Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли"

На правах рукописи

ЕЛАГИН Александр Викторович ^^егшхн.

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

□□3161929

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2007

Работа выполнена в Сибирской государственной геодезической академии

Научный руководитель - кандидат технических наук,

доцент Сурнин Юрий Венедиктович Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Нейман Юрий Михайлович, кандидат технических наук,

Суздалев Анатолий Степанович

Ведущая организация - 29 НИИ МО РФ (г Москва)

Защита состоится «9» ноября 2007 г в 14 час на заседании диссертационного совета Д 212 251 02 при Сибирской государственной геодезической академии по адресу 630108, Новосибирск, ул Плахотного, 10, СГГА, ауд 403

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГГА

Автореферат разослан « » окьллТрА2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

Середович В А

Изд лиц ЛР № 020461 от 04 03 1997 Подписано в печать 5 10 2007 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 1,51 Уч-изд л 0,93 Тираж 100 Заказ 13Ь

Отпечатано в картопечатной лаборатории СГГА

630108, Новосибирск, 108, ул Плахотного, 8

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Проблема построения глобальной высокоточной модели гравитационного поля Земли (ГПЗ) остается до сих пор нерешенной Это связано с недостатком гравиметрической информации на большей части континентов и в приполярных областях Достаточно плотной и качественной гравиметрической съемкой покрыты лишь территории бывшего Советского Союза, США, Европы и Австралии Серьезной проблемой является согласование наземных гравиметрических сетей разных стран

Альтиметрические измерения также не решают проблемы, так как ими не охвачены суша и приполярные зоны, и по ним определяются не высоты геоида, а изменяющиеся высоты морской поверхности (отличие может достигать 1,5 м) По траекторным спутниковым измерениям с наземных пунктов можно вычислить только низкочастотные составляющие разложения ГПЗ в ряд по шаровым функциям Следовательно, построить высокоточную модель ГПЗ высокого разрешения только по наземным, альтиметрическим и траекторным измерениям невозможно

В настоящее время с появлением новых спутник-спутниковых и спутниковых градиентометрических средств измерений, которые чувствительны к высокочастотным составляющим гармоникам разложения ГПЗ в ряд по шаровым функциям, открылась возможность осуществить уточнение модели ГПЗ Измерения уже выполняются, и будут в дальнейшем выполняться, глобально и плотно над всей поверхностью Земли на высотах от 240 до 500 км Предлагаются и частично реализованы за рубежом три научных проекта, основанных на этих новых видах измерений Это проекты CHAMP, GRACE и

Однако, на высотах от 240 до 500 км, где производятся спутник-спутниковые и спутниковые градиентометрические измерения, ГПЗ имеет более сглаженную структуру, чем у поверхности Земли Следовательно, определяемые по этим измерениям коэффициенты разложения ГПЗ в ряд по

GOCE

i

шаровым функциям будут отличаться от коэффициентов, которые были бы получены, если бы такого же типа измерения были выполнены глобально на всей поверхности Земли. Отсюда возникает пока не решенная проблема «продолжения вниз»

Путь к приближенному решению этой проблемы - поставить и решить краевую задачу теории потенциала с двумя граничными поверхностями Одна граничная поверхность должна принадлежать спутниковому шаровому слою со спутниковыми градиентометрическими и/или. спутник-спутниковыми измерениями Другая граничная поверхность - земная поверхность, с максимально возможным набором наземных типов измерений, выполненных с достаточной точностью

Гравитационное поле Земли можно описать глобально при помощи разложения в ряд по шаровым функциям, набором точечных масс или мультиполей, аномалиями силы тяжести и т д В некоторых перечисленных выше космических проектах коэффициенты Спт, Snm разложения гравитационного поля в ряд по шаровым функциям yace определяются Недостаток такого разложения и других перечисленных способов представления ГПЗ состоит в том, что для вычисления какой-либо характеристики поля в заданной точке на Земле или вне Земли с высокой точностью требуется выполнить значительный объем вычислительных работ и хранить большой объем информации Кроме того, при использовании математического аппарата гармонического анализа для определения коэффициентов поля приходится условно относить выполненные на земной поверхности или в космосе измерения к сфере или решать проблему редуцирования измерений на сферу

Существенно сократить затраты на вычисления возможно, если разбить область определения ГПЗ (между земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем) на малые подобласти - конечные элементы - и представлять в них гравитационный потенциал и функции от него алгебраическими или григонометрическими полиномами низкой степени

Если решать краевую задачу с использованием конечных элементов, то

проще аппроксимировать сложную форму граничной поверхности Земли Построенная путем решения краевой задачи конечно-элементная модель ГПЗ значительно удобней для практического применения, по сравнению с другими моделями Из всего набора конечных элементов выбираются для использования только те элементы, которые непосредственно относятся к территории практической деятельности человека

Степень разработанности проблемы. Решению проблемы определения ГПЗ посвятили свои труды многие отечественные и зарубежные ученые Молоденский M С , Юркина M И, Еремеев В Ф , Бровар В В , Шимбирев Б П , Макаров H П, Пеллинен JIП, Жонголович И.Д, Грушинский H П, Машимов M M, Мещеряков Г А , Марченко А H, Петровская M С , Нейман Ю M, Бывшев В А, Остач О M , Непоклонов В Б , Плешаков Д И, Бузук В В , Вовк И Г, Канушин В Ф, Суздалев А С , Панаев Г А, Сурнин Ю В , Кужелев С В , Рапп Р , Чернинг С, Краруп Т, Шварц К , Руммель Р, Хейсканен В , Мориц Г, Каула У M , Бьерхаммар А, Бурша M и др Однако, решаемая проблема уточнения моделей ГПЗ по новым спутник-спутниковым и спутниковым градиентометрическим измерениям является еще недостаточно разработанной Реализация проектов CHAMP и GRACE не завершена - получены только первые предварительные результаты Запуск искусственного спутника Земли (ИСЗ) программы GOCE только планируется произвести, а в настоящее время выполняются лишь модельные исследования Трехмерные конечно-элементные модели ГПЗ в области между земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем ранее не определялись

Целью исследования являлась разработка методики определения конечно-элементной модели ГПЗ по спутниковьм и наземным измерениям и уже существующим разложениям геопотенциала в ряд по шаровым функциям Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо - определить граничные значения производных геопотенциала в спутниковом шаровом слое по спутник-спутниковым и градиентометрическим измерениям,

- определить граничные значения геопотенциала и его производные на земной поверхности,

- дискретизировать область определения геопотенциала конечными элементами,

- заменить интегральные уравнения системой линейных уравнений,

- вычислить возмущающий потенциал в узлах конечных элементов по заданным моделям ГПЗ

Объект исследования - внешнее гравитационное поле Земли в области, ограниченной земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем

Предмет исследования - методика построения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли

Теоретическая, методологическая и информационная база исследований. Использованы различные численные методы решения задач математической физики Из сопоставления методов выбран, в качестве основы для решения проблемы уточнения ГПЗ, метод конечных элементов Экспериментальные исследования выполнены методом математического моделирования

Научная новизна

- внешний гравитационный геопотенциал определяется в области, ограниченной земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем,

- область определения геопотенциала дискретизируется шаровыми слоями и усеченными треугольными пирамидами (конечными элементами) внутри слоев,

- для определения граничных условий в спутниковом шаровом слое получены формулы связи спутник-спутниковых и спутниковых градиентометриче-ских измерений с возмущающим потенциалом в узлах конечных элементов,

- для определения граничных условий на земной поверхности получены уравнения Лапласа в криволинейной геодезической системе координат и в системе плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера и геодезической высоты, из решения которых методом конечных элементов находится возмущающий потенциал

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенная в работе методика дает возможность определить удобную для практического использования трехмерную конечно-элементную модель ГПЗ Разработанные алгоритмы и компьютерные программы могут быть также использованы для вычисления орбит ИСЗ, высот квазигеоида и уклонений отвесных линий, для определения возмущающего потенциала и высот квазигеоида внутри нивелирного полигона по гравиметрическим и градиентометрическим измерениям

Реализация результатов работы. Методика определения конечно-элементной модели частично реализована в комплекте компьютерных программ Результаты работы использованы в Сибирском научно-исследовательском институте метрологии (СНИИМ) при создании программного имитатора измерительной информации по орбитальным группировкам спутниковых навигационных систем ГЛОНАСС и GPS, в Сибирском научно-исследовательском институте геологии, геофизики и минерального сырья (СНИИГГиМС) для целей проектирования геодезического обеспечения геофизических работ на локальных объектах Результаты также внедрены в научно-производственный центр метрологии, стандартизации и сертификации СГГА для вычисления возмущающего потенциала и высот квазигеоида на эталонном пространственном полигоне и в учебный процесс, где компьютерные программы используются при проведении практических занятий и дипломном проектировании студентов специальности «Астрономо-геодезия» Апробация научных результатов работы производилась

- на всесоюзном совещании «Алгоритмическое и программное обеспечение теорий движения ИСЗ», Ленинград, 1990,

- на международной научно-технической конференции, посвященной 65-летию СГГА - НИИГАиК, Новосибирск, 1998,

на научно-технической конференции, посвященной 90-летию К Л Проворова, Новосибирск, 1999,

на научно-технической конференции, посвященной 70-летию СГГА, Новосибирск, 2003,

на научном конгрессе «ГЕС)-Сибирь-2005», Новосибирск, 2005, на Международном научном конгрессе «ПЮ-Сибирь-2006», Новосибирск, 2006,

на Международном научном конгрессе «ГЕО-Сибирь-2007», Новосибирск, 2007

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 16 работах, из них 1 — в ведущем рецензируемом научном журнале «Геодезия и картография», определенном ВАК

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя введение, четыре раздела и заключение Список использованных источников состоит из 112 наименований Основное содержание изложено на 232 страницах машинописного текста, содержит 5 таблиц, 34 рисунка, 8 приложений

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1) математическое описание конечно-элементной модели гравитационного поля Земли,

2) методика определения параметров конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по спутниковым и наземным измерениям из решения краевой задачи теории потенциала,

3) методика определения параметров конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по заданному разложению геопотенциала в ряд по шаровым функциям

Основное содержание работы

Введение содержит обоснование актуальности темы, цели и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту

В первом разделе «Краевые задачи теории потенциала и методы их решения» приведены общие сведения о потенциалах тяготения и силы тяжести, перечислены типы краевых задач, даны общие сведения о приближенных методах решения краевых задач.

Во втором разделе «Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по измерениям» выполнена постановка

краевой задачи теории потенциала и разработана методика определения конечно-элементоной модели ГПЗ по спутниковым и наземным измерениям.

В области а между земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем требуется определить возмущающий потенциал Т, удовлетворяющий уравнению Лапласа в общеземной системе координат х,у,г

дгТ дАТ длТ л —- + —- + —- = 0 (1) дх2 ду2 дт2

На земной граничной поверхности 5 известны возмущающий потенциал Т

дТ

и первая производная от него — по направлению нормали к поверхности

дп

Земли

Т = 1//(х,у,г), ~ = ^{х}у,г) (2)

дп

На граничной поверхности спутникового шарового слоя 82 известна первая дТ

производная — по направлению нормали к слою

дп

|-=<р1(х,у,г) (3)

дп

Область определения возмущающего потенциала дискретизируется шаровыми слоями, а слои - конечными элементами в виде усеченных треугольных пирамид

Поставленная задача имеет единственное решение и эквивалентна задаче минимизации функционала, описывающего свойство геопотенциала внутри каждого конечного элемента е

дТ дх

дТ_ Зу

с1С1е + \\<р{х,у,г)Тс18-

Внутри конечных элементов возмущающий потенциал аппроксимируется рядом

Т{х,у,г) = ±М^{х,у,2) Т0), (5)

1=1

где Ы^(х,у,г) - система линейно независимых базисных функций, Т(1) -определяемые значения возмущающего потенциала в узлах конечного элемента, п - количество узлов

Подставив ряд (5) в функционал (4) и приняв первые производные от функционала по значениям потенциала в узлах равными нулю, получим систему линейных уравнений для отдельного конечного элемента

Лгхи 7|>х1 + (6)

где

. гп-Галг(,)с^0) 0лг(,)алго) ал/** а/У0'1 „в

А = —=--— + —г--_ + —---— сЮ. , (7)

^ дх дх ду ду дг дг

I, = Л (р{х,у,ф{,) - Л (р2 (х,у,г)#(,) йБе2 (8)

Системы уравнений, составленные по каждому конечному элементу, объединяются в одну общую систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных значений возмущающего потенциала в узлах конечных элементов

Форма и размеры треугольников нижней и верхней граней усеченных пирамид определяются на основе узлов многогранников икосаэдра и икосододе-каэдра, построенных на единичной сфере (рисунок 1)

Рисунок I Дискретизация единичной сферы на основе узлов икосаэдра и икосододекаэдра

Узлы этих многогранников разделяют единичную сферу симметрично на северное к южное полушария, а кажаое полушарие - на пять однотипных 72-градусных долготных зон. Каждая долготная зона делится на девять «больших» сферических треугольников. Сгущение «больших» треугольников сетью «малых» треугольников предлагается выполнять на плоскости в гномонической проекции.

Для определения коэффициентов и свободных членов линейных уравнений (7), (8) вводятся в рассмотрение так называемый субпараметрический конечный элемент и связанная с ним суб пара метрическая система координат д, ^, в которой координаты узлов конечного элемента принимают только нулевые и единичные значения. Субпараметрический конечный элемент представляет собой прямоугольную треугольную призму, в которую отображается усеченная треугольная пирамида (рисунок 2).

-

о-

1

Рисунок 2 — Локальная и субпараметрическая системы координат а - локальная, б - субпараметрическая

Для преобразования координат точек и производных от возмущающего потенциала из общеземной системы в субпараметрическую систему координат и обратно вводится в рассмотрение промежуточная локальная система координат х, у, г (рисунок 2) Взаимное расположение осей локальной и общеземной систем координат показано на рисунке 3

Получены формулы прямых и обратных преобразований координат и производных от возмущающего потенциала

л

Рисунок 3 - Общеземная и локальная системы координат

X X X <г Т- лх Т Г т 1

У У 9 У л 9 ТУ о ТУ > г У тп

2 2 г С Т, т, Т 2 _ к]

Т* XX Т— '■ху Т— Т т ху т Г * XX т 1ху Т %

т~ 1 ху Т— УУ ТУ* С5- т ху Т УУ т У* > т т ЛУУ т >>г г

Т— А хг Т— Т— т Т 1уг т * гг т Т Уг т

Внутри субпараметрического конечного элемента возмущающий потенциал описывается полным трехмерным квадратичным полиномом

Т - а0 + а+ а2г] + а3£ + а^С, + а5т}£ + а6^т] + а7£2 + а%г)2 + а9£2 + Що&С +

+ аи£2С + аиг12С + аи&2 + ан^2 + а^т1С2 + щ1лЧ2 (9)

Выбран именно полный полином в связи с тем, что он обладает геометрической изотропией, которая гарантирует вдоль любой границы или ребра элемента полноту полиномиального представления того же порядка, что и внутри элемента Расположение узлов субпараметрического конечного элемента с квадратичной аппроксимацией представлено на рисунке 4

Рисунок 4 - Расположение узлов в субпараметрическом конечном элементе

Подставляя в выражение (9) координаты восемнадцати узлов и восемнадцать значений возмущающего потенциала г = 1 18, получим линейную сйстему дз 18 уравнений с 18 неизвестными коэффициентами а1 Найденные из ее решения коэффициенты подставим в формулу (9) После приведения подобных членов при одинаковых узловых значениях возмущающего потенциала получены окончательные аналитические выражения для вычисления возмущающего потенциала внутри конечного элемента и производных от него в субпараметрической системе координат

18

Т = (10)

1=1

18 18 18 т4г(,)' тпт{1)> ъ=14° г(0' по

1=1 (=1 г=1

18 18 18 = Т«, Т^ЛГ« Г<'>,

1=1 1=1 г=1

>(12)

18 18 18 = г«, г^-ру« т(,)>

1=1 ;=1 1=1

где ?7, О ~ базисные функции.

Для вычисления интегралов в формулах для коэффициентов и свободных членов линейных алгебраических уравнений делается замена переменных -общеземных координат х, у, г на субпараметрические координаты £, т}, £

Для поверхностных интегралов (¿Г = 0 - для нижней грани и ^ = 1 - для верхней грани) и объемных интегралов справедливы соотношения

h = Jf <p(x,y,z)N{,) dSe =

= Х\<р№лС = = = 0)] = О) | У| dZdTj, (13)

0 0

4, = Iii--+--+--dQ =

" ¡¡¿{ дх 8x 8y dy dz dz )

= Я ¡Ы% + + + n^k + N(;V,)+

00 0

+ + N?7JP + NfCy)(N\% + +

+ + N^C^f^s + N^rjs 1 -/| ^ dV dC, (14)

где |./| - детерминант якобиана преобразования

¡J\ = xi(ynzc-yczr!)+y{(zr?xc -ZfxJ+Zffoj^

В связи с тем, что подынтегральные выражения имеют сложный вид, интегрирование выполняется численным методом Гаусса

Если обозначить подынтегральное выражение поверхностного интеграла через = О), то искомый интеграл представляется в виде

=0) dtj='С-=1°) <15)

0 0 /=1у=1

Для вычисления объемных интегралов используется аналогичная формула

Я drj dC= ±±±™кАйу,Щ,Ску) (16)

00 0 k=b=\j=\

В формулах (15), (16) Уд^ку ~ весовые коэффициенты, ъ,, , Г/у, £,кц> Пкч > Скц - координаты девяти и двадцати семи узлов квадратур

Гаусса, соответственно, для поверхностных и объемных интегралов

Для определения граничных условий в спутниковом шаровом слое требуется компьютерная программа вычисления высокоточных траекторий движения ИСЗ Автор принял участие в разработке такой программы под руководством Сурнина Ю В и Кужелева С В

Траектории спутников вычисляются по компьютерной программе путем численного интегрирования методом Эверхарта дифференциальных уравнений движения ИСЗ

Ж2

дг_ дг

гпз>

(17)

где 7 = [Зс, у, г]7 - вектор положения ИСЗ в инерциапьной системе координат,

¥-\х,улХ- вектор положения ИСЗ в общеземной системе координат,

РГПЗ - вектор ускорения от ГПЗ Для вычисления производных от векторов положения и скорости ИСЗ по

вектору р- ; г^2) ,Т(т)1[, составленному из значений возмущающего потенциала в узлах конечных элементов спутникового шарового слоя, предлагается использовать численное интегрирование дифференциальных уравнений в вариациях вида

с/Г

дг др

д2Ц дг ' д'г2 др'

дг дг

д^ др

дТ_ дг

где и - нормальный потенциал, представленный в разложении по шаровым функциям только центральным полем и второй зональной гармоникой,

ЭТх дто)

дТ;

дтЬ)

Щ

8ТЬ)

Чи Ч\2 Яп Лх С" ** ХУ х:

Я2\ 422 <?23 Ъ Су Уу Ут

Чъ\ Ъ2 4зз_ Пг С, 2У

Параметрические уравнения поправок для дальностей и скорости изменения дальностей, измеренных между спутниками г и у, имеют вид

сЬ

д~р

11 ЭР

Др + -5

дв дя . ,

где —, —=- - коэффициенты уравнении поправок, вычисляемые по фор-

Эр др

мулам, представленным в работе [12], с использованием результатов интегрирования вариационных уравнений (18),

р - [р гл ?г0 гу0 г;0]Г— расширенный вектор оцениваемых параметров, в который, помимо возмущающего потенциала в узлах конечных элементов, входят и начальные условия движения ИСЗ,

Ар - поправки к приближенным значениям оцениваемых параметров,

5° - вычисленные дальности и скорости по приближенным координатам и составляющим скорости точек г, у;

У, 5 - измеренные значения дальности и скорости, 3- поправки к измерениям

Орбита градиентометрического спутника близкруговая Поэтому спутни-коцентрическая система координат м/, 5 (ось 1 направлена по трансверсали, ось ж - по бинормали, а ось ,у - по направлению радиус-вектора г,) близка к инструментальной системе координат градиентометра В дальнейшем они не различаются

Формулы прямого и обратного преобразования из общеземной системы координат в спутникоцентрическую систему имеют вид

О 112 17 — — 5^1 — ~ ~ ~ ~ дг -

+ У1 +21 > = _> т2 = тЪ = _> с =Г1 х г1> с=—— с, г, г, г,

/12 ЦТ" — _ су _ с?

с =л +су +сг . "1=—» "2=—. —

4 ^ С С С

х, = й2т"з -Я3»г2 = ^ = , ^ = ^ , у, = и3»г"1 , у^-п^,

= П\ГП1 -п2т1, пъ тз

Ъ ху> t X 0 X г х\

к = У[ Уш Л У - 0 > У "И/ + У\

щ 2Ц> 5 г п г 5

Градиенты в спутникоцентрической системе координат связаны с градиентами в общеземной системе координат матричными соотношениями

Тп Т— 1 XX Т— Т—

т 1 МЫ т 11 Т— 1ху т— Т— уX

Т* Т т 1 м _ Тъ Т— 1 у г Т— гг

Л

(19)

Градиенты, представленные в общеземной системе координат, являются функциями возмущающего потенциала в узлах конечных элементов Формулы для их вычисления опубликованы в работе [13]

В результате преобразований и дифференцирования уравнений связи (19) и

выражений для градиентов в общеземной системе, в диссертации получены формулы для вычисления производных от измеренных градиентов по значениям возмущающего потенциала в узлах конечных элементов спутникового

шарового слоя

дТи ВТ?

дг(г)' аг(г)' ' эг(г)

Гак как один и тот же узел в соседних конечных элементах будет иметь другие локальные номера г, то формируется глобальная шкала нумерации узлов По номеру конечного элемента и локальному номеру узла вычисляется глобальный номер узла ), к которому и относится вычисленная производная Для глобальной шкалы нумерации узлов уравнение поправок измеренного градиента, например, в направлении трансверсали, примет вид

где Ти - вычисленный градиент по приближенным значениям возмущающего потенциала в узлах конечных элементов,

Уи - измеренное значение второй производной от потенциала силы притяжения Земли,

и„ - вторая производная от нормального потенциала Вторые производные от нормального потенциала в спутникоцентрической системе координат определяются следующим образом

'и„

и ^ и„

УЫг и ит ин

иГу ит

и— и—

^ ху ^ уу

ия IТу, и,

я

Для определения возмущающего потенциала в узлах конечных элементов спутникового шарового слоя требуется выполнить уравнивание измерений параметрическим способом

Полученный возмущающий потенциал вычислен относительно нормаль-

ного потенциала, представленного в разложении по шаровым функциям только центральным полем и второй зональной гармоникой. Для решения краевой задачи требуется от него перейти к потенциалу силы тяжести, а затем снова вычислить возмущающий потенциал относительно нормального потенциала уровенного эллипсоида

При вычислении граничных условий на земной поверхности форма морской поверхности определяется по спутниковым альтиметрическим измерениям В районах, где отсутствуют гравиметрические данные, значение потенциала Ж0 на морской поверхности (после введения поправок в высоты за топографию) можно принять как константу Форма суши определяется по ОР8-измерениям Возмущающий потенциал и его первые производные на граничных гранях конечных элементов вычисляются по разнородным астрономо-геодезическим и гравиметрическим измерениям наиболее общим вариационным методом физической геодезии, предложенным Нейманом Ю М

В работе предложено определять возмущающии потенциал на граничной земной поверхности из решения краевой задачи в области, ограниченной нивелирными ходами по гравиметрическим и градиентометрическим измерениям Для этого получены

1) уравнение Лапласа в геодезической системе координат В, Ь, Н

£-«№">§+да,я>д=-„<ад)§, ,20,

где а, Д qи в - переменные коэффициенты,

2) уравнение Лапласа в системе плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера х, у и геодезической высоты Н

д2Т д2Т „дТ дТ , дх ду2 дх ду

где 5, е - переменные коэффициенты, зависящие от положения точки в шестиградусной зоне проекции Гаусса - Крюгера,

/ - правая часть дифференциального уравнения, которая является функцией гравиметрических и градиентометрических измерений, координат 20

наземной точки и наклона земной поверхности

Краевая задача ставится следующим образом В области внутри нивелирного полигона задано уравнение Лапласа (20) либо (21) На границе области по измеренным вдоль линий нивелирования превышениям и ускорениям силы тяжести вычисляются граничные значения возмущающего потенциала Внутри нивелирного полигона должны быть выполнены гравиметрические и градиен-гометрические измерения Требуется определить возмущающий потенциал внутри нивелирного полигона В работе представлены формулы для решения уравнения Лапласа (20) методом конечных разностей, а также формулы для решения уравнения Лапласа (21) методом конечных элементов

В третьем разделе «Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по заданному разложению геопотенциала в ряд по шаровым функциям» потенциал тяготения в узлах конечных элементов определяется по модифицированным автором формулам Пайнза, пригодным к вычислениям на полюсах

У=%Рп£:*»»{«)*>«т(*Л (22)

и=0 ш=0

где и=зтр=Д, 5 = г = г г г

Спт, 8пт - полностью нормированные гармонические коэффициенты априорно заданной модели гравитационного поля Земли

Функции р„, /-„,(5,?),Апт{и) определяются по рекуррентным формулам

«в № _ , Р = ~, ' Рп=РРп-\ для к>1,

г г

г_, =г0=1, г_, =г0=0, цикл т = \-п гт = - Пт_х, 1т 100=л/2, цикл п = 1-00 + ~Апп-\ — л/2и иАпп,

„ „ и 9) п 7 +1 )иАпт+1 + ^¡{п - т — 1 )(я + »»+ 2)(и2 -1)лндг+2

г^мюг т = {гг- 2)-0 =--============--,

лДи- т)(и+ яг + 1)

Нормальный потенциал £/ вычисляется по формуле Молоденского МС (Молоденский, МС Основные вопросы геодезической гравиметрии [Текст] / МС Молоденский//Тр ЦНИИГАиК - 1945 - Вып 42 -С 3-107) Возмущающий потенциал Г определяется из выражения

где а - угловая скорость вращения Земли

Для быстрого поиска адреса конечного элемента выполнена дискретизация области определения геопотенциала, т е представлена структура сетки узлов конечных элементов Зная структуру, можно вычислить координаты узлов конечных элементов и при помощи выражения (23) определить значения возмущающего потенциала в узлах Так строится глобальная конечно-элементная модель ГПЗ по заданным моделям

Если требуется определить конечно-элементную модель на ограниченном участке местности, где не будет проблемы быстрого поиска, то конечные элементы в виде усеченных треугольных пирамид могут иметь и произвольные размеры и форму, хотя для хорошей аппроксимации лучше, если отношение радиуса вписанного шара к диаметру конечного элемента будет наибольшим из возможных конфигураций

Алгоритм определения возмущающего потенциала и его производных по координатам заданной точки внутри конечного элемента и значениям возмущающего потенциала в узлах следующий

- выполняются преобразования координат точки из общеземной системы в субпарамегрическую систему координат,

- возмущающий потенциал вычисляется при помощи выражения (10), а первые и вторые производные - по осям субпараметрической системы, соответственно, по формулам (11), (12),

- если требуется определить производные в общеземной системе (сам воз-

(23)

мушающий потенциал в заданной точке пространства имеет одно и то же значение в любой системе координат, так как это скалярная величина), то осуществляется преобразование производных из субпараметрической в локальную, а затем в общеземную систему координат

В четвертом разделе «Описание компьютерных программ, алгоритмов и вычислительных экспериментов» представлены компьютерные программы и алгоритмы, разработанные автором, а также результаты модельных экспериментов Выполнен расчет траектории движения спутника программы GOCE Внутри нивелирного полигона определена конечно-элементная модель возмущающего потенциала по смоделированным гравиметрическим и градиентометрическим данным Для района Коченево - Ташара - Искитим в окрестности города Новосибирска определен отдельный конечный элемент, аппроксимирующий гравитационное поле Земли, с использованием глобальной модели EGM96

Заключение

Основные результаты исследований диссертационной работы следующие

1) разработана методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по спутниковым и наземным измерениям,

2) разработана методика определения конечно-элементной модели по априорно заданному разложению геопотенциала в ряд по шаровым функциям,

3) для работы с глобальной конечно-элементной моделью на основе многогранников разработан алгоритм поиска адреса конечного элемента по заданным координатам точки,

4) получены уравнения связи спутник-спутниковых и спутниковых гради-ентометрических измерений с возмущающим потенциалом в узлах конечных элементов спутникового шарового слоя,

5) для определения граничных условий на земной поверхности получены уравнения Лапласа в криволинейной геодезической системе координат и в системе плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера и геодезической высоты

Список основных опубликованных работ по теме диссертации

1 Елагин, А В Методика определения трехмерной конечно-элементной модели гравитационного поля Земли [Текст] / А В Елагин // Геодезия и картография -2007 -№>7 -С 37-41

2 Сурнин, Ю В Моделирование задачи оценивания положения наземных станций и коэффициентов геопотенциала по наблюдениям навигационных ИСЗ [Текст] / Ю В Сурнин, А В Елагин // Вопросы математического моделирования в прикладных задачах межвуз сб науч тр -Новосибирск- НИИГАиК, 1990 -С 82-90

3 Гиенко, ЕГ Определение уклонения отвесной линии и астрономических координат по наземным и GPS-измерениям [Текст] / Е Г I иенко, А В Елагин // Вестник Сибирской государственной геодезической академии - Новосибирск, 2000 -Вып 5 -С 16-19

4 Елагин, А В Постановка задачи определения гравитационного поля Земли по спутниковым и наземным измерениям [Текст] / А В Елагин // Сборник научных трудов аспирантов и молодых ученых Сибирской государственной геодезической академии / под общ ред Т А Широковой -Новосибирск СГГА,2003 -С 42-47

5 Елагин, А В Дискретизация области определения геопотенциала по спутниковым и наземным измерениям [Текст] / А В Елагин // Сборник научных трудов аспирантов и молодых ученых Сибирской государственной геодезической академии / под общ ред ТА Широковой -Новосибирск СГГА, 2003 -С 48-51

6 Елагин, А В Определение высот квазигеоида внутри нивелирного полигона по спутниковым и наземным данным [Текст] / А В Елагин // Современные проблемы геодезии и оптики • сб матер LUI международной научно-технической конференции, посвященной 70-летию СГГА, 11-21 марта 2003 г Ч II - Новосибирск СГГА, 2003 -С 236-239

7 Елагин, А В Уравнение Лапласа для возмущающего потенциала в геодезической системе координат и в системе плоских прямоугольных координат и геодезических высот [Текст] / А В Елагин // Сборник научных трудов аспирантов и молодых ученых Сибирской государственной геодезической академии / под общ ред Т А Широковой - Новосибирск СГГА, 2004 - Вып 1 - С 47-52

8 Елагин, А В Применение метода конечных разностей для определения возмущаюшего потенциала и высот квазигеоида внутри нивелирного полигона [Текст] / А В Елагин // Сборник научных трудов аспирантов и молодых ученых Сибирской государственной геодезической академии / под общ ред Т А Широковой - Новосибирск СГГА, 2004 -Вып 1 - С 52-58

9 Елагин, А.В Связь глобальной Гринвичской системы координат с локальной системой координат конечного элемента [Текст] / А В Елагин // ГЕО-Сибирь-2005 Т 1 Геодезия, картография, маркшейдерия сб матер науч конгр «ГЕО-Сибирь-2005», 25-29 апр 2005 г, Новосибирск -Новосибирск СГГА,2005 -С 141-143

10 Елагин, А В Связь локальной и субпараметрической систем координат конечного элемента [Текст] / А В Елагин // ГЕО-Сибирь-2005 Т 1 Геодезия, картография, маркшейдерия сб матер науч конгр «ГЕО-Сибирь-2005», 25-29 апр 2005 г, Новосибирск - Новосибирск СГГА, 2005 -С 189-193

11 Елагин, А В Применение метода конечных элементов для решения краевой задачи теории потенциала внутри нивелирного полигона [Текст] / А В Елагин // Вестник Сибирской государственной геодезической академии - Новосибирск, 2005 -Вып 10 - С 25-30

12 Елагин, А В Уравнения поправок для определения возмущающего потенциала в узлах конечных элементов спутникового шарового слоя по измеренным дальностям и радиальным скоростям [Текст] / А В Елагин // ГЕО-Сибирь-2006 Т 1 Геодезия, геоинформатика, кар-

тография, маркшейдерия 4 2 сб матер междунар науч конгр «ГЕО-Сибирь-2006», 24-28 апр 2006 г, Новосибирск - Новосибирск СГГА, 2006 - С, 98-103

13 Елагин, А В Связь градиентометрических измерений с возмущающим потенциалом в узлах конечных элементов спутникового шарового слоя [Текст] / А В Елагин // ГЕО-Сибирь-2006 Т 1 Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия Ч 2 сб матер, междунар науч конгр «ГЕО-Сибирь-2006», 24-28 апр 2006 г, Новосибирск - Новосибирск СГГА, 2006 - С 103-107

14 Телеганов, НА Высшая геодезия и основы координатно-временных систем учеб пособие [Текст] /НА Телеганов, А В Елагин - Новосибирск СГГА, 2004 -238с

15 Елагин, А В Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по спутниковым и наземным измерениям [Текст] / А В Елагин // Вестник Сибирской государственной геодезической академии - Новосибирск, 2006 - Вып. 11 - С 46-52

16 Елагин, А В Алгоритм определения адреса конечного элемента по заданным координатам точки [Текст] / А В Елагин // ГЕО-Сибирь-2007 Т 1 Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия Ч 2 сб матер III междунар науч конгр «ГЕО-Сибирь-2007», 25-27 апр 2007 г, Новосибирск - Новосибирск СГГА, 2007 - С 62-67

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Елагин, Александр Викторович

Введение.

1 Краевые задачи теории потенциала и методы их решения.

1.1 Потенциалы тяготения и силы тяжести.

1.2 Типы краевых задач.

1.3 Методы решения краевых задач.

1.3.1 Общие сведения о приближенных методах решения.

1.3.2 Метод взвешенных невязок.

1.3.3 Метод коллокаций.

1.3.4 Метод конечных разностей.

1.3.5 Метод коллокаций с подобластями.

1.3.6. Метод Бубнова - Галеркина.

1.3.7 Метод наименьших квадратов.

1.3.8 Слабая формулировка краевой задачи.

1.3.9 Метод конечных элементов.

1.3.10 Метод граничных интегральных уравнений.

1.3.11 Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных

1.3.12 Метод точечных масс.

1.4 Обоснование выбора метода конечных элементов.

2 Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по измерениям.

2.1 Постановка задачи и доказательство единственности её решения.

2.2 Дискретизация области определения геопотенциала.

2.3 Алгоритм поиска адреса конечного элемента.

2.4 Преобразование координат и производных от возмущающего потенциала из общеземной в локальную и субпараметрическую системы координат.

2.5 Аппроксимация возмущающего потенциала внутри субпараметрического конечного элемента алгебраическими полиномами.

2.6 Определение базисных функций субпараметрического конечного конечного элемента.

2.7 Вычисление коэффициентов и свободных членов линейных уравнений.

2.8 Определение граничных условий в спутниковом шаровом слое и на земной поверхности.

2.8.1 Построение траекторий движения ИСЗ.

2.8.2 Вариационные уравнения для производных от векторов положения и скорости ИСЗ по узловым параметрам конечных элементов.

2.8.3 Вариационные уравнения для изохронных производных.

2.8.4 Аналитические формулы Суханова А. А. для вычисления изохронных производных.

2.8.5 Параметрические уравнения поправок для дальностей и скорости изменения дальностей.

2.8.6 Параметрические уравнения поправок для градиентометричес-ких измерений.

2.8.7 Определение граничных условий на земной поверхности.

3 Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по заданному разложению геопотенциала в ряд по шаровым функциям.

3.1 Определение геопотенциала тяготения и его производных с помощью моделей разложения в ряд по шаровым функциям.

3.2 Определение нормального потенциала силы тяжести и его производных.

3.3 Вычисление возмущающего потенциала и его производных.

3.4 Построение конечно-элементной модели.

4 Описание компьютерных программ, алгоритмов и вычислительных экспериментов.

4.1 Программа построения спутниковых траекторий GENORX.

4.2 Программа вычисления потенциала тяготения и его первых и вторых производных GRAVP.

4.3 Программа вычисления высот квазигеоида GEOID.

4.4 Система высот на основе модели EGM96.

4.5 Программа вычисления уклонения отвесной линии UOL.

4.6 Программа определения возмущающего потенциала и высот квазигеоида внутри нивелирного полигона методом конечных элементов МКЕ.

4.7 Вычислительные эксперименты по определению возмущающего потенциала внутри нивелирного полигона методом конечных элементов.

4.8 Вычислительный эксперимент по построению отдельного конечного элемента с использованием модели EGM96.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли"

Актуальность проблемы. Проблема построения глобальной высокоточной модели гравитационного поля Земли (ГПЗ) остается до сих пор нерешенной. Это связано с недостатком гравиметрической информации на большей части континентов, а также в приполярных областях. Достаточно плотной и качественной гравиметрической съёмкой покрыты лишь территории бывшего Советского Союза, США, Европы и Австралии. Кроме этого, серьёзной проблемой является согласование наземных гравиметрических сетей разных стран. Например, при сравнении гравитационных данных Советского Союза и Китая обнаружилось, что, в местах перекрытия, рассогласование этих данных огромно и достигает 70 мГал [1].

Альтиметрические измерения также не решают проблемы, так как ими не охвачены суша и приполярные зоны и по ним определяются не высоты геоида, а высоты морской поверхности (отличие достигает 1,5 м).

По траекторным спутниковым измерениям с наземных пунктов уверенно находятся лишь низкочастотные составляющие разложения ГПЗ в ряд по шаровым функциям. Следовательно, построить высокоточную модель гравитационного поля Земли только по наземным гравиметрическим, альтиметрическим и траекторным измерениям невозможно.

В настоящее время с появлением новых спутниковых градиентометриче-ских и спутник-спутниковых средств измерений, которые чувствительны к высокочастотной составляющей разложения ГПЗ в ряд по шаровым функциям, открылась возможность осуществить уточнение модели ГПЗ. Измерения уже выполняются, и будут в дальнейшем выполняться, глобально и плотно над всей поверхностью Земли на высотах от 240 до 500 км. Предлагаются и частично реализованы за рубежом три научных проекта, основанных на этих новых видах измерений [1-6]:

1. CHAMP (Challeging Minisatellite Payload) - совместный проект немецких, французских и американских ученых. Спутник запущен с космодрома Плесецк 15 июля 2000 г. Орбита круговая, высотой 450 км и с наклонением 87,27°. Для определения ГПЗ используются измерения трёхосного бортового акселерометра и спутник-спутниковые измерения «высокий - низкий» (GPS-измерения). По шестнадцатисуточным данным уже построена модель 0SU02A до пятидесятой степени и порядка. По точности эта модель, для волн длиной 800 км, на 10 % выше ранее полученных моделей, особенно в приполярных областях [7]. По трехмесячным акселерометрическим и спутник-спутниковым измерениям программы CHAMP построена также германо-французская модель длинноволнового гравитационного поля EIGEN-1S, которая по точности в два раза выше предыдущих моделей. Геоид, построенный по этой модели, характеризуется погрешностью не более 20 см. [8].

2. GRACE (Gravity Recovered and Climate Experiment) - проект, разработанный американскими учеными в Национальном управлении по аэронавтике и исследованию космического пространства (NASA). Пара искусственных спутников Земли (ИСЗ) проекта была запущена 17 марта 2002 г. с космодрома Плесецк. В апреле этого же года началось тестирование и калибровка научной аппаратуры ИСЗ. Полученные данные доказали работоспособность научной концепции проекта и подтвердили отличные характеристики измерительных устройств [9]. Спутники запущены на одну и туже близполярную орбиту высотой 500 км и на удалении друг от друга от 170 до 270 км. Расстояние между двумя ИСЗ измеряются с субмикронной точностью. На ИСЗ производятся GPS-измерения и акселерометрические измерения [10]. Погрешность измерения относительных ускорений 1 мкм/с, а погрешность GPS-измерений 1 см [11]. Предполагается, что, после обработки измерительной информации, модель статического гравитационного поля будет на несколько порядков точней существующих моделей [12].

3. GOCE (Gravity field and steady - state Ocean Circulation Explorer) - проект Европейского космического агентства [13-18]. Запуск планируется осуществить в ближайшем будущем с космодрома Плесецк. Вес спутника 1200 кг. Орбита ИСЗ близкруговая, солнечно-синхронная, с наклонением 96,5° и высотой от 240 до 270 км. Для точного определения орбиты на ИСЗ устанавливается высокоточный GPS-приемник. Основным инструментом для определения ГПЗ будет гравитационный градиентометр [19, 20], разработанный французской фирмой ONERF. Градиентометр представляет собой систему из шести трехосных электростатических акселерометров. Основой каждого акселерометра является пробная масса в 320 г, поддерживаемая в подвешенном состоянии внутри блока, вблизи его центра, с помощью электростатического поля, создаваемого электродами, размещенными на стенках блока. Перемещения этой массы ежесекундно измеряются. Результаты измерений фильтруются и преобразуются в гравитационные градиенты по восемнадцати различным направлениям. Точность измерения градиентов на уровне 1-10~3 Этвеш/^[Гц [21]. Предполагается создать новую модель ГПЗ, по которой можно будет вычислять аномалии силы тяжести с погрешностью 1 мГал, а высоты геоида с погрешностью 1 см и с пространственным разрешением 70 км [18,22].

Для будущих космических проектов по изучению гравитационного поля Земли зарубежные ученые разрабатывают лазерный дальномер со стабилизированными длинами волн [23]. Он предназначен для измерения расстояний с погрешностью 2,7 ■ Ю~9 м/-^Гц между двумя близкими ИСЗ, движущимися по одной и той же орбите. По разности расстояний за определённые промежутки времени определяются вторые производные от геопотенциала по линии спутник-спутник.

В нашей стране также ведутся научно-исследовательские работы по использованию градиентометрических и спутник-спутниковых измерений для определения гравитационного поля Земли [13, 24]. Научно-производственное объединение прикладной механики предлагает включить в Федеральную космическую программу до 2010 года проект «Геопот» [25]. Он предназначен для определения параметров ГПЗ и их изменений во времени. Масса ИСЗ 800 кг, высота орбиты 400 км, наклонение 90°, срок службы - не менее семи лет.

Однако на высотах от 240 до 500 км, где выполняются спутник-спутниковые и спутниковые градиентометрические измерения, гравитационное поле имеет более гладкую структуру, чем у поверхности Земли. Поэтому, определяемые по спутниковым измерениям коэффициенты разложения ГПЗ в ряд по шаровым функциям будут отличаться от коэффициентов, которые были бы получены, если такого же типа измерения выполнить глобально на всей поверхности Земли. Отсюда возникает пока не решенная проблема продолжения вниз.

Частично эта проблема может быть решена, если поставить и решить краевую задачу с двумя граничными поверхностями. Одна граничная поверхность должна принадлежать спутниковому шаровому слою со спутниковыми градиентометрическими и/или спутник-спутниковыми измерениями. Другая граничная поверхность - земная поверхность, с максимально возможным набором наземных типов измерений, выполненных с достаточной точностью. Наземных измерений будет явно не хватать, поэтому в некоторых районах земной поверхности придется выполнять аппроксимацию и интерполирование функционалов от потенциала силы тяжести. Неизбежным является принятие каких-либо гипотез и допущений. Например, на море, где не выполнены гравиметрические съемки, считать морскую поверхность, вычисленную при помощи аль-тиметрических измерений, поверхностью геоида, с заданным значением потенциала силы тяжести Wq. На суше необходимо использовать нивелирные, гравиметрические, градиентометрические и GPS-измерения для вычисления потенциала силы тяжести и первых производных от него.

При построении моделей гравитационного поля Земли обычно решаются различные внешние краевые задачи теории потенциала в области, ограниченной земной поверхностью и бесконечной внешней границей. До недавнего времени целью исследований было совместное определение внутренней границы области, т. е. физической поверхности Земли и внешнего ГПЗ. В настоящее время GPS-измерения и спутниковая альтиметрия позволяют, принципиально, новыми геометрическими методами решать первую часть задачи - определять геометрию земной поверхности. Актуальной проблемой остается вторая часть задачи - уточнение внешнего гравитационного поля Земли из совместной обработки наземных и новых спутник-спутниковых и спутниковых градиенто-метрических измерениий.

Гравитационное поле Земли можно описать глобально при помощи разложения в ряд по шаровым функциям, набором точечных масс или мультипо-лей, аномалиями силы тяжести и т. д. В рассмотренных выше космических проектах уже определяются и планируется дальнейшее уточнение коэффициентов Спт ,Snm разложения гравитационного поля в ряд по шаровым функциям. Недостаток такого разложения и других перечисленных способов представления гравитационного поля состоит в том, что для вычисления какой-либо характеристики поля в заданной точке на Земле или вне Земли с большой точностью требуется выполнить значительный объём вычислительной работы (просуммировать все члены ряда) и хранить большой объем информации. Кроме этого, при использовании математического аппарата гармонического анализа приходится относить выполненные на земной поверхности или в космосе измерения к сфере или решать проблему редуцирования измерений на сферу.

Избежать редуцирования и существенно сократить затраты на вычисления возможно, если разбить область определения ГПЗ на малые подобласти -конечные элементы и представлять в них гравитационный потенциал и функции от него локальными алгебраическими или тригонометрическими полиномами низкой степени. В этом случае придется сузить область определения геопотенциала и определять его в слое между земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем. Сужение области - с одной стороны недостаток, но с другой стороны оно может повлиять на точность определения геопотенциала, потому что геопотенциальная функция, оказывается «зажатой» между двумя близкими поверхностями с известными значениями потенциала и его производных.

Преимущество таких локальных представлений гравитационного поля Земли по сравнению с глобальными, в задаче определения орбит спутников, показано в работах [27 - 29].

Если решать краевую задачу методом конечных элементов, то проще аппроксимировать сложную форму граничной поверхности Земли. Построенная путем решения краевой задачи конечно-элементная модель ГПЗ значительно удобней для практического применения, по сравнению с другими моделями. Из всего набора конечных элементов выбираются для использования только те ячейки, которые непосредственно попадают в район практической деятельности. Разработке такой конечно-элементной модели ГПЗ и посвящено данное исследование.

Какими оптимальными по форме и размерам должны быть конечные элементы? Какого вида, и какой степени должны быть полиномы? Как по координатам заданной точки определить в каком конечном элементе она находится? Каким образом подключить к решению краевой задачи разнородные наземные измерения и новые спутник-спутниковые и спутниковые градиентомет-рические измерения и определить значения потенциала в узлах конечных элементов? Как выполнить интерполирование и найти потенциал и его первые, и вторые производные внутри конечного элемента? Эти и другие актуальные вопросы являются предметом исследования диссертации.

Степень разработанности проблемы. Решению проблемы определения ГПЗ посвятили свои труды многие отечественные и зарубежные ученые: Молоденский М. С., Юркина М. И., Еремеев В. Ф., Бровар В. В., Шимбирев Б. П., Макаров Н. П., Пеллинен JI. П., Жонголович И. Д., Грушинский Н. П., Машимов М. М., Мещеряков Г. А., Марченко А. Н., Петровская М. С., Нейман Ю. М., Бывшев В. А., Остач О. М., Непоклонов В. Б., Плешаков Д. И., Бузук В. В., Вовк И. Г., Канушин В. Ф., Суздалев А. С., Панаев Г. А., Сурнин Ю. В., Кужелев С. В., Рапп Р., Чернинг С., Краруп Т., Шварц К., Руммель Р., Хейсканен В., Мориц Г., Кау-ла У. М., Бьерхаммар А., Бурша М. и др. Однако, решаемая проблема уточнения моделей ГПЗ по новым спутник-спутниковым и спутниковым градиенто-метрическим измерениям является ещё недостаточно разработанной. Реализация проектов CHAMP и GRACE ещё не завершена, получены только первые предварительные результаты. Запуск ИСЗ программы GOCE ещё только планируется произвести и выполняются лишь модельные исследования. Трехмерные конечно-элементные модели ГПЗ, в области между земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем, ранее не определялись.

Целью исследования являлась разработка методики определения конечно-элементной модели ГПЗ по разного вида спутниковым и наземным измерениям и по уже существующим разложениям геопотенциала в ряд по шаровым функциям.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

- постановка краевой задачи;

- доказательство единственности ее решения;

- определение граничных значений производных геопотенциала в спутниковом шаровом слое;

- определение граничных значений геопотенциала и его производных на земной поверхности;

- дискретизация области определения геопотенциала;

- замена интегральных уравнений системой линейных уравнений;

- решение системы линейных уравнений для определения параметров модели ГПЗ;

- вычисление геопотенциала и его производных по известным моделям разложения в ряд по шаровым функциям;

- определение нормального потенциала силы тяжести и его производных;

- вычисление возмущающего потенциала в узлах конечных элементов.

Объект исследования - внешнее гравитационное поле Земли в области ограниченной земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем.

Предмет исследования - методика построения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли.

Теоретическая, методологическая и информационная база исследований. Рассмотрены различные численные методы решения задач математической физики. Из сопоставления методов, в качестве основы для решения проблемы уточнения ГПЗ, выбран метод конечных элементов. Экспериментальные исследования выполнены методом математического моделирования. Реальное поле заменено моделью гравитационного поля EGM96 до 360-й степени и порядка. Эта модель позволяет вычислить и считать «эталонными» значения потенциала и его производных в любой точке на и вне поверхности Земли, а также моделировать измерения, которые требуется обработать по предлагаемой методике. Достоинство метода математического моделирования состоит в том, что заранее известны параметры гравитационного поля, которые должны быть получены с помощью построенной конечно-элементной модели. Этот метод применяется для проверки правильности работы новых алгоритмов и программ, предназначенных для обработки реальных измерений. В диссертационной работе основные аспекты предлагаемой методики апробированы на модельных измерениях. Обработка реальных измерений возможна в будущем после того, как появится доступ к спутниковой и наземной измерительной информации.

Научная новизна работы:

- внешний гравитационный геопотенциал определяется в области, ограниченной земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем;

- область определения геопотенциала дискретизируется шаровыми слоями и усечёнными треугольными пирамидами (конечными элементами) внутри слоёв;

- разработан алгоритм поиска номера конечного элемента, в котором расположена точка с заданными координатами;

- получены формулы прямых и обратных преобразований координат точек и производных от возмущающего геопотенциала из общеземной системы координат в локальную систему координат субпараметрического конечного элемента;

- для определения граничных условий в спутниковом шаровом слое получены формулы связи спутник-спутниковых и спутниковых градиентометри-ческих измерений с возмущающим потенциалом в узлах конечных элементов;

- для определения граничных условий на земной поверхности получены уравнения Лапласа в криволинейной геодезической системе координат и в системе плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера и геодезической высоты;

- разработана методика определения возмущающего потенциала внутри нивелирного полигона по спутниковым, гравиметрическим и градиентометри-ческим измерениям.

- получены формулы для вычисления первых и вторых производных от нормального потенциала силы тяжести по прямоугольным пространственным координатам.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенная в работе методика дает возможность определить удобную для практического использования трехмерную конечно-элементную модель ГПЗ. Разработанные для решения краевой задачи алгоритмы и компьютерные программы могут быть также использованы для вычисления орбит ИСЗ, высот квазигеоида и уклонений отвесных линий, для определения возмущающего потенциала внутри нивелирного полигона по гравиметрическим и градиентометрическим измерениям.

В первом разделе диссертации приведены общие сведения о потенциалах тяготения и силы тяжести, перечислены типы краевых задач, даны общие сведения о приближенных методах решения краевых задач. Рассмотрены: метод взвешенных невязок, метод коллокаций, метод конечных разностей, метод коллокаций с подобластями, метод Бубнова - Галеркина, метод наименьших квадратов, метод конечных элементов, метод граничных интегральных уравнений, решение уравнения Лапласа методом разделения переменных, метод точечных масс. Показаны достоинства и недостатки перечисленных методов.

В результате анализа различных методов в качестве основы для исследований был выбран метод конечных элементов.

Во втором разделе рассмотрена методика определения конечно-элементной модели ГПЗ по измерениям, выполненным на земной поверхности и в спутниковом шаровом слое. Дана постановка задачи и доказана единственность её решения. Предложено дискретизировать область определения возмущающего потенциала шаровыми слоями и усеченными треугольными пирамидами (конечными элементами), построенными на основе многогранников. Получены формулы для вычисления базисных функций конечных элементов, а также коэффициентов и свободных членов линейных уравнений, из решения которых находятся значения возмущающего потенциала в узлах конечных элементов. Рассмотрены вопросы об определении граничных условий на внутренней поверхности спутникового шарового слоя и на земной поверхности.

В третьем разделе представлена методика определения конечно-элементной модели ГПЗ по заданному разложению геопотенциала в ряд по шаровым функциям. В основе методики лежат модифицированные автором формулы Пайнза С. для вычисления потенциала тяготения и его первых и вторых производных, а также формулы Молоденского М. С. для вычисления нормального потенциала. Они позволяют определять возмущающий потенциал в узлах конечных элементов и создавать конечно-элементные модели ГПЗ. Получены формулы для вычисления первых и вторых производных от нормального потенциала по направлению осей общеземной прямоугольной пространственной системы координат.

В четвертом разделе диссертации дано описание компьютерных программ, алгоритмов и вычислительных экспериментов.

Основные положения, выносимые на защиту следующие:

1) математическое описание конечно-элементной модели гравитационного поля Земли;

2) методика определения параметров конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по измерениям из решения краевой задачи;

3) методика определения параметров конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по заданному разложению геопотенциала в ряд по шаровым функциям.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Елагин, Александр Викторович

В результате проведенных исследований в диссертации разработана ме тодика определения конечно-элементной модели ГПЗ. Рассмотрено два случая. Первый, наиболее важный - определение модели из решения краевой задачи

по измерениям. Второй - определение модели по априорно заданному разло жению геопотенциала в ряд по шаровым функциям. Второй случай реализуется

проще, однако все погрешности первоначального представления складываются

с погрешностями конечно-элементной аппроксимации. В первом случае, по сравнению с классической постановкой решения

внешней краевой задачи, область определения геопотенциала сужена. Она ог раниченна земной поверхностью и спутниковым шаровым слоем. Доказано,

что, если измерены потенциал и ускорения силы тяжести на поверхность Зем ли, а в спутниковом шаровом слое измерены ускорения силы тяготения, то

краевая задача имеет единственное решение. Показано, что решение уравнения Лапласа, с заданными граничными ус ловиями, эквивалентно решению задачи минимизации функционала (59). Ре шать задачу минимизации предпочтительнее, так как в этом случае требования

к гладкости аппроксимирующей функции понижаются. Для работы с глобальной конечно-элементной моделью необходимо рас полагать алгоритмом поиска адреса конечного элемента по заданным коорди натам точки. Такой алгоритм в диссертации разработан на основе многогран ников. Показано, что если проекциями узлов конечных элементов на единич ной сфере будут узлы икосододекаэдра и икосаэдра, то единичная сфера делит ся на два полушария (северное и южное), а каждое полушарие на однотипные

Для дальнейшей дискретизации предложено отображать «большой» сфериче 218 ский треугольник на плоскость в гномонической проекции и дискретизировать

его отображение одинаковыми «малыми» треугольниками заданного размера. В результате такого преобразования упрощается алгоритм поиска номера ко нечного элемента по координатам точки. Разработан также алгоритм определе ния номера слоя, в котором располагается точка. В качестве конечного элемента выбрана усеченная треугольная пирами да. Её размеры и форма могут варьироваться, что позволяет гибко аппроксими ровать форму земной поверхности. Если использовать такие конечные элемен ты напрямую, то для каждого элемента пришлось бы определять свои базисные

функции, зависящие от координат узлов и хранить их. Поэтому введены в рас смотрение субпараметрические конечные элементы, в которых базисные функ ции для всех элементов одинаковые, хотя возникают неудобства при пересче тах координат и производных от возмущающего потенциала из общеземной

системы координат в субпараметрическую систему и обратно. Формулы преобразования координат и производных внутри конечного

элемента осуществляют отображение усеченной треугольной пирамиды в стан дартную треугольную призму. Однако основной причиной введения стандарт ных по форме субпараметрических конечных элементов явилось то, что они

позволили получить формулы для вычисления объемных и поверхностных ин тегралов численным методом Гаусса. Для упрощения решения краевой задачи первые производные от возму щающего потенциала на внутренней границе спутникового шарового слоя

предложено определять отдельно. Спутниковый слой, также как и вся область

определения, делится на усеченные треугольные пирамиды (конечные элемен ты). В диссертации получены уравнения связи спутник-спутниковых и спутни ковых градиентометрических измерений с определяемым возмущающим по тенциалом в узлах конечных элементов и сделан вывод параметрических урав нений поправок. Для определения граничных условий на земной поверхности были полу чены уравнения Лапласа в криволинейной геодезической системе координат и в системе плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера и геодезиче ской высоты. Представлена методика определения возмущающего потенциала

внутри нивелирного полигона методом конечных разностей и методом конеч ных элементов по спутниковым, гравиметрическим и градиентометрическим

измерениям. Для определения конечно-элементной модели ГПЗ по заданному разло жению геопотенциала тяготения в ряд по шаровым функциям, в качестве ис ходных взяты формулы Пайнза, не имеющие особенностей на полюсах. Они

были модифицированы в части рекуррентных формул для вычисления аналога

нормированных присоединенных функций Лежандра. Для вычисления нор мального потенциала силы тяжести была использована формула

Молоденского М.С. Путем дифференцирования этой формулы по прямоуголь ным координатам найдены выражения для вычисления первых и вторых произ водных. В результате получены формулы, которые позволяют по заданным

моделям ГПЗ вычислять возмущающий потенциал в узлах конечных элементов

и создавать конечно-элементные модели гравитационного поля Земли. Цель исследований достигнута - разработана методика определения ко нечно-элементной модели ГПЗ по разнородным спутниковым и наземным из мерениям, а также по уже существующим разложениям геопотенциала в ряд по

шаровым функциям.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Елагин, Александр Викторович, Новосибирск

1. Кабан, М. К. Новые возможности гравитационного моделирования с использованием данных спутников CHAMP и GRACE Текст. / М. К. Кабан, К. Райгбер//Физика Земли.-2005. -№ 11. -С. 101-109.

2. Forsberg, R. Arctic gravity project Text. / R. Forsberg, S. Kenyon // IUGG99: XXII General Assembly of the International Union of Geodesy and Geophysics, Birmingham, 19-24 July, 1999: Abstr. Week A. Birmingham. 1999. P. A.47.

3. Sunkel, H. G + +. G + +Text. / H. Sunkel // VGI: Osterr. Z. Vermess. Und Geoinf. -2000. 88 ,№3, P. 169-172.

4. Balmino, G. New Space missions for mapping the Earth's gravity field Text. / G. Balmino // C. r. Acad. sci. Ser. 4. 2001. 2, № 9, P. 1353-1359.

5. Han, S.C. Efficient gravity field recovery using in situ disturbing potential observables from CHAMP Text. / S.C. Han, J. Christopher, C.K. Shum // Geophysical Research Letters. 2002. - Vol. 29. - No. 16. - P. 36/1-36/4.

6. Лисов, И. GRACE: работа началась Текст. / И. Лисов // Новости космонавтики. 2002. - 12, № 11. - С. 49.

7. Heb, D. Gradiometric mit GRACE. Teil I. Fehleranalyse kunstlicher Gradiometerdaten Text. / D. Heb, W. Keller // Z. Vermessungsw. 1999.124, № 5. -РЛ 37—144.

8. Tapley, B.D. The gravity recovered and climate experiment (GRACE): Abstr. 23rd Gen. Assem. Eur. Geophys. Soc., Nice, 1998 Text. / B.D. Tapley // Ann. Geophys. 1998. 16. Suppl.-P. 367.

9. Нейман, Ю.М. Модель цветного шума градиентометра миссии GOCE Текст. / Ю.М. Нейман, Л.С. Сугаипова // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. 2005. -№ 2. - С. 31-42.

10. Bruce, В. The Four Candidate Earth Explorer Core Missions: Reports for Mission Selection. Rept 1. Gravity Field and Steady state Ocean Circulation Mission Text. / B. Bruce. Noordwijk: ESTEC. 1999. 217. ESA SP. № 1233.

11. Van den IJssel, J. Simulation of GOCE gravity field recovery: Abstr. 24 Gen. Assemb. Eur. Geophys. Soc. includ. Symp. "Solid Earth Geophys. and Geod.", 1999 Text. / J. Van den IJssel, R. Koop, P. Visser // Geophys. Res. Abstr. 1999. 1. № l.P. 197.

12. Visser, P.N.A.M., The gravity field mission GOCE: a revolution for the geosciences Text. / P.N.A.M. Visser, R. Rummel, G. Balmino, H. Sunkel, J. Johannessen, M. Aguirre, P.L. Woodworth, C. Le Provost, C.C. Tscherning, R. Sabadini //

13. G International Symposium on Gravity, Geoid and Geodynamics 2000, Banff, July 31-Aug. 4,2000; GGG2000 Technical Program and Abstracts. Banff. 2000. 155.

14. Rummel, R. Gravitacios gradiometria: Eotvos Lorandtol a modern urkor-szakig Text. / R. Rummel // Magy. Geofiz. 2002. 43, № 4. P. 145-150.

15. Pail, R. GOCE gravity field processing strategy Text. / R. Pail, G. Plank // Stud. Geophys. Et geod. 2004. 48, № 2. P. 289-309.

16. Петровская, М.С. Методика использования спутниковой градиенто-метрии для изучения гравитационного поля Земли Текст. / М.С. Петровская // Космические исследования. 1999. -Т.З7, № 5. - С. 488-497.

17. Место малых космических аппаратов в решении задач Федеральной космической программы России Текст. / В.В. Алавердов, Б.В. Бодин, А.В. Головко, Г.Д. Голубев, А.Н. Мальченко // Космонавтика и ракетостроение. 2003. -2(31).

18. Медведев, П.П. Изучение топографической поверхности мирового океана Текст. / П.П. Медведев // Итоги науки и техники. Сер. Геодезия и аэросъёмка. М: ВИНИТИ, 1988. - Т.26. Проблемы морской геодезии. -С. 76-129.

19. Junkins, J. L. Investigation of finite-element representations of the geopo-tential Text. / J. L. Junkins // «А1АА Journal». 1976, 14, № 6. - P. 803-808.

20. Junkins, J. L. The finite element approach in gravity modeling Text. / J. L. Junkins, R. C. Engels // «Manuscr. Geod.». 1979, 4, № 2. - P. 185-206.

21. Парамзин, A.B. Разработка и исследование методов представления и уточнения параметров геопотенциала Текст.: Автореф. дис. канд. техн. наук / А.В. Парамзин. М.: МИИГАиК, 1984.

22. Грушинский, Н. П. Теория фигуры Земли Текст. / Н. П. Грушинский.- 2-е изд.,перераб. и доп. М.: Наука, 1976. - 512 с.

23. Молоденский, М.С. Основные вопросы геодезической гравиметрии Текст. / М.С. Молоденский // Тр. ЦНИИГАиК. 1945. - Вып.42. - С. 3-107.

24. Heiskanen, W. A. Physical Geodesy Text. / W. A. Heiskanen, H. Moritz.- W. H. Freeman and company, San Francisco and London, 1967.

25. Бровар, В. В. Теория фигуры Земли Текст. / В. В. Бровар, В. А. Магницкий, Б. П. Шимбирев; под ред. В. А. Магницкого. М.: Изд-во геодезической литературы, 1961. — 256 с.

26. Шимбирев, Б. П. Теория фигуры Земли Текст. / Б. П. Шимбирев. -М.: Недра, 1975.-432 с.

27. Антонов, В.А. Введение в теорию ньютоновского потенциала Текст. / В.А. Антонов, Е.И. Тимошкова, К.В. Холщевников. -М.: Наука, 1988.-272 с.

28. Власова, Е.А. Приближенные методы математической физики: учеб. для вузов Текст. / Е.А. Власова, B.C. Зарубин, Г.Н. Кувыркин. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 700 с. (Сер. Математика в техн. ун-те; Вып. XIII).

29. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация Текст. / О. Зенкевич, К. Морган; пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 318 с.

30. Бреббия, К. Методы граничных элементовТекст. / К. Бреббия, Ж. Теллес, JI. Вроубел; пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 524 с.

31. Бахвалов, Н. С. Численные методы Текст. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 2-е изд. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.- 632 с.

32. Годунов, С. К. Разностные схемы (введение в теорию) Текст. / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. -М.: Наука, 1977. 439 с.

33. Годунов, С. К. Уравнения математической физики Текст. / С. К. Годунов. -М.: Наука, 1971. 416 с.

34. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа Текст. / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. 5-е изд.,испр. - Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

35. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики Текст. / Г. И. Марчук. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1989. - 608 с.

36. Михлин, С. Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений Текст. / С. Г. Михлин, X. Л. Смолицкий. М.: Наука, 1965.-384 с.

37. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галёркина Текст. / К. Флетчер; пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 352 с.

38. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике Текст. / С. Г. Михлин. 2-е изд.,перераб. и доп. - М.: Наука, 1970. - 512 с.

39. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред Текст. / О. Зенкевич, И. Чанг; пер. с англ. М.: Недра, 1974.-240 с.

40. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст. / О. Зенкевич; пер. с англ. М.: Мир, 1975. - 541 с.

41. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред Текст. / Дж. Оден; пер. с англ. М.: Мир, 1976. - 464 с.

42. Деклу, Ж. Метода конечных элементов Текст. / Ж. Деклу; пер. с франц. М: Мир, 1976. - 96 с.

43. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов Текст. / Г. Стренг, Дж. Фикс; пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 349 с.

44. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов Текст. / JI. Сегерлинд; пер. с англ. М: Мир, 1979. - 392 с.

45. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов Текст. / Д. Норри, Ж. де Фриз; пер. с англ. М: Мир, 1981. - 304 с.

46. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными Текст. / Э. Митчелл, Р. Уэйт; пер. с англ. М.: Мир, 1981. -216с.

47. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы Текст. / Г.И. Марчук, В.И. Агошков. -М.: Наука, 1981. -416 с.

48. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов Текст. / К. Бате, Е. Вилсон; пер. с англ. М: Стройиздат, 1982.-448 с.

49. Сабоннадьер, Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР Текст. / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон; пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 190 с.

50. Шайдуров, В.В. Многосеточные методы конечных элементов Текст. / В. В. Шайдуров. М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1989. - 288 с.

51. Fredholm, I. Sur une classe d'equations fonctionelles Text. /1. Fredholm // Acta Math. 1903. No. 27. - P. 365-390.

52. Пеллинен, Л. П. Физическая геодезия Текст. / Л. П. Пеллинен, Ю. М. Нейман // Итоги науки и техники. Сер. Геодезия и аэросъемка. М.: ВИНИТИ, 1980.-Т.18.-132 с.

53. Bjerhammar, A. On the discrete boundary value problem in physical geodesy Text. / A. Bjerhammar // «Proc. Symp. Earth's Gravit. Field and Secul. Variat. Posit. Syndey, 1973». Sudney. 1974. - P.475^88.

54. Bjerhammar, A. Discrete approaches to the solution of the boundary value problem in physical geodesy Text. / A. Bjerhammar // «Boll. Geod. E sci. affini». -1975, №2.-P. 185-240.

55. Bjerhammar, A. A review of discrete methods in physical geodesy Text. / A. Bjerhammar // «Approximation Methods in Geodesy», ed. H. Moritz, H. Sunkel. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe. -1978.

56. Мориц, Г. Современная физическая геодезия Текст. / Г. Мориц; пер. с англ. М.: Недра, 1983. - 392 с.

57. Мещеряков, Г. А. Задачи теории потенциала и обобщенная Земля Текст. / Г. А. Мещеряков. М.: Наука, 1991. - 216 с.

58. Елагин, А. В. Методика определения трёхмерной конечно-элементной модели гравитационного поля Земли Текст. / А. В. Елагин // Геодезия и картография. 2007 . - № 7. - С. 37-41.

59. Вахрамеева, JI. А. Картография Текст.: учебник для вузов / Л. А. Вахрамеева. М.: Недра, 1981. - 224 с.

60. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов Текст. / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука, 1986. -544 с.

61. Будак, Б. М. Кратные интегралы и ряды Текст. / Б. М. Будак, С. В. Фомин. 2-е изд. - М.: Наука, 1967. - 608 с.

62. Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов Текст. / В. И. Крылов. 2-е изд., доп. - М.: Наука, 1967. - 500 с.

63. Абрамович, М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами Текст. / М. Абрамович, И. Стиган; пер. с англ. М.: Наука, 1979. - 832 с.

64. Хейгеман, JT. Прикладные итерационные методы Текст. / J1. Хейгеман, Д. Янг; пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 448 с.

65. Кужелев, С. В. Алгоритм вычисления частных производных первого и второго порядков от геопотенциала по координатам ИСЗ Текст. / С.В. Кужелев // Изв.* вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1982. - №5. - С. 79-86.

66. Кужелев, С. В. Разработка и исследование алгоритмов построения и оценки точности спутниковых траекторий в орбитальном методе космической геодезии Текст. : Автореф. дис. . канд. техн. наук / С.В. Кужелев. Новосибирск: НИИГАиК, 1983. - 24 с.

67. Программа прогнозирования движения геодезических искусственных спутников Земли Текст. / Ю. В. Сурнин, С. В. Кужелев, В. А. Ащеулов, Ю. В. Дементьев // Наблюдения искусственных спутников Земли. София, 1978.-№16.-С. 154-174.

68. Сурнин, 10. В. Модели движения ИСЗ и точность численного прогнозирования орбит Текст. / Ю.В. Сурнин, С.В. Кужелев // Геодезия и картография.-1982.-№10.-С. 8-13.

69. McCarthy, D.D. IERS Standards Text. / D.D. McCarthy (ed.) // IERS Technical Note 13, Observatoire de Paris, July, 1992.

70. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Текст. / В. К. Абалакин, Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников и др. 2-е изд., доп. и перераб. - М.: Наука, 1976. - 864 с.

71. Урмаев, М. С. Орбитальные методы космической геодезии Текст. / М. С. Урмаев. М.: Недра, 1981. - 256 с.

72. Everhart, Е. Implicit sincle sequcuce methods for integretingorbits Text. / E. Everhart // Celestial Mechanics, 1974,10. - P. 35-56.

73. Пайнз, С. Представление потенциала поля тяготения и его производных, свободное от особых точек Текст. / С. Пайнз // Ракетная техника и космонавтика. 1973. - Т.2, №Ц. С.65-69.

74. Эльясберг, П. Е. Определение движения по результатам измерений Текст. / П. Е. Эльясберг. -М.: Наука, 1976. 416 с.

75. Жданюк, Б. Ф. Основы статистической обработки измерений Текст. / Б. Ф. Жданюк. М.: Сов. радио, 1978. - 384 с.

76. Чарный, В. И. Об изохронных производных Текст. / В. И. Чарный // Искусственные спутники Земли. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - Вып. 16. -С. 226-237.

77. Суханов, А. А. Об изохронных производных невозмущённого движения Текст. / А. А. Суханов. М.: ИКИ АН СССР, Препринт, 1989.

78. Телеганов, Н. А. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем: учеб. пособие Текст. / Н. А. Телеганов, А. В. Елагин. Новосибирск: СГГА, 2004.-238 с.

79. Медведев, П. П. Глобальные космические навигационные системы (геодезическое использование) Текст. / П. П. Медведев, И. С. Баранов // Итоги науки и техники. Сер. Геодезия и аэросъёмка. М: ВИНИТИ, 1988. - Т. 29. -160 с.

80. Нейман, Ю. М. Вариационный метод физической геодезии Текст. / Ю. М. Нейман. М.: Недра, 1979. - 200 с.

81. Торге, В. Гравиметрия Текст. / В. Торге; пер. с англ. М., Мир, 1999.-429 с.

82. Гиенко, Е. Г. Определение уклонения отвесной линии и астрономических координат по наземным и GPS-измерениям Текст. / Е. Г. Гиенко, А. В. Елагин // Вестник Сибирской государственной геодезической академии. -Новосибирск, 2000.-Вып. 5.-С. 16-19.

83. Елагин, А. В. Применение метода конечных элементов для решения краевой задачи теории потенциала внутри нивелирного полигона Текст. / А.В. Елагин // Вестник Сибирской государственной геодезической академии. -Новосибирск, 2005.-Вып. 10.-С. 25-30.

84. Елагин, А. В. Методика определения конечно-элементной модели гравитационного поля Земли по спутниковым и наземным измерениям Текст. / А. В. Елагин // Вестник Сибирской государственной геодезической академии. -Новосибирск, 2006. Вып. 11. - С.46-52.

85. Zhong, D. Robust estimation and optimal selection of polynomial parameters for the interpolation of GPS geoid heights Text. / D. Zhong // Journal of Geodesy / Springer-Verlag. 1997, №71. - P.552-561.