Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Разработка методики по использованию острорезонансной теории движения ИСЗ для уточнения параметров геопотенциала

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Разработка методики по использованию острорезонансной теории движения ИСЗ для уточнения параметров геопотенциала"

На правах рукописи

БАГРОВ Артем Анатольевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ОСТРОРЕЗОНАНСНОЙ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ ДЛЯ УТОЧНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ГЕОПОТЕНЦИАЛА

Специальность 25 00 32 - Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Y ¿

0031G7939

Москва-2008

003167939

Работа выполнена на кафедре Астрономии и космической геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии

Науный руководитель доктор технических наук, профессор

Яшкин Станислав Николаевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Нейман Юрий Михайлович

кандидат физико — математических наук Сорокин Николай Антонович

Ведущая организация 29 НИИ МО РФ

Защита состоится » 2008 года в 40часов на заседании

диссертационного совета Д 212 143 03 при Московском государственном университете геодезии и картографии по адресу 105064 Москва К - 64, Гороховский пер д 4, МИИГАиК, зал заседаний ученого совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИИГАиК

Автореферат разослан «¿у» а/цили

2008 г

Ученый секретарь

———

диссертационного совета Климков Ю М

Общая характеристика работы

Актуальность работы- Уточнение параметров гравитационного поля Земли - одно из фундаментальных направлений в геодезии Сегодня самые высокоточные технологии в определении коэффициентов разложения гравитационного поля Земли - это методы спутниковой градиентометрии Максимум точности при определении коэффициентов разложений приходитЬя на порядок, близкий к и,т«90(рис 1), и уже при п,т < 45 дает неудовлетворительные результаты

Рис 1 Зависимость СКО определения коэффициентов разложения от степени гармонических коэффициентов

С другой стороны, классические методы динамической геодезии позволяют определять гармонические коэффициенты до порядка п,т«30 При п,те[30,45] оба метода дают результаты с погрешностью, неудовлетворяющей современным требованиям Этот пробел предполагается заполнить методами определения гармонических коэффициентов по

наблюдениям острорезонансных ИСЗ Кроме того, эти методы могут с успехом использоваться при уточнений коэффициентов п, m <t [30,45]

Другим важным обстоятельством использования резонансной теории является учет резонансных эффектов ИСЗ, используемых при уточнении моделей гравитационного поля (спутниковая альтиметрия и спутниковая градиентометрия) В частности, в 2002 году в рамках уточнения гравитационного поля Земли были реализованы 2 проекта спутниковой градиентометрии CHAMP и GRACE Эти спутники, вследствие атмосферного торможения, проходили зону острого резонанса с соизмеримостью 3\46, 5Y77, 2\31, 5Y78, 3\47

Цель диссертационной работы: Опираясь на современный уровень точности в определении коэффициентов гравитационного поля Земли разработать методику по использованию острорезонансной теории движения для уточнения стоксовых постоянных

Основные задачи исследования

1 - качественное исследование движения ИСЗ вблизи острого резонанса, и зависимость этого движения от значений резонансного индекса,

2 - исследование на возможность сепарации резонирующих гармоник Эта проблема возникла в связи с решением задачи, основанной на идеальной резонансной проблеме, и суть ее состоит в следующем Гамильтониан задачи представляют в виде

F = AI(x)+A2(x)cos{y), (1)

где х - медленная переменная, у - быстрая, a ^2(x)cos(y) есть результат следующей операции

^(x)cos(y)= 4,„(x)cos(n/ + np„„)+ ^ (jc)cos(n? + (« + l)f„+1 „)+ , (2)

то есть в амплитуду и период резонансных возмущений входят все гармоники основного резонансного ряда, и как следствие, количество неизвестных больше числа зависимостей,

3 - определение амплитуд и периодов резонансных возмущений в области сепаратрис Область сепаратрис находится на стыке двух теории классической теории возмущений и теории острорезонансных возмущений С одной стороны, в этой области, классическая теория уже дает неудовлетворшельные результаты, а с другой — острорезонансная теория еще не пригодна Поэтому, такие исследования имеют не только теоретический, но и практический интерес,

4 построение численных решений движения ИСЗ вблизи острого резонанса, выбор оптимального метода и шага интегрирования Определения по этому движению основных характеристик движения - амплитуд и периодов, и, как следствие, определение по этим характеристикам соответствующих коэффициентов разложения гравитационного поля Земли Разработка и описание методики по использованию острорезонансной теории движения Составление и программная реализация соответствующих алгоритмов

Научная новизна работы заключается в следующих теоретических и практических достижениях

- разработаны численные схемы при исследовании на устойчивость по Ляпунову системы дифференциальных уравнений, описывающих резонансное движение,

- на основе теории бифуркаций рассмотрена возможность сепарации возмущений резонансного ряда,

- разработана методика сепарации основного и удвоенного, утроенного и т д резонансного ряда,

- получено аналитическое решение дифференциальных уравнений острого резонанса в области сепаратрис,

- на основе численного метода интегрирования Эверхарта, получено численное решение дифференциальных уравнений резонансной орбиты,

- получено решение и численные значения резонансных градиентов для резонансной соизмеримости 2\31,

— получен общий вид интерполяционного полинома, построенный на системе линейно независимых функций В качестве базисных элементов, взята система эллиптических функций Якоби, наиболее полно описывающих резонансную проблему

Практическая значимость работы заключается, прежде всего, в уточнении значений долготных коэффициентов разложения гравитационного поля Земли Расчетная точность в определении долготных коэффициентов предполагается быть на уровне точности определения четных зональных коэффициентов динамическими методами по вековым возмущениям

Исследована численная схема Эверхарта, что позволяет, формально, применять эту схему при интегрировании уравнений движения при решении периодических задач

Реализация основных результатов. В рамках теории движения вблизи острого резонанса разработан и реализован алгоритм решения дифференциальных уравнений движения По этой реализации получены основные характеристики резонансного движения - амплитуды и периоды, как основной резонансной последовательности, так и удвоенной Для реального спутника (проект GOCE) рассчитаны период и амплитуда резонансных возмущений, а также получена зависимость резонансных градиентов от «близости» к острому резонансу Получена зависимость движения ИСЗ в области сепаратрисы Разработана и реализована методика определения долготных коэффициентов по наблюдения ИСЗ, имеющих резонансные орбиты

Все числеиные расчеты и сложные символьные вычисления производились в программной среде компьютерной математики MatLab

Апробация работы- Основные результаты работы обсуждались на 62 - й научно - технической конференции МИИГАиК (2007г), а также на заседаниях кафедры «Астрономии и Космической Геодезии» МИИГАиК

Результаты работы опубликованы в 3 научных публикациях, включенных в перечень ВАК

На защиту выносятся следующие результаты

1 Результаты качественных исследований дифференциальных уравнений движения вблизи острого резонанса

2 Разработанные алгоритмы и методы сепарации долготных коэффициентов внутри основной резонансной последовательности

3 Разработанные алгоритмы и методы сепарации долготных коэффициентов основной и удвоенной, утроенной и т д резонансной последовательности

4 Выведенная функциональная зависимость острорезонансного движения вблизи сепаратрис

5 Результаты исследования для соизмеримость 2\31 (проект GOCE, спутниковая градиентометрия)

6 Разработанная методика определения долготных коэффициентов на основе численного решения методом Эверхарта

Структура и объем диссертации: Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка литературы Общий объем работы - 100 страниц, включая 10 страниц приложений Диссертация содержит 20 рисунков и 2 таблицы Список литературы составил 31 наименование, из них 7 на английском языке

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и основные направления исследований, указана научная новизна, практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведена структура и объем диссертации

Глава 1. Качественное исследование уравнений движения

Основной вопрос, решаемый в данной главе - это поведение системы в окрестности точек покоя Данное исследование проводится в соответствии с теорией Ляпунова об устойчивости Применительно к резонансной задаче суть метода следующая

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений вблизи острого резонанса

4 =-«|Л„^">5ш[«(/,-А„„)] 2 оь,

(3)

и рассмотрим линеаризованную систему вблизи точек, удовлетворяющих соо гношению

(4)

Из решения системы (4) находим стационарные точки и Далее, делая замену переменных

Ч = А - , ДЛ, = £3 - 4"' (5)

и подставляя новые переменные в линеаризованную систему, получим

АЬ, = -п2 —J„_AZ0) созГиб'0' - -ОЬ/, 51пЫ/,(0) -2

91,

Д£,

2 оц / оь-, оь.

(б)

Д£,

Э1,

На основании системы уравнений (6), получим характеристическое уравнение

-'Г-Л,,,^'4

8 8А~Щ 2 "" 91, 9£,

аг2

В зависимости от знака подкоренного выражения в правой части (7), движение может быть двух типов, а именно седло и центр

центр седло

Рис 2 Иллюстративная зависимость фазовых переменных в окрестности точки покоя системы

При проведении численных исследований подкоренного выражения (7) получены следующие результаты

Таблица 1

Секториальная гармоника 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

знак ЛГ + - + + + - + + + - + + + - +

д2Л""> знак—~ 51] - - - + - - - + - - - + - - -

устойчивость • • • • • • • •

неустойчивость • • • • • • •

Данные вычислений принесли следующий результат резонансное движение с четной соизмеримостью —устойчиво, и наоборот,

резонансное движение с нечетной соизмеримостью — неустойчиво На

основании этих исследований сделаны следующие выводы ИСЗ с четной соизмеримостью

1/2,1/4, ,1/14

будут находиться в зоне либрации бесконечно большой период времени, в то время как ИСЗ с нечетной соизмеримостью

1/3,1/5, ,1/15

за конечный промежуток времени покинет зону либрации Глава 2. Методы сепарации в резонансной задаче

В данной главе исследовано два направления

1 - Исследование с использованием аппарата теории бифуркаций Теория бифуркаций, систем дифференциальных уравнений, берущая свое начало в работах А Пуанкаре, описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов систем дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении их параметров Значения параметров, при которых происходят эти качественные изменения фазовых портретов, называются бифуркационными значениями или точками бифуркации

Бифуркационным параметром в резонансной задаче служит выражение (7), которое является функцией коэффициентов гравитационного поля Как следует из результатов главы 1, в зависимости от знака подкоренного выражения (7) движение может быть либо устойчивым, либо неустойчивым При переходе ИСЗ из устойчивого состояния в неустойчивое, и наоборот, качественно меняется картина движения Заметим, что такой переход возможен, если на ИСЗ действует диссипативная сила Такой силой может быть сопротивление атмосферы (соизмеримость 1\15), либо такая сила может

вводиться искусственно Другой фактор, необходимый для реализации данной возможности - значение коэффициента гравитационного поля с большим индексом должно быть больше значения коэффициента с меньшим индексом Так, для соизмеримости 1\15 JI5I5 «1967 10~s < JI6I5 «3 582 10"" При выполнении этих двух условий ИСЗ перейдет из устойчивого (неустойчивого) состояния в неустойчивое (устойчивое), то есть пройдет точку бифуркации По значениям резонансных переменных, на момент бифуркации определяются значения коэффициентов, присутствующих в правой части (7)

Для наглядности, рассмотрим схематический рис 3, где а - величина большой полуоси ИСЗ, 1 - 1' - зона либрации, соответствующая основной резонансной последовательности, 2 - 2' - зона либрации, соответствующая удвоенной резонансной последовательности и т д

Применительно к резонансным возмущениям дело обстоит следующим образом Пусть ИСЗ находится в зоне либрации между точками 1и2(1'и2') рис 3, при этом резонируют гармоники n,n, п+1,п, п+2,п, п+3,п, и т д При переходе через точку 2 (2') в резонанс входят удвоенные гармоники 2п,2п, 2n+l,2n, 2n+2,2n, 2п+3,2п, и т д

Рис 3 Зависимость зоны либрации от индекса резонансной гармоники

2 - Исследование на основе общей и идеальной резонансной проблемы

Решение идеальной резонансной проблемы есть решение, учитывающее возмущения для фиксированного второго индекса Так, при соотношении средних движений ИСЗ и Земли, равным 1\п, в возмущении будут учитываться коэффициенты с индексами п,п, п+1,п, п+1,п+2,п, ,п+т,п, Таким образом, рассматривая идеальную резонансную проблему, как задачу первого приближения, можно по возмущениям в элементах орбиты ИСЗ уточнять значения коэффициентов с индексами п,п, п+1,п, п+1,п, п+2,п, , п+ш,п, Во втором приближении, учитывая основные и удвоенные резонансные индексы 2п,2п, 2п+1,2п, 2п+1,2п, 2п+2,п, , 2п+к,2п, , находим возмущения в элементах орбиты Разность решений общей и идеальной резонансной проблемы дает возможность уточнять значения коэффициентов с удвоенными и т д резонансными индексами Так (рис 4), для соизмеримости 1\2 амплитуда разности решений достигает порядка 2000

, а период резонансных возмущений достигает 1600 суток

d&fta L3

1500 2000

days

Рис 4 Разность решений общей и идеальной резонансной проблемы

Соизмеримость 1\2 По оси ординат даны значения L,

Глава 3. Определение амплитуд и периодов колебаний

Определение периодов и амплитуд является главным фактором при решении острорезонансной задачи Это связано с тем, что в период колебаний и амплитуду входят коэффициенты Ст и соответствующих гармоник Зная функциональную зависимость периода и амплитуды от коэффициентов резонансных гармоник, решается обратная задача по определению долготных коэффициентов

Пусть мы имеем систему (3) Это система обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя степенями свободы Ее решение выглядит следующим образом

£>,и

созМ/Г'-Л,,,)}"

(8)

дЛо»)

где для удобства введены обозначения пц11тЛ^„а) = О., = Д

дЬ,

Зависимость (8) определена при следующих ограничениях

ж 2 7гк , , я 2 як ,

+-+ Д„„</,< — +-+ Я„„ (9)

1п п 2и п

То есть, получена область, в которой пригодна данная теория

Кроме того, исследована зависимость амплитуд и периодов от величины йтп Эта переменная принималась равной нулю вблизи острого резонанса При достаточном «расстоянии» ИСЗ от острого резонанса эта переменная уже не может быть равной нулю На основании этих рассуждений система уравнений (3) примет следующий вид

. 8A<.«<o

h =~Jm cos[n(/3 -¿J + O-Obf-

I OL,

(10)

Решения уравнений (10) будут выглядеть следующим образом

, А 1

Z, =-!— In

a+b+c+d

(П)

/, = — arctan п

tan

tan{rfm(f0-f)}-

tan

tofy^Lii-O-arctai^J^I

Riji« - 0 - Mctan(^p|

+ (12)

где

a = (Ди)2 oos{2(n(/, + /f -2Я„„)+ dm(t-f0))}, b = D2ndm cos{2u(/'0) - Д„,)} , с = Д TO?„:,[cos{2n(/3 - A„„) + 2d„„(f - /„)}],

e = (Ди)* + 2D2nd,„ cos {2и(/,(0) - d;, Из решения (11) получена амплитуда колебаний

1 Дп | (Дл)2 + 2D2ndm cos{ln(C - Д„п|+

(13)

(14)

Рис 5 Зависимость медленной переменной I, от времени для Я,г

Построение решения (рис 5) проводилось для модельного спутника с соизмеримостью 1\2 Учтено влияние гармоники Н22 По оси ординат -

медленная переменная

Глава 4 Численное решение задачи общей резонансной проблемы.

В данной главе обоснован выбор метода интегрирования Эверхарта для решения резонансной задачи Проведено исследование на устойчивость трехточечной схемы интегрирования Устойчивость схемы определяется условием

(15)

где е"~ ошибка на п - ом шаге, а г - множитель перехода от слоя п к слою п+1

Решение неравенства (15) было получено численными методами В результате решения был сделан вывод шаг интегрирования не должен превышать 8 суток

Далее, выбран вид интерполяционного многочлена, наиболее точно описывающий резонансную задачу В качестве базисных функций выступают эллиптические функции Якоби Вид эллиптического интерполяционного многочлена следующий

г„ зп-——т* Х' ж-——¡пХ Х'*[ зп Х Хг"

э-(*)=£/(*•)_-_2_-___2_ (16)

от ———яп——— яп—-—хи——— зп~——

2 2 2 2 2

Кроме того, в результате численного решения резонансной задачи, получены амплитуды и периоды резонансных возмущений для модельных спутников В возмущении ИСЗ учитывались резонансные гармоники Jnn и ]и ы Интегрирование производилось методом Эверхарта с восьмиточечным разбиением в подшагах Шаг интегрирования выбирался из условия

к-А)|->пш1, (17)

где у(<„) - точное решение задачи, а х„ - численное решение

Ниже (табл 2) приведены результаты численного решения дифференциальных уравнений движения острого резонанса Элементы орбиты ИСЗ были выбраны следующие е=0 01,1=30°

Соизмеримость А Амплитуда Л£3 Период (сутки)

1\2 44587837580 24290 6130

1\3 25964986977 132670 577

1\4 17691244208 3580 14322

1\5 13137003951 43955 889

1\6 10300759266 1075 21001

1V7 8385939726 15470 1615

1\8 7017320275 855 22094

1\9 5996634682 10385 1377

1\10 5209966657 920 12420

1\11 4587540056 9430 939

1\12 4084399878 765 12203

1\13 3670371149 14205 685

1\14 3324500774 840 7721

1\ 15 3031817728 7835 1006

Особое внимание уделено учету и использованию резонансных эффектов в спутниковой градиентометрии Спутниковая градиент омет рия позволяет с высокой степенью точности определять высокочастотные характеристики гравитационного поля Земли

Отметим следующую особенность движения спутников CHAMP При движении в верхних слоях атмосферы, эволюция орбиты спутника менялась следующим образом В первую очередь ИСЗ проходит резонанс 3\4б, далее, ограничиваясь наиболее существенными резонансными соотношениями, 5\77, 2\31, 5\78, 3\47 Чтобы продлить время существования спутника и получить дополнительные измерения, включался двигатель, и орбиту приводили в начальное положение Таким образом, ИСЗ 'проходил через резонансы 3\46, 5V77, 2\31, 5\78, 3\47 три раза В данном случае,

использование резонансной теории целесообразно не только в контексте уточнения стоксовых постоянных, соответствующих резонансным соизмеримостям, но и в исключении резонансных возмущений при нахождении градиентов гравитационного поля

В диссертационной работе был произведен численный расчет по исключению резонансных возмущений для спутника CHAMP с соизмеримостью 2\31 Гамильтониан задачи имеет следующий вид

где Э = {а,е,|} — элементы орбиты ИСЗ В условиях постановки данного вопроса, наиболее важные возмущения возникают в большой полуоси Это следуег из того, что градиент поля равен ускорению ИСЗ вдоль направления большой полуоси Находим эти градиенты как численно, так и аналитически

F=Âl>(x) + À1(x)cos(2y),

(18)

а решение задачи выражается через эллиптические функции Якоби

Э = Э„ + <2у к сп(и,к),

(19)

г

a(t-r)-2a(t) + a(t + r)

+ о

(20)

т1

г=~Ау к sn(u,k) dn(u,k)— Zj т

(21)

Здесь Г

период резонансных колебаний Вид функций

cn(u,k)rsn(u,lc) dn{u,k) приведен на рисунках 6 и 7

Рис 6 Вид функции сп(и,к) при различных значениях к

Рис 7 Вид функции эп(и,к) с1п(и,к) при различных значениях к

В конечном итоге, градиент поля будет рассчитан с учетом резонансных эффектов

г=га ~га,

(22)

где первый член в правой части (22) вычисляется по измеренным наблюдениям в соответствии с (20), а численные оценки для второго члена будут иметь следующий вид

г = 215 319/с *п\~г1 + <р,к]^ + (23)

Рис 8 Резонансные градиенты для соизмеримости 2\31 Размерность по оси ординат - сутки, по оси абсцисс - [м / с2 ]

И, наконец, рассмотрен вопрос о методике подхода к выбору характера возмущений в элементах орбиты ИСЗ, а также разработаны общие рекомендации на основании проведенных исследований

1 При запуске ИСЗ с нечетной соизмеримостью, начальные условия необходимо задавать таким образом, чтобы спутник находился в зоне либрации максимальное количество времени

2 При соизмеримости 1\13, 1414, 1\ 15 ИСЗ за счет сопротивления атмосферы естественным образом пройдет точку острого резонанса, а также пройдет точки бифуркации Для достижения максимального эффекта необходимы высокоточные и непрерывные измерения

3 При соизмеримостях, отличных от 1\13, 1\ 14 и 1\15, аналогичный эффект может быть достижим, если искусственно ввести диссипацию

4 В общем случае, по наблюдениям острорезонансного ИСЗ ищется эллиптический многочлен, по которому и определяют долготные коэффициенты разложения гравитационного поля Земли

Отдельно рассмотрен вопрос о возможности сепарации резонансных возмущений и методики определения коэффициентов гармоник по этим же возмущениям Порядок действий при этой процедуре следующий

1 Проводят сепарацию гармонических коэффициентов внутри основной резонансной последовательности, на основании идеальной резонансной проблемы

2 Для удвоенной, утроенной и т д резонансных последовательностей проводят сепарацию, благодаря реализации численных методов и решению этими методами общей резонансной проблемы

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные автором в диссертации

Основные теоретические и практические разработки, выполненные в диссертационной работе

1 Проведено качественное исследование дифференциальных уравнений движения вблизи острого резонанса Определены зоны устойчивости и неустойчивости ИСЗ в зависимости от соизмеримости вращения Земли и спутника, а также от порядкового номера резонансного коэффициента

2 Исследована возможность сепарации резонансного ряда, как по отдельным резонансным коэффициентам, так и по всему ряду индексов

3 Получено аналитическое решение резонансной проблемы вблизи сепаратрисы По этому решению найдены амплитуды и периоды резонансных колебаний

4 Составлен и реализован алгоритм численного решения дифференциальных уравнений движения острорезонансной задачи методом Эверхарта По этому решению получены основные резонансные характеристики движения - амплитуды и периоды

5 Применительно к данной задаче, проведено исследование численной схемы интегрирования на устойчивость, ошибку аппроксимации и найден оптимальный шаг интегрирования

6 Найден интерполяционный многочлен, наиболее точно описывающий резонансную задачу Этот многочлен построен на эллиптических функциях Якоби

7 Получено решение и численные значения резонансных градиентов для резонансной соизмеримости 2\31

8 Разработаны рекомендации по применению резонансных спутников с целью уточнения долготных коэффициентов гравитационного поля Земли

Публикации по теме диссертации

1 Багров А А Исследования устойчивости движения ИСЗ в случае острого резонанса Известия ВУЗов Геодезия и аэрофотосъемка, №5, 2007, с 73 -80

2 Багров А А Обоснование применения численных методов для построения резонансной орбиты Известия ВУЗов Геодезия и аэрофотосъемка, №5, 2007, с 81 - 85

3 Багров А А Определение амплитуд и периодов колебаний для острорезонансного случая Известия ВУЗов Геодезия и аэрофотосъемка, №6, 2007, с 68 - 77

Подписано в печать 09 04 2008 Гарнитура Тайме Формат 60*90/16 Бумага офсетная Печать офсетная Объем 1,5 уел печ л Тираж 80 экз Заказ №81 Цена договорная

Издательство МИИГАиК 105064, Москва, Гороховский пер , 4

Отпечатано в типографии МИИГАиК

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Багров, Артем Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ

ДВИЖЕНИЯ.

1.1 Исследования устойчивости движения.

1.1.1 Определение устойчивости.

1.1.2 Исходные формулы.

1.1.3 Стационарные точки.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ СЕПАРАЦИИ В РЕЗОНАНСНОЙ ЗАДАЧЕ.

2.1 Исследования с использованием аппарата теории бифуркаций.

2.2 Характеристика зон либрации в зоне острого резонанса и их сепарация.

2.3 Идеальная резонансная проблема.

2.4 Общая резонансная проблема.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУД И ПЕРИОДОВ КОЛЕБАНИЙ.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБЩЕЙ РЕЗОНАНСНОЙ

ПРОБЛЕМЫ.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Выбор начальных условий.

4.3 Методика выбора метода численного интегрирования.

4.4 Интегрирование уравнений движения.

4.4.1 Алгоритм решения системы дифференциальных уравнений с осреднением долгопериодических колебаний.

4.4.2 Численное решение дифференциальных уравнений резонансного движения.

4.5 Оценка точности полученного решения, аппроксимация и устойчивость схемы Эверхарта.

4.5.1 Устойчивость численной схемы Эверхарта.

4.5.2 Ошибка аппроксимации, выбор оптимального шага интегрирования и количество разбиений в подшагах.

4.6. Учет и использование резонансных эффектов в спутниковой градиентометрии.

4.6.1. Учет резонансных возмущений.

4.7 Методика определения долготных коэффициентов гравитационного поля Земли.

4.7.1. Сепарация резонансных гармоник.

4.7.2. Требования, предъявляемые к острорезонансным спутникам и их выбор.

4.7.3. Выбор аппроксимирующей функции.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Разработка методики по использованию острорезонансной теории движения ИСЗ для уточнения параметров геопотенциала"

г> 1

С запуском первого искусственного спутника Земли началось освоение космического пространства и, вместе с тем, открылись новые возможности для решения задач теоретической и практической геодезии, а у науки «Геодезия» появилась новая предметная область — «Космическая Геодезия».

Методы, которые использует «Космическая Геодезия» формально можно разделить на два класса:

1 — геометрические

2 - динамические

Роль, как первых, так и вторых при решении задач геодезии трудно переоценить. На современном этапе развития Космической Геодезии, геометрические методы нашли свое применение в спутниковых^ навигационных системах GPS и ГЛОНАСС, радиоинтерферометриических наблюдениях квазаров, лазерной локации и т.д., а динамические, в реализации общего динамического метода по определению параметров гравитационного поля Земли, спутниковой градиентометрии, альтиметрии, системах спутник - спутник, и т.п.

Реализация динамических методов опирается на аналитический аппарат небесной механики. Согласно теории движения искусственных спутников Земли, как следствие классической небесномеханической теории, малые возмущающие факторы вызывают малые изменения в движении ИСЗ. Исключением из этого правила являются ИСЗ с резонансными орбитами. У таких спутников, при малых возмущающих факторах наблюдаются сильные, хорошо сепарируемые долгопериодические возмущения (порядка нескольких лет).

Построение методов динамической геодезии, которые используют спутники с резонансными орбитами условно можно разделить на два этапа.

Первый этап (прямая задача) начался развиваться в 70 - х годах прошлого столетия. Задача решалась для спутника - геостационара соизмеримость 1\1), а затем и для навигационных спутников GPS (соизмеримость 1\2). Цель задачи - учет действующих резонансных возмущений в движении ИСЗ. Эти исследования проводились небесными механиками (Japp, Garfinkel, Тимошкова, Уральская и др.), и к решению геодезических задач были мало пригодны.

Второй этап (обратная задача) по времени относится ко второй половине 70 — х, первой половине 80-х годов прошлого столетия. Задача решалась исключительно в геодезических целях. Цель данной задачи, как и в классической теории динамических методов, - по возмущениям в движении ИСЗ определять некоторые параметры гравитационного поля Земли, а именно, резонирующие гармонические коэффициенты. В изучении данной проблемы большой вклад внесли Яшкин [24], Allan [25], Klokocnik [31], и др.

Опишем вкратце суть резонансных возмущений. Само явление резонанса хорошо знакомо и часто встречается в повседневной жизни (классический пример - качели) и возникает в случае, если соотношение собственной частоты колебаний системы и частоты внешней периодической силы принадлежит множеству рациональных чисел. Применительно к движению ИСЗ это соотношение выглядит следующим образом: q = n*+n» + n-t (1) и® здесь ns - среднее движение ИСЗ, пп— среднее движение линии узлов, п0) — среднее движение линии аспид и п@— средняя угловая скорость вращения Земли. При q е О, где Q - множество рациональных чисел, возникает резонансный эффект. Заметим, что значение q принадлежит более широкому множеству чисел. Это утверждение основано на теореме КАМ [2], суть которой заключается в следующем:

Пусть при Якобиане частот, не равном нулю: да),

2) торы, для которых отношение частот сох / а>2 является достаточно хорошим иррациональным числом, т.е. где т и s - взаимно простые числа, тогда под действием малого [е □ 1) возмущения еН1 торы остаются устойчивыми.

Данное явление можно проиллюстрировать, перейдя к конформному отображению на тор.

На рис ах — частота, соответствующая вращению Земли, а2 - частота, соответствующая суммарному среднему движению узлов, перицентра и ИСЗ. Качественно, поведение ИСЗ, характеризуется топологией кривой которая принципиально может быть описана двумя типами.

1 - тогда кривая у всюду плотно покроет обмотку тора. Возможность описания такого движения возникло благодаря теории КАМ (Колмогоров - Арнольд — Мозер) [2].

2 - q е Q, тогда кривая / будет замкнута, и интуитивно понятно, что классические теории небесной механики не описывают данное явление. Математическое описание таких систем основано на идеях С.Ньюкома, К.Л.Зигеля и А.Н.Колмогорова.

Сделаем замечание относительно замыкания кривой у. Кривая у размерности единица, расположена на поверхности двумерного тора, имеет в

J и

3)

Рис. 1 Инвариантный тор этом пространстве Лебегову меру нуль. Следовательно, вероятность того, что она будет замкнута, также равняется нулю. Этот факт можно сформулировать иначе. Вероятность появления рациональных чисел, как следствие их счетности, в левой части равна нулю (множество иррациональных чисел несчетно). Доказательство этого утверждения, как правило, проводится на отрезке [0;1], а перейти на отрезок [0;1] можно, выбрав соответствующее отображение. Следовательно, говорить о точном замыкании кривой у мы не в праве. Тем не менее, если ввести метрику, как минимальное расстояние г на торе между концами у при ах =2л, то можно говорить об s - замыкании у. Т.е. будем говорить, что при г < е кривая у е - замкнута. Причем, при г <£х (4) система имеет резонанс первого порядка, или, говоря устоявшимися терминами - острый резонанс. Где - заданное значение.

Если же расстояние г принадлежит кольцу ех <г <е2, (5) то говорят, что система имеет слабый резонанс (резонанс второго порядка). Математическая сущность явления слабого резонанса, в небесной механике, выражается следующим соотношением:

So^^os{dnm{t-tQ)+cpnm}, ' (6) dnm здесь <5э - возмущения в элементах орбиты, а величина Kns + кгпа + къпш - тп<в» (7) изоморфна введенному расстоянию г на торе. Как видно из (6), что при dnn -> 0 возмущения в элементах орбиты будут бесконечно возрастать. И, следовательно, при dnm -»0, уравнение (6) уже не описывает резонансное явление. Иначе говоря, формула (6) справедлива при некоторых ограничениях (5). Для описания острого резонанса (условие (4)) вводят соответствующую замену переменных, и, прежде всего, избавляются от dnm, так, чтобы в возмущениях элементов орбиты не возникало неопределенностей. Алгоритм перехода от Кеплеровых элементов орбиты к резонансным элементам будет описан в четвертой главе.

Отметим основные, уже имеющиеся результаты, полученные при решении задачи движения ИСЗ по острорезонансной орбите.

1 - получено, в аналитическом виде, решение идеальной резонансной проблемы;

2 - обоснован и выбран наиболее оптимальный метод построения резонансной теории;

3 - построена резонансная гравитационная теория ИСЗ для случая острого резонанса, пригодная ко всему диапазону используемых в космической геодезии ИСЗ;

4 - исследованы возможности использования созданной резонансной теории для' уточнения положения начала и ориентировки геодезических систем координат;

5 - создана и апробирована методика определения коэффициентов долготных гармоник гравитационного поля Земли по наблюдениям острорезонансных ИСЗ.

Таким образом, опираясь на результаты, полученные при решении острорезонансной проблемы (Яшкин [24], Japp [30], Garfinkel [28], Allan [25], и др.), сформулируем основные научные задачи, которые ставятся в данной диссертационной работе:

1 - выполнить качественное исследование движения ИСЗ вблизи острого резонанса и зависимость этого движения от значений резонансных индексов;

2 - исследование возможности сепарации резонирующих гармоник. Эта проблема возникла в связи с решением задачи, основанной на идеальной резонансной проблеме, и суть ее состоит в следующем: Гамильтониан задачи представляют в виде

F = ^(x)+^2(*)cos(y), (6) где л: — медленная переменная, у — быстрая; а Л2 (x)cos(>) есть результат следующей операции:

А2 (x)cos(y) = 4т (x)cos(n/ + П(рпп)ч- Д,+1,„ (x)cos(nl + (п +1 V„+|,„) +. (7) то есть В; амплитуду и период резонансных возмущений входят все гармоники: основного резонансного ряда, и как следствие, количество неизвестных больше числа зависимостей;

3 - определить амплитуды и периоды резонансных возмущений в области сепаратрис:,Описание движения ИСЗ в:области сепаратрис является особым случаем - так как, в этой области уже не действует, как резонансная теория, так и классическая: В самом деле, по введенной выше терминологии, область сепаратрис определяется числом sl, но это число не входит ни в область острого резонанса, ни в область слабого резонанса. Поэтому, такие исследования носят не только теоретический; но и практический интерес;

4 - построить численные решения движения ИСЗ в близи, острого резонанса; с выбором оптимального метода и шага интегрирования; Определения по этому движению основных характеристик движения -амплитуд и периодов, и, как следствие, определение по этим характеристикам - соответствующих коэффициентов разложения гравитационного поля Земли.

5 - разработать и описать методику по использованию острорезонансной теории движения и на её основе создать методику по определению соответствующих коэффициентов геопотенциала. Составить и реализовать программу на базе разработанных алгоритмов.

Заметим, что при разработке методики по использованию острорезонансного эффекта в работе не были учтены негравитационные факторы (сопротивление атмосферы, солнечная, радиация и т.д.). Этот пробел связан с удачными разработками западных инженеров и ученых, в результате которых при помощи специально разработанных акселерометров с необходимой точностью учитывают все негравитационные силы. Данная установка была успешно апробирована на проекте GRACE [27].

Отметим важность и актуальность данного исследования применительно к настоящему моменту. Сегодня, самые высокоточные технологии в определении коэффициентов разложения гравитационного поля Земли — это методы спутниковой градиентометрии. Максимум точности, при определении коэффициентов разложений приходится на порядок, близкий к п,т « 90 (рис. 2), и уже при п,т < 45 дает неудовлетворительные результаты.

Рис. 2 Зависимость СКО определения коэффициентов разложения от степени гармонических коэффициентов.

С другой стороны, классические методы динамической геодезии, позволяют определять гармонические коэффициенты до порядка ri,m«30. При п,т<= [30;45] оба метода дают результаты с погрешностью неудовлетворяющей современным требованиям. Этот пробел предполагается заполнить методами определения гармонических коэффициентов по наблюдениям острорезонансных ИСЗ. Кроме того, эти методы могут с успехом использоваться при уточнений коэффициентов п,т<£ [30,45].

Другим важным обстоятельством использования резонансной теории — учет резонансных эффектов ИСЗ используемых при уточнении' моделей гравитационного поля (спутниковая альтиметрия и спутниковая градиентометрия). В частности, в 2002 году, в рамках уточнения гравитационного поля Земли были реализованы 2 проекта спутниковой градиентометрии CHAMP и GRACE. Эти спутники, вследствие атмосферного торможения, проходили зону острого резонанса с соизмеримостью 3\46, 5\77, 2\31, 5Y78, 3\47 [29].

Научная новизна работы заключается в следующих теоретических и практических достижениях: разработаны численные схемы для исследования на устойчивость по Ляпунову системы дифференциальных уравнений, описывающих резонансное движение; на основе теории бифуркаций рассмотрена возможность сепарации возмущений резонансного ряда; разработана методика сепарации основного и удвоенного, утроенного и т.д. резонансного ряда; получено аналитическое решение дифференциальных уравнений' острого резонанса в области сепаратрис; на основе численного метода интегрирования Эверхарта, получено численное решение дифференциальных уравнений резонансной орбиты; получен общий вид интерполяционного полинома, построенного на основе линейно независимых функций. В качестве базисных элементов, взята система эллиптических функций Якоби, наиболее полно описывающих резонансную проблему.

Практическая значимость работы заключается, прежде всего, в уточнении значений долготных коэффициентов разложения гравитационного поля Земли. Предполагаемая точность определения секториальных гармоник по резонансным возмущениям, как показала практика таких определений [26] находится на уровне точности определения коэффициентов четных f ♦ зональных гармоник общим динамическим методом с использованием вековых возмущений.

Исследована численная схема Эверхарта, что позволяет, формально, применять эту схему интегрирования уравнений движения при решении периодических задач.

Реализация основных результатов В рамках теории- движения вблизи острого резонанса разработан и реализован алгоритм решения дифференциальных уравнений движения. По этой реализации получены основные характеристики резонансного движения - амплитуды и периоды, как основной резонансной последовательности, так и удвоенной. Получена зависимость движения ИСЗ в области сепаратрис. Разработана и отлажена методика определения долготных коэффициентов по наблюдения ИСЗ имеющих резонансные орбиты.

Все численные расчеты и сложные символьные вычисления-производились в программной среде компьютерной математики MatLab.

Апробация работы Основные результаты работы обсуждались на 62 — й научно - технической конференции МИИГАиК (2007г), а также на заседаниях кафедры «Астрономии и Космической Геодезии» МИИГАиК.

Результаты работы опубликованы в 3 научных публикациях.

На защиту выносятся следующие положения

1. Результаты качественных исследований дифференциальных уравнений движения вблизи острого резонанса.

2. Разработанные алгоритмы и методы сепарации долготных коэффициентов внутри основной резонансной последовательности.

3. Разработанные алгоритмы и методы сепарации долготных коэффициентов основной и удвоенной, утроенной и т.д. резонансной последовательности.

4. Выведенная функциональная зависимость острорезонансного движения вблизи сепаратрис.

5. Разработанная методика определения долготных коэффициентов на основе численного решения методом Эверхарта.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка литературы. Общий объем работы - 100 страниц, из них 87 страницы без списка литературы и 10 страниц приложения. Диссертация содержит 20 рисунков и 2 таблицы. Список литературы составил 31 наименование, из них 7 на английском языке.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Багров, Артем Анатольевич

ВЫВОДЫ: При решении дифференциальных уравнений движения острорезонансного ИСЗ был выбран, исходя из условия ||x(/)-x(/)j| -»min метод численного интегрирования. Проведен анализ численной схемы на устойчивость, получен порядок аппроксимации, а также даны указания по выбору оптимального шага интегрирования и количеству разбиений в подшагах. В рамках метода спутниковой градиентометрии описаны пути подхода по поиску резонансных коэффициентов при дрейфе спутника в верхних слоях атмосферы. Как показали вычисления, зависимости возмущений от величины близости к острой соизмеримости имеют сложную структуру даже в первом приближении. В этой связи рекомендуется проводить доскональный численный анализ движения ИСЗ в зоне острого резонанса при воздействии атмосферы. Найден вид интерполяционного многочлена, наиболее точно описывающий резонансную задачу. Описаны общие рекомендации определения долготных гармоник геопотенциала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем в заключении общий итог решенных в настоящей работе проблем, задач и выполненных исследований.

С использованием промежуточной орбиты обобщенной задачи двух неподвижных центров проведено качественное исследование системы дифференциальных уравнений, описывающих движение вблизи острого резонанса.

Выявлен тип устойчивости системы в зависимости от резонансной соизмеримости. Результат исследований: при четной1 соизмеримости движение устойчиво, при нечетной - неустойчиво.

Исследована возможность сепарации возмущений:

1 - гармонических коэффициентов внутри основной резонансной последовательности, на основании идеальной резонансной проблемы. Наиболее оптимально, осуществление данного случая, достигается при непрерывных наблюдениях ИСЗ. Главное условие реализации -диссипативный параметр. В случае резонансного соотношения 1\15 — диссипативный параметр естественным образом присутствует в системе.

2 - основной резонансной последовательности и удвоенной, утроенной и т.д. Данный вид сепарации возможен, благодаря реализации численных методов и решение этими метода общей резонансной проблемы. Точность полученных данных напрямую зависит от точности реализуемого численного алгоритма и точности учета возмущений, не имеющих отношений к резонансному явлению.

- Проанализирована зависимость периодов и амплитуд в зависимости от величины.^ и выявлена область применимости теории острого резонанса.

- Для области сепаратрис, получена зависимость поведения резонансной переменной от времени. Амплитуды и периоды, для этой области выявляются численно.

При решении дифференциальных уравнений движения острорезонансного ИСЗ был выбран, исходя из условия ||x(r)-5c(f)||-» min метод численного интегрирования. Проведен анализ численной схемы на устойчивость, получен порядок аппроксимации, а также даны указания по выбору оптимального шага интегрирования и количеству разбиений в подшагах.

В рамках спутниковой градиентометрии исследована возможность учета резонансных возмущений при определении стоксовых постоянных.

Найден вид интерполяционного многочлена, наиболее точно описывающий резонансную задачу. Построены решения методом Эверхарта для различных соизмеримостей. По этим решениям найдены основные характеристики острорезонансного движения - амплитуды и периоды. Описаны общие рекомендации определения долготных гармоник геопотенциала.

Все численные расчеты, программный код, сложные символьные вычисления реализованы в системе компьютерной математики MatLab.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Багров, Артем Анатольевич, Москва

1. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М., Наука, 1977. - 360 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Едиториал УРСС, 2000. - 408 с.

3. Багров А.А. Исследования устойчивости движения ИСЗ в случае острого резонанса. Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, №5, 2007, с.73 80.

4. Багров А.А. Обоснование применения численных методов для построения резонансной орбиты. Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, №5, 2007, с.81 85.

5. Багров А.А. Определение амплитуд и периодов колебаний для острорезонансного случая. Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, №6, 2007, с.68 77.

6. Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений. Том 1. — М., Наука, 1959. 620 с.

7. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М., Факториал пресс, 2002. - 544 с.

8. Гребенников Е.А. Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М., Наука, 1971. 442 с.

9. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М., Наука 1964. - 560 с.

10. Зайцев В.Ф. Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Физматлит, 2001. - 576 с.

11. Зленко А.А. Поступательно — вращательное движение резонансных спутников. М., 2004. 185 с.

12. Каула В.М. Космическая геодезия. М., Недра 1966. -164 с.

13. Магницкий Н.А. Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М., Едиториал УРСС, 2004. 320 с.

14. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М., Наука, 1966. 530 с.

15. Плахов Ю.В. Применение теории возмущений в космической геодезии. М., Недра 1983. - 200 с.

16. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука 1971. — 553 с.

17. Тихонов А.Н. Самарский А А. Уравнения математической физики. М., Наука 2004. - 798 с.

18. Треногин В.А Функциональный анализ. М., Наука 2002. -488 с.

19. Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли. М., Недра 1975. - 430 с.

20. Эльсгольц Л.В. Дифференциальные уравнения. М., КомКнига, 2006. 312 с.

21. Яшкин С.Н. Преобразование оскулирующих элементов к элементам резонансной орбиты в спутниковой задаче. Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, №3, 1981, с.ЗЗ -38.

22. Яшкин С.Н. Канонические преобразования элементов резонансной орбиты методом Депри — Хори. Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, №5, 1981, с.77 — 83.

23. Яшкин С.Н. Алгоритм вычисления резонансной орбиты. Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, №6, 1981, с.69 — 74.

24. Яшкин С.Н. Применение теории резонансных возмущений в движении ИСЗ для решения динамических задач космической геодезии. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. М., 1984, 286 с.

25. Allan R.R. Satelites resonance wih the longitude dependent gravity. Effect involing the eccentricity. - Planet and Sp. Sci., 15 No 12, 1967, 1829-1845.

26. Anderle R.T. Observations of resonance effect on satellite orbits arising grom the thirteenth and fourteenth — order terrestreal gravitational coefficients. - J.Geophys. Res., 70, № 10, 1965, 2453 -2488.

27. Charles Dunn, Willy Bertiger etc . Application of system GPS provides more exact research of a gravitational field. GPS World, 2003.

28. Garfinkel B. Global solution og the ideal resonance problem. -Celest. Mech., 8, No2, 1973, 207 212.

29. Gooding R.H., Wagner C.A., Klokocnik J., Kostelecky J., Gruber Ch., CHAMP and GRACE resonances, and the gravity field of the Earth. Advances in Space Research, №10, 2007, 1604 1611.

30. Jupp A.H. A Solution of the Ideal Resonance Problem for the Case of Libration. The Astronomical Journal. №1, 1969, 35-43.

31. Cl=l; c2 = 3; c3 = 15; C4 = 105; c5 = 945; c6=10395; c7 = 135135; c8=2027025; C9=34459425;

32. Cl0=654729075; cll=13749310575; Cl2=316234143225; Cl3=7905853580625; С14=213458046676875; Cl5=6190283353629375; cl6=191898783962510625; Cl7=633 2659870762850625;

33. C= Cl;c2;c3;c4;c5;сб;c7;c8;c9;ClO;Cll;Cl2;Cl3;Cl4;Cl5;cl6;cl7. ; k=C(n) ;syms u Sa=(l-SA2*sin(u) л2)A (n/2) ; b=atan(sqrt(1-SA2)*tan(u)); d=exp(sqrt(-1)*n*b); d=a*d;b=diff(d,S);b=subs(b, 1S' ,s) ;alfa=int(b,u,0,2*pi)/2/pi*k;function lam=Lam(n)

34. J2=0.243 914 3 52 3 98E-05;J3=0.721072657057E-06;J4=-0.188560802735E-06;

35. J5=0.174971983203E-06;J6=0.967616121092E-08;J7=0.109185148045E-08;

36. J8=-0.124092493 016E-06;J9=-0.477475386132E-07;J10=0.100538634409E-06;

37. J11=0.460344448746E-07;J12=-0.249532607390E-08;J13=-0.612759553199E-07;

38. Переход от элементов орбиты к координатам ИСЗ х у z X Y Z.=elkoor(а,е,i,W,w,M,m);

39. Y0=х X у Y z Z. ; t=3600*l.5;tl=90; [T,G]=ode45('vozmuschl', [0 t], Y0);

40. T,G1.=ode45('vozmusch', 0 t], Y0);functionx,y,z,X, Y, Z. =elkoor(a,e,i,W,w,M,m) d=l;E=M+e.*sin(M); eps=10~-25; while d>eps

41. X=sgrt(ш./р) .* ( (e.*sin(v)) .*ax+(1+e.*cos(v)) .*axu); Y=sqrt(ш. /p) .* ((e.*sin(v)) .*ay+(1+e.*cos(v)) .*ayu); Z=sqrt(ш. /p) .*((e.*sin(v)) .*az+(1+e.*cos(v)) .*azu);function F=vozmusch(t,x) A=load('coof.txt' , 'w');

42. C=A(: , 3) ; S=A ( : ,4) ;C1=A(:,5) ; S1=A(:,6); nn=A(:,l); mm=A(:,2) ; J=sqrt(C.a2+S.a2);Jl=sqrt(CI.^2+Sl.л2);

43. Преобразование к сферической системе координат fi=atan(х(5)/sqrt(х(1)л2+х(3)л2)); lam=atan(х(3)/х(1)); r=sqrt(х(1)а2+х(3)л2+х(5)л2);Ss=0; alfa=lam+Ss; del=fi; ш=398600*10л9; ае=6378137;

44. Вычисление возмущений в сферической системе координатfor i = l:l:numel(А(: , 1))1.legendre(nn(i),sin(fi),'norm1);L=L(mm(i)+1); Rr(i)=m/rA2*((nn(i)+1)*(ae/r)Ann(i)*(C(i)*cos(mm(i)*lam)+S(i)*sin(mm(i)*lam))*L);

45. Ralfa(i)=m/r* (ae/r)Ann(i)*mm(i)*((C(i)*sin(mm(i)*lam)*S(i)*cos(mm(i)*lam))*L) /1. Rdel(i)=m/r*(ae/r)Ann(i)*(C(i)*cos(mm(i)*lam)+S(i)*sin(mm(i)*lam))*L*mm(i)*tan(fi);end

46. Rr=sum(Rr);Ralfa=sum (Ralfa);Rdel=sum(Rdel); Rx=Rr*cos(del)*cos(alfa)-l/r*Rdel*sin(del)*cos(alfa)-1/r/cos(del)*Ralfa*cos(alfa);

47. Ry=Rr*cos(del)*sin(alfa)-l/r*Rdel*sin(alfa)+l/r/cos (alfa) ; Rz=Rr*sin(del)+l/r*cos(del);

48. F= x(2) ;-ш/гл3*х(1)+Rx; x (4 ) ; -m/rA'3*x (3) +Ry ;х(б); -ш/гл3*х (5)+Rz. ;