Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Теория и практика решения комплекса оптимизационных задач на сетях при нечетких данных в геоинформатике

ВАК РФ 25.00.35, Геоинформатика

Автореферат диссертации по теме "Теория и практика решения комплекса оптимизационных задач на сетях при нечетких данных в геоинформатике"

На правах рукописи

Розенберг Игорь Наумович

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСА ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА СЕТЯХ ПРИ НЕЧЕТКИХ ДАННЫХ В ГЕОИНФОРМАТИКЕ

Специальность 25 00 35 «Геоинформатика»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

□ОЗ 159464

Москва- 2007 г

003159464

Работа выполнена на кафедре «Прикладной информатики» Технологического института Федерального государственного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г Таганроге и на кафедре «Геодезия и геоинформатика» в Государственном образовательном учреждении высшего

профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ)

Научный консультант

- доктор технических наук, профессор Берштейн Леонид Самойлович

Официальные оппоненты

- доктор технических наук,

доктор экономических наук, профессор Цветков Виктор Яковлевич

- доктор технических наук, профессор Гуда Александр Николаевич

- доктор технических наук Нехин Сергей Степанович

Ведущая организация

Всероссийский научно-исследовательский институт железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ)

Защита состоится «25» октября 2007г в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 218 005 11 при Московском государственном университете путей сообщения по адресу 127994, Москва, ул Образцова, д15, МИИТ, ауд 1235

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан « 24 » сентября 2007г

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью Вашего учреждения, просим направлять по адресу диссертационного совета на имя ученого секретаря совета

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Ю А Быков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Геоинформационные системы (ГИС) представляют собой программно—аппаратные комплексы для получения, хранения, преобразования и передачи информации пространственно-временного характера ГИС нашли свое применение в самых различных областях человеческой деятельности - от систем государственного управления, промышленности, науки до автомобильных навигационных систем и смартфонов Геоинформационная технология на сегодняшний день прочно утвердилась как одна из основополагающих в области проектирования и построения информационных систем

Особую роль ГИС играют в сфере управления транспортными системами Территориальная рассредоточенность транспортных путей и сооружений, разнородность их строения и поведения, необходимость учитывать природные факторы, многосвязность информационных ресурсов, описывающих транспортные объекты, заставляют обращаться к ГИС как системам, эффективно оперирующим географическими картами, планами и различного рода схемами, электронными документами На сегодняшний день на транспорте с помощью геоинформационных систем решаются разномасштабные задачи - от сбора учетной информации о средствах транспортировки до глобального мониторинга потоков перемещений грузов по территории России и соседних государств. Геоинформационная технология перспективна в сфере управления транспортом, поскольку карты, схемы и планы всегда были и будут неотъемлемой частью рабочей документации проектировщиков, аналитиков и обслуживающего персонала Эта форма представления информации для них привычна и естественна

Анализ практики решения задач с помощью ГИС в сфере управления транспортными системами позволил выделить следующие проблемы

1) по мере усложнения транспортных систем, роста уровня их информатизации растет количество трудноформализуемых задач,

влияющих на принятия решений Эксперт-аналитик обращается к картам и схемам ГИС, имея зачастую лишь интуитивное представление о плане предстоящих действий Это обуславливается как недостатком исходных данных, так и огромным разнообразием реально складывающихся ситуаций Полезность ГИС в таких ситуациях тем выше, чем больше элементов «интеллектуального» поведения заложено в ней В существующих системах его явно недостаточно,

2) хранимая в ГИС картографическая информация изобилует неточностями, неопределенностями и неполнотой Эта особенность не является ни в коем случае следствием низкого качества картографического производства, но объективно следует из самого определения географической карты как образно-знаковой модели действительности Известно, что карты являются результатом творческой работы картографов, применяющих свои знания и опыт к разнородным источникам сведений различной точности и достоверности Картографическая генерализация неизбежно сопровождается утрированием, результат которого непредсказуем Поэтому о соответствии конкретной карты реальным объектам и событиям можно говорить лишь с возможными допущениями, пользуясь категориями нечеткости В современных системах подобный механизм не предусмотрен,

3) усложнение транспортных сетей ставит более сложные задачи поиска наилучших решений в нахождении размещений транспортных объектов, скоростей и времени их перемещения, прогнозирования состояния каналов транспортировки Для их решения следует использовать богатый арсенал методов оптимизации, имеющийся в области математического программирования Однако, непосредственное применение существующих математических моделей на практике невозможно из-за отсутствия необходимых данных требуемой точности Получаемые результаты неоднозначны и требуют привлечения экспертов для интерпретации Недостаток соответствующей теоретической базы не

позволяет внедрить в ГИС адекватный реальной ситуации программный инструментарий оптимизации транспортных сетей,

4) решение прикладных задач в среде ГИС было и будет связано с отбором полезной информации из огромных информационных массивов, накопление которых идет непрерывно Решаются задачи эвристически либо с применением формальных методик - начальным шагом решения всегда является отбор наиболее полезных фрагментов, слоев, видов и ссылок электронной карты Нерационально построенная рабочая область карты не только снижает качество моделей оптимизации, но и затрудняет интерпретацию полученных результатов Поэтому нуждается в развитии методология и инструментарий построения картографических изображений, обладающих максимальной информативностью

Перечисленные проблемы являются, с точки зрения автора, ключевыми в реализации эффективных систем управления транспортом на основе ГИС Их решение позволит повысить качество управления и, как следствие, эффективность организации грузо- и пассажиропотоков Для этого требуется провести исследования в следующих направлениях

• разработки новых способов системной организации ГИС для решения оптимизационных задач, направленных на получение картографических изображений максимальной информативности,

• создания принципов решения наиболее важных оптимизационных задач размещения в нечеткой постановке,

• построения теоретических основ анализа статических и динамических аспектов поведения нечетких сетей, применяемых при оптимизации потоков в них,

• анализа факторов, обеспечивающих безопасность и стабильность развития систем, описываемых нечеткими графами

Исследования перечисленных вопросов продолжают линию фундаментальных исследований, проводимых в области ГИС отечественными и зарубежными учеными, среди которых Берлянт А М,

Кошкарев А В , Салищев К А , Матвеев С И , Тикунов В С , Цветков В Г и др

При исследовании и решении оптимизационных задач в нечетких условиях с помощью ГИС используются элементы теории нечетких множеств, представленные работами Л Заде, Р Беллмана, А Н Мелихова, Л С Берштейна, А Н Борисова, Д Дюбуа и А Прада, А Кофмана, Т Саати, X -Ю Циммерманна и других авторов Работы перечисленных ученых относятся к ряду фундаментальных работ по нечеткой логике и теории нечетких множеств, положенных в основу исследований, проводимых в данной работе

Основным направлением данного исследования являются задачи оптимизации, выполняемые в транспортных сетях в нечетких условиях К ним относятся задачи размещения сервисных и ремонтных центров, различные задачи поиска и распределения грузопотоков, оценки и анализа чувствительности сети к повреждениям из-за отказов различных ее участков

В настоящей работе обобщены результаты теоретических и практических исследований в области организации и функционирования ГИС, оснащенных развитым инструментарием решения оптимизационных задач на нечетких графах, а также в области математического моделирования различных процессов оптимизации на графах с нечеткими и лингвистическими параметрами

Данные исследования проводились лично автором и при его непосредственном участии на кафедре «Прикладной информатики» Технологического института Федерального государственного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» и на кафедре «Геодезия и геоинформатика» Московского университета путей сообщения 2000-2007 годов Предметом исследования являются

• принципы системной организации ГИС для анализа и оптимизации, направленные на повышение качества получаемых решений,

• методы манипулирования картографическими изображениями для снижения избыточности рабочих областей электронных карт,

• транспортные сети (в том числе железнодорожные), ориентированные на процессы перевозок,

• процессы, протекающие в сетях при их сервисном обслуживании и при осуществлении перевозок при внешнем воздействии условий окружающей среды (процессы, протекающие в нечетких условиях),

• задачи оптимизации, возникающие в транспортных сетях в нечетких условиях, а именно размещение сервисных центров и центров скорой помощи, оптимизация потоков транспортных сетей,

• задачи оценки и увеличения живучести нечетких транспортных сетей

Цель работы Целью исследования является разработка и исследование моделей, методов и алгоритмов решения оптимизационных задач, решаемых в транспортных сетях, с помощью геоинформационных систем с учетом нечетких данных об объектах сетей

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи

1) развить концепцию построения картографических образов в виде комбинированных картографических изображений максимальной информативности и разработать методологию актуализации информационных ресурсов ГИС и оценки их достоверности для решения оптимизационных задач,

2) определить особенности задач размещения сервисных центров и центров скорой помощи в транспортных сетях с учетом лингвистических характеристик объектов сетей и разработать методы и алгоритмы их решения,

3) выделить основные классы задач о потоках в транспортных сетях с учетом нечетких данных и разработать математические модели, методы и алгоритмы их решения в нечетких условиях,

4) определить особенности живучести транспортных сетей, задаваемых

нечеткими графами и разработать методы и алгоритмы вычисления и увеличения живучести нечетких графов

Методы исследования Для решения поставленных задач использовались методы теории графов, нечеткой логики, нечеткого линейного программирования

Научная новизна работы заключается в следующем

• развита концепция картографического образа как теоретической основы разработки средств снижения избыточности Предложен новый вид картографических образов - комбинированные картографические образы. Их принципиальным отличием является сочетание свойств уже описанных на момент эксплуатации ГИС образов, что сокращает затраты на разработку новых классов картографических образов Применение комбинированных КО дает возможность снизить избыточность рабочих областей, строящихся для решения прикладных задач, уменьшить сетевой трафик,

• предложен комплекс средств снижения риска использования информационной базы ГИС для принятия решений Показано, что для поддержания информационной основы в актуальном состоянии целесообразно использовать компоненты информационной инфраструктуры, связанные с обработкой физических сигналов и документов предприятия Предложенная организация ГИС позволит минимизировать затраты, связанные с использованием и обновлением информации,

• впервые разработаны методы и алгоритмы решения задач размещения сервисных центров в транспортных сетях в условиях, когда параметры объектов сети заданы качественными характеристиками Данные методы основаны на использовании ситуационных систем с нечеткими параметрами и применении понятий медиан и центров к графам с лингвистическими характеристиками,

• разработаны методы и алгоритмы решения задач нахождения максимального потока и потока минимальной стоимости в транспортной сети с нечеткими пропускными способностями участков сети и стоимостями перевозок,

• разработаны алгоритмы определения динамических потоков и потоков с усилениями в транспортных сетях с нечеткими исходными данными,

• введено понятие степени живучести нечеткого графа, что позволило обосновать подход к анализу и синтезу транспортных сетей, представленных нечеткими графами,

• введено понятие нечеткого множества живучести нечеткого графа, что позволило обосновать методы размещения центров обслуживания на нечетких графах

Практическая значимость Прикладными результатами являются разработанные в диссертационной работе

- методика снижения избыточности картографических изображений,

- алгоритмы изменения сложности картографических изображений,

- методы и алгоритмы решения задач размещения центров обслуживания и центров скорой помощи с учетом лингвистических исходных данных,

- методы и алгоритмы определения потоков в графах с нечеткими параметрами,

разработаны методы определения и увеличения степени живучести нечетких ориентированных и неориентированных графов,

- разработаны методы размещения центров обслуживания на нечетких графах с наибольшей степенью живучести

Практическая ценность полученных в диссертации результатов заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы учитывают особенности различных оптимизационных прикладных задач таких, как задачи размещения, потоковые задачи и др Практическое применение

предложенных в работе методов допускает использование числовых, а также лингвистических характеристик объектов транспортных сетей Методы и алгоритмы определения потоков в сетях с нечеткими исходными данными применимы также к другим задачам, модели которых являются моделями нечеткого линейного программирования Достоверность и обоснованность научных положений и выводов подтверждается математическими и аналитическими доказательствами, проведением вычислительных экспериментов, результатами численного моделирования и практического внедрения, а также апробацией на международных, всероссийских и региональных конференциях Внедрение результатов

Разработанные в диссертации методы и алгоритмы внедрены в ЦУП ОАО «РЖД», Центре управления перевозками Куйбышевской железной дороги, «Энергосбыт» - филиал ОАО «РЖД», ФГУП ФКЦ «Земля»

Научные и практические результаты, полученные в диссертации и изложенные в статьях и докладах, использованы при подготовке и чтении курсов лекций на кафедре «Прикладной Информатики» ТТИ ЮФУ и на кафедре «Геодезия и геоинформатика » МИИТ

Диссертация выполнена на кафедре «Прикладная Информатика» в соответствии с основным направлением научно-исследовательской работы ТТИ ЮФУ «Формальные системы, искусственный интеллект и системы принятия решений», а также на кафедре «Геодезия и геоинформатика» МИИТ Акты внедрения и использования научных результатов прилагаются к диссертации На защиту выносятся

1 Концепция картографических образов в направлении построения комбинированных картографических изображений максимальной информативности и методология оценки достоверности и актуализации информационных ресурсов ГИС

2 Теоретические принципы построения методов и алгоритмов решения оптимизационных задач в транспортных сетях с нечеткими

данными выделенного класса

3 Методы и алгоритмы анализа живучести транспортных сетей, представленных в виде нечетких графов

Апробация результатов работы. Полученные в рамках работы научные и практические результаты докладывались и обсуждались на Третьей всероссийской научной конференции молодых ученйх и аспирантов "Новые информационные технологии Разработка и аспекты применения" (Таганрог, 2000 г), на международной конференции «International Conference 7th Fuzzy Days» (Дортмунд, Германия, 2001), на Всероссийских научно-практических конференциях «Информационные технологии на железнодорожном транспорте» «ИНФОТРАНС - 2001» (Сочи, 2001), «ИНФОТРАНС - 2003», «ИНФОТРАНС - 2004», (Санкт-Петербург, 2003 , 2004), на первой и второй межведомственных научно-практических конференциях «Телекоммуникационные технологии на транспорте России «ТЕЛЕКОМТРАНС-2003», «ТЕЛЕКОМТРАНС-2004» (Сочи, 2003, 2004), на 11 Всероссийском форуме «Рынок геоинформатики России Современное состояние и перспективы развития» (Москва, 2004), на Девятой Всероссийской конференции «Проблемы ввода и обновления пространственных данных» (Москва, 2005), на 2-й Научной сессии ИЛИ РАН (Москва, 2005), на международных конференциях «Интеллектуальные системы» IEEE AIS'2004, AIS'2005, AIS'2006 (Дивноморск, 2004, 2005, 2006), на международной конференции «International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing m Economics and Finance FSSCEF2004» (Санкт-Петербург, 2004), на девятой Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2004 (Тверь, 2004), на конференции «Интеллектуальные системы и технологии» в рамках традиционной «Научной сессии МИФИ-2005» (Москва, 2005), на международных конференциях по мягким вычислениям и измерениям SCM'2001, SCM'2005, SCM'2006 (Санкт-Петербург, 2001, 2005, 2006), международных коллоквиумах по нечетким множествам (11th, 12th, 13th Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, 2004,

2005,2006).

По теме диссертации опубликовано 59 работ, в том числе 19 из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК Разработки по теме диссертации поддержаны грантом РФФИ "Разработка теории, алгоритмов и программ решения многокритериальных оптимизационных задач на ГИС", проект № 03-07-90202.

Работу можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в области ГИС и нечеткой оптимизации, а результаты проведенных исследований представляют комплекс научно-технических разработок, направленных на решение прикладных проблем, имеющих важное научно-техническое значение

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка используемых источников. Содержание работы изложено на 330 страницах, включая 101 рисунок, 22 таблицы, а также список литературы из 150 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, отмечены полученные в работе научные результаты, их практическая ценность, реализация, апробация и структура диссертации

Первая глава содержит описание организации ГИС, ориентированной на решение оптимизационных задач.

Анализ практики применения ГИС показывает важную роль механизмов формирования целостных неизбыточных рабочих областей карты. Именно на этапе построения рабочей области закладывается фундамент решения прикладной задачи С качеством рабочей области связаны трудоемкость формулировки задачи в терминах графов, параметры графовой модели. В качестве основы в работе принята методология построения и использования картографических образов (КО)

В работе она была развита в направлении комбинирования КО

Обозначим через запрос к базе данных ГИС С1-{соиаг, со„},

включающей в себя примитивы со,, где 2 - множество параметров примитивов в запросе Ответ Яч на запрос является множеством примитивов, которое строится

сервером ГИС из двух компонентов

я, =п в(вл,=»?{г)-1Р/ = йЩ г?П£, = 0,£,сй.

Компонент Вд - это остов запроса, определяющийся только его

предикатом, Ед- окружение запроса, те подмножество примитивов,

обеспечивающее непрерывность карты и смысловую целостность рабочей области Окружение формируется применением правил построения образа ответа К(вЧ,С1) к остову запроса Вд

<»,<= Еч=> К(ВЧ,П) = 1,1 =1,| £21

Предложено считать мерой избыточности количество примитивов

картографического изображения Если и Я^ - множества

примитивов ответов на запрос д(2), окружение каждого из которых

построено по правилам к0(вд,€1) и К{(ВЧ,С1), и оба ответа по оценке

пользователя относятся к достаточно информативным, избыточность оценивается как

АоНСН^НСН^0!-

Если в ГИС существует набор правил {К,(Вд,0)},1-1,М, и их

применение позволяет строить различные варианты достаточно информативных ответов, наименее избыточным является ответ

/?<'> £<'>= шш

4 4 J=\,M 4

относительно которого все остальные ответы избыточны, и

Объектная модель картографического образа задает следующую структуру правил построения картографических изображений

где а - степень изменения сложности рабочей области 1РО Применение соответствующих подмножеств правил приводит к построению пространственной (П), временной (В), семантической (С) и прагматической (П) границ, а также к изменению сложности (Сл) или генерализации (Г) рабочей области Каждое подмножество правил задает нечеткое отношение на подмножествах примитивов карты

В работе введено понятие системы картографических образов (СКО) как совокупности подмножеств правил {К,(Вд,П.)},г = 1, А , описанных в

ГИС для решения задач А различных классов Использование СКО позволило по-иному взглянуть на проблему избыточности и предложить принцип комбинирования КО

Анализ приводит к следующей модели ответов сервера на запросы, которая учитывает избыточность

д, = О)

где Яд,Вд,Ед- введенные ранее множества примитивов ответа, остова и окружения. Добавлено подмножество Зч избыточных примитивов Избыточность ответа, таким образом,

и

Данное выражение позволяет формализовать понятие «достаточно информативного» картографического изображения через условие

т е «достаточно информативным» следует считать изображение,

включающее «поясняющие» элементы Именно с их числом связывается избыточность

Под комбинированием картографических образов понимается получение нового картографического образа, изображения которого строятся на основе изображений, полученных в рамках исходных образов

Если {К,(ВЧ,С1)},1 = 1 ,А - исходная система картографических образов и

каждому из них соответствует картографическое изображение /,

о, е/, =>ЗКк еК,(Вч,П) = =

то изображение для комбинированного образа /„ является результатом реализации теоретико-множественного выражения

/п=Д/„/2, ,1А) (2)

Содержательно комбинирование заключается в построении ответов на запросы из примитивов, которые могли быть получены в других образах. Выражение (2) задает принцип отбора

В работе сформулированы условия, при которых целесообразно строить и использовать комбинированные картографические образы

1) необходимым условием существования комбинированного образа, его полезности для практики является «достаточная информативность» Следуя (1), это можно выразить как

2) для поставленной задачи в имеющейся системе картографических образов ГИС невозможно подобрать образ, который бы давал ответы на запросы с избыточностью

3) построенный комбинированный образ для поставленной задачи дает наименьшую избыточность в системе КО

4 1=1,А 4

Далее были рассмотрены динамические свойства комбинированного

образа, которые определяются методами изменения сложности и генерализации Для достижения заданного уровня сложности к комбинированному изображению могут применяться методы упрощения в различной последовательности

< 1а ИзмСложн(аа),1ь ИзмСложн{аь), , 1С ИзмСложн(ас) >, ае[1,Л],6е[1,Л], ,се[1,А]

Здесь /д ИзмСложн(аа) - вызов метода изменения сложности образа 1а

Для исследования влияния последовательности вызовов методов изменения сложности был проведен статистический эксперимент Анализировались два способа вызова методов изменения сложности последовательный и циклический Полученные результаты позволяют сформулировать следующие принципы программной реализации метода изменения сложности комбинированного образа

1) метод изменения сложности может строиться путем последовательного или циклического вызова методов исходных КО В случае согласованности КО это дает результат, превосходящий полностью случайный выбор,

2) при небольшом числе КО, участвующих в комбинировании (до 4-5) можно добиваться существенного улучшения результата использованием циклического способа вызова методов изменения сложности,

3) два способа вызова методов изменения сложности -последовательный и циклический - заметно различаются по скорости работы, что дает возможность варьировать время изменения сложности комбинированного образа Параллельный способ в определенных случаях может давать меньшую погрешность перемещения примитивов

Функция комбинирования Р может быть построена как булева функция N переменных Р(хх,х2, хЛ,), аргументы которой принимают значения

Г1,если1, с1л, ' ]о, если ^ (21„

Логическая функция комбинирования х2, х^) должна принимать истинное значение на двоичных наборах множества Б*

Р(Х],Х2, ..Хн л ,

й*

где сг - символ инверсии переменной х) Если есть несколько вариантов

построения множества О*, возникает задача выбора наилучшего В работе предложен ряд стратегий отбора

Далее рассматривается задача снижения риска использования рабочих областей карты Объективной причиной возникновения риска является потеря актуальности карт, что является серьезной проблемой использования ГИС на железнодорожном транспорте В работе предложены средства, введение которых в ГИС позволит добиваться приемлемого уровня риска за счет модификации картографической основы и использования экспертных знаний об изменении ее качества

Первым средством снижения риска, которое реализует ГИС, следует считать оценку достоверности построенной пользователем рабочей области и сообщение ему значения полученной оценки Часть риска здесь компенсируется знаниями ГИС-аналитика Если Р р - отличная от нуля вероятность того, что, зная о недостаточной достоверности данных, аналитик все-таки получает решение и использует его, средний ущерб и'СР = РР(\-иго)итлх <иСР Здесь 0 < ц,,0 < 1 - достоверность данных рабочей области, итах -максимальная величина ущерба

Второе средство направлено на снижение риска, связанного с принятием пользователем решения использовать построенную рабочую область Получив оценку достоверности, пользователь ставится перед выбором решать задачу или отложить решение и найти дополнительную

информацию, повышающую достоверность знаний о рабочей области Если поиск окажется успешным, то достоверность сведений рабочей области Ц'ро повышается, т е м'ро > Мро Соответственно,

и'СР = рР(1~М'РО)итм <иСР

Чтобы обеспечить поддержку описанного процесса, информационная основа ГИС должна включать в себя сведения для поиска, цель которого -найти документы, подтверждающие или опровергающие гипотезы о состоянии картографических объектов

Третьим средством снижения риска может стать работа ГИС в «подстраховочном» режиме Суть подстраховки сводится к тому, что пользователь геоинформационных ресурсов готов пойти на определенные затраты Л£/ для компенсации риска, т е для снижения среднего ущерба иСР Это означает, что получаемые с помощью ГИС решения в подстраховочном режиме могут проигрывать по эффективности, но будут сопряжены с меньшим риском. Подстраховочный режим распространяется на визуальное представление рабочей области и на выполнение в ней операций обработки картографической информации Особенность подстраховочного режима заключается в том, что при его включении отображается значение достоверности

рассчитанное исходя из указанной пользователем суммы затрат АС/ и текущей достоверности объектов рабочей области ц Отображение /г задает правила представления объектов на карте рабочей области Таким образом, вид рабочей области в «подстраховочном» режиме не совпадает с картиной отображения текущей достоверности, вычисленной описанными выше способами

Показано, что для поддержания информационной основы в актуальном состоянии целесообразно использовать компоненты информационной инфраструктуры, связанные с обработкой физических сигналов и

документов предприятия Концептуальной основой подобного подхода является создание экспертной подсистемы генерализации и обработки событий ЗСАБА-систем и системы электронного документооборота Предложенная организация ГИС позволит минимизировать затраты, связанные с использованием и обновлением информации

Во второй главе рассмотрены размещение объектов с помощью ГИС с учетом их лингвистических характеристик

Размещение объектов на карте местности или в транспортной сети является одной из задач оптимизации, решаемых с помощью ГИС Различные варианты этой задачи актуальны для большинства практических приложений Так, например, часто требуется найти оптимальные места размещения объектов для строительства, ремонтных объектов, объектов наблюдения и тп в соответствии с каким-либо критерием или группой критериев Кроме того, очень часто на практике параметры объектов или их взаимосвязей в силу каких-либо факторов внешней среды различны в разные моменты времени или в различных ситуациях, те они могут быть заданы нечетко, например, с помощью нечетких чисел или лингвистических переменных.

При исследовании транспортной сети обычно рассматриваются две группы ее составляющих такие объекты сети, как, например, города, районы, станции и участки дорог, соединяющие рассматриваемые объекты В связи с этим можно выделить следующие типы задач размещения

1) задачи, в которых в качестве критериев для размещения рассматриваются только характеристики объектов сети, а характеристики взаимосвязей объектов сети не учитываются,

2) задачи, в которых в качестве критериев для размещения рассматриваются только характеристики взаимосвязей объектов сети, а характеристики объектов сети не учитываются,

3) задачи, в которых в качестве критериев для размещения учитываются и

характеристики взаимосвязей и характеристики объектов сети

Особенность рассмотрения моделей и методов решения задач размещения в рамках данной работы заключается в том, что все параметры заданы с помощью лингвистических переменных

К задачам первого типа относятся дискретные задачи размещения объектов Оптимизация размещения производится с учетом нескольких критериев с использованием наборов значений лингвистических переменных, описывающих параметры альтернативных мест размещения

Рассмотрим карту местности, состоящую из п альтернативных мест Х = {хх,.,х„), предназначенных для размещения каких-либо объектов Каждое альтернативное место размещения х1 еХ, /=1, ,«, оценивается на основе множества критериев К = {К,,К2, ,КР} Оценки альтернативных мест размещения )хп на основе критериев К1,К2, ,,КР являются качественными величинами и описываются значениями (термами) соответствующих лингвистических переменных Например, лингвистическая переменная «Стоимость» может принимать значения «малая», «большая» и т п Задача заключается в выборе наилучших мест для размещения объектов среди альтернативных мест х,, ,х„- Если имеется Р критериев К1,К2, ,КР, то наилучшим считается

такое альтернативное место размещения х* е X, которое удовлетворяет и критерию К/, и К2, и . , и КР

Модель дискретной задачи размещения объектов на карте местности будет представлять собой набор значений лингвистических переменных, описывающих оценки альтернативного места размещения в соответствии с оптимизируемыми критериями Такой набор значений, соответствующий альтернативе х, е X, /= 1, называется нечеткой

ситуацией Тогда каждое альтернативное место размещения будет описано с помощью соответствующей нечеткой ситуации ^, / = 1, , п

Также можно задать эталонную ситуацию В данном случае под

эталонной будет пониматься такая ситуация, которая принимает наилучшие значения степеней принадлежности термам лингвистической переменной в зависимости от оптимизируемого критерия Значения степеней принадлежности эталонной ситуации будут равны 1 только для одного из термов каждой лингвистической переменной, входящей в эталонную ситуацию Все остальные значения степеней принадлежйости гермам для одной и той же лингвистической переменной будут равны О

Набор нечетких ситуаций, соответствующих альтернативным местам размещения и эталонная ситуация формируют модель задачи размещения объектов на карте местности

Разработанные подходы к решению дискретных задач размещения подразделяются в зависимости от наличия четких и лингвистических данных

Можно выделить три группы дискретных задач размещения

1) Выбор оптимального места размещения на основе использования степени нечеткого включения или равенства ситуаций

Для того чтобы выбрать наилучшее место размещение можно использовать степень нечеткого равенства или нечеткого включения ситуации, описывающей альтернативное место размещение, в эталонную

В большинстве случаев невозможно однозначно определить одно наилучшее место размещения в соответствии со всеми критериями, т е две или более нечетких ситуаций могут иметь одинаковые степени включения или равенства с нечеткой эталонной ситуацией В таких случаях может идти речь о Парето-оптимальных местах размещения

В таких случаях целесообразно ввести следующее выражение, определяющее степень равенства я,, ) рассматриваемой и эталонной ситуаций

(з)

' уеГ

где

= (4)

Р — число рассматриваемых критериев

Тогда то альтернативное место х1, для которого значение ^ , ),

вычисляемое по формулам (3) и (4) будет максимальным, является наилучшим для размещения объекта

2) Выбор оптимального места размещения на основе использования операции пересечения нечетких множеств, описывающих оценки соответствия альтернатив оптимизируемым критериям

Рассмотрим множество X, состоящее из п альтернативных мест размещения (или альтернатив) X - {х,,х2, ,х„} Пусть эти альтернативы

оцениваются на основе множества критериев К = {Кх,Кг,. ,КР}

Тогда каждая нечеткая ситуация может быть переформирована в нечеткое множество следующего вида

" К/^о^СИа) 'Ук)))> г = 1,. ,п, к = 1,..,Р,

где м(ук)е (0,1] - оценка альтернативы х, по критерию Кк,

характеризующая степень соответствия альтернативы понятию, определяемому критерием Кк

Значения оценок (л}(ук), к-1, ,Р вычисляются по следующим формулам

Чк Чк Чк

при минимизации критерия, описываемого лингвистической переменной,

Чк Чк Чк

при максимизации критерия, описываемого лингвистической переменной

Здесь дк определяет количество термов для критерия к

Если имеется Р критериев Кх, К2, КР, то лучшей считается альтернатива, удовлетворяющая и критерию К{ и К2 , и и Кр Тогда правило для выбора наилучшей альтернативы может быть записано в виде пересечения соответствующих нечетких множеств)

Операции пересечения нечетких множеств соответствует операция, шш, выполняемая над их функциями принадлежности Ее результат обозначим через /¿о (х,) ' = 1, , и • Тогда в качестве лучшей альтернативы будет

выбираться тот объект х', имеющий наибольшее значение функции принадлежности

//д(х*)=тах/*0(х(), 1 = 1, ,п

Выбор оптимального места размещения в задачах такого типа рассмотрен для критериев равной и различной важности

3) Выбор оптимального места размещения при аддитивности критериев

В данном случае помимо того, что параметры альтернативных мест размещения представлены в виде значений лингвистических переменных, важность каждого из критериев также представлена лингвистически

Степени важности критериев являются качественными величинами и представляют собой значения лингвистической переменной «Важность», которые в зависимости от заключения экспертов для конкретной рассматриваемой задачи могут принимать значения «важный», «не важный» и т п В данном случае значения лингвистической переменной «Важность» будут описываться нечеткими треугольными числами

Кроме того, оценки г = 1, ,я альтернатив X,, ; = )И по

критериям ] =\, ,.,Р также задаются нечеткими треугольными

числами Функции принадлежности критериальных оценок формируются экспертами, а значения / = ,п определяются на основании

сравнения значений лингвистических переменных, соответствующих

критериям и эталонных значений критериев в соответствии с эталонной ситуацией, сформированной для конкретной рассматриваемой задачи Альтернативные места размещения сравниваются на основе взвешенных оценок R, Для этого вводится нечеткое множество I, заданное на множестве индексов альтернативных мест размещения ,«}> и значение

соответствующей функции принадлежности интерпретируется как характеристика степени того, насколько альтернативное место

размещения пункта обслуживания xt является лучшим.

К задачам второго и третьего типа относятся минисуммные и минимаксные задачи размещения центров обслуживания и центров скорой помощи. Оптимизация размещения производится с учетом либо одного, либо нескольких критериев. Лингвистические данные описывают характеристики участков дорог (ребер графа, описывающего транспортную сеть).

Карта местности в данном случае может быть представлена в виде графа G = (X,F), в котором Л" = {(v,/*«)}> »е/ = { 1,2, .,и} - множество

вершин, где V, - значение лингвистической переменной, описывающей атрибут рассматриваемого критерия для вершины xt, F = {(сtj /(x,,xj))} -множество ребер графа, где с, /(х,,Xj) - значение лингвистической переменной, описывающей атрибут рассматриваемого критерия для ребра (xnXj). В качестве вершин графа выступают рассматриваемые объекты

сети, в качестве ребер - участки дорог, соединяющие эти объекты.

Необходимо отметить, что в задачах второго типа множество вершин графа - четкое, те X = {(ytlх,)}, i еI = {\,2,. ,п}, где o<v,<l представляет собой четкий вес вершины. В большинстве случаев считается, что v, = 1, V/ = 1,., л

Минисуммная задача размещения заключается в поиске таких мест на карте, чтобы сумма значений кратчайших путей от этих пунктов до всех

остальных обслуживаемых объектов была минимально возможной Оптимальные места расположения обслуживающих пунктов называются ¿»-медианой графа

В работе рассмотрен случай, когда расстояния между обслуживаемыми объектами представлены в виде значений лингвистической переменной «Расстояние» Метод решения задачи представляет собой метод решения задачи о р-медиане, модифицированный для случая учета значений лингвистических переменных Данная модификация заключается во введении операций над значениями лингвистических переменных

Минимаксная задача размещения заключается в нахождении такого центра обслуживания, чтобы расстояние, время проезда или значение какого-либо другого параметра от него до самого отдаленного рассматриваемого объекта было минимальным. Такие задачи назовем задачами размещения центров скорой помощи Найденные места размещения центров скорой помощи называются центрами графа или р-центром графа

Введены понятия чисел разделения вершин для лингвистических исходных данных, внешнего и внутреннего р-центра и р-радиуса графа.

Если не существует ограничения, что центры скорой помощи должны размещаться в вершинах графа, а допускается возможность их размещения на ребрах, то получающееся при этом множество, состоящее из р точек называется абсолютным р-центром Если исходный граф нечеткий, то и абсолютный р-центр также будет нечетким

Для определения р-центров существует несколько способов Одним из них является полный перебор Данный способ можно применять только для небольших графов и для небольших значений величины р В работе предложен алгоритм определения р-центра графа с лингвистически заданными параметрами на ребрах с заданным числом р, применяемый для графов с большой размерностью

Также были рассмотрены многокритериальные задачи поиска р-

медианы и р-центра с исходными данными, представленными в виде лингвистических переменных Было выявлено, что данные задачи могут быть решены путем представления значений лингвистических переменных нечеткими трапециевидными числами с последующим их нормированием и сверткой В дальнейшем показано, что задачи о р-медиане и р-центре решаются для одного обобщенного критерия с помощью алгоритмов решения соответствующих однокритериальных задач.

Для приведения лингвистических данных к одной размерности были введены формулы нормирования термов лингвистических переменных

Также сформулирована и рассмотрена задача размещения центров обслуживания на основе нечетких интервальных баз на графах с нечеткими интервальными расстояниями Впервые предложен и обоснован оригинальный метод размещения центров обслуживания на указанных графах. Выполнена практическая реализация задач размещения центров обслуживания и центров скорой помощи с исходными данными, представленными в виде значений лингвистических переменных

В третьей главе рассмотрены потоки в сетях при нечетком представлении данных

Транспортной сетью называется конечный связный ориентированный граф б = {X, А) без петель, каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число д(х,,ху), называемое

пропускной способностью дуги, и существует

• ровно одна вершина (узел) х0 = 5, в которую не заходит ни одна дуга. Эта вершина называется источником или началом сети;

• ровно одна вершина " , из которой не выходит ни одной дуги Эта вершина называется стоком или концом сети

На практике часто встречаются случаи, когда те или иные параметры в транспортной сети являются неопределенными или нечеткими

Присутствие нечетких параметров в рассматриваемых задачах обусловлено неопределенностью в результате воздействий различных факторов внешней среды, а также непредвиденными ситуациями" в процессе перевозок В данной работе рассмотрены различные задачи о потоках в транспортных сетях с нечеткими пропускными способностями и/или нечеткими стоимостями перевозок

Выделим основные классы рассматриваемых задач 1) Задачи определения максимального потока от источника к стоку в транспортной сети с нечеткими пропускными способностями

В рамках работы были рассмотрены два вида нечетких пропускных способностей пропускные способности представлены в виде нечетких чисел Ь-Л-типа, а также в виде интервалов

Нечеткие пропускные способности в виде нечетких чисел Ь-Я-типа

задаются следующим образом -№<7^0; Д,)^ где %+ А 1ч этом распределение функции принадлежности нечеткого числа имеет следующий вид

В интервале [0, 1] функция не обязательно должна быть линейной В задаче о нахождении нечеткого максимального потока ищется поток = (х,,х^еА} от источника к стоку При этом должны

выполняться следующие условия

1. £ <%. М,, - [0,1], ^ <£, <<?„

О, 4„>%

(5)

V, если х1 =

Е =1-^ если х, =/,

О, если

4 <д„ для всех (х,,х^еЛ

(7)

В выражении (5) Р представляет собой набор значений потока (в пределах интервала), которые допускает эксперт в каждом конкретном случае Выражение у ё Р означает, что значение V имеет наибольшую степень принадлежности к Р. Выражение (7) также означает, что поток ^ меньше, либо равен с наибольшей степенью принадлежности Чем

больше значение функции принадлежности (у), тем больше степень, с которой лицо, принимающее решение, допускает значение потока V Значение Р (нечеткая цель, согласно модели (5)-(7)) представляет собой нечеткое число ¿-Л-типа

Выражения (5)-(7) интерпретируются в данном случае следующим образом- необходимо найти поток, имеющий значение V, причем условие сохранения потока (б) не должно быть нарушено Также нечеткая цель (5) и нечеткое ограничение на пропускные способности (7) должны выполняться с наибольшей степенью принадлежности В работе для решения этой задачи выбран подход, основанный на агрегации целевой функции и ограничений Агрегация производится на основании принципа Беллмана-Заде Предложенный алгоритм решения позволяет найти поток, имеющий наибольшую величину и одновременно наиболее удовлетворяющий нечеткому ограничению на пропускные способности.

Нечеткие пропускные способности в виде интервалов задаются следующим образом? = [<?/><7г]>

где дг соответственно левые и правые границы пропускной способности.

Для решения задачи с интервальными пропускными способностями в работе используется алгоритм Форда-Фалкерсона для нахождения

максимального потока в графе, модифицированный для случая, когда пропускные способности представлены в виде интервалов При этом потоки также являются интервальными Предложенная в работе модификация заключается во введении арифметических операций над интервалами, а также операции сравнения интервалов

2) Задачи о потоке минимальной стоимости с нечеткими данными Можно выделить три следующих типа задачи нахождения потока минимальной стоимости

• дуга может иметь нечеткую пропускную способность и четкую стоимость единицы потока по этой дуге,

• либо четкую пропускную способность и нечеткую стоимость,

• либо сразу оба параметра могут быть нечеткими.

Модели всех рассмотренных в работе задач о потоке минимальной стоимости сведены к модели линейного программирования При этом в зависимости от вышеперечисленных типов задач в данной модели пропускные способности и/или стоимости представлены в виде нечетких данных

При исследовании задачи с нечеткими пропускными способностями было предложено свести ее к четкой стандартной линейной параметрической оптимизационной задаче, которая может быть решена параметрическим симплекс-методом. В результате ее решения получим оптимальное решение £,'(Л), зависящее от параметра Я. В данном случае научная новизна заключается в адаптации метода нечеткого линейного программирования к целочисленной задаче о потоках, в которых пропускные способности заданы нечеткими числами Ь-Я типа

Задачи с нечеткими пропускными способностями 1 и

'с — Г с ' с 1

нечеткими стоимостями у у' у рассматривались для случая интервальных стоимостей и нечетких чисел Ь-И. типа, представляющих пропускные способности В связи с этим модель задачи является

линейной с нечеткими данными в целевой функции и в правой части ограничений, причем ограничения, описывающие условие сохранения потока являются четкими.

К настоящему времени существуют способы решения линейных оптимизационных задач с нечеткими данными, описанные в литературе Такие задачи были рассмотрены для случаев, когда ограничения в модели являются нечеткими, либо в целевой функции присутствуют нечеткие данные, либо максимизация или минимизация производится нечетко В данном случае предстоит разрешить ситуацию, когда нечеткие данные присутствуют в ограничениях, а в целевой функции нечеткие стоимости представлены в виде интервалов.

Для решения задачи в работе предложено

• либо свести ее к четкой стандартной линейной параметрической оптимизационной задаче, как это было сделано в случае нечетких пропускных способностей, а целевую функцию заменить двумя (соответствующими левым и правым границам интервалов, описывающим значения стоимостей) и тем самым, преобразовав модель из однокритериальной в двухкритериальную В данном случае будет получено Парето-оптимальное решение четкой двухкритериальной задачи, зависящее от параметра Л

• либо воспользоваться концепциями, согласно которым оптимальное решение задачи подобного типа является четким При этом определяется также степень, с которой получаемое решение можно назвать оптимальным

Применительно к рассматриваемой задаче процесс нахождения потока минимальной стоимости сводится к преобразованию модели с нечеткими данными в модель с четкими данными, учитывая заданные функции принадлежности для целевых функций В этом случае в результате решения получим оптимальное решение (/,£*)> где " множество оптимальных потоков, а у' - степень, с которой найденный поток является

оптимальным Тогда, подставляя значения множества оптимальных потоков в целевую функцию можно найти минимальную стоимость суммарного потока, которая будет нечеткой (в данном случае представляет собой интервал)

Задачи с нечеткими стоимостями и четкими пропускными способностями решаются также с помощью методов, приведенных для задач о потоке минимальной стоимости в которых и пропускные способности и стоимости заданы нечетко Также рассмотрен другой способ решения данной задачи, основанный на классических алгоритмах решения задачи определения потока минимальной стоимости и модифицированный для случая нечетких стоимостей

3) Задачи о максимальном динамическом потоке с нечеткими данными

Пусть транспортная сеть описана с помощью графа С - (X, А), в котором X - множество вершин графа, соответствующих транспортным узлам, А -множество ориентированных ребер (дуг) графа

Каждой дуге (х,,х})еЛ графа С-(Х,А) приписано целое

положительное число определяющее количество некоторых

временных интервалов необходимых для прохождения единицы потока по дуге (*,,*,) е Л Через цДГ) обозначим максимальное число единиц

потока (пропускную способность), которое может входить в дугу в момент времени Т, где т - 0,1, Предполагается, что время дискретно Динамическим потоком в графе в из вершины э в вершину I называется любой поток из 5 в /, который удовлетворяет ограничениям на пропускные способности дуг в каждый рассматриваемый момент времени.

Максимальным динамическим потоком из вершины б в вершину I за период в р интервалов времени является такой динамический поток из в в 1, для которого в сток г за период времени р проходит максимально возможное количество единиц потока

В работе рассмотрена задача определения максимального динамического потока с нечеткими пропускными способностями Предложен алгоритм ее решения, заключающийся в модификации четкого алгоритма определения динамического потока на случай нечетких данных

4) Задачи о потоках с усилениями с нечеткими данными Потоки с усилениями возникают в случаях, когда производится прирост или уменьшения потока во время его прохождения между определенными объектами сети Такие задачи возникают, например, при проведении дополнительных погрузочных или разгрузочных работ на станциях в пределах общего маршрута перевозки

Граф с усилениями обозначим 0'=(Х',А') При приросте или уменьшении количества груза в пути будем считать, что если в любую дугу (х,у) в вершине хеХ входит ^(х,у) единиц потока, то из этой

дуги в вершине у выйдет к ¿¡(х,у) единиц потока Можно считать, что каждая единица потока, проходящая по дуге (х,у), умножается на величину к(х,у) Эта величина называется коэффициентом усиления дуги (х,у) Тогда модель задачи о потоке минимальной стоимости в сети с усилениями в общем случае принимает вид

где с{х,у) - стоимость единицы потока, протекающего по дуге {х,у) е А', ¿;(х,у) - величина потока, протекающего по дуге (х,у) е А', ц(х,у) - значение пропускной способности для дуги (х,у)<=А' графа С, к(у,х) - коэффициент усиления потока в дуге (у,х) е А',

при условии, что

О <£(х,у)<д(х,у),

V - заданная величина потока, вытекающего из источника

В зависимости от того, являются ли пропускные способности или стоимости нечеткими, в работе предложены способы решения соответствующих задач с нечеткими данными Все способы их решения основаны на методах и алгоритмах нечеткого линейного программирования, подобных описанным методам решения задачи о потоке минимальной стоимости с нечеткими данными

Также приведен пример практической реализации алгоритма решения задачи о потоке минимальной стоимости в железнодорожной сети и в сети с усилениями с нечеткими исходными данными

Глава четвертая описывает живучесть нечетких графов Живучестью называется чувствительность сети к повреждениям В случаях разрыва какой-либо ветви сети уменьшается ее живучесть Если сеть представлена в виде четкого графа, то удаление одного или нескольких ребер разрушает связи между объектами (вершинами) сети, уменьшает ее живучесть и происходит ее разрушение

Иногда из-за наличия каких-либо факторов параметры сети могут быть заданы качественно, или субъективно Так, рассматривая сеть автомобильных, железнодорожных и пр дорог, можно задать такое понятие, как степень живучести той или иной магистрали При этом, под степенью живучести может пониматься не только вероятность безаварийной эксплуатации участка дороги, но и некоторая субъективная величина, как важность, надежность и т п В этом случае, адекватной моделью сети являются нечеткие графы

Пусть 0=(Х, 0) - нечеткий ориентированный граф, у которого Х={х,}, 1е1={1,2, ,п} - четкое множество вершин, а и={<р[/х1,х )/(х,,х )> } -нечеткое множество ориентированных ребер Здесь х1,х] е. X, 1Лц(х1гх ) 6^0,17 - значение функции принадлежности /ли для ребра

Степенью живучести нечеткого графа д=(Х,и) назовем величину К(С?)е [0,1]> определяемую выражением у(&) = & & г(х,,х,)

еХ х^Х 1

Здесь т(х„х^ - степень достижимости вершины х] из вершины х Степень живучести означает, что между любыми двумя вершинами графа существует путь с конъюнктивной прочностью не менее значения

Обозначим через 5'=(Х',и') некоторый подграф нечеткого графа 5=(Х,0) (X' с X ) В работе вводятся понятия его степени внутренней У1т (б') и внешней Уех! (О') живучести Внутренняя степень живучести

нечеткого подграфа С' определяется нечеткими путями,

проходящими через вершины, принадлежащими только подмножеству Х\

а внешняя степень живучести у ((}') нечеткого подграфа С

определяется нечеткими путями, проходящими через вершины, хотя бы одна из которых не принадлежит подмножеству X' (те принадлежит подмножеству Х\ .А")

В работе показано, что степень живучести нечеткого подграфа можно представить в виде У(д') = У,„(б') V К,,(С') В работе доказывается следующее свойство Свойство 1 Справедливо неравенство У(0')>У(С)

Из данного свойства непосредственно вытекает следствие о степенях живучести вложенных нечетких подграфов Следствие 1

Справедливо высказывание

0/6, Д, Д Сд)[д, С<52 С, ,сё,^у(д1)>у(б2)> >кД)] Определение 2

Нечеткий подграф G' назовем максимально живучим подграфом, если справедливо высказывание

(VG* с G)[G' сС"-> К(б') > V(G")] Иными словами, степень живучести любого подграфа, включающего в себя исходный подграф G', меньше его степени живучести Свойство 2

Для того чтобы нечеткий подграф G' был максимально живучим, необходимо и достаточно, чтобы его внутренняя степень живучести была больше внешней, т е , выполнялось неравенство vm(G') > ^,„(G')

Для нахождения степени живучести нечеткого графа предлагается использовать метод, аналогичный методу Мальгранжа для нахождения максимальных компонент сильной связности четких графов Для этого берем произвольную вершину xt е X и находим для нее нечеткое

транзитивное замыкание Г(х,) и обратное нечеткое транзитивное

замыкание Г~(х,) Затем находим их пересечение

O^ftx^r^^Vx^oi/x;,^ ,«%/*,>, ,<ц,/Хп>>' где а, б [0,1] Если носитель нечеткого множества С(х) совпадает с множеством вершин X графа g , то этот исходный граф сильно связен, а степень его живучести определится как V(G) = mm{at,a2, ,«„} В противном случае величина V(G) = О

В работе предложен формальный алгоритм ALt, позволяющий находить степень живучести нечеткого графа <5

В работе рассмотрена задача увеличения степени живучести нечеткого графа с наименьшими затратами Здесь под затратами понимается добавление новых ребер, и (или) увеличение значений функций принадлежности уже существующих так, чтобы степень живучести достигла необходимого значения В общем случае решение такой задачи сводится к большому перебору и может привести к значительным

временным затратам

В работе предлагается подход к уменьшению такого перебора Данный подход основан на выделении компонент сильной связности нечеткого графа с необходимой степенью живучести у

В работе предложен формальный алгоритм АЬ2, позволяющий находить наименьшую величину, на которую необходимо увеличить суммарное значение функций принадлежности ребер нечеткого графа д, чтобы степень его живучести достигла требуемой величины V

Также предложен эвристический подход к увеличению степени живучести нечетких ориентированных графов Данный подход основан на идее поиска по дереву с возвратом и позволяет не производить перебор всех вариантов Основными понятиями в данном методе является понят ие ветвления и границ (весов) рассматриваемых вершин в дереве решений Здесь в качестве ветвления подразумевается «замыкание» или «не замыкание» последней рассматриваемой вершины на первую в последовательности рассматриваемых вершин, а в качестве границ -количество и величины функций принадлежности, на которые необходимо увеличить значения функций принадлежности ребер в рассматриваемом подграфе, чтобы его степень живучести достигла требуемого значения Необходимо отметить, что данный метод находит не все наилучшие решения и результат решения зависит от выбора первой вершины

В работе предложен метод увеличения живучести нечеткого неориентированного графа, т е графа ¿? _ (х,0), в котором

(\/х,,х2еХ)[/Ли(х!,х2)- Ци(х2,х,)] В работе доказано свойство, которое справедливо для неориентированных графов Свойство 3

Если в неориентированном нечетком графе имеется (К+1) компонента связности со степенями больше или равными Туц, то для доведения степени живучести до величины ТУ1Т необходимо и достаточно увеличить

значения функций принадлежности К неориентированных ребра Следствие 2

Если в неориентированном нечетком графе п вершин и не существует ни одного ребра со значением функции принадлежности более или равного Тут т0 для достижения степени живучести графа до величины Тт необходимо и достаточно увеличить значения функций принадлежности (п-1) неориентированных ребра

На основе доказанного свойства и следствия в работе предложен и обоснован алгоритм АЬ3, позволяющий увеличивать степень живучести нечеткого неориентированного графа до заданной величины

При размещении центров обслуживания на нечетком графе естественно рассмотреть задачу нахождения их «оптимального» расположения в том смысле, чтобы все (оставшиеся) вершины нечеткого графа обслуживались с наибольшей степенью живучести Для рассмотрения этой задачи введем следующие понятия

Пусть д=(Х, V) - как и ранее - нечеткий ориентированный граф с числом вершин \Х\=п Пусть имеется к центров обслуживания (к<п), размещенных в вершинах подмножества У, Ус X Пусть %(х1,х]) -

степень достижимости вершины х из вершины х Определение 3 Величину

Кг(Г)= & ( V г(х,,х )&г(х ,х ))

а Ух,еХ\Г \х,еГ ' > > 1

назовем степенью живучести нечеткого графа при его обслуживании к центрами из множества вершин У

Значение Уб(У) определяет минимаксную величину сильной связности

между каждой вершиной из множества X У и одним из центров, расположенных в У Величина Уе(У) е [0,1] зависит как от числа центров

к, так и от расположения центров на вершинах графа с (те от выбора множества У)

Таким образом, задача размещения к центров обслуживания (к<п) для

конкретного нечеткого графа g сводится к нахождению такого подмножества вершин YaX, для которого значение степени живучести Vq (Y) достигает наибольшего значения Определение 4 Нечеткое множество

Vô={<Vd(l)/l>,<Vs(2)/2>, ,<И0(я)/п>}, задаваемое на множестве вершин п, назовем нечетким множеством живучести нечеткого графа о = (Х,0)

Нечеткое множество живучести определяет наибольшие степени живучести графа g при его обслуживании 1,2, ,п центрами

Для нахождения оптимального расположения центров обслуживания, при котором степень живучести нечеткого графа достигает своего наибольшего значения, в работе доказана следующая теорема

Теорема 1. Для того чтобы величина У0 g [0,1] была наибольшей

степенью живучести нечеткого графа с при наличии к центров и при этом Vô(k-l) <V„, необходимо и достаточно, чтобы существовало

единственное разбиение 3? множества вершин X на к классы 9t={XhX}, ,Хк) так, чтобы нечеткие подграфы g, =(Л",Д)> С2 = (Х2,02), , = (Xt,(7t)> определяемые этими классами, являлись максимальными подграфами со степенями внутренней и внешней живучести соответственно у^), > КЖ)> КЖ), r,„(G2), -,

для которых выполнялось условие

m^.(VeJGJ))<nw(Vl„e(G,)) (8)

je) к J leU

При этом,

tel к

Данная теорема позволяет обосновать следующий подход к размещению центров

для того чтобы «оптимально» разместить к центров в нечетком графе с

п вершинами (к<п) с наибольшей степенью живучести, необходимо произвести разбиение графа на к максимальные не пересекающихся подграфы, для которых выполняется условие (8) Далее, поместить по одному центру обслуживания в любую из вершин выделенных подграфов При этом степень живучести всего подграфа определится минимальной из степеней выделенных подграфов

Однако, если такое выделение к максимальных подграфов невозможно, то это означает, что можно «обслуживать» граф не уменьшая степень живучести и меньшим (по сравнению с к) числом центров

В работе рассмотрен и обоснован метод нахождения всех минимальных множеств центров обслуживания, имеющих наибольшую степень живучести

Данный метод позволяет найти такое местонахождение центров обслуживания, при котором можно выйти из некоторого центра, «обслужить» любую вершину и вернуться обратно в этот же центр по маршруту, имеющему наиболее возможную конъюнктивную прочность. Далее в диссертации рассматривается задача размещения центров в случае, когда возврат обратно в центр обслуживания необязателен Данный подход основан на нахождении нечетких баз нечеткого графа

В работе предложен метод нахождения нечетких баз нечеткого графа Данный метод аналогичен методу нахождения минимальных множеств центров обслуживания так, чтобы живучесть графа была наибольшей

В работе рассмотрена взаимосвязь между степенью изоморфизма нечетких графов и их нечеткими множествами живучести Пусть 0 ц ^ и @ =(у> и ) ' нечеткие графы, где X и ¥ - множества

вершин, а 0={<^(хх )/(хх )>](Х1Хх>}, 0~{<ц,(у,у/)/(у,,у,)>\(у,у,)^Г'}

нечеткие множества ребер с функциями принадлежности соответственно, цх х2 ->[0,1] и р у -»[0,1] Пусть число вершин в графах совпадают,

те \Х\=\У] = п

Обозначим через /= &.(их(х„х) рг(у„у,)) степень

1 = 1 л ,/=1 я

изоморфизма нечетких графов д 0 ) а & =(У, 0 ) Пусть /2>, ,<Ук/п>} и ={<^/1>,<К1г/2>, ,<Ук/п>) - нечеткие множества живучести нечетких графов с, и о, соответственно Тогда справедливо следующее свойство

Свойство 4 Справедливо неравенство г ^ & (у у \

х>

Рассмотренное свойство позволяет не только оценивать степень изоморфизма нечетких графов на основе их нечетких множеств живучести, но и оценивать нечеткое множество живучести одного графа £ и ) па- основе нечеткого множества живучести другого графа

ё =(Х,0 ^ и их степени изоморфизма / В общем случае задача

нахождения степени изоморфизма нечетких графов более сложная, чем задача нахождения самого нечеткого множества живучести - она требует просмотра п' взаимно-однозначных соответствий вершин рассматриваемых графов (здесь, как и ранее, и=|^=|У|). Однако, если под нечеткими графами подразумевается одна и та же транспортная сеть в разные моменты времени, в которой произошли изменения в значениях функций принадлежности ребер, и при этом вершины не менялись, те =(х,01) и б, - (х,д2), то в этом случае степень изоморфизма естественно определить как

/ = & (•*/.■*/) МиЛх,,х ))■

V А * 1 '

В этом случае можно оценить возможные изменения нечеткого множества живучести сети на основе вычисленной степени изоморфизма

Приведен пример определения и увеличения степени живучести транспортной сети с учетом ее нечетких характеристик

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе обобщены результаты исследований в области разработки теоретических принципов, методов и алгоритмов решения оптимизационных задач, решаемых в транспортных сетях, с помощью геоинформационных систем с учетом нечетких данных об объектах сетей

В ходе проведенных исследований получены следующие основные научные теоретические и практические результаты

1 Развита концепция картографического образа как основы разработки средств снижения избыточности. Предложен новый вид картографических образов - комбинированные картографические образы Их принципиальным отличием является сочетание свойств уже описанных на момент эксплуатации ГИС образов, что сокращает затраты на разработку новых классов картографических образов. Применение комбинированных КО дает возможность снизить избыточность рабочих областей, строящихся для решения прикладных задач, уменьшить сетевой трафик Исследованы механизмы комбинирования КО на основе наблюдения картографических изображений в сеансе взаимодействия аналитика с ГИС Разработана методика синтеза функции комбинирования Ее применение позволяет адаптировать вид функции свойствам экспериментально полученных изображений, минимизировав тем самым избыточность Проведен экспериментальный анализ программной реализации методов изменения сложности комбинированного образа На основе результатов статистического эксперимента сформулированы рекомендации по использованию циклического и последовательного способов вызова методов изменения сложности.

2. Предложен комплекс средств снижения риска использования информационной базы ГИС для принятия решений. Первое средство

основано на мониторинге актуальности и предполагает комбинирование синхронного и асинхронного способа определения достоверности Второе средство — это поисковая система, использующая пространственное индексирование документов и нечеткую классификацию для обеспечения информационной поддержки процесса актуализации рабочей области пользователем. Третье средство представляет собой особый -подстраховочный - режим работы ГИС, в котором как представление рабочей области, так и выполнение операций в ней реализуется с учетом допустимого риска Сочетание описанных средств позволит снизить ущерб при принятии решений на основе картографических данных ГИС

3 Разработаны алгоритмы решения задач размещения сервисных центров и центров скорой помощи в транспортных сетях с учетом лингвистических характеристик объектов сетей Разработанные алгоритмы отличаются от ранее известных тем, что они позволяют определять оптимальные места размещения сервисных центров и центров скорой помощи, учитывая исходные данные, представленные в виде значений лингвистических переменных Кроме того, оптимизация может производиться с учетом как одного, так и нескольких критериев равной или различной важности

4 Разработаны алгоритмы определения максимальных потоков в транспортной сети, описываемой графом, с нечеткими пропускными способностями, отличающиеся от известных тем, что они позволяют учитывать нечеткие исходные данные Впервые разработаны алгоритмы определения потоков минимальной стоимости между источником и стоком, алгоритм определения максимального динамического потока и потока с усилениями в транспортной сети с учетом нечетких стоимостей и нечетких пропускных способностей

5 Для анализа транспортной сети, представленной нечетким графом, впервые предложено рассматривать степень ее живучести как степень сильной связности нечеткого графа Впервые обоснованы и разработаны метода вычислдения и увеличения степени живучести нечетких

ориентированных и неориентированных графов

6 Впервые сформулированы и рассмотрены задачи размещения центров обслуживания на нечетких графах с наибольшей степенью живучести Впервые предложены и обоснованы оригинальные методы размещения центров обслуживания на нечетких графах с наибольшей степенью живучести

Перечень основных опубликованных работ по теме диссертации.

1 Беляков С Л, Розенберг И Н Комбинирование картографических изображений // Информационные технологии - 2005, №5, с 36-40.

2 Беляков С Л, Розенберг И.Н Риск решения задач в геоинформационных системах // Известия ТРТУ. Таганрог Изд-во ТРТУ, 2005 , №6, с 89-96

3 Беляков С Л, Розенберг И Н Самоактуализирующиеся электронные карты ГИС // Труды Международных научно-технических конференций «Интеллектуальные системы»(1ЕЕЕ AIS'05) и «Интеллектуальные САПР» (CAD-2005) Научное издание в 3-х томах -М ФИЗМАТЛИТ, 2005 Т 2 , с 96-102

4 Беляков С Л , Розенберг И Н Типичность запросов и распределение функций в сетевой ГИС // Приборы и системы управления - 2005, №5, стр 32-35

5 Беляков С Л, Розенберг И.Н Средства снижения риска использования информации ГИС // Геоинформатика 2006, № 1 С 21-25

6 Беляков С Л , Розенберг И Н Комбинирование картографических образов в геоинформационных системах // Известия ТРТУ Тематический выпуск «Прикладная синергетика и системный синтез» - Таганрог Изд-во ТРТУ, 2006 №6 (61), с 288-293

7 Беляков С Л, Розенберг И Н Стиль решения задач в геоинформационных системах для железнодорожного транспорта // Известия ТРТУ Тематический выпуск «Управление в экономических системах» - Таганрог Изд-во ТРТУ, 2006 №10, с 5-8

8 Берштейн JIС , Боженкж А В , Розенберг И Н Размещение сервисных центров на основе нечетких баз нечетких графов // Девятая Национальная конференция по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2004 (28 сентября - 2 октября 2004г, Тверь) Труды конференции В 3-х т Т 1 М ФИЗМАТ ЛИТ, 2004 -С 323-330

9 Берштейн Л С , Боженюк А В , Розенберг И Н Анализ и синтез живучести нечетких графов// Труды Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM'2005 Санкт-Петербург, 27-29 июня 2005 - Том 1 Санкт-Петербург изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2005 -С 204-207

10 БерштейнЛС, Боженюк АВ, Розенберг ИН Использование живучести для оценки степени изоморфизма нечетких графов Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Интеллектуальные САПР» Материалы Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные САПР» Таганрог. Изд-во ТРТУ, 2005 №3(47) - С 5-10

11 Боженюк А В , Розенберг И Н Метод определения живучести нечетких графов // Научная сессия МИФИ-2005 Сборник научных трудов В 15 томах ТЗ Интеллектуальные системы и технологии М МИФИ, 2005. С 146-147

12. Боженюк А В , Розенберг И Н Увеличение степени живучести нечетких графов на основе сильной связности // Труды Международных научно-технических конференций «Интеллектуальные системы (IEEE AIS'05)» и «Интеллектуальные САПР» (CAD-2005) М ФИЗМАТЛИТ, 2005, Т 1 С 110-116

13 Боженюк А В, Розенберг И Н Метод увеличения живучести нечетких графов // Труды Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям «SCM'2006» Санкт-Петербург, 27-29 июня 2006 -Том 1 Санкт-Петербург изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006 - с 164167

14 Боженюк А В , Розенберг И Н Увеличение степени живучести

нечетких неориентированных графов // Труды Международных научно-технических конференций «Интеллектуальные системы (IEEE AIS'06)» и «Интеллектуальные САПР» (CAD-2006) М ФИЗМАТЛИТ, 2006, TI, с 139-144

15 Боженюк А В , Розенберг И Н Метод размещения центров обслуживания на интервальных графах Известия ТРТУ - Таганрог Изд-во ТРТУ, 2006, №9 (64) - С 141-145

16 Боженюк АВ, Розенберг ИН Метод определения степени живучести нечетких ориентированных графов // Труды Всероссийской научной конференции по нечетким системам и мягким вычислениям НСМВ-2006 (20-22 сентября 2006г, Тверь) - М. ФИЗМАТЛИТ, 2006, с 48-60

17 Боженюк А В , Розенберг И Н , Старостина Т А Анализ и исследование потоков и живучести в транспортных сетях при нечетких данных -М Научный мир, 2006 -136с

18 Дзюба Т А , Розенберг И Н Оптимизация размещения центров скорой помощи с учетом нечетких данных // Известия ТРТУ Тематический выпуск Интеллектуальные САПР «Материалы Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные САПР» Таганрог, Изд-во ТРТУ, 2001, N4 (22), с 79-86

19 Дулин С К , Розенберг И Н Об одном подходе к структурной согласованности геоданных // Мир транспорта, 2005, № 3, с 16-29

20 Дулин С К . Розенберг И Н Использование функции сходства для группируемости ресурсов геоинформационного портала отрасли //Вестник РГУПС, 2005, №4 С 58-67

21 Розенберг И Н Решение задач размещения на нечетких графах // Сборник тезисов докладов третьей всероссийской научной конференции молодых ученых и аспирантов "Новые информационные технологии Разработка и аспекты применения" Таганрог ТРТУ, 2000 г - с 109

22 Розенберг И Н Использование нечеткий представлений данных при определении медиан графа // Известия ТРТУ Тематический выпуск

Интеллектуальные САПР «Материалы Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные САПР» - Таганрог Изд-во ТРТУ, 2001, N4 (22) - с 64-72

23 Розенберг И Н Применение геоинформационных технологий для решения задач управления на железнодорожном транспорте // Первая межведомственная научно-практическая конференция «Телекоммуникационные технологии на транспорте России «ТЕЛЕКОМТРАНС-2003», 23-25 апреля, Сочи, 2003 г - с 98-105

24 Розенберг И Н Новые информационные технологии управления инфраструктурой железнодорожного транспорта // Труды восьмой научно-практической конференции «Информационные технологии в железнодорожном транспорте» «ИНФОТРАНС-2003», 8-11 октября, Санкт-Петербург, 2003 г - с 71-82

25 Розенберг И Н Однокритериальная минисуммная задача размещения центра обслуживания с лингвистическими переменными // Известия ТРТУ, Тематический выпуск «Интеллектуальные САПР» -Таганрог ТРТУ, 2003, № 2 (31), с 56-63

26 Розенберг И Н Применение геоинформационных технологий для решения задач управления перевозками и инфраструктурой на железнодорожном транспорте России // Сборник тезисов докладов 11 всероссийского форума «Рынок геоинформатики России Современное состояние и перспективы развития» Москва, РАГС, 8-10 июня 2004г — с 13-14

27 Розенберг И Н Увеличение степени живучести нечетких ориентированных графов // Известия ТРТУ Тематический выпуск "Интеллектуальные САПР" - Таганрог Изд-во ТРТУ, 2006, №8 (63), с 2125

28 Розенберг И Н Экспериментальный анализ процедуры изменения сложности комбинированного картографического образа. // Сборник трудов конференции «Интеллектуальные системы» (А15'2006) Москва Физматлит, 2006 - том I, с 226-235

29 Розенберг И H Динамические потоки в транспортных сетях с нечеткими исходными данными // Материалы Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (ММА'2006) Т1 - Таганрог- Изд-во Таганрог гос пед ин-та, 2006 -с 271-274

30 Розенберг И H , Альтшулер Б Ш , Самратов У Д О концепции создания инфраструктуры пространственных данных с использованием спутникового позиционирования // Автоматика, связь, информатика, №10 Москва, 2005 г , с 19-23

31 Розенберг И H , Гитис С А , Святов Д С Геоинформационная система ObjectLand // Сборник трудов ИПИ РАН «Системы и средства информатики» Вып 10 - Москва Наука, 2000 г

32 Розенберг И H , Дзюба Т А Размещение центров обслуживания на карте местности при нечетких расстояниях П Сборник трудов ТРТУ «Проектирование и моделирование интеллектуальных систем» — Таганрог ТРТУ, 2000 г - с 79-85

33 Розенберг И H , Дзюба Т А Определение радиусов графа при лингвистическом представлении расстояний на ребрах // Сборник трудов Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM'2001 -Санкт-Петербург Издательство ЛЭТИ, 2001 г-с. 42-45

34 Розенберг И H, Дулин С К О задачах геоинформационного портала отрасли 2-я Научная сессия ИПИ РАН «Проблемы и методы информатики», Москва, 2005 г - с 174-176

35 Розенберг И H , Духин С В Автоматизированная система ведения геоинформационной базы данных, увязанная с параметрами работы и развития ОАО «РЖД» // Труды девятой научно-практической конференции «Информационные технологии в железнодорожном транспорте» «ИНФОТРАНС-2004», 6-9 октября, Санкт-Петербург, 2004 г -с 95

36 Розенберг И H , Духин С В Геоинформационные технологии -важнейшая составляющая современных информационных систем. //

Автоматика, связь, информатика, № 7, 2005, с 8-12

37 Розенберг И Н, Духин С В, Горелик А В Развитие автоматизированных систем управления инфраструктурой на основе использования новых информационных технологий // Сборник докладов 2-й межведомственной научно-практической конференции «ТелеКомТранс - 2004», г Сочи, 22-24 апреля 2004 г - с 160-166.

38. Розенберг И Н , Духин С В , Харин О В Электронный атлас сети железных дорог России // Труды девятой научно-практической конференции «Информационные технологии в железнодорожном транспорте» «ИНФОТРАНС-2004», 6-9 октября, Санкт-Петербург, 2004 г — с.94-95.

39 Розенберг И Н, Поплавский А А Геоинформационные базы данных в информационном обеспечении центров управления перевозками МПС // Информационные технологии на железнодорожном транспорте « ИНФОТРАНС - 2001» Сборник докладов Сочи, 2001г - с 170-176

40 Розенберг И Н, Старостина Т А Выбор мест расположения центров скорой помощи в условиях неопределенности // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, том 9, вып 1, с 237-238

41 Розенберг ИН, Старостина ТА Минимаксная задача размещения обслуживающих пунктов в нечетких условиях Системы и средства информатики Специальный выпуск «Математические методы в информатике» Издательство ИПИ РАН, Москва, 2002, с 206-219

42. Розенберг И Н, Старостина Т А Решение задач пространственной оптимизации // Системы и средства информатики Специальный выпуск «Геоинформационные технологии»/ Под ред И А Соколова. Москва ИПИ РАН, 2004 -с 213-231

43 Розенберг И Н, Старостина Т А Анализ живучести нечетких сетей // Сборник трудов конференции «Интеллектуальные системы» (IEEE AIS'2004),том II Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2004 -с 129-135

44. Розенберг И Н., Старостина Т А Размещение сервисных центров в транспортной сети с учетом лингвистических характеристик

альтернативных мест размещения // Сборник докладов международной конференции по мягким вычислениям и измерениям БСМ'2005 Том 2 — Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2005 -с 136-139

45 Розенберг И Н , Старостина Т А Многокритериальный выбор оптимальных мест размещения при лингвистическом представлении оценок альтернатив и коэффициентов важности критериев // Сборник трудов конференции «Интеллектуальные системы» (А1Б'2005), том I Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2005 -с 343-350

46 Розенберг И Н , Старостина Т А Задача размещения объектов на карте местности с учетом множества равнозначных критериев и лингвистической неопределенности // Известия ТРТУ Тематический выпуск "Интеллектуальные САПР" Материалы Международной научно-технической конференции "Интеллектуальные САПР" Таганрог Изд-во ТРТУ, 2005 № 3 (47) - С 17-22

47 Розенберг И Н, СтаростинаТ А Решение задач размещения с лингвистическим представлением исходных данных // Материалы научной сессии МИФИ-2005, Том 3 МИФИ, Москва, 2005 -с 91-92

48 Розенберг И Н , Старостина Т А Определение максимального потока в транспортной сети с нечеткими пропускными способностями // Труды Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям «8СМ'2006» Санкт-Петербург, 27-29 июня 2006 - Том 2 Санкт-Петербург изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006 - с 111-114

49. Розенберг И Н, Старостина Т А Определение потока минимальной стоимости в графе с нечеткими пропускными способностями // Известия ТРТУ Тематический выпуск "Интеллектуальные САПР" - Таганрог. Изд-во ТРТУ, 2006, №8 (63), с 3136

50 Розенберг И Н , Старостина Т А Задача о потоке минимальной стоимости с учетом нечетких пропускных способностей и стоимостей // Сборник трудов конференции «Интеллектуальные системы» (А15'2006) Москва, Физматлит, 2006 - том I, с 110-118

51 Розенберг И Н, Старостина Т А Решение задач размещения с нечеткими данными с использованием геоинформационных систем - М Научный мир, 2006 - 208 с

52 Розенберг И Н, Шенфельд К П , Духин С В , Замышляев А М Новая технология ведения техническо - распорядительных актов станций Орган Министерства Путей Сообщения // Железнодорожный транспорт, Москва, 2003, вып 8, с 39-44

53 Bershtem L S, Bozhenyuk А V , Rozenberg IN Definition of Optimum Allocation of the Service Centers // Proceedmgs of International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing m Economics and Finance FSSCEF2004 Samt-Petersburg, Russia, June 17-20, Vol 1, 2004 pp 283-290

54 Bershtein L S , Bozhenyuk A V , Rozenberg IN Allocation of Service Centers by Fuzzy Bases of Fuzzy Graphs // Proceeedings East-West Fuzzy Colloquium 2004 11th Zittau Fuzzy Colloquium September 8-10 Zittau Hochschule Zittau / Goerhtz, 2004 -p 112-117

55. Bershtein L S, Bozhenyuk A V , Rozenberg IN Fuzzy Graph Vitality Degree Increase on the Base of Strong Connection // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2005 12th Zittau Fuzzy Colloquium Zittau Hochschule Zittau\ Goerhtz 2005, p 309-312

56 Bozhenyuk A V, Rozenberg I.N , Starostina ТА A Method of Vitality Degree Increase of Fuzzy Graphs // Proceedmgs of East West Fuzzy Colloquium 2006. 13th Zittau Fuzzy Colloquium Zittau Hochschule ZittauX Goerhtz 2006, p 235-240

57 Dziouba Т., Rozenberg I The decision of service centres location problem in fuzzy conditions H Lecture Notes in Computer Science, Vol 2206, Computational intelligence theory and applications (Proceedings of International Conference 7th Fuzzy Days) Bernd Reusch (ed), Springer Verlag, 2001, p. 11-17

58 Rozenberg I N.. Starostina T A Multi-Criteria Service Centers Location Choice with Linguistic Parameters of Alternative Location Places // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2005 12th Zittau Fuzzy

Colloquium Zittau Hochschule Zittau\ Goerlitz 2005, p 259-264

59 Rozenberg I N , Starostina T A Minimal cost flow problem in graph with flow intensification and fuzzy parameters // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2006 13th Zittau Fuzzy Colloquium Zittau Hochschule Zittau\ Goerlitz 2006, p 229-234

Розенберг Игорь Наумович

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ КОМПЛЕКСА ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА СЕТЯХ ПРИ НЕЧЕТКИХ ДАННЫХ В ГЕОИНФОРМАТИКЕ.

Специальность 25 00 35 «Геоинформатика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Подписано в печать Заказ - Тираж ЮОэкз

Формат бумаги 60x841/16 Объем Зр&усп печ л

Типография МИИТа, 127994, Москва, ул Образцова, д 15

Содержание диссертации, доктора технических наук, Розенберг, Игорь Наумович

ВВЕДЕНИЕ

1. ОРГАНИЗАЦИЯ ГИС, ОРИЕНТИРОВАННЫХ НА РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

1.1. Решение задач в среде ГИС и оптимизация на графовых моделях

1.2. Избыточность и концепция картографического образа

1.3. Комбинирование картографических образов

1.3.1. Принципы комбинирования

1.3.2. Построение рабочей области для комбинирования

1.3.3. Синтез формул комбинирования на основе экспериментальных данных

1.4. Средства снижения риска использования информации ГИС

1.5. Принципы самоактуализации электронных карт ГИС

1.6. Построение нечетких графовых моделей на основе ГИС

1.7. Выводы по разделу

2. РАЗМЕЩЕНИЕ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ ГИС

С УЧЕТОМ ИХ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

2.1. Классификация задач размещения объектов в транспортной сети

2.2. Лингвистические переменные и операции над ними

2.2.1. Определение понятия лингвистической переменной

2.2.2. Операции над значениями лингвистической переменной

2.2.3. Синтаксически независимые лингвистические переменные

2.3. Размещение объектов на карте местности с учетом лингвистических характеристик альтернативных мест размещения

2.3.1. Общее описание постановки задачи

2.3.2. Модель задачи размещения с лингвистическими исходными данными

2.3.3. Подходы к решению задачи

2.4. Размещение объектов на карте с учетом характеристик, учитывающих взаимосвязи между объектами

2.4.1. Минисуммная задача размещения центров обслуживания с исходными данными, представленными в виде лингвистических переменных

2.4.2. Минимаксная задача размещения центров обслуживания с исходными данными, представленными в виде лингвистических переменных

2.4.3. Многокритериальные задачи размещения центров обслуживания и центров скорой помощи

2.5. Выводы по разделу

3. ПОТОКИ В СЕТЯХ ПРИ НЕЧЕТКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ДАННЫХ

3.1. Основные понятия, используемые в транспортной сети при исследовании потоков

3.2. Неопределенность в транспортной сети

3.3. Использование нечетких данных при решении задач о потоках в сетях

3.4. Определение максимального потока от источника к стоку в графе с нечеткими пропускными способностями

3.4.1. Определение максимального потока в графе с пропускными способностями, представленными в виде нечетких чисел Ь-К типа

3.4.2. Определение максимального потока в графе с нечеткими пропускными способностями, представленными в виде интервалов

3.5. Задачи о потоке минимальной стоимости в нечетких условиях

3.5.1. Особенности постановки задачи о потоке минимальной стоимости с нечеткими данными

3.5.2. Модели задачи о потоке минимальной стоимости в нечетких условиях

3.5.3. Задача определения потока минимальной стоимости в графе с нечеткими пропускными способностями

3.5.4. Задача определения потока минимальной стоимости в графе с нечеткими пропускными способностями и нечеткими стоимостями

3.5.5. Задача определения потока минимальной стоимости в графе с нечеткими стоимостями

3.6. Динамические потоки в транспортных сетях с нечеткими исходными данными

3.6.1. Понятия динамического потока и максимального динамического потока в транспортной сети

3.6.2. Постановка задачи определения максимального динамического потока с нечеткими исходными данными

3.6.3. Метод решения задачи о максимальном динамическом потоке в графе с нечеткими пропускными способностями

3.7. Потоки с усилениями

3.7.1. Понятие потока с усилениями

3.7.2. Модель задачи определения потока минимальной стоимости в сети с усилениями

3.7.3. Модификация модели задачи определения потока минимальной стоимости в сети с усилениями для случая использования нечетких данных

3.7.4. Решение задачи определения потока минимальной стоимости в сети с усилениями с нечеткими пропускными способностями

3.7.5. Решение задачи определения потока минимальной стоимости в сети с усилениями при заданных нечетких стоимостях

3.8. Выводы по разделу

4. ЖИВУЧЕСТЬ НЕЧЕТКИХ ГРАФОВ

4.1. Анализ живучести нечетких неориентированных графов на основе удаления ребер

4.2. Живучесть нечетких графов на основе сильной связности

4.3. Увеличение степени живучести нечеткого ориентированного графа

4.4. Увеличение степени живучести нечеткого неориентированного графа

4.5. Размещение центров обслуживания с наибольшей степенью живучести

4.5.1. Постановка задачи размещения центров с наибольшей степенью живучести

4.5.2. Метод нахождения центров с наибольшей степенью живучести.

4.5.3. Нахождения центров на основе нечетких баз нечеткого графа

4.6. Использование степени живучести для оценки степени изоморфизма нечетких графов

4.7. Выводы по разделу

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Теория и практика решения комплекса оптимизационных задач на сетях при нечетких данных в геоинформатике"

Геоинформационные системы (ГИС) представляют собой программно-аппаратные комплексы для получения, хранения, преобразования и передачи информации пространственно-временного характера. ГИС нашли свое применение в самых различных областях человеческой деятельности - от систем государственного управления, промышленности, науки до автомобильных навигационных систем и смартфонов. Геоинформационная технология на сегодняшний день прочно утвердилась как одна из основополагающих в области проектирования и эксплуатации информационных систем.

Особую роль ГИС играют в сфере управления транспортными системами. Территориальная рассредоточенность транспортных путей и сооружений, разнородность их строения и поведения, необходимость учитывать природные факторы, многосвязность информационных ресурсов, описывающих транспортные объекты, заставляют обращаться к ГИС как системам, эффективно оперирующим географическими картами, планами и различного рода схемами, электронными документами. На сегодняшний день на транспорте с помощью геоинформационных систем решаются разномасштабные задачи - от сбора учетной информации о средствах транспортировки до глобального мониторинга потоков перемещений грузов по территории России и соседних государств. Геоинформационная технология перспективна в сфере управления транспортом, поскольку карты, схемы и планы всегда были и будут неотъемлемой частью рабочей документации проектировщиков, аналитиков и обслуживающего персонала. Эта форма представления информации для них привычна и естественна.

Анализ практики решения задач с помощью ГИС в сфере управления транспортными системами позволил выделить следующие проблемы: 1)по мере усложнения транспортных систем, роста уровня их информатизации растет количество трудноформализуемых задач принятия решений. Эксперт-аналитик обращается к картам и схемам ГИС, имея зачастую лишь интуитивное представление о плане предстоящих действий. Это обуславливается как недостатком исходных данных, так и огромным разнообразием реально складывающихся ситуаций. Полезность ГИС в таких ситуациях тем выше, чем больше элементов «интеллектуального» поведения заложено в ней. В существующих системах его явно недостаточно;

2) хранимая в ГИС картографическая информация изобилует неточностями, неопределенностями и неполнотой. Эта особенность не является ни в коем случае следствием низкого качества картографического производства, но объективно следует из самого определения географической карты как образно-знаковой модели действительности. Известно, что карты являются результатом творческой работы картографов, применяющих свои знания и опыт к разнородным источникам сведений различной точности и достоверности. Картографическая генерализация неизбежно сопровождается утрированием, результат которого непредсказуем. Поэтому о соответствии конкретной карты реальным объектам и событиям можно говорить лишь в «возможностном» смысле, пользуясь категориями нечеткости. В современных системах подобный механизм не предусмотрен;

3) у сложнение транспортных сетей ставит более сложные задачи поиска наилучших решений в нахождении размещений транспортных объектов, скоростей и времени их перемещения, прогнозирования состояния каналов транспортировки. Для их решения следует использовать богатый арсенал методов оптимизации, имеющийся в области математического программирования. Однако, непосредственное применение существующих математических моделей на практике невозможно из-за отсутствия необходимых данных требуемой точности. Получаемые результаты неоднозначны и требуют привлечения экспертов для интерпретации. Недостаток соответствующей теоретической базы не позволяет внедрить в ГИС адекватный реальной ситуации программный инструментарий оптимизации транспортных сетей;

4) решение прикладных задач в среде ГИС было и будет связано с отбором полезной информации из огромных информационных массивов, накопление которых идет непрерывно. Решаются задачи эвристически либо с применением формальных методик - начальным шагом решения всегда является отбор наиболее полезных фрагментов, слоев, видов и ссылок электронной карты. Нерационально построенная рабочая область карты не только снижает качество моделей оптимизации, но и затрудняет интерпретацию полученных результатов. Поэтому нуждается в развитии методология и инструментарий построения картографических изображений, обладающих максимальной информативностью.

Перечисленные проблемы являются, с точки зрения автора, ключевыми в реализации эффективных систем управления транспортом на основе ГИС. Их решение позволит повысить качество управления и, как следствие, эффективность перемещения грузов и пассажиропотоков. Для решения проблем требуется провести исследований в следующих направлениях:

• разработки новых способов системной организации ГИС для решения оптимизационных задач, направленных на получение картографических изображений максимальной информативности;

• создания принципов решения наиболее важных оптимизационных задач размещения в нечеткой постановке;

• построения теоретических основ анализа статических и динамических аспектов поведения нечетких сетей, применяемых при оптимизации грузопотоков;

• анализа факторов, обеспечивающих безопасность и стабильность развития систем, описываемых нечеткими графами.

Исследования перечисленных вопросов продолжают линию фундаментальных исследований, проводимых в области ГИС отечественными и зарубежными учеными, среди которых Берлянт A.M., Кошкарев A.B., Матвеев С.И., Салищев К.А., Тикунов B.C., Цветков В.Г. и др.

При исследовании и решении оптимизационных задач в нечетких условиях с помощью ГИС используются элементы теории нечетких множеств, представленные работами JI. Заде, Р. Беллмана, А.Н. Мелихова, JJ.C. Берштейна, А.И. Борисова, Д. Дюбуа и А. Прада, А. Кофмана, Т. Саати, Х.-Ю. Циммерманна и других авторов. Работы перечисленных ученых относятся к ряду фундаментальных работ по нечеткой логике и теории нечетких множеств, положенных в основу исследований, проводимых в данной работе.

Основным направлением данного исследования являются задачи оптимизации, проводимой в транспортных сетях в нечетких условиях. К ним относятся задачи размещения сервисных и ремонтных центров, различные задачи поиска и распределения товаро- и грузопотоков, оценки и анализа чувствительности сети к повреждениям из-за отказов различных ее участков.

В настоящей работе обобщены результаты теоретических и практических исследований в области организации и функционирования ГИС, оснащенных развитым инструментарием решения оптимизационных задач на нечетких графах, а также в области математического моделирования различных процессов оптимизации на графах с нечеткими и лингвистическими параметрами.

Данные исследования проводились лично автором и при его непосредственном участии на кафедре «Прикладной информатики» Технологического института Федерального государственного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» и на кафедре «Геодезия и геоинформатика» Московского университета путей сообщения 20002007 годов.

Предметом исследования являются:

• принципы системной организации ГИС для анализа и оптимизации, направленные на повышение качества получаемых решений;

• методы манипулирования картографическими изображениями для снижения избыточности рабочих областей электронных карт;

• транспортные сети (в том числе железнодорожные), ориентированные на процессы перевозок;

• процессы, протекающие в сетях при их сервисном обслуживании и при осуществлении перевозок при внешнем воздействии условий окружающей среды (процессы, протекающие в нечетких условиях);

• задачи оптимизации, возникающие в транспортных сетях в нечетких условиях, а именно: размещение сервисных центров и центров скорой помощи, оптимизация потоков транспортных сетей;

• задачи оценки и увеличения живучести нечетких транспортных сетей;

• ГИС с позиции организации применительно к оптимизационным задачам.

Цель работы. Целью исследования является разработка и исследование моделей, методов и алгоритмов решения оптимизационных задач, решаемых в транспортных сетях, с помощью геоинформационных систем с учетом нечетких данных об объектах сетей.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1) развить концепцию построения картографических образов в виде комбинированных картографических изображений максимальной информативности и разработать методологию актуализации информационных ресурсов ГИС и оценки их достоверности для решения оптимизационных задач;

2) определить особенности задач размещения сервисных центров и центров скорой помощи в транспортных сетях с учетом лингвистических характеристик объектов сетей и разработать методы и алгоритмы их решения;

3) выделить основные классы задач о потоках в транспортных сетях с учетом нечетких данных и разработать математические модели, методы и алгоритмы их решения в нечетких условиях;

4) определить особенности живучести транспортных сетей, задаваемых нечеткими графами и разработать методы и алгоритмы вычисления и увеличения живучести нечетких графов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории графов, нечеткой логики, нечеткого линейного программирования.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• развита концепция картографического образа как теоретической основы разработки средств снижения избыточности. Предложен новый вид картографических образов - комбинированные картографические образы. Их принципиальным отличием является сочетание свойств уже описанных на момент эксплуатации ГИС образов, что сокращает затраты на разработку новых классов картографических образов. Применение комбинированных КО дает возможность снизить избыточность рабочих областей, строящихся для решения прикладных задач, уменьшить сетевой трафик;

• предложен комплекс средств снижения риска использования информационной базы ГИС для принятия решений. Показано, что для поддержания информационной основы в актуальном состоянии целесообразно использовать компоненты информационной инфраструктуры, связанные с обработкой физических сигналов и документов предприятия. Предложенная организация ГИС позволит минимизировать затраты, связанные с использованием и обновлением информации;

• впервые разработаны методы и алгоритмы решения задач размещения сервисных центров в транспортных сетях в условиях, когда параметры объектов сети заданы качественными характеристиками. Данные методы основаны на использовании ситуационных систем с нечеткими параметрами и применении понятий медиан и центров к графам с лингвистическими характеристиками;

• разработаны методы и алгоритмы решения задач нахождения максимального потока и потока минимальной стоимости в транспортной сети с нечеткими пропускными способностями участков сети и стоимостями перевозок;

• разработаны алгоритмы определения динамических потоков и потоков с усилениями в транспортных сетях с нечеткими исходными данными;

• введено понятие степени живучести нечеткого графа, что позволило обосновать подход к анализу и синтезу транспортных сетей, представленных нечеткими графами;

• введено понятие нечеткого множества живучести нечеткого графа, что позволило обосновать методы размещения центров обслуживания на нечетких графах.

Практическая ценность. Прикладными результатами являются разработанные в диссертационной работе

- методика снижения избыточности картографических изображений;

- алгоритмы изменения сложности картографических изображений;

- методы и алгоритмы решения задач размещения центров обслуживания и центров скорой помощи с учетом лингвистических исходных данных;

- методы и алгоритмы определения потоков в графах с нечеткими параметрами;

- методы определения и увеличения степени живучести нечетких ориентированных и неориентированных графов; и

- методы размещения центров обслуживания на нечетких графах с наибольшей степенью живучести.

Практическая ценность полученных в диссертации результатов заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы учитывают особенности различных оптимизационных прикладных задач таких, как задачи размещения, потоковые задачи и др. Практическое применение предложенных в работе методов допускает использование числовых, а также лингвистических характеристик объектов транспортных сетей. Методы и алгоритмы определения потоков в сетях с нечеткими исходными данными применимы также к другим задачам, модели которых являются моделями нечеткого линейного программирования.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов подтверждается математическими и аналитическими доказательствами, проведением вычислительных экспериментов, результатами численного моделирования и практического внедрения, а также апробацией на международных, всероссийских и региональных конференциях.

Внедрение результатов^

Разработанные в диссертации методы и алгоритмы внедрены в ЦУП ОАО «РЖД», Центре управления перевозками Куйбышевской железной дороги, в «Энергосбыте» - филиале ОАО «РЖД», в ФГУП ФКЦ «Земля».

Научные и практические результаты, полученные в диссертации и изложенные в статьях и докладах, использованы при подготовке и чтении курсов лекций на кафедре «Прикладная Информатика» ТТИ ЮФУ и на кафедре «Геодезия и геоинформатика» МИИТ.

Диссертация выполнена на кафедре «Прикладная Информатика» в соответствии с основным направлением научно-исследовательской работы ТТИ ЮФУ «Формальные системы, искусственный интеллект и системы принятия решений», а также на кафедре «Геодезия и геоинформатика» МИИТ. Акты внедрения и использования научных результатов прилагаются к диссертации.

На защиту выносятся:

1. Концепция картографических образов в направлении построения комбинированных картографических изображений максимальной информативности и методология оценки достоверности и актуализации информационных ресурсов ГИС.

2. Теоретические принципы построения методов и алгоритмов решения оптимизационных задач в транспортных сетях с нечеткими данными выделенного класса.

3. Методы и алгоритмы анализа живучести транспортных сетей, представленных в виде нечетких графов.

Апробация результатов работы^ Полученные в рамках работы научные и практические результаты докладывались и обсуждались на Третьей всероссийской научной конференции молодых ученых и аспирантов. "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (Таганрог, 2000г.), на международной конференции «International Conference 7th Fuzzy Days» (Дортмунд, Германия, 2001), на Всероссийских научно-практических конференциях «Информационные технологии на железнодорожном транспорте» «ИНФОТРАНС - 2001» (Сочи, 2001), «ИНФОТРАНС - 2003», «ИНФОТРАНС - 2004», (Санкт-Петербург, 2003, 2004), на первой и второй межведомственных научно-практических конференциях «Телекоммуникационные технологии на транспорте России. «TEJTEKOMTPАНС-2003», «ТЕЛЕКОМТРАНС-2004» (Сочи, 2003, 2004), на 11 Всероссийском форуме «Рынок геоинформатики России. Современное состояние и перспективы развития» (Москва, 2004), на Девятой Всероссийской конференции «Проблемы ввода и обновления пространственных данных» (Москва, 2005), на 2-й Научной сессии ИПИ РАН (Москва, 2005), на международных конференциях «Интеллектуальные системы» IEEE AIS'2004, AIS'2005, AIS'2006 (Дивноморск, 2004, 2005, 2006); на международной конференции «International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance. FSSCEF2004» (Санкт-Петербург, 2004); на девятой Национальной конференции по искусственному интеллекту с международным участием КИИ-2004 (Тверь, 2004); на конференции «Интеллектуальные системы и технологии» в рамках традиционной «Научной сессии МИФИ-2005» (Москва, 2005); на международных конференциях по мягким вычислениям и измерениям SCM'2001, SCM'2005, SCM'2006 (Санкт-Петербург, 2001, 2005, 2006), международных коллоквиумах по нечетким множествам (11th, 12th, 13th Zittau Fuzzy Colloquium, Zittau, Germany, 2004, 2005, 2006).

По теме диссертации опубликовано 59 работ, в том числе 19 из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК. Разработки по теме диссертации поддержаны грантом РФФИ "Разработка теории, алгоритмов и программ решения многокритериальных оптимизационных задач на ГИС", проект № 03-07-90202.

Работу можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в области ГИС и нечеткой оптимизации, а результаты проведенных исследований представляют комплекс научно-технических разработок, направленных на решение прикладных проблем, имеющих важное научно-техническое значение.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка используемых источников. Содержание работы изложено на 330 страницах, включая 101 рисунок, 22 таблицы, а также список литературы из 150 наименований.

Заключение Диссертация по теме "Геоинформатика", Розенберг, Игорь Наумович

4.8. Выводы по разделу 4

1). Для анализа транспортной сети, представленной в виде нечеткого графа, впервые предложено рассматривать понятие степени живучести транспортной сети как степень сильной связности нечеткого графа. Это позволило рассматривать задачу оценки транспортной сети, параметры которой заданы нечетко, с точки зрения ее степени живучести.

2). Впервые предложен и обоснован метод определения степени живучести нечеткого графа. Данный метод позволил оценивать рассматриваемую транспортную сеть с точки зрения ее степени живучести.

3). Впервые предложены и обоснованы методы увеличения степени живучести нечетких ориентированных и неориентированных графов. Данные методы позволили решить задачу увеличения степени живучести нечеткого графа (задачу синтеза нечеткого графа) с наименьшими затратами. Здесь под затратами понимается суммарное увеличение значений функций принадлежности ребер нечеткого графа.

4). Впервые сформулирована и рассмотрена задача размещения центров обслуживания с наибольшей степенью живучести. Для обоснования размещения центров обслуживания впервые введено понятие нечеткого множества живучести нечеткого графа. Предложен и обоснован метод размещения центров обслуживания на основе нахождения нечеткого множества живучести нечеткого графа.

5). Сформулирована и рассмотрена задача размещения центров обслуживания на основе нечетких баз нечеткого графа. Для обоснования размещения центров обслуживания на основе нечетких баз впервые предложен и обоснован метод нахождения нечеткого множества баз нечеткого графа.

6). Впервые произведена оценка степени изоморфизма нечетких графов на основе анализа их нечетких множеств живучести. Доказано свойство, показывающее, что степень изоморфизма нечетких графов не превышает степени

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе были разработаны и исследованы модели, методы и алгоритмы решения оптимизационных задач, решаемых в транспортных сетях, с помощью геоинформационных систем с учетом нечетких данных об объектах сетей.

В ходе проведенных исследований получены следующие основные научные теоретические и практические результаты:

1. Развита концепция картографического образа как основы разработки средств снижения избыточности. Предложен новый вид картографических образов -комбинированные картографические образы. Их принципиальным отличием является сочетание свойств уже описанных на момент эксплуатации ГИС образов, что сокращает затраты на разработку новых классов картографических образов. Применение комбинированных КО дает возможность снизить избыточность рабочих областей, строящихся для решения прикладных задач, уменьшить сетевой трафик. Исследованы механизмы комбинирования КО на основе наблюдения картографических изображений в сеансе взаимодействия аналитика с ГИС. Разработана методика синтеза функции комбинирования. Ее применение позволяет адаптировать вид функции свойствам экспериментально полученных изображений, минимизировав тем самым избыточность. Проведен экспериментальный анализ программной реализации методов изменения сложности комбинированного образа. На основе результатов статистического эксперимента сформулированы рекомендации по использованию циклического и последовательного способов вызова методов изменения сложности.

2. Предложен комплекс средств снижения риска использования информационной базы ГИС для принятия решений. Первое средство основано на мониторинге актуальности и предполагает комбинирование синхронного и асинхронного способа определения достоверности. Второе средство - это поисковая система, использующая пространственное индексирование документов и нечеткую классификацию для обеспечения информационной поддержки процесса актуализации рабочей области пользователем. Третье средство представляет собой особый подстраховочный - режим работы ГИС, в котором как представление рабочей области, так и выполнение операций в ней реализуется с учетом допустимого риска. Сочетание описанных средств позволит снизить ущерб при принятии решений на основе картографических данных ГИС.

3. Разработаны алгоритмы решения задач размещения сервисных центров и центров скорой помощи в транспортных сетях с учетом лингвистических характеристик объектов сетей. Разработанные алгоритмы отличаются от ранее известных тем, что они позволяют определять оптимальные места размещения сервисных центров и центров скорой помощи, учитывая исходные данные, представленные в виде значений лингвистических переменных. Кроме того, оптимизация может производиться с учетом как одного, так и нескольких критериев равной или различной важности.

4. Разработаны алгоритмы определения максимальных потоков в транспортной сети, описываемой графом, с нечеткими пропускными способностями, отличающиеся от известных тем, что они позволяют учитывать нечеткие исходные данные. Впервые разработаны алгоритмы определения потоков минимальной стоимости между источником и стоком, алгоритм определения максимального динамического потока и потока с усилениями в транспортной сети с учетом нечетких стоимостей и нечетких пропускных способностей.

5. Для анализа транспортной сети, представленной нечетким графом, впервые предложено рассматривать степень ее живучести как степень сильной связности нечеткого графа. Впервые обоснованы и разработаны методы

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора технических наук, Розенберг, Игорь Наумович, Москва

1. Андреев В.Н., Зинченко Т.П. Психосемантическая метрика экрана дисплея // Материалы Первого Московского международного семинара по проблеме "Взаимодействие человека с компьютером". - Москва, 1991.-е. 304-307.

2. Баранов Ю.Б., Берлянт A.M., Кошкарев A.B., Серапинас Б.Б., Филиппов Ю.А. Толковый словарь по геоинформатике / Под редакцией А.М.Берлянта и А.В.Кошкарева. Издание на CD-ROM. ГИС-обозрение, 1998.

3. Беляков С.Л., Розенберг И.Н. Комбинирование картографических изображений // Информационные технологии,- 2005, № 5. с. 36-40.

4. Беляков C.JL, Розенберг И.Н. Риск решения задач в геоинформационных системах // Известия ТРТУ. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005 , № 6, с. 89-96.

5. Беляков С.Л., Розенберг И.Н. Типичность запросов и распределение функций в сетевой ГИС // Приборы и системы управления.- 2005, № 5. с. 32-35.

6. Беляков С.Л., Розенберг И.Н. Комбинирование картографических образов в геоинформационных системах. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Прикладная синергетика и системный синтез». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. №6(61).-с. 288 -293.

7. Беляков С.Л., Розенберг И.Н. Стиль решения задач в геоинформационных системах для железнодорожного транспорта. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск «Управление в экономических системах». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. № 10.-с. 5-8.

8. Беляков С.Л., Розенберг И.Н. Средства снижения риска использования информации ГИС. // Геоинформатика. 2006, № 1. - с. 21-25.

9. Берлянт A.M. Образ пространства: карта и информация,- М.: Мысль, 1986. 240 с.

10. Ц.Берлянт A.M. Картографический метод исследования,- М.: МГУ, 1988.

11. Берлянт A.M. Картография и телекоммуникация (аналитический обзор).- М.: МГУ, 1998.

12. Берлянт A.M. Геоинформационная среда и эволюция ее отображения. // Геодезисть, 2001, №1. с. 11-16.

13. Берштейн JI.C., Беляков С.Л. Геоинформационные справочные системы. Научное издание,-Таганрог: ТРТУ, 2001.

14. Берштейн JI.C., Боженюк A.B. Введение в теорию нечетких графов,- Таганрог: ТРТУ, 1999.

15. Берштейн Л.С., Боженюк A.B. Нечеткие графы и гиперграфы. М.: Научный мир, 2005.-256 с.

16. Берштейн.Л.С., Боженюк A.B., Розенберг И.Н. Анализ и синтез живучести нечетких графов// Труды международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM'2005. Санкт-Петербург. Том 1. Санкт-Петербург: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2005. - с. 204-207.

17. Боженюк A.B., Розенберг И.Н. Метод определения живучести нечетких графов // Научная сессия МИФИ-2005. Сборник научных трудов. Т.З. Интеллектуальные системы и технологии. М.: МИФИ, 2005. с. 146-147.

18. Берштейн Л.С., Карелин В.П., Целых А.Н. Модели и методы принятия решений в интегрированных интеллектуальных системах. Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 1999.

19. Боженюк A.B., Розенберг И.Н. Метод увеличения живучести нечетких графов. // Труды международной конференции по мягким вычислениям и измерениям«SCM'2006». Санкт-Петербург, Том 1.- Санкт-Петербург: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006. с. 164-167.

20. Боженюк A.B., Розенберг И.Н. Метод размещения центров обслуживания на интервальных графах. // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, 2006, № 9 (64). - с. 141-145.

21. Боженюк A.B., Розенберг И.Н. Метод определения степени живучести нечетких ориентированных графов. // Труды Всероссийской научной конференции по нечетким системам и мягким вычислениям НСМВ-2006. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - с. 48-60.

22. Боженюк A.B., Розенберг И.Н., Старостина Т.А. Анализ и исследование потоков и живучести в транспортных сетях при нечетких данных. М.: Научный мир, 2006.- 136 с.

23. Борисов А.Н., Крумберг O.A., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.

24. Бугаевский Л.М., Цветков В.Я. Геоинформационные системы. М.: "Златоус", 2000. - 224 с.

25. Гаврилова Т.А., Хорошевский В.Ф. Базы знаний интеллектуальных систем.-СПб.: Питер, 2000,- 384с.

26. Голиков Ю.Я., Костин А.Н. Психология автоматизации управления техникой.

27. М.: Институт психологии РАН, 1996.

28. Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. Пер. с англ. М: Мир, 1981. - 366 с.

29. Джордан Д. Обработка объектных баз данных в С++. Программирование по стандарту ODMG.-M.: Изд. Дом Вильяме, 2001.

30. Дулин С.К., Розенберг И.Н. Об одном подходе к структурной согласованности геоданных // Мир транспорта, 2005, № 3. с. 16-29.

31. Дулин С.К., Розенберг И.Н. Использование функции сходства для группируемости ресурсов геоинформационного портала отрасли //Вестник РГУПС, 2005, № 4. с. 58-67.

32. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. / Перевод с франц. М.: Радио и связь, 1990. - 328 с.

33. Жалковский Е.А., Халурин Е.И., Комаров А.И., Серпуховитин Б.И. Цифровая картография и геоинформатика. -М.: "Картоцентр- Геодезиздат", 1999.

34. Заде JL Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. - 168 с.40.3акс JI. Статистическое оценивание. Пер. с нем. Под ред. Ю.П. Адлера, В.Г. Горского. М.: Статистика, 1976.

35. Иванников А.Д., Кулагин В.П., Тихонов А.Н., Цветков В.Я. Геоинформатика. -М.: МаксПресс 2001. 349 с.

36. Иванников А.Д., Кулагин В.П., Тихонов А.Н., Цветков В.Я. Информационная безопасность в геоинформатике. -М.: МаксПресс 2004. 336 с.

37. Иванников А.Д., Кулагин В.П., Тихонов А.Н., Цветков В.Я. Прикладная геоинформатика. М.: МаксПресс 2005. - 360 с.

38. Калмыков С.А., Шокин Ю.И. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. - 234 с.

39. Кини Р., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

40. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука, 1975.

41. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. / Пер. с франц. В.Б. Кузьмина; Под ред. с. И. Травкина. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

42. Кофман А., Хил Алуха X. Введение теории нечетких множеств в управление предприятиями: пер. с испанского. Минск: Выш. шк., 1992. - 352 с.

43. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. -432 с.

44. Левин Б. А., Круглов В.М., Матвеев С.И., Цветков В.Я., Коугия В. А. Геоинформатика транспорта. М.: ВИНИТИ РАН, 2006. - 336 с.

45. Левин Б. А., Матвеев С.И., Цветков В.Я. Концепция создания геоинформационных систем железнодорожного транспорта // Геодезия и геоинформатика в транспортном строительстве. М.: МПС РФ, МГУПС(МИИТ), 2001. - с 42-47.

46. Майкл де Мерс Географические информационные системы. Основы / Пер. с англ. М.: Дата+,1999.

47. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: Мир, 1981.

48. Д.МакКой, К.Джонстон ArcGIS Spatial Analist. Руководство пользователя.-ESRI, 2001.

49. Малышев H.Г., Берштейн Л.С., Боженюк A.B. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.-136 с.

50. Максудова Л.Г., Савиных В.П., Цветков В.Я. Интеграция наук об окружающем мире в геоинформатике // Исследование Земли из космоса. 2000. № 1. - с.40-45.

51. Максудова Л.Г., Савиных В.П., Цветков В.Я. О междисциплинарной интеграции на основе геоинформатики // Геодезия и аэрофотосъемка, 2004. -№5. - с. 108-115.

52. Матвеев С.И., Коугия В.А., Цветков В.Я. Геоинформационные системы и технологии на железнодорожном транспорте: Учебное пособие для вузов ж.-д. Транспорта / Под ред. с. И. Матвеева,- М.: УМК МПС России, 2002.

53. Мелихов А.Н., Берштейн JT.C., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 272 с.

54. Миллер С. А., Белецкий Б. А. Базовые пространственные данные // Пространственные данные, 2005. №2. с. 6-13.

55. Миллер С.А., Рогачев A.B. Пространственные данные Федерального агентства геодезии и картографии // Пространственные данные, №2, 2005.

56. Монахов C.B., Савиных В.П., Цветков В.Я. Методология анализа и проектирования сложных систем. -М.: Просвещение, 2005. 264 с.

57. Нариньяни A.C. НЕ-факторы: неточность и недоопределенность различие и взаимосвязь // Изв. РАН «Теория и системы управления».-2000. -№ 5.

58. Ope О. Теория графов. М.: Наука, 1968.

59. Классификация и кластер. / Под ред. Дж.Райзина.- М.: Мир. 1980. 389с.

60. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. Пер. с англ. М: Мир, 1980. - 476 с.

61. Розенберг И.Н. Однокритериальная минисуммная задача размещения центра обслуживания с лингвистическими переменными. // Известия ТРТУ, Тематический выпуск «Интеллектуальные САПР». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003, №2 (31). - с. 56-63.

62. Розенберг И.Н. Увеличение степени живучести нечетких ориентированных графов. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск "Интеллектуальные САПР". -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006, №8 (63). с. 21-25.

63. Розенберг И.Н. Экспериментальный анализ процедуры изменения сложности комбинированного картографического образа. // Сборник трудов конференции «Интеллектуальные системы» (AIS'2006). Москва, Физматлит, 2006 том I. - с. 226-235.

64. Розенберг И.Н., Духин C.B., Харин О.В., Ильин А.В. Использование отраслевых геоинформационных ресурсов для решения задач управления перевозками и инфраструктурой на железнодорожном транспорте. // Сборник тезисов докладов

65. Девятой Всероссийской конференции «Проблемы ввода и обновления пространственных данных». Москва, ГИС-Ассоциация, 2005. с. 24.

66. Розенберг И.Н., Альтшулер Б.Ш., Самратов У.Д. О концепции создания инфраструктуры пространственных данных с использованием спутникового позиционирования. // Автоматика, связь, информатика, № 10, 2005. с. 19-23.

67. Розенберг И.Н., Гитис С.А., Святов Д.С. Геоинформационная система ObjectLand. // Сборник трудов ИПИ РАН «Системы и средства информатики». Вып. 10. Москва: Наука, 2000.

68. Розенберг И.Н., Дзюба Т.А. Размещение центров обслуживания на карте местности при нечетких расстояниях. // Сборник трудов ТРТУ «Проектирование и моделирование интеллектуальных систем». Таганрог: ТРТУ, 2000. - с. 79-85.

69. Розенберг И.Н., Дзюба Т.А. Определение радиусов графа при лингвистическом представлении расстояний на ребрах. // Сборник трудов Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM'2001. Санкт-Петербург: ЛЭТИ, 2001. - с. 42-45.

70. Розенберг H.H., Дулин С.К. О задачах геоинформационного портала отрасли. 2-я Научная сессия ИПИ РАН «Проблемы и методы информатики», Москва, 2005. -с. 174-176.

71. Розенберг И.Н., Духин C.B. Геоинформационные технологии важнейшая составляющая современных информационных систем. // Журнал «Автоматика, связь, информатика», № 7, 2005. - с. 8-12.

72. Розенберг И.Н., Поплавский A.A. Геоинформационные базы данных в информационном обеспечении центров управления перевозками МПС. // Информационные технологии на железнодорожном транспорте « ИНФОТРАНС 2001».Сборник докладов. Сочи, 2001. - с. 170-176.

73. Розенберг И.Н., Старостина Т.А. Выбор мест расположения центров скорой помощи в условиях неопределенности. // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, том 9, вып.1. с. 237-238.

74. Розенберг И.Н., Старостина Т. А. Минимаксная задача размещения обслуживающих пунктов в нечетких условиях. Системы и средства информатики. Спецвыпуск №2. «Математические методы в информатике». Москва: ИПИ РАН, 2002. с. 206-219.

75. Розенберг И.Н., Старостина Т.А. Решение задач пространственной оптимизации // Системы и средства информатики. Специальный выпуск «Геоинформационные технологии»/ Под ред. И.А. Соколова. Москва: ИПИ РАН, 2004.-с. 213-231.

76. Розенберг И.Н., Старостина Т.А. Анализ живучести нечетких сетей. // Сборник трудов конференции «Интеллектуальные системы» (IEEE AIS'2004), том II. Москва, Физматлитература, 2004. с. 129-135.

77. Розенберг И.Н., СтаростинаТ.А. Решение задач размещения с лингвистическим представлением исходных данных. // Научная сессия. МИФИ-2005. Сборник научных трудов, Том 3, Москва: МИФИ, 2005. с. 91-92.

78. Розенберг И.Н., СтаростинаТ.А. Определение потока минимальной стоимости в графе с нечеткими пропускными способностями. // Известия ТРТУ. Тематический выпуск "Интеллектуальные САПР". Таганрог: ТРТУ, 2006, № 8 (63). - с. 31-36.

79. Розенберг И.Н., Старостина Т.А. Задача о потоке минимальной стоимости с учетом нечетких пропускных способностей и стоимостей. // Сборник трудов конференции «Интеллектуальные системы» (AIS'2006). Том I, Москва: Физматлит, 2006. с. 110-118.

80. Розенберг И.Н., Старостина Т.А. Решение задач размещения с нечеткими данными с использованием геоинформационных систем. М.: Научный мир, 2006. - 208 с.

81. Сергиенко И.В., Каспшицкая М.Ф. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации. Киев: Наукова Думка, 1981.- 288 с.

82. Сугак Е.Е. «Методика эргономического проектирования пользовательского интерфейса» // Тезисы докладов конференции «Прикладная психология как ресурс социально-экономического развития современной России». Москва: МГУ, 2005.

83. Тихонов А.Н., Цветков В.Я. Методы и системы поддержки принятия решений. М.: МаксПресс, 2001. - 312 с.

84. Федулов А.С. Нечеткие реляционные когнитивные карты // Изв. РАН Теория и системы управления.- 2005, № 1. с. 120-132.

85. Форд JL, Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М: Мир, 1966. - 276 с.

86. Френк Г, Фриш И. Сети, связь и потоки. М.: Связь, 1978. - 456 с.

87. Холодков В.В. Географические информационные муниципальные ресурсы. // Материалы 3-й регионально-практической конференции «Геоинформационные системы для муниципального управления 2000»,- Таганрог, 2001. С 14-19.

88. Цветков В.Я. Геоинформационные системы и технологии. М.: Финансы и статистика, 1998. - 288 с.

89. Цветков В.Я. Геомаркетинг. М: Финансы и статистика, 2002. - 224 с.

90. К. Asatani et al. Introduction to ATM Networks and B-ISDN. John Willey & Sons, 1997.

91. Bellman R., Zadeh L. Decision making in a fuzzy environment. // Management Science 4, 1970, pp. 141-164.

92. Bernhardsen T. Geographic information system. VIAKIT and Norwegian Mapping Auhority, 1992.

93. L.S.Bershtein, A.V.Bozhenyuk, I.N.Rozenberg. Fuzzy Graph Vitality Degree Increase on the Base of Strong Connection // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2005. 12th Zittau Fuzzy Colloquium. Zittau: Hochschule Zittau\ Goerlitz.2005, p.309-312.

94. Bershtein L.S., Dziouba T.A. Construction of a spanning subgraph with theordered degrees in the fuzzy bipartite graph. // Proceedings of EUFIT'98, Aachen, Germany, 1998. p. 47-51.

95. Boesch, F.T. Lower bounds on the vulnerability of a graph // Networks, 1972. V.2. p. 329-340.

96. A.V.Bozhenyuk, I.N.Rozenberg, T.A. Starostina. A Method of Vitality Degree Increase of Fuzzy Graphs // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2006. 13th Zittau Fuzzy Colloquium. Zittau: Hochschule Zittau\ Goerlitz.2006. pp. 235-240.

97. Busacker R.G., Gowen P.J. A procedure for determining a family of minimal-cost network flow patterns, Operations Research Office, Technical paper 15, 1961.

98. Cacetta, L. Vulnerability of communication networks // Networks, 1984. V.14, N.l. p. 141-146.

99. Chanas S., Kolodziejczyk W. Maximum Flow in a network with fuzzy arc capacities; Fuzzy Sets and Systems Nr. 8, 1982. pp. 165-173.

100. Chanas S., Kolodziejczyk W. Real-valued flows in a network with fuzzy arc capacities.//Fuzzy Sets and Systems, 13, 1984. p.139-151.

101. Chanas S., Kuchta D. Linear programming problem with fuzzy coefficients in the objective function. In: Delgado M. et al. (eds.) Fuzzy Optimization, Physica-Verlag, Heidelberg, 1994. pp. 148-157.

102. Cross V, Firat A. Fuzzy objects for geographical information system.- Fuzzy Set and System, 113(2000). p. 19-36.

103. Dubois D., Prade H. Operations on fuzzy numbers. // Int. J. of Systems Science 6, 1978. pp. 613-626.

104. Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems: Theory and applications. New York, Acad.Press, 1980. - 394 p.

105. Exoo, Geofrey. On a measure of communication network vulnerability // Networks, 1982. V.12. N.4. p. 405-409.

106. Ford L.R., Fulkerson D. R. Flows in networks, Princeton University Press, Princeton, 1962.

107. Ford L.R., Fulkerson D. R. Maximal flow through a network. // Canadian Journal of Mathematics, Vol. 8, 1962. pp. 399-404.

108. Jewell W.S. Optimal flow through a network with gains. // Operations Research, Vol 10, 1962. pp. 476-499.

109. Klein M. A primal method for minimal cost flows with applications to the assignment and transportation problems, Man. Sci., 1966. 205 p.

110. Kutangila-Mayoya D., Verdegay J.L. p-Median Problems in a Fuzzy Environment. // Mathware & Soft Computing, 12, 2005. pp. 97-106.

111. Malczewski J. GIS and Multicriteria Decision Analysis. New York: John Wiley&Sons Inc., 1999.

112. Melikhov A.N., Bershtein L.S., Korovin S.Y. Making control decisions in fuzzy systems invariant to a change of external conditions. // Fuzzy sets and systems 22, 1987. pp. 93-105.

113. Moreno Perez J.A., Moreno-Vega J.M., Verdegay J.L. Jn location problems on fuzzy graphs. // Mathware & Soft Computing, 8, 2001. pp. 217-225.

114. Rigaux P., Scholl M., Voisard A. Spatial databases with application to GIS. -Academic Press, 2002.

115. Rommelfanger H., Hanuschek R., Wolf J. Linear programming with fuzzy objectives. // Fuzzy Sets and Systems 29, 1989. pp. 31-48.

116. Rozenberg I.N., Starostina T.A. Minimal cost flow problem in graph with flow intensification and fuzzy parameters. // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2006. 13th Zittau Fuzzy Colloquium. Zittau: Hochschule Zittau\ Goerlitz.2006. pp. 229-234.

117. Saaty T.L. The analytic hierarchy process. New York: McGraw-Hill, 1980.330

118. Stillwell W.G., Seaver D.A., Edwards W. A comparison of weight approximation techniques in multiattribute utility decision making. // Organizational Behavior and Human Performance. N 28, 1981. p. 62-77.

119. The ESRI Guide to GIS Analysis Volume l:Geographic Patterns and Relationships.- Environmental Systems Research Institute, 1999.

120. Verdegay J.L. Fuzzy Mathematical Programming. In M.M. Gupta and E. Sanchez (eds.), Fuzzy Information and Decision Processes, North Holland, Amsterdam, 1982.

121. Werners B. Interactive multiple objective programming subject to flexible constraints. European Journal of Operations Research. 1987, Vol. 31. pp. 342-349.

122. Wonderware Factory Suit. Руководство администратора системы. Wonderware Corporation, редакция С, октябрь 1998.

123. Zadeh L.A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning. Inf. Sci. 8, 9, 1975.

124. L.A.Zadeh. Fuzzy-algorithmic approach to the definition of complex or imprecise concepts. -Int. J. Man-Machine Studies, 1976, №8. pp.249-291.

125. Zimmermann H.-J. Fuzzy programming and linear programming with several objective functions. Fuzzy Sets and Systems. 1978, Vol.1. pp. 45-55.

126. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory and Its Applications (2nd edition). -Boston/Dordrecht/London: Kluwer Academic Publishers, 1991. -435p.150. www.autodesk.com