Применение методов стохастических дифференциальных уравнений в задачах теории климата

Демченко, Павел Феликсович

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Применение методов стохастических дифференциальных уравнений в задачах теории климата
ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Применение методов стохастических дифференциальных уравнений в задачах теории климата"

На правах рукописи

Демченко Павел Феликсович

УДК 551.589

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ КЛИМАТА

Специальность 25.00.29 - Физика атмосферы н гидросферы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Институте физики атмосферы им. А.М. Обухова Российской академии наук, г. Москва

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Володин Евгений Михайлович Доктор физико-математических наук Найденов Вячеслав Иосифович Доктор физико-математических наук Лапшин Владимир Борисович

Ведущая организация: Институт глобального климата и экологии Росгидромета

Защита состоится «22» декабря 2005 г. в _ часов на заседании

Диссертационного совета по геофизике Д.501.001.63 при физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, дом 1, строение 2, Физический Факультет, аудитория_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук ___« В.Б. Смирнов

2 fiOC-4

Z1UJ

Hl7b72

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Земная климатическая система (ЗКС) испытывала изменения на протяжении всей своей истории. Этот факт отражен в определении, данном Всемирной метеорологической организацией (ВМО), согласно которому ЗКС есть "система, состоящая из взаимодействующих физических элементов атмосферы, океана, криосферы, поверхности суши и биомассы, которые изменяются в определенных масштабах времени, представляющих для нас интерес, но превышающих время жизни индивидуальных возмущений синоптического масштаба" (Физические основы теории климата и его моделировании, 1977). Процессы, протекающие в каждой из подсистем и при взаимодействия между ними имеют различные временные масштабы. В совокупности с внутренне присущей системе хаотичностью это приводит к тому, что наблюдаемая эволюция большинства характеристик климата имеет непрерывный спектр.

Попытки построить композитный спектр колебаний в отдельных компонентах ЗКС {Mitchell, 1976; Pelletier, 1998) показали, что мы имеем дело с реализацией случайного процесса, спектр которого, содержащий отдельные пики (соответствующие годовому ходу, явлению Эль-Ниньо, ледниковым периодам и т.д.), имеет тенденцию к росту в область низких частот. Единственность реализации процесса делает невозможной постановку традиционных для физики контролируемых экспериментов над ЗКС в целом. Это обстоятельство, в совокупности с отмеченным ростом спектра от высоких частот к низким, создает трудности при попытках эмпирического описания законов климатической изменчивости.

Вместе с тем совершенствование наших знаний законов этой изменчивости необходимо в связи с усилением антропогенных выбросов парниковых газов в атмосферу ([IPCC, 1996; IPCC 2001). Анализ изменения концентрации изотопов 14С (эффект Зюсса) и 13С в атмосфере показал, что наблюдаемый в XX веке рост концентрации СОг не может быть объяснен только естественными колебаниями компонент углеродного цикла (Кислое, 2001). Он является внешним для климатической системы вынуждающим воздействием, отклик на который - "сигнал"- необходимо рассчитывать и выделять на фоне естественных колебаний - "шума". Эти исследования проводятся в рамках ряда международных программ, в частности - программы CLIVAR (CLIVAR, 1998).

Для понимания закономерностей климатической изменчивости было создано множество моделей. Наиболее подробные модели - модели общей циркуляции (МОЦ) -

содержат полный набор уравнений движения - законов сохранения - и в идеальном случае

IPOC. НАй,ИОН »•>•!•>•

БИБЛИОТЕКА ,

sxr&ri

должны описывать все процессы, определяющие эволюцию ЗКС. Являясь "отображением" ЗКС на множество модельных динамических систем, в совокупности с эмпирическими исследованиями они позволяют проводить контролируемые численные эксперименты с разрешением синоптических процессов (Марчук и др, 1987). В настоящее время эти модели показали свою способность воспроизводить многие свойства климатической изменчивости. Они проходят регулярные сравнения в рамках международных программ AMIP и CMIP (Gates,1998; Meehl, 2000), которые тем не менее показали, что во многих деталях их результаты еще расходягся между собой.

В дополнение к моделям общей циркуляции для исследования низкочастотной изменчивости климата, пренебрегая описанием эволюции отдельных синоптических образований, но рассматривая их статистику, была выдвинута концепция стохастических моделей климата (Hasselmann, 1976). Она базируется на идее (Мжин,1969; Bretherton, 1982), что различные компоненты ЗКС характеризуются разными временными масштабами, так что состояние быстрых переменных может быть описано статистически, принимая во внимание, что на характерных временах изменения медленных переменных эволюция статистических моментов быстрых (средние, дисперсии и т.д.) подстраиваются к текущему состоянию медленных. Хассельманн предположил, что стохастическое воздействие неучтенных "погодных" возмущений может интегрироваться в медленных компонентах и приводить к низкочастотной изменчивости системы в целом.

два важных момента остались не раскрытыми в первоначальной версии теории. Первый связан с тем, что временные масштабы собственной изменчивости в подсистемах "быстрой" и "медленной" могут быть разнесены не столь сильно, чтобы пренебречь эффектами запаздывания отклика. В статистической теории неравновесных процессов это приводит к тому, что уравнение Ланжевена заменяется на обобщенное уравнение Ланжевена, содержащее интеграл памяти - следствие конечности времени приспособления быстрой подсистемы (Mazo, 1978).

Второй принципиальный момент связан с решением проблемы, которая никогда не возникала в традиционной теории броуновского движения. Она заключается в том, что при описании климатической изменчивости нас в первую очередь интересуют долгопериодные флуктуации в атмосфере - быстрой подсистеме. Таким образом традиционная задача об определении флуктуаций в инерционных элементах ЗКС под действием короткопериодных атмосферных возмущений трансформируется в задачу определения долгопериодных флуктуаций атмосферных переменных при взаимодействии с низкочастотной изменчивостью в медленной подсистеме, инициированных атмосферными быстропротекающими процессами. Для решения этой задачи интенсивно привлекаются численные эксперименты с моделями общей циркуляции атмосферы и океана. Для анализа результатов таких экспериментов и для сравнения данных моделирования с данными инструментальных наблюдений методами стохастических дифференциальных уравнений необходимо модифицировать классическую статистическую теорию броуновского движения в преломлении к задачам теории климата.

Целью работы являлось развитие теории стохастических моделей климата методами современной неравновесной статистической механики и применение теории для расчета флуктуаций в земной климатической системе. Приоритетные направления исследований: !) построение уравнений флуктуаций климата из исходных динамических уравнений совместной эволюции быстрых и медленных подсистем ЗКС и обоснование возможности использования стохастических дифференциальных уравнений для описания изменчивости как медленных переменных, например, океана, так и связанных с этой изменчивостью низкочастотных флуктуаций быстрых атмосферных переменных; 2) применение теории для исследования роли взаимодействия атмосферы и инерционных компонент ЗКС в долгопериодной изменчивости метеоэлементов; 3) применение теории для описания характеристик изменчивости отдельных компонент ЗКС.

На защиту выносятся: Метод эквивалентных стохастических систем, который позволяет получить стохастические дифференциальные уравнения совместной эволюции

медленных и быстрых переменных, характеризующих состояние различных компонент земной климатической системы в низкочастотном интервале спектра флуктуаций - на временах, превышающих синоптический масштаб времени.

- Метод учета нелокальности отклика атмосферы при расчете временных спектров локальных аномалий температуры верхнего квазиоднородного слоя океана по стохастическому дифференциальному уравнению его теплового баланса.

- Результаты расчетов по стохастическим моделям предсказуемости и спектра низкочастотной изменчивости среднеполушарной температуры воздуха, широтного хода интенсивности низкочастотных флуктуаций среднезональных температур, статистических характеристик флуктуаций гидрологического режима суши, широты границы снежно-ледового покрова, площади сплошной потенциальной приповерхностной мерзлоты, нелинейных эффектов усиления низкочастотной изменчивости агмосферной влажности при локальном взаимодействии синоптических возмущений в атмосфере с влажностью почвы.

Научная новизна результатов состоит в том, что впервые методами неравновесной статистической механики получены стохастические уравнения для описания флуктуаций в земной климатической системе, которые явно учитывают наличие инерционных элементов (океан, влажность почвы и др.), нерегулярной синоптической изменчивости атмосферы и адаптированного к эволюции медленных элементов изменения в быстрой подсистеме. Эти уравнения - обобщенные соотношения Ланжевена - приведены к эквивалентной стохастической системе дифференциальных уравнений. С помощью полученных стохастических дифференциальных уравнений впервые дан анализ влияния нелокальности атмосферного отклика на спектры флуктуаций температуры верхнего слоя океана, влияния контактного взаимодействия с океаном на предсказуемость и спектры температуры воздуха. Метод позволил с единых позиций рассмотреть флуктуации различных компонент ЗКС, в том числе проанализировать важные нелинейные эффекты взаимодействия флуктуаций в атмосфере и почве.

Возможные практические приложения результатов лежат в области моделирования и диагностики климатической изменчивости. Метод эквивалентных динамических систем удобен при интерпретации данных наблюдений за изменениями климата и анализа результатов численного моделирования его изменчивости на полных моделях общей циркуляции атмосферы и океана. Особенную роль он может сыграть при планировании численных экспериментов.

Публикации я аппробация работы. По теме диссертации автором опубликовано 20 работ в отечественных и зарубежных журналах и еще 7 тезисов докладов в трудах различных конференций и симпозиумов. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: советско-американском симпозиуме по моделированию климата, климатическим изменениям и статистической обработке климатических данных (Тбилиси, 1979); на Всесоюзной конференции «Моделирование климата и его изменений» (Ленинград, 1980); на III Всесоюзном совещании по антропог енным изменениям климата (Ленишрад, 1982); на Всемирной конференции по изменениям климата (Москва, 1983); на II Международной конференции по моделированию глобального климата и его изменчивости (Гамбур!, 1992); на Рабочем совещании по проблемам развития моделей климата промежуточной сложности (Ницца, 2002); на Международной конференции «Криосфера Земли как среда жизнеобеспечения» (Пущипо, 2003); семинаре Института метеорологии Макса-Планка (Гамбург, 1989); на Всесоюзной школе семинаре по физике атмосфере и изменениям климата (Катуар, 1989); семинаре Отдела вычислительной математики РАН (Москва, 1982). Полностью работа докладывалась на семинаре Отдела теории климата Института физики атмосферы им. A.M. Обухова (Москва, 2004); на семинаре «Математическое моделирование геофизических процессов» Института вычислительной математики РАН (Москва, 2005), на семинаре кафедры физики атмосферы физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Москва, 2005).

Личный вклад автора состоит в постановке задач и проведении аналитических расчетов, проведении основной части численных расчетов, за исключением вычислений на модели климата промежуточной сложности ИФА РАН, анализе и интерпретации данных моделирования и данных наблюдений. Задача построения эквивалентных стохастических систем дифференциальных уравнений для решения новой в статистической физике проблемы, связанной с адекватным описанием флуктуаций в климатической системе при взаимодействии быстрых и медленных переменных, поставлена и решена автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список цитируемой литературы содержит около 140 наименований. Объем диссертации 210 страниц, включающих 27 рисунков, 9 таблиц и библиографию на 10 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается общая постановка задачи, обосновывается актуальность темы, сформулированы цели исследования, отмечена новизна полученных результатов и выводов, их достоверность, обосновывается научная и практическая значимость работы. Выделены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе методы неравновесной статистической механики применены для вывода стохастических дифференциальных уравнений флуктуаций климата. Получены стохастические уравнения совместной эволюции быстрых и медленных переменных ЗКС -обобщенные соотношения Ланжевена. На их основе предложен и обоснован метод, который позволяет от исходных динамических уравнений совместной эволюции быстрых и медленных подсистем ЗКС перейти к эквивалентной стохастической системе дифференциальных уравнений для описания изменчивости как медленных переменных, например, океана, так и связанных с этой изменчивостью низкочастотных флуктуаций быстрых атмосферных переменных. Далее метод применяется для расчета спектра флуктуаций температуры приповерхностного воздуха, осредненной глобально или по полушарию.

В разделе 1.1 дается общая постановка задачи сокращенного описания эволюции земной климатической системы (ЗКС). Используется принятая в теории броуновского движения схема сокращенного описания, в которой отказ от рассмотрения индивидуальных траекторий в подпространстве быстрых переменных X означает, что они могут быть описаны только своими вероятностными характеристиками - статистическими моментами функции плотности распределения рз(Х|У) при заданных значениях медленных переменных V. Для любой функции ¡'(Х,У) определяется процедура условного осреднения <Р|У> с весовой функцией р5(Х|У) . Остаток 8Р=Р-<Р|У> в первоначальной версии теории стохастических моделей климата (Нав$е1тапп, 1976) рассматривается, как дельта-коррелированный по времени случайный процесс - «белый шум». Тогда уравнения эволюции медленных компонент трактуются, как уравнения Ланжевена со случайными дельта-коррелированными по времени силами::

Формулируется одна из основных проблем, которая возникает при применении теории стохастических моделей климата К. Хассельманна к описанию статистики долгопериодной изменчивости быстрой компоненты ЗКС - атмосферы - при учете ее взаимодействия с флуктуациями более инерционных элементов. Рассматривается схема

(1)

проведения численных экспериментов на моделях общей циркуляции атмосферы и океана (МОЦАО) по определению влияния взаимосогласованной эволюции быстрых и медленных компонент ЗКС на атмосферную изменчивость в связи с возможностью применения стохастических методов для интерпретации результатов таких экспериментов.

В разделе 1.2 для получения стохастических уравнений совместной эволюции быстрой и медленной подсистем ЗКС рассматривается возможность применения одного из современных методов получения уравнений типа Ланжевеиа - обобщенных уравнений Ланжевена - метода проектирующих операторов X. Мори. Этот метод позволяет тождественными преобразованиями привести правые части исходных эволюционных уравнений к форме, удобной для дальнейших аппроксимаций, в которой явным образом выделяются короткопериодные случайные воздействия (среднее от которых по ансамблю атмосферных движений при заданном состоянии медленных компонент ЗКС равно нулю) и регулярная, адаптированная к этому состоянию, составляющая. Показано, что, прямое применение традиционных приближений в обобщенном уравнении Ланжевена для малоинерционных компонент неэффективно и может приводить к возникновению расходимосш в спектре их флуктуации на низких частотах.

В разделе 1.3 дан вывод обобщенных уравнений Ланжевена коэволюции быстрых и медленных переменных ЗКС. При этом как быстрые, так и медленные переменные рассматриваются, как векторы, что соответствует конечно-разностной или спектральной аппроксимации исходных динамических уравнений. Для этого на первом шаге обобщенное уравнение Ланжевена для флуктуаций медленных компонент ЗКС дополняется обобщенным разбиением эволюции быстрых компонент ЗКС на регулярную и быстрофлуктуирующую составляющие, причем первая содержит интеграл памяти, учитывающий конечность времени приспособления быстрых компонент к текущему состоянию медленных. Далее дается вывод выражения для интеграла памяти с учетом поправок первого порядка по отношению характерных времен релаксации атмосферных и инерционных переменных ЗКС. В результате обобщенное разбиение эволюции переменных ЗКС с выделением быстрофлуктуирующих членов выражается в терминах собственной изменчивости быстрых переменных атмосферы ХоО) и функций среднестатистического нестационарного отклика атмосферных переменных <ДХ<ТЬ> на фиксированные аномалии медленных компонент <АУ>. Зачастую среднестатистический отклик (в отличие от единичной реализации) можно рассчитать по линейной модели:

(г)

^^>=-В°*ДХ<г>+А*ДУ, <ДХ(°>> = 0 . (2)

ат

В работе показано, что тогда коэволюция флуктуации быстрых и медленных переменных может быть приведена к эквивалентной стохастической системе. Для малых флуктуаций ДУ и АХ относительно их средних стационарных значений случайные спектральные меры (ГУ^тДв) и <1Х(ш,(ш,<1м) - разложения ДУ и ДХ в интеграл Фурье-Стилыъеса - будут удовлетворять системе стохастических уравнений:

1охК(а>) = Д!^ = ¿(111 ¥><®> + ¿(ЛО^ , (За)

Л<®>=(/® + В Г^А-ЛГ^+Ж*®) . (36)

0 0

Все величины с нижним индексом «0» относятся к собственным движениям быстрой подсистемы. Рассмотрен случай, когда в правой части исходного уравнения эволюции медленной подсистемы (1) можно выделить линейную по X часть и не зависящие от нее компоненты (как быстрые, так и медленные). Показано, что тогда в (З.а) при аппроксимации сШ(т)(со,(5(») этой часта изменчивости можно полагать <1Х(ш)(ю,с1со) из (36), где учтены эффекты запаздывания Тем самым система уравнений (3) превращается в эквивалентную стохастическую систему, которая позволяет рассчитывать характеристики флуктуаций, исходя из статистики собственной изменчивости быстрой подсистемы и ее среднестатистического отклика на фиксированные аномалии медленных переменных.

В разделах 1.4 — 1.5 развитая теория применяется для определения влияния теплового взаимодействия атмосферы и верхнего слоя океана на интенсивность межгодичных флуктуаций среднеглобальной или среднеполушарной температуры приземного воздуха. Проведено сравнение спектров межгодичных флуктуаций глобально или полушарно осредненной температуры воздуха, рассчитанных по эквивалентной стохастической системе и но глобальной стохастической энсргобалансовой модели климата, в которой флуктуации температуры приводного воздуха и температуры поверхности океана не различаются - ранняя версия стохастических моделей климата. Результаты сравнения с эмпирическими данными для флуктуаций температуры воздуха у поверхности северного полушария приведены на рис. 1. Эмпирические данные о приповерхностной температуре воздуха были взяты с сайта Университета Восточной Англии и соответствуют периоду 1856 - 2002 гг.

г (ГОД1)

Рис.1. Нормированный на дисперсию спектр межгодичных флуктуаций осредненной по северному полушарию температуры воздуха у поверхности Жирная сплошная кривая - расчет по эквивалентной стохастической системе (обобщенные уравнения Ланжевена с явным разделением температуры воздуха и температуры поверхности океана), пунктирная - расчет по ранней версии стохастических моделей климата (уравнение Ланжевена для некоторой эффективной температуры поверхности). Непараметрическая оценка спектра по данным Университета Восточной Англии для периода инструментальных наблюдений (18562002 гг) представлена штриховой линией Тонкая сплошная линия соответствует авторегрессионной оценке спектра АЩ2).

Проведенные с помощью данных о синоптической изменчивости радиационного баланса на верхней границе атмосферы оценки интенсивности межгодовых флуктуаций среднеглобальной температуры приземного воздуха показали, что рассчитанные теоретически величины стандартного отклонения этих флуктуаций близки к их эмпирическим оценкам по данным инструментальных наблюдений. Далее исследуется роль корреляций между флуктуациями температуры и радиационного баланса в собственной короткопериодной изменчивости атмосферы (температура океана фиксирована), а также роль радиационно-облачных связей в генерации низкочастотной изменчивости атмосферы. Найдены возможные режимы флуктуаций, когда взаимодействие с аномалиями температуры поверхности океана приводит к убыванию спектра межгодовой изменчивости температуры воздуха на низких частотах.

Во второй главе методами стохастических дифференциальных уравнений рассматриваются вопросы, связанные с определением влияния взаимодействия флуктуаций температур воды и воздуха на характеристики изменчивости температуры поверхности океана (ТПО) и предсказуемость температуры атмосферы.

В разделе 2.1 рассмотрена постановка задачи о вычислении спектра флуктуаций температуры верхнего квазиоднородного слоя океана (ВКС) ДТИ в отдельных географических точках на поверхности Мирового океана, вызванных синоптической изменчивостью потоков тепла через границу вода-воздух ДБ' Дан обзор результатов работ других авторов, в которых данная задача решалась на основе обыкновенного стохастического дифференциального уравнения - уравнения Ланжевена - в каждой отдельной точке г {1?гапЫ%пои1, Н^еЫапп, 1977). Стабилизирующая обратная связь в первоначальной версии стохастической теории аномалий ДТ» осуществлялась за счет регулярной, адаптированной к локальной аномалии температуры, составляющей теплообмена через границу вода - воздух: < АРа„\ ЛТ*(гД)>= ЛТ^гд) (Х,„ -коэффициент контактного теплообмена). В этих работах отмечается существенное занижение рассчитанного таким образом времени корреляции флуктуаций по сравнению с эмпирическими данными. К аналогичным выводам приводит и сопоставление упрощенной локальной стохастической теории с результатами численного моделирования на полных моделях общей циркуляции атмосферы и океана (Ооттещег, 2002).

В разделах 22-2.2 построена стохастическая модель для вычисления спектра флуктуаций ТПО, которая учитывает нелокальный среднестатистический отклик атмосферы на локальные аномалии теплового потока между океаном и атмосферой. В этой нелокальной модели регулярная часть ЛРа„ связана с регулярной частью локальной аномалий температуры приводного воздуха ДТа(гД), которая зависит от всего поля аномалий ДТ^гД):

(дг |ДГ(г',/)\ =-Л (АТ (Г,0-<ЛГ | ДГ (г',г)>г) (4)

\ 'т аю м/ а м/ г

В выражении (4) последнее слагаемое в скобках есть статистическое среднее по ансамблю движений атмосферы при фиксированном состоянии поля аномалий температуры поверхности океана. Оно описывает нелокальность отклика атмосферы.

Для простой модели отклика атмосферы найдены аналитические решения для дисперсии и времени корреляции флуктуаций ТПО, построено выражение для их спектра. С помощью введенного безразмерного критерия, характеризующего пространственную связность синоптических флуктуаций потоков тепла и интенсивность горизонтального

теплообмена в атмосфере, рассмотрены асимптотические режимы флуктуаций. Показано, что в локальном режиме спектры флуктуапий ТПО совпадают с таковыми в модели без компенсирующих изменений температуры воздуха над областью аномалии. В другом, противоположном случае спектры флуктуаций ТПО совпадают с таковыми в глобально осредненной модели первой главы. На рисунке 2 приведены результаты сравнения рассчитанных теоретически спектров межгодичных флуктуаций ТПО с полученными по данным судов погоды в северной Атлантике (Привальский, 1985). Найдено их хорошее соответствие, при этом показано, что учет нелокальных компенсирующих изменений температуры воздуха играет существенную роль.

Рис. 2 Нормированные на дисперсию спектры аномалий ТПО Крива* 1 - расчет по нелокальной теории. Кривая 3 - расчет по локальной теории. Для сравнения приведен обобщенный спектр межгодичных флуктуаций ТПО в Северной Атлантике (кривая 2), полученный по данным судовых наблюдений на кораблях погоды (Привальский, 1985).

В разделе 2.3 простая стохастическая энергобалансовая модель взаимодействия атмосферы и океана, приведенная к виду эквивалентной стохастической системы, применяется для исследования предсказуемости среднеглобальной температуры воздуха. Выводится формула для вычисления среднестатистического предела предсказуемости.

Проведен анализ влияния распределения интенсивности синоптических флуктуаций притоков тепла между атмосферной и океанской компонентами ЗКС на предсказуемость температуры воздуха. Получены выражения для оценивания интервала предсказуемости по эмпирическим данным о взаимной корреляции флуктуаций температуры в атмосфере и верхнем слое океана. Аналогичные модели в последние годы стали применяться для исследования предсказуемости температуры воздуха, осредненной по крупным океанским акваториям, например, северной Атлантики (Barsugli, Battisti, 1998). Но система стохастических дифференциальных уравнений, применяемая в этих работах, не берет в расчет найденных в диссертации эффектов, которые могут существенно изменить результаты сопоставления стохастических и численных прогностических моделей и, как следствие, физическую интерпретацию результатов расчетов по прогностическим моделям и эмпирическими исследованиями предсказуемости.

В третьей главе рассматриваются стохастические энергобалансовые модели климата, на основе которых рассчитывается широтный ход интенсивности низкочастотной изменчивости зонально-осредненных температур, вызванных синоптическими флуктуациями притоков тепла - дивергенции его меридионального переноса и флуктуациями радиационного баланса на верхней границе атмосферы.

В разделе 3.1 методами стохастических дифференциальных уравнений дан вывод уравнений для широтной зависимости дисперсии среднезональных температур (температур поверхности, осредненных вдоль определенного круга широты). Построена аналитическая упрощенная модель для описания низкочастотных флуктуаций среднезональных температур, проведено исследование факторов, влияющих на широтный ход дисперсии флуктуаций.

В разделе 3.2 построена аналитическая модель для расчета интенсивности случайных флуктуаций источников, связанных с синоптической изменчивостью меридионального переноса тепла. Для этого была рассмотрена упрошенная модель переноса примеси в случайном поле скоростей, предложенная В.И. Кляцкиным для описания поля средних величин (концентраций, температур) - первых статистических моментов (Кляцкип, 1980). В разделе 3.2 эта теория была развита в применении к описанию вторых статистических моментов. Найдена аналитическая аппроксимация интенсивности случайных источников, вызванных синоптическими флуктуациями дивергенции меридионального переноса тепла, связанных с вихревым переносом в атмосфере, которая в первых численных работах по стохастическим зональпым энергобалансовым моделям климата (Lemke, 1977) не рассчитывалась В частности, аналитическая теория приводит к

соотношению между 0% - дисперсией синоптических флукгуаций меридионального переноса тепла через круг широты ф и средним потоком <Р£>:

Для коэффициента Ак были получены аналитические формулы, которые позволяют рассчитать его по данным о статистических характеристиках синоптической изменчивости меридионального переноса явного тепла и данных о коэффициенте горизонтального макропереноса тепла в энергобалансовых моделях климата; его теоретическая оценка составила: Ак=1.2. Приведена проверка аналитической теории в сравнении с эмпирическими данными для атмосферы северного полушария. Результаты сравнения теории с эмпирическими данными, приведенные на рисунке 3, показали их хорошее соответствие; эмпирический коэффициент связи квадрата среднего меридионального потока тепла с его дисперсией оказался близким к его величине, найденной по стохастической модели переноса примеси в случайном поле скоростей.

В разделе 3.3 построенная аналитическая модель широтной зависимости интенсивности синоптической изменчивости меридионального переноса тепла была дополнена статистической моделью синоптической изменчивости радиационного баланса на верхней границе атмосферы. Проведена обработка данных спутниковых экспериментов по определению синоптических флукгуаций радиационного баланса на верхней границе атмосферы.

(5)

Рис. 3 Проверка связи дисперсии синоптической изменчивости вихревого переноса явного тепла и квадрата его средней величины по эмпирическим данным и стохастической теории. По оси ординат отложены январские значения интенсивности межсуточной изменчивости вихревого переноса явного тепла (Stone et al, 1982), значения среднего потока, принятые при построении абсцисс, взяты по средним многолетним данным (Oort, Rosmusson., 1971)

, ftftiT1

На основе обработки спутниковых данных создана параметризация случайных синоптических притоков тепла, связанных с пульсациями радиационного баланса на верхней границе атмосферы. При использовании эмпирических данных о синоптических флуктуациях радиационного баланса и теоретических оценок флуктуаций меридионального переноса тепла на основе развитых стохастических моделей получены оценки интенсивности междугодичных флуктуаций средних зональных температур приземного воздуха. Результаты сравнения с данными инструментальных наблюдений приведены на рисунке 4.

Рис. 4. Расчеты интенсивности флуктуаций Т с учетом зависимости альбедо от температуры под действием пульсаций радиационного баланса (кривая 1) и меридионального переноса тепла (кривая 2). Заштрихованная область - диапазон изменения оценок <хт , полученных при различных коэффициентах корреляции синоптических флуктуаций потоков явного и скрытого тепла. Для сравнения приведены эмпирические оценки от (Гройсман, 1987). С исключенным линейным трендом (крестики) и без исключения тренда (кружки).

да во во

г>*

В четвертой главе методы стохастических дифференциальных уравнений применяются дня описания малых флуктуаций температурно-зависимых характеристик криосферы северного полушария: площади распространения снежно-ледовой границы и площади распространения потенциальной мерзлоты - площади с температурными условиями, благоприятными для ее существования.

В разделе 4.1 в рамках зональных энергобалансовых стохастических моделей климата получены стохастические уравнения совместной эволюции средней глобальной (или средней полушарной) температуры воздуха Ть и синуса широты снежно-ледового покрова х§. В рамках зональных энергобалансовых моделей снежно-ледовая граница отслеживает положение определенной изотермы Т(Х8Д)=Т5. Разница в отражательной способности поверхности - альбедо - приводит к появлению положительной обратной связи между температурой и положением снежно-ледовой границы (Будыко, 1971). Эта положительная обратная связь может приводить к появлению множественных стационарных состояний в ЗКС и к усилению интенсивности флуктуаций. Найдены зависимости низкочастотных флуктуаций термического режима от параметров, определяющих степень влияния

•г с

1.0

О, 5

обратной связи "альбедо - температура". Построена параметризация случайных источников для моделей малых флуктуаций снежно - ледовой границы.

В разделе 4.2 теория стохастических дифференциальных уравнений применена для описания больших уклонений климата от его современного состояния. Для этого методы определения асимптотики математического времени ожидания случайного переброса от одного устойчивого состояния - современного климата - к другим возможным устойчивым состояниям - например, режиму "полного оледенения Земли" - были распространены на стохастические энергобалансовые модели климата. В этих моделях граница снежно-ледового покрова - главный фактор нелинейной зависимости "альбедо-температура"- являлся независимой переменной. В случае статистически однородного на сфере поля синоптических флуктуаций притоков тепла получена формула для "квазипотенциала" - функции, определяющей асимптотику логарифма математического ожидания времени достижения характеристик климатической системы значений, значительно отличающихся от современных. Для оценки интенсивности случайных источников использованы результаты раздела 4.1. Показано, что переход к режиму полного оледенения Земли под действием синоптических флуктуаций притоков тепла относится к числу совершенно невероятных событий - математическое ожидание времени перехода в миллионы раз превышает принятый астрономами возраст Вселенной.. Оценено математическое ожидание исчезновения полярных шапок, которое также оказалось на несколько порядков превышающим возраст Земли. В то же время оценки показали, что спонтанное потепление или похолодание на ГС в среднем может происходить раз в несколько сотен тысяч лет.

В разделе 4.3 маломодовая стохастическая энергобалансовая модель применяется для расчета флуктуаций площади распространения сплошной потенциальной вечной мерзлоты Под областями распространения потенциальной мерзлоты здесь понимаются области, ограниченные изолиниями определенного значения воздупшо-мерзлотного

индекса (индекса суровости) I1Де Ттш и Т^ относятся соответственно к

'шах

минимальной (как правило, января) и максимальной (как правило, июля) среднемесячным температурам, выраженным в градусах Цельсия. На рисунке 5 приведены границы современного распространения сплошной и спорадической приповерхностной вечной мерзлоты в сравнении с изолиниями !р=-2 и ¡р=-1. Из данных рисунка видно хорошее соответствие расположения границ мерзлотных подзон и изолиний индекса.

Возможность применения зональных стохастических моделей климата в проблеме вычисления изменчивости построенной по температурному критерию площади области -области потенциальной вечной мерзлоты - была протестирована на основании обработки данных реанализа КСЕР/ЫСАЯ (КаЬау е/ а1, 1996, КШ1ег е/ а1, 2001). Эти данные приведены на рисунке 6. Нормировка площади сплошной вечной мерзлоты ( степень покрытия территории многолетнемерзлыми грунтами превышает 90%) проводилась на стандартное значение для периода 1969-1990 гг).

60° 20° 40° 60е 100° 140° 180=__

Рис 5 Значение индекса относительной суровости 1р и границы современной криолитозоны в северной Евразии. 1 - значение индекса относительной суровости; 2 - южная граница спорадической многолетней мерзлоты и 3- сплошной многолетней мерзлоты. Штриховкой показаны горные районы (Демченко и др 2002 г)

Рис.6. Временной ход

нормированной площади сплошной потенциальной вечной мерзлоты в Северном полушарии (5-и летние скользящие средние) по данным реанализа 1ЧСЕР/МСАЛ. Сплошная линия - расчет по двумерному полю, пунктирная - по зональной аппроксимации этого поля.

—>—I—'—I—■—I—■—I—'—I—•—|—■—I—.—I— 1955 1060 1965 1870 1875 1880 1865 1990 1995

Найдены аналитические выражения для интенсивности флуктуаиий площади сплошной потенциальной вечной мерзлоты 8П и синуса широты ее южной границы хР с использованием безразмерных параметров, определенных в разделе 4.1. При использовании данных реанализа КСЕРЛ^САИ для оценки интенсивности флуктуаций 8„ и Хр в зональном приближении получены оценки интенсивности флуктуаций: <(Дхр)2>=4.3*10'3 и <(Д8„)2>=9.4*10'2. Теоретический расчет по двухмодовому приближению стохастической энергобалансовой модели раздела 4.1 со статистически однородными на сфере случайными источниками тепла при эмпирической оценке радиуса корреляции случайных воздействий Гк=1000 км приводит к оценке: <(Дхр)2>1ФОр=3.7*10"3 и <(ДЯ„)2>1етр=8.5*10"2, что находится в удовлетворительном согласии. С другой стороны, непосредственная оценка по двумерному полю температур дает несколько большую оценку безразмерной величины 20=1. 1*10"'. Это

неудивительно, поскольку зональное приближение заведомо не учитывает незональных особенностей изолиний мерзлотных индексов.

В пятой главе методами стохастических дифференциальных уравнений исследуется влияние синоптической изменчивости в атмосфере на флуктуации влагозапаса почвы и поверхностный сток Л.

В разделах 5.1-5.2 приводятся эмпирические данные о времени корреляции флуктуаций влажности почвы, дана их интерпретация на простой линейной стохастической модели. Для нелинейной стохастической модели, учитывающей процесс формирования поверхностного стока, сформулированы два подхода к моделированию флуктуаций влагозапаса почвы под действием синоптических возмущений потока влаги через границу атмосфера - поверхность. Первый основан на компьютерном моделировании флуктуаций методом Монте-Карло. Второй, аналитический метод, основан на применении уравнения Фоккера-Планка для прямого вычисления статистических характеристик флуктуаций.

В разделе 5.3 проведен анализ зависимости статистических характеристик флуктуаций влагозапаса почвы от внешних условий: средних осадков Р, потенциальной испаряемости Ео и интенсивности синоптического возбуждения. Проанализированы климатические режимы недостаточного (Ео>Р) и избыточного (Ео<Р) увлажнения континентов. Построена аналитическая модель для расчета среднего, дисперсии и времени корреляции флуктуаций влагозапаса почвы В линейном режиме недостаточного увлажпения время корреляции флуктуаций влагозапаса почвы те=,№о/Ео (\У0 -критический влагозапас). При приближении среднего значения к критическому вступают в силу нелинейные процессы -формирование стока роль которых была исследована методами стохастических

дифференциальных уравнений аналитически и численно (метод Монте-Карло). С помощью аналитических методов (квазиравновесное приближение (Brey JJ,et al) введены безразмерные параметры подобия, определяющие зависимость времени корреляции флуктуаций влагозапаса tw от характеристик режима увлажнения, интенсивности синоптических флуктуаций притоков влаги и насыщающих свойств почвы. Найденные зависимости сравнены с таковыми, полученными при численном моделировании исходной стохастической системы методом Монте-Карло.

Рис 7а Карта распределения относительной влажности для различных сезонов почвы по Vinnikov&Ezerkepova (1991). 2-перенасышенные почвы, а-зима, d-осенъ

т /т W/W.

Рис. 76 Зависимость безразмерного времени корреляции от потенциальной испаряемости Ео.1- расчет по конечно-разностной модели (флуктуации осадков распределены по экспоненциальному закону), 2-•расчет по квазиравновесному приближению 3-величина среднего влагозапаса, нормированного на критический

Несмотря на то, что аналитическая теория развита для случая гауссовой статистики синоптического возбуждения, показано, что найденные зависимости справедливы и в более общем случае. С помощью полученпых формул спектральные характеристики флуктуаций влагозапаса рассчитаны во всем диапазоне изменения внешних условий, включая нелинейный режим с формированием поверхностного стока. На рисунке 7 показаны результаты этого сравнения, также приведены оценки степени увлажненности почв России.

В разделе 5.4 построена стохастико-динамическая модель формирования поверхностного стока, которая естественным образом учитывает синоптические флуктуации притоков влаги. Исследуется роль этих флуктуаций в определении зависимости среднего стока от средних осадков. Ранее полуэмпирическая зависимость стока от осадков была предложена М.И. Будыко, при этом для промежуточного участка перехода от режима недостаточного к режиму избыточного увлажнения использовалась интерполяционная формула. Использование метода стохастических дифференциальных уравнений позволило описать плавный переход между режимами увлажнения. Полученные аналитические выражения, как и в разделе 5.4, были проверены в сравнении с результатами численного моделирования методом Монте-Карло.

В шестой главе методы стохастических дифференциальных уравнений применяются для решения важной задачи определения вклада в низкочастотную (междумесячпую) изменчивость атмосферной влажности её взаимодействия с аномалиями влагозапаса почвы. При этом рассматриваются аномалии влагозапаса почвы, индуцированные собственной синоптической изменчивостью атмосферы. Для решения этой задачи применяется метод построения эквивалентной стохастической системы, развитый в первой главе.

В разделе 6.1 дан краткий обзор результатов численных экспериментов по моделированию влияния аномалий влажности почвы на эволюцию аномалий в атмосфере. Приводятся результаты первого численного эксперимента на модели общей циркуляции Принстонского университета (ДеЛсо/Тй, МапаЬе, 1989). проведенного для определения вклада взаимодействия аномалий влаги в почве и атмосфере в низкочастотную изменчивость последней. Отмечается факт увеличения спектра флуктуации атмосферной влажности в интерактивном эксперименте на периодах, характерных для изменчивости влагозапаса почвы. Обращено внимание на увеличение спектра флуктуаций в промежуточной, более высокочастотной области частот, которые соответствуют диапазону времен, превышающих синоптический и меньший времени

релаксации влагозапаса почвы. Спектры флуктуаций влаги в обоих экспериментах выходят в этом диапазоне частот на плато. Этот эффект не был отмечен в работах авторов численного эксперимента.

В разделе 6.2 строится простая эквивалентная стохастическая система дифференциальных уравнений флуктуаций интегрального содержания влаги в столбе атмосферы и влагозапаса почвы. Для этой системы дана постановка задачи сопоставления изменчивости атмосферной влаги в интерактивном и неинтерактивном экспериментах.

В разделе 6.3. проведен анализ линейной версии стохастической модели, в которой регулярная часть осадков, приспособленная к текущему состоянию атмосферы, задается линейной функцией атмосферной влажности. Отдельно рассмотрены эффекты изменчивости местных и адвективных осадков, дан анализ их роли в увеличении спектра флуктуаций атмосферной влажности. Отмечены режимы синоптической изменчивости, в которых взаимодействие с флуктуациями влагозапаса может уменьшать спектр атмосферной влажности на низких частотах. Показано, что в линейной стохастической модели отсутствует эффект увеличения спектра в высокочастотной области.

В разделе 6.4 на простой стохастической модели проведено исследование роли нелинейности в генерации низкочастотнй изменчивости влажности атмосферы при ее взаимодействии с почвой. Для параметризации осадков выбрана "модель ведра", примененная ранее для параметризации поверхносшого стока. При численном итерировании исходной системы методом Монте-Карло обнаружен нелинейный эффект увеличения спектра флуктуаций влажности атмосферы 8\уа(<в) в промежуточной области частот, когда круговая частота флуктуаций существенно меньше времени релаксации аномалий влагозапаса Тн ~2 месяца, но превышает время корреляции синоптических возмущений осадков (около суток). Используются результаты пятой главы, в которой было найдено, что в режиме избыточного увлажнения характеристики изменчивости влагозапаса зависят от степени близости его среднего значения к насыщающему. Поскольку в данном разделе для осадков используется аналогичная модель - « модель ведра», был предложен алгоритм преобразования спектров в промежуточной области частот между интерактивным и неинтерактивным экспериментами. Показано, что результаты, полученные из эквивалентной стохастической системы, находятся в хорошем согласии с данными численных экспериментов на модели общей циркуляции. Эти результаты приведены на рисунке 8. При интерпретации данных рисунка следует учитываь, что круговая частота связана с периодом Т соотношением со=2я/Т.

^«cmW 100-,

Sw.Mec

0.08

80 60 40 20

006

0.04

0.02

0.00

PERK» (months)

01 0.2 03 04 05

частота (1/ивсяц)

Рис 8 Результаты сравнения спектров флуктуаций влажности атмосферы в интерактивном и неинтерактивном экспериментах по данным экспериментов с моделью обшей циркуляции Принстонского Унивсрститета (ОсЫ/опИ, МапаЬе, 1989). (левый график) и эквивалентной стохастической системе (правый график),сплошная линия - спектр флуктуаций относительной влажности атмосферы в неинтерактивном эксперименте; пунктирная линия - спектр флуктуаций относительной влажности атмосферы в интерактивном эксперименте; жирная сплошная линия - спектр флуктуаций влагозапаса почвы

В заключении резюмируются основные результаты работы и кратко сформулированы основные выводы:

1. Впервые создан и обосновав метод приведения уравнений эволюции переменных земной климатической системы к стохастическим дифференциальным уравнениям совместных флуктуаций в ее медленной (океане, почве и др. ) и быстрой (атмосферной) подсистемах. Для этого современные методы статистической физики получения стохастической* дифференциальных уравнений броуновского движения медленных переменных - обобщенных уравнений Ланжевена - были развиты в применении к одновременному описанию флуктуаций в быстрой атмосферной подсистеме. Полученные обобщенные соотношения Ланжевена приведены к эквивалентной стохастической системе дифференциальных уравнений. Вьаделены основные фрагменты правых частей эволюционных уравнений - случайные силы, связанные с собственной изменчивостью, и нелокальные в пространстве и времени функции осредненного отклика атмосферы на внешние возмущения. При выводе соотношений метода решена важная задача преодоления расходимости спектра решения для быстрых переменных в области низких

частот, которая возникла при применении традиционных в задаче броуновского движения приближений к задачам расчета климатических флуктуаций. Такая проблема не возникала в традиционной теории. Построенная система стохастических дифференциальных уравнений удобна для применения аппроксимаций ее правых частей исходя из общих закономерностей термогидродинамики, данных наблюдений и данных численных экспериментов. На основе созданного метода теоретически рассчитаны спектры межгодичной изменчивости среднеглобальной температуры приповерхностного воздуха, проведено сравнение с результатами предшествующих версий стохастических моделей климата и эмпирическими оценками спектра. Показано, что усовершенствованная теория существенно приближает теоретический спектр к его оценке по данным наблюдений.

2. На стохастической модели генерации флуктуаций температуры поверхности океана впервые теоретически рассчитан спектр аномалий температуры поверхности океана с учетом нелокальности атмосферного отклика на интенсивность этих флуктуаций. Выявлена зависимость спектра флуктуаций от эффективности горизонтального атмосферного теплообмена и пространственной коррелированности синоптической изменчивости. Показано, что учет нелокальности отклика существенно улучшил теоретические оценки спектральной платности аномалий ТПО по сравнению с более ранними теоретическими исследованиями и приблизил их к данным наблюдений. На эквивалентной стохастической системе совместных флуктуаций температур воды и воздуха выявлена зависимость предсказуемости температуры воздуха от характеристик синоптической изменчивости различных компонент теплового баланса атмосферы и океана. Введен безразмерный критерий для оценивания роли распределения между атмосферой и океаном стохастического возбуждения флуктуаций теплового баланса; дан анализ асимптотических режимов флуктуаций.

3. Метод стохастических дифференциальных уравнений позволил с единых позиций оценить статистические характеристики долгопериодной изменчивости отдельных переменных ЗКС, вызванных случайными синоптическими воздействиями. Впервые были рассчитаны интенсивность межгодовой изменчивости широты снежно-ледовой границы и площади распространения потенциальной приповерхностной сплошной вечной мерзлоты, широтный ход дисперсии межгодичных флуктуаций среднезональных температур и влияние на него синоптической изменчивости отдельных компонент теплового баланса, интенсивность и время корреляции флуктуаций влагозапаса почвы.

4. Методами нелинейных стохастических дифференциальных уравнений впервые рассчитаны зависимости между первыми и вторыми статистическими моментами компонент гидрологического цикла суши. Построена динамико - стохастическая модель

формирования поверхностного стока. Найденная с помощью модели зависимость между средним стоком и осадками впервые учитывает действие синоптической изменчивости на связь средних характеристик. Проведенное сравнение с полуэмпирической формулой М.И. Будыко показало, что синоптические флуктуации эффективно осуществляют статистическую интерполяцию зависимости сток - осадки для диапазона смены режима увлажнения. На основе простой эквивалентной стохастической системы совместных флуктуаций влаги в почве и в атмосфере рассчитан эффект изменения интенсивности низкочастотных флуктуаций атмосферной влажности из-за этого взаимодействия. Впервые обнаружен нелинейный эффект увеличения интенсивности этих флуктуаций в промежуточной области частот, на которых влагозапас почвы еще не успевает реагировать на атмосферную изменчивость. Дано объяснение этого эффекта через сдвиг средних значений влажности атмосферы при учете взаимодействия флуктуаций влаги в атмосфере и почве (интерактивный эксперимент) по сравнению со случаем фиксированной влажности почвы (неинтерактивный эксперимент).

Автор глубоко благодарен своему учителю, академику Г.С. Голицыну, привлекшему его внимание к проблеме стохастических моделей климата, за постоянное внимание, ценные советы, обсуждение целей, методов и результатов работ. Значительное влияние на формирование взглядов автора оказало общение с учеными, внесшими весомый вклад в статистическую геофизику, такими как |А.М. Обухов[ A.M. Яглом и К. Хассельманн, а также посещение семинаров |С.М. Рытовц по статистической радиофизике. Автор выражает признательность сотрудникам Института физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН члену-корреспонденту РАН И.И. Мохову, д.ф.м.н. В.П. Гончарову, д.ф.м.н. A.C. Гурвичу, к.ф.м.н. М.И. Фортус, к.ф.м.н. A.B. Елисееву за полезные обсуждения и дискуссии в ходе выполнения работы.

Список литературы:

* Будыко МИ Климат и жизнь. Ленинград: Гидрометеоиздат. 1971.472 с.

■ Гардинер KB Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 526 с.

■ Григом А С, Дымников В.П. Отклик баротропной атмосферы на малые внешние воздействия. Теория и численные эксперименты. Изв. РАН. Физика атмосферы и океана.1999. т.35. №5. С.511-525.

■ Гройсман П Я Оценки изменчивости средней годовой зональной температуры воздуха. Метеорология и гидрология. 1987. № 3. С. 667-661.

■ Дианский Н.А , Глазунов A.C., Дымников В.П Моделирование отклика атмосферной циркуляции на аномалии ТПО зимой в Северной Атлантике. Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. т. 35. №1, С.

• Дымнжов В.П Диссипационно-флуктуационные соотношения для динамико-стохастических уравнений с переменными коэффициентами и диссипативных систем со случайным форсингом. Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2002. т. 38. №6, С.

■ Кайзер Дж. Статистическая механика неравновесных процессов: Пер. с англю/Предисл. Ю.Л. Климонтовича. М.: Мир. 1990. 608 с.

■ Кислое А В. Климат в прошлом, настоящем и будущем. - М.: МАИК "Наука'ТИнтерпериодика". 2001. 351 с.

■ Кляцкин В. И. О шумах в гидродинамическом потоке вблизи порога неустойчивости. Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. т. 17. N 4. С. 130-141.

■ Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 236 с.

■ Марчук Г.И, Дымников ВП, Залесный В Б Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. Л.: Гидрометеоиздат. 1987.294 с.

■ Монин А С Фундаментальные следствия взаимодействия атмосферы и океана. Изв АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1969. Т. 5.№ 11. С. 1102-1113.

■ Привальский В.Е. Климатическая изменчивость (стохастические модели, предсказуемость, спектры). М: Наука. 1985.183 с.

■ Физические основы теории климата и его моделирования Труды конференции ПИГАП. Стокгольм. 1974. Перевод с англ. Под ред А.С. Монина. Л.: Гидрометеоиздат. 1977.

■ Arnold L. Stochastic differential equations. Willey. New York. 1974.

" Arnold L. Hasselmann's program revisted: The analysis of stochasticity in deterministic climate models. In: Stoshastic climate models, Progress in Probability. Eds. P. Imkeller and J.-S. von Storch. Birkhause. 2001.

■ Barsugli J.J., Battisti D.S., The basic effects of atmosphere-ocean thermal coupling on midlatitude variability. J. Atmos.Sci. 1998, V. 55, N 4, P. 477-493

■ Benzi R , Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. A theory of stochastic resonance in climatic change. SIAM J. Appl. Math. 1983, v. 43, P. 565-578.

■ Brey J.J., Casado J.M., Morillo M. Spectral density for a nonlinear Fokker-Planck model: Monte Carlo and analytical studies. Phys. Rev. A. 1985. V.32. N5. P. 2893-2898.

• Bretherton F.P Ocean climate modeling. Prog. Phys. Oceanogr. 1982. V. 11. N 2. P. 93130.

• CL1VAR Initial Implementation Plan. WCRP, 1998,WCRP no. 103, WMO/TD no. 869, ICPOno. 14.

■ Cessi P A simple box model of stochastically forced thermohaline flow. J. Phys. Oceanogr. 1994, v. 24, P. 1911-1920.

■ Czaja A, Marshall J On the inteiprctation of AGCMs response to prescribed time-varing SST anomalies. Geoph. Res. Lett. 2000. V. 27. N 6. P. 1-4.

• Delworth T.L., Manabe S. The influence of soil wetness on near-surface atmospheric variability. J. Climate. 1989. V.2. P.1447-1462.

■ Dommenget D„ Latif M. Analysis of observed and simulated SST spectra in the midlatitudes. Clim. Dyn. 2002. V. 19. Nos 3-4. P. 277-288.

■ Dymnikov V., Filatov A. Mathematics of climate modeling. Birkhauser.Boston. 1997. 264 pp.

■ Entekhabi D.,Rodriguez-Iturhe I., Castelli F. Mutual interaction of soil moisture state and atmospheric processes. J. Hydrology. 1996. V.184. N1. P.3-17.

■ Frankignoul C., Hasselmann K. Stochastic climate models. Part П. Application to sea-surface temperature anomalies and thermocline variability. Tellus. 1977. V.29. N 4. P. 284-305.

Gates, W L, ,J Boyle, C. Covey, C Dease, C. Doutriaux, R Drach, MFiorino, P Gleckler, J. Hnilo, S. Marlais, T Phillips, G. Potter, B. Santer, K. Sperber, K. Taylor and D Williams. An Overview of the Results of the Atmospheric Model Intercomparison Project (AMIP I), Bulletin of the American Meterological Society, 1998. V.73. P, 19621970.

■ Gohtsyn G S. Almost empirical approaches to the problem of climate, it's variations and fluctuations. Adv. In Geophys. 1983. V.25. P. 85-115.

■ Hasselmann K. Stochastic climate models. Part I. Theory. Tellus. 1976.V.28. N6. P. 473485.

■ Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC) Climate Change 1995. The Science of Climate Change, Houghton, J.T., Meira Filho, L.G., Calendar, B.A, Harris, N., Kattenberg, A., and Maskell, K., Eds., Cambridge:Cambridge Univ. Press, 1996.

■ Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC).Climate Change 2001: The Scientific Basis. Contribution of Working Groupl to the Third Assessment Report of the Intergovernmental Panel onClimate Change Houghton J.T., Ding Y., Griggs D.J., Noguer M., Linden van der P.J., Dai X., Maskell K., Johnson~C.A.~(eds.).Cambridge/New York: Cambridge University Press. 2001.88l~p.

■ KalnayE, Kanamitsu M., Kistler R„ Collins W., Deaven £>., Gandin L., Iredell M., Saha S„ White G, Woollen J, Zhu ¥., Chelliah M., Ebisuzaki W„ Higgins W„ JanowiakJ., Mo K.C., Ropelewski C, Wang J., Leetmaa A, Reynolds R., Jenne R, Joseph D. The NCEP/NCAR 40-year reanalysis project. Bull. Amer. Met. Soc.1996. V.77. N.3 P.437-471..

■ Kistler R et al The NCEP-NCAR 50-year reanalysis: Monthly means CD-ROM and documentation. Bull. Amer. Met. Soc. 2001. V.82. P.747-767

■ I.emke P. Stochastic climate models. Part 3. Applications to zonally averaged models. Tellus.1977. V. 29. N 5. PP 385-392.

■ Mazo R.M. Aspects of the theory of Brownian motion. Lecture notes in physics. 1978. V.4. Stochastic processes in nonequilibrium systems. (Sitges. Troc. 1978). P. 54-81.

■ Meehl, GA, G.J Boer, C. Covey, M Latif andRJ. Stouffer, 2000: The Coupled Model Intercomparison Project (CMIP). Bull. Amer. Meteor. Soc., V.81, P. 313-318.

■ Mitchell J.MJr. An overview of climate variability an it's causal mechanisms. Quart. Res. N.Y. 1976. V.6. N 4,481-493.

■ Mori H., Morita T., Mashiyama K.T. Constraction of state variables in non-equilibrium systems. Progr. Theor. Phys. 1980. V.63. N. 6. P. 1865-1884.

■ Nicolis C., Nicolis G Stochastic aspects of climate transitions- additive fluctuations. Tellus. 1981. V. 33, N 5. P. 225-234.

■ Oort A.H., Rusmusson E.M. Atmospheric circulation statistics. NOAA Prof. Pap. № 5. Rockwille, Md. 1971.

■ Pelletier J.D. The power spectral density of atmospheric temperature from time scales of 10"2 to 106 years. Earth and Planet. Sci.Lett. 1998. V.158. P. 157-164.

■ Stone P.H., Chan S.R., Spiegel D„ Rombaldi S. Short term fluctuations in the eddy flux and baroclinic stability of the atmosphere. J. Atmos. Sci. 1982. V. 39. N 6. P. 1734-1736.

■ Sutera A On stochastic perturbations and long-term climate behavior. Quart. J. Roy. Met. Soc. 1981. V. 107. N. 451. P. 137-151.

■ Timmermann A, Lohmann G Noise-induced transitions in a simplified model of the thermohaline circulation. J. Phys. Oceanogr. 2000. V. 30. P. 1891-1900.

■ Vinnikov K.Ya., Yeserkepova IB. Soil moisture: empirical data and model results. J. Climate. 1991. V. 4. N 1. P. 66-79.

Основные результаты опубликованы автором в работах:

1. Голицын Г.С., Демченко ПФ. Статистические свойства простой энергобалансовой модели климата. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т. 16. №12. С. 1235-1242.

2. Голицын Г.С., Мохов И.И., Демченко П.Ф., Елисеев AB, Семенов AB., Хон Б.Ч. Моделирование климатических изменений в высоких широтах в XX-XXI веках // Криосфера Земли как среда жизнеобеспечения. М.: Российская академия наук. 2003. С.87-88.

3. Демченко П Ф. Простая статистическая модель для описания пространственно-временных корреляций флуктуаций среднеширотных температур. Изв. АН ССР. Физика атмосферы и океана. 1981. Т.17. №8. С 805-813.

4. Демченко П Ф. Оценки дисперсии среднеполушарной температуры по спутниковым наблюдениям за флуктуациями радиационного баланса. Изв. АН СССР. 1982. Т.18. №.. С. 138-144.

5. Демченко П.Ф. Оценка вероятностей больших отклонений характеристик климата от современных значений. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1983. Т. 19. № 12. С. 1259-1266.

6. Демченко П.Ф. Аналитическая модель широтного хода дисперсии и спектров флуктуаций зонально - осредненной приземной температуры. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1984.Т. 20. № 2. С. 144-150.

7. Демченко П Ф. Простая статистическая модель аномалий температуры поверхности океана с учетом сопутствующих изменений температуры воздуха. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1987 Т.23. №5. С 532-537.

8. Демченко П.Ф. Анализ флуктуаций глобального климата с помощью обобщенных уравнений Ладжевена. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1989. Т.25. №12. С. 1245-1255.

9. Демченко П.Ф. Аналитическая модель спектра флуктуаций влагозапаса почвы. Метеорология и гидрология. 1990. №3. С. 47-54.

Ю.Демченко ПФ Простая модель долгопериодной изменчивости влажности атмосферы с учетом ее взаимодействия с почвой. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1997.Т.ЗЗ. №1. С. 3-9.

11. Демченко П.Ф. Динамико- стохастическая модель формирования поверхностного стока. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 2003. т. 39. №2. С. 186-192.

12 .Демченко ПФ., Зубарев А.П. Оценка низкочастотной изменчивости среднезональных температур, вызванной флуктуациями меридионального переноса тепла. Изв. АН ССР. Физика атмосферы и океана. 1989. Т.25. №9. С. 917-924.

13.Демченко П.Ф., Голицын Г.С. Простая статистическая модель для описания пространственно-временных корреляций флуктуаций среднеширотных температур. Тезизы докладов Всесоюзной конференции "Моделирование климата, его изменений и колебаний" . Ленинград. 1980. с.15.

14.Демченко П.Ф., Величко A.A., Голицын Г.С., Елисеев А.В, Нечаев В.П. Судьба вечной мерзлоты: взгляд из прошлого в будущее // Природа. 2001. N. 11. С.43-49

15.Демченко ПФ, Величко A.A., Елисеев A.B., Мохов И.И., Нечаев ВП Зависимость условий распространения вечной мерзлоты от уровня глобального потепления: сравнение моделей, сценариев и данных палеореконструкций // Изв.АН, Физика атмосферы и океана. 2002. Т.38. N.2. С.165-174.

16.Демченко П.Ф., Елисеев A.B., Аржанов М.А., Мохов И.И. Влияние скорости глобального потепления на реакцию вечной мерзлоты. Изв. РАН, Физика атмосферы и океана (в печати)

М.Зубарев А.П., Демченко П.Ф Предсказуемость среднеглобальной температуры воздуха в простой стохастической модели взаимодействия атмосферы и океана. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.1992. Т.28. №1. С. 27-32.

18. Мелешко В.П., Голицын Г.С., Говоркова В.А , Демченко П.Ф., Елисеев А В, Катцов В М., Малевский-Малевич С.П, Мохов И.И., Надежина ЕД, Семенов В А., Спорышев П.В., Хон В. Ч. Возможные антропогенные изменения климата России в 21-м веке: оценки по ансамблю климатических моделей. Всемирная конференция по изменению климата. Тезисы докладов. Москва. 2004. С.51-52.

19. Мелешко В.П., Голицын ГС., Говоркова В.А., Демченко П Ф., Елисеев А В., Катцов ВМ, Малевский-Малевич С.П., Мохов ИИ, Надежина ЕД, Семенов В А., Спорышев П.В, Хон В Ч. Возможные антропогенные изменения климата России в 21-м веке: оценки по ансамблю климатических моделей. Метеорология и гидрология. 2004. № 4. С. 38-49.

20. Мохов ИИ, Демченко П.Ф., Елисеев А.В., Хворостьянов Д.В., Хон В.Ч. Оценки глобальных и региональных изменений климата в XX-XXI веках на основе модели ИФА РАН. Изв. АН. Физика атмосферы и океана.2002. т. 38. № 8. С. 649-642.

21. Мохов И.И., Елисеев А.В., Демченко П.Ф., Хон В.Ч., Акперов М.Г., Аржанов ММ., Карпенко А.А., Тихонов В.А., Чернокульский А.В. Климатические изменения и их оценки с использованием глобальной модели ИФА РАН. Доклады АН. 2005 т.402. N 2, С. 243-247.

22. Anisimov О.А., Velichko А.А., Demchenko P. F., EliseevA V., Mokhov 1.1., Nechaev V.P., Effect of climate change on permafrost in the past, present and future. Izv. Atmos. Ocean. Phys. Suppl. 2002. V. 38. Suppl. 1. P. S25-S39.

23. Demchenko P F„ Eliseev A V, Mokhov II. Impact of the greenhouse gases atmospheric loading on the continious permafrost cover in the Northern Hemisphere // Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modelling /Ritchie H. WMO TD-No.1064. Geneva: World Climate Research Programme. 2001. P.7.7-7.8

24. Demchenko P.F, Eliseev A V, Mokhov II, Nechaev VP, Velichko A A. Sensitivity of permafrost cover in the Northern Hemisphere to climate change // CLIVAR Exchanges. 2001. V.6. N.3. P.9-11.

25. Demchenko P.F., Eliseev A.V, Mokhov II. NH permafrost sensitivity derived from the anthropogenically forced numerical experiments with climate models // 8th Sci.Assembly of IAMAS. Innsbruk: Insitut fuer Meteorologie and Geophysik, Universitaet Innsbruk. 2001. P.14„

26. Golitsyn G.S., Demchenko P.F Statistical properties of a simple energy balance climate model. Тезисы советско-американского симпозиума по моделированию климата, климатическим изменениям и статистической обработке климатических данных. Тбилиси.1979.

27 Mokhov II, Demchenko P.F, EliseevA V, Khon VC, Khvorostyanov D V. Global and regional climate changes during XIX-XXI centuries: IAP RAS climate model of intermediate complexity versus observations and coupled general circulation models // Geophys.Res.Abs. 2003. V.5. P.03657.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 27.10.2005 г. Формат 60x90 1/16 Усл.печ.л 2,0 Тираж 100 экз Заказ 704. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

I í

»?0 3 5$

РНБ Русский фонд

2006-4 22447

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Демченко, Павел Феликсович

Введение

Глава 1. Анализ флуктуаций климата на основе обобщенных уравнений Ланжевена.

1.1. Задачи неравновесной статистической механики в проблеме моделирования флуктуаций климата.

1.2. Приведение уравнений эволюции климатических переменных к стохастической форме методом проектирующих операторов.

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения коэволюции быстрых и медленных переменных ЗКС

1.4. Оценка междугодовой изменчивости осредненной глобально приземной температуры воздуха

1.5. Оценка роли синоптических корреляций в генерации изменчивости средней глобальной температуры.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Применение методов стохастических дифференциальных уравнений в задачах теории климата"

Земная климатическая система (ЗКС) испытывала изменения на протяжении всей своей истории. Этот факт отражен в определении, данном Всемирной метеорологической организацией (ВМО), согласно которому ЗКС есть "система, состоящая из взаимодействующих физических элементов атмосферы, океана, криосферы, поверхности суши и биомассы, которые изменяются в определенных масштабах времени, представляющих для нас интерес, но превышающих время жизни индивидуальных возмущений синоптического масштаба" {Физические основы теории климата и его моделирования, 1977). Процессы, протекающие в каждой из подсистем и при взаимодействия между ними имеют различные временные масштабы. В совокупности с внутренне присущей системе хаотичностью это приводит к тому, что наблюдаемая эволюция большинства характеристик климата имеет непрерывный спектр.

Попытки построить композитный спектр колебаний в отдельных компонентах ЗКС {Mitchell, 1976; Pelletier, 1998) показали, что, по всей видимости, мы имеем дело с реализацией случайного процесса, спектр которого, содержащий отдельные пики (соответствующие годовому ходу, явлению Эль-Ниньо, ледниковым периодам и т.д.), имеет тенденцию к росту в область низких частот. Единственность реализации процесса делает невозможной постановку традиционных для физики контролируемых экспериментов над ЗКС в целом. Это обстоятельство, в совокупности с отмеченным ростом спектра от высоких частот к низким, создает трудности при попытках эмпирического описания законов климатической изменчивости.

Вместе с тем совершенствование наших знаний законов этой изменчивости необходимо в связи с усилением антропогенных выбросов парниковых газов в атмосферу {IPCC, 1996; IPCC 2001). Анализ изменения концентрации изотопов 14С (эффект Зюсса) и 13С в атмосфере показал, что наблюдаемый в XX веке рост концентрации СОг не может быть объяснен только естественными колебаниями компонент углеродного цикла {Кислое, 2001). Он является внешним для климатической системы вынуждающим воздействием, отклик на который

- "сигнал"- необходимо рассчитывать и выделять на фоне естественных колебаний - "шума". Эти исследования проводятся в рамках ряда международных программ, в частности - программы CLIVAR (CLIVAR, 1998).

Для понимания закономерностей климатической изменчивости было создано множество моделей. Наиболее подробные модели - модели общей циркуляции (МОЦ) - содержат полный набор уравнений движения

- законов сохранения - и в идеальном случае должны описывать все процессы, определяющие эволюцию ЗКС. Являясь "отображением" ЗКС на множество модельных динамических систем, в совокупности с эмпирическими исследованиями они позволяют проводить контролируемые численные эксперименты с разрешением синоптических процессов (Марчук и др., 1987). В настоящее время эти модели показали свою способность воспроизводить многие свойства климатической изменчивости. Они проходят регулярные сравнения в рамках международных программ AMIP и CMIP (Gates, 1998; Meehl, 2000), которые тем не менее показали, что во многих деталях их результаты еще расходятся между собой.

В дополнение к моделям общей циркуляции для исследования низкочастотной изменчивости климата, пренебрегая описанием эволюции отдельных синоптических образований, но рассматривая их статистику, была выдвинута концепция стохастических моделей климата (Hasselmann, 1976). Она базируется на привлекательной идее (Монип, 1969; Bretherton, 1982), что различные компоненты ЗКС характеризуются разными временными масштабами, так что состояние быстрых переменных может быть описано статистически, принимая во внимание, что на характерных временах изменения медленных переменных эволюция статистических моментов быстрых (средние, дисперсии и т.д.) подстраиваются к текущему состоянию медленных. Хассельманн предположил, что стохастическое воздействие неучтенных "погодных" возмущений может интегрироваться в медленных компонентах и приводить к низкочастотной изменчивости системы в целом.

Аналогом этого процесса в статистической физике служит движение тяжелой броуновской частицы в газе легких молекул. Математическая теория его описания хорошо разработана и позволяет применять в теории климатической изменчивости мощный аппарат стохастических дифференциальных уравнений и диффузионных случайных процессов (см, напр., Кляцкин, 1980, 2001, 2002; Гардинер, 1986; Arnold, 1974, 1998, 2001). В уравнениях стохастических моделей климата короткопериодные "погодные" возмущения выступают в качестве добавочных короткопериодных случайных воздействий - "белого шума", статистические характеристики которого предполагаются либо известными, либо определяемые по полуэмпирическим формулам через медленные переменные или средний климат. Сами уравнения представляют собой уравнения Ланжевена, плотность вероятностей решения которых подчиняется кинетическому уравнению (например, уравнению Фоккера-Планка). Теория дает возможность аналитического исследования зависимости свойств низкочастотной изменчивости ЗКС в зависимости от параметров моделей и параметризаций процессов. Она служит полезным инструментом для моделей общей циркуляции.

Стохастические дифференциальные уравнения применяются в рамках изложенного подхода к описанию изменчивости ЗКС несколькими способами. Исторически первый и наиболее ясный способ был применен к описанию спектра аномалий температуры верхнего квазиоднородного слоя океана (Frankignoul, 1977). Температура слоя, как мера его теплосодержания, является медленной по отношению к атмосфере переменной, стохастическое уравнение Ланжевена ее эволюции при известной из физических экспериментов температурной чувствительности контактного теплообмена и наблюдаемой интенсивности синоптических флуктуаций потока тепла через границу вода - воздух позволяет аналитически рассчитать спектр флуктуаций и сравнить его с наблюдениями. Результаты теории качественно воспроизвели поведение наблюдаемых спектров, хотя несколько занижала оценку времени корреляции флуктуаций по сравнению с эмпирической. Этот недостаток исправлен в данной работе путем аккуратного применения процедуры вывода оператора отклика.

В развитие первого успешного применения ланжевеновского подхода появился ряд работ, в которых погодные шумы добавлялись в модели эволюции различных инерционных подсистем ЗКС, таких, как ледовый покров Северного Ледовитого океана (L'Heveder, Haussais, 2001), МОЦ океана (Залесный, Мошонкии; 2002), модели сезонной океанской глубокой конвекции (Kuhlbrodt et al,2001; Cessi, 1994). В стохастических моделях термохалинной циркуляции океана (Timmermann, Lohmann, 2000; Monahan et al, 2002; Monahan, 2002) изучалось явление стохастического переброса, впервые рассмотренное для движения жидкости вблизи порога гидродинамической неустойчивости (Кляцкин, 1974). Этот подход был успешно использован для интерпретации данных численного моделирования влагозапаса почвы (Delworth, Manabe,\9%l). Все эти работы не вызывают вопросов в части постановки задачи; полученные результаты, зачастую аналитические, допускают ясную интерпретацию.

Второй способ применения стохастических моделей состоит в добавлении случайных короткопериодных источников в уравнения малопараметрических моделей климата, которые записываются для переменных ЗКС независимо от их принадлежности к быстрой или медленной подсистемам. Например, такой подход был применен в первой серии работ К. Хассельманна с сотрудниками для стохастической зональной энергобалансовой модели флуктуаций приповерхностной температуры (Lemke, 1977). Стохастические энергобалансовые модели также были применены к проблеме флуктуаций климата на временных масштабах в десятки и сотни тысяч лет, недостижимых для современных МОЦ. В частности, с использованием нуль-мерных моделей климата с нелинейной обратной связью альбедо температура были сделаны оценки вероятностей перехода к режиму полного оледенения Земли (Sutera, 1981) и опробован стохастический механизм возникновения ледниковых эпох (Nicolis С., Nicolis G. 1981). Несмотря на то, что задание основной нелинейности в рамках нуль-мерных моделей некорректно (этот недостаток преодолен в данной работе), в публикациях о возникновении ледовых эпох было теоретически открыто явление стохастического резонанса, что вызвало лавинообразный рост теоретических и экспериментальных работ в различных областях физики (см., напр., Gammaitoni et al, 1998; Benzi et al, 1983).

Этот способ применения стохастических дифференциальных уравнений аналогичен описанию малых флуктуаций в линейной неравновесной термодинамике, основанному на принципе Онзагера. Согласно этому принципу коэффициенты в уравнениях для флуктуаций термодинамических переменных относительно состояния равновесия полагаются равными таковым в детерминированных уравнениях релаксации к этому состоянию при возмущении начального состояния {Кайзер; 1998). Так как операторы уравнений для релаксации средних определяются из полуэмпирических теорий, данный способ представляет распространение метода стохастических дифференциальных уравнений на полуэмпирические модели климата (Golitsyn, 1983). При этом вычисление интенсивности случайных притоков представляет отдельную задачу.

Третий способ учета воздействия случайного возбуждения (неявный) применяется при выводе флуктуационно-диссипативных соотношений, которые связывают функцию отклика на внешнее воздействие с корреляционной функцией флуктуаций системы (Kraichnan, 1959). Применительно к теории климата использование флуктуационно-диссипативных соотношений для определения функции отклика началось совсем недавно и уже привело к обнадеживающим результатам (Дымников, 2002; Дымников, Грицун, 1999; Дианский и др., 1999).

Подобно тому, как реализация методов численного моделирования на базе моделей общей циркуляции нуждается в развитии математической теории климата (Dymnikov, Philatov, 1997), так и применение методов стохастических дифференциальных уравнений к описанию изменчивости ЗКС потребовало развития стохастической теории климата. Пионерская работа К. Хассельманна положила начало работ в этом направлении. Однако два важных момента остались не раскрытыми в первоначальной версии теории. Первый связан с тем, что временные масштабы собственной изменчивости в подсистемах "быстрой" и "медленной" могут быть разнесены не столь сильно. В статистической теории неравновесных процессов это приводит к тому, что уравнение Ланжевена заменяется на обобщенное уравнение Ланжевена, содержащее интеграл памяти - следствие конечности времени приспособления быстрой подсистемы (Mazo, 1978).

Второй принципиальный момент связан с решением проблемы, которая никогда не возникала в традиционной физической теории броуновского движения. Она заключается в том, что при описании климатической изменчивости нас в первую очередь интересуют долгопериодные флуктуации в атмосфере - быстрой подсистеме. Таким образом традиционная задача об определении флуктуаций в инерционных элементах ЗКС под действием короткопериодных атмосферных возмущений трансформируется в задачу определения долгопериодных флуктуаций атмосферных переменных при взаимодействии с низкочастотной изменчивостью в медленной подсистеме.

Для решения второй проблемы стала уже традиционной двухэтапная схема постановки численных экспериментов с моделями общей циркуляции, которая предполагает на первом этапе интегрирование МОЦ с явным описанием совместной эволюции атмосферы и медленных переменных (таких, как температура океана или влажность почвы). На втором этапе рассчитывается только атмосферная эволюция при детерминированном состоянии остальных звеньев системы. Затем результаты этапов сравниваются между собой и с данными наблюдений

Delworth, Manabe, 1987; 1988, 1993). Для теоретического анализа данной схемы на языке стохастических дифференциальных уравнений необходимо модифицировать классическую статистическую теорию. Это оказалось возможно проделать исходя из первых принципов с использованием некоторых приближений {Демченко, 1989). В результате было введено понятие эквивалентной стохастической системы, которое позволило расширить возможности применения метода стохастических дифференциальных уравнений и возможности аналитических исследований в теории климата.

Основными целями работы является развитие теории стохастических моделей климата методами современной неравновесной статистической механики и применение теории для расчета флуктуаций в земной климатической системе. Приоритетные направления исследований: 1) построение уравнений флуктуаций климата исходя из исходных динамических уравнений совместной эволюции быстрых и медленных подсистем ЗКС и обоснование возможности использования стохастических дифференциальных уравнений для описания изменчивости как медленных переменных, например, океана, так и связанных с этой изменчивостью низкочастотных флуктуаций быстрых атмосферных переменных; 2) применение теории для исследования роли взаимодействия атмосферы и инерционных компонент ЗКС в долгопериодной изменчивости метеоэлементов; 3) применение теории для описания характеристик изменчивости отдельных компонент ЗКС.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 27 рисунков и 9 таблиц. Каждая глава разбита на разделы. Нумерация разделов двойная. В работе принята тройная нумерация формул: первая две цифры соответствуют номеру главы и раздела, третья номеру формулы в разделе. Нумерация таблиц и графиков - двойная.

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Демченко, Павел Феликсович

В заключение резюмируем основные результаты работы и кратко сформулируем основные выводы:

1. Впервые создан и обоснован метод приведения уравнений эволюции переменных земной климатической системы к стохастическим дифференциальным уравнениям совместных флуктуаций в ее медленной (океане, почве и др. ) и быстрой (атмосферной) подсистемах. Для этого современные методы статистической физики получения стохастических дифференциальных уравнений броуновского движения медленных переменных - обобщенных уравнений Ланжевена - были развиты в применении к одновременному описанию флуктуаций в быстрой атмосферной подсистеме. Полученные обобщенные соотношения Ланжевена приведены к эквивалентной стохастической системе дифференциальных уравнений. Выделены основные фрагменты правых частей эволюционных уравнений - случайные силы, связанные с собственной изменчивостью, и нелокальные в пространстве и времени функции осредненного отклика атмосферы на внешние возмущения. При выводе соотношений метода решена важная задача преодоления расходимости спектра решения для быстрых переменных в области низких частот, которая возникла при применении традиционных в задаче броуновского движения приближений к задачам расчета климатических флуктуаций. Такая проблема не возникала в традиционной теории. Построенная система стохастических дифференциальных уравнений удобна для применения аппроксимаций ее правых частей исходя из общих закономерностей термогидродинамики, данных наблюдений и данных численных экспериментов. На основе созданного метода теоретически рассчитаны спектры межгодичной изменчивости среднеглобальной температуры приповерхностного воздуха, проведено сравнение с результатами предшествующих версий стохастических моделей климата и эмпирическими оценками спектра. Показано, что усовершенствованная теория существенно приближает теоретический спектр к его оценке по данным наблюдений.

2. На стохастической модели генерации флуктуаций температуры поверхности океана впервые теоретически рассчитан спектр аномалий температуры поверхности океана с учетом нелокальности атмосферного отклика на интенсивность этих флуктуаций. Выявлена зависимость спектра флуктуаций от эффективности горизонтального атмосферного теплообмена и пространственной коррелированности синоптической изменчивости. Показано, что учет нелокальности отклика существенно улучшил теоретические оценки спектральной плотности аномалий ТПО по сравнению с более ранними теоретическими исследованиями и приблизил их к данным наблюдений. На эквивалентной стохастической системе совместных флуктуаций температур воды и воздуха выявлена зависимость предсказуемости температуры воздуха от характеристик синоптической изменчивости различных компонент теплового баланса атмосферы и океана. Введен безразмерный критерий для оценивания роли распределения между атмосферой и океаном стохастического возбуждения флуктуаций теплового баланса; дан анализ асимптотических режимов флуктуаций.

3. Метод стохастических дифференциальных уравнений позволил с единых позиций оценить статистические характеристики долгопериодной изменчивости отдельных переменных ЗКС, вызванных случайнами синоптическими воздействиями. Впервые были рассчитаны интенсивность межгодовой изменчивости широты снежно-ледовой границы и площади распространения потенциальной приповерхностной сплошной вечной мерзлоты, широтный ход дисперсии межгодичных флуктуаций среднезональных температур и влияние на него синоптической изменчивости отдельных компонент теплового баланса, интенсивность и время корреляции флуктуаций влагозапаса почвы.

Построена динамико-стохастическая модель формирования поверхностного стока. Найденная с помощью модели зависимость между средним стоком и осадками впервые учитывает действие синоптической изменчивости на связь средних характеристик. Проведенное сравнение с полуэмпирической формулой М.И. Будыко показало, что синоптические флуктуации эффективно осуществляют статистическую интерполяцию зависимости сток - осадки для диапазона смены режима увлажнения. На основе простой эквивалентной стохастической системы совместных флуктуаций влаги в почве и в атмосфере рассчитан эффект изменения интенсивности низкочастотных флуктуаций атмосферной влажности из-за этого взаимодействия. Впервые обнаружен нелинейный эффект увеличения интенсивности этих флуктуаций в промежуточной области частот, на которых влагозапас почвы еще не успевает реагировать на атмосферную изменчивость. Дано объяснение этого эффекта через сдвиг средних значений влажности атмосферы при учете взаимодействия флуктуаций влаги в атмосфере и почве (интерактивный эксперимент) по сравнению со случаем фиксированной влажности почвы (неинтерактивный эксперимент).

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Демченко, Павел Феликсович, Москва

1. М. Абрамовитц М., Стиган И. (ред.) Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979. 653 с.

2. Агаян Г.М., Голицын Г.С., Мохов И.И. Зависимость потока уходящей радиации от приземной температуры по глобальным данным. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. Т. 21. № 6. С. 637-661.

3. Адем X. О физических основах численного прогноза среднемесячных и среднесезонных температур с системе тропосфера-океан-материк. В сб. Теория климата. JL: Гидрометеоиздат. 1967. С. 258-292.

4. Анисимов О.А. и Ф.Э. Нельсон. О применении математических моделей для исследования взаимосвязи климат- вечная мерзлота.// Метеорология и гидрология, 1990, № 10, с. 13-19.

5. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.-Л.: Гостехиздат. 1946.

6. Будыко М.И. Климат и жизнь. Ленинград: Гидрометеоиздат. 1971. 472 с.

7. Будыко М.И. Климат в прошлом и будущем. Ленинград: Гидрометеоиздат. 1980. 351 с.

8. Вентцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. О малых случайных флуктуациях динамических систем. УМН. 1970. т. XXV. вып. 1(151). С. 3-55.

9. Гавршова М.К. Современный климат и вечная мерзлота на континентах. Новосибирск. Наука. 1981. 112 с.

10. ХЪ.Гандин JI.C., Каган P.JI. Статистические методы интерпретации метеорологических данных. Л.: Гидрометеоиздат. 1976. 359 с.

11. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 526 с.

12. Ь.Гледзер Е.Б., Макаров A.JI. Определение эффективной вязкости в конечномерных каскадных моделях турбулентности. Изв. АН ССР. Физика атмосферы и океана. 1985. т. 21. № 9. С. 899-906.

13. Голицын Г.С., Мохов И.И., Демченко П.Ф., Елисеев А.В, Семенов А.В., Хон Б.Ч. Моделирование климатических изменений в высоких широтах в XX-XXI веках // Криосфера Земли как среда жизнеобеспечения. М.: Российская академия наук. 2003. С.87-88.

14. М.Голицын Г.С., Демченко П.Ф. Статистические свойства простой энергобалансовой модели климата. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т. 16. №12. С. 1235-1242.

15. Грицун А.С., Дымников В.П. Отклик баротропной атмосферы на малые внешние воздействия. Теория и численные эксперименты. Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. т.35. №5. С.511-525.

16. Гройсман П.Я. Оценки изменчивости средней годовой зональной температуры воздуха. Метеорология и гидрология. 1987. № 3. С. 667-661.

17. Демченко П.Ф. Простая статистическая модель для описанияпространственно-временных корреляций флуктуаций среднеширотных температур. Изв. АН ССР. Физика атмосферы и океана. 1981. Т. 17. №8. С. 805-813.

18. Демченко П.Ф., Зубарев А.П. Оценка низкочастотной изменчивости среднезональных температур, вызванной флуктуациями меридионального переноса тепла. Изв. АН ССР. Физика атмосферы и океана. 1989. Т.25. №9. С. 917-924.

19. Х.Демченко П.Ф., Величко А.А., Голицын Г.С., Елисеев А.В., Нечаев В.П. Судьба вечной мерзлоты: взгляд из прошлого в будущее // Природа. 2001. N.11. С. 43-49

20. Дроздов О,А, Григорьева А.С. Влагооборот в атмосфере. JI. Гидрометеоиздат.1963.314 с.

21. Дымников В.П. Диссипационно-флуктуационные соотношения для динамико-стохастических уравнений с переменными коэффициентами и диссипативных систем со случайным форсингом. Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2002. т. 38. №6, С.

22. Захаров В.Ф. Льды Арктики и современные природные процессы. Гидрометеоиздат. 1981. 136 с.

23. ЪЪ.Зубарев А.П., Демченко П.Ф. Предсказуемость среднеглобальной температуры воздуха в простой стохастической модели взаимодействия атмосферы и океана. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1992. Т.28. №1. С. 27-32.

24. Кайзер Дж. Статистическая механика неравновесных процессов: Пер. с англю/Предисл. Ю.Л. Климонтовича. М.: Мир. 1990. 608 с.

25. Кислое А.В. Учет изменчивости начального состояния почвы в стохастической модели влажности почвы. Метеорология и гидрология. 1991. №8. С. 109-111.

26. Кислое А. В. Климат в прошлом, настоящем и будущем. М.: МАИК "Наука'ТИнтерпериодика". 2001. 351 с.

27. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука. 1982ю 608 с.

28. АЪ. Кляцкин В.И. О шумах в гидродинамическом потоке вблизи порога неустойчивости. Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. т. 17. N 4. С. 130-141.

29. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 236 с.

30. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит. 2001.

31. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем. М.: Физматлит. 2002.

32. Кудрявцев, В.А., JI.C. Гарагуля, К.А. Кондратьева, и В.Г. Меламед. Основы мерзлотного прогноза при инженерно-геологических исследованиях. М., Наука. 1974. 431 с.

33. КуклаГ. Дж. Современные изменения площади снежно-ледового покрова. В сб. Изменения климата. Ред Гриббин. Пер. с англ. Под ред. Э.к. Бютнер и В.А. Зубакова. Гидрометеоиздат. 1980.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736 с.

35. Манабе С., Брайен К. Климат и циркуляция океана. JL: Гидрометеоиздат. 1972. 190 с.

36. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. Л.: Гидрометеоиздат. 1987. 294 с.

37. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Наука. 1967.

38. Монин А. С. Фундаментальные следствия взаимодействия атмосферы и океана. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1969. Т. 5. № 11. С. 1102-1113.

39. Мохов И.И., Демченко П.Ф., Елисеев А.В., Хворостьянов Д.В., Хон Б.Ч. Оценки глобальных и региональных изменений климата в XX-XXI веках на основе Модели ИФА РАН. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. С. 649-642.

40. Норт Дж. Р., Коукли Дж. А. Простые сезонные модели климата. Метеорология и гидрология. 1978. № 5. С. 26-32.

41. Обухов A.M. Статистически однородные поля на сфере. УМН. 1947. Т.2. вып. 2. С. 196-198.

42. Привальский В.Е. Климатическая изменчивость (стохастические модели, предсказуемость, спектры). М: Наука. 1985. 183 с.

43. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Физматгиз. 1968. 345 с.

44. Физические основы теории климата и его моделирования. Труды конференции ПИГАП. Стокгольм. 1974. Перевод с англ. Под ред А.С. Монина. Д.: Гидрометеоиздат. 1977.

45. Arnold L. Stochastic differential equations. Willey. New York. 1974.

46. ArnoldL. Random dynamical systems. Springer. 1998.

47. Arnold L. Hasselmann's program revisted: The analysis of stochasticity in deterministic climate models. In: Stoshastic climate models, Progress in Probability. Eds. P. Imkeller and J.-S. von Storch. Birkhause. 2001.

48. Barsugli J J., Battisti D.S., The basic effects of atmosphere-ocean thermal coupling on midlatitude variability. J. Atmos.Sci. 1998, V. 55, N 4, P. 477-493.

49. Bretherton F.P. Ocean climate modeling. Prog. Phys. Oceanogr. 1982. V. 11. N 2. P. 93-130.

50. CLIVAR Initial Implementation Plan. WCRP, 1998,WCRPno. 103, WMO/TD no. 869, ICPO no. 14.

51. Cessi P. A simple box model of stochastically forced thermohaline flow. J. Phys. Oceanogr. 1994, v. 24, P. 1911-1920.

52. Delworth T.L., Manabe S. The influence of soil wetness on near-surface atmospheric variability. J. Climate. 1989. V.2. P. 1447-1462.

53. S3.Delworth Т., Manabe S. Climate variability and land-surface processes. Adv. Water. Res. 1993. V. 16. N 1. P. 3-20.

54. Demchenko P.F., Eliseev A.V., Mokhov /./., Nechaev V.P., Velichko A.A. Sensitivity of permafrost cover in the Northern Hemisphere to climate change // CLIVAR Exchanges. 2001. V.6. N.3. P.9-11.

55. Dickinson R.E. Convergence rate and stability of ocean-atmosphere coupling schemes. J. Atmos. Sci. 1981. V. 38. N 10. P. 2112-2120.

56. Dommenget D., LalifM. Analysis of observed and simulated SST spectra in the midlatitudes. Clim. Dyn. 2002. V. 19. Nos 3-4. P. 277-288.

57. Dymnikov V., Filatov A. Mathematics of climate modeling. Birkhauser.Boston. 1997. 264 pp.

58. Dymnikov V., Filatov A. Mathematics of climate modeling. Birkhauser.Boston. 1997. 264 pp.91 .Entekhabi D.,Rodriguez-Iturhe I., Castelli F. Mutual interaction of soil moisture state and atmospheric processes. J. Hydrology. 1996. V.184. N1. P.3-17.

59. Frankignoul C., Hasselmann K. Stochastic climate models. Part II. Application to sea-surface temperature anomalies and thermocline variability. Tellus. 1977. V.29. N 4. P. 284-305.

60. Frankignoul C. Stochastic forcing models of climate variability. Dyn. Atmos. Oceans. 1979. V.3. Nos 2-4. P. 465-479.

61. Fraedrich K. Structural and stochastic analysis of a zero-dimensional climate system. Quart. J. Roy. Met. Soc. 1978. V. 104. N. 440. P. 461-474.

62. Frederiksen J.S. Nonlinear albedo-temperature coupling in climate models. J. Atmos. Sci. 1976. V. 33. N. 12. P. 2267-2272.

63. Golitsyn G.S. Almost empirical approaches to the problem of climate, it's variations andfluctuations. Adv. In Geophys. 1983. V.25. P. 85-115.

64. Golitsyn G.S., Demchenko P.F. Statistical properties of a simple energy balance climate model. Тезисы советско-американского симпозиума по моделированию климата, климатическим изменениям и статистической обработке климатических данных. Тбилиси. 1979.

65. Hall A., Manabe S. Can local linear stochastic theory explain sea surface temperature and salinity variability? Clim. Dyn. 1997. V. 13. N 3, P. 167-180.

66. Hasselmann K. Stochastic climate models. Part I. Theory. Tellus. 1976.V.28. N6. P. 473-485.

67. Hartman D.J., Short D.A. On the use of Earth radiation budget for study of cloud and climate. J. Atm.Sci. 1980. V.37. N 6. P. 1233 1250.

68. Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC). Climate Change 1995. The Science of Climate Change, Houghton, J.T., Meira Filho, L.G., Calendar, B.A., Harris, N., Kattenberg, A., and Maskell, K., Eds., Cambridge:Cambridge Univ. Press, 1996.

69. Johnson~C.A.~(eds.).Cambridge/New York: Cambridge University Press. 2001.88 l~p.

70. Jones P.D., MobergA. Hemispheric and large-scale surface air temperature variations: an extensive revision and an update to 2001. J. Climate. 2002. V. 16. P. 206-203.

71. Kistler R. et al. The NCEP-NCAR 50-year reanalysis: Monthly means CD-ROM and documentation. Bull. Amer. Met. Soc. 2001. V.82. P.747-767

72. Kraus E.B., Morrison RE. Local interactions between the sea and the air at mounthly and annual time scales. Quart. J. Roy. Met. Soc. 1966. V. 62. N. 391. P. 114-127. ъ

73. Lemke P. Stochastic climate models. Part 3. Applications to zonally averaged models. Tellus.1977. V. 29. N 5. PP 385-392.

74. LianM.S., Cess R. D. Energy-balance climate models: a reappraisal of ice-albedo feedback. J. Atmos. Sci. 1977. V. 34. N 7. P. 1058-1062.

75. Mazo R.M. Aspects of the theory of Brownian motion. Lecture notes in physics. 1978. V.4. Stochastic processes in nonequilibrium systems. (Sitges. Troc. 1978). P. 54-81.

76. Meehl, G.A., G.J. Boer, C. Covey, M. Latif, and RJ. Stouffer, 2000: The Coupled Model Intercomparison Project (CMIP). Bull. Amer. Meteor. Soc., V.81, P. 313-318.

77. Mitchell J.M.Jr. An overview of climate variability an it's causal mechanisms. Quart. Res. N.Y. 1976. V.6. N 4,481-493.

78. Monahan A.H. Correlation effects in a simple stochastic model of the thermohaline circulation. Stochastics and Dynamics. 2002. V. 2. N. 3. P. 437-462

79. WbMonahan A.H., Timmermann A., Lohmann G. Comments on /Noise-induced transitions in a simplified model of the thermohaline circulation. J. Phys. Oceanogr. 2002. V. 32. P. 1112-1116.

80. Mori #., Morita Т., Mashiyama K.T. Constraction of state variables in non-equilibrium systems. Progr. Theor. Phys. 1980. V.63. N. 6. P. 1865-1884.

81. Namias J. Surface-atmosphere interactions as fundamental causes of droughts and other climatic fluctuations. In. Arid zone research. V. 20, Changes of Climate Proc. Of Rome Symp. UNESCO. Paris. 1963. P. 345-349.

82. Nelson F.E., Outcalt S.I. A computational method for prediction and regionalization of permafrost. Arctic and Alphine Research. 1987. V. 19. N 3. P. 279-288.

83. Nicolis C., Nicolis G. Stochastic aspects of climate transitions- additive fluctuations. Tellus. 1981. V. 33, N 5. P. 225-234.

84. North G.R. Analytical solution of a simple climate model with diffusive heat transport. J. Atmos. Sci. 1975. V. 32. P. 1301-1307.

85. North G.R. Theory of energy-balanced climate models. J. Atmos. Sci. 1975. V. 32. P. 2033-2043.

86. North G.R, Coakley J.A. Differences between seasonal and mean annual energy balance model calculations of climate and climate sensitivity. J. Atmos. Sci. 1979. V. 36. P. 1189-1203.

87. North G.R, Cahalan R.F. Predictability n a solvable stochastic climate model. J. Atmos. Sci. 1981. V. 38. N 3. P. 504-513.

88. North G.R, Cahalan R.F., Coacley J.A. Energy balance climate models. Rev. Geoph. Space. Phys. 1981. v. 19. N. 1. P. 91-122.

89. OortA.H., Rosmusson E.M. Atmospheric circulation statistics. NOAA Prof. Pap. № 5. Rockwille, Md. 1971.

90. Pelletier J.D. The power spectral density of atmospheric temperature from time scales of 10"2 to 106 years. Earth and Planet. Sci.Lett. 1998. V.158. P. 157164.

91. Reynolds RH., Sea surface temperature anomalies in the North Pacific Ocean. Tellus. 1978. V. 30. N 2. P. 97-93.

92. Rowntree P.R, Bolton J.R. Simulation of the atmosphere response to soil moisture anomalies over Europe. Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1983, V. 109, N., P. 501-526.

93. Salmon R., HendershorttM.C. Large scale air-sea interaction with a simple general circulation model. Tellus. 1976.V. 3. P. 228-242.

94. Stone P.H., Chan S.R., Spiegel D., Rombaldi S. Short term fluctuations in the eddy flux and baroclinic stability of the atmosphere. J. Atmos. Sci. 1982. V. 39. N6. P. 1734-1736.

95. Semenov V., Bengtson L. Secular trends in daily precipitation characteristics: greenhouse gas simulation with a coupled AOGSM// Climate Dynamics. V. 19. P 123-140.

96. Shukla J., MintzJ., The influence of land-surface evapotranspiration on Earth's climate. Science. 1982. v. 215. P. 1498-1501.

97. Thompson S. L., Schneider S. H. A seasonal zonal energy-balance climate model with an interactive lower layer. J. Geoph. Res. 1979. V. 84. N. C5. P. 24012414.

98. Timmermann A., Lohmann G. Noise-induced transitions in a simplified model of the thermohaline circulation. J. Phys. Oceanogr. 2000. V. 30. P. 18911900.

99. Sutera A. On stochastic perturbations and long-term climate behavior. Quart. J. Roy. Met. Soc. 1981. V. 107. N. 451. P. 137-151.

100. Velichko, A.A., Borisova, O.K., Zelikson, E.M., and Nechayev, V.P. Permafrost and Vegetation Response to Global Warming in North Eurasia, Biotic Feedbacks in the Global Climate System. New York: Oxford Univ. Press. 1995. PP. 134-156.

101. WalkerJ.M., Rowntree P.R. The effect of soil moisture on circulation and rainfall in a tropical model. Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1991, V. 103, N. 1, P. 2946.

Информация о работе

Демченко, Павел Феликсович
доктора физико-математических наук
Москва, 2005
ВАК 25.00.29

Диссертация

Применение методов стохастических дифференциальных уравнений в задачах теории климата - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы