Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Аттракторы и неустойчивые периодические решения конечномерных гидродинамических моделей

ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Гусаков, Игорь Валерьевич

Введение

Глава 1. Исследование системы уравнений галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере

1.1. Постановка задачи.

1.2. Вывод системы уравнений галеркинских приближений.

1.3. Существование аттрактора.

1.4. Явная схема для системы уравнений галеркинских приближений и ее аттрактор.

1.5. Близость аттракторов спектральной модели и ее явной разностной схемы.

1.6. Полунеявная схема, ее аттрактор и близость к аттрактору спектральной модели.

Глава 2. Метод поиска неустойчивых периодических решений нелинейных динамических систем

2.1. Постановка задачи.

2.2. Алгоритм решения.

2.3. Устойчивость вспомогательных задач метода Ньютона.

2.4. Схема дискретизации вспомогательных задач.

2.5. Дополнительная регуляризация.

2.6. Численный эксперимент с неустойчивыми системами малой размерности.

Глава 3. Периодические решения конечномерных гидродинамических моделей

3.1. Вывод системы Лоренца.

3.2. Численный эксперимент.

3.3. Система уравнений галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере.

3.4. Численный эксперимент при отсутствии диссипации и форсинга.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Аттракторы и неустойчивые периодические решения конечномерных гидродинамических моделей"

Актуальность темы. Одной из важнейших проблем, стоящих перед наукой в настоящее время, является проблема предсказания климатических изменений, вызываемых, в частности, антропогенным воздействием. К таким воздействиям относятся, например, сжигание топлива, выброс в атмосферу вредных веществ, вырубка лесов и многие другие факторы. Отличительной чертой указанной проблемы является то, что она не допускает прямого физического эксперимента. Поэтому основным методом ее исследования является эксперимент численный.

Первым этапом в решении поставленной задачи является построение адекватной климатической модели, которая согласно [10] должна удовлетворять ряду принципов. В число этих принципов входят в частности следующие:

1) Модель должна учитывать все процессы, участвующие в формировании климата, каким бы малым не был вклад того или иного процесса в общую энергетику.

2) Для описания динамики атмосферы и океана справедливы уравнения Навье-Стокса сжимаемой жидкости.

3) Локально справедливы уравнения классической термодинамики. Кроме того, используется ряд других предположений.

Следуя указанным предположениям, авторы работы [10] вводят понятие "идеальной" климатической модели, которая описывается системой уравнений в частных производных, принадлежит к классу диссипа-тивных полудинамических систем и обладает глобальным аттрактором. Траектория, порождаемая "идеальной" моделью, лежит на ее аттракторе, где динамика хаотична и эргодична. Последнее означает, что траектории, выпущенные из почти всех точек аттрактора, всюду плотны на аттракторе, и таким образом мы можем вычислять характеристики аттрактора по одной траектории.

Понимая под климатом ансамбль состояний, проходимый климатической системой за достаточно большой промежуток времени, это понятие можно переформулировать в терминах характеристик аттрактора "идеальной" климатической модели. Тогда близость климатов какой-либо климатической и "идеальной" моделей можно рассматривать как близость упомянутых характеристик аттракторов соответствующих моделей.

Следующим этапом в решении проблемы предсказания климатических изменений является задача аппроксимации исходных бесконечномерных систем уравнений в частных производных с помощью конечномерных систем. Поэтому чрезвычайно важен вопрос о близости динамики исходной и приближенной системы. Затем полученная конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) должна быть решена численно, и здесь необходимо исследовать вопрос о близости аттракторов конечномерной системы ОДУ и ее разностной аппроксимации.

В силу всего вышесказанного, одной из важнейших задач для решения проблемы предсказания изменений климата является задача аппроксимации аттракторов климатических моделей. В частности, в предположении, что система обладает большим количеством неустойчивых периодических орбит, множество которых плотно на аттракторе, особую важность приобретает проблема поиска таких орбит.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование близости аттракторов системы уравнений галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере и некоторых ее разностных аппроксимаций, и построение алгоритма поиска неустойчивых периодических решений нелинейных динамических систем, разработка и тестирование соответствующего численного метода, а также применение данного метода для поиска неустойчивых периодических решений конечномерных гидродинамических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующем. Доказана близость к аттрактору системы уравнений галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере аттрактора явной разностной схемы для данной системы. Разработанный алгоритм поиска неустойчивых периодических решений нелинейных динамических систем, который принципиально отличается от имеющихся аналогов, может применяться для широкого круга задач и обладает высокой точностью. Показана возможность применения данного алгоритма для поиска периодических решений конечномерных гидродинамических моделей.

Практическая ценность. Доказанная в работе близость аттракторов системы уравнений галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере и ее явной разностной схемы позволяет говорить о близости важных для климатических моделей характеристик системы ОДУ, являющейся пространственной аппроксимацией исходных уравнений в частных производных и ее явной разностной схемы, то есть временной аппроксимации получившейся системы ОДУ.

Предложенный в работе метод нахождения неустойчивых периодических решений нелинейных динамических систем обеспечивает высокую точность вычислений. Программный комплекс, написанный для поиска периодических орбит, минимально зависит от системы, поиск периодических решений которой он осуществляет, и требует задания только функции правой части. Кроме того, разработанный метод позволяет искать сильно неустойчивые периодические решения, и таким образом открывает возможность находить ранее неизвестные решения систем ОДУ.

Содержание работы. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и заключения.

В первой главе работы рассматривается система уравнений галер-кинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере. Спектральным моделям посвящено большое количество работ, например [1] - [8], [11] и т.д. Начало применения спектрального метода для решения задач прогноза и теории климата связано с работой [4]. Наиболее широкое распространение нашли спектральные модели с использованием рядов по сферическим функциям. В работе [5] были приведены правила отбора и применен метод коэффициентов взаимодействия к решению уравнения баротропного вихря в предположении, что зональное течение не изменяется со временем. Это ограничение было снято в работе [6], в которой в рамках баротропной модели проведено сравнение эффективности спектрального и конечно-разностного подходов. В работах [7], [8] было показано, что спектральное уравнение обеспечивает сохранение квадратичных выражений, представляющих собой урезанную спектральную форму для кинетической энергии и квадрата вихря, проинтегрированных по сфере.

Таким образом, спектральные уравнения обладают рядом преимуществ. Они автоматически удовлетворяют требованиям сохранения инвариантов и отсутствия нелинейной вычислительной неустойчивости. Решение спектральных уравнений быстро сходится к решению дифференциальных уравнений при увеличении числа членов ряда. При работе со спектральными моделями не возникает проблемы боковых граничных условий. Спектральный метод позволяет более компактно хранить метеорологическую информацию в памяти ЭВМ. Все эти факторы свидетельствуют о достоинствах спектральных методов. Вместе с тем следует упомянуть и об их недостатках. Спектральный метод с использованием коэффициентов взаимодействия неэффективен в случаях, когда требуется оценить метеорологические параметры локально. Возникают трудности, и когда требуется включить в модель дополнительные нелинейные эффекты, так как при этом могут возникать дополнительные группы коэффициентов взаимодействия.

В первой главе настоящей работы спектральный метод с использованием сферических гармоник применялся, как уже упоминалось, для исследования уравнения баротропного вихря на сфере. Приведен подробный вывод системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся в результате подстановки в уравнение баротропного вихря разложения функции тока в ряд по сферическим гармоникам, а также доказательство существования глобального аттрактора у получившейся системы ОДУ.

Для дальнейшего изложения необходимо напомнить, что полудинамической системой (ПДС) называется [1] семейство отображений 5(£), £ > 0, метрического пространства X в себя, удовлетворяющее следующим условиям: 1) ¿>(£ + з) = 5(£)5(з), \/й,£ > 0; 2) 5(0) = /, где I -тождественное отображение; 3) - непрерывные нелинейные операторы из X в X для каждого £ > 0; 4) для каждого и £ X отображение £ —>• 5(£)и непрерывно.

Если задана автономная система уравнений й = Р(и), гб(0) = «о , и ее решение и — определено для всех £ > 0 и непрерывно по совокупности переменных то решение такой системы можно записать следующим образом: и{£) = — где

-семейство нелинейных операторов, действующих в соответствующем функциональном пространстве.

В первой главе работы рассмотрена также явная разностная схема для системы уравнений галеркинских приближений и доказано, что при выполнении определенных ограничений на шаг схемы по времени полудинамическая система, порождаемая ею, обладает глобальным аттрактором, который в известном смысле близок к аттрактору исходной системы. Полученные результаты опубликованы в работе [15]. Близким вопросам посвящены работы [9], [13], [14], [16], [20], [22]. Интерес представляют также вопросы, связанные с усреднением нелинейных дис-сипативных систем и близостью аттракторов исходных и усредненных систем, которым посвящены, например, работы [19], [21], а также проблема вычисления размерности странных аттракторов, порождаемых нелинейными динамическими системами [1], [23].

Центральной частью работы является вторая глава, посвященная проблеме поиска периодических решений систем нелинейных автономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта задача является одним из важнейших аспектов проблемы управления хаосом. Как известно, присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства нелинейных динамических систем, описывающих достаточно сложные физические, химические, биологические и другие процессы. До недавнего времени существовало представление, что хаос является сугубо негативным фактором, и достигнуть желаемого поведения системы можно только подавив в ней хаотическое поведение пусть даже ценой изменения самой системы, ведущего к изменению ее динамики в целом. Однако в последние годы пришло понимание особой роли хаоса в самоорганизации различных природных явлений [47] - [49]. Было осознано, что хаос не только не мешает, а напротив - является непременным условием работоспособности многих сложных систем. Благодаря хаотическому аттрактору, содержащему, как правило, бесконечное число неустойчивых циклов, удается добиться качественного изменения динамики системы малыми возмущениями системных параметров.

Таким образом, проблема управления хаосом разбивается на две составляющие. Первая задача состоит в том, чтобы, двигаясь по траекториям хаотического аттрактора, приблизиться к заданной неустойчивой периодической орбите, используя малые возмущения системных параметров. Вторая задача - непосредственно задача поиска неустойчивых периодических решений. Некоторые подходы к решению первой задачи можно найти в [48]. Проблеме поиска периодических (и в частности стационарных) решений посвящены работы [40] — [46], на которых мы остановимся подробнее.

В настоящее время для решения последней задачи разработаны два основных подхода. Суть первого состоит в том, чтобы по исходной нелинейной динамической системе построить некую другую систему, которая обладала бы тем же набором решений, что и исходная, но которые при этом были бы устойчивы. Тогда поиск периодических орбит не представляет сложности и осуществляется численным интегрированием новой, преобразованной системы. Это подход изложен в работах [40] — [44]. Так, в работе [44], которая посвящена поиску периодических точек (орбит) нелинейных хаотических отображений, предлагается построить некоторое линейное преобразование, переводящее исходную систему в систему, обладающую свойствами, описанными выше. Этот метод обладает, однако, рядом недостатков. Например, авторы утверждают, что для стабилизации различных решений могут понадобиться различные преобразования. Это обстоятельство затрудняет применение данного метода к системам большой размерности из-за необходимости перебора слишком большого числа возможных преобразований, и кроме того, затрудняет написание программного комплекса, обеспечивающего его численную реализацию в произвольном случае.

Схожий по идейному содержанию метод предложен в работах [40] - [42]. Однако перед тем, как более подробно изложить основные идеи этих работ, напомним некоторые определения.

Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: х = /(х), х б К1.

Будем предполагать, что функция /(ж) определена и непрерывна по х в области И С Ип. Через х(Ь, хо, ¿о) обозначим решение задачи Коши для рассматриваемой системы, т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию сс(£о> #о> ¿о) — #о> гДе ¿о > 0, хо Е -О.

Точка х* называется стационарной точкой рассматриваемой системы, если /(ж*) = 0. Пусть, далее, х = <р(€) есть частное решение указанной системы, определенное для всех £ > 0. Это решение называется периодическим, если существует такое число Т > 0, что > 0 выполняется условие: (р(Ь + Т) = Траектория периодического решения (р(£) называется периодической (циклической) орбитой, или просто циклом.

Решение (не обязательно стационарное или периодическое) <р{Ь) называется устойчивым, если для любых е>0и^о^[0,+оо) можно указать 5 = S(e,to) > 0 такое, что для всякого решения x(t) = x(t,XQ,to), удовлетворяющего условию: ж0 - vMW < ö(e,to), верно: x(t,xo,to) - ip(t)II < £ для всех t > ¿о- Другими словами, решение cp(t) устойчиво, если все решения системы, близкие к этому решению в начальный момент to, остаются близкими к нему для всех t > t о.

Решение <p(t) называется асимптотически устойчивым, если

1) оно устойчиво (в смысле предыдущего определения);

2) для каждого ¿о € [0, +оо) существует А = Д(£о) > 0, такое, что для всякого решения x(t) = x(t,xo,to), удовлетворяющего условию: жо-<р(*о)|| < A(io), верно: lim \\x(t,XQ,tQ) - <p(i)|| = 0. t—>00

Наконец, приведем определение орбитальной устойчивости. Пусть ip(t) - решение рассматриваемой системы и M - множество точек в фазовом пространстве Rn, лежащих на траектории (p(t), t > 0. Решение ip(t) называется орбитально устойчивым, если для любого е > 0 можно указать такие to > 0 и Ö > 0, что из условия р(х$,М) < Ö будет следовать: p(x(t,x0,t0),M) < е, t>t0, где р(х, M) - расстояние от точки х до множества М: р(х,М) = mf ||ж - у||.

В работе [40] исследование проблемы поиска периодических решений начато с метода стабилизации стационарных точек нелинейных отображений. В [41] изложен также метод стабилизации стационарных точек нелинейных динамических систем. Отметим, что проблема поиска стационарных решений является первым шагом на пути к изучению структуры аттрактора. В некоторых случаях даже оценка числа таких решений является нетривиальной задачей [18].

Суть предложенного в [41] метода состоит в следующем. Пусть дана нелинейная система ОДУ (р - параметр): х = /(х,р), жбй", рей, задаваемая гладким семейством отображений /, и пусть х*{р) - некоторая ее стационарная точка. Предположим, что существует р* такое, что х* (р) устойчива при р < р* и неустойчива при р > р*.

Рассмотрим теперь другую систему в пространстве большей размерности: х = /0,Р) + Ф ~Р) ч = Я(Х,Р) + Р{я-Р) где Я(х*(р),р) = 0. Очевидно, что точка (х*,р) - стационарная точка новой, расширенной системы. Тогда можно доказать, что существует р\ > р*, такое, что \/р £ [р*,р1] точка (х*(р),р) асимптотически устойчива. Таким образом, утверждается, что подбором управляющих параметров еж (3 всегда возможно построить систему большей размерности, для которой стационарная точка (х*,р) будет устойчива на интервале [р*,р1]. Далее процедура может повторяться, то есть аналогичным образом строятся интервалы [Рх,^], \pliPl} и Т-Д- и таким образом система, для которой искомая стационарная точка будет устойчива, может быть получена для произвольного значения параметра р.

Понятно, что основным недостатком предложенного алгоритма является необходимость многократного построения систем все большей размерности. Между тем можно предложить близкий по основной идее метод, свободный от указанного недостатка, который состоит в следующем.

Рассмотрим нелинейную автономную систему ОДУ: х = /(х), хея4, (*) задаваемую гладким семейством отображений /. Пусть ж*-некоторая ее стационарная точка (устойчивая или неустойчивая). Тогда система х = -Г1(х)$(х), (**) где 1{х) = — якобиан, будет иметь ту же стационарную точку ж*, которая будет асимптотически устойчива, если только detJ(x*) -ф 0.

Для доказательства этого факта воспользуемся следующим утверждением: (А(х)Цх)) = А(хЩх) + ~ (АШ(х))у=х , (* * *) где А{х) — матрица, /(х) — вектор, которое легко доказывается переходом к координатной форме. Вычислим матрицу ^ (—3~1{х)${х)) и покажем, что в точке х* она равна — Е, где .Б-единичная матрица, то есть:

ГА,. л

- Е

9 (^м/м) ж=аг дх

Действительно, воспользовавшись формулой (***) получаем:

Очевидно, что в точке х*, где /(х*) = 0, второе слагаемое в последней формуле обращается в ноль, и таким образом утверждение доказано. Итак, мы показали, что в точке х* все собственные числа матрицы линейного приближения системы (**) равны -1, то есть стационарная точка х* асимптотически устойчива.

Отметим также следующий интересный факт. Если мы будем искать теперь устойчивую стационарную точку системы (**) численно по явной схеме с шагом по времени равным 1, то мы получим не что иное, как метод Ньютона нахождения корней уравнения f(x) — 0. Таким образом, метод Ньютона есть частный случай реализации разностной схемы для решения стабилизированной системы, а известный факт об его ограниченной области сходимости можно трактовать как следствие определения асимптотической устойчивости.

На идее построения системы уравнений большей размерности, чем исходная, основан и метод стабилизации периодических орбит, также изложенный в [42]. Расширенная система строится таким образом, чтобы искомое неустойчивое периодическое решение исходной системы являлось проекцией некоторого ее асимптотически орбитально устойчивого предельного цикла. Недостатком этого метода, как и предыдущего, является необходимость вручную строить расширенную систему, а также интегрировать исходную систему ОДУ, которая является неустойчивой.

Если в случае стационарных точек можно предложить метод, свободный от указанных недостатков, то в случае периодических и, вообще говоря, произвольных решений, аналогичная идея, к сожалению, не приводит к желаемым результатам. Действительно, пусть <p(t) - некоторое частное решение (*), то есть х = <p(t). Сделаем замену: у = х — (р. Тогда

У ~ % Ф ~ /М - /(<?) = f(y + (р) - /О)

Точка у = 0 - стационарная точка данной системы, которая будет неустойчива, если (р - неустойчивое решение (*). Стабилизируем эту систему, домножив ее правую часть на —1~г{у)\ у = -г\УШУ+ *)-№)

Для полученной системы точка у = 0 - устойчивая. Переходя обратно к переменной х окончательно получаем: х = -Г\х)/(х) + (Е + Г^хШф)

Очевидно, что для последней системы </?(£) является устойчивым решением. К сожалению, для его нахождения необходимо знать /(</?) как функцию времени, что в общем случае эквивалентно знанию самого решения <р(Ь).

Второй, принципиально отличающийся подход к проблеме поиска неустойчивых периодических решений систем ОДУ базируется на идее минимизации некоторого функционала. Эта идея применялась, например, в работах [45], [46].

В работе [45] предлагается рассмотреть функционал вида где ж(£,Т) — решение в момент времени Т задачи Коши: х = Цх) х(о) = «е

Очевидно, что для каждого периодического решения периода Т функционал J(J^,T) обращается в ноль. Для минимизации J(£,T) используется градиентный метод.

Основным достоинством данного метода является возможность применять его к системам достаточно большой размерности, что и было реализовано в работе [46] для модели баротропного океана. Однако кроме этого явного преимущества, метод обладает и рядом недостатков. Во-первых, метод ищет не само периодическое решение, а лишь его начальную точку и период. Для нахождения самого решения исходная система интегрируется от найденной начальной точки на найденный период в предположении, что исследуемая система обладает свойством слабой неустойчивости. Однако, как будет видно из описания численного эксперимента, приведенного в конце второй главы настоящей работы, такая благоприятная ситуация имеет место далеко не всегда. Более того, поскольку предположение слабой неустойчивости исходной системы заложено и в сам описанный в [45], [46] метод, можно утверждать, что для систем, приведенных в настоящей работе, этот метод не даст положительных результатов. Во-вторых, обсуждаемый метод в реальности находит периодические решения не исходной системы, а лишь ее разностной аппроксимации, например явной разностной схемы [45]. Можно предполагать, что при стремлении шага по времени к нулю найденное периодическое решение разностной схемы будет стремиться к периодическому решению исходной системы, однако теорем, доказывающих это, в настоящее время не существует.

В настоящей работе, как и в работах [45], [46], применяется второй подход к проблеме поиска неустойчивых периодических решений. Задача нахождения циклического решения сводится к задаче минимизации по параметрам Ьг-нормы невязки исходного уравнения при заданных краевых условиях. При этом проводится подробный анализ устойчивости вспомогательных задач развиваемого алгоритма. Работоспособность метода демонстрируется на серии численных примеров. В частности, как уже упоминалось выше, в последнем разделе второй главы работы приведено описание численного эксперимента с двумя системами размерности два, обладающими сильно неустойчивыми периодическими решениями. Свойство сильной неустойчивости проявляется в том, что эти системы не удается численно проинтегрировать на период даже используя схемы с крайне малым шагом по времени. Тем не менее, разработанный метод успешно сходится к периодическим решениям данных систем, которые известны аналитически.

В третьей главе настоящей работы разработанный метод применяется для поиска неустойчивых периодических решений конечномерных гидродинамических моделей. Одной из простейших таких моделей является хорошо изученная система Лоренца [51]. Ее исследованию посвящено большое количество работ, например [50], [29], [52] и другие. Поиску периодических орбит системы Лоренца посвящена и работа [45], с результатами которой проводится сравнение в настоящей работе.

В результате проведенных экспериментов в системе Лоренца было обнаружено большое число периодических решений. Была исследована зависимость точности разработанного метода от числа итераций метода и от количества используемых базисных функций, а также зависимость наименьшего периода системы Лоренца от параметров системы.

Численный эксперимент проводился также с системой уравнений га-леркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере. Эксперимент проводился при отсутствии диссипации и форсинга, то есть в случае, когда аналитическое решение известно, что позволило оценить точность метода.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Автор пользуется возможностью выразить глубокую признательность своему научному руководителю, профессору А.Н. Филатову, а также академику В.П. Дымиикову за многочисленные полезные консультации, A.B. Данилину, в соавторстве с которым написаны работы [15] и [21], C.B. Ротину, в соавторстве с которым написана работа [39] и Е.В. Казанцеву, за предоставленные данные своих численных экспериментов.

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Гусаков, Игорь Валерьевич

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1) Доказано существование аттрактора у полудинамической системы, порождаемой явной разностной схемой для системы уравнений га-леркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере и его близость к аттрактору исходной системы.

2) Разработан новый численный алгоритм поиска неустойчивых периодических решений нелинейных динамических систем, принципиально отличающийся от имеющихся аналогов.

3) Для реализации алгоритма поиска неустойчивых периодических решений нелинейных динамических систем разработан универсальный программный комплекс. Указанный программный комплекс минимально зависит от системы уравнений, поиск периодических решений которой он осуществляет, и для корректной работы требует задания только функции правой части и при необходимости - экспериментальной настройки параметров регуляризации.

4) Проведено тестирование разработанного алгоритма с использованием системы Лоренца и системы уравнений галеркинских приближений для уравнения баротропного вихря на сфере.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Гусаков, Игорь Валерьевич, Москва

1. В. П. Дымников, А. Н. Филатов. Основы математической теории климата. - М.: ВИНИТИ, 1994. - 254 с.

2. Численные методы, используемые в атмосферных моделях. Сборник. Пер. с англ. под редакцией В.П.Садокова. — JL: Гидрометео-издат, 1982. 360 с.

3. С. А. Машкович. Спектральные модели общей циркуляции атмосферы и численного прогноза погоды. — Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 287 с.

4. Е. Н. Блинова. Гидродинамическая теория волн давления, температурных волн и центров действия атмосферы. ДАН СССР, 1943, Т. 39, N. 7, с. 284-287.

5. I. Silberman. Planetary waves in the atmosphere. J. Meteor.(1954), Vol. 11, N.l, pp. 27-34.

6. H. W. Ellsaesser. Evaluation of spectral versus grid methods of hemispheric numerical weather prediction. J. Appl. Meteor.(1966), Vol 5, N.3, pp. 246-262.

7. G. Platzman. The Spectral form ot the Vorticity Equation. J. Meteor. (1960), Vol. 17, N. 6, pp. 635-644.

8. G. Platzman. The Analytical Dynamics of the Spectral Vorticity Equation. J. Atm. Sci. (1962), Vol.19, N 4, pp. 313-328.

9. V. Dymnikov, Ch. Kazantsev, E. Kazantsev. On the "genetic memory "of chaotic attractor of the barotropic ocean model. Chaoc, Solutions and Fractals 11 (2000), pp. 507-532.

10. В. П. Дымников, А. С. Грицун. Хаотические аттракторы климатических моделей. Препринт ИВМ РАН N. 293. ВИНИТИ, 2000. -54 с.

11. V. P. Dymnikov, A. S. Gritsun. On the structure of the attractors of the finite-dimensional approximations of the barotropic vorticity equation on a rotating sphere. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (1997), Vol.12, No.l, pp. 13-32.

12. А. А. Ильин, A. H. Филатов. Уравнения Навье-Стокса на двумерной сфере и их однозначная разрешимость. ДАН СССР, 1988, Т. 301, N. 1 , с. 18-22.

13. А. N. Filatov, V. М. Ipatova. On globally stable difference schemes for the barotropic vorticity equation on a sphere. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (1996), Vol.11, No.l, pp. 1-26.

14. A. N. Filatov, V. M. Ipatova. Globally stable difference schemes for the barotropic vorticity equation with almost-periodic right-hand side. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (1996), Vol.ll, No.4, pp. 287302.

15. I. V. Gusakov, A. V. Danilin. On closeness of attractors of the spectral model for a barotropic vortex equation and some of its difference approximations. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (1999), Vol.14, No.5, pp. 441-451.

16. JI. В. Капитанский, И. H. Костин. Аттракторы нелинейных эволюционных уравнений и их аппроксимаций. Алгебра и анализ (1990), 2, Вып.1, с. 114-140.

17. R. Temam. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. — New-York: Springer-Verlag, 1988. — 648 p.

18. A. H. Филатов. Оценка числа неустойчивых стационарных решений спектральных атмосферных моделей. Труды Гидрометеорологического Центра РФ (1992), Вып. 323, с. 134-141.

19. А. Н. Филатов. О близости аттракторов исходных и усредненных нелинейных диссипативных систем. ДАН (1996), Том 346, N. 5, с. 556-560.

20. А. N. Filatov. Stability of attractors in semidynamical systems. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (1997), Vol.13, No.6, pp. 453-463.

21. И. В. Гусаков, А. В. Данилин. О полном и частичном усреднении неавтономных нелинейных диссипативных систем. Дифференциальные Уравнения (2000), Т. 36, N. 3, с. 312-318.

22. О. А. Ладыженская. Глобально устойчивые разностные схемы и их аттракторы. — Л.: Препринт ЛОМИ, 1991. — 60 с.

23. Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. О вычислении размерности странных аттракторов. ЖВМ и МФ (1988) Т. 28, N.7, с. 1021-1037.

24. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 496 с.

25. В. А. Треногип. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1993. — 440 с.

26. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. — М.: Наука, 1971. — 576 с.

27. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Пер. с англ. М.: Мир, 1970. - 720 с.

28. Н. М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — Минск: Вышэйшая школа, 1974. — 766 с.

29. Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. 512 с.

30. Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.

31. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974. 479 с.

32. Б. Т. Поляк. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983. — 384 с.

33. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 287 с.

34. С. Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. 510 с.

35. Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. 608 с.

36. Г. И. Марчук, В. И. Агошков. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

37. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 349 с.

38. Н. В. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 622 с.

39. I. V. Gusakov, S. V. Rotin. On the search for unstable periodic solutions of nonlinear dynamical systems. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling (2001), Vol. 16, No. 2 (в печати).

40. H. А. Магницкий. О стабилизации неподвижных точек хаотических отображений. ДАН (1996), Т. 351, N. 2, с. 175-177.

41. Н. А. Магницкий. О стабилизации неустойчивых циклов хаотических отображений. ДАН, 1997, Т. 355, N. 6, с. 747-749.

42. Н. А. Магницкий, С. В. Сидоров. Управление хаосом в нелинейных динамических системах. Дифференциальные Уравнения (1998), Т. 34, N. 11, с. 1501-1509.

43. А. В. Малинин. Стабилизация неустойчивой неподвижной точки в упрощенной модели газа Лоренца. Дифференциальные Уравнения (1999), Т. 35, N. 3, с. 423-424.

44. P. Schmelcher, F. К. Diakonos. A general approach to the localization of unstable periodic orbits in chaotic dynamical systems. Physical Review E (1998), Vol. 57, No. 3, pp. 2739-2746.

45. E. Kazantsev. Unstable periodic orbits and attractor of the barotropic ocean model. Nonlinear Processes in Geophysics, (1998), No. 5, pp. 193-208.

46. E. Kazantsev. Unstable periodic orbits and attractor of the Lorenz model. Research report 3344, INRIA, 1998, 17 p. (http://www.inna. fr//INRIA/publications/publips-gz//RR/RR-3344.ps.gz).

47. E. Ott, С. Grebogi, J. A. Yorke. Controlling chaos. Physical Review Letters (1990), Vol. 64, No. 11, pp. 1196-1199.

48. T. Shinbrot, E. Ott, С. Grebogi, J. A. Yorke. Using small perturbations to control chaos. Nature (1993), No. 363, pp. 411-417.

49. A. Loskutov, A. Shishmarev. Control of dynamical behavior by parametric perturbation: An analytic approach. Chaos (1998), Vol. 4, No. 2, pp. 391-394.

50. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. 240 с.

51. Е. N. Lorenz. Deterministic поп periodic flow. J. of Atm. Science (1963), Vol.20, pp. 130-141.

52. A. Wiin-Nielsen. On the stable part of the Lorenz attractor. Atmosfera (1998), No. 11, pp. 61-73.