Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Динамические неустойчивости в кинетике роста и деполимеризации тубулиновых микротрубочек

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Динамические неустойчивости в кинетике роста и деполимеризации тубулиновых микротрубочек"

на правах рукописи УДК 577.31

ООЗОБЭ727

Катруха Евгений Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В КИНЕТИКЕ РОСТА И ДЕПОЛИМЕРИЗАЦИИ ТУБУЛИНОВЫХ МИКРОТРУБОЧЕК

03 00 02 - биофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2007

003069727

Диссертация выполнена в Гематологическом научном центре РАМН и на кафедре физики живых систем Московского физико-технического института (ГУ)

Научный руководитель:

Гурия Георгий Теодорович, доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

Полежаев Андрей Александрович, доктор физико-математических наук

Воробьев Иван Андреевич,

доктор биологических наук, профессор

Ведущая организация:

Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН (г Пущино)

Защита состоится « 24 » мая 2007 года в 10°° часов в ауд 204 НК МФТИ на заседании диссертационного совета К 212 156 03 в Московском физико-техническом институте по адресу 141700, Московская обл, г Долгопрудный, Институтский пер 9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ

Автореферат разослан « а! » апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Брагин В Е

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования Тубулиновые микротрубочки (наряду с актиновыми и промежуточными филаментами) являются основными компонентами цитоскелета эукариотических клеток По существующим представлениям динамические нестабильности в кинетике роста и деполимеризации микротрубочек лежат в основе крупномасштабных трансформаций цитоскелета, свойственных процессам пролиферации, дифференцировки и миграции клеток в норме и патологии1

В частности, крупномасштабные пространственно-временные трансформации цитоскелета наблюдаются на стадии деления клеток В этой связи большое значение приобретает вопрос о том, в какой мере процессы деления атипичных и/или трансформированных клеток обуславливаются условиями возникновения и особенностями развития динамических неустойчивостей микротрубочек2

С момента открытия самого явления динамической нестабильности микротрубочек в 1984 году, накоплен обширный экспериментальный материал и предложено несколько теоретических моделей явления Проведенный в работе анализ имеющихся данных и теоретических подходов показал, что динамические неустойчивости, свойственные отдельным микротрубочкам и их ансамблям, перспективно изучать в свете современной теории критических явлений и неравновесных структур3

Целью настоящей работы являлось нахождение необходимых и достаточных условий параметрической дестабилизации микротрубочек, выяснение кинетических механизмов регуляции динамических нестабильностей при росте и деполимеризации микротрубочек

В работе решались следующие задачи

1 Методами стохастического анализа выяснить условия развития структурных неустойчивостей, сопровождающихся деполимеризацией или фрагментацией микротрубочек

2 Построить кинетическую модель процессов сорбции молекул тубулина на плюс-концы микротрубочек из раствора (десорбции в раствор)

3 Выяснить условия потери устойчивости стационарных распределений микротрубочек по длинам Построить диаграммы состояния, позволяющие определять характер динамики микротрубочек при различных значениях параметров системы

4 Исследовать механизмы формирования концентрационных колебаний и волн тубулина, ассоциированных с крупномасштабными трансформациями цитоскелета

5 Проанализировать сочетанное действие биохимических агентов различных типов на смену динамических режимов, свойственных тубулиновым волокнам

Научная новизна Развит последовательный физико-математический подход к описанию катастроф в динамике микротрубочек Наблюдаемые экспериментально катастрофы трактуются, как результат развития процессов нелинейного взаимодействия

1 Jordan M А, Wilson L , Nat Rev Cancer 2004 V 4 P 253-265,Watanabe T et al, Trends Ceil Biol 2005 V 15 P 76-83

2 Scholey J M et al, Nature 2003 V 422 P 746-752 , Канцерогенез, M Медицина 2004 576С , Honore S et al, Cell Mol Life Sei V 62 2005 P 3039-3056

3 Haken H, Synergetics Springer, 1977, Николис Г, Пригожин И, Самоорганизация в неравновесных системах M Мир 1979, Эбелинг В , Образование структур при необратимых процессах M Мир 1979

структурных дефектов при их кластеризации в микротрубочках При этом структурные катастрофы и эффекты фрагментации микротрубочек, подобно тому, как это имеет место в физике фазовых переходов первого рода, описываются в рамках феноменологических кинетических уравнений Использование численных методов и компьютерных алгоритмов так называемой теории клеточных автоматов дало возможность довести результаты расчетов до стадий, допускающих прямое сопоставление с данными экспериментов

Впервые удалось с единых позиций объяснить целый ряд нетривиальных эффектов, характерных для динамики микротрубочек степенную зависимость частоты катастроф от скорости роста микротрубочек, дробно-линейную зависимость времени задержки деполимеризации микротрубочек от величины их длины и концентрации тубулина в растворе и т д

Впервые исследована обусловленность динамических нестабильностей роста и деполимеризации микротрубочек неустойчивостями кинетических процессов сорбции молекул тубулина из раствора (и десорбции с плюс-концов микротрубочек в раствор) При этом содержащая микротрубочки реконструированная система трактовалась, как существенно двуфазная. состоящая из реакционно-диффузионной части и собственно микротрубочек (тубулиновых волокон), выступающих в качестве конденсированной фазы Последняя характеризуется наличием черт дальнего порядка в пространственном упорядочении составляющих микротр) бочку элементов (тубулиновых димеров), свойственных твердым телам

Впервые не постулированы, а исследованы условия потери устойчивости этой двуфазной системы Показано, что в рассмотренной системе при приближении к критическим условиям имеет место увеличение радиуса пространственно-временных корреляций Концентрационные флуктуации в растворной части системы трансформируются в автоволны конечной амплитуды, управляющие крупномасштабными трепетаниями микротрубочек

Впервые построена параметрическая диаграмма состояния, на которой отображены границы областей устойчивости, отвечающие стационарным и нестационарным режимам поведения системы На основе диаграммы состояния дана классификация воздействий цитостатическими агентами на тубулиновые микротрубочки Выделено четыре основных класса воздействий Построена таблица, отражающая наличие эффектов взаимного усиления/ослабления действия цитостатических агентов при совместном применении агентов различных классов

Научпо-практнческое значение Полученные в работе результаты имеют важное значение для поиска эффективных режимов управления крупномасштабной трансформацией цитоскелета на ключевых стадиях клеточного цикла Основные направления практического использования результатов таковы

• построенная диаграмма состояний микротрубочек позволяет уже на стадии проектирования экспериментов in vitro целенаправленно проводить подбор необходимых параметров (концентрации тубулина, ГТФ, ГДФ), соответствующих искомому динамическому режиму системы микротрубочки-раствор,

• установленный характер сочетаемости одновременного воздействия биохимических агентов и цитостатических препаратов различных классов открыл принципиально

новую возможность для поиска путей снижения побочного токсического действия Открылась возможность для целенаправленного поиска и. разработки комплексных противоопухолевых препаратов, обладающих совместным (синергетическим) эффектом действия входящих в их состав компонентов

Апробацпя работы Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах в лаборатории криобиофизики клеток крови ГНЦ РАМН, в лаборатории клеточной подвижности ИФХБ им А Н Белозерского МГУ, в лаборатории биоэлектрохимии Института электрохимии им А Н Фрумкина РАН, были представлены на конференциях 13-ой Научной школе «Нелинейные волны-2006» (Нижний Новгород, 2006), 9-ой международной конференции по теории нуклеации и ее приложениям (ОИЯИ, Дубна, 2005), 48-ой научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2005), международной биофизической конференции "Динамика биологических систем от молекул к сетям" (Крогеруп Ходжскол, Дания, 2002)

Публикации За время работы над диссертацией опубликовано 1 статья в реферируемом научном журнале, развернутый обзор в трудах конференции «Нелинейные волны-2006» и 7 тезисов докладов, представленных на российских и международных научных конференциях

Объем и структура диссертации Представченная работа состоит из введения, четырех глав, включая главу 1, обзор литературы, заключения, выводов, списка литературы, содержащего 213 отечественных и зарубежных источников, а также двух математических приложений Первое приложение включает в себя описание использованной в работе блок-схемы алгоритма клеточных автоматов Во втором приложении содержится подробное описание процедур дискретизации кинетических уравнений, вспомогательные формулы и преобразования, использованные при реализации компьютерных вычислительных процедур Общий объем работы составляет 124 страницы машинописного текста, содержащего 7 таблиц и 20 рисунков

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Обзор литературы

Данная глава содержит обзор литературы, в котором кратко излагается физиологическая роль микротрубочек, история их изучения, описывается текущее состояние и основные направления теоретических исследований динамики микротрубочек На основании изучения накопленного к настоящему времени экспериментального материала и трудностей его интерпретации делается вывод о том, что в настоящее время нестабильности в динамике микротрубочек и их возможная природа продолжают активно обсуждаться К числу активно дискутируемых вопросов относятся

■ природа пороговых эффектов роста микротрубочки, проявляющихся при изменении концентрации тубулина в растворе,

■ возможное влияние на стабильность микротрубочки гидролиза ассоциированной с тубулином молекулы ГТФ, происходящего после присоединения тубулина к микротрубочке (гипотеза ГТФ-крышки),

■ обусловленность нестабильностей роста микротрубочек накоплением микродефектов в структуре,

■ степень влияния концентрационных градиентов молекул тубулина в растворе на условия роста и деполимеризации микротрубочек

Представленные в литературе теоретические подходы сводятся к аксиоматическому построению феноменологических математических моделей ad hoc, по каждой из вышеперечисленных проблем Однако, на основании имеющихся в литературе данных и выдвинутых гипотез до сих пор исследователям не удалось сделать окончательный вывод о том, обуславливаются ли динамические нестабильности преимущественно внутренними -структурными или же внешними - кинетическими причинами Для выяснения условий, при которых определяющую роль в развитии динамической нестабильности микротрубочек играют структурные (внутренние) неустойчивое га или же внешние (обусловленные реакционно-диффузионными процессами в растворе), в литературном обзоре дан анализ всех основных эффектов и феноменов с кинетической точки зрения Путем сопоставления характерных масштабов времен процессов сорбции (десорбции) тубулина на плюс-концы (tdep), времени восстановления связапных с тубулином молекул ГТФ из ГДФ тге5 и характерного времени диффузии тубулина в расгворе id удалось выделить диапазоны условий, в которых должны иметь место представляющие наибольший интерес предельные случаи

Кинетический подход к анализу данных позволил не только сгруппировать и расклассифицировать опубликованные в печати работы (точки зрения), но и выявить лакуны в существующих подходах В рамках настоящей диссертационной работы ставилась цель по мере возможностей заполнить эти пробелы Предпринята попытка построения физико-математического подхода, позволяющего трактовать вышеперечисленные проблемы единообразно, с позиций теории неравновесных систем Во второй главе основное внимание уделяется анализу внутренних структурных факторов динамических нестабильностей В последующих главах внимание концентрируется на эффектах, связанных с процессами сорбции (десорбции) тубулина из раствора

Гчава 2. Структурно-кинетические механизмы динамических неуетойчивостей микротрубочек

Глава состоит из трех разделов В первом разделе формулируются основные положения, используемые в дальнейшем Согласно эти положениям, рост микротрубочки начинается с сорбции тубулиновых димеров из раствора на нуклеационную затравку4 (см рис 1) Процессы сорбции и десорбции молекул тубулина происходят постоянно В случае, когда отсоединение тубулинового димера происходит непосредственно из области микротрубочки, прилегающей к плюс-концу, вакансия образуется на краю микротрубочки Если же димер деабсорбируется не с края микротрубочки, а из того или иного ее внутреннего участка, то вакансия (дефект структуры - «дырка») образуется на покидаемом димером месте Вероятность образования нового дефекта на месте конкретного димера полагается тем выше, чем меньшее количество связей с соседними димерами удерживает его в стенке, то есть чем большее количество вакансий находится в его непосредственном

4 По современньм представлениям, в качестве затравки выступают белковые комплексы, состоящие из у-формы тубулина, входящие в состав центросом [Jobs D et al, Curr Opin Cell Biol,2003 V 15,P 111-117]

окружении Иными словами, мы исходим из того, что процесс возникновения дефектов в структуре микротрубочки содержит в себе элементы положительной обратной связи

Полагается, что вакансии (дырки) способны стохастически перемещаться вдоль волокна, подобно движению дефектов в кристаллах5 Смещение дырки на одну позицию влево соответствует «перескоку» левой от вакансии молекулы вправо, на свободное место (см рис 1) Вероятность передвижения дырки в разные стороны не одинакова, она зависит от положения в данный момент других дырок

О

| плюс-конец

нукле адиошгая "затравка"

ef/ri.у /, 7,.:/ч.'х \i, %

образование сорбция

и смещение дефектов

Рис 1. Основные кинетические процессы, происходящие в микротрубочке Использован измененный рисунок из работы [Зетепоу М V, I йеог Вт1 1996 V 179, Р 91-117]

Согласно принимаемым в данной работе предположениям динамические нестабильности могут происходить вследствие кластеризации структурных дефектов в микротрубочках6 При этом такого рода критические кластеры могут возникать как в окрестности плюс-конца, так и в теле микротрубочки Размер критического кластера Яс определяется кинетическими параметрами, характеризующими процессы рождения, гибели и миграции вакансий в микротрубочке

Переходы микротрубочек от роста к деполимеризации могут происходить по двум основным механизмам Согласно первому механизму, если в каком-то месте микротрубочки вакансии образуют перколяционный кластер, такой, что его характерный размер 11с сопоставим с диаметром микротрубочки, в системе происходит «поперечная» перколяция Это приведет к отсоединению от микротрубочки целого ее фрагмента, расположенного между дырочным кластером и плюс-концом Тем самым, в таких ситуациях мы имеем дело с фрагментацией микротрубочек, как формой ее крупноблочной деполимеризации

Согласно второму механизму, достигнув в некоторый момент критического среднего «разрыхления»7, вся микротрубочка приобретет способность пороговым образом утрачивать устойчивость, ках целое При дальнейшем увеличении степени разрыхления с какого-то момента микротрубочка окажется в абсолютно неустойчивом состоянии Для запуска стремительной деполимеризации достаточно любой сколь угодно малой флуктуации Характерный размер перколяционного кластера 11с при этом сопоставим с длиной микротрубочки Результатом потери устойчивости при этом является «объемное вскипание»

5 Френкель Я И Кинетическая теория жидкостей 1945 M-JI АН СССР, Гегузин Я И Живой кристалл 1981 М Наука

6 Nucleation theory and applications edited by J W P Schmelzer, G Röpke, V R Pnezzhev 1999 JINR Dubna

7 Под средним «разрыхлением» структуры мы здесь и далее понимаем отношение общего числа вакансий к числу тубулиновых димеров в микротрубочке

(или «расплетание» филаментов), которое будет продолжаться до тех пор, пока отношение числа дефектов к общему числу тубулиновых димеров в микротрубочке не уменьшится до подпорогового уровня Резкое уменьшение длины микротрубочки воспринимается, как проявление динамической нестабильности процесса роста Таким образом, необходимым и достаточным условием катастрофы по второму сценарию является превышение средним разрыхлением микротрубочки определенного критического уровня

Проходит ли динамическая нестабильность микротрубочек по тому или иному механизму, зависит от значения кинетических параметров, определяющих вероятности основных элементарных случайных событий, таких, как рождение вакансий, перемещение вакансий по структуре микротрубочки и т д

Вычислительные эксперименты Дчя того, чтобы исследовать >словия и характер параметрической неустойчивости микротрубочек, использовались вычислительные эксперименты Моделирование коллективной динамики дефектов структуры микротрубочки и процессов их кластеризации проводилось при помощи методов современной теории клеточных автоматов, развитых в свете идей о кинетической природе эффектов «старения», проявляющихся при растрескивании и разрушении материалов

Как известно, кинетические константы переходов структурных дефектов с места на место, представляют собой произведение Аррениусовского (энергетического) члена на так называемый предэкспоненциальньш множитель

где ко определяется, главным образом, ориентационными стоткновительными, то есть энтропийными эффектами

Компьютерные вычислительные эксперименты, в ходе которых изучались кинетические параметры ансамблей вакансий во время роста тубулинового волокна, показали, что если вероятность перехода определяется энергетическими факторами, то прослеживается тенденция к образованию дырочных кластеров В этом случае развитие событий, как правило, происходило по первому из вышеописанных механизмов (фрагментация) Если же с большим весом входил энтропийный член, дырки распределялись по длине микротрубочки более равномерно, и развитие катастроф происходило по второму из описанных ранее механизмов (объемное вскипание)

(2 1)

кТ ГбЧ

(2 2)

ЕушщН Юют РЬуэ 1935 УЗ Р 107-115

О 1000 2000 31ХВ ■WOi

Рвзмгр ОТСОедшЕНЮЩИХСИ фрнгмнггив (ют. ноль)

Рис.2, Характерная зависимость частоты катастроф от величины депо ли меризующегос я фрагмента микрогр> бочки.

Щ отдельном подразделе данной главы исследовалась зависимость частоты катастроф от числа тубулиновых димеров во фрагментах, отсоединяющихся от ми кро-трубочки. Типичный вид этой зависимости удалось найти в результате численных

■экспериментов (см. рис.2).

Отчетливо выделяются дна пика (докальных максимума). Первый пик имеет место в области фрагментов небольшого размера. Соответствующие катастрофы развиваются преимущественно по первому из вышеописанных

~ --* ' " механизмов. Второй, более

широкий пик', отражает катастрофы, в ходе которых динамические нестабильности развиваются согласно второму из нукяеационных механизмов. Форма второго пика может быть аппроксимирована функцией:

/= А*ехр {-(М-М')!/2<г} (2.3)

где / - частота катастроф, при которых происходит отделение фрагмента, содержащего M тубулиновых димеров.

Отмстим, что вид агшроксимационпой зависимости (2.3) сохранялся при варьировании микроскопических параметров рассматриваемой модели в достаточно широких пределах. Степень соответствия результатов теоретических расчетов и экспериментальных данных

показана на рис.3.

« Феноменологии е екая "огрубленная" модель». В данном разделе построена простая феноменологическая модель, способная пол укол и чесг вен но описывать вероятность развития динамической нестабильности в микротрубочках, Приведенные в предыдущем разделе результаты численного моделирования, основанные на учете стохастических микрособытий, присущих кинетике дефектов п структуре микротрубочек, в ряде случаев позволяют выделять процессы и явления в динамике микротрубочек, которые поддаются интерпретации

\i s

È

as 1С 4.» S.» 55 Скорость роста (mkm/muii)

Рис.3. Зависимость частоты катастроф от скорости роста микротрубочек. Экспериментальные данные приводятся по работе [Walker R.A. е! al., J .Cell, Biol, 1988. V. 107, P. 1437-1448.].

в терминах статистически усредненных переменных, таких, как скорость роста микротрубочки, частота катастроф, размер фрагмента и т д Это послужило основанием для развития подхода, позволяющего трактовать спектры крупномасштабных катастроф9 в динамике микротрубочек, не выходя за рамки достаточно общих феноменологических предположений

В рамках этого подхода поведение ансамбля микротрубочек характеризовалось двумя основными параметрами усредненной по ансамбтю и по времени скоростью роста микротрубочек и числом катастроф за единицу времени Относительно динамики микротрубочки делались следующие допущения

— скорость роста микротрубочек линейно зависял от концентрации свободного тубулина в растворе,

— в стенках микротрубочки могут существовать микронеоднородпости - своеобразные дефекты,

— вероятность образования нового дефекта в микротрубочке тем выше, чем большее число дефектов в ней уже имеется

В соответствии со сделанными допущениями, рост микротрубочки описывался уравнением

^ = ksTu"k< (2 4)

13

где N =—L [шт димеров] - чисто димеров в микротрубочке (L - [мкм] ее длина, I = 8 нч -

характерный размер тубулинового димера), Ти [мкМ] - концентрация свободного тубулина в растворе ке [мкМ"'мин'] - константа скорости реакции полимеризации и kd [мин '] -константа скорости реакции десорбции, не зависящая от концентрации тубулина в растворе Уравнение, описывающее накопление дефектов, имеет вид

®=kap+kmD (2 5)

где D [шт ] - число дефектов в микротрубочке Первый член в правой части уравнения (2 5) - к^, описывает среднее число дефектов, спонтанно образующихся в растущей микротрубочке за единицу времени как в ее объеме, так и на растущем конце Второй член -kmD отображает наличие кооперагивности в образовании дефектов

Полагалось, что потеря устойчивости представляет собой событие, наступающее с вероятностью единица, когда отношение числа дефектов к числу составляющих микротрубочку тубулиновых димеров превышает некоторое критическое, предельно допустимое значение аст Соответствующее критическое условие имеет вид

^ = (2 6) N(t )

где t = t - момент катастрофы (момент достижения критического условия)

9 То есть «огрубленная» модель представляется эффективной, условно говоря, применительно к крупноблочным катастрофам, происходящим по второму механизму

Полагается, что катастрофы рассматриваемого типа влекут за собой полную деполимеризацию микротрубочек Вероятность так называемого события «спасения»10 в рамках «огрубленной» модели считается нами пренебрежимо малой В качестве начального выбирается момент, когда рост микротрубочки стартует с затравки, т е М(0)=Мо=0, Б(0)=0о=0 Уравнения (2 4-2 6) разрешимы аналитически Анализ показал, что уравнение (2 6) имеет лишь тривиальное решение (1*=0), если концентрация свободного тубулина в растворе ниже порогового уровня

Ти<ТиА (2 7)

где критическая концентрация свободного тубулина Ти"1 определяется выражением Ти"1 = (1 + 77)Ти" (т7 = кар/(асгк(1), Ти*=к(,/к1) При выполнении условия (2 7) макроскопический рост микротрубочек невозможен, деполимеризация доминирует

Если же выполняется условие Ти > Тил, то всегда существует как минимум два решения, причем ненулевое соответствует наличию в рассматриваемой системе режимов, которым свойственны катастрофы, периодически повторяющиеся с характерной частотой / = Ш* Было установлено, что зависимость между частотой катастроф и концентрацией свободного тубулина в растворе дается уравнением

^ = |ехр

/

-1

Ти/ /Ти

(2 8)

Соотношение (2 8) в неявном виде задает теоретическую зависимость средней частоты катастроф / как функции концентрации свободного тубулина (см рис 4) Построенные в соответствии с (2 8) зависимости были сопоставлены с данными, полученными в независимых экспериментах рядом авторов" 12 (см рис 4) В развитом в данном разделе подходе формально имеется всего один истинный параметр задачи - т/ Его численное значения определялось путем сопоставления теоретических кривых и экспериментальных данных Отвечающие оптимальному значению т] численные значения прочих параметров представлены в таблице 1

Таблица 1 Оценка параметров модели из результатов применения фиттинга теоретической зависимости к экспериментальным данным

Литературный источник Пороговая скорость (мкм/чин) V kra x 10 2 (mkm MKM"1 С ')

Walker etal, 1988 12 2 02 + 0 15 29 61 ± 3 25 2 43 ± 0 75

Drechsel et al, 1992 11 0 28±0 10 6 15 + 1 37 1 77 ± 0 31

Представленные на рис 4 резучьтаты свидетельствуют о наличии качественного согласия между теоретическими кривыми и экспериментальными данными

10 Событие спасения (rescue event) - переход микротрубочки от стадии деполимеризации к

стадии роста, в случае, если деполимеризация прошла не полностью "DrechselDN et al, Mol Biol Cell 1992 V 3, P 1141-1154

12 Walker R A et al, J Cell Biol, 1988 V 107, P 1437-1448

■& о» ■&

о

е. ал

N

U

Л

н 04

04 OS 08 10

Скорость роста (мкм/мин)

» 10 и 12 11 14 15 Концентрация тубулина (мкМ)

Рис.4. Частота катастроф, как функция скорости роста (а) и концентрации тубулина (Ь) Кривые построены в соответствии с уравнением 2 8 Экспериментальные точки взяты из работ Drechsel et al 1992 " (а) и Walker etal 1988 12 (b)

Уравнение (2 8) в предельном случае, когда т = k Jf «1, принимает вид к„ 1

/ =

(2 9)

Исходя из вида зависимости (2 9), удалось получить оценку максимального времени между вымыванием тубулина из раствора13 и катастрофой После несложных преобразований получается выражение

t„

1 Г Ти* | Ти ' k„ I 2Ти + 2Tu'h

(2 10)

где Ти обозначает концентрацию тубулина до момента начала вымывания После усреднения по всем концентрациям, для средней величины ожидания деполимеризации потучаем значение <1тах> = 24с, что находится в согласии с данными эксперимента

Таким образом, с помощью «огрубленной» модечи удалось объяснить, почему превышение концентрацией тубулина в растворе порогового уровня является необходимым условием развития динамических нестабильностей в микротрубочках Стоит также заметить, что степенные зависимости вида (2 9) характерны для круга процессов фрагментации'4 и самоорганизованной критичности15

Глава 3 Кинетические механизмы регуляции динамики мнкротрубочек

В данной главе излагается физико-математический подход к описанию взаимодействия микротрубочек с реагентами в окружающем растворе При этом ставится цель проследить влияние диффузионно лимитированных процессов в растворе на условия формирования динамических неустойчивостей в процессах роста и деполимеризации микротрубочек

Полагается, что ключевую роль в кинетике роста и деполимеризации микротрубочек играют следующие реакции

13 Скачкообразным снижением концентрации тубулина в растворе Walker R A et al, J Cell Biol 1991V 107, P 1437-1448

14 Колмогоров A H (1941) ДАН СССР, T XXXI, Вып 2, С 99-101

I5BakP (1996) How nature works Copernicus Press, New York

Ти-ГДФ + ГТФ Ти-ГТФ + ГДФ (3 1)

МТ„ + Ти-ГТФ —МТп+1 (3 2)

МТ„ —МТп-1 + Ти-ГДФ (3 3)

где МТп обозначает микротрубочку, содержащую п молекул тубулина, Ти-ГТФ и Ти-ГДФ обозначают растворенный тубулин, связанный соответственно с молекулами ГТФ и ГДФ В ходе реакции с константой скорости к; в растворе происходит обмен связанной с тубулином молекулы ГДФ на молекулу ГТФ Обратная реакция характеризуется константой скорости к I Реакция (3 2) описывает удлинение микротрубочки при полимеризации тубулина Реакция (3 3) соответствует деполимеризации, при которой из микротрубочек высвобождается тубулин, связанный с молекулой ГДФ Предполагается, что молекулы тубулина способны диффундировать в растворе

Полагается, что миграция плюс-концов, в сипу жесткости микротрубочки, происходит радиально, от центра к периферии клетки Система кинетических уравнений, учитывающая реакции (3 1)-(3 3), имеет вид

/.

81

ди(г,Г) 81 <Ь>(г, О

гАК Р-к2ир)

(3 4)

= ОАи - к2ир +/:,[ГТФ]у - [ГДФ]и (3 5)

= ОАу + кър -*,[ГТФ]г + ¿_,[ГДФ]ц (3 6)

81

где и(г,<) - соответствует значению концентрации молекул Ти-ГТФ в точке с радиус-вектором 7 в момент времени v(F,/) - концентрации молекул Ти-ГДФ, р(г,/) -плотности вероятности нахождения плюс-конца микротрубочки, деленной на число АвогадроКд Константы скоростей реакций (3 1)-(3 3) обозначаются, как к\ [М 'с'1], к.\ [М-'с"1], А2 [М^с"']. Аз [с*1], через Р [м] обозначается стерический фактор, равный приращению длины микротрубочки при присоединении к ней одной молекулы тубулина Концентрации молекул ГТФ и ГДФ выступают в качестве параметров

На искомые распределения г/(?,?), и р{г,Г)налагаются дополнительно условия нормировки

\р{г,1)ОУ=\ (3 7)

1

И

= (3 8)

А

где N,0, обозначает общее количество молекул тубулина в системе, а V - общий объем системы Уравнение (3 7) отображает полноту рассматриваемой системы событий Соотношение (3 8) отражает сохранение в ходе реакций (3 1)-(3 3) общего количества молекул тубулина Инициация полимеризации предполагается происходящей на затравке,

расположенной в начале координат, т е при г = 0 Рост микротрубочек происходит в радиальном направлении

В наиболее простом псевдоодномерном приближении, рассматриваются процессы в области, параллельной оси абсцисс, сечением 5 и длиной Ь Рост микротрубочек происходит в положительном направлении вдоль оси абсцисс Правая граница х = Ь соответствует местоположению клеточной стенки, которая считается непроницаемой Система кинетических уравнений (3 4)-(3 8), в этом случае принимает вид

^ = 1З^(^-МР) (39)

ОТ дх

М^ = Л0-Л2ир+Л1[ГТФ]у-А.1[ГДФ]и (3 10)

о/ дх

~ & + кгр-кх [ГТФ ]у + [ГДФ ]м (311)

от дх

N¿5 |р(х,Г)с& = 1 (312)

I

и(х,0 + у(х,0 + — р(х,0

X , , , ЛГ,

Л = —(313) БТч.

В результате обезразмеривания модели удалось выявить два характерных параметра, отражающих состояние рассматриваемой системы Это обезразмеренная «общая концентрация» тубулина в системе

(3 14)

и параметр

А, [ГДФ]

(315)

отражающий текущий энергобаланс в системе

Таблица 2. Значения параметров модели и диапазон их изменений

Параметр модели к,, М-'с' к.,, М-'с1 к2, мкМ 'с 1 кг, с"1 к0 К2 > М-'с"1 к1 с1 Б, нм2/с

Значение 0,02 0,02 18 20 3000 20 4000

Параметр модели 1, мкм М Р, нм Б, Мкм2 [ГТФ], мкМ [ГДФ], мкМ N,0 мкМ

Значение 90 90 0,165 40 | 50 2-300 0-400

Стационарные решения системы (3 9)-(3 13) находились численно, при значениях параметров, приведенных в таблице 2 Для найденных решений быт проведен анализ устойчивости по Ляпунову Разработана компьютерная программа для нахождения областей устойчивости стационарных решений на параметрической плоскости (Ти°, у)

Для нахождения нестационарных решений проводилось численное интегрирование во времени системы уравнений (3 9)-(3 13), с перекрестной проверкой результатов несколькими численными методами различного порядка аппроксимации При исследовании автоколебательных характеристик нестационарных решений применялись методы расчета кривизны решения в фазовом пространстве и построение отображения Пуанкаре

Результаты расчетов представлены на диаграмме состояния, изображенной на рис 5 Легко видеть, что параметрическая плоскость (Ти°,у) (см рис 5) разбивается семейством найденных кривых потери устойчивости на пять обтастей, каждой из которых соответствует конкретный тип динамического режима

Области значений параметров, обозначенной на диаграмме символом "О", соответствует наличие в системе единственного решения в виде устойчивого унимодального стационарного распределения микротрубочек по длинам, с выраженным максимумом на левой границе Этот тип решений соответствует существованию в системе точько затравки (центросомы) при полном отсутствии микротрубочек

Рис.5. Диаграмма состояний, построенная в соответствии с системой уравнений (3 9)-(3 13) Линии разбивают параметрическую плоскость на пять областей зоны отвечающие стационарным режимам "О", "I", "III", зону нестационарных режимов "И", а также зону метастабильных режимов - "IV"

Областям решений "I" и "III" соответствуют стационарные устойчивые решения (см рис ба) В области значений параметров "I" распределение микротрубочек по размерам характеризуется наличием отчетливо выраженного пика на левом крае и локального максимума, расположенного на существенном удалении от левого края (см рис 6а) Этот тип решений, как несложно понять, отображает наличие большого числа коротких микротрубочек у центросомы и некоторого числа микротрубочек, сопоставимых с размером Клетки В области параметров "III" характерные распределения микротрубочек по размерам, как видно из рис 6а (пунктирная кривая), имеют минимум на левой границе (х = 0), экстремум примерно в центре рассматриваемой области и локальный максимум у правой границы (x = L) Эго говорит о том, что при значениях параметров из данной обтасти в системе должны доминировать протяженные микротрубочки, сопоставимые с размером всей

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

системы Решения данного типа наиболее часто наблюдаются в системах т vno, практически на всех стадиях клеточного цикла за исключением митоза

Область "II" соответствует нестационарным режимам, проявляющимся в виде периодически бегущих справа налево вопи деполимеризации микротрубочек, чередующихся с фазами их медленного роста (рис 66) При пересечении границы области "II" имеет место параметрическая неустойчивость стационарных решений Отвечающие данной области параметров режимы наблюдаются в динамике реальных микротрубочек как in vitro, так и т vivo на определенных стадиях клеточного деления В области "ГУ' рассматриваемая система имеет два типа решений Наряду со стационарными метастабильными решениями, имеют место и нестационарные решения, схожие с наблюдаемыми в области "II"

а)

рлх 10°

б)

x/L

x/L. maxjfa)

t, mm

Рис. 6. а) решения, соответствующие областям "I" (сплошная чиния) и "III" (пунктирная линия) на диаграмме состояний б) изменение во времени положения максимума нестационарного распределения плотности плюс-концов микротрубочек, характерное для режимов, соответствующих области "II" Периоды медленной полимеризации (пунктирная линия) чередуются с волнами быстрой деполимеризации (сплошная линия)

В зависимости от предыстории эволюции параметров в системе может установиться либо стационарный, либо нестационарный режим Если параметры (Ти0, у) будут медленно изменяться так, что на диаграмме состояний (рис 5) изображающая точка будет плавно перемещаться из области "I" в область "IV", то система будет оставаться в стационарном метастабильном состоянии до тех пор, пока параметры не пересекут границу между областями "IV" и "II" Пересечение последней повлечет за собой "жесткое" возбуждение пространственных осцилляций и волн, характерных для всей области "II" Примечательно, что при изменении параметров в обратном направлении, то есть движении изображающей точки из зоны "II" в зону "IV", система сохранит нестационарное поведение вплоть до границы между зоной "IV" и зоной "I" Иными словами, при пересечении параметрами границ области "IV" система демонстрирует отчетливо выраженное гистерезисное поведение

ч

-"I"--_"rv"—-"П"----"П"-

Рис 7. а) Зависимость среднего радиуса кривизны <R> траектории решения системы (3 9)-(3 13) и б) периода предельного цикла Т при изменении параметров Ти° и у вдоль вектора q (см рис 5) Характерная бифуркационная диаграмма показана на рис 7 Вдоль оси абсцисс отложено изменение параметров Ти° и у вдоль вектора q, проходящего через четыре разных области на диаграмме состояний (см рис 5) По оси ординат отложен средний радиус кривизны <R> решения системы (3 9)-(3 13), преобразованной к дискретному виду При этом решение p„(t), um(t), vm{t), m e {1,M}, представляет собой однопараметрическую кривую в ЗМ-мерном16 пространстве

Из рис 7а видно, что в области "I" величина <R> равняется нулю, что соответствует устойчивому стационарному решению Дальнейшее медленное изменение параметров вдоль вектора q оставляет решение системы на нижней ветви <R> = 0, вплоть до границы с областью "II" Как уже отмечалось, пересечение этой границы приводит к жесткому возбуждению колебаний, что выражается в скачкообразном увеличении величины <R> Система переходит на верхнюю ветвь (см рис 7а), отвечающую ненулевым значениям <R> Отметим, что во всей области значений параметров "II" стационарное решение системы (3 9)-(3 13) существует, но оно неустойчиво (обозначено горизонтальной пунктирной линией на рис 7а)

При движении изображающей точки из области параметров "II" в противоположном вектору q направлении, система остается на верхней ветви до тех пор, пока изображающая точка не пересечет границу областей "IV" и "I" При пересечении этой границы происходит потеря устойчивости нестационарного решения, и система возвращается на нижнюю ветвь Таким образом, история изменения параметров определяет ветвь, на которой будет находиться система при значениях параметров из области "IV"

Легко видеть, что для режимов, характерных для областей параметров "I" и "III" на диаграмме состояний, имеет место <R> = 0 При проходе из области "III" в область параметров "П" в системе мягко возбуждаются автоколебания О величине амплитуды соответствующего предельного цикла можно судить по среднему значению радиуса кривизны <R> за период При этом амплитуда <R> растет, пропорционально квадратичному корню величины закритичности (jq'-qj) Иными словами, при переходе параметров

16 М - параметр дискретизации по пространству Типичное значение М=90

системы через границу между областями "III" и "II" имеет место закритическая бифуркация Андронова-Хопфа17

При антипараллельном вектору с} изменении параметров, в точке с| = с}, происходит бифуркация удвоения цикла (см рис 76) Однако сценарий перехода к каскаду последовательных удвоений по Фейгенбауму не наблюдается Вместо этого, при я = <}2 наблюдается бифуркация схлопываяия "удвоившегося ранее цикла" к однопериодичному решению (уменьшение периода вдвое), которое продолжает существовать при дальнейшем изменении параметров вплоть до границы областей "IV" и "I", при достижении которой имеет место бифуркация жесткого «схлопывания» предельного цикла

Глава 4 Классификация регуляторных воздействий на тубулиновый иитоскелет

Построенная диаграмма состояний может быть использована для качественного анализа механизмов влияния разтичных биохимических агентов на динамику цитоскелета. В таблице 3 представлены сведения об изменениях ключевых параметров модели Ти° и у при воздействии на систему ряда биохимических регуляторных факторов

Таблица 3 Изменение параметров модели Ти° и у при воздействии на систему биохимических факторов Стрелка вверх соответствует увеличению значения параметра при действии соответствующего фактора, вниз - уменьшению18

Название фактора к, [ГТФ] к2 к3 к., [ГДФ] Tu [ГТФ] [ГДФ] Ти° г Класс

Таксол, доцетаксел — т 1 — — — Т — Е

Tau, МАР2, МАР4 — т 4 — — — Т — Е

Колхицин, винбластин — 4 т — — 4 — W

Ор18/статмин — — т — 4 — 4 — W

Митохондриальные факторы т — — 1 — t — 4 S

Факторы ГТФ-ГДФ обмена (GEFs) т — — 4 — Г — 4 S

Малые ГТФазы (rho, ran, гас) 4 — — Т — 1 — Т N

Активирующие ГТФазы белки (GAPs) 4 — — т — ! — Т N

Из таблицы 3 видно, что рассмотренные нами факторы могут быть разбиты на две группы Одни оказывают влияние на параметр Ти°, а другие - на у Каждая из групп в свою очередь разбивается на два ктасса, в зависимости от того, к увеличению или уменьшению

Андронов А А, Витт А А , Хайкин С Э Теория котебаний, 2-е изд 1959 М Физматгиз 926 С

18 Сведения о характере изменения кинетических констант в колонках с первой по шестую получены из литературных источников Полный список соответствующих ссылок представлен в тексте диссертации

соответствующего параметра приводит действие входящих в данный класс агентов Таким образом, в рамках рассмотренной модели действие агентов сводится к смещению изображающей точки на диаграмме состояний в направлениях, параллельных осям диаграммы состояния (см рис 5) Обозначения указанных четырех классов в работе соотносятся с направлениями, принятыми для указания сторон света (см рис 5) К первому классу, обозначаемому буквой Е, относятся вещества (таксол, доцетаксет, см табл 3), вызывающие смещение изображающей точки вправо, условно говоря, на «восток» Аналогичным образом колхицин и винбластин могут быть отнесены к классу XV, а митохондриальные факторы и факторы ГТФ-ГДФ обмена - к классу в и так далее Таблица 4. Сочетаемость препаратов согласно предложенной классификации Знаком ' +" обозначены сочетания, при которых имеет место эффект взаимного усиления воздействия препаратов Прочерк "-" обозначает отсутствие эффекта

N в Е

N + — — +

в — + + —

Е — + + —

+ — — +

Известно, что вещества, оказывающие цитостатическое действие (цитостатики), нарушают нормальное прохождение клеткой митоза Эти агенты подавляют высокую лабильность микротрубочек, проявляющуюся в форме обусловленных динамическими нестабильностями трепетаний, необходимых для эффективного «поиска» плюс-концами кинетохоров хромосом Иными словами, цитостатики блокируют именно те фазы митоза, которые по нашим представлениям соответствуют нестационарным режимам, отвечающим областям "II" и "IV" на диаграмме состояния

В рамках развитого в главе 3 подхода зоны "II" и "IV" отвечают режимам, при которых тубулиновые нити демонстрируют крупномасштабные трансформации Ввиду того, что клетка на определенных стадиях митоза должна проходить через области нестационарного поведения, характеризующиеся крупномасштабными изменениями цитоскелета, более эффективными следует считать те цитостатические препараты (либо их сочетания), которые при прочих равных условиях вызывают большее смещение изображающей точки на диаграмме состояний из областей нестационарного поведения микротрубочек Кратчайшим путем выхода из зон "11" и "ТУ" является смещение изображающей точки вдоль нормали к продольной оси этих обтастей (см рис 5) Например, за счет одновременного смешения вверх и влево (что характерно для совместного действия веществ из классов и 14), или же вниз и вправо (при сочетании веществ из классов в и Е) Это означает, что при использовании указанных веществ в приведенных сочетаниях требуемый цитостатический эффект будет достигаться при меньших дозировках Следовательно, сопутствующая побочная токсичность противоопухолевых цитостатических

препаратов при совместном их применении также должна быть ниже, чем при раздельном В таблице 4 представлены данные о совместном действии веществ, принадлежащих различным из перечисленных классов

Следует заметить, что взаимное усиление (синергизм) действия цитостатических агентов достигается лишь в тех случаях, когда имеет место влияние одного агента на, условно говоря, "тубулиновую" составляющую (т е на изменение скорости реакций полимеризации/деполимеризации), а другого - на "энергетическую", т е на баланс между концентрациями молекул ГТФ и ГДФ

Проведенный анализ показывает, что построенная в работе диаграмма состояния тубулиновых волокон является весьма эффективным инструментом для прогнозирования поиска наиболее эффективных путей и способов комплексных цитостатических воздействий

Заключение

В заключении диссертации обсуждаются основные результаты работы, степень справедливости сделанных предположений и допущений Проводится сравнительное сопоставление развитого подхода с подходами, известными ранее Так, описанная во второй главе модель нестабильности динамики микротрубочек построена на основании последовательного рассмотрения молекулярного взаимодействия между структурными элементами микротрубочек тубулиновыми димерами и вакансиями Развитый подход не нуждается в гипотезе о существовании ГТФ-крышки Динамическая нестабильность микротрубочек представляется при этом как процесс, подобный фазовому переходу первого рода, вызванный накоплением в системе структурных дефектов

Построенная компьютерная программа позволяет алгоритмически эффективно использовать теорию клеточных автоматов для численной реализации статистических представлений и идей Я И Френкеля о кинетической природе механизмов разрушения материалов Именно это позволило, отталкиваясь от кинетических характеристик поведения элементов, составляющих микротрубочки, делать выводы о стохастических аспектах поведения микротрубочек, как целого

В результате требующего длительных вычислений численного моделирования динамической нестабильности микротрубочек удалось установить два типа наиболее характерных сценариев развития катастроф Этот факт был положен в основу достаточно простой феноменологической модели, позволившей провести аналитическое исследование проблемы С помощью феноменологической модели, основанной на достаточно общих предположениях о динамике дефектов и учитывающей только первые моменты соответствующих распределений, тем не менее, удалось описать целый ряд феноменов отсутствие макроскопического роста при концентрации тубулина ниже пороговой, степенную зависимость спектра катастроф системы от скорости роста микротрубочек Найдено аналитическое выражение для максимального значения времени задержки между вымыванием тубулина из раствора и катастрофой, проявляющейся в виде динамической нестабильности

В рамках развитого в третьей главе подхода динамическая нестабильность микротрубочек трактуется как результат неравновесных реакций сорбции/десорбции молекул тубулина на плюс-конец При этом скорость реакции сорбции полагалась зависящей от концентрации молекул тубулина, связанных с ГТФ, в окрестности плюс-конца Тем

самым, изменение размера микротрубочек полагалось зависящим от реакционно-диффузионно-преципитационных процессов в окружающей микротрубочки системе Формирование стационарных и нестационарных микротрубочек, как видно из построенной диаграммы состояния, может иметь место только при достаточно высоком уровне ГТФ в системе Иными счовами, неравновесные процессы роста и деполимеризации микротрубочек являются энергетически лимитированными

При нестационарных режимах фаза медленного роста микротрубочки периодически сменяется фазой быстрой деполимеризации Пространственное перемещение плюс-коша микротрубочки при этом оказывается ассоциированным с распространением концентрационных автоволн молекул тубулина в растворе

Вопрос о роли концентрационных автоволн в динамике микротрубочек не рассматривался ранее теоретически В пользу влияния концентрационных градиентов на динамику микротрубочек и на свойственные этой динамике нестабильности m vivo свидетельствуют недавно опубликованные экспериментальные данные19 В свете этих данных полученные теоретические результаты представляют интерес не только для специалистов в области биофизики, но и клеточной биологии

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю Георгию Теодоровичу Гурия за содействие в выполнении работы

Автор благодарит профессора И А Воробьева за ценные замечания и критическое обсуждение работы, О В Коваленко за любезно предоставленные фотографии тубулинового цитоскелета, А П Большакова за критические замечания и обсуждение работы, И В Казбаиова за помощь в проверке результатов численного счета, Ю Г Горбунову, С Г Узлову, К Е Злобину и О А Дудченко за поддержку и техническое содействие Также благодарю коллектив организаторов и участников зимних школ «Нелинейные волны» (20022006), проходящих в Нижнем Новгороде, за гостеприимство и подробное, благожелательное обсуждение работы в ходе школ Кроме того, благодарю всех сотрудников лаборатории биофизики и криобиологии ГНЦ РАМН за поддержку, благожелательное отношение и помощь

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-04-49423а (рук, Г Т Гурия)

19 Caudron М et al, Science, 2005, V 309 Р 1373-1376, Pearson С G et al, Mol Biol Cell 2006 V 17 P 4069-4079

выводы

1 Показано, что динамические нестабильности роста микротрубочек могут развиваться как вследствие кластеризации внутренних структурных микродефектов, так и вследствие лимитирования роста за счет исчерпания в растворе молекул тубулина и/или ГТФ

2 Построена феноменологическая модель динамических неустойчивостей, обусловленных коллективной кластеризацией микродефектов Модель позволила объяснить степенную зависимость частоты катастроф от скорости роста микротрубочек

3 Построена реакционно-диффузионно-преципитационная модель динамики микротрубочек Показано, что масштабные периодические изменения длины микротрубочек сопряжены с распространением в растворе концентрационных тубулиновых автоволн

4 Построена параметрическая диаграмма состояний тубулинового цитоскелета, содержащая области, отвечающие устойчивым стационарным и нестационарным состояниям Выделена область, отвечающая метастабильным состояниям

5 Показано, что потеря устойчивости стационарных состояний при изменении параметров системы, сопровождается бифуркацией рождения предельного цикла по механизму Андронова-Хопфа Обнаружена вторичная бифуркация удвоения предельного цикла

6 Исходя из вида диаграммы состояний, предложена классификация регулирующих динамику микротрубочек биохимических агентов (клеточных факторов и цитостатических препаратов) на четыре класса Проанализирована проблема взаимной сочетаемости цитостатических воздействий разных классов

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Е А Катруха, Г Т Гурия, Роль неустойчивостей, нелинейных колебаний и волн в регуляции тубулинового цитоскелета // в сб «Нелинейные волны-2006», отв ред А В Гапонов-Грехов, В И Некоркин, Нижний Новгород ИПФ РАН, 2007 с 111-140

2 Е А Катруха, Г Т Гурия, Динамические нестабильности тубулинового цитоскелета Диаграмма состояния // Биофизика, 2006, Т 51, вып 6, с 885-893

3 Е А Катруха, Г Т Гурия, Роль неустойчивостей, нелинейных колебаний и волн в регуляции тубулинового цитоскелета // Тезисы докладов XIII Научной школы «Нелинейные волны-2006», Нижний Новгород, 1-7 марта 2006, с 11

4 Е A Katrukha, G Th Guria, Instabilities and catastrophes m microtubules dynamics // abstracts of "IX-th Workshop Nucleation Theory and Application", Dubna, June 30, 2005, p 7

5 E А Катруха, Г T Гурия, Нестабильности в динамике микротрубочек Диаграмма состояний // материалы XLVIII научной конфьренции МФТИ (секция физики живых систем), 2005, с 9-11

6 ЕА Катруха, ГТ Гурия, Феноменологический подход к нестабильностям роста микротрубочек // труды конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы", Нижний Новгород, 2004, с 61-62

7 ЕА Катруха, ГТ Гурия, Феноменологический подход к нестабильностям роста микротрубочек // материалы XLV научной конференции МФТИ (секция физики живых систем), 2002, с 5-8

8 Е A Katrukha, G Th Guna, Phenomenological approach to microtubule growth instabilities //abstracts of International Workshop "Dynamic of Biological Systems Ггот Molecules To Networks", Denmark, Krogerup Hojskole, August 10-17,2002, p 10

9 E А Катруха, Г T Гурия, Нестабильности в динамике тубулиновых волокон // тезисы школы "Нелинейные волны-2002", Нижний Новгород, 2-9 марта 2002, с 22

г*

л

Заказ № 412 Тираж 120 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 \vw\v айогеГега! ги

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Катруха, Евгений Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

§ 1.1 Общие представления о структуре микротрубочек

§ 1.2. Динамические особенности поведения микротрубочек и их математические модели

§ 1.2.1 Модели, основанные на предположении о существовании ГТФ-крышки

§ 1.2.2 Кинетическая модель Флайберга, Холи и Лейблера

§ 1.2.3 Модели структурных крышек

§ 1.2.4 Модель, основанная на представлении о роли вакансий в динамике микротрубочки

§ 1.2.5 Кинетические модели

§ 1.2.6 Аксиоматические модели Лейблера и соавторов

§ 1.2.7 Диффузионные ограничения на рост микротрубочек

§ 1.2.8 Диффузионная модель динамики микротрубочек

И. Воробьева и соавторов

§ 1.3 Нелинейные явления в динамике микротрубочек

§ 1.4 Анализ характерных времен кинетических процессов в динамике микротрубочек

Глава 2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ СТРУКТУРНОЙ

ДИНАМИКИ ТУБУЛИНОВЫХ ВОЛОКОН

§ 2.1. Описание динамики димеров тубулина и вакансий

§ 2.2. Вычислительные эксперименты

§ 2.3. Феноменологическая «огрубленная» модель.

Глава 3. КИНЕТИЧЕСКИЕ МЕХАНИЗМЫ РЕГУЛЯЦИИ

ДИНАМИКИ МИКРОТРУБОЧЕК

§ 3.1. Математическая модель

§ 3.2. Параметрическая диаграмма состояния

§ 3.3. Динамические характеристики автоколебательных решений

Глава 4. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕГУЛЯТОРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

НА ТУБУЛИНОВЫЙ ЦИТОСКЕЛЕТ

Введение Диссертация по биологии, на тему "Динамические неустойчивости в кинетике роста и деполимеризации тубулиновых микротрубочек"

Тубулиновые микротрубочки (наряду с актиновыми и промежуточными филаментами) являются основными компонентами цитоскелета эукариотических клеток. Поведение микротрубочек на определенных стадиях клеточного цикла и в условиях in vitro характеризуется крупномасштабными нестационарными пульсациями их длины. Нестационарные апериодические режимы, типа изображенного на рис.В.1, имеют вид, характерный для релаксационных хаотических колебаний [Анищенко, 2000;

Кузнецов, 2001; Данилов, 2001; Трубецков, 2004]. Особенностью этих колебаний являются отчетливо выраженные моменты переключения микротрубочки со стадии роста на деполимеризацию и наоборот. В биологической литературе именно эти моменты в динамике микротрубочек принято называть «катастрофами» и «спасениями»1.

В современной литературе под термином «динамическая нестабильность» микротрубочек понимается круг явлений, связанных с «катастрофами» и «спасениями» [Alberts et al., 2002]. Во избежание недоразумений в дальнейшем под термином «катастрофа» будет подразумеваться динамическая неустойчивость роста микротрубочек, а под термином «спасение» -неустойчивость процесса деполимеризации.

1 В англоязычной литературе catastrophe и rescue event.

Время (часы)

Рис.В.1. Динамическая нестабильность микротрубочки [Fygenson et al., 1994]. По оси абсцисс отложено время, по оси координат -размер индивидуальной микротрубочки.

По существующим представлениям динамические нестабильности в кинетике роста и деполимеризации микротрубочек лежат в основе крупномасштабных трансформаций цитоскелета, свойственных процессам пролиферации, дифференцировки и миграции клеток в норме и патологии [Jordan and Wilson 2004; Watanabe Т. et al., 2005; Honore et al., 2005].

В частности, крупномасштабные пространственно-временные трансформации цитоскелета наблюдаются на стадии деления клеток. В этой связи большое значение приобретает вопрос о том, в какой мере процессы деления атипичных и/или трансформированных клеток обуславливаются условиями возникновения и особенностями развития динамических неустойчивостей микротрубочек [Scholey et al., 2003; Канцерогенез, 2004; Honore et al., 2005].

С момента открытия самого явления динамической нестабильности микротрубочек в 1984 году, накоплен обширный экспериментальный материал и предложено несколько теоретических моделей явления. Проведенный в работе анализ имеющихся данных и теоретических подходов показал, что динамические неустойчивости, свойственные отдельным микротрубочкам и их ансамблям, перспективно изучать в свете современной теории критических явлений и неравновесных структур [Haken, 1977; Николис и Пригожин, 1979; Эбелинг, 1979].

Целью настоящей работы являлось нахождение необходимых и достаточных условий параметрической дестабилизации микротрубочек, выяснение кинетических механизмов регуляции динамических нестабильностей при росте и деполимеризации микротрубочек.

В работе решались следующие задачи:

1. Методами стохастического анализа выяснить условия развития структурных неустойчивостей, сопровождающихся деполимеризацией или фрагментацией микротрубочек.

2. Построить кинетическую модель процессов сорбции молекул тубулина на плюс-концы микротрубочек из раствора (десорбции в раствор).

3. Выяснить условия потери устойчивости стационарных распределений микротрубочек по длинам. Построить диаграммы состояния, позволяющие определять характер динамики микротрубочек при различных значениях параметров системы.

4. Исследовать механизмы формирования концентрационных колебаний и волн тубулина, ассоциированных с крупномасштабными трансформациями цитоскелета.

5. Проанализировать сочетанное действие биохимических агентов различных типов на смену динамических режимов, свойственных тубулиновым волокнам.

Развит последовательный физико-математический подход к описанию катастроф в динамике микротрубочек. Наблюдаемые экспериментально катастрофы трактуются, как результат развития процессов нелинейного взаимодействия структурных дефектов при их кластеризации в микротрубочках. При этом структурные катастрофы и эффекты фрагментации микротрубочек, подобно тому, как это имеет место в физике фазовых переходов первого рода, описываются в рамках феноменологических кинетических уравнений. Использование численных методов и компьютерных алгоритмов так называемой теории клеточных автоматов дало возможность довести результаты расчетов до стадий, допускающих прямое сопоставление с данными экспериментов.

Впервые удалось с единых позиций объяснить целый ряд нетривиальных эффектов, характерных для динамики микротрубочек: степенную зависимость частоты катастроф от скорости роста микротрубочек, дробно-линейную зависимость времени задержки деполимеризации микротрубочек от величины их длины и концентрации тубулина в растворе и т.д.

Впервые исследована обусловленность динамических нестабильностей роста и деполимеризации микротрубочек неустойчивостями кинетических процессов сорбции молекул тубулина из раствора (и десорбции с плюс-концов микротрубочек в раствор). При этом содержащая микротрубочки реконструированная система трактовалась, как существенно двуфазная, состоящая из реакционно-диффузионной части и собственно микротрубочек (тубулиновых волокон), выступающих в качестве конденсированной фазы. Последняя характеризуется наличием черт дальнего порядка в пространственном упорядочении составляющих микротрубочку элементов (тубулиновых димеров), свойственных твердым телам.

Впервые не постулированы, а исследованы условия потери устойчивости этой двуфазной системы. Показано, что в рассмотренной системе при приближении к критическим условиям имеет место увеличение радиуса пространственно-временных корреляций. Концентрационные флуктуации в растворной части системы трансформируются в автоволны конечной амплитуды, управляющие крупномасштабными трепетаниями микротрубочек.

Впервые построена параметрическая диаграмма состояния, на которой отображены границы областей устойчивости, отвечающие стационарным и нестационарным режимам поведения системы. На основе диаграммы состояния дана классификация воздействий цитостатическими агентами на тубулиновые микротрубочки. Выделено четыре основных класса воздействий. Построена таблица, отражающая наличие эффектов взаимного усиления/ослабления действия цитостатических агентов при совместном применении агентов различных классов.

Полученные в работе результаты имеют важное значение для поиска эффективных режимов управления крупномасштабной трансформацией цитоскелета на ключевых стадиях клеточного цикла. Построенная диаграмма состояний микротрубочек позволяет уже на стадии проектирования экспериментов in vitro целенаправленно проводить подбор необходимых параметров (концентрации тубулина, ГТФ, ГДФ), соответствующих искомому динамическому режиму системы микротрубочки-раствор. Установленный характер сочетаемости одновременного воздействия биохимических агентов и цитостатических препаратов различных классов открыл принципиально новую возможность для поиска путей снижения побочного токсического действия. Открылась возможность для целенаправленного поиска и разработки комплексных противоопухолевых препаратов, обладающих совместным (синергетическим) эффектом действия входящих в их состав компонентов.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Катруха, Евгений Александрович

ВЫВОДЫ

1. Показано, что динамические нестабильности роста микротрубочек могут развиваться как вследствие кластеризации внутренних структурных микродефектов, так и вследствие лимитирования роста за счет исчерпания в растворе молекул тубулина и/или ГТФ.

2. Построена феноменологическая модель динамических неустойчивостей, обусловленных коллективной кластеризацией микродефектов. Модель позволила объяснить степенную зависимость частоты катастроф от скорости роста микротрубочек.

3. Построена реакционно-диффузионно-преципитационная модель динамики микротрубочек. Показано, что масштабные периодические изменения длины микротрубочек сопряжены с распространением в растворе концентрационных тубулиновых автоволн.

4. Построена параметрическая диаграмма состояний тубулинового цитоскелета, содержащая области, отвечающие устойчивым стационарным и нестационарным состояниям. Выделена область, отвечающая метастабильным состояниям.

5. Показано, что потеря устойчивости стационарных состояний при изменении параметров системы, сопровождается бифуркацией рождения предельного цикла по механизму Андронова-Хопфа. Обнаружена вторичная бифуркация удвоения предельного цикла.

6. Исходя из вида диаграммы состояний, предложена классификация регулирующих динамику микротрубочек биохимических агентов (клеточных факторов и цитостатических препаратов) на четыре класса. Проанализирована проблема взаимной сочетаемости цитостатических воздействий разных классов.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Г.Т. Гурия за постановку задач и руководство выполнением настоящей работы. Влияние Георгия Теодоровича на формирование моих научных взглядов трудно переоценить.

Автор благодарит профессора И.А. Воробьева за ценные замечания и критическое обсуждение работы, О.В. Коваленко за любезно предоставленные фотографии тубулинового цитоскелета, А.П. Большакова за обсуждение работы и помощь в подготовке рукописи, И.В. Казбанова за помощь в проверке результатов численного счета, В.И. Казея и коллектив лаборатории биоскрининга компании «ИИХР» за поддержку и предоставление вычислительных ресурсов, Ю.Г. Горбунову, А.Д. Томашевского, А.А. Рабодзея и Р.Б. Дерду за содействие в получении редких литературных источников, С.Г. Узлову, К.Е. Злобину и О.А. Дудченко за поддержку, стимулирующие дискуссии и техническое содействие.

Хочу поблагодарить профессора Э.М. Трухана, за внимание, проявленное к этой работе. Мой интерес к проблемам биофизики во многом сформирован благодаря лекциям Эдуарда Михайловича. Я благодарен преподавателям кафедры физики живых систем МФТИ (зав. кафедрой академик В.И. Шумаков) Ю.А. Чизмаджеву, А.И. Дьяченко, A.M. Мелькумянцу за проявленное внимание к моей работе. Благодарю заместителя декана ФМБФ МФТИ В.Н. Простова за советы и помощь, оказанные мне при поступлении в аспирантуру МФТИ.

Выражаю благодарность коллективу организаторов и участникам нижегородских научных школ «Нелинейные волны» (2002-2006), оказавшим на меня сильнейшее влияние - Д.И. Трубецкову, Д.И. Иудину, В.Г. Яхно, А.А. Полежаеву, Ю.М Романовскому, С.П. Кузнецову, А.А. Веденову. Кроме этого, благодарю всех сотрудников лаборатории биофизики и криобиологии ГНЦ РАМН за поддержку, благожелательное отношение и помощь.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-04-49423а. (рук., Г.Т. Гурия).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В связи с биологическими и медицинскими приложениями, проблема регуляции динамических трансформаций микротубулинового цитоскелета представляет большой научный и практический интерес [Jordan and Wilson, 2004; Honore et al., 2005]. К настоящему времени исследован широкий класс биохимических веществ, обладающих цитостатическим регуляторным действием [Wilson et al., 1999; Jordan, 2002]. Развитый нами подход позволил расклассифицировать регуляторные воздействия на четыре основных типа. При этом открылась возможность, опираясь на диаграмму состояний микротубулинового цитоскелета, судить об эффективности совместного действия разных регуляторов (см. табл. 4.2, глава 4).

Микротубулиновый цитоскелет клетки высокочувствителен к условиям проведения эксперимента. Наибольшие экспериментальные затруднения возникают при отыскании условий, при которых проявляется динамическая нестабильность микротрубочек [Carlier et al., 1987; Fygenson et al., 1994]. В свете проведенного анализа эти наблюдения становятся понятными. Дело в том, что области, отвечающие нестационарным режимам на построенной нами диаграмме состояний, представляют собой узкие полосы (см. рис. Z.1). Поэтому случайное попадание параметров в эти обладающие малой площадью области маловероятно.

Намного проще направленная постановка опытов по регистрации нестабильностей в динамике микротрубочек в системах in vitro. Достаточно задать высокую начальную концентрацию тубулина и ГТФ и дождаться возбуждения колебаний в ходе естественного понижения уровня ГТФ [Carlier et al., 1987; Melki et al., 1988]. Отметим, что снижение уровня ГТФ со временем на диаграмме состояний (рис. Z.1) соответствует движению изображающей точки сверху вниз. При этом, как несложно видеть, система микротрубочек на границе между зонами "III" и "II" должна претерпевать переход из стационарного состояния в нестационарное. Таким образом ясно, что в системах in vitro появление нестабильностей в динамике микротрубочек обусловлено рождением предельного цикла (см. рис. 3.3). В терминах теории катастроф, при переходе системы через границу областей "III" и "И" имеет место закритическая бифуркация Андронова-Хопфа [Андронов и др., 1959].

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Ти°

Рис. Z.I. Диаграмма состояний (см. рис 3.1), в которой по оси ординат отложено отношение концентрации ГТФ к концентрации ГДФ в растворе, характеризующее степень энергообеспеченности системы.

Природа нестационарных пульсаций микротрубочек, при которых стадии полимеризационного роста внезапно сменяются стадиями деполимеризации, интенсивно обсуждается более 20 лет [Mitchison and Kirschner, 1984]. Наиболее широко дебатируется гипотеза о существовании в окрестности плюс конца микротрубочки так называемой ГТФ-крышки (GTP-cap). Согласно данной гипотезе, гидролиз присоединенной к тубулину молекулы ГТФ происходит не сразу после присоединения очередного димера к микротрубочке, а спустя некоторое время [Chen and Hill, 1983; Chen and Hill, 1984; Stewart et al., 1990; Flyvbjerg et al., 1996]. Образующийся слой молекул тубулина-ГТФ в окрестности плюс-конца предотвращает деполимеризацию и стабилизирует всю микротрубочку [Bayley et al., 1989; Baylay et al., 1990; Stewart et al., 1990]. Переход от роста микротрубочки к ее деполимеризации связан с исчезновением ГТФ-крышки.

Нельзя исключить, что в определенных экспериментальных условиях задержка гидролиза ГТФ в принципе способна вызвать нестабильность в динамике микротрубочек [Carlier et al., 1987; Melki et al., 1988]. Однако проведенный выше анализ показал, что, и не прибегая к этой гипотезе (опираясь только на реакционно-диффузионные представления в рамках модели, изложенной в главе 3), удается получить решения, соответствующие динамическим нестабильностям тубулиновых микротрубочек. Попутно заметим, что в рамках нашего подхода сам собой снимается активно обсуждаемый в альтернативных подходах вопрос о виде частотного спектра случайных событий "переключения" микротрубочек с роста на деполимеризацию и обратно [Dogterom et al., 1995; Houchmandzadeh and Vallade, 1996; Hammele and Zimmermann, 2003].

В рамках развитого нами подхода динамика плюс конца микротрубочки определяется исключительно реакциями сорбции/десорбции молекул тубулина. При этом скорость реакции сорбции зависит от локальной концентрации молекул тубулина, связанных с ГТФ. В этом смысле изменение размера микротрубочки регулируется реакционно-диффузионными процессами в окружающей системе. Проведенный анализ показал, что рост микротрубочки связан с распространением концентрационных автоволн молекул тубулина в растворе. Бегущая слева направо автоволна ГТФ вызывает рост микротрубочек, а распространяющаяся справа налево волна ГДФ сопровождает деполимеризацию. По аналогии с упоминавшимися ранее диффузионно-лимитированными процессами (DLA [Vicsek, 1992]) можно сказать, что критические явления в динамике микротрубочек относятся к энергетически лимитированным процессам агрегации-дисагрегации (ELAD).

Вопрос о роли концентрационных автоволн в динамике микротрубочек, насколько нам известно, не рассматривался ранее теоретически. Однако в пользу влияния концентрационных градиентов на динамику микротрубочек in vivo свидетельствуют недавно опубликованные экспериментальные данные [Caudron et al., 2005; Pearson et al., 2006]. Это позволяет надеяться, что полученные нами теоретические результаты могут оказаться небезынтересными специалистам в области клеточной биологии.

Стоит заметить, что в предпринятой в данной работе попытке описания критических явлений в динамике микротрубочек развиваются общие физико-химические положения теории диссипативных структур [Николис и Пригожин, 1979]. Распределение реагентов в растворе, в котором формируются микротрубочки, описывается в рамках реакционно-диффузионного приближения. А сами микротубулиновые нити трактуются, как "преципитат" из жидкой фазы, то есть, как выпавшее в осадок вещество. В рамках такого подхода проблема роста микротрубочек по своей физико-химической сути предстает, как проблема конденсации молекул тубулина из одной фазы в другую. Несмотря на то, что построенная нами кинетическая реакционно-диффузионно-преципитационная (РДП) модель, вне всякого сомнения, является сильно упрощенной и ухватывает лишь часть из наиболее характерных черт реальной системы, на ее основе удалось построить диаграмму состояний рассматриваемой системы.

В физике переход вещества из одной формы пространственного упорядочения в другую принято рассматривать в рамках теории фазовых переходов, с термодинамических позиций [Ландау и Лившиц, 1964]. Традиционный взгляд на явления смены агрегатного состояния связаны с выяснением условий термодинамической устойчивости фаз [Gibbs, 1928]. Сосуществование двух фаз возможно лишь в случае, если на границе раздела фаз химические потенциалы равны. О спектре агрегатных состояний системы и возможных переходах между ними при изменении термодинамических параметров принято судить по виду "диаграммы состояний" [Gibbs, 1928]. Поэтому построение таких диаграмм является одной из ключевых задач в физике конденсированного состояния. Надо сказать, что диаграммы состояний широко используются и в физической химии. Например, при изучении термодинамических условий выпадения в осадок растворенных в жидкой фазе солей [Мэлвин-Хьюз, 1962]. Применительно к рассмотренной нами ELAD системе, уместно говорить о неравновесных переходах, поскольку в ходе формирования и роста микротрубочек имеет место энергопотребление -расходуются молекулы ГТФ.

Ввиду того, что тубулиновые микротрубочки способны формироваться и в реконструированных биохимических системах, нам представлялось естественным рассматривать их с позиций современной неравновесной физической химии [Ван Кампен, 1990; Пригожин и Кондепуди, 2002]. С этой точки зрения реконструированная система может рассматриваться, как состоящая их двух взаимодействующих между собой подсистем (см. рис. Z.2). В "концентрационной" подсистеме молекулы тубулина, ассоциированные с ГТФ или ГДФ, способны индивидуально перемещаться в пространстве. Напротив, в "преципитационной" подсистеме отдельные молекулы тубулина плотно упакованы в цилиндрическую 3-хзаходную спиральную структуру см. рис. 1.2, глава 1). В этом смысле тубулиновая микротрубочка представляет собой элемент конденсированной фазы.

Pnc.Z.2. Принципиальная схема рассмотренной реакционно-диффузионно-преципитационной системы.

При этом условная "граница раздела фаз" представляет собой кольцо внешним размером 24 нм и внутренним 13 нм, лежащее в торцевом сечении микротрубочки, в зоне местоположения ее плюс-конца. Понятно, что указанная "граница раздела фаз" должна быть в равновесной ситуации неподвижной (испытывать только флуктуационное дрожание), так как при этом скорость прямых и обратных процессов (сорбции/десорбции) должны быть равны.

Однако взаимное действие указанных выше подсистем в неравновесных условиях может быть, вообще говоря, и нескомпенсированным. Например, в условиях, когда доминируют процессы сорбции молекул тубулина, будет иметь место рост микротрубочки. Как следствие, будет смещаться граница раздела фаз. При доминировании процессов десорбции, трубочки будут укорачиваться, а концентрационная фаза насыщаться молекулами тубулина-ГДФ. Действие подсистем друг на друга, как выяснилось, не всегда бывает компенсаторно сбалансированным в каждый момент времени. Наряду с режимами, которым отвечают стационарные распределения микротрубочек по длинам, имеющими место в зонах "О", "I" и "III" (см. рис. Z.1), возможны и нестационарные режимы, которым отвечают области "II" и "IV" на параметрической диаграмме состояний (см. рис. Z.1). Как мы видели, в последнем случае поведение

Подсистема 1

Подсистема 2 десорбция сорбция системы определяется наличием в фазовом пространстве предельного цикла А. Пуанкаре. Представляется важным подчеркнуть, что при этом масштабные периодические изменения длины микротрубочек оказываются сопряженными с концентрационными автоволнами в растворе. В физике широко известно, что при приближении к критическим состояниям, имеет место нарастание крупномасштабных флуктуаций и увеличение радиуса корреляции (второго корреляционного момента) [Балеску, 1978; Ма, 1980]. В рассмотренной нами неравновесной системе увеличение пространственно-временной корреляции в критических условиях обеспечивается за счет автоволновых процессов и сопряженных с ними процессов полимеризации-деполимеризации.

В определенной области параметров (см. "И","IV", рис. Z.1) имеет место своеобразная взаимная синхронизация в поведении подсистем, которая проявляется в виде взаимообусловленной пространственно-временной ритмики. Рождение предельного цикла и связанных с ним пространственно-временных форм трансформации элементов тубулинового цитоскелета идет в полном соответствии с открытым А.А. Андроновым механизмом (см. рис. 3.4а).

Таким образом, исследованная реационно-диффузионно-преципитационная система, которая в рамках развитого подхода описывает поведение микротрубочек в условиях in vitro, позволяет эффективно трактовать широкий круг динамических нестабильностей, свойственных данной неравновесной двуфазной системе.

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Катруха, Евгений Александрович, Москва

1. Андронов А.А., ВиттА.А., Хайкин С.Э. (1959) Теория колебаний, 2-е изд. М.: Физматгиз. 926 с.

2. Анищенко B.C. (2000) Знакомство с нелинейной динамикой. Саратов, Из-во Гос УНЦ "Колледж". 180 с.

3. Аносов Д.В., Арнольд В.И. (1985) Динамические системы 1. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. -260 с.

4. БалескуР. (1978) Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах.Т. 1. М.: Мир. 350 с.

5. Буравцев В.Н. (1982) Периодический фазовый переход в растворе аммиака. //Ж. Физ. Химии. Т. 57. с. 1822-1824.

6. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. (1987) Автоволновые процессы. М.: Наука. 240 с.

7. Волькенштейн М.В.(1988) Биофизика. М.: Наука. 592 с.

8. Ван Кампен Н.Г. (1990) Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 375 с.

9. Воробьев И.А., Григорьев И.С. (2003) Динамика и жизненный цикл микротрубочек в клетке. Цитология и генетика. Т.37. с.22-38.

10. Воробьев И.А., Григорьев И.С., Бориси Г.Г. (2000) Динамика микротрубочек в культивируемых клетках. Онтогенез. Т. 31. с. 420-428.

11. Гегузин Я.И. (1981) Живой кристалл. М.: Наука. 192 с.

12. Данилов Ю.А. (2001) Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмаркет. 184 с.

13. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. (1970) Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наукаю 528 с.

14. Жаботинский A.M. (1974) Концентрационные колебания. М.: Наука. -120 с.

15. Канцерогенез. Ред. Д.Г. Заридзе М.: Медицина, 2004. 576 с.

16. Катруха Е.А., Гурия Г.Т. (2006) Динамические нестабильности тубулинового цитоскелета. Диаграмма состояния. Биофизика, 2006, Т.51, с.885-893.

17. Коваленко О.В. (2005) Формирование радиальной системы микротрубочек в интерфазных клетках: роль динеина и протеинкиназы LOSK. Дисс. на соискание научной степени к.б.н., МГУ

18. Колебания и бегущие волны в химических системах. Ред. Р.Филд, М. Бургер. М.: Мир, 1988. 720 с.

19. Колмогоров А.Н. (1941) О логарифмически-нормальном законе распределения частиц при дроблении. ДАН СССР, Т. XXXI, Вып. 2, с.99-101.

20. Кузнецов С.П. (2001) Динамический хаос. М.: Из-во физ-мат. Литературы. 296 с.

21. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1964) Статистическая физика. М.: Наука. -568 с.

22. МаШ. (1980) Современная теория критических явлений. М.: Мир, -299 с.

23. Мелвин-Хьюз Э.-А. (1962) Физическая химия, (в двух томах) М.: Изд-во Иностран. Литературы.

24. Николис Г., Пригожин И. (1979) Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир.

25. Пригожин И., Кондепуди Д. (2002) Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. М.: Мир. 464 с.

26. Рёпке Г. (1990) Неравновесная статистическая механика. М.:Мир.

27. Трубецков Д.И. (2004) Введение в синтергетику. Хаос и структуры. М. УРС- 240 с.

28. Франк-Каменецкий Д.А. (1947) Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Изд. АН СССР.

29. Френкель Я.К (1945) Кинетическая теория жидкостей. M.-J1.: АН СССР.

30. Эбелинг В. (1979) Образование структур при необратимых процессах. Введение в теорию диссипативных структур. М.: Мир. 279 с.

31. Alberts В., Johnson A., Lewis J., RaffM., Roberts К., Walter P. (2002) Molecular Biology of Cell. New York: Garland Science.

32. Alieva I.B., Vorobjev I.A. (2000) Interphase microtubules in cultured cells: long or short? Membr. Cell Biol., V.14 P. 57-67.

33. Amos L.A., van den Ent F., Lowe J. (2004) Structural/functional homology between the bacterial and eukaryotic cytoskeletons. Curr Opin Cell Biol. V. 16 P.24-31.

34. Andersen S.S.L. (2000) Spindle assembly and the art of regulating microtubule dynamics by MAPs and Stathmin/Opl8. Trends Cell Biol. V. 10 P. 261-267.

35. Anesti V., Scorrano L. (2006) The relation between mitochondrial shape and function and cytoskeleton. Biochim. Biophys Acta. V.1757. P.692-699.

36. Arnal I., Wade R.H. (1995) How does taxol stabilize microtubules? Curr. Biol., V.5. P.900-908.

37. Bak P. (1996) How nature works. Copernicus Press, New York.

38. Bayley P.M., Schilstra M.J., Martin S.R. (1989) A lateral cap model of microtubule dynamic instability. FEBS Lett. V. 259, P.181-184.

39. Bayley P.M., Schilstra M.J., Martin S.R. (1990) Microtubule dynamic instability: numerical simulation of microtubule transition properties using a Lateral Cap model. J. Cell Sci. V.95 P.33-48.

40. Bergen L.J., Borisy G.G. (1980) Head-to-tail polymerization of microtubules in vitro. Electron microscopy analysis of seeded assembly. J. Cell. Biol. V.84, P.141-150

41. Bolterauer H., Limbach H.J., Tuszynski J.A. (1999) Models of assembly and dissasembly of individual microtubules: stochastic and averages equations. J. Biol. Phys. V.25 P. 1-22.

42. Borisy G.G., Olmsted J.B. (1972) Nucleated assembly of microtubules in porcine brain extracts. Science V.177. P. 1196-1197.

43. Brandt R., Lee G. (1994) Orientation, assembly, and stability of microtubule bundles induced by a fragment of tau protein. Cell Motil. Cytoskeleton. V. 28(2) P.143-154.

44. CaplowM., Fee L. (2003) Concerning the chemical nature of tubulin subunits that cap and stabilize microtubules. Biochemistry V.42 P.2122-2126.

45. Carlier M.F., Hill T.L., Chen Y. (1984) Interference of GTP hydrolysis in the mechanism of microtubule assembly: An experimental study. PNAS, V.81, P.771-775.

46. Carlier M.F., Melki R., Pantaloni D., Hill T.L., Chen Y. (1987) Synchronous oscillations in microtubule polymerization. PNAS, V.84, P.5257-5261.

47. Carlier M.F., Pantaloni D. (1981) Kinetic analysis of guanosine 5'-triphosphate hydrolysis associated with tubulin polymerization. Biochemistry. V. 20 P. 1918-1924.

48. Carlier M.F. (1982) Guanosine-5'-triphosphate hydrolysis and tubulin polymerization. Review article. Mol/ Cell Biochem. V. 47 P. 97-113.

49. Carlson J.F. (1952) Microdissection studies of the dividing neuroblast of. the grasshopper, Chortophaga viridifasciata (De Greer). Chromosoma (Berlin). V.5 P.200-220.

50. Cassimeris L. (1999) Accessory protein regulation of microtubule dynamics throughout the cell cycle. Curr. Opin. Cell Biol. V. 11 P. 134-141.

51. Cassimeris L., Pryer N.K., Salmon E.D. (1988) Real-time observation of microtubule dynamic instability in living cells. J. Cell Biol. V.107. P.2223-2231.

52. Caudron M., BuntG., BastiaensP., KarsentiE. (2005) Spatial coordination of spindle assembly by chromosome-mediated signaling gradients. Science, V. 309. P.1373-1376.

53. Caudron N., Valiron O., Usson Y., Valiron P., Job D. (2000) A reassessment of the factors affecting microtubule assembly and disassembly in vitro. J.Mol.Biol. V. 297. P.211-220.

54. Caviston J.P., Holzbaur E.L. (2006) Microtubule motors at the intersection of trafficking and transport. Trends Cell Biol. V.16(10) P.530-537.

55. Chen Y., Hill T.L. (1983) Use of Monte Carlo calculations in the study of microtubule subunit kinetics. PNAS. V.80. P.7520-7523.

56. Chen Y., Hill T.L. (1984) Theoretical treatment of microtubules disappearing in solution. PNAS. V.82. P.4127-4131.

57. ChenY., Hill T.L. (1987) Theoretical studies on oscillations in microtubule polymerization. PNAS. V.84. P.9418-8423.

58. Chretien D., Metoz F., Verde F., Karsenti E., Wade R.H. (1992) Lattice defects in microtubules: protofilament numbers vary within individual microtubules. J Cell Biol. V. 117(5) P. 1031 -1040.

59. Chretien D., Fuller S.D., Karsenti E. (1995) Structure of growing microtubule ends: two dimensional sheets close into tubes at variable rates. J Cell Biol V. 129 P.1311-1328.

60. Davis L.J., Odde D.J., Block S.M., Gross S.P. (2002) The importance of lattice defects in katanin-mediated microtubule severing in vitro. Biophys. J. V. 82. P.2916-2927.

61. Desai A., Mitchison T.J. (1997) Microtubule polymerization dynamics. Annu. Rev. Cell Dev. Biol., V. 13, p.83-117.

62. Diaz J.F., Valpuesta J.M., Chacon P., Diakun G., Andreu J.M. (1998) Changes in microtubule protofilament number induced by taxol binding to an easily accessible site. J. Biol. Chem. V. 273 P.33803-33810.

63. Dogterom M., Maggs A.C., Leibler S. (1995) Diffusion and formation of microtubule asters: physical processes versus biochemical regulation. PNAS V.92 P.6683-6688.

64. Dogterom M., Leibler S. (1993) Physical aspects of the growth and regulation of microtubule structures. Phys. Rev. Lett. V. 70. P.l 347-1350.

65. Drechsel D.N., Kirschner M.W. (1994) The minimum GTP cap required to stabilize microtubules. Current Biology, V. 4 P.1053-1061.

66. Drechsel D.N., Hyman A.A., CobbM.H., Kirschner M.W. (1992) Modulation of the dynamic instability of tubulin assembly by the microtubule associated protein tau. Mol Biol Cell V.3, P.l 141-1154.

67. Dustin P. (1984) Microtubules. 2nd edn. New York: Springer.

68. Erickson H.P., O'Brien E.T. (1992) Microtubule dynamic instability and GTP hydrolysis. Ann. Rev. Bioph. Biomol. Struct. Vol. 21, P. 145-166.

69. Ermentrout C.B., Edelstein-Keshet L. (1993) Cellular automata approaches to biological modeling. J.theor.Biol., V. 160, P.97-133.

70. Eyring Н. (1935) The activated complex in chemical reactions. J. Chem. Phys. V.3. P.107-115.

71. Feigenbaum M.J. (1978) Quantitative universality for a class of nonlinear transformations.J. Stat. Phys., V.19, N 1, P.25-52.

72. FlyvbjergH., Holy Т.Е., Leibler S. (1994) Stochastic dynamics of microtubules: a model for caps and catastrophes. Phys. Rev. Lett, V.73, P.2372-2375.

73. FlyvbjergH., Holy Т.Е., Leibler S. (1996) Microtubule dynamics: caps, catastrophes, and coupled hydrolysis. Phys. Rev. E, V.54, P.5538-5560.

74. Fokker A.D. (1914) Ann. Physik V.43 P.810

75. Fygenson D.K., Braun E., Libchaber A. (1994) Phase diagram of microtubules. Phys. Rev. E. V.50. P. 1579-1588.

76. Gibbs J.W. (1928) The Collected Works. Thermodynamics. New York: Longmans, Green and Co., V. 1.

77. Grigoriev I.S., Chernobelskaya A.A., Vorobjev I.A. (1999) Nocodazole, vinblasine and taxol at low concentrations affect fibroblast locomotion and salutatory movements of organelles. Membr. Cell. Biol. V.13 P.23-48.

78. Grigoriev I., Borisy G., Vorobjev I. (2006) Regulation of microtubule dynamics in 3T3 fibroblasts by Rho family GTPases. Cell Motil. Cytoskel. 2006. V. 63. P. 29-40.

79. Gurret J.-P. (1995) Modelling the mitotic apparatus: from the discovery of bipolar spindle to modern concepts. Acta Biotheor. V. 43, P. 127-142.

80. HakenH. (1977) Synergetics, an introduction. Nonequilibrium Phase-Transitions and Self-Organization in Physics, Chemistry and Biology. Springer, (русский перевод: Хакен Г. Синергетика, М.: Мир, 1980.)

81. Hammele М., Zimmermann W. (2003) Modeling oscillatory microtubule polymerization. Phys. Rev. E. V. 67. P.21903-19

82. Hill T.L. (1984) Introductory analysis of the GTP-cap phase-change kinetics at the end of a microtubule. V.81 P.6728-6732.

83. Hill T.L., Carlier M.F. (1983) Steady-state theory of the interference of GTP hydrolysis in the mechanism of microtubule assembly. V.80 P.7234-7238.

84. Hill T.L., Chen Y. (1984) Phase changes at the end of a microtubule with GTP cap. V.81 P.5772-5776.

85. Hirokawa N. (1994) Microtubule organization and dynamics dependent on microtubule-associated proteins. Curr. Opin. Cell Biol. V.6 P.74-81.

86. Holmfeldt P., Brattsand G., Gullberg M. (2002) MAP4 counteracts microtubule catastrophe promotion but not tubulin-sequestering activity in intact cells. Curr Biol. V. 12(12) P. 1034-1039.

87. Holy Т.Е., Leibler S. (1994) Dynamic instability of microtubules as an efficient way to search in space. PNAS, V.91 P.5682-5685.

88. Honore S., Pasquier E., BraguerD. (2005) Understanding microtubule dynamics for improved cancer therapy. Cell. Mol. Life Sci., V. 62. P. 30393056.

89. Houchmandzadeh В., Vallade M. (1996) Collective oscillations in microtubule growth. Phys. Rev. E. 1996. V. 53. P.6320-6324.

90. Howard J., Hyman A.A. (2003) Dynamics and mechanics of the microtubule plus end. Nature, V. 422, P.752-758.

91. Howard J., Hyman A.A. (2007) Microtubule polymerases and depolymerases. Curr. Opin. Cell Biol, V. 19, P.31-35.

92. Inoue S. (1960) On the physical properties of the mitotic spindle. Ann. N. Y. Acad. Sci. V. 90, P. 529-530.

93. Inoue S., Ritter H. (1975) Dynamics of mitotic spindle organization and function, in "Molecules and Cells Movement" (eds. Inoue S., Stephens R.E.) Raven Press, New York. P.3-30.

94. Inoue S., Sato H. (1967) Cell motility by labile association of molecules. The nature of the mitotic spindle fibers and their role in chromosome movement. J. Gen. Physiol. V. 50 P. 259-292.

95. Inoue S. (1981) Cell division and the mitotic spindle. J. Cell Biol. V. 97. P. 131-147.

96. Inoue, S. (1952) The effect of colchicine on the microscopic and submicroscopic structure of the mitotic spindle. Expl. Cell Res. (Suppl.) V. 2 P.305-319.

97. Inoue, S. (1959) Motility of cilia and the mechanism of mitosis. Rev. mod. Phys. V.31P. 402-408.

98. Janmey P.A. (1998) The cytoskeleton and cell signaling: component localization and mechanical coupling. Physiol. Rev. V.78 P.763-781.

99. Janosi I.M., Chretien D., Flyvbjerg H. (1998) Modeling elastic properties of microtubule tips and walls. Eur Biophys J, V. 27 P.501-513.

100. Janosi I.M., Chretien D., Flyvbjerg H. (2002) Structural microtubule cap: stability, catastrophe, rescue, and third state. Biophys J., V. 83, P.1317-1330.

101. JansonM.E., DogteromM. (2004) A bending mode analysis for growing microtubules. Biophysical J. V.87, P.2723-2736.

102. Janulevicius A., Van PeltJ., Van OoyenA. (2006) Compartment volume influences Microtubule dynamic instability: a model study. Biophysical J., V.90, p.788-798.

103. Jordan М.А. (2002) Mechanism of action of antitumor drugs that interact with microtubules and tubulin. Curr. Med. Chem. Anti-Canc. Agents V.2. P. 1-17

104. Jobs D., Valiron O., Oakley B. (2003) Microtubule nucleation. Curr.Opin.Cell Biol., V. 15, P. 111-117.

105. Jobs E., WolfD.E., FlyvbjergH. (1997) Modeling microtubule oscillations Phys.Rev.Lett. V.79, P. 519-522.

106. Karsenti E., Vernos I. (2001) The mitotic spindle: a self-made machine. Science. V. 294. P.543-547.

107. Koch A.J., Meinhardt H. (1994) Biological pattern formation from basic mechanisms to complex structures. Rev. Modern Physics. V. 66. P. 1481-1507.

108. Komarova Y.A., Vorobjev I.A., Borisy G.G. (2002) Life cycle of MTs: persistent growth in the cell interior, asymmetric transition frequencies and effects of the cell boundary. J Cell Sci. 2002 V.l 15 P.3527-3539.

109. Koshland D.E., Mitchison T J., Kirschner M.W. (1988) Polewards chromosome movement driven by microtubule depolymerization in vitro. Nature V.331, P. 499-504.

110. Kowalski R.J., Williams R.C. (1993) Microtubule-associated protein 2 alters the dynamic properties of microtubule assembly and disassembly. J. Biol Chem. V. 268 P. 9847-9855.

111. Li H., DeRosier D.J., Nicholson W.V., Nogales E., Downing K.H (2002) Microtubule structure at 8 A resolution. Structure. V. 10. P.1317-1328.

112. Maddox P., Chin E., Mallavarapu A., Yeh E., Salmon E.D., Bloom K. (1999) Astral microtubule and spindle dynamics in mating and the first zygotic division in the budding yeast Saccharomyces cerevisiae. J. Cell Biol. V.144, P.977-987.

113. Maly I.V. (2002) Diffusion approximation of the stochastic process of microtubule assembly. Bull. Math. Biol. V.64. P.213-238.

114. Mandelbrot B.B. (2004) Fractals and Chaos. The Mandelbrot Set and Beyond. Springer, 308 P.

115. Mandelkow E.M., Lange G., Jagla A., Spann U., Mandelkow E. (1988) Dynamics of the microtubule oscillator: role of nucleotides and tubulin -MAP interactions. EMBO J. V.7 P.357-365.

116. Margolis R.L., Wilson L. (1978) Opposite end assembly and disassembly of microtubules at steady state in vitro. Cell, V. 13. P. 1-8.

117. McNally F.J. (1996) Modulation of microtubule dynamics during the cell cycle. Curr. Opin. Cell Biol. V.8 P.23-29

118. Melki R., Carlier M.F., Pantaloni D. (1988) Oscillations in microtubule polymerization: the rate of GTP regeneration on tubulin controls the period. EMBO J., V.7, P. 2653-2659.

119. Melki R., Carlier M.F., Pantaloni D. (1990) Direct evidence for GTP and GDP-Pi intermediates in microtubule assembly. Biochemistry V.29, P.8921-8932.

120. Mitchison T.J., Salmon E.D. (2001) Mitosis: a history of division. Nature Cell Biology, V.3, P. E17-E21.

121. Mitchison T.J., Kirschner M.W. (1984) Dynamic instability of microtubule growth. Nature, V. 312. P.237-242.

122. Molodtsov M.I., Ermakova E.A., ShnolE.E., GrishukE.L., Mcintosh J.R., Ataullakhanov F.I. (2005) A molecular-mechanical model of microtubule. Biophysical J. V.88 P.3167-3179.

123. MoritzM., Braunfeld M.B., SedatJ.W., Alberts В., AgardD.A. (1995) Microtubule nucleation by gamma-tubulin-containing rings in the centrosome. Nature, V. 378, P.638-640.

124. Muller-Reichert Т., Chretien D., Severin F., Hyman A.A. (1998) Structural changes at microtubule ends accompanying hydrolysis: Information from slowly hydrolysable analogue of GTP, guanylyn (a, p) methylenediphosphonate. PNAS, V.95. P.3661-3666.

125. Narumiya S., Yasuda S. (2002) Rho GTPases in animal cell mitosis. Сип-Орт Cell Biol. V.18. P. 199-205.

126. Nguyen et al., (1999) Microtubule associated protein 4 (MAP4) regulates assembly, protomer-polymer partitioning and synthesis of tubulin in cultured cells. J. Cell Sci. V.l 12, P.1813-1824.

127. NiethammerP., Bastiaens P., Karsenti E. (2004) Stathmin-tubulin interaction gradients in motile and mitotic cells. Science. V. 303. P. 1862-1866.

128. Nogales E. (2001) Structural insights into microtubule function. Annu. Rev. Biophys. Biomol. Struct. V.30 P.397-420.

129. Nogales E., WolfS., Downing K.H. (1998) Structure of the alfa-beta tubulin dimer by electron crystallography. Nature V.391, P. 199-203.

130. Nucleation theory and applications. (1999) edited by J. W. P. Schmelzer, G. Ropke, V. R. Priezzhev, JINR, Dubna.

131. O'Brien E.T., Voter W.A., Erickson H.P. (1987) GTP hydrolysis during microtubule assembly. Biochemistry V.26(13) P.4148-4156.

132. O'Brien E.T., Salmon E.D., Walker R.A., Erickson H.P. (1990) Effects of magnesium on the dynamic instability of individual microtubules. Biochemistry, V. 29, P.6648-6656.

133. Odde D.J., Cassimeris L., Buetten H.M. (1995) Kinetics of microtubule catastrophe assessed by probabilistic analysis. Biophys. J. V.69. P.796-802.

134. Odde D.J. (1997) Estimation of the diffusion-limited rate of microtubule assembly. Biophys J. V.73(l) P:88-96.

135. Olmsted J.B., Borisy G.G. (1975). Ionic and nucleotide requirements for microtubule polymerization in vitro. Biochemistry V. 14. P.2996-3005.

136. Oosawa F., Asakura S. (1975) Thermodynamics of the polymerization of protein. New York, Academic Press.

137. Wilson L., Panda D., Jordan M.A. (1999) Modulation of microtubule dynamics by drugs: a paradigm for the actions of cellular regulator. Cell Struct. Function V.24. P.329-335.

138. Panda D., Miller H.P., Wilson L. (2002) Determination of the size and chemical nature of the stabilizing "cap" at microtubule ends using modulators of polymerization dynamics. Biochemistry V.41 P. 1609-1617.

139. Pearson C.G., Gardner M.K., Paliulis L.V., Salmon E.D., Odde D.J., Bloom K. (2006) Measuring nanometer scale gradients in spindle microtubule dynamics using model convolution microscopy. Mol Biol Cell.V.17. P.4069-4079.

140. Pedigo S., Williams R.C. (2002) Concentration Dependence of Variability in Growth Rates of Microtubules. Biophysical J. V. 83 P. 1809-1819

141. Plank M. (1917) Sitzungsber. Preuss Acad. Wissens. P.324.

142. Potapova T.A., Daum J.R., Pittman B.D., Hudson J.R., Jones T.N., Satinover D.L., Stukenberg P.T., Gorbsky G.J. (2006) The reversibility of mitotic exit in vertebrate cells. Nature. V. 440. P.954-958.

143. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. (2002) Numerical recipes in C. Cambridge University Press. 995 P.

144. Pryer N.K., Walker R.A., Skeen V.P., Bourns B.D., Soboeiro M.F., Salmon E.D. (1992) Microtubule-associated protein 2 alters the dynamic properties of microtubule assembly and disassembly. J. Cell Sci. V.103. P.965-976.

145. Ross J., Muller S., Vidal C. (1988) Chemical waves. Science. V. 240. P.460-465.

146. Rubin СЛ., Atweh G.F.(2004) The role of stathmin in the regulation of the cell cycle. J Cell Biochem. 2004, V.93. P. 242-250.

147. Sammak P.J., Borisy G.G. (1988) Direct observation of microtubule dynamics in living cells. Nature. V. 331 P.724-726.

148. Schaap I.A., de Pablo P.J., Schmidt C.F. (2004) Resolving the molecular structure of microtubules under physiological conditions with scanning force microscopy. Eur. Biophys. J., V.33(5). P.462-467.

149. Schilstra M.J, Martin S.R., Bayley P.M. (1987) On the relationship between nucleotide hydrolysis and microtubule assembly: studies with a GTP-regenerating system. Biochem. Biophys. Res. Commun. V.147 P.588-595.

150. Schmidt A., Hall A. (2002) Guanine nucleotide exchange factors for Rho GTPases: turning on the switch. Genes and Development, V. 16, P. 15871609.

151. Scholey J.M., Brust-Mascher I., Mogilner A. (2003) Cell division. Nature.1. V.422. P.746-752.

152. Semenov M.V. (1996) New concept of microtubule dynamics and microtubule motor movement and new model of chromosome movement in mitosis. J. theor. Biol. V.179, P.91-117.

153. Sept D., Baker N.A., MacCammon J.A. (2003) The physical basis of microtubule structure and stability. Protein Sci. V.12. P.2257-2261.

154. Sept D., Limbach H.J., Bolterauer, Tuszynski J.A. (1999) A chemical kinetics model for microtubule oscillations. J. Theor. Biol. V.197. P.77-88.

155. Seybold P.G., KierL.B., Cheng C.K. (1998) Stochastic cellular automata models of molecular excited-state dynamics. J. Phys.Chem. V. 102. P.886-891.

156. Shelanski M.L., Gaskin F., Cantor C.R. (1973) Microtubule assembly in the absence of added nucleotides V.70, P.765-768

157. Slautterback D.B. (1963) Cytoplasmic microtubules. J. Cell Biol. V. 18 P.367-388.

158. Stamenovic D., Mijailovich S.M., Tolic-Norrelykke I.M., Chen J., Wang N. (2002) Cell prestress. II. Contribution of microtubules Am. J. Physiol. Cell Physiol. V. 282 P. C617-C624.

159. Stephens R.E. (1971) Microtubules, in "Subunits and Biological Systems" (eds. S.N. Timasheff and G.D.Fasman) Marcel Dekker Inc., New York. P. 355-391.

160. Stewart R.J., Farrell K.W., Wilson L. (1990) Role of GTP-hydrolysis in microtubule polymerization: evidence for a coupled hydrolysis mechanism. Biochemistry V.29, p.6489-6498.

161. Thorn R. (1982) Mathematical models of morphogenesis. New York, Halsted Press, (русский перевод: Том P. (2006) Математические модели морфогенеза. М.: РХД, 2006. 136 с.)

162. Tran P.R., R.A.Walker, E.D.Salmon (1997) A metastable intermediate state of microtubule dynamic instability that differs significantly between plus and minus ends. J.Cell Biol. V. 138, P.105-117.

163. Turing A.M. (1952) The chemical basis of morphogenesis. Phil. Trans. R. Soc. London. V.237. P.37-72.

164. Valiron O., Caudron N., Job D. (2001) Microtubule dynamics. Cell. Mol. Life Sci. V.58. P.2069-2084.

165. VanBuren V., Cassimeris L., Odde D.J. (2005) Mechanochemical model of microtubule structure and self-assembly kinetics. Biophysical J. V.89. P.2911-2926.

166. VanBuren V., Odde D.J., Cassimeris L. (2002) Estimates of lateral and longitudinal bond energies within the microtubule lattice. PNAS V.99 P.6035-6040.

167. Vasques R.J., Howell В., Yvon A.C., Wadsworth P., Cassimeris L. (1997) Nanomolar concentration of nocodazole alter microtubule dynamic instability in vivo and in vitro. Mol. Biol. Cell V.8. P.973-985.

168. Verde F., Dogterom M., Stelzer E., Karsenti E., Leibler S. (1992) Control of microtubule dynamics and length by cycIin-A and cyclin-B dependent kinases in Xenopus egg extracts. V. 118 P. 1097-1108.

169. Vicsek T. (1992) Fractal growth phenomena. World Scientific. 400 P.

170. Vorobjev I.A., Rodionov V.I., Maly I.V., Borisy G.G. (1999) Contribution of plus and minus end pathways to microtubule turnover. J. Cell Sci. V. 112 P.2277-2289.

171. Vorobjev I.A., Svitkina T.M., Borisy G.G. (1997) Cytoplasmic assembly of microtubules in cultured cells. J.Cell Sci. V.l 10 P. 2635-2645.

172. Voter W.A., O'Brien E.T., Erickson H.P. (1991) Dilution-induced disassembly of microtubules: relation to dynamic instability and the GTP cap. Cell Motil. Cytoskeleton. V. 18 P.55-62.

173. Walker R.A., PryerN.K., Salmon E.D. (1991) Dilution of individual microtubules observed in real-time in vitro: evidence that cap size is small and independent of elongation rate. J. Cell. Biol.V.107, P. 1437-1448.

174. Wang H.W., Nogales E. (2005) Nucleotide-dependent bending flexibility of tubulin regulates microtubule assembly. Nature. V.435. P.911-915.

175. Watanabe Т., Noritake J., Kaibuchi K. (2005) Regulation of microtubules in cell migration. Trends Cell Biol. V. 15(2). P. 76-83.

176. Weisenberg R. (1972) Microtubule formation in vitro in solutions containing low calcium concentrations. Science, V. 177 P. 1104-1105.

177. Wilde A., Zheng Y. (1999) Stimulation of microtubule aster formation and Spindle assembly by the small GTPase Ran. Science, V.284, P.1359-1362

178. Wolfram S. (1986) Theory and applications of cellular automata. Singapore: World Publishing Co.

179. Wolfram S. (2002) A new kind of science. Wolfram Media 1192 P.

180. Wolpert L. (1998) Principles of development. Oxford. University Press, 1998.

181. Yu R.X., Holmgren E. (2007) Endpoints for agents that slow tumor growth. Contemporary Clinical Trials, V.28. P. 18-24.