Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Разработка способа оценки точности неизвестных в методе наименьших квадратов

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Разработка способа оценки точности неизвестных в методе наименьших квадратов"

На правах рукописи

РАЗРАБОТКА СПОСОБА ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ НЕИЗВЕСТНЫХ В МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Специальность 25.00.32 - Геодезия

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Краснодар - 2006

Работа выполнена в Кубанском государственном технологическом

университете.

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент Желтко Ч.Н. доктор технических наук, профессор Маркузе Ю.И.; доктор технических наук, профессор Трунов И.Т..

Официальные оппоненты:

Ведущая организация: Филиал ФГУП «СКАГП» экспедиция № 205, г. Краснодар.

Защита состоится 23 июня 2006 г. в \2°° часов на заседании диссертационного совета К 212.207.01 по присуждению учёной степени кандидата технических наук в Ростовском государственном строительном университете по адресу: 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162, ауд. 325.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 15 мая 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

канд. техн. наук, доцент

Туполева Г.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В наши дни современное развитие науки и техники создаёт предпосылки для дальнейшего совершенствования способов обработки геодезических измерений и оценки точности. Использование современных ЭВМ позволяют решить некоторые геодезические задачи более строго по сравнению с традиционными способами их решения. К ним можно отнести прямой поисковый способ нахождения неизвестных по методу наименьших квадратов, когда ЭВМ последовательно многократно изменяет неизвестные до тех пор, пока не будет получен минимум целевой функции. Этой функцией может быть не только минимум суммы квадратов уклонений измерений от их вычисленных значений, но и минимум суммы модулей уклонений, или промежуточные решения между суммами квадратов и суммой модулей.

Уравнивание измерений на ЭВМ путём подбора неизвестных обладает большей наглядностью и возможностью проанализировать строгость уравнивания по сравнению со многими компьютерными программами уравнивания, основанными на традиционных способах. Некоторые из них дают несколько различающиеся результаты, особенно для сложных сетей. Расхождения трудно объяснить и практически невозможно установить, какая программа даёт более строгий результат.

Поисковый способ уже может конкурировать с традиционными способами уравнивания. Чем лучше компьютер, чем выше его быстродействие, тем предпочтительней использование поискового способа. Однако в поисковом способе не составляются нормальные уравнения, да и нет необходимости приводить исходные уравнения к линейному виду, что нужно для оценки точности традиционным способом. Нужен другой способ оценки точности более совместимый с поисковым способом уравнивания.

В традиционной оценке точности, вследствие линеаризации исходных уравнений, уравненное значение одного неизвестного всегда находится в се-

редине доверительного интервала. Для двух плановых координат одного пункта доверительные интервалы заменяются эллипсом ошибок, в середине которого находятся уравненные значения. Однако в общем случае для нелинейных уравнений такой симметрии может не быть. Для одного неизвестного средние квадратические ошибки в сторону увеличения и в сторону уменьшения неизвестного могут быть разными. Для двух неизвестных кривой ошибок может быть более сложная кривая по сравнению с эллипсом. Это может иметь место, когда величины неизвестных соизмеримы с ошибками их нахождения, когда схема геодезической сети весьма далека от оптимальной, и в некоторых других случаях. Есть задачи, в которых, при какой то доверительной вероятности и выше её, доверительный интервал или кривая ошибок вытягиваются с одной стороны в бесконечность.

Поэтому рассмотренные в диссертации пути совершенствования способов уравнивания и оценки точности с использованием всех возможностей современных ЭВМ являются достаточно актуальной задачей.

Цель работы. Основной целью работы является исследования и совершенствование поискового способа обработки геодезических измерений и оценки их точности на основе использования ЭВМ.

Предметом исследования является обработка геодезических измерений по методу наименьших квадратов.

Объектом исследования является поисковый способ уравнивания неизвестных и оценка их точности с использованием ЭВМ.

Научная новизна содержится в следующем:

1. Разработаны алгоритмы оценки точности поисковым методом для решения геодезических задач на ЭВМ.

2. Установлена зависимость веса неизвестного и доверительной области от производных целевой функции.

3. Сформулированы задачи параллельного и последовательного сложения эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

4. Представлена наглядная геометрическая интерпретация поискового метода оценки точности для одного и двух коррелированных между собой неизвестных.

5. Обоснована возможность практического использования пространственной обратной угловой засечки по двум опорным пунктам.

6. Выведены формулы расчёта элементов ковариационной матрицы поисковым методом.

Методы исследований, применяемые в работе, - это анализ, обоснование, математическое моделирование, примеры решения задач и выводы.

Практическая ценность вытекает из актуальности проблемы и заключается в возможности использования результатов исследования на практике.

Апробация работы. С основными положениями работы дважды выступал на кафедре Кадастра и геоинженерии Кубанского государственного технологического университета, на международной конференции и на расширенном семинаре в Ростовском государственном строительном университете.

Реализация результатов исследований. Результаты исследований используются в геодезических организациях г. Краснодара: ООО «Геопроект-строй» и ООО Инженерно-изыскательское предприятие «Топостройпроект»; при работах по определению осадок элементов автомобильных мостов и при съёмке поперечных профилей русел рек в Краснодарском крае.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 6 статей.

Объём и структура.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения, изложена на 131 страницах (без приложения), содержит 7 таблиц, 59 рисунков. Список литературы включает 82 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы выбор темы и её актуальность.

В первой главе дан краткий обзор публикаций по уравниванию измерений и оценке их точности. Освещены вопросы истории развития точности измерений, распределения ошибок измерений, достоинства и недостатки способов нахождения средней квадратической ошибки, априорной оценки точности. Описано построение эллипса ошибок, определяемого для точки пересечения двух прямых. Приведен перечень современных компьютерных программ для уравнивания геодезических измерений.

Во второй главе рассмотрена возможность уравнивания измерений прямым (или поисковым) методом.

Для прямого метода уравнивания достоинством является простота и наглядность составления исходных уравнений. Число их, как и в параметрическом способе уравнивания, равно числу измерений.

Одно уравнение для 1-го измерения имеет вид)

£,-'/=v„ (1)

где Li - вычисленное по уравненным значениям неизвестных i-oe измерение; li - измеренное значение; v( - поправка в измерение.

Для веса уравнения имеем известное выражение

Р, =4"' (2)

Hi

где с — произвольная постоянная; ¡л, — средняя квадратическая ошибка ¿-го измерения.

Уравнивание на ЭВМ в математическом редакторе MS Excel может выполняться с использованием модуля "Поиск решения". Минимум отыскивается для целевой ячейки, в которую вводится целевая функция — в частности, формула суммы квадратов уклонений.

Целевой функцией может быть не только сумма квадратов уклонений (поправок), но и сумма модулей уклонений. Представляет интерес промежуточ-

ные решения задачи уравнивания измерений между минимумом суммы квадратов и суммы модулей, т.е. сумма модулей в степени от 1 до 2. Такое нетрадиционное уравнивание облегчает поиск грубых ошибок измерений, если число неизвестных очень велико.

В некоторых случаях для нелинейных уравнений может быть несколько минимумов. Их трудно найти традиционными методами, когда нелинейные уравнения приводят к линейным. Нужно искать зависимость целевой функции от значений каждого неизвестного в большом диапазоне. Это возможно только с использованием ЭВМ, которое может обеспечить более полное решение задач на минимум. Два минимума функций бывает при решении некоторых задач, не имеющих избыточных измерений, например, для линейной засечки по двум пунктам или пространственной обратной угловой засечки по двум пунктам. Поэтому нужно правильно выбрать нужный минимум. Иногда бывает несколько минимумов, например, при подборе коэффициентов функций, наилучшим образом описывающих ряд экспериментальных измерений. При решении этой задачи нередко нужны все минимумы.

Функция "Поиск решения" в электронных таблицах "Microsoft Excel", имеет один существенный недостаток, проявляющийся при большом числе неизвестных. При достижении довольно близкого к окончательному результату значений неизвестных ЭВМ выдаёт сообщение: "решение найдено..." и при повторном запуске, в том числе для других установок и меньших погрешностей, ЭВМ задачу не решает, выдавая то же сообщение: "решение найдено...". Решение задачи можно продолжить только для части неизвестных. Это, вероятно, единственный способ продолжения решения задачи с помощью функции "Поиск решения". Нужно разбить все неизвестные на несколько групп и искать минимум целевой функции по частям, изменяя неизвестные в первой группе, затем — второй группе и т.д. В итоге получаем большую долю ручного труда.

Для метода наименьших квадратов проще, как показал опыт, составить

программу поиска минимума. Удобно составить её в редакторе Visual Basic на отдельном модульном листе для выведенной автором формуле

г, -г,

(3)

- тт и — * 1 А »

42О ~ 2г1 ~ 22з где /0 - приближённое (начальное) значение неизвестного; А - шаг поиска, который можно принять при уравнивании плановых координат от 1 до 10 м;

2о, г/, г-з - суммы квадратов уклонений, соответствующие трём значениям переменной

¡0, 0=*о-Л . (4)

Формула (3) выведена при условии, что зависимость г от / квадратичная (рис. 1). Следует отметить, что при более сложной зависимости, формула (3) тоже пригодна. Возможно, только потребуется уменьшить шаг А и сделать лишние итерации.

Рис. 1. Нахождение минимума

В программе следует предусмотреть переход от одного неизвестного к другому, выполнение нужного количества циклов вычислений и многое другое. Такая программа составлена и успешно применяется на завершающем этапе уравнивания. Она составлена как отдельный модуль Microsoft Visual Basic, вызываемый как Макрос из Книги программы MS Excel.

При уравнивании неизвестных прямым методом возникает проблема с оценкой точности, потому что здесь не составляются ни нормальные уравне-

ния, ни матрица весовых коэффициентов.

За основу оценки точности принята выведенная формула

г0\1 + -

'-о

Квадрат средней Средняя квад-

квадратической ратическая ошибки единицы 0Шибка неиз-веса

п-к

где Хт - сумма квадратов уклонений при изменении уравненного неизвестного на величину её средней квадратической ошибки т; 20 — минимальная сумма квадратов уклонений; п — число измерений; к - число неизвестных;

ц - средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Принцип оценки точности показан на рис. 2. Параболой показана зависимость суммы 2=[ру2] от переменного Л. При этом для каждого вестного значения Л. остальные

переменные уравниваются заново.

Отложив вверх от точки А квадрат средней квадратической ошибки единицы веса /Л получим точку Б с

О 1 | К координатой рав-

ной 2т.

Так как точка В лежит на кривой 2 и

имеет координату 2т, вычисленную по (6), следовательно отрезок БВ равен средней квадратической ошибке т неизвестного К.

Однако найти точку В даже с помощью ЭВМ затруднительно: нужно

Е

Единичный отрезок [ру3]пип

I Л

Рис. 2. Сущность оценки точности

многократно изменять координаты данного неизвестного, уравнивая координаты остальных неизвестных, пока не получим нужную сумму '¿т.

Между тем есть более простой способ. Изменим данное неизвестное Я на единицу длины от уравненного значения /?» до Яо+1. Заново уравняем остальные неизвестные. Если кривая X является параболой, то для длины отрезка ЕС будем иметь вес неизвестного Р.

Отсюда вытекает примечательный вывод: вес неизвестного Р равен половине второй производной функции 2 по переменной Я в точке минимума. Отсюда следует уже очевидный вывод: чем больше вторая производная, тем круче минимум у параболы, тем больше вес неизвестного.

Заметим, что если оценку точности проводить на этапе проектировании сети, то сумма 20 = [] равна нулю, потому что измеренные элементы вычислены по приближённым координатам точек. При этом парабола будет касаться оси ОЯ. Форма параболы как и вес неизвестного не зависит от средней квадратической ошибки единицы веса ц. Для оценки ожидаемой точности определения неизвестных величину ¡л следует взять из проекта.

При обработке уже выполненных измерений форма параболы не меняется. Она только поднимается вверх на величину Zo. Величина ¡1 учитывается автоматически при уравнивании.

Заметим, что для каждого неизвестного своя парабола с разными параметрами Р. Однако обе ординаты параболы Zo и одинаковы для всех неизвестных.

Наряду с методом наименьших квадратов может применяться и метод наименьших модулей (МНМ), в котором неизвестные находятся под условием минимума суммы абсолютных значений уклонений. Этот метод, как более понятный и логичный, известен уже давно. Однако он не нашёл широкого применения, вероятно только потому, что обработка измерений в нём более сложна по сравнению с МНК. В последние годы к нему вновь появился инте-

рес, потому что сложность обработки измерений не является препятствием при использовании ЭВМ.

Упомянутая функция "Поиск решения" позволяет реализовать данный метод точно так же, как и МНК с одним только отличием: в целевую ячейку нужно поместить вместо суммы [у2], сумму модулей

Известно, что этот метод иногда не даёт однозначного решения, зато он более устойчив к грубым ошибкам измерений и что наиболее существенно позволяет достаточно уверенно находить грубые ошибки.

Для некоторых плановых сетей была исследована зависимость суммы /"Л'¡} от величины х одного неизвестного. Для остальных неизвестных уравнивание под условием [¡у[]=тт выполнялось заново. Выявилось, что если измерения не содержат ошибок, т.е. вычислены по координатам точек, то зависимость линейная (рис. 3). Для измерений с ошибками имеем ломанную линию (рис. 4) с более или менее пологими участками вблизи минимума. За пределами влияния ошибок измерений, когда все поправки приобретают один знак "плюс" или "минус", зависимость снова становится линейной.

УМ

Ш

X

X

Рис. 3. График суммы модулей при отсутствии ошибок измерений

Рис. 4. График суммы модулей при наличии ошибок измерений

Более универсальной оценкой точности является оценка по доверительному интервалу. Для неё можно использовать формулу

Г

Т-р^Хо 1 +

и

'р

п-к '

(5)

где ¡р— коэффициент Стьюдента, соответствующий вероятности Д

- сумма квадратов уклонений, соответствующая границам доверительного интервала.

Считают очевидным, что уравненное значение неизвестного находится в середине доверительного интервала. Однако для нелинейных уравнений такой симметрии может не быть. В этом случае для строгой оценки точности нужно найти нижнюю хт,„ и верхнюю хтах границы доверительного интервала, найдя два корня уравнения

где 2р найдено по (5). Корней может быть и больше двух. Это может свидетельствовать о наличии локальных минимумов у функции <р(х), что вполне возможно для нелинейных уравнений.

Оценка по доверительному интервалу может успешно применяться в случае, когда точность вывода из уравнивания некоторых неизвестных соизмерима с их величинами, а также при аппроксимации функциями дискретной выборки, когда требуется оценить точность нахождения некоторых коэффициентов подбираемой функции, особенно если эти коэффициенты имеют физический смысл.

В третьей главе рассмотрена оценка точности предлагаемым способом для двух переменных, коррелированных между собой. Такая задача имеет место при уравнивании плановых геодезических сетей и оценке точности с помощью эллипса ошибок.

Кроме эллипса ошибок можно найти кривую весов (рис. 5). Последняя является кривой четвёртого порядка и в некоторых источниках называется подерой.

2 р = <р( х)

(6)

Сущность способа оценки точности для плановых геодезических сетей показана на рис. 6. Оси X и У относятся к плоской прямоугольной системе координат, в которой выполняется уравнивание сети. По оси X отложены суммы квадратов уклонений. Координатами Х0 и У0 обозначены уравненные координаты пункта.

Эллипсом ошибок является сечение параболоида горизонтальной плоскостью с координатой '¿=2т. Так как сразу найти эллипс затруднительно используется цилиндр радиусом г. Проекция на плоскость ХОУ линии пересечения параболоида и цилиндра является кривой весов (если г=1).

Для каждого пункта сети имеем свой параболоид со своими параметрами. От точности измерений зависит удаление параболоида от плоскости ХОУ. Но форма параболоида не зависит от точности измерений, а зависит от схемы сети. Поэтому определить параболоид и нарисовать эллипсы ошибок для всех пунктов сети можно до производства измерений на этапе проектирования сети, задавшись точностью измерений.

В работе выведены формулы для нахождения кривой весов и эллипса ошибок по восьми точкам через 45°. Формулы даны для первых 4-х точек. Для остальных точек формулы те же.

Вычисляем веса - Р4 по приращению суммы квадратов уклонений при перемещении уравненных координат пункта на единицу длины в направлениях с азимутами (дирекционными углами) 0°, 45°, 90° и 135°.

Эллипс ошибок

Кривая весов

Рис. 5. Взаимное расположение кривой весов и эллипса

Рис.6. Принцип нахождения эллипса ошибок

Контролем являются равенства

Р,+Р3=Р2+Р4=А + В.

Для длин полуосей кривой весов получены формулы

, Р,+Р,+С Р2+Р4+С

А =-=-,

2 2

Р,*Р,-С_Р2+Р4-С 2 2 где С - вспомогательная величина:

С2 = (Р3 -Р])2+ (Р4 - Р2 )2 = (А - В)2. Азимут малой оси можно найти по формуле:

I Р4-Р2

а0 = --агс1е-.

0 2 Р3-Р1

Для полуосей эллипса ошибок используем известные формулы

■Лв 4а

(И)

Азимут а0 малой полуоси эллипса будет отличаться от ао на 90°.

При уравнивании координат пунктов сети две координаты одного пункта коррелированы между собой. Если бы не было корреляции, оси эллипса ошибок были бы сориентированы параллельно осям координат.

В общем случае оси эллипса сориентированы в любом направлении (рис. 7). При уравнивании традиционным способом средние квадратические ошибки уравненных координат тх и ту равны половинам сторон описанного прямоугольника. Принято считать обобщённую ошибку координат пункта по формуле

т = + т2у , (12)

В результате получим преувеличенную ошибку в положении пункта, так как реальный эллипс ошибок заменяется окружностью радиусом т\ площадь круга может быть значительно больше площади эллипса.

В предлагаемом способе оценки точности имеются следующие особенности. Оценка точности выполняет-Рис. 7. Средние квадратические ся путём изменения урав-

ошибки по осям координат

ценных координат на 1 и последующего уравнивания остальных неизвестных. Это можно выполнять независимо и отдельно по одной, затем другой координате одного пункта. При уравнивании остальных неизвестных может быть два варианта: включать или не включать в уравнивание другую координату этого же пункта.

Анализ этого вопроса показывает, что если другая координата тоже уравнивается вместе с другими неизвестными, то для оцениваемой координаты, например X, получим такое же значение тх как и в традиционном способе. При этом другая координата после уравнивания изменится так, что точка О переместится в точку А, или, если оценивается координата У, - в точку В.

Если другая координата не уравнивается, то точка О перемещается в точки С и Д, а средние квадратические ошибки становятся заметно меньше. Последнее обосновано и вполне понятно. Так как другая координата не уравнивается заново и сохраняет фиксированное (уравненное) значение, поэтому точка О перемещается в точки С и Д по осям координат. Эти перемещения равны двум полярным расстояниям среднего квадратического эллипса. Прямоугольник, построенный по ошибкам тх и тх, и описанный вокруг прямоугольника круг ближе подходят к площади эллипса, чем прямоугольник и круг построенные по ошибкам тх и ту. Между тем это не означает, что для обобщённой оценки точности лучше взять в формуле (12) ошибки тх и ту. Они могут дать сильно преуменьшенное значение ошибки (рис. 8).

Представляет интерес сложение эллипсов для одной и той же определяемой точки.

Сложение эллипсов можно условно разделить на два вида: параллельное и последовательное. При параллельном сложении суммируются веса исходных

оценки точности для вытянутого эллипса

эллипсов. Примером параллельного сложения могут служить два висячих теодолитных хода, заканчивающиеся на одном определяемом пункте. Для каждого хода имеем свой эллипс, а для средних (среднего весового) координат получим эллипс параллельного сложения.

При последовательном сложении суммируются квадраты средних квадра-тических ошибок. Примером являются два последовательных теодолитных хода. Для каждого хода в отдельности имеем свой эллипс. Эллипс для второго хода найден при условии, что опорным пунктом для него является конечная тока Ь первого хода.

Суммарный эллипс как для параллельного, так и для последовательного сложения не должен касаться ни одного из складываемых эллипсов (рис.9). В работе приведена графическая иллюстрация сложения эллипсов.

Если определяются все три координаты точек, то по каждой координате имеем, в общем, разные ошибки. Разные средние квадратические ошибки по осям координат удобно показать с помощью эллипсоида ошибок.

Определение эллипсоида ошибок оправдано только в случае совместного определения координат и высот точек, в частности, способами пространственных линейных и угловых засечек.

Рис. 9. Сложение двух эллипсов ошибок

Принцип нахождения эллипсоида ошибок подобен рассмотренному выше определению эллипса ошибок. Для определения параметров эллипсоида на-

•Исходные эллипсы

Последовательное сложение

Параллельное сложение

ходим вначале уравненные координаты Х0, У0, Но данного пункта и минимальную сумму квадратов уклонений Z0. Задаёмся единичным отрезком, например 4s=l м, на который будем изменять координаты точки в разных направлениях. При этом будем иметь сферу радиусом As вокруг точки с тремя уравненными координатами. Формулы для координат точек, располагающихся на сфере в зависимости от азимута а и угла наклона v, имеют вид

Xt = Х„+ As-cosaj ■ cosv,, У,|=У9 + As-sina,,-cosv,, (13)

Hj = II0 +As-sinVj

Изменив no (13) координаты определяемой точки и уравняв остальные неизвестные, получим новую сумму Zf квадратов уклонений, по которой находим вес неизвестного в данном направлении

О4)

As

Затем находим среднюю квадратическую ошибку.

Заметим, что в пространственных засечках координаты точек определяют обычно независимо от других точек. В этом случае неизвестными являются только три координаты определяемой точки, и повторного уравнивания остальных неизвестных делать не приходится.

В четвёртой главе выполнено математическое моделирование.

Теоретические исследования задач уравнивания и оценки точности проверены на конкретных примерах. Выполнено моделирование для сети треугольников с разной привязкой к опорным пунктам (координатная привязка, координатная привязка совместно с угловой, привязка к базисам) и разной комбинацией измерений (измерены только углы, измерены только длины сторон, измерены и углы, и длины). Один из 9-ти вариантов приведен на рис. 10 и в таблице 1.

Выполнено также моделирование различных вариантов полигонометриче-ских ходов, угловых и линейных засечек, пространственных угловых засечек.

Моделирование показало немало далеко не очевидных особенностей в оценке точности для различных схем геодезических построений и измерений.

Измерены и углы, и длимы

Рис.10. Схема геодезической сети и эллипсы ошибок для точки 8 (координатная и угловая привязка)

Таблица 1. Результаты оценки точности для точки 8 Средние квадратические ошибки измерений: направления 3,6", расстояния Р/57300

Вес (град/м)2 • Ю6 Ср. кв. ошибка, см

Азимут Измерены Измерены Измере- Измере- Измере- Измерены

только только ны ны ны и углы, и

углы длины и углы, и только только длины

длины углы длины

0° 342 86 458 5,4 10,8 4,7

45 219 203 602 6,8 7,0 4,1

90 90 343 797 10,5 5,4 3,5

135 213 226 653 6,9 6,7 3,9

180 341 86 459 5,4 10,8 ,_ 4,7

225 219 203 602 6,8 7,0 4,1

270 90 343 797 10,5 5,4 3,5

315 213 226 653 6,9 6,7 3,9

Кривая весов Эллипс ошибок

Большая полуось 342,0 343,5 798,9 10,5 10,8 4,7

Малая полуось 90,0 85,5 456,1 5,4 5,4 3,5

Азимут полуоси 0,8° 92,6° 94,3° 90,8° 2,6° 4,3°

Для проверки правильности вычисляемых элементов эллипсов выполнено математическое моделирование с вводом случайных ошибок измерений. Для этого разработан генератор чисел (ошибок) нормального закона распределения.

На рис. 11 представлено 100 отклонений уравненных координат точки 8 (рис. 10) для координатной привязки. Для нахождения каждой точки на рисунке вводился свой массив случайных ошибок измерений в исходные углы и расстояния, строго подчиняющийся нормальному закону. На рисунке показаны результаты всех ста выборок, полученных подряд, без корректировки результата. Поэтому оставлена одна из точек, имеющая четырёхкратное превышение ошибки по сравнению со средней квадратической ошибкой: вероятность такой большой ошибки составляет около 1:10000.

В пределах эллипса средних квадратических ошибок должно находится по теории 0,39 от числа всех точек. Здесь имеем 37-38 точек из 100. В трёхкратный эллипс (1/1=3) попадают 99 выборок.

-0,2м

гр-3

+0,2м

-0,2м

Рис. 11. Отклонения уравненных координат при введении случайных ошибок в измеренные углы и расстояния

Подобное моделирование было выполнено и для других схем геодезических измерений. Все они подтверждают достоверность способа нахождения эллипсов ошибок.

В пятой главе описано применение поискового метода для решения других задач геодезии.

Для поиска грубых ошибок измерений проведено сравнение метода наименьших квадратов (МНК) и метода наименьших модулей (МНМ). Установлено преимущество использования МНМ по сравнению с МНК. Если число избыточных измерений превышает число грубых ошибок, МНМ даёт поправки только для ошибочных измерений, а МНК распыляет ошибки на многие другие измерения.

Выведены формулы нахождения элементов ковариационной матрицы и коэффициентов корреляции между уравненными неизвестными поисковым методом. Для этого при повторном уравнивании вычисляются приращения всех остальных неизвестных, когда основное неизвестное изменяется на фиксированную величину. Одновременно выводится ещё один способ нахождения эллипса ошибок для основного неизвестного. На примере четырёх неизвестных показано совпадение результатов поисковым и параметрическим методами. Подчёркивается факт, что для оценки точности всех неизвестных поисковым методом требуется найти дополнительно столько минимумов целевой функции, сколько неизвестных. Этих задач на минимум достаточно, чтобы найти все эллипсы, весовые или корреляционные коэффициенты.

На примере обратной пространственной угловой засечки выполнен анализ трёх разных способов построения эллипса ошибок: два способа по формулам главы 3 и 5, и один способ по формулам, приведенным в «Справочнике геодезиста» (под. ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. М.: Недра, 1966). Сравнение трёх способов показало их идентичность.

Рассмотрены возможные варианты учета ошибок исходных данных опорных пунктов, если известны их эллипсы ошибок или средние квадрати-ческие ошибки координат. Приведены формулы, удобные для поискового

метода. В одном из вариантов в сеть вводится дополнительная мнимая точка с несуществующими координатами. При этом система уравнений, подлежащих решению, расширяется на два нелинейных уравнения.

В приложении к работе дано описание разработанной компьютерной программы для расчёта полигонометрических ходов и рисовки эллипсов ошибок для всех точек хода.

Заключение

Итогом выполненной работы являются следующие результаты.

1. Исследован поисковый метод решения геодезических задач, проведено его сравнение с традиционными методами.

2. Разработана геометрическая интерпретация поискового метода оценки точности для одного и двух коррелированных между собой неизвестных.

3. Выполнено сравнение оценки точности положения пункта из уравнивания по средним квадратическим ошибкам отдельно по каждой оси и с помощью эллипса ошибок.

4. Выведена формула для нахождения доверительного интервала на основе использования поискового метода.

5. Сформулированы задачи параллельного и последовательного сложения эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

6. Разработан алгоритм построения эллипсов ошибок для плановых геодезических сетей с использованием ЭВМ.

7. Выполнено математическое моделирование различных схем геодезических измерений, уравнивания и оценки точности. Проведен анализ точности некоторых геодезических построений.

8. На основе поискового метода проанализированы задачи:

- пространственной обратной угловой засечки по двум пунктам;

- поиска грубых ошибок измерений;

- нахождения ковариационной матрицы;

- учёта ошибок исходных данных.

9. Составлены компьютерные программы для решения геодезических задач поисковым методом.

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в следующих статьях:

1. Об оценке точности неизвестных при решении нелинейных уравнений по методу наименьших квадратов (Желтко С.Ч.) // Труды Международного форума по проблемам науки, техники и образования. Том 2./ Под редакцией В.П.Савиных и др., - М.:Акад. Наук о Земле, 2001. Стр. 118-119.

2. О построении эллипсов ошибок в плановой геодезической сети. (Желтко Ч.Н., Желтко С.Ч.) // Труды Международного Форума по проблемам науки, техники и образования. Том 3. / Под ред. В.П.Савиных, В.В.Вишневского. - М.: АН о Земле, 2002. - 154 с. 2 с.

3. Об использовании ЭВМ для обработки геодезических измерений. (Желтко Ч.Н., Периков E.H.) // Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 18.04.03, № 797-гд 2003 Деп. 5 с.

4. Об уравнивании измерений и оценке точности приближениями на ЭВМ. (Желтко Ч.Н.) // Прикладная геодезия: Сборник научных трудов. - Ростов н/Д: Рост. гос. строй, ун-т, 2004. - 76 е.: ил.

5. Анализ пространственной угловой обратной засечки по двум точкам. (Желтко Ч.Н.) //Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, № 1192 -В2005. -5 с.

6. Сложение эллипсов ошибок. // Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, № 1193 -В2005. - 5 с.

Лабупгн Вадим Олегович РАЗРАБОТКА СПОСОБА ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ НЕИЗВЕСТНЫХ В МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Автореферат

Подписано в печать 14.04.06г. Формат А-5. Бумага 80 г/м2. Печать трафаретная. Усл.печ.л. 6 Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано с оригинала макета заказчика в минитипографии «Манускрипт» г. Краснодар, тел. 238-48-97

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Лабутин, Вадим Олегович

Введение.

1. Развитие и современное состояние способов уравнивания геодезических сетей и оценки точности.

1.1. История развития точности измерений.

1.2. Распределение ошибок измерений.

1.3. Средняя квадратическая ошибка.

1.4. Эллипс ошибок.!.

1.5. Уравнивание геодезических сетей.

1.6. Априорная оценка точности.

1.7. Современные компьютерные программы для уравнивания сетей.

2. Теоретические основы уравнивания и оценки точности.

2.1. Уравнивание нелинейных уравнений на ЭВМ.

2.2. Оценка точности неизвестных.

3. Построение эллипсов ошибок.

3.1. Общие положения.

3.2. Способ нахождения эллипса ошибок.

3.3. Расчёт элементов эллипса ошибок.

3.4. Графическое представление эллипсов ошибок.

3.5. Эллипсоид ошибок.

4. Анализ выполненных исследований.

4.1. Математическое моделирование.

4.2. Решение сети треугольников.

4.3. Решение полигонометрических ходов.

4.4. Решение плановых угловых засечек.

4.5. Решение пространственных угловых засечек.

5. Поисковый метод для решения других задач.

5.1. Поиск грубых ошибок измерений.^.

5.2. Нахождение элементов ковариационной матрицы.

5.3. Сравнение разных способов нахождения эллипса ошибок.

5.4. Учёт ошибок исходных данных.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Разработка способа оценки точности неизвестных в методе наименьших квадратов"

Измерения являются важной составной частью геодезических работ. Из измерений получают количественную информацию о различных объектах, подлежащих изучению. Любые измерения сопровождаются ошибками. Абсолютно точных измерений нет. Поэтому всегда возникает вопрос: какова точность данных измерений? Вопрос о точности измерений и ответ на этот вопрос является началом и концом всех точных геодезических измерений [27].

Историческое развитие геодезической науки связано с именами таких великих учёных, как К.Гаусс, Ф.Гельмерт, Л.Крюгер, П.Лапласс, А.Лежандр. В нашей стране геодезическая наука получила дальнейшее развитие благодаря работам таких видных учёных, как В.Д.Большаков, П.А.Гайдаев, А.А.Изотов, Ф.Н.Красовский, Ю.В.Линник, А.И.Мазмишвили, К.Л.Проворов, Н.А.Урмаев, А.С.Чеботарёв и многие другие. О них упоминается в [12; 33; 34; 54; 65; 66; 72; 73].

В наши дни современное развитие науки и техники создаёт предпосылки для дальнейшего совершенствования способов обработки геодезических измерений и оценки точности. Использование современных ЭВМ позволяют решить некоторые геодезические задачи более строго по сравнению с традиционными способами их решения. К ним можно отнести прямой поисковый способ нахождения неизвестных по методу наименьших квадратов, когда ЭВМ последовательно многократно изменяет неизвестные до тех пор, пока не будет получен минимум целевой функции. Этой функцией может быть не только минимум суммы квадратов уклонений измерений от их вычисленных значений, но и минимум суммы модулей уклонений, или промежуточные решения между суммами квадратов и суммой модулей.

Уравнивание измерений на ЭВМ путём подбора неизвестных обладает большей наглядностью и возможностью проанализировать строгость уравнивания по сравнению со многими компьютерными программами уравнивания, основанными на традиционных способах. Некоторые из них дают несколько различающиеся результаты, особенно для сложных сетей. Расхождения трудно объяснить и практически невозможно установить, какая программа даёт более строгий результат.

Поисковый метод уже может конкурировать с традиционными способами уравнивания. Чем лучше компьютер, чем выше его быстродействие, тем предпочтительней использование поискового метода. Однако в поисковом методе не составляются нормальные уравнения, да и нет необходимости приводить исходные уравнения к линейному виду, что нужно для оценки точности традиционным способом. Нужен другой способ оценки точности, более совместимый с поисковым методом уравнивания.

В традиционной оценке точности, вследствие линеаризации исходных уравнений, уравненное значение одного неизвестного всегда находится в середине доверительного интервала. Для двух плановых координат одного пункта доверительные интервалы заменяются эллипсом ошибок (доверительная область), в центре которого находятся уравненные значения. В центре эллипсоида доверительной области находятся три уравненные пространственные координаты. Однако в общем случае для нелинейных уравнений такой симметрии может не быть. Для одного неизвестного средние квадрати-ческие ошибки в сторону увеличения и в сторону уменьшения неизвестного могут быть разными. Для двух и трёх неизвестных форма доверительной области может быть более сложной по сравнению с эллипсом и эллипсоидом. Это может иметь место, когда величины неизвестных соизмеримы с ошибками их нахождения, когда схема геодезической сети весьма далека от оптимальной, когда вероятность доверительной области близка к единице, и в некоторых других случаях. Есть задачи, в которых, при какой то доверительной вероятности и выше её, доверительная область вытягиваются с одной стороны в бесконечность.

В этой связи следует отметить заметный вклад в совершенствование теории математической обработки измерений, отражённый в работах Ю.И. Маркузе [43; 44; 45] и В.И. Мицкевича [49; 50; 51]. Ещё в 1980 году В.И. Мицкевич опубликовал статью [48] о поисковом методе оценки точности, основанный на нелинейном программировании и определении эллипса ошибок по изолиниям целевой функции.

Оценку точности тоже можно выполнять поисковым методом практически одновременно с уравниванием. Однако в отличие от уравнивания поисковым методом, когда минимум целевой функции отыскивается один раз, в поисковом методе оценки точности нахождение минимума нужно выполнять многократно. Кроме того, уравнивание поисковым методом очевидно и наглядно, чего нельзя сказать об оценке точности поисковым методом. Возможно, поэтому в современных учебниках по геодезии и нормативных документах нет рекомендаций об использовании поискового метода. Хотя, частично, исключением может служить Пособие [45].

Автор диссертации считает, что поисковый метод не заслуживает такого к нему отношения, и должен найти более широкое применение.

Поэтому рассмотренные в диссертации нетрадиционные способы уравнивания и оценки точности с использованием всех возможностей современных ЭВМ являются достаточно актуальной задачей.

Основной целью работы являются исследования и совершенствование методов оценки точности при обработке геодезических измерений на основе использования ЭВМ.

Задачами, решаемыми в диссертации, являются следующие.

1. Теоретические исследования поискового метода для решения конкретных геодезических задач.

2. Сравнение поискового метода с традиционными методами.

3. Разработка алгоритма оценки точности одного, двух и трёх неизвестных с помощью ЭВМ.

4. Математическое моделирование теоретических исследований.

5. Решение задач уравнивания и оценки точности различных геодезических построений.

Предметом исследования является математическая обработка геодезических измерений.

Объектом исследования является поисковый метод уравнивания неизвестных и оценки точности с использованием ЭВМ.

Научная новизна содержится в следующем:

1. Разработаны алгоритмы оценки точности поисковым методом для решения геодезических задач на ЭВМ.

2. Установлена зависимость веса неизвестного и доверительной области от производных целевой функции.

3. Сформулированы задачи параллельного и последовательного сложения эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

4. Представлена наглядная геометрическая интерпретация поискового метода оценки точности для одного и двух коррелированных между собой неизвестных.

5. Обоснована возможность практического использования пространственной обратной угловой засечки по двум опорным пунктам.

6. Выведены формулы расчёта элементов ковариационной матрицы поисковым методом.

Методы исследования, применяемые в работе, - это анализ, обоснование, математическое моделирование, примеры решения задач и выводы.

Практическая ценность вытекает из актуальности проблемы и заключается в возможности использования результатов исследования на практике.

По теме диссертации опубликовано 6 статей. Основные положения работы автор дважды докладывал на кафедре Кадастра и геоинженерии Кубанского государственного технологического университета, дважды на конференциях в Ростовском государственном строительном университете.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Лабутин, Вадим Олегович

Результаты работы внедрены в учебный процесс по дисциплине Геодезия на кафедре Кадастра и геоинженерии Кубанского государственного технологического университета, в ООО ИИП «Топостройпроект» и ООО «Геопро-ектстрой» при выполнении геодезических работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итогом выполненной работы являются следующие результаты.

1. Проведено теоретическое исследование поискового метода решения геодезических задач и сравнение его с традиционными методами.

2. Разработана геометрическая интерпретация поискового метода оценки точности для одного и двух коррелированных между собой неизвестных.

3. Выполнено сравнение оценки точности положения пункта из уравнивания по средним квадратическим ошибкам отдельно по каждой оси и с помощью эллипса ошибок.

4. Выведена формула для нахождения доверительного интервала на основе использования поискового метода.

5. Сформулированы задачи параллельного и последовательного сложения эллипсов ошибок и рассмотрены пути их решения.

6. Разработан алгоритм построения эллипсов ошибок для плановых геодезических сетей с использованием ЭВМ.

7. Выполнено математическое моделирование различных схем геодезических измерений, уравнивания и оценки точности. Проведен анализ точности некоторых геодезических построений.

8. На основе поискового метода проанализированы задачи:

- пространственной обратной угловой засечки по двум пунктам;

- поиска грубых ошибок измерений;

- нахождения ковариационной матрицы;

- учёта ошибок исходных данных.

9. Составлены компьютерные программы для решения геодезических задач поисковым методом.

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в следующих статьях:

1. Желтко СЛ., Лабутин В.О. Об оценке точности неизвестных при решении нелинейных уравнений по методу наименьших квадратов / Труды Международного форума по проблемам науки, техники и образования. Том 2./ Под редакцией В.П.Савиных и др., - М.:Акад. Наук о Земле, 2001. Стр. 118119.

2. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Желтко С.Ч. О построении эллипсов ошибок в плановой геодезической сети. Труды Международного Форума по проблемам науки, техники и образования. Том 3. / Под ред. В.П.Савиных, В.В.Вишневского. - М.: АН о Земле, 2002. - 154 с. 2 с.

3. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Периков Е.Н. Об использовании ЭВМ для обработки геодезических измерений. Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 18.04.03, № 797-гд 2003 Деп. 5 с.

4. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О. Об уравнивании измерений и оценке точности приближениями на ЭВМ. Прикладная геодезия: Сборник научных трудов. - Ростов н/Д: Рост. гос. строй, ун-т, 2004. — 76 е.: ил.

5. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О. Анализ пространственной угловой обратной засечки по двум точкам. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1192-В2005 5 с.

6. Лабутин В.О. Сложение эллипсов ошибок. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1193-В2005 5 с.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Лабутин, Вадим Олегович, Краснодар

1. Абу Дака Имад (Сирия), Мицкевич В.И. Оценка точности пространственных засечек методами нелинейного программирования // Геодезия и картография. 1994. - №1. - С. 22 - 24.

2. Большаков В.Д., Бывшев В.А., Нейман Ю.М. О решении плохо обусловленных систем нормальных уравнений // Геодезия и картография. 1978. -№10.-С. 20-23.

3. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М.: Недра, 1977. - 367 с.

4. Васильков Д.М., Пигин А.П. Об-уравнивании инженерно-геодезических сетей планово-высотной опоры в системе CREDODAT // Автоматизированные технологии изысканий и проектирования. 2000. - №1. - с. 44.

5. Ватутин В.А., Телевинова Т.М., Чистяков В.П. Вероятностные методы в физичсеких иссследованиях. М.: Наука, 1985. - 208 с.

6. Венецкий И.Г., Кильдишев Г.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Статистика, 1975. - 264 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983.

8. Вершинин В.И. Влияние ошибок весов измерений на результаты уравнивания и оценку точности // Геодезия и картография. 2000. - №3. - С. 1722.

9. Воеводин В.В. , Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М. : Наука, 1984.-318 с.

10. Волков А.Е. Об уравнивании трилатерации поисковым методом. // Геодезия и картография. 1993. - №2. - С. 13-14.

11. Гаусс К.Ф. Избранные геодезические сочинения. Т.1. М.: Изд-во геодез.лит., 1957.- 152 с.

12. Геодезия: Учебное пособие для землеустроительных факультетов сельскохозяйственных вузов / Маслов А.В., Ларченко Е.Г., Гордеев А.В., Александров Н.Н. М.: Геодезиздат, 1958.- 510 с.

13. Гордеев Ю.А. Обобщение приемов оценки точности положения пунктов плановых опорных сетей .- Л.: Мор.трансп., 1959.- 131 с.

14. Гринберг Г.М. Математическая обработка городских геодезических сетей. -М.: Недра , 1992.-192 е.: ил.

15. Гуткин В.Л., Еремин В.В. Вычисление координат и высот пунктов геодезического съемочного обоснования. М.: Недра, 1991. - 144 е.: ил.

16. Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений. М.: Недра, 1972.-214 с.

17. Дъяков Б.Н. Геодезия. Общий курс: Учебное пособие для вузов. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1993. - 171 с.

18. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.-М.: Наука, 1971. -43 с.

19. Желтко Ч.Н. Значимость и весомость измерений в методе наименьших квадратов // Геодезия и фотограмметрия. Ростов н/Д: Рост.инж.-строит.ин-т, 1990. -С. 128 - 136.

20. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Желтко С.Ч. О построении эллипсов ошибок в плановой геодезической сети. Труды Международного Форума по проблемам науки, техники и образования. Том 3. / Под ред. В.П.Савиных, В.В.Вишневского. -М.: АН о Земле, 2002. 154 с.

21. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О., Периков Е.Н. Об использовании ЭВМ для обработки геодезических измерений. Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 18.04.03, № 797-гд 2003 Деп.

22. Желтко Ч.Н., Лабутин В.О. Анализ пространственной угловой обратной засечки по двум точкам. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1192-В2005 5 с.

23. Журкин И.Г., Нейман Ю.М. Методы вычислений в геодезии. М.: Недра, 1988.- 304 с.

24. Зимин В.М. О сопоставлении результатов оценки точности угловых измерений в триангуляции // Геодезия и картография. 2002. - №8. - С. 916.

25. Зимин В.М. Об оценке точности угловых измерений в сети триангуляции // Геодезия и картография. 2001. - № 9. - С. 18-21; № 10. - С. 15-20; № 11.-С. 20-24.

26. Иордан В. Руководство по геодезии. Т. 1.- М.: Геодезиздат, 1939. 692 с.

27. Киселев М.И., Лукьянов В.Ф. Лабораторный практикум по геодезии: Учеб. пособие для техникумов. М.: Стройиздат, 1987.- 208 с.:ил.

28. Клименко А.В. Анализ некоторых результатов определения размеров Земли в античное время // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъемка. -1978. -№1.- С. 147-152.

29. Конусов В.Г. О применении эллипса ошибок при разбивочных работах. -М.: Известия вузов. Строительство и архитектура. 1968г. №8.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.

31. Красовский Ф.Н. Избранные сочинения, т.Ш. М.: Геоиздат, 1955.

32. Куштин И.Ф. Геодезия. Учебно-практическое пособие. М.: «Издательство ПРИОР», 2001,- 448 с.

33. Куштин И.Ф. Куштин В.И. Инженерная геодезия. Учебик. Ростов-на Дону.: «Издательство ФЕНИКС», 2002,- 416 с.

34. Лабутин В.О. Сложение эллипсов ошибок. Деп. в ВИНИТИ 01.09.05, №1193-В2005 5 с.

35. Магуськин Б.Ф. О вероятнейшей оценке математического ожидания // Геодезия и фотограмметрия в горном деле. Свердловск, 1978. - №5. - С. 3-13.

36. Магуськин Б.Ф. Еще раз о вероятнейшей оценке математического ожидания в многомерном случае // Геодезия и фотограмметрия в горном деле. Свердловск, 1982. - №9. с. 3-17.

37. Магуськин Б.Ф. Об одном принципе обработки наблюдений // Геодезия и картография. 1985. - №9. - С. 16-18.

38. Магуськин Б.Ф. Уточнение метода наименьших квадратов для случая непосредственных измерений одной величины // Геодезия и картография. 1987. - №Ю. - С. 28-29.

39. Магуськин Б.Ф. Уточнение формул метода наименьших квадратов для непосредственнных измерений одной величины // Геодезия и картография. 1993. - №4. - С. 10-12.

40. Магуськин Б.Ф. Исследование формул уточненного метода наименьших квадратов // Геодезия и картография. 1994. - №1. - С. 7-9.

41. Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадратов М.: Недра, 1968. -438 с.

42. Маркузе Ю.И. Алгоритмы уравнивания геодезических сетей на ЭВМ. -М.: Недра, 1989.

43. Маркузе Ю.И. Рекуррентное и регуляризованное уравнивание как задача уравнивания с приближенными весами измерений //Изв. вузов. Серр. Геодезия и аэрофотосъемка. 1988. - №6. - С. 3-15.

44. Марукзе Ю.М. Основы уравнительных вычислений: Учебное пособие для вузов. М.: Недра, 1990. - 240 с.

45. Маслов А.В., Гладилина Е.Ф., Костык В.А. Геодезия : Учебник для техникумов." М.: Недра, 1986. 416 е., ил.

46. Мещеряков Г.А., Волжанин С.Д., Киричук В.В. Об уравнивании геодезических измерений с учетом закона распределения ошибок // Геодезия и картография. 1984. - №2. - С. 9-11.

47. Мицкевич В.И. Об оценке точности при определении положения пункта из решения системы нелинейных уравнений // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъёмка. 1980. - № 5. - С. 21-25.

48. Мицкевич В.И., Хасан Ахмад Али (Сирия). Исследование сходимости при вычислении координат способом линеаризованных интераций // Геодезия и картография. 1994. - №6. - С. 14-16.

49. Мицкевич В.И., Ялтыхов В.В. Уравнивание и оценка точности геодезических засечек под различными критериями оптимальности решения // Геодезия и картография. 1994. - №7. - С. 14-16.

50. Мицкевич В.И. Математическая обработка геодезических построений методами нелинейного программирования / Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук. Санкт-Петербург. 2004. - 29 с.

51. Мурзинцев П.П. Предвычисление точности угловых измерений по заданным параметрам эллипса ошибок. Новосибирск: Межвузовский сборник «Исследования по совершенствованию математической обработки инженерно-геодезических сетей», 1987.

52. Папазов М.Г., Могильный С.Г. Теория ошибок и способов наименьших квадратов. М.: Недра, 1968. - 302 с.

53. Проворов K.JI. О точности сплошных сетей триангуляции. М.: Геоиз-дат, 1956. - 163 с.

54. Растригин J1.A. Статистические методы поиска.- М.: Наука, 1968.-376 с.

55. Ратынский М.В. Ортогонгализация взамен нормальных уравнений // Геодезия и картография. 1994. - №11. - С. 21-24.

56. Селиханович В.Г. Геодезия: Учебник для вузов, М.: Недра, 1981.-544 с.

57. Скейвалас И.М. Обобщенная оценка точности результатов уравнивания // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъмка. 1984. - №2. - С. 13-17.

58. Скейвалас И.М. Математическая обработка результатов геодезических измерений. М.: Недра, 1991. - 160 с.

59. Солодов А.Я. О распределении случайной ошибки измерений // Геодезия и картография. 1998. - №1. - С. 22-27.

60. Солодов А.Я. О распределении случайной ошибки измерений плагового положения точки // Геодезия и картография. 2001. - №12 . - С. 16-20.

61. Справочник геодезиста / Под. ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. М.: Недра, 1966.-984 с.

62. Справочник геодезиста: в 2-х книгах. Кн.1 / Под. ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1985. - 455 с.

63. Справочник геодезиста: в 2-х книгах. Кн.2 / Под. ред. В.Д. Большакова, Г.П. Левчука. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Недра, 1985. - 440 е., ил.

64. Тамутис З.П. Проектирование инженерных геодезических сетей . М.: Недра, 1990.-138 е.: ил.

65. Тетерин Г.Н. Периодизация истории геодезии / Итоги XVIII научнотехнической конференции СГГА, 1994 г.: / Межвузовский сборник. Новосибирск, 1995. - С. 31-37.

66. Тетерин Г.Н. О точности геодезических измерений (исторический аспект, тенденции развития) // Геодезия и картография. 1997. - № 8. -С. 49-53.

67. Тищенко А.П. Об одном способе улучшения обусловленности матриц нормальных уравнений // Изв. Вузов . Сер. Геодезия и аэрофотосъемка.-1961.- №5. С.37-46.

68. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

69. Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основами теории вероятностей. М.: Геоиздат, 1958. - 608 с.

70. Шеховцов Г.А. Оценка точности положения геодезических пунктов. -М.: Недра, 1992. 255 е.: ил.

71. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1962. 344 с.

72. Яковлев Н.В. Высшая геодезия: Учебник для вузов. М.: Недра, 1989. -445 е.: ил.

73. Ярмоленко А.С. Минимаксное оценивание и устойчивость при математической обработке геодезических измерений / Горки: БСХА, 1988.-92 с.

74. Ярмоленко А.С. Алгоритм устойчивого способа уравнивания измерений и минимаксное оценивание/Горки: БСХА, 1989. 180 с.

75. Ярмоленко А.С. Устойчивое оценивание параметра положения в одномерном случае // Геодезия и картография, 1993. №4. - С. 6-10.

76. Ярмоленко А.С. Минимаксное оценивание параметра положения в одномерном случае // Геодезия и картография, 1993. №6. - С. 5-9.

77. Ярмоленко А.С. Энтропийный анализ распределения ошибок геодезических измерений // Геодезия и картография, 1997. №3. - С. 17-20.

78. Bjerhammar: Application of Calculus of Matrices Method of Least Squares, with Special References Geodetic Calculations. Trans of the Royal Just of Tehnology. Stockholm, Sweden. N 49.

79. Drake J. Taschenbuch fur Vermessungsingenieure. 6., verbesserte Aufl. Berlin, VEB Vlg.f. Bauwesen, 1975. s.352.

80. HuberPJ. Robust statistics. N.Y., Willey, 1981. - p. 303

81. Reissmann G. Die Ausgleichungsrechnung. Grandlagen und Anwendungen in der Geodasie. 2. Aufl. Berlin, VEB. Vlg. Bauwesen, - 1968. - s. 318.