Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Устойчивость квазистационарных режимов атмосферной циркуляции

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Устойчивость квазистационарных режимов атмосферной циркуляции"

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи КАЗАНЦЕВ Евгений Владимирович

УСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ АТМОСФЕРНОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ

04.00.22 — Геофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1992

Работа выполнена в Институте вычислительной математик Российской академии наук

Научный руководитель

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор В. П. ДЫМНИКОВ

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук

М. Б. ГАЛИН, доктор физико-математических наук М. В. КУРГАНСКИЙ

Ведущая организация:

Государственный научно-исследовательский гидрометеорологический центр

Защита состоится У <» ¿-¿^-¿¿ус^ 199р г. в 11_ часо

на заседании специализированного совета К 003.47.01 в Инстит; те вычислительной математики РАН по адресу: 117334, Москв; Ленинский проспект, 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт вычислительной математики РАН. /"

Автореферат разослан « » 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета '

кандидат физико-математических наук ФИНОГЕНОВ С. Р

госсииеяля j—-—

Iii , •

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ '

Актуальность темы

Одной из основных задач метеорологии является решение проблемы прогноза погоды. Именно то успешности ее решения большинство людей оценивают работу в этой области знания. Прогноз погода представляет из себя очевидную ценность для жизнедеятельности люден на нашей планете.

Развитие геофизической гидродинамики, многочисленные вычислительные эксперименты и теоретические исследования поставили вопрос о принципиальной предсказуемости атмосферных процессов за пределами I-2-недельного срока. В основе этой проблемы лежат некоторые особенности атмосферы, в первую очередь связанные с ее локальной неустойчивостью. В связи с этим, проблема устойчивости и предсказуемости атмосферной циркуляции является в настоящее время одной из наиболее насущных и интересных, она привлекает к себе значительное внимание научной общественности.

Одним из наиболее перспективных направлений изучения низкочастотных атмосферных процессов, которому и посвящена данная работа, представляется исследование циркуляции с точки зрения множественности режимов. Вопрос о формализации понятия "режим атмосферной циркуляции" давно привлекает внимание исследователей. Так, в 1956г. Б.Н. ДзердзеевскиИ дал классификацию режимов на "географическом" уровне и выделил около двух десятков режимов. E.H. Блинова и A.JI. Кац построили индексы циркуляции, которые характеризовали зональный и меридиональный тип циркуляции. Такая классификация, несомненно, имеет большое значение для эмпирического понимания термина "режим" и для демонстрации многообразия режимов атмосферной циркуляции.

В последние годы наблюдается стремительное проникновение в геофизическую гидродинамику идей и методов теории динамических систем (качественной теории дифференциальных уравнении). Для применения таких методов необходимо предположить, что атмосфера может быть описана уравнениями, порождающими динамическую систему, обладающую глобальным аттрактором. Эволюция атмосферы происходит на аттракторе, и ее динамика представляет из себя детерминированный хаос. Это предположение дает возможность формулирования понятия режимов атмосферной циркуляции на основе анализа структуры фазового пространства, порождаемого такой системой уравнений (наличия стационарных решений, их устойчивости, размерности аттрактора' и т.д.).

В настоящей работе под термином "режим" понималась группа состояний атмосферы (точек в фазовом пространстве рассматриваемой системы), обладающих общими свойствами. Особое внимание было уделено изучению квазистационарных режимов, т.е. состояний, медленно меняющихся во времени.

Один из подходов к объяснению низкочастотной изменчивости атмосферной циркуляции вытекает из концепции о множественности стационарных точек уравнении атмосферной динамики, введенной charney и Devore. Их результаты показывают, что система атмосферных потоков в присутствии пространственно неоднородного форсинга (например, топографии, контраста температур между океаном и сушей, неоднородностей в распределении источников и стоков тепла) может обладать несколькими положениями равновесия. Таким образом, общее поведение атмосферы может быть понято как поток, ведомый процессами, порождаемыми его неустойчивостью, от одной стационарно! точки к другой.

В.П. Дымниковым было высказано предположение, что квазистационарные режимы атмосферной циркуляции возникают при приближенш

:раектории системы к какой-либо неустойчивой (седховой) стационар-юй точке, и средняя продолжительность режима (среднее время вхождения траектории в некоторой окрестности этой точки) определяется, в основном, ее устойчивостью. Эта гипотеза может 1ать возможность построения алгоритма оценки степени неустойчивости квазистационарного режима атмосферной циркуляции и, таким образом, времени его существования. Для создания и обоснования такого алгоритма необходимо провести анализ связи некоторых юказателей степени неустойчивости стационарных решений и среднего зремени существования режимов, определяемых ими. В качестве таких юказателей степени неустойчивости можно использовать индексы неустойчивости квазистационарных режимов, сформулированные З.П.Дымниковым.

Цели диссертационной работы

Цель работы заключалась'й численном исследовании устойчивости л предсказуемости квазистационарных режимов ; атмосферной циркуляции и построении алгоритма оценки времени существования реальных режимов.

1. Построение баротропной модели атмосферной циркуляции со стохастической динамикой, нахождение ее неустойчивых стационарных решений и проведение анализа связи индексов неустойчивости стационарных решений такой модели со средним временем нахождения траектории в некоторой окрестности этого стационарного решения.

2. Оценить применимость метода исследования устойчивости к реальным квазистационарным режимам атмосферной циркуляции. Для этого проанализировать величину погрешности, вносимую из-за неизбежных ошибок в определении параметров задачи.

3. Построить алгоритм расчета индексов неустойчиврсти на

основании полей геопотенциала. Вычислить индексы неустойчивости

1-2

реальных режимов типа блокирования и сопоставить их с временем существования таких режимов.

Научная новизна

Получены новые данные о связи среднего времени нахождения траектории в окрестности стационарного решения с его степенью неустойчивости в рамках баротропной модели.

Впервые построены алгоритмы вычисления индексов неустойчивости квазистационарных режимов атмосферной циркуляции на основе полей геопотенциала.

Впервые обнаружена связь между индексами неустойчивости реальных квазистационарных режимов типа блокирования и их временем жизни.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах и Ученом совете Института вычислительной математики Российской АН.

Публикации. По результатам работы имеются 4 публикации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 90 страницах, включая 18 рисунков. Список литературы содержит 57 наименований.

Содержание работы

Работа построена следующим образом. В первой главе, на основании теорем об устойчивости решений уравнений баротропной атмосферы, формулируются 4 индекса неустойчивости квазистационарных режимов атмосферной циркуляции. Индексы были сформулированы на

- б -

основании теорем о достаточных условиях устойчивости стационарных

решений уравнения баротропного вихря

а о

— +J(ip,0)=-oiH(jAQi-f, 0=Д|nl, (1)

at

где v - функция тока,

д - оператор Лапласа на единичной сфере:

19 дц/ 1 a2v

д„, =--соз(ф) — + --— —- ;

соз|(|) Э(Р dip cos ((р) ЭХ.

якобиан:

1

J(V,0)

COS (?) )

dip дО dip ЭО ЭХ dip dip d\

i - параметр Кориолиса: i = 20 sin«»,

г=-лч>',f>^ > описывает источник баротропного вихря,порождаемый бароклинными процессами. Член <уйч> в первом приближении бписывает диссипацию в планетарном пограничном слое атмосферы. Член рд2ч< описывает турбулентную вязкую диссипацию.

Как показано в работах В.П. Дымникова и А.Н. Филатова, устойчивость стационарного решения ц> уравнения (I) можно исследовать по линейному приближению, т.е. решая задачу

хл,

где оператор ао ■ -лч>,о) - ¿уд"'о, ¡¿¡р-и) - + № (2)

- линеаризованный относительно стационарного решения оператор задачи (Г).

Первый индекс неустойчивости г) стационарного решения $ вводится как сумма собственных чисел, имеющих положительную вещественную часть [Дымников, Филатов]

I, = ]> Ие X,. (3)

При условии скомпенсированности диссипации и вынуждающих сил стационарное решение будет удовлетворять уравнению у+л = о, так что д= р(*>}. где £ - некоторая гладкая функция.

1-3

j

В работе Арнольда показано, что если ар эр

—7" >0 ИЛИ -2< — <0,

дц) ду

то стационарное решение ¡¡» устойчиво. Второй индекс неустойчивост! определяется согласно [Дамников] как

ар

12 = пип — дф

(4

Основная проблема, возникающая при вычислении этого индекса связана с неопределенностью функции р (если она не задан: аналитически). В.П.Дымников предложил в качестве третьего индекс; неустойчивости использовать средний градиент ар/дц>, взвешенный п< энергии, который можно определить, не вычисляя непосредствен» функцию р

вк

ГГ — |?$)|гсоз?>

гз =

(5)

Л | гсовЧ> а«>аХ

Индекс неустойчивости I можно вычислить, вычисляя средни! квадрат волнового числа и средний угловой момент

(Ду,Дф)с

(72,7,1))

(7у),7 у)

Б = -к2 - 2о М/Ё.

Учет, бароклинности и ограниченности района локализации режима (чтс важно при оценке устойчивости региональных режимов атмосферно! циркуляции) приводит к необходимости учета дополнительны) слагаемых:

дф дф

ч -

Р X г

2 2

(72,7у.)5

<7?,7$),

/ - оу •>

шг7—, 7— V Дт, йг. >

3)р

дф —соэ»> ах ар

р х

1

др др --+

Р2Р2 -

. „ 3<|>

\\ -— а? ар

СОБ<Р ОХ

(6]

(7у>,7 V),

(7 V), 7 V)) 0

В качестве четвертого индекса неустойчивости рассматривалас! сумма положительных собственных чисел оператора А+А* (2), которая,

с одной стороны, определяет скорость роста энстрофии возмущения и, с другой стороны, является величиной, близкой к мгновенным показателям Ляпунова

I, = £ Х*(А+А*). (7)

Во второй главе производится анализ режимов циркуляции в

рамках задачи, описывающей динамику несжимаемой вязкой жидкости с

постоянной возбуждающей силой над орографически неоднородной

поверхностью.

Эй?

- * ЛЧ),&Ц>) + Лч>, 1 + Л) + ойу - ¡ли У> = (8)

и - орографические неоднородности подстилающей поверхности. Орография была представлена упрощенным образом в виде двух континентальных масс, разделенных двумя океанами. Высоты континентов понижаются к полюсам и к экватору: А = З1пг2рг

где ь0 - амплитуда неоднородностей, принятая в работе как 0.1 высоты атмосферы. Значение а было выбрано а=1/20сут. Внешний форсинг представлен в задаче правой частью г = од^*, где ц>* -функция тока, определяющая форсинг, была выбрана в виде

ч>* = -^«¿п3?) ,'

как чисто зональный поток.

Уравнение рассматривается в Северном полушарии, причем в

качестве граничных условий на экваторе приняты условия непроте-Э<|)

кания — =о, и, в связи с произвольным выбором константы при

ЭХ 1р = О

определении ч>, это условие может быть сформулировано в виде

*1„.оя <9>

При дискретизации уравнения (8) по пространству применяется

метод Галеркина со сферическими гармониками в качестве базисных

функций. При такой дискретизации учет граничного условия (9)

сводится к использованию только антисимметричных относительно

экватора сферических гармоник, т.е. только тех гт , которые имес~

нечетную сумму индексов m+n:

N п

S

} Vt) Ye< X, ) , P*(m,n) 4-" ^ P m + n - H

m+n -

нечетно

0

В качестве максимального номера усечения в задаче выбран N=7: таким образом, в расчетах используется 28 коэффициентов Фурье.

Поскольку мы моделируем только крупномасштабные процессы, то при вычислениях член &гч> опущен, т.к. для таких процессов основная диссипация происходит в пограничном слое и этот член не существен. . .

Для интегрирования уравнения по времени была использована схема Кранка-Николсон с шагом г = 0.25 суток. Эта схема была выбрана вследствие ее консервативности и абсолютной устойчивости.

Для обращения нелинейного оператора, формируемого на каждом шаге интегрирования по времени, применялся метод Ньютона. В качестве начального приближения для итерационного процесса Ньютона использовалось значение функции тока с предыдущего шага по .времени. При таких условиях процесс практически сходится за 3-4 итерации (норма невязки уменьшается на 8-10 порядков).

Стационарное решение уравнения (в) удовлетворяет соотношению

Для поиска стационарных решений vi уравнения (8) использовалась методика, предложенная Legras and Ghii , которая заключается в следующем: вводится безразмерный параметр р, регулирующий влияние нелинейности в уравнении (ю)

j($,üv>) + j(í>, i+/i) ) + oü,i¡) - (Ji2¡¡¡ = f.

(10)

pJ(Í>,A»>) + i4V> '= f, AV " J(V»-í♦ A) + 0&V, V = $(p,X.f).

(11)

При р=о стационарное решение (и) может быть легко найдено

путем решения системы линейных уравнений ач> = т. Для нахождения

стационарного решения при р*о воспользуемся следующей методикой.

Пусть с(р,ч>) = рЛч>,лчо + ач> - г.

Сформулируем двухшаговый итерационный процесс, типа предиктор-

корректор, первый шаг которого является движением по касательной к

кривой о» = о в координатах (р,ч>)

ас'

V

аа

ду

Р Ф II2 = 1

дР

с1¥>

р -

ар

ар 57

Р = о,

п п

Ч»( о .Х.ЧР); Р0 =о;

аз2 = |М|г+ар2;

Ч> + ац> .

(12)

где а - шаг в криволинейных координатах в.

Второй шаг представляет из себя получение ,рп+1) путем решения уравнения о(р„>,.ч'п.1> =о методом Ньютона с начальным

приближением (р",ч>*):

да - , Эа - (V1"1- V") + -

дч> . „ ар

к к

Р V

к ♦ 1 к . 2

(Рк"- рк) = -с

к к

Р V

. 1с» 1 ..км2

(13)

о «

Р = Р

Критерием окончания итерационного процесса оз) является условие ||с(рк,Фк)|| * е, где с заданная величина (использовалась е=10"'2).Полученное решение (рЧ") рассматривается как следующая итерация процесса (12): (рпМрУ").

При описанных выше параметрах задачи было найдено 5 неустойчивых стационарных точек. У этих точек проанализированы такие их характеристики, как энстрофия, средний квадрат волнового числа, индексы неустойчивости, и показана их взаимосвязь. Кроме того, показана связь осредненного по ансамблю времени существования режима атмосферной циркуляции (или среднего времени нахождения

ч>

о

я

траектории вблизи стационарной точки) с ее степенью устойчивости.

В третьей главе обсуждается применимость данного метода исследования устойчивости к реальным режимам циркуляции типа блокирования. Для этого ' исследуется стабильность вычисляемых величин по отношению к неизбежным ошибкам в определении параметров задачи в данной постановке. Рассматривается чувствительность индекса неустойчивости к выбору размерности конечномерного пространства, в котором аппроксимируется дифференциальный оператор модели, к малым вариациям стационарного решения и коэффициента вязкого трения. Кроме того, изучается применимость модели к описанию исследуемых процессов, возникающих на различных стадиях развития блокинга.

Рассмотрено поведение неустойчивых мод оператора при реальном развитии режима атмосферной циркуляции и показан их экспоненциальный рост. Вычисленные таким образом показатели экспонент в пределах вычислительной точности совпали с соответствующими собственными числами оператора.

При оценке применимости индекса неустойчивости региональных режимов реальной циркуляции атмосферы, в предположении о компенсации вынуждающей силы диссипацией, рассмотрена его чувствительность к малым вариациям исследуемого режима, т.е. к тем погрешностям, которые неизбежно вносятся в индекс неустойчивости при практической реализации алгоритма его вычисления. К таким погрешностям относились неточное определение района существования режима и неопределенность момента его начала. Кроме того, анализировался вклад бароклинных поправок, к которым приводит отказ от баротропного приближений в описании квазистационарных режимов атмосферной циркуляции.

Производится вычисление индексов неустойчивости режимов блокирования на основании реальных данных и производится их

сопоставление с временем существования этих режимов. На основании этого сопоставления проводится оценка преимуществ и недостатков каждого из введенных индексов неустойчивости.

Основные выводы формулируются следующим образом.

1) На основании 'численного анализа нелинейной динамики уравнения баротропного вихря можно утверждать, что наличие стационарной точки в общем случае приводит к образованию относительно медленно меняющейся структуры, квазистационарного режима. Время жизни такого режима - величина, вообще говоря, случайная, зависящая от расстояния между траекторией и стационарной точкой, однако среднее время нахождения траектории в окрестности стационара связано с устойчивостью данного стационарного решения. При этом параметрами, характеризующими устойчивость режима, могут быть локальные показатели Ляпунова, знстрофия, индексы неустойчивости.

2) На основе реальных данных были вычислены индексы неустойчивости режимов типа блокирования и получена связь времени жизни таких режимов с величинами, обратными их индексам неустойчивости. Существование такой связи может служить доказательством гипотезы, что время жизни квазистационарных режимов атмосферной циркуляции определяется их устойчивостью, а не внешним форсингом, и степень устойчивости может быть оценена по индексу неустойчивости

3) Кроме того, можно заключить, что индекс неустойчивости I обладает следующими преимуществам!. Во-первых, он пригоден для оценки времени жизни как глобальных квазистационарных режимов, так' и региональных, что весьма важно при получении оценок устойчивости блокирующих режимов; во-вторых, при его вычислении не требуется знание самой функции р; в-третьих, вычисление его достаточно простое (при вычислении первого индекса I необходимо решать спектральную задачу). Далее, можно надеяться, что для режимов

циркуляции, в которых имеется сильная компенсация между источниками и диссипацией! этот индекс будет наиболее информативным, поскольку не требует детального описания процессов диссипации в планетарном пограничном слое, в то время как при решении проблемы на собственные значения это требование становится одним из решающих. Кроме того, можно утверждать, что выбранные блокирующие режимы имеют региональный характер, индекс неустойчивости информативен и его можно использовать для прогноза времени жизни конкретных квазистационарных режимов атмосферной циркуляции.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. В.П.Дымников, Е.Б.Казанцев, В.В.Харин. Характеристики устойчивости и время жизни режимов атмосферной циркуляции // Известия АН СССР. ФАиО.- 1990.- Т. 26, .'¿4.- С.339-349.

2. Е.В.Казанцев. О применимости индексов неустойчивости квазистационарных режимов атмосферной циркуляции к описанию низкочастотной изменчивости атмосферы.

Препринт ОВМ АН СССР .'¿265, 1990.

3. Dymnikov V.P., KazanLsev E.V. The simulation of cjuasi stationary regimes of barotropic atmospheric circulation 011 ' a sphere.// Russian Journal of Computational Mechanics (in press).

4. В.П.Дымников, Е.В.Казанцев, В.В.Харин. Информационная энтропия й локальные показатели Ляпунова баротропной атмосферной циркуляции // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. -1992.-т.27. .Л 6,

Сппио в набор 13.11.92 Подписано в печать 20.11.92 Формат 60x90 1/16 Печать офсетная Буы.офс.

Усл.иэч.л. 0,75 Усл.*р.-отт. 0,В7 Уч.-вэд.л. 0,57

Т1ф. ЮО вкз. Зек. 5<ЮЗ

Пранжоаствеыно-изаательсхкА комбинат ВИНИТИ 140010, Люберцы 10, Московской обл.. Октябрьский проспект, 403