Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Сейсмическое волновое поле в окрестности каустик

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Сейсмическое волновое поле в окрестности каустик"

На правах рукописи

ДУЧКОВ Антон Альбертович

СЕЙСМИЧЕСКОЕ ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ КАУСТИК (МОДЕЛИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ ЭЙКОНАЛА И ПРОИЗВОДНЫХ ЛУЧЕВОЙ АМПЛИТУДЫ)

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 2004

Работа выполнена в Лаборатории прямых и обратных задач сейсмики Института геофизики СО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, академик РАН С В. Гольдин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Яновская Татьяна Борисовна

кандидат физико-математических наук, Чеверда Владимир Альбертович

Ведущая организация:

С.-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова (г. С.-Петербург)

Защита состоится « 20 » декабря 2004 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.050.05 при Объединенном институте геологии, геофизики и минералогии им. А.А. Трофимука СО РАН в конференц-зале.

Адрес: пр-т Ак. Коптюга 3, Новосибирск, 630090. Факс: (3832)-33-27-92

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института геологии, геофизики и минералогии СО РАН.

Автореферат разослан « _10_» ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

Ю.А. Дашевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объектом исследования является сейсмическое волновое поле в окрестности каустик разного типа. Каустики представляют собой важное явление фокусировки волнового поля: они осложняют волновую картину, затрудняя обработку и интерпретацию сейсмических данных.

В разработку различных асимптотических подходов, позволяющих описывать волновое поле в присутствии каустик, внесли свой вклад, В.М. Бабич, B.C. Булдырев, Н.Я. Кирпичникова, К.Д. Клем-Мусатов, В.П. Маслов, М.М. Попов, A.M. Айзенберг, Ю.Л. Газарян, P.W. Buchen, C.H. Chapman, V. Cerveny, L.N. Frazer, R.A.W. Haddon, M.K. Sen. Теория равномерных геометрических асимптотик, основанная на классификации каустик в рамках теории катастроф, родилась из работ В.И.Арнольда, Ю.А. Кравцова, Ю.И. Орлова, M.V. Berry, N. Bleinstein, С. Chester, J.N.L. Connor, J.J. Duistermaat, B. Friedman, L. Hormander, D. Ludwig, F. Ursell. В работах А.С. Крюковского, Д.С. Лукина, Е.А. Палкина развивалась не только теория, но были проведены первые практические расчеты и развито несколько вычислительных методов. Сравнение методов показывает, что во многих случаях с расчетной точки зрения учет старших производных эйконала и лучевой амплитуды оказывается предпочтительней поиска всех лучей (для окрестности каустики характерна многолучевость). В работе A. Hanyga и Н.В. Helle до уровня расчетов (в сейсмических задачах) был доведен только один метод теории равномерных асимптотик, требующий поиска всех лучей, приходящих в приемник. Недостатком этого метода является то, что в малой окрестности каустики численная реализация метода оказывается неустойчивой, а также требуется комплексное лучевое трассирование, что делает его фактически неприменимым для достаточно сложных моделей сред. В связи с этим актуальной является разработка подходов в рамках теории упругости, позволяющих дополнить этот метод в тех ситуациях, когда метод работает неэффективно: при анализе волнового поля в точках непосредственно на каустике, в зоне тени и полутени.

Цель работы - разработка подходов к расчету сейсмического волнового поля на каустике и в ее окрестности, в основе которых лежит учет старших производных эйконала и производных лучевой амплитуды. Это позволит проводить теоретический анализ волнового поля на каустиках разного типа и математическое моделирование волнового поля в присутствии каустик.

j'OC. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

Научная задача - определение сейсмического волнового поля в окрестности каустик разного типа с использованием старших производных эйконала и производных лучевой амплитуды.

Фактический материал и методы исследования - теоретической основой решения поставленной задачи является теория асимптотических решений дифференциальных уравнений, развитая в работах В.П. Маслова, J.J. Duistermaat, L. Hormander. Методы практического расчета волнового поля на базе этой теории были сформулированы в работах Ю.А. Кравцова, А.С. Крюковского, Ю.И. Орлова, Д.С. Лукина, Е.А. Палкина, M.V. Berry и адаптирован к сейсмическим задачам A. Hanyga. Геометросейсмическое описание волнового поля строится во временной области с использованием метода разрывов, развитого СВ. Гольдиным. Вывод формул переходной асимптотики базируется на интегральном представлении Кирхгофовского типа для упругого волнового поля (через фундаментальный тензор Грина). При рассмотрении каустик используется их классификация, полученная в рамках теории катастроф (основополагающий вклад В.И. Арнольда и R. Thorn). Основным методом исследования является математическое моделирование волнового поля в рамках геометрических асимптотик: построение интегральных формул, дающих равномерное описание поля в окрестности каустик; расчет параметров, входящих в интегральные формулы; анализ формул на каустиках разного типа; программная реализация подхода для математического моделирования волнового поля.

В качестве тестового материала были взяты 4 синтетические сейсмограммы общей точки взрыва (около 350 сейсмотрасс), посчитанные методом конечных разностей в ИГФ СО РАН В.А. Чевердой и Д.М. Вишневским. Сейсмограммы рассчитаны для двумерной упругой среды (4 профиля наблюдений, пересекающих каустический клюв). Разработанные в рамках диссертации процедуры использованы для построения синтетических сейсмограмм для той же модели с последующим сравнением.

Полученные соискателем формулы для продолжения производных эйконала и лучевой амплитуды вдоль луча и их программная реализация проверялись сравнением с точными решениями: сферическая волна в однородной среде и среде с постоянным градиентом скорости, отражение от параболической границы. Независимо полученные индексы фокусировки поля на каустиках разного типа совпадают с результатами В.И. Арнольда.

Защищаемые научные положения

1. Анализ формул разрывного описания сейсмической волны на сложных каустиках показал, что эффект деполяризации сейсмической волны на каустике заметно выше, чем в регулярных точках луча. В регулярных точках разница в порядке разрыва между основной и примесной компонентой вектора смещений составляет 1 (примесная компонента относится к следующему члену лучевого ряда). На каустике эта разница уменьшается и зависит от ее типа: 2/3 для эллиптической ом-бил ики, 1/2 для клюва, 1/3 для простой каустики и гиперболической омбилики, 1/5 для каустики типа ласточкин хвост.

2. Производные эйконала и лучевой амплитуды, найденные для всех лучей, соединяющих источник с приемником, в освещенной области каустики (зона максимального покрытия лучами), могут быть использованы для экстраполяции волнового поля в зону тени каустики. Для этого в рассматриваемой точке строится аппроксимация параметров равномерной асимптотики отрезком ряда Тейлора по координатам приемника (порядок аппроксимации соответствует порядку используемых производных эйконала и амплитуды).

Новизна работы. Личный вклад

1. Выведены интегральные формулы переходной асимптотики, которые позволяют описать сейсмическое волновое поле на каустике, рассматривая только один луч, соединяющий источник с приемником. В основе подхода лежит идея локального построения интегрального представления Кирхгофовского типа в окрестности заданного луча (предложена СВ. Гольдиным). Формулы переходной асмиптотики сводятся к двойному интегралу от дельта-функции Дирака, причем подынтегральные функции аппроксимируются отрезком ряда Тейлора: старшие производные эйконала и производные лучевой амплитуды, продолженные вдоль рассматриваемого луча, позволяют учесть вклад соседних лучей в случае многолучевости.

2. С использованием формул интегрирования разрывных функций, выражения переходной асимптотики для точек непосредственно на каустике были проинтегрированы в явном виде. В результате получено описание разрывной (геометросейсмической) части волнового поля в виде ряда, составленного из разрывных функций с дробным нарастания порядка разрыва. Для точек на каустиках пяти типов (простая каустика, клюв, ласточкин хвост, гиперболическая и эллиптическая омби-лики) получены, во-первых, структура разрывного описания волнового

поля в точке максимальной сингулярности, т.е. закономерность дробного нарастания порядка разрыва, которая зависит от типа каустики (простая каустика и клюв рассмотрены в работах В.М. Бабича, Я. Burridge и А. Надула) и , во-вторых, явные формулы для старших ненулевых членов разложения для всех компонент вектора смещений (параметры разрывных функций и амплитудные коэффициенты).

3. Для простых сред уравнения для продолжения старших производных эйконала и лучевой амплитуды (впервые выведены Н.Я. Кирпичниковой) были проинтегрированы и получен ряд новых аналитических формул для продолжения вдоль луча: производных эйконала порядка 3 и 4 в однородной среде, производных лучевой амплитуды порядка 1 и 2 в однородной среде и производных эйконала порядка 3 в среде с постоянным градиентом скорости.

4. Разработаны и программно реализованы в системе МаШешайса процедуры математического моделирования волнового поля:

- на каустике и в малой ее окрестности методом переходной асимптотики (продолжение старших производных эйконала и амплитуды вдоль луча в блочно-однородной среде; построение локального варианта интегрального представления в окрестности этого луча; вычисление интеграла и построение синтетических сейсмограмм);

- на каустике и в зоне тени с использованием экстраполяции волнового поля (при условии, что все лучи найдены и проведено распознавание каустик). Процедура включает расчет синтетических сейсмограмм в освещенной зоне методом глобальной асимптотики; продолжение третьих производных эйконала и первых производных лучевой амплитуды вдоль некоторых лучей; построение отрезка ряда Тейлора и экстраполяция параметров равномерной асимптотики в зону тени; вычисление интегральных формул равномерной асимптотики; построение синтетических сейсмограмм.

Научная значимость. Исследования выполнялись по плану НИР Института геофизики СО РАН (программа 0120.0 101571 в 2001-2003 гг.; 0120.0 407249 в 2004 г.) и в рамках проектов ШТАБ (ШТАБ-ЯРВЯ-95-0763; У8Р99-0211, руководитель), СЯБР (ЯО1-2362-К0-02), РФФИ (99-05-64425, 01-05-64812), Минобразования РФ (Е00-8.0.-27; УР.09.01.020; Е02-9.0.-13), Минпромнауки РФ (НШ-1302.2003.5).

Формулы переходной асимптотики имеют теоретическое значение и позволяют понять изменения, происходящие при прохождении волной каустики. Так, изменение структуры разрывной (геометро-

сейсмической) части волнового поля на каустике контролирует степень фокусировки волнового поля. Анализ деполяризации сейсмической волны на каустиках разного типа позволяет понять, как могут проявляться эти каустики при использовании трехкомпонентных систем наблюдений.

Процедура экстраполяции волнового поля в зону тени может быть использована в программах лучевого моделирования сейсмического волнового поля. Она может быть встроена в существующие пакеты, так как целиком основывается на результатах стандартных процедур динамического лучевого трассирования и не требует комплекс -ного лучевого трассирования. Применение процедуры экстраполяции позволит корректно моделировать динамику целевых волн в таких важных задачах, как изучение отклика от локальных структур в сложной модели и Кирхгофовская миграция в истинных амплитудах (в присутствии каустик).

Апробация. Основные результаты диссертации отражены в 15 публикациях и докладывались на 9 международных и 9 всероссийских конференциях. Международные: Международная конференция «Обратные проблемы математической физики» (Новосибирск, 1998), Международный семинар «День дифракции» (С.-Петербург, 1999, 2000, 2002), Международная конференция и выставка SEG (США, Хьюстон,

1999), Международная конференция по математическим и численным аспектам распространения волн (Испания, Сантьяго де Кампастелла,

2000), Симпозиум IUTAM «Дифракция и рассеяние в гидродинамике и упругости» (Великобритания, Манчестер, 2000), Международная конференция и выставка EAGE (Италия, Флоренция, 2002; Франция, Париж, 2004). Всероссийские: Четвертый сибирский конгресс по прикладной математике (Новосибирск, 2000); Международная конференция молодых ученых, специалистов и студентов «Геофизика» (Новосибирск, 2001; С.-Петербург, 1997, 2003); Вторая Всероссийская конференция «Геофизика и математика» (Пермь, 2001); XII Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн (Москва,

2001); Ш и V Уральская молодежная научная школа по геофизике (Екатеринбург, 2002, 2004); IV Международная конференция «Проблемы геокосмоса» (С.-Петербург, 2002);

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Объем диссертации составляет 144 страницы, включая 35 рисунков.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю акад. РАН СВ. Гольдину за постановку задачи и постоянную помощь при ее решении; A.M. Айзенбергу за его многолетнее внимание к результатам автора и множество советов по их улучшению; В.А. Чеверде и К.Д. Клем-Мусатову за анализ диссертационной работы и полезные замечания; Общение с M.V. Berry, a позднее с Д.С. Лукиным, А.С. Крюковским, Е.А. Панкиным (МФТИ, г. Москва) стало важным этапом в ознакомлении с широким спектром результатов по теории равномерных асимптотик. Автор благодарен М.М. Попову за целый ряд научных обсуждений; В.М. Бабичу, А.П. Киселеву, Н.Я. Кирпичниковой, З.А. Янсон (ПОМИ, г. С.Петербург) за их интерес к выступлениям автора и конструктивное обсуждение; В.П. Голубятникову за многочисленные консультации по теории катастроф; Д.М. Вишневскому и В.А. Чеверде за расчет синтетических сейсмограмм методом конечных разностей; сотрудникам ИГФ СО РАН Т.В. Курдюковой, Г.М. Митрофанову, Т.В Нефедкиной, Б.П. Сибирякову, Ю.А. Орлову за периодическое обсуждение результатов автора на протяжении нескольких лет; А.Д. Дучкову за редакционную правку; В.И. Самойловой за методическую работу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 приведен краткий обзор работ по развитию лучевого метода и методов равномерного асимптотического описания волнового поля в окрестности каустик.

В начале главы 2 формулируется постановка задачи. В рамках линейного уравнения эластодинамики рассматривается краевая задача для неоднородной изотропной упругой среды, содержащей криволинейные границы (условие жесткого контакта). Функции, описывающие упругие параметры внутри слоя и границы, должны иметь порядок гладкости на 1 меньше порядка используемых производных эйконала.

В разделе 2.1 вводится понятие разрывной части волнового поля. Точное решение уравнения упругости можно представить в виде:

где u(x,i) - разрывная часть волнового поля (теряет аналитичность на характеристических поверхностях), - гладкая составляющая.

Далее будет рассматриваться только разрывная (геометросейс-мическая) часть волнового поля (такое рассмотрение восходит к

работам Ж. Адамара). Временной вариант лучевого метода (В.М. Ба-

бич) дает точное описание процесса распространения некоторых идеальных волн - разрывных функций [Гольдин, 1988]:

фПЧ + \), ч*-1,-2,

¿<-<Н>(0,

Ч = -1,-2,...

(2)

производная

) - функция Хевисайда,

дельта-функции, НД] - преобразование Гильберта.

Разрывная функция характеризуется порядком д (рез-

кость разрыва функции на фронте / = 0) и индексом V (изменение формы или аналог фазового сдвига). Верхний индекс задает причинные (+) и «антипричинные» (-) разрывные функции.

Соискателем были выведены формулы для некоторых преобразований разрывных функций, вычисления от них двойных интегралов.

В разделе 2.2 приведен вывод формул переходной асимптотики для продольной волны. Ставилась цель развития описания волнового поля, сочетающего локальность классического лучевого метода (рассмотрение динамики вдоль одного луча) с возможностью рассмотрения волнового поля на каустике.

Задан луч, выходящий из источника 8 и проходящий через приемник X] (схема на Рис. 1), причем Х] оказывается на каустике или вблизи нее, а Хд - предшествующая точка того же луча. Рассмотрим

волну из источника - разрывную часть фундамен-

тального решения уравнения упругости для источника типа сосредоточенной силы действующей в точке X]. Если точка Хд является регулярной для волны то в ее окрестности можно использовать стандартный лучевой метод:

где - амплитуды нулевого члена лучевого ряда, а

г(х) и Г(х1;х) — эйконалы соответственно для волны из источника и фундаментального решения.

Для точки X] рассмотрим интегральное представление Кирхго-фовского типа:

где - компоненты вектора смещений обознача-

ет свертку по времени; 5 - гладкая замкнутая поверхность интегрирования, для которой точка является

внутренней; -

дифференциальный оператор, определяющий вектор напряжения, приложенный к элементарной площадке й5(х) с внешней нормалью п. Поверхность интегрирования 5 проведем через точку и зафиксируем ее форму: плоскость, перпендикулярная лучу.

Лучевое описание (3) и (4) можно подставить в (5) и воспользоваться формулами преобразования разрывных функций из раздела 2.1, чтобы свести (5) к:

йк(х,,0 ~ Д^Ч*,У)Я(I - Пх,у))с!хс1у +...

г 1

в двух последних выражениях опущена зависимость величин от координат - след амплитудной и фазовой функций на плоскости 5.

Интегральное представление (6) рассматривается локально, в окрестности точки пересечения лучом плоскости Подынтегральные выражения х,у) и т(х,у) заменяются их аппроксимацией отрезком ряда Тейлора в окрестности (0,0). Для такого описания требуется знание в точке Хд только необходимого количества производных амплитуд и эйконалов из (3), (4):

Рис. 1. Схема вычисления переходной асимптотики.

В начале раздела 2.3 рассмотрен вопрос классификации и встречаемости каустик при распространении волн, основываясь на работах В.И. Арнольда, Ю.А. Кравцова и Ю.И. Орлова. При распространении сейсмической волны в трехмерной среде типичным образом возникают 5 типов каустик: простая каустика, каустика типа клюв, ласточкин хвост, гиперболическая и эллиптическая омбилики. Только эти каустики рассматриваются в диссертации.

Для каустик 5 типов формулы переходной асимптотики (6) в точках наибольшей сингулярности были упрощены, опираясь на результаты раздела 2.1, и получено описание волнового поля в виде разложения по разрывным функциям (2). Стандартное лучевое разложение имеет вид (порядок разрыва последующих членов возрастает на 1):

На каустике изменяется структура разложения волнового поля по разрывным функциям, и получается ряд с дробным нарастанием порядка разрыва. В тексте диссертации рассмотрено 5 типов каустик, но здесь проиллюстрируем результаты на примере простой каустики

в обозначениях В.И. Арнольда). Формулы (6) приводятся к виду:

+ (9)

п- О

Выражение (9) дает представление об изменении структуры волнового поля в окрестности простой каустики (Рис. 2). На Рис. 2,а показано разрывное представление для точек в регулярной области, где работает формула (8) (в качестве старшего разрыва взята ¿-функция Дирака, q = -1; показаны члены для п=0,1). В точке на простой каустике разрывное представление имеет структуру (9) (см. Рис. 2,6; приведены члены для п=0,1). В переходной зоне (окрестность каустики) волновое поле не может быть разложено в ряд по разрывным функциям.

Можно также получить выражения для амплитудных коэффициентов при двух старших разрывах (количественный результат для использования в расчетах):

Рис. 2. Изменение структуры разрывного описания (простая каустика).

В выражения (10) входят коэффициенты Тейлоровского разложения (7), которые выражаются из (6) через производные лучевой амплитуды и эйконала волн

В разделе 2.4 аналитические формулы раздела 2.3 использованы при анализе деполяризации продольной волны для каустик 5 типов в однородной среде: сравнение порядков старших разрывов основной и примесной компонент колебаний (в регулярных точках разница составляет 1).

Проиллюстрируем результаты на примере луча, касающегося простой каустики в точке X] (Рис. 3). Некоторые амплитудные коэффициенты в (10) оказываются нулевыми. Выпишем старшие ненулевые члены:

М2(Х1,0'

. с(2)д(+)

('-'о). (И)

¿К*,,0~4?*$/6/г(*-/<>)

Рис. 3. Луч через простую каустику.

Компоненты вектора смещений выбраны следующим образом: -основная компонента (вдоль луча); ¿2 — примесная компонента по нормали к каустике, щ - примесная по касательной к каустике. Примесная компонента щ ведет себя так же, как в регулярном случае (разрыв отличается на 1 от Й3); а компонента й2 - более выражена (разрыв отличается только на 1/3 от разрыва щ).

Для всех рассмотренных каустик эффект деполяризации оказывается более выражен по сравнению с регулярными точками (конкретные значения вынесены в 1-е защищаемое положение).

В главе 3 обсуждаются практические аспекты математического моделирования волнового поля в рамках геометрических асимптотик в присутствии каустик.

В разделе 3.1 рассматривается область применимости формул переходной асимптотики (6) на синтетическом примере (отражение от криволинейной границы). Некоторые результаты анализа приведены в разделе «Преимущества». Здесь отметим, что переходная асимптотика хорошо работает на каустической поверхности, а при удалении от нее появляется и растет ошибка, не устранимая в рамках метода: при уходе с каустики фазовая функция сразу становится многоэкстре-

мальной и плохо описывается тейлоровским разложением (7).

В разделе 3.2 рассмотрена задача продолжения старших производных эйконала (третьего порядка и выше) и лучевой амплитуды вдоль луча для простых сред (результаты вынесены в п. 3 раздела «Новизна работы. Личный вклад»).

В разделе 3.3 сформулирован подход, который позволяет экстраполировать волновое поле из произвольной точки в освещенной области каустики в окрестность этой точки с использованием производных эйконала и лучевой амплитуды (2-е защищаемое положение). Подход является модификацией метода глобальной асимптотики (для сейсмических задач см. работы А Hanyga). Каустика типа Z занимает конечную область в пространстве наблюдений г, в которой волновое поле может быть описано в виде соответствующей спецфункции:

и(М)= ДОм^сСгХч^-У^аО-Хя))^, (12)

где ц = (<71,<?2)> г = (1>/^) " координаты приемника; вид полиномиальных функций определяется типом каустики

£ (временной аналог функции Эйри для простой каустики и т.д.)

В методе глобальной асимптотики используется система нелинейных алгебраических уравнений задающая в точке взаимно однозначную связь между лучевыми параметрами (времена пробега и лучевые амплитуды Ад вдоль N лучей) и параметрами {а,с} спецфункций (12). Для точек в освещенной области каустики соискателем была получена система линейных алгебраических уравнений, которые задают взаимно однозначную связь:

{д1к{г)1дгп}<н>{да(г)1дгп}, (г)/дгп}{Эс(г)/дг„}, к = (13)

Стандартная процедура лучевого моделирования подразумевает расчет производных эйконала (времена пробега) до 2-го порядка для определения лучевых амплитуд. Это позволяет воспользоваться 1-й формулой в (13) и построить ряд Тейлора в точке Гд:

Аппроксимация (14) может быть использована для экстраполяции в окрестность точки параметров а, значит, и самого волнового поля в представлении (12). Можно строить более сложные аппроксимации, если учитывать третьи производные эйконала и т.д.

В разделе 3.4 проведено сравнение метода экстраполяции (раздел 3.3) и переходной асимптотики (раздел 2.2) с методом конечных разностей. Расчеты проводились для двухмерной модели и сравнивались сейсмотрассы для 4 профилей (см. Рис. 4, слева вверху). При экстраполяции волнового поля в зону тени это делалось для профилей 1-3 из точек, обозначенных квадратами, в направлении пунктирных стрелок. На Рис. 4 приведена сейсмограмма для профиля 1 (вертикальная компонента), рассчитанные методом конечных разностей (ББ), стандартным лучевым методом (ЯАУ) и методом экстраполяции (ЕХ2) по формуле (14). Показан временной интервал, содержащий отраженную РР-волну. Белые линии (увеличенное расстояние между трассами) соответствуют выходу каустики типа клюв на профиль. Стандартный лучевой метод дает искаженное описание волнового поля в окрестности каустики (особенно велика ошибка в зоне тени). Напротив, метод экстраполяции (использует те же данные, что лучевой метод) хорошо совпадает с результатами метода ББ. Максимальное расстояние экстраполяции составляет 1 км для крайней правой трассы.

На Рис. 5 приведены несколько сейсмотрасс (вертикальная компонента) для профиля 4 в окрестности каустического клюва, рассчита-ных по формулам переходной асимптотики (ТЯА), методом конечных разностей (ББ) и стандартным лучевым методом (ЯАУ). Третья трасса является ближайшей к клюву, и она лучше описывается переходной асимптотикой, чем стандартным лучевым методом. При уходе от каустики ошибка переходной асимптотики растет, а стандартного лучевого метода - наоборот падает.

5 1 1 5 2 2 5 х, км S 1 1 5 2 2 5 х. км

Рис. 4. Модель и синтетические сейсмограммы для профиля 1. FD - конечные разности, RAY - лучевой метод, ЕХ2 - метод экстраполяции

Рис. 5. Профиль 4 с рис. 4 (вертикальная компонента). FD - конечные разности, RAY - лучевой метод, TRA - переходная асимптотика (6).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сравнение с синтетическими сейсмограммами, полученными методом конечных разностей, показывает, что предложенный в разделе 3.3 метод позволяет экстраполировать волновое поле из приемника в освещенной зоне каустики в зону тени каустики, а формулы переходной асимптотики из раздела 2.2 позволяют моделировать волновое поле в малой окрестности каустики.

Преимущества. В рамках предложенного соискателем метода переходной асимптотики рассмотрение динамики сейсмической волны ведется вдоль одного выбранного луча. В отличие от методов глобальной асимптотики в этом случае отпадает необходимость находить все лучи, приходящие в точку расчета поля (вклад остальных лучей аппроксимируется старшими производными эйконала, продолженными вдоль одного луча). Необходимость продолжать старшие производные эйконала накладывает жесткие требования на гладкость модели среды, так что становится трудно применять его для сложных реалистичных моделей сред. В этом смысле переходная асимптотика рассматривается более как средство теоретического анализа, чем практических расчетов. В отличие от универсальных численных методов она дает явные формулы, описывающие волновое поле на каустиках разного типа в рамках геометрических асимптотик. Кроме того, появляется возможность сравнивать структуру этого описания для разных каустик, проводить теоретический анализ деполяризиции волны и т.д.

Для целей математического моделирования волнового поля формулы переходной асимптотики могут применяться для простых моделей. Подход может давать преимущество в некоторых ситуациях: когда петли на годографе отраженной волны очень малы по сравнению с

периодом сигнала (именно в этом случае легко пропустить часть лучей при трассировании), либо петля еще вообще не зародилась, но оказывает искажающее влияние на динамику волны (соответствует зоне тени каустики, которая не вышла на поверхность наблюдений).

Предложенный соискателем метод экстраполяции волнового поля из освещенной области в зону тени каустики является развитием методов глобальной асимптотики (ГА), локальной асимптотики (ЛА), интерполяционной локальной асимптотики (ИЛА) (см. работы А.С. Крюковского, Д.С. Лукина, ЕА Палкина) и позволяет более эффективно использовать информацию о производных эйконала и лучевой амплитуды. По сравнению с методом ГА он не требует комплекс -ного лучевого трассирования и непосредственного расчета поля для точек на каустике. Проведение комплексных лучей не входит в стандартные процедуры и требует аналитического продолжения модели в комплексную область, что весьма затруднительно для сложных моделей упругих сред. По сравнению с методом ЛА он не требует специального поиска центра каустики и использует производные эйконала меньшего порядка. В простейшей реализации он не требует дополнительных вычислений, кроме динамического лучевого трассирования (расчет вторых производных эйконала), а в методе ЛА требуемый порядок производных оказывается выше и зависит от типа каустики [Крюковский, 1996]. По сравнению с методом ИЛА он наоборот эффективно использует 1-е и 2-е производные эйконала, которые все равно считаются в ходе определения лучевых амплитуд.

Рекомендации. В оптике каустики принято ассоциировать с резким увеличением интенсивности волнового поля. Для сейсмических каустик ситуация иная в силу относительной низкочастотности сейсмического сигнала. Ширина каустической зоны составляет более 100 м, причем в этой зоне амплитуда сейсмического сигнала на каустике возрастает незначительно (обычно менее, чем в 2 раза), но изменяется форма сигнала. Поэтому каустики могут трудно распознаваться в волновой картине (Рис. 5), но негативно влияют на все виды динамического анализа (AVO-анализ, поляризационный анализ и т.д.). По этой причине желательно проверять применимость лучевого метода для всех точек (например, нулевой член должен быть заметно больше первого). Получить представление о применимости лучевого метода в конкретной точке можно также по третьим производным эйконала. В регулярных точках луча третьи производные эйконала оказываются малыми по сравнению со вторыми. Если же они становятся больше

вторых, то это является признаком близости каустики.

Направление работ на будущее. Соискателю видится необходимость продолжения исследований с целью создания новых подходов к решению двухточечной задачи лучевого трассирования в сложных трехмерных моделях сред в условиях многолучевости. Так, методы пристрелки были направлены на решение двухточечной задачи при минимальном количестве проведенных лучей, т.е. приоритетным требованием являлась экономия машинного времени. Заметное увеличение мощности компьютеров позволяет выдвинуть новый приоритет. Необходимо детально строить все семейство лучей и проводить анализ его топологии. Это может оказаться достаточно громоздким с вычислительной точки зрения, но позволит более надежно находить все лучи, соединяющие источник с приемником, и одновременно решать задачу классификации ветвей непрерывности поля времен целевой волны, а также проводить распознавание каустик разного типа.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Го льдин С. В., Дучков А.А. Интегральные представления в геометрической сейсмике // Геология и геофизика, 2000, № 1, с. 142-158.

2. Duchkov A.A., Goldin S.V. Analysis of seismic wave dynamics by means of integral representation and method of discontinuities // Geophysics, 2001, v. 66, No. 2, pp. 413-418.

3. Дучков А.А. Волновое поле вблизи каустики: асимптотика во временной области // Геофизический вестник, 2001, № 9, с. 5-8.

4. Duchkov A.A., Goldin S.V. Seismic wave dynamics in regular and singular points of the ray // IUTAM Symposium on diffraction and scattering in fluid mechanics and elasticity / Eds. I.D. Abrahams et al., Kluwer Academic Publishers, 2002, v. 68, pp. 413-420.

5. Гольдин СВ., Дучков А.А. Сейсмическое волновое поле вблизи каустик: анализ во временной области // Физика Земли, 2002, № 7, с. 56-66.

6. Goldin S.V., Duchkov А.А. Seismic wave field in the vicinity of caustics and the higher-order travel time derivatives // Stud. Geophys. Geod., 2003, v. 47, № 3, pp. 521-544.

7. Дучков А.А. Интегральное представление первого приближения лучевого ряда // Студент и научно-техн. прогресс (геофизика): Докл. XXXV Межд. науч. студ. конф., Новосибирск, 1997, с. 7-14.

8. Goldin S.V., Duchkov А.А. Method of discontinuities and integral representation in the analysis of wave field dynamics // Day on Diffrac-

tion'99: Proc. ofthe Int. seminar, St.-Petersburg, 1999, pp. 32-39.

9. Дучков А.А., Гольдин СВ. Сингулярности сейсмического волнового поля и их связь с теорией катастроф // Материалы Второй Всероссийской конференции, «Геофизика и математика» (ред. В.Н.Страхов), Пермь, Горный институт УрО РАН, 2001, С. 94-103,

10. Дучков А.А. Продолжение высших производных эйконала вдоль луча // Доклады III Уральской молодежной научной школы по геофизике, Екатеринбург, 2002, С. 33-36.

11. Duchkov A.A., Goldin S.V. Time-domain ray asymptotic near singularities - illustration for a caustic cusp // 64th EAGE Conference and Technical Exhibition: Extended Abstracts, Florence, Italy, 2002, P 105,4 p.

12. Дучков А.А. Метод экстраполяции для описания волнового поля в зоне тени каустики // V Уральская молодежная научная школа по геофизике: Тр. конф., Екатеринбург, 2004, с. 31-34.

13. Duchkov А.А. Seismic wavefield in caustic shadow // 66th EAGE Conference and Technical Exhibition: Extended Abstracts, Paris, France, 2004, P 181, 4 p.

Технический редактор P.M. Вараксина Подписано к печати 20.10.2004 Формат 60x84/16. Бумага офсет № 1. Гарнитура Таймс. Офсетная печать.

_Печ. л. 0.9. Тираж 150. Заказ 246._

Издательство СО РАН. 630090, Новосибирск, Морской проспект, 2. Филиал «Гео». 630090, Новосибирск, проспект Ак. Коптюга, 3.

№2 65 6 9

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Дучков, Антон Альбертович

Введение.

Глава 1. Состояние вопроса.

Глава 2. Интегральные формулы переходной асимптотики.

2.1. Разрывная составляющая волнового поля (преобразование и интегрирование разрывных функций).

2.1.1. Свойства разрывных функций.

2.1.2. Интегрирование разрывных функций.

2.2. Вывод интегральных формул переходной асимптотики.

2.2.1. Освещенная зона каустики.

2.2.1. Зона тени.

2.3. Описание волнового поля на каустиках разного типа.

2.3.1. Классификация каустик.

2.3.2. Объемная сейсмическая волна в трехмерной среде.

2.3.3. Описание сейсмической волны в точках на каустиках разного типа.

2.4. Анализ поляризации сейсмической волны на каустиках.

Глава 3. Математическое моделирование волнового поля (практический аспект).

3.1. Область применимости переходной асимптотики.

3.2. Расчет старших производных эйконала и производных лучевой амплитуды.

3.2.1. Продолжение старших производных эйконала в однородной среде.

3.2.2. Продолжение производных лучевой амплитуды в однородной среде.

3.2.3. Продолжение третьих производных эйконала в среде с постоянным градиентом скорости.

И 3.2.4. Пересчет производных амплитуды через границу.

3.3. Экстраполяция волнового поля в зону тени.

3.4. Сравнение с методом конечных разностей.

3.4.1. Синтетические сейсмограммы.

3.4.2. Сравнение синтетических сейсмограмм.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Сейсмическое волновое поле в окрестности каустик"

Объектом исследования данной работы является сейсмическое волновое поле в окрестности каустик разного типа. Каустики представляют собой важное явление фокусировки волнового поля. Каустичесие области являются трудными для математического моделирования и интересными объектами для независимого изучения, так как волновое поле ведет себя сложным образом.

В разработку различных асимптотических подходов позволяющих описывать волновое поле в присутствии каустик внесли свой вклад

A.M. Айзенберг, В.М. Бабич, B.C. Булдырев, Ю.Л. Газарян, Н.Я. Кирпичникова, К.Д. Клем-Мусатов, В.П. Маслов, М.М. Попов , P.W. Buchen, С.Н. Chapman, V. Cerveny, L.N. Frazer, R.A.W. Haddon, M.K. Sen. Теория равномерных геометрических асимптотик, основанная на классификации каустик в рамках теории катастроф, родилась из работ В.И. Арнольда, Ю.А. Кравцова, Ю.И. Орлова, M.V. Berry, N. Bleinstein, С. Chester, J.N.L. Connor, J.J. Duistermaat,

B. Friedman, A. Hanyga, L. Hormander, D. Ludwig, F. Ursell. В работах

A.C. Крюковского, Д.С. Лукина, Е.А. Палкина развивалась не только теория, но были проведены первые практические расчеты и развито несколько вычислительных методов. Сравнение методов показывает, что во многих случаях с расчетной точки зрения учет старших производных эйконала и лучевой амплитуды оказывается предпочтительней поиска всех лучей (для окрестности t каустики характерна многолучевость). В работе A. Hanyga и Н.В. Helle для сейсмических задач до уровня расчетов был доведен только один метод теории равномерных асимптотик, требующий поиска всех лучей, приходящих в приемник. Недостатком этого метода является то, что в малой окрестности каустики численная реализация метода оказывается неустойчивой, а также требуется комплексное лучевое трассирование, что делает его фактически неприменимым для достаточно сложных моделей сред. В связи с этим актуальной является разработка подходов в рамках теории упругости, позволяющих дополнить этот метод в тех ситуациях, где метод работает неэффективно: при анализе волнового поля в точках непосредственно на каустике, в зоне тени и полутени.

Цель работы - разработка подходов к расчету сейсмического волнового поля на каустике и в ее окрестности, в основе которых лежит учет старших производных эйконала и производных лучевой амплитуды. Это позволит проводить теоретический анализ волнового поля на каустиках разного типа и повысит эффективность математического моделирования волнового поля в присутствии каустик.

Научная задача — определение сейсмического волнового поля в окрестности каустик с использованием старших производных эйконала и производных лучевой амплитуды.

Фактический материал и методы исследования - теоретической основой решения поставленной задачи является теория асимптотических решений дифференциальных уравнений, развитая в работах В.П. Маслова, J.J. Duistermaat, L. Hormander. Методы практического расчета волнового поля на базе этой теории был сформулирован в работах Ю.А. Кравцова, Ю.И. Орлова, M.V. Berry, А.С. Крюковского, Д.С. Лукина, Е.А. Палкина и адаптирован к сейсмическим задачам A. Hanyga. Геометросейсмическое описание волнового поля строится во временной области с использованием метода разрывов, развитого С.В. Гольдиным. Вывод формул переходной асимптотики базируется на интегральном представлении Кирхгофовского типа для упругого волнового поля (через фундаментальный тензор Грина). При рассмотрении каустик используется их классификация, полученная в рамках теории катастроф (основополагающий вклад В.И.Арнольда и R. Thom). Основным методом исследования является математическое моделирование волнового поля в рамках геометрических асимптотик (построение интегральных формул, дающих равномерное описание поля в окрестности каустик; расчет параметров, входящих в интегральные формулы; анализ формул на каустиках разного типа; программная реализация подхода для математического моделирования волнового поля).

В качестве тестового материала были взяты 4 синтетические сейсмограммы общей точки взрыва (около 350 сейсмотрасс), посчитанные методом конечных разностей в ИГФ СО РАН В.А. Чевердой и Д.М. Вишневским. Сейсмограммы были рассчитаны для двумерной упругой среды (4 профиля наблюдений, пересекающих каустический клюв). Разработанные в рамках диссертации процедуры были использованы для построения синтетических сейсмограмм для той же модели с последующим сравнением.

Полученные соискателем формулы для продолжения производных эйконала и лучевой амплитуды вдоль луча и их программная реализация проверялись сравнением с точными решениями: сферическая волна в однородной среде и среде с постоянным градиентом скорости, отражение от параболической границы в однородной среде. Независимо полученные индексы фокусировки поля на каустиках разного типа совпадают с результатами В.И. Арнольда.

Защищаемые научные положения.

1. Анализ формул разрывного описания сейсмической волны на сложных каустиках (каустический клюв, ласточкин хвост, гиперболическая и эллиптическая омбилики) показал, что эффект деполяризации сейсмической волны на каустике заметно выше, чем в регулярных точках луча. В регулярных точках разница в порядке разрыва между основной и примесной компонентой вектора смещений составляет 1 (следующий член лучевого ряда). На каустике эта разница уменьшается и зависит от ее типа: 2/3 для эллиптической омбилики, 1/2 для клюва, 1/3 для простой каустики и гиперболической омбилики, 1/5 для каустики типа ласточкин хвост.

2. Производные эйконала и лучевой амплитуды, найденные для всех лучей, соединяющих источник с приемником, в освещенной области каустики (зона максимального покрытия лучами), могут быть использованы для экстраполяции волнового поля в зону тени каустики. В рассматриваемом приемнике можно построить аппроксимацию параметров равномерной асимптотики отрезком ряда Тейлора по координатам приемника (порядок аппроксимации соответствует порядку используемых производных эйконала и амплитуды) и использовать эту аппроксимацию для экстраполяции.

Новизиа работы. Личный вклад

1. Выведены интегральные формулы (переходная асимптотика), которые позволяют описать сейсмическое волновое поле на каустике, рассматривая только один луч, соединяющий источник с приемником. В основе подхода лежит идея локального построения интегрального представления Кирхгофовского типа в окрестности рассматриваемого луча (предложена С.В. Гольдиным). Формулы переходной асмиптотики сводятся к двойному интегралу от дельта-функции Дирака, причем подынтегральные функции аппроксимируются отрезком ряда Тейлора: старшие производные эйконала и производные лучевой амплитуды, продолженные вдоль рассматриваемого луча, позволяют учесть вклад соседних лучей в случае многолучевости.

2. С использованием формул интегрирования разрывных функций, выражения переходной асимптотики для точек непосредственно на каустике были проинтегрированы в явном виде. В результате получено описание разрывной (геометросейсмической) части волнового поля в виде ряда, составленного из разрывных функций с дробным нарастания порядка разрыва. Для точек на каустиках пяти типов (простая каустика, клюв, ласточкин хвост, гиперболическая и эллиптическая омбилики) получены:

- структура разрывного описания волнового поля в точке максимальной сингулярности, т.е. закономерность дробного нарастания порядка разрыва, которая зависит от типа каустики (простая каустика и клюв есть в раьботах R. Burridge и A. Hanyga);

- явные формулы для старших ненулевых членов разложения для всех компонент вектора смещений (параметры разрывных функций и амплитудные коэффициенты).

3. Для простых сред уравнения для продолжения старших производных эйконла и лучевой амплитуды (впервые выведены НЛ. Кирпичниковой) • были проинтегрированы и получен ряд новых аналитических формул для продолжения вдоль луча:

- производных эйконала порядка 3 и 4 в однородной среде;

- производных лучевой амплитуды порядка 1 и 2 в однородной среде;

- производных эйконала порядка 3 в среде с постоянным градиентом скорости.

4. При рассмотрении отражения целевой волны (нулевого члена лучевого ряда) в точке падения луча на границу и некоторой ее окрестности, были получены формулы пересчета производных лучевой амплитуды через границу в ходе отражения волны (в формулы входят производные от функции, описывающей границу, и производные от коэффициента отражения для плоских волн).

5. Разработаны и программно реализованы в системе Mathematica процедуры математического моделирования волнового поля:

- на каустике и в малой ее окрестности методом переходной асимптотики (продолжение старших производных эйконала и амплитуды вдоль луча в блочно-однородной среде; построение локального варианта интегрального представления в окрестности этого луча; вычисление интеграла и построение синтетических сейсмограмм);

- на каустике и в зоне тени с использованием экстраполяции волнового поля (при условии, что все лучи найдены и проведено распознавание каустик). Процедура включает расчет синтетических сейсмограмм в освещенной зоне методом глобальной асимптотики, продолжение третьих производных эйконала и первых производных лучевой амплитуды вдоль некоторых лучей, построение отрезка ряда Тейлора и экстраполяция параметров равномерной асимптотики в зону тени, вычисление интегральных формул равномерной асимптотики и построение синтетических сейсмограмм.

Научная значимость. Исследования выполнялись по плану НИР Института геофизики СО РАН (программа 01200101571 в 2001-2003 гг.; 0120.0 407249 в 2004 г.) и в рамках проектов INTAS (INTAS-RFBR-95-0763; YSF99-0211, руководитель), CRDF (RG1-2362-NO-02), РФФИ (96-15-98538, 99-0564425, 01-05-64812), Минобразования РФ (Е00-8.0.-27; УР.09.01.010; Е02-9.0.-13).

Формулы переходной асимптотики имеют теоретическое значения и позволяют понять изменения, происходящие при прохождении волной каустики. Так,^ изменение структуры разрывной (геометросейсмической) части волнового поля на каустике контролирует степень фокусировки волнового поля. Анализ деполяризации сейсмической волны на каустиках разного типа важен, так как позволяет понять, как могут проявляться эти каустики при использовании трехкомпонентных систем наблюдений.

Процедура экстраполяции волнового поля в зону тени может быть использована в программах лучевого моделирования сейсмического волнового поля. Она может быть легко встроена в существующие пакеты, так как целиком основывается на результатах стандартных процедур динамического лучевого трассирования. Процедура не требует комплексного лучевого трассирования и, следовательно, может использоваться для сложных реалистичных моделей сред. Это позволит корректно моделировать динамику целевых волн в таких важных задачах, как изучение отклика от локальных структур в сложной модели и Кирхгофовская миграция в истинных амплитудах (в присутствии каустик).

Апробация. Основные результаты диссертации отражены в 15 публикациях и докладывались на 9 международных и 9 всероссийских конференциях. Международные: Международная конференция «Обратные проблемы математической физики» (Новосибирск, 1998), Международный семинар «День дифракции» (С.-Петербург, 1999, 2000, 2002), Международная конференция и выставка SEG (США, Хьюстон, 1999), Международная конференция по математическим и численным аспектам распространения волн (Испания, Сантьяго де Кампастелла, 2000), Симпозиум IUTAM «Дифракция и рассеяние в гидродинамике и упругости» (Великобритания, Манчестер, 2000), Международная конференция и выставка EAGE (Италия, Флоренция, 2002; Франция, Париж, 2004). Всероссийские: Четвертый сибирский конгресс по прикладной математике, посвященный памяти М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000); Международная конференция молодых ученых, специалистов и студентов «Геофизика» (Новосибирск, 2001; С.-Петербург, 1997, 2003); Вторая Всероссийская конференция «Геофизика и математика» (Пермь, 2001); XII Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн (Москва, 2001); III и V Уральская молодежная научная школа по геофизике (Екатеринбург, 2002, 2004); IV Международная конференция «Проблемы геокосмоса» (С.-Петербург, 2002);

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Общий объем диссертации составляет 144 страницы, включая 35 рисунков.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Дучков, Антон Альбертович

Выводы

Сравнение разных методов математического моделирования волнового поля с методом конечных разностей (FD) позволяет сделать несколько выводов.

Предложенный в разделе 3.3 метод позволяет экстраполировать волновое поле из приемника в освещенной зоне каустики в зону полутени. Экстраполяция может проводиться с учетом вторых и третьих производных эйконала (ЕХ2 по формуле (3.3-16) и ЕХ2 по формуле (3.3-18)). Сравнение с методом конечных разностей показало, что:

• высокая точность описания сохраняется на больших расстояниях (в некоторых случаях до 1 км);

• оба варианта экстраполяции (ЕХ2 и ЕХЗ) хорошо описывают каустическое волновое поле в зоне тени простой каустики, т.е. на концах петли (экстраполяция лучше всего работает для волнового поля, «затекающего» из освещенной зоны каустики в тень);

• оба варианта экстраполяции (ЕХ2 и ЕХЗ) хорошо описывают вертикальную компоненту отраженной РР-волны (изменения интенсивности и поляризации сигнала вызваны только присутствием каустики);

• экстраполяция ЕХ2 плохо работает для отраженной Р£-волны (изменения интенсивности и поляризации сигнала вызваны не только присутствием каустики, но вариациями коэффициента отражения;

• экстраполяция ЕХЗ позволяет хорошо описывать волновое поле для всех компонент РР- и /W-волн в зоне влияния каустики и переходить к стандартному лучевому описанию в области регулярности.

Формулы переходной асимптотики из раздела 2.2 (TRA) позволяют моделировать волновое поле в малой окрестности каустики. При удалении от каустики ошибка возрастает.

1 1.5 2 2 5 х, км 5 1 1 5 2 2 5 х. км

Рис. 3.4-7. Модельные сейсмограммы для профиля I (Рис. 3.4-1), вертикальная компонента.

FD

ЕХЗ

FD EX2

FD RAY экстраполяция на 1 км

Рис. 3.4-8. Экстраполяция волнового поля на расстояние 1 км. а) - сейсмограмма для профиля I (то же, что Рис. 3.4-7, FD) и направление экстраполяции волнового поля (стрелка); б),в),г) - увеличенная крайняя правая трасса с панели а), посчитанная разными методами; овал -волновое поле в зоне тени каустики ю 4

1 1.5 2 2.5 х, км 1 1.5 2 2.5 х. км

Рис. 3.4-9. Модельные сейсмограммы для профиля 2 (Рис. 3.4-1). FD - конечные разности; ЕХ2 - метод экстраполяции (учет вторых производных эйконала); стрелки - направление эктраполяции (из приемников, обозначенных кругами); х - горизонтальная компонента; z - вертикальная компонента.

1 1.5 2 2.5 х. км 1 1-5 2 2.5 км

Рис. 3,4-10. Модельные сейсмограммы для профиля 2 (Рис. 3.4-1). FD - конечные разности; ЕХЗ - метод экстраполяции (учет третьих производных эйконала); стрелки - направление эктраполяции (из приемников, обозначенных кругами); х - горизонтальная компонента; z- вертикальная компонента.

1 1.5 2 2.5 х. км

Рис. 3.4-11. Экстраполяция волнового поля для профиля 2 (х- и z-компоненты). а) - сейсмограмма (то же, что на Рис. 3,4-9), стрелка - направление экстраполяции (из приемника, обозначенного кругом); б) и в) -увеличенная крайняя левая трасса (пунктир на панели а), посчитанная разными методами.

1 1 5 2 2.5 х. км

Рис. 3.4-12. Экстраполяция волнового поля для профиля 2 (х- и z-компоненты). а) - сейсмограмма (то же, что на Рис. 3.4-9), стрелка - направление экстраполяции {из приемника, обозначенного кругом); б), в) и г) -увеличенная трасса (пунктир на панели а), посчитанная разными методами.

I. .:

1 1.5 2 2.5 x, км

Рис. 3.4-13. Модельные сейсмограммы для профиля 3 (Рис. 3.4-1), вертикальная компонента. FD - конечные разности; ЕХ2 и ЕХЗ - метод экстраполяции; стрелки - направление эктраполяции (из центра профиля).

1 1.5 2 2.5 х, км

Рис. 3.4-14, Сейсмограммы для профиля 3 (Рис. 3.4-1), х-компонента увеличена в 2 раза относительно z-компоненты на Рис. 3.4-13. стрелки - направление эктраполяции (из центра профиля).

2 2.25 2.5 х, км

Рис. 3.4-15. Сейсмограммы для профиля 4 (Рис. 3.4-1), х- и z компоненты. Сравнение метода конечных разностей (FD) и стандартного лучевого метода (RAY). FD

RAY

FD

TRA Ш о к e ф

Cl m

Si

О) U К ф Q. 00

2.15

2.17

2.19 х, км о; Ш ф о. со

У) о х ф и к ш

Q. со

2.15

2.17

2 19

X, км

Рис. 3.4-16. Некоторые трассы для профиля 4 (Рис. 3.4-1), х - и z-компоненты. FD - конечные разности, RAY - стандартный лучевой метод, TRA - переходная асимптотика.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Преимущества. В рамках предложенного соискателем метода переходной асимптотики рассмотрение динамики сейсмической волны ведется вдоль одного выбранного луча. В отличие от методов глобальной асимптотики в этом случае отпадает необходимость находить все лучи, приходящие в точку расчета поля (вклад остальных лучей аппроксимируется старшими производными эйконала, продолженными вдоль одного луча). Необходимость продолжать старшие производные эйконала накладывает жесткие требования на гладкость модели среды, так что становится трудно применять его для сложных реалистичных моделей сред. В этом смысле переходная асимптотика рассматривается более как средство теоретического анализа, чем практических расчетов. В отличие от универсальных численных методов она дает явные формулы, описывающие волновое поле на каустиках разного типа в рамках геометрических асимптотик. Далее появляется возможность сравнивать структуру этого описания для разных каустик, проводить теоретический анализ деполяризиции волны и т.д.

Для целей математического моделирования волнового поля формулы переходной асимптотики могут применяться для простых моделей. Подход работает на каустике и в малой ее окрестности, но автоматически не переходит в стандартное лучевое представление вдали от нее. То есть подход не является универсальным, но дает преимущества в некоторых ситуациях: когда петли на годографе отраженной волны очень малы по сравнению с периодом сигнала (именно в этом случае легко пропустить часть лучей при трассировании), либо петля еще вообще не зародилась, но оказывает искажающее влияние на динамику волны (соответствует зоне тени каустики, которая не вышла на поверхность наблюдений).

Предложенный соискателем метод экстраполяции волнового поля из освещенной области в зону тени каустики является развитием методов глобальной асимптотики (ГА), локальной асимптотики (ЛА), интерполяционной локальной асимптотики (ИЛА) (см. работы А.С. Крюковского, Д.С. Лукина, Е.А. Палкина) и позволяет более эффективно использовать информацию о производных эйконала и лучевой амплитуды.

По сравнению с методом ГА он не требует комплексного лучевого трассирования и непосредственного расчета поля для точек на каустике. Проведение комплексных лучей не входит в стандартные процедуры и требует аналитического продолжения модели в комплексную область, что весьма затруднительно для сложных моделей упругих сред. По сравнению с методом JIA он не требует специального поиска центра каустики и использует производные эйконала меньшего порядка. В простейшей реализации он не требует дополнительных вычислений, кроме динамического лучевого трассирования (расчет вторых производных эйконала), а в методе ДА требуемый порядок производных оказывается выше и зависит от типа каустики [Крюковский, 1996]. По сравнению с методом ИЛА он наоборот эффективно использует 1-е и 2-е производные эйконала, которые все равно считаются в ходе определения лучевых амплитуд.

Рекомендации. В оптике каустики принято ассоциировать с резким увеличением интенсивности волнового поля. Для сейсмических каустик ситуация иная (в силу относительной низкочастотности сейсмического сигнала). Ширина каустической зоны составляет более 100 м, причем в этой зоне амплитуда сейсмического сигнала на каустике возрастает незначительно (обычно менее, чем в 2 раза), но заметно меняется форма сигнала. Поэтому каустики трудно распознаются, но негативно влияют на все виды динамического анализа (AVO-анализ, поляризационный анализ и т.д.). При лучевом моделировании основной проблемой является не бесконечные лучевые амплитуды, а сама возможность выделить в волновом поле окрестность каустики, где следует отказаться от стандартного лучевого представления и перейти к равномерным асимптотикам. По этой же причине следует отслеживать применимость лучевого метода для регулярных точек: нулевой член ряда намного больше последующих. Продолжение старших производных эйконала вдоль луча и их сравнение со вторыми производными позволит решать обе эти задачи.

Вообще процедура математического моделирования волнового поля с использованием полученных соискателем результатов видится следующим образом:

• проведение лучевого трассирования;

• анализ семейства лучей и поля времен целевой отраженной волны для выделения характерных черт каустик разного типа;

• для приемников в нерегулярной области расчет синтетических сейсмограмм, с применением метода глобальной асимптотики в освещенной области и метода экстраполяции для зоны тени;

• для приемников в регулярной области (по результатам анализа) проведение динамического лучевого трассирования и продолжение третьих производных эйконала для подтверждения их регулярности (третьи производные эйконала меньше вторых);

• если точка окажется нерегулярной (третьи производные эйконала больше вторых), то расчет синтетических сейсмограмм методом переходной асимптотики;

Направление работ на будущее. Соискателю видится необходимость в продолжении исследований с целью создания новых подходов к решению двухточечной задачи лучевого трассирования в сложных трехмерных моделях сред в условиях многолучевости. Так, методы пристрелки были направлены на решение двухточечной задачи при минимальном количестве проведенных лучей, т.е. приоритетным требованием являлась экономия машинного времени. При этом удается эффективно решать локальную задачу: найти луч, ближайший к начальному приближению. Заметное увеличение мощности компьютеров позволяет выдвинуть новый приоритет. Необходимо детально строить все семейство лучей и проводить анализ его топологии. Это может оказаться достаточно громоздким с вычислительной точки зрения, но позволит более надежно находить все лучи, соединяющие источник с приемником, одновременно решая задачу классификации ветвей непрерывности поля времен целевой волны, а также проводить распознавание каустик разного типа.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Дучков, Антон Альбертович, Новосибирск

1. Авдеев В.Б., Демин А.В., Кравцов Ю.А., ТининМ.В., Ярыгин А.П. Метод интерференционных интегралов (Обзор) // Изв. вузов. Радиофизика, 1988, т. 31, № 11, с. 1279-1294.

2. Аки К., Ричарде П., Количественная сейсмология // М.: Мир, 1983, 350 е.

3. Алексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. // Вопросы динамической теории распространения волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961, вып. 5, с. 3-25.

4. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. «Нелучевые эффекты» в теории распространения сейсмических волн // Докл. АН СССР, 1982, т. 267, №5, с. 1079-1083.

5. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996, 333 с.

6. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Докл. АН СССР, 1956, № 3, с. 355-357.

7. Бабич В.М. Распространение нестационарных волн и каустики // Уч. зап. ЛГУ, Сер. Мат., 1958, № 246, вып. 32, с. 228-260.

8. Бабич В.М., а, О сходимости рядов лучевого метода вычисленияинтенсивности волновых фронтов // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961, вып. 5, с. 25-35.

9. Бабич В.М., б, Аналитическое продолжение решений волнового уравнения в комплексную область и каустики // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961, вып. 5, с. 145-152.

10. Ю.БабичВ.М., Алексеев А.С. О лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов // Изв. АН СССР, Сер. геофиз., 1958, № 1, с. 9-15.

11. Бабич В.М., БулдыревВ.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 455 с.

12. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Методы пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974, 120 с.

13. Бабич В.М., Попов М.М. Метод суммирования гауссовых пучков (Обзор) //

14. Изв. Вузов. Радиофизика, 1989, т. 32, № 12, с. 1447-1466.

15. М.Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981, 512 с.

16. Гаврилов А.В., Киселев А.П. Влияние неоднородности среды и направленности источника на поляризацию упругих Р-волн // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1986, №6, с. 84-86.

17. Газарян Ю.Л. О геометро-акутическом приближении поля в окрестности неособого участка каустики // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. JL: Изд-во ЛГУ, 1961, вып. 5, с. 73-87.

18. Гальперин Е.И. Поляризационный метод сейсмических исследований. М.: Недра, 1977,280 с.

19. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Гостехиздат, 1959. 439 с.

20. Голь дин С.В. Физический анализ дополнительной компоненты сейсмических волн в первом приближении лучевого ряда // Геология и геофизика, 1989, № 6, с. 128-132.

21. Гольдин С.В. Преобразование и восстановление разрывов в задачах томографического типа. Новосибирск: ИГиГ СО АН СССР, 1988, 100 с.

22. Гольдин С.В. Метод разрывов в задачах геофизики и томографии // Докл. АН СССР, 1989, т. 308, № 4, с. 824-827.

23. Гольдин С.В., АшкаринН.И. Лучевой анализ сейсмических волн в модельных ситуациях // Методы расчета и интерпретации сейсмических волновых полей. Новосибирск: Наука, 1991, с. 95-125.

24. Гольдин С.В., Дучков А.А. Интегральные представления в геометрической сейсмике // Геология и геофизика. 2000, Том 41, № 1, с. 142-158.

25. Гольдин С.В., Дучков А.А. Сейсмическое волновое поле вблизи каустик: анализ во временной области // Физика Земли, 2002, № 7, с. 56-66.

26. Гольдин С.В., Курдюкова Т.В. К расчету примесных компонент объемных сейсмических волн. //Геология и геофизика, 1994, № 5, с. 56-67.

27. Гурвич И.И., БоганикГ.Н. Сейсмическая разведка: учебник для вузов, М.: Недра, 1980, 551 с.

28. Гурьянов В.М., Карева О.В. Алгоритм вычисления двух лучевых приближений решения смешанной задачи для уравнения Ламе. // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.:Наука, 1986, вып.25, с. 149-168.

29. Дучков А.А. Интегральное представление первого приближения лучевого ряда // Студент и научно-технический прогресс (геофизика): Докл. XXXV Межд. науч. студ. конф., Новосибирск, 1997, с. 7-14.

30. Дучков А.А. Волновое поле вблизи каустики: асимптотика во временной области // Геофизический вестник, 2001, № 9, с. 5-8.

31. Дучков А.А. Продолжение высших производных эйконала вдоль луча // Доклады III Уральской молодежной научной школы по геофизике, Екатеринбург, 2002, с. 33-36.

32. Дучков А.А. Метод экстраполяции для описания волнового поля в зоне тени каустики // V Уральская молодежная научная школа по геофизике: Тр. конф., Екатеринбург, 2004, с. 31-34.

33. Карепов С.Л., Крюковский А.С. Расчет волнового поля методом интерполяции локальной асимптотики // Радиотехника и электроника, 2001, т. 46, № 1, с. 4046.

34. Кирпичникова Н.Я. О вычислении второго члена лучевого ряда для вектора продольных смещений в неоднородной изотропной упругой среде // Зап. научн. сем. ПОМИ, 1994, т. 218, с. 25-43.

35. КирпичниковаН.Я., Попов М.М. Вычисление второго члена лучевого ряда в квазидвумерном случае // Зап. научн. сем. ПОМИ, 1994, т. 210, с. 94-107.

36. Кирпичникова Н.Я., Попов М.М., Пшенчик И. Алгоритм вычисления второго члена лучевого ряда в неоднородной изотропной упругой среде // Зап. научн. сем. ПОМИ, 1994, т. 210, с. 73-93.

37. Киселев А.П. Примесные компоненты упругих волн // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1983, №9, с. 51-61.

38. Киселев А.П., Рослов Ю.В. Использование примесных компонент при численном моделировании аномалий поляризации объемных упругих волн // Геология и геофизика, 1991, т. 32, №4, с. 105-114.

39. Киселев А.П., Яровой Ю.В., Всемирнова Е.А. Аномалии поляризации упругих волн. Каустика и полутень // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2003, т. 297, с. 136-152.

40. Киселев Ю.В., Каштан Б.М. Эталонные задачи для простейших кусочно-однородных упругих сред с плоско-параллельными границами раздела. // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1987, вып. 27, с. 98-116.

41. Клем-Мусатов К.Д. Теория краевых волн и ее применение в сейсмике // Труды ИГиГ СО АН СССР, Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1980. № 355, 296 с.

42. Кравцов Ю.А. Об одной модификации метода геометрической оптики // Изв. вузов. Радиофизика, 1964, т. 7, № 4, с. 664-673.

43. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И., а, Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980, 304 с.

44. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И., б, Границы применимости метода геометрической оптики и смежные вопросы // УФН, 1980, т. 132, вып. 3, с. 475-496.

45. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И., Каустики, катастрофы и волновые поля // УФН, 1983, т. 141, вып. 4, с. 591-627.

46. Крюковский А.С., Локальные равномерные асимптотики волновых полей в окрестности основных и краевых каспоидных каустик // Радиотехника и электроника, 1996, т. 41, № 1, с. 59-65.

47. Крюковский А.С., Лукин Д.С., К вопросу о поле в окрестности каустического острия в ионосферном плазменном слое // Радиотехника и электроника, 1981, т. 26, №6, с. 1121-1126.

48. Крюковский А.С., Лукин Д.С., ПалкинЕ.А., а, Равномерные асимптотики интегралов от быстро осциллирующих функций с вырожденными седловыми точками. Препринт, М.: ИРЭ АН СССР, 1984, № 41 (413), 75 с.

49. Крюковский А.С., Лукин Д.С., ПалкинЕ.А., б, Специальные функции волновых катастроф. Препринт, М.: ИРЭ АН СССР, 1984, № 43 (415), 75 с.

50. КрюковскийА.С., ЛукинД.С., ПалкинЕ.А., Сопоставление интегральных решений асимптотических методов // Лекции X школы-семинара по дифракции и распространению волн, Москва: МФТИ, 1993, 112 с.

51. Левин M.JI., Рытов С.М. О переходе к геометрическому приближению в теории упругости // Акуст. ж., 1956, вып. 2, с. 173-176.

52. Маслов В.П., ФедорюкМ.В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.

53. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, 872 с.

54. Огурцов К.И., Успенский И.Н., Ермилова Н.И., Некоторые количественные исследования по распределению волн в простейших упругих средах // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Гостоптехиздат, 1957, вып. 1, с. 296-366.

55. Петрашень Г.И., Кучер В.И., Каштан Б.М. К вычислению составляющих 1-го приближения лучевого метода в случае изотропных произвольно-упругих сред // Препринт. Л.: ЛОМИ, № Р-6-88, 1988.

56. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., КрауклисП.В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах // 1982, М.: Наука, 288 с.

57. Попов М.М. Новый метод расчета волновых полей в высокочастотном прибижении // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1981, т. 104, с. 195-216.

58. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.:Наука,1986, 328 с.

59. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.:Мир, 1980, 606 с.

60. Рослов Ю.В., Яновская Т.Б. Оценка вклада первого приближения в поле волн, отраженных от свободной границы // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1987, вып. 27, с. 117-133.

61. Самко С.Г., КилбасА.А., МаричевО.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987, 688 с.

62. Терентьева Е.Б. Оценка погрешностей лучевого метода при расчете синтетических сейсмограмм в условиях морской сейсморазведки // Вестн. Моск. ун-та, 2001, сер. 4. Геология, № 4, с. 69-71.

63. Филиппов А.Ф. О приближенном вычислении отраженных волн // Изв. АН СССР. Геофиз, 1957, № 7, с. 841-857.

64. Яновская Т.Б., Рослов Ю.В. Вклад первого лучевого приближения в поле волн, отраженных от свободной границы однородного полупространства // Вестн.

65. Ленингр. ун-та, сер. физ.-хим, 1987, № 2, с. 66-72.

66. ЯнсонЗ.А. Асимптотика решения уравнения Гельмгольца в области каустической тени. I // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1983, т. 128, вып. 13, с. 172-185.

67. Asatryan A.A., Kravtsov Yu.A. Fresnel zones of hyperbolic type from the physical point of view // Wave Motion, 1988, v. 10, № 1, pp. 45-57.

68. Babich V.M., Kiselev A.P. Non-geometrical waves are there any? An asymptotic description of some "nongeometrical" phenomena in seismic wave propagation // Geophys. J. Int., 1989, м. 99, № 2, pp. 412-420.

69. Berry M.V. Waves and Thorn's theorem // Advances in Physics, 1976, № 1, pp. 1-26.

70. Buchal R., Keller J.B. Boundary layer problems in diffraction theory // Comm. Pure Appl. Math., v. 13, 1960, pp. 85-144.

71. Burridge R. Asymptotic evaluation of integrals related to time-domain fields near caustics // SIAM J. Appl. Math., 1995, v, 55, № 2, pp. 390-409.

72. Chapman C.J. Time-domain asymptotics and the method of stationary phase // Proc. R. Soc. Lond., 1992, v. A 437. pp. 25-40.

73. Chapman C.H. Ray theory and its extensions: WKBJ and Maslov seismograms // J. Geophys., 1985, v. 58, pp. 27-43.

74. Chapman S.J., LawryJ.M.H., Ockendon J.R., TewR.H. On the theory of complex rays // SIAM Review, 1999, v. 41, pp. 417-509.

75. Cerveny V. Gaussian beam synthetic seismograms // J. Geophys., 1985, v. 58, pp. 44-72.

76. Cerveny V. Seismic ray theory. Cambridge University Press, 2001, 713 p.

77. Cerveny V., Hron F. The ray series method and dynamic ray tracing system for three-dimensional inhomogeneous media // Bull. Seismol. Soc. Amer., 1980, v. 70, pp. 4777.

78. Cerveny V., Molotkov I.A., Psencik I. Ray Method in Seismology. Praha: Universita Karlova, 1977,214 р.

79. Connor J.N.L. Catastrophes and molecular collisions // Molec. Phys., 1976, v. 31, № 1, pp. 33-55.

80. Connor J.N.L., Farrelly D. Theory of cusped rainbows in elastic scattering: Uniformsemiclassical calculations using Pearcey's integral // J. Chem. Phys., 1981, v. 75, № 6, pp. 2831-2846.

81. Duchkov A.A. Seismic wavefield in caustic shadow // Extended Abstracts, 66th EAGE Conference and Technical Exhibition, Paris, France, 2004, P 181.

82. Duchkov A.A., Goldin S.V. Seismic wave field dynamics in the vicinity of a caustic. // Proceedings of the Fifth International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Santiago de Compostella, Spain, 2000, pp. 959-963.

83. Duchkov A.A., Goldin S.V. Analysis of seismic wave dynamics by means of integral representation and method of discontinuities // Geophysics, 2001, v. 66, № 2, pp. 413-418.

84. Duchkov A.A., Goldin S.V. Time-domain ray asymptotic near singularities -illustration for a caustic cusp // 64th EAGE Conference and Technical Exhibition: Extended Abstracts, Florence, Italy, 2002, v. 2, P 105.

85. Duistermaat J.J. Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of singularities // Commun. Pure Appl. Math., 1974, v. 27, pp. 207-281.

86. Foreman T.L. An exact theoretical formulation of the Helmholtz equation // J. Acoust. Soc. Am., 1989, v. 86, № 1, pp. 234-246.

87. Frazer L.N., GettrustJ.F. On generalization of Filon's method and the computation of the oscillatory integrals of seismology// Geophys. J. R. astr. Soc., 1984, v. 76, pp. 416-481.

88. Frazer L.N., SenM.K. Kirchhoff-Helmholtz reflection seismograms in a laterally inhomogeneous multi-layered elastic medium I. Theory // Geophys. J. R. astr. Soc., 1985, v. 80, pp. 121-147.

89. Frazer L.N., Sinton J.B. A Kirchhoff method for the computation of finite-frequency body wave synthetic seismograms in laterally inhomogeneous media // Geophys. J. R. astr. Soc., 1984, v. 78, pp. 413-429.

90. Goldin, S.V. Seismic traveltime inversion, Ser.: Investigations in Geophysics, Tulsa: Society of Exploration Geophysicists, 1986, 360 p.

91. Goldin S.V. Geometric Fundamentals of Seismic Imaging: A Geometric Theory of the Upper Level // Amplitude-preserving seismic reflection imaging: Proc. of the Workshop, London: Geopysical Press, 1998, p. 45-71.

92. Goldin S.V., Duchkov A.A. Method of discontinuities and integral representation in the analysis of wave field dynamics // Day on Diffraction'99: Proc. of the Int. seminar, St.-Petersburg, Russia, 1999, pp. 32-39.

93. Goldin S.V., Duchkov A.A. Seismic wave field in the vicinity of caustics and the higher-order travel time derivatives // Stud. Geophys. Geod., 2003, v. 47, № 3, pp.Щ521.544.

94. Haddon R.A.W., Buchen P.W. Use of Kirchhoffs formula for body wave calculations in the Earth // Geophys. J. R. astr. Soc., 1981, v. 67, pp. 587-598.

95. Hanyga A. Asymptotic Diffraction Theory and its Application to Ray Tracing // Seismo-Ser., Bergen: Seismol. Obsv., 1988, v. 26.

96. Geophysical Prospecting, 1995, v. 43, pp. 51-75.

97. Hanyga A. and Seredynska M. Diffraction of pulses in the vicinity of simple caustics and caustic cusps//Wave Motion, 1991, v. 14, pp. 101-121.

98. Hormander L. The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1985, v. IV.

99. Karal F.C., Keller J.B. Elastic wave propagation in homogeneous and inhomogeneous media // J. Acoust. Soc. Am., 1959, v. 31, pp. 694-705.

100. Kennett B.L.N., Reflection operator methods for elastic waves I irregular ^ interfaces and regions // Wave Motion, 1984, v. 6, pp. 407-417.

101. Kiselev A.P., Tsvankin I.D. A method of comparison of exact and asymptotic wave field computations // Geophys. J. 1989, v. 96, № 2, pp. 253-258.

102. Klem-Musatov K.D., Aizenberg A.M., Helle H.B., Pajchel J. Reflection and transmission at curvilinear interface in terms of surface integrals // Wave Motion, 2004, v. 39, pp. 77-92.

103. Klimes L. The relation between Gaussian beams and Maslov asymptotic theory // Stud. Geophys. Geod., 1984, v. 28, pp. 237-247.

104. Klimes L. Second-order and higher-order perturbations of travel time in isotropic and anisotropic media // Stud. Geophys. Geod., 2002, v. 46, pp. 213-248.

105. Kravtsov Yu.A., Orlov Yu.I. Caustics, Catastrophes and Wave Fields. Springer-Verlag, Berlin, 1993, 210 p.

106. Ludwig D. Uniform asymptotic expansions at a caustic // Comm. Pure Appl. Math., 1966, v. 19, pp. 215-250.

107. Popov M.M., Camerlynck C. Second term of the ray series and validity of the ray theory. // Journal of Geophysical Research, 1996, v. 101, № Bl, pp. 817-826.

108. Popov M.M., Oliveira S. Some limitations for the applicability of the ray method in elastodynamics // Brazilian Journal of Geophysics, 1997, v. 15, 1993, pp. 225-235.

109. Popov M.M., Psencikl. Computation of ray amplitudes in laterally inhomogeneous media with curved interfaces. // Stud. Geophys. Geod., 1978, v. 22, pp. 248-258.

110. Prentice P.R. Time-domain asymptotics. I General theory for double integrals // Proc. R. Soc. bond., 1994, A 446, pp. 341-360.

111. Sen M.K., Frazer L.N. Kirchhoff-Helmholtz reflection seismograms in a laterally inhomogeneous multi-layered elastic medium II. Computations // Geophys. J. R. astr. Soc., 1985, v. 82, pp. 415-437.

112. Sen M.K., Frazer L.N. Multifold phase space path integral synthetic seismograms // Geophys. J. Int., 1991, v. 104, pp. 479-487.