Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Кинематика стационарных и медленно эволюционирующих автоволновых фронтов

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Кинематика стационарных и медленно эволюционирующих автоволновых фронтов"

I ¡ и ин

2 5 )

Институт Математических Проблем Биологии РАН

На правах рукописи

Елькин Юрий Евгеньевич

Кинематика стационарных и медленно эволюционирующих автоволновых фронтов.

03.00.02 — Биофизика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пущино, 2000

Л- 1

Работа выполнена в Институте Математических проблем Биологии ]

Научный руководитель: кандидат физико-математических паук

В.Н. Бикташев

Оффициальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В.А. Давыдов

кандидат физико-математических наук М.А. Цыганов

Ведущая организация: Институт Биофизики Клетки РАН.

Защита состоится "_ _3_д____________________2000г.

часов на заседании диссертационного совета Д200.22.01 в Институте Теоретической и Экспериментальной Биофизики по адресу: 142290 г.Пущино, ИТЭБ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭБ РАН. Автореферат разослан

____________2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

о

Н.Ф. Панина

• У г

Общая характеристика работы.

В Диссертации предложено развитие кинематического метода описания автоволн в возбудимых активных средах, ранее предложенного другими авторами [1, 2].

Актуальность темы диссертации. Автоволны возникают в самых различных средах физического, химического и биологического происхождения. Их примерами могут служить концентрационные волны в реакции Белоусова-Жаботинского , волны химической сигнализации в канониях некоторых микроорганизмов, волны в межзвездном газе, приводящие к образованию спиральных галактик . Важный пример активных сред представляют многие биологические ткани. Автоволновую природу имеют распространение нервного импульса и возбуждения в сердечной мышце, перистальтические волны в кишечнике . Автоволны, таким образом, играют важную роль в функционировании живых систем. Изучение их свойств является ключом к пониманию многих явлений в нервной системе, работе мышц, морфогенезе, динамике экосистем и других вопросов биофизики. Нарушение режимов распространения автоволн ведет к серьезным нарушениям жизнедеятельности. Так в сердечной мышце возникновение спиральных волн приводит к некоторым опасным для жизни аритмиям. Управляя возникшей волной при помощи внешних воздействий, можно ликвидировать такую аритмию. Этими соображениями определяется важность исследования автоволновых процессов.

Математически активные среды чаще всего описываются уравнениями типа реакция-диффузия с нелинейным реакционным членом. Непосредственное решение таких уравнений — сложная математическая задача. До сих пор неизвестно точных решений в виде спиральных волн. Все результаты получены только приближенно, главным образом численно. Случаи, когда аналитические решения могут быть найдены асимптотическими методами, представляют особую ценность, отвечая на вопросы, которые трудно выяснить при помощи только численного моделирования.

Одним из таких асимптотических методов является кинематический подход [1, 2],

применимый для сред с малой рефрактерностью, т.е. когда время релаксации средь к стационарному состоянию после прохождения волны возбуждения много меныт промежутка времени между прохождением последующих волн. В этом случае можю ограничиться рассмотрением движения только волнового фронта, т.е. линии на плос кости или поверхности в трехмерном пространстве, нормальная скорость котороп оказывается зависящей только от локальной кривизны фронта. В результате размер ность соответствующей математической задачи снижается на единицу. При исследо вании движения волнового фронта с обрывом, необходимо описать движение этог! обрыва и поставить граничные условия на нем. В ранее опубликованных работах, дл: этого использовались феноменологические уравнения.

Это обуславливает необходимость более аккуратного обоснования кинематическо го подхода. В данной работе необходимые уравнения подучены методами теории воз мущений непосредственно из уравнения реакция-диффузия, описывающего даннут возбудимую среду. Так полученные уравнения оказались обобщением ранее испсшьзс вавшихся феноменологических уравнений и потребовали дополнительного исследовэ пия их свойств.

Цели работы. Целью работы являлось обоснование и дальнейшее развитие кищ матического подхода [1, 2], решение в его рамках стационарных (на плоскости и пространстве) и нестационарных (на плоскости) задач.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. В работе впер вые дано обоснование кинематического подхода к исследованиям автоволн в возб} димых средах методами теории возмущений на основе уравнений реакция-диффузш При этом полученные уравнения оказались более общими по сравнению с класс* ческими. Проведено исследование вновь полученных уравнений. Важную роль в ж следовании играет полученное автором аналитическое решение основного дифф< ренциального уравнения кинематики автоволн. Основные аналитические результат] получили подтверждение в проведенных автором численных экспериментах.

t /

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференциях "Nonlinear phenomena in biology", June 23 28, 1998, Институт Биофизики Клетки, Пу-зцино.

Публикации. Результаты диссертации изложены в б работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 149 страницах, включающих 25 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 81 наименований.

Краткое содержание диссертации.

Во введелии показана актуальность темы и описана структура диссертации.

Глава 1. Обзор литературы.

Первая глава содержит обзор литературы, посвященной некоторым математическим методам исследования автоволн в активных средах. Описываются известные свойства автоволн вообще и в частности спиральных волн возбуждения на плоскости.

В спиральпой волне обрыв ее фронта — конник — вращается вокруг фиксированной точки — центра спирали по окружности определенного радиуса. Внутрь круга, ограниченного этой окружностью, и называемого ядром автоволна не проникает. В возбудимой среде ядро остается невозбужденным. В случае неограниченной однородной среды, радиус ядра, как и скорость вращения спирали, определяются только свойствами самой среды, а не начальными условиями.

На поведение спиральных вата могут существенно влиять только те события, которые происходят вблизи ядра. Это свойство устойчивости типично для автоволновых вихрей в различных моделях, включая как возбудимые, так и автоколебательные

среды. Хотя оно никогда не было доказано строго математически а только постул! ровано, это свойство играет важную роль в теории автоволн и, в частности, в пода дах к управлению автоволновыми процессами, например в сердечной мышце. Указал ная стабильность позволяет создать асимптотические теории автоволновой динамик] обращаясь с ними как с квазичастицами в двух измерениях [3], или нитями вихря трех измерениях [4, 5]. Однако, эти теории оперируют сингулярными интегралам] сходимость которых в практически важных случаях остается открытым вопросом зависит от асимптотического поведения чувствительности спиральной волны к уд ленным событиям. Аналитические результаты относительно этой чувствительное! ограничены случаем автоколебательной модели, описываемой уравнением Гинзбург Ландау. Взаимодействие вихрей в этой модели с границами и неоднородностями ср ды и друг с другом рассматривалось в [6, 7], и было показано, что чувствительное] убывает с расстоянием по экспоненте [8].

Наиболее адекватным математическим описанием активных сред являются сист мы реакция-диффузия (РД-системы). Это довольно сложим математическая моде) и полное ее исследование весьма затруднительно. Поэтому актуально построение пр ближенных методов исследования.

К волнам возбуждения применимы методы, основанные на изучении движ ния фронта волны, что позволяет понизить размерность задачи на единицу. Отмен среди них метод свободной границы [9] и кинематический подход [1, 2]. В основе об их указанных методов лежит зависимость скорости распространения автоволново фронта V от его кривизны К,

V = V, - ПК, (

в котором У. и Б являются некоторыми феноменологическими константами среды Основное различие между этими методами состоит в том, что понимается п фронтом. В методе свободной границы различают передний и задний фронты, сос ветствующие процессам нарастания и спада возбуждения. Эти две кривые делят сре, на возбужденную область и область покоя. Передний и задний фронты пересекают

в точке обрыва волны. Понятно, что передний и задний фронты распространяются в различных условиях и соответствующие скорости распространения плоского фронта V", также различны. В итоге удается получить уравнения движения для фронтов.

В кинематическом подходе, который обсуждается более подробно, в качестве фронта выбирается некая условная линия, заменяющая собой как передний, так и задний фронты, которые предполагаются близко лежащими. Обрыв фронта — кончик — представляет собой в этом случае особую точку, для которой необходимо выписывать дополнительные уравнения движения и граничные условия.

Кинематический подход, таким образом, основан на уравнении (1), связывающем скорость распространения волны возбуждения с ее кривизной и граничных условиях для кривизны на кончике. При наличии этих уравнений, изучение движения волнового фронта может рассматриваться как задача дифференциальной геометрии. Именно этим объясняется название "кинематического подхода". Однако, сами уравнения (1) и, особенно, граничные условия являются феноменологическими и до сих пор была не вполне ясна их связь с описанием: возбудимой среды в терминах системы уравнений "реакция-диффузия".

Подчеркнем, что несмотря на идеологическую близость кинематического подхода и метода свободной границы, которые даже используют общее уравнение (1), метод свободной границы основан на рассмотрении волны возбуждения, имеющей резкие передний и задний фронты, и описание проводится в терминах движения этих двух фронтов. Хотя понятие крутого переднего фронта вполне уместно при описании сердечной волны возбуждения, понятие заднего фронта довольно сомнительно, кончик здесь не является точкой соединения переднего и заднего фронтов и метод свободной границы [9] вообще едва ли применим к сердечной ткани. Напротив, кинематический подход не нуждается ни в четком заднем, ни даже в переднем фронте, а только предполагает, что гребень волны остается гладким и профиль импульса поперек этой линии возмущается слабо, а эти условия соответствуют некоторым состояниям в сердечной ткани.

Глава 2. Вывод основных уравнений.

Глава занимает центральное место в диссертации. В ней дан вывод уравнений "кривизна-скорость" и уравнений на обрыве волнового фронта методами теории возмущений из уравнений "реакция-диффузия". При этом, уравнение "кривизна-скорость", как и ожидалось, совпало с уравнением (1), а уравнения на обрыве оказались отличными от применявшихся ранее феноменологических уравнений. Для стационарного случая, когда волновой фронт движется, не меняя своей формы, новые уравнения оказались обобщением классических. Полученные уравнения на кончике имеют вид:

О = и + ОК' + вК

и = еЛ0 - Л^ - Х2К' - Х3К2 - Х4КК' - \5К2 Я = д. + ецо + тК + ^К' (2)

Здесь ш — угловая скорость вращения фронта вокруг его кончика, й — компонента скорости кончика вдоль касательной к фронту, £>, Ао-5, й>_2, <7» и б — параметры среды, среди которых только б<1,а остальные произвольны. Все параметры могут быть определены из решений точного уравнения "реакция-диффузия" или феноменологически. Штрих обозначает производную по длине дуги вдоль линии фронта. Первое уравнение представляет собой граничное условие для уравнения эволюции К (в, а остальные два определяют движение кончика.

Аналогичные уравнения получены для поверхности фронта автоволны в трехмерной возбудимой среде.

Исследованию решений полученных в этой главе уравнений посвящены остальные главы диссертации.

Глава 3. Стационарные спиральные автоволны.

В этой главе получены решения задач кинематики в виде волновых фронтов, сохраняющих свою форму и вращающихся вокруг неподвижного центра. При этом используется полученное здесь же общее аналитическое решение стационарного кинемати-

ческого уравнения,

кк - к2 - £1к - к3 - 0 (3)

в котором неизвестной является функция к(<т), а П — параметр, превращающийся в граничной задаче в собственное значение. Рассматриваются как неограниченная однородная среда (для классической и обобщенной постановок), так и круглая однородная среда конечного радиуса с центром спирали, совпадающим с центром среды (только в классической постановке). Для круглой среды рассмотрены предельные случаи малой среды, когда размер среды сравним с радиусом ядра свободной спирали, и большой среды, когда радиус среды очень велик по сравнению с радиусом ядра. Последний случай рассматривается впервые и представляет особый интерес, поскольку характеризует убывание чувствительности спиральной волны к внешним воздействиям с удалением от центра вращения. Оказалось, что чувствительность убывает быстрее, чем экспоненциально. Например, отношение частоты вращения спирали в среде радиуса Я к частоте вращения свободной спирали оказалось равно

и(Л)/ы(оо) = 1 + Я ехр (-(Я2 - г'У12\~ъ), (4)

где г* — радиус ядра свободной спирали, а ф и А — константы, зависящие, как и г* от параметров среды, но не от ее радиуса.

Глава 4. Дрейф спиральных волн в слабо неоднородной среде.

В этой главе рассматривается пример нестационарной задачи. В третьей главе были получены решения в виде спиральной волны, вращающейся вокруг фиксированного центра в неограниченной однородной среде. Если среда пространственно неоднородна, причем эта неоднородность слабая, то существуют решения в каждый момент времени близкие к такой спиральной волне, центр вращения которой перемещается со временем. Такое перемещение называется дрейфом. Применяя теорию возмущений, нам удалось вычислить вектор скорости этого дрейфа и изменение частоты вращения спирали. Ответ представлен в виде свертки возмущения с некоторой функцией,

называемой функцией отклика [3]. Так, при записи в полярных координатах (р, в) с центром в мгновенном центре вращения, отклонение частоты оказалось равно

оо 2*

5ш = / / [wlV](f>)V(p,0) + W^D)(p)D(p,e)] MfAp (5)

Rо О 2тг

+ J в) + wkD)D(R«, 0) + ]Г *)] d0,

о

где До — радиус ядра, V, D, й — возмущения различных параметров среды, входящих в уравнения (1) и (2) (обозначение v объединяет параметры Aj и Pj), a W® и Wq^ и есть функции отклика. Аналогичные уравнения получепы и для скорости дрейфа. Для функций отклика получены аналитические выражения через невозмущенные значения параметров среды и характеристики свободной спирали.

Специально обсуждаются такие частные случаи, как неоднородность в виде линейного градиента некоторого параметра и ступенчатая неоднородность.

Важнейшие свойства полученных уравнений:

• Справедлив линейный принцип суперпозиции: влияние неоднородности среды на частоту вращения спирали и скорость дрейфа представляют собой суммы вкладов от всех бесконечно малых областей с возмущенными параметрами. Вклад каждой области зависит от величины возмущения в этой области и (для параметров фронта) от расстояния от этой области до центра вращения. Отметим, что хотя тот факт, что малые возмущения действуют аддитивно не вызывает удивления, он не очевиден a priori для нелинейной задачи: например, в динамике доменных стенок в уравнении Ландау-Лифшица аддитивны квадраты возмущений [10].

• При больших расстояниях, влияние на частоту вращения убывает ги-перэкспоненциально, ~ ехр(—(р/Л)3), а на скорость дрейфа — гипер-экспоненциально с осцилляциями, ~ ехр(—(р/Л)3 — 2гр/Ао). Период этих осцилляций равен половине асимптотической длины волны свободной спирали.

Произведено сравнение свойств дрейфующих спиралей в нашей модели с похожими свойствами решений задач о низкоамплитудных возмущениях в ССТ^Е [8] и о дрейфе при взаимодействии с границей в ССЬЕ [6] и для "безъядерной" спирали в пределе Файфа для возбудимой среды [11]. Различия свойств удалось объяснить на качественном уровне.

Глава 5. Сопоставление с результатами других теорий и численного эксперимента.

Целью данной главы является подтверждение результатов, полученных средствами новой кинематики в плоских задачах путем сопоставления их с результатами уже имеющихся теорий и с данными прямого моделирования систем типа "реакция-диффузия".

5.1. Сравнение с методом свободной границы.

В этом разделе проводилось сравнение с результатами метода свободной границы [9], основанного, как и кинематический подход на соотношении "кривизна-скорость" (1). При этом возникла необходимость в исследовании не только вращающихся стационарных структур типа спиральных волн, но и поступательно движущихся фронтов, сохраняющих свою форму (трансляционные волны). Была построена диаграмма различных типов стационарных решений на плоскости параметров (е, 7) в окрестности точки е = 0, 7 = 0 и исследованы асимптотические свойства решений при приближении к границе между трансляционными и спиральными волнами на этой диаграмме. Оказалось, что на части этой границы свойства волн в нашей модели совпадают со свойствами волн в модели со свободной границей. На другой же части границы, наши решения обладают качественно иными асимптотическими свойствами.

5.2. Сравнение традиционной и новой кинематики.

Поскольку предсказания традиционной кинематической модели в основном совпадают с предсказаниями метода свободной границы, то ситуация аналогична описанной в предыдущем разделе.

5.3. Численное моделирование свободных спиралей.

Моделирование проводилось для моделей ФитцХью-Нагумо [12] и Алиева-Панфилова [13]. При этом изучалось асимптотическое поведение периода вращения Т и радиуса ядра R свободной спирали в зависимости от расстояния S до границы существования спиральных и трансляционных волн вблизи этой границы. Указанные асимптотики различаются для той части границы, которая соответствует классической модели и для той ее части, которая не имеет аналога в классической теории. В обоих случаях асимптотики имеют вид

Т = T0i"; R = R0Sn (6)

где Го, До — константы в главном порядке по 6, а п = —1.5 в классике или п = — 1 в повой модели.

Импульсы в модели ФитцХью-Нагумо обладают резко выраженными передним и задним фронтом, поэтому для нее применимы результаты метода свободной границы и реализуется классический вариант асимптотики (6) с п = —1.5. Для модели Алиева-Панфилова характерно наличие только резкого переднего, но не заднего фронта. Таким образом, для этой модели метод свободной границы не применим, а применима только обобщенная кинематическая модель, что соответствует выполнению асимптотики (6) с п = —1. В численном эксперименте с этими системами показано, что действительно для модели ФитцХью-Нагумо имеет место классическая асимптотика, а для модели Алиева-Панфилова — новая.

5.4. Численное моделирование дрейфа на ступенчатой неоднородности.

Здесь было произведено сравнение основных качественных результатов, полученных в главе 4 для дрейфа спирали вблизи неоднородности в виде ступеньки с данными численного эксперимента для модели ФитцХью-Нагумо. Было показано, что в согласии с асимптотической теорией, (1) заметный дрейф происходит только, когда ядро пересекает границу областей неоднородности, и при этом (п) абсолютное значение скорости изменяется, но (Ш) направление дрейфа сохраняется.

Глава 6. Прямой скрученный свиток.

Наконец, в шестой главе приводятся результаты, достигнутые при рассмотрении кинематическим методом простейшей задачи в трехмерном пространстве. Рассматривается прямой автоволновой свиток с постоянным градиентом фазы вращения (твистом) вдоль его оси.

Оказалось, что характер зависимости основных параметров скрученного свитка (радиус ядра и угловая скорость) от твиста определяется всего лишь двумя комбинациями кинематических параметров среды, что позволяет надеяться на экспериментальную проверку полученных здесь результатов. Отметим следующие характерные черты этих зависимостей:

• Угловая скорость и радиус ядра при малых твистах зависят от твиста четным образом.

• При некоторых значениях параметров возможно существование нескольких свитков с различными параметрами при одинаковом твисте. При этом они могут иметь различное направление вращения (знаки угловой скорости). .

• При некоторых значениях параметров возможно существование свитка с "нормальным" направлением вращения (то есть излучающего, а не поглощающего автоволны) только при твистах больших некоторого положительного значения.

• При достаточно больших твистах угловая скорость монотонно (почти линейно) возрастает с ростом твиста. Монотонный рост угловой скорости с ростом твиста естественно приведет к тому что период окажется близким к времени рефрактер-пости среды при пскотором критическом значспии твиста. Увеличение твиста выше критического значения невозможно. Естественно, что при твистах, близких к критическому данная кинематическая модель, не учитывающая рефрак-терность, не применима. Отметим, что линейная зависимость угловой скорости от твиста была получена ранее в некотором аналогичном случае в [14], а наличие максимально возможных твистов, при которых период близок к времени рефрактерности наблюдалось в численном эксперименте [15].

• При достаточно больших твистах радиус ядра стремится к некоторой константе, определяемой параметрами среды. Это стремление может происходить как сверху, так и снизу в зависимости от значений параметров среды.

• При некоторых значениях параметров среды, при малых твистах возможно ги-стерезисное поведение как угловой скорости, так и радиуса ядра. Говоря здесь о гистерезисном поведении, мы имели в виду только его принципиальную возможность. Для того чтобы указать, будет ли оно реализовъгваться, необходимо исследовать устойчивость отдельных ветвей решений.

Выводы.

В работе изучаются автоволны в возбудимых средах, которые представляют большой интерес для биофизики. Развивается кинематический подход, позволяющий резко упростить описание волн возбуждения и изучение их поведения. Получены следующие основные результаты:

• Кинематические уравнения выведены при помощи асимптотической процедуры из уравнений типа "реакция-диффузия", описывающих данную возбудимую среду. Эта процедура позволила получить как уравнение движения фронта, так и

необходимые краевые условия. Краевые условия оказались более сложными, чем использовавшиеся ранее в классических работах. Разработанный подход применим как к задачам на плоскости, так и в пространстве.

• Теоретически предсказано и подтверждено в численном эксперименте "неклас-сичсг.кое" поведение спиральных волн с большим ядром в двумерной возбудимой среде. Это поведение отличается от классического, свойственного системам типа ФитцХыо-Нагумо, асимптотическими порядками величин. Такая пеклас-сическая асимптотика продемонстрировала в системе, более реалистично описывающей сердечную ткань, с резким передним и плавным задним фронтами потенциала действия.

• Получено общее аналитическое решение стационарного кинематического уравнения в двумерной однородной среде. Используя это решение, найдены форма стационарной спиральной волны и ее параметры в бесконечной среде, а также в конечной среде круглой формы.

• Изучен дрейф спиральной волны, вызванный слабой неоднородностью среды. Впервые теоретически показано быстрое (экспоненциальное) убывание чувствительности спиральной волны к слабым воздействиям с ростом расстояния от неоднородности до центра этой волны.

• Решена задача о трехмерной волне — прямом свитке с ненулевым постоянным вдоль пего градиентом фазы (твистом). При этом показано, что в зависимости от параметров возможно разнообразное поведение таких волн, в том числе возможны свитки с разной угловой скоростью при одном и том же твисте.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.Н. Бик-ташеву за постоянное внимание к работе. Автор весьма признателен Э.Э. Шнолю и И.В. Бикташевой за очень содержательное обсуждение. Автор также благодарен фонду Robert Havemann foundation за финансовую поддержку.

Публикации.

1. Yu.E.Elkin, V.N.Biktashev, "Rotating Waves in Excitable Media of Circular Shape", препринт, Пущино, 1995

2. Yu.E.Elkin, V.N.Biktashev "On the movement of excitation wave breaks", препринт, Пущино, 1996, lip.

3. Elkin,Yu.E., Biktashcv,V.N. and Holden,A.V.: "On the movement of excitation wave breaks", Chaos, Solitons and Fractals, 9(1998), p.1597-1610.

4. Yu.E.Elkin, V.N.Biktashev "Drift of large-core spiral waves in inbomogeneous excitable media", J. Biol. Phys, 25(2), p.129-147, 1999.

5. Yu.E.Elkin, V.N.Biktashev "On the drift of large-core spiral waves in inhomogeneous excitable media", in "Nonlinear phenomena in biology", June 23-28, 1998, Institute of Cell Biophysics of R.A.S., Pushchino, Russia, p.18.

6. Elkin,Yu.E., Biktashev,V.N. and Holden,A.V.: "Waves of constant shape and the structure of the "rotors boundaxy" in excitable media.". Submitted to Phys. Rev. E.

Список литературы

[1] В.А. Давыдов, B.C. Зыков, А.С. Михайлов "Кинематика автоволновых структур в возбудимых средах", УФН 161(1991), с.45-85

[2] A.S. Mikhailov, V.A. Davydov and V.S. Zykov "Complex dynamics of spiral waves and motion of curves", Physica D 70 (1994), p.1-39.

[3] Biktashev, V.N. and Holden, A.V.: "Resonant drift of autowave vortices in two dimensions and the effects of boundaries and inhomogeneities", Chaos Solitons and Fractals 5 (1995), p.575-622.

[4] J.P. Keener "The dynamics of 3-dimensional scroll waves in excitable media" Physica D 31(1988): p.269-276.

[5] V.N. Biktashev, A.V. Holden, H. Zhang "Tension of organizing filaments of scroll waves" Phyl. Trans. Roy. Soc. London A 347(1994), p.611-630

[6] B.H. Биктатев "Дрейф ревербератора в активной среде при взаимодействии с границами", в сборнике "Нелинейные волны. Динамика и эволюция" под ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович. М.: Наука, 1989. с.316-324.

[7] L.M. Pismen, А.А. Nepomnyashchy "On interaction of spiral waves" Physica D 54, 3 (1992), p.183-193

[8] Biktasheva, I.V., Elkin, Yu.E. and Biktashev, V.N.: "Localized sensitivity of spiral waves in the complex Ginzburg-Landau equation", Phys. Rev. E 57 (1998), p.2656 2659.

[9] J.J. Tyson, J.P. Keener "Singular perturbation theory of traveling waves in excitable media (a review)", Physica D 32 (1988), p.327 361.

[10] Mikhailov, A.V. and Yaremchuk, A.I.: "Forced motion of a domain wall in the field of spin wave", Pis'ma v ZhETF 39 (1984), 296-298, in Russian / JETP Letters 39 (1984), 354 357 Engl, transl.

[11] Aranson, I., Kessler, D. and Mitkov, I.: "Drift of spiral waves in excitable media", Physica D 85 (1995), p.142-155.

[12] R.A. FitzHugh "Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane", Biophys. J., 1 (1961), p.445-466.

[13] R.R. Aliev, A.V. Panfilov "A simple model of cardiac excitation" Chaos, Solitons & Fractals, 7 (1996), N3, p.293-301.

[14] П.К. Бражник, В.А. Давыдов, A.C. Михайлов. "Скрученый вихрь в возбудимой среде." Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 32 (1989), N3, с.289-293.

[15] A.S. Mikhailov, A.V. Panfilov, A.N. Rudenko "Twisted scroll waves in active 3-dimensional media" Phys. Lett., A 109 (1985), №5, p.246-250.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Елькин, Юрий Евгеньевич

Введение

1 Обзор литературы. Ю

1.1 Активные среды и их математическое описание.

1.2 Свойства автоволн.

1.3 Приближенные методы исследования автоволн.

1.4 Кинематический подход.

2 Вывод основных уравнений

2.1 Основные уравнения двумерной кинематики.

2.1.1 Обозначения и постановка задачи.

2.1.2 Вывод законов движения фронта и его обрыва.

2.2 Безразмерная форма задач в двумерной кинематике.

2.3 Основные уравнения трехмерной кинематики.

3 Стационарные спиральные автоволны

3-1 Предварительные замечания.

3.2 Решение ОДУ.

3.3 Решение граничной задачи при 7 = 0.

3.3.1 Круглая среда произвольного радиуса.

3.3.2 Неограниченная среда.

3.3.3 Среда большого радиуса.

3.3.4 Среда малого радиуса.

3.3.5 Применимость решений.

3.3.6 Обсуждение.

3.4 Стационарная спираль в неограниченной среде при произвольном 7.

3.4.1 Постановка задачи и общее решение.

3.4.2 Наиболее общий случай.

3.4.3 Случай непрорастаюшего кончика.

4 Дрейф спиральных волн в слабо неоднородной среде

4.1 Предварительные замечания.

4.2 Математическая постановка задачи.

4.3 Метод решения.

4.3.1 Свободная спираль

4.3.2 Теория возмущений.

4.4 Результаты.

4.4.1 Общая формулировка.

4.4.2 Приближенное решение для типичного случая

4.4.3 Неоднородность в виде линейного градиента.

4.4.4 Неоднородность в форме ступеньки.

4.5 Обсуждение.

5 Сопоставление с результатами других теорий и численного эксперимента 95 5.1 Сравнение с методом свободной границы.

5.1.1 Введение.

5.1.2 Постановка задачи.

5.1.3 Трансляционные волны.

5.1.4 Спиральные волны.

5.1.5 Обсуждение.

5.2 Сравнение традиционной и новой кинематики.

5.3 Численное моделирование свободных спиралей.

5.3.1 Введение: постановка задачи и выбор объекта исследования.

5.3.2 Методика, параметры и результаты экспериментов.

5.3.3 Эксперименты с моделью ФитцХью-Нагумо.

5.3.4 Обсуждение.

5.4 Численное моделирование дрейфа на ступенчатой неоднородности.

6 Прямой скрученный свиток.

6.1 Предварительные замечания.

6.2 Геометрия фронта.'.

6.3 Постановка плоской задачи.

6.4 Приближенное аналитическое решение для случая общего положения.

6.5 Обсуждение.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Кинематика стационарных и медленно эволюционирующих автоволновых фронтов"

В работе предложено развитие кинематического метода описания автоволн в возбудимых активных средах, ранее предложенного другими авторами [1, 2, 3].

Автоволнами обычно называют волновые процессы, имеющие устойчивые ("самоподдерживающиеся") параметры — скорость, амплитуду, форму импульса. Способностью к многократному проведению автоволн обладают так называемые активные среды, для которых характерно наличие распределенных внешних источников энергии, то есть с термодинамической точки зрения это открытые системы далекие от равновесия. После прохождения автоволнового импульса такая среда должна восстановить свои свойства за счет поступающей из вне энергии и подготовиться к проведению следующего импульса. Необходимое для этого восстановления время называется рефрактерным периодом. В течении рефрактерного периода среда не способна к проведению следующего импульса.

Активные среды могут иметь любую размерность. В одномерном случае автоволна представляет собой распространяющийся с некоторой скоростью импульс определенной формы и амплитуды, тогда как в двумерном или трехмерном она характеризуется еще и формой своего фронта. Было обнаружено, что наличие рефрактерности делает возможным существование уже в двумерном случае особых режимов, вращающихся автоволн, развивающихся из волновых фронтов со свободным концом. В достаточно больших средах, эти режимы имеют вид вращающихся спиралей, в которых кончик спирали — обрыв волны возбуждения вращается "вокруг самого себя". Различные авторы называют это явление спиральными волнами, ревербераторами, роторами или автоволновыми вихрями. Это явление — пример самоорганизации, поскольку существование и местоположение такого вихря в среде не связаны с какой-либо неоднородностью, а определяются только эволюцией системы. Автоволновые вихри демонстрируют удивительную стабильность своих свойств, они ведут себя "по их собственному усмотрению", и на их поведение могут существенно влиять только те события, которые происходят вблизи ядра.

Автоволны возникают в самых различных средах физического, химического и биологического происхождения . Их примерами могут служить концентрационные волны в реакции Белоусова-Жаботинского [4], волны химической сигнализации в колониях некоторых микроорганизмов [5], волны в межзвездном газе, приводящие к образованию спиральных галактик [6]. Важный пример активных сред представляют многие биологические ткани. Так, авто волновую природу имеют распространение нервного импульса [7] и возбуждения в сердечной мышце [8]. Автоволны, таким образом, играют важную роль в функционировании живых систем. Изучение их свойств является ключом к пониманию многих явлений в нервной системе, работе мышц, морфогенезе, динамике экосистем и других вопросов биофизики. Нарушение режимов распространения автоволн ведет к серьезным нарушениям жизнедеятельности. Так в сердечной мышце возникновение спиральных волн приводит к некоторым опасным для жизни аритмиям. Управляя возникшей волной при помощи внешних воздействий, можно ликвидировать такую аритмию. Этими соображениями определяется важность исследования автоволновых процессов.

Математически активные среды чаще всего описываются уравнениями типа реакция-диффузия с нелинейным реакционным членом. Непосредственное решение таких уравнений — сложная математическая задача. Например, до сих пор неизвестно их точных решений в виде спиральных волн. Все результаты получены только приближенно, главным образом численно. Случаи, когда аналитические решения могут быть найдены асимптотическими методами, представляют особую ценность, отвечая на вопросы, которые трудно выяснить при помощи только численного моделирования.

Одним из таких асимптотических методов является кинематический подход, разаработанный специально для возбудимых сред, то есть разновидности активных сред наиболее часто встречающихся в живых системах. Он применим для сред с малой ре-фрактерностью, т.е. когда время релаксации среды к стационарному состоянию после прохождения волны возбуждения много меньше промежутка времени между прохождением последующих волн. В этом случае можно ограничиться рассмотрением движения только волнового фронта, т.е. линии на плоскости или поверхности в трехмерном пространстве, нормальная скорость которого оказывается зависящей только от локальной кривизны фронта. В результате размерность соответствующей математической задачи снижается на единицу. При исследовании движения волнового фронта с обрывом, необходимо описать движение этого обрыва и поставить граничные условия на нем. В ранее опубликованных работах, для этого использовались уравнения, при выводе которых использовались некоторые феноменологические предположения.

В данной работе необходимые уравнения получены методами теории возмущений непосредственно из уравнения реакция-диффузия, описывающего данную возбудимую среду. Так полученные уравнения оказались обобщением ранее использовавшихся полу феноменологических уравнений. Кроме того, в работе исследуются решения некоторых стационарных и нестационарных задач в рамках новой кинематической модели.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Елькин, Юрий Евгеньевич

Выводы

В работе изучаются автоволны в возбудимых средах, которые представляют большой интерес для биофизики. Развивается кинематический подход, позволяющий резко упростить описание волн возбуждения и изучение их поведения. Получены следующие основные результаты:

• Кинематические уравнения выведены при помощи асимптотической процедуры из уравнений типа "реакция-диффузия", описывающих данную возбудимую среду. Эта процедура позволила получить как уравнение движения фронта, так и необходимые краевые условия. Краевые условия оказались более сложными, чем использовавшиеся ранее в классических работах. Разработанный подход применим как к задачам на плоскости, так и в пространстве.

• Теоретически предсказано и подтверждено в численном эксперименте "неклассическое" поведение спиральных волн с большим ядром в двумерной возбудимой среде. Это поведение отличается от классического, свойственного системам типа ФитцХью-Нагумо, асимптотическими порядками величин. Такая неклассическая асимптотика продемонстрирована в системе, более реалистично описывающей сердечную ткань, — с резким передним и плавным задним фронтами потенциала действия.

• Получено общее аналитическое решение стационарного кинематического уравнения в двумерной однородной среде. Используя это решение, найдены форма стационарной спиральной волны и ее параметры в бесконечной среде, а также в конечной среде круглой формы.

• Изучен дрейф спиральной волны, вызванный слабой неоднородностью среды. Впервые теоретически показано быстрое (экспоненциальное) убывание чувствительности спиральной волны к слабым воздействиям с ростом расстояния от неоднородности до центра этой волны.

• Решена задача о трехмерной волне — прямом свитке с ненулевым постоянным вдоль него градиентом фазы (твистом). При этом показано, что в зависимости от параметров возможно разнообразное поведение таких волн, в том числе возможны свитки с разной угловой скоростью при одном и том же твисте.

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Елькин, Юрий Евгеньевич, Пущино

1. В.А. Давыдов, B.C. Зыков, А.С, Михайлов "Кинематика автоволновых структур в возбудимых средах", УФН 161(1991), с.45 85

2. A.S. Mikhailov, V.A. Davydov and V.S. Zykov "Complex dynamics of spiral waves and motion of curves", Physica D 70(1994), p.1-39.

3. J.J. Tyson, J.P. Keener "Singular perturbation theory of traveling waves in excitable media (a review)", Physica D 32(1988), p.327-361.

4. A.N. Zaikin, A.M. Zhabotinsky "Concentration wave propagation in two-dimensional liquid-phase self-oscillating system", Nature 225(1970), p.535-537.

5. F. Alcantara, M. Monk "Signal propagation during aggregation in the slime mould Dictyostelium discoideurri\ J. Gen. Microbiol. 85(1974), p.321-334.

6. B.F. Madore, W.L. Freedman "Self-organizing structures" Am. Set., 75(1987), p.252-259.

7. N.A. Gorelova, J. Bures "Spiral waves of spreading depression in the isolated chicken retina", J. Neurobiol. 14(1983), p.353-363.

8. R.A. Gray, J. Jalife "Spiral waves and the heart", Int. J. Bifurcation and Chaos 6(1996), p.415 435.

9. А.Ю. Лоскутов, A.C. Михалов Введение в синергетику, М.:Наука, 1990

10. Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренблатт, В.Б. Либрович, Г.М. Махвиладзе Математическая теория горения и взрыва М. Наука, 1980.

11. А.Г. Мержанов, Э.Н. Руманов "Нелинейные эффекты в макроскопической кинетике" УФН 151(1987), с.553-593.

12. А.Т. Winfree, Е.М. Winfree, Н. Seifert "Organizing center in a cellular excitable medium", Physica D 17(1985), p.109 115.

13. Б.Н. Белинцев, M.B. Волькенштейн "Фазовые переходы в эволюционирующей популяции" ДАН, 235(1977) №1, с.205-207.

14. Л.С. Полак, А.С. Михайлов Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М.: Наука, 1983.

15. N. Kopell, L.N. Howard "Plane wave solutions to reaction-diffusion equations", Stud. Appl. Math. 52(1973), №3, p.291-310.

16. Y. Kuramoto, T. Tsuzuki "On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems", Prog, ofteor. Phys. 54(1975), №3, p.687-699.

17. A.L. Hodgkin, A.F. Huxley "A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve", J.Physiol. 117(1952) p.500-544.

18. D. Noble "A modification of the Hodzhkin-Huxley equations applicable to Purkinje fibre action and pacemaker potentials", J.Physiol 160(1962) p.317-352.

19. В.И. Кринский, А.Б. Медвинский, А.В. Панфилов Эволюция автоволновых вихрей. М.: Знание, 1986.

20. В.И. Кринский, Ю.М. Кокоз "Анализ уравнений возбудимых мембран III. Мембрана волокна Пуркинье. Сведение уравнений Нобла к системе второго порядка. Анализ автоматии по графикам нуль-изоклин.", Биофизика 18(1973), №6, с.1067-1073.

21. R.A. Fit/Hugh "Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane", Biophys. J. 1(1961), p.445 466.

22. V.N. Biktashev and A.V. Holden "Resonant drift of an autowave vortex in a bounded medium" Phys. Lett. A 181(1993), p.216-224.

23. D. Barkley "A model for fast computer simulation of waves in excitable media" Physica D 49(1991), p.61-70.

24. R.R. Aliev, A.V. Panfilov "A simple model of cardiac excitation" Chaos, Solitons & Fractals 7(1996), №3, p.293-301.

25. В.И. Кринский, A.C. Михайлов Автоволны, M.: Знание, 1984.

26. О.А. Морнев, О.В. Асланиди, JI.M. Чайлахян "Солитонный режим в системе уравнений ФитцХью-Нагумо: динамика вращающейся спиральной волны." ДАН 353(1997), р.682-686.

27. Р.С. Fife "Singular perturbation and wave front techniques in reaction-diffusion problems" SIAM-AMS Proceedings 10(1976), p.23-50.

28. A.S. Mikhailov, V.I. Krinsky "Rotating spiral waves in excitable media: the analitical results" Physica D 9 (1983), p.346 371.

29. P.S. Hagan "Spiral waves in reaction-diffusion equations" SIAM J.Appl. Math. 42(1982), p.762-781.

30. И.С. Балаховский "Некоторые режимы движения возбуждения в идеальной возбудимой ткани" Биофизика 10(1965) №6, с.1063 1067.

31. A.M. Перцов, А.В. Панфилов "Спиральные волны в активных средах. Ревербераторы в модели ФитцХью-Нагумо", в книге "Автоволновые процессы в системах с диффузией", Горький, ИПФ 1981, с.77-84.

32. Е.А. Ермакова, A.M. Перцов, Э.Э. Шноль "Пары взаимодействующих вихрей в двумерных активных средах" препринт ОНТИ НЦВИ, Пущино, 1987.

33. Е.А. Ермакова, A.M. Перцов "Взаимодействие вращающихся спиральных волн с границей" Биофизика, 31 (1986), N5, с.855-861.

34. A.M. Pertsov and Е.А. Ermakova "Mechanism of the drift of a spiral wave in ал inhomogeneous medium" Biofizika 33(1988), p.338-342.

35. B.A. Давыдов, B.C. Зыков, А.С. Михайлов, П.К. Бражник "Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах", Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика 31(1988), с.574-582.

36. Yu.E. Elkin, V.N. Biktashev "Drift of large-core spiral waves in inhomogeneous excitable media" J. Biol. Phys. 25(1999), №2, p.129-147.

37. К.И. Агладзе, B.A. Давыдов, A.C. Михайлов "Наблюдение резонансаа спиральных волн в возбудимой распределенной среде" Письма в ЖЭТФ 45(1987), №12, с.601-603.

38. V.N. Biktashev and A.V. Holden "Resonant drift of autowave vortices in two dimensions and the effects of boundaries and inhomogeneities" Chaos Solitons & Fractals 5(1995), p.575-622.

39. J.P. Keener "The dynamics of 3-dimensional scroll waves in excitable media" Physica D 31(1988) p.269-276.

40. V.N. Biktashev, A.V. Holden, H. Zhang "Tension of organizing filaments of scroll waves" Phyl. Trans. Roy. Soc. London A 347(1994), p.611 630

41. B.H. Бикташев "Дрейф ревербератора в активной среде при взаимодействии с границами", в сборнике "Нелинейные волны. Динамика и эволюция" под ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович. М.: Наука, 1989. с.316-324.

42. L.M. Pismen, А.А. Nepomnyashchy "On interaction of spiral waves" Physica D 54, 3 (1992), p.183 193.

43. I.V. Biktasheva, Yu.E. Elkin and V.N. Biktashev "Localized sensitivity of spiral waves in the complex Ginzburg-Landau equation", Phys. Rev. E 57(1998), p.2656 2659.

44. A.T. Winfree "Varieties of spiral wave behaviour — an experimentalist's approach to the theory of excitable media" Chaos 1(1991) p.303-334.

45. D. Barkley "Euclidean symmetry and the dynamics of rotating spiral waves" Phys. Rev. Letters 72(1994), №1. p.164-167.

46. A.T. Winfree, S.H.Strogatz "Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: I. Geometrically simple waves" Physica D 8(1983), p.35-49.

47. A.T. Winfree, S.H.Strogatz "Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: II. Twisted waves" Physica D 9(1983), p.65 80.

48. A.T. Winfree, S.H.Strogatz "Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: 1П. Knotted waves" Physica D 9(1983), p.333-345.

49. A.T. Winfree, S.H.Strogatz "Singular filaments organize chemical waves in three dimensions: IV. Wave taxonomy" Physica D 13(1984), p.221-233.51. "Mathematical Approaches to Cardiac Arrhythmias", a special issue of Ann. N.Y.Acad.Sci. 591(1990), p.1-417.

50. V.N. Biktashev and A.V. Holden "Design principles of a low voltage cardiac defibrillator based on the effect of feedback resonant drift", J. Theor. Biol. 169(1994), p.101-112.

51. B.H. Бикташев "Диффузия автоволн", препринт ОНТИ НЦБИ, Пущино, 1989

52. V.N. Biktashev "Diffusion of autowaves. Evolution equation for slowly varying autowaves" Physica D 40(1989), p.83 90.

53. A. Karma "Velocity selection in two-dimensional excitable media: from spiral waves to retracting fingers" in Growth and Form, edited by Amar M.B. et al., Plenum Press, New York, 1991.

54. D.A. Kessler, R.Kupferman "Spirals in excitable media: the free-boundary limit with diffusion", Physica D 97(1996), p.509-516.

55. A. Karma "Universal limit of spiral wave propagation in excitable media", Phys. Rev. Lett. 66(1991), p.2274-2277.

56. V. Hakim, A. Karma "Theory of spiral wave dynamics in weakly excitable media: asymptotic reduction to a kinematic model and applications", Phys. Rev. E 60(1999), №5, p.5073-5105.

57. P.K. Brazhnik, V.A. Davydov "Non-spiral autowave structures in excitable media" Phys. Lett. A 199(1995), p.40-44.

58. A.S. Mikhailov and V.S. Zykov "Kinematical theory of spiral waves in excitable media: Comparison with numerical simulations" Physica D 52(1991), p.379—397

59. B.C. Зыков "Кинематика стационарной циркуляции в возбудимой среде." Биофизика 25(1980), вып 2, с.319-322.

60. B.C. Зыков "Аналитическая оценка зависимости скорости волны возбуждения в двумерной возбудимой среде от кривизны ее фронта." Биофизика, 25(1980), вып 2, с.888-892.

61. A.M. Pertsov, M. Welner, J. Jalife "Eikonal relation in highly dispersive excitable media" Phys. Rev. Lett. 78(1997), №13, p.2656-2659.

62. M. Welner, A.M. Pertsov "Generalized eikonal equation in excitable media" Phys. Rev. E 55(1997), №6, p.7656-7661.

63. I.R. Efimov, V.I. Krinsky and J. Jalife "Dynamics of rotating vortices in the Beeler-Reuter model of cardiac tissue", Chaos Solitons and Fractals 5(1995), p.513-526.

64. Y. Kuramoto "Instability and turbulence of wavefronts in reaction-diffusion systems" Prog. Theor. Phys. 63(1980), №6, p.1885-1903.

65. B.A. Давыдов, B.C. Зыков "Спиральные автоволны в круглой возбудимой среде" ЖЭТФ 103(1993), №3, с.844-856

66. П.К. Бражник, В.А. Давыдов, А.С. Михайлов. "Кинематический подход к описанию автоволновых явлений в активных средах" ТМФ, 74(1988),с.440-445

67. В.А. Давыдов, B.C. Зыков "Спиральные волны в анизотропных возбудимых средах" ЖЭТФ, 95(1989),с.139-147

68. П.К. Бражник, В.А. Давыдов, А.С. Михайлов "Скрученый вихрь в возбудимой среде." Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика 32(1989), №3, с.289-293.

69. П.К. Бражник, В.А. Давыдов, B.C. Зыков, А.С. Михайлов "Вихревые кольца в распределенных возбудимых средах." ЖЭТФ 93(1987), вып 5(11), с.1725-1736.

70. В.Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. М. Физматлит, 1993.

71. L.N. Howard and N. Kopell "Slowly varying waves and shock structures in reaction-diffusion equations" Stud. Appl. Math. 56(1977), p.95-146.

72. I. Aranson, D. Kessler and I. Mitkov "Drift of spiral waves in excitable media", Physica D 85(1995), p.142-155.

73. P. Pelce and J. Sun "Wave front interaction in steadily rotating spirals" Physica D 48(1991), p.353-366.

74. D.A. Kessler, H. Levine and W.N. Reynolds "Theory of the spiral core in excitable media", Physica D 70(1994), p. 115139.

75. A.B. Михайлов, А.И. Яремчук "Вынужденное движение доменной стенки в поле спиновой волны", Письма в ЖЭТФ 39(1984), с.296 298.

76. V. Hakim, A. Karma "Spiral wave meander in excitable media: the large core limit", Phys. Rev. Lett. 79(1997), p.665-668.

77. E.C. Zeeman "Differential equations for the heartbeat and nerve impulse", Mathematical Institute, University of Warwick, Coventry, 1972

78. A.B. Погорелов. Дифференциальная геометрия. M. Наука, 1974.

79. A.S. Mikhailov, A.V. Panfilov, A.N. Rudenko "Twisted scroll waves in active 3-dimensional media" Phys. Lett., A 109 (1985), №5, p.246-250.1. Благодарности.

80. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.Н. Бикташеву за постоянное внимание к работе. Автор весьма признателен Э.Э. Шнолю и

81. И.В. Бикташевой за очень содержательное обсуждение. Автор также благодарен фонду Robert Havemann foundation за финансовую поддержку.