Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений

ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 551.46

ВАСИЛЬЕВ МИХАИЛ ПЕТРОВИЧ

ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ТОНКАЯ СТРУКТУРА СЛОИСТЫХ ТЕЧЕНИЙ

Специальность 25.00.29 — физика атмосферы и гидросферы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006 год

Работа выполнена и филиале кафедры физики моря и вод суши физического факультета Московского Государственного университета им. М.В. Ломоносова в Институте проблем механики РАМ

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор К.В. Показеев

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, В.Г. Байдулов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Зырянов

доктор физико-математических наук,

доцент A.B. Кистович

Ведущая организация:

НИИ Механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится " 14" декабря 2006 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 501.001.63 по геофизике в Московском Государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. Автореферат разослан " 14 " ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению структурной устойчивости общих свойств моделей геофизической гидродинамики и частных видов течений, по отношению к смене типа модели. Усложнение модели происходит за счет "малых" факторов двух видов: векторных геометрических (размерности задачи, типа обтекаемых препятствий, характера внешних сил) и скалярных динамических (учет эффектов вращения Земли, неоднородности жидкости, диссипативиого характера течении). Отдельно исследовхпись процессы установления течений неоднородной жидкости и их зависимость от выбора модели.

Актуальность темы:

В связи с появлением высокоточных средств глобального мониторинга атмосферы Земли и океана, а также с необходимостью совершенствования качества прогноза динамики геофизических систем и перехода к среднесрочному и долгосрочному прогнозированию, актуальной оказывается задача разработки адекватных физико-математических моделей, учитывающих одновременно большое число определяющих факторов динамического и диссипативиого типов, нелинейный и нестационарный характер протекающих процессов, сложную геометрию течения.

Вплоть до настоящего времени остается актуальной задача исследования природы тонкой структуры геофизических систем, процессов ее формирования, устойчивости, взаимодействия с другими элементами течений, а также влияния на процессы переноса примеси и энергии.

Принимая во внимание нелинейность моделей гидродинамики и широкий спешр упрощенных моделей важным представляется исследование и сравнительный анализ их общих свойств методами теории групп Ли. Ввиду большого числа определяющих факторов, учет которых часто приводит к появлению малых параметров в системе уравнений движения, делает актуальной задачу изучения структурной устойчивости течений по отношению к малым изменениям выбранной модели. Качественно исследовать такие эффекты представляется естественным на примере течений около тел правильной формы - плоскости, цилиндре, сфере - традиционных объектах гидродинамики.

Цель работы,- Целью данной работы является

— Изучение общих свойств распространенных моделей геофизической гидродинамики, отражающих основные физические принципы механических систем, а также свойства пространства и времени.

— Исследование влияния гипотез использованных при построении распространенных упрощенных моделей на структуру групп симметрии исходной системы уравнений геофизической гидродинамики.

— Изучение процессов формирования одно- и двумерных слоистых течений и их структурной устойчивости к модификации модели течения по степени сложности от однородной жидкости до стратифицированной жидкости с диффузией;

— Исследование зависимости установившихся периодических течений от частоты колебаний тела и их устойчивости по отношению выбранной модели.

— Изучение возможности расширения области применения теоретико-групповых методов для построения приближенных решений задач теории стратифицированных течений за счет использования приближенных групп симметрии.

— Разработка программ компьютерной алгебры, реализующих процедуру поиска приближенных групп симметрии уравнений геофизической гидродинамики.

Методы исследований:

При выполнении диссертационной работы использовались методы теории непрерывных групп, теории возмущений, интегральных преобразований, асимптотического

анализа. При проведении вычислений и представления решений широко использовались методы компьютерной алгебры.

Научная попита: В работе получены следующие результаты:

— На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальных моделей к локальным, выявлено полное механико-кинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничного слоя в неоднородных жидкостях.

— Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детально изучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано

качественное изменение свойств течений при смене модели (от модели однородной жидкости к модели стратифицированной жидкости с диффузией). В ряде случаев выявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.

— Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявлено наличие резонансной частоты колебаний генератора, когда амплитуда колебаний частиц жидкости не затухает с удалением от источника (неравномерный переход к режиму установившихся колебаний).

— Показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляется на плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.

— Показано, что использование приближенных симметрии в теории неоднородных жидкостей позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

— Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрии систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Практическая значимость:

Полученные результаты могут быть использованы при построении новых моделей геофизических систем, являющихся основой долгосрочных прогнозов их динамики. В частности на базе могут быть уточнены представления о тонкой структуре океанических и атмосферных течений и ее влиянии на интегральные характеристики геофизических процессов.

На защиту выносятся:

— Результаты сравнительного анализа групп симметрии уравнений геофизической гидродинамики и приближенных моделей.

— Решение и анализ задач формирования одно- и двумерных слоистых течений в линейно стратифицированной жидкости.

— Решение и анализ задач динамики одно- и двумерных периодических слоистых течений.

— Классификация групп приближенных симметрии уравнений стратифицированного пограничного слоя в зависимости от соотношения между основными безразмерными

комплексами (числами Рсйнольдса, Фруда, Шмидта) и их применение для решения геофизических задач;

— Программы расчета приближенных симметрии уравнений геофизических течений;

Публикации: Результаты работы опубликованы в 9 научных публикациях.

Апробация работы: Основные результаты были представлены на Всероссийской научно-молодежной школе "Возобновляемые источники энергии". (Москва. 2003), Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2004), Четвертой всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии" (Москва, 2004), международной конференции "Fluxes and Structures in Fluids" (Москва, 2005); неоднократно докладывались на семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Объединенном семинаре "Динамика природных систем", ИПМех РАН.

Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований и двух приложения. Общий объем диссертации 111 страниц, включая иллюстрации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении Обосновывается актуальность работы по сравнительному анализу геофизических моделей, структурной устойчивости их общих свойств и свойств характерных типов течений. Приводится обзор работ по теме, определены основные виды задач.

В перкой главе вводятся основные характеристики и понятия неоднородных, вращающихся жидкостей, базовые термодинамические соотношения между ними, приводятся уравнения движения геофизической гидродинамики. Обсуждаются граничные и начальные условия, распространенные приближения. В приближении несжимаемой жидкости выведены уравнения стратифицированных течений, в том числе и в приближении Буссинеска. Эффекты вращения рассматриваются в рамках геометрии двух видов: сферической (глобальные модели) и плоской (локальные модели). Приведены важные с практической точки зрения уравнения стратифицированного пограничного

слоя. Теоретико-групповой анализ (как томный, так и приближенный) всех приведенных моделей проводится в следующей главе.

Отдельно обсуждаются основные размерные характеристики и безразмерные комплексы, входящие в модели, определяется система малых параметров. Формулируются базовые требования к построению приближенных моделей геофизических течений.

Во второй главе изучены общие свойства базовой модели геофизических течений и распространенных ее приближений в зависимости от геометрических, динамических и диссипативных факторов. Инвариантные свойства моделей демонстрируются на примере автомодельных решений.

В первом параграфе главы 2 обсуждаются группы симметрии уравнений вращающейся стратифицированной жидкости находящейся в поле плоского и центрально-симметричного поля силы тяжести. Для несжимаемой стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска уравнения движения с учетом вращения Земли с угловой скоростью £1, вязкости и диффузии имеют вид

^ + (иУ)5 = кД5

Шуц = 0

Здесь и = (и, V, и<) - скорость, — концентрация примеси, Р - давление, отнесенное к единичной плотности, Я - угловая скорость вращения Земли, g - ускорение свободного падения, V и к - коэффициенты кинематической вязкости и диффузии соли, соответственно.

В геофизической гидродинамике используются две основные модели: глобальная, когда течения происходят в рамках сферической геометрии в центрально симметричном поле силы тяжести % = -$ег и локатьные, в приближении плоской Земли и однородном поле тяжести g = -ge::. Однако, кроме естественных предположений о том, что выбор модели должен осуществляться с учетом масштаба течений, детального сопоставления свойств моделей до сих пор не проводилось. Вторым распространенным приближением гидродинамики неоднородных сред является приближение Буссинеска. Величина эффектов плавучести характеризуется характерным размером (масштабом стратификации А = 1пр/собственным временем - периодом (Т/, = 2л/Ы) и часто-

той (№ = плавучести. При переходе к исходной системе уравнений движения

несжимаемой жидкости первое из приведенных выше уравнений должно быть переписано в виде

Естественным средством анализа общих свойств физических моделей являются непрерывные группы. В сферически симметричном поле силы тяжести %, = -§ег с осью вращения О: группа симметрии порождается генераторами, отражающими такие фундаментальные свойства физических систем как однородность времени = Э, (временные сдвиги); взаимосвязь между давлением и концентрацией примеси Х2 -grдp, свободу выбора давления с точностью до произвольной функции времени Хп = 71 (() Э/>. Эти свойства являются общими для всех вышеприведенных моделей.

Кроме того, не зависимо от использования приближения Буссинеска, глобальные модели геофизики обладают симметрией поворотов относительно вертикальной оси Х3 = Эф (повороты вокруг оси О:);

В остальном свойства сферической и плоской моделей существенно различаются. В силу центральной симметрии поля тяготения глобальные модели в приближении Буссинеска обладают в неинерцлальной системе координат изотропией пространства относительно осей Ох и Оу, вращающихся вместе с Землей с угловой скоростью О..

Генератор группы поворотов относительно оси Оу имеет вид

=

здесь ф = ф + А*, /-5тФзтф = _р = ту, /-зт€>созф = .г = ту.

Модели плоской Земли в силу действия двух однородных полей сил Кориолиса и тяжести в разных направлениях не допускают свойств изотропии пространства вообще.

Однако, с другой стороны использование постоянного по направлению поля силы тяжести увеличивает число симметрии локальных моделей за счет другого основного физического принципа - принципа относительности Галилея, расширенного за счет всех поступательно движущихся систем координат.

^р + (иУ)и =---ЦУ/> + уДи + 8-2£2хи

1

где х(0> МО и - произвольные функции времени, физическое содержание которых - закон движения системы координат относительно исходной в направлениях х, у и z соответственно.

В моделях со сферически симметричным полем силы тяжести существование выделенной точка пространства - центра симметрии - приводит к полному отсутствию симметрий связанных с однородностью пространства. Дополнительной симметрией в этом случае является модифицированная за счет эффектов вращения симметрия автомодельных преобразований с генератором

Х5 = 2td¡ + гдг - 2Sitdv - v3 „ - ид„ - (2 Qr sin & + w) d„, - 3 Sds - 2 (л + r2Q2 sin2 в) д/>

Наличие симметрий автомодельных преобразований характерно для многих гидродинамических моделей и широко используется для построения точных решений. В случае плоской геометрии присутствие вращения (эффекты Кориолиса) делает невозможным наличие у модели любых симметрий растяжения.

Особенности, вносимые приближением Буссинеска в геофизические модели, изучались на примере уравнений стратифицированной жидкости записанных в отсутствии сил Кориолиса для однородного поля сила тяжести. Поскольку полный список симметрий уравнений стратифицированных течений был приведен в литературе ранее, далее анализируются только наиболее существенные изменения, вносимые приближением Буссинеска.

Отличительной чертой общих уравнений несжимаемой стратифицированной жидкости, является точное следование принципу относительности Галилея без возможности его расширительного толкования. В этом случае генераторы групп преобразований совпадают с генераторами уравнений газовой динамики и имеют вид $ = tdXi +ЭМ| (Принцип относительности Галилея);

Анализ показывает, что расширительное толкование принципа относительности Галилея для уравнений записанных в приближении Буссинеска происходит из-за пренебрежения зависимостью плотности от солености в члене, содержащем давление, и.

таким образом, из-за придания стратифицированной жидкости свойства баротропности, которое выполняется не для всех течений.

Второй отличительной чертой приближения Буссинеска является нарушение равенства гравитационной и инерционной масс, следствием этого факта является появление анизотропии при переходе в свободно падающую систему координат в однородном поле силы тяжести. Если исходная модель инвариантна относительно трех групп вращения в горизонтальной и вертикальных (с модификацией) плоскостях Х9 = удл.-х'ду + -иЭ„ (вращения в горизонтальной плоскости);

то исходные уравнения Буссинеска инвариантны только по отношению к поворотам в горизонтальной плоскости.

Таким образом сравнение общих свойств симметрии выявило значительное различие между свойствами глобальной и локальных моделей геофизических течений, когда поля сил тяжести и Кориолиса считаются однородными. Переход к сферически симметричному полю силы тяжести вместе с эффектами вращения естественным образом приводят к потере свойства однородности пространства. Этой же причиной вызвана и потеря модельными уравнениями инвариантности по отношению к преобразованиям Галилея. В тоже время изотропия пространства сохраняется не только по отношению к поворотам вокруг оси О:, но также и относительно двух других осей системы координат, однако теперь координатная система должна вращаться вместе с Землей с угловой скоростью .

Сравнительный анализ групп симметрии уравнений несжимаемой стратифицированной жидкости с учетом эффектов вращения, стратификации, в приближении Буссинеска и при отказе от него показал, что нарушение принципа эквивалентности гравитационной и инерционной масс приводит к потере изотропии пространства в выделенной падающей с ускорением свободного падения системы координат (состояние невесомости отсутствует), остается только инвариантность по отношению к поворотам в горизонтальной плоскости. Другим следствием замены члена V/*/р(5) на V(Р/р0) в приближении Буссинеска является фактическое придание жидкости свойств баротропности, в результате, как и в случае однородной несжимаемой жидкости, принцип относительности Галилея расширяется за счет всех поступательно движущихся относительно

друг друга систем координат.

Второй параграф главы 2 посвящен анализу симметрии уравнений стратифицированного пограничного слоя и использованию групп растяжения для построения инвариантных решений. Уравнения стратифицированного пограничного слоя, записанные для плоскости, наклоненной на угол а к горизонту, имеют вид

ди Эи ди д2и _ .

—= V—г^тос

Э/ Эдг Э у Э у

Э5 Ъ$ Э25 , . ,,д

— + и—- + V-— = к—изша+усоэа /Л

Э/ дх Э у Ьу2

дх д у

Группа симметрии уравнений пограничного слоя во многом совпадает с группой уравнений несжимаемой стратифицированной жидкости, однако в ней, как и в случае однородной жидкости, отсутствуют группы вращения. Эта анизотропия заранее навязана неравноправием осей х и у, следующим из условий построения модели. Однако, если несжимаемость вместе с условием баротропности приводят к эквивалентности всех систем координат, движущихся поступательно с произвольным ускорением, то пренебрежение поперечной компонентой скорости в одном из уравнений движения расширяет класс таких систем. В поперечном направлении эквивалентными оказываются также и системы координат движущиеся и с вращением, и с деформацией.

Хп ='п(/,д:)Э>, + (т), +г|^и)Эу + сс^ат1Э5 -■^■втга ^ЛЗ^

Преобразование поперечной компоненты скорости при этом будет определяться конвективным переносом закона движения вдоль тангенциальной компоненты

скорости. Непосредственные вычисления показывают, что таким же свойством обладают и уравнения пограничного слоя в однородной жидкости. Обычно указывается на зависимость закона движения только от времени, и генератор Хц приводится в виде

хг\ = +

В работе найдены все расширения допускаемой группы преобразований при частных значениях угла наклона а (а = 0, я / 2 ).

В качестве примеров использования групп симметрии рассмотрены краевые задачи двух типов. Одна из них характерна для задач о распространении тепла вызванная разностью температур в нуле и на бесконечности, а другая типична для динамики стра-

тифицированных течений, когда границы тел являются непроницаемыми для диффузионных потоков примеси, а на бесконечности возмущения, вызванные движущимся телом, затухают, и распределение солености становится близким к исходной стратификации.

В случае горизонтального движения пластины происходит расширение группы растяжения

= хдх + иди , Х2 = уду-2иди -vdv, Л3 = Sdg .

что позволяет решать широкий класс задач.

В задаче с краевыми условиями первого рода (задача об источнике)

u = v = 0, 5 = 50. .У = 0

ы = S = S„,y->со для построения автомодельной замены переменных генератор группы растяжения должен выражаться через генераторы базиса как

Х = 2*Х, + 1 *Х2+0*Х3 = 2х дл+уду-уду. (1)

г = у р, » = = 5=о(г)

4 V* 2\ vjc

В задаче об обтекании горизонтальной пластинки потоком линейно стратифицированной жидкости с диффузией граничные условия для солености становятся второго рода

м = v = 0, 5^ = 0, >■ = 0

u = U„, S =

Л

что приводит к изменению линейной комбинации базисных генераторов группы растяжения, с помощью которой уравнения пограничного слоя могут быть сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и вместо формулы (1) имеем

X = 2*Xi+l *X2 + l*X3 = 2xdx+ydy-vdv+Sds. (2)

-=u~f

После перехода к автомодельным переменным приведенные выше задачи описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, решение которых строятся методом сращиваемых асимптотических разложений.

Решения описывают расщепленный (на скоростной и плотностной) пограничный слой, функции скорости и солености на некотором удалении от края пластины являются гладкими монотонными функциями независимых переменных задачи.

х

Горизонтальная компонента скорости и Соленость 5

В отсутствии диффузии в стационарном пределе соленость и функция тока связаны друг с другом соотношением 5 = /""(ц/). Вид функциональной зависимости определяется из краевых условий, причем свобода выбора функции оказывается настолько большой, что в качестве решения можно построить такую функцию солености, которая одновременно удовлетворяла бы и заданным условиям первого рода на пластине и бесконечности, и обеспечивала бы условие непротекания на пластине. А во второй задаче выполнение условия на бесконечности налагает связь а = /, что одновременно обеспечивает и условие непротекания на пластине.

Таким образом, построение решений приведенных выше краевых задач оказывается возможным благодаря широкой группе автомодельных преобразований допускаемых уравнениями пограничного слоя около горизонтальной пластины. Если движение границы происходит под углом горизонту, то группа симметрии сужается, и физический анализ задач усложняется. Однако, и в этом случае методы теории непрерывных групп можно применять для построения приближенных решений гидродинамических уравнений.

Третий параграф главы 2 посвящен построению приближенных симметрий стационарных двумерных уравнений стратифицированных течений и изучению их зависимости от соотношения между основными определяющими параметрами задачи в основном приближении пограничного слоя, когда Яе »1.

Стационарные двумерные уравнения стратифицированного пограничного слоя записываются в безразмерном виде для переменных функция тока - полная соленость S. При этом отдельно рассматриваются два случая: первый, когда эффекты диффузии малы, и соленость линейным образом связана с функцией тока. Второй случай соответствует существенному вкладом эффектов диффузии в динамику течения, а концентрация примеси является дополнительной функционально независимой переменной задачи описываемой отдельным уравнением второго порядка.

В первом случае уравнения движения сводятся к единственному уравнению относительно функции тока

Э Э 1

у2у + -|-\|гх = 0, Рг

где Не = 171/у — число Рейнольдса, / и 1} — характерный размер и скорость натекающего потока, = [ —| , рг — число Фруда, N — частота плавучести, у = 1/Л. - обезраз-Рг ^ и )

меренный обратный масштаб стратификации.

В втором случае определяющие уравнения в приближении Буссинеска образуют систему уравнений второго порядка, которая может быть записана в виде

|угЭ , - . - д| Ду + = О

(3>

у^-у^.- —Д5 = О ¿с

где 5с = ч/к - число Шмидта.

Здесь и далее будем рассматривать три возможных типа соотношений (по порядку величины) между числами Рейнольдса и Фруда, т.е. между инерцией, силами вязкости с одной стороны и силами плавучести с другой.

A. Баланс "инерция — вязкость Ке - е-2 — плавучесть" /■> ~ е2 ;

—2 I

B. Баланс "инерция — вязкость Яе~г слабо доминирует над плавучестью Рг - е ;

C. Баланс "инерция - вязкость Пе ~ е-2 " сильно доминирует над плавучестью Рг — 1;

При этом симметрии каждой моделей ищутся приближённо с точностью до первого порядка малости Х = Х0+еХ1.

Анализ полученных симметрии первого порядка показывает, что в случае, когда

силы вязкости находятся в балансе с силами плавучести, симметрии первого порядка получаются простым удвоением симметрии нулевого порядка. Иначе говоря, приближенные симметрии нулевого порядка оказываются устойчивыми, и в первом приближении происходит так называемое наследование симметрий.

Аналогичная ситуация имеет место и в случае (С), когда эффекты плавучести малы, и силы инерции определяют инвариантную структуру уравнения вплоть до первого порядка малости. С этой точки зрения наиболее интересным случаем является случай слабого доминирования сил инерции над силами плавучести (В). В этом случае из двух симметрий растяжения с генераторами Х^ и Х^ в первом порядке малости устойчивой оказывается только их комбинация. Однако наличие симметрий первого порядка с генераторами >4 и У5 , а также У2 вместе с У^ дает возможность строить приближенно

инвариантные решения задач, в которых эффекты плавучести существенно проявляются внутри пограничного слоя.

В теории пограничного слоя широко используются автомодельные решения. Однако, чтобы удовлетворить краевым условиям (например постоянства набегающего потока на бесконечности) часто необходимо иметь несколько генераторов групп растяжения. Для построения такого решения из списка генераторов (В) необходимо выбрать такую комбинацию, чтобы после построения редуцирующей замены граничные условия были удовлетворены в рамках новых зависимых и независимых переменных. Чтобы построить такую замену переменных рассматривается линейная комбинация трех операторов растяжения

2=Г4+яГ41+йГ51 =(4 + ае)*Эд.+(1 + £е).>'Э>, + (3 + (а-6)е)\|/Э1|,.

Значения параметров а и Ь выбираются таким образом, чтобы редуцированная задача с точностью до о(е) удовлетворяла краевым условиям, причем в данном случае влияние эффектов плавучести будет сказываться и на масштабах толщины пограничного слоя.

Учет эффектов диффузии усложняет определяющие уравнения и существенно расширяет номенклатуру допускаемых типов течений, границы между которыми будут определяться балансными соотношениями между безразмерными комплексами системы (3). В приближении пограничного слоя балансные соотношения (А), (В) и (С) дополнятся характерной величиной солености, масштаб которой выбран исходя из предельного случая отсутствия диффузии.

В результате проведенных расчетов расклассифицированы симметрии первого порядка уравнений стратифицированного пограничного слоя в зависимости от соотношений между величинами безразмерных комплексов (чисел Рейнольдса, Фруда, Шмидта). Показано, что использование приближенных симметрии позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

Третья глава посвящена изучению зависимости свойств слоистых течений стратифицированной жидкости, как на фазе формирования, так и для установившихся колебаний в зависимости от размерности задач, параметров стратификации и диффузии. Начиная с работ Л. Прандтля, на примере подобных течений в геофизике традиционно моделируются процессы в океане и атмосферы, возникающие при обтекании препятствий. При этом простота геометрии позволяет детально разобрать процесс формирования тонкой структуры течений.

В первом параграфе главы 3 изучались задачи формирования одно и двумерных слоистых течений и их структурная устойчивость при переходе от модели однородной к стратифицированной жидкости. Уравнения движения слоистых течений имеют вид

ди _ . aS .-„ 1 .

— = vLu-gS sina, —=кLS+—usina

Э t dt A

} 1 ï 7 .« 13

где для плоскости L = o /дîl , для цилиндра L = —+--.

дг2 г дг

На основании точных решений начально-краевой задачи, построенных с использованием преобразования Лапласа, детально исследован процесс формирования тонкой структуры течений стратифицированной жидкости. В качестве модельных были рассмотрены задачи формирования плоскопараллельных течений, возникающих около наклоненных к горизонту плоскости и цилиндра, движущихся вдоль самих себя. Трансформация свойств решений изучалась при последовательном переходе от модели однородной жидкости к неоднородной и модели учитывающей диффузию стратифицирующей примеси. Показано, что, несмотря на малость параметров отвечающих за эффекты стратификации и диффузии, величина их вклада относительно других эффектов (сил инерции и вязкости) определяется не только значением скалярных параметров (чисел Фруда и Шмидта), но в значительной мере и динамическими факторами. В силу большого различия по величине скалярных параметров в работе были выделены четыре временные области (три области малых времен — вязких, плавучести и диффузионных,

а также области больших времен), на границах которых происходит смена модели течения. Показано, что предельный переход /—»<*> является неравномерным как в случае плоской, так и цилиндрической геометрии для всех моделей за исключением модели стратифицированной среды с диффузией. Переход к стационарным моделям ведет не только к нерегулярности двойных предельных переходов, но часто и к необходимости переформулировки краевых условий.

Показано, что слабые эффекты стратификации, регулярным образом описываемые уравнениями движения, со временем меняют глобальное поведение течения и приводят к формированию тонкой структуры течения, включая сингулярные эффекты диффузии. В работе отдельно выделены стационарные модели, применимость которых для описания процессов в окружающей среде каждый раз нуждается в обосновании, особенно, когда исследуются предельные переходы между смежными геометрическими задачами или моделями.

Проведенные расчеты временной эволюции течения позволили выделить два характерных типа поведения скорости в зависимости от расстояния до плоскости. На малых расстояниях первоначально сильное вязкое вовлечение жидкости в движение, чередуется сменой направления скорости и возникновением противотечения большой амплитуды. Следующие смены периодов доминирования сил плавучести и вязкости приводят к постепенной адаптации среды к внесенным возмущениям. В тоже время на больших расстояниях возмущения заметной амплитуды приходят спустя некоторое время после старта, причем их величина примерно на порядок меньше чем в области малых расстояний. Максимум амплитуды колебаний наступает тем позже, чем дальше находится выбранная точка наблюдений. После достижения максимального значения амплитуда колебаний медленно затухает со временем.

Смена типа течения будет происходить при переходе к большим временам существенно превышающим диффузионные. В этом пределе эффектами диффузии пренебрегать уже нельзя, и решение приближается к стационарному, пространственные характеристики которого определяются комбинационным масштабом длины

Представленные в работе разложения решения в виде временных рядов - асимптотических рядов вида

здесь i"erfc(r) - кратный интеграл вероятности, Рпт - коэффициенты разложения.

Эволюция скорости течения неоднородной жидкости вблизи наклонной плоскости. Кривые рассчитаны для а = 90°, N = 0,99с"1. l-6-rj = 0.05,0.10, 0.15, 0.5, 1.0, 1.5 см.

Эволюция скорости течения неоднородной жидкости на больших расстояниях от плоскости согласно представлению в виде временных рядов на расстоянии от пластины Т]=0.5 см. Кривые рассчитаны для а = 90°, N = 0,99 с-1, при ограничении ряда суммой с п = 5, 10 и 20 членами, кривая 4 соответствует аналитическому решению, полученному для стратифицированной среды без диффузии

Такое представление решения позволило регулярным образом описать течения на существенно нестационарной фазе их эволюции, что особенно важно для моделей учитывающих диффузию, когда аналитическое решение в явном виде найти не удается.

Во втором параграфе главы 3 исследуется влияние периодического движения границы на структуру колебаний стратифицированной среды при исключительно вяз-

ком механизме вовлечения. На примере движения плоской и цилиндрической границ проанализирована трансформация картины установившихся колебаний при последовательном усложнении модели течения от вязкой однородной жидкости к вязкой стратифицированной и стратифицированной жидкости с диффузией.

В результате перехода к модели стратифицированной жидкости в показатель затухания Стокса Yo = q)/2v (здесь (й - частота колебаний границы) периодического течения однородной жидкости, эффекты плавучести вносят существенную поправку Удг = — /V2 sin2 u|^2vco, уменьшая его величину. Анализ зависимости показателя

затухания yN от частоты колебаний границы показывает сходство в поведении течений при больших (ш>> TVsina) и малых (о)« Л'sin a) значениях частот, что существенно отличает их от течений однородной жидкости. Причем в первом случае эффекты стратификации малы и 7дг = Yo — Veo, а во втором наличие отличной от нуля частоты плавучести в yN (второго механизма колебаний) приводит к росту затухания характеристик течения с уменьшением частоты колебаний границы (Y// ~ 1A/w).

Если колебания границы происходят с частотой равной эффективной величине частоты плавучести N3(p = N sin a, то к моменту установления колебаний вся жидкость

приходит в движение и для такой частоты колебания границы условие затухания возмущений на бесконечности не выполняется.

Учет эффектов диффузии приводит к расщеплению единого пограничного слоя на два подслоя разной толщины, с характерными масштабами длины

'И

-(k-'+v"1) +Э2±-(к"1+у-1)

•1 I 9 ? 7 I

со -Л? sin а , где p2=i-L

Показано, что в моделях с диффузией пограничный слой всегда разделен па два подслоя независимо от значения диссипативных параметров жидкости, причем толщина скоростного (вязкого) пограничного слоя существенно зависит от соотношения между частотой вынужденных колебаний, частотой плавучести и углом наклона пластины.

lK=i+~-Jk/oj, 1V=L~ml(s>NyJvTa>, где wN = .Jco2 -N2sin2cc|.

Как и в случае среды без диффузии существует вырожденный случай колебаний с частотой ш = yVsin а, когда у характеристического уравнения появляется двукратный нулевой корень, В этом случае дифференциальный оператор в пространстве образов Лапласа распадается на два коммутирующих оператора

, „ , . w VK

v — 0 и v =/-v,v,a=-=

уэф эф V + K

первый га них отвечает стационарному решению задачи об импульсном старте пластины с постоянной скоростью, второй - его же нестационарной части с эффективным коэффициентом вязкости, вторая возможная интерпретация - установившиеся колебания плоскости в жидкости с эффективным коэффициентом вязкости.

В третьем параграфе главы 3 исследуется влияние нелинейности на двумерные стационарные вихревые течения идеальной несжимаемой жидкости и равномерность предельного перехода от стратифицированной среды к однородной. Решения определяющего уравнения

{VqA -угд(р}Дч/ +JS-[/-cos<pa,. -этфдф]*)» = 0 (4)

строятся методом разделения переменных в цилиндрической системе координат (г,(р).

п-0

Предварительный анализ уравнений однородной жидкости показал, что решения, состоящие из любого конечного числа членов (содержащие конечное число мод по ф)

отвечают линейкой связи между завихренностью и функцией тока. Связям нелинейного типа (собственно нелинейным особенностям гидродинамических уравнений) отвечают бесконечное число членов ряда Фурье, подстановка которого в определяющие уравнения приведет к рекуррентным дифференциальным уравнениям второго порядка относительно функций у„(г), причем нулевой член разложения - функция Уо(г) ~ остается произвольным. Общность решения представленного разложения обусловлена наличием одной произвольной функции одного аргумента и двумя счетными наборами постоянных интегрирования системы рекуррентных дифференциальных уравнений.

Анизотропия уравнений стратифицированной жидкости вносит значительные изменения в вид решения. Использование свойств дискретной симметрии по угловой переменной ф

У(-<Р) =-У(Ф) и чЧя-ф) = У(Ф) позволяет, не решая задачу, определить, что разложение в ряд Фурье функции тока должно содержать только синусы нечетного аргумента.

А в широко распространенном случае линейной связи между завихренностью и функцией тока решение опять, как и в случае однородной жидкости, описывается функциями Бесселя.

В Приложении 1. приведены необходимые сведения из теории точных и приближенных непрерывных групп непрерывных преобразований.

Приложение 2. содержит блок-схему и текст программы расчета приближенных групп симметрии стационарных уравнений стратифицированной жидкости.

п=0

Уравнение (4) может быть один раз проинтегрировано

Публикации по теме диссертации

1. Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решения уравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Всероссийская научно молодежная школа "Возобновляемые источники энергии" г. Москва. 2003 г. Тезисы докладов. С. 160.

2. Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решения уравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Ломоносовские чтения. г. Москва. 2004 г. Тезисы докладов. С. 172.

3. Васильев М.П. Анализ совместного влияния нелинейности и диссипации на структуру течений стратифицированной жидкости // Четвертая всероссийская научная конференция «Физические проблемы экологии» Москва. 22 - 24 июня 2004 г. Тезисы докладов. С. 40 - 41.

4. Васильев М.П. Взаимодействие диссипативных и нелинейных факторов в стратифицированном пограничном слое около горизонтальной пластинки // Сборник научных трудов «Физические проблемы экологии (Экологическая физика)». 2005. № 13. С. 55 -69.

5. Байдулов В. Г., Васильев М.П. Инвариантные и приближенно инвариантные решения задач о движение горизонтальной пластины в стратифицированной и/или вращающейся жидкости // Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях". Москва. 20 - 23 июня 2005 г. Тезисы докладов. С. 190.

6. Baydulov V.G., Vasiliev М.Р. Approximate Groups of Transformations and Asymptotic Solutions of the Stratified Liquid Boundary Layer Equations // Selected Papers of the International conference "Fluxes and Structures in Fluids". Moscow, Russia, June 20 - 23, 2005. Moscow. 1PM RAS. 2006. P. 41 - 45.

7. Васильев М.П. Влияние эффектов плавучести, нелинейности и диссипации на структуру стационарных двумерных течений стратифицированной жидкости Н Научная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности". Москва. Февраль, 2006 г.

8. Байдулов В.Г., Васильев М.П. Формирование тонкой структуры слоистых стратифицированных течений // Известия РАН Механика жидкости и газа, 2006 (в печати)

9. Байдулов В.Г., Васильев М.П., Показеев К.В. Структурная устойчивость общих свойств моделей геофизической гидродинамики // Вестник МГУ. Физика и астрономия, 2006 (в печати)

ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ТОНКАЯ СТРУКТУРА СЛОИСТЫХ ТЕЧЕНИЙ

Васильев Михаил Петрович

Заказ № 126/11/06 Подписано в печать 10.11.2006 Усл. п.л. 1

/f^X ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 778-22-20 V- _ J) www.cfr.ru ; e-mail:info@cfr.ru

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Васильев, Михаил Петрович

Введение.

Глава 1. Модели теории неоднородных жидкостей и их распространенные приближения в задачах геофизической гидродинамики.

Глава 2. Инвариантные свойства геофизических моделей.

2.1. Симметрии уравнений вращающейся стратифицированной жидкости. Инвариантные свойства приближения Буссинеска.

2.2. Группы растяжения и автомодельные решения уравнений стратифицированного пограничного слоя.

2.3. Приближенные группы симметрий стационарных двумерных уравнений стратифицированного пограничного слоя и их зависимость от основных безразмерных комплексов (чисел Рейнольдса, Фруда,

Шмидта).

Глава 3. Тонкая структура слоистых течений стратифицированной жидкости.

3.1. Формирование одно и двумерных слоистых течений. Структурная устойчивость решений при переходе от модели однородной к стратифицированной жидкости.

3.2. Периодические слоистые течения.

3.3. Решение методом разделения переменных двумерных нелинейных стационарных уравнений несжимаемой жидкости. Роль стратификации.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Общие свойства моделей геофизической гидродинамики и тонкая структура слоистых течений"

Важные составные части окружающей среды атмосфера и гидросфера Земли, имеющие огромное значение в жизни человека, являются сложными составными системами открытого типа. Для прогнозирования их эволюции создано большое количество физико-математических моделей. В совокупности они включают десятки параметров, отвечающих за макроскопические движения различного происхождения: от механического, вызванного вытеснением жидкости телами или действием сил различной природы, до широкого класса конвективных явлений и диссипативных процессов. В последнее время активно развиваются высокоточные космические средства наблюдения за динамикой широкого набора параметров динамики природных систем [15], что вместе с развитием компьютерной техники сбора и обработки результатов измерений выводит геофизическую гидродинамику на качественно новый уровень развития.

Несмотря на то, что реальные морская вода и атмосфера включают в себя большое число примесей и неоднородны по температуре, в данной работе в качестве основной выбрана модель двухкомпонентной несжимаемой жидкости (вода - соль, вода -температура). В рамках этой модели может быть изучено совместное действие эффектов плавучести и диссипации, которые вместе с силами Кориолиса во многом определяют динамику геофизических систем.

В силу большого числа параметров определяющих геофизические течения характерной особенностью моделирования является стремление к максимальному упрощению модели. На практике это приводит к пренебрежению физическими эффектами, которым отвечают малые значения определяющих параметров. К ним можно отнести коэффициенты кинематической вязкости и диффузии соли, параметр Кориолиса и кривизна Земли, часто к малым эффектам относят и эффекты плавучести. В большинстве аналитически решаемых задач малыми предполагаются эффекты нелинейности. Такие упрощения допускаются даже для эффектов определяющих порядок и тип уравнений движения. Так, например, в геофизике широко распространена модель идеальной жидкости, из-за аналитических трудностей задачи формирования течений не решаются, а исследуются установившиеся волновые процессы, когда момент начала движений отнесен в бесконечно удаленное прошлое.

Однако такие упрощения оказываются справедливыми, если проведенная редукция не приводит к существенной ошибке в прогнозе динамики природных систем, либо можно указать пространственно-временную область применимости модели. Причем используемые математические методы решения задач также не должны вступать в противоречие с обозначенными границами применимости моделей.

Иначе говоря, актуальной оказывается задача устойчивости решений по отношению к малому изменению модели течения (в том числе и за счет полного учета временных производных на начальных этапах развития течения), т.н. структурной устойчивости решений [30]. Кроме чисто "прагматической" цели избежать значительной ошибки в прогнозе, такой подход позволит лучше выявить вклад каждого действующего фактора в общую картину течения, т.е. лучше разобраться в структуре геофизических процессов.

В данной работе будет изучена структурная устойчивость как общих свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальной модели течения к локальной в поле сил тяжести и Кориолиса, так и свойств слоистых течений (на фазе формирования и в режиме периодического движения границ).

Применению теоретико-групповых методов в гидродинамике (включая автомодельные решения [12, 13, 44, 48]) традиционно уделяется большое внимание. В газовой динамике под руководством JI.B. Овсянникова проводится целая программа систематизации и анализа инвариантных решений, создание своеобразной "таблицы Менделеева" в механике сплошных сред [49]. Работам в области механики несжимаемой жидкости (в том числе неоднородной) посвящена монография [3]. Разрабатываются и новые методы и подходы. К ним, например, относится распространение метод поиска инвариантных решений на пространство обобщенных функций и построение на систематической основе функций Грина линейных систем дифференциальных уравнений [2]. Известно, что в задачах теории внутренних волн (как монохроматических, так и присоединенных) широко используются методы на основе функции Грина [27, 28, 49, 102]. Использование методов теории групп в таких задачах позволит расширить их класс на системы со сложной геометрией границ.

В последнее время групповые методы успешно используются совместно с теорией возмущения [11]. Однако, выполненные к настоящему времени исследования в основном касались задач малой размерности. В настоящей работе предпринята попытка распространить новые методы теории групп Ли на задачи теории неоднородной жидкости.

Использование методов компьютерной алгебры позволило в полном объеме изучать общие свойства симметрии уравнений движения распространенных моделей динамики неоднородных жидкостей [3, 9], выявить влияние ряда распространенных приближений на трансформацию базовых принципов механических систем. Однако, такой анализ для уравнений геофизической гидродинамики проведен не был. Представляет интерес развитие существующих методов символьного программирования на задачи поиска приближенных групп симметрии многомерных систем уравнений движения неоднородных жидкостей.

Изучение и параметризация процессов переноса и формирования структур океана и атмосферы являются основными задачами гидродинамики окружающей среды. В силу сложности задач надлежащий выбор определяющих физических переменных и математических моделей в значительной степени предопределяет эффективность и адекватность описания природных явлений. В последние 60 лет основные модели динамики окружающей среды базируются на представлении о турбулентном характере течений в стратифицированном океане и атмосфере [62]. Однако, уже в одной из ранних работ Уолтера Манка было показано, что профили вертикальных распределений потенциальной температуры и концентрации некоторых элементов (углерода, радия, кислорода) в Тихом океане не согласуются с рассчитанными по моделям турбулентности, в которые подставляются океанические значения коэффициентов диффузии и скорости подъема вод [89]. Эта работа стимулировала интенсивный поиск дополнительных механизмов переноса в устойчиво стратифицированных океане и атмосфере, результаты которого нашли свое отражение в большом числе статей и книг [43, 52, 55, 56, 88]. Важнейшими из дополнительных универсальных механизмов переноса энергии и вещества в океане были признаны пограничные течения, существующие на океанических склонах [69, 70, 104]. Их аналогом в атмосфере, в частности, служат долинные и горные ветры [95].

Широкий класс явлений касающихся процессов переноса вещества и энергии изучается в рамках простейшей - плоской геометрии модели. Начиная с пионерской работы Л. Прандтля [47], посвященной природе горных ветров, было предпринято ряд попыток описать придонные течения на основе стационарных моделей, включающих, в том числе и эффекты вращения (см. например [72]).

На круто падающих склонах (угол наклона которых больше отношения частоты вращения к частоте плавучести) пограничное течение является существенно нестационарным, на что обратили внимание специалисты по физической океанографии [60]. В реальных условиях, помимо течений, индуцированных диффузией, заметную роль в прибрежной океанографии играют процессы поверхностного перемешивания [71], взаимодействия с топографией внутренних волн, приливных течений, процессы локального перемешивания и последующего восстановления стратификации [66, 100], а также конвективные течения, возникающие под действием естественных потоков тепла [99].

Стационарные решения задачи о пограничном течении [47, 91, 104 и др.] широко используются для разрешения одного из принципиальных парадоксов прикладной океанографии - несогласованности измеренных значений параметров океанической турбулентности и скорости вертикального (диапикнического) переноса примесей [89]. Пограничные течения на шельфовом склоне (в общем случае турбулентные), эффективно переносят вещество и энергию не только вблизи границ [73, 77, 87], но, в случае их отрыва, и в толще океана [74, 93]. Аналогия между вращением и стратификацией [101] показывает, что данный тип течений может быть как гравитационного, так и инерционного происхождения [65,69].

Формированию течения около наклонной границы в многокомпонентной среде (сахар/соль) посвящена работа [82]. В последнее время получены точные решения задач теории течений индуцированных диффузией на топографии [35, 96], выполнен асимптотический анализ для границ более сложной формы [10]. Использование численных методов позволило детально изучить процесс установления диффузионного течения на сфере и выделить новый класс нестационарных внутренних волн ими порождаемых [8]. В тоже время задачам формирования течения для движущихся границ, а также анализу влияния различных действующих факторов, достаточного внимания уделено не было.

Распространенными объектами моделирования реальных течений в гидродинамики являются внутренние волны и пограничные течения [64, 75]. Традиционно анализ волновых и некоторых других элементов ламинарных течений стратифицированной жидкости проводится с помощью линеаризации уравнений гидродинамики [25, 36, 37, 39, 42]. При этом часто используются методы интегральных преобразований, которые позволяют сводить исходную систему дифференциальных уравнений к алгебраическому уравнению - так называемому дисперсионному уравнению [39]. В рамках линеаризованных моделей было получено большое количество результатов, касающихся не только задач излучения, распространения и отражения внутренних волн, но и задач обтекания тел стратифицированной жидкостью [39]. Широко исследуется вклад диссипа-тивных эффектов в поле внутренних волн и связанных с ними пограничных течений [36, 37]. Иногда, решение ряда линейных задач при соблюдении дополнительных условий может являться также и решением полной нелинейной системы уравнений движения [35,42, 83]. В последнее время появились работы по изучению колебаний и движения тел правильной формы (цилиндр, сфера) [59, 67, 68, 76, 94]. В них теоретические методы сочетаются с экспериментальными методами теневой визуализации течений и компьютерной обработкой информации [67, 68]. Однако, основное внимание, как правило, уделяется установившимся процессам, процессы установления течений не изучаются, процессы диффузии жидкости также в модель не включаются. Учитывая, что при теоретическом моделировании, как правило, используются приближенные методы, представляется актуальным подробно исследовать фазу установления течения и корректность предельного перехода t -> оо, когда даже эффекты, определяемые малыми скалярными параметрами, могут также оказывать существенный вклад в динамику течения.

Цель работы; Целью данной работы является

Изучение общих свойств распространенных моделей геофизической гидродинамики, отражающих основные физические принципы механических систем, а также свойства пространства и времени.

Исследование влияния гипотез использованных при построении распространенных упрощенных моделей на структуру групп симметрий исходной системы уравнений геофизической гидродинамики.

Изучение процессов формирования одно- и двумерных слоистых течений и их структурной устойчивости к модификации модели течения по степени сложности от однородной жидкости до стратифицированной жидкости с диффузией;

Исследование зависимости установившихся периодических течений от частоты колебаний тела и их устойчивости по отношению выбранной модели.

Изучение возможности расширения области применения теоретико-групповых методов для построения приближенных решений задач теории стратифицированных течений за счет использования приближенных групп симметрии.

Разработка программ компьютерной алгебры, реализующих процедуру поиска приближенных групп симметрии уравнений геофизической гидродинамики.

В работе получены следующие новые результаты:

На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальных моделей к локальным, выявлено полное механико-кинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничного слоя в неоднородных жидкостях.

Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детально изучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано качественное изменение свойств течений при смене модели (от модели однородной жидкости к модели стратифицированной жидкости с диффузией). В ряде случаев выявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.

Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявлено наличие резонансной частоты колебаний генератора, когда амплитуда колебаний частиц жидкости не затухает с удалением от источника (неравномерный переход к режиму установившихся колебаний);

Показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляется на плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.

Показано, что использование приближенных симметрий в теории неоднородных жидкостей позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных.

На защиту выносятся:

Результаты сравнительного анализа групп симметрий уравнений геофизической гидродинамики и приближенных моделей;

Решение и анализ задач формирования одно- и двумерных слоистых течений в линейно стратифицированной жидкости.

Решение и анализ задач динамики одно- и двумерных периодических слоистых течений.

Классификация групп приближенных симметрий уравнений стратифицированного пограничного слоя в зависимости от соотношения между основными безразмерными комплексами (числами Рейнольдса, Фруда, Шмидта) и их применение для решения геофизических задач;

Программы расчета приближенных симметрий уравнений геофизических течений;

Публикации: Результаты работы опубликованы в 9 научных публикациях.

Апробация работы: Основные результаты были представлены на Всероссийской научно-молодежной школе "Возобновляемые источники энергии". (Москва. 2003), Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2004), Четвертой всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии" (Москва, 2004), международной конференции "Fluxes and Structures in Fluids" (Москва, 2005); неоднократно докладывались на семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Объединенном семинаре "Динамика природных систем", ИПМех РАН.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 105 наименований. Общий объем диссертации 111 страниц, включая иллюстрации.

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Васильев, Михаил Петрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена изучению структурной устойчивости общих свойств моделей геофизической гидродинамики и частных видов течений, по отношению к смене типа модели. Усложнение модели происходит за счет "малых" факторов двух видов: векторных геометрических (размерности задачи, типа обтекаемых препятствий, характера внешних сил) и скалярных динамических (учет эффектов вращения Земли, неоднородности жидкости, диссипативного характера течений). Отдельно исследовались процессы установления течений неоднородной жидкости и их зависимость от выбора модели.

В связи с появлением высокоточных средств глобального мониторинга атмосферы Земли и океана, а также с необходимостью совершенствования качества прогноза динамики геофизических систем и перехода к среднесрочному и долгосрочному прогнозированию, актуальной оказывается задача разработки адекватных физико-математических моделей, учитывающих одновременно большое число определяющих факторов динамического и диссипативного типов, нелинейный и нестационарный характер протекающих процессов, сложную геометрию течения. За более чем вековой период развития геофизической гидродинамики накоплен большой объем наблюдений, теоретически изучены многие важные процессы динамики природных систем. Совместно с появлением новых средств наблюдения, развитием вычислительных мощностей современных компьютеров и появления систем символьных вычислений создан базис для качественного изменения теоретического анализа динамики атмосферы и океана. В настоящее время представляется актуальной задача определения пространственно -временных границ действия геофизических моделей характеризуемых малым числом определяющих факторов. Такой подход позволит качественно улучшить анализ данных натурных наблюдений и предоставит средство независимого тестирования результатов численного моделирования.

В ходе выполнения работы благодаря совместному использованию теоретико-групповых и традиционных асимптотических методов были изучены общие свойства системы геофизических моделей и структурная устойчивость течений по отношению к усложнению модели за счет малых параметров.

На основе сравнительного теоретико-группового анализа показаны изменения физических и пространственно-временных свойств моделей геофизических течений при переходе от глобальных моделей к локальным (выявлена трехмерная изотропия глобальных моделей во вращающейся вместе с Землей системе координат), выявлено полное механико-кинематическое содержание перехода к приближению Буссинеска и пограничного слоя в неоднородных жидкостях.

Впервые на примере слоистых течений стратифицированной жидкости детально изучен процесс формирования тонкой структуры геофизических течений. Показано качественное изменение свойств течений при смене модели. В ряде случаев выявлена неравномерность предельного перехода к моделям стационарных течений.

Впервые для периодических слоистых течений с диссипацией двух видов выявлено наличие резонансной частоты колебаний генератора, которая приводит к отсутствию затухания возмущений на бесконечности (неравномерный переход к режиму установившихся колебаний); показано, что в многокомпонентной среде пограничный слой всегда расщепляется на плотностной и скоростной независимо от значений коэффициентов диссипации.

В методической части работы было показано, что использование приближенных симметрий позволяет строить автомодельные решения с заданной степенью точности в задачах, не допускающих точные группы растяжений.

Разработан и реализован пакет программ поиска приближенных групп симметрий систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Автор выражает глубокую благодарность профессору К.В. Показееву за постановку задачи и научное руководство работой, а также за постоянную поддержку во время выполнения исследования. Автор особенно признателен В.Г. Байдулову за постоянный интерес к работе и помощь в освоении современных математических методов.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Васильев, Михаил Петрович, Москва

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука. 1979. 830 с.

2. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН, 1995, Т. 342, № 2, С. 151-153.

3. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука. 1994.319 с.

4. Байдулов В.Г., Васильев М.П. Формирование тонкой структуры слоистых стратифицированных течений // Известия РАН Механика жидкости и газа, 2006 (в печати).

5. Байдулов В.Г., Васильев М.П., Показеев К.В. Структурная устойчивость общих свойств моделей геофизической гидродинамики // Вестник МГУ. Физика и астрономия, 2006 (в печати).

6. Байдулов В.Г., Матюшин П.В., Чашечкин Ю.Д. Структура течения, индуцированного диффузией, около сферы в непрерывно стратифицированной жидкости // Доклады АН. 2005. Т. 401. № 5. С. 613-618.

7. Байдулов В.Г., Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Формирование течения при начале движения горизонтального цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. № 6. С. 821 828.

8. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Инвариантные свойства уравнений движения стратифицированных жидкостей // Доклады АН, 2002, Т. 387, № 6. С. 760 763.

9. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Влияние диффузионных эффектов на пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1993. № 4. С. 82 90.

10. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближённые симметрии // Матем. сб., 1988, Т. 136, Вып. 4, С. 435 450.

11. Баренблатт Г.И. Подобие, автомоделыюсть, промежуточная асимптотика. Изд. 2-е. -Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

12. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд. иностр. литературы. 1963.

13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. I. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969, 344 с.

14. Бэтчелор Дж. Введение динамику жидкости. М.: Мир, 1973, 758 с.

15. Васильев М.П. Анализ совместного влияния нелинейности и диссипации на структуру течений стратифицированной жидкости // Четвертая всероссийская научная конференция «Физические проблемы экологии» Москва. 22 24 июня 2004 г. Тезисы докладов. С. 40 - 41.

16. Васильев М.П. Взаимодействие диссипативных и нелинейных факторов в стратифицированном пограничном слое около горизонтальной пластинки // Сборник научных трудов «Физические проблемы экологии (Экологическая физика)». 2005. № 13. С. 55-69.

17. Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решения уравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Всероссийская научно молодежная школа "Возобновляемые источники энергии" г. Москва. 2003 г.

18. Васильев М.П. Приближенные симметрии и приближенно инвариантные решения уравнений стратифицированных течений и пограничного слоя // Ломоносовские чтения, г. Москва. 2004 г.

19. Васильева В.В., Писаревская Л.Г. Шишкина О.Д. Генерация внутренних волн дрейфующим айсбергом // Изв. РАН. ФАО. 1995. Т. 31. № 6. С. 842 851.

20. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. -М.: Изд-во МФТИ. 1997.240 с.

21. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Фетисов С.А. Автомодельные решения задач нагрева и динамики плазмы. М.: Изд-во МФТИ. 2001.256 с.

22. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. -М: Наука. ГРФМЛ. 1986. 288 с.

23. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. ГРФМЛ. 1972. 392 с.

24. Городцов В.А., Теодорович Э. В. Об излучении внутренних волн при равномерном прямолинейном движении локальных и нелокальных источников // Изв. АН СССР, ФАО. 1980. Т. 16., № 9. С. 954-961.

25. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Плоская задача для внутренних волн, порождаемых движущимися сингулярными источниками // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. № 2. С. 77-83.

26. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971.288 с.

27. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

28. Ерманюк Е.В., Гаврилов Н.В. О колебаниях цилиндров в линейно стратифицированной жидкости // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4. С. 15 26.

29. Каменкович В.М. Основы динамики океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1973.

30. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Диссипативно-гравитационные волны в докрити-ческих режимах многокомпонентной конвекции // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37. №.4. С. 513 519.

31. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Групповой анализ частично симметризованной формы системы уравнений свободной термоконцентрационной конвекции // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 2. С. 14 26.

32. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно стратифицированной среде // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 4. С. 50-56.

33. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Внутренние волны, вязкие пограничные слои и внутренние пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости // Препринт ИПМ РАН, № 674,2001,156 с.

34. Кистович Ю.В., Чашечкин Ю.Д. Некоторые точно решаемые задачи излучения трехмерных периодических внутренних волн // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 1. С. 52 61.

35. Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир. 1970. 304 с.

36. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 600 с.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. ГРФМЛ. 1986. 733 с.

38. Лойцянский Л.Г. Механика жидкостей. М.: Наука. ГРФМЛ. 1987. 840 с.

39. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат. 1981.

40. МонинА.С., ОзмидовР.В. Океанская турбулентность. Л.: Гидрометеоиздат.1981.320 с.

41. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.400 с.

42. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикладная математика и механика, 1994, Т. 58, № 4, С. 30 55.

43. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989. 637 с.

44. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М.: Иностр. Лит., 1949.520 с.

45. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1972.

46. Стурова И.В. Задачи радиации и дифракции для кругового цилиндра в стратифицированной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 1999. №4. С. 81-94.

47. Теодорович Э.В., Городцов В.А. О некоторых сингулярных решениях уравнений внутренних волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. № 7. С. 776 -779.

48. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977.431 с.

49. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1976. 184 с.

50. Физика океана. Т.1. Гидрофизика океана. Ред. А.С. Монин; АН СССР. Ин-т океанологии. М.: Наука, 1978.455 с.

51. Физика океана. Т.2. Гидродинамика океана. Ред. А.С. Монин; АН СССР. Ин-т океанологии. -М.: Наука, 1978.

52. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1980. 319 с.

53. Чашечкин Ю.Д., Макаров С.А. Нестационарные внутренние волны // Доклады АН СССР. 1984. Т. 276. № 5. С. 1246 1250.

54. Черный Г.Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости // Известия РАН Механика жидкости и газа, 1997, № 4, С. 39 53.

55. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. ГРФМЛ. 1969. 742 с.

56. Appleby J.С., Crighton D.G. Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere //J. FluidMech. 1987. V. 183. P. 439-450.

57. Army L., Millard R.C. The bottom boundary layer of the deep ocean // J. Geophys. Res. 1976. V.81.P. 4983-4990.

58. Baines P.G. Topographic effects in stratified flows. Cambridge. 1995. 544 p.

59. Bretherton F.P. The time-dependent motion due to a cylinder moving in an unbounded rotating or stratified fluid // J. Fluid Mech., 1967, V. 28, P. 545 570.

60. Broutman D., Rottman J.W., Eckermann S.D. Ray method for internal waves in the atmosphere and ocean // Ann. Rev. Fluid Mech., 2004, V. 36, P. 233 253.

61. Chen C.T., Millero P.S. The specific volume of sea water at high pressures // Deep-Sea Res., 1976, 23, V. 7, P. 595-612

62. Fernando H.J.S. Turbulent mixing in stratified fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. 1991. V. 23. P. 455-493.

63. Flynn M.R., Onu K., Sutherland B.R. Internal wave excitation by a vertically oscillating sphere // J. Fluid Mech., 2003.

64. Flynn M.R., Onu K., Sutherland B.R. Internal wave excitation by a vertically oscillating sphere // J. Fluid Mech. 2003. V. 494. P. 65 93.

65. Garrett C. Marginal mixing theories // Atmosphere-Ocean. 1991. V. 29, Pt. 2, P. 313 -339.

66. Garrett C. Mixing in the ocean interior // Dyn. of Atmospheres and Oceans, 1979, V. 3, P. 239 265.

67. Garrett C. Processes in the surface mixed layer of the ocean // Dyn. Atmos. Oceans. 1996. V. 23. P. 19-34.

68. Garrett C., MacCready P., Rhines P. Boundary mixing and arrested Ekman layers: rotating stratified flow near a sloping boundary // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993. V. 25. P. 291 -323.

69. Hart J.E. A possible mechanism for boundary layer mixing and layer formation in a stratified fluid // J. Phys. Oceanography, 1971, V. 1, P. 258 262.

70. Hart J.E. Transition to a wavy vortex regime in convective flow between inclined plates // J. Fluid Mech., 1971, V. 48, Pt. 2, P. 265 271.

71. Hurley D.G. A general method for solving steady-state internal gravity wave problems // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. P. 657 672.

72. Hurley D.G., Hood M.J. The generation of internal waves by vibrating elliptic cylinders. Part 3. Angular oscillations and comparison of theory with recent experimental observation // J. Fluid Mech. 2001. V. 433. P. 61 75.

73. Iwey G.N., Corcos G.M. Boundary mixing in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1982. V. 121. P. 1-26.

74. Janowitz G.S. Blocking in slow stratified flows // J. Geophys. Res., 1974, V. 79, No 9, P. 1265 1268.

75. Kaufman D.W. Sodium chloride. The production and properties of salt and brine. N.Y.: Reinhold Publ. Corp. 1960. 626 p.

76. Kelly R.E., Redekopp L.G. The development of horizontal boundary layers in stratified flow. Part 1. Non-diffusive flow // J. Fluid Mech., 1969, V. 42, P. 497 511.

77. Kerr O.S. Double-diffusive instabilities at a sloping boundary // J. Fluid Mech. 1991. V. 225. P. 333-354.

78. Linden P.F., Weber J.E. The formation of layers in a double diffusive system with sloping boundary //J. Fluid Mech. 1977. V. 81. № 4. P. 757 773.

79. Long R.R. The motion of fluids with density stratification // J. Geophys. Res., 1959, V. 64, P. 2151-63.

80. Martin S., Long R.R. The slow motion of a flat plate in a viscous stratified fluid // J. Fluid Mech., 1968, V. 31, P. 669 688.

81. Martin S., Long R.R. The slow motion of a flat plate in a viscous stratified fluid // J. Fluid Mech., 1968, V.31,P. 669-688.

82. Montgomery R.B. Oceanographic data // In: American Institute of Physics Handbook, Sect. 2. Mechanics. N.Y. Toronto - London: McGraw-Hill Book Co., 1957, P. 115124

83. MacCready P., Rhines P. Buoyant inhibition of Ekman transport on a slope and its effect on stratified spin-up // J. Fluid Mech. 1991. V. 223. P. 631 661.

84. McDougall T.J. Estimates of the relative roles of diapycnal, isopycnal and double-diffusive mixing in Antarctic bottom water in the North Atlantic // J. Geophys. Res. 1984. V. 89, # c6, p. 10.479 10.483.

85. Munk W. Abyssal recipes // Deep-Sea Res. 1966. V. 13. # 1. P. 207 230.

86. Nicolau D., Liu R., Stevenson T. N. The evolution of thermocline waves from an oscillatory disturbance // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 401 416.

87. Phillips O.M. On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid // Deep-Sea Res. 1970. V. 17. P. 435-443.

88. Redekopp L.G. The development of horizontal boundary layers in stratified flow. Part 2. Diffusive flow//J. Fluid Mech., 1970, V. 42, P. 513 525.

89. Robinson R.M., McEwan A.D. Instability of a periodic boundary layer in a stratified fluid // J. Fluid Mech., 1975, V. 68, Pt. 1, P. 41 48.

90. Scase M.M., Dalziel S.B. Internal wave fields and drag generated by a translating body in a stratified fluid // J. Fluid Mech., 2004, V. 498, P. 289 313.

91. Scorer R.S. Cloud investigation by satellite. Ellis Horwood Ltd. 1986.

92. Standing R.G. The Rayleigh problem for a slightly diffusive density-stratified fluid // J. Fluid Mech. 1971. V. 48. # 4. P. 673 678.

93. Sutherland B.R., Linden P.F. Internal wave excitation by a vertically oscillating elliptical cylinder// Phys. Fluids, 2002, V. 14, No 2, P.721 -731.

94. Sutherland B.R., Linden P.F. Internal wave excitation by a vertically oscillating elliptic cylinder// Physics of Fluids. 2002. V. 14, No. 2. P. 721-739.

95. Thompson L., Johnson G.C. Abyssal currents generated by diffusion and geothermal heating over rises // Deep-Sea Res. 1996. V. 46. # 2. P. 193 211.

96. Thorpe S.A. The dynamics of the boundary layers of a deep ocean // Sci. Prog. (Oxford). 1988. V. 72. P. 189-206.

97. Veronis G. Analogous behaviour of homogeneous, rotating fluids and stratified, non-rotating fluids // Tellus. 1967. V. 19. P. 326.

98. Voisin B. Internal wave generation in uniformly stratified fluids. Part 1. Green's function and point sources // J. Fluid Mech. 1991b. V. 231. P. 439-480.

99. Woods A.W. Boundary-driven mixing // J. Fluid Mech. 1991. V. 226. P. 625 654.

100. Wunsch C. On oceanic boundary mixing // Deep-Sea Res. 1970, V. 17, P. 293 301.

101. Yih-Ho Pao Laminar flow of a stably stratified fluid past a flat plate // J. Fluid Mech., 1968, V. 34, Pt. 4, P. 795 -808.