Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Численные методы вероятностного моделирования гидрометеорологических процессов и полей

ВАК РФ 04.00.23, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Численные методы вероятностного моделирования гидрометеорологических процессов и полей"

_ 2'

российская академия наук сибирское отделение институт вычислительной математики и математической геофизики

На правах рукописи

ОГОРОДНИКОВ Василий Александрович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

И ПОЛЕЙ

04.00.23 - физика атмосферы и гидросферы

Авторе.ферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 1998

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф. А.И. Саханенко

д.ф.-м.н. проф. Г.С. Ривин, д.ф.-м.н. В.М. Мальбахов

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Государственного океанографического института (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится " ^ " ШоМЯ 1998 г. в '' ^ часов на заседании специализированного совета Д 002.10.01 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомится в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан " " 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н., профессор

Ю.И. Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Методы численного моделирования случайных процессов и полей находят широкое применение при решении теоретических и прикладных задач в различных областях науки и техники, причем область применения этих методов и сложность решаемых на их основе задач постоянно увеличиваются. В статистической метеорологии, климатологии, океанологии, гидрологии применение этих методов давно уже стало традиционным и показало их высокую эффективность И перспективность при решении широкого класса задач, включающего задачи усвоения гидрометеорологической информации, задачи, связанные с исследованием экстремальных свойств реально наблюдаемых процессов, вероятностным прогнозированием, исследованием свойств статистических оценок, синтезом динамических и вероятностных методов описания реальных процессов, решением экологических задач и т.д.

Эффективное решение современных задач из этого класса во многом определяется повышенными требованиями к качеству и размерности используемых для этих целей вероятностных моделей, необходимостью с высокой точностью воспроизводить в них основные свойства реально наблюдаемых процессов. Один из путей построения таких моделей основан на использовании "метода условных математических ожиданй", позволяющего моделировать широкий класс скалярных и векторных гидрометеорологических процессов и полей с корреляционными матрицами теплицева и блочно-теплицева вида, полученных путем соответствующей обработки данных наблюдений. Для реализации задач большой размерности на основе этого метода необходима разработка соответствующих вычислительных алгоритмов, гарантирующих точность и устойчивость вычислений, разработка методов дальнейшего повышения размерности решаемых задач, а также разработка методов учета негауссовости гидрометеорологических процессов и по-

лей при условии большой размерности задачи.

Цель диссертационной работы - разработка и исследование численных алгоритмов статистического моделирования многомерных скалярных и векторных процессов, пространственных и пространственно-временных случайных гидрометеорологических полей с дискретным аргументом на основе метода "условных математических ожиданий", а также на основе объединения этих методов с методами моделирования процессов и полей на точечных потоках, исследование потенциальных возможностей и точности этих методов для решения гидрометеорологических задач большой размерности; разработка численных алгоритмов моделирования нестационарных процессов и неоднородных полей; разработка вероятностных моделей гауссовских и негауссовских временных рядов и полей гндро-метеоэлементов по данным реальных наблюдений для решения прикладных задач статистической гидрометеорологии.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации получен ряд новых результатов в области численного моделирования случайных гидрометеорологических процессов и полей. На основе метода "условных математических ожиданий" построен комплекс новых эффективных алгоритмов моделирования стационарных и нестационарных гауссовских рядов с корреляционной матрицей теплицева и блочно-теплицева вида, позволяющих в рамках единого подхода моделировать широкий класс скалярных и векторных гидрометеорологических процессов и полей для решения задач большой размерности с учетом большого числа статистических параметров.

Па основе численного моделирования условных реализаций пространственных полей гидрометеоэлементов при заданных значениях на станциях предложен принципиально новый метод оценки влияния неопределенности в начальных данных, обусловленной ограниченностью и нерегулярностью сети метеорологических станций, на результаты численного моделирования атмосферных процессов на основе гидротермодинами-

ческих моделей.

Для решения гидрометеорологических задач большой размерности предложены н исследованы новые алгоритмы моделирования стационарных и нестационарных процессов, а также однородных п неоднородных полей на основе объединения моделей процессов н полей с дискретным аргументом и моделей на точечных потоках.

На основе данных реальных наблюдений и предложенных в диссертации методов построен комплекс новых вероятностных моделей гауссовских и негауссовских временных рядов, пространственных и пространственно-временных полей гидрометеорологических и океанологических элементов с учетом реальных пространственных и временных корреляционных связей в большом числе точек.

Разработанные в диссертации методы и алгоритмы реализованы на языке Фортран и могут быть использованы для построения численных вероятностных моделей широкого класса случайных гидрометеорологических и океанологических процессов и полей с использованием данных реальных наблюдений и решения на их основе прикладных задач статистической метеорологии и океанологии. Результаты диссертации вошли в отчеты по научно-исследовательским темам, выполненым по заданиям ГКНТ и ЗапСибгндромета.

Достоверность полученных результатов определяется результатами тестирования алгоритмов методом статистического моделирования, верификацией моделей.

Апробация работы. Результаты, включенные в диссертацию докладывались и обсуждались

- на VI Всесоюзном совещании "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике1' (Новосибирск, 1979 г.);

- на III Всесоюзном симпозиуме "Вероятностные автоматы и их приложения" (Казань, 1983 г.);

- на I Всемирном Конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (Ташкент, 1986 г.);

- на региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств (Новосибирск, 1988 г.);

- на Всесоюзном совещании "Проблемы гидрометеорологического обеспечения народного хозяйства Сибири" (Красноярск, 1989 г.);

- на VIII Всесоюзном совещании "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике (Новосибирск, 1991 г.);

- на Всесоюзной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1991 г.);

- на Международном семинаре "Состояние Финского залива и очистки сточных вод Санкт-Петербурга (Санкт-Петербург, 1992 г.);

- на 18-той Международной конференции Балтийских океанографов (Санкт-Петербург, 1992 г.);

- на Всероссийской конференции "Проблемы метрологии гидрофизических измерений" (Москва, 1992 г.)

- на Международной конференции "Новый подход к охране окружающей среды (Алма-Ата, Казахстан, 1993 г.);

- на Международной конференции "Applied nodelling and Simulation" (Львов, 1993 г.);

- на Международной конференции "Advanced mathematics: Computations and applications" (Новосибирск, 1995 г.);

- на Международной научно-практической конференции "Регион и география" (Пермь, 1995 г.);

- на Постоянно действующем семинаре Океанографической комиссии Русского географического общества (Санкт-Петербург, 30 ноября 1989 г., 20 октября 1993 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано более 50 работ (в том числе 1 монография). Основные результаты представлены в работах [1-30].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Объем - 311 страниц, рисунков - 28, таблиц - 15. Список литературы содержит 162 наименования.

Научным консультантом диссертационной работы является член-корреспондент РАН, профессор Г.А. Михайлов, автор также принадлежит школе вероятностного анализа океанологических процессов, возглавляемой заслуженным деятелем науки и техники, профессором В.А. Рожковым.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и формулируется цель работы, проведен обзор литературы по теме диссертации, изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе рассмотрены методы моделирования га-уссовских скалярных процессов с дискретным аргументом. Главное внимание уделяется исследованию методов и разработке алгоритмов моделирования гауссовских случайных процессов с дискретным аргументом на основе метода "условных математических ожиданий".

В параграфе 1.1 исследован класс процессов с теплицевыми и блочно-теплицевыми корреляционными матрицами. Класс процессов такого типа достаточно широк, он включает в себя стационарные скалярные последовательности с произвольной корреляционной функцией в любом фиксированном числе точек, стационарные временные последовательности евклидовых векторов в заданной точке области, комплексы евклидовых векторов на заданной сетке, которые при решении прикладных гидрометеорологических задач могут интерпретироваться, например, как векторные ряды скорости ветра, океанических течений, либо векторные поля на регулярной или нерегулярной

сетке; стационарные временные последовательности афинных векторов, которые могут интерпретироваться как комплексы метеорологических или океанологических процессов (временные ряды температуры, солнечной радиации, осадков); периодически коррелированные процессы и т.д.

В параграфе 1.2 рассмотрены общие вопросы моделирования гауссовских векторов с произвольной ковариационной матрицей Ип на основе метода "условных математических ожиданий", исследованы основные свойства этого метода, в частности, показано, что этот метод реализует линейное преобразование гауссовского вектора (рп с нулевым средним и единичной корреляционной матрицей в виде Вп£п — где нижняя

треугольная матрица Вп и диагональная матрица Пп такие, что = В^О~1В~1Вп = Т£Тп, т.е. метод условных математических ожиданий, в отличие от стандартного, основанного на треугольном разложении матрицы Нп, реализуется на основе разложения корреляционной матрицы матрицы на произведение верхней и нижней треугольных матриц.

В параграфе 1.3. на основе метода условных математических ожиданий построены алгоритмы моделирования гауссовских векторов £п = (£1,.. . с корреляционной матрицей Цп = (г|;_л) = (гк), к = 1,..., п — 1, теплицева типа. Схема моделирования имеет вид

& = ¥>1.

£„ = б7[га - ^/п-х^п.х + йп-1<рп,

в которой векторы регрессии Ь[к] = (М&], • • •) Ьк[к])т - условные стандартные отклонения <4, к = 1,..., п — 1, формирующие матрицы Вп и вычисляются рекурсивно с помощью алгоритма Дурбина

Я6[1] = ВД = П,

(Ъ^к + 1],..., Ьк[к + 1])Т = Щ - Ьш[к + 1 (1.2)

ьк+1[к +1] = (гш - г1;кь{к})/4, 4 = 1- ггкьщ.

Здесь ,/п - матрица "отражения", в которой элементы на побочной диагонали равны единице, а остальные - нули, гк =

Для некоторых корреляционных функций, часто используемых в статистической метеорологии, из которых формируется матрица Нп, алгоритм (1.2) оказывается вычислительно неустойчивым.

В параграфе 1.4 рассматриваются два приема регуляризации, которые обеспечивают устойчивость вычислительного процесса и с точностью до ошибок округления, "накапливающихся в процессе вычислений, сохраняют стационарность моделируемой последовательности.

В некоторых случаях при моделировании временных рядов вместо вектора = (£1,--ч?п)Т с корреляционной матрицей В,п достаточно ограничиться построением вектора (п = (Съ • • •> Сп)Т с корреляционной .матрицей Сп = (дк) = (1 — е)Нп-\-е1п, так как разность между гк и дк при к > 1 не превосходит е. Здесь е 6 [0,1], \п - единичная матрица. Устойчивость вычислении во многих случаях обеспечивается при весьма небольших значениях е, например, если элементы матрицы Яп вычисляются по формуле гд = ехр(—а/г.2), а = Ю-5, то при величине е порядка Ю-5 алгоритм работает устойчиво, в то время как при е = 0 неустойчивость проявляется на первых нескольких шагах.

При втором способе регуляризации устойчивый алгоритм для матрицы Оп используется для более точного вычисления величин Ьк+\[к +1]. В этом случае вычисление Ь[к] и осуществляется с помощью следующего сдвоенного алгоритма:

Д[1] = Ш = 31 = (1- е)ги 0[1] = ^[1] = га,

к = ..., n - 1,

81 = 1 - (1 - e)rlm, d\ — I - rjb[k],

= (1 - е)(гш - rkjJ[k])/Sl (1.3)

h [k , ^ = Аи-i[к + !]/(!.- с) + rjUm - b[k])/6l

Ш ^[(1-еЩк]-№)/% + 1

(РФ+1],..., m+i])T=m - pk+l [fc+1 ]jj[k],

(Ьг[к + 1],..., 6fc[Ar + 1])T = b[k] - + 1 ]Jkb[k],

где P[k] и Si соответствуют матрице Gn и играют вспомогательную роль, а с - роль регулизирующего параметра. Этот способ наиболее эффективен в сочетании с первым, т.е. если проводить вычисления с помощью (1.3) для матрицы Qn = (1 — со)Лп + со^п- Для рассмотренного примера с корреляционной функцией гауссовского типа величина е0 имеет порядок

ю-9.

В параграфе 1.5 исследованы условия существования стационарного решения процесса авторегрессии

6 = ¿1&-1 + • • • + bm^t—m + dipt (1.4)

с заданной корреляционной функцией гд в произвольном фиксированном то числе точек.

Показано, что если теплицева матрица

Rm+i

Rm Jт У г,

г* / 1

положительно определена, и Ь = (61,...,Ьк)Т - решение уравнения КтЬ = гт, то все корни алгебраического уравнения Ато = 61[т]Лт~1 -+-...+ Ьт[т] по модулю меньше единицы.

Использование компонентов вектора = (£ъ ..., £,п)Т с корреляционной матрицей Ят, построенного по схеме (1.1),(1.2),

в качестве начальных значений для процесса авторегрессии (1.4) обеспечивает его стационарность с первого шага.

В параграфе 1.6 для гауссовского случая получены алгоритмы моделирования условных реализаций процессов и полей при заданных значениях в фиксированных точках, которые являются модификацией известного алгоритма моделирования гауссовских векторов |*= с нулевым средним и кова-

риационной матрицей Я, который имеет вид

где (р\ - вектор из независимых между собой и от £2 стандартных нормальных величин, а нижняя треугольная матрица Д1 такая, что ДьЛ^ = Дц.2 = Ди - ИпЩ^П' где Ни и Я22 -ковариационные матрицы векторов £1 и £2, а Д12 ~ соответствующая взаимная матрица. Предлагаемый в работе алгоритм не требует разложения /?ц,2 на. произведение двух треугольных матриц и сводится к преобразованиям:

1а. Независимо от £ моделируется нормальный вектор // = > с нулевым средним и корреляционной матрицей Я, причем размерности его подвекторов такие же, как и у вектора

16. Вектор £1 при фиксированном £2 строится в виде

6 = ЯиЯй1 +

В отличие от (1.5), алгоритм (1а)-(1б) позволяет строить условные реализации стационарного процесса (либо однородного поля) в узлах регулярной сетки при фиксированных значениях £2 в узлах опорной регулярной сетки рекурсивно с использованием алгоритма. (1.1),(1.2). Если опорная сетка нерегулярна, преобразования (1а)-(1б) реализуется приближенно с использованием методов оптимальной интерполяции.

Предложенный подход используется в параграфе 1.7 для построения условных пространственных полей метеоэлементов в узлах регулярной сетки при заданных значениях на нерегулярной сети метеорологических станций. С использованием этих алгоритмов предложен метод оценки влияния неопределенности в начальных данных, обусловленной ограниченностью и нерегулярностью сети метеорологических станций, на результаты численного моделирования атмосферных процессов на основе гидротермодинамических моделей. Метод сводится к моделировании ансамбля начальных условных полей, решении нелинейных прогностических уравнений для каждого элемента ансамбля с последующей статистической обработкой прогностических полей и не связан с проблемой замыкания бесконечной системы уравнений для моментов распределения.

Во второй главе рассмотрены вопросы численного моделирования многомерных гауссовских процессов дискретного аргумента с заданной блочно-теплицевой ковариационной матрицей. Рассматриваются вероятностные модели пространственно-временных векторных полей течений, а также временных рядов вектора скорости ветра с учетом суточного хода параметров распределения.

В параграфе 2.1 алгоритмы моделирования многомерных гауссовских стационарных процессов построены на векторном варианте метода "условных математических ожиданий".

Моделирование стационарной последовательности векторов (или вектора £(гг) = (£[,.. , £к ~ вектор

размерности р) с блочно-теплицевой ковариационной матрицей

Щп) =

Я,о Д1

Л[ До

• • • Дп-1 . . . Дп_2

(2.1)

й'п-1 Н-п-2 •• • Ко осуществляется последовательно по схеме

= С0Ф1, f2 = ßT[l]J(1)f(1) + Cx(ß2,

(n = BT[n - l]J(n_i)H„_i) + Cn~i<pn,

(2.2)

<£>i, <p2i • • • i <?n ~ независимые гауссовские векторы размерности р, такие, что Мфк<Рь = = (BIik}' ■ • •> Bl[k])T, к = — 1, Вг{к] - матрицы рхр, а С,- - нижние треугольные матрицы рхр. Матричные векторы В[к] и остаточные ковариационные матрицы Qk = СкСк для к — 1,..., п — 1 определяются уравнениями вида

R{k)B[k] = Rk, R(k)B[k] = Ük,

где = J(k)R(k)J{k)i J{k) ~ блочная матрица "отражения", на побочной блочной диагонали которой расположены единичные

матрицы рхр, Rk = (Е[,.Rk)T, Rk = (Ri,. ■Rk)T. Алгоритм вычисления В[к] и Qk сводится к векторному алгоритму Робинсона

Bf[l] = Rj,Bf[ 1] = R1Rö\Q0 = Qo = Ro, (Bf[k + 1],..., вЦк + 1]) = Вт[к] - ßj+1 [к + i]f[k] J(k), (ЁЦк + 1],..., Втк[к + 1]) = В [к] - Втк+Х [к + 1 )BT[k]J{k), Вш[к + 1] = Ql>{Rk+i - RkJik)B[k]), (2.3)

Вш[к+ 1] = Qk'iRk+i - RTkJ(k)B[k]), Qk = Ro~ Щв[к], Qk = R0- ЩШ

CkCk=Qk, к — 1,... ,7i 1.

Исследованы некоторые свойства алгоритма, необходимые для контроля точности вычислительного процесса.

В параграфе 2.2 рассматривается обобщение методов регуляризации вычислительного процесса, рассмотренных в параграфе 1.4, на многомерный случай. Одним из основных источников погрешности при вычислениях является обращение матриц С^к и £}к в алгоритме (2.3). Построен соответствующий сдвоенный алгоритм, приведены результаты численных экспериментов.

В параграфе 2.3 рассматриваются различные модификации алгоритма (2.2),(2.3) для моделирования однородных и однородных изотропных гауссовских полей. Упрощение алгоритмов осуществляется за счет симметричности или теплицевой структуры блоков матрицы (2.1).

В параграфе 2.4 рассматривается использование метода условных математических ожиданий для построения многомерных процессов авторегрессии

£ = В[[т]6_! + ... + + Щ,

где щ - последовательность взаимно независимых р-мерных векторов таких, что Мй= фт, а В^[т],..., В^т] - матрицы рхр. Для случая, когда блоки матрицы (2.1) - симметричны, получены условия существования стационарного решения многомерного процесса авторегрессии с заданной матричной ковариационной функцией.

В параграфе 2.5 рассмотреннные численные алгоритмы используются для построения вероятностных моделей пространственно-временных полей течений по даннным реальных наблюдений для некоторых областей Балтийского моря.

В фиксированной постранственной точке а; векторный случайный процесс скорости течения и(а,£), заданный в равноотстоящие моменты времени с шагом Д£ = ffc.fi — представляет собой последовательность случайных векторов

= и{а{,гк) + У{сч,гк), к = 1,...,ш, (2.4)

где й(а{, 1к) = г — 1,...,р - вектор сред-

ней скорости, = {щ(Ьк),щ{1к))т, г = 1,...,р- век-

тор флуктуации. Совокупность векторов в точках

а,-, г = 1,.. .,р образует последовательность 2р-мерных векторов ..., £т (или вектор = Т. со средним М£(т) = 0). ). При построении моделей используется гауссов-ское приближение, по времени процесс считается стационарным (совокупность векторов {?(<&,-,£*) получается добавлением соответствующих средних). Для акватории Невской губы модель строится для двух обобщенных точек области, соот-ветвующих зоне транзита и прибрежной зоне. Блоки матрицы (2.1) для векторного процесса в свою очередь являются блочными и отражают векторный характер процесса. Первая строка матрицы (2.1) определяется специальной матричной ковариационной функцией, в виде суммы косинусэкспоненциальных функций, матричные коэффициенты которых оцениваются по данным наблюдений.

Модель среднемесячной скорости течений построена на основе десятилетних рядов среднемесячной скорости течений на 11 плавмаяках в акватории Датских проливов. Использовалось представление векторного процесса в виде (2.4), где процесс флуктуаций \/(а1,1к) среднемсячной скорости на годовом интервале (Ьк = 1,...,12) строился как гауссовский стационарный векторный процесс с нулевым средним, а для вектора средней скорости О (а,-, Ьк) учитывалась зависимость от номера месяца. Элемены первой строки блочной ковариационной матрицы оценивались непосредственно по имеющимся синхронным рядам наблюдений.

Вероятностная модель периодически коррелированных рядов векторной скорости ветра основана на представлении соответствующих рядов в виде стационарного векторного гауссов-ского процесса £1,..., £т с ковариационной матрицей (2.1), где - векторы размерности 2р, р - период коррелированности.

Модель построена по данным реальных наблюдений с двухчасовым разрешением, периодом коррелированности в одни сутки и с учетом всех корреляционных связей на интервале четверо суток. Для учета большего числа связей рассматриваются приближенные решения. Для построения рядов на интервале 30 суток используется соответствующая модель авторегрессии.

Для всех трех моделей численно получены оценки точности моделирования и исследованы источники погрешностей.

В третьей главе рассматриваются некоторые вопросы моделирования негауссовских случайных процессов и полей. Рассмотрены механизмы интерполяции, сохраняющие свойства исходных дискретных процессов и полей: значения процесса и корреляций в узлах сетки, одномерные распределения в произвольной точке области, для процессов - стационарность, для полей - однородность (либо однородность изотропность). Алгоритмы предназначены для построения вероятностных моделей временных рядов и полей метеоэлементов с использованием реальных данных.

В параграфе 3.1 рассматриваются алгоритмы кусочно-постоянной интерполяции стационарных негауссовских последовательностей .. • • • с нулевыми средними, одномерным распределением F(x) и корреляционной функцией i?m, т = 0,±1,±2,..., Д0 = 1, заданных в узлах регулярной целочисленной сетки, в произвольную точку временной оси. В простейшем случае процесс £(t) строится по правилу:

2а. Независимо от & моделируется случайная величина а, равномерно распределенная в [0,1], и в каждом интервале (г, г -f 1] на оси t выбирается точка г + а.

26. В интервале (г - 1 + a, i -f а] принимается £(f) = £г-.

Показано, что одномерное распределение процесса £(f) при любом t совпадает с F(x) (если F(x) зависит от номера узла, то распределение процесса £(£) в точке t € [г, г + 1] является смесью распределений в узлах г и г -f 1); корреляционная

функция является кусочно-линейной, совпадающей с Нт при тп = 0, ±1, ±2,..., т.е. по корреляциям процесс остается стационарным. Для случая неограниченного интервала представление процесса £(£) в виде (2а)-(2б) эквивалентно свертке последовательности £„■ по специальному импульсному нестационарному процессу. Рассмотрены модификации преобразований (2а)-(2б), сохраняющие стационарность процесса, для случая интерполяции последовательности & в точку í £ [г, г+1] по значениям &_т+1 &-И, • • •, бч-т- Получены соответствующие выражения для корреляционных функций. Аналогично строится процесс на ограниченном временном интервале.

В параграфе 3.2 рассмотренные в 3.1 представления стационарных процессов обобщены на случай однородных, а также однородных изотропных негауссовскйх полей. Соответствующие механизмы стохастической интерполяции обеспечивают сохранение исходных свойств поля в узлах регулярной сетки: одномерное распределение, корреляционную функцию в узлах сетки, однородность (либо однородность изотропность).

В параграфе 3.3 рассмотрены некоторые приемы моделирования нестационарных процессов. В частности исследован класс периодически нестационарных процессов, основанный на представления (2а)-(2б), в котором величина а имеет произвольное распределение Р(х) в интервале [0,1]. Исследованы некоторые свойства корреляционных функций процессов из этого класса, показано, что они относятся к классу кусочных положительно определенных корреляционных функций, в общем случае, с разрывной первой производной на границах склеивания. Условия дифференцируемости корреляционной функции на границах склеивания накладывает определенные ограничения на распределение Р(х).

Рассматривается также простая процедура моделирования нестационарных негауссовскйх процессов, основанная на рандомизированном объединении независимых процессов, заданных на непересекающихся интервалах случайной длины и ис-

следуются классы сглаживающих функций для одномерных распределений и ковариаций как функций от времени в окрестности границы смежных интервалов.

Предлагается также обобщение процедуры (2а)-(2б) на случай стохастической интерполяции значений дискретного случайного поля = уг) с корреляционной матрицей R = (r,j), i,j = 1,2,..., TV, и одномерными распределениями из узлов {(xi,yi)} нерегулярной сетки в произвольную точку области D (D £ R2). Алгоритм является модификацией метода моделирования однородных случайных полей с использованием стационарных точечных потоков, предложенного Г.А.Михайловым. Процедура состоит в разбиении области D на N непересекающихся подобластей D{ таким образом, чтобы в каждую подобласть Д- попала только одна точка (ж,-,у;), с последующим доопределением поля Xi в произвольной точке (ж, у) области D по следующему правилу:

f(a;,t/) = &, если

В простейшем случае область разбивается на слои, содержащие по одной точке, причем направление и ширина слоев могут быть случайными. Приведены некоторые примеры корреляционных функций поля.

При измерениях реальных гидрометеорологических процессов нередко возникают ситуации, когда измерения проводятся в случайные моменты времени. В параграфе 3.4 исследуются некоторые свойства кусочно-постоянной интерполяции негауссовского стационарного процесса, заданного в моменты времени, образующие пуассоновский поток точек.

Кусочно-постоянная интерполяция произвольного стационарного процесса £(i) с одномерным распределением F(x) и корреляционной функцией R(r) из точек t = 0,t\,t2,..., образующих независимый от£(£) пуассоновский поток, осуществляется двумя способами: интерполяция слева и интерполяция справа:

Ш = {б, te[tí,ti+i},}, Сз(0 = {&+!. «€[¿¡,¿{+1].}.

Показано, что при интерполяции слева процесс £д(£) оказывается нестационарным и переходит в стационарный режим при Ь —> оо, в то время как при интерполяции справалроцесс является стационарным при любых t, причем его корреляционная функция совпадает с ассимптотической при интерполяции слева. Получены выражения для соответствующих корреляционных функций. Проведены численные эксперименты.

В параграфе 3.5 рассматривается использование векторного варианта процедуры рандомизированного объединения стационарных процессов из 3.4 для построения вероятностной модели иегауссовских нестационарных временных совместных временных рядов среднесуточной температуры воздуха, суммарной суточной радиации и суточных сумм жидких осадков для теплого полугодия по данным многолетних наблюдений на станции Воейково (Санкт-Петербург). Модель предназначена для использования ее в задачах исследования влияния климатических факторов на продуктивность сельско-хозяйственных культур. При построении модели используются специально разработанные способы учета специфики суточных сумм жидких осадков.

Четвертая глава посвящена исследованию временной и пространственной изменчивости полей суточных сумм жидких осадков и разработке комплекса соответствующих вероятностных моделей временных рядов, пространственных и пространственно-временных полей поданным 15-летних наблюдений на 47 осадкомерных постах равнинной части Новосибирской области за теплое полугодие.

По данным наблюдений временные ряды суточных сумм осадков выглядят как чередование серий сухих и дождливых периодов, причем, в те сутки, когда выпадают осадки, фиксируется суммарное их количество Щ. Для построения модели временного ряда задаются вероятности ро ~ Р(Аг0), рл =

Р(А\), Po+Pr = 1, а также совместные вероятности P(AtRAt^h) или корреляционная функция ßh = (P(AtRAt^h) — Pr)/P0Pr, где события Aq и Лд означают сухие сутки и дождливые.

Количество осадков моделируется в виде реализаций случайной величины Rt > 0,1 мм с интегральным распределением jР(х) только для суток с событием Ar. Предполагается, что внутри серии суток с дождем Rt представляет собой стационарный процесс с корреляционной функцией ад, причем Р(х) и од являются условными вероятностными характеристиками количества осадков, так как вычисляются при условии, что они выпадают: Р(х) = P(Rt > х\А\~п), аь = corr(Ä(, Rt+hlAftA^1.. Количества осадков, от-

носящиеся к разным сериям, разделенными хотя бы одними сутками без осадков, в модели считаются независимыми. Предполагается также, что процесс Rt и последовательность из сухих и дождливых суток в вероятностном смысле независимы. По данным наблюдений ah имеет специфику, которая состоит в том, что она близка к нулю при небольших h (2-3 сут.) и заметно увеличивается с увеличением h, особенно для месяцев, в которых преобладают обложные осадки.

В качестве тестов для верификации моделей используются такие важные для гидрометеорологических приложений характеристики процесса, как вероятности длительностей дождливых и сухих серий:

P(LR = к) = Р(А%1. ■.

P(L0 = *) = Р(Л*и . ..А?кАГ+1\А'пАГ), '

а также вероятности совместного превышения количества осадков заданного уровня'внутри дождливой серии, характеризующие интенсивные длительные осадки:

Pk{x)=P(Rt>x,Rt+l>x,. ..Щ+к^>х\АгнА^... А%к~1),

(4.2)

где к = 1,2,____

В параграфе 4.1 по данным наблюдений исследуется статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков раздельно для каждой станции и месяца наблюдений. Рассматриваются также обобщенные характеристики для всей территории в целом. Аналцз характеристик, связанных с перечисленными параметрами моделей показал, что в целом рассматриваемое поле осадков близко к однородному, хотя наблюдается заметные, превышающие статистические погрешности, изменения некоторых параметров поля в пространстве и во времени.

В параграфе 4.2 рассматриваются три, обобщенные для всей территории, вероятностные модели временных рядов, характеризующих чередование сухих и дождливых суток. Последовательности из событий и Ад ставится в соответствие числовая индикаторная последовательность xt с вероятностями P(xt = 0) = ро, P{Xt = 1) = pr. В качестве первой модели рассматривается традиционная, часто используемая при моделировании рядов осадков, однородная марковская модель (для данного региона подходящей.оказалась трехсвязная марковская модель). Специфика рассматриваемого в работе подхода состоит в задании матриц переходных вероятностей, элементы которых определяются через небольшое число простейших характеристик длительностей сухих и дождливых серий. В качестве входных параметров модели использовались вероятности P{L\ = 1), P(L\ = 2), средние длительности серий Щ, а также аналогичные характеристики для сухих серий, вычисленные по данным наблюдений. Получены аналитические выражения для распределений P{L\ = к) и P(Lq = к) в виде

P{LX = 1) = P{L\ = 1), P(L0 = 1) = P(L*0 = 1), P(Li = 2) = P(Ll = 2), P(L0 = 2) = P(L*0 = 2),

P{Li = k) = P(L\ > 3)(1 ~p)pk~3, k> 3, 21

Р(Ьа = к) = Р{Ц>3)(1-д)дк~3, к> 3,

P(L* > 3) m>3)

Р М{ + P(LJ = 1) - 2' 9 М0* + P{L*0 = 1) - 2'

P(LJ > 3) = 1 - = 1) - P{L\ = 2), P(L5>3) = 1-P(IS = 1)-P(LS = 2),

Корреляционная функция реальных индикаторных рядов осадков хорошо описывается функцией ßo = 1, ßh = ß°ßh, h > 1, поэтому в качестве второй модели рассматривалась мультипликативная модель вида xt — ^tQi где u>t - это последовательность независимых индикаторов, а £t - однородная односвязная индикаторная марковская индикаторная последовательность. Параметры модели выбираются из условия точного совпадения распределения и первых двух корреляций с фактическими.

Третья модель основана на модификации метода "обратных функций", реализуется в виде порогового преобразования

Ut (4-з)

специально подобранного гауссовского процесса & и достаточно точно воспроизводит фактическую корреляционную функцию процесса. Параметр с выбирается из условия точного совпадения вероятности рд с фактической. Результаты верификации моделей но распределению (4.1) показали, что все три модели достаточно хорошо описывают реальный процесс, хотя предпочтение можно отдать первой модели. Использование односвязных и двусвязных марковских моделей приводит к не-удовлет вор ител ьному резул ьтату.

Основная трудность при аппрксимации фактического од-V номерного распределения суточных сумм жидких осадков для

данного региона состоит в том, что его плотность имеет специфику, которая проявляется в том, что она резко возрастает в интервале [0, 0.5] (мм), а справа от моды убывает достаточно медленно. Распределение этого типа не удается удовлетворительно описать ни одним из известных распределений.

В параграфе 4.3 для аппроксимации этого распределения используется методика, разработанная A.C. Марченко, согласно которой левая и правая ветви фактического распределения аппроксимируются некоторыми специальными функциями, а внутренняя его часть кусочно аппроксимируется полиномами третьего порядка. В параграфе рассмотрена также аппроксимация двумерного распределения количества осадков P(Rt > х, Rt+\ > у) на основе однопараметрического модифицированного двумерного распределения Гумбеля-Моргенштер-на, учитывающего малость корреляций а\.

В параграфе 4.4 построена вероятностная модель нестационарных индикаторных рядов суточных осадков с учетом всех корреляций в интервале месячной длины. Зависимость вероятностей ро, рп, а также корреляций ßo,ßi,... от номера суток оказывается достаточно заметной и превышает соответствующие статистические погрешности. Алгоритм основан на преобразовании (4.3), причем для всех месяцев рассматриваемого полугодия, погрешности воспроизведения в модели реальных корреляций, обусловленные ограничениями метода обратных функций, оказались незначительными.

В параграфе 4.5 приводятся результаты верификации моделей. Проведены расчеты по исследованию зависимости распределения (4.2) от корреляций "«^ и /Зд. Наиболее заметно оно зависит от корреляционных связей внутри дождливой серии, поэтому для месяцев, в которых наблюдается рост корреляций ан при увеличении h, модель, которая учитывает эту особенность процесса, дает лучший результат по сравнению с моделью, в которой количества осадков внутри серии считаются, например, независимыми.

В качестве дополнительных тестовых характеристик процесса рассматриваются распределения суммарного числа дней с осадками внутри месяца {Р{к = > где к - случайная

величина вида к = + ... + Xm, т - число дней в месяце, а также распределение месячных сумм жидких осадков. Основная трудность при исследовании этих характеристик состоит в том, что объем выборки для их оценки по данным наблюдений как правило невелик (в диссертации приведены результаты исследования зависимости'статистических погрешностей оценок этих распределений от объема выборки по модельным реализациям процесса), поэтому естественно использовать информацию о суточных суммах осадков с привлечением соответствующих вероятностных моделей. Показано, в частности, что дисперсия распределения {Р{к = t/)}"l_0 определяется всеми корреляциями процесса Xt на месячном интервале, поэтому модель из 4.4 дает значительно лучший результат по сравнению с моделями, в которых дальние корреляции учитываются приближенно.

Параграф 4.6 посвящен разработке вероятностных моделей пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм осадков на основе метода "условных математических ожиданий" в сочетании с методом "обратных функций распределения" , Используется приближение, для которого по времени процесс считается стационарным.

Основная задача состоит в задании блочно-теплицевой ковариационной матрицы Rq = (gij) для гауссовского поля £ = (¿д,..., такой, которая после функционального преобразования гц = F-1 (Ф(£г)) гауссовского поля в негауссов-ское ff = (г) 1,...,т?„)г обеспечивала бы предельно возможную близость корреляционной матрицы Rp = (r,j) к фактической Яф = (рфо'). Если такая матрица найдена, то разность соответствующей матрицы модельного негауссовского поля и фактической дает предельную в рамках этого метода точность модели.

Точное решение возможно, если уравнение Гф,^ = <г{'Лз) имеет решение д^ при заданных Гфу и, при этом, матрица = (д^) положительно определена, где <р{.) - функция, определяющая зависимость корреляций поля у от соответствующих корреляций поля В силу большой размерности задачи, специфики распределений и корреляций, точное решение в данном случае получить не удается. Близкое к оптимальному решение находится на основе спектрального представления матрицы

= к?*кР1т, (4.4)

к

где Рк - собственные векторы матрицы {А^} - полный

набор собственных чисел матрицы Я*а, в котором отрицательные числа заменены на небольшие положительные. Матрица (4.4), однако, не является блочно-теплицевой, поэтому для того, чтобы получить окончательное решение проводится дополнительная корректировка, которая приводит матрицу к блочно-теплицеву виду с сохранением ее положительной определенности.

Для модели поля осадков используется обобщенная для всей территории функция распределения, причем отсутствие осадков приравнивается к нулевому их количеству. В качестве тестовой характеристики для верификации модели используется корреляционная матрица индикаторного поля осадков.

Отдельно строится модель индикаторного поля с учетом изменения вероятностей ро и рд в пространстве и во времени. В силу быстрого затухания временных корреляций в обеих моделях учитываются все пространственно-временные связи только на интервале в двое суток. Построена также вероятностная модель пространственного индикаторного поля осадков, рассмотрено приближение однородного поля.

Для всех случаев входные и тестовые характеристики воспроизводятся в моделях с точностью, близкой к предельно возможной в рамках метода "обратных функций". Для построе-

ния пространственно-временных полей на месячном интервале используется многомерная модель авторегрессии, для которой рассмотренные поля используются в качестве начальных.

В сочетании с методами стохастической интерполяции модели предназначены для исследования вероятностных характеристик суммарного количества осадков на фиксированной площади.

В приложении приведены некоторые специальные классы корреляционных функций стационарных процессов и однородных полей, которые могут быть использованы при решении прикладных задач гидометеорологии. Корреляционные функции для стационарных процессов получены из представления процесса в виде решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с начальными значениями в виде белого шума, а корреляционные функции для однородных полей - рандомизацией корреляционной функции гауссовского типа.

Основные результаты диссертации

1. На основе метода условных математических ожиданий построен комплекс эффективных алгоритмов моделирования стационарных гауссовских скалярных и векторных рядов с корреляционной матрицей теплицева и блочно-теплицева вида, позволяющий в рамках единого подхода моделировать широкий класс скалярных и векторных гидрометеорологических процессов и полей для решения задач большой размерности с учетом большого числа статистических параметров. Разработаны и исследованы алгоритмы регуляризации и контроля точности вычислительного процесса. Получены условия стационарности скалярного процесса авторегрессии с произвольно заданными значениями корреляционной функции в фиксированном числе начальных точек.

2. На основе разработанных алгоритмов предложен рекурсивный алгоритм моделирования условных реализаций гаус-

совских стационарных последовательностей. Предложен приближенный алгоритм моделирования условных реализаций однородных пространственных гидрометеорологических полей при заданных значениях на нерегулярной сети станций. Предложен метод оценки влияния неопределенности в начальных данных на результаты гидродинамического прогноза.

3. На основе метода "условных математических ожидании" и разработанных алгоритмов по данным реальных наблюдений построены вероятностные модели: гауссовских пространственно-временных полей течений, периодически коррелированного векторного процесса скорости ветра с учетом суточного хода параметров распределения с высокой точностью воспроизводящие пространственно-временные корреляционные связи реальных процессов.

4. Для решения гидрометеорологических задач большой размерности предложены и исследованы новые алгоритмы моделирования стационарных и нестационарных процессов, а также однородных и неоднородных полей на основе объединения моделей процессов и полей с дискретным аргументом и моделей на точечных потоках. Получены условия стационарности процесса, построенного с помощью кусочно-постоянной интерполяции негауссовского стационарного процесса из точек, образующих пуассоновскии; , в произвольную точку области для задач исследования статистических свойств гидрометеорологических процессов, измеренных в случайные моменты времени.

5. На основе рандомизированного сглаживания независимых дискретных негауссовских процессов построена вероятностная модель комплекса негауссовских нестационарных процессов (среднесуточная температура, суммарная суточная радиация, суточные суммы жидких осадков) для теплого полугодия для задач исследования влияния климатических факторов на продуктивность сельскохозяйственных культур.

6. По данным реальных наблюдений и на основе разработанных методов построен комплекс вероятностных моделей временных рядов, пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков. Исследованы вопросы точности моделирования, проведена верификация моделей. На основе моделей временных рядов суточных сумм построены распределения месячных сумм осадков, построены распределения длительностей сухих и дождливых периодов, получены численные оценки характеристик длительных интенсивных осадков.

Продемонстрированы значительные потенциальные возможности предложенных в диссертации методов для решения практических задач статистической гидрометеорологии и океанологии.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Огородников В.А. О динамико-вероятностном прогнозе // Изв. АН СССР. Сер. ФАО. - 1975. - Т. 11, №8.-1 С. 851853. 2. Огородников В.А. Моделирование трехмерных полей геопотенциала с заданной статистической структурой // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. - Новосибирск, 1979. - С.73-78.

3. Огородников В.А. Моделирование стационарных векторных рядов с заданной корреляционной структурой // Методы и алгоритмы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1983. - С. 21-30.

4. Марченко A.C., Огородников В.А. Моделирование стационарных гауссовских последовательностей большой длины с произвольной корреляционной функцией // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1984. - Т. 24, № 10. - С. 1514-1519.

5. Марченко A.C., Огородников В.А. Авторегрессионные процессы с заданной корреляционной структурой // Известия вузов. Математика. - 1985. - № 7. - С. 63-67.

6. Огородников В.А. О статистической устойчивости базиса из собственных векторов выборочной ковариационной матрицы // Теория и приложения статистического моделирования. -Новосибирск, 1985. - С. 66—76.

7. Огородников В.А. Некоторые свойства оценок пороговых уровней длительных похолодании // Методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1986. - С. 25-34.

8. Огородников В.А. Один способ моделирования гауссов-ских временных рядов с корреляционными функциями специального вида // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1987. - № 5. - С. 214-215.

9. Огородников В.А. ГауссоЬские стационарные процессы специального типа // Численные методы статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987. -С. 23-26.

10. Огородников В.А., Минакова JI.A. Вероятностные модели нестационарных векторных последовательностей // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1987. - С. 17-28.

11. Огородников В.А. Моделирование одного класса изотропных гауссовских полей // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР.

- 1988. - С. 25-30.

12. Марченко A.C., Минакова Л.А., Огородников В.А. Статистическое моделирование редких похолоданий с учетом их длительности // Анализ и прогноз многолетних временных рядов. - Новосибирск: Изд. СНИИЗ и ХСХ СО ВАСХНИЛ. - 1988.

- С. 63-71.

13. Огородников В.А., Пригарин С.М. Комплекс алгоритмов и программ моделирования некоторых классов случайных полей // Тез. докл. регион, научно-техн. конф. "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств". - Новосибирск, 1988. - С. 140-141.

14. Огородников В.А. Статистическое моделирование векторных процессов авторегрессии с заданной корреляционной структурой // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1989. - С. 54-63.

15. Огородников В.А. Испытание вероятностных моделей последовательности сухих и дождливых суток // Тр. ЗапСиб-НИГМИ. - 1988. - Вып. 87. - С. 44-48.

16. Огородников В.А. Семочкин А.Г. Использование вероятностных моделей временных рядов метеоэлементов в задачах прогноза // Тез. докл. Всесоюз. совещ. "Проблемы гидрометеорологического обеспечения народного хозяйства Сибири". Ч. 1. - 1989. - С. 38-39.

17. Дробышев А.Д. Марченко A.C. Огородников В.А., Чижиков В.Д. Статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков в равнинной части Новосибирской области // Тр. ЗапСибНИИ Госкомгидромета. - 1989. -Вып. 86. - С. 44-74.

18. V.A. Ogorodnikov. Statistical simulation of discrete random processes and fields // Soviet journal of Numer. Anal, and Math, modelling. - 1990. - Vol. 5, № 6. - P. 489-509.

19. Огородников В.А. Приближенные способы моделирования неоднородных и неизотропных негауссовских полей // Тез. докл. научно-техн. конф. "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов. - Новосибирск, 1991. - С. 195-196.

20. Марченко A.C. Огородников В.А. Вероятностные модели последовательности сухих и дождливых суток. - Новосибирск, 1991. - 22 с. - (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; 993).

21. Огородников В.А., Пригарин С.М., Михайлов Е.А., Рожков В.А. Вероятностная модель поля скорости течений в Невской губе // Тез. докл. Междунар. семинара "Состояние Финского залива и очистка сточных -вод Санкт- Петербурга". Университеты С. Петербурга и Турку (Финляндия). - 1992. - С. 20.

22. Dochkin D.A., Ogorodnikov V.A. Mixed models of random processes and fields // Proc. of International conference "Applied modelling and simulation", Lviv, Ukraine. - 1993. - P. 63-74.

23. V.A. Ogorodnikov. Special models of non-stationary random processes and non homogeneous fields // Bull. Nov. Сотр. Center. Num. Anal. - 1993. - Iss. 4. - P. 35-34.

24. Ogorodnikov V.A. Probabilistic models of hydrothermody-namic processes and fields // Summaries of the International con-ferense "Advanced mathematics, computations and applications".

- Novosibirsk. - 1995. - P. 256-257.

25. Огородников B.A. Семочкин А.Г. Минакова Jl.A. Po-маненко Т.П. Использование вероятностных моделей в задачах исследования климатической изменчивости гидрометеорологических процессов и полей // Тез. докл. междунар. научно-практич. конф. "Регион и география", Пермский отд. Русского географического общества. - Пермь, 1995. - С. 108-110.

26. Калашникова Н.И., Огородников В.А. Стохастическая интерполяция однородных случайных полей // Методы и алгоритмы статистического моделирования. - Новосибирск, 1995.

- С. 40-51.

27. Protasov A.V., Ogorodnikov V.A. Transport of pollution numerical model. Annales Geophysical, Supplement, European Geophysical Society. - Hamburg, 1995. - 1 p.

28. Ogorodnikov V.A. and Prigarin On stochastic interpolation of descrete random processes and fields // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. - 1996. - Vol. 11, № 1. - P. 49-69.

29. Ogorodnikov V.A. and Prigarin S.M. Numerical Modelling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. -VSP, Utrecht, the Netherlands, 1996. - 240 p.

30. Ogorodnikov V.A. and Protasov A.V. Dynamic probabilistic model of atmospheric processes and the variational methods of data assimilation // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. -

1997. - Vol. 12, № 5. - P. 461-479.

ОГОРОДНИКОВ Василий Александрович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

И ПОЛЕЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических неук

Подписано в печать 30.04.1998 г.

Формат бумаги 60 х 841/16 Объем 2,0 п. л.

Тираж 100 экз.

1,9 уч.-изд.л. Заказ № 38

Ротапринт ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск-90

Текст научной работыДиссертация по геологии, доктора физико-математических наук, Огородников, Василий Александрович, Новосибирск

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Ордена Ленина Сибирское отделение Институт вычислительной математики и математической геофизики

На правах рукописи

Огородников Василий Александрович

УДК 551.509.313 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ . ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ ••

04.00.23 - физика атмосферы и гидросфере

А"

>-У Научный консультант:

член-корреспондент РАН

"Геннадий Алексеевич Михайлов

Новосибирск - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕШЕ. • • ________, v...........................................5

ГЛАВА I. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАУССОВСКИХ СКАЛЯРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.........................22

1.1. Гауесовские процессы с корреляционными матрицами тёплицева вида..........................................22

1.2. Метод условных математических ожиданий............ 29

1.3 Моделирование гауссовских векторов с корреля- 36 ционными матрицами тёплицева вида.................

1.4 Некоторые замечания о регуляризации алгоритма и 41 контроле точности.................................

1.5 Моделирование скалярных процессов авторегрессии с заданной^корреяядаонной структурой............. ... 51

1.6 Метод условных математических ожиданий для моделирования условных реализаций стационарных гауссовс-

ских последовательностей......................... 59

1.7 Моделирование условных полей метеоэлементов для задач динамико-вероятностного моделирования атмосферных процессов...................................... 69

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ

ГАУССОВСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.. .............. 79

2.1. Моделирование стационарных гауссовских векторных последовательностей ограниченной длины................80

2.2. Некоторые приёмы регуляризации алгоритма.......... 91

2.3 Алгоритмы моделирования пространственных полей с дискретным аргументом............................. 95

2.4 Моделирование стационарных гауссовских векторных авторегрессионных процессов....................... 101

2.5 Метод условных математических ожиданий для моделирования векторных процессов скорости течений и ветра............................................ 104

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ, ...............................126

3.1. Кусочно-постоянная интерполяция стационарных про-цесов............................................ 127

3.2. Кусочно-постоянная интерполяция дискретного однородного поля...................................... 189

3.3. Статистическое моделирование нестационарных процес-цессов и неоднородных пространственных полей...... 149

3.4. Об одном классе кусочно-постоянных случайных процессов .......................................... 163

3.6. Вероятностные модели комплексов метеоэлементов.... 172

ГЛАВА 4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ СУММ ЖИДКИХ ОСАДКОВ----------- 181

4.1. Статистическая структура временных рядов суточных сумм жидких осадков в равнинной части Новосибирской области.........................................184

4.2. Вероятностные модели последовательности сухих и дождливых суток...........................................192

4.3. Вероятностные модели количества осадков........... 214

4.4 Алгоритмы моделирования нестационарных рядов осадков................................................ 229

4.5 Верификация моделей................................ 236

4.6. Метод условных математических ожиданий для численного моделирования пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких

осадков... .v................................................................254

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......... ...............................................................272

ПРИЛОЖЕНИЕ....................................................................................275

1. Гауссовские стационарные процессы специального

вида....................................................................................275

2. Один класс корреляционных функций изотропного поля 277 ЛИТЕРАТУРА.............................................................280.

ВВЕДЕНИЕ

Методы численного моделирования случайных процессов и полей находят широкое применение при решении теоретических и прикладных задач в различных областях науки и техники,, причём область применения этих методов и сложность решаемых на их основе задач постоянно увеличиваются.

В статистической метеорологии, климатологии, океанологии, гидрологии применение этих методов давно уже стало традиционным и показало их высокую эффективность и перспективность при решении широкого класса задач, включающего задачи усвоения гидрометеорологической информации, задачи, связанные с исследованием вероятностных свойств реально наблюдаемых процессов, вероятностным прогнозированием, исследованием свойств статистических оценок, синтезом динамических и вероятностных методов описания реальных процессов и т.д.

Исходным пунктом для решения этих задач является построение вероятностных моделей реальных процессов и полей. Под численной вероятностной моделью реального временного ряда обычно понимают искусственную случайную последовательность, которая по некоторому набору заранее выбранных вероятностных характеристик совпадает с наблюдаемой. Аналогично определяется вероятностная модель реального поля на регулярной или нерегулярной сетке либо в произвольной точке заданной области.

Типичными задачами из этого класса являются задачи о

выбросах процесса или поля за заданный уровень. Эти задачи непосредственно связаны с проблемой исследования и предсказания экстремальных погодных условий, при этом достоверность результатов зависят от качества выбранной вероятностной модели. Исследованию этих, и связанных с ними вопросов интерпретации метеорологических данных на основе использования методов статистического моделирования, посвящен ряд работ, выполненных сотрудниками ГГО им. А.И. Воейкова Р.Л. Каганом, Л.С. Гандиным, Н.В. Кобышевой, Е.И. Хлебниковой и др. [1-113, а также сотрудниками ИВМиМГ СО РАН (до 1997 г. ВЦ СО РАН) A.C. Марченко, В.А.Огородниковым, Т.П. Романенко, А.Г. Сёмочкиным, Л.А. Минаковой, [12-17,20].

Методы статистического моделирования могут быть эффективно использованы также в задачах расчета динамического воздействия метеорологических процессов на различного рода динамические системы, объекты, сооружения, биологические процессы и т.д. Здесь главный интерес представляет изучение реакции системы на воздействие некоторого комплекса метеорологических факторов. В качестве примеров можно привести задачи, связанные с исследованием деформаций высотных сооружений при ветровых нагрузках [323, выхолаживанием отапливаемых помещений под совместным воздействием низкой температуры и скорости ветра [33], исследованием продуктивности сельскохозяйственных культур в зависимости от климатической изменчивости комплекса мереоро-логических параметров, влияющих на продуктивность [34]. В океанологии примерами задач из этого класса являются задачи, связанные с исследованием вероятностных закономерностей колебания уровня поверхности водоёмов в зависимости от

изменчивости стока рек или ветра [283 и т.д. В тех случаях, когда не удается выразить реакцию системы на входное воздействие в виде простого аналитического выражения, хотя и известны уравнения, описывающие работу системы (эти уравнения могут быть нелинейными), результаты можно получить многократным численным решением этих уравнений для независимых реализаций воздействующих метеорологических процессов, построенных в соответствии с подходящей вероятностной моделью [18,193.

Методы статистического моделирования нашли широкое применение при решении теоретических и прикладных задач статистической океанологии и отражены в серии монографий и статей сотрудников Санкт-Петербургского океанографического института (В.А. Рожков, И.Н. Давидан, Ю.А. Трапезников, Л.И. Лопатухин, А.П. Белышев, Ю.П. Клеванцов, A.C. Румянцева, A.B. Бухановский, С.М. Микулинская, В.И.Боков, А.Е. Михайлов)[22-313 и сотрудников Львовского политехнического института (Я.П. .Драган, И.Н. Яворский) [243 и др. В работах этих авторов решается широкий круг проблем, связанных с исследованием вероятностной структуры скалярных и векторных океанологических процессов и полей. Разработана концепция описания реальных процессов с помощью вероятностных моделей, исследованы вопросы верификации моделей, разработан и исследован широкий класс методов оценивания различных характерис-ристик океанологических и метеорологических процессов по натурным данным, методов моделирования векторных и различных классов периодически нестационарных процессов. На основе разработанных методов и алгоритмов построены и верифицированы комплексы вероятностных моделей стационарных и нестацио-

нарных океанологических процессов для различных диапазонов изменчивости океанологических параметров. По существу подготовлена база и сделаны первые важные шаги к переходу к комплексному описанию гидрометеорологических и океанологических ких процессов с учётом взаимосязи различных процессов в пространстве и во времени.

Использование многомерных стационарных и нестационарных стохастических моделей временных рядов метеорологических параметров продемонстрировало высокие потенциальные возможности метода статистического моделирования при решении задач моделирования и прогнозорования климата (И.И. Поляк [35, 36]), в простейшем случае - задач имитационного моделирования климатических сценариев и в более общих случаях -задач предсказуемости климата и прогнозирования экстремальных климатических ситуаций. Методы статистического моделирования могут быть также эффективно использованы в задачах вероятностного прогнозирования метеорологических процессов (Г.В. Груза) [37] и связанных с ними задач оптимального использования прогностической информации для принятия экономических решений (Е.Е. Жуковский) [38].

Накопленный опыт вероятностного моделирования реальных процессов и полей, современные тенденции в развитии статистической метеорологии и океанологии ставят новые актуальные задачи, связанные с применением методов статистического моделирования. Это в первую очередь экологические задачи [27], для решения которых необходима разработка методов комплексного вероятностного моделирования атмосферных и океанологических процессов с привлечением большого объёма реальной гидрометеорологической и океанологической инфор-

мации, а также методов объединения гидротермодинамических и вероятностных подходов ж описанию реальных процессов С39-42]. Всё это определяет новые требования к численным вероятностным моделям - увеличение размерности решаемых задач, привлечение большого объёма фактической информации, учёт в модели большого числа статистических параметров. Успешному решению этих задач способствует всё увеличивающаяся мощность современной вычислительной техники.

Математическим аппаратом для решения перечисленных выше задач является метод статистического моделирования и, в частности, численные методы моделирования случайных процессов и полей с заданными вероятностными свойствами. На современном этапе основными характеристиками, используемыми при построении численных алгоритмов являются одномерные распределения, корреляционные функции либо спектральные плотности соответствующих процессов и полей.

Наиболее полно разработан аппарат моделирования стационарных гауссовских процессов и однородных скалярных и векторных гауссовских полей на основе спектрального представления (Г.А. Михайлов [43-46], К.К. Сабельфельд [47], Ю.И. Палагин [48-51], С.М. Пригарин [52-55]).

Известные приёмы моделирования нестационарных случайных процессов, а также неоднородных и неизотропных случайных полей (гауссовских и негауссовских) сводятся к использованию спектральных параметрических моделей (Ю.И. Палагин, C.B. Федотов, A.C. Шалыгин, [48,49]), в которых параметры являются функциями времени, либо пространственных координат.

Другим важным классом нестационарных процессов, нашедшим широкое применение при решении прикладных задач статис-

тической метеорологии и океанологии, являются периодически нестационарные процессы. Одним из основных подходов к моделированию процессов из этого класса является также спектральное представление процесса, в соответствии с которым случайная амплитуда является" стационарным дискретным векторным процессом с определёнными корреляционными свойствами (Я.П..Драган, В.А. Рожков, И.Н. Яворский [263).

К вопросам моделирования негауссовских процессов и полей на протяжении трёх последних десятилетий обращались многие исследователи (З.А.Пиранашвилли, В.В.Быков, Ю.Г. Полляк, Г.Г.Сванидзе, С.М.Ермаков, Г.А.Михайлов, В.А. Рожков, Ю.А. Трапезников, В.В.Губарев, Г.П.Хамитов, А.С.Марченко, С.М. Пригарин, В.А.Огородников и др. [56-76,43,28]). Один из наиболее распостранённых методов построения негауссовских процессов и полей сводится к функциональному преобразованию гауссовского процесса (или поля) такому, чтобы одномерное распределение процесса, полученного в результате этого преобразования, совпадало с заданным. Этот метод известен под названием "метод обратных функций распределения" и, по-видимому, впервые предложен и исследован З.А. Пиранашвилли [56]. При реализации этого метода не всегда удаётся подобрать такой гауссовский процесс, чтобы одномерное распределение и корреляционная функция моделируемого процесса совпадали с заданными. Вопросам совместимости одномерных распределений и корреляций в рамках "метода обратных функций" посвящено достаточно много работ, например работы В.В. Быкова [57] и С.М. Пригарина [55,68,69,71].

При разработке негауссовских спектральных моделей также используется модификация метода функциональных преобразова-

ний гауссовского процесса (A.C. Шалыгин, Ю.И. Палагин [50]), учитывающая специфику спектральных моделей.

Приближенная модификация "метода обратных функций", предназначенная для моделирования временных рядов по данным реальных наблюдений, основана на нормализации реального ряда и рассмотрена в работах Г.Г. Сванидзе [60], A.C. Марченко и А.Г. Сёмочкина [76].

Для моделирования негауссовских процессов и полей с произвольным одномерным распределением и произвольной выпуклой корреляционной функцией хорошо известны методы, основанные на различных модификациях метода "повторений" [59], а также методы, основанные на использовании точечных потоков Пальма [611 (Г.А. Михайлов).

Важное место среди перечисленных методов занимают методы численного моделирования гауссовских и негауссовских процессов и полей с дискретным аргументом (Е.М. Sheuer, D.S Stoller,: В.Г. Срагович, Т.A. Robinson, J. N. Franclin, Ю.Г. Полляк, Э. Хеннан, В.В Быков, I.I. Gringorten, Д. Бокс, Т. Дженкинс, T.W. Андерсон, Р.Л. Кашьяп, А.Р. Рао [77-88], Т.А. Товстик, С.М. Ермаков, А.И. Павлов, А.Ф. Сизова, [8991], Г.А. Михайлов [59], В.А. Рожков, Ю.А. Трапезников [28], И.И. Поляк [36], С.Л. Марпл~мл. [97], A.C. Марченко, В.А. Огородников [92-95,98,99] и др.), полей марковского типа на регулярной решётке (Н. Deriii, P.A. Kelly [96]). Эти методы и соответствующие алгоритмы наиболее приспособлены к построению вероятностных моделей гидрометеорологических процессов по данным реальных наблюдений.

Для моделирования нестационарных процессов с дискретным временем, а также неоднородных пространственно-временных

полей, например при моделировании морского волнения, часто используются модели авторегрессии-скользящего среднего с коэффициентами, зависящими от времени и пространственных координат (Ю.А. Трапезников, A.B. Бухановский [28,31]).

Моделирование гауссовских процессов и полей играет фундаментальную роль при построении негауссовских моделей по той причине, что класс возможных корреляций для гауссовского процесса наиболее широк (он определяется условием неотрицательной определенности соответствующей корреляционной функции или матрицы), поэтому функциональные преобразования гауссовского процесса позволяют описывать достаточно широкий класс корреляционных функций негауссовского процесса. В основе моделирования гауссовских векторов и процессов с дискретным аргументом лежат различного типа линейные преобразования, модели авторегрессии, скользящего среднего, смешанные модели авторегрессии-скользящего среднего. Связующим звеном большинства методов моделирования гауссовских процессов с дискретным аргументом, основанных на линейных преобразованиях, является метод "условных математических ожиданий" (Е.М. Sheuer, D.S Stoller, I.I. Gringorten, A.C. Марченко, В.А. Огородников, [77,85,92-95,98,99]). Специфика и основное преимущество этого метода состоит в том, что для класса тёп-лицевых и блочно-тёплицевых ковариационных матриц он, в отличие от других, позволяет строить рекурсивные алгоритмы моделирования и тем самым принципиально увеличивать объём используемых параметров и размерность решаемых задач. При этом класс гауссовских процессов, определяемых тёплицевыми и блочно-тёплицевыми ковариационными матрицами достаточно широк и имеет большую область приложений. Вопросам построения

и исследования алгоритмов для построения вероятностных моделей гидрометеорологических процессов и полей на основе метода условных математических ожиданий посвящены первые две главы диссертации.

В первой главе рассмотрен�