Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Математическое моделирование процессов структурообразования в биологических и химических системах

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование процессов структурообразования в биологических и химических системах"

РГЗ од

Л ]''. Ъ'-'.'Д

С. ¿4 ^ ' ^ » Ч* V*

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П.Н.ЛЕБЕДЕВА

На правах рукописи УДК 577.3

ПОЛЕЖАЕВ Андрей Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СТРУКТУРООЕРАЗОВАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ И ХИМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

(03.00.02 - Биофизика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 1993

Работа выполнена в Отделении теоретической Знзики Физического института им. П.Н.Лебедева РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Э.М.Трухан

доктор физико-математических наук Ы.А.Лившиц

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Твардислов

Ведущая организация: Институт химической физики вы. Н.Н.Семенова РАН

Защита состоится г. в/5"3очзсов на

заседании Специализированного Совета Д 0o3.05.53 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, Биофак).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке биологического факультета МГУ.

Автореферат разослан " /3" Но^др^ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

док.Онол.наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теиы. Проблема формообразования возникает при изучении процессов различной природа: физических, химических, биологических, социальных. Она особенно актуальна в биологии, так как представляет собой ключевую проблему биологического морфогенеза и роста и развития многоклеточных систем. До последнего времени объяснение морфогенетических явлений базировалось на стандартном подходе, берущем свое начало с классической работы Тьюринга, где было показано, что неустойчивости в реакционных и диффузионных системах могут породить пространственные структуры.

В множестве исследований было продемонстрировано, что этот механизм лежит в основе поведения целого ряда физических и физико-химических систем: стратификация газового разряда, ячейки Бенара в слое неравномерно прогретой жидкости, расслоение в системе Белоусова-Жаботинского и др.

В биологических системах идея Тьюринга о том, что морфоген-етические события являются следствием формирования диссзшативвой стационарной структуры химическими веществами, диффундирующими и реагирующими между собой, нашла свое развитие в ряде конкретных моделей: морфогенеза гидры, разметки шкур животных, раскраски раковин моллюсков и др. Эти модели, несмотря на их популярность и интенсивную разработку, экспериментального подтверждения не нашли. И в последнее время они вызывают к себе все более скептическое отношение прежде всего потому, что весьма слозвой задачей, оказалость создать реальную химическую систему, формирующую тью-ринговские структуры. По-существу, это было сделано лишь недавно в хлорид-иодид-малоновой реакции. В последнее десятилетие полу-

чили развитие механические и механо-химические модели морфогене-тических процессов , которые, имея ту же математическую форму, отличаются от химических моделей тем, что переменными являются не концентрации (или не только концентрации), но и механические свойства тканей, такие как напряжения, деформации и др. Они были предложены для объяснения мезенхимных морфогенезов, морфогенезов клеточных пластов, морфэгеназа костной ткани при образовании конечностей.

Следует подчеркнуть, что как химические, так и механические модели - это модели образования диссипативных структур. Это, во-первых, означает, что мы имеем дело с постоянным протоком энергии и/или вещества через систему, а, во-вторых, структура, т.е. устойчивое неоднородное распределение, образуется в результате бифуркация потери устойчивости однородного начального распределения. Однако, такой подход представляется довольно узким, поскольку во многих реальных примерах биологическое формообразование не вписывается в эту схему, так как начальное однородное состояние не теряет устойчивости, в формирующаяся структура, по-существу, не является диссипативной. Причиной формирования макроскопической структуры здесь является специфический характер перехода от однородного к неоднородному состоянию. Таким образом, в этих случаях конечная макроскопическая структура не может быть получена, как в тыршговских системах, поиском устойчивых стационарных решений модели, а необходимо'исследовать кинетику перехода системы к новому состоянию (которое, как правило, находится в безразличном равновесии). Примеры таких.процессов мояно найти не только в биологии, но и в химии, например, структуры, образующиеся при выпадении химического вещества в осадок (стру-

ктуры Лизеганга). В биологии к этим процессам относятся процессы формообразования в бактериальных системах и процесс сегментации презумптивной мезодермы (образования продольной периодической структуры) у позвоночных.

Модели таких нетысринговских систем, несмотря на широкое распространение последних, особенно" з биологии, до сих пор разрабатывались очень слабо,, и работа над ними представляется весьма актуальной и важной.

Целью работы является разработка подходов к моделированию процессов структуроооразования в нетыоринговских системах. Ставится задача построить и проанализировать модель, объясняющую формирование упорядоченных структур в бактериальных системах, модель, описыващую механизм возникновения продольной периодической структуры на раннем этапе онтогенеза у позвоночных, модель формирования макроскопических структур при выпадении осадка из раствора, модель формирования структуры ионными каналами на поверхности клеточной мембраны. Кроме того, ставится задача исследовать некоторые аспекты моделей тызринговского типа, а именно, возможность сведения многомерных моделей к относительно простым базовым моделям, условия существования и устойчивости неоднородных стационарных решений моделей контрастных диссипативных структур, особенности достройки диссипативвых структур в результате локального начального возмущения.

Научная новизна. Предложена классификация открытых нелинейных самоорганизующихся систем. Сформулированы критерии, позволившие выделить новый класс объектов, в которых упорядоченные пространственные структуры формируются по нетьринговскому

механизму, когда их возникновение связано не с неустойчивостью начального однородного состояния, а обусловлено неустойчивым характером перехода в новое неоднородное состояние. На основе анализа особенностей формообразования в конкретных биологических и химических системах выделены их общие закономерности и сформулированы условия, при выполнении которых система способна формировать нзтьюринговские пространственные структуры. Установлены механизмы отбора 'пространственной моды при формировании как тью-ринговских, так и нзтьюринговских структур. С помощью разработанных методов математического моделирования процессов формообразования выявлены механизмы возникновения упорядоченных пространственных структур в бактериальных системах, в ходе сегментации- у позвоночных, ионными каналами на поверхности клеточной мембраны, дри выпадении химического вещества в осадок из раствора.

Научная и практическая ценность диссертационной работы обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших теоретических исследованиях процессов самоорга-• низации в биологических и химических системах.

Предложенная в работе модель зтруктурообразования в бактериальных системах может найти применение в микробиологии для

разработки методов определения штаммов бактерий по характеру

■ ' . - у

образуемых ими структур, для исследования эффективности действия антибактериальных препаратов. Помимо самостоятельного интереса эта модель, описывая эволшионно наиболее раннюю многоклеточную систему, может дать ключ к пониманию морфогенетических процессов в эволвдонно более молодо системах, которыми являются высшие организмы. ■

Модель сомитогенеза у позвоночных дает ответ на вопрос о движущих силах процесса возникновения продольной периодичности, которая имеет принципиальное значение для формирования позвоночного столба и аксиальных мышц.

Апрбзция работы. Результаты работы докладызались на семинарах и научных конференциях Физического института РАН, Института биологии развития РАН, Института молекулярной биологии РАН, Института биофизики РАН (г.Пущино), Московского Государственного университета', Макс-Планк-Института физиологии питания (г.Дортмувд, 1991, 1992), Уэльского университета (г.Карда®, 1991), Гейдельбергского университета (1992), а также на Международной школе "Математическое моделирование клеточных процессов" (г.Эльбингероде, ГДР. 1984), на Всесоюзном совещании по самоорганизации в физических, химических и биологических системах "Синергетика - 86" (г.Кишинев, 1986); на рабочем совещании "Теоретические и математические проблей* морфогенеза и диф$ерен-цировки" (г.Махачкала, 1987), на мездяародном симпозиуме "Математические модели клеточных процессов" (Хольцхау, ГДР, 1989), на международном симпозиуме "Волны и структуры ъ биологических и химических возбудимых средах (Синергетика - 90)" (г.Пущино,

1990), на I Европейской конференции по применению математики в биологии и медицине (г.Гренобль, 1991), на рабочем совещании "Теоретические и математические проблемы морфогенеза" (г.Пущино,

1991), на международном рабочем совещании "Математическое моделирование в физике, химии и биологии" (г.Гейдельберг, 1992), на II Меадународном биофизическом конгрессе (г.Будапешт, 1993), на Международном симпозиуме "Математические теории биологических процессов" (г.Калининград, 1993).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 .печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация .состоит из введения, шести глав, заключения, выводов и списка цитируемой литературы, вхлкяавдего .199 названий. Общий объем работы - 195 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность теш диссертации, сформулированы задачи исследования, обсувдекы новизна и ценность полученных результатов.

Глава I. Проблема структурообразования в живой и неживой природе. Лается обзор основных типов структур, наблюдаемых в однородных активных средах, приведены примеры автоволновых процессов, имеющих место в твердых телах, в гидродинамических, химических, биологических системах. Обсуждаются теоретические подходы к объяснению морфогенетических процессов и связанные с этим проблемы.

Глава 2. Моделирование формщ зания стационарных пространственных структур в бактериальных системах. На основании анализа экспериментальных данных формулируется математическая модель межклеточной регуляции в бактериальной .системе, объясняющая формирование пространственных структур бактериями в различные экспериментальных условиях.

Б {¡2.1 дал обзор описанных в литературе данных о формировании упорядоченных пространственных структур в бактериальных системах при различных экспериментальных условиях, а именно,

стационарных кольцевых структур в колониях подвижных бактерий е. coli и Proteus, кольцевых структур иммобилизованными бактериями s. typbimirium, полос повышенной плотности в одномерной стабилизированной гелем системе бактерий в. cereus.

В §2.2 сформулирована общая модель межклеточной регуляции в бактериальной системе, приводящей к образованию макроскопических пространственных структур. Модель исходит из следующих предположений:

1. Есть по крайней мере два дифференцированных состояния бактериальных клеток. Мы их будем называть вегетативной формой (ВФ) и анабиотической формой (АФ).

2. В процессе образования пространственной ' структуры существенную роль играют взаимные переходы мевду этими двумя формами бактерий. Конечная структура сформирована анабиотическими бактериями.

3. Для механизма образования пространственных структур существенным является зависимость состояния бактерий от концентраций некоторых химических веществ.

4. Критические концентрации химических факторов для прямого и обратного переходов могут не совпадать» т.э, может быть гистерезис, и клетка может откликаться на изменение концентраций в среде не сразу, а с некоторой задержкой, litt учитываем в модели обе эти возможности.

В общем виде модель имеет следущий вид:

-§f- A(X.S)X - Bl(sr.mx)x + B2(sz,тт)у + V(DJx,y)Vx)

- уравнение для плотности ВФ-бактерий; -§£- VWX - B2(Vn,t>y

- уравнение для плотности АФ-бактерий;

— » -G'X,s) + D

___----------- ______

- уравнение для концентрации субстрата;

F(х,т) + вЛп

- уравнение, для концентрации продукта;

где л(х,в) - функция скорости деления бактерий,

g(k,s) - функция, описыващая потребление субстрата, F(x,m) - функция, описыващая производство продукта и, еозмокно, его распад.

В функциях в, и в2, описывающих перехода бактерий из ВФ в АФ и обратно, учтено запаздывание to в отклике клеток на изменение концентраций s и га, что символически показано с помощью нижнего индекса т. Последний член в правой части первого уравнения огщсываег хаотическое движение бактерий.

В последующих параграфах данной главы продемонстрировано, как модель (I) объясняет образование пространственных структур бактериями при различных экспериментальных условиях.

§2.3 посвящен объяснению формирования кольцевых структур подвижными бактериями. В данном случае практически отсутствует обратный переход анабиотических клеток в вегетативную форму, т.е. Bjsx,mz) = о, и, следовательно, гистерезис проявится не может. Главным фактором, влияющим на образование структур, является задержка в отклике клеток на изменение концентраций продукта. Кроме того, поскольку формирование структуры происходит на фронте колонии, где субстрата достаточно, его концентрация не влияет на ход процесса. Таким образом, мы можем исключить из модели уравнение да концентрации субстрата.

Рис Л, Кинетика формирования пространственных структур подвижными бактериями. Показаны распределения вегетативных, клеток (—_), анабиотических клеток (—) и медиатора (•••) в четыре последовательных момента времени: (а) т = 19,6; (ь) Г = 23,6; (с) Г = 24,6; (а) т = 25,6; (в) окончательное распределение анабиотических клеток.

Задача решалась численно и аналитически в радиально-симмет-ркчном случае. На рис Л дана результаты численного счета. Показано, что процесс роста колонии представляет собой пульсирующую волну движения и деления бактерий, оставляющую позади себя концентрические кольца высокой плотности агрегатов анабиотических клеток. Получены аналитические оценки для • расстояния между кольцами, временного периода и скорости роста колонии.

В §2.4 показано, как модель (I) описывает появление кольцевых структур в системе иммобилизованных бактерий после внесения в центр чашки Петри недостающего субстрата. Модель, в которой были учтены специфические экспериментальные условия, исследовалась численно в радиально-симметричном случае. Численный счет был дополнен аналитическими оценками, где было показано, что:

1. Кольцевая структура образуется не при любой скорости движения фронта деления, а при достаточно малой, а именно, когда она меньше величины. 2 • а - с'/г- (2а+$), где а -удельная скорость распада продукт?. В противном случае будет наблюдаться сплошное зарастание.

2. Расстояние между кольцами не зависит от скорости движения фронта деления и определяется таким же выражением, .что и в модели для подвижных бактерий: дя » г-л-с"2- (2А+5)-ьо.

3. Однако, от скорости движения фронта деления зависит контрастность колец, т.е. отношение плотностей клеток в области колец и мевду ними; а именно, кольца тем контрастнее, чем меньше скорость.

Таким образом, модель следующим образом качественно описывает формирование структуры неподвижными бактериями: сразу после подачи субстрата начинает расти сплошной диск плотности

клеток. Затем, когда скорость движения фронта деления упадет ниш критической величины, станут появляться кольца. По мере увеличения колонии они возникают все медленнее, но становятся более контрастными. В какой-то момент рост колонии прекращается из-за недостатка субстрата.

В 52.5 с помощью модели (I) объясняется появление полос повышенной плотности бактерий в объемных стабилизированных гелем системах при наличии встречных градиентов субстратов'. В данном случае определяющую роль играет гистерезис в переходах между различными состояниями клеток.

В §2.6 построена и проанализирована модель, описывающая возникновение квазипериодической пространственной структуры в модели агрегации делящихся подвижных клеток, обладащих хемотаксисом. Модель является модификацией известной модели Келлера-Сегела и имеет вид:

.й-. сС ♦ _»[.2£.- с

ас * аг аг к аг

о - е - -ч + .

эга

Г € {О £],

где е - плотность бактерий, а п - концентрация хемоаттрактанта.

Показано, что существует пространственная мода, которая первой достигает достаточно большой (порядка единицы) амплитуда. Ее длина определяется не размерами области, а внутренними параметрами системы. Данная модель, дополняющая модель (I), дает ключ к объяснению сложных пространственных структур в бактериальных системах, наблюдавшихся в экспериментах.

Глава 3. Модель механизма сегментации у позвоночных. После краткого обсуждения особенностей процесса сегментации -s позвоночных, важнейших относящейся ,к нему экспериментальных данных (§3.1), в также существующих мэделей (§3.2), предложена новая феноменологическая модель механизма периодической пространственной. разметки презумппашрй мезодермы позвоночных, согласующаяся с известными экспершевталъными данными. Модель исходит из следующих предположений:

I. Мезодермэльная клетка, приобретшая потенцию к переходу в

'j'f

поляризованное состояние благодаря проходу волны детерминации к сомитогенезу, переходит в чего на определенной стадии своего клеточного цикла, Митогоческие циклы меэо-дермальных клеток не синхронизованы. г. Первично поляризованные клетки ("очаги поляризации" - ОН) выделяют в среду некое вещество, препятствующее переходу других ыезодермальных клеток в доляризованное состояние (назовем это вещество ингибитором). 3. Мезодермальнвя клетка, ■ потенциально способная поляризоваться, - перейдет в поляризованное состояние, если концентрация ингибитора в ее окрестности не превышает определенной критической величины. При этом она реагирует на изменение концентрации ингибитора с некоторым запаздыванием. .Следует подчеркнуть, что в данном случае речь идет о спонтанной поляризации клеток, а не о контактной' поляризации, которой ингибитор, как предполагается, не препятствует. Математическая модель, основанная на эт^х предположениях, имеет вид: '

аа _ яо

ка - <о> +

Здесь а - плотность ОП, ь - концентрация ингибитора.

После обезразмеривашш переменил и небольших преобразований модели (3) получаем

аа Эт

в(их-р) в[*0-"Г.[ в~1Р~Р'10р']. (4)

Как аналитическое, так и численное исследование модели (4) показывает, что в достаточно широкой области параметров *0 и V уравнение (4) описывает периодическое распределение а(р) после прохождения кинематической волна. Были определены условия, при которых уравнение (4) описывает образование периодической структуры,

*о * Т-Г"' (5)'

и получены оценки для величины периоде;

£ « ш[1 + 1/(4*0))] (6)

В §3.4 продемонстрировано, как модель объясняет синхронность процессов сомитогенеэа в параллелных сегментных пластинках, исходя из гипотезы о диффузионной связи через среду по ингибитору.

Модель (4), как было продемонстрировано в §3,5, естественным образом объясняет экспериментальные результаты по кратковременному тепловому шоку, приводящему к возникновению периодических повторяющихся аномалий в продольной структуре. Причине этого эффекта возможно в том, что тепловой шок мояет частично синхронизовать циклы деления мезодермальных клеток, что приведет

к неравномерности их перехода в поляризованное состояние с характерным периодом клеточного цикла (- 10 часов), а это в свою очередь вызывает появление наблюдаемых аномалий.

Глава 4. Моделирование образования упорядоченных структур (структур Лизеганга), возникающих при выпадении вещества в осадок из раствора. После обзора экспериментальных данных по образованию осадочных структур и обсуждения существующих подходов к теоретическому объяснению этого явления (§4.1), в §4.2 формулируется общая модель структур Лизеганга, учитывавдая как зависимость зарождения твердой фазы и кинетики роста частиц от величины пересыщения, так и перераспределение вещества между частицами разных размеров.

В §4.3 построена и проанализирована упрощенная феноменологическая модель структур Лизеганга, в которой вместо непрерывной функции распределения частиц по их размерам используется дискретное распределение. В простейшем случае - это частица только двух размеров: малые и большие. Малые часиивд (зародыши) способны возникать непосредственно в растворе соли, если ее ковцвн-: , л • трация с превышает некоторую критическую величину с3, т.е. этим самым мы учитываем процесс образования зародышей. Кроме того, зародыш способны расти, если с превышает некоторую величину са, и тогда они переходят в большие частицы (просто частицы). Если же с < са> то зародыши растворяются. Частицы же образуются в ' результате роста зародышей и сами могут расти, если с > с . Обозначим через р среднюю плотность твердой соли, приходящейся на зародыши (среднюю плотность можно представить как произведение плотности числа частиц на количество вещества в каждой из них), р - средняя плотность вещества в крупных частицах. Модель

имеет вид:

~- -haЬ + D Аа, ос »

-§r- -kab + vb<

- ^(с) - г2(с) р - гз(с) р, (7)

-ff - р + гt(c) р,

-|f - каЬ - г, (с) + гг(с) р - rt(c) р + DcAc .

Здесь к - скорость образования зародышей, г - скорость растворения зародышей,

г3- скорость роста зародышей и их перехода в (большие) частицы,

vt- скорость роста больших частиц. Все гх - монотонные функции концентрации с' Анализ модели (7) в одномерном случае показал, что она способна описывать неоднородные пространственные структуры. Исследована зависимость пространственного и временного периодов структуры от парамеров модели, а также качественно, объяснении особенности структур, получаемых в экспериментах.

В §4.4 аналитически показано, что модель (?) способна объяснить наблюдаемые в эксперименте спиральные осадочные структуры. Получены условия, выполнение которых необходимо для формирования таких структур.

В §4.5 описаны численные эксперименты для модели (7). При этом продемонстрировано, что модель объясняет возникновение не только простых структур, таган как полосы осадка в пробирке или кольца в чашке Петри, но н более сложных, таких как радиальные

дислокации в структуре колец, спиральные структуры, структуры типа "колец Сатурна", структуры при равных начальных концентрациях исходных веществ. На рис. 2 представлен результат численного счета для случая одномерных структур осадка в пробирке.

Отмечается определенная ограниченность модели (7), связанная с тем, то она учитывает зависимость зарождения твердой фазы и скорости роста твердых частиц от величины пересыщения, но практически пренебрегает последующими событиями, а именно перераспределением вещества между частицами. Таким образом, она легко объясняет упорядоченные структуры, обусловленные прохождением волны пересыщения, во оказывается неспособной объяснить структуры. формирующиеся в далнейшем в результате парекристалиэации.

Глава 5. Исследование модели формирования ионными каналами пространственных структур на поверхности клеточной мембраны. Фромгерц в 1988 г. предложил модель, описывающую электрические свойства клеточной мембраны, исходя из представлений о взаимосвязи транспорта биомолекул в мембране с динамикой ее электрического потенциала. Модель имеет вид:

гиеЪ д2ыеЛ па в { 8Г, 1

* -щ- ~ёх К^-зг- ]•

2 (8> «V , д Г , ч , „ ,

С-я?^ - 4- -Г- - в [г - £°| - Л .

где - плотность на единицу длины ионных каналов, ^ - электрический потенциал мемраны.

Однородное стационарное состояние характеризуется средне! плотностью ионных каналов м .определяемой их общим числом и

¡Рис.2. Числений эксперимент для случая одномерных структур осадка. (А) Пространственно-временная эволюция распределения осадка р. (В) Окончательное распределение р. Использовавшиеся .параметры: х. = юо на (400 точек); л - so; в = хо,- с - i,i; с -с,- 1,5; а - 2-10"г; е - 7 - Ю"г; 5 - 2-ю"3; D^» 9-10"'; 0-jj>- в-ló'6; íc - хо".4.

потому постоянной, и соотвбтсгвуодим значением мембранного потенциала :

л S + g ¡?

у ш . oh ch ch_m m

A H * в

ch ch a

Переходя к безразмерным переменным

w - К,- SJ ЪГ-' r • -ïrto' £'~ tDKc' Ç

Е° - е°

сЬ

получаем систему уравнений:

вы а*к ___а у _ а

aç* "

x(Rc)wt,

M")'

О)

цри этом -Щ- - » о для е -О, х;

где и - ; т - тсг/вл; 1 - икс/'2.

В §5.2 проведен линейный, а в §5.3 - нелинейный бифуркационный анализ модели (9). Показано, что существует область в про-странатве параметров в окрестности точки бифуркации потери устойчивости однородного распределения каналов, соответствувдая устойчивой квазигармонической диссипативной структуре, причем ее амплитуда пропорциональна квадратному корни отклонения бифуркационного параметра от критического значения.

Таким образом, показано, что несмотря на отсутствие в системе явно выраженного автокатализа и наличие лишь квадратичной нелинейности, в ней способна образовываться устойчивая диссипа-тиввая структура за счет сопряжения транспорта зарядов и макромолекул.

Глава 6. Некоторые, аспекты моделей дяссштативных структур в эеакционно-диффузионннх системах тыоркнговского типа. После осуждения основных особенностей моделей диссипативных структур и зпособов построения их решений, рассмотрено несколько конкретных задач.

В §6.2 исследована возможность сведения моделей диссипатив-. зых структур к относительно простой базовой форме. Важность этой гооблемы определяется тем, что если пытаться построить модель, «сходя из реальных механизмов процессов, протекающих в системе>; учитывая, например, все реально протекающие в пей элементарные химические реакции, то мы получим сложную многомерную модель. При этом возникает вопрос, а способна ли простая феноменологическая модель описать столь сложную систему? Иными словами, возможно ли, а если возможно, то когда, свести сложную многомерную модель к простой? В данном параграфе показано, что такая редукция допустима для доволно широкого класса систем, и сформулированы соответствующие условия. А именно, это возможно, когда в системе уравнений реакционно-диффузионного типа имеется иерархия характерных пространственных масштабов, а -также малый параметр, связанный с близостью системы к точке бифуркации.

В §6.3 выявлены условия, которым должны удовлетворять модели,- .имовдие в качестве решений стационарные контрастные диссипативные структуры пичкового типа. Для системы уравнений

- Р(х.У) +

г (10) *УХ - <2(х,у) + I. Ду, 1 « Ь,

они имеют вид

01*г(У).У]

--—— __> (11)

аг* (у), у] » -» ®

если изоклина ?(х,у) »о не имеет горизонтальной асимптоты, и

IQ(xJy).Y]\-=-+■ (12)

у - То

если изоклина Р(*,у) -о имеет асимптоту у - у0. Здесь хх(у) и х2(у) - корни уравнения Р(х,у) -о.

В §6.4 исследована устойчиюсть контрастных дассипативны структур пичкового типа. Они устойчивы! если

" Л, ~ < <13)

где а.о- максимальное собственное число оператора 1г<?/лгг+ рк, г\о" г\(°'°)* и rx(r,r-j - функция Грина оператора i}<?/dr' q~ гх. Условие (13) использовано для оценки устойчивости реше вий в конкретных моделях, в частности, для оценки минимально! возможного периода.

Рис.3. Достройка периодической ДС: t = 0, 6, 18, 30, 4 54. 72.

В §6.5 численно и .аналитически изучены особенности формирования контрастных диссипативных структур при локальных начальных возмущениях. Если при произвольных начальных условиях период формирующейся ДС лежит в довольно широких пределах, и может даже образоваться непериодическая (стохастическая ДС), то при локальном начальном возмущении, как здесь показано, формируется структура со вйолне определенным периодом. На рис.3 дан результат численного счета, показывающий, как происходит достройка ДС. Получены аналитические оценки для периода ДС и для скорости распространения волны достройки, как для общего случая, так и для конкретной модели ("Орюсселятор"), изучавшейся численно. При этом наблюдается хорошее соответствие мевду теоретическими оценками и результатами численного счета.

В заключении о общаются результаты, полученные в диссертационной работе. Отмечается, что главной задачей была разработка подходов к моделированю структурообразования в нетьюринговских системах. Нами предложены модели для трех таких систем: в первом случае макроскопическая структура формируется в бактериальной системе, во-втором - образуется продольная квазипериодическая структура на раннем этапе морфогенеза позвоночных, и, наконец,, макроскопическая структура возникает при выпадении в осадок вещества в результате реакции и диф$узии в химической системе.

Несмотря на все различие этих систем, процессы формообразования в них имеют много общего. Прежде всего, формирующиеся структуры не являются диссипативными, возникнув, они далее не требуют для своего поддержания протока вещества и/или энергии через систему. Во всех случаях процесс перехода в новое неоднородное упорядоченное состояние таеет характер волны, прока-*

тьшащейся по системе, оставляющей позади себя сформировавшуюся застывшую структуру. И если в тызринговских системах причина возникновения структуры заключена в неустойчивости однородного состояния, то во всех рассмотренных нами явлениях структура возникает как результат неустойчивости самих процессов перехода в новое состояние, т.е. процессов, протекающих на фронте волны.

Естественно, каждая из рассмотренных систем имеет свои особенности, которые учитывались в соответствупцей модели. Существенно, однако, что в каждой из них присутствует по крайней мэре одно из следувдих двух свойств: либо гистерезис, либо запаздывание в реакции системы на изменение внешних условий (для бактериальных систем необходимыми оказались оба этих свойства). По всей видимости, это далеко не случайно. Было показано, что в противном случае они просто не способны формировать макроскопические упорядоченные структуры. Именно благодаря гистерезису и/или запаздыванию процесс перехода в новое состояние приобретает неустойчивый колебательный характер.

Главным итогом работы является разработка общих подходов к описанию процессов структурообразования и классификации открытых нелинейных самоорганизующихся систем. Выделяются два основных класса систем: хьюринговские и ветьюринговские. Если первые образуют неоднородные пространственные структуры в результате бифуркации потери устойчивости однородного состояния,' причем пространственный масштаб этих структур практически является внутренним свойством системы, что проявляется, например, в дисперсионном соотношении, то для вторых ситуация качественно иная: пространственный масштаб структуры не является внутренним свойством системы, а возникает как результат специфического характе-

ра процесса формирования структуры. Следовательно, нетьюрингов-ские системы требуют разработки специальных методов, учитывающих прежде всего кинетику формообразования, что и было сделано нами.

Разработанные методы математического моделирования процессов структурообразования открывают новые возможности для объяснения возникновения пространственных структур в тех системах, которые ранее практически не рассматривались. Их главная осо-беннность - необходимость учета специфического характера взаимодействия образующих их элементов. Например, в биологических системах это может быть взаимодействие и взаимовлияние клеток как через общую среду, так и благодаря клеточным контактам, модифицирующим поведение отдельных клеток. При этом определяющим является характер реакции клеток на внешние сигналы.

Систем этого типа особенно распространены в биологии. Таким образом, разработанные здесь подхода могут оказаться наиболее перспективными для описания биологических и, в частности, морфогенетичеекпх процессов, где мекклеточные взаимодействия, возможно, имеют решающее значение для образования структур.

ВЫВОДЫ

I. Предложена классификация открытых нелинейных самоорганизующихся систем. Сформулированы критерии, позволяющие Быделить новый класс объектов, в которых упорядоченные пространственные структуры формируются по нетьюринговскому механизму, а именно, их возникновение связано не с потерей устойчивости однородного начального состояния, а обусловлено тем, что неустойчивость возникает в ходе самого перехода з новое

неоднородное состояние. Разработаны подхода к их математическому моделировании. На основе анализа конкретных биологических и химических систем определены общие закономерности процессов формообразования в объектах нетыоринговского типа. Сформулированы условия, выполнение которых необходимо для формирования ими упорядоченных пространственных структур, а именно, - это наличие запаздывания в реакции системы на регуляторные воздействия и/или гистерезиса в переходах между ее состояниями.

2. На основе иследования возможных механизмов отбора пространственной моды при формировании как тьюринговских, так и нетьюринговских структур показано, что в обоих случаях уникальный пространственный период возникает вследствие того, что структура образуется не одновременно во всем пространстве, а является результатом прохождения волны достройки, т.е. переключения из начального, однородного, в конечное, пространственно упорядоченное, неоднородное состояние. При этом для нетьюринговских систем существенную роль играет специфический характер взаимодействия между ее элементами.

3. Показано, что модель контрастных диссипативвых структур пич-кового типа ^ - р(х, у) + 1гь.х, ту4 - о(х,у) + х.гду.1 < £, имеет стационарное неоднородное периодическое решение.тогда и только тогда, когда выполняется условие

0[хг(у),у] Я[х (у).у)

ИЛИ \й[Х (у).уЦ —

у -» » у

где х1(у) и х3(у) - корни уравнения Р(х.у) -о, а у - у0 -асимптота изоклины р(х, у) «о при х -> «.. Оно устойчиво, если л и х - г. р (о ю (0)1 < о, где х- максимальное

О О АО у у X* ' О

собственное. число оператора 1г<?/агг+ р%, а гЛо» гх(о,о), и г* (г, г') - функция Грина оператора ьгс^/с1гг+ ау- та .

4. Построена модель механизма межклеточной регуляции в бактериальных системах, объясняющая образование стационарных пространственных структур как подвижными бактериями на полужидком субстрате, так и неподвижными бактериями в плотной среде. Структура формируется в результате прохождения по системе осциллирующей волны перехода из однородного в пространственно упорядоченное неоднородное состояние. Колебательный характер этой волны обеспечивается либо временной задержкой в отклике клеток на • внешние сигналы, либо гистерезисом в переходах между разными состояниями бактерий. Показано, что положительный хемотаксис к выделяемому бактериями аттрактанту приводит к ф0р,"ф0ванию ими более сложных (например, точечных) структур, наблюдаемых в эксперименте.

5. С помощью математической модели объяснен механизм возникновения периодической пространственной структуры в процессе сомитогенеза у позвоночных. Периодичность возникает вследствие взаимодействия волны детерминации клеток к сомитогенезу, движущейся вдоль оси зародыша, с митотическими циклами мезо-дермэльных клеток-. Принципиальную роль при этом играет задержка в реакции клеток на внешние сигналы.

6. С помощью феноменологической модели структур, возникающих при выпадении вещества в осадок в результате химической реакции (структур Лизеганга) показано, что не только простые структуры типа полос в пробирке или колец в чашке Петри, но и более сложные случаи - спиральные структуры, радиальные

дислокации, структуры типа "колец Сатурна", структуры, возникающие при равных начальных концентрациях исходных веществ,-определяются наличием зависимости скорости зарождения твердо! фазы и скорости роста частиц от величины пересыщения, npj этом перераспределение вещества между твердыми частицами ш играет существенной роли.

7. В результате исследования модели формирования ионными каналами пространственных структур на поверхности клеточной мем Ораны показано, что устойчивая дассшативная структура н клеточной поверхности способна образовываться за счет сопря яешя процессов переноса электрических зарядов и мэкро молекул.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. D.S.Chernavskii, E.K.Palamarchuk, A.A.Polezhaev, G.I.solja nlk, E.B.Burlakova. A mathematical model of period!« processes in membranes. BioSystems, 1977, v.9, p.187-193.

2. А.А.Полежаев, В.И.Волков, Д.С.Чернавский. О механизме сш хрошзации клеток. Препринт ФИАН МО, 1979.

3. D.S.Chernavskii, V.L.Eidus, A.A.Polezhaev. on kinetics i phase transitions in cell membranes. BioSyctens, 1981, v.l; p.171-179.

4. A.A.Polezhaev, E.l.VolKov. On the possible mechanism of ce cycle synchronization. Biol.Cybern. 1981, v.41, p.81-89.

5. D.S.Chernavskii, A.A.Polezhaev, E.I.Volkov. On the diff rencs in plasma membrane organization in normal and tun cells. Comments Mol.Cell.Biophys., 1981, v.l, p.159-169.

6. А.А.Полежаев. Методы упрощения и исследования некоторых ы делей в биофизика. Тезисы докладов i Всесоюзного биофизиче кого съезда. Москва, 1982, т.1, с.172.

7. D.S.Chernavskii, E.I.Volkov, A.A.Pol2haev, Cell surface i

cell division. Cell Biophys. 1982, v.4, p.143-161.

е. Г.Г.Еленин, В;В.Крылов, A.A.Полежаев, Д.С.Чернавский. Особенности формирования контрастных диссипативных структур. ДАН СССР, 1983, T.27I, С.84-89.

9. A.A.Polezhaev, D.S.Chernavskii, Th.W.Ruijgrok. On the reduction оt the dissipativa structures models to the basic form: Preprint Mo.265, Moscow, FIAN, 1983.

10. А.А.Полежаев. Об условиях существования контрастных диссипативных структур. Биофизика, 1984, т.29, с.465-469.

11. А.А.Полежаев. 1'сследовиние устойчивости контрастных диссипативных структур. Биофизика, 1984, т.29, с.654-659.

12. D.S.Chernavskii, A.A.Polezhaev. On the possibility of reduction of dissipative structures models to a simple form. BioSystems, 1985, V.18, p.185-192.

13. Е.О.Будрене, А.А.Полежаев, М.О.Птицин. Модель образования пространственно упорядоченных структур в колониях подвижных бактерий. Биофизла, 1986, т.31, с.866-870.

14. А.А.Полежаев. Условия существования и устойчивости контрастных диссипативных структур. Тезисы докладов Всесоюзного совещания по самоорганизации в физических, химических и биологических системах "Синергетика-86". Кишинев, "Штиница", 1986, с.23.

is. Е.О.Б у дрене, А.А.Полежаев, М.О.Птицин. Пространственно-временная самоорганизация в колониях бактерий. Тезисы докладов Всесоюзного совещания по самоорганизации в физических, химических и биологических системах "Синёргетика-86". Кишинев, "Штиница", 1986, с.88.

16. А.А.Полежаев. Математическое моделирование межклеточной регуляции, обусловливающей образование пространственных структур в колониях бактерий. Биофизика, 1987, т.32, с.333-336.

17. A.A.Polezhaev, D.S.Chernavskii. A model of pattern formation by precipitation. Preprint 10, Moscow, FIAH, 1988.

is. А. А.Полежаев. О возможности редукции систем обыкновенных дифференциальных уравнений с различными харктершмя времена-

ми. Краткие сообщения по физике ФИАН, 1987, №4, с.39-41.

19. E.O.Budriene, A.A.Polezhaev, M.O.Ptitsyn. Mathematical modelling of intercellular regulation causing the formation of spatial structures in bacterial colonies. J.theor.Biol., 1988, V.135, p.323-341.

20. A.A.Polezhaev, M.O.Ptitsyn. Phenomenological mechanism of the formation of spatial structures in colonies of bacteria. J.nonlin.Biol., 1990, v.l. p.63-76.

21. А.А.Полежаев, М.О.Птицин. Механизм возникновения пространственно-временной упорядоченности в бактериальных системах. Биофизика, 1990, т.35, с.302-306.

22. А.А.Полежаев, М.О.Птицин. Образование пространственных структур и дифференцировка в колониях бактерий. В кн.: "Аналитические аспекты дифференцировки" (ред.Е.В.Преснов, В.М.Маресин, А.И.Иванов), М.:Наука, 1991, с.167-181.

23. А.А.Полежаев, Р.А.Сабуров. Модель формирования ионными каналами пространственных структур на поверхности клеточной мембраны. Биофизика, -1991,-т.36, с.805-809.

24. O.S.Chernavskii, A.A.Polezhaev, S.C.KUller. A model of pattern formation by precipitation. Physica D, 1991, v.54, p.160-170. '

25. А.А.Полежаев. Альтернативные подхода к моделировании упорядоченных пространственных структур. Математическое

•моделирование, 1991, т.З, с.62-69.

26. A.A.Polezhaev, M.O.Ptitsyn. A model of pattern formation by bacterial systems. Adstracts of the 1st European Conference on Mathematics Applied to Biology and Medicine. Grenoble, 1991,p.342-344.

27. D.I.Sidelnikov, O.V.Gritsenko, A.P.Simonova.H.G.Rambidi, A.A.Polezhaev, D.S.Chernavsk i i. Nonlinear dynamics of the distributed biochemical systems functioning in the dissipa-tive structure formation mode. Biol.Cybern., 1992, v.63, p.53-62.

28. A.A.Polezhaev, M.O.Ptitsyn. Phenomenological mechanism of

the formation of spatial structures in colonies of bacteria. In.:"Biophysical Approach to Complex Biological Phenomena", ed.: E.Vollcov, Nova Science Publ.Inc., N.-Y., 1992, p.61-74.

29. A.A.Polezhaev. A mathematical model of the mechanism bf vertebrate somitic segmentation. J.theor.Biol., 1992, v.156, p.169-181.

30. A.A.Polezhaev. Non-Turing type pattern formation in biological systems. Abstracts of the 11th International Biophysics Congress. Budapest, 1993, p.105.

Подписано в печать I ноября 1993 года Заказ № 337. Тираж 100 экз. П.Л. 1,4 Отпечатано в РИИО $¿1/111 Москва, В-ЭЗЗ, Ленинский проспект,53