Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Прогноз ветровых волн как проблема теории слабой турбулентности

ВАК РФ 11.00.08, Океанология

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Заславский, Михаил Маркович

Введение.

Ч А С Т Ь I

С ЛАБО ТУ РБУЛЕНТ1 АЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОСНОВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ФАКТОВ

О ВЕТРОВЫХ ВОЛНАХ

ГЛАВА I. ОСОБЕННОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ВЕТРОВОГО ВОЛНЕНИИ <

§ Различия в динамическом описании волн и турбулентности.

§ 1»2. Различия в статистическом описании волн и турбулентности.

§ 1»3„ Спектры слабонелинейных случайных волн. 2.

ГЛАВА 2. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СПЕКТРЫ ВЕТРОВЫХ ВОЛН И ИХ

ДИСПЕРСИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

5 2„1. Оценки влияния турбулентности и волн на возмущения поверхности раздела вода-воздух.

§ 2.2. Качественная структура пространственно-временных спектров ветровых волн.^

§: 2.3. Интерпретация экспериментальных данных. 5,

ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СПЕКТРЫ ВЕТРОВЫХ ВОЛН И ОСОБЕННОСТИ

ИХ УГЛОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

§ З.Х Пространственные и частотно-угловые спектры. ^

§ 3.2. Интерпретация экспериментальных данных.

ГЛАВА 4. ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ ВЕТРОВЫХ ВОЛН И ЗАВИСИМОСТЬ ИХ

ПАРАМЕТРОВ ОТ В0ЛН00БРАЗУЮЩЙХ ФАКТОРОВ.ч'°

§ 4.1. Замечания о гипотезах подобия для ветровых волн.

§ 4.2. Малопараметрические аппроксимации частотных спектров ■ ветровых волн.

§ 4.3. Интегральные характеристики частотных спектров ветровых боли.

§ 4.4. Волновые потоки: импульса, энергии, и действия. .'и

ГЛАВА. 5. ВЕТЕР НАД ВОЛНАМИ И ОТЛИЧИЯ ЕГО СТАТИСТИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК ОТ ПРИСТЕНОЧНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ.12-°

§' 5*1. Возможности гипотез подобия, и волновые возмущения. ^

§ 5-2* Волновые возмущения: средней скорости ветра.

§ 5-.3. Волновые возмущения флуктуащонных характеристик.

ЧАСТЬ Г Г СЛАБОТУРБУЛКНТЕАЯ: ТЕОРИЯ: ВЕТРОВЫХ ВОЛЕ

ГЛАВА 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИЙ ВЕТРОВЫХ ВОЖ И ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ВЕТРОМ И ДРЕЙФОВЫМ ТЕЧЕНИЕМ.1^

§ 6.Г. Уравнения для волновых возмущений двуслойной жидкости.

§ 6»2» Квазипотенциалъная модель ветровых волн.

§ 6.3. О механизмах Филлипса и Майлса взаимодействия волн, с ветром.

§ 6.4. Квазилинейное взаимодействие волн с ветром.

ГЛАВА 7. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СПЕКТРА ВЕТРОВЫХ ВОЖ

И ИНТЕРВАЛЫ НАКАЧКИ И ДИССИПАЦИИ.21É

§ 7.1. Общая формулировка задачи прогноза ветровых волн по кинетическому уравнению-.

§ 7.2. Интервалы накачки и диссипации.

ГЛАВА 8. ФОНДА СПЕКТРА ВЕТРОВЫХ ВОЛН.

§ 8.1. Слаботурбулентный колмогоровский: спектр потока действия*.

§ 8^2. Шзвитие спектра ветровых волн.

ГЛАВА. 9. ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ ВЕТРОВЫХ ВОЛН ОТ СКОРОСТИ

ВЕТРА, ПРОДОЖИТЕЛЬНОСТИ ЕГО ДЕЙСТВИЯ И РАЗГОНА.2-6Ь

§ 9*1. Следствия: из интегрального уравнения, баланса действия

§ 9 „2. Следствия из интегральных уравнений баланса импульса и эивргии.

Введение Диссертация по географии, на тему "Прогноз ветровых волн как проблема теории слабой турбулентности"

Ветровые волны - один из самых распространенных в природе видо! волнового движения на поверхности жидкости, который при достаточнс сильных ветрах становится, пожалуй, наиболее впечатляющим проявлением взаимодействия атмосферы и океана. Масштабы ветровых волн весьма изменчивы и определяются главным образом скоростью ветра О í продолжительностью его действия' "Ь и разгоном ос. от наветренного берега. С увеличением и , Ь , х. растут характерные ампл! туды, длины и периоды волн, а в количественном определении этих зависимостей и состоит задача прогноза ветровых волн в самых грубых ее чертах. Потребность в решении этой задачи столь же длительна, как и история мореплавания, для которого прогноз ветровых волз всегда являлся проблемой большой практической важности»

Помимо непосредственного прикладного значения , прогноза ветровых волн для навигации, судостроения и т.д. эта задача важна и в более фундаментальном плане - как один из основных динамических аспектов мелкомасштабного взаимодействия атмосферы и океана. Взаимодействие этих двух сред, определяющее в конечном итоге погоду и климат планеты, происходит в сравнительно тонких пограничных слоях у поверхности раздела вода-воздух, а ветровые волны являются по сути дела самым наглядным индикатором этого взаимодействия. Поэтому задача прогноза ветровых волн в достаточно полной ее пост новке является также задачей о динамическом взаимодействии турбулентных пограничных слоев в окрестности поверхности разрыва плотности и тем самым - частью общей проблемы взаимодействия атмосферы и океана.

Хотя попытки рационального описания ветровых волн имеют уже более чем столетнюю историю и связаны, например, с именами Кельви на, Гельмгольца, Джеффриса, Капицы, Шулейкина, успехи теории в ре шении задачи прогноза ветровых волн остались столь ^скромны, что для прикладных целей до сих пор используются чисто эмпирические м тоды. Между тем за последние двадцать-тридцать лет ветровые волны служили объектом интенсивных теоретических: и экспериментальных исследовании, в значительной: степени стимулированных известными работами Филлипса /' 5" 1 /и Майлса / 1Ъ£ / . Объединенная модел Филлипса-Майлса получила широкую популярность, однако позднее ста ло ясно, что эта линейная теория имеет мало отношения к реальным ветровым волнам, в которых нелинейность может конкурировать с эффектами взаимодействия волн с атмосферой и дрейфовым течением.

С другой, стороны, уже более двадцати лет назад Хассельманом /11 2 / была предложена широко распространенная сейчас слаботур булентная формулировка задачи прогноза ветровых: волн. Предположен ние о слабой нелинейности случайных волн с дисперсией, лежащее в основе приближения слабой турбулентности, позволяет радикально уп ростить общую задачу их статистического описания и свести ее к ан лизу замкнутого уравнения для спектра волн, описывающего его эволюцию за счет нелинейных взаимодействий. Для поверхностных гравитационных волн такое кинетическое уравнение и было получено впервые Хассельманом и им же позднее была показана принципиальная возможность учета в этом уравнении тех или иных эффектов слабых взаимодействий, волн с турбулентными пограничными слоями в воде и воздухе. Однако механизмы взаимодействия волн с ветром и дрейфовым течением оказались столь сложны и многообразны, что

•утратшшсБ' кадззды--даже на явную запись кинетического уравнения: для ветровых волн, а сам слаботурбулентный формализм стал лишь символическим средством демонстрации калейдоскопической сложности конкурирующих процессов волнообразования.

Мевду тем в обсуждаемом подходе к описанию ветровых волн в силу ряда причин отсутствовали попытки использования идеологии слаботурбулентных колмогоровских спектров, предложенной В.Е.Захаровы е 43 / как раз для волн на воде, но в дальнйшем развивавшейся в основном применительно к другим областям физики. Эти- фундамента льные представления играют в слабой турбулентности ту же роль, чт и идеи КолмогоровагОбухова в обычной гидродинамической турбулентн сти, но в отличие от последних имеют уже силу не правдоподобных гипотез, а точных следствий из кинетического уравнения. Судя по всему, только с их помощью можно надеяться вывести существующую слаботурбулентную теорию ветровых волн из тупикового состояния, связанного с практической невозможностью адекватного описания механизмов взаимодействия волн с турбулентными пограничными слоями в окрестности поверхности раздела вода-воздух. Действительно^ кол могоровские спектры определяются только интегральными значениями потоков в соотвествующих инерционных интервалах и, следовательно, не зависят от конкретных механизмов взаимодействия волн с ветром и течением в областях накачки и диссипации.

Разумеется, вопрос об обоснованности такого подхода к слаботур булентной теории ветровых волн далеко не очевиден, поскольку в принципе все спектральные компоненты поверхностного волнения взаи модействуют с ветром и дрейфовым течением. Тем не менее можно обнаружить довольно веские свидетельства существования по крайней мере одного специфического для гравитационных волн колмогоровског спектра и тогда слаботурбулентная теория ветровых волн может быть продвинута вплоть до непосредственного сопоставления с данными наблюдений. В реализации этой программы и состоит конечная цель г ;этой: работы, которая включает в себя экспериментальное и теоретическое исследование вопросов, связанных с выяснением возможностеж описания реальных ветровых волн приближением слабой, турбулен тности, определением основных механизмов взаимодействия: волне.вет ром, выяснением .условий, реализации слаботурбулентных колмогоров-ских спектров, построением основанной, на иих теории прогноза ветр вых волн: и. ее апробацией, на данных, измерений.

В конечном итоге удается добиться: столь существенного упрощени исходного кинетического уравнения слаботурбулентной, теории ветровых волн, что с его помощью можно объяснить основные эксперимента льные факты о связи параметров волн со скоростью ветра, продолжительностью era действия: ж разгоном в наиболее интересном с практи ческой, точки зрения случае, достаточно развитого волнения» Эта дос тупная для практического применения слаботурбулентная теория прог ноэа ветровых вола является, судя по в®ему, и наиболее выразительным пока примером, плодотворности идей: слабой, турбулентности* ш с этой точки зрения она представляет определенный, общефизический ив терес» Уместно отметить также в этой связи, что именно океан оказ лея той первой ''лабораторной, установкой", на которой, представ лени слабой турбулентности получили надежную экспериментальную проверв

Хотя, содержание диссертации» естественно, является определенным итога тога, что понял: и сделал: в обсуждаемой проблеме ее автор, на данную работу существенно повлияла общение и совместная работа а членом-корреспондентом. Ж СССР А»С.Мониным и профессора» В ^Захаровым- Сотрудничество и дискуссии: с моими коллегами по Институту океанологии. АН. СССР АДУЛзениловым, Р.С »Ирошниковым» ВЛЛСрасицким, Д»В.Чаликовым по теории ветровых: волн, а также с И»АЛвйкиным и. А.Д-Розенб^гом в соответствующих экспериментальных исследованиях были всегда полезны и. плодотворны» ЯГ приношу свою искреннюю признательность всем указанным, лицам»

ЧАСТЬ I

С Л А. Б Q Т У F Б У X. ЕЕ Г Е А £ ЕЕ Т Е F К F Е: Т L Ц К £ ОСНОВНЫХ Э К СЕЕЕИMЕЕТАХЬЕЫГ ФАКТОВ а ВЕТРОВЫХ В О X Е А г

ШВА Г особенности: статистического описание ветрового: волнения:

§ у. Г> Е&зличин: в динамическом описании: волн: и: турбулентности.

Ветровые волны всегда имеют случайный характерг поскольку они инициируются в конечном счете турбулентным пограничным слоем атмосферы. Поэтому для их теоретического и экспериментального исследования широко используются идеи и методы теории случайных: полей,, аналогичные традиционно применяемым в теории турбулентности: ('см.* например* / зо 9&1 /) - так что, например, при вероятностном описании волнения: смещение поверхности раздела ] относительно невозмущенного уровня "г. = й необходимо рассматривав как случайную функцию горизонтальных- координат ас. = (эс.± , ) к времени -ь и интересоваться в конечном счете лишь ее статистическими характеристиками.

Пркжсдальзваниж для этих целей развитых в теории турбулентности методов рледует, однако, иметь в виду физическую специфику случайных поверхностных волн: в противоположность существенна нелинейным гидродинамическим полям турбулентных: течений крупномасштабные компоненты достаточно развитого волнения* как будет показана ниже, удовлетворительно, описываются моделью слабонелинейных: свободных потенциальных гравитационных: волк. Предетавленш о слабонелинейных случайных волнах, (или, по физической терминологии, о "слабой турбулентности') позволяет провести для них: довольно существенную детализацию общей теории случайных полей.

Укажеж в этой связи сначала на некоторые, видоизменения традиционной. турбулентной идеологии, связанные с потенциальностью волнового движения. При описании турбулентности в жидкости с поверхностью разрыва плотности ^ (' ос ) приходится иметь дело, с общими уравнениями гидродинамики (уравнения движения и несжимаемо' сти, кинематические и динамические граничные условия),, из которых; определению подлежат статистические характеристики пяти скалярных случайных полеШ - трех компонент скорости = ( эс. „ъ. ), (; I = I, 2, 3), давления "Р = Р С=с.„г ) и самой поверхности раздела ^ ( эс. ). Предположение о потенциальности движе*-ния при позволяет, во-первых,, свести число искомых гидродинамических поле& в' воде до двух: компоненты скорости определяются пег потенциалу ^ ( = в^/а^, * = I, 2; =э а давление "Р также определяется через с^ по теореме Бернулли для потенциальных: течений! (Р = + + )

Поэтому общая система, уравнений и граничных: условий для потенциальных: движений в слое жидкости ^ > 2 > - И со свободной поверхностью ^ ( эс Г Ъ ) и твердым дном ъ. = - И -сс^лгЬ своди! ся к следующей системе для двух искомых функций = Ч* С ж и:' ^ = ^ (; 2£ Ю*Ь ) (см., например,. / Зв /) : ч^й^^-о, (1Ла)

1.16); -О ^ ^--И ^ (1Лв)

1Лг) в ъ*-/+ ъ*/ у ^ = „ гравитационное ускорение, ^ = — нормированный на плотность воды с а = cov-uvt коэффициент поверхностного натяжении V с*. а. на границе: раздела вода-воздух,, "Р ^ эс. ) — распределение атмосферного давления на водной поверхности, которое мы будем пока считать заданным; слой воды при г> - И полагается неограниченным по горизонтальным координатам эс. ; подиндексом5 обозначаются соответствующие функции при "2. = ^ ('"?&

Общие динамические законы сохранения импульса и энергии для потенциального волнового движения также должны быть модифицированы,- в рассматриваемом случае приходится отказаться от использова ния обычных в теории турбулентности удельных (на единицу объема)-плотностей: среднего импульса $е Vж энергии. /2

Например, в области 2. -ст^п^ средний на единицу объема удельни импульс потенциального волнового движения: ^ й = 0, тогда как средний импульс единичного столба жидкости (см» ниже (1.2 а)) отличен* разумеется, от нуля, при ^ ф 0. (Чертой мы будем обозна-* чать в этом параграфе осреднение по горизонтальным координатам л которое для статистически однородных по эс случайных полей эквивалентно осреднению по статистическому ансамблю, но в настоящем контексте может прилагаться и для периодических по эь детерминированных функций "5 , ^ ).

Вместо ^ ^ \Л , в теории потенциальных волн ис пользуются плотности среднего импульса М и энергии. Е волне <вого движения в вертикальном столбе единичного сечения: н (1.2 а) (1.2 б)

Определяя: из (1.2а, б) "эИ /э±. , эЕ с учетом зависимости от времени верхней границы области интегрирования по % в (1.2 а,, б) и используя уравнения (1.1), после применения формулы Ерина приходим: к следующим уравнениям баланса для" М и Е :

ЭМ /э-Ь - Р^ ^^ ^

1.3 а) эЕ/э* —Т>*э5/э* (1в3б)

Отсюда при со^-Ь получаем естественный законы сохранения среднего импульса и энергии свободных потенциальных волн.

Наконец, важным общим следствием потенциальности волнового Движения является и то обстоятельство» что его средний, импульс И и энергия Е. могут быть выражены только через функции горизонтальных координат и времени С* )» ^С* ) 0 первая формула следует из (Цс£. а ) при использовании, тождества 5 сА^ = «З^ Ч! о\ ^ ^ >

-Н ~и -> / а вторая получается из (1^2 б) после преобразования Е^ по фор. - - • • • - - - - - к муле Грина с учетом уравнений (1ЛП. Отмеченная особая роль двумерных функций. $ (,'эв Г"Ь ), Ф ( зе. ); еще более выразительно выявляется в предложенной. В.Е^Захаровым гамильтоновой формулировке динамики свободных потенциальных волж / 4 Н- / ъъ -э ЯР и" с каноническими.переменными (обобщенный, импульс),. ("обоб ценная координата) ж гамильтонианом И = Е / е » который в соответствии с (1.4 б) является функционалом от пары канонических: переменных ^ и: Я5 ^ (В С1.5) Ь /&ЯР » Ь> /Ь^ - вариационные производные функционала Н ).

Хотя при анализе системы (ХЛ); нас в конечном счете интересуют двумерные - динамические характеристики потенциальных волн £ (^ ), Ф ( ас. /Ь ), их определение, требует предварительного решения: трехмерной краевой! задачи (1„Г а, б, в) для потенциала скорости ^ С* * ^ ^ )»• получаемой из чисто кинематических: условий несжимаемости,, непроницаемости материальной поверхности раздела ^ и дна -Н . Наиболее очевидное упрощение этих: уравнений связано с дополнительным предположением о малости функций »^ ж их производных,, что дозволяет искать решение системы (1.1) в виде рядов по степеням малого параметра нелинейности е. = а 0 1<0 „ составленнокгЪо характерной амплитуде волн с<.а ж характерному волновому числу ^ Полезна отметить, что такие разложения: пригодны только для достаточно узких: волновых пакетов с волновыми числами „ хотя это обстоятельство часта упускается из рассмотрения: ж результаты таких: разложений прилагаются к волнам с широким спектром - см», например» //6 5" /, е. -

В первом па е приближении: система (1Л) при 0 сводится к известным уравнениям линейной теории: свободных, поверхностных волн: г а. ч

Ъ<<?\ ЭЪ В-г /н 1 а.б в:

СИ) - = 0

1.6 г)

1 -1 нулевыми подиндексами обозначены соответствующие функции: при ъ = 0). Выражения (1.4 аг б) для среднего импульса и энергии волн сводятся в этом приближении к следующим формулам:

-> (1.7 а)

1.7 65

Элементарные решения линеаризованных, уравнений (1.6) имеют вид плоских гармонических волн Сх )» ^р С^СЬ^ )] с изотропным уравнением: связи частоты ьо и модуля волнового вектора к = Ск1Гкг. I (дисперсионным соотношением!

4-/2.

Как будет показано далее,, представление о близости реальных ветровых волн к линейным, свободным волнам может быть оправдано толь

Чг. ко в области достаточно больших масштабов к « ( /у )', где можно пренебречь капиллярными эффектами. Исключая также для проЛ стоты рассмотрения: эффекты конечности глубины ("Н^> к" мы получаем из (Т.81 дисперсионное соотношение для линейных гравитационных волн на глубокой воде

2. которым и будет ограничено наше дальнейшее рассмотрение,, если спе циально не оговорено: противное. (Принятому упрощению дисперсионного соотношения: отвечает пренебрежение капиллярными членами в динамическом граничном условии (1-6 г) и: выражении (1.7 б) для ЕЕ , а также замена условия непроницаемости дна (1.6 в); на уело-вие затухания О при -г-^-«3).

В теории: сильной: гидродинамической турбулентности дисперсионная- связь частоты ии ж волнового вектора и вообще отсутвтву-ег, тогда как в слабо нелинейных: волнах учет следующих членов; разложений по е при к ~ к с должен лшцб незначительно искажать линейное дисперсионное соотношение. Это обстоятельство является одним из самых: существенных отличий слабонелинейных волн о обычной; гидродинамической турбулентности.

Решение уравнений линейных: гравитационных волн можно искать в виде разложений Фурье что дает для глубокой воды связь ^ ш е вида к^ С «О =

4 к а — ~

-«¿к. оо ^ ^^е- „ в этом случае формулы (1.7 а» б) для импу~ льса ж энергии волн: принимают вид; м= ^кО*

-------:-ПГЧЧ" CC.II а)

• (ЫГ й)

- .только, т*е» выражаются7через "5 чаз. Учет слабой нелинейности должен незначительно искажать эти соотношения, ж поэтому в слабонелинейных волнах возвышение поверхности разделаявляется не только кинематически наглядным индикатором поверхностных волн - с помощью спектральных характеристик. ^ могут быть с приемлемой точностью выражены и основные динамические параметры волнения. Это обстоятельство имеет важное значение при интерпретации экспериментальных данных,, поскольку в измерениях обычно регистрируется только возвышение поверхности раздела»

I V

Эффекты слабонелинейных взаимодействий свободных гравитационных волн удобно рассматривать в рамках гамильтоновых уравнений (1.5). Следуя работам / , /, перейдем от канонических, переменных $ , ^ к спектральным нормальным переменным с* = = сс( к ,-ъ ), о. = сх(к ,-ъ ) по формулам (сс^е. -(Х^е - ~)^к

Тогда О, ч VI . (1.13) где , Яр - пространственные Фурье-компоненты исходных каноК нических переменных $ :

1 ^ ь ^

Ъс*^- \о1к ^^ о ^ г I (1.14)

Гамилнтоновы уравнения (1^5) в переменных. ссц , сх*^ имеют вид

3> С<й ьн ^

1.15)

ЭЧь Ьсс к а гамильтониан И при слабой нелинейности выражается в виде ряда по степеням Сс , сх.* :

К 5,

Здесь

И с= сх. ^ о. ^ с\к (1Л7)

- квадратичный по с*. к , <х £ гамильтониан линейного приближения, а И4, Нг - описывающие нелинейные взаимодействия функционалы третьего, четвертого и т.д. порядков по , (их явные выражения приводятся в / /). В частности, для исходного гамильтониана Но канонические уравнения (1.15) принимают вид + сеаь=о, (1.18) а учет последующих членов в разложении (1.16) для Н приводит к появлению в правой части динамических уравнений (1.18) интегральных нелинейных членов второго, третьего и т.д. порядков по сс^ , сх * (в явном виде эти уравнения выписаны в / ЦЧ /}.

Наиболее существенной стороной закона дисперсии поверхностных гравитационных волн является его "нераспадность", означающая, чтс уравнения ёСк'н ¿О") о к цЧк" (1.19) т/о не имеют вещественных решений для <£ (к ) = (<^к ) ' . Как показано в / 45 /, этим обстоятельством можно воспользоваться для- упрощения: гамильтониана (1.16) путем перехода от переменных сх ^ , сс * к новым переменным 6 = в ( к ), 6= & ( к ,-Ь ), а 5, ■ к. сохранияющим канонический вид уравнений движения (1.15), но уничтожающим динамически несущественный кубический по <х„. член в исходном гамильтониане Ч .

В такой процедуре упрощения гамильтониана (1.16)- преобразован* в ищется в виде функционального ряда по степеням , € * / 4 ь /х л «) » * С1-20) С К w < ь» V \' - С t„

СО (.0 1 и

Ядра С к< м = С( к , к ,к ),. определяются нелинейными членами Н^,. исходного гамильтониана (1.16». В переменных ф. вК гамильтониан (1.16) принимает вид где.

Н'о-^в^а. *с1к (1.22) гамильтониан линейного приближения, а ^ 1< & ц' & ^ Ъ С к + к - к - к }

1.23) kj следующий член разложения эффективного гамильтониана,. имеющий, уже четвертый порядок по , 6>к . Явное выражение дж ядра "T"kk/Ki/k<« = T ( k ,к" ,к'") получено в / / и не" приводится здесь из-за его громоздкости. Оно удовлетворяет урловиям симметрии

Т к к' к "к"' ^"к"' К'" к." (1»24) и является однородной функцией третьей степени.

При слабой нелинейности поверхностных гравитационных волн можно ограничиться первыми двумя членами в разложении (IJ2I) для .4 , Этому приближенному гамильтониану отвечают уравнения движения, кубически нелинейные по 6К, : iч вк = г ^fЧ A t'dя'" ткк,К„К,„•

-э-ь - ■> J - J ~ bfefc t (1.25)

-Мв к' & к" & к"' % С к ч- к' - к "- к )

ЕГспользуя выписанные выше свойства симметрии (1.24) ядра условия резонанса для гравитационных волн

1 I / ■ ь '" (1.26)

Ь.+ — — — можно убедиться, что приближенные слабонелинейные уравнения (1.25 для 6к , 6 * имеют интегральные по к законы -сохранения/43 /

3 ¥ 5 ^ =0 С1.27) при

СЮ гг к , ёсю , 1

1.28)

Им отвечают три интеграла движения $6 Ч

Т.29 а) (1.29 б)

1.29 в)

Первые два интеграла движения (1.29 а, б) имеют, соответственно, смысл импульса и энергии гравитационных поверхностных волн в переменных , в* . Третий интеграл движения (1.-29 в) слабонелинейных уравнений (Г.25), который мы будем называть интегралом волнового действия (или просто действием) уже не имеет традиционных общединамических аналогов: его существование обеспечивается специфическими для поверхностных гравитационных волн "нераспад-ными" условиями резонанса (1.26) (например, для гравитационно-капиллярных волн, линейное дисперсионное соотношение которых (1.8) удовлетворяет "распадным" условиям резонанса (1.19), волновое действие уже не сохраняется из-за квадратичного характера слабой нелинейности динамических уравнений). Необходимо также подчеркнуть, что с точки зрения исходных полных уравнений движег © ния потенциальных гравитационных волн действие сохраняется лишь приближенно - уже следующее слагаемое И ^ пятого порядка по в эффективном гамильтониане (1.21) нарушает закон сохранения действия, пользоваться которым можно лишь в случае слабой нелинейности поверхностных гравитационных волн.

С экспериментальной точки зрения важным является и то обстоятельство, .что волновое действие, также как и их импульс и энергия может быть определено с удовлетворительной точностью по простым измерениям возмущений, водной поверхности ^ . Действительно, при слабой нелинейности из (1.20) следует приближенное равенство

1.30) и, следовательно, интегралы (1.29 а,б,в) с этой точностью могут быть переписаны в терминах исходных нормальных переменных 1< а.* ос£ ак ^ (1.31а) с\к , (1.31 б)

1.31 в)

В свою очередь, соотношение (1.13) устанавливает связь с*.^ с Фурь компонентами V возмущений водной поверхности, и поэтому опреде

- - . ленные согласно (1.29 а,б,в) динамические параметры волн могут быть с приемлемой точностью выражены через спектральные характеристики ^ . Конкретные формулы этого рода будут выписаны в § 1.3 (с их помощью можно будет, кстати, убедиться, что с принятой степенью точности соотношения (1.29 а, б) сводятся к интегральным определениям (1.7 а, б) импульса и энергии поверхностных, потенциальных волн).

§ 1*2. Различия: в статистическом описании: волн: и турбулентности.

Как было показано выше, в силу специфики гидродинамических: уравнений слабонелинейных" свободных гравитационных волн все их динамические характеристики с приемлемой точностью выражаются через возмущение поверхности раздела Уже это обстоятельство радикально упрощает задачу слаботурбулентного описания: движения: жидкости со свободной поверхностью: при попытках ее решения в: рамках общих уравнений; . теории: турбулентности пришлось бы интересоваться: взаимными статистическими характеристиками пяти случайных: скалярных гидродинамических полей V;. С = Гг 2Г 3) „ Р , ^

Далее, при статистическом описании: слабонелинейных свободных гравитационных волн появляется правдоподобная возможность: существенного упрощения общей задачи теоретико-вероятностного описания: случайного волнового• поля ^ )» состоящей, как известно, в определении многомерных плотностей вероятности случайных величин ^ ^ ОЛ^) на всевозможных конечный: множествах точек М±= Сэс^,-Ь^ ) пространственно-временной области задания функции ^ Д ) ил соответствующих им моментов

С* (2.1)

Действительно, близость волн к линейным заставляет надеяться, что их вероятностные: характеристики не должны существенна отличат ся от техг которые имеют место для линейных волновых полей. В свою: очередь, для последних кажется правдоподобным применение выводов центральной предельной теоремы вероятностей, в соответствий с которыми совместная плотность распределения вероятностей "5 (также как ж линейных функции .) должна быть гауссовой (см., например,. / $0 /): здесь Ъ - < ^^^ = I,М - матрица дисперсии с детерминантом: Д ; = ( ) - матрица-строка, а ^ -матрица-столбец, полученная: транспозицией. ^ )'. В частности,

Из-за качественного характера аргументов,, оправдывающих, у слова применимости центральной пределкной теоремы к линейным случайным волновым полям представление-об их гауссовости носит, однаког, лишь характер правдоподобной гипотезы. Более тшательный теоретический: анализ Хассельмана / Э1 / показал* что свойство волновых полей: быть гауссовыми является следствием их линейности* но имеет место лишь в "крупнозернистом" смысле: это касается лишь достаточно крупнрмасштабных: компонент волнового поля* тогда как, его тонкая мелкомасштабная: структура остается негауссовой и в линейном случае. Можно полагать* что слабая: нелинейность волн незначительно искажает гауссовы свойства их линейной модели. Тогда появляется. возможность рассчитывать иг динамических: уравнений для слабо нелинейных воля поправки к исходной гауссовой плотности распределения: вероятности / 2. Д

Представление о приближенной гауссовости ветрового волнения широко подтверждается также и натурными наблюдениями. В частности данные измерений свидетельствуют о том, что распределение вероятности для в фиксированной точке довольно близко к гауссово— му* хотя и обладает некоторой ассиметрией. ("см.* например,

Приближенная: гауссовость ветрового волнения:, нозволяег при изучении их энергонесущих компонент ограничиться в первом приближении сведениями только об их: втором моменте или пространственно-временной корреляционной функции

- последней в соответствии с (2.1), (2.2)' определяются: все моменты гауссовога случайного поля "5 | (в. (2.4) и далее мы будем обозначать эс^ ас г ± , ¿с + ъ , ± >.

Из: наблюдений известно, что масштабы пространственной С УС 7 и временной ("т ); изменчивости статистических характеристик достаточно развитых ветровых волн на три-четыре порядка превосходят их характерные длины и периоды (см. по этому поводу далее главы 2*-47. С другой стороны, зависимость В от ъ к т оказывается существенной уде при х. ^ х е ,и поэтому в масштабах: «с X Т можно пренебречь зависимостью корреляционной функции волнения: от эс -т.е., считать ее статистически однородной по горизонтальным координатам ас к стационарной" по времени ± г

12.5}

Заметим, кстати, что из определения (2.5) вытекают определенные условия симметрии для В (Л , А именно, замена переменных: •зс ъ , -'С дает следующие соотношения: но (2.6) г~1

Вместо пространственно-временной корреляционной функции } часто удобнее: рассматривать соответствующий, ей спектр волновых чисел: и частот 1Е ('к , ^ } (или пространственно-временной спектр), определяемый как преобразование Фурье по ъ и от

В (^ 1:

С к — (, к4г кг) - двумерный волновой вектор,, со - частота) . Иэв обращения (2»71

ВС^тг^^к ^соЕСк^са^^Р^Ск^-со^] (2.5) находим при , ^ = 0 условие нормировки для Е ( к , I

2.97 а из (2.6$ - условия симметрии

Менее полную статистическую информации о случайном поле ^ о.^) содержат: симметричные спектры частот" С ) = С (- со ) и волновых: чисел Ч'ск ) = Ч' (К к 5Г которые выражаются через ЕЕ С к Хг ВС^ I формулами

С (ои^ 5 ^ кЕ С Ью^") - (г^У^окг & Со,-с) ¿ситО,

2 »II)

2.12} и удовлетворяют аналогичным (2„91 условиям нормировки. С

В приложениях вместо симметричного частотного спектра С (си ) чаще используется несимметричный частотный спектр 5 Сш К определенный условием г гессо) = \о

СО ^ ^

5СиО=Я , Л (2.131 иО < О

При этом соотношение (2.11 X принимает вид, ао ^еКг (2Л4)

2.151 а условие нормировки сводится к ъг>~ &со»оу* ^ ьсиОои* о

Мы отметим, что соотношениями (2.11), (2.12); не устанавливается связь С (-си ); и: и ). В теории: турбулентности это обстоятельство вызывает определенные осложнения, поскольку теоретические заключения: о статистических характеристиках гидродинамических полей получаются для спектров волновых чисел V ( к а в экспериментах обычно определяется частотный, спектр О С 1X3 К Как. мы увидим далее, для случайных слабонелинейных волновых полей в этом отношении, дело обстоит более благополучным образом.

Более естественное определение спектров слабонелинейных волк получается при использовании разложений С ) по гармоническим функциям ^ ( эс ,-Ъ , к г ) = СЬ^ Цвида

1.10), где при вещественных для Фурье-амплитуд по аргументам к и со выполняется условие вещественности

Здесь и далее для кратости обозначений мы будем всюду писать вместо компонент Фурье-Стильтьеса ^2(к гиз ) обычные Фурье-компоненты используя символическое, равенство ^^ = с.о к ,л° у эта общеупотребительная: к физике формальная некорректность представления случайных полей при известной осмотрительности в определении спектров не влечет за собой никаких упущений. Заметим, впрочем, что такое определение является вполне строгим в смысле теории обобщенных функций).

В рамках корреляционной теории случайных функций существование интеграла (1.10) естественно понимать как условие существования корреляционной функции: (2.4). Для этого достаточно потребовать выполнения условия: абсолютной сходимости интеграла (1.10| в среднеквадратичном ш ^ < И = со^-е ,

2.17) что <3<5Геспечивавт; представление (2.4) в виде

2.18)

Далее, единственность разложения: (1Л0> для случайной функции (ос ^ -ь ) при условии (2.17) также должна пониматься в среднеквадратичном — т.е. как условие взаимно однозначного соответствия между вторыми моментами ^ » Оно достигается при условиях: (2.5)! статистической однородности и стационарности. Из сравнения: (2.18) с (2.4) видно,, что эти условия обеспечиваются: при

- (2.19)' Ь С Ь,<аО С к - к' Ь С - ос' } и: тогда (2.18) сводится к (2.3). ~

§ 1.3. Спектры слабонелинейных случайных волн

Обратимся сначала к детализации выписанных выше общих выражении для симметричных спектров Е ( к , ), Ч^С к. ), ССсо)^ считая ( , ) случайным линейным волновым полем (ниже мы убедимся, что эти обычные для теории турбулентности симметричные спектры в рассматриваемом случае естественно выражаются через специфичные для волновых полей несимметричные спектры). Как показано в § 1.1, линейные волны в нормальных переменных описываются уравнениями ц с решениями с^-л! е"^* , = А; (3.1)

Тогда с учетом выражения (I.I3) для пространственных Фурье-компонент через нормальные переменные , с\ * имеем:

Ъ^^-ЩЦУС3.2)

Сравнивая (3.2) с представлением

С , r LCk ос-СОЪ ) с\ш е заключаем, что они совпадают, если

Составим теперь из (3.3) пространственно-временную корреляционную функцию (2.18) и потребуем, чтобы она не зависела от и "t Тогда для &( ъ , ъ ) получается представление вида где функции РСЮ, Р(-к) определены соотношениями са у > ^^ % ск^, ^ и > < при всех к,к' (3.6)

Воспользуемся теперь соотношением (3.4) для определения ^ ( \< )» С (со }. Сравнивая (3.4) с общей формулой (2.8) для В ™еем следующее выражение . Е ( к »со ) через Р (V):

3.7)

Интегрированием (3.7) по и? находим далее:

Р(к)^С-к)3 (3.8)

N 1-1

Г^к" ^Ск-к^ (3.9)

ИЧ. I I ■ Ь » Ь

Для выражения частотного спектра С ( со ) через Р( к ) надо проинтегрировать (3.7) по к с учетом свойства £> -функции ь ь г\'=\ 1 1 к — к, где £ ( 1< ) - заданная функция, а к корни уравнения £ ( к )=0. При ё= ( $-к )1//2 уравнение Ск"} — 0О-С%к">Уг = О у имеет решение со при <х>>0 , а уравнение обладает тем же решением при со <0 . Так как зависимость & (к ) в рассматриваемом случае изотропна, то в формуле (3.7) удобно перейти к полярным координатам к и тогда сс^ь ^ С ко1к е у «/ .

3.10) О

Г ± «-О ^ о ^ где ф (ш)^ 4 л

Наконец, из (ЗЛО) получается аналогичная формула и для определенного согласна (2.13) несимметричного частотного спектра Б («-о): $ = (зл1)

Полезно привести также следующие из (3.7), (3.8) соотношения ^С^^^Ес-к^^Л-ЕСк,^* & 0<со} т (3.12) ЧгС*} + £> (иэ + О ]

ОС о (3.13) первое из которых указывает на ошибочность распространенной "эвристической" формулы Е ('К )=^(к)£>(а>-£) (см., например, /2-1. , 7 6 , 90 /), а второе-может использоваться для определения Р ( к ) по Е ( к , ).

Формулы (3.7) - (3.13) имеют в определенном смысле фундамен-. тальное значение для случайных волновых полей. Они свидетельствуют о важности функции Р(к), поскольку через нее выражаются все спектры Е ( к ), СС ">) линейных случайных волн.

Определенная соотношениями^функция Р(к) имеет смысл пространственного спектра, поскольку ее нормировка, совпадает с нормировкой Ч' Гк ) - в этом легко убедиться, обратившись к формуле (3.4) для В ( г , ^ ) при % , тг = 0: >«£>(<?,о") = \ ^о1к [РСЬ)+Р(-кУ> ^а1к РСк)[3.14)

Однако из (3.5) видно, что в противоположность обычному пространственному спектру к )

РСЬ^РС-О (3.15) и поэтому мы будем называть F (к ) несимметричным пространственным спектром (или несимметричным спектром волновых чисел).

Несимметричный пространственный спектр Ff.k) возмущений поверхности раздела ^ тесно связан с соответствующим спектром Nik) нормальных переменных о. , который мы также определим норк» мированным на соотношением

Ы ^ <сс^ сх> (3.16)

В. соответствии с приближенным определением (I.3I в) N( к) имеет смысл пространственного спектра волнового действия, и нормированной на интегральное волновое действие и. тогда задается выражением m = N ( VO> d к (3.17)

Связь между \М ( к ) и F Г к ) устанавливается соотношением FCk) , tC^OO-eck')}* • % -V2 V СЬ-е s<сх . получаемым из (3.1) с учетом (3.5), и следующего из (3.1) условия

Сравнивая (3.16), (3.18), находим, что в- смысле обобщенных функций .

MC^.J^i (3.20)

Хотя спектр волнового действия Ы (к ) является первичной динамической характеристикой случайных волн, для интерпретации экспериментальных данных важны соотношения, позволяющие определить спектральные характеристики действия по спектральным характеристикам возмущений поверхности раздела ^(х rt К Формула (3.20] малополезна для этих целей, поскольку F(к) выражается только через пространственно-временной спектр Е( к ,со ) (см. (3.13)\ а подавляющее большинство экспериментальных данных о ветровых волнах относится к частотным спектрам $(«■) ). Связь типа (3.20) в терминах частотных спектров проще всего может быть получена, если несимметричный частотный спектр волнового действия /V( ) определить условием нормировки оо уС ое

ЫСк^кг ^сА^ (3^21)

5 -Я о С&к") г

Заменой переменных к = отсюда находим

N4«»^ ^ ^ (3.22) в Ъ что с учетом (3.11) окончательно дает

N ^ТГ" (3.23)

Нормированный на пространственный несимметричный спект] импульса волн И ( к > = ( М^к )г Иг(к )) связан с N ( к.) следующей из определения (1.31 а) приближенной формулой ч (3.24) и нормированный на интегральный импульс волн -т^тогда записывается в виде

С практической точки зрения попрежнему более полезны соотношения, выражающие спектр неявка импульса через спектр ). Из исходной общей формулы этого типа и условия нормировки несимметричного частотного спектра импульса волн Ж<-о) ^ ^

00 г Рек $)

-тс 6 > (з>27)

00 г- оА

I \ . . Л М п после замены переменных к =со /с^ получаем! аналогичные (3.22) соотношения

-Ль а мг ссо-) = Ср ск^ ^п^ <Дв (3-2а) ь 3 * у^

Дальнейшая детализация этих формул требует сведений о зависимости Р ( к , ) и пока не будет обсуждаться. Мы приведем здесь лишь простейший вариант выражения ИоС( со ) через 8 ( со ), получаемый из (3.28) для модели однонаправленных по $-=0 случайных волн:

М^ССО^О (3.29) о

Полезно отметить, что к выписанным формулам для спектров импульса волн можно прийти также и из выражения (1.11а) интегрального импульса линейного приближения. Понимая, теперь осреднение в CI.II а) как осреднение по статистическому ансамблю ( I. = = <.> ) и учитывая определение (2.11) для Е (к , ), получаем из CI.II а) связь пространственно-временного импульса волн М^Ск,^ с £ Гк ,со }:

М ^ С к ъ со) = ^ ЕСк^), (3.30) где ^^ к , со ) удовлетворяет аналогичным (3.25) условиям нормировки. Учет представления (3.7) для ЕС к ) дает тогда аналогичное выражение для М ( к ,со ): М где М^Ск)- -> М^С-к ) = - ^

Интегрированием (3.31) по к можно снова прийти к формулам (3.28 для И^Ссо ).

Наконец, из исходных определений fI.II 5) интегральной энергии линейных гравитационных волн также можно получить выписанные выше формулы для спектров возмущений поверхности раздела ^ Поскольку дисперсия волнения равна нормированной на энергии волн е , то спектры возмущений водной поверхности наиболее непосредственным образом связаны с интегральной энергией волн: е - ^5 и сю ¿к, ^ р<к)с1к ' (3.32)

Обсуждавшаяся в этом параграфе, детализация общей спектральной теории случайных полей основана на модели линейных свободных волн с дисперсией. ГГри малом уровне нелинейности этих волн можно рассчитывать (по крайней мере в ограниченном диапазоне масштабов) на приближенную выполнимость этих соотношений и тем самым — на й^чение этих волн эффективными методами слабой турбулентности. В теории слабой турбулентности устраняется основная принципиальная трудность.добычной$теории! гидродинамической турбулентности, связанная с незамкнутостью уравнений для статистических характеристик гидродинамических полей. А именно, для слабонелинейных' случайных волн с дисперсией имеет место замкнутое кинетическое уравнение для спектра волнового действия, описывающее его эволюцию во времени за счет нелинейных взаимодействий.

Для свободных гравитационных волн это уравнение было впервые получено Хассельманом /113 9 11& /, Более общая и компактная процедура вывода кинетического уравнения для этого случая с помощью обсуждавшегося в § 1.1 гамильтоновского формализма предложена Захаровым /4 3 , 4 4 /. Эволюция спектра волнового действия. Л/ за счет нелинейных взаимодействий описывается уравнением еКМ -г в котором

1 тьь/^ ^^КСЬ^ Л/с Ск)1Ч ск^мсь^-^сьз^к^мск";-/^ ск^а') Ъ с к + к'- к "-к"' £ СёСк) .V ёСк а а "Г / „ ,„ — коэффициенты взаимодействия динамических уравнени

К К к

1.25). Отметим: / 3? /, что при гамильтоновой формулировке ки-нетиМкое уравнение записывается для спектра А/ г определенного соотношением > = N ( к ) £> ((к -к' ) и между корреляциями с«- и 6 существует малое различие» следующее из. формулы Сию.)'- ж имеющее порядок параметра нелинейности. Однако при сравнении теории с довольно грубыми экспериментальными оценками спект ров можно пренебречь этими различиями и считать

Описываемая уравнением (3.33) медленная эволюция спектра за счет нелинейных: взаимодействий, приводит к слабой размазке Ь -фун кциж в представлении (3.7) для пространственно-временного спектра волн Е ( к , СО ) —

Ч^-^^С-ЮЦссо+^^З (3.35)

В принципе возможности использования кинетического уравнения не ограничены случаем свободных волн - оно может применяться и при учете взаимодействия поверхностных волн с ветром и дрейфовым течением,, если обеспечивается попрежиему-, представление (3.35) для Е (Ь. г00) за счет малост^оответствующих: эффективных инкрементов и: декрементов внешних воздействий. Однако из-за многообразия физических процессов, разыгрывающихся в окрестности поверхности раа дела вода-воздух, вопрос о выполнимости приближения слабой турбулентности. для- реальных ветровых волн требует специального обсуж-жения.

Этот круг вопросов обсуждается в следующей, главе 2, где на основании. качественных оценок и очень немногочисленных пока экспериментальных. данных о пространственно-временной структуре спект тров ветровых волн показано, что представление о близости реальных ветровых волн к линейным свободным волнам с достаточной уверенностью можно применять к энергонесущей окрестности ю ~ спектрального пика достаточно развитого волнения с сц^О'/д^а но в остальных случаях (мелкомасштабные компоненты волн с и. затравочные ветровые волны с и/%. »1 ) это приближение может нарушаться.

Далее в главе 3 обсуждаются более многочисленные экспериментальные сведения о пространственных спектральных характеристиках ветровых волн и их интерпретация с. учетом эффектов размазки дисперсионного соотношения. Однако основной объем экспериментальных данных о ветровых волнах относится к частотным спектрам 3(^ ), которые анализируются в главе 4. На этих данных наблюдений можно уже с достаточной полнотой реализовать программу их слаботурбулентной интерпретации, состоящей в выделении тех характеристик ветровых волн, которые определяются слаботурбулентной областью спектра при ос'^Л7/^ г и нахождения их эмпирических зависимостей от волнообразующих факторов (скорости ветра, продолжитеш ности его действия и разгона). Таким образом систематизирован тот экспериментальный материал, который может служить предметом объяснения слаботурбулентной теории ветровых волн или потребоваться для ее детализации. Наконец, в главе 5 данные об эволюции параметров ветровых волн сопоставляются с данными наблюдений о перестройке профиля скорости ветра в процессе развития волн.

Заключение Диссертация по теме "Океанология", Заславский, Михаил Маркович

Заключение

Основным итогом диссертации является апробированное натурными данными теоретическое решение проблемы прогноза ветровых волн на уровне их частотных спектров в асимптотическом случае достаточна развитого волнения, А именно, при заданной, постоянной скорости ветра вдали от водной поверхности определена зависимость от разгона.или времени, основных статистических характеристик ветровых волн, выражаемых через параметры энергонесу— щей области частотного спектра возмущений поверхности раздела вода-воздух — частоты спектрального максимума оо^ , дисперсии волн е или их средней высоты Ь и т.д.

Проведенное исследование проблемы прогноза ветровых волн об-ъеденено несколькими общими качественными соображениями, последовательное использование которых при анализе экспериментальных. данных и построннии теории как раз и позволило впервые объяснить основные экспериментальные факты о связи параметров энер— гонесущей области частотного спектра волн с ветром, временем и разгоном. Эти соображения могут рассматриваться как основные положения диссертации, выносящиеся на защиту:

Г. Первым из них является представление об ограниченной области-надежной применимости приближения слабой турбулентности, (энерганесущие компоненты достаточно развитого волнения). При интерпретации экспериментальных данных это. ограничение позволило впервые систематизировать тот материал наблюдений, который может служить предметом объяснения слабо турбулентной теории ветровых волн. В теоретическом плане эти же соображения привели к пониманию того обстоятельства, что простейшим объектам: аналити— ческих исследований должны быть не начальные стадии развития волн (как это обычно считается), а .„'асимптотические режимы иг энергонесущих компонент при достаточно больших разгонах.

2. Далее, хотя для практики прогноза волн основной интерес представляет их. чисто кинематическая характеристика - возмуще ние водной поверхности., для понимания физики волнообразования должны быть более важны динамические характеристики слабонелинейных волн — их импульс., энергия и действие, приближенно выражаемые через обычный спектр возвышения уровня (последним о бы-? чно ограничивается изучение ветровых волн). При экспериментальных исследованиях это соображение позволило в конечном: итоге впервые определить полный набор динамических характеристик взаимодействия волн с ветром: (потоков импульса, энергии и действия): и выяснить их относительную роль в процессах развития волнения. В теоретическом плане при этом подходе основную роль приобретает полный набор .динамических законов сохранения для- ветровых волн (импульса, энергии и действия) и именно с их совместным анализом связан достигнутый прогресс в решении проблемы прогноза волн по ветру.

3. При динамическом описании ветровых волн, развивающихся в окрестности поверхности раздела турбулентного пограничного слоя атмосфера-океан:, возникает общая для современной океанологии проблема различения волн и турбулентности. Ее рациональное решение в рассматриваемом случае достигается при определении воль-новых возмущений в пограничных слоях как отличий от чисто дрейфовой турбулентности в окрестности поверхности: раздела — такое определение волновых возмущений обладает рядом принципиальных преимуществ перед обычно используемой для этой цели операцией фазового осреднения гидродинамических полей у подвижной грани цы. При интерпретации экспериментальных данных такой подход впервые позволил: обнаружить* в частности* волновые возмущении не только флуктуационных характеристик ветра, но и его средней, скорости, фи теоретическом анализе в рамках принятого разделе- . нжя показана, несостоятельность, общеупотребительных моделей взаимодействия: волн с ветром и обнаружено, что простейшим механиз:-мом такого взаимодействия, конкурирующим с нелинейными взаимодействиями самих волн, является квазилинейное обобщение известной модели Майлса.

4. Еще один общий качественный аспект проблемы ветровых волн связан с осознанием важности эффектов перестройки скорости ветра над волнами при их развитии (обычно ветер считается заданным и неизменным в задаче волнообразования). Анализ экспериментальных данных о приводном слое атмосферы обнаружил значимость волновых возмущений средней скорости ветра, и это обстоятельство наиболее непосредственным образом свидетельствует о необходимости теоретического описания волн и ветра на основе совместной системы уравнений двуслойной среды вода-воздух. Последовательное использование этого подхода позволило в конечном итоге добиться: впервые замкнутого самосогласованного описания эволюции параметров спектра волн и профиля средней скорости ветра.

5. Принципиальное значение для возможности использования теории слаботурбулентных колмогоровских спектров при описании ветровых волн имеет представление о локализации интервалёракачкн в области малых масштабов к > к = кт и - ■^>1 , из которой выходит энергонесущая окрестность спектрального максимума спектра волн, в асимптотическом случае достаточно развитого волнения. Подтверждение концепции такого длинноволнового инерционного интервала обнаруживается как при анализе экспериментальных гз 5. данных, так и в теоретических моделях взаимодействия, волн с ветром.

6. Наконец, кардинальное упрощение общей задачи прогноза ветровых волн в ,слаботурбулентном приближении связано с обнаружением фундаментальной роли потока волнового действия в длинноволновом инерционном" интервале - как впервые проведенными экспериментальными оценками относительной значимости потоков действия, энергии и импульса в длинноволновую область по данным "Натурных измерений, так и соответствующими заключениями теории. Это обстоятельство позволяет использовать для описания достаточно развитых ветровых волн, простые интегральные аналоги исходных уравнений баланса спектров действия, импульса и энергии волн, с помощью которых получена замкнутая система соотношений, описывающая взаимную подстройку параметров частотного спектра волн и скорости ветра в ситуациях достаточно развитого волнения. С их помощью находится связь' основных параметров волн (частоты спектрального максимума, их энергии или средней высоты и т.д„) от скорости ветра, времени и разгона. Эти конечные результаты теории, находящиеся в хорошем согласии с данными наблюдений, как раз и позволили впервые решить задачу прогноза ветровых волн на уровне их частотных спектров.

Библиография Диссертация по географии, доктора физико-математических наук, Заславский, Михаил Маркович, Москва

1. Бенилов А.Ю., Заславский М.М. К определении волновых и турбулентных составляющих случайных гидродинамических полей приводного слоя атмосферы. - Изв. АН СССРГ ФАО, 1974, 10, 1£6,с. 628 635.

2. Бенилов А.Ю., Гумбатов А.И., Засжвский М.М., Китайгородский O.A. Об интерпретации измерений средней скорости ветра в приводном слое атмосферы. Изв. АЕ СССР, ФАО, 1976, 12,ЖГО, с. I0II - IQI8.

3. Бенилов А.Ю., Заславский М.М., Китайгородский С.А. К. построению малопараметрических моделей генерации ветровых волн. — Океанология, 1978, 18, М, с. 587 595.

4. Бенилов А.Ю., Гумбатов А.й.Заславский М.М., Китайгородский С.А. Нестационарная модель развития турбулентного пограничного слоя: над морем при генерации поверхностного волнения. -Изв. АН СССР, ФАО, 1978, 14, MI, с. 1177 1187.

5. Бенилов А.Ю., Заславский М.1УГ. Эффекты взаимной подстройки волн и ветра в малопараметрической модели приводного слоя атмосферы. Океанологи^, 1980, 20, JÄ3, с. 388 - 394.

6. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М., "Мир", 1971. 350 с.

7. Бортковский P.C., Бютнер Э.К., Малевский-Малевич С.П., Преображенский Л.Ю. Процессы, переноса вблизи границы раздела океан-атмосферы. I., Еидрометеоиздат, 1974. 252 с.

8. Волков Ю.А. Турбулентные потоки импульса и тепла в приводном слое воздуха над взволнованной поверхностью. Изв. АН СССР, ФАО, 1970,, 6, Щ2, с. 1251 - 1265.

9. Давидан ИЛ. Основные вероятностные характеристики взволнованной поверхности моря. Вопросы судостроения, сер. Акустика, 1977, вып. 8, с. 3 - 32.

10. Давидан ИЛ» Ветровые волны. В сб. Итоги науки. М., Изд. ВИНИТИ, 1979, с. 45 - 77.

11. Давидан Й.Н. Исследование вероятностной структуры волн по натурным данным". Тр. Гос. океаногр. ин.-та. 1980, вып. 151, с. 8 - 26.

12. Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветер и волныв океанах и морях (справочные данные). Л., "Транспорт", 1974, 358 с.

13. Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А» Ветровое волнение как вероятностный гидродинамический процесс. Л., Гидрометео-издат, 1978, 287 с.

14. Доброклонский С.В., Лесников Б.М. Исследование приповерхностного слоя дрейфовых течений в лабораторных условиях. Изв. АН СССР, ФАО, 1972, 8, Jell, с. 1177 - 1187.

15. Щшюв В.В., Христофоров Г.Н. Волновые и турбулентные составляющие спектра скорости, в верхнем слое океана. Изв. АН СССР, ФАО, 1971, 7, с. 200 - 211.

16. Ефимов В.В., Соловьев Ю.Щ 0 развитии спектра ветровых волн. — Океанология, 1975, 15, 1£3, с. 409 — 414.

17. Ефимов В.В., Соловьев Ю.П. Дисперсионное соотношение и частотно-угловые спектры'ветровых волн. Изв. Ж СССР, ФАО, 1979, 15, №11, с. 1175 - 1187.

18. Ефимов В.В. Динамика волновых процессов в пограничны'* слоях атмосферы и океана. Киев, Наукова думка, 198Г, 255 с.

19. Журбас В.М., Заславский М.М., Лобышева Л.Г. Об интегральных характеристиках ветровых волн. Изв. Ж СССР, ФАО, 1984, 26., №5,

20. Заславский М.М. К теории генерации поверхностных волн турбулентным потоком с градиентом скорости. Изв. Ж СССР, ФАО, 1970, 6, М, с. 627 - 634.

21. Заславский М.М. Нелинейное искажение профиля средней скорости логарифмического пограничного слоя в режиме генерации поверхностных волн. Изв. Ж СССР, ФАО, 1970, 6, Ш, е. 820 -826.

22. Заславский М.М. К теории взаимодействия поверхностных волн с турбулентным пограничным слоем атмосферы. Изв. Ж СССР, ФАО, 1974, 10, М2, с. 1282 - 1292.

23. Заславский М.М. О динамических уравнениях теории генерации ветровых волн. Изв. Ж СССР, ФАО, 1978,14, ЖЗ, с. 308 - 317.

24. Заславский М.М. Гипотезы, подобия для ветровых волн. В кн. Взаимодействие атмосферы, гидросферы и литосферы в прибрежной зоне моря - Камчия-79. София, Изд. БАК, 1983, с. 131 - 134.

25. Заславский М.М., Захаров В.Е. К теории прогноза ветровых волн. Докл. АН СССР, 1982, 265 . №3, с. 567 - 571.

26. Заславский М.М., Лейкии И. А. Об интерпретации экспериментальных данных о дисперсионных характеристиках ветровых волн. -Изв. АН СССР, ФАО, 1981, 17, №6, с. 639 646.

27. Заславский М.М., Лобышева Л.Г. Взаимодействие волновых возмущений приводного слоя атмосферы с энергонесущей турбулентностью. ^ Докл. Ж СССР, 1974, 216, J£3, с. 532 535.

28. Заславский М.М., Лобышева Л.Г. Оценки волновых потоков импульса, энергии и действия по натурным данным. Океанология, 1983, 23, J&5, с. 765 - 771.

29. Заславский М.М., Монин A.C. Ветровые волны.-В кн. Океанология, Физика океана, т. 2. М., Наука, 1977, с. 146 181.

30. Захаров В.Е., Заславский М.М. Кинетическое уравнение и кол-могоровские спектры с слаботурбулентной теории ветровых волн. -Изв. АН СССР, ФАО, 1982, 18, №9, с. 970 979.

31. Захаров В.Е., Заславский М.М. Интервалы накачки и диссипации в кинетическом уравнении для: ветровых волн. Изв. АН СССР, ФАО, 1982, 18, МО, с. 1066 - 1076.

32. Захаров В.Е., Заславский М.М. Форма спектра возмущений водной поверхности в слаботурбулентной теории ветровых волн. — Изв. АН СССР, ФАО, 19, J63, с. 282 291.

33. Захаров В»Е. Некоторые вопросы нелинейной 'теории поверхностных волн. — Диссертация на соискание уч» ст. канд. физ.-мат» наук. Новосибирск, ИЯФ СО АН СССР, 1966.

34. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. Прикл. мех. и техн. физика, Г968, JB2, с» 86 - 94.

35. Захаров В»Е» ГамильтоновскиЦ формализм для гидродинамических моделей плазмы» ЖЭТФ, 1971, 60, №5, с. 1714 - 1726»46» Захаров В»Е», Филоненко Н.Н» Спектр энергии для стохастических колебаний поверхности жидкости. Докл. АН СССР, 1966, 170, №,. 1292 2295.

36. Кад А.В., Канторович: В.М. Взаиглосвязь равновесных и потоковых слаботурбулентных распределений .-В кн. Нелинейные волны. М., Наука, 1979, с. 151 164.

37. Киселева Q.A. Экспериментальное исследование двумерного энергетического спектра морского ветрового волнения. — Морские гидрофизич. исследования, 1972, $3, с. 138 147.

38. Китайгородский С.А. Некоторые приложения методов теории подобия при анализе ветрового волнения как вероятностного процесса. Изв. Ж СССР, сер. геофизич., 1962, ЖГ, с. 105 - 117.

39. Китайгородский С.А. Физика взашлодействия океана и атмосферы. J., Гидрометеоиздат, I97Q, 284 с.

40. Китайгородский С.А., Стрекалов С.С. К анализу спектров ветрового волнения, часть I. Изв. АН СССР, сер. геофизич., 1962,9, J&9, с. 1221 1228.

41. Китайгородский С.А., Стрекалов С.С. К анализу спектров ветрового волнения, часть II. — Изв. АН СССР, сер, геофизич., 1963,10, )53г с. 371 385.

42. Козубская Г.Й., Коняев К.В. Адаптивный спектральный анализ случайных процессов и полей. Изв. АН СССР, ФАО, 1977, 13, Ж, с. 61 - 71.

43. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. Докл.

44. АН СССР, 1941, 31, с. 99 101.

45. КрасшЕьникова Т.Н. Расчет статистических характеристик пульсаций давления на поверхности по вторым моментам продольных, пульсаций скорости в пограничном слое. В кн. Турбулентные течения. М., Наука, 1970, с» 44 - 48.

46. Красильников В.А», Павлов В.И» Релаксация гравитационных волн, обусловленная взаимодействием с капиллярными волнами. — Вестн. Моск. ун-та, сер. Физика, астрономия, 1972, 13, JI2,с. 235 237.

47. Краус Е. Взаимодействие атмосферы, и океана. Л., Гидрометеоиздат, 1976, 295 с.

48. Крылов Ю.М. Спектральные методы исследования и расчета ветровых волн. Л., Гидрометеоиздат, 1966, 255 с.

49. Крылов Ю.М., Стрекалов .С.С., Цьшлухин В.Ф. Ветровые волныи их. воздействие на сооружения. Л., Гидрометеоиздат, 1976 , 256 с,

50. Лаихтман Д.Л. Физика пограничного слон атмосферы. Л., Гидро-метеоиздат, 1970, 341 с.

51. Лейкин И.А., Розенберг А.Д. Исследование высокочастотной части спектра морского волнении. Изв. АН СССР, ФАО, 1970, 6, Ж, с. 1328 - 1332.

52. Лейшн И.А., Розенберг А.Д. Измерение угловых спектров высокочастотной части волнения. Изв. АН СССР, ФАО, 1971, 7, №1, с. 102 - 106.

53. Лейкин И.А., Розенберг А.Д. 0 высокочастотном участке спектра ветровых волн. Докл. Ж СССР, 1980, 255, №2, с. 455 - 458.

54. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. М., Гос. издат. физ.-мат. лит., 1958, 333 с.

55. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М., ИЛ, 1958. 195 с.

56. Лонге-Хиггинс М.С. Статистическая геометрия случайных поверхностей., — В кн. Гидродинамическая неустойчивость. М., Мир, 1964, с. 124- 167.

57. Массель С. Дисперсионное соотношение для ветровых волн в прибрежной зоне моря. В кн. Взаимодействие атмосферы, гидросферы и литосферы в прибрежной зоне моря — Камчия-77. София, Изд. БЖ, 1980, с. 180 - 186.

58. Мирабель А.Н., Монин А.С. Двумерная турбулентность. Успехи механики, 1979, 2, с. 47 - 95.

59. Монин: А.С., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность. Л., Гид-рометеоиздат, 1981, 320 с.

60. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Часть I, "М., Наука,. 1965, 639 с.

61. Монин. А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Часть I. М., Наука, 1967, 720 с.82» Обухов: А.М. Q распределении энергии в спектре турбулентного потока» Докл. Ж. СССР, 1941, 32, №1, с» 22 - 24»

62. Преображензкий Л.Ю. Некоторые характеристики воздушного потока в нижнем слое атмосферы над морем. Изв. Ж СССР, ФАО, .1968, 4, JS9, с. 994 999.

63. Преображенский Л.Ю. Расчет коэффициента турбулентного обмена в приповерхностном слое воздуха над морем, Изв. Ж СССР, ФАО,1969, 5, №, с. 60Г 607.

64. Преображенский Л.Ю. Зависимость характеристик турбулентности в приводном слое от высоты» Метеорологии и гидрология, 1971, ЖЕО, с. 5Z-59.

65. Фабрикант А.Л. Квазилинейная теория генерации ветровых волн.-йзв . Ж СССР, ФАО, 1976, 12, №8, с. 858 863.

66. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. М., Мир, 1969, 287 с.

67. Чшпшов Д.В. Математическая модель ветрового волнения. ~ Докл. All СССР, 1976, 229, №5, с. 1083 IQ86.

68. Чаликои Д.В. Математическое моделирование ветрового волнения. JT., Гидрометеоиздат,• 1980, 47 с.

69. Шулейкин В.В. Теория морских волн. Тр. МШ АН СССР, 1956, }£9, с. 5 - Г4Х.95» Barnett Т,Р, On the generation,, dissipation and prediction of ocean wind waves, J. Geophis. Res., 1968, 22t N 2, p. 513529.

70. Barnett T.P., Kenyon K.E. Recent advances in the study of win waves. Reports on progress in physics 1975» N 6, p, 667729.97» Barnett T.P«, Satherland A,J. A note on an overshoot effect in wind-generated waves. J. Geophys. Res. 1968, N 22, p. 6879-6885.

71. Barric D.E., Weber B.L. On the nonlinear theory for gravity waves on the ocean's surface. Part II. Interpretation and applications. J.Phys. Oceanogr., 1977, Z* N 1» Р» 11-21»

72. Benjamin B.T. Shearing frow over a wavy boundary, J, Fluid Mech., 1959, 6, H 2, p. 161-205.

73. Benney D.J., Newell A.C. Statistical properties of the sea. Phys. Fluids, Suppl., 19&7, 10, p. 281-290,

74. Burling R.W. The spectrum pf wave at stort fetches. Dtsch. Hydrogr. Z., 1959, 12, » 2, p. 45-64.

75. Davis R.E. On prediction of turbulent frow over a wavy bocendary. J. Fluid Mech., 1972, ¿2, N 2, p. 287-306.

76. Davis R.E., Regier L.A. Methods for estimating directional wave spectra from multielement arrays. J. Marine Res., 1977»25. H 3» p. 4-53-477•

77. De Leonibus P.S., Simpson L.S, Case srudy of duration-limited wave spectra observed an ocean tower« J. Geophys, Res., 1972, 21* N 24, p. 4555-4569.

78. Dobson F.W, Measurements of atmospheric pressure on wind generated sea waves. J* Fluid Mech., 1971» 48, N 1, p. 97127.

79. Ewing J.A. Some measurements of the directional wave spect-reem. J* Marine Res., 1969, 2£» N 6, p. 1334-1341,

80. Ewing J.A, A numerical wave prediction method for North Atlantic Ocean. Deut. Hydrogr, Z., 1971, 24, N 6, p. 241-267.

81. Grose P.L., Warsh K.L., Garstang M. Dispersion relation and wave shapes. J. Geophys. Res., 1972, 22» N 21, p. 39023905.

82. Hass L.O., Brocks £., Dunckel M., Gorner 0. Eddy Flux measurments at sea. Beitz, Phys. Atm., 1966, 22» N 21, p. 254-257.

83. Hasselmann K. Grundgleichungen der Seegangsvoraussage. -Schiffstechik., 1960, 2» N 39, p. 191-195.

84. Hasselmann K. On the non-linear energy transfer in gravity-wave spectrum. Part I. General theory, J. Fluid Mech., 1962, ' 12, N 4, p. 481-500,1. SOS

85. Hasselmann K. On the non-linear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part II. Conseration theorems, wave-particle correspondence, irreversibility. J. Fluid Mech., 1963, 15, N 2, p. 275-281.

86. Hasselmann K. On the non-linear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part III, Computation of the energy flux and swell-sea interaction for a Neumann spectrum. J. Fluid Mech., 1963, 15, N 3, P. 385-398.

87. Hasselmann K,, Barnett T.P., Bouvs E. et al. Measurements of wind-wave growth and swell decay during the Joint North Sea Wave Project (JONSWAP). Dtsch, Hydrogr, Z., 1973, N 12, p. 1-95.

88. Hasselmann D*E., Dunckel M.t Ewing J.A. Directional wave spectra obserwed during JONSWAP 1973. J. Phys. Oceanogr., 1980, 10, N 8, p. 1264-1280.

89. Hicks B.B., Dyer A.J. Measurements of eddy fluxes over the sea. Quart. J. Hoy. Met. Soc., 1970, ^6, N 407, p. 523*528. I,

90. Hussain A.K.tó.F., Reynolds W.C. The mechanics of an organised wave in turbulent shear flow, J. Fluid Mech., 1970, 41 N 2, p. 241-258,

91. Hughes P. Determination of the relation between wind and sea surface drift, Quart. J. Roy, Meteorol. Soc., 1956, 82, N 354, p. 71-78.

92. Inoue T. On the numerical wave fore casting methods» -Umi to Sora, 1971, N 2, p. 81-92.

93. Isozaki J., Ujjiu J. The calculation of wave propagationin the numerical prediction of ocean waves. Papers Met. and Geophys., 1972, 22, N 4, p. 547-559.

94. Kinsman B. Wind Waves, their generetion and propagation on the ocean surface. N. i., Prentice-Hall, 1965.

95. Kitaigordskii S.A. On the theory of the equilibrium range in the spectrum of wind-generated gravity waves. J.' Phys. Oceanogr., 1985, 12, N 5, p. 816-82?.

96. Kitaigorodskii S.A., Zaslavskii M.M. A dynamical analysis of the drag condition at the sea surface. Berend. Layer Meteo-rol. 1974, 6, p. 55-61.

97. Kitaigoradkii S.A., Krasitskii V.P., Zaslavskii M.M. On the Phillips theory of the equilibrium range in the spectrum of wind-generated waves.-J. Phys. Oceanogr., 1975, 2, N 5, p. 410-420*.

98. Krasitskii V.P., Zaslavskii M.M. Comments on the Phillips*-Miles* theory of wind wave generation. Bound. - Layer Meteo-rol., 1978, 14, p. 199-215.

99. Leonibus P.S. Momentum flux and waves spectra observations from an ocean tower. J. Geophys. Res., 1971, Z§» N 27, p. 6506-6527.

100. Longuet-Higgins M.S., Cartwright D.E., Smith N.D. Observations of the directional spectrum of sea waves using the motions of a floating buoy» Ins Proc. Conf. Ocean wave Spectra. N.Y., Prentice-Hall, 1965, p. 111-156.

101. Me Coldrick L.F. Resonant interactions among capillay-gravity waves. J. Fluid Mech., 1965, 21, N 2, p. 305-332. 135» Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows. - J. Fluid Mech., 1957, 2, N 2, p. 185-204.

102. Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows. J, Fluid Mech., 1959, 6, N 4, p. 568-582.

103. Miles J.W, On the generation of surface waves by turbulent shear flows. J. Fluid Mech., 1960, £» N 5f P* 469-4-78.

104. Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows. Part 5. J. Fluid Mech., 1967, ¿0, N 1, p. 163-176. 139» Manton M.I. Wave generation on the air-sea interface. -Bound. - Layer Meteorol. 1971, 2, N 3, p. 152-160.

105. Manton M.I. On the generation of sea waves by turbulent wind. Bound. - Layer Meteorol., 1972, 3, N 2, p. 348-364.

106. Melvill W.K. Wind stress and roughness length over breaking waves. J. Phys. Ocranogr., 1977, Z» N 9«

107. Mitsuyasce H. On the growth of the spectrum of wind-generated waves. Rep. Res. Inst. Appl. Mech., Kyushu Univ., 1968, 16, N 1, p. 4-59.

108. Mitsuyasu H., Tasai F., Suhara T. et al. Observations of the directional spectrum of ocean waves using a cloverleat buoy. J. Phys. Oceanogr., 1975, 2, N 4, p. 750-760.

109. Miyake M., Donelan M., Me Bean G. et al. Comparison of turbulent fluxes over water determined by profile and eddy correlation techniques. Quart. J. Roy. Met. Soc., 1970,1. N 407, p. 132-137.

110. Nayfen A.H. Third-harmonic resonance in the interaction of capillary and gravity waves. J. Fluid Mech., 1971, 48» N 2, p. 385-396.

111. Pierson W.J. A study of wave forecasting methods and of the height of a fully developed sea on the basis of some wave records obtained by O.W.S. "Explorer" During a storm at sea. -Dtsch. Hydrogr. Z., 1959, 12, N 6, p. 244-259.

112. Pierson W.J. (ed). The directional epectrum of a wind generated sea as determined from data obtained by the Stereo Waveк

113. Observation Project. Coll. Eng. N.Y.U.Met Pap. 2, N 6, p. 88.

114. Pierson W.J., Moskowitz L. A proposed spectral form for fully developed wind seas based on similarity theory of. S.A. Kitaigorodskii. J. Geophys. Res., 1964, 6^, N 24, p. 51815190.

115. Phillips O.M. On the generation of waves by turbulent wind. J. Fluid Mech., 1957, 2, N 5, p. 417-445.

116. Phillips O.M. The equilibrium range in the spectrum of wind-generated waves. J. Fluid Mech., 1958, 4, N 4, p. 426431.

117. Reynolds W.C., Hussain A.K.M. The mechanics of an organized wave in turbulent shear flow. Part 3» Theoretical models and comparison with experiments. J, Fluid Mech., 1972, ¿4,1. N 2, p. 263-288,

118. Schule J.J., Simpson L.S., De Lejnibus P.S. A study of fetch limited wave spectra with an airborne laser, -J, Geop-hys, Res., 1971, Z§» N 18, p. 4160-4171.

119. Stewart R.W» The wave drag of wind over water, J. Fluid Mech., 1961, 10, N 2, p. 189-194.

120. Stewart R,W, Mechanics of the airsea interface. Phys, Fluids, Suppl,, 1967, 10, P. 47-57.

121. Stommel H. Serial observations of drifl currents in the Central North Atlantic. Ocean. Tellus, 1954, 6, N 3, p. 112122.

122. Sverdrup H,U., Münk W.H. Wind, sea and swell; theory of relations for forecasting, U.S. Hawy Hydrogr, Office Pub., 1947, N 601, p. 1-44.

123. Townsend A.A. Flow in a deep turbulent boundary layer ower a surface distorted by water waves. J. Fluid Mech., 1972, 55, N 4, p. 719-735.

124. Weber B.L., Barrick D.E.- On the non-linear theory for gravity waves on ocean's surface. Part 1: Derivations. J• Phys. Oceanogr., 1977» 2» N 1» P« 3-10.

125. Weller H.S., Burleing R.W. Direct measurements of stress and spectra in the boundary layer over the sea. J. Atm. Sci., 1967, 24, N 6, p. 655-664.

126. Wright J.W. Detection of ocean waves by microwave radars the modulation of short gravity-capillary waves. Bound* -Layer Meteorol., 1978, 12, N 1-4, p. 83-101.

127. Wu J. Laboratory studies oí; wind-wave interactions. J. Fluid Mech., 1968, ¿4, N 1, p. 281-295.jU