Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Экстремальные свойства векторно-матричных экологических моделей

ВАК РФ 03.00.16, Экология

Автореферат диссертации по теме "Экстремальные свойства векторно-матричных экологических моделей"

На правах рукописи

Нестеренко Александр Григорьевич

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫХ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

03.00.16 - экология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Кубанский государственный университет"

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Лежнев Виктор Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор

Муравей Леонид Андреевич доктор технических наук, профессор

Максименко Людвиг Александрович ГОУ ВПО "Ставропольский государственный университет"

Защита состоится 05 октября 2006 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в ГОУ ВПО "Кубанский государственный университет" по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Куб ГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Кубанский государственный университет".

Автореферат разослан '5Й1' июля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного сове

¡йида^-Евдокимов А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы продиктована важностью изучения принципов экологически безопасного функционирования техногенных систем. Научное прогнозирование возможных экологических сценариев их деятельности, особенно в экстремальных ситуациях, в силу сложности натурных экспериментов, имеет первостепенное значение. Особая роль, при этом, отводится методам математического моделирования. Многие математические модели, такого рода задач, приводят к системам уравнений и неравенств высоких размерностей, что сильно затрудняет их изучение даже при использовании современной вычислительной техники. Остро актуальными являются также вопросы обоснования численной устойчивости и единственности решения подобных проблем.

Цель работы - построение и исследование свойств математических моделей процессов пространственно временной трансформации распространения загрязнителя; разработка алгоритма решения задач, характеризующихся наличием сводного показателя вредности; исследование параметров требуемой реконструкции экологически проблемных систем техногенного характера, при условии минимизации необходимых издержек и рационального использования потребляемых ресурсов. На защиту выносятся:

1. Методика учета сингулярной структуры матричного оператора при исследовании соответствующих классов век-торно-матричных экологических моделей.

2. Трехзвенная модель экологически рационального выпуска нескольких видов продукции, обеспечивающая баланс между минимальностью общего вредного выброса и максимально возможным доходом, с учетом нескольких классов суммации.

3. Методика приведения проблемы дополнительной очистки выбросов многопродуктового производства к задаче расчета сингулярных характеристик прямоугольной матрицы малого ранга.

4. Критерии и принципы регулирования совокупного (вдоль потока) сброса распадающегося загрязнителя. Обоснование схемы оптимального размещения точечных источников сброса, а также режима предельно допустимой коллективной нагрузки на рассматриваемый участок потока. Практическая значимость заключается в прикладной формулировке большинства моделей изучаемых проблем. В отдельных случаях исследование проводится без использования специализированных численных методов, что после предварительной обработки информации, может быть использовано при калибровке параметров моделей. Многие виды рассматриваемых задач удается свести к получению основных показателей сингулярного разложения матрицы, при этом в работе приводится вычислительно эффективный метод получения такого разложения, опробованный в разных задачах и проектах.

Научная новизна работы состоит в том, что разработан упорядочивающий алгоритм сингулярного разложения матрицы (ЗУБ-разложения), который применяется (как составная часть) в исследуемых проблемах. Предложена трехуровневая модель регулирования экономико-экологических пропорций производства, реализующая баланс рентабельности единицы продукции и минимума общего масштабированного выброса, с учетом эффекта суммации. Описана методика матричного моделирования процесса заданной дополнительной очистки выбросов многопродуктового производства относительно сингулярных параметров оператора задачи. Приводятся критерии и соответствующие пропорции регулирования коллективного сброса неконсервативного загрязнителя в поток. Обосновывается схема оптимального раз-

мещения точечных источников сброса и режима предельно допустимой коллективной нагрузки на рассматриваемый участок потока.

Ключевые теоретические положения представляемой работы, являются составной частью следующих научных проектов, соисполнителем которых явился автор: РФФИ № 98-01-03627 "Оптимизация инвестирования региональной производственной структуры"; РФФИ № 98-01-03628 "Алгоритмы сжатия цифрового изображения"; РФФИ № 00-0696027 "Экологический фактор: проблема комплексной оценки, управления и мониторинга"; РФФИ № 03-01-96696 "Расчет динамики эффективных пропорций экономического производства"; РФФИ № 03-01-96698 "Биоиндикаторы и математические алгоритмы анализа их хромограмм"; Апробация работы. Результаты и выводы исследования докладывались на научных семинарах кафедр теоретической физики и компьютерных технологий (2002, 2004 гг.) физико-технического факультета и кафедры прикладной математики (2002 г.) факультета прикладной математики Кубанского госуниверситета. Они также были представлены на семинарах и конференциях:

Х-ой областной школе-семинаре - Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования. Ростов-на-Дону — Новороссийск 1986 г.; 9-го семинара "Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика" в рамках XXIX школы-семинара "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" Ростов-на-Дону - Новороссийск 2001г.; отчетных конференциях гран-тодержателей проектов РФФИ Краснодар - Сочи 2000, 2003, 2004 гг.; туапсинской городской научно - практической конференции "Актуальные проблемы рационального природопользования" - Туапсе 2001г.; межвузовской научно-методической конференции "Компьютеризация учебного процесса и вопросы применения компьютерных и информа-

ционных технологий" Краснодар, Краснодарский военный авиационный институт, 2002г; на П-й Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов "Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах", Краснодар, 2005.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 19 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы, включающего 86 наименований. Общий объем работы составляет 121 страницу и включает в себя 8 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы работы, сформулирована цель работы, ее научная новизна, практическая значимость. Приводится краткое описание количественных критериев экологической оценки среды, позволяющих строить модели на математическом уровне строгости.

Отмечается видная роль в концепциях современных матричных исследований представителей отечественной школы: Бахвалов Н.С., Воеводин В.В., Гантмахер Ф.Р., Глаз-ман И.М., Годунов С.К., Жидков Н.П., Икрамов Х.Д., Калит-кин H.H., Любич Ю.И., Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н., а также многогранный вклад зарубежных ученых: Ван Лоун Ч., Голуб Дж., Деммель Дж., Джонсон Ч., Моулер К., Уилкин-сон Дж., Форсайт Дж., Хорн Р.

Подчеркивается, что в области разработки методов устойчивых вычислений и решения плохо обусловленных задач лидирующие позиции принадлежит научным направлениям, развитым в работах Арсенина В.Я., Беклемишева Д.В., Лоусона Ч., Марпла С.Л., Морозова В.А., Степанова В.В., Тихонова А.Н., Хенсона Р., Яголы А.Г.

Указывается, что эколого-математические проблемы и методы их решения плодотворно развивались в работах Бисваса А., Горстко А.Б., Каханера Д., Марчука Г.И., Мои-

сеева H.H., Моулера К., Муравья JI.A., Нэша С.

В первой части приводятся математические результаты, используемые в последующих экологических схемах и моделях. Отмечается, что в основу многих прикладных алгоритмов заложен оригинальный метод максимизации столбцов (Лежнев В.Г., Нестеренко А.Г., 1995).

В разделе 1.1 излагается инверсный вариант этого метода - метод минимизации столбцов, повышающий эффективность алгоритмов изучения рассматриваемых задач. Пусть A={a¡j) — вещественная квадратная матрица порядка п. Будем обозначать й{=(йц,..., апк)т ее р-н столбец (Т - знак транспонирования), а через Ца^Ц - евклидову норму вектор-столбца ар, пусть

п

(ßk ,ар)="£ (lik aip. i=r

Далее будем предполагать, что

м > M, p=i,...,n-i, (1)

что обеспечивается умножением на соответствующую ортогональную матрицу i/o-

Обозначим через Up(<x) = (и,у) ортогональную матрицу с элементами и„п=ирр=с, ипр= -ирп = s (где с = cosa, s - sitia), остальные диагональные элементы равны единице, внедиа-гональные - нулю.

Для матрицы В =AUp(ct\ В - (Ьу) имеем

Ър = cap+sa„, bn = -sap+ca„, = a*, кФ р,п. (2)

При любых углах a выполняется равенство I! Ьр ||2 + II Ьп |12 = II ар ¡I2 + Л а„ И2.

Угол a будем выбирать так, что норма /2-ого столбца ||ô„|| была бы минимальной. Пусть

/(«)" \\bpf = С2\\ар\\2 + les (ап, ар) + 52|К||2,

тогда

Г (a) = 2cos2a (ап , ар) - sin2a[||ap||2 - ||я„Ц2]. Приравняем производную к нулю. Для определения минимизирующего угла a = ар получаем следующий алгоритм

' '' 7 7

a) если [||ая|| - ||а„Ц2] = 0, то

2ар=п/2; (3)

b) иначе угол ар определяется равенством

2(а„, ар)

tg2ap = ||д^||2 _ |jön||2 • (4)

J1 е м м а 1.1. Если \\ар\\>\\а„\\, то норма последнего столбца не возрастает при рассматриваемом преобразовании по алгоритму а)-Ь) матрицы, ||6Р|| > ||дД \\Ьп\\ < Ца„Ц.

Л е м м а 1.2. Если Цо^Ц > ||а„||, то новые столбцы Ьр и Ъа в матрице В ортогональны, Ър _L b„.

Далее для произвольной вещественной матрицы А порядка п рассматривается итерационная последовательность матриц

А/с = (а/), к= 1,2,... (5)

где

А | =AU0, A2=AiUi(a2)y...,Ak = At-lUk-i(ak), при. этом индекс р — р(к) матрицы Up определяется по правилу

р(к) = £-mod(/f—1)+1, *=1,2,...; (6) т.е. целочисленный индекс р =р(к) изменяется циклически от 1 до л-1 при возрастании к,р(0) = 0.

Итерационная последовательность Ац формируется умножением справа на матрицы простого поворота Up(ap), и угол <Хр— (л^к) определяется алгоритмом а)-Ь) при условии 1).

По построению имеем, что Ня/^Ц < \\вр\\, к= 1,2,...

Следовательно, выполняются леммы 1.1 - 1.2. В частности, для любой матрицы А* норма л-го столбца не больше нормы остальных столбцов и не возрастает при росте к.

Лемма 1.3. Последовательность \\а„к\\ норм последних столбцов при к-> со сходится.

Т е о р м а 1.1. Последовательность матриц Ац сходится при к —> оо.

Матричная последовательность Ак сходится поэлементно, обозначим предельную матрицу А«>,

Нт Ак = А„.

к-*<х>

Следствие 1.1. Последний столбец а,,00 матрицы ^" ортогонален остальным столбцам.

Пусть

*

Ук — П ир(т), иР(0Ги0,

т=О

тогда

Ат= Акир(к) = А\ Ук. Из теоремы 1.1 следует также сходимость ортогональных матриц Ук, обозначим их предельную матрицу через Ум-Справедливо равенство

Агх> А ] Усо.

В разделе 1.2 построенный выше итерационный процесс используется для получения сингулярного разложения вещественной матрицы А = (а/,) порядка п. Процедурой (5)-(6) для и -го столбца будем называть построение последовательности, минимизирующей п-й столбец, где угол ар для матриц ир строится по алгоритму а)-Ь) при условии (1).

Эта процедура приводит к матрице Апоследний столбец которой ортогонален остальным, обозначим теперь эту

(1) „ (О

матрицу <^рез А , обозначим также Ух := Ут.

Для А оо может быть осуществлена процедура (5)-(6) для ее (и—1)-го столбца (можно считать, что процедура (5)-(6) применяется к матрице А^ с отброшенным последи^ столбцом). Полученную в пределе матрицу обозначим Ат; ее последние два столбца ортогональны остальным. Предельную орт^ональную матрицу в этой процедуре будем обозначать Ую,

(2) (1) (2) (1) (2) (2) А со =А„а У«, —А\УаоУоо.

Для А оо проведем минимизацию норм1$)(п-2)-го столбца, предельные матрицы обозначим через А » (ее три первых столбца взаимно ортогональны и ортогональны всем ос-

тальным) и через Ух (ортогональная матрица).

Продолжая таким образом далее после применения (л-1)

раза этой процедуры получим матрицу л» = (а,/ все столбцы которой взаимно ортогональны, и выполняется равенство

где V— Уж" — ортогональная матрица.

Пусть £ = <Ш^(.У1,...,>.У,)), где зр - \\ар{п~ 'Ц, т.е. - норма р-го столбца матрицы А«, . Матрица Ат со взаимно ортогональными столбцами представляется в виде Л«, = ]¥8, где IV - ортогональная матрица. Для исходной матрицы А получаем сингулярное разложение.

А =

Описанный в этом разделе процесс является новым итерационным алгоритмом получения БУО-разложения вещественной матрицы.

В разделе 1.3 излагается алгоритм определения вершины выпуклого многогранника Р в «-мерном пространстве Г?", х = (х!,...,*„) е Г?", определяемого системой неравенств

Ах<Ь (7)

Исходную матрицу А — (а,у) размера тхп, т>п, обозначим через Аи т.е. А\ = А. Обозначим через В\ квадратную матрицу порядка п из первых строк матрицы А\, оставшуюся часть А\ обозначим Оь

Применим к матрице В\ процедуру (4)-(5) минимизации

и-го столбца, при этом В\ = В2 У\, где У\ - ортогональная, а

последний столбец Ьматрицы В2 ортогонален остальным. Система неравенств (7) может быть переписана в виде

Г \

Вг

Ах ■

-(й-

У\х < Ь.

Если ||6„ II«!, сделаем перестановку некоторой строки

т

матрицы Вг со строкой матрицы И\У\ , у которой наибольший коэффициент при х„. Полученную матрицу обозначим Аг, пусть

при этом обусловленность матрицы Вг вообще говоря, лучше, чем у В\ (ранг матрицы Вг может только увеличиваться).

После соответствующей перестановки строк в столбце Ъ новый столбец обозначим Ь1, получим эквивалентную систему

(В-Л , АгУ1Х = Ус\ У&<Ъ1.

Применим к Вг процедуру (4)-(5), получим Вг — В3У2.

Если последний столбец Ь„<3) матрицы В$ мал, то повторим

аналогичную операцию перестановки строк и в матрице В$ и в столбце б1. Обозначим полученную матрицу через Аз, а столбец - через Ь2,

А3УгУ1Х<Ь2,

Продолжая тем же способом, получим эквивалентную систему

АкУк-у Ук-г ...У[х = <Ьк~\ Ак = {^, (8)

где матрица Вк хорошо обусловлена (если многогранник Р не вырожденный), и система _

Вк:с= Ък~х

имеет единственное решение д:0; вектор Ьк~1 образован первыми п компонентами вектора Ькл.

Будем называть псевдовершиной многогранника Р, заданного системой неравенств (7), где т> п, точку х = (х\,хг, ..., х„), если в точке л: обращаются в равенство п неравенств системы (7), и строки их коэффициентов в матрице А ли-

нейно независимы. Если в точке х остальные т — п неравенств удовлетворяются, то х является вершиной многогранника Р.

Точка х° является псевдовершиной многогранника Р. Из системы (8) определяются ребра, проходящие через х°. Переход по ребрам (в направлении Р) приводит к определению собственно вершины многогранника Р.

Данный алгоритм может быть использован для решения задачи линейного программирования.

В разделе 1.4 рассматриваются линейные и квадратичные экстремальные задачи с ограничениями, в частности задачи билинейного и дробно-линейного программирования (задача БЛП и задача ДЛП).

Задача БЛП: найти

ц=тах(с,х) (9)

Л »С-

и оптимизирующие векторы х° = (х]0, хг, х„°) и с0 = (с]°, с2°, с„°), если

Ах < g, (10)

Вс<к. (11)

Неравенства (9)-(Ю) определяют в пространстве Я" выпуклые многогранники Р и().

Для решения задачи (9)-( 11) может быть эффективно использован алгоритм преобразования многогранника (10) к приведенной форме (8).

К задаче (9)-(11) сводятся различные задачи многопараметрического линейного программирования (МЛП-задачи), например, задача определения оптимальной пропорции загрязняющих производств. В этом случае ск - искомые пропорции, 0 < с* < 1, условие (11) имеет вид

с\ +...+ с„< 1,

В различных экономико-экологических задачах целевой функцией на многограннике Р является дробно-линейная функция

(с»•*) ■

В работе так же излагаются алгоритмические аспекты решения задачи дробно-линейного программирования (ДЛП задачи).

Задача ДЛП: найти

(I = шах Я(х) (13)

и оптимизирующий вектор х° — (Х|°, Х2°, ..., хп°), если

Ах < Ъ. (14)

В разделе 1.5 приводятся результаты численного расчета пяти разновидностей метода односторонних вращений для сингулярного разложения матрицы (рис. 1). Дается сравнительная количественная характеристика циклического и классического метода односторонних вращений, метода барьеров и двух разновидностей метода максимизации столбцов - перестановкой векторов и выбором угла поворота.

Часть вторая посвящена управлению и оптимизации экологическим фактором производственной деятельности. Отправным моментом рассматриваемых схем закладывается соблюдение предельно допустимых концентраций каждым компонентом вектора эко-воздействия. В процессе последующего развития моделей используются определенные дополнения и обобщения такой схемы.

В разделе 2.1 рассматривается ряд проблем территориального экологического и эколого-экономического характера: задача минимума токсичности для сети котельных; задача минимума токсичности транспортного парка; задача экономии топлива котельной; задача экономии топливных составляющих на транспорте. Показано, что их математическая формулировка:

+ + ... + = ^

£*>0, ¿=1,2,...,«,

позволяет определять оптимальное решение, не прибегая к процедуре перебора вершин допустимого симплекса. Последнее возможно в силу предельного случая неравенства Гельдера, с показателями 1 и оо.

В разделе 2.2 Рассматривается задача выработки заданного количества () мощности, на основе имеющихся видов топлива.

(Я,*) = б;

||Дк||1 -> тт(хь х2, х„);

хк>0, к = 1,2,...,«,

При этом выдвигается требование минимальности сводного загрязнения, относительно задаваемых ПДК (что отражено в матрице В).

Раздел 2.3 посвящен проблеме минимальной реконструкции показателей производства в целях экологической приемлемости, в случае превышения ПДК. Экологическое функционирование производства описывается системой В% — 2, в которой § — заданные объемы выпуска продукции не-сколькиих наименований, г - вектор, образующихся при этом выбросов различных загрязнителей. Размерности этих двух векторов в общем случае не совпадают, и следовательно матрица В — прямоугольная. Данная матрица по критерию наименьших квадратов реструктурируется так, чтобы выдержать ограничения на выбросы загрязнителей, при сохранении (неуменьшении) объемов производства В^ ^ = Предлагается три экономико-экологических критерия. 1) Модель равной стоимости - одинаковой, независимо от вида изделия gjj — 1,...,и и типа выделяющихся поллютантов г; I = 1.....т стоимости доочистки. 2) Модель матричной

стоимости - предполагает наличие квадратной матрицы ./% такой, что относительно вектора доочистки ^ выполняется равенство РВ*1^ = . 3) Модель поэлементной стоимости -в этой модели предполагается, что общая стоимость выражается тензорным (адамаровым) произведением матриц = (ау Ь/). Для всех трех подходов определение минимальной корректирующей матрицы базируется на сингулярном разложении матрицы неполного ранга.

В разделе 2.4 приведены постановки экстремальных эколого-математических задач для природосберегающего производства. При этом закладываются экономические ресурсные ограничения (вектор р), стоимость выпускаемой продукции (вектор цен р), а также ограничения на предельно допустимые концентрации вредных выбросов (вектор Г]0). Учитываются множественные эффекты суммации веществ по направлениям вредного воздействия (матрицы В и

АО.

(Ах, л )

ВА1Х<\ъ А2х < г)°, Сх < р; х > 0.

В третьей части исследуются модели пространственно-временной трансформации подвижной субстанции.

Раздел 3.1 посвящен проблеме построения единичного гидрографа отдельного водосбора для расчета паводкового стока (рис. 2). Актуальность проблемы диктуется тем, что данная методика применима к водосборам, имеющим очень слабую систему наблюдений или не имеющим таковой вообще. В этом случае, располагая данными о количествах и длительности осадков, а также ответной реакции на них изучаемого водосбора, рассчитывается его характерная паводковая функция - единичный гидрограф. Математически данная методика сводится к решению переопределенной

системы уравнений Рх = g. Для решения последней, выбран один из наиболее корректных подходов — сингулярное разложение матрицы, так как он характеризуется высокой вычислительной устойчивостью.

В разделе 3.2 рассматривается проблема коллективного регулирования концентрации распадающегося загрязнителя в потоке. Предполагается, что известны характеристики источников сброса некоторого регулируемого загрязнителя, а, именно, величины концентраций и временные интервалы добегания до замыкающего створа. Превышение ПДК в замыкающем створе рассматривается как следствие коллективного влияния, а не результатом деятельности исключительно последнего по потоку предприятия. Принято, что распад неконсервативного, загрязнителя происходит по экспоненциальной модели. Выбраны три критерия коллективной ответственности за превышение ПДК в замыкающем створе: 1) прямо пропорциональное снижение массы сброса каждым источником; 2)снижение сбросов пропорциональное долевым вкладам в. запредельную концентрацию; 3)минимально возможное снижение суммарной массы сброса по всем источникам. Для всех трех методик приводятся постановки соответствующих экстремальных задач и методика их решения.

В разделе 3.3 рассматривается проблема оценки предельной нагрузки участка потока, т.е. нахождения вектора концентраций с = (сьс2,...,с„)т, при использовании которого не нарушены все ограничения и одновременно суммарная концентрация 5 = с\ + с2 + ... + с„, а следовательно и скорость сброса массы ЗВ в единицу времени, будет наибольшей. За основу принята модель экспоненциального распада. Получающаяся в итоге задача линейного программирования, имеет специальную структуру, что позволяет, при данных допущениях, аналитически определять оптимальную угловую точку.

В разделе 3.4 рассматривается модель линейно- пропорционального влияния п источников сброса в стационарную по времени водную/воздушную среду так, что их воздействие в т точках замера выражается линейно относительно количеств поступления самого загрязнителя в точках его сброса. В предположении линейности получается система = 8 относительно неизвестных коррекций выпуска продукции i;, которые позволят снизить на величину 8 уровень выброса загрязнителя до предельно допустимых концентраций. При этом требуется достижения заданных экологических параметров достижения нормой неизвестного вектора минимума Ц^Цг min, т.е. при минимальном суммарном уменьшении существующего на данный момент общего сброса. Решение данной проблемы использует концепцию сингулярного разложения матрицы

= 5/а„ i = 1,2,...,г, где г —ранг матрицы системы. В разделе 3.5 приводятся результаты численного моделирования задачи построения единичного гидрографа (рис. 2), а также графики компонент наибольшего и наименьшего сингулярных векторов (рис. 3) для ленточной матрицы определяющей интенсивность и длительность избыточных осадков, аналогичные пропорции второго и предпоследнего сингулярных векторов передает рис.4.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Концепция сингулярного разложения матрицы позволяет качественно исследовать оптимальные свойства многих рассмотренных моделей. В работе описывается новый численный метод определения составляющих такого БУБ-разложения.

2. Набор критериев и методов коллективного регулирования поступлений, распадающегося в русловом потоке загрязнителя, позволяет аналитически, с учетом физических параметров, вычислять пропорции допустимого сброса для каждого участника системы. В схемах размещения сети точечных по потоку источников загрязнения и в методе определения предельно возможной нагрузки на участок потока, также допустимо в рамках модели, построить аналитическое распределение.

3. Рассмотрение набора моделей по контролю вектора загрязнителей при заданных прогнозных показателях выпуска, позволяет заключить, что трансформация задачи к норме один существенно упрощает определение оптимума.

4. В матричной схеме регулирования требуемой доочи-стки действующего производственного процесса оптимальное решение можно получить путем конструирования добавочных прямоугольных матриц малого ранга. Данная задача тесно связана с сингулярной структурой определяемой матрицы.

5. Комплексная экономико-экологическая модель по регулированию выпуска нескольких видов продукции, с учетом ограничений по классам суммации, позволяет сочетать минимизацию общего шкалированного выброса загрязнителей и максимально возможный доход от экологически подконтрольной производственной деятельности.

разложения матрицы Гильберта.

Рис. 3. Первый и последний сингулярные векторы в задаче построения единичного гидрографа.

РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лежнев В.Г., Нестеренко А.Г. Метод сингулярного разложения матрицы // Численные методы анализа. М.: Изд-во МГУ, 1995. с. 183-189.

2. Горенский В.К., Нестеренко А.Г. Моделирование руслового потока равнинного участка реки. Деп. ВИНИТИ № 3968-85. Краснодар. 1985г.

3. Нестеренко А.Г. К вопросу определения гидрологических характеристик руслового потока и режима сброса загрязняющих веществ в речную сеть. // Тезисы докладов областной X школы-семинара - Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦВШ, 1986 г.

4. Нестеренко А.Г. Унитарная ортогонализация системы векторов. // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: Изд-во МГУ, 1999.

5. Лежнев В.Г., Гаврилов A.A., Нестеренко А.Г., Подгор-нов В.В. Оптимизация инвестирования производственной структуры. // Наука Кубани № 7. Краснодар. Изд-во Администрации Краснодарского края, 1999. с.29-32.

6. Лежнев В.Г., Кольцов Ю.В., Нестеренко А.Г. Одна оптимизационная экономико-экологическая задача // Экология, экономика, информатика XXVII школа семинар "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования". Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2000. с.133-134.

7. Лежнев В.Г., ЦаценкоЛ.В., Нестеренко А.Г., Дробо-тенко М.И. Комплексная экологическая оценка и биоиндикаторы. // Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий. / Материалы Международной конференции и Российской научной школы. Часть 2. -Москва: МГИЭМ, 2001. с.36-37.

8. Лежнев В.Г., Нестеренко А.Г. Некоторые математиче-

ские модели оптимальной реорганизации производства Вестник Кубанского регионального отделения Академии педагогических и социальных наук №2. Майкоп 2002г. с. 161-164.

9. Лежнев В.Г., Кольцов Ю.В., Нестеренко А.Г. Задачи управления экологическим фактором Экология, экономика, экспертиза, информатика XXIX школа-семинар "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (10-15 сентября 2001 г.) Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦВШ, 2001. с. 151-153.

10. Лежнев В.Г., Нестеренко А.Г., Цаценко Л.В. К оценке комплексного экологического фактора Экология, экономика, экспертиза, информатика XXIX школа-семинар "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (10-15 сентября 2001 г.) Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. с. 154-155.

11. Нестеренко А.Г., Цаценко Л.В., Шорин Н.В. Web реализация научно-информационной структуры: иерархия данных и представление ресурсов. Научный сервис в сети Интернет: Труды Всероссийской научной конференции (24-29 сентября 2001г., г. Новороссийск). -М.:Изд-во МГУ, 2001. с.46-47.

12. Лежнев В.Г. , Цаценко Л.В., Нестеренко А.Г., Хромоти-ческая биоиндикация в экологии. // Заключительная конференция грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края "р2003юг". Тезисы докладов. Краснодар 2005. с.27-28.

13. Лежнев В.Г., Кольцов Ю.В., Нестеренко А.Г. Задачи управления экологическим фактором Экология, экономика, экспертиза, информатика XXIX школа-семинар "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (10-15 сентября 2001 г.) Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. 236с.

14. Лежнев В.Г., Нестеренко А.Г., Цаценко Л.В. К оценке

комплексного экологического фактора Экология, экономика, экспертиза, информатика XXIX школа-семинар "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (10-15 сентября 2001 г.) Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. 236с.

15. Лежнев В.Г., Подгорнов В.В., Нестеренко А.Г. "Оптимизация производственных показателей и многопараметрическое программирование" Наука Кубани №3 (чЛ). Краснодар 2004г. с.7-9.

16. Нестеренко А.Г. Экстремальные задачи природосберегающего производства // Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Техн. науки. Приложение. - 2005. №3. с.86-87.

17. Нестеренко А.Г. Регулирование сбросов коллективной системы источников загрязнения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Техн. науки. Приложение. - 2005. №3. с.85-86.

18. Нестеренко А.Г. Модель оптимальной перестройки характеристик производства в целях экологической приемлемости. И Труды П Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т.1, с.28-29. Краснодар, 2005.

19. Lezhnev V.G., Nesterenko A.G. Some estimate for generalized algebraic spectral problem. // Spectral and evolutionaiy problems: Proceedings of the seventh Crimean autumn mathematical school-symposium. Vol.7,1997. p. 61-62.

Подписано в печать 8.07.2006 г. Формат 60х84|Л6. Усл. печ. л. 1. Бумага Maestro. Печать трафаретная. Тираж 100 экз. Заказ № 6132.

Тираж изготовлен в типографии ООО «Просвещение-Юг»

с оригинал-макета заказчика. 350059 г. Краснодар, ул. Селезнева, 2. Тел./факс: 239-68-31.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Нестеренко, Александр Григорьевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. БАЗОВЫЕ КОНЦЕПЦИИ, МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ.

1.1. Ортогонализация и итерационные методы матричной декомпозиции.

1.2. Сингулярное разложение матриц.

1.3. Вычислительные алгоритмы сингулярного разложения матрицы.

1.4. Задачи оптимизации на многогранных множествах.

1.5. Численная реализация SVD разложения односторонними ортогональными преобразованиями.

2. ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКТОР: УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ.

2.1. Минимизация сводного уровня загрязнения.

2.2. Многокомпонентная оптимизация.

2.3. Минимальная реконструкция показателей производства в целях экологической приемлемости.

2.4. Экстремальные задачи для природосберегающего производства.

3. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ СУБСТАНЦИИ.

3.1. Метод единичного гидрографа и расчет паводкового стока.

3.2. Коллективное регулирование концентрации распадающегося в потоке загрязнителя.

3.3. Оценка предельной нагрузки участка потока.

3.4. Модель линейно-пропорционального влияния.

3.5. Вычислительный анализ матричного метода определения единичного гидрографа.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Экстремальные свойства векторно-матричных экологических моделей"

Процесс приобретения человечеством новых знаний показывает, что перспективы развития большинства наук не мыслимы без использования современного математического аппарата. Математизация экологии яркий тому образец. Сложность разрешения экологических задач поэтому, сопряжена с некоторой раздвоенностью роли математических методов. В естествознании математика быстро и прочно заняла ведущие позиции, однако в области социальных наук ее успехи намного скромнее.

Следует также отметить, что развитие наук экологического цикла сильно меняет человеческие представления о ювелирной тонкости окружающего нас мира. Создается впечатление, что мы находимся в ограниченной нише, выход за границы которой несет абсолютно непредсказуемые и потенциально гибельные последствия для всей цивилизации. Помимо антропогенных воздействий рамки нашего существования определяются также чисто природными гранями. Этими гранями являются, например стабильность электромагнитного фона (отсутствие магнитных бурь) или строго регламентированные дозы микроколичеств химических элементов и соединений.

Связи локальных и планетарных процессов, которые помогают выявлять математические методы, могут оказаться очень значимыми и даже жизненно важными. Так, в южной части Тихого океана преобладают ветры, дующие с востока на запад. Это влияние непостоянно, оно изменяется в течение года и от года к году, причем изменения образуют более или менее регулярный цикл, называемый el Nin~o. Ученые пытаются анализировать эти циклы, так как они имеют огромное экономическое значение для сельского хозяйства и для прогнозирования погоды. Один из способов анализа основан на применении так называемого "Указателя южных колебаний", в котором фиксируются разности атмосферных давлений на острове Пасхи и в дарвиновской Австралии, измеренных на уровне моря в одно и то же время. В этом справочнике содержаться ежемесячные данные, представляющие собой средние значения измерений, которые можно отнести к середине месяца.

На основе данных "Указателя" за 14-летний период с 1962 по 1975 г. (168 значений) проведено выявление периодических циклов [31]. По результатам анализа следует, что велики члены суммы, соответствующие четвертой, пятой и шестой компонентам периодограммы при длинах периодов в 42, 33.4 и 28 месяцев. Дополнительный анализ тех же данных показывает, что наибольший пик, соответствующий циклу продолжительностью около 44 месяцев, "размазался" по ближайшим компонентам. Изучались и другие пики, для всех были получены более точные оценки. Один из выводов состоит в том, что пики этих синусоид в 1982 г. совпали, что давало возможность предсказать грязевые оползни в Калифорнии, которые снесли множество домов и причинили убытки в миллионы долларов. Возможно, в следующий раз такое явление удастся предсказать заранее.

Даже без свидетельств ученых большинство жителей промышленных стран на себе ежесекундно ощущают итоги химического воздействия в дыхании, пище и воде, а также негативное влияние на самочувствие через разные виды излучений. Видимо, создание искусственных, заранее регламентированных, элементов естественной среды существования, как, например, использование фторсодержащей зубной пасты не станет приемлемым выходом из ситуации, так как возможна разбалансировка доз некоторого неучтенного микроэлемента. Как грустно констатируется в [24] "Объявлено, что "человек - царь природы", и он стал брать с нее дань спокойно и планомерно. Хлопковые плантации покрыли некогда зеленые холмы Диксиленда (южные штаты США) и через известное, довольно короткое время превратили их в песчаные дюны. . Промышленность развивается и приносит огромные прибыли, а Рейн, Сена и Висла превратились в сточные канавы."

Новые поколения получают опасное наследство и в прямом и переносном смысле. Даже такая "безобидная" характеристика как запыленность воздуха постоянно возрастает [57], [67]. Было установлено, что за одно десятилетие помутнение атмосферы над Тихим океаном увеличилось на 30%. При этом каждый кубический сантиметр воздуха больших городов содержит несколько тысяч микроорганизмов.

Лозунг "возвращения первозданности природе любой ценой!" встретит как минимум две неодолимые на сегодня преграды: 1)точно не известно насколько человеческая деятельность пощадила природные механизмы самовосстановления (например, изменения генотипов, вызванные мутациями вирусов и бактерий); 2)подавляющее большинство жителей индустриальных и довлеющих к ним стран не допустят этого любыми средствами. Последнее принадлежит области печальных парадоксов, а первое основано на не знании точных характеристик "первичной" природы. В стародавние времена никому не приходило на ум "точно" фиксировать параметры "среды существования", не говоря уже о наличии соответствующих ресурсов и знаний. А нынче это делать поздно за редкими исключениями, такими как, исследование прецизионного состава воздуха в глубинных пустотах ледников и т.п.

Удивительные данные об экономике Китая помогают понять, почему современное развитие не может привести нас туда, куда нам хотелось бы. Его экономика является самой быстрорастущей в мире, увеличившись с 1980 г. более чем в четверо. По сути, Китай как бы разворачивает мировую историю в сжатые сроки, демонстрируя что происходит, когда массы бедняков быстро богатеют.

По мере роста доходов растет и потребление. Китайцы уже догнали американцев по потреблению свинины на душу населения и теперь сосредоточили усилия на увеличении производства говядины. Чтобы догнать Америку в расчете на одного человека Китаю надо производить корм для скота равный всему урожаю зерновых в США. Япония, например, чтобы получить нужное количество животного белка, обратилась к морю. Потребление морепродуктов Японией составляет приблизительно 10 млн. т. Если бы и Китай с его населением, в 10 раз больше японского, пошел тем же путем, ему потребовалось бы 100 млн. т. морепродуктов - весь мировой улов рыбы [7].

В 1994 г. китайское правительство решило сделать ставку главным образом на автомобильный вид транспортных перевозок. Пекин обратился к мировым производителям - "Фольксваген", "Дженерал Моторс", "Тойота" - с предложением инвестировать средства в китайскую промышленность. Если у каждой китайской семьи в гараже будет стоять 1-2 автомобиля, которые начнут потреблять бензин на американском уровне, то только Китаю, с населением 1,3 млрд. человек, потребуется 80 млн. баррелей нефти в день, а при текущей мировой добыче только 74 млн. баррелей. Для обеспечения такой армады автомобилей дорогами и местами стоянок потребуется 16 млн. га земли - половина всех рисовых полей страны (31 млн. га), которые приносят урожай 132 млн. т риса, основного продукта питания.

Похожим образом обстоит дело с производством и потреблением бумаги. Если нынешний расход - 35 кг на человека в год, поднимется до американского уровня - 342 кг, то Китаю понадобится бумаги больше, чем ее производит весь мир.

Это говорит о том, что западная модель индустриального развития общества для Китая не годится. Даже всей земной суши и всех пресных запасов воды на Земле не хватит, чтобы удовлетворить полные потребности Китая в зерне.

Группа видных ученых, среди которых члены Китайской академии наук, обратилась к обществу с открытым письмом. В нем ставится по вопрос целесообразность развития автомобильного транспорта. Ученые указывают, что в итоге не останется земли для выращивания сельхозпродуктов. Они также отмечают, что страна попадет в сильную зависимость от внешних поставок нефти.

Экономика, основанная на сжигании ископаемого топлива, не сможет нормально функционировать не только в Китае, но и в Индии с ее 1 млрд. населения, и в других странах развивающегося мира. Эта схема, в конце концов, перестанет работать и в развитых странах.

Глубокий исторический вывод автора [24] гласит "Человечество как биологическая форма - это единый вид с огромным количеством вариаций, распространившийся . по всей поверхности земного шара. . И не следует думать, что где-нибудь есть "девственные" земли, . Нынешние пустыни и дебри наполнены следами палеолитических стоянок; леса Амазонки растут на переотложенных почвах, некогда разрушенных земледелием древних обитателей; даже на утесах Анд и Гималаев найдены следы непонятных нам сооружений." говорит и о временной глубине происходящих процессов. Причем их масштабность не является прерогативой современности ".человек, вооруженный техникой, даже палеолитической, мог бы уничтожить все живое вокруг себя, отнюдь не подозревая, что этим он погубит и свое потомство. Ведь примитивное дуалистическое отношение к природе - деление животных на "полезных" и "вредных" - теоретически обосновывало нарушение биоценозов, вне коих звери и растения жить не могут. . Казалось бы, древние люди, не знавшие основ биоценологии, именно так и должны были бы поступать. . человек не только социальная единица, .,но и органический элемент земной поверхности, связанный с биосферой неразрывно через инстинкты, позволяющие ему не погибнуть."

Потеряв одно жизненно необходимо приобретать другое. Этим другим можно считать тот самый комплекс экологических наук, благодаря которому человечество хотя бы частично осознает, что же оно все-таки теряет. "Золотым правилом" наступающего периода становится - "не спешность безвозвратных изменений". Это очень заметно в современных исследованиях, например, по проблемам клонирования и всему что с этим связано. Другим образцом использования "золотого правила" была попытка ограничить суммарный атмосферный выброс загрязнителей, которая привела к формулировке известного Киотского протокола. Суть которого сводится к введению квот на промышленные выбросы всеми странами, пропорционально их населению. Если же некоторое государство превышает отведенный ему порог, то оно обязано компенсировать свое превышение тем странам, которые до квоты не "добирают". Такими парами стран могут считаться США, промышленность которых потребляет порядка 65% "запредельного" воздуха [83], и Бразилия, в тропических лесах которой образуется крупная доля мирового атмосферного кислорода. Некоторые промышленно активные страны, в частности Австралия и США, к Киотскому протоколу не присоединились, сославшись на неведение современной наукой точных причин глобального изменения климата. Этот упрек можно считать прямым вызовом по активизации соответствующих исследований.

Комплексность исследований присуща не только научным коллективам, но и многим разделам экологического знания. Если в восемнадцатом веке передовую науку своего времени двигали гениальные единицы, то в последующие периоды картина резко изменилась. Дифференциация научного знания привела к появлению новых ветвей науки, и наоборот, интеграционные процессы в познании мира детонируют своеобразную диффузию научных идей из одной области в другую. Исторически, представление о кругообороте химических элементов - углерода, азота, серы, фосфора и других - целиком возникло из наблюдений, показывающих непрерывность их поступления в биосферу и выхода из нее и непрерывность обмена элементами между различными частями самой биосферы. Незадолго до того как жизнь великого А. Лавуазье трагически оборвалась, он закончил небольшой, но исключительный по насыщенности глубокими идеями труд - "Кругооборот элементов на поверхности земного шара". Можно считать эту работу одной из главных вех зарождения экологии. Суть передовых для своего времени выводов заключена в следующих строках.

Растения получают из окружающего их воздуха, из воды и из всей неживой природы в целом, вещества, необходимые для их организма.

Животные питаются либо растениями, либо другими животными, так что, в конечном счете, вещества, из которых строится их организм, берутся из воздуха или из минерального царства.

Наконец, брожение, гниение и сгорание непрерывно возвращают в воздух атмосферы и в минеральное царство те исходные вещества, которые у них позаимствовали растения и животные. Какими путями осуществляет природа этот изумительный круговорот?"

Позже, восхищаясь этими утверждениями, JL Пастер продолжает цепь выводов: "Необходимо, чтобы фибрин костей, мочевина мочи, древесина растений, сахар их плодов и крахмал их семян постепенно распались бы до воды, аммиака и углекислого газа, прежде чем эти исходные элементы, из которых строятся сложные органические вещества, будут снова подхвачены растениями и переработаны ими в вещества, служащие пищей для животных, подобных тем, останки которых послужили источником этих элементов. И такой круговорот совершается непрерывно на протяжении веков".

Современная экология свидетельствует, что во всех таких процессах первостепенную роль играет Мировой океан. Центральным моментом в круговороте углерода является автоматическое поддержание концентрации углекислого газа в атмосфере на определенном уровне. И здесь решающая роль принадлежит Мировому океану: фотосинтез с участием водорослей и водных растений примерно в 8 раз интенсивнее, чем фотосинтез с участием всей наземной растительности [2]. Однако, загрязнение морей не всегда можно обнаружить по внешним проявлениям. Так, Северное море, в сильнейшей степени загрязненное отбросами и сточными водами, все еще остается одним из наиболее продуктивных в мире районов рыболовства [2]. Специалисты океанологи, наблюдавшие флору и фауну морей на протяжении последних десятилетий, единодушно отмечают постоянное уменьшение интенсивности жизни в океане. Отравление океана есть результат многих процессов, накладывающихся один на другой. Биосферные цепи питания начинаются с фитопланктона, который можно назвать "пастбищем моря" и заканчиваются на млекопитающих, в числе которых находится и человек. Огромную опасность представляет загрязнение океана такими металлами, как ртуть, свинец, кадмий, медь, цинк и хром. Например, отравление ртутью проявляется в расстройстве нервной деятельности, наступающем уже при малой ее концентрации. Печально известна болезнь, объявившаяся в Японии между 1953 и 1960 гг. в префектуре Минамата (о. Кюсю). От нее погибли или стали инвалидами 111 человек. Причиной болезни было употребление в пищу креветок и рыбы, отравленных диметилртутью, которую выбрасывал в море завод, производивший поливинилхлорид. Диметилртуть выводится из организма достаточно медленно - 50% за 70 суток. Другой опасный загрязнитель - свинец попадает в океан в результате естественного вымывания континентальных пород, но в наши дни попадание свинца в океан происходит главным образом из воздуха, который все больше загрязняется выхлопными газами автотранспорта и за счет сжигания каменного угля. Расстройство обмена веществ у человека возможно уже при малых дозах соединений свинца. По оценкам ежегодно из атмосферы и рек в океан выбрасывается 200 тыс. т. свинца.

С тех пор как вошли в обиход морские перевозки нефти с помощью танкеров, в море ежегодно попадает около 5 млн. т. нефти [2], [67]. Удивительно, что Мировой океан еще не так загрязнен, как, казалось бы, мог быть. Это объясняется естественными процессами самоочищения: испарением, рассеянием за счет штормов, приливов и отливов, окислением и микробным разложением углеводородов. Первым следствием рассеяния является образование тонких поверхностных слоев, а из них затем образуются эмульсии. В конце концов, эти эмульсии поглощаются массой океана. Для того чтобы частицы водно-нефтяной эмульсии опустились на глубину 4000 м, требуется несколько месяцев. Анаэробное разложение нефтяных остатков на глубине происходит гораздо медленнее. К этому следует добавить сознательное захоронение в морях опасных грузов. Например, в 1970 г. США захоронили в Мексиканском заливе несколько тысяч тонн боевого нервно-паралитического газа (зарина), заключенного в герметичные кессоны. Остается лишь надеяться, что герметичность кессонов будет сохраняться бесконечно долго. Мировое потребление основных энергоисточников в 1980г. в долях от суммарного потребления составляло: нефти 46%, газа 15%, угля 30%, торфа 0.1%, дров 3.0%, гидроэнергии 6.0%.

Само слово токсин (xo^iaeov) первоначально означало экстракты, которыми смазывали наконечники отравленных стрел. Когда же речь заходит о токсических веществах, вырабатываемых позвоночными появляется слово "яд" (анг. Venom, фр. Venin, нем. Gift). Например, в Японии, несмотря на строгую регламентацию кулинарной обработки, все еще не редки случаи смертельного отравления от токсинов рыбы "фугу" (Sphoeroides rubripes).

Одной из серьезных в глобально экологическом (а не физиологическом) понимании категорией токсинов являются фитотоксиканты - загрязнители атмосферы, воды и почвы вредные для растений. Они способны пагубно повлиять на всю пирамиду органической жизни. Фитотоксиканты поглощаются листьями, оттуда поступают в побеги и другие органы растений. Атмосферные осадки способствуют поступлению растворенных фитотоксикантов в растения. Например, диоксид серы S02 (сернистый газ) в атмосфере окисляется до сернистого ангидрида (SO3) при фотохимических реакциях (с участием солнца). В конечном итоге образуется раствор серной кислоты в дождевой воде. Это не только подкисляет почвы, но и вызывает хлороз растений. Фитотоксикантами являются также свинец и кадмий, накапливающиеся в растениях вдоль автодорог. Попутно через растения (наряду с дыханием) в человеческий организм попадает сильнейший канцероген бензапирен (БаП). Его выброс в атмосферу резко возрос в связи с распространением двигателей внутреннего сгорания и интенсивным потреблением горючих ископаемых в промышленности. Определения содержания БаП в зеленой водоросли Scedesmus acutus, выращенной на открытом воздухе, показывает, что в Дортмунде (ФРГ) его концентрация почти в 30 раз выше, чем в Бангкоке [2].

Критерием качества атмосферного воздуха установлена ПДК -максимальная концентрация примесей в атмосфере и гидросфере, отнесенная к определенному времени осреднения, которая при периодическом воздействии или на протяжении всей жизни человека не оказывает на него вредного влияния, включая отдаленные последствия.

В нашей стране действуют показатели ПДК вредных газов, паров и аэрозольных примесей в воздухе рабочей зоны и ПДК вредных веществ в атмосферном воздухе населенных мест, для которых установлено две нормы -максимальная разовая ПДКмр и среднесуточная ПДКСС. ПДКмр - основная характеристика опасного воздействия вещества - устанавливается с целью предупреждения рефлекторных реакций у человека на кратковременном (до 30 мин) воздействии атмосферных примесей. ПДКСС - для предупреждения прямого или косвенного влияния на организм человека при неопределенно длительном воздействии.

Наибольшая концентрация каждого вредного вещества в приземном слое воздуха населенных мест не должна превышать ПДКмр. При одновременном присутствии в атмосфере нескольких вредных веществ, обладающих однонаправленным действием {эффектом суммации, например, SO2 и NO2 и др.), их безразмерная концентрация X должна удовлетворять условию [64],[83],[56]:

С) Ci сп

ПДК, +ПДК2 +- + ПДКП -1' где Сь С2,., Сп - концентрации вредных веществ в одной и той же точке местности, мг/м ; ПДКь ПДК2,., ПДК„ - допустимые максимальные разовые концентрации тех же веществ.

Вредные и ядовитые вещества, в зависимости от их состава и характера действия, нормируются по лимитирующему показателю вредности (ЛПВ), под которым понимают наибольшее отрицательное влияние, оказываемое данными веществами. Для водоемов питьевого и культурно бытового назначения используют три вида ЛПВ: санитарно-токсикологический, общесанитарный и органолептический; в рыбохозяйственных водоемах к указанным трем добавляются еще токсикологический и рыбохозяйственный ЛПВ.

Вода считается чистой, если ее состав и свойства ни по одному из показателей не выходят за пределы установленных нормативов, а содержание вредных веществ не превышает предельно-допустимых значений (ПДК). При наличии в воде нескольких веществ с одинаковым ЛПВ, сумма отношений их концентраций к соответствующим ПДК не должна превышать единицы: п С т-^— < 1 к пдк, -1' где С, - концентрация /-го вещества с одинаковым ЛПВ; ПДК, - предельно допустимая концентрация /-го вещества; п - число веществ с одинаковым ЛПВ.

В настоящее время для водоемов питьевого и культурно бытового назначения установлены ПДК более 1625 вредных веществ, для водоемов рыбохозяйственного назначения - более 1050.

В связи со сложностью и разнообразием химического состава природных вод, а также возрастающим количеством загрязняющих веществ такие оценки не дают четкого представления о суммарном загрязнении водных объектов и не позволяют однозначно выражать степень качества воды с различным характером загрязнения.

Вода по качеству разделяется на классы с различной степенью загрязнения. Однако одно и то же состояние воды по разным показателям может быть отнесено к различным классам качества, что является недостатком данных методов.

Касаясь математической стороны дальнейшего изложения, отметим, что в концепциях современных матричных исследований видное место занимают такие представители отечественной научной школы как Бахвалов Н.С., Воеводин В.В., Гантмахер Ф.Р., Глазман И.М., Годунов С.К., Жидков Н.П., Икрамов Х.Д., Калиткин Н.Н., Любич Ю.И., Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. [3], [12], [14], [17], [77], [0], [29]. Неоценимо важна роль передовых зарубежных ученых, значительно развивших данную отрасль знаний Ван Лоуна Ч., Голуба Дж., Деммеля Дж., Джонсона Ч., Моулера К., Уилкинсона Дж., Форсайта Дж., ХорнаР. [76], [25], [80], [21], [78], [75]. В области разработки методов устойчивых вычислений и решения плохо обусловленных задач, лидирующие позиции принадлежит научным направлениям, развитым в работах Арсенина В.Я., Гончарского А.В., ЛоусонаЧ., Морозова В.А., Степанова В.В., Тихонова А.Н., Уилкинсона Дж., Форсайта Дж., Хенсона Р,

Яголы А.Г., [71], [72], [55], [78], [45], [75]. Эколого-математические проблемы и методы их решения плодотворно развивались в работах Бисваса А., Горстко А.Б., Каханера Д., Марчука Г.И., Моисеева Н.Н., Моулера К., Муравья Л.А., Нэша С. и многих других ученых [68], [23], [31], [49], [53], [83].

Предваряя дальнейшее изложение, подчеркнем видную роль в нем концепции сингулярного разложения матриц (SVD-разложения) [12], [13], [44], [76], [25], [80]. Изначально сингулярное разложение вещественных квадратных матриц было введено и обосновано Сильвестром в 1889 г. Первое доказательство возможности сингулярного разложения в случае произвольных комплексных гахя-матриц было дано, согласно [80], в работе: Eckart С., Young G. A Principal Axis Transformation for Non-Hermitian Matrices. - Bull. Amer. Math. Soc., 1939, v. 45, 118-121. В этой же статье доказано, что, для того чтобы две матрицы допускали одновременное сингулярное разложение, необходима и достаточна эрмитовость произведения первой матрицы на сопряженную вторую, а также эрмитовость комплексно сопряженной и транспонированной матрицы к этому произведению.

Сингулярные базисы в совокупности образуют ортонормальные матрицы и для их получения требуются ортогональные операторы специального вида, а именно матрицы вращения и отражения. Вычислительные методы расчета сингулярных чисел и соответствующих им векторов восходят, по всей видимости, к классическому методу Якоби. Как указывают авторы [65], [80] впервые плоские вращения были использованы в работе Jacobi, C.G.J., 1846. "Concerning an Easy Process for Solving Equations Occuring in Theory of Secular Disturbances". J. Reine Angew. Math., 30:51-94, для диагонализации действительной симметричной (7х7)-матрицы. Сто лет спустя метод был переоткрыт и описан в отчете Bargmann V., Montgomery С., von Neuman J., 1946. "Solution of Linear Systems of High Order", Princeton: Institute for Advanced Study.

В англоязычной литературе, для определенных разновидностей ортогональных преобразований, употребляются соответственно наименования: метод плоских вращений Гивенса и метод Хаусхолдера, использующий элементарные отражения. Оригинальные работы этих авторов: a)Givens J.W. Numerical computation of the characteristic values of a real symmetric matrix. - Oak Ridge National Laboratry, 1954, ORNL-1574. b)Givens J.W. Computation of plane unitary rotations transforming a general matrix to triangular form. - J. Soc. Industr. Appl. Math., 1958, 6, p. 26-50. c)Householder A. S. Unitary triangularization of a nonsymmetric matrix. - J. ACM, 1958, 5, p. 339-342., были сразу же замечены специалистами. Соответствующие унитарные (ортогональные) матрицы носят имена этих авторов, что, возможно, затеняет принципы их действия. Как будет показано в дальнейшем изложении, относительно малая вычислительная затратность метода Хаусхолдера обусловила его высокую популярность, начиная с 1959 г. Однако позднее, благодаря результатам работ: a)Gentleman W.S. Least squares computations by Givens transformations without square roots. - J. Inst. Math. Appl., 1973, 12, p. 329-336. b) Hammarling S. A note on modifications to the Givens plane rotation. - J. Inst. Math. Appl., 1974, 13, p. 215-218., вычислительная стоимость метода Гивенса снизилась приблизительно до уровня метода Хаусхолдера.

Важную роль в современном матричном анализе играет понятие обобщенного обратного оператора (обобщенной обратной матрицы). Это понятие тождественно обычному обратному оператору, в тех случаях, когда последний существует. Вместе с тем многие существенные свойства обратного оператора естественным образом присущи обобщенному обратному линейному оператору, несмотря на то, что классического обращения для данного оператора может не существовать.

Первым ввел понятие обобщенной обратной матрицы [85], по-видимому, Мур: Moore Е.Н. On the reciprocal of the general algebraic matrix. - Bull. Amer. Math. Soc., 1920, 26, p. 394-395. Однако условия, определяющие такую матрицу, были сформулированы Пенроузом значительно позднее: Penrose R. А generalized inverse for matrices. - Proc. Cambbridge Phil. Soc., 1955, 51, p. 406413.

Целью настоящей работы является построение математических моделей процессов пространственно временной трансформации распространения загрязнителя; разработка аналитического метода решения задач характеризующихся наличием сводного показателя вредности; исследование экстремальных свойств рассматриваемых экологических моделей в различных метрических пространствах исследование возможности построения альтернативных схем функционирования экологически проблемных техногенных систем, при условии их наиболее малой реконструкции, либо вообще без таковой, а лишь за счет более рационального использования потребляемых ресурсов. При этом такие виды реконструкции, затрагиваемые в рамках данной работы, обосновываются математически на основе решения определенного вида многомерных экстремальных задач. На защиту выносятся:

- Методика учета сингулярной структуры матричного оператора при исследовании соответствующих классов векторно-матричных экологических моделей.

- Трехзвенная модель экологически рационального выпуска нескольких видов продукции, обеспечивающая баланс между минимальностью общего вредного выброса и максимально возможным доходом, с учетом нескольких классов суммации.

- Методика приведения проблемы дополнительной очистки выбросов многопродуктового производства к задаче расчета сингулярных характеристик прямоугольной матрицы малого ранга.

- Критерии и принципы регулирования совокупного (вдоль потока) сброса распадающегося загрязнителя. Обоснование схемы оптимального размещения точечных источников сброса, а также режима предельно допустимой коллективной нагрузки на рассматриваемый участок потока. Практическая значимость заключается в прикладной формулировке большинства моделей изучаемых проблем. В отдельных случаях исследование проводится без использования специализированных численных методов, что после предварительной обработки информации, может быть использовано при калибровке параметров моделей. Многие виды рассматриваемых задач удается свести к получению основных показателей сингулярного разложения матрицы, при этом в работе приводится вычислительно эффективный метод получения такого разложения, опробованный в разных задачах и проектах.

Научная новизна работы состоит в том, что разработан упорядочивающий алгоритм сингулярного разложения матрицы (SVD-разложения), который применяется (как составная часть) в исследуемых проблемах. Предложена трехуровневая модель регулирования экономико-экологических пропорций производства, реализующая баланс рентабельности единицы продукции и минимума общего масштабированного выброса, с учетом эффекта суммации. Описана методика матричного моделирования процесса заданной дополнительной очистки выбросов многопродуктового производства относительно сингулярных параметров оператора задачи. Приводятся критерии и соответствующие пропорции регулирования коллективного сброса неконсервативного загрязнителя в поток. Обосновывается схема оптимального размещения точечных источников сброса и режима предельно допустимой коллективной нагрузки на рассматриваемый участок потока.

Ключевые теоретические положения представляемой работы, являются составной частью нескольких научных проектов по конкурсам Российского фонда фундаментальных исследований, соисполнителем которых явился автор.

Апробация работы. Результаты и выводы исследования докладывались на научных семинарах кафедр теоретической физики и компьютерных технологий (2002, 2004 гг.) физико-технического факультета и кафедры прикладной математики (2002 г.) факультета прикладной математики Кубанского госуниверситета. Они также были представлены на семинарах и конференциях

Заключение Диссертация по теме "Экология", Нестеренко, Александр Григорьевич

Выводы данной последней части работы можно свести к следующим основным положениям.

Метод расчета единичного гидрографа представленный в первом разделе позволяет строить универсальную схему для большого количества водосборных бассейнов. Данная модель обладает одним важным преимуществом, она позволяет создавать приемлемые модели обладая минимальным количеством числовой информации.

Модель коллективного регулирования сбросов в поток несет в своей сути некоторые реалистичные допущения, что позволяет решать задачу с заданным уровнем приемлемости.

Допущения используемые в схеме предыдущего раздела приняты и для оценки предельной экологической нагрузки на выделенный участок руслового потока. Эта схема позволяет получить своего рода "потолок" этого рода экосистем. Такая оценка важна для соотнесения текущего режима функционирования относительно крайне допустимого.

Модель линейно-пропорционального влияния исследуемая в предпоследнем разделе данной части позволяет ставить оптимизационную задачу относительно некоторой сети выбранных узлов. Это могут быть станции экологического контроля или отдельные населенные пункты. Так как количество источников сброса и число точек контроля могут не совпадать, то мы получаем задачу имеющую прямоугольную матрицу. Получаемая в итоге математическая система исследуется на основе концепции нормального псевдорешения, что в свою очередь затрагивает сингулярные характеристики модели достаточно подробно представленные в первой части работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Главнейшая цель разработки модели - объективное представление действительности. Но если модели были бы столь же сложны, как реальные объекты, и ими было бы столь же трудно управлять, то не было бы никакого смысла в их использовании. Следовательно, при построении модели желательно упростить реальность, не утратив существенным образом точности представления. Далеко не всегда можно найти компромисс между этими двумя противоречивыми требованиями.

Модель может считаться адекватной, если, несмотря на некоторые неточности отображения системы-оригинала, она способна обеспечить достаточно надежное предсказание поведения системы. Поэтому общий метод проверки адекватности модели состоит в сопоставлении получаемых результатов с характеристиками системы, которые при тех же исходных условиях имели место в прошлом. То есть на аналогичных входных параметрах модель должна с допустимой точностью воспроизвести поведение системы.

В планировании и управлении естественными природными комплексами, цели со временем могут значительно меняются. Это объясняется ростом знания и понимания нужд и ценностей общества. До того как сложились современные представления об окружающей среде, главной задачей представлялось экономическое и технологическое развитие. В выборе между строительством промышленных объектов и уменьшением урона природе, практически всегда без особых размышлений предпочтение отдавалось первому. Ущерб природе рассматривался как "цена прогресса". Но времена меняются, и человечество от автоматического принятия ценности экономического роста пришло к глубокой озабоченности его последствиями. К экономической эффективности добавились другие целевые показатели - качество окружающей среды, общественное благосостояние и перераспределение регионального дохода. Добавление этих трех целей расширило рамки принятия решений и явилось усовершенствованием относительно того периода, когда основным является анализ экономической эффективности. Попытка одновременно удовлетворить этим целям в процессе планирования исходит в значительной степени из нужд и желаний социума. Однако наличие многих целей создало разнообразные проблемы и сделало процесс планирования сложнее, чем когда-либо раньше.

Результаты математического моделирования не самоцель, а материал для принятия сложных, а порой и чрезвычайно дорогих решений. Например, многократное удорожание строительства для сейсмоопасной зоны или запрет для всей национальной промышленности производства некоторых видов продукции и замена их другими более дорогими эквивалентами. Массу вопросов ставят последствия изменения глобального климата на планете требующие усилий от всей современной цивилизации. Дело не только в прогнозируемом парниковом эффекте и связанным с ним осущетвлением условий Киотского протокола. Не меньшую угрозу представляет исчезновение чистого воздуха и воды, что превращается в проблему всего наступающего столетия. И тогда для появляющихся уже автомобилей с водородным двигателем проблема заправки может быть столь же острой, как и нынешняя нефтяная.

Обычно модели рассматриваются в качестве средства выбора наилучшей (или по крайней мере хорошей) стратегии. Однако существует другая, весьма важная область приложения моделей, которую часто упускают из виду. Их можно использовать как инструмент поиска. То есть модель может стать эффективным средством, с помощью которого можно обнаружить принципиально новые стратегии, ранее упускавшиеся из виду. Выявление таких новых стратегий часто представляет собой наиболее ценный результат [1].

Качество решения, выбираемого из мыслимого множества потенциальных возможностей, зависит от того, насколько полно известны допустимые пределы управляющих воздействий на рассматриваемую систему. Выявление всего множества допустимых альтернатив активного воздействия на объект управления является главным моментом анализа проблемной ситуации.

Отсюда следует, что при изучении объекта управления должны быть выявлены те характеристики этого объекта, значения которых можно варьировать. Другими словами, требуется выявить полное множество так называемых управляемых переменных.

Важным моментом при принятии решений является идентификация неуправляемых переменных, игнорирование которых может привести к построению неадекватной модели и, следовательно, к принятию ошибочных решений.

Основной вывод заключается в том, что полученное с помощью некоторой модели решение является наилучшим только в рамках использования именно этой модели. Другими словами, не следует считать, что найденный оптимум -это действительно самое лучшее решение анализируемой задачи. Целесообразнее придерживаться той трактовки получаемого решения, что оно является наилучшим из всех возможных только тогда, когда выбранный критерий оптимизации можно считать полностью адекватным конечным целям, преследуемым при решении данной проблемы.

Жизнь в сообществах характерна для многих биологических видов. В них можно наблюдать такие "человеческие" проявления, как собирание пищи, земледелие, скотоводство, война и даже рабство. Но эти сообщества давно застыли в своей эволюции. В человеческом же обществе развитие индивидуального интеллекта и техники сильно увеличили воздействие на природу. Однако, чувство благодарности к природе и уважение к ее ценностям развивались гораздо медленнее, чем шел технический прогресс. Так возник разлад человека с природой, особенно усилившийся в последние века. Может в этом случае сказывается действие закона, согласно которому всякая эволюционирующая система имеет тенденцию приводить в действие силы, препятствующие ее эволюции.

Знакомство с происходящими в природе взаимодействиями до сих пор не слишком-то расширило возможности научного предвидения. На эту сторону экологии следует обратить внимание. Ибо человек не сможет регулировать

I свои отношения с природой, не зная заранее последствий своего воздействия.

Основное содержание диссертации изложено в работах [43],[44],[86],[38],[59],[22],[63],[62].

Итоги построения и изучения экстремальных свойств моделей рассматриваемых в данной работе кратко можно свести в следующий перечень полученных результатов.

- Множественное использование концепции сингулярного разложения матрицы, позволяющее находить для многих рассмотренных в работе моделей экстремальное аналитическое решение. При этом приводится оригинальный метод вычислительного определения параметров такого разложения.

- Формулировка набора критериев и методов коллективного регулирования концентрации распадающегося загрязнителя в русловом потоке. Обоснование оптимальности пространственной схемы размещения набора точечных источников распадающегося загрязнителя. Конструктивный метод определения предельно допустимой нагрузки на рассматриваемый участок потока.

- Описание и исследование набора моделей учитывающих множественность воздействия комплекса загрязняющих веществ на окружающую природную среду, с учетом обеспечения заданного производственного показателя.

- Описание и исследование схем регулирования дополнительной очистки действующего производственного процесса. Получение в качестве решения поставленной проблемы прямоугольной матрицы единичного ранга. Обоснование связи этой задачи с набором сингулярных чисел определяемой матрицы.

-Комплексная экономико-экологическая модель регулирования выпуска нескольких видов продукции. Учет ограничений как по ПДК, так и по рядам суммации. Сочетание в данной модели процесса минимизации общего шкалированного выброса загрязнителей и процесса получения максимально возможного дохода от производственной деятельности.

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Нестеренко, Александр Григорьевич, Краснодар

1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. М.: Мир, 1971. 536 с.

2. Барбье М. Введение в химическую экологию. М.: Мир, 1978. 232 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

4. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука. 1983.336 с.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

6. БендатДж., ПирсолА. Прикладной анализ случайных данных. Перев. с английского. М. Мир 1989г. 542 с.

7. Браун Л. Экоэкономика: Как создать экономику, оберегающую планету. Пер. с англ. М.: Издательство "Весь мир", 2003. - с. 392.

8. Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений. -М.: Инфра-М, 1996. 432 с.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

10. Виссмен У.мл., Харбаф Т.И., Кнэпп Д.У. Введение в гидрологию. Л.: Гидрометеоиздат, 1979.

11. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 300с.

12. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. 400 с.

13. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 318с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

15. Гвишиани А.С. Динамика русловых потоков. Л.: Гидрометеоиздат, 1979.

16. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. 204 с.

17. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. 476 с.

18. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы имодели для менеджмента. СПб.: "Лань", 2000. 480с.

19. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

20. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1979. 392 с.21 .Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 550 с.

21. Горенский В.К., Нестеренко А.Г. Моделирование руслового потока равнинного участка реки. Деп. ВИНИТИ № 3968-85. Краснодар. 1985г.

22. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М. Знание 1991г. 160 с.

23. Гумилев Л.Н. Этногенез и биосфера Земли. М. "ACT", 2005. 548 с.

24. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. М.: Мир, 2001. 430 с.

25. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976. 400 с.

26. Иванова Т.П., Пухова Г.В. Вычислительная математика и программирование. / Под ред. В.В. Щенникова. М.: "Просвещение", 1978.

27. Исследование операций в экономике./ Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

28. Калиткин Н.Н. Численные методы. М. Наука, 1977.

29. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986. 256 с. 31 .Каханер Д., МоулерК., Нэш С. Численные методы и программноеобеспечение. М.: Мир, 2001.

30. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 624 с.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. Наука, 1977.

32. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И., Дежурко Л.Ф., Рутковский Р.А., Слукин Н.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математическое программирование. Минск: "Вышэйшая школа", 1995.

33. Курно Ог. Основы теории шансов и вероятностей. М.: Наука, 1970. 384 с.

34. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. 380 с.

35. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280с.

36. Лежнев В.Г. К определению вершины выпуклого многогранника. // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: Изд-во МГУ, 1999.

37. Лежнев В.Г., Гаврилов А.А., Нестеренко А.Г., Подгорнов В.В. Оптимизация инвестирования производственной структуры. // Наука Кубани № 7. Краснодар. Изд-во Администрации Краснодарского края, 1999.

38. Лежнев В.Г. Метод решения алгебраической спектральной задачи // Численные методы анализа. М.: Изд-во МГУ, 1995.

39. Лежнев В.Г., Нестеренко А.Г. Метод сингулярного разложения матрицы // Численные методы анализа. М.: Изд-во МГУ, 1995.

40. ЛоусонЧ., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 230 с.

41. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Государственноеиздательство технико-теоретической литературы, 1956. 340 с.

42. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: Наука, 1972. 232 с.

43. Марпл С.Л.(мл.) Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

44. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М Наука 1982г. 320с.

45. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 536 с.

46. Марчук Г.И., ШайдуровВ.В. Повышение точности разностных схем. М.: Наука, 1979.320 с.

47. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. Серия: Оптимизация и исследование операций. М.: Наука 1971г. 424с.

48. Моисеев Н.Н. Экология человечества глазами математика. Серия: "Эврика" М. Молодая гвардия 1988г. 254 с.

49. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М. Наука 1978г. 352 с.

50. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. -М.: Наука, 1987.

51. Москаленко А.П., Староста Р.Д. Некоторые аспекты оценки состояния природной среды при использовании пестицидов // Известия СевероКавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1988. №4. С. 15-18.

52. Некрасов Б.В. Основы общей химии. М.: Химия, 1981.

53. Нестеренко А.Г. Унитарная ортогонализация системы векторов. // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: Изд-во МГУ, 1999.

54. Нестеренко А.Г., Цаценко Л.В., Шорин Н.В. Web реализация научно-информационной структуры. // Научный сервис в сети Интернет: Труды Всероссийской научной конференции. М.: Изд-во МГУ, 2001.

55. Нестеренко А.Г. Регулирование сбросов коллективной системы источников загрязнения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Техн. науки. Приложение. -2005. №3. СА1-49.

56. Нестеренко А.Г. Экстремальные задачи природосберегающего производства // Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Техн. науки. Приложение. 2005. №3. С.43-46.

57. Оценка и регулирование качества окружающей природной среды. / Под ред. А.Ф. Порядина и А.Д. Хованского. М.: НУМЦ Минприроды России, 1996.

58. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. М.: Мир, 1983.384 с.

59. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

60. Ревелль П., Ревелль Ч. Среда нашего обитания: В 4-х книгах. Пер. с англ. -М.: Мир, 1995.

61. Системный подход к управлению водными ресурсами / Под ред. А. Бисваса.-М.: Наука, 1985.

62. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.384 с.

63. ТахаХ. Введение в исследование операций, 6-е изд. : Пер. с англ. М.: Издательский дом "Вильяме", 2001. 912 с.

64. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.288с.

65. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г.,

66. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1985. 232 с.

67. Тищенко Н.Ф. Охрана атмосферного воздуха. -М.: Химия, 1991. 368 с.

68. Треногин В.А. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1980. 496 с.

69. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. Пер. с англ. М.: Мир, 1970.

70. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

71. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -СПб.: Издательство "Лань", 2002.

72. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. 168 с.

73. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. Перев. с англ.-М.:Физматгиз.-1968, 400 с.

74. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.

75. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 е., ил. 83.Экология и безопасность жизнедеятельности. / Под ред. Л.А. Муравья. - М.:

76. ЮНИТИ-ДАНА, 2000. 84.Экономико математическое моделирование / Под общ. ред.

77. И.Н. Дрогобыцкого. М.: "Экзамен". 2004. 800с. 85.Эстербю О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц. - М.: Мир, 1987. 118 с.

78. Lezhnev V.G., Nesterenko A.G. Some estimate for generalized algebraic spectral problem. // Spectral and evolutionary problems: Proceedings of the seventh Crimean autumn mathematical school-symposium. Vol.7, 1997. in English.