Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Теоретическое и лабораторное исследование особенностей распространения волн цунами в океане

ВАК РФ 04.00.23, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Теоретическое и лабораторное исследование особенностей распространения волн цунами в океане"

Московский ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ г^Ъ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 551.466

ВАХРУШЕВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЛАБОРАТОРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН ЦУНАМИ В ОКЕАНЕ

04.00.23 — Физика атмосферы и гидросферы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА- 1997

Работа выполнена НЙ КафёДрв ШМЗмКК НОрЯ И ВОД СуШИ фИЗИЧ&СКОГО факультете, Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.

Научные руководители:

- доктор физико-математических наук.

ведущий научный сотрудник Арсеньев Сергей Александрович.

- доктор физико-математических наук, профессор Шелковников Николай Константинович.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук профессор Кузнецов Владимир Викторович,

- кандидат физико-математических наук Калиниченко Владимир Анатольевич.

Ведущая организация: СоозМорНИИПроект

Защита состоится ' 24 ~ апреля 1997 г. в 1А 00 часов на заседании Диссертационного совета (Д 053.05.81) в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 113833, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд 1 - 34 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан * ¿М ~ марта 1537 г.

Ученый секретарь

кандидат физико-математических на«'

ОБЩАЯ XAPakI Lf4;Ci iiKA тВОГЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одним из самых опасные стихийных бед-' ствий. которому подвержено побережье океанов и порей, являются длинные гравитационные волны цунами. Регистрация цунами в открытом океане, несмотря на значительный прогресс в развитии морской измерительной техники, практически невозможна и носит лишь случайный характер. В связи с этим в при расчете процессов распространения цунами активно используются различные методы моделирования. В настоящее время при описании зтнх процессов применяют результаты, полученные на основании теории нелинейных длинных волн. Для практических целей прогноза были разработаны конкретизированные модели с учетом различных эффектов, например, нелинейности и дисперсии ( ПелиновскиЛ E.H., 1982). Эти модели, как правило, основываются на уравнении Корте-вега- де Фриза (КдФ). полученном из уравнений гидродинамики в первом порядке приближения по параметрам нелинейности и дисперсии.

В ряде лабораторных экспериментов (СебрзгСантос, Темпервиль, Ренуар, 1385.138?) по изучению уединенных волн было обнаружено расхождение с теорией КдФ. Кроме того, решения уравнения КдФ не списывает волны типа модулированного цуга волн цунами. В связи с этим, несомненно, актуальным является получение более точного нелинейного эволюционного уравнения, обобщающего уравнение КдФ во втором порядке приближения для более детального изучения влияния нелинейности и дисперсии на процесс распространения ценами. Следует отметить, -:то в связи с открытием солитона(Крускал. Забусскн, 1965) аналогичные /равнения, описываощне нелинейные волновые процессы в диспергирующих средах в последнее время активно исследуются в различных областях физики (нелинейная оптика радиофизика и др.). Это подчеркивает актуальность поставленной задач!-;.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основная целью диссертационной работы является теоретическое и лабораторное исследование влияния нелинейности и дисперсии на процесс распространения волн цунами в океане.

При проведении исследований ставились следующие задачи:

1. Получить одномерное нелинейное эволюционное уравнение, обобщающее уравнение КдФ во втором порядке приближения по параметрам нелинейности и дисперсии для описания потенциальных гравитационных длинных волн конечной амплитуды на поверхности идеальной жидкости постоянной глубины.

2. Получить решения эволюционного уравнения, провести их анализ с точки зрения применимости к описанию волн цунами, в случае, решений в виде уединенных волн провести сравнительный анализ с солитонами уравнения КдФ.

3. Создать лабораторную установку, позволяющую генерировать солитонные возмущения на поверхности жидкости, аналогичные цунами в виде уединенной волны. На основании полученных экспериментальных данных провести верификацию решений эволюционного уравнения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены новые результаты, заключающиеся в теоретическом и лабораторном исследовании влияния нелинейности и дисперсии на процесс распространения волн цунами. Основные новые результаты:

1. Получено нелинейное эволюционное уравнение для нелинейных длинных волн на воде, обобщающее уравнение КдФ во втором порядке приближения по параметрам нелинейности и дисперсии.

2. Эволюционное уравнение в общем виде было сведено к нелинейному уравнении Шредингера. Анализ этого уравнения показал, что существуют бризерные решения, которые качественно могут описывать цунами в. виде модулированного цуга волн Исследован вопрос об устойчивости длинных волн во втором приближении.

3. ПиЛуЧсНЫ аналитические рЬШЬНиЯ ЗБСШйЦК&ННО! й уравнений в ;лучае учета кубично-квадратичной нелинейности и амплитудно-дисперсионного взаимодействия в виде уединенных волн. Эти решения »тличаются от солитонов уравнения КдФ скоростью распространения и юрмой профиля волны.

4. Создана оригинальная установка, позволявшая возбуждать 'единенные волны в лабораторном канале импульсными горизонтальны-!и подвижками. Сопоставление данных лабораторных экспериментов и 'еории показало, что решение эволюционного уравнения в виде уеди-енной волны в случае учета амплитудно-дисперсионного взаимодей-твия более точно, чем солитон КдФ описывает профиль волны.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных автором результатов и научных выедав основывается на оценках погрешностей приближений в приненяе-ых теоретических построениях и подтверждается зкепериментальны-и данными.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗЧАЧИМОСГЬ. Результаты, полученные в рабо-е,. расширяют область применимости уравнения !Сд© при описании про-зссов распространения волн ц/нами в случае сильной нелинейности и исперсии. Теоретические результаты могут быть использованы при альнейшем совершенствовании математических моделей распространил волн пунами и при тестировании численных схем для описания зто-з явления.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА. Автором самостоятельно выведено не-■■¡нейное эволюционное уравнение, обобщающее уравнение КдФ во вто-зм порядке приближения. Б совместных исследованиях автор непос-зде.твенно принимал участие в теоретическом анализе, создании экспериментальной установки, в обработке и интерпретации полученных ззультатов.

АПРОБАЦИЯ. Уат&рналы диссертации докнадываппсь на Четвертой конференции "Динамика и терлика рек. водохранилищ, внутренних и окраинных морей' / Москва 133А/, Четвертой Всероссийской конференции "Волновые явления в неоднородных средах" / Москва, 133-;/, конференции "Ломоносовские чтения" / Москва. 1935/. В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ (1937).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты работы изложены в 5 публикациях список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения с основными выводами и списка литературы. Общий объем диссертации 102 страницы, в том числе 22 ри-■ о/нка. Список литературы содержит 35 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность работы, сформулированы основные цели, дано краткое изложение содержания диссертации.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ . состоящей из четырех параграфов, проводится обзор литературы, посвященной проблеме распространения цунами в океане.

В первом параграфе дается общая характеристика явления цунами, вводятся исходные понятия и определения, формулируется постановка задачи. Рассмотрена типичная форма цуга волн цунами по натурным наблюдениям на о. Мидуэй. Для математического описания предлагается использовать уравнения Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости. Формулируется постановка краевой задачи для уравнения Лапласа, описывающего движение жидкости над плоским горизонтальным дном.

Po fiTgpoM параграфе ршиатрйьзютсй физические процессы, определяющие распространение цунами в океане. Дан обзор работ, посвященных влиянию рефракции, дифракции и диссипации длинных волн.

В результате рефракции может возникнуть явление захвата волновой энергии шелыром или островами. Оценено влияние вращения Земли на цунами на основании работы Бзкуса [ 1962]. Определяющее воздействие на распространение цунами оказывают трение о дно и горизонтальный турбулентный обмен, нелинейные конвективные ускорения и дисперсия, неоднородности топографии дна

Третий параграф посвящен обзору рабст по лабораторным исследованиям и наблюдениям цунами в океане.

Отмечается, что случаи регистрации цунами вдали от уреза воды очень редки. Впервые, удалось зарегистрировать цунами в океане на обсерватории о. Шикотан в 1980 г. сотрудникам СахКНММ. Приведен анализ натурных измерений цунами в результате ядерных взрывов на атолле Бикини [Van Dom W. G., 1361], отмечается влияние дисперсии и нелинейности на характер и фор;-;;/ первоначального возмущения. В частности, набпюдается модуляция цуга волн, переброска энергии в высокочастотную часть спектра вследствии нелинейного характера распространения. На кафедре, физики моря и вод суши физического факультета МГУ проводились экспериментальные исследования наката волн цунами на береговой откос (Кононкова Г.Е., Показеев К.В. и др., 1982. 1334, 1385, 1386). Фундаментальная работа Хаммак и др (1S74) посвящена исследованию волн, генерируемых поршневой подвижкой дна в канале постоянной глубины. Уединенные волны моделировались также, з лабораторном канапе Гренобльского Институте Механики. Результаты в целом совпадают с теорией, основанной на уравнении Кдф, хотя иногда наблюдаются заметные расхождения как в форме уединенных волн, тек и в скорости их распространения

ЧЕТВЕРТЫЙ параграф ПОС5ЙЩОН обзору ОСКОвКЫХ Капрабпений по теоретическому исследованию распространения цунами. Обосновывается применение приближения теории нелинейных длинных волн при решении задач распространения цунами.

Классическая линейная теория не описывает цунами в виде уединенных волн или цуга волн, для зтих целей более подходящей является теория Кортевега- де Фриза. Дальнейшее развитие этой теории привело к созданию нового метода решения нелинейных задач шизики - метода обратной задачи рассеяния. Оказалось, что уравнение Кдф появляется в любой физической системе с нелинейностью и дисперсией. Применительно к проблеме цунами теорию Кдф развивал Пелиновский (1371,1374), обобщивший основное уравнение на случай переменных глубин и учета диссипатмвных потерь за счет трения. Он же рассмотрел задачу с рассеянием нелинейных волн случайными неровностями дна (1574). Строгое доказательство устойчивости уединенных волн Кдф было дано Лаврентьевым (1546) и, независимо, Фридрнхсом и Хейерсом (1354).Необходмность в изучении высших приближений в теории уединенных и кноидальных волк возникает также в связи с существующими расхождениями между теорией КдФ и результатами лабораторных экспериментов. Соответствующие разложения были выписаны Лейтоном (1260) для второго порядка и Чапплером (1952) для третьего порядка, однако, Жермзн (1366) критиковал подобные работы, указывая на то, что используемые ряды являются расходящимися и могут служить лишь для получения асимптотических формул.

В заключение обзорной главы делается вывод о необходимости получения нелинейного эволюционного уравнения, обобщающего уравнение КдФ на случай высших приближений для исследования нелинейных длинных волн, к которым относится пунами.

', состоящей из четырех параграфов, дан вывод основного нелинейного эволюционного уравнения, обобщающего уравнение КдФ во втором порядке приближения. Приведен его анализ с помощью нелинейного уравнения Шредингера, получены решения з виде бри-зерного иуга волн, а также исследован вопрос об устойчивости волн в этом приближении.

В первом параграфе из уравнений Эйлера выводится эволюционное уравнение. Дно полагается плоским и горизонтальным, течение жидкости - безвихревым, плоскопараллельным. Используется приближение длинных волн, т.е. Н< X. где Н - глубина бассейне, а а. - длина волны. Исходной системой уравнений является краевая задача уравнения Лапласа для потенциала скорости (обезразмерквание обычное}; р Ф ;- *Ф-- -0 , 0<г<1 + аг]

т|, + а Ф:.-х- (1/ р) Ф 2 = С , г=1 + а 11

л +Ф, +(а/2)Ф\:+(а/гр)Ф2: = 0 , г=1+ал , (!)

Ф= = 0 , г = О

где а » а / Н - параметр нелинейности р - (НIX)'- параметр дисперсии, - возмущение поверхности.

Потенциал скорости разлагается по степеням параметра р. Решение получено с точностью О (р\ сг) для волн, распространяющихся в одной ииирьилепии.

17,+! 1 + Т1г\1] р

1 5

— -г- — а г, 6 12

(2)

Далее приводится сравнение этого уравнения с уравнением КдФ, описывающим предыдущее приближение: " й

V,л +т7ь. =° • Р)

н.)

Уро5Н£КИ£ (2) С ПОНиЩьй ОПбраТОрНЫл Не ГОДОВ сведено к нелинейному уравнению Шредингера с кубично-квадратичной нелинейностью следующего вида:

д т 01] 1 '

где А - амплитуда. v-, (т), V (к) - константы, определяем начальных и граничных условий.

В третье параграфе порчено решение уравнения (А) в виде Ори-зерного цуга вот с огнбшщвй - эллиптической функцией Якоби эф/т):

НЫЙ ИЗ

Л = Л. £/1

л г. / V

Г )

ехр

(5)

В предельны»: случаях огибающая является гармонической волной (т-»0) или кннком (т->1),

Бризерное решение позволяет качественно описывать цунами в виде модулированного цуга волн.

В четвертом параграфе рассматривается устойчивость длинных волн во втором приближении. Доказано, что обычные волновые решения уравнения (4) являются устойчивыми по отношению к возмущениям амплитуд и фаз.

Таким образом показано, что модуляционная неустойчивость, типичная для гравитационных волн не. глубокой воде (неустойчивость Бенджамина- ©ейра или " неустойчивость на боковых частотах") в длинных волнах на воде конечной глубины отсутствует.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА содержит четыре параграфа и посвящена теоретическому исследованию распространения цунами в случае сильной нелинейности и дисперсии.

3_0.йРйаШ1!ййаС{ШЗШ уравнение (2) рассматривается в случае сильной нелинейности, когда членами порядка 0~иар можно пренебречь

+ — <*Г -7л

О 1 ь

¡о;

■зто уравнение можно применять, например, при описании распространения цунами по шельфу. В отличие от уравнения КдФ оно, помимо квадратичной, содержит также кубичную нелинейность.

Было найдено аналитическое решение уравнения (Б) в виде уединенной волны. При этом профиль волны описывается уравнением Бида:

© =

16г 04-4)

А = 4- + — ехр 1

где © - безразмерная амплитуда. 7 = 2 (с/с;, -1), с0 = . Скорость волны оказывается меньшей, чем скорость сопитоноз КдФ:

1-Я

( « \'

! Ч 1

АН)

1 + -

2 Я

Во втором параграфе уравнение (2) рассматривается при отсутствии квадратичны»: по а и р членов, но с учетом скрещенных произведений ар. опйсрфвощих дополнительную н&лим&йиуе дисперсию, Найдено аналитическое решение типа уединенной волны.

Профиль волны в зависимости от параметров описывается уравнением вида:

р — Агс1п £ + с агссщ | ^ |

> О

Л>с

/ _ ^ I

Л О

т

При? = 0 эти уравнения описывают уединенную волну Кортееега - де Фрюк. Сравнение решений (?) с солит омами КдФ гюглзэло, что емплиту-ды и скорости зтихв&лк соопадают. Раопичиспропелпс'тся в форме профиля полны - он ом&ыиаетсп уже. чем профиль солит сн&о КдФ. Б неясном

1

еждн ээьийимость t¡ ¡дл) можио ¡ю.оу'чй ít> и9 фириулы

4Я , ■

х = ct + í-Artft

Г- А .1. - . - . ,10Д ' , j " о ~ V , _____ _ {8j

где 1-].-. - максимальная амплитуда, с- скорость волны. Для сравнения п;..!филь солитонов КдФ задаетсяформулой:

"1 „ "

ЗЧо

н

В дальнейшем будет показано, что эти "деформированные солито-ны* более точно описывают профиль уединенной волны, полученной в лабораторных экспериментах чем солитоны КдФ.

В третьем параграфе рассматривается дисперсия волн цунами.

Предложен метод определения места и времени возникновения пуками на основании дисперсионного соотношения. Для случаев, когда необходима повышенная точность, особенно при описании высокочастотного спектра длинных волн, предложено использовать дисперсионное соотношение, учитывающее четыре члена в разложении 1п (!;Н). При этом погрешность составляет 2 %.

Четвертый параграф поеврщек вопросу генерации цунами сдвиговыми подвижками и распространению нелинейных сдвиговых волн б вязко-упругих геоср? дох.

На примере Чилийского землетрясения, вызвавшего крупнейшее га последние 100 лет цунами, показано, что горизонтальный сдвиг по простираний может быть сильно иунамигенным. Именно такой механизм генерации в дальнейшем реализован в лаборатдрной установке для изучения уединенных волн. На основании теоретических исследовании получены оценки порогоопП амплитуды для образования ударных сейс-иоволн. которые могут вызвать цукамигемный горизонтальный сдвиг берега d сторону океане

Че.1 ВЕРТА.Я i ЛАВА сссл ийщай н£ дбу< параграфов, посёящ&из описанию лабораторньк экспериментов по проверке полученных новых формул для деформированных свлитонов.

В первом параграфе описывается лабораторная установка, представляющая собой прямоугольный канал размерами 15*15*330 см (Рис. 1).. а также специально сконструированный пружинный волнолродуктор поршневого типа ( Рис. 2). Солитокы, генерированные волнопродуктором, распространялнь вдоль по каналу и фотографировались через прозрачную боковую стенку на фоне координатной сетки. Полученные на фотопленке формы профиля волны при помощи проектора переносились на миллиметровую бумагу считывапись с нее и затем обрабатывались на персональном компьютере в программе Ехсе! 5.0 (электронные таблицы). Ошибка измерений фотографическим методом связана только с ценой деления координатной сетки и в наших экспериментах составляла 1 мм.

Во втором параграфе проведен анализ полученных экспериментальных данных и выполнено их сопоставление с теоретическими предсказаниями по теории КдФ и с полученными в данной диссертации формулами. На Рис. 3 приведен пример такого сопоставления для случая Н = Б см, я. = 2.3 см. Пунктирная линия соответствует кривой уравнения Кортевега - де Фриза, а кривая, описываемая формулой для "деформированных" солитонов, изображена сплошной линией. Точки с отложенной по вертикали величиной ошибки измерений соответствуют экспериментальным данным. На графиках приведена лишь передняя часть солнтона. а задняя, являющаяся зеркальным отражением передней, опущена. Как видно из графиков, кривая, описываемая формулой для "деформированных" солитонов, в пределах ошибки измерения совпадает с экспериментом, в отличим от классического решения, для которого различие с экспериментом весьма значительно. Таким образом, наблюдаемое отклонение формы уединенных волн от классического ре-

шения Ксртевега- де Фриза можно объяснить эффектом нелинейных ам-плктудко - частотных взаимодействий, учитываемых построенной теорией. Можно надеяться, что полученные в данной работе формула для деформированных солитонов на воде окажутся весьма полезными при 'расчетах реальных океанских волн цунами, позволяя более точно, чем классическое уравнение КдФ, описывать их форму. Это, несомненно, является важным фактором в проблеме прогнозирования волн пунами и принятия мер по защите, береговых населенных пунктов и объектов народного хозяйства от разрушительного воздействия волн цунами.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы :

1. Получено эволюционное уравнение для нелинейных длинных волн на воде во втором порядке приближения по параметрам нелинейности и дисперсии. Оно является более общим и точным, чем широко используемое, уравнение Кортевега - де -Фриза для описания этого класса волн.

2. Полученное эволюционное уравнение с помощью операторных методов было сведено к нелинейному уравнению Шредингера. Анализ этого уравнения показал, что существуют бризерные решения которые могут описывать особенности распространения типичных цунами в виде модулированного цуга волн. Существование бризерных решений является важным отличием от решений уравнений КдФ (кноидальные и уединенные волны).

3. Проведен анализ эволюционного уравнения в частном случае сильной (кубичной) нелинейности. Получено аналитическое решение, описывающее уединенную волну. Эта волна движется с меньшей скоростью, чем классические- солитоны уравнения КдФ.

4. Проведен анализ эволюционного уравнения в частном случае учета дополнительной (по отношению к уравнению КдФ) дисперсии. По-

¡1уЧвНа аНаЛиТИЧбСКОс рвшЬНив. 0ПИСЫ5&»Щг-& уьДНН&ННуй ШЫу. С ОТЛИЧИИ от кл&сжических сопитонов, профиль этой волны более узкий ("деформированный" солитон)

5. Создана установка, позволявшая моделировать уединенные волны в лабораторном канапе, импульсными горизонтальными подвижками. Проведена серия экспериментов по измерению профилей уединенных волн. Сопоставление, экспериментальных данных с теорией показало, что "деформированные" солитсжы более точно, чем солит окы уравнения КДФ описывают профиль реальной волны.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Арсеньев С.А., Вахрушев М.М., Шелковников Н.К. "Новый тип уединенных во пн на воде Вест. ¡Лоск. Ун-та 1395. Сер. 3. Т. 37. N 4.

2. Арсеньев СА, Вахрушев ММ. Шелковников Н.К. "О порогово-к.ритических нелинейных эффекте»; возникающих при распространении сейсмоволн в впзкоупругих геосредах". Вест. Моск. Ун-та. 1396. Сер. 3. Т. 3?. N 6.

3. Арсеньев СА, Вахрушев М.М., Шелковников Н.К. "Новое эволюционное уравнение для нелинейных длинных вопн на воде". Вест. Моск. Ун-та. ¡335. Сер. 3. Т. 35. N 2.

4. Арсеньев СА, Вахрушев М.М., Шелковников Н.К. "Новые задачи теории цунами". РАН. Тезисы докладов Четвертой конференции "Динамика и термика рек, водохранилищ, внутренних и окраинных морей". М. 1934. Т. 2.

5. Арсеньев С.А., Вэгоушев М.М., Шелковников Н.К. "Новое уравнение для нелинейных длинных волн на воде МГУ. Тезисы докладов Четвертой Всероссийской конференции "Волновые явления в неоднородных средах". М 1334.

■l,

. . , hl тггптп 1 i . г

к

tlb

Рис i Зкслгриментальчай устаноЬкс

Рис 2 Схена оолнопроЭиктора

ггэ 'ч

ч

ч

•ч

ч

ч

V

Рис. 3. Профили уединенных волн.

1 - солитон КДу

2 - экспериментальные данные

3 - "деформированный солитон"

1Ь