Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Моделирование электромагнитного поля в средах с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Моделирование электромагнитного поля в средах с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости"

11-4

А./

1974

На правах рукописи

ДОЛГУН Алексей Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 2011

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука Сибирского отделения РАН (г. Новосибирск)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Шурина Элла Петровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Дашевский Юлий Александрович; доктор физико-математических наук, доцент Чеверда Владимир Альбертович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится 29 сентября 2011 г. в 16 час 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.068.03 при Учреждении Российской академии наук Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения РАН, в конференц-зале.

Адрес: 630090, г. Новосибирск, пр-т Ак. Коптюга, 3 Тел.: (383) 333 16 39 Факс: (383) 333 25 13 e-mail: NevedrovaNN@ipgg.nsc.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИНГГ СО РАН.

Автореферат разослан 25 августа 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. геол.-минерал, наук, доцент

Н. Н. Неведрова

росстюк.;.;': госудлрстг : -

2011

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования - электромагнитное поле в геологических средах с зависимостью электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты.

Актуальность темы. Получение информации о строении геологической среды с помощью электромагнитных полей является важной составляющей геофизических методов поисков и разведки месторождений полезных ископаемых. При выполнении данных работ исследователи часто сталкиваются с явлениями зависимости электрических параметров пород от частоты (дисперсией). Поэтому существует необходимость в разработке методов моделирования электромагнитного поля в таких средах.

Моделирование нестационарных процессов при наличии дисперсии сталкивается с рядом проблем, так как коэффициенты уравнения должны зависеть от времени, а не от частоты. Для их решения используются разные подходы, которые можно разделить на два класса: методы в частотной области и методы во временной области. Переход в частотную область позволяет легко учитывать дисперсию, но создает трудности при получении решения как функции времени. Например, гармоническая задача подходит только для случая возбуждения электромагнитного поля сигналом, изменяющимся по синусоидальному (ко-синусоидальному) закону или суммой таких сигналов. Решение, соответствующее установившемуся гармоническому режиму, не позволяет учесть переходные процессы. Методы, основанные на преобразовании Фурье, требуют выполнения расчетов на некотором дискретном множестве частот, оптимальный выбор которых является задачей исследователя, после чего полученное численное решение должно быть переведено во временную область с помощью обратного преобразования Фурье.

Поэтому разработка новых эффективных методов учета дисперсии и необходимость создания соответствующего программного обеспечения остается актуальной. В данной работе частотная зависимость рассматривается при решении во временной области, что представляется естественным при моделировании нестационарных задач.

Цель работы - создание и реализация вычислительных схем на основе векторного метода конечных элементов для решения задач моделирования нестационарных электромагнитных полей в средах с зависимостью электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты.

Научные задачи исследования:

• Разработать на базе векторного метода конечных элементов вычислительные схемы во временной области для моделирования электромагнитных полей в средах с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости.

• На основе построенных вычислительных схем разработать программный комплекс, позволяющий проводить расчеты в трехмерных областях со сложной геометрией.

Методика исследований. Учет частотной зависимости электропроводности и диэлектрической проницаемости во временной области приводит к необходимости решения системы уравнений Максвелла, содержащей интегралы свертки. Так как векторный метод конечных элементов является одним из наиболее эффективных при решении электромагнитных задач, построение вычислительных схем производится на его основе. Векторные пространства Неделека позволяют естественно учитывать непрерывность тангенциальных и скачки нормальных компонент электромагнитного поля (Е, Н). Использование тетраэдральных конечных элементов дает возможность решать задачи в областях со сложной геометрией.

В литературе существует большое количество моделей зависимости электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты: Cole-Cole, Дебая, Лоренца, Друда, Carcione. Вычислительные схемы были построены для моделей Cole-Cole и Дебая, так как они наиболее часто используются. Разработанные вычислительные схемы легко адаптируются для других моделей.

Подтверждение полученных результатов осуществляется с помощью серии вычислительных экспериментов. Сходимость и устойчивость вычислительных схем исследована на задаче с известным полиномиальным решением и последовательности вложенных сеток. Аппроксимация источника-петли проверяется сравнением с аналитическим решением, полученным по закону Био-Савара-Лапласа. Правильность учета частотных зависимостей доказывается сравнением результатов с гармонической задачей.

Научная новизна и личный вклад: • На основе векторного метода конечных элементов разработаны вычислительные схемы во временной области для моделирования полей в средах с дисперсией электропроводности (модель Cole-Cole) и диэлектрической проницаемости (модель Дебая). Они позволяют выполнять расчеты в областях со сложной формой границ подобластей и учитывать геометрические характеристики систем источник-приемник. Моделирование во временной обла-

сти дает возможность задавать произвольную зависимость от времени сигнала, возбуждающего электромагнитное поле.

• Разработанные вычислительные схемы реализованы в виде программного комплекса для решения задач в трехмерных областях с использованием тетраэдральных сеток и векторных базисных функций первого и второго полных порядков.

• Численно исследована сходимость вычислительных схем с векторными элементами первого и второго порядков второго типа.

• Путем сравнения с гармонической задачей показано, что предложенные вычислительные схемы учитывают переходные процессы при включении/выключении источника возбуждения поля.

• Исследовано влияние объекта с зависимостью электропроводности от частоты на измеряемое электрическое поле.

• Проведено сравнение с программным комплексом ипу_<ЗС), разработанным в Институте нефтегазовой геологии и геофизики Антоновым Е. Ю.

Практическая значимость работы. Разработанные вычислительные схемы предназначены для расчета электрического поля в трехмерных областях со сложной геометрией при наличии подобластей с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости. Расширение возможностей моделирования позволяет повысить качество инверсии данных при выполнении нестационарных электромагнитных зондирований. Так как представленные вычислительные схемы применимы при низкочастотных и высокочастотных исследованиях, они могут быть использованы для улучшения интерпретации данных, получаемых георадаром.

К преимуществам также относится моделирование во временной области, что позволяет задавать при расчетах произвольную зависимость от времени сигнала, возбуждающего электромагнитное поле. В разработанных вычислительных схемах учитываются геометрические размеры систем источник-приемник и переходные процессы после включения (выключения) источника. При этом время, необходимое для решения задачи с дисперсией, незначительно отличается от времени решения такой же задачи с постоянными коэффициентами.

Результаты работы использовались в междисциплинарном интеграционном проекте СО РАН №6 «Теоретические основы принципиально новой технологии зондирования в нефтегазовых скважинах с использованием субнаносекундных электромагнитных импульсов» (20092011 гг.).

Защищаемые научные результаты:

• Разработаны и реализованы вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования трехмерных электромагнитных полей в средах с зависимостью электропроводности (формула Cole-Cole) и диэлектрической проницаемости (формула Дебая) от частоты.

• Показано, что предложенные вычислительные схемы учитывают переходные процессы при включении источника возбуждения поля.

• Выполнено моделирование электромагнитных полей в сложно построенных средах при произвольной зависимости возбуждающего сигнала от времени с учетом геометрических размеров систем источник-приемник.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2007);

• XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2007);

• VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007);

• V Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008);

• Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий» (Красноярск, 2008);

• Всероссийской молодежной научной конференции с участием иностранных ученых «Трофимуковские чтения» (Новосибирск, 2008);

• IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008);

• Первой международной конференции «Актуальные проблемы электромагнитных зондирующих систем» (Киев, 2009);

• Пятой всероссийской школе-семинаре имени М.Н. Бердичевского и Л.Л. Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли (Санкт-Петербург, 2011).

Публикации. По теме диссертационной работы было опубликовано 11 печатных работ [1 - 11], из них в ведущих научных рецензируемых журналах, определенных в перечне ВАК - 2 [4, 9].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы (116 наименований). Работа изложена на 131 странице, включая 38 рисунков, 7 таблиц.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №09-05-00702, №09-05-12047-ОФИ-М).

Автор выражает искреннюю признательность за помощь и поддержку в подготовке работы научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН и лично д.т.н., академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 рассматривается современное состояние исследований в области математического моделирования электромагнитного поля в средах с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости.

В пункте 1.1 обоснована актуальность данных исследований и приведены модели, используемые для учета частотной зависимости при математических расчетах. Развитие аппаратуры, применяемой в геоэлектрике, позволило получать более точные результаты измерений. Поэтому модели с кусочно-постоянной проводимостью (диэлектрической проницаемостью) стали достаточно грубыми приближениями для реальной среды. Исторически необходимость учета дисперсии связана с изучением релаксационных процессов в геологических породах. Воздействие электромагнитного поля на такую среду приводит к появлению эффекта вызванной поляризации (ВП)1, который оказывает значительное влияние на результаты измерений. Изначально это явление рассматривалось самостоятельно как поисковый признак при разведке нефтегазовых и рудных месторождений. В настоящее время установлено, что ВП в той или иной степени проявляется во всех геологических средах. Поэтому ее следует учитывать для более точной интерпретации результатов измерений.

1 Светов, Б.С. Основы геоэлектрики [Текст] / Б.С. Светов. - М.: Издательство ЖИ, 2008. -656 с.

Так как процессы, являющиеся причиной ВП, имеют сложную природу, для их моделирования применяется феноменологический подход, при котором явление описывается на макроуровне без детального изучения на микроуровне. В соответствии с ним, ВП представляется как низкочастотная дисперсия электропроводности. Наиболее известной и удовлетворяющей большинству экспериментальных зависимостей является формула Cole-Cole:

f N

7

ô {со) = а'

1--

v

1 + (1-77)(г<УГ)'

где с™ - электропроводность среды при СО—Пусть сг" - электропроводность при постоянном токе. Тогда поляризуемость 1] = (а" -<?")/сг°°. т - время релаксации, с - показатель степени, на который обычно накладывается ограничение 0 < с < 1.

Существуют также другие физические явления, приводящие к дисперсии параметров среды, что указывает на важность учета частотной зависимости при математическом моделировании". В области высоких частот обычно рассматривают дисперсию диэлектрической проницаемости. Наиболее известна модель Дебая:

ê{a» = £~-1-Х

' ei-tr.

+ /ЮГ,

Она имеет Р полюсов. Значения параметров аналогичны формуле Cole-Cole: индексы 0 и оо обозначают диэлектрическую проницаемость при <у = 0 и СО—^оо, тр — время релаксации.

Также, в зависимости от рассматриваемых сред, используются модели Лоренца, Друда, Carcione3 и др.

В пункте 1.2 представлен обзор современных численных методов решения уравнений Максвелла. Рассмотрены методы FDTD (finite difference time domain), метод моментов, модифицированный конечно-объемный метод (MFV - modified finite volume), метод дискретных поверхностных интегралов (DSI - discrete surface integral), конечно объемные методы, а также узловой и векторный методы конечных элементов.

В пункте 1.3 рассмотрены существующие подходы для учета зависимости параметров от частоты. Методы моделирования нестацио-

i

' Taflove, A. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method [Text] / A. Taflove, S. Hagness. - Artech House, 2000. - 852 p.

Carcione, J.M. Wave fields in real media: wave propagation in anisotropic, anelastic, porous and electromagnetic media [Text] / J.M. Carcione. - Elsevier Science, 2007.

нарных электромагнитных полей можно разделить на два класса: в частотной области и во временной области.

В частотной области учет дисперсии прост и сводится к вычислению значений параметров на данной частоте, но возникают трудности, если сигнал, генерирующий электромагнитное поле, имеет произвольную зависимость от времени. Решение задачи как гармонической возможно в случае, если генерирующий сигнал является синусоидальным или может быть представлен как сумма синусоидальных. Также при данном подходе не учитываются переходные процессы, происходящие после включения (выключения) источника. При использовании преобразования Фурье основная сложность состоит в оптимальном выборе частот, на которых будет происходить решение, и их количества.

Моделирование во временной области является естественным в том смысле, что на практике в большинстве случаев измеряются величины, меняющиеся во времени. При этом учет частотной зависимости требует построения специальной вычислительной схемы. Исследователями было предложено несколько подходов к решению данной проблемы при использовании метода FDTD: Luebbers и др. разработали PLRC-метод (Piecewise-Linear Recursive-Convolution)4, другим подходом является метод дополнительного дифференциального уравнения (ADE -Auxiliary Differential Equation)5.

Глава 2 посвящена построению математических моделей. В пункте 2.1 приведены уравнения Максвелла, в пунктах 2.2 и 2.3 выводятся дифференциальные уравнения, которые позволяют производить расчеты в областях с зависимостью электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты, соответственно.

Для учета дисперсии уравнения Максвелла переводятся в частотную область с помощью преобразования Фурье. Предполагается, что в частотной области параметры зависят от частоты в соответствии с формулами Cole-Cole и Дебая. Затем осуществляется обратный переход во временную область, в результате которого появляются интегралы свертки.

Выполнение всех преобразований для зависимости электропроводности от частоты по формуле Cole-Cole дает следующее уравнение:

4 Kelley, D.F. Piecewise linear recursive convolution for dispersive media using FDTD [Text] / D.F. Kelley, R.J. Luebbers // IEEE Tans. Ant. Prop. - 1996. - Vol. 44. - Pp. 792-797.

5 Okoniewski, M. Simple treatment of multi-term dispersion in FDTD [Text] / M. Okoniewski, M. Morozowski, M.A. Stuchly // IEEE Microwave and Guided Wave Lett. - 1997. - Vol. 7. -Pp. 121-123.

Vx

- VxE

где a = —

u-iK

b = -

+ cr

1

dt i dt

dt = ——, dt

(1)

(1 -tjK

Аналогично, для зависимости диэлектрической проницаемости от частоты по формуле Дебая:

Vx

1

„ Э2Е ^ f а -„ „_г) Э Е(г) . " дг р р дг

(2)

-УхЕ ЭЕ Э1

+СГ-=--.

Эг Э1 Здесь А£р =£°р-£;, ар

В пункте 2.4 рассматривается гармоническая задача. Из-за простоты учета дисперсии она используется для проверки правильности построения математических моделей и верификации программ.

Для зависимостей электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты получаем следующие уравнения, соответственно:

■Л/т,,.

Vx

J_ МаМ

VxE

V^I).

+ ico&(a})E = -ico3,

Vx

-VxE

+ ((йЛТ-йГ£0£(<У))Ё = -1й>Л .

Значение <7(гУ) задается формулой Cole-Cole, значение £{(о) - формулой Дебая.

В главе 3 дифференциальные уравнения, полученные в главе 2, решаются с помощью векторного метода конечных элементов. В пункте 3.1 приведены слабые постановки. В пункте 3.2 выполняется построение их дискретных аналогов, даются общие определения конечного элемента, унисольвентности, интерполяции, конформности, а также векторных элементов Неделека первого и второго типов.

В пункте 3.3 представлены иерархические базисные функции для векторных элементов Неделека в соответствии с работой Вэбба6.

В пункте 3.4 рассматривается разностная схема для аппроксимации по времени и выполняется преобразование дискретных слабых постановок в вычислительные схемы в виде СЛАУ. Разностная схема ос-

Webb, J.P. Hierarchal vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral Unite elements [Text] / J.P. Webb // IEEE Trans. Ant. Prop. - 1999. - Vol. 47, no. 8. - Pp. 1244-1253.

нована на полиномах Лагранжа, что дает возможность использовать переменный шаг по времени, а также единообразно вычислять интегралы свертки и аппроксимировать производные.

Для уравнения с зависимостью электропроводности от частоты (1 вычислительная схема в матричном виде выглядит следующим образом:

(л++ук0с)ик = -4«*"2)-^ -

Здесь „*={«£....,«£_,}', , =

I = 0,1, 2. Элементы матриц и вектора правой части: А = Г —-УхШ (¡О.1' ,

Вч = | <Г1\Ч] ■ Щ ¿О!' ,

п"

С. = | ■ ,

£2"

¿ = | ада*

Вектор г* на каждом шаге вычисляется через г*"1 в соответствии с формулами:

г1 =0,

гк = фУ"1 + уУ"2) + (у^'Си*-1 +2*"'), к = 2,3,...

Значение а"' равно <7 в области без зависимости от частоты и

<У°° в области с зависимостью, ст°°2 равна 0 в области без зависимости от

частоты и в области с зависимостью.

Вычислительная схема для задачи с зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты (2):

р-> у

-¿2*-'+дКУ" +4/"' +4Г2)-

Здесь элементы матриц и вектора правой части определяются следующим образом:

А = f—VxW.-VxW, dCíh , " ¿ МпМ

Be = lett£'Yfryf,dQ.\ q = J^w^-w,

n"

D.. = J aW. • w; ,

ií = fj^j-w^n*.

n"

Векторы z*для всех p = l... f имеют вид:

z1" = 0,

z'" =C" (y^'u'-1 +yí-''u<-2) + e"'v"1(^-''"CV"1 -hz*"'"), к = 2,3,...

Коэффициенты: = ^

dr

Af;i равно нулю в областях с постоянной диэлектрической проницаемостью. равна относительной диэлектрической проницаемости в областях без зависимости от частоты и соответствующему параметру формулы Дебая в области с зависимостью.

Для гармонической задачи вычислительная схема требует использования комплексной арифметики:

(а + В) c = j, (3)

где элементы матриц и вектора правой части:

А. = f — Vx W,. ■ Vx W, dSl" ,

BfJ = J pyf. • w, ¿Ш" ,

j, = -JííyJ W,. d£íh .

a

В пункте 3.5 приведены методы, используемые для решения полученных СЛАУ. Так как все матрицы симметричны и, в зависимости от задачи, положительно полуопределены или неопределены, то были выбраны метод сопряженных градиентов (CG - conjugate gradient) и метод минимальных невязок (MINRES - minimum residual). СЛАУ для гармонической задачи (3) обладает худшей обусловленностью по сравнению

со СЛАУ в задачах во временной области, поэтому для ее решения применялся многоуровневый метод7.

В пункте 3.6 описывается структура разработанного программного комплекса. Он состоит из препроцессора, модуля решения и постпроцессоров. Трехмерная тетраэдральная сетка строится сторонним триангулятором, например, gmesh или пе[°еп. Препроцессор обрабатывает эти данные, производя нумерацию элементов сетки в соответствии с требованиями векторного МКЭ. Модуль решения выполняет сборку СЛАУ и ее решение для всех временных слоев. Задачей постпроцессоров является представление решения в виде, удобном для интерпретации (например, ЭДС в заданном контуре) или визуализации (например, поле в сечении расчетной области.

Глава 4 посвящена вычислительным экспериментам. Целью исследования в пункте 4.1 является тестирование работы программного комплекса и сходимости построенных вычислительных схем. Для этого используется задача с известным решением. Результаты представлены в табличном виде для задач с дисперсией электропроводности, диэлектрической проницаемости и без дисперсии при применении базисных функций первого и второго порядков.

Необходимость аппроксимации источника-петли вызвана тем, что диаметр проводника, составляющего петлю, обычно несоизмерим с размерами вычислительной области и не может быть учтен при построении сетки. Поэтому в пункте 4.2 предложен способ аппроксимации и демонстрируется его корректность.

В пункте 4.3 путем сравнения с гармонической задачей показано, что полученное уравнение со сверткой действительно выражает зависимость электропроводности от частоты.

Расчеты выполняются в однородной кубической области со стороной 2000 м. Источником электромагнитного поля является петля диаметром 100 м, центр которой совпадает с центром области (начало координат). Сравниваются результаты в двух точках, расположенных в 100 и 400 м от начала координат в плоскости петли.

Зависимость силы тока от времени представляет собой сумму двух гармонических колебаний:

/(0 = 0,75т(*нг) + 0,78т(3адг), где О)=2ж/Т = 2ж/0,02~ 314,16 с-1 .

7 Nechaev, O. Multilevel iterative solvers for the edge finite element solution of the 3D Maxwell equation [Text] / O. Nechaev, E. Shurina, M. Botchev // Computers & Mathematics with Applications. - 2008. - Vol. 55, no. 10. - Pp. 2346-2362.

Параметры Cole-Cole: ст00 = 10, r/ = 0,9, тр = 0,01, с = 1. Результаты приведены на рис. 1 и 2.

Как и следовало ожидать, гармоническая задача выдает строго периодическое решение. Задача по времени учитывает переходный процесс после включения тока, затем результаты полностью совпадают, причем в дальней точке это происходит на более поздних временах.

В пункте 4.4, аналогично пункту 4.3, сравниваются решения гармонической задачи и задачи с зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты. Показано, что через некоторое время от начала возбуждения (переходный процесс) результаты полностью совпадают.

Вычислительный эксперимент в пункте 4.5 демонстрирует применение разработанных методов к решению задач в неоднородных областях и влияние объектов с частотной зависимостью электропроводности на результаты измерений.

Область состоит из трех подобластей (рис. 3): «воздуха» (а = 0), проводящей среды (а = 0,01 См/м) и «объекта». Ток в петле линейно возрастает до величины 1 А в момент времени 1 мс и далее остается постоянным. Параметры Cole-Cole: <J°° =0,1, 7 = 0,9, тр =0,01.

Для сравнения также были решены задачи с постоянными прово-димостями объекта: 0,01 См/м (значение Ле{<т(й>)} при со = 0) и 0,1

См/м (значение Re{<T(iy)} при СО—»оо).

QQ о

! Петля 0100 л

50 м

<т = 0.01

/00 .и I

a[oi)

-2Е-05,

'о

0.0005 0 001 0 0015 0 002 t. С

2000

Рис. 3. Область, в которой производятся расчеты

Рис. 4. £v на расстоянии 200 м

Результаты на расстоянии от центра петли 200 м показаны на рис. 4. Хорошо видно, что при возрастании силы тока кривая для зависимости от частоты расположена между кривыми для постоянных значений. После того, как ток становится постоянным, падение Еу для частотной зависимости происходит медленнее по сравнению с обеими постоянными электропроводностями, что соответствует практическим измерениям характеристик процессов вызванной поляризации.

В пункте 4.6 проводится сравнение результатов, полученных двумя программными комплексами: представленным в данной работе и Unv_QQ8, разработанным в Институте нефтегазовой геологии и геофизики. Область, в которой производятся расчеты, состоит из двух подобластей: «воздуха» и проводящей среды с электропроводностью, зависящей от частоты по формуле Cole-Cole (ег~ = I / 300, 7] = 0.7 , г = Ю~6,

с = I). Источником и приемником являются квадратные петли, разнос равен нулю. Ток в источнике линейно убывает от I А в начальный момент времени до 0 при / = 10"* с. Модуль наведенной в приемнике ЭДС показан на рис. 5. Решения различаются до момента времени примерно / = 3-10~7 с, затем совпадают.

g

Kozhevnikov, N.O. Inversion of TEM data affected by fast-decaying induced polarization: numerical simulation experiment with homogeneous half-space [Text] / N. O. Kozhevnikov, E.Yu. Antonov // J. Appl. Geoph. - 2008. - no. 66. - Pp. 31-43.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны вычислительные схемы во временной области на основе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитных полей в средах с дисперсией электропроводности (модель Cole-Cole) и диэлектрической проницаемости (модель Дебая). Они позволяют выполнять расчеты в областях со сложной геометрией, при произвольной форме возбуждающего сигнала, учитывать геометрические размеры систем источник-приемник.

2. Представленные вычислительные схемы учитывают переходные процессы при включении источника возбуждения.

3. Численно показана сходимость вычислительных схем с векторными элементами первого и второго порядков второго типа.

4. Предложен способ аппроксимации источника-петли и показана его корректность.

5. Правильность учета дисперсии в построенных вычислительных схемах доказана путем сравнения с гармонической задачей.

6. Исследовано влияние объекта с зависимостью электропроводности от частоты на измеряемое электрическое поле.

7. Проведено сравнение с программным комплексом Unv_QQ, разработанным в Институте нефтегазовой геологии и геофизики Антоновым Е. Ю. и Кожевниковым Н. О.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Долгун, A.A. Моделирование распространения электромагнитных волн в среде с зависимостью электрической проводимости от времени [Текст] / A.A. Долгун // Труды XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», 26-30 марта 2007. - Томск: ТПУ, 2007. - С. 38-39.

2. Долгун, A.A. Вычислительные схемы для моделирования электромагнитных полей в среде с зависимостью электрической проводимости от времени [Текст] / A.A. Долгун // Материалы Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций», 26-27 апреля 2007. -Новосибирск: НГТУ, 2007. - С. 118-119.

3. Долгун, A.A. Распространение электромагнитного поля в среде с зависимостью электрической проводимости от времени [Текст] / A.A. Долгун // Материалы VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 27-29 ноября 2007. - Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2007. - С. 43-44.

4. Долгун, A.A. Моделирование распространения ТЕ-волны в неоднородном волноводе векторным методом конечных элементов [Текст] / A.A. Долгун, М.П. Федорук, Э.П. Шурина // Вестник НГУ. - 2008. - Т. 8. - №2. - С. 54-66.

5. Долгун, A.A. Распространение электромагнитной волны от индукционного источника в среде с зависимостью электрической проводимости от времени [Текст] / A.A. Долгун // Труды V Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-30 мая 2008. - Самара: СамГТУ, 2008. - С. 31 -33.

6. Долгун, A.A. Распространение электромагнитного поля от индукционного источника в средах с зависимостью проводимости и диэлектрической проницаемости от времени [Текст] / A.A. Долгун, Э.П. Шурина, М.И. Эпов // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий», 18-24 августа 2008. - Красноярск: СФУ, 2008. - С. 19.

7. Долгун, A.A. Распространение электромагнитного поля индукционного источника в средах с временной дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости [Текст] / A.A. Долгун // Труды Всероссийской молодежной научной конференции с участием иностранных ученых «Трофиму-ковские чтения», 5-12 октября 2008. - Новосибирск: ИНГГ СО РАН, 2008. -С. 196-198.

8. Долгун, A.A. Электромагнитное поле индукционного источника в средах с временной дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости [Текст] / A.A. Долгун // Материалы IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 28-30 октября 2008. - Кемерово: КемГУ, 2008. - С. 41 -42.

9. Долгун, A.A. Распространение электромагнитного поля индукционного источника в средах с временной дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости [Текст] / A.A. Долгун, Э.П. Шурина, М.И. Эпов // Геология и геофизика. - 2009. - Т. 50. - № 11. - С. 1266-1275.

10. Долгун, A.A. Распространение 'электромагнитного поля индукционного источника в средах с дисперсией электропроводности и диэлектрической проницаемости [Текст] / A.A. Долгун // Материалы Первой международной конференции «Актуальные проблемы электромагнитных зондирующих систем», 27-30 сентября 2009. - Киев: Институт геофизики HAH Украины, 2009. - С. 33-34.

11. Долгун, A.A. Моделирование электромагнитного поля в средах с зависимостью электропроводности и диэлектрической проницаемости от частоты [Текст] / A.A. Долгун, Э.П. Шурина // Материалы Пятой всероссийской школы-семинара имени М.Н. Бердичевского и JI.JI. Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли. Книга 2. 16-21 мая 2011. - СПб: СПбГУ, 2011.-С. 38-41.

Технический редактор Е.В. Бекренёва Подписано в печать 11.08.2011 Формат 60x84/16. Бумага офсет № 1. Гарнитура Тайме _Печ. л. 0,9. Тираж 110. Зак. № 65_

ИНГТ СО РАН, ОИТ, просп. Акад. Коптюга 3, Новосибирск, 630090

11 - 1 5705

г\ л vi /

2011159628

2011159628

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Долгун, Алексей Александрович

Выводы

Для решения уравнений, представленных в главе 2, построены вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов. Рассматривались вариационные постановки, дискретизация, базисные функции, разностные схемы для аппроксимации по времени и методы решения СЛАУ. Приведено также описание программного комплекса, в котором были реализованы все необходимые алгоритмы.

Глава 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ 4.1. Задача с известным решением

Целью данного исследования является тестирование работы программного комплекса и сходимости построенных вычислительных схем. Рассмотрим сначала задачу без зависимости от частоты (2.19) со всеми коэффициентами, равными 1:

4.1) к '' д? ы ы

В качестве решения будем использовать векторную функцию, состоящую из двух множителей: пространственного, являющегося трехмерным полиномом третьей степени, и временного: х-Щг-О^ Ху-1)(х-0,5)

Легко убедиться, что начальные условия будут однородными: и(х,0|,=0=0, ди(х, г) и(х, 0 =

-/О- (4.2) 0. 1=о ы

Подстановка и в уравнение (4.1) дает правую часть Г. Использование полиномов позволяет вычислять интегралы для вектора правой части (3.32) аналитически.

Численное решение задачи требует расчета краевых условий и второго слоя вычислительной схемы (3.34). Для этого необходимо построить аппроксимацию и в конечномерном пространстве Н1' (то^О.11), базисом которого являются \У0, \У13., ЛУд^. Делается это следующим образом. Пусть а0,а{,., - коэффициенты разложения аппроксимирующей функции по

N-1 базису. Потребуем, чтобы невязка и-^г^ЛУ,. была ортогональна всему

7=0 пространству Ни(гоі, О?):

N-1 Л 0 для всех / = 0,., N-1,

•/=° Л2(пЛ)

В результате получаем СЛАУ

JBa = g, где матрица В является одной из используемых в вычислительной схеме (3.31), а вектор g - аналог вектора правой части (3.32).

Область, в которой решается задача, представляет собой единичный куб 0<л:< 1, 0<7<1, 0<2<1. Для улучшения однородности тетраэдральной сетки в нем строится последовательность вложенных кубических сеток, каждая ячейка которых разбивается на шесть тетраэдров. Для измерения густоты сетки используется параметр к - длина стороны ячейки кубической сетки. То есть, при к = 1/2 область делится на 8 кубов и 48 тетраэдров.

Близость точного и численного решений по пространству рассчитывается с помощью относительной нормы разности где й — численное решение. Так как й представляет собой линейную комбинацию базисных функций, то интегральная норма Ь2 может быть получена с использованием той же матрицы В. Пусть а0, ах>., аих - коэффициенты этой линейной комбинации, тогда и-С«*

V /=о у=о 2

1}{С1") И-1 ЛГ-1

ЛМ

5>2Л К, IV,) - 2^«, («". + (и. «^(П») :=0 у=о /=0

7(и' = - 2 а • 8 + (и, и)^) / (и, и)^.

По времени задача решается на отрезке [0,1] с использованием равномерного шага для разностной схемы. Отрезок делится на т, равное 8, 16, 32 и т.д., частей. Сходимость по времени оценивается через сходимость по пространству в 8 точках: 1

1=1

4.3) I где t¡= — . Эта величина и показана далее в таблицах 4.1 и 4.2 при исполь-8 зовании базисов первого порядка второго типа и второго порядка второго типа, соответственно.