963. -т. 15. -115. -с. 667-675 (Соавтор: К. С.Шифрин) (р. 362-366).

0. Определение спектра частиц дисперсной системы по данным о ее прозрачности. 3. Использование основного уравнения для случая табличного (графического) задания спектральной прозрачности //Опт. и спектр., 1963. -т.15. -N6. -с.803-813 (Соавтор: К.С.Шифрин) (р.434-439).

) В скобках указываются страницы Engl. Transi, статьи.

11. Определение спектра частиц дисперсной системы по данным о ее прозрачности. 4. Схема расчета спектра частиц дисперсной системы по данным о ее позрачности // Опт. и спектр., 1964. -т.16. -N1. -с.117-128 (Соавтор: К.С.Шифрин) (р. 61-67 ).

12. Определение спектра частиц дисперсной системы по данным о ее прозрачности. 5. Проверка метода на теоретических моделях. Случай почти монодисперсных систем // Опт. и спектр., 1966. -т.20. -N1. -с.143 -153 (Соавтор: К.С.Шифрин) (р.75 -80 ).

13. Определение спектра частиц дисперсной системы по данным о е< прозрачности. 6. Экспериментальная проверка метода на моделя; // Опт. и спектр., 1966. -т.20. -N4. -с.692-700 (Соавторы: В.Г.Бахтиятов, К.С.Шифрин).

14. Calculation of particle distribution by the data on thi spectral transparency // Pageoph,1964.-.v.58. -p.208-220 (O author: K.S. Shifrin).

15. The inversion of accurate data on the extinction coefficie by the transparency method // Pageoph,1966.-v.64-p.204-2 (Co-authors: V.G. Bakhtiyarov. L.Foitzik. 1С.S.Shifrin).

1С. Determination of particle spectrum of atmosphere aerosol b light scattering // Tellus , 1966-v.18-p.566-572 (Co-author K.S. Shifrin).

17. Inversion of light scattering data for determination of sphe rical particle spectrum // In "Electromagnetic Scattering II R. Rowell and Stein, eds., Gordon & Breach, New York, 1967. p.131-168 (Co-author: K.S. Shifrin).

18. Расчет спектра частиц по информации о прозрачности дисперснс системы // Тр. ГГО, 1965. -Вып.170. -с.37-60 (Соавтор К.С.Шифрин).

19. Устойчивость расчетной схемы при обращении данных по свет< рассеянию // ИАН ФАО, 1965. -т.1. -N9. -с.964-972 (Соавто] 1С. С. Шифрин).

20. Расчет функции плотности распределения частиц по размерам ] основании спектральных и угловых характеристик дисперс» системы // ИАН ФАО, 1967. -т.З. -N6. -с.629-639 (р.359-364)

21. Интегральные характеристики систем с узким распределением Ж. Вычисл. мат. и мат. физики, 1968. -т. 8. -116. -с. 1359-13

22. Вычисление оптических характеристик дисперсных систем с узк

•аспределением // ИАН ФАО, 1966. -т. 2. -N6. -с. 606-616. Центральная прозрачность почти монодисперсных систем // Тр. ГО, 1965. -Вып.170. -с.3-36 (Соавтор: К.С.Шифрин). Использование светорассеяния для определения структуры дис-ерсных систем со степенным распределением // Опт. и спектр., 969. -т.26. -N6. -с.1013-1018 (Соавтор: К.С.Шифрин) р.548-551).

спользование метода прозрачности в случае ß-распределения астиц дисперсной системы // Опт. и спектр., 1969. -т.27. HI. -с.137 -143 (Соавтор: К.С.Шифрин) (р.66-70). пределение спектра частиц методом прозрачности при больших онцентрациях золя // ИАН ФАО, 1966. -т.2. -Н7. -с.762-765 Соавторы: В.Г.Бахтияров, К.С.Шифрин) (р.459-461). пределение спектральной прозрачности для распределения Юнге / ИАН ФАО, 1969. -т.5. -Н8. -с.874-876 (Соавторы: В.И.Компа-овский, К.С.Шифрин) (р.498-499).

пияние оптической жесткости на точность метода спектральной розрачности // ИАН ФАО, 1969. -т.5. -НИ. -с.1219-1222 Соавторы: В.И.Компановский, К.С.Шифрин) (р.704-706). 1ределение структуры атмосферного аэрозоля методом спект-1ЛЬН0й прозрачности // ДАН СССР, 1970. -т. 190. -i)2.

331-333 (Соавторы: Н.И.Никитинская, К.С.Шифрин). пределение спектра частиц по данным о коэффициенте ослабле-1Я среды с учетом дисперсии света в веществе // ИАН ФАО, 379. -т. 15. -HI. -с.66-74 (Соавтор: К.С.Шифрин). тределение спектра частиц дисперсной системы по данным о ее юзрачности. Аппроксимация модифицированными полиномами Ле-шдра // Опт. и спектр., 1979. -т.47. -N6. -с.1159-1165 (Сопоры: В.М.Волгин, К.С.Шифрин) (р.643-646). шисимость точности обращения по методу спектральной проз-1Чности от используемой информации // Опт. и спектр., 1980. \49. -Н5. -с.912-917 (Соавторы: В.М.Волгин, К.С.Шифрин) t. 643-646).

1счет плотности распределения радиусов частиц по интеграль-м характеристикам спектрального коэффициента ослабления // IT. и спектр., 1981. -т.51. -N6. -с.963 -972 (Соавторы: М.Волгин, К.С.Шифрин) (р.534-538).

iprovements to the spectral transparency method for deter-

ming particle-size distribution // Appl. Opt. 1980.-v.19-No.ll-p.1787-1793 (Co-author: K.S. Shifrin).

35. О косвенном методе оценки ослабления излучения аэрозолем в И окнах прозрачности // Тр. ГГО, 1985. -Вып.496. -с.126-13 (Соавторы: В.М.Волгин, В.Н.Куликов,Е.И.Коробова).

36. Обращение индикатрисы для мягких частиц // ДАН СССР, 1964 -т.158. -N3. -с.578-58Í (Соавтор: К.С.Шифрин) (р. 158-160).

37. Структура светового поля под малыми углами // Тр. ГГО, 1966 -Вып. 183. -с.3-18 (Соавторы: В.А.Пунина, К.С.Шифрин).

38. Ослабление об"емного коэффициента ослабления мягких частиц / Изв. вузов. Физика, 1968. -N7. -с.7-12 (Соавтор: В.А.Пунина)

39. Расчет плотности распределения мягких поглощающих частиц / Изв. вузов. Физика, 1969. -N9. -с.38-42 (Соавтор: В.А.Пуни на).

40. Uber die Berechnung der Grossenverteilung von den absorbie renden kugelförmigen Teilchen // Pageoph, 1969. -v.74-p.92-10 (Co-author:V.A. Punina).

41. Uber die Berechnung der Grossenverteilung von den absorbie renden Teilchen aus dem Extinktionkoeffizienten // Gerl. Be itr. Geoph., 1971.-v.80.-No.4.-p.345-356 (Co-authors: L.Foit zik, V.A.Punina).

42. Определение ориентации эллипсоидальных частиц методом спект ральной прозрачности // Опт. и спектр., 1978. -N6. -с.12С -1210 (Соавтор: К.С.Шифрин) (р.939-941).

43. О решении интегральных уравнений 1 рода с ядром, зависящим с произведения // Ж. Вычисл. мат. и мат. физики, 1967. -т. 7 -HI. -с.94-112 (р.121-146).

44. Применение свертки Меллина к решению интегральных уравнений рода с ядром, зависящим от произведения // Ж. Вычисл. мат. мат. физики, 1969. -т. 9. -N3. -с.626-646 (Соавтор: В.А.Пуш на) (р.167-193).

45. Об обращении интегральных уравнений 1 рода с ядром типа Фурь // Изв. вузов, Математика, 1971. -N3(106) -с.61-71 (Соавтор В.А.Пунина).

45. An application of Mie's series to soft particles // Pageopí 1978.-у. 116.-p. 1077-1088.

47. On the scattering from soft particles // J. of cjii. and Ir terf. Sei., 1978-v.63-p.593-596.