Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Исследование поверхностных планетарных волн в атмосфере

ВАК РФ 25.00.30, Метеорология, климатология, агрометеорология

Автореферат диссертации по теме "Исследование поверхностных планетарных волн в атмосфере"

На правах рукописи

Лукинов Алексей Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ

25.00.30 - Метеорология, климатология, агрометеорология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о т 2015

005570031

Нальчик-2015

005570031

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Северо - Кавказский федеральный университет», г. Ставрополь

Научный руководитель: Закинян Роберт Гургенович

доктор физико-математических наук, доцент,

профессор кафедры теоретической физики Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета, г. Ставрополь

Официальные оппоненты: Погорельцев Александр Иванович

доктор физико-математических наук, доцент,

заведующий кафедрой метеорологических прогнозов Российского государственного гидрометеорологического университета, г. Санкт-Петербург

Кудринская Татьяна Владимировна

кандидат физико-математических наук,

ассистент кафедры физики Института нанотехнологий, электроники и приборостроения федерального государственного автономно' го образовательного учреждения высшего образования «Южный федеральный университет», г. Таганрог

Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетное учреждение«Центральная аэрологическая обсерватория», г. Москва.

Зашита состоится «31» июля 2015 г. в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 327.001.01 при ФГБУ «Высокогорный геофизический институт» Росгидромета по адресу: 360030, КБР, г. Нальчик, проспект Ленина, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Высокогорного геофизического института по адресу: 360030, КБР, г. Нальчик, пр. Ленина, 2 и на сайте www.vgistikhiya.ru

Автореферат разослан «_»_ 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат географических наук, доцент

Н.В. Кондратьева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темыисследования. Основной задачей физики атмосферы является исследование закономерности развития полей основных метеорологических величин таких, как давление, температура и влажность. Динамика этих полей в атмосфере носит сложный, меняющийся с течением времени характер. Но, несмотря на сложный характер развития этих полей, основные особенности их динамики из года в год повторяются, то есть носят сезонный характер. В этом и заключается сложность процедуры прогноза состояния атмосферы, главной составляющей которого является прогноз динамики барических образований, изотерм и влажно-

сти.

При описании движений атмосферы прибегают к некоторым модельным представлениям. Одной го распространенных форм движения в атмосфере являются поверхностные волны. Исследованиям поверхностных волн в атмосфере посвящено много работ. Но, несмотря на это! имеются ряд нерешенных проблем в этом разделе физики атмосферы. Одна из таких проблем' заключается в том, что при анализе поверхностных волн в атмосфере используют приближение мелкой воды. Это относится как к процессам с большим числом Россби, так и к процессам с малым числом Россби. При этом в этих моделях зависимостью плотности воздуха от температуры пренебрегают. Поэтому остается открытым вопрос о влиянии перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение, на скорость распространения волн. Классические теории, не учитывающие эту зависимость плотности воздуха от функции перегрева, приводят к завышенным значениям скорости распространения поверхностных волн в атмосфере.

Работа посвящена исследованию динамики распространения поверхностных волн в атмосфере. Под волной погашается возмущение барического поля.

В атмосфере наблюдается исключительно большое разнообразие волновых и вихревых движений, механизм формирования и динамика развития которых не в полной мере ясны. Поэтому разработка математической модели поверхностных волн в атмосфере с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной часпщы, вовлеченной в волновое движение, а также исследование скорости распространения планетарных поверхностных волн различного масштаба являются актуальными проблемами физики атмосферы.

Степень разработанности темы исследования. Поверхностным волнам в атмосфере посвящено много работ, начиная с классических исследований Лапласа (1779), Кельвина (1879), Пуанкаре (1910). В этих работах рассматривались волны в баротропной атмосфере. Недостаток этих исследований заключается в том, что, во-первых, атмосфера не баротропная, а, во-вторых, атмосфера безгранична. Этот недостаток устраняется в теории внутренних во'лн Тейлора -Гольдштейна (1931 г.). В этой теории учитывается стратификация атмосферы и влияние сил плавучести. Однако природа внутренних волн существенно отличается от природы поверхностных волн. Результаты теории внутренних волн нельзя непосредственно применять для анализа скорости распространения барических возмущений, являющейся предметом исследования настоящей диссертации.

Новый этап в развитии теории волн в атмосфере начинается с Россби (1939). Учет бега-эффекта привел к новому типу волны, в которой бета-эффект является возвращающейся силой и приводит к образованию планетарной волны в бета-плоскости. Однако волна Россби также является по природе своей внутренней.

С работ Блиновой (1943) начинается следующий этап в развитии теории планетарных волн. Линеаризуя приливные уравнения Лапласа на сфере, Блинова получает выражения для скорости распространения поверхностных планетарных волн в баротропной атмосфере.

Дальнейшее развитие теории планетарных волн заключалось в поиске решений приливных уравнений Лапласа (Лонге-Хиггинс, 1965).

Целью настоящей диссертационной работы является исследование поверхностных волн в атмосфере с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи: 1. Установить зависимость скорости распространения поверхностной волны в атмосфере

от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) можно пренебречь.

2. Указанную выше задачу решить как в приближении мелкой воды, т.е. для тонкой в смысле вертикальной протяженности атмосферы, когда длина волны намного больше толщины атмосферы (длинные волны), так и для атмосферы с бесконечной вертикальной протяженностью, когда длина волны намного меньше толщины атмосферы (короткие волны), а также для атмосферы конечной толщины.

3. Установить зависимость скорости распространения поверхностных планетарных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) пренебречь нельзя (приближение /-плоскости).

4. Указанную выше задачу решить как в приближении бета-плоскости, так и в общем случае сферических координат.

Объектом исследованияявляются атмосферные поверхностные волны, под которыми понимаются возмущения барических образований.

Предметом исследованияявляется разработка математической модели, описывающей динамику распространения атмосферных поверхностных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение. Научная новизна диссертации:

1. Показано, что для волн в атмосфере малого масштаба, когда можно пренебречь вращением Земли, т.е. силой Кориолиса, в волновое движение вовлекается только лишь охладившийся за счет адиабатического подъема первоначально теплый у поверхности земли воздух.

2. Учет вращения Земли приводит к дисперсии планетарных волн. Картина при этом качественно отличается от волн малого масштаба. Дисперсия приводит к тому, что в волновое движение может вовлекаться как холодный воздух с произвольной длиной волны, так и теплый воздух, длина волны которого больше критического значения. Причем волны могут распространяться в обоих направлениях.

3. Анализ волн Россби в приближении бета-плоскости с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева показал, что имеют место три волны, две из них движется в положительном направлении, а одна в противоположном. Кроме того, в приближении бета-плоскости также, как и для волн в приближении /-плоскости, в волновое движение вовлекаются холодные волны с произвольной длиной волны и теплые волны, длина волны которых больше критического значения.

Коротковолновая теплая волна движется только лишь в отрицательном направлении, а холодная волна может иметь оба направления.

Показано, что положительной может быть низкочастотная холодная волна и теплая волна, длина волны которой меньше критического значения. Причем холодная волна всегда распространяется только в положительном направлении. В отрицательном направлении распространяется низкочастотная теплая волна, длина волны которой больше критического значения.

4. Анализ волн Россби - Блиновой в сферических координатах с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева показал, что, как и в приближении бета-плоскости, в волновое движение вовлекается не только холодный воздух, но и теплый. При этом имеют место также три волны, одна из них движется в отрицательном направлении, а две другие в положительном. В отличие от случая бета-плоскости максимальная длина волны ограничена длиной экватора.

Найдено критическое значение порядка моды волны, которое соответствует случаю, когда две положительные волны вырождаются в одну. Припорядках моды, больших критического значения будут иметь место две положительные волны и одна отрицательная. А при порядках моды, меньших критического значения будет иметь место только лишь одна отрицательная волна

5. Показано, что на экваторе имеет место одна теплая волна, причем отрицательная. В то время как для холодной волны имеют место все три корня. Но для значения функции перегрева Л/,Г = 2 °С теплые волны двух направлений с первой модой возможны уже на широте р = 1°.

6. Таким образом, получается следующая картина Волны, мода которых меньше критического значения, движутся против часовой стрелки. К ним относятся волны с большими длинами волн. Волны, мода которых больше критического значения, образуют «тройки», одна из которых движется против часовой стрелки, а две другие по часовой стрелке.

В результате наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях, происходит их интерференция, то есть возникают области усиления и ослабления амплитуды волн.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в работе, уточняют существующие представления о динамике планетарных поверхностных волн и могут быть использованы в практике прогнозирования динамики барических образований.

Методология и методы исследования основаны на анализе возмущений статического состояния атмосферы, вызванных волновым движением. Исследуются уравнения динамики атмосферы с учетом указанных возмущений. Для решения поставленной задачи используются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Положения, выносимые на защиту:

1. Установленная зависимость скорости распространения атмосферных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но такой горизонтальной протяженности, когда вращением Земли (силой Кориолиса) можно пренебречь.

2. Установленная зависимость скорости распространения атмосферных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но такой горизонтальной протяжешюсти, когда вращением Земли (силой Кориолиса) пренебречь нельзя (приближение / -плоскости).

3. Установленная зависимость скорости распространения планетарных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, но в приближении бета-плоскости.

4. Установленная зависимость скорости распространения планетарных поверхностных волн от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение в атмосфере любой вертикальной протяженности, в общем случае сферических координат.

Степень достоверности. Достоверностьрезультатов данного исследования обеспечивается положительными результатами сопоставления построенных математических моделей с другими аналитическими, численными решениями и данными наблюдений.

Апробация результатов. Результаты исследований докладывались на научно-методических конференциях преподавателей и студентов Северо-Кавказского федерального университета (г. Ставрополь, 2012 г, 2013 г, 2014 г, 2015 г);на семинарах, посвященных проблемам физики атмосферы, кафедры теоретической физики Института математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета.

Тезисы докладов включены в материалы:

-20 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург-Ижевск, 2014.

- Международной научно-практической конференции «Современные тенденции в образовании и науке». — Тамбов, 2014.

- Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки». -Нефтеюганск, 2014.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых изданиях из перечня ВАК, 1 статья в международном журнале, входящем в базу Scopus.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 111 наименований. Материал диссертации содержит 140 страниц, 15рисунков, 2 таблицы.

ОСНОВНОЕСОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность разрабатываемой темы, сформулирована цель работы, решаемые задачи, объект и предмет исследования, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главепроведен аналитический обзор существующих математических методов анализа волновых движений в атмосфере. Особое внимание уделено анализу уравнений динамики атмосферы в различных приближениях. Глава закончена анализом литературного обзора и выделением актуальных проблем, требующих решения.

При анализе поверхностных волн в атмосфере часто пользуются результатами теории волн в приближении мелкой воды. Согласно этой теории скорость распространения поверхностных волн в баротропной атмосфере определяется выражением

с0 = JftMh , (1)

где g — ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения); к = — волновое число, X

Л

- длина волны; h — эффективная толщина атмосферы. В приближении глубокой воды kh —> со скорость волны соответственно записывается в виде

А в приближении длинных волн кЪ « 1 скорость волны описывается выражением

с0 = л/1*. (3)

Если провести расчеты по формуле (3) для высоты А = 5 км , то для скорости волны получается значениес0 = 220 м/с. Здесь речь идет о гравитационных волнах такого масштаба, в которых можно пренебречь влиянием силы Кориолиса. Характерное значение скорости распространение барических возмущений в атмосфере порядка (10-5-20) м/с. Очевидно, что выражения для скорости распространения волны, представленные формулами (1) - (3), не могут количественно описывать распространение барических возмущений в атмосфере. А именно это представляет практический интерес при исследовании волновых процессов.

Недостаток этих исследований заключается в том, что, во-первых, атмосфера не баро-тропная, а, во-вторых, атмосфера безгранична. Этот недостаток устраняется в теории внутренних волн. В этой теории учитывается стратификация атмосферы и влияние сил плавучести. Однако природа внутренних волн существенно отличается от природы поверхностных волн. Результаты теории внутренних волн нельзя непосредственно применять для анализа скорости распространения барических возмущений, являющейся предметом исследования рецензируемой диссертации.

В сводной таблице 1 приведены дисперсионные соотношения для внутренних и поверхностных волн.

Во второй главе развивается теория линейных гравитационных (поверхностных) волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение. Задача решается как для масштабов, в которых можно пренебречь влиянием вращения Земли на динамику атмосферных процессов, так и для масштабов, в которых этим влиянием пренебречь нельзя. При этом рассматриваются все три случая вертикальной протяженности атмосферы: конечная толщина, бесконечно протяженная и приближение мелкой воды (тонкая атмосфера).

Таблица 1

Сводная таблица дисперсионных соотношений для внутренних п поверхностных волн

i±

Математическая модель Внутренние волны стратифицированной атмосферы Поверхностные волны баротропнон атмосферы Поверхностные волны: наш результат

Без учета вращения , № <а — -г к2+к; Тейлор — Гольдштейн о? = gk-±kh Лаплас <з: =(-aAJ')gk•1Ьkh

/ -плоскость 2 л*1? » -/.* к> Дж. Педлоскн df = f2+gflk' Кельвин О}2 = + a(-^hT)gк•^h(кh)

у? -плоскость & СО- Р*1 №

и л; Ое<*&еуК.УаНи А sh I.R. Holton со... 1 г &а (-А,?)

Сферические координаты Й - cfo2rj+/-Ш-ßhu = 0 ar CO = ^ А. Гилл 4У2Т1+/-ЙП-^АН» 0 аг с0 = л^Аа(-ДАГ)

Со

В качестве возмущенной изобарической поверхности принимается уровень конвекции. Другими словами, рассматривается слой атмосферы от уровня земли до уровня конвекции, который возмущается в результате адиабатического подъема нагретого у земли воздуха.

Для скорости распространения поверхностных волн в атмосфере конечной толщины получено дисперсионное соотношение

(0 = ±^а(-&кТ)8-к-1Ъ(кИ), (4)

Отсюда для скорости с0 распространения волны в атмосфере конечной толщины А получена формула:

= » = ><"А»Г>*1М*, (5)

к V к

где и - циклическая частота колебаний точек поверхности волны; к - волновое число; а -коэффициент теплового расширения воздуха; Д/,7" - функция перегрева на высоте А первоначально невозмущенной изобарической поверхности, равная разносш температуры воздуха, вовлеченного в волновой процесс, и окружающей атмосферы.

Как видно из формулы (5), в волновой процесс может быть вовлечен только лишь изначально теплый у поверхности земли воздух, переохлажденный на высоте А за счет адиабатического подъема.

Выражение для функции перегрева имеет вид:

ДГ (г) = &0Т - Ду • г, (6)

где Д0Т - значение функции перегрева у поверхности земли; Ду = уа - у; уа - сухоадиабатиче-ский градиент температуры; у - градиент температуры воздуха в невозмущенном состоянии статики атмосферы.

Из формулы (6) можно найти уровень выравнивания температур, на котором перегрев равен нулю:

= (7)

т Дг

В рамках адиабатической модели конвекции сухого воздуха уровень конвекции равен

г„ = 2гт. (8)

Функция перегрева на уровне конвекции равна

&Т(г„) = -А0Т, (9)

то есть воздух на уровне конвекции переохлажден, и именно этот воздух вовлекается в волновое движение.

Формулы (4) и (5) можно также записать в виде:

А, с0 = Л'^

(10)

где N = Ду - частота Брента - Вяйсяля.

Если в формуле (5) за высоту А принять уровень конвекции , то для скорости распространения волны получим выражение

(11)

где Д07" - перегрев воздуха у поверхности земли. Таким образом, хотя в волновое движение вовлекается только лишь холодный воздух, но скорость распространения волны зависит от степени перегрева теплого воздуха у поверхности земли.

Таким образом, в волновое движение вовлекается слой воздуха между уровнем выравнивания температур гт, на котором скорость волны равна нулю, и уровнем конвекции, на кото-

ром скорость максимальна. Скорость распространения волны в этом слое растет как корень квадратный от функции перегрева.

Из формулы (5) можно получить два предельных случая. Первый - это случай бесконечно протяженной по вертикали атмосферы, когда кН » 1 (или к «А, короткие волны). В этом случае —► 1 и для скорости распространенияповерхностной волны получим выражение:

«ъ-^. = (.2)

Или, выразив волновое число через длину волны, для скорости распространения волны полу-

= = (13)

Второй случай - это волны в тонком слое атмосферы, так называемые приземные длинные волны. В этом случае кИ « 1 (или к» И) и [ЬкИ = кИ, тогда для скорости распространения волны в этом случае получим выражение

= = (14)

то есть в приближении тонкой атмосферы (для длинных волн) дисперсия отсутствует.

Для поверхностной волны во вращающейся атмосфере получено дисперсионное соот-

--±{с1кг + (2а0г)2, (15)

а для скорости волны выражение

ю / 2 (2<э0г)2

С=*=Г° ** " (16)

где Со - скорость волны в отсутствии вращения атмосферы согласно формуле (5). Здесь 2и0г - / ~ параметр Кориолиса, который в приближении / -плоскости считается постоянным.

Из выражения (16) следует, что в волновое движение может вовлекаться не только холодный воздух, но и теплый воздух с длиной волны,удовлетворяющей неравенству:

. (17)

1 ' оА нТ-ё ( '

Теплая волна с длиной волны большей критического значения, определяемого из неравенства (17), распространяется в слое между поверхностью земли и уровнем выравнивания температур.

Рассмотрим два предельных случая. Для бесконечно протяженной по вертикали вращающейся атмосферы длина теплой волны должна бьпъ больше критического значения:

СГ" ' 08)

С учетом равенства (6) для критической длины волны получим выражение:

Из формулы (19) следует, что при приближении к поверхности земли длина теплых волн увеличивается.

Аналогично, для тонкой атмосферы критическое значение длины теплой волны равно

ПМ гг;-77

\ =—>(2Т-/,). (20)

Из формулы (20) видно, что максимальное значение критической длины волны получается в середине слоя на высоте гт/2 :

=— ь-. (21)

Из формулы (16) получаем, соответственно, два предельных случая. Для бесконечно протяженной по вертикали вращающейся атмосферы скорость поверхностной волны равна:

с= М-А/.ГЬ | (2со0г)2 (22)

I к к^

Соответственно, максимальная скорость распространения холодного воздуха равна

Из формулы (22) видно, что скорость распространения теплой волны меньше, чем скорость распространения холодной волны.

Аналогично, в приближении тонкой атмосферы для скорости волны получим:

c = ^&hT)gh + ^i. (24)

В третьей главеисследуегся влияние функции перегрева воздушной частицы, вовлеченной в волновое движение, на скорость распространения планетарных поверхностных волн. Задача решается как в приближении бета-плоскости (волны Россби), так и в общем случае сферических координат (волны Россби - Блиновой).

В частности, для волн Россби в приближении бета-плоскосги получено дисперсионное соотношение в виде кубического уравнения:

a'-j^fflo^ + c^Jo + cjfc^O, (25)

где Р = — = 2c°0c°s(f>; Rr - радиус Земли; с0 = J-gh<xAhT - скорость волны в приближении ду ДЕ

баротропной невращающейся атмосферы; - волновое число вдоль оси х, направленной вдоль параллели. Тогда корни уравнения запишутся в виде:

fi,=2^|cos|,^3 = -2^fcos(f±|), (26)

р = - [(2ш0г )2 + elk2 ], q = c02P*i, cos a =--jJ—j . (27)

где

4f)

Из формул (25) и (26) следует, что в случае волн Россби, в отличие от рассмотренных выше случаев, имеют место три волны, две из них движутся в направлении вращения Земли, а третья в противоположном направлении. В приближении бета-плоскости картина распространения волн отличается от рассмотренного случая волн в атмосфере с постоянным параметром Кориолиса/ (приближения / -плоскости).

На рисунке 1 приведен график функции (левая часть выражения (25)) в относительных единицах по отношению к 2ш0г. Расчеты велись для следующих значений параметров:

А = 5 км, Да7" = -2 °С, Х>ХС1 =2-103 км, для широты ф = 45°.

На)

Из минимума функции, представленной левой частью уравнения (25), найдем критическую частоту, соответствующую случаю, когда два положительных корня совпадают:

(2<3р;) -ghn^hTk2

Рис. 1.

(28)

Отсюда следует, что для холодной волны критическая частота уменьшается с увеличением длины волны.

А для теплой волны длинаволны, распространяющейся в положительном направлении, должна быть больше критического значения:

*•>*.„= — ^ИаАьТ. (29)

Анализ расчетов показывает, что с увеличением длины волны (большей критического значения) один из положительных корней стремится к нулю, и остаются два корня 2

X

Для коротковолновых холодных волн также наблюдается симметрия частот. Однако коротковолновые теплые волны могут распространяться только лишь в положительном направлении.

Заметим, что в приближении бета-плоскости нет ограничения сверху на длину волны, т.е. она может принимать любое значение. В теории волн Россби - Блиновой учитывается ограничение на длину волны, максимальная длина волны ограничена длиной экватора. Для волн Россби -Блиновой в сферических координатах получено дисперсионное соотношение также в виде кубического уравнения:

2

со ъ2 <р

+ вт2

¿>+В1-а(-ДлГ)п = 0,

(30)

;В1 =

• число Блиновой; г0 - радиус Земли.Отсюда, в частности, на экваторе

бш ^> = 0 дисперсионное соотношение примет вид

а? - п2В1 ■ а (-Л/,Г) а> + пВ1 ■ а (-Д/,7") = 0. (31)

Аналогично тому, как мы поступили в случае бета-плоскости, найдем минимум функции, стоящей в левой части равенства (30). Отсюда найдем критическую частоту, при которой два положительных корня совпадают:

В1а(-ЛАТ)

ът2 (р

Зсоэ2 <р

(32)

Отсюда можно найти такое критическое значение порядка моды волны лкр, которое соответствует случаю, когда два положительных корня уравнения (30) совпадают. При значениях п > п^ будем иметь два разных положительных корня уравнения (30).

Из формулы (32) следует, что в волновое движение может вовлекаться не только холодный воздух, но и теплый. Однако выражение (32) накладывает для теплых волн ограничение:

$т2(р>2^В1а&ИТ-п. (33)

Отсюда следует, что на экваторе для теплой волны минимума функции (29) нет, а значит, имеет место одна теплая волна, причем отрицательная. В то время как для холодной волны имеют место все три корня. Расчеты по формуле (33) показывают, что уже на широте <р = 1° для значения функции перегрева ДЛГ = 2 "С, функция (31) имеет минимум, а значит, имеют места

все три теплые волны с первой модой.

На рисунке 2 приведен график функции, представленной левой частью (31),при

ДЛГ = -2 "С и <р = 0, т.е. для экватора.

0.02Т

П(со) О (со) «3(а»)

0.0

Первый график, соответствующий критической моде построен при значении = 11. Этому случаю соответствует один отрицательный корень й, = -0,26 и два совпадающих положительных корня 3>2 з = 0,14. Второй график соответствует моде п = 5. Как видно, этому случаю соответствует только один отрицательный действительный корень. Третий график построен для а п = 15, ему соответствует три дей-

ствительных корня: один отрицательный и два положительных: щ = —0,34, ¿2=0,07, ¿3=0,26.

Рис. 2. К определению критического значения порядка моды волны

Из рисунка видно, что чем больше мода, тем больше по модулю отрицательный корень. Чем больше мода, тем дальше в разные стороны расходятся корни относительно критического значения. Т.е. с увеличением моды один из положительных корней стремиться к нулю, а другой растет. Другими словами, в пределе при больших модах мы будем иметь картину, изображенную на рисунке 1, когда имеем три волны: одна с <5—» 0 и две другие с равными и противоположными по знаку частотами.

Корни уравнения (31) имеют вид:

-В1а(-А„7-)1'/2 3

(01=-

п2та(-ЬьТ)

(34)

(35)

(36)

Таким образом, получается следующая картина. Волны, мода которых меньше критического значения, движутся против часовой стрелки. К ним относятся волны с большими длинами волн. Волны, мода которых больше критического значения, образуют «тройки», одна из которых движется против часовой стрелки, а две другие по часовой стрелке.

Найдем период колебаний п-й моды (л > лкр):

То

(37)

гр. 3)..

Соответственно, для скорости п-и моды получим

„О,.

3

1/2

п2!ъ со&—-г,,, 3 0

3

1/2

(38)

(39)

(40)

где - скорость движения точек поверхности экватора при суточном вращении Земли.

Расчеты показывают, что для первой моды период равен чуть более пяти суток Г] = 5,32Г0, соответственно V, = 0,19 ■ т>0.

Графики этого возмущения для моды п = 1 в начальный момент времени и черезеутки приведены на рисунке 3.

хкеме)

X 1(6), ><6)

л = 1, г = Г0;

л = 1, / = 0;

Рис. 3. Возмущение первой моды в различные моменты времени

Как видно из рисунка, при этом барическая поверхность вначале целиком смещается вправо. Затем смешенная поверхность целиком совершает оборот вокруг центра Земли против часовой стрелки. Период вращения приблизительно равен пяти суткам.

Для второй моды период вращения равен Т2 = 4,237"0. Для второй моды возмущения в виде вытянутого эллипсоида в различные моменты времени имеют вид, приведенный на рисунке 4.Из рисунка видно, что вторая мода носит характер приливной волны.

Для третьей моды период вращения равен т} = 3,69Г0. Возмущение барической поверхности в различные моменты времени представлены на рисунке 5.

*Кв),Чв)

х<в),че)

л = 2, 1 = Т0;

п = 2,/ = 0;

Рис. 4. Возмущение второй моды в различные моменты времени

*<е),*е)

х«0^ л = 3, «- Г0;

л = 3, / = 0;

Рис. 5. Возмущение третьей моды в различные моменты времени

Остальные моды не приводим, так как картина в целом ясна.

Рассмотрим теперь критическую моду, для которой характерно наличие двух волн, одна из которых движется против часовой стрелки, а другая по часовой стрелке, в начальный момент времени и через сутки (рис. 6).

х1(в),Чв),хКв) /7 = 11, 1 = 0.

хке),>(в),хке) = 11, / = г0.

Рис. 6. Две волны критической моды 14

Вадим, что, если в начальный момент времени две волны совпадают, то через сутки отрицательная мода движется против часовой стрелки, а критическая мода по часовой стрелке.

Выше мы не учитывали, что при наложении волн происходит их интерференция, то есть возникают области усиления и ослабления волн. Рассмотрим теперь картину наложения этих

х<в),х(в) х<в),Ч9)

1 = 11,/ = 0. и = 11, I = Т0.

Рис. 7. Интерференция волн

Видим, что волны в результате интерференции вначале усилили, а через сутки ослабили друг друга.

Заадючение

Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Показано, что для поверхностных волн в атмосфере малого масштаба, когда можно пренебречь вращением Земли, т.е. силой Кориолиса, в волновое движение вовлекается только лишь охладившийся за счет адиабатического подъема первоначально теплый у поверхности земли воздух.

2. Учет вращения Земли приводит к дисперсии планетарных волн. Картина при этом качественно отличается от волн малого масштаба. Дисперсия приводит к тому, что в волновое движение может вовлекаться как холодный воздух с произвольной длиной волны, так и теплый воздух, длина волны которого больше критического значения.

3. Анализ волн Россби в приближении бета-плоскосги с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева показал, что при этом имеют место три волны, одна из них движется в отрицательном направлении, а две другие в противоположном. Кроме того, в приближении бета-плоскости также, как и в приближении / -плоскости, в волновое движение вовлекаются холодные волны с произвольной длиной волны и теплые волны, длина волны которых больше критического значения.

4. Анализ волн Блиновой - Россби в сферических координатах с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева показал, что, как и в приближении бета-плоскости, при этом имеют место три волны, одна из них движется в отрицательном направлении, а две другие в положительном. В отличие от случая бета-плоскости максимальная длина волны ограничена длиной экватора.

5. Найдено критическое значение порядка моды волны, которое соответствует случаю, когда две положительные волны вырождаются в одну. При значениях л > п^ будет иметь место две положительные волны и одна отрицательная. А при л < лкр будет иметь место только лишь одна отрицательная волна

6. Показано, что в волновое движение для произвольной широты места может вовлекаться не только холодный воздух, но и теплый. Однако на экваторе имеют места только лишь хо-

лодные волны. Но для значения функции перегрева AhT = 2 °С теплые волны с первой модой

возможны уже на широте <р = 1°.

7. Таким образом, получается следующая картина. Холодные волны, мода которых меньше критического значения, движутся против часовой стрелки. К ним относятся волны с большими длинами волн. Холодные волны, мода которых больше критического значения, образуют «тройки», одна из которых движется против часовой стрелки, а две другие по часовой стрелке.

8. В результате наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях, происходит их интерференция, то есть возникают области усиления и ослабления амплитуды волн.

Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы исследования. Результаты работы могут быть использованы в практике прогнозирования состояния крупномасштабной атмосферной циркуляции. Представляется важным в дальнейшем, развивая тему исследования, учесть влияние Луны и Солнца на характер возмущений атмосферной циркуляции.

Список работ, опубликованных авторомпо теме диссертации:

Публикации в журналах, входящих в базу Scopus:

l.Zakinyan, R.G.Two-dimensional analytical model of dry air thermal convection. /R.G.Zakinyan, A.R.Zakinyan, Lukinov A.A.//Meteorology and Atmospheric Physics.2015. DOI 10.1007/s00703-015-0368-2.

Публикации в журналах из перечня ВАК Минобрнауки России:

2.3акинян,Р.Г.Колебания атмосферы при агеострофическом состоянии./Р.Г. Закинян, А.А.Крупкин, А.А. Лукинов, Ю.Л. Смерек//Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2014. - № 5. — С. 49 -53.

3. Закинян, Р.Г. Исследование характера зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени. /Р.Г.Закинян, А.А.Зеф, А.А. Лукинов, Ю.Л. Смерек//Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2014. - № 5. - С. 54 -57.

Другие публикации:

4. Лукинов, А. А. Система уравнений тепловой конвекции с горизонтальным градиентом температуры / А. А. Лукинов // Двадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Материалы конференции. - Екатеринбург-Ижевск, изд-во АСФ России, 2014.-660 с.

5. Лукинов, А. А. Динамика планетарных волн Россби / А. А. Лукинов // Современные тенденции в образовании и науке сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции: в 14 частях. Тамбов, 2014. С. 71-72.

6. Лукинов, А. А.Исследованне планетарных волн Россби в атмосфере / А .А. Лукинов // Актуальные проблемы науки. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Том 3. С. 5355.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично автору принадлежат следующие результаты: в [5, 6] - разработка математической модели линейных волн в бароклинной атмосфере

[1 —4] - участие в разработках математических моделей.

Лукинов Алексей Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ

АВТОРЕФЕРАТ

Подл, в печать 21.05.2015 г. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Зак. №253. Печ. лист. 1,0. Тираж 100 экз.

Цех оперативной полиграфии ФГБНУ ВНИИОК г. Ставрополь, пер. Зоотехнический 15.