Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Компартментно-кластерное моделирование хаотической динамики непроизвольных движений человека

ВАК РФ 03.01.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Компартментно-кластерное моделирование хаотической динамики непроизвольных движений человека"

На правах рукописи

ДАЯНОВА ДИЯНА ДАМИРОВНА

КОМПАРТМЕНТНО-КЛАСТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ НЕПРОИЗВОЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ

ЧЕЛОВЕКА

03.01.02 - Биофизика (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сургуг-2014

4 ДЕК 2014

005556394

Работа выполнена в Государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа -Югры»

Научный доктор физико-математических наук, профессор

руководитель: ЕСЬКОВ ВАЛЕРИЙ МАТВЕЕВИЧ

Официальные ТИМАНИН ЕВГЕНИЙ МИХАЙЛОВИЧ,

оппоненты: доктор технических наук,

ФГБУН Институт прикладной физики РАН, отдел радиофизических методов в медицине, ведущий научный сотрудник

БАЛТИКОВА АНАСТАСИЯ АЛЕКСАНДРОВНА, кандидат физико-математических наук, ГОУ ВПО «Сургутский государственный педагогический университет», кафедра теории и практики управления, преподаватель

Ведущая ФГБОУ ВПО «Московский государственный

организация: университет имени М.В. Ломоносова», физический

факультет

Защита состоится 28.12.2014 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 800.005.02 при ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа -Югры» по адресу: 628400, г. Сургут, пр. Ленина, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа - Югры», по адресу: 628400, г. Сургут, пр. Ленина, 1, и на сайте университета: www.surgu.ru

Автореферат разослан Ж // ЛР/^г. Ученый секретарь диссертационного совета . Е.В. Майстренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Попытки построения детерминистских и стохастических моделей в изучении биомеханических процессов (в частности тремора и теппинга) неизбежно приводят к изучению возможности моделирования хаотической динамики и постурального тремора, и теппинга (Еськов В.М., 2013). В общем случае, возникает проблема идентификации и моделирования любых произвольных движений человека. Так, например, группа учёных университета в Стэнфорде (Churchland М.М., Cunningham J.P., Kaufman М.Т. et. al., 2012) показала хаотическую динамику любых движений (произвольных и непроизвольных). В общем, на данный момент биофизика сложных систем подошла к решению глобальных проблем произвольности и непроизвольности любых двигательных функций. Одновременно возникает проблема изучения возможности моделирования таких процессов качественно и количественно с помощью вектора состояния системы (ВСС) в многомерных фазовых пространствах состояний (ФПС), что приближает эту проблему к обычным физическим системам.

На сегодняшний день в традиционном детерминистско-стохастическом подходе (ДСП) отсутствуют эффективные модели, которые бы описывали хаотическую динамику поведения биомеханической системы (конкретно, постуральный тремор и теппинг) в различных режимах якобы произвольного управления. Также нет адекватных моделей других динамических систем в рамках ДСП с хаотической динамикой поведения (уникальных систем третьего типа (СТТ)). Другими словами, детерминистско-стохастические модели испытывают трудности для представления разнообразия регуляторных влияний мозга (нейросетей мозга) на динамику двигательных функций, например, постурального тремора (Хадарцев А.А., Филатова О.Е., 2012-2014). Отсутствие таких возможностей объясняется тем, что при этом описании и моделировании необходимо моделировать сам динамический хаос вектора состояния СТТ -x(t), с учетом того, что фазовые траектории этого вектора могут сходиться, расходиться и даже пересекаться в ФПС в пределах квазиаттракторов, что для детерминированного хаоса недопустимо. Тогда в рамках экспонент Ляпунова (с их расходящимися фазовыми траекториями) и на основе анализа автокорреляционных функций (A(tJ—>0) мы не можем представлять хаос СТТ. Он отличен от хаоса в физике, технике, химии и его нельзя моделировать уравнениями, он не описывается свертками и преобразованиями. Это другой хаос, других систем (не ДСП), о которых говорил М. Gell-Mann в известном сообщении по проблеме неопределённости для СТТ («Fundamental Sources of Unpredictability», 1997).

Таким образом, исследование хаотической динамики поведения сложных биомеханических систем с максимальной неопределенностью составляет фундаментальную задачу не только биофизики и биомеханики на современном этапе их развития, но и всего естествознания (Смолянинов В.В., 2010; Иваницкий Г.Р., 2011). В этом случае, речь идет о системах третьего типа,

отличных от ДСП-систем. Результаты таких исследований могут создать некоторую положительную динамику в дальнейшем продвижении методов теории хаоса и самоорганизации (ТХС) в биологических и медицинских науках, а также послужат дальнейшему развитию современной теории хаоса и самоорганизации. Это имеет огромное значение для естествознания и биофизики сложных систем, к которым относятся и биомеханические системы. В настоящем исследовании производится попытка соединения ДСП и ТХС, то есть детерминистских моделей (компартментно-кластерных) и хаотичных моделей (в виде квазиаттракторов), что и определяет актуальность работы.

Исходя из выше сказанного, целью настоящего исследования является доказательство возможностей математического компартментно-кластерного моделирования динамики непроизвольных движений человека (тремора) в условиях нормы и патологии и апробация разработанных моделей на экспериментальных данных.

В соответствии с целью были определены следующие задачи:

1. Доказательство реальных ограничений в возможности использования стохастического подхода при изучении постурального тремора в эксперименте и в изучении данных, полученных на компартментно-кластерных моделях и моделях хаоса в рамках многомерных фазовых пространств.

2. Выявить границы применения компартментно-кластерной теории биосистем при моделировании произвольности в организации постурального тремора на основе анализа чувствительности имитационной модели к изменению параметров драйва от первого кластера (нейросетей мозга), которые приводят модели к бифуркации рождения циклов. Изучить особенности этих бифуркаций и их переход в стационарный режим, представляющий ригидную форму болезни Паркинсона, как пример краткосрочной эволюции биосистем.

3. С использованием двухкластерной трёхкомпартментной модели выявить особенности возникновения хаотической динамики, представляющей паркинсонический тремор и его соотношение с произвольным движением (теппингом).

Научная новизна работы.

1. В эксперименте и при имитационном моделировании доказаны реальные ограничения в возможности использования стохастического подхода при изучении постурального тремора в живых системах и на модельных объектах.

2. Выявлены границы применения компартментно-кластерной теории биосистем при моделировании произвольности в организации постурального тремора.

3. Выявлены особенности возникновения хаотической динамики на моделях, имитирующих нормальный постуральный тремор и его переход в патологический тремор (начало болезни Паркинсона), а также переход патологического тремора в ригидную форму болезни Паркинсона, как пример быстро эволюционирующих биосистем в фазовом пространстве состояний.

4. Установлены возможности кластерного математического моделирования динамики патологического тремора при болезни Паркинсона и теппинга у здорового человека.

Научно - практическая значимость.

1. Идентифицируемые параметры квазиаттракторов тремора реальной биомеханической системы человека и модельной системы являются существенными диагностическими признаками и обеспечивают идентификацию различных функциональных состояний организма, оценку качества управления тремором (например, при прицеливании).

2. Разработанная программа для ЭВМ, обеспечивает идентификацию наиболее важных диагностических признаков (параметров порядка) с помощью нейроэмуляторов, что нашло применение в современной медицине (акт внедрения прилагается).

3. Разработанная вторая программа для ЭВМ, предназначена для персонифицирования матриц межаттракторных расстояний при внутригрупповом анализе. Программа уже используется в научных исследованиях и при создании диагностических систем в медицине (акт внедрения прилагается).

4. Разработаны методы идентификации сложных биофизических систем с хаотической динамикой поведения, которые позволяют проводить мониторинг населения и выявлять индивидуальные признаки их функциональных систем организма в целях профилактики заболеваний.

Внедрение результатов исследований. Разработанные методы и программные продукты прошли апробацию и внедрены на кафедре медико-биологических дисциплин Медицинского института ГОУ ВПО Тульского государственного университета, в НП Тульский территориальный научный центр Академии инженерных наук РФ, Научно-исследовательский институт новых медицинских технологий, а также в НУЗ «Отделенческая клиническая больница на станции Сургут ОАО «РЖД», о чем свидетельствуют акты о внедрении. Результаты исследований были использованы при подготовке студентов в Сургутском государственном университете, а также в лекционных курсах и практических занятиях по биофизике сложных систем, экологии человека, нервно-мышечной системе организма человека на Севере.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на

I Всероссийской конференции молодых учёных «Наука и инновации XXI века» (Сургут, 2012); на Всероссийской научной конференции «Нелинейная динамика в когнитивных исследованиях - 2013» (Нижний Новгород, 2013); на

II Всероссийской конференции молодых учёных «Наука и инновации XXI века» (Сургут, 2014); на Международной научной конференции «Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе» (Сургут, 2014), посвященной А.П. Чебышеву.

Декларация личного участия автора. Автор лично принимал участие в исследованиях по решению проблемы идентификации хаотической динамики поведения сложных биомеханических систем; в экспериментальном

доказательстве того, что в организации динамики поведения сложных биомеханических систем присутствует хаос, который дает суперпозицию с непрерывно изменяющимися частотами; в построении моделей нервно-мышечной системы организма человека, имитирующих различную динамику поведения при постуральном треморе; в анализе и синтезе имитационных математических моделей сложных биомеханических систем, на примере нервно-мышечной системы человека, находящихся в квазистационарных состояниях и при различных значениях коэффициентов диссипации b и внешних управляющих драйвов Ud\ в выполнении математической обработки результатов экспериментальных исследований.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе: 1 монография, 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, и 7 статей в других журналах, научных сборниках. Кроме этого, автор является соавтором 2 программ для ЭВМ. Перечень публикаций и свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ приведён в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 153 страницах машинописного текста и состоит из «Введения»; главы «Особенности хаотической регуляции двигательных функций человека в условиях постурального тремора», представляющей обзор литературных данных; 2-ой главы «Ограничения в возможностях стохастического анализа треморограмм», где исследовано свойство постоянного колебания любой биологической динамической системы (БДС); 3-й главы «Моделирование непроизвольных движений человека (тремора) в рамках компартментно-кластерного подхода», где приведены результаты авторского компьютерного моделирования, применяемого в настоящей работе; 4-й главы «Модели патологических режимов тремора при болезни Паркинсона на основе двухкластерных трёхкомпартментных систем», где описаны возможности математического моделирования эволюционирующих процессов в биосистемах с использованием двухкластерной трёхкомпартментной модели в описании быстро протекающей эволюции биосистем; «Выводов»; «Приложения». Библиографический указатель содержит 150 наименований работ, в том числе 70 на иностранном языке. Текст диссертации иллюстрирован 26 таблицами и 26 рисунками.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математическое моделирование и разработка компартментно-кластерных моделей динамики непроизвольных движений человека в условиях нормы и патологии позволяет дать количественное и качественное описание эволюции динамики постурального тремора конечности человека с учётом влияния внешних возмущающих воздействий в виде изменения коэффициента диссипации Ъ на параметры тремора.

2. Установлена возможность кластерного математического моделирования эволюции болезни Паркинсона, как характерный пример быстрых эволюционных процессов в сложных биосистемах (complexity).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность задачи доказательства реальных ограничений в возможности использования стохастического подхода при изучении произвольности и непроизвольности в организации двигательных функций. Обращается внимание на проблему возможности моделирования таких процессов качественно и количественно. Так же подчёркивается важность компартментно-кластерного моделирования хаотической динамики непроизвольных движений человека, как определенного переходного процесса от детерминизма к хаосу и самоорганизации. Формируются цели и задачи настоящего исследования.

1. ОСОБЕННОСТИ ХАОТИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯЦИИ ДВИГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЧЕЛОВЕКА В УСЛОВИЯХ ПОСТУРАЛЬНОГО ТРЕМОРА

Движения представляют собой сложные рефлексивные и спонтанные акты, которые осуществляются на различных уровнях организации нервной системы. Афферентный сигнал главным образом контролирует общее формирование движения, а его реализация на периферии (конечности, туловища) осуществляется за счёт эфферентного звена, которое управляется нейросетями спинного мозга, т.е. мы всегда имеем трёхкомпартментную систему организации любого движения (вход - афферентная часть, центральное звено - нейросети мозга, выход - эфферентная часть).

Человеческому телу присуще выполнение двух типов движений: произвольных и непроизвольных. К произвольным - относятся движения, которые формируются в процессе жизнедеятельности, в том числе и в спорте (сознательные движения). В их осуществлении участвуют кора головного мозга, экстрапирамидная система и сегментарный аппарат спинного мозга. К непроизвольным движениям относят бессознательные, автоматические движения (одёргивание руки при ожоге и т.д.). Простые рефлекторные акты осуществляются тоже без цели (без сознания). Такие непроизвольные акты осуществляются за счет сегментарного аппарата спинного мозга и мозгового ствола, но в их реализации нет детерминизма или стохастики.

В целом, в биофизике сложных систем всё ещё остается на изучении проблема дискриминации (разделения) движения на произвольное и непроизвольное. Эта дискриминация не может быть осуществлена в рамках детерминизма или стохастики.

2. ОГРАНИЧЕНИЯ В ВОЗМОЖНОСТЯХ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТРЕМОРОГРАММ

Спокойное состояние человека может быть нарушено возбуждением сенсорных систем, раздражителями психоэмоциональной или медикаментозной природы. Это в свою очередь отражается на характеристиках постурального тремора. В целом, существует огромное количество возмущающих факторов, влияющих на центральную нервную систему (ЦНС) и параметры тремора. Стохастический анализ треморограмм и ограничения в виде непрерывной динамики чередований функций распределения f(x) является главным доказательством сложной организации системы управления тремором.

Действительно, если рассматривать понятие произвольности или наличия цели со стороны субъекта, то постуральный тремор конечности имеет цель: удержание руки в данной точке пространства. В этом его отличие от других видов тремора, например, холодового тремора (возникающего при переохлаждении организма), и, следовательно, постуральный тремор — это произвольное движение. Однако, на этом вся его произвольность и заканчивается. Никогда человек (произвольно!) не сможет повторить свой постуральный тремор, его детерминистские или стохастические параметры. Динамика любого интервала треморограммы в течение 1-1,5 сек. и любых других последующих подобных интервалов неповторима и не воспроизводима с позиций детерминизма и стохастики.

Все известные стохастические характеристики постурального тремора любого человека на нашей Планете являются неповторимыми параметрами этого вида движений. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) тремора на любом временном отрезке где 0+...+ f,- + ...+?„ = Т при даже очень коротких общих интервалах времени Т будет неповторимой и не воспроизводимой в принципе. Полную неопределённость в своей динамике имеют и автокорреляционные функции A=A(t), что представлено на рисунке 1 - Б и Г.

Все эти колебания не имеют устойчивых статистических функций распределения (они непрерывно изменяются), они хаотичны по своей сути (flickering systems). Эти кривые A(t) не сходятся к нулю (см. рисунок 1-Б) с возрастанием t и представляют непрерывный хаотичный процесс в виде некоторых колебаний (в виде хаотических колебаний). При этом такой биологический хаос отличен от хаоса в физических, химических или технических системах, так как нельзя повторить начальное состояние биосистемы x(to). Мы сейчас говорим об особых системах третьего типа — complexity, для которых непрерывно и постоянно dxJdt£Q. На рисунке 1-А показывается АЧХ треморограммы, а на рисунке 1-Б автокорреляционная функция этой треморограммы. Подтверждение постоянного «мерцания» системы мы можем наблюдать на суперпозиции амплитудно-частотных характеристик и автокорреляционных функций 15-ти треморограмм одного испытуемого Б.Д.К., что представлено на рисунке 1-В, Г соответственно.

Действительно, этот хаос биосистем существенно отличается от хаоса в физических и технических системах; от хаоса, который изучается в современной теории хаоса В.И. Арнольда и других учёных. Две близлежащие фазовые траектории не расходятся в фазовом пространстве, и для них нет экспонент Ляпунова, а автокорреляционные функции А(1) не сходятся к нулю (см. рисунок 1 - Б и Г).

А)

Б)

Ж

Л л

-Р г4^

'v V

Рисунок 1 - А) — амплитудно-частотная характеристика треморограммы; Б) -вид автокорреляционной функции A(t) для этой треморограммы, испытуемый Б.Д.К. при разовой регистрации тремора; В) - суперпозиция 15-ти амплитудно-частотных характеристик треморограмм; Г) - суперпозиция 15-ти автокорреляционных функций A(t) для этих треморограмм этого же

испытуемого Б.Д.К. Всё это примеры (и АЧХ и A(t)) хаотических, неповторимых процессов, которые при попарном сравнении иногда и могут демонстрировать принадлежность к одной генеральной совокупности, но это очень редкие явления. При статистическом анализе в программе Statistica 6.1. участков (по 1 сек) регистрируемой треморограммы (длительность регистрации 15 сек) у испытуемого Б.Д.К. при исходном (без физической нагрузки) состоянии при попарном сравнении по критерию Вилкоксона была зафиксирована возможность отнесения 9-ти исходных выборок к одной генеральной совокупности (р>0,05), но это редкие события (выводы по результатам более 100 измерений). Обычно такие парные сравнения не демонстрируют возможность отнесения двух участков треморограммы (по 1 сек) к одной общей генеральной совокупности. Характерно, что сами эти пары между собой всё-таки не «совпадают» в большинстве (9 пар из 105 пар), т.е. их нельзя относить к одной генеральной совокупности. Становится очевидным, что все традиционные стохастические подходы не применимы для описания сложных биосистем, таких как организация тремора. Однако, возможность детерминизма всё-таки реализуется на основе имитационного моделирования непроизвольных движений человека (тремора) в рамках компартментно-кластерного подхода.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРОИЗВОЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ ЧЕЛОВЕКА (ТРЕМОРА) В РАМКАХ КОМПАРТМЕНТНО-КЛАСТЕРНОГО ПОДХОДА

В рамках компартментно-кластерной теории биосистем (ККТБ) Еськов В.М. сформулировал 7 постулатов, первый из которых гласит, что мы работаем только с компартментами и кластерами (отдельный элемент — не дает информации о поведении БДС), при этом постулируется наличие двух кластеров (систем), которые иерархически организованы (верхний уровень, то есть стриатум, задаёт нисходящее возбуждение на нижний кластер (нейромоторный, эффекторный блок)). Оба кластера рассматриваются как подсистемы, в которых за счёт трёхкомпартментной структуры (минимальное число компартментов в кластере) могут возникать определённые уровни возбуждения и определённые режимы их работы.

Для решения задачи моделирования непроизвольных движений человека (тремора) была использована трёхкомпартментная двухкластерная математическая модель (1) описания сложной БДС, разработанная Еськовым В.М. (рисунок 2). Имитационное моделирование двухкластерной трёхкомпартментной системы управления нервно-мышечной системой (НМС) в рамках теории графов осуществлялось в среде моделирования БтиНпк Ма1ЬаЬ, для исследования сигнала применялись методы ТХС.

-Г

о =з— ■

¿(1,1.

и-

»¡(.V,)

Ъ

. л: ¿о.

1

Рисунок 2 - Трёхкомпартментная двухкластерная графовая модель описания

сложной БДС

Система уравнений, описывающая данную графовую модель, имеет вид: 4= ^„(.у,)*, ~Ьх1 +1!хс1у,

= А21х^ + А22 (_у2 )х2 - Ьх2 + и2с12,

У\ = сих\

У 2 = С2\Х\ + С22*2-

где Ац - матрица внутрикластерных связей для 1-го кластера, А22 - Для второго кластера и Ац - матрица связей (влияния) 1-го кластера на 2-ой кластер, у - функция выхода.

На исследуемой модели вида (1) с позиций ККТБ мы будем иметь в норме и при патологии неповторимую и непредсказуемую (с позиций ДСП) динамику тремора. Это означает, что для любого участка треморограммы мы никогда не получим одинаковую амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и другие ДСП-характеристики (но параметры квазиаттрактора приблизительно сохраняются). На модели это выглядит в виде нестационарных динамик треморограмм, если мы не будем изменять параметры систем уравнений.

На рисунке 3 представлены примеры моделируемого сигнала (квазипериодический сигнал) и его обработка при трех различных значениях коэффициента диссипации Ъ; и фиксированных значениях Ъ2=сопз1=1, Ьз=сопзг=0,1, ий=соп8г=40 у.е. Основные параметры модели представлены наборами параметров 1); 2); 3) в виде: 1) Ь,' = 1.47, Ъ2 = 1, Ь3 = 0.1, Ш = 40; 2)Ъ,2= 1.70, Ь2 = 1,Ъ3 = 0.1, 1]с1 = 40; 3) Ь3 = 1.93, Ъ2 = 1, Ь3 = 0.1, Ш = 40.

Исходные (регистрируемые) сигналы

Фазовые плоскости сигналов в координатах х и <1х/А

Вид автокорреляционных функции А(1)

1) 2) 3)

Рисунок 3 - Пример моделируемого сигнала (квазипериодический сигнал) и его обработка при трёх различных значениях коэффициента диссипации Ъ](Ъ' = 1.47, Ь/ = 1.70, Ь,3 = 1.93), остальные без изменений: ¿з=со7и/=7, Ъ1=сопз1~0.1, и<Л=сотГ=40 усл. ед.

Амплитудно-частотные характеристики сигналов

Гистограммы распределения значений исходного сигнала

Фазовые портреты выше представленных трёх характеристик коэффициентов диссипации ¿>/ (см. рисунок 3) кажутся схожими, но при численном изучении оказывается, что сам квазиатграктор совершает перемещения на фазовой плоскости, при этом меняется его площадь, как в двухмерном, так и в трёхмерном пространстве. При этом характер хаоса при описании систем третьего типа отличается от детерминированного хаоса с его ляпуновскими величинами, когда фазовые кривые не пересекаются, а исходно, находясь на малом расстоянии друг от друга, расходятся экспоненциально в фазовом пространстве состояний. При изменении состояния нейросетей мозга (за счет коэффициента диссипации Ы) фазовый портрет динамики поведения треморограмм постепенно преобразуется, изменяется площадь, ограниченная замкнутой траекторией (рисунок 3). Из таблицы 1 мы видим, что при увеличении коэффициента диссипации 6/ наблюдается определенная динамика: и площадь, и объем квазиатграктора (КА) уменьшается. АЧХ на разных участках временной диаграммы будут сходными, но при количественном изучении видно, что амплитуда колебаний изменяется по мере увеличения коэффициента диссипации ¿/. Сдвиги на фазовом портрете первоначальной траектории выходного сигнала у2(1) при сохранении формы сигнала еще раз подтверждают постоянную эволюцию КА в пределах ФПС.

Таблица 1 — Значения размеров квазиаттракторов моделируемых сигналов

(, ' - Г /7 I 1. ; 7Л [ 1. ^ _ I лз

Ъ, = 1.47

Ь/ - 1.70

Ь,1 = 1.93

Площадь КА в двухмерном пространстве 5, усл.ед.

0.124

0.101

0.094

Объём КА в трёхмерном пространстве Ус„ усл.ед.

32.883

31.176

22.059

Также с целью оценки степени хаотической динамики моделируемого сигнала при различных значениях коэффициента диссипации Ь, (Ь/ = 1.47, Ъ/ = 1.70, Ъ/ = 1.93) были построены гистограммы распределений исходного (на выходе со второго кластера) квазипериодического сигнала и рассчитаны значения энтропии Шеннона, произведено сравнение результатов оценки хаоса традиционными методами и в рамках ТХС.

Энтропия Шеннона рассчитывалась по формуле (2), расчётные значения представлены в таблице 2, откуда следует, что оценки параметров хаоса по Шеннону и в рамках ТХС имеют разные величины. Меньшему значению площади квазиатграктора в двухмерном (5) и трёхмерном пространстве (Кс) соответствуют большее значение энтропии (//).

н =

1-0

Таблица 2 - Энтропия Шеннона моделируемых сигналов

(2)

Ь,' = 1.47 Ь/= 1.70 6/ = 1.93

Энтропия Шеннона Я, усл.ед. 0.282 0.307 0.324

Одновременно график автокорреляционной функции (см. рисунок 3) демонстрирует неустойчивую повторяемость базовой функции А (г).

Наблюдаются непрерывные колебания от положительной автокорреляции (отклонения от равновесия (equilibrium) имеют тенденцию сохраняться от периода к периоду); до отрицательной автокорреляции. Отклонения в пределах (-1;1) показывают, что A(t) не стремится к нулю! Полученные графики автокорреляционных функции (A(t)), при различных значения коэффициента диссипации Ь/, демонстрируют непрерывные хаотические изменения. Это ещё раз подтверждает, что работать с этими параметрами при описании сложных систем третьего типа (к которым относится система регуляции тремора) невозможно в рамках стохастики или детерминизма и тем более классической теории хаоса, где всегда A(t) должны сходиться к нулю.

Статистическая обработка полученных модельных данных осуществлялась при помощи следующих программных пакетов: «Excel MSOffïce-2010» и «Statistica 6.1». Число наблюдений в выборке превышает 50 значений, в этом случае мы определяем тип распределения с помощью критерия Лиллиефорса. При этом за нулевую гипотезу принимается то, что изучаемое распределение отличается от нормального. Если достигнутый уровень значимости (р) при проверке гипотезы будет меньше, чем критический (принимаемый за 0.05), то нулевая гипотеза отклоняется, а это значит, что распределение отличается от нормального. Во всех наших модельных кривых закон Гаусса не подтвердился, поэтому дальнейшие исследования зависимостей производились методами непараметрической статистики. Сравнение групп выборок осуществлялось с использованием критерия Фридмана (при сравнении 3 и более зависимых групп) для оценки наличия различий между группами. Выявление различий между конкретными группами (парное сравнение групп) выполнялись при помощи непараметрического критерия Вилкоксона.

В таблице 3 представлена типовая проверка полученных выборок (из модельных треморограмм) при изменении коэффициента диссипации bi на возможность нормального типа распределения. Сходные таблицы получены для большого количества треморограмм, полученных на кластерной модели (1).

Таблица 3 — Проверка выборок модельных значений выхода y2(t) модели (1) при изменении коэффициента диссипации bj на возможность нормального

Значение коэффициента диссипации 6/ N max D К.-С. Р Лиллиф. Р

Ь,' = 1.47 3681 0.109 р < 0.01 /7 < 0.01

Ь,2 =1.70 3681 0.113 р< 0.01 /7 < 0.01

Ь,3 = 1.93 3681 0.125 /7 < 0.01 р <0.01

Примечание: в таблице 3 условные обозначения: N - количество точек наблюдений; max D - максимальное значение дисперсии; К.-С. Р - значение критерия Колмогорова - Смирнова; Р - значение критерия Лиллиефорса; р - достигнутый уровень значимости при проверке типа распределения (на нормальность) при критическом уровне значимости принятым равным р>0.05.

При проверке выборок на возможность нормального типа распределения путём изменения коэффициента диссипации Ъ/ выявлено, что все выборки не описываются законом нормального распределения, так как достигнутый уровень значимости по критериям Лиллиефорса и Колмогорова-Смирнова р<0.05 для всех треморограмм при разных значениях Ь1, поэтому дальнейшие исследования зависимостей данных параметров производились методами непараметрической статистики.

Результаты описательной статистики по параметрам Ь\ =1.47, 6, =1.70,

Ь] =1.93, при Ь2=сот1= 1, Ь3=соп.чг=0.1, Ш=сою(=40 усл. ед. представлены в таблице 4.

Таблица 4 - Описательная статистика по параметрам Ъ' = 1.47, Ь* = 1.70, Ь/ = 1.93, при Ъ2=сот1=1, Ъу=сот1=0.1, 1]й=сопз1=40 усл. ед.

Переменная й: Среднее Доверительный интервал - 95% Доверительный интервал +95% Минимум Максимум Стандартное отклонение Медиана Процентиль 25.00 Процентиль 75.00

ь/ = 1.47 3681 1.027 1.022 1.031 0.012 1.208 0.143 1.058 0.954 1.133

ь, = 1.70 3681 1.090 1.085 1.094 0.019 1.255 0.134 1.119 1.020 1.190

ь,1 = 1.93 3681 1.099 1.095 1.103 0.000 1.257 0.136 1.125 1.033 1.202

При первом шаге (см. таблицу 4) мы проверили наличие существенных различий по трём интервалам т регистрации модельных сигналов. Наличие р<0.05 свидетельствует о существенных различиях, полученных в трёх выборках с позиции дисперсионного анализа. В нашем случае р<0.000001, следовательно, различия в данных выборках есть.

В таблице 5 представлены результаты попарного сравнения всех трёх выборок для разных значений коэффициентов диссипации Ъ! в виде матрицы по критерию Вилкоксона (для связанных выборок и их числе п>3). Если р<0.05, то тогда справедлива гипотеза о том, что выборки принадлежат разным генеральным совокупностям. Надежность используемых статистических оценок принималась не менее 95%.

Наличие ¿><0.05 свидетельствует о существенных различиях, полученных в выборках с позиций дисперсионного анализа, иными словами выборки не принадлежат одной генеральной совокупности. В нашем случае, представленные в таблице 5, пары выборок Ь/& Ь/ (р=0.000), ¿>/& Ь/3 (р=0.000), ¿>/& Ь/ (р=0.000) р<0.05. Следовательно, различия в данных выборках есть и они существенны.

Таблица 5 - Попарное сравнение выборок (модельных треморограмм) для разных коэффициентов диссипации Ь/ по критерию Вилкоксона

Число набл. Т 2 Р- уровень

ь,'& ь,- 3681 1942171 22.427 0.000

ь,'& ь,1 3681 1832915 24.122 0.000

ь'&. ь,1 3681 3077168 4.826 0.000

Примечание: в таблице 5 представлены следующие условные обозначения: Т — наименьшая сумма рангов для каждого параметра (сумма отрицательных и положительных рангов); X - наименьшее значение Т, используемое для расчёта фактического уровня значимости критерия; р - фактический уровень значимости критерия.

Отдельно была выявлена чувствительность модели к вариации параметра Ь]. Матрица попарного сравнения выборок (модельных треморограмм) при разных значениях коэффициента диссипации ¿>/ для выявления чувствительности модели представлена в таблице 6. Отметим, что подобные матрицы парных сравнений мы производили и для реальных треморограмм, полученных в экспериментах на одних и тех же испытуемых.

Таблица 6 - Матрица попарного сравнения значений коэффициента диссипации Ъ/ для выявления чувствительности модели

ь, 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64

1.50 .51 .00 .01 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00

1.51 .51 .05 .04 .04 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00

1.52 .00 .05 .76 .44 .07 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .01 .00 .00

1.53 .01 .04 .76 .43 .03 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .01 .00 .00

1.54 .00 .04 .44 .43 .23 .04 .00 .00 .00 .00 .00 .02 .00 .00

1.55 .00 .00 .07 .03 .23 .25 .09 .01 .00 .00 .00 .23 .00 .05

1.56 .00 .00 .00 .00 .04 .25 .43 .09 .04 .00 .00 .97 .00 .17

1.57 .00 .00 .00 .00 .00 .09 .43 .96 .12 .01 .00 .34 .00 .64

1.58 .00 .00 .00 .00 .00 .01 .09 .96 .53 .02 .00 .11 .00 .90

1.59 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .04 .12 .53 .50 .09 .02 .00 .49

1.60 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .013 .02 .50 .25 .00 .030 .07

1.61 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .09 .25 .00 .25 .00

1.62 .00 .00 0.009 0.012 0.024 .23 .97 .34 .11 .02 .00 .00 .00 .19

1.63 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .03 .25 .00 .00

1.64 .00 .00 .00 .00 .00 .05 .17 .64 .90 .49 .07 .00 .19 .00

Очевидно, что изменения во втором знаке после запятой уже нарушает принцип отнесения пар к общей генеральной совокупности. Результаты «совпадения» пар (их отнесения к общей генеральной совокупности) очень похожи на результаты, полученной при анализе треморограмм одного человека при последовательной регистрации тремора по 5 секунд (подряд). Можно

предположить, что механизм организации тремора подобен модельному процессу, если во 2-м знаке после запятой будет "плавать" значение коэффициента диссипации Ъ/.

В целом, мы видим из таблицы 6, что модель демонстрирует очень высокую чувствительность к изменению величины коэффициента диссипации bi (только 27 пар из 105 принадлежат одной генеральной совокупности, так как фактический уровень значимости критерия р>0.05). Порог чувствительности, при котором резко изменяются функции распределения f(x) попадает в интервал (0.1 - 1%) от общего интервала изменения так как коэффициент диссипации изменяется в модели от 1.01 до 3.11 усл.ед.

Если мы уменьшим вариации разрядности до одного знака после запятой то, количество пар, принадлежащих одной генеральной совокупности, резко уменьшается до 7 пар из 105. Наоборот, при увеличении разрядности до трёх знаков после запятой количество «совпадений» увеличивается до 66 из 105 пар, до четырёх знаков после запятой - 67 пар из 105, и т.д. Таким образом, граница применения компартментно-кластерной теории биосистем при моделировании произвольности постурального тремора сводится ко второму разряду после запятой, хаос функций распределения уже начинается с 0.1 % для Ъи что биологически реализуется очень легко.

4. МОДЕЛИ ПАТОЛОГИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ТРЕМОРА ПРИ БОЛЕЗНИ ПАРКИНСОНА НА ОСНОВЕ ДВУХКЛАСТЕРНЫХ ТРЁХКОМПАРТМЕНТНЫХ СИСТЕМ

При более сильных изменениях Ъ и Ud можно наблюдать патологические режимы тремора, например, характерные для болезни Паркинсона. Действительно, подавая на вход двухкластерной модели в момент времени t0 некоторое значение U0 система генерирует различную активность. Изменяя величину этого управляющего драйва U, можно получить разный характер микроперемещений (тремора) на выходе системы - от хаотического до установившегося (стационарного) режима в виде dx/dt=0 (это характерно для детерминизма).

При значении параметра Ud=295 у.е. происходит бифуркация рождения циклов (рисунок 4). АЧХ (рисунок 4 б) на разных участках временной диаграммы будут сходными. Фазовый портрет сигнала в трёхмерном пространстве (х/, х2, х3)т, где x3=dx2/dt, отличается от идеального тора, но при этом траектории движения в каждый момент времени накладываются на предыдущие значения. На рисунке 4 в ФПС представлены фазовые траектории на интервале t=100 с. Данное явление еще раз подтверждает постоянную эволюцию КА в пределах ФПС, то есть в пределах квазиаттракторов Vc.

Появление периодичности в характеристиках НМС (как и в любой реальной биосистеме) соответствует патологическому явлению, например,

болезни Паркинсона. Следует отметить схожесть теппинга условно здорового человека с тремором больного Паркинсоном с позиции фазовых портретов.

й ,1 'I 1 '1 '1 :1 4 ¡1

П J If

11 'i i и,,)'

IliilMiiM

a)

i I i V I I

6)

Рисунок 4 - а) временная развертка сигнала с выход Y2(t) трехкомпартментной системы в ответ на импульсное воздействие Ud=295 усл.ед.; б) АЧХ сигнала; в) фазовый портрет ВСС при длительности t=l00 с.

На рисунке 5 представлены суперпозиции 15-ти теппинграм (I) условно здорового человека и 15-треморограмм (П) человека с болезнью Паркинсона (исходные сигналы, фазовые плоскости, АЧХ и вид автокорреляционных функций), а так же суперпозиция модельного представления патологического режима (Ш).

Рисунок 5 демонстрирует отсутствие возможности повторения не только двух произвольных движений, но и двух одинаковых серий таких (якобы произвольных) движений. Можно выделить некоторые характерные пики частот, но и они воспринимаются хаотически. Очевидно, что автокорреляционные функции A(t) не стремятся к нулю, а это значит, что мы имеем дело не с хаосом (одновременно нет отрицательных констант Ляпунова и свойство перемешивания (cashing property) также не выполняется). Общая динамика при суперпозиции треморограмм (у больных паркинсонизмом) в виде АЧХ и A(t) подобна таковым при суперпозиции 15-ти теппинграмм здорового человека (рисунок 5). Различие составляет только цель: в теппинграммах она имеется сознательно, а при заболевании у человека спонтанно возникает очаг генерации квазипериодических движений в виде патологического тремора.

Можно предположить, что в этих двух случаях речь идёт о самоорганизации, которая при теппинге получается осознанно, а при патологическом треморе (болезнь Паркинсона) за счет внутренних механизмов самоорганизации (без сознания). В итоге — сознание не играет существенной роли в получении этих двух видов тремора (или теппинга). Предложенная профессором Еськовым В.М. компартментно-кластерная модель позволяет описать оба вида рассмотренных нами движений (рисунок 5).

Существенно, что нарастание драйва от 1-го кластера (нейросетей мозга-стриатума и паллидарного комплекса) способно перевести 2-ой кластер (нервно-мышечную систему) из режима повторяющихся колебаний (но не строго регулярных) в режим регидной формы болезни Паркинсона. Модель это демонстрирует при увеличении Ud, что в реальных живых системах получается

в виде итога эволюции патологического процесса. Детерминизм (в виде ¡¿х/й?г=0) представляет или глубокую патологию или даже смерть организма.

Суперпозиции фазовых траекторий на двухмерной плоскости х?=(а!х//У0 для 15-ти сигналов в координатах векторах(^=(х!,хт)т

Суперпозиция 15-ти автокорреляционных функции АО)

Суперпозиция амплитудно-частотных характеристик (АЧХ)

Рисунок 5-1- суперпозиция фазовых траекторий - (А), АЧХ - (Б), автокорреляционных функций - (В) 15-ти теппинграм, зарегистрированных у одного условно здорового человека С.К.Е.; II - суперпозиция фазовых траекторий - (А), АЧХ - (Б), автокорреляционных функций - (В) 15-треморограмм человека, зарегистрированных у человека Т.К.А. с болезнью Паркинсона; Ш - суперпозиция фазовых траекторий - (А), АЧХ - (Б), автокорреляционных функций - (В) 15-ти модельных треморограмм, представляющих патологические режимы (при болезни Паркинсона).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Стохастический анализ треморограмм показал существенное отличие их динамик от традиционных динамических систем, находящихся в детерминированном хаосе. Сложные биомеханические системы (регуляции тремора) находятся в- непрерывном хаотическом режиме изменения, когда dx/dttQ, а функции распределения f(x) для разных отрезков треморограмм демонстрируют невозможность соотнесения наблюдаемых выборок к одной генеральной совокупности, что на модели получается при небольшой (менее 1%) вариации параметров коэффициента диссипации Ь, а в реальной биосистеме любая нейросеть или двигательная единица в эксперименте всегда демонстрирует такую хаотическую вариацию и это порождает хаотическую динамику тремора. Малые вариации в интервале (0,1% - 1%) от общего интервала изменения b в каждом из режимов (модельного постурального тремора) приводят к хаосу функций распределения f(x), увеличение b более чем на 1% от исходного значения делает невозможным соотнесения 2-х выборок к общей генеральной совокупности, что согласуется с экспериментальными данными постурального тремора в норме.

2. Границы применения компартментно-кластерной теории биосистем при моделировании произвольности (или непроизвольности) постурального тремора возникают в связи с изменением внешних управляющих драйвов Ud от 1-го (управляющего) кластера. При этом наблюдаются вариации АЧХ, автокорреляционных функций, что характерно для треморограмм постурального тремора и при болезни Паркинсона. Произвольность тремора может проявляться только в изменении параметров квазиаттракторов на моделях (при изменении коэффициента диссипации Ь), что наблюдается при прицеливании или изменении физиологических состояний организма (сознательно).

3. Компартментно-кластерная модель обеспечивает иллюстрацию возникновения болезни Паркинсона при снижении уровня дофамина и нарастании активности стриопаллидарного комплекса (нисходящая активация специальных мотонейронов). Возникновение дефицита дофамина в модели проявляется в нарастании драйва Ud от 1-го кластера - нейросетей головного мозга, что приводит к бифуркациям рождения циклов, а частоты этих циклов также варьируют с изменением Ud и й,что согласуется с наблюдениями и представляет краткосрочную эволюцию сложной биосистемы (complexity).

4. Доказана возможность кластерного моделирования патологического тремора (болезни Паркинсона), и выявлена биомеханическая схожесть теппинга условно здорового человека с тремором человека при болезни Паркинсона, что нивелирует грани в оценке произвольности и непроизвольности движений, и показывает направление эволюции биомеханической системы в рамках общих изменений функций организма (в том числе и с возрастом).

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

Патенты, свидетельства о государственной регистрации программ на

ЭВМ:

1. Еськов, В. М., Гавриленко, Т. В., Еськов, В. В., Филатова, О. Е., Даянова, Д.Д. Программа идентификации важнейших диагностических признаков (параметров порядка) с помощью нейроэмуляторов (программа ЭВМ). Номер заявки на регистрацию программы на ЭВМ № 2014661419, ФГБУ Федеральный институт промышленной собственности. - Москва, 2014.

2. Еськов, В. М., Гавриленко, Т. В., Еськов, В. В., Филатова, О. Е., Даянова, Д.Д. Программа расчёта персонифицированных матриц межаттракторных расстояний при внутригрупповом анализе (программа ЭВМ). Номер заявки на регистрацию программы на ЭВМ № 2014661417, ФГБУ Федеральный институт промышленной собственности. - Москва, 2014.

Монографии:

1. Даянова, Д.Д. Компартментно-кластерные модели биосистем - новые возможности в моделировании реального хаоса биосистем / Д.К.Берестин. Т.В. Гавриленко // Системный анализ, управление и обработка информации в биологии и медицине. Часть XI. Системный синтез параметров функций организма жителей Югры на базе нейрокомпьютенга и теории хаоса-самоорганизации в биофизике сложных систем /под ред. В.М. Еськова, A.A. Хадарцева. Самара: Изд-во ООО «Офорт» (гриф РАН), 2014. - С. 55-96.

Статьи, опубликованные в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК при соискании ученой степени кандидата наук:

1. Даянова, Д.Д. Хаотическая динамика поведения параметров сердечнососудистой системы человека под воздействием слабых алкогольных напитков / Д.Д. Даянова, Д.К.Берестин, А.Н. Булдин, H.A. Черников, A.B. Гавриленко // Вестник новых медицинских технологий. - 2013. - №1. Электронная версия (путь доступа: http://www.medtsu.tula.ru/VNMT/Bulletin/E2013-l/4344.pdf)

2. Даянова, Д.Д. Параметры квазиатгракторов сердечнососудистой системы в оценке воздействия малых доз алкоголя на человека / Д.Д. Даянова, Т.В. Гавриленко, Д.К. Берестин, А.Е. Химиков // Системный анализ и управление в биомедицинских системах - 2013. - Т. 12, № 3. - С.683-688.

3. Даянова, Д.Д. Хаотическая динамика поведения параметров сердечнососудистой системы человека под воздействием крепких алкогольных напитков / Д.Д. Даянова, Т.В. Гавриленко, Д.К.Берестин // Вестник новых медицинских технологий. - 2013. - Т. 20, № 3. - С.11-13.

4. Даянова, Д.Д. Параметры квазиаттракторов в оценке стационарных режимов биологических динамических систем с позиций компартментно-кластерного подхода / Д.Д. Даянова, Т.В. Гавриленко, Ю.В. Вохмина, Д.К. Берестин // Вестник новых медицинских технологий. - 2014. - Т. 21, № 1. -С.134-137.

5. Даянова, Д.Д. Стохастическая оценка моделей хаотической динамики биологических систем / Д.Д. Даянова, Т.В. Гавриленко, Ю.В. Вохмина, Д.С.

Игуменов // Вестник новых медицинских технологий. - 2014. - №1. -Электронная версия (путь доступа:

http://www.medtsu.tula.rn/WMT/Bulletin/E2014-l/4773.pd0

Статьи в других журналах, научных сборниках:

1. Даянова, Д.Д. Параметры хаотических матриц квазиаттракторов поведения вектора состояния организма работников нефтегазового комплекса / Д.Д. Даянова, А.Ю.Васильева, Р.Х. Габдульбарова, И.Ф. Файзуллина // Наука и инновации XXI века: Материалы I Всероссийской конференции молодых учёных/ Том II. Биология, экология, медицина, физическая культура, психология и педагогика. Под. Ред. Е.Ю. Мурунова. - Сургут: Дефис, 2012. - С. 58-62.

2. Даянова, Д.Д. Ранняя диагностика эффектов воздействия слабых алкогольных напитков в хаотической динамике / Д.Д. Даянова, М.А. Филатов, К.В. Чепуркина, Э.М. Газизова, С.Н. Ватамова // Нелинейная динамика в когнитивных исследованиях. - 2013: Труды Ш всероссийской конференции. -Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2013.-С.40-41.

3. Даянова, Д.Д. Детерминизм, стохастика и теория хаоса-самоорганизации в описании стационарных режимов сложных биосистем / Д.Д. Даянова, С.Н. Ватамова, Ю.В. Вохмина, Филатов М.А. // Сложность. Разум. Постнеклассика. - 2013. - № 4. - С.69-80.

4. Даянова, Д.Д. Компартментно-кластерные модели в условиях действия производственных факторов / Д.Д. Даянова, С.Н. Ватамова, А.Е. Химиков, Л.С. Сорокина // Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе: Материалы международной конференции. - Сургут: ИЦ СурГУ, 2014. - С.154-157.

5. Даянова, Д.Д. Эволюция развития болезни Паркинсона в рамках компартментно-кластерного подхода / Д.Д. Даянова, Д.К. Берестин, Т.В. Гавриленко, В.М. Еськов // Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе: Материалы международной конференции. - Сургут: ИЦ СурГУ, 2014. - С. 157-159.

6. Даянова, Д.Д. Двухкластерные трёхкомпартментные модели динамики параметров организма человека в условиях действия экологических факторов среды / Д.Д. Даянова, И.Ф. Файзуллина, К.В. Чепуркина, Э.М. Газизова // Наука и инновации XXI века: Материалы П Всероссийской конференции молодых учёных/ Том П. Физическая культура и спорт. Адаптивная физическая культура. Биология. Химия. Экология. Медицина. Технические науки. Физика, математика. Информационные системы. Под. ред. Литовченко О.Г. - Сургут : Дефис, 2014.-С. 92-95.

7. Даянова, Д.Д. Компартментно-кластерное моделирование неопреленностей в рамках детерминизма / Д.Д. Даянова, Г.С. Козупица, Ю.Г. Бурыкин, Д.К. Берестин // Сложность. Разум. Постнеклассика. - 2014. - № 2. -С.79-92.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АЧХ: амплитудно-частотная характеристика БДС: биологическая динамическая система ВСС: вектора состояния системы ДСП: детерминистский и стохастический подходы КА: квазиаттрактор

ККТБ: компартментно-кластерная теория биосистем

НМС: нервно-мышечная система

СТТ: система третьего типа

ТХС: теория хаоса-самоорганизации

ФПС: фазовое пространство состояний

ЦНС: центральная нервная система

ЭВМ: электронно-вычислительная машина

Подписано в печать 07.11.14 г. Формат А5 Усл.печ.л.7. Печать трафаретная. Тираж 100. Заказ 846. Отпечатано ЗАО «МОДО-С» г.Сургут,ул. Щепеткина, 17. Тел. (3462)25-18-18.