Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Качественные свойства решений системы Навье-Стокса

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Качественные свойства решений системы Навье-Стокса"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Международный Институт Теории Прогноза Землетрясений и Математической Геофизики

На правах рукописи

АРНОЛЬД Максим Дмитриевич

КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА.

Специальность 25.00.10 — «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2005 г.

Работа выполнена в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской Академии Наук (МНТП РАН), г. Москва

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, академик РАН Синай Яков Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Исмаил-заде Али Тофик-оглы

доктор физико-математических наук, профессор Фурсиков Андрей Владимирович

Ведущая организация:

Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН

Защита состоится декабря 2005 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 002.118.01 в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН по адресу: 11755в Москва, Варшавское Шоссе, д. 79, корп. 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИТП РАН Автореферат разослан

ЦЛЯ^рсХ 2005 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.118.01, доктор физико-математических наук

П.Н. Шебалин

msi

Общая характеристика работы.

Обоснование постановки задачи. Актуальность работы.

Уравнения Навье-Стокса вот уже на протяжении полувека занимают ключевую, и должно быть наиболее заметную позицию в уравнениях гидродинамики. Проблема описания движения идеальной вязкой несжимаемой жидкости представляется тем более интересной и значимой, поскольку многие природные процессы как то разного рода атмосферные явления, волнения на море, сейсмические явления могут быть описаны с точки зрения уравнений гидродинамики. Наиболее интересным и важным является вопрос о существовании решения задачи Копш для системы Навье-Стокса, поскольку именно прекращение существования решения, как раз и отвечает таким стихийным бедствиям, как ураганы, цунами, извержения вулканов, землетрясения и т.п.

Многие исследователи по всему миру обращались к проблеме существования и единственности решения этой системы Сравнительная доступность экспериментов, простота уравнений в модели, широкий спектр применения результатов и вместе со всем этим чрезвычайная трудность математической задачи — вот те факторы, которые делают теорию уравнений Навье-Стокса столь интересной для ученых различных отраслей физики и математики Здесь следует отметить монографии О А Ладыженской (1970), Р. Темама (1983), М.И. Вишика и A.B. Фурсикова (1980) и Ч. Деринга и Дж. Гиббона (1994).

В последнее время, в связи с развитием компьютерных методов моделирования, теория уравнений Навье-Стокса получила широкое распространение Появились новые методы численного поиска решений в задачах обтекания Наряду с новыми методами счета ежегодно появляются и новые теоретические результаты касающиеся проблем существования и единственности в системах Навье-Стокса [например Т.Като (1994), Ю. Ле Жан и A.C. Жнитман (1997), Дж. Маттингли и Я.Г Синай (1999), К Вейн и Т. Гаплей (2001), М Бен-Артци (2002), Я.Г. Синай (2004)]. Подобные результаты несомненно представляют интерес с теоретической точки зрения и будут представлять интерес до тех пор, пока на вопрос о существовании и единственности глобального классического решения задачи Коши для трехмерной системы Навье-Стокса не будет дан окончательный ответ.

Цель работы.

В теории уравнений Навье-Стокса одной из ключевых проблем является проблема доказательства теорем существования и единственности решений задачи Коши Вся труд-

ность заключается в том, что не удается подобрать такого подходящего класса начальных данных, чтобы для них имела место теорема существования, но чтобы класс был достаточно узок для того, чтобы в нем имела место теорема единственности.

Поэтому, целью настоящей работы являлось исследование специальных функциональных пространств с соответственно подобранной нормой таких, что локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы Навье-Стокса имела бы в них место.

Постановка задачи.

Для решения поставленной задачи в ходе работы потребовалось получить следующие основные результаты.

1. Доказать локальную теорему существования и единственности задачи Коши для системы уравнений Навье-Стокса в И* с нулевой внешней силой для широкого класса начальных данных.

2 Доказать глобальную теорему существования и единственности задачи Коти для системы уравнений Навье-Стокса в К1* с нулевой внешней силой при малых начальных данных.

3. Доказать локальную теорему существования и единственности решения задачи Коши для двумерной системы уравнений Навье-Стокса с нулевой внешней силой для начальных данных с бесконечными энергией и энстрофией

4 Исследовать зависимость полученного решения от введенного управляющего параметра.

5 Исследовать гладкость решения задачи Коши для двумерной системы уравнений Навье-Стокса с ненулевой внешней силой для начальных данных с конечной энстрофией.

б. Разработать алгоритм численного нахождения асимптотик решения задачи Коши для трехмерной системы уравнений Навье-Стокса для начальных данных с бесконечной энергией и энстрофией

Научная новизна.

Ввиду новизны рассматриваемых функциональных пространств, полученные результаты дополняют класс известных начальных данных, для которых верна локальная теорема существования и единственности задачи Коши В частности, рассматриваются начальные данные с бесконечной энергией и энстрофией

Введен новый управляющий параметр системы Представлено разложение решения в ряд по степеням этого параметра. Реализован новый алгоритм численного моделирования решения задачи Коши для трехмерной системы Навье-Стокса с начальными данными с бесконечной энергией и энстрофией.

Аналитичность глобального решения двумерной системы Навье-Стокса с ненулевой внешней силой в непериодическом случае доказана впервые Основные защищаемые положения.

1. Доказаны локальные теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы Навье-Стокса с нулевой внешней силой в случае размерности, большей трех для начальных данных, имеющих полиномиальные асимптотики в окрестности начала координат и на бесконечности Для малых начальных данных, имеющих полиномиальные асимптотики конкретного вида доказана глобальная теорема существования и единственности классического решения задачи Коши для системы Навье-Стокса.

2. Доказана локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для двумерной системы Навье-Стокса с нулевой внешней силой для начальных данных, имеющих полиномиальные асимптотики в окрестности начала координат и на бесконечности, допускающие возможность бесконечной энергии и энстрофии. Для решения задачи Коши найден управляющий параметр Исследована зависимость поставляемого решения от данного параметра.

3. Доказана аналитичность классического решения задачи Коши для двумерной системы Навье-Стокса для начальных данных с конечной энергией и энстрофией и при специальных ограничениях на вектор внешней силы

4. Реализован принципиально новый алгоритм численного моделирования решения задачи Коши для трехмерной системы Навье-Стокса для начальных данных с бесконечной энергией и энстрофией.

Практическая ценность работы.

Новый подход к теории уравнений Навье-Стокса, разработанный в работах Я Г Синая, В. И, Дж Маттингли, Е И. Динабурга и Ю.Ю. Бахтина и развитый в данной работе, предоставляет в распоряжение исследователя большой набор инструментов для получения новых качественных результатов о решении систем Навье-Стокса.

Рассматриваемый широкий класс функциональных пространств дает достаточную свободу для применения результатов данной работы в различных областях научной деятельности В частности, результаты, касающиеся теорем существования для задачи Коши с начальными данными с бесконечной энергией и энстрофией дают возможность численно моделировать ситуации с большими начальными данными, например описывать такие явления, как возникновение цунами или формирование больших смерчей.

Доклады и публикации.

Результаты этой работы докладывались на семинарах в Московском Государственном Университете им. М.В Ломоносова и опубликованы в трех статьях в реферируемых журналах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, исторического экскурса, четырех глав, заключения и списка литературы (33 наименования), содержит 60 страниц машинописного текста, 91 формулу (пронумерованную), 2 рисунка и 5 таблиц.

Выполнение работы.

Результаты изложенные в диссертации получены автором в ходе работы в должности младшего научного сотрудника Международного Института Теории Прогнозов Землетрясений и Математической Геофизики РАН в период с 2003 по 2005 юды

Автор глубоко признателен своему научному руководителю академику Я.Г Синаю за постоянный интерес к работе, чуткое и внимательное отношение, продуктивные обсуждения и замечания Автор выражает искренную благодарность Е И. Динабургу за неоценимую помощь в работе и продолжительные, необычайно полезные дискуссии Автор чрезвычайно благодарен Ю.Ю Бахтину за плодотворное сотрудничество и внимание к

работе Автор также благодарен всем сотрудникам института за атмосферу теплого дружеского содействия

Содержание работы.

Введение.

Введение содержит обоснование постановки задачи, обсуждение ее актуальности. Определены цели исследования и вытекающие из них научные и прикладные проблемы. Введение завершается изложением структуры и краткого содержания диссертационной работы.

Исторический экскурс.

В этом разделе дан краткий обзор теории уравнений гидродинамики, перечислены основные результаты, относящиеся к теории уравнений Навье-Стокса Перечислены результаты новейших исследований Здесь же приведена постановка задачи исследования

Системой Навье-Стокса мы будем называть систему уравнений, написанную для преобразования Фурье от векторного поля скоростей в случае общей размерности и для преобразования Фурье от вихря в случае размерности d = 2. Эти уравнения имеют вид

|-Mk,t)= j/(fc^(/fc-/,i)>P^(/.i)d/-|fc|Mfc,i) + (^/)(ife,t) (1)

<я Ri

(v(k,t),k) = 0 (2)

для поля скоростей и

^^М = _|kj4(k,t) + J w{l,t)w(k-l,t)dl + g(k,t) (3)

R2

для вихря в случае d = 2.

Уравнениями Навье-Стокса занимаются на протяжении вот уже более чем семи десятилетий. Начало было положено в известной пионерской работе Жана Лерея, где он доказал локальную теорему существования для задачи Коши системы Навье-Стокса После этого практически все, без исключения, заметные математики и физики обращали так или иначе свой взор в сторону уравнений гидродинамики. Большие монографии написаны по этому поводу O.A. Ладыженской, Р Темамом, Ч Дерингом и Дж. Гиббоном

Важные результаты получены Т. Като, Й. Гигой, К Фойяшем, П Константином В 1999 опубликована совместная статья Я.Г. Синая и Дж Маттингли, где авторы приводят элементарное доказательство глобальной теоремы существования решения задачи Коши для двумерной системы Навье-Стокеа с периодическими граничными условиями.

Пожалуй, именно с этой статьи и следует вести отсчет всей той техники и тех идей, которые и составляют данную работу.

Глава 1. Пространства Ф(а,и). Случай d > 3.

В этой главе доказывается локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для ci-мерной системы Навье-Стокса, записанной для поля скоростей в отсутствие внешней силы с начальными данными из пространства Ф(а,и>) функций вида ЧМ) = + где

1 ЫМ)! < с при 1*1 ^ 1 и V,(к,0) = 0 при |Jfe| > 1

2. |i>j(fc,0)| < D при > 1 и и2(А;,0) = 0 при \к\ < 1

для некоторых констант С и D В пространстве Ф[а,ш) вводится норма

IM*)IU = SUP |*IM*) + SUP Wv{k)

Параметры а и ш выбираются таким образом, чтобы каждый из интегралов

[ (кМк-l,0))р „ ((kMk-U0))P „ п тл

J kM1, m J \k-mi» PkV2{l m

go jjii

имел смысл.

Теорема 1 Для любого h € R+ найдется такое Т = Т(а, и, d, h) > 0, что для всякого начального данного vo(k) € Ф(а,ш): < h на интервале [О, Г] существует, ре-

шение задачи Коти для системы Навъе-Стокса. Такое решение единственно в классе функций Ф(а,и)

Теорема 2 Для всякого Те R+ найдется такая константа h = h(T,ot,ui,d), что при начальных данных vq(k). ||wo||aA> i h на отрезке [0,Т] существует, ейикственкое в классе Ф(а,ш) решение. v(k,t) задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальными Заннъши v0(fc).

Доказательство локальной теоремы существования и единственности проводится в два этапа

Рассматривается последовательность функций {t/n'(fc,t)}, удовлетворяющая следующим условиям

vi0)(k,t) = е~М\(к,0)

и рекуррентному соотношению

t

v<-n+1\k,t) = v<-°\k,t) + Jt'mt-s) J\k,v<n\k-l,s))Pkvin\l,s)dUs

0 Kd

Сперва доказывается инвариантность пространства функций, ограниченных по норме ||/(j)||au, = sup |/(i)||a;(a 4- sup 1/(1)1111" относительно динамики, задаваемой системой Навье-Стокса Иными словами, доказывается, что последовательность {t>'n'(fc,i)} равномерно по п ограничена в норме |{ ||aiU,

Утверждение 1 Для всякого h 6 R+ найдется такое 71 > 0 и такая константа Q = Q(a,ui,d), что при ||i>o(fc)IU,w ^ h, для всякого t € [0,71] и для любого п € N выполнено

ll»w(M)IU < Qh.

Затем проводится оценка на разность соседних членов этой последовательности и доказывается экспоненциальное убывание || - нормы этой разности.

Утверждение 2 В условиях утверждения 1 найдется такое Т2 > 0 и такая положительная константа 6, меньшая единицы, что для всякого t £ [0,7i] и для всякого п е N

!|t,("+«>(Jfc,t) - „<"+«(*, t)|U ^ %<n+1HM) - u<nHM)IU-

Таким образом, доказывается фундаментальность последовательности {v^n\k, t)) в пространстве функций, равномерно ограниченных по норме || • j|OA,. Из полнош пространства таких функций следует существование и единственность предела последовательности v(k,t) = lim vW(k,t). Это обстоятельство завершает доказательство локальной теоремы

п—»оо

существования и единственности решения задачи Коши

Далее, при критических значения параметров а и и, а именно при а = ш = d - 1 доказывается глобальная теорема существования решения задачи Коши для системы Навье-Стокса при малых по норме || \\d-i,d-i начальных данных

Доказательство использует ту же технику, что и доказательство локальной теоремы. Отличие заключается в том, что в оценках нормы каждого элемента последовательности 4)} не участвует время I. Поэтому все оценки являются равномерными не только по п, но и по t.

Теорема 3 Найдется такая константа е = что для любого Т > 0 существует единственное непрерывное отображение «(к, 4) • К" х [О, Т[ -» С* • € Ф{<1 - 1,</ -

1} £ [О, Т\, являющееся решением задачи Коши для системы Навъе-Стокса при начальных данных щ(к), принадлежащих пространству Ф(а! — — 1) таких, что < Е

Глава 2. Пространства Фа. Двумерный случай.

В этой главе рассматривается двумерная система Навье-Стокса, написанная для вихря Доказывается локальная теорема существования решения задачи Коши для такой системы с начальными данными, принадлежащими пространству Ф(а,а). Д ля однопараметрического семейства начальных данных

рассматривается классическая итерационная схема — последовательность {^'(к, ¿)}, где

с'0'(А;, 4) = Ае'М'Цк), вир с(й) = 1

к€Яй

и выполняется рекуррентное соотношение

<*"><м , е<?(М) + ю- /в-^л / (4)

О «а

Параметр а выбирается таким образом, чтобы выполнялись следующие условия. 1 Энстрофия может быть бесконечной

ымм2

/!

1*1* Л=0° кг

2. Энергия может быть бесконечной

' ММ)|2

/

К4

4к = оо

3 Все свертки в уравнении (4) имеют смысл

/•(M-i) \bA(l,t)\\cA(k-l,t)\

J IЦ2 \1\а\к-Ц°

f (к, Iх) \сА{1,г)\Ык-

J 11\2 \l\a\k-lf

■dk < oo

Простой подсчет дает следующую оценку

1/2 < а < 1

Доказательство локальной теоремы существования и единственности проводится при помощи техники, развитой в главе 2

Утверждение 3 Последовательность t)} лежит в пространстве равномерно ог-

раниченных функций при всех k £ R2 и при всех t 6 [0, to] для некоторого t0 = t0(a, А)

Утверждение 4 Последовательность {c^'(A:,()} является последовательностью Коши в пространстве равномерно ограниченных функций при всех k € R2 и при всех t 6 [0, to] для некоторого to — to(a,A).

В ходе доказательства этих утверждений, вводится новый управляющий параметр системы

При выполнении соотношения А < В, где В — это некоторая мировая константа, решение с нормой начального данного, равной А, существует на отрезке времени [0, ¿0]

Представлено разложение решения задачи Коши с начальными данными Сл(к, 0) = АсоЮ, где ||со(^)]!оо = 1 в ряд по степеням параметра А

А = А$

о

(5)

= А co(k) + J^A" I e-^t-^s'Thv{k,s)ds ,

p>i {

Предполагая, что функции hp(k, t) имеют вид

кр{к,1) = tf\k\agv{ksft,t), 9

для функций д„(к, 4) из (5) выводятся следующие соотношения Дня Р1(М)

Л2 Щ2 \Ц°\к~1\

Для 32 0 имеем

^ 1<1 1'Г

г ! г (М^) гь)

{ I И2

Наконец, в общем случае, при р ^ 3, имеем для др(к, 4)

КМ -

о 11 11

«/ У 4 — Ь]

о

1 1 . .

<! 4 1/1

Имеет место следующая теорема Теорема 4 Функции др(х, 4) удовлетворяют следующим оценкам: 1. при р = 1

где

х1-2", при X > 1

2. при р = 2

где

3. при р > 3

ы*,*)1 « С2е~Иа1/2(|х|)

[ х, при 0 < I < 1 I X , при X > 1

при О < х < 1 при х > 1

Константы СР удовлетворяют следующему соотношению

, 2

1>1.И>1 \

.4

для некоторой константы В.

р + 1

Далее исследуется поведение коэффициентов ряда (5) в зависимости от времени I Выражая функции Ь.р{к, я) через функциидр(/;, 5), а затем подставляя в выражение для др(к, а) подобные выражения для дР1 [к, ь), дК(к,з), мы получим выражение для коэффициента при Ар в виде суммы многомерных интегралов. Каждый такой интеграл мы будем называть схемой и обозначать через 5(р+1). Каждая схема получается при помощи последовательной подстановки в формулу (9) соответствующих выражений для дрХ и дп Если хотя бы одно из чисел р1 или меньше трех, то используется одна из формул (7) или (8).

Каждой последовательности разложения соответствует, таким образом ровно одна схема. Такую последовательность разложения числа р в сумму р единиц мы называем диаграммой и обозначаем Т>(р)

На рисунке (Рис 1) представлены два существенно различных типа диаграмм Каждой диаграмме отвечает разложение переменной к в сумму переменных интегрирования

к = 11 + 12 + --- + 1Т-1 + 1р

Р СА{1,)

Тогда в каждой схеме начальные данные встречаются в виде произведения 11 ' .

1=1 I 'я

Р+1 +1

4 4 4

/ч,

« '

2

Рис. 1 Диаграммы.

Поднимаясь снизу вверх по нашей схеме, мы получим в итоге следующее подынтегральное выражение

ПМь ■ ■ ■ ,Jn), 1^01, • • • . Jn, 1)) -ГГ CaOj) -YMju aJII'DW., j»)-.(ji, .j»,1))) n

где l(j'i,. • •, jn) = Z) a произведение ядер берется в зависимости от диаграммы к=1

Заметим, что при переходе к полярным координатам во всех интегралах по пространству от ядра останется только сомножитель |/(j1;.. , j„)|. Далее, оценив гауссовское ядро с этим сомножителем и сделав замену переменных в интегралах по времени 1(71,. , jn) = 1 — получим следующую оценку на схему S(p):

№)! s 0+жгЬзг) (' - Э^Г"" *.....

Последнее выражение показывает, что каждая диаграмма убывает по р экспоненциально. Поскольку общее количество диаграмм растет также экспоненциально, мы получаем, что при достаточно малых А решение Сл(к,t) можно записать в виде экспоненциально сходящегося ряда (5), где только первый член может иметь неограниченную энергию.

Глава 3. Аналитичность решения двумерного уравнения Навье-Стокса.

Здесь изложена совместная работа автора с Ю Ю Бахтиным и В И Динабургом Работа посвящена исследованию аналитичности решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса с иенулевой внешней силой, записанной для вихря. Первые результаты, касающи-

еся существования и единственности решения задачи Коши для такой системы были получены, по всей видимости, МакГрафом В его работе была сформулирована следующая теорема

Теорема 5 Пусть шо G L1(R2) Л L°°(R2), и все вторые производные uo равномерно гель-деровы в R1 с некоторым показателем А > 0. Пусть также Т > 0 таково, что f £ L1{Qt) i"1 L°°(Qt), где Q? — R2 х [0, Т] и f локально гельдерова с тем же показателем А по пространственным переменным при любом t 6 [0, Г] Тогда существует ограниченное классическое решение ш задачи Коши (3) на [0,Г]. Все производные решения, входящие в постановку задачи Коши, ограничены и непрерывны на Qt Это решение единственно в классе функций, рост которых на бесконечности ограничен некоторой экспонентой (более точно - в тихоновском классе единственности) Кроме того,

sup [M-,i)||WR2) + N-,i)|Ul(RJ)] < t€lO,T|

< 1Мь-(*») + IMtat»») + ril/IU-w,.) + И/Илчад.

Результаты, касающиеся существования и единственности решения этой задачи с нулевой внешней силой, были получены и при менее ограничительных условиях (см. например Й. Гига).

Аналитичность полученного решения доказывается в терминах преобразования Фурье А именно, мы доказываем следующее утверждение.

Введём для произвольной функции / : R2 R обозначения-

i^^TôxwlUi'

1Лт = I/U 7>0.

Теорема 6 Пусть начальное условие а>о и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы МакГрафа Пусть кроме того при некотором '» > 0 выполнено |ûo|7 < оо и при некоторых а > О, С/ > 0 и всех t > 0 выполнено |/(-,i)|7,a < Cf. Тогда существуют неубывающие положительные при t > 0 функции p(t) и D{t) такие, что решение ш задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальным условием vq удовлетворяет неравенству

|S(-,t)Uo < D(t).

При этом существует время Т > 0 такое, что функция @(t) постоянна при t > Т, а функцию D(t) можно выбрать линейной при t > Т. В отсутствие внешней силы функцию D(t) можно выбрать постоянной при t>T

Доказательство этого утверждения проводится в три этапа Сначала доказывается инвариантность множества функций, ограниченных по норме | • |7 относительно динамики, задаваемой системой Навье-Стокса.

Утверждение 5 Пусть начальное условие и>ц и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы МакГрафа, а кроме того при некотором 7 > 0 выполнено |£>о1-г < 00, а при всех t > 0 выполнено |/(-,i)|7 < С/ для некоторой константы Cf > 0. Тогда существует функция D(t) такая, что решение ш задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальным условием шо удовлетворяет неравенству [tD(-, t) |7 < D{t) при любом t > 0 При этом D(t) можно выбрать линейно растущей, а если внешняя сила нулевая, то D(t) можно выбрать постоянной.

Затем сходными методами доказывается инвариантность относительно той же динамики множества функций, ограниченных по норме | •

Утверждение 6 Пусть начальное условие шо и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы МакГрафа Пусть также при некотором 7 > 0 выполнив |wo|7,e < 00 и при некоторых а,С/ > Ou всех t выполнено [/(-, i)|-r,a ^ С/. Тогда существует функция D(t) такая, что решение ш задачи Коши (3) с начальным условием wo удовлетворяет неравенству |2(-,i)|x„ < D(t) при любом t > 0. При этом D(t) можно выбрать линейно растущей, а если внешняя сила нулевая, то D(t) можно выбрать постоянной

Наконец третий шаг заключается в доказательстве существования такого момента времени, при котором из полиномиального убывания преобразования Фурье решения задачи Коши для системы Навье-Стокса следует экспоненциальное убывание.

Утверждение 7 Пусть начальное условие шо и вихрь силы f удовлетворяют условиям теоремы МакГрафа Пусть также при некотором 7 > 0 выполнено < ос и при некотором а > 0 и ecext выполнено |/(-,i)|7,a < Cj Тогда существуют такие времяТ> 0 и неубывающая функция D(t), что при t € [0.Т] решение и> задачи Коши для системы Иавъе-Стокса с начальным условием шц удовлетворяет неравенству |u)( , i)|7,ta < D(t)

Глава 4. Численный счет.

В этой главе приводится алгоритм численного моделирования динамики системы Навье-Стокса для начальных данных, принадлежащих пространству Ф(а, а) для трехмерного уравнения Навье-Стокса.

Рассматривается задача Коши с начальными данными, принадлежащими пространству Фа, 2 < а < 3 В этом случае, из результатов статьи Я.Г. Синая следует, что для решения Ьл(к, существует разложение в ряд

vA(k,t) = A

(10)

vA(k,0)e-W'+ [е A"hp(k,s)ds

о J»1

где А = As*?.

Этот ряд является экспоненциально сходящимся на отрезке [0, Т], где Т удовлетворяет соотношению AT*? < const. Описание алгоритма.

Под численным решением задачи Коши мы будем понимать набор значений функции

пТ

в узлах d-мерной решетки в моменты времени вида —, п — 1 Число N является

внутренним параметром алгоритма и задается в начале работы программы

Поскольку из результатов статьи Я Г. Синая следует инвариантность относительно оператора решения пространств Фа, то и размеры решетки устанавливаются в начале и являются внутренними параметрами алгоритма.

Начальные данные могут быть заданы как с помощью встроенной функции, так и набором значений в узлах решетки

Используются следующие обозначения

е — точность вычисления значений функции,

elnt — точность вычисления слагаемого в интегральной сумме,

Rnm — радиус окрестности нуля, внутри которой значения функций интерполируются по закону

Rmax — радиус окрестности нуля, вне которой значения функций интерполируются по закону ±

М — количество точек разбиения по каждой из координат,

- радиус окрестности нуля, внутри которой интегрируемая особенность считается аналитически,

ЛЦЦх — радиус окрестности, вне которой интеграл берется аналитически Основные объекты.

1 Заводится объект grid — трехмерная решетка grid реализуется как массив координат узловых точек

Координаты узловых точек решетки вычисляются по формулам

р[г,з, к].х = ЦНщса - ^m)/JVsin(7r(-l/2 + j/ЛГ)) соз(тг(2г/ЛГ)) р[г,з, к).у = kiR^ - ^m)/Arsin(^(-l/2 + j/ЛГ)) sin^/iV)) p[i,3,k].z = kiR^v - Rmm)/Ncos(ir(—1/2 +j/JV))

2 Значение функции hl(t, к) в точках решетки вычисляется по формуле

Mi, к) (к) + PkJ{к, Co(fc - tycome-W^-^cU

R3

3 Интегрирование реализуется при помощи рекурсивной функции IntegrateR3 с адаптивным шагом таким, что точность вычисления каждого слагаемого не превосходит е„и.

4 Значение функции hp(t, к), где р > 1 вычисляется рекуррентно по формуле

t t hv&k) = е-Мнсо(к) + £ Pk f sT^ds, f if^ n>i { о

[ (*■ к - ¿))УР1(д2,0 r-u4ft-«,wifc-ti'(t-«n j.

J \l\°\k-l\°

R3

5. Интегрирование по времени производится при помощи рекурсивной процедуры с адаптивным шагом Timelntegrate. Пошаговое описание алгоритма.

1. Задается начальное данное в виде внутренней функции -тгттг

\кГ

2 Вычисляется такое значение р, при котором экспоненциально сходящийся ряд (10) обеспечивает заданную точность вычислений е.

3 Вычисляются значения функции hi в точках решетки grid,.

4. С помощью рекурсивного вызова процедуры, вычисляются значения функций hv в точках решетки grid.

5. Вычисляется сумма ряда №h.p(s, к).

6 При помощи функции Timelntegrate вычисляется интеграл

t

о

Результаты работы программы приведены в конце главы в виде таблицы. При значениях времени t, удовлетворяющих условию

< 0,13 наблюдается экспоненциальная

сходимость алгоритма

Заключение.

Общий итог работы состоит в том, что исследованы новые функциональные пространства, в которых имеет место локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы Навье-Стокса во всем пространстве Получен ряд новых результатов, касающихся гладкости решения двумерной системы Навье-Стокса На основе статьи Я Г Синая разработан принципиально новый быстро сходящийся алгоритм численного моделирования решения трехмерной задачи.

Публикации.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1 М D Arnold, Yu.Yu Bakhtin, and E.I. Dinaburg. «Regularity of Solutions to Vorticity Navier-Stokes System on R2.» Comm. Math. Phys., 258:339-348, 2005

2 M Д Арнольд, Ю Ю. Бахтин, Е.И Динабург «Регулярность решений системы Навье-Стокса на плоскости * Успехи Мат. Наук, 60(3)-157-159, 2004

3 М.Д Арнольд «Локальная теорема существования решений d- мерной системы уравнений Навье-Стокса.» Успехи Мат. Наук, 60(3):173—174, 2005.

Принято к исполнению 10/11/2005 Исполнено 11/11/2005

Заказ № 1213 Тираж: 75 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (095) 975-78-56 (095) 747-64-70 www.autoreferat.ru

РШ19

РНБ Русский фонд

2006-4 22352

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Арнольд, Максим Дмитриевич

§1 Введение.

§1.1 Основные результаты.

§2 Исторический очерк.

§2.1 Общие сведения и предварительные замечания.

§2.2 Система Навье-Стокса для векторного поля скоростей.

§2.3 Система Навье-Стокса для завихренности.

1 Пространства Ф(а,ы). Случай с! > 3.

§1 Локальная теорема существования и единственности в пространствах Ф(а,ш).

§1.1 Формулировки теорем.

§1.2 Доказательства теорем 1.3 и 1.4.

§2 Критические пространства Ф(с1 — 1, с! — 1).

2 Пространства Ф„. Двумерный случай.

§1 Локальная теорема существования для уравнения с бесконечной энергией и энстрофией.

§1.1 Формулировки теорем.

§1.2 Доказательства.

§2 Разложение решения в ряд по степеням параметра Л.

Диаграммы.

§2.1 Разложение по степеням Л.

§2.2 Диаграммы. Оценки коэффициентов.

3 Аналитичность решения двумерного уравнения Навье-Стокса.

§1 Основные результаты.

§2 Доказательства.

4 Численный счет.

§1 Описание алгоритма.

§2 Результаты работы программы.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Качественные свойства решений системы Навье-Стокса"

Уравнения Навье-Стокса вот уже иа протяжении полувека занимают ключевую, и должно быть наиболее заметную позицию в уравнениях гидродинамики. Проблема описания движения идеальной вязкой несжимаемой жидкости представляется тем более интересной и значимой, поскольку многие природные процессы как то разного рода атмосферные явления, волнения на море, сейсмические явления могут быть описаны с точки зрения уравнений гидродинамики. Наиболее интересным и важным является вопрос о существовании решения задачи Коши для системы Навье-Стокса, поскольку именно прекращение существования решения, как раз и отвечает таким стихийным бедствиям, как ураганы, цунами, извержения вулканов, землетрясения и т.п.

Многие исследователи по всему миру обращались к проблеме существования и единственности решения этой системы. Сравнительная доступность экспериментов, простота уравнений в модели, широкий спектр применения результатов и вместе со всем этим чрезвычайная трудность математической задачи — вот те факторы, которые делают теорию уравнений Навье-Стокса столь интересной для ученых различных отраслей физики и математики.

§1.1 Основные результаты.

В главе 1 вводятся пространства функций Ф(а, и>), где а и и> постоянные параметры, зависящие только о размерности (I. В этих пространствах для случая <1 > 3 доказываются локальные теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений (4)-(5) в отсутствие внешней силы.

Теорема. Для любого к 6 М+ найдется такое Т = Т(а, и>, с/, К) > 0, что для всякого начального данного г0(к) € Ф(а,о;): ||г'о(А;)||а1Ш ^ к на интервале [О, Т] существует решение задачи Коши для системы Навье-Стокса. Такое решение единственно в классе функций Ф(а,ы).

Теорема. Для всякого Т € М+ найдется такая константа /г = Н(Т, си, со, с1), что при начальных данных г'о(к): ЦгоЦа,^ ^ Ь на отрезке [0,Т] существует единственное в классе Ф(а, ш) решение у(к, ¿) задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальными данными го(к).

Кроме того, при критических значениях параметров а и ы, а именно при а = и = (1—1 имеет место глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши, если только норма || • начального данного достаточно мала.

Теорема. Найдется такая константа е — е(сI), что для любого Т > 0 существует единственное непрерывное отображение у(к, ¿) : х [О, Т\ —> С'1 : у(к, ¿) 6 Ф(с/ — 1, — 1)У£ 6 [О, Г], являющееся решением задачи Коши для системы Навье-Стокса при начальных данных г'о (к), принадлежащих пространству Ф (о? — 1, (1 — 1) таких, что г.

В главе 2 рассматривается двумерная система Навье-Стокса, написанная для вихря. Доказывается локальная теорема существования решения задачи Коши для такой системы с начальными данными, принадлежащими пространству Ф(а,а) с бесконечной энергией и энстрофией. Доказательство проводится при помощи техники, развитой в главе 1. сл(к £)

Для однопараметрического семейства начальных данных Мл(к, £) = ■' '—, 1/2 <

Ща а < 1 рассматривается классическая итерационная схема — последовательность ЙИ)(М)}, где = Ае~М\(к), 8ир с(к) = 1 ей2 и выполняется рекуррентное соотношение о а2

Утверждение. Последовательность {с^\к, £)} лежит в пространстве равномерно ограниченных функций при всех к Е Е2 и при всех £ € [0, £0] для некоторого £0 = £о{а, А).

Утверждение. Последовательность £)} является последовательностью Коши в пространстве равномерно ограниченных функций при всех к 6 М2 и при всех £ € [0, £0] для некоторого £0 = £о(а, Л).

В ходе доказательства этих утверждений, вводится новый управляющий параметр системы

Л = Л£?

При выполнении соотношения А < В, где В — это некоторая мировая константа, решение с нормой начального данного, равной А, существует на отрезке времени [0, £о].

Представлено разложение решения задачи Коши в ряд по степеням параметра Л.

Имеет место следующая теорема

Теорема. Функции др(х, £) удовлетворяют следующим оценкам:

1. при р = 1 где

2. при р = 2 где

3. при р ^ 3 где г ( \ ~) при 0 < а: < 1

П{х) - < ^ х > 1

Мх) = Л 2-2« ж, при 0 < х < 1 х2~2а, при X ^ 1 х, при 0 < х < 1 р(я) = < . . п

1, при X ^ 1

Константы Ср удовлетворяют следующему соотношению

1+Р2=р-1 для некоторой константы В.

В главе 3 рассматривается двумерное уравнение Навье-Стокса для завихренности. В случае с ненулевой внешней силой, здесь доказывается аналитичность решения задачи Коши для системы (2)-(9) в любой момент времени.

Здесь изложена совместная работа автора с Ю.Ю. Бахтиным и Е.И. Динабургом. Работа посвящена исследованию аналитичности решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса с ненулевой внешней силой, записанной для вихря. Первые результаты, касающиеся существования и единственности решения задачи Коши для такой системы были получены, по всей видимости, МакГрафом. В его работе [McG67] была сформулирована следующая теорема

Теорема. Пусть loo € Ьг(К2) П L°°(R2), и все вторые производные cü0 равномерно гёльдеровы в!2 с некоторым показателем Л > 0. Пусть также Т > 0 таково, что / € L\QT) П L°°(Qt), где Qt = R2 х [0, Т] и f локально гёльдерова с тем же показателем А по пространственным переменным при любом t е [0, Т]. Тогда существует ограниченное классическое решение и задачи Коши (7) на [0, Т]. Все производные решения, входящие в постановку задачи Коши, ограничены и непрерывны на Qt- Это решение единственно в классе функций, рост которых па бесконечности ограничен некоторой экспонентой (более точно — в тихоновском классе единственности). Кроме того, sup [IK-.OlUooíR2) + ||w(-,í)IUi(R3)] < te[o,T] IMk~(R2) + IMUhr2) + tII/IU°°(QT) + II/IU4qt)>

Результаты, касающиеся существования и единственности решения этой задачи с нулевой внешней силой, были получены и при менее ограничительных условиях на начальные данные (см. например [GM088]).

Аналитичность полученного решения доказывается в терминах преобразования Фурье. А именно, мы доказываем следующее утверждение.

Введём для произвольной функции / : R2 —> R обозначения:

La = SUp —--ГГ7, с*^0,7>0,

Ul7, fc (1 Л |A;|-T)e"Qlfcl •

I/I7 = 1/17,0, 7 > 0. '

Теорема. Пусть начальное условие и'о и вихрь силы / удовлетворяют условиям теоремы МакГрафа. Пусть кроме того при некотором 7 > 0 выполнено ро|7 < оо и при некоторых о > 0, С/ > 0 гг всех t > 0 выполнено |/(-, OI7,« ^ С/. Тогда существуют неубывающие положительные при t > 0 функции (5{t) и D(t) такие, что решение и задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальным условием о,'о удовлетворяет неравенству

При этом существует время Т > 0 такое, что функция /3(t) постоянна при t ^ Т, а функцию D(t) можно выбрать линейной при t ^ Т. В отсутствие внешней силы функцию D(t) можно выбрать постоянной при t ^ Т.

В главе 4, на основе разложения решения трехмерной задачи в ряд, полученного в статье [SinOoc] представлен алгоритм численного .моделирования решения задачи Коши для уравнений (5) и представлены результаты счета. Отличительной особенностью данного алгоритма является его скорость сходимости, поскольку используемая итерационная схема, в силу работы [SinOoc], стремится к решению экспоненциально.

Автор бесконечно признателен Я.Г. Синаю за неослабевающий интерес к работе, постоянную помощь и поддержку в идеях и методах.