Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Теоретические модели эффективности тепловых свойств горных пород

ВАК РФ 04.00.12, Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Теоретические модели эффективности тепловых свойств горных пород"

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКАЯ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи УДК 552.082:536

МАВДЕЛЬ АРКАДИЙ МИХАЙЛОВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВДЕЛИ ЭФФЕКТИВНЫХ ТЕПЛОВЫХ СВОЙСТВ ГОРНЫХ ПОРОД

Специальность: 04.00.12 - геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре технической физики и физики горных пород Московской геологоразведочной Академии имени Серго Орджоникидзе.

Научный руководитель: доктор физико-математических на ук, профессор Ю.А.Попов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Защита диссертации состоится 10 пр г ц, 1994 г. в 15 час. в ауд. 6-38 на заседании Специализировали го Совета Д.063.55.СЗ в Московской геологоразведочной акад мии им. С.Орджоникидзе по адресу: 117485, г. Москва, ГСП-7 ул. Миклухо-Маклая, д. 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТА.

Автореферат разослан _ _ 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

наук А.О.Глико (Институт Физики Зешш РАН)

кандидат физико-математических наук В.Б.Свалова (Геологический институт РАН)

Ведущая организация: Университет Дружбы Народов им. Патриса Лумумбы

д.ф.-м.н.

Ю.И.Блох

0Б1ШШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Тепловые свойства горных пород, руд и минералов относятся к числу базовых физических свойств минеральных сред. Исследования тепловых свойств являются неотъемлемой частью комплекса петрофизических работ по изучению земной коры в рамках Программы сверхглубокого бурения. Тепловые свойства пород оказывают значительное влияние на процессы, связанные с тектоно-магматической деятельностью, на условия формирования месторождений полезных ископаемых. Определяющим является влияние тепловых свойств на формирование теплового поля Земли, на тепловой режим континентов и океанов, суточный и сезонный ход температур в гелиотермозо-не, тепловой режим шахт и горных выработок. Достоверная информация о тепловых свойствах горных пород и руд необходима при проведении работ, связанных с изучением возможностей терморазведки и ее применением, решенки задач геотермальной энергетики, тепловой аэрокосмической съемки.

Вместе с тем проблема теоретического описания и экспериментального определения тепловых свойств горных пород довольно сложна, так как горные породы представляют собой гетерогенные, случайно-неоднородные среды с анизотропными, как правило, зернами минеральных агрегатов. Общепринятые модели для расчета тепловых свойств таких сред в настоящее время отсутствуют, а традиционные методы измерения тепловых свойств минеральных сред, за редким исключением, заимствованы из промышленной теплофизики и ориентированы на однородные изотропные среды.

Б связи с этим актуальными являются задачи, во-первых, исследования закономерностей формирования тепловых свойств горных пород и руд, исходя кз их минерального состава и структурно-текстурных особенностей, и, во-вторых, совершенствования методической базы измерений тепловых свойств горных по -род, руд и минералов на основе традиционных методов, с учетом анизотропии и неоднородности изучаемых сред.

Цель работы - повышение достоверности и информативности теплофизическкх исследований минерального вещества земной коры.

Основными задачами, решаемые в работе, являются:

1. Разработка теоретических методов расчета обобщенной проз димости многокомпонентных гетерогенных сред различной струг туры.

2. Изучение закономерностей формирования эффективных тепло! свойств гетерогенных сред при нестационарном тепловом возде ствии.

3. Анализ особенностей и возможностей применения традицион! методов измерения тепловых свойств, созданных для изучения однородных и изотропных промышленных материалов, при исслед ваниях горных пород, руд и минералов с учетом их анизотрош и неоднородности.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложена теоретическая модель обобщенной проводимости многокомпонентных гетерогенных сред с анизотропными зер*

ми минеральных агрегатов и сред с параллельными волокнами г ограниченном контрасте проводимости компонентов.

2. В явной аналитической форме рассчитана обобщенная провод: мость двухкомпонентных гетерогенных сред при произвольно контрасте проводимости компонентов с учетом перколяциои явлений.

3. Разработан и обоснован подход к расчету эффективных тепл вых свойств гетерогенных сред при нестационарном тепловс воздействии и построены приближенные аналитические вкраа ния для функции Грина нестационарного уравнения тешюдро водности в слоистых и зернистых средах, реализующие это подход.

4. Модели таких традиционных методов измерения тепловых свойств, как метод плоского источника постоянной мощност и метод двухточечного зондирования, построенные для изо тропных сред, обобщены на случай, когда исследуемая сред анизотропна. Модель метода линейного источника постоянно мощности, построенная в анизотропной среде применительно измерению компонентов тензора теплопроводности, обобщена на измерение комплекса тепловых св ойств такой среды.

Практическая ценность работы состоит в том, что расшир ны возможности исследования обобщенной проводимости и тепло вых свойств гетерогенных анизотропных минеральных сред при

решении геотермических и петрофизических задач фундаментального и прикладного характера, найдены пути повышения эффективности измерений тепловых свойств анизотропных горных пород, руд и минералов традиционными методами.

Реализация и внедрение результатов исследований.

Полученные в работе результаты используются в Отраслевой научно-исследовательской лаборатории теплофизических исследований геологических объектов МГРИ при проведении комплексных геотермических и петрофизических исследований геологических объектов, включая континентальные научные скважины России.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международном симпозиуме "Проблемы геотермальной энергии" в г. Санкт-Петербурге в 1993 г., на Международной конференции "Теплофизические проблемы про -мышленного производства" в г. Тамбове в 1992 г., на Всесоюзном совещании АН СССР "Геотермия сейсмичных и асейсмичных зон" в г. Бишкеке в 1991 г., на региональной конференции АН СССР "Геотермия и ее применение в региональных и поисково-разведочных исследованиях" в г.Свердловске в 1989 г., на научных конференциях МГРИ в 1988-1992 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, 135 страниц машинописного текста, 14 рисунков, трех таблиц. Список литературы включает 98 наименований.

Работа выполнена в Отраслевой научно-исследовательской лаборатории теплофизических исследований геологических объектов при кафедре технической физики и физики горных пород Московской государственной геологоразведочной академии в рамках петрофизических и геотермических исследований по Программе "Изучение недр Земли путем сверхглубокого бурения", а также в рамках других работ фундаментального и прикладного характера, проводившихся лабораторией на основе детальных исследований тепловых свойств горных пород и руд различных геологических объектов.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить науч -

ного руководителя, доктора физ.-мат. наук, профессора Ю.А.Е лова, а также сотрудников МГЕИ В.М.Коростелева, A.A. Косиор на, P.A.Ромушкевич за помощь при выполнении работы.

Диссертационная работа включает в себя следующие главы

Глава I. Современное состояние проблем теоретического описания и экспериментального определения тепловых свойств гетерогенных анизотропных минеральных сред.

Глава 2. Эффективные тепловые свойства слоисто-неодно родных сред при нестационарном тепловом воздействии.

Глава 3. Обобщенная проводимость зернистых минеральных сред и их эффективные тепловые свойства при нестационарном тепловом воздействии.

Глава 4. Теоретические модели методов измерений компле кса тепловых свойств анизотропных сред.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Горные породы представляют собой, как правило, много -компонентные неупорядоченные гетерогенные среды, слагаемые анизотропными минеральными агрегатами. Поэтому в геологии и геофизике приходится иметь дело с некоторыми эффективными свойствами пород и руд. Проблема проводимости гетерогенных сред исследуется уже более столетия. Значительный вклад в ei разработку внесли Д.Максвелл, Д.Релей, О.Виннер, К.Лихтене-кер, Д.Ерюггеман, А.Ф.Чудновский, Л.Д.Лавдау, В.Й.Оделевски; Д.Бергман, У.Браун, Г.Милтон, И.Уэбман, Б.Р.Шкловский, А.Л. Эфрос, Н.Г.Дульнев, Е.В.Новиков и другие исследователи.

В то же время подавляющее большинство моделей обобщение проводимости гетерогенных сред построено для описания свойс-промышленных и строительных материалов (композитов, бетонов сплавов, стекол и т.д.), являющихся, как правило, двухкомпо нентными к сформирующихся в строго контролируемых условиях. Моделей, позволяющих аналитически рассчитать проводимость многокомпонентных сред с анизотропными структурными элементг ми, в литературе не описано. Кроме того, даже для двухкомпо-нентшх сред с резким контрастом проводимости компонентов о: сутствуют модели, позволяющие аналитически рассчитать их прс водимость в окрестности перколчционного порога. Это обуславливает необхопимость создания теоретических моделей проводи-

мости гетерогенных сред, учитывающих специфику структуры горных пород.

Вопрос о том, как влияет нестациопарность теплового воздействия на эффективные тепловые свойства гетерогенных сред, в общем виде практически не исследован. Нами проведено достаточно общее исследование этого вопроса и показано, что традиционный подход к определению эффективных тепловых свойств при нестационарном воздействии сталкивается со значительными трудностям:. В связи с этим предложен иной подход к расчету нестационарных тепловых свойств и построены реализующие его фундаментальные решения нестационарного уравнения теплопроводности в гетерогенных средах, обладающие рядом преимуществ по сравнению с традиционными решения®.

Анизотропия тепловых свойств довольно характерна для горных пород, руд и минералов. Однако методы измерения тепловых свойств, наиболее часто применяемые при исследованиях горни пород, за редким исключением, заимствованы из промышленной теплофизики и ориентированы на однородные изотропные среды. Обобщение моделей упомянутых традиционных методов на случай анизотропии исследуемой среды могло бы дать теоретическое обоснование методики измерений тепловых свойств анизотропных сред.

Первое защищаемое научное положение.

Созданные теоретические модели обобщенной проводимости гетерогенных минеральных сред позволяют аналитически рассчитать эффективную проводимость многокомпонентных сред с анлзо-тродными зернами и многокомпонентных сред с параллельными волокнами при ограниченном контрасте проводимости компонентов. а также двухкомпонентных зернистых сред с учетом перколяцион-ных явлений при произвольном контрасте проводимости компонентов.

В работе рассматривается проводимость плотных (не сыпучих, не рыхлых и т.д.) горных пород с хорошим механическим, тепловым к электрическим контактом между структурными элементами при нормальных термодинамических условиях. Понятием обобщенная проводимость объединяют теплопроводность, электропро -водность, диэлектрическую проницаемость, магнитную проницае -мость и целый ряд других физических свойств гетерогенных сред. При стационарном внешнем воздействии уравнения, описывающие

распространение теплового потока, электрического тока, электрической и магнитной индукции, имеют одинаковый вид (уравнение Лапласа), как и условия на границах структурных элементо! (непрерывность нормальной компоненты потока или ивдукции). Поэтому и законы, в соответствии с которыми формируются эффективные значения упомянутых свойств в гетерогенных средах, являются одинаковыми. Вообще говоря, эффективное значение обобщенной проводимости - это коэффициент пропорциональности между усредненными по представительному объему значениями обобщенной силы и потока, вызываемого этой силой.

Нами выделены три топологически наиболее простые струн.*-туры гетерогенных сред - среды, состоящие из параллельных слс ев; среды, состоящие из параллельных волокон; среды, состояла из зерен, близких к изомерным. Как рассчитывается проводимоеа слоистых сред для потока вдоль и поперек слоев, хорошо извест но. Проводимость волокнистых сред для потока вдоль волокон рассчитывается аналогично слоистым средам для потока вдоль слоев. В сечении волокнистой среды поперек волокон мы получаем срез, состоящий из "плоских зерен", так что проводимость волокнистых сред в данном направлении рассчитывается аналогично проводимости зернистых сред.

Для расчета обобщенной проводимости зернистых сред предложено множество моделей. Нами проведена систематизация этих моделей, в результате которой они разбиты на три класса: модели, основанные на электрических аналогиях и правилах расчета электрических цепей (Фрей, Дульнев, Миснар, Сидоров, Мар -куссен и др.); модели, базирующиеся на решении задачи о поведении уединенного зерна в однородной матрице (Максвелл, РелеЁ Вагнер, Оделевский, Брюггеман и др.) и абстрактно-математичес кие модели (Лихтенеккер, Хашин, Штрикман, Браун, Мил тон, Ландау, Новиков и др.). Подавляющее большинство упомянутых моделей описывает свойства двухкомпонентных сред с изотропными по проводимости зернами.

Специфика горных пород, отличающая их от конструкционных материалов, состоит в том, что они могут содержать произвольное число компонентов, а проводимость отдельных зерен может описываться не скаляром, а тензором с произвольной ориентацией главных осей. Моделей, позволяющих аналитически рассчитать

эффективную проводимость гетерогенных сред с такими свойствами, в литературе не описано, Наиболее перспективна в этом отношении модель Ландау, полученная путем асимптотического решения уравнения Лапласа и содержащая единственное допущение: контраст проводимости компонентов должен быть мал (Ландау, Лифшиц, 1957). Саш авторы модели не дали численных ограничений на допустимый контраст проводимости компонентов. На основании сопоставления с общими оценка«.® Винера (О.Винер, 1912) нами установлено, что максимально допустимый контраст проводимости компонентов в данной модели равен примерно трем. Даже для расчета теплопроводности горных пород, не говоря уже об электрических свойствах, такое ограничение является слишком сильным.

В связи с этим наш проведена модификация модели Ландау, позволившая расширить область ее применимости при сохранении общности и физических предпосылок. Суть этой модификации в том, что мы при расчете эффективной проводимости не ограничились квадратичными по вариациям локальной проводимости членами, а построили для уравнения Лапласа асимптотический ряд и провели его частичное суммирование. В результате для эффективной проводимости многокомпонентной зернистой среды Xt получено следующее простое выражение:

Ле = <!>(*-<!><■—■>)/з , (I)

где <1 > - среднее арифметическое, а < > - среднее геометрическое проводимостей компонентов. Построенная модель допускает простое обобщение на случай, когда среда содержит анизотропные ло проводимости зерна; при этом для тензора эффективной проводимости Ijj имеем

= Î-< х.. > _ {<1;к><1^>< , (2)

где < X,-j > - средний по объему тензор, а < 1 ^ > - средний по объему обратный тензор проводимости компонентов.

Сравнение с оценками Винера показывает, что в данной модели максимально допустимый контраст проводимости компонентов равен десяти. Как правкло, для расчета теплопроводности гор -ных пород этого достаточно; редко когда гонтраст теплопровод-

ности породообразующих минералов, слагающих скелет породы, превышает десятикратный.

3 качестве проверки предложенной модели значения эффективной теплопроводности, рассчитанной по формулам (I), (2), сопоставляются с экспериментальными данными, полученными нами для гранитов Украинско щита к Западных Карпат из коллек -щш Киевского госуниверсигета. Минеральный состав каждого образца определялся с помощью микроскопических исследований. Теплопроводность минералов, входящих в состав гранитов, cor -ласно известным данным (Хораи. 1976; Попов и др., 1987) сос -тавляет: калиевый полевой шпат (КПШ) - 2,3; плагиоклаз (IUI) -2,1; амфибол (AI.®) - 2,0; кварц (KB) - = 6,10, Яс =

10,7; биотит (Б) - Яа t = 2,6, 1С = 1,3 Вт/м-К.

Расчетные и экспериментальные значения теплопроводности, а также минеральный состав образцов приведены в таблице. Среднее значение Е.Х относительной разницы расчетных и экспериментальных значений составляет 1,6%, при среднеквадратичном отклонении 6,6%, что свидетельствует об удовлетворительном соответствии теоретических и экспериментальных данных.

С помощью описываемой модели рассчитана зависимость ко -эффипиента анизотропии зернистых сред от степени ориент ации анизотропных зерен в каком-либо направлении. Эта же модель позволяет рассчитать проводимость волокнистых сред для направления потока поперек волокон. Отличие от зернистых сред состоит лишь в том, что локальные значения проводимости компонентов зависят не от трех, а от двух координат. В результате для эффективной проводимости волокнистой среды в данном направлении получено следующее выражение:

х, = < х> (i - <^>< -f>) /г , ^

ь X

где все обозначения аналогичны (I). Сопоставление с оценками Випера показывает, что в данном случае максимально допустимый контраст проводимости компонентов равен шести.

Если горная порода содержит поры, то контраст проводимости минералов, составляющих скелет, и проводимости флюида, заполняющего лоры, может значительно превысить десятикратный. В этом случае ранее описанную модель можно использовать для расчета проводимости минерального скелета. Для того, чтобы

Таблица

Сопоставление теоретически рассчитанных и экспериментально определенных значений теплопроводности гранитов Украинского щита и Западных Карпат из коллекции Киевского госуниверситета. ьХ, - относительная разница расчетных и измеренных значений теплопроводности

№ образца Минеральный состав, % j X , Вт/м-К ьХ,%

КПШ ! ПЛ ! КВ ! Б ! АШ> i К лэкс

74022 40 22 35 3 0 3,57 3,41 4,5

74026 40 22 35 3 0 3,57 3,56 0

74036 40 22 35 3 0 3,57 3,56 0

74082 51 25 24 0 0 3,15 2,99 5,1

74101 55 7 37 I 0 3,60 3,46 3,9

74107 62 6 30 2 0 3,41 3,46 -1,5

75029 62 31 7 0 0 2,51 2,76 -9,9

76074 40 25 30 5 I 3,24 3,04 6,1

78030 30 40 27 3 0 3,21 3,20 0

78031 35 34 27 4 0 3,22 3,13 2,8

78032 32 32 29 7 0 3,28 2,90 11,6

78033 27 33 30 6 О 3,32 2,97 10,5

78037 40 40 16 4 с 2,80 2,85 -1,8

8С050 43. 50 7 0 0 2,47 2,29 7,2

80056 26 30 38 5 т 3,62 3,47 4,1

80057 26 40 22 9 3 2,98 2,80 6

80059 24 32 41 о 0 3,74 3,54 5,3

80061 37 37 21 4 т J. 3,0 3,02 -0,6

80072 56 оо 5 I 0 2,42 2,79 -15,2

80С80 67 24 9 0 с 2,60 2,78 -6,9

оценить проводимость пористой породы в целом, необходима модель, применимая при произвольном контрасте проводимости ком понентов. Главная проблема в данном случае - учет перколяци-онных явлений и расчет эффективной проводимости в окрестности перколяционного порога, где она меняется скачкообразно пр изменении концентрации компонентов.

За основу модели резко-неоднородной среды мы взяли симметричную модель Брюггемана - единственную, аналитически предсказывающую существование перколяционного порога (Брюгге ман, 1935). Наиболее распространенный в литературе вариант этой модели - ЕМА - модель, описывающая проводимость двухком-понентной среды, состоящей из изомерных зерен с коэффициента деполяризации ? = 1/3. На то, чтобы использовать эту модея для расчета проводимости резко-неоднородных сред при значительных концентрациях ^ хорошо проводящего компонента ( V 0,5), указывали многие авторы. Но при малых концентрациях хорошо проводящего компонента, т.е. в окрестности перколяционного порога, эта модель дает для эффективной проводимости явно заниженные результаты. В частности, для пороговой концентрации ЕЖ - модель предсказывает значение =1/3, в то время как экспериментальное значение составляет г^ « 1/6 — Г/12. При малых концентрациях высокопроводящего компонента проводимость резко-неоднородной среды обычно рассчитывают с помощью машинно-эмпирических формул (напр., Шкловский Эфрос, 1975), "подгоняя" их свободные параметры под экспериментальные данные.

Нами проводимость двухкомпонентной резко-неоднородной среды была рассчитана чисто аналитическими методами, без привлечения машинно-эмпирических зависимостей во Есей области возможных концентраций хорошо проводящего компонента. Для этс го была проведена модификация ЗМА - модели, позволившая распп рить область ее применимости на любые г^ . Известно, что пр! малых концентрациях зерна хорошо проводящего компонента образуют не только симметричные, но и цепочечные структуры (кластеры). Последние и определяют в основном проводимость резко-неоднородной среды в окрестности перколяционного порога. Зерно в составе кластера дает больший вклад в проводимость среды, чем уединенное зерно или зерно в составе симметричной

структуры, чего не учитывает стандартная ЕМА - модель.

Этот фактор учтен нами введением эффективного коэффициента деполяризации РЕ и эффективной концентрации хорошо проводящего компонента , несколько превышающей реальную

концентрацию г^ . Это превышение и позволяет учесть вклад кластеров в проводимость. РЕ и йшж выражены через среднее координационное число зерен высокопроводящего компонента и , в конце концов, через г^ . В результате для эффективной проводимости двухкомяонентяой, резко-неоднородной среды было получено традиционное для ЕМА - модели соотношение

1е = ( и + ) , (4)

ще X, - проводимость хорошо проводящего компонента, ч «1 - контраст проводимости компонентов, а величина К , в отличие от стандартной ЕМА - модели, определяется выражением

^ 31^(<-1) гзц(г-ч) + г% - 1 (5)

4 (1 + ¿лр 1

где - ранее упомянутое превышение эффективной концент-

рации над реальной:

С 0,8*3 ('/г - п ) , (]й=</б<п< {/г 1 1

I о , 1> </2. . (6)

В данной модели содержится только один априорно задаваемый параметр - значение пороговой концентрации , взятое, в данном случае, как 1/6. Для того, чтобы учесть статистический характер образования бесконечного кластера, вполне достаточно варьировать только этот параметр.

С помощью построенной модели получены оценки сверху и снизу на извилистость бесконечного кластера, а также рассчитан скачок проводимости Хь в крайне-неоднородной среде ( ? =0), связанный с образованием бесконечного кластера.

Для проверки предлагаемой модели рассчитаны и сопоставлены с экспериментальными данными электропроводности литиево-аммиачных растворов (1 ~ 0,001) к смесей медь - глинозем и железо - глинозем ( 1 -» 0). Для последнего случая результаты

представлены на рис.1.

Второе защищаемое научное положение.

При нестационарном тепловом воздействии эффективная температуропроводность гетерогенной среды формируется независимо от других тепловых свойств, а эффективная теплопроводность такой сседы является функцией ее эффективной температуропроводности.

В случае, когда воздействие на среду является нестационарным, аналогия между тепловыми, электрическими и магнитными свойствами исчезает, ибо соответствующие процессы описываются различными уравнениями. Поэтомуг в дальнейшем речь пойдет только о тепловых свойствах гетерогенных сред.

Традиционно эффективные тепловые свойства при нестационарном тепловом воздействии определяются следующим образом: эффективная теплопроводность определяется методами обобщен -ной проводимости, как комбинация теплопроводностей компонентов (об этом шла речь ранее), а эффективные температуропроводность и тепловая инерция рассчитываются через эффективную теплопроводность и аддитивную объемную теплоемкость. Общее обоснование такого подхода нигде не приводится.

Нами была проведена проверка традиционного подхода к определению эффективных тепловых сво;;ств при нестационарном воздействии, состоящая в следующем. Оунламентальное решение нестационарного уравнения теплопроводности с традиционно определяемыми эффективными свойствами либо сравнивалось с точным решением, когда оно известно, либо подставлялось в уравнение для расчета поправок к анализируемому решению методом теории возмущении, когда точное решение неизвестно. Малость упомянутых поправок свидетельствовала бы об обоснованности традиционного подхода.

Однако, как показывают расчеты, поправка к функции Грина с традиционно определяемыми эффективными свойствами в гетерогенной среде расходится. Это свидетельствует о неустойчивости традиционного решения при вариациях локальных тепловых свойств среды. Для одномерного уравнения теплопроводности в составном теле (бесконечной среде с одной плоской границей раздела компонентов) известно точное аналитическое фундаментальное решение (Карслоу, Егер, 1964). Сравнение с ним

РпсД

График зависимости относительной электропроводности порошков меди и железа с добавка!,ш глинозема от объемно" концентрации непроводящего компонента (глинозема). Сплошная кривая - расчеты по предлагаемой модели, v - экспериментальные данные для порошка железа, о - меди, i, - электропроводность металла, i - электропроводность смеси. Скачок расчетной электропроводности при i-i) =, о,8з от о до ~о,оз связан с образованием бесконечного кластера.

традиционного решения показывает, что последнее имеет струк туру, совершенно отличную от точного решения.

В связи с этим нами предложен новый подход к определению тепловых свойств при нестационарном воздействии и, соот ветственно, новые приближенные аналитические выражения для функций Грина нестационарного уравнения теплопроводности, свободные от недостатков, присущих традиционному решению. Наиболее просто такое выражение построить для одномерного уравнения теплопроводности:

где Ст ( г , I ) - функция Грина источника, параллельного слоям и находящегося в плоскости Е = О, {; - время, 8(1)-тэта-функция, г - координата плоскости наблюдения, а (г/) зависящая от координаты температуропроводности слоев, К -постоянная, от 2 и 1 не зависящя. Непосредственной подстановкой (7) в нестационарное одномерное уравнение теплопроводности можно убедиться, что Ст*( г Д ) точно удовлет воряет этому уравнению в пределах слоев, а условие непрерыь ности теплового потока на их границах выполняется с точносз до локальных вариаций тепловой инерции слоев |>(г) . Попрг ка к (?) СгМе,!) , рассчитанная по теории возмущений, I отличие от традиционного случая всюду конечна и также пропс циональна вариациям (Пн) . Для породообразующих минерало! контраст по тепловой инерции крайне редко превышает У10,' так что поправка к (7) в горных породах довольно мала. Срш ненке Ст°(2,И с точным решением в составном теле показывает, что это выражение значительно ближе к нему по структз ре, нежели функция Грина с традиционными эффективными тепле выми свойствами.

Таким образом, предлагаемое нами фундаментальное решение нестационарного уравнения теплопроводности предпочтите: нее традиционного. Аналогичные решения были получены для т< чечного источника в слоистой среде и зернистой среде, слаг; ющейся из анизотропных зерен.

С помощью полученных функций Грина в слоистой и зернис той среде построены асимптотические выражения для температ;

ных полей. Поскольку слоистая среда является анизотропной, в ней эффективные тепловые св ойства зависят от геометрии теплового потока. Поэтому для слоистой среды рассмотрены случаи- плоского и цилиндрического теплового потока. Сопоставляя полученные выражения для температурных полей с аналогичными выражениями для однородной среды, мы установили, каким комбинациям тепловых свойств структурных элементов гетерогенной среды (зерен или слоев) соответствуют эффективные тепловые свойства.

Показано, что эффективная температуропроводность гетерогенной среды, независимо от ее структуры, является определенной кобияацией только температуропроводноетей компонентов и их объемных концентраций. Другими словами, при нестационарном тепловом воздействии эффективная температуропроводность фор -мируется независимо от других тепловых свойств. Эффективная теплопроводность же при нестационарном тепловом воздействии выражается через эффективную температуропроводяоеть.

Полученный результат может показаться странным, ибо традиционно эффективные тепловые свойства определяются, в неко -тором смысле,"наоборот". Возникает вопрос, не связано ли это с приближенным характером^ используемых функций Грина. Однако с помощью точной функции Грина для двухслойного составного тела мы приходим к точно такому же результату.

Итак, при стационарном и нестационарном тепловом воздействии эффективные свойства гетерогенной среды формируются по-разному. Это расхождение было оценено наш численно для модельной двухкомпонентной среды с постоянной объемной теплоемкостью (такое приближение довольно хорошо выполняется для гор -ных пород) и при различных контрастах по тепло- и температу -ропроводнссти ? . Графики зависимости относительного значе -ния этого расхождения от концентрация одного из компонентов представлены на рис. 2-4. Видно, что эта относительная разница может менять знак при изменении концентрации и - для анизотропной слоистой среды - при изменении угла ориентации потока относительно слоев. С ростом контраста тепловых свойств эта величина растет, достигая при десятикратном контрасте десятков процентов. Это, несомненно, необходимо учитывать как при репенки геотермических задач, так и задач, связанных с

с. 2

Гра-г.к зависимости относительно?! разности экйеютж тепло- к тестературопро.иодностк слоистых ст.с

тл плоских, стацкоиарног.'. и нестационарном, потопа} от объемного содержания одного из компонентов г| .

-30 [

с .3

Грй'-.';: п;1р::С1~.:0С7й относительно); разности элективных тепло- л т-л.шерату:онговодности Я,5а. слоксткх сред цг. лья.чяркчссккх, стационарном и нестационарно?/, потоках от объемного содержания одного 5;з компонентов п .

График зависимости относительной разности эффективных тепло- и тешсратуропроводности а зернистых сред

при стационарном к нестационарном тепловом воздействии от объемной концентрации ^ одного из компонентов.

проблемой измерения тепловых свойств горных пород

Третье защищаемое научное положение.

. Предложенные теоретические модели традиционных методов измерения тепловых свойств анизотропных срад представляют собой теоретическую базу для определения комплекса теадовых свойств таких сред методами плоского источника постоянной мощности и линейного источника постоянной мощности, а также теплопроводности анизотропных сред - методом двухточечного зондирования.

При широком разнообразии методов и технических средств, созданных для измерения тепловых свойств твердых тел, в геологоразведочных работах и в исследованиях фундаментального характера в нашей стране и за рубежом наиболее распространены следующие разработки:

1) метод стационарного теплового потока, реализованный в приборах серж "Лямбда", "Пм^ес! Ь&г аьрагеДиз". ИТ-3, ИТ-4 и т.д.;

2) метод линейного источника постоянной мощности, реализованный в приборах серии "раик НегтсЛ МьЫ", "Пингвин" и

др.;

3) метод монотонного разогрева плоским источником постоянной мощности, реализованный в приборах "ИТ-С-400", "ИТ-1-400";

4) метод двухточечного зондирования, реализованный в тепловых компараторах серии КТ;

5) метод оптического сканирования, реализованный в установках серий "1-Профиль", " а ,Х-Профиль".

Все упомянутые методы определения тепловых свойств базируются на решении уравнения теплопроводности, стационарного либо нестационарного - в зависимости от характера метода, с соответствующими начальными и граничными условиями. Математически определение тепловых свойств исследуемой среды сводится к решению обратной задачи для уравнения теплопроводности. Это решение, в свою очередь, получают из решения прямой задачи, т.е. из расчета температурного поля, создаваемого источником тепла в исследуемой среде.

За рубежом, в частности, при массовых измерениях теплопроводности пород по керну сверхглубокой скважины КТЗ в £РГ, в основном используются методы линейного источника и стацко-

нарного теплового потока. В геологических организациях нашей страны наиболее широко распространены приборы "ИТ-А, -400", серийно выпускавшиеся промышленностью в течение многих лет. Для массовых измерений в нашей стране используются методы оп тического сканировании и двухточечного зондирования.

Особенностью большинства методов является то, что созда ны они для изучения тепловых свойств промышленных материалов (за исключением метода сканирования). В то же время такое ха рактерное свойство минералов, горных пород и руд, как анизо тропия, не принималось во внимание при создании теоретически моделей большинства этих методов. Геометрия теплового потока создаваемого источником в методе стационарного теплового пот ка, полностью аналогична геометрии потока в методе монотонно разогрева плоским источником постоянной мощности. Разница уп минутых методов лишь в том, что первый позволяет измерять то лько теплопроводность исследуемой среды. Теоретическая модел метода сканирования применительно к измерению комплекса тепл вых свойств анизотропных сред уже построена (Попов, 1986). В связи с этим методы стационарного потока и оптического скани рования в работе не рассмотрены.

Для построения теоретических моделей остальных методов нами рассмотрена однородная анизотропная среда с постоянной объемной теплоемкостью си постоянными тензорами тепло-и температуропроводности X,- к а- . Главный вопрос, на ко торый необходимо ответить - какой комбинации главных значена тензора соответствует величина, измеряемая данным методом. Для этого решены прямая и обратная задачи нестационарного yj Енения теплопроводности для источников различной формы. Сдел но это с помощью ковариантного выражения для функции Грина г анизотропной среде:

- ¿ qeítí VTp , í_

G,(*,t) = —'•■ J ——exp [- -i- a.. , (8)

MÍ)Vl Vdet i ^ ' 'j

где - координаты точки наблюдения.

Первый из рассмотренных методов - метод плоского источ{ ка постоянной мощности, относящийся к методам ре1улярного ре жима и реализованный в серийно выпускаемых приборах "КТ-С-4С

"ИТ-X-400". Теоретическая модель этого метода построена только для изотропной среды.

Решение прямой и обратной задачи уравнения теплопроводности для плоского источника, работающего в режиме монотонного разогрева, позволило установить, что значения теплопроводности и тепловой инерции, измеряемые в данном методе, соответствуют элементам тензоров, связанным с осью, нормальной плоскости источника:

V ¿33 > Р*=Р» ■ (9)

На основании этих соотношений предложен алгоритм определения главных значений тензоров всех тепловых свойств при известных главных осях. Случай, когда направления главных осей неизвестны, не представляет принципиальных трудностей; требуется лишь провести большее число измерений.

Второй рассмотренный нами метод - метод линейного источника постоянной мощности (цилиндрического зонда), относящийся к методам регулярного режима и реализованный в приборах "С)ТМ", "Пингвин" и др. Теоретическая модель этого метода построена для анизотропной среды применительно к измерению теплопроводности, так что необходимо обобщить ее на измерение всего комплекса тепловых свойств.

С помощью решения прямой к обратной задачи уравнения теплопроводности для линейного источника, работающего в режиме монотонного разогрева, установлено, что значения тепло- и температуропроводности, измеряемые данным методом, соответствуют корням из алгебраических дополнений элементов тензоров, свя -занных с осью источника:

На основе этих соотношений предложен алгоритм определения главных значений тензоров всех тепловых свойств при известных главных осях. Как и в методе плоского источника, определение направлений главных осей требует лишь увеличения числа измерений.

Третий рассмотренный метод - метод двухточечного зондирования, реализованный в тепловых компараторах серии "КТ". Этот метод является стационарным и поэтому позволяет измерять толь-то теплопроводность. Теоретическая модель данного метода пост-

роена для изотропных сред. Источниками тепла в этом случае являются нижние поверхности стержней компаратора, контактирующие с исследуемой средой.

Решение прямой и обратной задачи уравнения теплопроводности для плоского кругового источника, работающего в стационарном режиме, позволило установить, что теплопроводность, измеряемая данным методом, равна

К" (VI- Am¡n /Ama/j , di)

Am**(m¡n) = mftx(n;n) {л,( , А,г} ^

где Л„ , Alz - алгебраические дополнения элементов тензора теплопроводности и Хгг , связанные с осями, лежа щими в плоскости зондирования, а К - полный эллиптический интеграл первого рода. С помощью (II) предложен алгоритм оп ределения главных значений тензора теплопроводности данным методом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. На основании асимптотического решения уравнения Лапласа в гетерогенной среде построена теоретическая модель обе бщенной проводимости таких сред, позволяющая, в отличие от известных моделей, аналитически рассчитать проводимость мно гокомпонентных сред с анизотропными зернами минеральных arpe гатов, если контраст проводимости компонентов не превышает десятикратный, а также проводимость сред с параллельными boj кнами, если контраст проводимости компонентов не выше шести кратного.

С помощью построенной теоретической модели рассчитана теплопроводность образцов гранитов Украинского щита и Западных Карпат, значения которой хорошо согласуются с 3KcnepnMeí тальными данными, и оценен коэффициент анизотропии теплопро водности гранитов, обусловленной преимущественной ориентацие анизотропных зерен кварца.

2. Путем модификации модели Ерюгемана создана теоретиче ка модель обобщенной проводимости двуххомпонентных зернистые сред с произвольным контрастом проводимости компонентов, дая

цая возможность, в отличие от известных моделей, аналитически рассчитать проводимость таких сред с учетом пврколяцион-ных явлений, и оценить скачок проводимости в окрестности пар-коллциоиного порога, связанный с образованием бесконечного кластера.

На основании упомянутой модели рассчитана электропроводность литиево-аммиачных растворов (стократный контраст проводимости компонентов) и электропроводность смесей металла с глиноземом (бесконечный контраст), значения которой хорошо согласуются с экспериментальными данными.

3. Показано, что традиционный подход к расчету эффективных тепловых свойств гетерогенных сред при нестационарном тепловом воздействии имеет ряд существенных недостатков, а рассчитанные с помощью теории возмущений поправки к функциям Грина нестационарного уравнения теплопроводности при гаком подходе расходятся в гетерогенной среде.

4. В явной аналитической форме построены приближенные выражения для функций Грина нестационарного уравнения теплопроводности для плоского и точечного источников в слоисто-неоднородной среде, поправки к которым, рассчитанные по теории возмущений, являются всюду конечными и пропорциональным вариациям тепловой инерции структурных элементов гетерогенной среды; для горных пород эти вариации, как правило, малы.

5. В явной аналитической форме построена приближенная функция Грина нестационарного уравнения теплопроводности в среде с анизотропными зернами минеральных агрегатов, поправки к которой, рассчитанные методом теории возмущений, пропорциональны вариациям локальных значений тензора тепловой инерции зерен и для горных пород, как правило, малы.

6. Показано, что при нестационарно:-! тепловом воздействии эффективная температуропроводность слоистых и зернистых сред формируется независимо от других тепловых свойств п является функцией только те.мпературопроводностеп структурных элементов гетерогенной среды и их объемных содержаний.

7. Установлено, что, в отличие от случая стационарного теплового воздействия, при нестационарном тепловом всздейст -вин эффективная теплопроводность слоистых и зернистых сред не формируется независимо, а .является функцией эффективной темпе-

ратуропроводности этих сред.

8. Предложены явные аналитические выражения для расчет эффективных тепловых свойств слоисто-неоднородных сред при нестационарном тепловом воздействии с плоской и цилиндричес кой геометрией теплового потока к численно оценена относите льная разница эффективных тепловых свойств таких сред при стационарном и нестационарном воздействиях с соответствующе геометрией.

9. Предложены явные аналитические выражения для расчет эффективных тепловых свойств сред с изотропными и анкзотрог ными зернами при нестационарном тепловом воздействии и чис ленно оценена относительная разница эффективных тепловых свойств таких сред при стационарном и нестационарном тепло вом воздействии.

10. С помощью общековариантной функции Грина нестационарного уравнения теплопроводности в анизотропной среде тес ретические модели таких методов измерения тепловых свойств, как метод плоского источника постоянной мощности и метод двухточечного зондирования, построенные для изотропных сре; обобщены на случай анизотропии исследуемой среды, а модель метода линейного источника постоянной мощности модифицировг на для такого случая. Это создает теоретическую базу для и; мереная тепловых свойств анизотропных сред указанными мето дами.

По теме диссертации опубликованы работы:

1. Приближенная функция Грина уравнения Гельмгольца и ее применение к расчету поля излучения ультразвукового пре: разователя в окрестности сварного шва. // Изв. СКНЦ ВШ, Ш & 4, с. 17-23. В соавторстве с В.Л.Цветянским.

2. Особенности определения тепловых свойств слоисто-н; однородных сред методом сканирования.,// Изв. ВУЗов. Геоло: и разведка, 1989, № 12, с. 88-94. В соавторстве с А.Бангур А.А.Кос тюриным, Ю. А.По повым.

3. Определение температуропроводности неоднородных и анизотропных горных пород. - Тезисы докладов конференции "Геотермия и ее применение в региональных и поисково-разве.] чных исследованиях", г.Свердловск, 1989, с. 104. В соавторе' с А.А.Костюриным, Ю.А.Поповым, М.Бангурой.

4. Методика и аппаратура для определения тепловой активности горных пород. // Кзв. ВУЗов. Геология и разведка,Г-'90, № I, с. 90-96. В соавторстве с Ю.А.Поповым, В.М.Корострлзвым, Ю.И.Федоровым, М.Бангурой.

5. Новые возможности совершенствования методической базы для изучения теплопроводности анизотропных горных пород и минералов. // Изв. ВУЗов. Геология и разведка, 1390, 8,

с. 85-91. В соавторстве с Ю.А.Поповым, А.А.Костюриным, А.Еан-ГурОЙ.

6. К определению тепловых свойств гетерогенных и анизотропных минеральных сред. - В кн. Теплофнзические проблемы промышленного производства, г.Тамбов, 1992, с.77. В соавторство с Ю.А.Поповым.

7. Возможности традиционных методов измерения теплопроводности при исследованиях анизотропных минеральных сред.

- В кн. Геотермия сейсмичных и асейсмичшх зон. М.: Наука, 1993, с. 342-249. В соавторстве с Ю.А.Поповым.

8. К расчету эффективных тепловых свойств гетерогенных сред при теплофизических исследованиях геологических объек -гол. - Тезисы докладов Международного симпозиума по геотер -малыгой энергетике, г.Санкт-Петербург, 1993, с. 52. В соавторство с Ю.А.Поповым.