Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Оптимизация расчётов сейсмических волновых полей методом суммирования гауссовых пучков

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Оптимизация расчётов сейсмических волновых полей методом суммирования гауссовых пучков"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГЕЙЕР Михаил Александрович

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСЧЁТОВ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ

Специальность: 25.00.10 - ГЕОФИЗИКА, ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКОВ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2011

1 9 МАЙ 2011

4846721

Работа выполнена на кафедре физики Земли Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Яновская Татьяна Борисовна, заведующая лабораторией сейсмологии кафедры физики Земли физического факультета СПбГУ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Киселёв Алексей Прохорович, ведущий научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН

кандидат физико-математических наук, Рослов Юрий Викторович, директор по геофизике ООО «Сейсмо-Шельф».

Ведущая организация: институт физики Земли Российской Академии

Наук им. О.Ю. Шмидта, г. Москва

Защита состоится «2 ъ^НУ-ЬР 2011 г. в "часов на заседании совета Д.212.232.19 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д.7/9, Геологический факультет (здание бывшего НИФИ), ауд.347.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ по тому же адресу. Автореферат разослан

«» а-икллЛ 2011 г.

Учёный секретарь *

диссертационного совета, к.г.-м.н. М- П. Кашкевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Большинство задач современной сейсмологии в той или иной степени связано с расчётами высокочастотных полей сейсмических волн в сложных моделях реальных сред. Это и обратные задачи по оценке свойств среды по данным объёмных и поверхностных волн, и прямые задачи по оценкам рисков сейсмической опасности на основе расчётов синтетических акселерограмм и параметров очагов землетрясений по спектрам поверхностных волн, а также имеющая огромное практическое значение задача прогноза высоты волн цунами в океане в зависимости от глубины бассейна. Существующие методы расчёта волновых полей, используемые в тех или иных задачах, либо основываются на крайне упрощённых предположениях о строении среды и даже на использовании простейших полуэмпирических формул, либо используют для расчётов методы, требующие чрезвычайно больших вычислительных ресурсов (метод конечных разностей и метод конечных элементов [Стренг 1977]), либо используют приближённые методы, которые характеризуются ограниченной областью применимости (лучевой метод [Бабич 1956], неприменимый в областях нерегулярности лучей, или метод суммирования нормальных мод [Panza 1985], неприменимый в случае горизонтальных вариаций структуры среды). В то же время существует в достаточной мере универсальный метод суммирования гауссовых пучков (МСГП) [Попов 1981], который свободен от перечисленных недостатков. Данный метод хотя и получил широкое распространение в некоторых специальных задачах сейсморазведки, однако в практических задачах сейсмологии применяется редко. Последнее объясняется тем, что для корректного применения этого метода необходимо оптимальным образом задавать начальные параметры гауссовых пучков (ГП). Естественно предположить, что в разных задачах, эти параметры следует выбирать по-

разному. Именно данная трудность МСГП и объясняет тот факт, что в вычислительной сейсмологии для расчётов волновых полей до сих пор выбирают такие менее универсальные, но более прозрачные с точки зрения практической реализации методы как лучевой метод и метод суммирования нормальных мод. В то же время МСГП при адекватном выборе начальных параметров мог бы использоваться в разнообразных задачах сейсмологии, требующих расчётов волнового поля в неоднородных (как по вертикали, так и по горизонтали) средах. Поэтому задача выбора оптимальных начальных параметров ГП, определяющих универсальным образом их эффективную ширину, представляется весьма актуальной в современной сейсмологии.

Цель и задачи работы

Целью выполнения данной работы являлось создание комплекса алгоритмов и вычислительных программ на основе МСГП для расчётов синтетических сейсмограмм в 2Т) и ЗБ моделях реальной Земли. Для достижения этой цели решались следующие задачи:

1. Разработка оптимизированной методики выбора начальных параметров, определяющих ГП любой заранее заданной ширины ослабления /.,, и, одновременно, имеющих минимальные осцилляции для выбранной ширины. Методика должна быть применима для произвольных сложнопостроенных 20/3 Э сред (включая гладкие границы раздела).

2. Разработка вычислительной процедуры, учитывающей взаимосвязь между числом суммируемых ГП, их шириной, параметрами среды и волнового поля и гарантирующей получение точных и устойчивых результатов вычисления волнового поля в любых сложнопостроенных 20/30 средах.

3. Создание универсального алгоритма расчёта волновых полей, на основе процедуры п.2, и его реализация в виде вычислительной программы.

4. Верификация результатов расчётов волновых полей для некоторых

моделей сред путём их сравнения с результатами, полученными независимо другими авторами. 5. Численное моделирование волновых полей на примерах некоторых задач сейсмологии, иллюстрирующих широкий спектр потенциальных возможностей оптимизированного МСГП.

Экспериментальный материал

В качестве исходных данных использовались материалы реального глубинного строения Земли и соответствующие им результаты расчётов ускорения почвы [Romanelli et al. 2010], данные глобальной батиметрии Тихого океана [ЕТ0Р05], данные о строении верхней мантии Земли на основе PREM.

Научная новизна

Разработана оригинальная формализированная методика построения ГП любой заранее заданной эффективной ширины ослабления и одновременно, имеющей минимальную кривизну фазового фронта. Представлено её математическое обоснование и даны точные формулы для построения таких пучков как в двухмерных, так и в трёхмерных случаях.

Показано, что данная методика построения таких ГП работает, в том числе и для сложных неоднородных сред и позволяет автоматически фиксировать/контролировать ширину ослабления пучка на протяжении всего его времени распространения.

Предложена оптимизационная вычислительная процедура МСГП, гарантирующая получение в сложных неоднородных средах устойчивых результатов требуемой точности, что делает данный метод по-настоящему универсальным.

Практическая значимость

Предложенная оптимизационная процедура МСГП проста для реализации,

надёжна и в то же время позволяет существенно сократить время вычисления волнового поля. Это достигается за счёт использования ГП фиксированной ширины (/,„) и минимальной кривизны фазового фронта, что даёт нам возможность предварительного расчёта необходимого числа лучей, которыми должна быть покрыта рабочая область (31„) точки наблюдения, для вычисления интеграла суммы ГП требуемой точности.

Описанный механизм, вместе с тем обстоятельством, что алгоритм вычисления волнового поля не изменяется при наличии каустик или зон критического отражения, делает МСГП чрезвычайно надёжным и удобным механизмом для расчёта синтетических сейсмограмм в моделях реальных сред Земли, имеющих сложную структуру.

Защищаемые положения

1) Для любых сложных сред эффективная ширина ослабления ГП, распространяющегося вдоль центрального луча высокочастотного волнового поля, может фиксироваться или изменяться по заранее заданному закону на протяжении всего его времени распространения. Данный закон может быть определён на основании свойств среды и параметров волнового поля. Соответствующие оригинальные математические формулы приводятся как для двумерных, так и для трёхмерных случаев.

2) Для выбранной эффективной ширины существует возможность задания ГП с минимальной кривизной фазового фронта.

3) Предложена оптимизационная вычислительная процедура МСГП: для достижения устойчивых результатов и гарантированной точности вычисления волнового поля в сложных неоднородных средах предлагается фиксировать эффективную ширину ГП £0 равной длине волны X и затем последовательно увеличивать плотность веера лучей.

4) На основе данной вычислительной процедуры МСГП может быть

использован как универсальный механизм для расчётов высокочастотных волновых полей в практических задачах сейсмологии.

Апробация работы и публикации

Промежуточные результаты работы докладывались на 7 Международной научно-практической конференции молодых специалистов «Геофизика-2009» (С.-Петербург, Россия), на Международной конференции «Days on Diffraction 2010» (С.-Петербург, Россия), на 8 Международной научной конференции «Проблемы Геокосмоса-2010» (С.-Петербург, Россия).

Работа была поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов 2010 года №2.7/04-06/026.

По теме работы опубликовано 3 научные статьи (из них [I] и [II] в рекомендованных ВАК журналах) и 3 тезиса докладов.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений. В работе приведено 36 рисунков. Общий объём диссертации составляет 99 страниц машинописного текста.

Список литературы включает 101 наименование на русском и английском языках.

Благодарности

Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Татьяне Борисовне Яновской за помощь в постановке задачи, многочисленные советы и обсуждения при выполнении данной работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность темы диссертации, определены

цели и задачи работы.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ даётся обзор исследований, имеющих отношение к данной работе, описана концепция МСГП и приведены взятые из литературы некоторые важные результаты их применения.

В первой и второй частях главы 1 описывается история появления МСГП, его основные идеи и необходимые формулы для практического применения в акустических и упругих 2Э/30 задачах.

В 1980-х годах ленинградской математической школой был создан и развит МСГП для расчета волновых полей различной физической природы [Попов 1981]. Он позволил преодолеть проблемы с расчётом нерегулярных волновых полей (каустики) и в тоже время сохранил преимущества лучевого подхода, заключающиеся в высокой эффективности и простоте программной реализации. Суть метода состоит в том (для простоты рассмотрим 20 акустический случай), что в некоторой окрестности точки наблюдения М строится веер лучей. Для каждого данного луча строится свой ГП

„2 Л

ujs, К со) = Ф (р) ехр

L2(s)

ехр

ico

V v

, ч K(s) 2 r(s) + ——и 2 v(s)

(1)

JJ

где л- - длина дуги вдоль луча, л - длина нормали от точки наблюдения до луча, œ - частота (большой параметр), Ф(<р) - функция, определяемая источником, <р -угол выхода луча из источника, v(s) и t(s) - скорость и эйконал на луче соответственно. Величины L(s) и K(s) есть соответственно эффективная ширина и кривизна фазового фронта ГП, которые определяются парой комплексных функции Q{s) и P(s), которые в свою очередь задаются парой вещественных фундаментальных решений и />,,р2) системы динамического лучевого

трассирования:

K(i) = v(s)Re

Pis) Q(s)

, L(s) =

—Iml

QLs).

•1/2

P(s) = Elpl(s) + e2p2(.s)

(2)

Здесь E = (£■,,e2)t - комплексные весовые множители, называемые начальными

параметрами ГП. Фактически начальные параметры Е могут быть выбраны произвольным образом при выполнении трёх известных условий, гарантирующих абсолютную регулярность ГП и их убывание на бесконечности. Благодаря данной регулярности ГП алгоритм вычисления волнового поля не зависит от положения точки наблюдения и не связан с проблемой вычисления специальных функций. При этом нет необходимости точно определять луч, проходящий ровно через М, но точность вычисления поля, разумеется, зависит от того, сколь плотный веер лучей построен в её окрестности. Это выгодное обстоятельство избавляет нас от проведения затратной процедуры трассирования лучей между двумя точками. Для вычисления полного поля в точке М (в главном члене высокочастотной асимптотики) нужно просуммировать по всем лучам веера вклад от каждого ГП в этой точке.

В третьей части главы 1 приводится обзор и анализ результатов применения МСГП в практических задачах. На заре развития МСГП советской и чешской научными школами был опубликован целый ряд фундаментальных работ, поясняющих механизмы применения МСГП для моделирования синтетических сейсмограмм [Katchalov, Popov 1988; Cerveny 1985\. В настоящее время МСГП пучков активно используется в сейсморазведке (задачи глубинной миграции и скоростной томографии). К наиболее важным работам здесь можно отнести исследования петербургской [Popov et al. 2010], новосибирской [Протасов, Чеверда 2006] и зарубежной [Hill 2001; Gray 2005] научных школ. В то же время в практических задачах современной сейсмологии МСГП менее распространён [Nowack 2003].

В четвёртой части главы 1 приводится анализ современных проблем МСГП. Дело в том, что в процессе применения данного метода в практических вычислениях априорно остаётся не ясно, каковы размеры окрестности точки наблюдения, которую необходимо покрыть веером лучей и какова должна быть в ней плотность лучей, чтобы суммированием ГП достичь требуемой точности

вычисления волнового поля. Данное неудобство МСГП обусловлено произволом в выборе начальных параметров Е: они определяют явный вид ГП, а именно его ширину ослабления L(s) и кривизну фазового фронта K(s), и поэтому влияют на точность и время расчёта волнового поля. На практике оказывается, что один и тот же выбор начальных параметров Е в различных задачах может давать как хорошие, так и откровенно плохие результаты [Cerveny 1985]. К настоящему времени хотя и существует множество вариантов задания начальных параметров [Weber 1988], но до сих пор, однако, не имеется надёжного универсального способа, как выразить их количественно для сложных сред, чтобы построить ГП любой заранее заданной ширины ослабления (имеющий при этом минимальную кривизну фазового фронта) и непрерывно её контролировать на протяжении всего луча. Такого рода процедура особенно актуальна в программах расчёта синтетических сейсмограмм в моделях сред реальной Земли.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ предлагается новая, простая и в то же время универсальная методика построения 2D/3D ГП любой заранее заданной ширины ослабления £„ для произвольных сред и одновременно с минимальной кривизной фазового фронта Kmm{s).

Математическое обоснование данной методики для 2D ГП представлено в первой части главы 2. Даётся подробный вывод всех аналитических формул. Показано, что для построения в точке наблюдения s ГП любой заранее заданной ширины ослабления L0 необходимо задать начальные параметры Е в одном из следующих видов

где il(0) - матрица начальных условий для решений <?,(.?), />,(.?) и q2(s),p2(s).

(3)

Тогда, например, скалярный ГП будет записываться в виде

Важно отметить, что для (3) автоматически выполняются необходимые требования на выбор начальных параметров Е, т.е. ГП (4) является регулярным и сосредоточенным в окрестности центрального луча при любых Из (4) также видно, что кривизна фазового фронта таких ГП 1) не зависит от величины задаваемой ширины пучка ¿0 и определяется только свойствами рассматриваемой среды, 2) а зависит только от одной пары фундаментальных решений - ^(¿ХлМ, либо у2и),р2(.?). Согласно свойству фундаментальной системы уравнений (.у) и г/, (.?) не могут одновременно обращаться в ноль и, следовательно, мы всегда можем выбрать подходящее решение для системы (3). В том случае, если оба решения далеки от нуля, то для заданной ширины ослабления Ь„, можно выбрать такую пару О) или 4,0),/),(», чтобы

функция >г;<у), описывающая ГП, имела наименьшее количество осцилляции в интеграле суммы ГП. Как следует из (3)-(4), это достигается путём выбора минимального из множителей р^/д,^) или р2($)! д2{$), отвечающих за кривизну фазового фронта ГП ы^О.л;®).

Во второй части главы 2 аналогичные рассуждения переносятся на ЗЭ случай, где формулы (3)-(4), сохраняя свой общий вид, предстают в матричной форме записи.

В третьей части главы 2 показано, что на основе предложенной выше методики можно фактически контролировать ширину ГП на протяжении всего луча. Для этого нужно для каждой точки наблюдения г выбирать, соответствующие ей оптимальные параметры Е(. Это обусловлено тем, что при распространении пучка с одними и теми же параметрами, его форма может меняться (рис. 1).

Таким образом, предложенная методика выбора начальных параметров ГП позволяет

^ во-первых, заранее ограничиться лишь достаточно близкими к точке наблюдения М лучами, лежащими в окрестности | п |< 3£0 от неё, т.к. очевидно,

Рис. 1. Принцип выбора начальных параметров для разных точек наблюдения, (а) - при распространении ГП с одними и теми же параметрами Е1 его форма может меняться при дальнейшем распространении, (б) - принцип независимого рассмотрения веера лучей для каждой точки наблюдения I и 2 (отмечены синими кружочками) позволяет задать в данных точках разные оптимальные параметры Е, и Е2, гарантирующие требуемую форму ГП.

что основной вклад в точке М дают именно ГП от этих лучей, в то время как

вкладами лучей с \п\>ЪЬа можно пренебречь. Это позволяет значительно

уменьшить время расчёта волнового поля.

> во-вторых, для заданной плотности лучей и ширины 1« повысить точность вычисления интеграла суммы ГП, т.к. его подынтегральная функции йв($,п\со) будет иметь минимальное количество осцилляций.

> в-третьих, даже в сложных средах все суммируемые ГП будут иметь заранее определённую простую колокообразную форму.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ исследуется вопрос о том, как для получения точных и устойчивых результатов суммирования ГП, следует выбрать конкретное значение величины ¿0 в зависимости от параметров среды и волнового поля.

В первой и второй частях главы 3 рассматриваются принципы задания ширины £0, которые могут быть использованы на практике, а также приводятся численные эксперименты, демонстрирующие влияние ширины ГП на результат суммирования для однородных и неоднородных сред. Показано, что для однородной среды сумма ГП колокообразного вида не зависит от ширины ГП: точность получаемых здесь результатов определяется лишь тем, насколько плотно веер лучей покрывает рабочую область суммирования | п |< 310. В случае

же неоднородной среды суммирование очень узких ГП (по отношению к величине длины волны) может приводить к неустойчивым решениям в областях, где волновое поле нерегулярно (рис. 2).

Рис. 2. (а) - лучи в упругом волноводе. Скорость в среде задаётся функцией У(г) = (3,0 + 0,222)км/с. Треугольниками отмечены положения приёмников, для четырёх из которых красными линиями показаны фронты ГП при /.(.?) = X. (б) -Иллюстрация влияния ширины ГП ¿(5) на результат их суммирования.

Поэтому, для полноценного использования интегральных свойств МСГП в зонах, где волновое поле теряет свою регулярность, необходимо применять достаточно широкие ГП (порядка не менее длины волны).

В данной части главы 3 также приводятся другие численные эксперименты, наглядно подтверждающие верность методики и формул, предложенных во второй главе.

В третьей части главы 3 предлагается оптимальная вычислительная процедура использования МСГП. Для достижения устойчивых результатов и высокой точности вычисления волнового поля в произвольных средах предлагается

• фиксировать эффективную ширину ГП равной порядку длины волны Л (на основе методики, описанной в главе 2)

• и затем последовательно увеличивать плотность веера лучей в окрестности (|и|<ЗЛ) точки наблюдения до тех пор, пока точность вычисления интеграла суммы ГП не достигнет требуемой точности.

Описанная процедура даёт ясный ответ на вопрос о том, как уверенно использовать МСГП в сложных средах, что делает его надёжным и по-

настоящему универсальным методом.

В некоторых работах [White et al. 1987] утверждается, что МСГП позволяет без изменения алгоритма расчётов получать решения головных волн, если использовать очень широкие ГП. В четвертой части главы 3 показано, что в действительности природа добавочных возмущений, которые проявляются в амплитудах отражённых волн при использовании чрезмерно широких ГП связана с нарушением непрерывности фронтов ГП на границе раздела двух сред и суммированием гауссовых пучков, преломленных под углами близкими к к 12 (амплитуды таких пучков становятся сингулярными вследствие сингулярности матрицы преломления ГП для углов я72). Данные возмущения крайне нестабильны и нет оснований полагать, что они представляют решения головных волн. Очевидно, что МСГП наталкивается здесь на границу своей применимости и для точного вычисления амплитуд головных волн необходимо использовать гауссовы пучки более высокого порядка.

ЧЕТВЁРТАЯ ГЛАВА посвящена применению МСГП в практических задачах сейсмологии и моделированию сейсмических волновых полей.

В первой части главы 4 приводится алгоритм и вычислительная схема расчёта волнового поля на основе оптимальной процедуры использования МСГП. Данный алгоритм был реализован в виде программного кода на языке FORTRAN.

Во второй части главы 4 проведена верификация результатов вычислений программы упомянутой выше. Рассчитывались акселерограммы SH-волн (рис.3) в модели реальной Земли, которые сравнивались с акселерограммами, полученными по методу суммирования нормальных мод [Romanelli et al. 2010]. Две модели исследуемых сред представляют собой совокупность однородных слоев ограниченных сверху свободной поверхностью. На акселерограммах, вычисленных методом суммирования нормальных мод, видны слабые ложные осцилляции на временах до вступления волны, которые заметны и на больших временах. Это, очевидно, является артефактом данного метода. В тоже время

Рис. 3. Распределение скорости 5Н-волн от глубины в моделях реальной Земли и результаты расчётов соответствующих синтетических акселерограмм.

МСГП свободен от подобного рода недостатков. Основные особенности формы акселерограмм хорошо согласуются между собой. Преимуществом же МСГП является то, что при расчетах достаточно учитывать строение среды лишь до глубин, где происходит действительное распространение волны - в данном случае не более 100 км, так как расстояние источник-приемник взято равным 100 км. А для расчетов по методу суммирования нормальных мод необходимо задавать скоростной разрез до весьма больших глубин (здесь - 500 км), поскольку высшие моды проникают достаточно глубоко. Другое преимущество МСГП (которое рассмотрено ниже) - это то, что он позволяет рассчитывать акселерограммы и в случае горизонтально-неоднородных сред, тогда как метод суммирования нормальных мод сталкивается в этом случае со значительными трудностями.

Третья часть главы 4 посвящена численному моделированию амплитудного поля волн цунами в центральной части Тихого океана. Данная задача особенно актуальна, т.к. она необходима для прогнозирования величины максимальной амплитуды волн цунами в прибрежных полосах островов и континентов.

В рамках теории волн в мелкой воде волны цунами могут рассматриваться как поверхностные волны (типа волн Релея, но обусловленных не упругой, а гравитационной силой). Вследствие того, что океан имеет переменную глубину, трассы волны цунами отклоняются от дуг большого круга, что приводит

образованию эффектов фокусировки и дефокусировки волн [Доброхотов и др. 2009]. Это не позволяет анализировать их волновое поле в рамках лучевых представлений. Поэтому здесь естественным и вполне оправданным с вычислительной точки зрения является применение МСГП. Выполненные на его основе результаты численного моделирования волн цунами (по данным батиметрии Тихого океана ЕТ0Р05) представлены на рис. 4: отчётливо видны зоны повышенных и пониженных амплитуд, которые хорошо коррелируют с геометрией лучей. Данные результаты хорошо объясняют тот известный из наблюдений факт, что высота волн цунами может значительно меняться вдоль одного и того же побережья.

0.10 0.15 0.20 0.25 0,0 0.2 0.-1 0.Ö 0.6 1.0

а б

Рис.4, (а) — Распределение скорости (км/с) и трасс волн цунами, (б) -распределение максимальных амплитуд волн цунами (амплитудная шкала нормирована на единицу).

В четвёртой части главы 4 рассчитываются сейсмограммы объёмных волн в верхней мантии Земли на основе данных PREM. На качественном уровне показано, что получаемые результаты имеют хорошее согласие с соответствующими сейсмограммами реальных землетрясений.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные выводы настоящей работы.

1. В работе предложена оригинальная методика построения 20/30 ГП любой заранее заданной эффективной ширины и минимальной кривизны фазового фронта. Методика построения такого ГП универсальна - она работает для любых сред и даёт возможность автоматически контролировать выбранную ширину пучка вдоль всего луча.

2. Предложена вычислительная процедура МСГП, гарантирующая получение в сложных неоднородных средах устойчивых результатов требуемой точности, что делает данный метод надёжным и по-настоящему универсальным для решений прямых задач сейсмологии.

3. Показано, что природа добавочных возмущений, которые проявляются в амплитудах отражённых волн при использовании чрезмерно широких ГП, связана с нарушением непрерывности фронтов ГП на границе раздела двух сред. Данные возмущения крайне нестабильны и не могут трактоваться как решения головных волн.

4. МСГП, на основе предложенной вычислительной процедуры, реализован в виде компьютерной программы, позволяющей рассчитывать волновые поля (стационарные решения и синтетические сейсмограммы) для широкого спектра моделей сред.

5. Её работоспособность подтверждена достаточно хорошим совпадением рассчитанных синтетических акселерограмм с акселерограммами метода суммирования нормальных мод.

6. Иллюстрируется удобство применения МСГП в практических задачах сейсмологии: моделируются амплитудные поля волн цунами в центральной части Тихого океана и объёмных волн в верхней мантии Земли. Данный метод даёт хорошее качество получаемых результатов при сравнительно небольших затратах машинного времени.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ I. Гейер М.А. Расчёт синтетических сейсмограмм методом гауссовых пучков с заданной шириной затухания // Вестник Санкт-Петербургского университета, 2010, Серия 4, Физика и Химия, Выпуск 4, с. 9-23

II. Яновская Т.Б., Гейер М.А.. Численный метод расчета поля поверхностной волны при наличии каустик // Физика Земли, 2007, №8, с.35-43

III. Гейер М.А. Новая методика построения гауссовых пучков любой заранее заданной ширины для расчёта синтетических сейсмограмм // Геофизические методы исследования Земли и её недр. Материалы VII международной научно-практической конкурс-конференции молодых специалистов «Геофизика 2009», С.-Петербург, 2010, с. 10-22

IV. Gever, М.А. A new technique for constructing the Gaussian beams with a given width for calculation of synthetic seismograms // Abstracts in the book of abstracts "Problems of Geocosmos", St.-Petersburg, 2010, p. 167

V. Gever M.A. Calculation of synthetic seismograms by summation of Gaussian beams of a given width // Abstracts of the International Conference DAYS on DIFFRACTION 2010, St.-Petersburg, 2010, p.32-33

VI. Гейер М.А. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчёта теоретических сейсмограмм.// Тезисы VII международной научно-практической конференции молодых специалистов «Геофизика 2009», С.-Петербург, 2009, с. 20-23

Подписано в печать 14.04.2011г. Формат А5, цифровая печать Тираж 100 шт. Отпечатано в ЦОП «Копицентр Василеостровский» Россия, г.Саикт-Петербург, В.О.,6-линия, д.29. телефакс: 328-61-84 e-mail: vs@copy.spb.ru

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Гейер, Михаил Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

ОБЗОР РАБОТ ПО МЕТОДУ СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ

МСГП) д

1.1 Концепция МСГП: история появления и основные идеи д

1.2. Математические основы метода 13 1.2.1 Скалярное волновое поле

1.2.1.1 Двумерный скалярный случай щ

1.2.1.2 Трёхмерный скалярный случай

1.2.2. Поле упругих волн 24 1.2.2.1 Двумерный упругий случай 25 1.2.2.2.Трехмерный упругий случай

1.2.3. Отражение и преломление гауссовых пучков 27 1.2.4 Синтетические сейсмограммы

1.3 Обзор и анализ результатов применения МСГП в практических задачах вычислений волновых полей

1.4 Современные проблемы МСГП

ГЛАВА

МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ

ЗАРАНЕЕ ЗАДАННОЙ ШИРИНЫ ОСЛАБЛЕНИЯ

2.1 Двумерный случай

2.2 Трёхмерный случай

2.3 Почему удобно применять данную методику выбора начальных параметров в практических вычислениях?

ГЛАВА

СВЯЗЬ ЭФФЕКТИВНОЙ ШИРИНЫ ОСЛАБЛЕНИЯ

ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ С ПАРАМЕТРАМИ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ

3.1 Способы задания ширины ослабления Ь()

3-2 Влияние ширины гауссовых пучков на результат их суммирования для однородных и неоднородных сред

3.3 Оптимальная вычислительная процедура МСГП

3.4 Исследование возможности применения МСГП для расчёта головных волн

ГЛАВА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МСГП В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

СЕЙСМОЛОГИИ

4.1 Алгоритм расчёта волнового поля и его реализация в виде программного кода

4.2 Расчеты ускорения почвы сравнение с методом суммирования нормальных мод)

4.2 Расчёт волн цунами в центральной части Тихого океана

4.3 Сейсмограммы объёмных волн в верхней мантии Земли 88 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 91 Список использованной литературы 93 Список публикаций ЮО Приложение №1. 101 Приложение №2 103 Приложение №

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Оптимизация расчётов сейсмических волновых полей методом суммирования гауссовых пучков"

Актуальность проблемы

Большинство задач современной сейсмологии в той или иной степени связано с расчётами высокочастотных полей сейсмических волн в сложных моделях реальных сред. Это и обратные задачи по оценке свойств среды по данным объёмных и поверхностных волн, и прямые задачи по оценкам рисков сейсмической опасности на основе расчётов синтетических акселерограмм и параметров очагов землетрясений по спектрам поверхностных волн, а также имеющая огромное практическое значение задача прогноза высоты волн цунами в океане в зависимости от глубины бассейна. Существующие методы расчёта волновых полей, используемые в тех или иных задачах, либо основываются на крайне упрощённых предположениях о строении среды (и даже на использовании простейших полуэмпирических формул), либо используют для расчётов методы, требующие чрезвычайно больших вычислительных ресурсов (метод конечных разностей и метод конечных элементов [Стренг 1977]), либо используют приближённые методы, которые характеризуются ограниченной областью применимости (лучевой метод [Бабич 1956], неприменимый в областях нерегулярности поля лучей, или метод суммирования нормальных мод [Panza 1985], неприменимый в случае горизонтальных вариаций структуры среды). В то же время существует в достаточной мере универсальный метод суммирования гауссовых пучков (МСГП) [Попов 1981,2009], который свободен от перечисленных недостатков. Данный метод хотя и получил широкое распространение в некоторых специальных задачах сейсморазведки [Чеверда 2009, Popov et al. 2010], однако в практических задачах сейсмологии применяется редко [Nowack 2003]. Последнее объясняется тем, что для корректного применения этого метода необходимо оптимальным образом задавать начальные параметры гауссовых пучков (ГП). Естественно предположить, что в разных задачах, эти параметры следует выбирать по-разному [Weber 1988а]. Именно данная трудность МСГП и объясняет тот факт, что в вычислительной сейсмологии для расчётов волновых полей до сих пор выбирают такие менее универсальные, но более прозрачные с точки зрения практической реализации методы как лучевой метод и метод суммирования нормальных мод. В то же время МСГП при адекватном выборе начальных параметров мог бы использоваться в разнообразных задачах сейсмологии, требующих расчётов волнового поля в неоднородных (как по вертикали, так и по горизонтали) средах. Поэтому задача выбора оптимальных начальных параметров ГП, определяющих универсальным образом их эффективную ширину, представляется весьма актуальной в современной сейсмологии.

Цель и задачи работы

Целью выполнения данной работы являлось создание комплекса алгоритмов и вычислительных программ на основе МСГП для расчётов синтетических сейсмограмм в 21) и зБ моделях реальной Земли. Для достижения этой цели решались следующие задачи:

1. Разработка оптимизированной методики выбора начальных параметров, определяющих ГП любой заранее заданной ширины ослабления £0 и, одновременно, имеющих минимальные осцилляции для выбранной ширины. Методика должна быть применима для произвольных сложнопостроенных 2Б/зБ сред (включая гладкие границы раздела).

2. Разработка вычислительной процедуры, учитывающей взаимосвязь между числом суммируемых ГП, их шириной, параметрами среды и волнового поля и гарантирующей получение точных и устойчивых результатов вычисления волнового поля в любых сложных 2Б/зБ средах.

3. Создание универсального алгоритма расчёта волновых полей, на основе процедуры п.2, и его реализация в виде вычислительной программы.

4. Верификация результатов расчётов волновых полей для некоторых моделей сред путём их сравнения с результатами, полученными независимо другими авторами.

5. Численное моделирование волновых полей на примерах некоторых задач сейсмологии, иллюстрирующих широкий спектр потенциальных возможностей оптимизированного МСГП.

Экспериментальный материал

В качестве исходных данных использовались материалы реального глубинного строения Земли и соответствующие им результаты расчётов ускорения почвы

Romanelli et а1. 2010], данные глобальной батиметрии Тихого океана [ЕТ0Р05], данные о строении верхней мантии Земли на основе РЫЕМ.

Научная новизна

Разработана оригинальная формализированная методика построения ГП любой заранее заданной эффективной ширины ослабления и одновременно, имеющей минимальную кривизну фазового фронта. Представлено её математическое обоснование и даны точные формулы для построения таких пучков как в двухмерных, так и в трёхмерных случаях.

Показано, что данная методика построения таких ГП работает, в том числе и для сложных неоднородных сред и позволяет автоматически фиксировать/контролировать ширину ослабления пучка на протяжении всего его времени распространения.

Предложена вычислительная процедура МСГП, гарантирующая получение в сложных неоднородных средах устойчивых результатов требуемой точности, что делает данный метод надёжным и по-настоящему универсальным для решений прямых задач сейсмологии.

Практическая значимость

Предложенная оптимизационная процедура МСГП проста для реализации, надёжна и в то же время позволяет существенно сократить время вычисления волнового поля. Это достигается за счёт использования ГП фиксированной ширины (10) и минимальной кривизны фазового фронта, что даёт нам возможность предварительного расчёта необходимого числа лучей, которыми должна быть покрыта рабочая область (ЗЬ0) точки наблюдения, для вычисления интеграла суммы

ГП требуемой точности.

Описанный механизм, вместе с тем обстоятельством, что алгоритм вычисления волнового поля не изменяется при наличии каустик или зон критического отражения, делает МСГП удобным методом для расчёта синтетических сейсмограмм в моделях сред реальной Земли, имеющих сложную структуру.

Защищаемые положения

1) Для любых сложных сред эффективная ширина ослабления ГП, распространяющегося вдоль центрального луча высокочастотного волнового поля, может фиксироваться или изменяться по заранее заданному нами закону на протяжении всего его времени распространения. Данный закон может быть определён на основании свойств среды и параметров волнового поля. Соответствующие оригинальные математические формулы приводятся как для двумерных, так и для трёхмерных случаев.

2) Для выбранной эффективной ширины существует возможность задания ГП с минимальной кривизной фазового фронта.

3) Предложена оптимизационная вычислительная процедура МСГП: для достижения устойчивых результатов и гарантированной точности вычисления волнового поля в сложных неоднородных средах предлагается фиксировать эффективную ширину ГП L0 равной длине волны Л и затем последовательно увеличивать плотность веера лучей.

4) На основе данной вычислительной процедуры МСГП может быть успешно применён для расчёта высокочастотных волновых полей в практических задачах сейсмологии.

Апробация работы и публикации

Промежуточные результаты работы докладывались на 7 Международной научно-практической конференции молодых специалистов «Геофизика-2009» (С.Петербург, Россия), на Международной конференции «Days on Diffraction 2010» (С.Петербург, Россия), на 8 Международной научной конференции «Проблемы Геокосмоса-20Ю» (С.-Петербург, Россия).

Работа была поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов 2010 года №2.7/04-06/026.

По теме работы опубликовано 3 научные статьи (две из которых в рекомендуемых ВАК журналах) и 3 тезиса докладов.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений. В работе приведено 36 рисунков. Общий объём диссертации составляет 99 страниц машинописного текста.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Гейер, Михаил Александрович

На основании проделанной работы формулируются следующие ВЫВОДЫ:

1. В работе предложена оригинальная методика построения 2Б/зБ гауссовых пучков любой заранее заданной эффективной ширины и одновременно имеющих минимальные кривизны фазовых фронтов. Методика построения таких гауссовых пучков универсальна - она работает для любых сред и даёт возможность автоматически контролировать выбранную ширину каждого пучка вдоль всего луча.

2. Предложена вычислительная процедура МСГП, гарантирующая получение в сложных неоднородных средах устойчивых результатов требуемой точности, что делает данный метод надёжным и по-настоящему универсальным для решений прямых задач сейсмологии.

3. Показано, что природа добавочных возмущений, которые проявляются в амплитудах отражённых волн при использовании очень широких ГП, связана с нарушением непрерывности фронтов ГП на границе раздела двух сред. Данные возмущения крайне нестабильны и не могут трактоваться как решения головных волн.

4. МСГП, на основе предложенной вычислительной процедуры, реализован в виде компьютерной программы, позволяющей рассчитывать волновые поля (стационарные решения и синтетические сейсмограммы) для широкого спектра моделей сред.

5. Её работоспособность подтверждена достаточно хорошим совпадением рассчитанных синтетических акселерограмм с акселерограммами метода суммирования нормальных мод.

6. Иллюстрируется удобство применения МСГП в практических задачах сейсмологии: моделируются амплитудные поля волн цунами в центральной части Тихого океана и объёмных волн в верхней мантии Земли. Продемонстрировано, что данный метод даёт хорошее качество получаемых результатов при сравнительно небольших затратах машинного времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведённые в настоящей работе примеры расчётов волновых сейсмических полей наглядно иллюстрируют тот факт, что использование предложенной в данной работе формализованной методики по контролю за эффективной шириной и кривизной фазовых фронтов гауссовых пучков позволяет получать устойчивые и достаточно точные результаты даже в сложных средах. Это, а также высокое быстродействие МСГП, делает его удобным инструментом для расчётов сейсмических волновых полей. В частности предлагается при расчётах пиковых ускорений почвы Земли (для получения входных данных для оценок рисков сейсмической опасности) от не слишком удалённых землетрясений применять МСГП вместо используемого в настоящее время метода суммирования нормальных мод.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Гейер, Михаил Александрович, Санкт-Петербург

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология // Москва, Мир, 1980, т. 1, 520 стр.

2. Бабич В. М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Доклады АН СССР, Математическая физика, 1956, Том но, № 3, стр. 355-357.

3. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн // Москва, Наука, 1972,456 стр.

4. Бабич В. М., Булдырев В. С., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод // Ленинград, Изд. Ленинград, университета, 1985, 272 стр.

5. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции // Ленинград, Изд. Ленинград, университета, 1974,126 стр.

6. Бабич В. М., Панкратова Т. Ф. О разрывах функции Грина смешанной задачи для волнового уравнения с переменным коэффициентом // Проблемы математической физики, Ленинград, 1973, стр. 9-27.

7. Бабич В. М., Попов М. М. Метод суммирования гауссовых пучков (обзор) // Изв. высш. учеб. завед., сер. Радиофизика, 1989, т. 32, № 12, стр. 1447-1446.

8. Боганик Г. Н., Гурвич И. И. Сейсморазведка // Тверь, Тверь-АИС, 2006, 744 стр.

9. Качалов А. П., Применение квазифотонов для расчёта поля в упругой волновой среде // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1985, т. 148, стр. 89-104.

10. Качалов А. П., Попов М. М., Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчёта высокочастотных волновых полей // Док. АН СССР, сер. Физика, 1981, т. 258, № 5, стр. 1097-1100.

11. Качалов А. П., Попов М. М., Применение гауссовых пучков в изотропной теории упругости // Л., Препринт ЛОМИ Р-9-82,1982,14 стр.

12. Попов М. М. О вычислении геометрического расхождения в неоднородной среде с гладкими границами раздела // Препринты Ленингр. отд. Матем. инта АН, Ленинград, 1977, Р-3-77

13. Попов М. М. Новый метод расчёта волновых полей в высокочастотном приближении // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1981, т. 104, стр. 195-216.

14. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов // Мир, Москва, 1977,351 стр.

15. Чеверда В. А. Восстановление скоростного строения неоднородных сред методом полного обращения волновых сейсмических полей // Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. наук, 2009, 260 стр.

16. Яновская Т. Б. Особенности поля поверхностных волн в окрестности точки касания каустик // Физика Земли, 2004, № 12, стр. 3-10.

17. Яновская Т.Б. Основы сейсмологии // С.-Петербург, Изд. С.-Петербургского университета, 2007, 260 стр.

18. Янсон 3. А. Высокочастотная асимптотика решений волнового уравнения в случае волновода // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1972, № 3, стр. 15-24.

19. Akima Н. A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting for irregularly distributed data points //ACM Trans, on Math. Software, 1978, Vol. 4, p. 148-159.

20. Buckchin B. G., Yanovskaya Т. В., Montagner J.-P., Mostinsky A. Z., Beucler E. Surface wave focusing effects: Numerical modeling and statistical observations // Phys. of the Earth and planet, inter., 2006, vol. 155, p. 191-200.

21. Cerveny V. Expansion of a plane wave into Gaussian beams // Studia geoph. et geod., 1982, vol. 26, p. 120-131.

22. Cerveny V. Synthetic body wave seismograms for laterally varying layered structures by the Gaussian beam method // Geophys. J. R. astr. Soc., 1983, Vol. 73, p. 389426.

23. Cerveny V. Gaussian beam synthetic seismograms // J. Geophys., 1985a, Vol. 58, p. 44-72.

24. Cerveny V. The application of ray tracing to the numerical modeling of seismic wave fields in complex structures. In Seismic shear waves //London, Geophysical press, 1985b, p. 1-124.

25. Karlova, Praha, 1977, 216 p.

26. Cerveny V., Popov M. M., Psencik I. Computation of wave fields in inhomogeneous media Gaussian beam approach // Geophys. J. R. astr. Soc., 1982, Vol. 70, p. 109128.

27. Cerveny V., Psencik I. Gaussian beams in two-dimensional elastic inhomogeneousmedia // Geophys. J. R. astr. Soc., 1983a, Vol. 72, p. 417-433.

28. Cerveny V., Ravindra R. Theory of seismic head waves // Toronto, Univ. Toronto Press, 1971, 296 p.

29. Chapman C. H. Ray theory and its extensions WKBJ and Maslov seismograms // J. Geophys., 1985, Vol. 58, p. 27-43.

30. Cormier V. F. Slab diffraction of S-waves // J. Geophys. Res., 1989, Vol. 94, p. 3006-3024.

31. Cormier V. F., Spudich P. Amplification of ground motion and waveform complexity in fault Zones: examples from the San Andreas and Calaveras Faults // Geophys. J. R. astr. Soc., 1984, Vol. 79, p. 135-152.

32. Cormier V. F., Su W. J. Effects of three-dimensional crustal structure on the estimated slip history and ground motion of the Loma Prieta Earthquake // Bull. Seism. Soc. Am., 1994, Vol. 84, p. 284-294.

33. Felsen L. B. Geometrical theory of diffraction, evanescent waves, complex rays and Gaussian beams // Geophys. J. R. astr. Soc., 1984, Vol. 79, p. 77-88.

34. Fluerasu A., Letrou Ch. Gaussian beam launching for 3D physical modeling of propagation channels // Ann. Telecommun., 2009, Vol. 64, p. 763-776.

35. Fock V. A. Electromagnetic diffraction and propagation problems // New-York, Pergamon Press, 1965, p. 414.

36. Friederich W. A new approach to Gaussian beams on a sphere: theory and application to long-period surface wave propagation // Geophys. J. Int., 1989, Vol. 99, p. 259-271.

37. Gabillet Y., Schroeder H., Daigle G., L'Esperance A. Application of the Gaussian beam approach to sound propagation in the atmosphere: theory and experiments // J. Acoust. Soc. Amer., 1992, Vol. 93, p. 3105-3116.

38. George Th., Virieux J. Madariaga R. Seismic wave synthesis by Gaussian beam summation: a comparison with finite differences // Geophysics, 1987, Vol. 52, No. 8, p. 1065-1073.

39. Gray S. H. Gaussian beam migration of common-shot records // Geophysics, 2005, Vol. 70, p. 71-77.

40. Green A., Bertoni H., Felsen L. Properties of the shadow cast by a half-screen whenilluminated by a Gaussian beam 11 J. Opt. Soc. Am., 1978, Vol. 69, No. 11, p. 15031508.

41. Grikurov V. E., Popov M. M. Summation of Gaussian beams in a surface waveguide //Wavemotion, 1983,Vol.5,P- 225-233.

42. Hanyga A. Gaussian Beams in anisotropic elastic media // Geophys. J. R. astr. Soc., 1986, Vol. 85, P-473-503.

43. Hill N. R. Gaussian beam migration // Geophys., 1990, Vol. 55, p. 1416-1428

44. Hill N. R. Prestack Gaussian beam depth migration // Geophysics, 2001, Vol. 66, p.1240-1250.

45. Hubral P. A wave-front curvature approach to computing ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces // Studia geoph. et geod., 1979, Vol. 26, p. 131-137

46. Jensen F. B., Kuperman W. A., Porter M. B., Schmidt H. Computational ocean acoustics. In AIP Series in modern acoustics and signal processing // New-York, AIP press, 1994, P-149-202.

47. Jobert N. Mantle wave propagation anomalies on laterally heterogeneous global models of the Earth by Gaussian beam synthesis // Ann. Geophys., 1986, Vol. 4, p. 261-270.

48. Jobert N. Mantle wave deviations from "pure-path" propagation on aspherical models of the. Earth by Gaussian beam waveform synthesis // Phys. Earth Planet Int., 1987, Vol. 47, p. 263-266.

49. Katchalov A. P., Popov M. M. Application of the Gaussian beam method to elasticity theory // Geophys. J. R. astr. Soc., 1985, Vol. 81, p. 205-214.

50. Katchalov A. P., Popov M. M. Gaussian beam methods and theoretical seismograms // Geophysical Journal, 1988, vol. 93, P- 465"475

51. Klimes L. Hermite-Gaussian beams in inhomogeneous elastic media // Studia geoph. et geod., 1983, vol. 27, p. 354-365

52. Klimes L. The relation between Gaussian beams and Maslov asymptotic theory // Studia geoph. et geod., 1984, vol. 28, p. 237-247

53. Klimes L. The Discretization error for the superposition of Gaussian beams // Geophys. J. R. astr. Soc., 1986, vol. 86, p. 531-551.

54. Klimes L. Gaussian Packets in the computation of seismic wave fields // Geophys. J. R. astr. Soc., 1989a, vol. 99, P- 421-433

55. Klimes L. Optimization of the shape of Gaussian beams of a fixed length // Studia geoph. et geod., 1989b, vol. 33, P-146-163.

56. Konopaskova J., (Serveny V. Numerical modeling of time-harmonic seismic wave fields in simple structures by the Gaussian beam method. Part I. // Studia geoph. et geod., 1984a, Vol. 28, p. 19-35

57. Madariaga & Papadimitiou Gaussian beam modeling of upper mantle phases // Ann. Geophys., 1985, Vol. 3, P- 799-812.

58. Nowack R., Aki K. The 2D Gaussian beam synthetic method: testing and application // Geophys. J. R astr. Soc., 1984, vol. 89, p. 1466-1494.

59. Nowack R. Calculation of synthetic seismograms with Gaussian beams // Pure appl. geophys., 2003, Vol. 160, p. 487-507.

60. Panza G. F. Synthetic seismograms: the Rayleigh waves modal summation //J. Geophys., 1985, Vol. 58, p. 125-146.

61. Panza G. Romanelli F. Yanovskaya T. B. Synthetic tsunami mareograms for realistic oceanic models // Geophys. J. Int., 2000, Vol. 141, p. 498-508. Popov M. M. Ray theory and Gaussian beam for Geophysicists // EDUFBA, Salvador-Bahia, 2002,158 p.

62. Popov M. M., Psencik I, Ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces // Geofisikalni sbornik XXTV, 1976, p. 111-128.

63. Popov M. M., Psencik I. Computation of ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces // Studia geoph. et geod., 1978, vol. 22, p. 248-258. Popov M. M., Semtchenok N. M., Popov P. M., Verdel A. R. Depth migration by the

64. Gaussian beam summation method // Geophysics, 2010, Vol. 75, No. 2, p. 81 93.

65. Porter M. B., Bucker H. P. Gaussian beams tracing for computing ocean acoustic fields // J. Acoust. Soc. Amer., 1987, Vol. 82, p. 1349-1359.

66. Romanelli F., Magrin A. Pivate science message // 2010, 2 p.

67. Seldguchi S. Amplitude distribution of seismic waves for laterally heterogeneous structures including a subducting Slab // Geophys. J. Int., Vol. 111, p. 448-464.

68. Sutton G. R. The effect of velocity variations on the beam width of seismic wave // Geophysics, 1984, Vol. 49, p. 1649-1652.

69. Tappert F. D. The parabolic approximation method // Wave propagation and underwater acoustics, Lecture Notes in Physics, 1977, Vol. 70. p. 224-287.

70. Weber M. Computation of body-wave seismograms in absorbing 2D media using the Gaussian beam method: comparison with exact methods // Geophysical Journal, 1988a, Vol. 92, p. 9-24.

71. Weber M. Application of the Gaussian beam method in refraction seismology // Geophys. J., 1988b, Vol. 92, p. 25-31.

72. Weber M. Subduction Zones their influence on traveltimes and amplitudes of P-waves // Geophys. J. Int., 1990, Vol. 101, p. 529-210.

73. Weber M. P-wave and S-wave reflections from anomalies in the lower most mantle // Geophys. J. Int., 1993, Vol. 115, p. 183-210.

74. White B. S., Norris A., Bayliss A., Burridge R. Some remarks on the Gaussian beam summation method // Geophys. J. R. astr. Soc., 19S7, Vol. 89, p. 579-636.

75. Yomogida K. Gaussian beams for surface waves in laterally slowly-varying media // Geophys. J. R. astr. Soc., Research note, 1985, vol. 82, p. 511-533.

76. Yomogida K. Gaussian beams for surface waves in transversely isotropic media // Geophys. J. R. astr. Soc., Research note, 1987, vol. 88, p. 297-304.

77. Yomogida K. Aki K. Waveform synthesis of surface waves in a laterally heterogeneous Earth by the Gaussian beam method //J. Geophys. Res., 1985, Vol. 88, p. 161-204.

78. Yomogida K. Aki K. Amplitude and phase data inversion for phase velocity anomalies in the Pacific ocean basin // Geophys. J. R. astr. Soc., 1987, Vol. 88, p. 161-204.

79. Zalipaev V. Summation of Gaussian beams in 3D problems of radiation and scattering of elastic waves // IUTAM Symposium on Asymptotics, Singularities and Homogenisation in Problems of Mechanics, 2003, p. 113-123.1. Список публикаций

80. V. Гейер MA. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчёта теоретических сейсмограмм.// Тезисы VII международной научно-практической конференции молодых специалистов «Геофизика 2009», С.Петербург, 2009, с. 20-23

81. VI. Яновская Т.Б., Гейер МЛ., Численный метод расчета поля поверхностной волны при наличии каустик // Физика Земли, 2007, №8, с.35-43