Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Динамика спиральных волн: описание при помощи функций отклика

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Динамика спиральных волн: описание при помощи функций отклика"

Институт Математических Проблем Биологии РАН" £

2 5 £сК г 1Г1

На правах рукописи

Бикташева Ирина Владимировна

Динамика спиральных волн: описание при помощи функций отклика.

03.00.02 — Биофизика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пущино, 2000

Работа выполнена в Институте Математических проблем Биологии РАН.

Научные консультанты: доктор физико-математических наук

Э.Э. Шноль

кандидат физико-математических наук В.Н. Бикташев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В.А. Давыдов кандидат физико-математических наук O.A. Морнев

Ведущая организация: Институт Биофизики Клетки РАН, г. Пушино

Защита состоится"_ 30 " 2000г.

Jtri0■

в ___часов на заседании диссертационного совета Д200.22.01 в Институте

Теоретической и Экспериментальной Биофизики по адресу: 142290 г.Пущино, ИТЭБ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭБ РАН.

Автореферат разослан __"ЛбТАйрЛ_____________2ооог.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Н.Ф. Ланина

= 0WtA{. о

I I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Большую роль в живых системах играют автоволновые процессы, при которых распространение волны поддерживается за счет распределенного в среде источника энергии. В средах, способных к проведению автоволн, возможны автоволновые вихри, также называемые спиральными волнами, вихрями риэнтри, роторами, ревербераторами и др. Такие вихри являются источниками автоволн. Их существование может быть не связано с какими-либо дополнительными особенностями среды, а обусловлено лишь предысторией. Одной из наиболее важных с практической точки зрения областей изучения спиральных волн являются волны риэнтри в сердечной мышце, вызывающие опасные аритмии, в т.ч. фибрилляцию.

Наиболее изученным классом моделей возбудимых сред, основанных на теоретических представлениях о конкретных механизмах возбуждения и проведения в конкретных средах, являются системы уравнений в частных производных типа "реакция-диффузия". Под действием внешних сил или неоднородности среды, спиральная волна может дрейфовать во времени и пространстве, т.е. ее частота (обычно однозначно определяемая параметрами среды) и положение ее центра вращения становятся функциями времени. Динамика спиральных волн в слабо возмущенной двумерной автоволновой среде может быть описана асимптотически в терминах "Аристотелевой" динамики, когда скорость дрейфа спиральной волны в пространстве и времени пропорциональна "силам", возникающим в результате возмущения среды и определяемым, как проекция возмущения на т.н. функции отклика спиральной волны. Т.о. для того, чтобы предсказать скорость дрейфа спиральной волны в результате слабого возмущения среды, вместо прямых измерений в численном эксперименте достаточно лишь вычислить интеграл от этого возмущения по пространству и периоду вращения с весом, равным функции отклика спиральной волны в данпой среде.

Нахождение функций отклика, как математическая проблема, характеризуется

тем, что поскольку эти функции являются решением переопределенной задачи, их существование в общем случае является открытым вопросом; это порождает ряд технических трудностей. До недавнего времени, когда явный вид функций отклика ни для одной конкретной модели не был известен, существовало две различных гипотезы. Одпа из них предполагала, что функции отклика, подобно самим спиральным волнам, асимптотически периодичны в пространстве, что приводило, вообще говоря, к расходящимся интегралам в теории возмущений и необходимости искусственных регуляризующих процедур[16]. Противоположная точка зрения состояла в том, что функции отклика локализованы в пространстве и экспоненциально затухают с удалением от центра вращения ревербератора|2]. В пользу последней гипотезы говорили многочисленные экспериментальные данные, показывающие безразличие спиральных волн к удаленным от их ядер событиям. Однако математическая необычность этой гипотезы, подразумевающей качественно различный характер у собственных функций линейного оператора и его сопряженного, порождало естественный скептицизм.

Задачи работы. Задачей работы было найти функции отклика в явном виде для какой-либо простейшей системы типа "реакция-диффузия" и тем самым подтвердить или опровергнуть гипотезу об их локализации в окрестности ядра спиральной волны. В случае положительного ответа — проверить количественно возможность предсказания скорости дрейфа спиральной волны на основе асимптотической теории динамики спиральных волн под воздействием малых возмущений.

Научная новизна. В данной работе впервые численно получены в явном виде функции отклика. Это сделано для одной из простейших автоволновых моделей - комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау (КУГЛ). Показано, что эти функции существенно локализованы в окрестности ядра спиральной волны при всех значениях параметров, при которых в данной модели существуют устойчивые решения в виде спиральных волн. Т.о. для данной модели подтверждение получила вторая из вышеизложенных точек зрения.

Используя полученные функции отклика, впервые теоретически предсказано

направление и величина скорости резонансного дрейфа спиральной волны и ее дрейфа в неоднородной среде для различных типов неоднородности. Все предсказания оказались в хорошем согласии с результатами прямых численных экспериментов. Т.о. асимптотическая теория динамики спиральных волн[10] впервые получила прямое количественное подтверждение.

Научная значимость работы. Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау -первая и пока единственная автоволновая система, для которой функции отклика найдены в явном виде. Выбор этой системы для данного исследования был обусловлен ее внутренней симметрией, позволяющей свести двумерную задачу к одномерной. Это - двухкомпонентная система типа "реакция-диффузия", которая возникает во множестве приложений. В частности, это уравнение возникает естественным образом, как модельная система для бифуркации Андронова-Хопфа в общей системе "реакция-диффузия". Т.о. КУГЛ описывает автоколебательную, а не возбудимую среду, в то время как большинство электрически активных тканей в сердце являются именно возбудимыми средами. Хотя в ряде работ было показано, что автоколебательное поведение сердечной мышцы может также играть роль в фибрилляции, целью данного исследования было в первую очередь развитие метода, который в дальнейшем может быть применен к детальным моделям реальных сердечных тканей. Дальнейшее развитие в этом направлении может иметь важные практические биомедицинские приложения, в частности, для разработки новых низковольтных дефибрилляторов и предсказания влияния различных физиологических и фармакологических факторов на стабильность спиральных волн по отношению к неоднородностям ткани.

С общей естественнонаучной точки зрения наиболее интересным нам представляется факт, что в силу впервые показанной явно локализованной чувствительности спиральных волн к внешним воздействиям, они могут рассматриваться как локализованные частицы, несмотря на то, что, в отличие от солитонов, выглядят как принципиально нелокализованные объекты. Контраст между нелокализованным проявлением и бесконечной областью влияния, с одной сторопы, и локализованной чувствительностью к внешним воздействиям

и безразличием к удаленным от центра спирали событиям, с другой стороны, делает спиральные волны весьма своеобразным примером самоорганизации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и

заключения, содержит рисунков, а также список литературы из __

названий и приложения. Объем диссертации Ю2 страниц.

Апробация работы. Результаты работы представлялись на пяти международных конференциях "Нелинейные модели в биологии"(Пущино, 1998), "Dynamic Days"(Эдинбург, Великобритания, 1998), "Mathematics and Computations" (Университет Уорик, Великобритания, 1998), "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems" (Крит, Греция, 1999) и "British Applied Mathematics Colloquium" (Манчестер, Великобритания, 2000), а также на семинарах в Институте Математических Проблем Биологии РАН, Институте Теоретической и Экспериментальной Биофизики РАН и Лаборатории Вычислительной Биологии Лидсского Университета (Великобритания).

Публикации. По материалам диссертации подготовлено пять печатных работ, в том числе четыре статьи в международных реферируемых журналах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1: Введение.

В этой главе сделан обзор литературных данных о волнах риэнтри в сердечной ткани и других системг« и теории спиральных волн. Более подробно рассматривается теория [10] дрейфа спиральных волн под влиянием малы- возмущений, что служит для введения основных обозначений и понятий, используемых в диссертации, и математической постановки задачи.

Спиральные волны наблюдаются в двумерных активных средах биологической и небиологической природы, например в реакции Белоусова-Жаботинского [3], сердечной ткани [8, 11], популяциях микроорганизмов [7], нервной ткани [12],

при каталитическом окислении СО [15] и др. Они привлекают внимание, как специфический механизм самоорганизации, и демонстрируют примечательную устойчивость.

Чаще всего спиральные волны изучаются в рамках систем уравнений "реакция-Ьдиффузия", общий вид которых

9(u = f(u) + DV2u + eh, u, f, h 6 R*. D € l > 2, (1)

где u(F, f) — вектор-столбец концентраций реагентов, f (u) — вектор-столбец скоростей реакций, D матрица коэффициентов диффузии, eh(u, г, t) — малое возмущение, и f* G R2 — вектор координат на плоскости. В моделях сердечной ткани, роль концентраций реагентов играют трансмембранное напряжение, воротные переменные каналов и ионные концентрации, а роль диффузии играет межклеточная проводимость, так что единственный диффундирующий "реагент" — трансмембранное напряжение. Возмущением может быть, например, неоднородность свойств активной среды или внешнее воздействие.

В простейшем случае при «h = 0 спиральная волна вращается равпомерпо, то есть система (1) имеет решение в виде стационарно вращающейся спиральной волны,

u = U(r, t) = U (p(f), i9(f) + ut). (2)

где и — угловая скорость, а р(г) и t?(r) — полярные координаты на плоскости г =

При наличии возмущений, eh ф 0, спиральная волна может дрейфовать в пространстве, а также ускорять или замедлять свое врашение, т.е. "дрефовать во времени". Такое дрейфующее решение имеет вид

u = Щр(г- R(t)), i?(f - R(t)) + ut - Ф(г)) + v(f, t), (3)

где R = (X, У)т = R(t) — положение центра вращения спирали, Ф = Ф(£) — ее начальная фаза, a v — малая поправка.

Асимтотическая теория дрейфа спирали, предложенная в [10], приводит к "Аристотелевым" уравнениям движения, когда скорости пропорциональны "силам", вызванным возмущением еЬ:

б(Ф = еЯо(Я,<М), й1Д = еЯ1(Д,Ф,<) (4)

В первом приближении, эти силы являются линейными функционалами типа свертки от возмущения,

Нп(й,<М)= (5)

<-Иг/и> Ь-и/ы К»

п = 0,1, где {а, Ь) = ~ скалярное произведение в пространстве

концентраций.

Ядра Wn(f) этих функционалов называются функциями отклика (ФО) спиральной волны. Они определяют влияние на спиральную волну бесконечно малых возмущений в зависимости от времени и места их приложения. Мы будем назвать Wo временной ФО, поскольку она отвечает за дрейф спирали во времени (сдвиг скорости вращения), а \Уь соответственно, пространственной ФО. Эти функции зависят от координат г = (х, у)т в системе отсчета, дрейфующей и вращающейся вместе со спиральной волной. Другими словами, в лабораторной системе отсчета (г, () графики этих функций вращаются и дрейфуют вместе со спиральной волной.

Функции отклика являются "критическими" (с собственными значениями на мнимой оси) собственными функциями

С+\У„ = -адп\Уп, п = 0, ±1 (6)

оператора

£+ = ПтУ2 + Шд„+ (¿¡¿)\ - (7)

4 У 1и=ии

который является сопряженным к оператору линеаризации на решении (2),

С = ЪЧ2-ыд<,+ , (8)

Vой/ 1и=и(г)

среди собственных функций которого — т.н. сдвиговые, или Голдстоповские моды,

£+У„ = шпУп, п = 0, ±1 (9)

бесконечно малые приращения к решению, соответствующие его сдвигу в пространстве и во времени:

V,, = ^и(г,<) = Эйи(г-),

VI = \е^(дх т гду)и(г, г) = \е^{д„ Т ¿р"Ч)У(Г), причем выполнено условие биортогональности ФО и Голдстоновских мод:

Угп)й2Г=6пт, п,та = 0,±1

(10)

(И)

Глава 2: Функции отклика спиральных волн в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау.

Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау (КУГЛ) — двухкомпонентная система реакция+диффузия, которую удобно записать в комплексном виде,

0*11 = и - (1 - 1а)и |и|2 + (1 +1/3)У2и + еЬ

(12)

где иеС,а,£еК. Мнимая единица I в этом уравнении должна рассматриваться как совершенно другой математический объект, чем г из общей теории. Другими словами, (12) может также рассматриваться как векторное уравнение для и € К2, где

и(Я,4) =

Яе(и) 1 = 0 -1

1т (и) 1 0

|и|2 = {и,и).

(13)

При проведении выкладок, удобно продолжать интерпретировать (12) как комплескное уравнение, но соблюдая осторожность и не путая I и ¿, т.е.

используя "бикомплексные" числа. Для полноты соответствия между комплексной и вещественно-векторной интерпретацией (12) удобно ввести обозначения

С =

1 0 1

1 =

0 -1 0

(14)

где С служит как оператор комплескного сопряжения относительно I, а 1 добавляется справа к матричному выражению для превращения его в векторное. Невозмущенная спиральная волна (2) имеет вид

и (г) = ехр(10)Р(р), (15)

Здесь Р (р) — решение следующей краевой задачи

(1 + Щ (р" + V - ^р) + (1 - 1и - (1 - 1а)|Р|2) Р = 0, (16)

Р(р-+0)~р, Р(р оо) « VI - к2 ехр(1 кр + о(р))(1+о(1)), (17)

где к = к(а,/3) — нелинейное собственное значение, асимптотическое волновое число, а и — угловая скорость вращения, равная и = а — ак2 — /ЗА;2. Эта задача приводится к скалярному виду подстановкой Р(р) = а(р)ехр(1^(р)) • 1 с вещественными а и ф. Решения этой задачи изучались, в частности, Хаганом [13]; они изображены ниже на рис. 2(а) (для а(р) и ^'(р)) и 3(а) (для и!(ж, у)).

Можно видеть, что, благодаря симметрии (12) и (15), функции отклика, определенные уравнениями (6), имеют вид

^'„(р,«?) = е(1-*")<'С1п(р), п = 0,±1

(18)

Это сводит двумерную задачу для функций \У„(р,1?) к одномерной задаче для функций <±„(р):

(I - гп)2

+ {1+1и-а? [2(1 + 1а) + (1 - 1а)е21^С]} С*,, = О, (19)

|Q„(p-+ 0)1 < oo, Q„(p-*-oo) -+0. (20)

Здесь С — оператор комплексного сопряжения по мнимой единице I, определенный в (14). Задачи (19,20) были приведены к вещественной скалярной форме подстановками

Q0 = (А + IВ) exp(I^)l, Qi — {С + ID 4- iE + HF) ехр{1ф)1. (21)

Поведение Qn при р —»■ оо описывается экспоненциальной зависимостью

Q»0>) ~ (22)

где Л = Л(а, /9, к(а, /3)) — корень кубического уравнения

Л3+рЛ + ? = 0, (23)

где

йТ2 ' q~ 1 + W2 ' К '

с отрицательной и наименьшей по абсолютной величине действительной частью.

Требование такого экспоненциального убывания делает задачи (19,20) формально переопределенными, так как фактически это — задачи на собственные значения, а равенство собственных значений iwn — всего лишь наше предположение. Чтобы сделать эти задачи пригодными для численного исследования, они были переформулированы как задачи на собственные значения, причем собственные значения предполагались в виде Ао € R для п = 0 (временнйя, или поворотная мода) и iw + А' + ¿A} € С для п = 1 (пространственная, или сдвиговая мода), где Ао, AJ и AJ малы. Фактическая малость этих параметров в найденном решении рассматривалась как дополнительный критерий точности численной процедуры. Полученные таким образом краевые задачи на собственные значения изучались в двойном пределе по двум численным параметрам, радиусу обрезания /w —f оо, и шагу дискретизации Др -4 0. Численная аппроксимация была второго порядка по Ар, а искомое решение

должно экспоненциально убывать при р—*оо. Следовательно, ожидаемое поведение малых собственных значений есть

А0) Х[, А! = О (Ар2 + ехр(—|Л|ршах)) , Ар 0, р^ж -* оо.

(25)

Это вполне согласуется с численными результатами изображенными на рис. 1, где показана зависимость собственных значений от Ар в логарифмических, а от ртах в полулогарифмических координатах, так что линейность графиков соответствует асимпотикам (25). Мы рассматриваем это как численное "доказательство" существования решений переопределенных задач (19,20). Сами решения показаны на рис. 2(6,с). Как пространственная, так и временная ФО действительно быстро затухают, и существенно отличаются от нуля лишь в ядре спиральной волны.

Реконструированные ФО на плоскости (х,у) изображены на рис. 3(6,с,¿). Показаны лишь первые (1-вещественные) компоненты; вторые (1-мнимые) компоненты тождественны первым, повернутым в плоскости (х, у) на угол тг/2.

18 20 22 24 26 28 30 (Ь) Ртах

Рис. 1: Абсолютные величины собственных значений |Ао| (о) и |А{ 4- г А* | (+) как функции (а) шага дискретизации Ар, при ртах = 100, и (6) радиуса обрезания ршах при Ар = 0.05. (а = 0.5, £ = 0)

а)

0.001

СЬ)

Рис. 2: (о) решение нелинейной краевой задачи, (Ь) компоненты временнбй ФО, (с) компоненты пространственной ФО, так функции р (а = 0.5, /? = 0).

Рис. 3: (а) Спиральная волна и, (6) временная ФО \Уо, (с) вещественная часть пространственной ФО 11е(\У1), (6) мнимая часть пространственной ФО 1т(\Ух). (а = 0.5, /3 = 0).

0

Глава 3: Зависимость функций отклика от параметрбв.

Из симметрии (12) видно, что параметрический портрет КУГЛ на плоскости (а, Р) обладает центральной симметрией, поэтому без ограничения общности можно ограничиться рассмотрением а > 0.

Краевые задачи (16,17) и (19,20) решались численно, используя процедуру, описанную в предыдущей главе, и метод продолжения по параметру как для а, так и для /3. Существование локализованных ФО считалось установленным, если абсолютные значения искусственных собственных значений До, Ах оказывалось меньше, чем Ю-3.

Исследованная область показана на рис. 4. Точки на графике показывают значения а и /3, для которых проводились вычисления и существование локализованных ФО подтверждено. Решения, соответствующие избранным точкам, показаны на последующих рисунках (точка (0.5,0) была проиллюстрирована выше).

........ 9=0

------- D=0

-------- р=0

• explored □ selected

Рис. 4: Исследованная область на плоскости (а,/3).

Как уже обсуждалось в предыдущей главе, если Qn убывают при р —► оо, то это убывание экспоненциальное, и скорость его определяется корнем кубического уравнения (23,24) с наименьшей по абсолютной величине отрицательной

действительной частью.

Задача о ФО корректно поставлена, если (23) имеет один положительный корень и два корня с отрицательной действительной частью. Это требование выполняется в области |£(а,/?)| < 1, за исключением прямой а + 0 = 0, на которой один из корней (23) обращается в ноль. При пересечении линии а + Р = 0 знак к меняется на противоположный (поэтому направление закрутки спирали на рис. 5 другое, чем на остальных четырех рисунках).

Вблизи линии а + 0 = 0 асимптотическая длина волны спирали неограниченно возрастает, и при промежуточных значениях р спираль имеет логарифмическую, а не Архимедову форму [13]. Рис. 6 иллюстрирует этот предел. Критический корень Л характеристического уравнения (23) в этом случае становится очень малым, Л ~ —(а + 0)к, где асимптотическое волновое число к, в свою очередь, экспоненциально мало по малому параметру (а + 0) [13]. Это затрудняет расчеты спиральной волны и ФО вблизи этой линии. На этой линии, КУГЛ становится квази-градиентным, и вблизи этой линии можно ожидать, что ФО будут похожи на Голдстоновские моды V,,. В этом пределе в области 1 < р «с к~1 амплитуда Уо остается приближенно постоянной, как и амплитуда и, в то время как VI убывает как р~1. Это находится в согласии с поведением \УП на рис. 6.

Характер убывания ФО при больших р качественно меняется в зависимости от поведения отрицательных корней характеристического уравнения (23). Если эти корни вещественны, то убывание будет монотонным. Если они комплексны, то убывание будет колебательным. На плоскости (а, /9) эти два случая отделены линией, на которой обращается в ноль дискриминант кубического уравнения (23) О = (р/3)3+ (д/2)2 = 0, также показанной на рис. 4.

Рис. 7 иллюстрирует случай колебательного убывания ФО. Видно качественное отличие формы ФО, усиленное более медленным затуханием (меньшим значением |Ие (Л) |). В то время как ФО на рис. 5 были локализованы практически в пределах самого кончика спирали, ФО на рис. 7 заметна на протяжении всего первого витка. Другая новая черта — "гало", область вокруг внутреннего ядра, в которой ФО имеют

- ■шмшТТ ■наш и ||[ г ~

-0.98 0.98 -0.0054 0.0054 -0.0096 0.14 -0.001 0.076 и Ш0 Ле^) 1т(И^)

Рис. 5: Спиральная волна (и), временная ФО (Wo) и ¿-вещественная и ¿-мнимая части пространственной ФО (^У^). Показаны только 1-вещественные компоненты всех четырех функций; 1-мнимые получаются поворотом 1-вещественных на угол 7г/2. Однородный серый цвет на периферии \Уод соответствует нулю, т.е. все ФО локализованы вблизи центра вращения, (а = 0.1, Р = -0.9).

-1 1 -0.00018 0.00018-0.0029 0.041 -0.03 0.00089

и \¥0 Яе(И/1) 1т(^)

Рис. 6: Решение для а = 0.1, /3 = 0.1.

противоположный знак.

il' " т.ииикч^ ДП1Т° ■ ' gfTffl ' ï * ,,

-0.94 0.94 -0.024 0.024 -0.15 0.096 -0.19 0.037 U W0 Re(VFi) Im^)

Рис. 7: Решение для а = 0.5, ¡3 = 0.5.

Другая особая линия на плоскости (а, /3) — линия неустойчивости Экхауза, определяемая уравнением р{а,Р,к{а,Р)) — 0. За этой линией плоские волны, излучаемые спиралью, экспоненциально неустойчивы по отношению к продольным модуляциям. Строго говоря, это означает, что в этой области спиральные волны в бесконечной среде неустойчивы. Однако, как видно из рис. 8, локализованные ФО продолжают существовать и в этой области, хотя их пространственная протяженность продолжает возрастать. Это наблюдение соответствует феноменологической устойчивости спиральных волн в ограниченной среде за пределом неустойчивости Экхауза, которая объяснялась также конвективным характером этой неустойчивости [9].

-0.83 0.83 -0.067 0.067 -0.14 0.42 -0.15 0.43 и Но Яе^) 1т(1У,)

Рис. 8: Решение для а = 1, /3 = 1.

Глава 4: Резонансный дрейф.

В этой главе найденные ФО спиральных волн в КУГЛ используются для задачи о резонансном параметрическом дрейфе спиральных волн. Это явление было впервые предсказано в работе [4] и затем обнаружено экспериментально в светочувствительной модификации реакции Белоусова-Жаботинского [1]. Когда параметры среды периодически меняются во времени с периодом, близким к период)' вращения спиральной волны, она дрейфует по кругу большого радиуса или вдоль прямой линии, если эти два периода совпадают. Простое объяснение этого эффекта: если внешние толчки приходят в одну и ту же фазу вращения спирали, они вызывают ее сдвиги в одном и том же направлении. То есть, явление резонансного дрейфа есть прямое следствие симметрии спиральной волны и универсально для всех моделей.

Рис. 9: Резонансный дрейф спиральной волны в КУГЛ. а = 0.5, /3 = 0, амплитуда возмущения е = 0.05. Тонкая "циклоидная" линия — траектория кончика и = (0.9 + 01)1, толстая линия — траектория центра спирали и = (0 + 01)1.

Мы рассматривали периодическое во времени возмущение уравнения (12) следующего вида:

Ь = совМ)!, (26)

где и — период вращения невозмущенной спиральной волны. Возмущение (26) с учетом нормировки (11), дает следующее выражение для скорости резонансного дрейфа:

\д(Щ = е\Н1\=е

¡[С-Р + ЦЕ + 0)]ё*рйр

о

2 / [а^ - ра'С + г(а£ - ра'Е)] Ар о

(27)

Таким образом, если известны Хагановское решение а, ф и компоненты пространственной ФО С, Б, Е, F, формула (27) дает теоретическое предсказание скорости резонансного дрейфа.

Для а = 0.5 и /3 = 0 формула (27) дает нормализованную скорость дрейфа \dtR\fe = |#1| ~ 2.8423. Для сравнения мы провели прямые численные расчеты КУГЛ (12). Использовались две разных конечно-разностных схемы, (1) явная схема первого порядка, и (2) полунеявная схема с использованием метода переменных направлений, второго порядка. Обе схемы использовали 5-точечную аппроксимацию оператора Лапласа. Начальные условия задавались, используя решение Хагана.

В согласии с теорией, скорость резонансного дрейфа была приблизительно пропорциональна амплитуде возмущения е, см. рис. 10(а). Эта пропорциональность хорошо соблюдается даже при е = 0.05, а при этой амплитуде дрейфующая спиральная волна существенно деформирована, см. рис. 9. Это происходит потому, что эта деформация обязана относительному движению ("эффекту Допплера", [18]), которому подвержена периферия спиральной волны, в то время как скорость дрейфа определяется в основном событиями в ядре, где ФО заметно отличны от пуля.

Для количественной проверки предсказаний, мы измеряли нормализованную скорость дрейфа |3<Д/£| в численных экспериментах, и ее поведение при е —► 0, —► 0 и Ах —> 0. Результаты показаны на рис. 10(6).

Видно, что для наименьших шагов в прямых расчетах отличие от теоретического значения сравнимо с ошибкой, вносимой пространственным огрублением в само теоретическое значение. То есть, предсказания асимптотической теории согласуются

Рис. 10: (а) Скорость дрейфа как функция амплитуды возмущения

е. Пунктирная линия с точками: результат прямого численного эксперимента. Сплошная линия: теоретическая зависимость. Штриховая линия: наилучшее линейное приближение численных результатов при малой амплитуде, (6) Нормализованная скорость дрейфа \dtR/e\, как функция шага по времени A t. Штриховая линия с палыми кружками: явная схема, шаг по пространству Ах = 0.5. Точки с черными квадратами: схема переменных направлений, шаг по пространству Ах = 0.2. Сплошная линия: теоретическое значение 2.84... Штриховая линия: "огрубленное" теоретическое значение 2.93..., вычисленное при Ар = 0.2.

качественно и количественно с результатами прямых численных расчетов с точностью, присущей эти расчетам.

Глава 5: Дрейф под влиянием неоднородности среды.

Такой дрейф был замечен в численных экспериментах [5] и затем в натурных экспериментах, в том числе в сердечной ткани [6] и в реакции Белоусова-Жаботинского [17]. Мы рассмотрели дрейф спиральных волн в КУГЛ при двух различных типах неоднородности его параметров.

Неоднородность по коэффициенту линейной дисперсии

Рассматривалось возмущение

Ь = 1х|и|2и, (28)

соответствующее линейной неоднородности параметра а: а(г) = а + сх. Возмущение (28) с учетом нормировки (11) приводит к следующему выражению для комплескной скорости дрейфа:

€ /[£>-гТ]аУ Ар

дtR = д(Х + гУ) = = ^-5-, (29)

/ [аР - р(а'С + аф'Б) + г(а£) + р{а'Е + а^))] Ар

о

(для поправки к частоте предсказание Но = 0, т.к. возмущение Ь в (28) — четная функция а ФО \У0 в (18) — нечетная).

Для а = 0.1, Р = 0.6 формула (29) дает нормализованные скорости дгХ/е = 11е(#1) и —1.958 и фК/е = 1т {Н\) и —29.137. Для сравнения мы провели прямые численные расчеты (12) с возмущением (28). Использовалась явная схема первого порядка по времени с 5-точечной аппроксимацией лапласиана. Начальные условия задавались, используя решение Хагана.

Изучалась зависимость нормализованных компонент скорости дгХ/е и <Э;У/е от Дх —У 0 и Д4 —► 0. Ключевым параметром, ограничивающим сходимость к

теоретическому значению, опять оказался шаг пространственной дискретизации. При наименьших шагах At и Да; компоненты нормализованной скорости дрейфа в прямых расчетах были dtX/e = —1.923 и dtY/e = —29.09, т.е. отличие от теоретического значения меньше 2%. Т.о., предсказания асимпотической теории оказались в хорошем количественном соответствии с результатами прямых численных экспериментов в пределах точности этих экспериментов.

Неоднородность по частоте основных колебаний Второй рассмотренный вид неоднородности был

h = Leu. (30)

Этот вид был выбран для сравнения с недавно опубликованными результами [14], полученными другим методом, существенно использующим особенности КУГЛ. Для возмущения (30), теория дает следующее выражение для скорости дрейфа:

оо

e/[D-iF] afp dp

dtR = д(Х + iY) = eH! = --5-, (31)

/ [oF - p{o!C + aip'D) + i(aD + p(a'E + aip'F))} dp о

и нулевую поправку к частоте, Но = 0.

Скорости дрейфа в этой неоднородности, найденные по (31), показаны на рис. 11. Эти кривые неотличимы от соответствующих результатов, опубликованных в [14] (для 0 < а < 0.8). Более того, вычисления по (31) предсказывают, что Ле (#i) меняет знак при а и —0.87. Это качественное предсказание, однако, затруднительно проверить в численном эксперименте из-за Экхаузовой неустойчивости в этой области параметров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Впервые численно получены функции отклика спиральных волн в активной среде. Это сделано для комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау, которое

30 -1-.-.-.-

I 25 " р=-! ■

1 20 • -н,у

§15-

10 ■ ...........-

о

и 5 "Н1,х

>

о .............. ■......-г---- ,-

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -а

Рис. 11: Нормализованные скорости дрейфа как функции а, при /? = —1.

имеет универсальный характер и применимо для любой системы реакция-диффузия вблизи бифуркации Хопфа реакционной части.

• Показано, что функции отклика имеют локализованный характер, что служит математическим выражением известного из экспериментов безразличия спиральных волн к удаленным возмущениям, и позволяет рассматривать их как локализованные частицы, несмотря на то, что они выглядят как принципиально нелокализованные объекты.

• Исследована зависимость функций отклика от параметров среды. Показано, как приближение к особым границам в параметрическом пространстве сказывается на характере функций отклика. Эта корреляция может использоваться для предсказания новых эффектов поведения спиральных волн под воздействием малых возмущений, на основе изменения характера функций отклика.

• Проведена количественная проверка предсказаний асимптотической теории с помощью полученных функций отклика. Такая проверка проведена для двух наиболее значимых для практики эффектов: дрейфа спиральных волн вследствие неоднородности среды, понимание которого важно в связи

с проблемой стабильности сердечных аритмий, в основе которых лежат волны ри-энтри, и резонансного параметрического дрейфа, который может быть положен в основу нового метода низковольтной дефибрилляции. В обоих случаях достигнуто хорошее количественное соответствие предсказаний асимптотической теории и результатов прямых численных расчетов.

• Таким образом, на практике доказана применимость асимптотической теории дрейфа спиральных волн[10], позволяющей свести решение системы уравнений

в частных производных (1) к решению системы обыкновенных уравнений (4).

*

Разработанные численные методики могут быть использованы при нахождении функций отклика спиральных волн в других моделях, в том числе — в детальных моделях сердечной ткани.

Благодарности

Автор благодарен своим научным консультантам Э.Э. Шнолю и В.Н. Бикташеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и ряд ценных советов, и Ю.Е. Елькину за стимулирующие обсуждения. Некоторые расчеты, использованные в работе, были проведены на оборудовании любезно предоставленном A.B. Холденом.

Публикации по теме диссертации

1. I. V. Biktasheva, "Drift of spiral waves in the Complex Ginzburg-Landau Equation due to media inhomogeneities", to appear in Phys. Rev. E, 2000

2. I. V. Biktasheva, V.N.Biktashev "Response Functions of Spiral Wave Solutions of the Complex Ginzburg-Landau Equation", submitted to J. Nonlin. Math. Phys.

3. I.V. Biktasheva, Yu.E. Elkin, V.N. Biktashev "Resonant drift of spiral waves in the Complex Ginzburg-Landau Equation", J. Biol. Phys 25: 115-127, 1999

4. I.V. Biktasheva, Yu.E. Elkin, V.N. Biktashev "Resonant drift of spiral waves in the Complex Ginzburg-Landau Equation", in Nonlinear phenomena in biology, June 23-28, 1998, Institute of Cell Biophysics of R.A.S., Pushchino, Russia, p.7.

5. I.V. Biktasheva, Yu.E. Elkin, V.N. Biktashev "Localized sensitivity of spiral waves in the Complex Ginzburg-Landau Equation", Phys. Rev. E 57(3): 2656-2659, 1998

Список цитированной литературы.

[1] Агладзе К.И., Давыдов В.А. и Михайлов А.С., Письма в ЖЭТФ 45: 601-605, 1987

[2] Бикташев В.Н., канд. дисс., МФТИ , 1989

[3] Жаботинский A.M. и Заикин А.Н., в сб. Колебательные процессы в биологических и химических системах, стр. 279, Сельков Е.Е., Жаботинский A.M. и Шноль С.Э. (ред.), Наука, Пущино , 1971

[4] Давыдов В.А., Зыков B.C., Михайлов А.С. и Бражник П.К., Изв. ВУЗов -Радиофизика 31: 574-582, 1988

[5] Перцов A.M. и Ермакова Е.А., Биофизика 33: 338-342, 1988

[6] Фаст В.Г. и Перцов A.M., Биофизика 35: 478-482, 1990

[7] Alcantara F. and Monk М., J. Gen. Microbiol. 85: 321, 1974

[8] Allessie M.A., Bonk F.I.M. and Schopman F.J.G., Circ. Res. 32: 54, 1973

[9] Aranson I. S., Aranson L., Kramer K., and Weber A., Phys. Rev. A 46: R2992-2993, 1992

[10] Biktashev V.N. and Holden A.V., Chaos, Solitons and Fractals 5: 575-622,1995

[11] Gray R.A. and Jalife J., Int. J. of Bifurcation and Chaos 6: 415-435, 1996

[12] Gorelova N.A. and Bures J., J. Neurobiol. 14: 353, 1983

[13] Hagan P.S., SUM J. Appl. Math. 42: 762-7861982

[14] Hendrey M., Ott E. and Antonsen T.M., Phys. Rev. E. 61: 4943-4953, 2000

[15] Jakubith S. et al, Phys. Rev. Lett. 65: 3013, 1990

[16] Keener J.P., Physica D 31: 269-276,1988

[17] Markus M., Nagy-Ungvarai Z. and Hess B., Science 257: 225-227, 1992

[18] Wellner M., Pertsov A.M. and Jalife J., Phys. Rev. E 54: 1120-1125, 1996

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Бикташева, Ирина Владимировна

1 Введение.

1.1 Спиральные волны и их динамика.

1.2 Асимптотическая теория динамики спиральных волн.

1.2.1 Первоначальные определения

1.2.2 Конечномерная аналогия.

1.2.3 Функции отклика.

1.3 Резюме

1.4 Задачи данной работы.

2 Функции отклика спиральных волн в комплексном уравнении Гинзбурга-Ландау.

2.1 Математическая постановка задачи.

2.1.1 Задача о спиральной волне.

2.1.2 Задача о функциях отклика.

2.2 Метод решения.

2.3 Результаты.

2.4 Выводы.

3 Зависимость функций отклика от параметров.

3.1 Методы.

3.2 Результаты.

3.2.1 Существование ФО при разных параметрах.

3.2.2 Смена направления вращения спиралей

3.2.3 Делокализация ФО при больших длинах волн спирали.

3.2.4 Переход от монотонных к осциллирующим ФО.

3.2.5 Линия Экхаузовой неустойчивости.

3.3 Выводы.

4 Резонансный дрейф.

4.1 Теория явления.

4.2 Результаты.

4.3 Выводы.

5 Дрейф под влиянием неоднородности среды.

5.1 Теория явления

5.2 Результаты.

5.2.1 Неоднородность по коэффициенту нелинейной дисперсии.

5.2.2 Неоднородность по частоте основных колебаний.

5.3 Выводы.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Динамика спиральных волн: описание при помощи функций отклика"

1.1 Спиральные волны и их динамика

Большую роль в живых системах играют автоволновые процессы, при которых распространение волны поддерживается за счет распределенного в среде источника энергии. В средах, способных к проведению автоволн, возможны автоволновые вихри, также называемые спиральными волнами, вихрями риэнтри, роторами, ревербераторами и т.д., которые, в свою очередь, являются источниками автоволн. Существование спиральных волн может быть не связано с какими-либо дополнительными особенностями среды, а обусловлено лишь предысторией. Одной из наиболее важных с практической точки зрения областей изучения спиральных волн являются волны риэнтри в сердечной мышце, вызывающие опасные аритмии, в т.ч. фибрилляцию.

Гипотеза о риэнтри, т.е. круговой циркуляции возбуждения в сердечной ткани, как ключевом механизме фибрилляции сердца, восходит к началу двадцатого века [6], [7]. Первые попытки математического моделирования циркуляции возбуждения были предприняты Винером и Розенблютом [8], основываясь на "аксиоматическом" описании сердечной ткани как сети конечных автоматов. Эти исследования были продолжены и развиты советскими математиками и биофизиками [9, 10, 11], что привело к концепции спиральной волны как математического образа волн риэнтри и как элементарного механизма, лежащего в основе самоподдерживающейся асинхронной активности сердечной мышцы — фибрилляции.

Первое экспериментальное наблюдение спиральных волн было в химической возбудимой среде — реакции Белоусова-Жаботинского [12], а вскоре за этим и в сердечной ткани — в препарате желудочка сердца кролика [13]. После этого спиральные волны были наблюдены в целом ряде других активных пространственно-распределенных систем, как биологического так и не биологического происхождения: в сетчатке глаза [14], в колониях социальных микроорганизмов [15], одиночных ооцитах [16], в реакции каталитического окисления окиси углерода [17], и ржавения поверхности стали в кислоте при доступе воздуха [18], в жидкокристаллических [19] и лазерных [20] системах.

Изучению спиральных волн в сердечной ткани уделяется особенно большое внимание, поскольку это связано с надеждами на улучшение существующих и создание новых методов борьбы с порождаемыми волнами риэнтри сердечными аритмиями, включая фибрилляцию. Экспериментальные методы исследования спиральных волн в сердце неуклонно совершенствовались в течение последних десятилетий, и к настоящему времени достигли впечатляещих успехов как в плане достигаемых разрешений (миллисекунды, миллиметры и милливольты), так и в плане адекватности экспериментальных моделей. Последние экспериментальные результаты, с одной стороны, подтверждают роль риэнтри в фибрилляции, с другой — открывают все новые особенности проявления этих волн [21, 22].

Теоретическое понимание спиральных волн продвигалось, в частности, за счет успехов количественной физиологии. Цикл работ Ходжкина и Хаксли [23] показал, что феномен биологической возбудимости (в их работах объектом был гигантский аксон кальмара) может быть не только объяснен на основе понимания биофизических механизмов, но и количественно описан с впечатляющей точностью. Разработанные методики были в дальнейшем использованы для исследования и описания поведения сердечных клеток, начиная с работы Д. Нобла [24], который модифицировал уравнения Ходжкина и Хаксли для описания кинетики возбудимости клеток волокон Пуркинье, и кончая современными моделями, разработанными для разных типов сердечных клеток и включающими десятки переменных, описывающих внутри-и внеклеточные концентрации ионов, состояние ионных каналов и насосов и внутриклеточных резервуаров кальция [25, 26, 27, 28].

Другим фактором, обеспечившим лучшее понимание спиральных волн, явилось математическое исследование уравнений, описывающих сердечную ткань. Поскольку это — нелинейные уравнения в частных производных, их исследование велось прежде всего численными методами. Это позволило наработать огромный эмпирический материал как по существованию спирально-волновых решений в различных системах, более или менее точно описывающих сердечную ткань или другие автоволновые с;истемы[29, 30, 31, 32, 33, 34, 35], так и по динамике этих решений. Динамика-спиральных волн может быть условно подразделена на три вида. Первый — это "жесткая динамика" — возникновение или гибель спиральных волн в результате самопроизвольной эволюции решений или каких-либо внешних воздействий[11, 36, 37, 17, 38, 39, 40, 41, 42]. Второй — это "спонтанная" динамика — нестационарная циркуляция (меандр) спиральных волн, не связанная с внешними воздействиями и не приводящая к их гибели или рождению новых спиралей[43, 44, 45, 46, 47, 31, 48, 49, 35, -50]. Третий — это "мягкая" динамика спиральных волн — например, постепенное перемещение их центра в пространстве, связанное с их взаимодействием между собой, с неоднородностями среды или ее границами, или под влиянием слабых внешних воздействий[51, 52, 53, 54, 55, 56, 57].

По мере того, как накапливался опыт численного и физического (по преимуществу, в реакционной среде Белоусова-Жаботинского и ее модификациях) моделирования, развивались также и приближеиные (асимптотические) методы исследования спиральных волн. Некоторые методы были основаны на специфических особенностях определенных систем реакция+диффузия, как, например, "кинематический подход" [45, 58, 59, 60, 61, 62] и "метод свободной границы" [63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70], которые сводят математическую задачу о распространении волн в уравнениях в частных производных к задаче о распространении фронтов этих волн, аналогично принципу Гюйгенса в классической теории волн, с поправкой на специфические свойства автоволн. Два вышеупомянутых подхода зависят от наличия в системе определенных малых параметров, которые феноменологически выражаются, например, в малости отношения длительности фронта волны к другим характерным временам задачи.

Другое направление основывается на более фундаментальных свойствах спиральных волн и не предполагает специальных свойств системы "реакция+диффузия", кроме самых общих. Первоначально это направление развивалось для спонтанной динамики трехмерных аналогов спиральных волн, т.н. свитковых волн[71, 72, 73]. Это — теория возмущения, в которой малый параметр не предполагается в самой системе уравнений, но который определяет рассматриваемый класс решений. В теории свитковых волн малыми параметрами служили кривизна нити свитка и/или его "твист". Описываемые эффекты были, например, спрямление или же, наоборот, самопроизвольный изгиб нитей свитков. В работе [74] этот подход был применен также и для мягкой динамики спиральных волн на плоскости, где малым параметром служат интенсивность внешнего воздействия или неоднородность среды.

Все эти исследования имеют принципиальное значение для понимания эволюции рециркуляционных аритмий. Так, условия жесткого рождения спиральных волн (феномен уязвимости) помогают понять механизмы действия (или причины неудач) тех или иных антиаритмиков [75], закономерности меандра спиральных волн могут объяснить механизм такого специфического вида аритмий как 1огзайе-в,е-рот1\49], самопроизвольный изгиб нитей свитковых волн может лежать в основе развития фибрилляции[56, 42], а мягкий дрейф спиральных волн в результате слабого, но периодического внешнего воздействия с периодом, близким к собственному периоду вращения спиральной волны (т.н. резонансный параметрический дрейф[58, 76]), может быть предложен как щадящий метод подавления аритмий[77].

Данная работа посвящена дальнейшему развитию подхода [74] и представляет собой, по существу, первое прямое применение этого подхода к конкретной системе реакция+диффузия", в том числе — для конкретных задач о дрейфе спиральных волн.

Рассмотрим теорию, предложенную в [74], более подробно, чтобы ввести основные обозначения и понятия, используемые в диссертации, и поставить задачу математически. При этом мы в основном будем следовать порядку изложения и обозначениям, принятым в нашей работе [2].

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Бикташева, Ирина Владимировна

Выводы

Метод ФО показал свою работоспособность и для задачи о дрейфе спиральной волны под воздействием неоднородности среды. Это было продемонстровано для разных типов неоднородностей. Как и для резонансного дрейфа, метод ФО предоставляет вычислительно более экономный способ исследования параметров дрейфа в моделях, представляющих практический интерес, по сравнению с прямым численным экспериментом.

Показано, что метод ФО может в ряде случаев давать и качественные предсказания. Пример — описанная в этой главе смена знака коэффициента продольной скорости Н.1>х при /3 = -1 и а ^ —0.87 для неоднородности (5.3). Это явление было бы трудно заметить в прямых расчетах не только вследствие малого значения продольной скорости при разумных значениях параметров, но и по причине Экхаузовой неустойчивости спиральной волны. Используя же метод ФО, можно, зная эту начальную точку, протянуть линию Н\!Х = 0 в плоскости (а,/3) до области, где это явление было бы легче наблюдать.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

• Впервые численно получены функции отклика спиральных волн в активной среде. Это сделано для комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау, которое имеет универсальный характер и применимо для любой системы реакция-диффузия вблизи бифуркации Хопфа реакционной части.

• Показано, что функции отклика имеют локализованный характер, что служит математическим выражением известного из экспериментов безразличия спиральных волн к удаленным возмущениям, и позволяет рассматривать их динамику вследствие малых возмущений как динамику локализованных частиц, несмотря на то, что выглядят спиральные волны как принципиально нелокализованные объекты.

• Исследована зависимость функций отклика от параметров среды. Показано, как приближение к особым границам в параметрическом пространстве сказывается иа характере функций отклика. Эта корреляция может использоваться для предсказания новых эффектов в поведении спиральных волн под воздействием малых возмущений на основе изменения характера функций отклика.

• Проведена количественная проверка предсказаний асимптотической теории, полученных с использованием функций отклика, с результатами прямых численных экспериментов и результатами, полученными другими методами. Такая проверка проведена для двух наиболее значимых для практики эффектов: дрейфа спиральных волн вследствие неоднородности среды, понимание которого важно в связи с проблемой стабильности сердечных аритмий, в основе которых лежат волны ри-энтри, и резонансного параметрического дрейфа, который может быть положен в основу нового метода низковольтной дефибрилляции. Во всех случаях достигнуто хорошее количественное соответствие теоретических предсказаний и результатов прямых численных расчетов.

Таким образом, на практике доказана применимость асимптотической теории дрейфа спиральных волн[74], позволяющей свести решение системы уравнений "реакция-диффузия" в частных производных (1.1) к решению системы обыкновенных уравнений (1.8), описывающей движение ядра спиральной волны и изменение ее фазы.

Разработанные численные методики могут быть использованы при нахождении функций отклика спиральных волн в других моделях, в том числе — в детальных моделях сердечной ткани.

Благодарности

Автор благодарен своим научным консультантам Э.Э. Шнолю и В.Н. Бикташеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и ряд ценных советов, и Ю.Е. Елькину за стимулирующие обсуждения. Некоторые расчеты, использованные в работе, были проведены на оборудовании, любезно предоставленном A.B. Холденом (Leeds University, Великобритания).

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Бикташева, Ирина Владимировна, Пущино

1. I. V. Biktasheva. Drift of spiral waves in the complex Ginzburg-Landau equation due to media inhomogeneities. Phys. Rev. E, 62(6), Dec 2000. to appear.

2. I. V. Biktasheva and V.N.Biktashev. Response functions of spiral wave solutions of the complex Ginzburg-Landau equation. J. Nonlin. Math. Phys., 8 Suppl., Feb 2001. to appear.

3. I. V. Biktasheva, Y. E. Elkin, and V. N. Biktashev. Resonant drift of spiral waves in the complex Ginzburg-Landau equation. J. Biol. Phys., 25:115 127, 1999.

4. I. V. Biktasheva, Yu. E. Elkin, and V.N.Biktashev. Resonant drift of spiral waves in the Complex Ginzburg-Landau Equation. In Nonlinear Phenomena in Biology, page 7, Pushchino, Russia, Jun 1998. Institute of Cell Biophycis of R.A.S.

5. I. V. Biktasheva, Yu. E. Elkin, and V. N. Biktashev. Localized sensitivity of spiral waves in the Complex Ginzburg-Landau Equation. Phys. Rev. E, 57(3):2656-2659, 1998.

6. B. Другая цитированная литература.

7. G. R. Mines. On dynamic equilibrium in the heart. J. Physiol, 46:349-382, 1913.

8. W. E. Garey. The nature of fibrillaory contraction of the heart — its relation to tissue mass and form. Am. J. Physiol, 33:397-414, 1914.

9. И. М. Гельфанд, М. Л. Цетлин. О непрерывных моделях управляемых систем. Доклады АН СССР, 131(6):1242, 1961.

10. И. С. Балаховский. Некоторые режимы движения возбуждения в идеальной возбудимой ткани. Биофизика, 10(6):1063—1067, 1965.

11. В. И. Кринский. Фибрилляция в возбудимых средах. Проблемы Кибернетики, 2(1) :59—80, 1968.

12. А. М. Жаботинский, А. Н. Заикин. Пространственные явления в автоколебательной системе. В сб. Е.Е. Сельков, А. М. Жаботинский, С. Э. Шноль (ред.), Колебательные процессы в биологических и химических системах, стр. 279. Наука, Пущино, 1971.

13. М. A. Allessie, F. I. М. Bonk, and Schopman F.J.G. Circus movement in rabbit atrial muscle as a mechanism of tachycardia. Circ. Res., 33:54-62, 1973.

14. Gorelova N.A. and Bures J. Spiral waves of spreading depression in the isolated chicken retina. J. Neurobiol., 14:353-363, 1983.

15. Alcantara F. and Monk M. Signal propagation during aggregation in the slime mold Dictyostelium Discoideum. J. Gen. Microbiol., 85:321-334, 1974.

16. J. Lechleiter, S. Girard, E. Peralta, and D. Clapham. Spiral calcium wave propagation and annihilation in Xenopus Laevis oocytes. Science, 252(5002), 1991.

17. S. Jakubith, H. H. Rotermund, W. Engel, A. von Oertzen, and G. Ertl. Spatiotemporal concentration patterns in a surface reaction — propagating and standing waves, rotating spirals, and turbulence. Phys. Rev. Lett., 65(24):3013-3016, 1990.

18. K. Agladze and 0. Steinbock. Waves and vortices of rust on the surface of corroding steel. J. Phys. Chem., 2000. to appear.

19. T. Frisch, S. Rica, P. Coullet, and J.M. Gilli. Spiral waves in liquid crystal. Phys. Rev. Lett., 72(10):1471-1474, 1994.

20. D. J. Yu, W. P. Lu, and R. G. Harrison. Dynamic bistability and spiral waves in a laser. Journal of Optics B — Quantum and Semiclassical Optics, 1(1):25—30, 1999.

21. F. X. Witkowski, L. J. Leon, P. A. Penkoske, W. R. Giles, M. L. Spano, W. L. Ditto, and A. T. Winfree. Spatiotemporal evolution of ventricular fibrillation. Nature, 392:78-82, 1998.

22. R. A. Gray, A. M. Pertsov, and Jalife J. Spatial and temporal organization during ventricular fibrillation. Nature, 392:75-78, 1998.

23. A. L. Hodgkin and A. F. Huxley. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol., 117, 1952.

24. D. Noble. A modification of the Hodgkin-Huxley equations applicable to Purkinje fibre action and pace-maker potentials. J.Physiol, 160:317-352, 1962.

25. D. Noble. Oxsoft HEART Version 3.8 manual. Oxsoft, Oxford, 1990.

26. D. Noble, A. Varghese, P. Kohl, and P. Noble. Improved guinea pig ventricular cell model incorporating a diadic space, IKr and IKs, and length and tension dependent processes. Can J. Cardiol, 14:123-34, 1998.

27. C. H. Luo and Y Rudy. A dynamic model of the cardiac ventricular action-potential.

28. Circulation Research, 74(6): 1071-1096, 1097-1113, 1994.

29. A. Nygren, C. Fiset, L. Firek, J.W. Clark, D.S. Lindblad, R.B. Clark, and W.R. Giles. Mathematical model of an adult human atrial cell, the role of K+ currents in repolarization. Circ. Res., 82:63-81, 1998.

30. А. М. Перцов, А. В. Панфилов. Спиральные волны в активных средах. Ревербератор в системе ФитцХъю-Нагумо, стр. 77-84. ИПФ, Горький, 1981.

31. P. S. Hagan. Spiral waves iri reaction-diffusion equations. SIAM J. Appl. Math., 42:762-786, 1982.

32. A. T. Winfree. Varieties of spiral wave behavior in excitable media. Chaos, 1(3):303-334, 1991.

33. M. Courtemanche and A. T. Winfree. Re-entrant rotating waves in a Beeler-Reuter based model of two-dimensional cardiac conduction. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1:431-444, 1991.

34. V. I. Krinsky and I. R. Efimov. Vortices with linear cores in mathematical-models of excitable media. Physica A, 188(l-3):55-60, 1992.

35. V. N. Biktashev and A. V. Holden. Control of re-entrant activity in a model of mammalian atrial tissue. Proc. Roy. Soc. bond. ser. B, 260:211 217, 1995.

36. V. N. Biktashev and A. V. Holden. Re-entrant activity and its control in a model of mammalian ventricular tissue. Proc. Roy. Soc. bond. ser. B, 263:1373-1382, 1996.

37. Y. Kuramoto and S. Koga. Turbulized rotating chemical waves. Prog. Theor. Phys., 66:1081-1085, 1981.

38. V. I. Krinsky, A. M. Pertsov, and V.N. Biktashev. Autowave approaches to cessation of reentrant arrhythmias. Ann. N. Y. Acad. Sci., 591:232-246, 1990.

39. V. Krinsky, A. Pertsov, V. Fast, and V. Biktashev. A study of the autowave mechanisms of cardiac arrhythmias. In A. V. Holden, M. Markus, and H. G. Othmer, editors, Nonlinear Wave Processes in Excitable Media, pages 5-13. Plenum Press, New York, 1991.

40. A. V. Panfilov and A. V. Holden. Spatio-temporal irregularity in a two-dimensional model of cardiac tissue. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1:219-225, 1991.

41. V. N. Biktashev. A three-dimensional autowave turbulence. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 8(4):677-684, 1998.

42. A. F. M. Marée and A. V. Panfilov. Spiral breakup in excitable tissue due to lateral instability. Phys. Rev. Lett., 78(9):1819 1822, 1997.

43. F. Fenton and A. Karma. Fiber rotation induced vortex turbulence in thick myocardium. Phys. Rev. Lett., 81(2):481-484, 1998.

44. O.E. Rossler and C. Kahlert. Winfree meandering in a 2-dimensional 2-variable excitable medium. Z. Naturforsch., 34:565-570, 1979.

45. В. С. Зыков. Циклоидная циркуляция спиральных волн в возбудимой среде. Биофизика, 31(5):862-865, 1986.

46. В. С. Зыков. Кинематика нестационарной циркуляции спиральных волн в возбудимой среде. Биофизика, 32(2):337~334, 1987.

47. D. Barkley, M. Kness, and L. S. Tuckerman. Spiral-wave dynamics in a simple-model of excitable media the transition from simple to compound rotation. Physical Review A, 42(4):2489-2492, 1990.

48. A. Karma. Meandering transition in two-dimensional excitable media. Phys. Rev. Lett., 65:2824-2827, 1990.

49. W. Jahnke and A. T. Winfree. A survey of spiral wave behavior in the oregonator model. Int. J. of Bifurcation and Chaos, l(2):445-466, 1991.

50. C. F. Starmer and J. Starobin. Spiral tip movement: The role of the action potential wavelength in polymorphic cardiac arrhythmias. Int. J. Bifurcation and Chaos, 6(10) : 1909—1923, 1996.

51. V. N. Biktashev and A. V. Holden. Deterministic Brownian motion in the hypermeander of spiral waves. Physica D, 116(3-4):342-354, 1998.

52. Е. А. Ермакова, А. М. Перцов. Взаимодействие вращающихся спиральных волн с границей. Биофизика, 31:855-861, 1986.

53. Е. А. Ермакова, А. М. Перцов, Э. Э. Шноль. Пары взаимодействующих вихрей в двумерных активных средах, препринт ОНТИ НЦБИ, 1987.

54. А. М. Перцов, Е. А. Ермакова. Механизм дрейфа спиральной волны в неоднородной среде. Биофтзика, 33:338-342, 1988.

55. Е. A. Ermakova, А. М. Pertsov, and Е. Е. Shnol. On the interaction of vortices in two-dimensional active media. Physica, D, 40:185-195, 1989.

56. В. H. Бикташев. Эволюция вихрей в активных средах. Дисс. к.ф.-м.н., МФТИ, 1989.

57. V. N. Biktashev. A three-dimensional autowave turbulence. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 8(4):677-684, 1998.

58. Ott E. Hendrey M. and Antonsen T.M. Spiral wave dynamics in oscillatory inhomo-geneous media. Phys. Rev. E., 61:4943-4953, 2000.

59. В. А. Давыдов, В. С. Зыков, А. С. Михайлов, П. К. Бражник. Дрейф и резонанс спиральных воли в активной среде. Изв. ВУЗов Радиофизика, 31:574-582, 1988.

60. V. A. Davydov, A. S. Mikhailov, and V. S. Zykov. Kinematical theory of autowave patterns in excitable media. In A. Crighton and Yu.Engelbricht, editors, Nonlinear Waves in Active Media, pages 38-51, Berlin, 1989. Springer Verlag.

61. В. А. Давыдов, В. С. Зыков, А. С. Михайлов. Кинематика автоволновых структур в возбудимых средах. УФН, 161:45-85, 1991.

62. A. S. Mikhailov, V. A. Davydov, and V. S. Zykov. Complex dynamics of spiral wavesand motion of curves. Physica D,. 70:1-39, 1994.

63. Y. E. Elkin and V. N. Biktashev. Drift of large-core spiral waves in inhomogeneous excitable media. J. Biol. Phys., 25(2):129-147, 1999.

64. P. C. Fife. Singular perturbation and wave front techniques in reaction-diffusion problems. SIAM-AMS Proceedings, 10:23-50, 1976.

65. J. J. Tyson and J. P. Keener. Singular perturbation theory of traveling waves in excitable media (a review). Physica D, 32:327-361, 1988.

66. A. Karma. Universal limit of spiral wave propagation in excitable media. Phys. Rev. Lett., 66:2274-2277, 1991.

67. P. Pelce and J. Sun. Wave front interaction in steadily rotating spirals. Physica D, 48:353-366, 1991.

68. I. Aranson, D. Kessler, and I. Mitkov. Drift of spiral waves in excitable media. Physica D, 85:142-155, 1995.

69. D. A. Kessler and R. Kupferman. Spirals in excitable media: the free-boundary limit with diffusion. Physica D, 97:509-516, 1996.

70. V. Hakim and A. Karma. Spiral wave meander in excitable media: the large core limit. Phys. Rev. Lett., 79:665-668, 1997.

71. V. Hakim and A. Karma. Theory of spiral wave dynamics in weakly excitable media: Asymptotic reduction to a kinematic model and applications. Phys. Rev. E, 60(5):5073-5105, 1999.

72. L. Yakushevich. Vortex filament elasticity in active medium. Studio, Biophysica, 100(3): 195—200, 1984.

73. Keener J.P. The dynamics of 3-dimensional scroll waves in excitable media. Physica D, 31(2):269-276, 1988.

74. V. N. Biktashev. Evolution of twist of an autowave vortex. Physica D, 36(2): 167-172, 1989.

75. Biktashev V.N. and Holden A.V. Resonant drift of autowave vortices in 2d and the effects of boundaries and inhomogeneities. Chaos, Solitons and Fractals, 5:575-622, 1995.

76. К. И. Агладзе, В.А. Давыдов, А.С. Михайлов. Наблюдение резонанса спиральных волн в возбудимой распределенной среде. Письма в ЖЭТФ, 45(12):601—605, 1987.

77. V. N. Biktashev and А. V. Holden. Design principles of a low-voltage cardiac defibrillator based on the effect of feed-back resonant drift. J. Theor. Biol, 169(2):101—113,1994.

78. I. S. Aranson, L. Aranson, K. Kramer, and Weber A. Stability limits of spirals and travelling waves in nonequilibrium media. Phys. Rev. A, 46(6):R2992-2993, 1992.

79. О. А. Морнев, А. В. Панфилов, P. P. Алиев. Система уравнений ФитцХью-Нагумо — градиентная система. Биофизика, 37(1): 123-125, 1992.

80. J. М. Greenberg. Spiral waves for A со systems. SI AM J. Appl Math., 39:301-309, 1980.

81. A.V. Holden. Defibrillation in models of cardiac muscle. J. Theoretical Medicine, 1:91-102, 1997.

82. Pertsov A.M. Wellner M. and Jalife J. Spatial Doppler anomaly in an excitable medium. Phys. Rev. E, 54:1120-1125, 1996.

83. Фаст В.Г., Перцов A.M. Дрейф вихря в миокарде. Биофизика, 35:478-482, 1990.

84. J. М. Davidenko, А. М. Pertsov, R. Salamonsz, W. Baxter, and J. Jalife. Stationary and drifting spiral waves of excitation in isolated cardiac tissue. Nature, 335:349-351, 1992.

85. Nagy-Ungvarai Z. Markus M. and Hess B. Phototaxis of spiral waves. Science, 257:225-227, 1992.

86. M. Я. Маров, А. В. Колесниченко. Введение в планетную аэрономию, стр. 341353. Наука, Москва, 1987.