Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Исследование структуры аттракторов баротропной и двухслойной бароклинной моделей атмосферной циркуляции

ВАК РФ 04.00.23, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Исследование структуры аттракторов баротропной и двухслойной бароклинной моделей атмосферной циркуляции"

1Я97

нети

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

2 Ц ФЕВ

с ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Грицун Андрей Сергеевич

УДК 551.509.3

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ АТТРАКТОРОВ БАРОТРОПНОЙ К ДВУХСЛОЙНОЙ БАРОКЛИННОЙ МОДЕЛЕЙ АТМОСФЕРНОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ

04-00-23 — Физика атмосферы и гидросферы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

МОСКВА 1997

Работа выполнена в Институте вычислительной математики Российской академии наук

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Б.П. ДЫМНИКОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук М.В. КУРГАНСКИЙ кандидат физико-математических наук В.П. ШУТЯЕВ

Ведущая организация:

Вычислительный центр Сибирского отделения РАН

Защита состоится " 6 Л* ¿у Т^_1997 г.

на заседании специализированного совета Д 003.47.01 в Институте вычисли тельной математики РАН по адресу: 117333 Москва, Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислитель ной математики РАН.

Автореферат разослан " " лЛ^ <Я Л-(

1997 г.

Ученый секретарь У

специализированного совета (¿//с/ЛЛ^

кандидат физико-математических наук С.А. Финогенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В процессе математического моделирования климатической системы на основе анализа физических процессов делается предположение, что исходная система с определенной точностью описывается некоторой математической моделью. Обычно эта модель представляет собой систему уравнений в частных производных.

При численной реализации исходная система уравнений климатической модели , фазовое пространство которой обычно бесконечномерно , по существу, заменяется на некоторую конечномерную систему. Если в задачах прогноза погоды адекватность конечномерной системы исходной системе исследуется с помощью соответствующих теорем сходимости решения конечномерной системы к решению исходной дифференциальной системы на конечном интервале времени, то в задаче моделирования климата речь идет об адекватном описании характеристик аттрактора исходной системы, другими словами, о близости аттрактора исходной системы к аттрактору ее конечномерного аналога. Проблема аппроксимации аттракторов бесконечномерных систем очень сложна. Характерным примером такой сложности может служить явление "излишнего хаоса (spurious chaos)", наблюдаемое при решении уравнений двухслойной бароклинной модели атмосферы.

Рассмотрение климатической системы с точки зрения теории динамических систем дает нам возможность ввести в рассмотрение новый класс ее инвариантов (при некоторых условиях, накладываемых на систему). При этом если исходная система каким-либо образом аппроксимируется, то естественно возникает вопрос о сходимости инвариантов (например, показателей Ляпунова и размерности аттрактора) приближенных систем (например, галеркин-ских аппроксимаций исходной системы) к инвариантам исходной задачи. Если такая сходимость имеет место, то по поведению инвариантов приближенных систем можно судить о качестве аппроксимации исходной системы. Важной задачей здесь также является изучение того, как изменяется структура аттракторов приближенных систем (например, галеркпнских) при увеличении разрешения.

Отметим, что для некоторых систем получены аналитические оценки размерности аттрактора (Дымников, Филатов, 1994). Численная проверка этих оценок также является интересной проблемой.

Задача вычисления размерности аттрактора важна, кроме того, и в связи с оценкой вероятности существования так называемых режимов циркуляции (Дымников, Филатов, 1994).

Наиболее эффективным методом вычисления показателей Ляпунова и раз мерности аттрактора является метод, основанный на мультипликативной те ореме и формуле Каплана-Иорка. К недостаткам этого метода относится тс что он требует знания явного вида линеаризованного оператора системы. I! кроме того, данный метод является вычислительно трудоемким. Это делае' его неприменимым к моделям общей циркуляции атмосферы.

В случае, если распределение точек на аттракторе модели близко к нор мальному, для оценки числа независимых переменных можно воспользоватьс "статистическими" методами оценки числа степеней свободы системы. Срав нение числа независимых переменных и величины размерности аттрактор модели представляется интересной проблемой.

Другая важная задача, возникающая при усреднении диссипативной св стемы по времени, - это проблема низкочастотной изменчивости, котора является ключевой в общей проблеме долгосрочного прогноза погоды и кс лебании климата.

Усредняя траекторию системы по произвольному промежутку времени, М1 получаем траекторию, принадлежащую некоторой другой системе, уравнени которой нам неизвестны. Поведение этой системы при подходящем выбор интервала усреднения может кардинально отличаться от поведения исход ной системы. Для достаточно больших времен усреднения Т, при известны допущениях, дисперсия усредненного процесса будет стремиться к нулю ка 0(1/Т). Это означает, что объем фазового пространства, в котором находит ся усредненная траектория, сжимается. Хорошо известно также, что круг номасштабные низкочастотные процессы в атмосфере квазибаротропны, чт дает определенные основания использовать для их анализа линеаризовании баротропные или эквивалентно-баротропные уравнения. Перечислим некотс рые вопросы, являющиеся предметом исследования многих научных груш В какой степени низкочастотные колебания атмосферной циркуляции яв.и ются собственными колебаниями или вынужденными? Если предположит что низкочастотные колебания являются вынужденными, то насколько а щественна структура вынуждающей силы? В какой степени стационарнк волны (среднее состояние атмосферы) контролируют структуру низкочасто'] ных колебаний? В какой степени структуру низкочастотных колебаний можк исследовать с помощью баротропных уравнений?

Цель и задачи исследования. Цель диссертационной работы состои в том, чтобы исследовать структуру аттрактора моделей атмосферной ци] куляции (баротропной и двухслойной бароклинной) прп помощи численны методов, основанных на теории динамических систем. При этом в работе бь ли изучены следующие задачи:

1. Как изменяется структура аттрактора галеркинских аппроксимаций уравнения баротропного вихря на сфере при увеличении размерности задачи?

2. Как связаны между собой размерность аттрактора и число независимых степеней свободы для двухслойной бароклинной модели атмосферной циркуляции?

3. Каков механизм возбуждения супернизкочастотной изменчивости двухслойной бароклинной модели атмосферы и в рамках какой модели он может быть описан?

Научная новизна. В данной работе впервые исследована зависимость показателей Ляпунова и размерностей аттракторов галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере от размерности фазового пространства задачи. Максимум в кривой зависимости размерности аттрактора от разрешения задачи связан с явлением "излишнего хаоса". Исследованы причины этого явления.

Для двухслойной квазнгеострофической модели атмосферы при различных нормах правой части вычислены показатели Ляпунова модели и размерность ее аттрактора.

Исследован вопрос о возможности использования числа статистически независимых степеней свободы для оценки размерности аттракторов двухслойной бароклинной и баротропной моделей атмосферной циркуляции.

Исследован механизм возбуждения низкочастотной изменчивости циркуляции, генерируемой двухслойной бароклинной моделью. Показано, что для данной модели схема возбуждения низкочастотной изменчивости через возбуждающую силу, описываемую как случайный процесс с плотностью функции распределения по пространству в виде "белого шума", работает на уровне корреляции 0.75 для доминирующей естественной ортгональной функции.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и Ученом совете Института вычислительной математики РАН, на семинаре кафедры компьютерных методов физики физического факультета МГУ, на международной конференции по динамике атмосферы и океана (Dynamics of ocean and atmosphere, Москва, 22-25 ноября 1995 г.), на российско-французском семинаре по проблемам предсказуемости климата (Москва,1996).

Публикации. Основные результаты изложены в пяти печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех

глав, заключения, приложения, списка литературы и иллюстраций. Диссертация изложена на 74 страницах, включая 15 иллюстраций. Список литературы содержит 53 наименования.

Содержание работы

Во введении кратко освещена история вопроса, сформулированы поставленные в диссертации задачи и дана краткая характеристика ее содержания по главам.

В первой главе исследуется структура аттракторов галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере при увеличении размерности соответствующих галеркинских подпространств. Глава состоит из пяти частей. В первой части формулируются определения и приводятся необходимые результаты, полученные при анализе уравнения баротропного вихря на сфере.

Баротропное уравнение вихря имеет следующий вид: дА хЬ

+ J(1!>,&ф + l + h) = f-aЬф + |lAi1|>, (1)

Здесь ф = ф(в, <р), |0| < тг/2, 0 < <р < 2тг,

„, , 1 ¡91 дд _ ддд/ и,9> созв^дудв д^дв'

- якобиан, ¡1 - коэффициент турбулентной вязкости, а - коэффициенты трения в пограничном слое. Правая часть £ не зависит от 1 и описывает источник баротропного вихря, порождаемый бароклинными процессами.

Для данного уравнения справедлива теорема существования и единственности обобщенного решения, для него доказана теорема о существовании аттрактора (компактного, ивариантного, притягивающего множества), получена оценка размерности аттрактора этого уравнения.

В работе приведено определение показателей Ляпунова полугруппы 5'(<), действующей в

Пусть и(Ь) = 5(Ь)щ,Ь - натуральное число. Обозначим через Т^щ матрицу Якоби отображения Б(Ь) в точке и(0) :

(Ти{0))ч =

Тогда показателем Ляпунова полугруппы 5(/) в точке м(0) называется чи-

сло

\,- = 11т 11о5||ГД0)/.||,Й 6ЛЛ',

если такой предел существует.

Если S(t) имеет инвариантную меру и эргодична, то для нее справедлива мультипликативная эрпшгческая теорема, на основе которой вычисляются показатели Ляпунова (Оселедец.1969): почти для всех щ существует, притом единственный, предел

0(щ) = Um((li(0))* ■ ri-(0))Ä,

причем О не зависит от и (0). собственные числа О fij есть экспоненты показателей Ляпунова \j = Infi j (* - переход к сопряженной матрице).

Если известны показатели Ляпунова системы S(t) и она имеет аттрактор, то его размерность может быть вычислена по формуле Каплана-Иорка (Kaplan, Yorke, 1979)

dimA = j + Е тт~~—р t=i lAj+il

где j определяется условием

¿Ak>0 u EAiCO. t= 1 к-1

В работе также дано определение локальных неустойчивых и устойчивых многообразий динамической системы S(t).

Во второй части первой главы описывается баротропная модель атмосферной циркуляции, численные методы ее решения и метод вычисления показателей Ляпунова.

Исходным уравнением модели является уравнение баротропного вихря (1) на полусфере в > 0, записанное в терминах безразмерной функции тока гр. В качестве краевых условий на экваторе были выбраны условия прилипания * для функции тока ф и завихренности со = Аф:

V'|0=о = 0 , w|i>=o=0-

Для данного уравнения справедливы все теоремы, сформулированные в первой части для уравнения (1).

Единица времени равна 1/П, единица расстояния - R, где Q и R - угловая частота вращения и радиус Земли соответственно. Значение коэффициента трения в пограничном слое а = 1.1 • Ю-2 и соответствует характерному времени диссипации 14 суток, а коэффициент /х равен 2 • Ю-4 (- 5.6 ■ 105л»2/с в размерном виде ), h соответствует реальной высоте подстилающей поверхности.

Правая часть выбирается так, что неустойчивым стационарным решением уравнений модели является климатическая функция тока на 200-миллпбаровой поверхности (при разрешении TT ).

При пространственной аппроксимации задачи (1) используется метод Га-леркпна. Базисом в пространстве модели служит система антисимметрических сферических гармоник. Подсистемы сферических гармоник с собственными числами по модулю не превосходящими AT(N + 1) определяют соответствующие галеркинские подпространства. Для каждого Л" уравнение (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье разложения функции тока ij> по системе сферических гармоник. Данная система уравнений с учетом антисимметричности гр относительно экватора имеет порядок M=N(N+l)/2.

В качестве схемы по времени использовалась схема Мацуно, которая для уравнения

du

— - А(и), и{0) = «о

имеет вид:

и = и* + тА(и{)/2, (2)

Ui+1 = и1 + тА(и).

Заметим, что у приближенной системы, получаемой из (1) при помощи метода Галеркина, также как и у исходной системы, существует аттрактор (Дымников,Филатов,1994). Доказательство существования аттрактора у системы, получаемой после аппроксимации галеркннской системы по времени с помощью схемы Мацуно, дано в приложении.

Для вычисления показателей Ляпунова и размерности аттрактора использовался метод, основанный на использовании мультипликативной эргодиче-ской теоремы Оселедеца и формулы Каплана-Иорка. Он состоит из следующих шагов.

1. Система уравнений, полученная из (1) при помощи метода Галеркина, интегрируется на L шагов с помощью схемы Мацуно.

2. Образуется матричное произведение

= nVif п Ti, (з)

¿=0 i=L-1

3. Вычисляются Xj — jjIncj, где cj есть собственные числа матрицы полученного произведения. В силу теоремы Оселедеца, приведенной в первой части (при L —> сю), Аj совпадают с показателями Ляпунова этой системы.

4. С увеличением L численно исследуется сходимость Xj к показателям Ляпунова.

Следует заметить, что прямая процедура вычисления собственных чисел матричного произведения во втором пункте метода численно неустойчива. Применяемый на практике метод вычисления собственных чисел описан в приложении.

В работе также приведен второй метод вычисления показателей Ляпунова, основанный на их определении и используемый в работе для проверки правильности вычислений. Сформулирован метод определения касательного пространства к локально неустойчивому многообразию в произвольной точке траектории системы.

Для вычисления числа статистических степеней свободы использовались методы, предложенные в (Wallace et.al.,1991) и в (Тер-Мкртчян,1969). Суть первого метода заключается в том, что распределение коэффициентов кова-рпации между точками на аттракторе модели (если справедливы условия центральной предельной теоремы) может быть аппроксимировано гауссовым распределением. Величина дисперсии этого распределения обратно пропорциональна числу независимых степеней свободы этого распределения.

При использовании второго метода каждая координата точки на аттракторе модели делится на дисперсию соответствующего координатного ряда. Затем распределение евклидовых длин полученного ряда приближается с помощью распределения х2 с числом степеней свободы, зависящим от числа степеней свободы этого ряда.

В третьей части первой главы приводятся результаты расчетов характеристик аттракторов галеркинских аппроксимаций уравнения (1) при увеличении разрешения (числа N).

Численные эксперименты проводились при спектральных усечениях Т7(28), Т8(36), Т10(55), Т12(78), Т15(120), Т18(178), Т20(210), Т23(276), Т25(325), ' Т27(378), Т30(465), Т32(528) и Т35(630) (обозначение Т20 означает, что используется треугольное усечение и N=20; в скобках приведена размерность соответствующей задачи).

Вычислительная процедура для каждой задачи выглядит следующим образом. Сначала система интегрируется на 1000 суток, чтобы избежать зависимости от начальных условий, затем она интегрируется еще на 3000 суток, вычисляются характеристики циркуляции (преобразования энергии, равновесные спектры, число статистически независимых степеней свободы). По двум методам вычисляются показатели Ляпунова. По формуле Каплана-Йорка вычисляется размерность аттрактора. Также вычисляются ляпуновские направления и собственные векторы и собственные числа оператора модели, линеаризованного в каждой точке траектории. Повторным вычислением с вдвое меньшим шагом по времени устанавливается устойчивость вычисления пока-

зателей Ляпунова по отношению к временной аппроксимации.

Кривые зависимости размерности аттрактора и старшего лящ'новского показателя от размерности фазового пространства приближенной задачи имеют две характерные особенности.

Во-первых, имеет место стабилизация данных характеристик аттрактора начиная с разрешения ТЗО. На основании данного факта мы можем предположить, что размерность аттрактора исходной (бесконечномерной) задачи равна 20 и число положительных показателей Ляпунова равно 9. Кроме того, можно предположить, что при разрешении большем, чем ТЗО исходная система правильно описывается приближенными системами.

Во-вторых, значение размерности достигает максимума при разрешении Т12-Т15.

Далее в работе был исследован осредненный по времени энергетический спектр модели и преобразования энергии. Для более детального их рассмотрения все моды были разбиты на три группы: крупномасштабные моды с зональным числом меньше 8 (моды, получающие энергию от правой части); моды с переходным масштабом (зональное число между 8 и 13) - эти моды могут получать энергию от взаимодействия крупномасштабных мод между собой и с орографией; и мелкомасштабные (с зональным числом больше 13).

Вычисления показали, что энергия промежуточного масштаба также максимальна при разрешении Т12. Впервые это явление было обнаружено в работе (Chelesky, Tung, 1987): при численном решении уравнений двухслойной бароклпнной атмосферы оказалось, что амплитуда колебания решения достигает максимума при использовании среднего разрешения, (в работе это явление было названо "излишним хаосом"). При увеличении разрешения после Т12 энергия промежуточного масштаба в основном перераспределяется в более мелкий масштаб. Причина максимума энергии промежуточного масштаба на Т12 объясняется тем, что поток энергии в него из крупномасштабных волн при Т12 достигает своего максимального значения (при Т12 разрешаются все нелинейные взаимодействия основных энергетических мод), при этом сток энергии в мелких! масштаб отсутствует. Данная картина наглядно иллюстрируется графиками зависимостей потоков энергии.

Из анализа локальной неустойчивости на аттракторе модели, которому посвящена четвертая часть первой главы, следует, что для разрешения Т12 как среднее число неустойчивых собственных векторов, так и абсолютная величина соответствующих собственных значений максимальны. Таким образом, при разрешении Т12-Т15 высокая активность колебаний в среднем масштабе приводит к увеличению локальной неустойчивости. При этом увеличивается также размерность неустойчивых подпространств линеаризованных операто-

ров. Оба этих фактора приводят к увеличению размерности аттрактора.

Итак, явление "излишнего хаоса" формируется следующим образом: увеличивается поток энергии в средний масштаб - увеличивается локальная неустойчивость - растет размерность аттрактора.

В этой части также была исследована локальная структура аттрактора. Для этой цели был вычислен базис локальных ляпуновских векторов, соответствующих положительным показателям Ляпунова, который определяет ориентацию локального неустойчивого многообразия. Важным свойством этого многообразия является то, что оно содержится в аттракторе. Вдоль ортогональных к нему направлений происходит сжатие фазового пространства. и таким образом вдоль этих направлений аттрактор в среднем имеет фрактальную структуру (типа канторовского множества).

Анализ ориентации этого базиса в фазовом пространстве модели показал, что гладкая часть аттрактора в основном параллельна подпространств}' сферических гармоник с зональным числом от 3 до 5 . Вдоль самых крупных и мелких масштабов аттрактор имеет фрактальную структуру. Отсюда можно сделать вывод о том, что на формирование структуры аттрактора основное влияние оказывает локальная (в каждой точке траектории) баротропная неустойчивость. Форсирующий поток оказывает косвенное влияние (максимум притока энергии от правой части приходится на самый крупный масштаб), поддерживая через нелинейное взаимодействие крупных масштабов эту неустойчивость.

В пятой части первой главы данной работы рассмотрен характер зависимости размерности аттрактора от коэффициентов диссипации а. ц. С этой целью для спектральных приближений Т7, TIO, Т15 и Т20 вычислялась размерность соответствующих аттракторов при различных значениях коэффи- " циентов. Коэффициент а принимал значения, соответствующие 1/7 и 1/14 суток, коэффициент р - значения О, Ю-4, 2 • Ю-4.

При ¡1 = 0 сходимость в размерности отсутствует. Данный результат свидетельствует о том, что при данном значении параметров и форсинга конечномерного аттрактора у исходной модели нет. При fi ф 0 у всех кривых присутствует экстремум размерности аттрактора. Кроме того, при уменьшении // размерность аттрактора достигает своего максимума при большем разрешении. Данный факт объясняется тем, что уменьшение диссипации в мелком масштабе приводит к большей неустойчивости. Поэтому для обеспечения стока энергии требуется большее число сферических гармоник. Отметим также, что большим значениям коэффициентов диссипации соответствуют меньшие значения размерности аттрактора.

В заключение остановимся на связи размерности аттрактора и числа He-

il

зависимых степеней свободы, которое будем рассчитывать, следуя (Wallace et.al., 1991). Поскольку результаты применения этого метода зависят от способа нормировки базиса (выбора скалярного произведения в формуле для коэффициента корреляции), данный метод был применен к полям функции тока V'. скорости Vt- и завихренности Av.

Результаты вычислений показали, что число независимых степеней свободы, рассчитанное по полю функции тока, практически постоянно. Этот факт объясняется тем, что число степеней свободы определяется числом компонент с большой амплитудой колебаний, а амплитуда крупномасштабных колебаний при увеличении разрешения меняется слабо. Ситуацию можно несколько исправить, применяя данный метод к полю скоростей. В этом случае метод становится чувствительным к изменению энергии в промежуточном масштабе.

Если метод применить к полю завихренности, то число статистически независимых степеней свободы практически совпадает с размерностью аттрактора и во всяком случае является верхней оценкой для числа значимых (положительных) показателей Ляпунова. Отметим, что аттрактор исходной модели существует в пространстве Щ, что соответствует нормировке поля именно в терминах завихренности. Данный факт подтверждает сделанный в (Дымников,Грицун,1996) вывод о том, что число значимых (больших) положительных показателей Ляпунова не может быть больше числа независимых степеней свободы.

Во второй главе работы исследуется зависимость показателей Ляпунова и размерности аттрактора двухслойной бароклннной модели атмосферы от бифуркационного параметра (коэффициента при правой части). Глава состоит из четырех частей.В первой части сформулирована модель.

Исходная система уравнений состоит из уравнения для вихря, термодинамического уравнения и уравнения баланса термического ветра (linear-balance model, Lorenz, 1969). Введя сетку по давлению (с узлами 250 мб и 750 мб) и заменяя производные разностями с учетом граничных условий мы приходим к системе уравнений для баротропной (р — (i-'750 +v'25ü)/2) и бароклннной [■ф* = (v'-'750 —V;25o)/2) составляющих функции тока (-0750 - функция тока 750мб поверхности)

ядТл _ _ _ _

—f- + J(rp, Aip + I + th) + J{xl>\ Av' + 2th) = цА2ф - aA(^ + p/2), (4)

(0AV* +ß2BiP*) + Alp*+2th) + J(v\ Агр+Иг+1)+р2АА-^{гр, А~1А-ф') =

10

А/Л2^'* - аД(у* + ^/2) - 2агЛи' - ц¡З2ДА"1 Лф* + + арВг/. (5)

Здесь введены обозначения: Ах — V • (у/2в^пО^х) , Вт, = ЛЛ_2Лг , 1 - параметр Кориолиса. Уравнения обезразмерены на единицу времени -1/П (П - угловая скорость вращения Земли), единицу расстояния-радиус Земли, единицу давления-500 мб. Безразмерные коэффициенты имеют значения: ,32=160 (коэффициент, пропорциональный параметру статической устойчивости), 1 = 0.14 (нормировка орографии) , а8 = 0.05 (нормировка приземной температуры), // = 5 • Ю-4 (коэффициент турбулентной вязкости), а = 3 • Ю-2 (коэффициент трения в погранслое) и а; = 3 • 10_3 (коэффициент трения между слоями). (Значения коэффициентов диссипации //, а, а\ соответствуют размерным величинам 1.3-10&м2/с, 1/(5 суток), 1/(50 суток).) В модели использованы реальная температура подстилающей поверхности ((,.) и орография (Ь).

Для численного решения системы уравнений (4, 5) применялся метод Га-леркина. Базис в пространстве модели состоит из системы собственных функций (Ут„,0), (0,Утп), где У-тп - собственные функции оператора Лапласа на единичной сфере, |т| < п, п < Л'. В данном эксперименте N = 7. Размерность фазового пространства модели равняется в этом случае 2 • (Аг2 — 1) = 126.

Полученная система уравнений решалась при помощи схемы Мацуно с шагом 1/20 суток. Для тестирования модель разгонялась с нулевых начальных условий в течение 1000 суток, а затем проводился контрольный счет на 3600 суток. Отметим, что средние величины модельного климата (функция тока, зонально-осредненная меридиональная скорость) хорошо согласуются с * результатами наблюдений.

Для того чтобы исследовать структуру аттрактора при различных режимах работы модели, в температуру подстилающей поверхности (форсинг) был введён бифуркационный параметр у: I = 7<5 7 = 0.7 + 0.1г г 6 (0..7) Далее, для каждого значения параметра 7 модель интегрировалась сначала на 1000 суток, для исключения влияния начальных условий, а затем на 3600 суток. Полученные ряды данных, содержащие 3600 • 20 = 72.000 точек, использовались для вычисления размерности аттрактора и числа степеней свободы методами, изложенными в первой главе.

Легко показать, что у приближенной модели, полученной из (4, 5) с помощью метода Галеркина, существует ограниченное поглощающее множество, которое ввиду конечномерности фазового пространства компактно. Следовательно (Дымников, Филатов, 1994), у данной системы существует аттрактор. Можно доказать также существование аттрактора для системы, получаемой

из галеркинской при временной аппроксимации с использованием схемы Ма-цуно.

Для вычисления показателей Ляпунова и размерности аттрактора использовался метод, основанный на применении теоремы Оселедеца, изложенный в первой главе.

Сначала исследовался вопрос сходимости метода при увеличении длины временного ряда Ь для разных у. Из кривых зависимости старшего ляпунов-ского показателя п размерности аттрактора при 7 = 1 можно сделать вывод о сходимости метода при Ь » 1000 суток. Примерно такая же ситуация имеет место и для других значений 7.

Далее была исследована зависимость параметров аттрактора от коэффициента при правой части. При 7 = 0.7 аттрактором системы является предельный цикл и соответствующая размерность равна 1. При больших значениях коэффициента 7 аттрактор является хаотическим, поскольку существуют положительные показатели Ляпунова. В случае 7 = 1 (ситуация соответствует реальному форсингу) размерность равна 27.3. Стоит также отметить высокую чувствительность параметров аттрактора к правой части. Действительно, при увеличении коэффициента 7 с 0.9 до 1.1 (соответствующий перепад температур экватор-полюс увеличивается на 10 градусов) размерность аттрактора возрастает вдвое.

После того как модель была проинтегрирована на 3600 суток при каждом значении коэффициента при форсинге 7, полученные данные были использованы для определения числа степеней свободы; этому посвящена третья часть второй главы работы. Оказалось, что уже при 7 = 1.0 предположение о нормальности данных выполняется с хорошей точностью. Стоит также отметить, что распределения все же имеют некоторую несимметрию, которая может быть связана с существованием режимов циркуляции (\Vallace е1.а1., 1993). При увеличении коэффициента при правой части несимметрия в распределении уменьшается.

Основной вывод, который может быть сделан из сравнения значений размерности атррактора и числа степеней свободы, заключается в том, что статистические оценки числа степеней свободы согласуются с динамическими в широком диапазоне изменения правой части. При 7 » 1 число степеней свободы является верхней оценкой размерности аттрактора. При значениях 7 « 1.0 это не так. Анализ показывает, что в этом случае условие равномерного распределения дисперсии по степеням свободы нарушается. Таким образом, при разумных форсингах число статистических степеней свободы может быть верхней оценкой размерности аттрактора модели.

Далее статистические методы были использованы для определения числа

степеней свободы в модели общей циркуляции атмосферы ИВМ РАН.

В качестве данных для вычисления числа степеней свободы использовались результаты 10-летнего счета модели в режиме непрерывного января при отсутствии суточного хода. Оценки проводились по нефильтрованным ежесуточным данным высоты 500-миллибаровой поверхности и приземного давления. Число степеней свободы, рассчитанное по методу (Тер-Мкртчян. 19G9), составляет 32.5 и 34, а по методу (Wallace et.al., 1993) - 30.5 и 25 соответственно для полей приземного давления и высоты 500 миллибаровой поверхности.

Третья глава работы посвящена изучению баротропной неустойчивости и структуры низкочастотной изменчивости циркуляции, порождаемой двухслойной бароклинной моделью атмосферы.

Уравнения модели остались такими же, как и во второй главе. При пространственной аппроксимации модели также использовался метод Галеркина. с той лишь разницей, что вычисления проводились при двух пространственных разрешениях: Т7 и Т15. Во втором случае размерность фазового пространства равнялась 448. Для временной аппроксимации задачи снова применялась схема Мацуно. Шаг по времени для разрешения Т15 равнялся 1/100 суток, а при разрешении Т7 - 1 /20 суток.

Основное внимание в первой части работы было уделено анализу стационарных и квазистационарных собственных функций линеаризованных операторов, поскольку именно они определяют энергетику низкочастотной изменчивости циркуляции (Дымников,1988).

Пространственная структура собственных функций на разных уровнях ( 250 мб, 750 мб) исследовалась с помощью квадрата волнового числа, взвешенного по энергии (Марчук и др., 1987)

(Ail-)2

(6)

где (Агр)2- средняя энстрофия исследуемого поля, а |V^p- его средняя энергия; ib - функция тока.

Анализ стационарных и квазистационарных мод баротропной задачи, линеаризованной относительно среднего состояния модели на 250 мб, показал, что стационарные моды имеют большую зонально-симметричную составляющую. Их волновое число достаточно произвольно : \/1 — \/150 (\/ТЗ — \/55) (вне скобок приведены результаты для разрешения Т15, а в скобках для разрешения Т7). Зонально-несимметричные моды присутствуют среди квазистационарных мод, и их средние волновые числа равны ~ v/25 (\/20) .

Зонально-несимметричные стационарные и квазистационарные моды задачи, линеаризованной относительно состояния на 750 мб, имеют волновые числа ~ л/50— л/GÖ ( ~ \/45 — \/55), волновые числа зонально симметричных мод снова достаточно произвольны: л/7 - у/Ш {V2Ö- \/40). Для зонально-несимметричных мод отношение средних волновых чисел для задач, линеаризованных относительно состояний на 750 мб и 250, мб составляет величину ~ 2 - 3.

Этот факт можно объяснить следующим образом. Пусть мы имеем баро-тропное уравнение вихря в декартовых координатах с и — const:

дЛгР ЗАф дф

Тогда дисперсионное соотношение имеет вид

а- = к{ь - ß/{k2 + /2));

таким образом для стационарных зонально-несимметричных решений задачи (7) среднее волновое число обратно пропорционально и. Отметим, что для данной модели Щьо/Щао ~ 3. Отсюда тгжже следует, что стационарная зонально-несимметричная собственная мода полной проблемы не может быть эквивалентно-баротропной.

Далее в работе была рассмотрена задача на собственные числа и собственные векторы для полной бароклинной проблемы, линеаризованной относительно среднего состояния. Оказалось, что стационарные моды можно разделить на два класса: почти эквивалентно-баротропные (коэффициент корреляции между распределениями на 250 мб и 750 мб больше 0.8) и бароклинные.

Среди эквивалентно-баротропных стационарных мод (с коэффициентом корреляции более 0.9) преобладают зонально-симметричные, и, естественно, они имеют приблизительно одинаковые волновые числа на каждой поверхности.

Почти все зонально-несимметричные моды бароклинны с примерно одинаковыми волновыми числами на обеих поверхностях. Именно среди этих мод присутствует мода, которая является определяющей при формировании низкочастотной изменчивости на 250 мб. Ее среднее время затухания составляет 46,8 суток и почти совпадает со временем затухания наименее устойчивой моды баротропного уравнения вихря на 250 мб (45 суток). Отсюда можно сделать вывод, что если мы хотим использовать баротропные уравнения на 250 мб для анализа низкочастотной изменчивости на 250 мб, то мы должны их брать с практически нулевым коэффициентом рэлеевской диссипации, а не усредненным.

Затем была исследована структура низкочастотной изменчивости циркуляции, порождаемой двухслойной моделью. В качестве данных использовались значения функции тока, полученные в результате 15000-суточного контрольного счета модели.

Вначале исследовалась зависимость дисперсии низкочастотных колебаний и естественных ортогональных функций поля завихренности от времени усреднения. Анализ результатов вычислений при этом показал, что первые естественные ортогональные составляющие стабилизируются начиная с осреднения в 50 суток. Кроме того, вклад дисперсии, приходящейся на первую ортогональную составляющую, в общую дисперсию монотонно увеличивается при увеличении периода усреднения.

Далее был проведен расчет дисперсии и естественных ортогональных функций (ЕОФ) для полей завихренности на 250 мб и 750 мб и для полного поля завихренности (250 мб, 750 мб) при времени усреднения 50 суток.

Оказалось, что дисперсия, приходящаяся на 1 ЕОФ в случае 250мб поверхности в 3 раза превосходит соответствующую дисперсию для поля завихренности на 750 мб поверхности. Вклад первой ЕОФ в общую дисперсию на уровне 250 мб в 1.5 раза больше, чем на 750 мб. Структура первого ЕОФ полной проблемы на 250 мб поверхности полностью идентична структуре первой ЕОФ для скалярных вычислений на 250 мб поверхности, для 750 мб поверхности коэффициент корреляции меньше и равен 0.9. Важно также отметить, что коэффициент корреляции между первой ЕОФ поля завихренности на 250 мб поверхности и собственным вектором линеаризованного относительно среднего состояния на 250 мб поверхности уравнения баротропного вихря с наибольшим временем затухания составляет 0.69. В то же время корреляция наименее устойчивого вектора при линеаризации баротропного уравнения относительно уровня 750 мб и первой ЕОФ для поля завихренности 750 мб поверхности меньше 0.5.

Учитывая все вышесказанное, с большой степенью вероятности можно утверждать, что генерация низкочастотной изменчивости (крупномасштабная компонента, соответствующая первой ЕОФ) происходит в верхнем слое, давая вклад через распространение вниз стационарных волн на нижележащую поверхность.

Далее был исследован вопрос, в рамках какой модели можно описать низкочастотную изменчивость модельной циркуляции. Поскольку в данной модели отсутствуют неустойчивые низкочастотные моды, то можно предположить, что в данной модели низкочастотная изменчивость атмосферной циркуляции является вынужденной в том смысле, что низкочастотные колебания возбуждаются низкочастотной компонентой нелинейных синоптических ко-

лебаний. Можно также показать, что нелинейными эффектами низкочастотных колебаний при данном времени усреднения (50 суток) можно пренебречь (Dymnikov, Filatov, 1995). Таким образом, для анализа природы низкочастотной изменчивости мы можем воспользоваться уравнением

£ + (8)

где А- линейный оператор (матрица), не зависящий от времени. Пусть tpu -преобразование Фурье функции ¡р. Тогда

iuip», + А'уи = fu. (9)

Пусть С =< ¡ри ■ tpu > есть ковариационная матрица ряда < ... > -усреднение по ансамблю. Имеем

С = (А + i^E)-1 < fuf'u > ((А + iuEY)-1 • (Ю)

Если < fuf'u >= £2 Е белый шум, то для и —> 0 имеем

С => (ААТ\ (И)

то есть естественные ортогональные составляющие супернизкочастотной изменчивости должны быть близки к правым сингулярным векторам матрицы А.

Корреляционный анализ показывает, что в нашем случае максимальный коэффициент корреляции достигается при проектировании первой ЕОФ (на 250 мб) на первый сингулярный вектор баротропной задачи, линеаризованный относительно среднего состояния на 250 мб (коэффициент корреляции 0.7 (0.63)). Проектирование ЕОФ на первые два сингулярных вектора баротропной задачи дает коэффициент корреляции 0.77 (0.7). Если использовать сингулярные векторы полной задачи, то соответствующие коэффициенты корреляции менее 0.4 (0.54). В этом смысле использование баротропной задачи более предпочтительно, чем полной. Возможным ответом здесь может быть тот факт, что полная линеаризованная задача имеет неустойчивые бароклин-ные быстрые моды, которые дают ложный вклад в необходимые сингулярные векторы.

Вопросы технического характера отнесены в приложение .

В первой его части содержится доказательство теоремы о существовании аттрактора для системы, получаемой из диссипативной системы ОДУ при аппроксимации по времени с использованием схемы Мацуно. (Идея доказательства подсказана автору А.Н.Филатовым.) Суть теоремы заключается в

том. что аттрактор такой системы существует в некотором шаре, при условии что шаг по времени в схеме выбран достаточно малым.

Во второй части приложения сформулирован предложенный в (Eckmann. Ruelle, 1984) метод вычисления матричного произведения с большим числом перемножаемых матриц. Он основан на использовании QR алгоритма для такого произведения.

Третья часть приложения содержит вывод системы уравнений двухслойной бароклинной атмосферы из уравнений модели линейного баланса Лоренца (1969).

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Исследована зависимость показателей Ляпунова и размерностей аттракторов галеркпнеких приближений для уравнения баротропного вихря на сфере от размерности фазового пространства задачи. Показано, что эти характеристики аттрактора не зависят от разрешения начиная с усечения ТЗО, размерность при этом равна 20.

Максимум в кривой зависимости размерности аттрактора от разрешения задачи связан с явлением "излишнего хаоса". Причины этого явления обусловлены каскадом энергии по спектру, приводящему к увеличению локальной неустойчивости системы.

2. Вычислены числа статистически независимых степеней свободы для полей функции тока, скорости и завихренности, порождаемых уравнением баротропного вихря на сфере при различных спектральных усечениях. Показано, что наилучшее совпадение с размерностью аттрактора дает число степеней свободы, рассчитанное по полю завихренности.

3. Для двухслойной квазигеострофической модели атмосферы при различных нормах правой части вычислены показатели Ляпунова модели и размерность ее аттрактора. При значении правой части, соответствующей реальной ситуации, размерность аттрактора равна 27.

Показано, что в широком диапазоне изменения нормы правой части число статистически независимых степеней свободы может служить верхней оценкой размерности аттрактора данной модели.

4. Исследован механизм возбуждения низкочастотной изменчивости циркуляции, генерируемой двухслойной бароклинной моделью. Анализ естественных ортогональных составляющих и сингулярных векторов линеаризованных операторов показал, что для данной модели схема возбу-

ждения низкочастотной изменчивости через возбуждающую силу, описываемую как случайный процесс с плотностью функции распределения по пространству в виде "белого шума", работает на уровне корреляции ~ 0.7 — 0.8 для доминирующей ЕОФ, причем лучшие результаты дает использование баротропной модели для верхнего уровня.

5. Анализ структуры низкочастотной изменчивости и собственных функций уравнения баротропного вихря на сфере, линеаризованного относительно состояний на различных уровнях, и двухслойной бароклинной модели показывает, что генерация низкочастотной изменчивости (первой ЕОФ) происходит на 250мб поверхности, давая вклад через распространение стационарных волн на 750мб поверхность.

Сравнение скоростей затухания наименее устойчивых мод баротропной и полной бароклинной задачи говорит о том, что при исследовании баротропной неустойчивости для верхнего уровня проблему на собственные значения нужно решать с очень малым вкладом рэлеевской диссипации.

Публикации по теме диссертации

1. Дымников В.П., Грицун А.С.О структуре аттракторов конечномерных аппроксимаций уравнения баротропного вихря на вращающейся сфере// Russian Journal of Numerical Mathematics and Mathematical Modeling. 1997,to be published.

2. Дымников В.П., Грпцун А.С. Ляпуновскпе показатели и размерность аттрактора двуслойной бароклинной модели атмосферной циркуляции// Доклады РАН. 1996, т.347, N4, с.535-538.

3. Дымников В.П.,Грицун А.С. Баротропная неустойчивость и структура низкочастотной изменчивости циркуляции, порождаемой двухслойной бароклинной моделью атмосферы. Известия РАН серия ФАпО. 1996, т.32, N5, с.724-736.

4. Gritsun A. The phase space structure of a certain model of atmospheric circulation. EGS, Annales Geophysical. Part II. Oceans, Atmosphere. Hydrology and Nonlinear Geophysics, supl.II. 1996, Vol.13, p.614.

5. Dymnikov V.P., Gritsun A.S. On the dimension of climatic models attractors. Thesis of International Conference: Dynamics of ocean and atmosphere. Section: Large-scale dynamics of ocean and atmosphere. Moscow. 1995, p.7.