Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Мутация Земли с неэллипсоидальным ядром

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Мутация Земли с неэллипсоидальным ядром"

л ^

Чу

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ЗЕШШ..ИМ. О.Ю.ШМИДТА

На правах рукописи

Быкова Вера Вячеславовна

УДК 550.311

НУТАЦИЯ ЗЕМЛИ С НЕЭЛЛШСОИДАЛЬНЫМ ВДКИМ ЯДРОМ 04.00.22 - геофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена в ордена Ленина Институте физики Земли им. О.Ю.Щмидта Академии Наук СССР

Научный руководитель: доктор физико-математических наук С.М.Молоденский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В.Н.Жарков

кандидат физико-математических наук В.К.Тарадий

Ведущая организация: Институт геологии и геофизики Сибирского .Отделения АН СССР

Защита диссертации состоится " Х/^^у^Х 199^1-. в ^г часов на заседании Специализированного Совета К 002.08.02 при Институте физики Земли им. О.Ю.Шмидта по адресу: 123810, Москва, Д-242, Б.Грузинская, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФЗ .АН СССР.

Автореферат разослан " г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

В.А.Дубровский

Ш17Г*Г-

' -I

.-,,,,„ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

I

Актуальность темы. Изучение приливных и нутационных движений Земли представляет одну из наиболее важных проблем современных геофизических исследований. Особую актуальность эта проблема приобрела в последние года в связи с применением новых средств и методов геодезических и гравиметрических наблюдений, высокая точность которых требует, с одной стороны, весьма надежного учета приливных поправок, а с другой стороны, открывает принципиально новые возможности исследования внутреннего строения Земли. Поэтому особое значение приобретает разработка точной теории гидродинамических процессов в земном ядре, отсутствующей в настоящее время, и, в частности, использование более реалистичных моделей при расчетах нутационных движений.

В то же время в последние годы методами сейсмической томографии выявлены особенности рельефа границы между ядром и мантией Земли. Обнаружено, что эта граница существенно

ч

отличается от эллипсоида. Амплитуда неровностей (гор и впадин) на этой границе достигает ±10 км. Большой научный интерес представляет" исследование гидродинамических процессов в ядре неэллипсовдалъной формы и "возможного влияния эффектов топографии границы ядро-мантия на вращение Земли.

. -Целью работы является исследование инерционных колебаний в жидком ядре Земли, изучение влияния на нутацию Земли топографии границы мэзду ядром и мантией, а также расчет поправок к амплитудам вынувденной нутации с учетом топографических неонородностей на границе мезду ядром и мантией Земли.

Для выполнения поставленных целей гидродинамическая задача о малых колебаниях вращающейся жидкости решается в сферической системе координат, и известное решение для эллипсоидального ядра обобщается на рассматриваемый случай методом возмущений.

Научная новизна.

Впервые рассмотрено возбуждение инерционных колебаний при исследовании взаимодействия между ядром и мантией Земли. Рассчитаны поправки к амплитудам вынужденной нутации с учетом топографии границы между ядром и мантией. Предпринята попытка объяснения невязок наблюдаемых и теоретических амплитуд вынувденной нутадии влиянием рельефа границы ядро-мантия.

Защищаемые в диссертационной работе положения.

1. ■ Обобщение решения Пуанкаре на случай слабо неэлипсоидального ядра.

2. Расчет поправок к амплитудам вынужденной нутации с учетом топографии границы между ядром и мантией Земли.

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты ваяшы для понимания процессов, происходящих внутри Земли. Учет поправок к амплитудам вынужденной нутации, расчитанных для моделей Земли с рельефом на границе между ядром и мантией, позволяет уточнить движения в пространстве связанных с телом Земли систем отсчета, что имеет большое значение для интерпретации современных высокоточных радиоштерферометрическшс и спутниковых данных.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции молодых ученых "Актуальные проблемы геофизики" (Звенигород, 1988), на Всесоюзном совещании "Исследование фигур

и гравитационных полей Земли, Луны и планет" (Ленинград, ноябрь 1988), на 141-ом Симпозиуме Международного Астрономического СоЮза (Ленинград, октябрь 1989), на 'XX Генеральной Ассамблее МГТС (Вена, август 1991).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работа, одна работа находится в печати.

Структура и объем диссертации- Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения и содержит 86 страниц машинописного текста, 13 иллюстраций и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность проблем, исследуемых в диссертации, сформулирована цель работы, и кратко изложено содержание диссертации.

I глава посвящена рассмотрению основных проблем, существующих в настоящее время в теории нутации Земли.

Задача о нутации Земли решается обычно разложением векторов смещения и скорости по сферическим векторным гармоникам, что сводит уравнения движения в частных производных к бесконечной системе "сцепленных" обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система уравнений редуцируется к конечной (оставшиеся уравнения просто исключаются из рассмотрения), и численным интегрированием из нее определяются значения амплитуд вынужденной нутации. В частности, этот метод использовался Дж.Варом для расчета постоянных нутаций, которые были утверждены Меадународным Астрономическим Союзом как теория нутации MAC

1980. Вычисления были проведены для модели Земли с упругой оболочкой, жидким внешним ядром и твердым внутренним ядром с использованием профилей плотности и, упругих параметров внутри Земли, соответствующих модели 1066А Гильберта и Дзевонского.

Однако полученные . в последние годы методами радиоинтерферометрии со сверхдлинной базой наблюдаемые значения амплитуд вынужденной нутации, измеренные с точностью 0,15 мс дуги, не могут Сыть объяснены теорией Вара. Невязки между рассчитанными и наблюдаемыми значениями амплитуд вынувденной нутации значительно превышают ошибки наблюдений, что требует дальнейшего уточнения теории.

Различными авторами были рассмотрены такие возможности согласования данных наблюдений с теоретическими значениями как отличие сжатая жидкого ядра от значения, предсказываемого теорией гидростатического равновесия, влияние неупругости оболочки, отличие моментов инерции жидкого ядра от' значений, предсказываемых современными моделями Земли, влияние сжимаемости и вязкости ядра. Показано, что наиболее правдоподобным из перечисленных объяснений является первое, если вместо определяемого гидростатической теорией значения сжатия земного ядра.е = (2.63 + 2.56)-Ю"3 принять е = 2.67-10"3.

В последние годы получены также новые данные о внутреннем строении Земли, в частности, методами сейсмической томографии выявлены особенности рельефа границы между ядром и -мантией Земли. Обнаружено, что эта граница существенно отличается от эллипсоида. Амплитуда неровностей (гор и впадин) на этой границе достигает ±10 км. Естественно возникают вопросы, как эти топографические неоднородности могут сказываться на движении

б

Земли, нельзя ли объяснить невязки наблюдаемы?, и рассчитанных значений амплитуд вынужденной нутации влиянием топографии границы ядро-оболочка.

В результате анализа современного состояния проблемы сделан вывод о том, что в рамках существующих теорий не удается согласовать данные наблюдений с расчитанными значениями амплитуд вынужденной нутации. Необходима разработка теории нутации для более реалистичных моделей Земли, в частности, учета топографии границы меаду ядром и мантией Земли.

В главе 2 "Инерционные колебания во вращающейся жидкости" описана' постановка краевой задачи Пуанкаре и рассмотрены ее известные аналитические решения, полученные Пуанкаре и Брайеном. Отдельно приведено решение этой задачи 'в сферической системе координат, и рассмотрена возможность учета твердого внутреннего ядра.

В § 2.1 приведены основные уравнения, описывающие малые колебания однородной идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей вращающийся твердый двухосный эллипсоид SQ :

^/а2 + уг/аг + z2/c2 = 1, е = (а-с)/с « 1.

В декартовой системе координат (я,y,z), вращающейся вместе с эллипсоидом SQ с угловой скоростью <ок. линеаризованное для колебаний с малой амплитудой уравнение движения кидкости и граничное условие с учетом уравнения неразрывности сводятся" к краевой задаче Пуанкаре для давления Ф (при условии временной зависимости решения типа exp(lot) ) :

4 2 Лф - -р- (шк.УГф = О

* (1) Вф|ао = 0

Вф = - + 4(п,к)(к,9ф) + 21 2 (к.п)тф,

о - частота колебаний жидкости, п - вектор нормали к 5'0.

В приложении к Земле эта краевая задача была впервые рассмотрена Пуанкаре [ )885 ]. -Он определил значения двух собственных частот и'рассчитал амплитуду вынужденной нутации в случав суточных приливов. В § 2.2 описано решение этой задачи, используемое затем в главе 3.

В § 2.3 приведено полное аналитическое решение краевой задачи Пуанкаре, полученное. Брайеном [1889) в эллипсоидальной системе координат (у.ц.ф). В этой системе координат уравнение переходит в уравнение Лапласа, и, кроме того, граница эллипсоида совпадает с одной .'из координатных поверхностей. Переменные в уравнении разделяются, что позволяет получить точное аналитическое решение, имеющее вид:

Ф^.ц.ф) = :р>> е1гаф-

где Р^ - присоединенные функции Лежандра 1-го рода.

Функции ф описывают инерционные колебания во вращающемся .эллипсоиде, целиком заполненном однородной идеальной несжимаемой жидкостью.

В частном случае, я = 2, т = 1 решение Брайена .совпадает с решением Пуанкаре, имеющем в системе координат (г, у, г) вид

ф = «гф0 {хг соасЯ +■ уг э1ш{). »

В § 2.4 построено решение краевой задачи Пуанкаре в сферической системе координат. Оно имеет вид:

с|><г,е,ф) = I I фпи(г) i^(cose) е1тф, (2}

n=2 m=0

N

ф (г) •= У с. D. г*, (3)

Tnm4 ' L Js fenm ' 1í=n J} even

где определяются рекуррентным соотношением :

ft-rt , G1 fe-n+2 С3 Л

5 ■ __ Г J, _™г _{j i

&,п+г,т I ftrra й+п+1 fe.n-г.т ^ J-'

ТШ T177Í

С1 , С2 ,: С3 - известные функции о, т и п.

пт пт пт

Это решение точно удовлетворяет уравнению Пуанкаре для ряда любой длины, (т.е. суммирование в (2) и (3) может быть оборвано на любом номере К). В этом легко убедиться прямой подстановкой решений в уравнения. Члены, содержащие Фм+г автоматически становятся равными нулю. Полученное решение является линейной комбинацией известных решений. Брайена. Собственные частоты инерционных колебаний, рассчитанные автором, совпадают с частотами Брайена.

Для решения задачи о вынужденных колебаниях в правую часть граничного условия необходимо добавить внешний потенциал (например, приливный). В этом'случае задача сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений и может быть решена численно. Показано, что для внешнего потенциала, описываемого конечной комбинацией сферических гармоник, решение задачи может быть представлено'в виде разложения, содержащего только , те же гармоники.

Далее в этой главе рассматривается задача Пуанкаре в сферическом слое, моделирующим Землю с твердой оболочкой, жидким внешним и твердым внутренним ядром. При этом к задаче (I)

я

п.

добавляется еще одно граничное условие на границе внешнего и внутреннего ядер, описывающее непроникновение жидкости через эту границу.

Решение задачи также ищется е виде разложения по сферическим функциям и подробно описано в приложении. Там же приведены результаты численных экспериментов, показывающие, что бесконечная система линейных алгебраических уравнений, к которой может быть сведена задача в этом случае, не допускает редукции. Ряд решений конечных систем уравнений при увеличении числа рассматриваемых уравнений расходится. Это означает невозможность получения не только точного решения, но даже и некоторого приближения к нему.

Проведенный анализ показал, что точное решение задачи Пуанкаре может быть получено в виде разложения по сферическим гармоникам только для модели без твердого внутреннего ядра. Для модели Земли с твердой оболочкой, жидким внешним ядром и твердым внутренним ядром рассматриваемый метод не дает решения задачи.

В главе 3 "Применение метода возмущений к задаче о нутации Земли с не эллипсоидальным жидким ядром {.первое приближение)" решение Пуанкаре обобщено на случай неэлипсоидальной границы между ядром и мантией Земли методом возмущений.

В § 3.1 дано описание используемой модели Земж и применяемого метода. Земля предполагается состоящей из твердой оболочки и жидкого ядра, разделяемых поверхностью Э (жидкость однородная идеальная и несжимаемая). В самом общем виде поверхность Я может быть описана уравнением:

г(9,ф) = г0 (1 + ез!пг6) + г^Э.ф), (4)

л г

где г0 - средний радиус ядра Земли, в - его сжатие, 7^(9,ф) -сферические функции.

Требуется решить" задачу (1) с граничным условием, заданным на 5. Задача решается методом возмущений по малому параметру, равному (тангенсу угла наклона элемента поверхности Э к соответствующему элементу поверхности эллипсоида 30. Вектор скорости . V представляется в виде суммы последовательных приближений по этому параметру:

V = 70 + + У2 + ....

а вектор нормали п в виде :

П = П0 + п,,

где п0 - нормаль к эллипсоиду Б0, а п1 - вектор нормали к поверхности Группируя в уравнениях члены одного порядка малости, можно последовательно определить у1 , у2 и т.д. в виде разложения по инерционным модам, рассмотренным в главе I, используя в качестве нулевого приближения решение Пуанкаре.

В §-3.2 получено решение задачи в первом приближении. Граничное условие, написанное с учетом членов первого порядка малости, определяет правила отбора на коэффициенты разложения у1 по сферическим гармоникам. Они заключаются в том, что топографические неоднородности, описываемые сферическими гармониками у£(6,ф), возбуждают инерционные колебания У^(8,ф) с номерами п-Ъ, т=1±1. Однако интерес представляют не все инерционные моды, а только только те из■них, которые сказываются на движении оболочки. Это мода инерционных колебаний, которые имеют ненулевой момент количества движения. Определение этих мод

сводится к вычислению некоторых, определенных, интегралов. Используя далее полученное в гл.2 решение задачи Пуанкаре в сферической системе координат, можно найти решение задачи в первом приближении. Оно имеет вид:

N

с|) = J фь rfe P¿(cos8) соз(ot-ф), к

к even

где __

% = Л^^'-'Чо^^'/о1-

Hk = -kP^(cosQ) + k.2[p^(cos6)(i?2-]s+1) - P¿_2(cose)fc(fc+1 )]/(2fc-1 )-

- (k2-1 )(UZe) [Pecóse)(1-ft2) - P^_2(cos9)ft(ft+1 )]/(2£-1 ), k = o / 2Ш.

В § 3.3 приведены некоторые количественные оценки влияния топографии границы между ядром и. мантией Земли на нутацию. В первом приближении на вращении сказываются только ■ две . моды топографии (4,0) и (2,2). Для этих топографических неоднородностей с коэффициентами по данным сейсмической томографии расчитаны поправки к амплитудам вынужденной нутации для восьми основных компонент суточной нутации.

Более подробно рассмотрено влияние на нутацию топографии границы ядро-оболочка, описываемой сферической гармоникой (2,2). Решение этой задачи дано в явном виде.

Таким образом, решение Пуанкаре, описывающее вращение твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной однородной идеальной несжимаемой жидкостью, обобщено на случай слабо неэллипсоидального ядра. В первом приближении построены собственные функции такой задачи.

Получено, что в первом приближении на нутацию влияют моды, связанные с величиной сжатия жидкого ядра и эффектами его трехосности. Однако эти эффекты слишком малы для того, чтобы объяснить ими существующие невязки наблюдаемых и теоретических значений амплитуд вынужденной нутации.

Тем не менее, топографические неоднородности на границе ядро - оболочка должны учитываться при расчете теоретических значений амплитуд вынужденной нутации, поскольку для обратных главной и годичной компонент нутации поправки, расчитанные с учетом топографии, поверхности между ядром и мантией Земли, значительно превышают современные ошибки наблюдений.

В главе 4 "Применение метода возмущений к задаче о нутации Земли с неэллипсоидальным жидким ядром (второе приближение)" решение задачи, построенное в гл.З для членов первого порядка малости, используется для вычисления поправок к амплитудам вынужденной нутации с учетом топографических неоднородностей на границе между ядром и-мантией Земли во втором приближении.

В § 4.1 обоснована возможность получения количественных оценок в 4-том приближении по решению в (¿-1)-ом приближении. Оценки могут быть сделаны по дополнительному моменту поверхностных сил, действующих со стороны ядра на оболочку при наличии неровностей на поверхности эллипсоида Э0. Таким образом, зная решение задачи в первом приближении, можно оценить влияние на нутацию Земли топографии границы между ядром и мантией с точностью до членов второго порядка малости. Этот вопрос рассматривается в § 4.2.

Особый интерес представляет исследование топографических неоднородностей с номерами п> 4, Действительно, собственные

частоты инерционных мод расположены всюду плотно на интервале (-с,с), .поэтому существуют такие моды, собственные частоты которых близки к частотам вынужденной нутации. Именно эти моды оказывают на нутацию значительное влияние, а так как они возбувдаются соответствующими гармониками границы, то были сделаны оценки той формы границы, которая сказывается на нутации больше всего.

В результате расчетов были определены номера гармоник (п<600), собственные частоты которых наиболее близки к частотам восьми главных компонент вынужденной нутации, и были вычислены возмущения эллипсоида на этих гармониках, необходимые для согласования результатов наблюдений с теорией. В этом случае можно легко удовлетворить результатам наблюдений.

Так, например, для объяснения невязок амплитуд обратной годичной компонента нутации - достаточно предположить, что коэффициент а164 0 в (4) равен 0.082, что соответствует возмущению эллипсоида 1.5 км.

С формальной точки зрения, такие амплитуды неровностей на поверхности эллипсоида, не противоречат современным сейсмическим данным о рельефе границы между ядром и оболочкой Земли, тем не ыеное, маловероятно, что именно резонансные гармоники границы £ }жкг требуемые величины.

В § 4.3 проведена статистическая интерпретация результатов. Поскольку в настоящее,, время достаточно детальная информация о форме границы ядро-оболочка отсутствует, оценка вероятных эффектов может быть основана на переборе всевозможных поверхностей, не противоречащих современным сейсмическим данным.

В предположении о случайном нормальном распределении

.коэффициентов ай1 из (4) с вероятностью, не зависящей от их номеров, были рассчитаны поправки к амплитудам для восьми основных компонент вынужденной нутации. Эти поправки слишком малы, чтобы согласовать данные наблюдений с расчетными, однако для • обратных главной и годичной компонент нутации они составляют, соответственно, 0.27±0.05 и 0.61±0.15 мс- дуги, что значительно превышает современные ошибки наблюдений.

Предположения, сделанные о распределении коэффициентов ак1, . позволяют; получить также некоторые вероятностные оценки. Например, вероятность того, что амплитуды резонансных гармоник имеют величину, достаточную для удовлетворения результатам наблюдений вынужденной нутации, равна лишь 0.00001, поэтому естественным кажется вывод о том, что такая форма границы физически-не реализуется.

Таким образом, исследование влияния на нутацию Земли топографических неоднородностей на границе между ядром и мантией с учетом членов второго порядка малости показало, что для согласования результатов наблюдений амплитуд вынужденной нутации с их теоретическими значениями, необходимо сделать такие предположения о форме поверхности 5, которые представляются маловероятными, хотя, с формальной точки зрения, они и не противоречат современным данным о рельефе границы между ядром и мантией Земли. С другой стороны, при некоторых разумных предположениях о' Б рассчитанные поправки к амплитудам вынужденной нутации слишком малы и не позволяют объяснить наблюдаемые невязки, однако для обратных главной и годичной компонент нутации Они значительно превосходят современные ошибки наблюдений.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении рассматривается ' система алгебраических уравнений, к которой сводится задача, о. нутации Земли с твердой оболочкой, жидким внешним ядром и твердым внутренним ядром.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Получено точное решение краевой задачи Пуанкаре (о вращении твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной однородной идеальной несжимаемой жидкостью) в сферической системе координат. Решение построено в вйде разложения по присоединенным функциям Лежандра.

2. Исследован вопрос о возможности решения задачи с'нутации Земли с жидким внешним и твердым внутренним ядром методом разложения скалярного потенциала по сферическим гармоникам с последующей заменой получащейся ' бесконечной системы, линейных алгебраических уравнений на конечную. Путем численных экспериментов показана некорректность редукции этой системы уравнений, что означает невозможность получения решения задачи данным методом.

3. Решение Пуанкаре обобщено на случай слабо не эллипсоидального жидкого ядра методом возмущений. В первом приближении построены собственные функции такой задачи.

4. Установлено, что в первом приближении на нутацию влияют топографические неоднородности,' описываемые сферическими гармониками (2,2)'и (4,0). Эти моды связаны с величиной сжатия ядра и эффектами его трехосности. Однако их влияние недостаточно для объяснения существующих невязок наблюдаемых и рассчитанных значений амплитуд вынужденной нутации.

5. Влияние топографических неоднородностей на границе меэду ядром и мантией Земли во втором приближении имеет резонансный характер. Основной вклад во взаимодействие вносят те неоднородности, которые возбуждают инерционные колебания в жидкости с собственными частотами близкими к частотам вынужденной нутации.

6. Мокно подобрать такую форму границы ядро-мантия, что удается согласовать данные наблюдений с теорией, причем эта форма не противоречит данным сейсмической томографии. Но,' как показано, вероятность реализации такой границы невелика.

7. ^Поправки к амплитудам вынужденной нутации, рассчитанные с учетом топографических неоднородностей границы ядро-мантия, представляющихся реальными (вероятность реализации велика), оказываются слишком малыми для объяснения существующих невязок между наблюдаемыми и теоретическими значениями амплитуд вынужденной нутации, однако для обратных главной и годичной компонент нутации они значительно превосходят современные ошибки наблюдений.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Bykova V."V. Can the core-mantle boundary topography Influence the Earth's nutation? // Inertia] coordinate system on the sky. Proc. 141st IAU Symp., Kluwer Acad. Publish., Dordrecht. Netherlands. 1990. p.161-162.

2. Быкова В.В. О влиянии топографии грашшы ядро-оболочка на нутацию Земли // Известия АН СССР. Физика Земли. 1991. ЯЗ. С.8-17.

3. Bykova V.V. On the determination of liquid core

oscillations by truncation. Negative aspect. // XX General Assembly. IUGG. Union Program anl Abstracts. 1991. p.72. (тезисы доклада).

4. Быкова В.В. О редукции бесконечной системы дифференциальных уравнений в задаче о нутации Земли //Кинематика и физика небесных тел. (в печати).