Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Начальная стадия потери морфологической устойчивости диффузионно развивающихся систем

ВАК РФ 03.00.16, Экология

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Субботина, Ирина Евгеньевна

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ, ЕДИНИЦ И ТЕРМИНОВ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОТЕРЯ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ. МЕТОДЫ ЕЕ ИЗУЧЕНИЯ.

1.1. Примеры потери морфологической устойчивости.

1.2.Причины, ответственные за потерю морфологической устойчивости кристаллов.

1.3. Теоретические методы исследования потери морфологической устойчивости растущего зародыша.

1.3.1. Линейный анализ на морфологическую устойчивость сферической и цилиндрической частицы.

1.3.2. Другие подходы к анализу морфологической устойчивости.

1.4. Примеры сосуществования морфологических фаз.

2. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАРОДЫША ПО ОТНОШЕНИЮ К ВОЗМУЩЕНИЯМ РАЗНОЙ МОДЫ И АМПЛИТУДЫ.

2.1. Описание модели.

2.2. Выбор экспериментального критерия обнаружения критической точки потери морфологической устойчивости.

2.3. Результаты численных расчетов.

2.4. Сравнение результатов численных расчетов с результатами слабо нелинейного анализа на устойчивость.

3. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПРОИЗВОДСТВА ЭНТРОПИИ И МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ ОТБОР ПРИ ДИФФУЗИОННОМ РОСТЕ ЗАРОДЫША.

3.1. Применение принципа максимума производства энтропии к проблеме морфологической устойчивости.

3.2. Получение выражения для расчета локального производства энтропии.

3.3. Анализ производства энтропии растущей сферической частицы.

3.4. Анализ производства энтропии растущей цилиндрической частицы . 58 Выводы главы 3.

4. МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ ОТБОР ПРИ НЕРАВНОВЕСНОМ РОСТЕ ЗАРОДЫША С ПРОИЗВОЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ФАЗ.

4.1. Линейный анализ на морфологическую устойчивость.

4.1.1. Решение задачи в приближении линейной зависимости скорости роста от пересыщения.

4.1.2. Решение задачи в приближении квадратичной зависимости скорости роста от пересыщения.

4.2. Термодинамический анализ на морфологическую устойчивость.

4.2.1. Решение задачи в приближении линейной зависимости скорости роста от пересыщения.

4.2.2. Решение задачи в приближении квадратичной зависимости скорости роста от пересыщения.

Выводы главы 4.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Начальная стадия потери морфологической устойчивости диффузионно развивающихся систем"

Теоретическому исследованию вопросов устойчивости экосистем посвящено достаточно много работ (см., например, для обзора [1—3]). Однако основная их масса связана с анализом решений дифференциальных уравнений типа реакция - диффузия, описывающих распределение в пространстве и времени численности (плотности популяции) того или иного биологического вида и влияние на нее различных факторов. Особое внимание при этом уделяется устойчивости (так называемой диффузионной) тех или иных стационарных решений системы уравнений, при этом форма областей, в которых определяется и исследуется решение, считается достаточно простой (круг, прямоугольник) и неизменной во времени.

Вместе с тем, в окружающей нас природе такие граничные условия крайне редки (для этого достаточно взглянуть на карты ареалов распространения различных видов растений или животных). Только на самых первых стадиях развивающаяся система (биологическое сообщество и т.п.) имеет простую форму, со временем эта форма резко усложняется. Форма границы является очень важной, поскольку в генетике форма ареала может определить процессы пространственной генетической дифференциации и начала видообразования, в морфогенезе может задать выбор того или иного пути развития [1].

Несмотря на отмеченную важность вопросы морфологической устойчивости границы развивающейся системы практически не рассматривались экологами. Вместе с тем ранее они достаточно интенсивно аналитически изучались физиками в связи с вопросами кристаллизации [4]. Здесь необходимо отметить, что форма кристаллов как функция условий роста имеет не только прикладное, "промышленное" значение. Эти вопросы важны и интересны с точки зрения охраны окружающей среды, в частности, форма образующихся в облаках снежинок существенно влияет на количество захватываемых ими загрязняющих веществ [5-7].

С точки зрения математического формализма задачи морфологической устойчивости, стоящие как перед экологами, так и перед физиками, с точностью до обозначений сходны (см. подробнее первую главу)1. Поэтому использование экологами результатов, полученных ранее при изучении роста кристаллов, не представляет сложностей и может оказаться очень важным. Однако имеются некоторые общие проблемы, которые встают перед экологом либо физиком при исследовании проблемы морфологической устойчивости границы уже на начальном этапе ее модификации из простой формы. Суть их в следующем:

• Часто обнаруживается, что в некоторой области параметров, управляющих развитием границы эволюционирующей системы, различные морфологии могут сосуществовать (наблюдаться с большей или меньшей вероятностью одновременно). Аналитический расчет границ областей сосуществования, числа сосуществующих морфологических фаз и их типов является крайне важной и нерешенной задачей.

• При описании потери устойчивости развивающейся системы традиционным является использование теории возмущений. Однако аналитический расчет чаще всего удается сделать лишь до первого-третьего порядка по малому параметру. Естественно, что этого не достаточно для понимания того, как произойдет потеря устойчивости при наличии в системе не бесконечно малых возмущений. А

1 Конечно, сказанное справедливо лишь при рассмотрении наиболее простых экологических задач, описываемых уравнениями типа реакция-диффузия и учитывающих минимальное число факторов. возмущения такого типа наиболее распространены и интересны с практической точки зрения.

Сформулированные выше проблемы тесно связаны между собой. Наиболее ярко это можно проиллюстрировать следующим образом. Потеря морфологической устойчивости (как и другие неравновесные переходы) в последнее время все чаще рассматривается по аналогии с равновесными фазовыми переходами с использованием развитой в этой дисциплине терминологией [8]. Как известно, сосуществование различных равновесных фаз наблюдается в метастабильной области, где в зависимости от величины возмущения одна из фаз может перейти в другую. По-видимому, в случае морфологических переходов такая аналогия может иметь место.

Исходя из вышесказанного, цель диссертационной работы состояла в следующем: Основываясь на аналогии между обычными и неравновесными фазовыми переходами, аналитически описать явление сосуществования морфологических фаз и рассчитать критические размеры устойчивого диффузионного роста на начальной стадии развития системы простой формы при наличии возмущений малой, но конечной амплитуды.

В рамках поставленной цели получены следующие положения, выносимые на защиту:

- Полученный с помощью численного расчета на явной конечно -разностной схеме результат, что при увеличении амплитуды возмущения радиус устойчивости первоначально круглого зародыша уменьшается вне зависимости от моды возмущения;

Численно обнаруженные области сосуществования двух морфологических фаз: круглый зародыш - зародыш с развивающимся возмущением, при наличии возмущений разной амплитуды;

- Аналитически найденные (с помощью линейной теории возмущений и принципа максимума производства энтропии) критические размеры устойчивости шарообразной и цилиндрической частиц, развивающихся при диффузионном режиме роста;

- Аналитически найденные (с помощью линейной теории возмущений и принципа максимума производства энтропии) критические размеры устойчивости шарообразной частицы, развивающейся при произвольном (диффузионном и кинетическом) режиме роста. При этом кинетика присоединения предполагалась как линейной, так и квадратичной;

- Результаты расчетов изменения скорости роста сферического и цилиндрического зародыша при морфологическом переходе, а также обнаруженные закономерности поведения этой величины от различных параметров, характеризующих поверхность зародыша и среды, в которой он растет.

Научная новизна

- Предложен математический формализм, основанный на аналогии с задачами морфологической устойчивости при кристаллизации, который впервые применяется для описания класса задач типа "диффузионно растущий зародыш", возникающих в различных экологических приложениях.

- Для описания начальной стадии потери морфологической устойчивости диффузионного роста зародыша создана двумерная компьютерная модель, основанная на явной конечно - разностной схеме, позволяющая количественно оценить момент потери устойчивости.

- С помощью построенной модели изучено поведение критического радиуса устойчивости в зависимости от амплитуды и моды возмущения;

- Впервые рассчитано производство энтропии при росте частицы вблизи морфологического перехода при росте частицы из пересыщенного раствора с учетом различия химических потенциалов возмущенной и невозмущенной поверхностей.

- С использованием принципа максимума производства энтропии и линейного анализа на устойчивость впервые построена полная морфологическая диаграмма (с устойчивой, неустойчивой и метастабильной областями) для различных режимов роста сферического зародыша (произвольный режим роста) и цилиндрического зародыша (диффузионный режим роста).

Практическая ценность

Перспективным направлением использования представляемых результатов являются вопросы, связанные с атмосферным выпадением с осадками загрязняющих примесей (поскольку морфотипы образующихся на начальной стадии снежинок являются определяющими для осаждения примесей). Полученные результаты также могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных по изменению формы границы при пространственном развитии экосистем.

Заключение Диссертация по теме "Экология", Субботина, Ирина Евгеньевна

Выводы главы 4

В данной главе рассмотрена задача морфологического отбора при неравновесном росте шарообразного зародыша с учетом произвольной скорости кинетических процессов на границе. Впервые проведен расчет полной морфологической диаграммы (с устойчивой, метастабильной и абсолютно неустойчивой областями) для различных режимов роста с использованием подхода, предложенного ранее в работах [31, 32] с участием автора данной диссертации. Основным отличием кинетического режима роста от диффузионного является возможность пересечения метастабильных областей относящихся к различным возмущающим гармоникам и, как следствие, сосуществование в одних и тех же условиях большого числа морфологических фаз. Важной отличительной особенностью промежуточного и кинетического режима роста является существенное увеличение ширины метастабильной области по сравнению с диффузионным режимом роста зародыша с той же возмущающей гармоникой. Данный факт предоставляет возможность более простой количественной экспериментальной проверки теоретического метода, предложенного ранее в [31, 32] и использованного в данной главе, для расчета метастабильного поведения неравновесно растущей из раствора сферической частицы.

Основное обнаруженное отличие между двумя рассмотренными типами задач с линейной и квадратичной кинетикой присоединения следующее: радиусы Rb(X) и RI(l) уменьшаются при уменьшении кинетического коэффициента при линейной зависимости, в то время как Rb(2) увеличивается с уменьшением кинетического коэффициента и Rне зависит от него при квадратичной зависимости скорости от пересыщения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

- Обоснована необходимость рассмотрения задач с подвижной границей в экологии. Для описания класса задач типа "диффузионно растущий зародыш" предложен математический формализм, основанный на аналогии с задачами морфологической устойчивости при кристаллизации.

- С помощью численного расчета на явной конечно - разностной схеме получено, что при увеличении амплитуды возмущения радиус устойчивости первоначально круглого зародыша уменьшается вне зависимости от моды возмущения. Этот факт соответствует тому, что форма роста зародыша будет зависеть от величины амплитуды возмущения, и тем самым доказывается возможность сосуществования морфологических фаз.

- С использованием принципа максимума производства энтропии совместно с линейной теорией возмущений были аналитически рассчитаны критические размеры диффузионного роста на начальной стадии развития шарообразной и цилиндрической частиц, развивающихся при диффузионном режиме роста, а также критические размеры устойчивости шарообразной частицы, развивающейся при произвольном режиме роста (с линейной и квадратичной кинетикой присоединения). При этом полученные критические размеры для соответствующих систем оказались меньше критических размеров устойчивости относительно бесконечно малых возмущений формы, рассчитанных с помощью линейной теории устойчивости.

- Используя полученные значения критических размеров, построены полные морфологические фазовые диаграммы.

- Показано, что при морфологическом переходе скорость наращивания массы и производство энтропии развивающегося зародыша скачкообразно увеличиваются, причем этот скачек тем больше, чем при большем размере зародыша данный переход произойдет.

- Основным отличием рассмотренной задачи цилиндрической симметрии от сферической является возможность сосуществования большого числа морфологических фаз при диффузионном режиме роста.

- При переходе от диффузионного режима роста к кинетическому число морфологических фаз, которые могут одновременно возникнуть в системе, при росте шарообразного зародыша увеличивается. Причем критический размер устойчивого роста по отношению к возмущениям небесконечно малой амплитуды в случае линейной кинетики присоединения уменьшается по мере возрастания роли поверхностных процессов, а в случае квадратичной кинетики - увеличивается. Л

Результаты представленной работы опубликованы в [7,32,75-95] .

2 Девичья фамилия Субботиной И.Е. - Кузнецова

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Субботина, Ирина Евгеньевна, Екатеринбург

1. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. 368 с.

2. Свирежев Ю.М. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.352 с.

3. Недорезов JI.B. Курс лекций по математической экологии. Новосибирск: Сибирский хронограф, 1997. 161 с.

4. Проблемы роста кристаллов / под ред. Шефталя Н.Н., Гиваргизова Е.И. М.: Мир, 1968.365 с.

5. Стыро Б.И. Самоочищение атмосферы от радиоактивных загрязнений. Л.: Гидрометеорологическое издательство, 1968. 288 с.

6. Василенко В.Н., Назаров И.М., Фридман И.М. Мониторинг загрязнения снежного покрова. JL: Гидромет. издат., 1985. 179 с.

7. Базаров И. П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976. 447 с.

8. Gonda Т., Nakahara S., Sei Т. The formation of the side branches of dendritic ice crystals growing from vapor and solution // J. Cryst. Growth. 1990. V.99. P. 183-187.

9. Ю.Овсиенко Д.Е., Алфинцев Г.А., Мохорт А.В. Формы кристаллов циклогексанола при разных переохлаждениях расплава. // Рост кристаллов. М.: Наука, 1972. Т.9. С. 162-167.

10. Алфинцев Г. А., Овсиенко Д.Е. Особенности роста из расплава кристаллов веществ с разными энтропиями плавления. // Рост кристаллов. М.: Наука, 1980. Т.13. С. 121-133.

11. Ben-Jacob Е. From snowflake formation to growth of bacterial colonies. II: Cooperative formation of complex colonial patterns // Contemp. Physics. 1997. V.38. P.205-241.

12. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991. 254 с.

13. Белоусов JI.B. Биологический морфогенез. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 239 с.

14. Белинцев Б.Н. Физические основы биологического формообразования. М.: Наука, 1991.256 с.

15. Ferreira S.C., Jr., Martins. М. L., Vilela M. J. Morphology transitions induced by chemotherapy in carcinomas in situ II Physical Review E. 2003. V.67. P.051914-9,

16. Современная кристаллография т.З. Образование кристаллов / Чернов А.А., Гиваргизов Е.И., Багдасаров Х.С. и др. М.:Наука, 1980. 407 с.

17. Чернов А.А. Теория устойчивости гранных форм роста // Кристаллография. 1971. Т. 16. Вып.4. С.842-863.

18. Nanev С. Polyhedral instability — skeletal and dendritic growth // Progr. Crystal Growth and Charact. 1997. V. 35. P. 1-26.

19. Nanev C., Iwanov D. Alteration of the growth form of zinc single crystals as a result of the diffusion non-homogeneity of the supersaturation // J. Crystal. Growth. 1968. V.3.N.4. P.530-534.

20. Nenov D., Stoyanova V. On the formation of ice dendrites from the vapour phase// J. Crystal. Growth. 1977. V.41. N1. P.73-76.

21. Гафийчук B.B. Динамика формирования поверхностных структур в системах со свободной границей. Киев: Наукова Думка, 1990. 216 с.

22. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.

23. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford: Clarendon Press, 1961. 320 p.

24. Гершуни Г.З., Жуковицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемых жидкостей. М.: Наука, 1972. 392 с.

25. Coriell S.R., Parker R.L. Stability of the shape of a solid cylinder growthing in a diffusion field // J. Appl.Phys. 1965. V.36. N 2. P.632-637.

26. Debroy P.P., Sekerka R.F. Weakly nonlinear morphological instability of a spherical crystal growing from a pure undercooled melt // Phys.Rev. E.1995. V.51. P.4608-4621.

27. Debroy P.P., Sekerka R.F. Weakly nonlinear morphological instability of a cylindrical crystal growing from a pure undercooled melt // Phys. Rev. E.1996. V.53. №6. P.6244-6252.

28. Rong-Fu Xiao, Alexander J. Iwan D., Rosenberg F. Morphological evolution of growing crystals: A Monte Carlo simulation // Phys. Rev. A. V.38. 1988. P.2447-2455.

29. Rong-Fu Xiao, Alexander J. Iwan D., Rosenberg F. Growth morphologies of crystal surfaces // Phys. Rev. A. V.43. 1991. P.2977-2992.

30. Yokoyama E., Kuroda T. Pattern formation in growth of snow crystals occurring in the surface kinetic process and the diffusion process // Phys. Rev. A. V.41. 1990. P.2038-2049.

31. Веп-Jacob E., Garik P., Mueller Т., Grier D. Characterization of morphology transitions in diffusion-controlled systems // Phys. Rev. A. 1989. V. 38. №3. P.1370-1380.

32. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium growth //Nature. 1990. V.343. P.523-530.

33. Ben-Jacob E. From snowflake formation to growth of bacterial colonies. Part I. Diffusive patterning in azotic systems // Contemp. Phys. 1993. V.34. P.247-273.

34. Mu Wang, Nai-ben Ming. Alternating morphology transitions in electro chemical deposition // Phys.Rev. Lett. 1993. v. 71. №1. p. 113-116.

35. Hutter J.L., Bechhoefer J. Three classes of morphology transitions in the solidification of a lipid crystal // Phys.Rev. Lett. 1997. V.79. №20. P.4022-4025.

36. Hutter J.L., Bechhoefer J. Many modes of rapid solidification in a lipid crystal // Physica A. 1997. V.239. P. 103-110.

37. Chan S.K., Reimer H.H., Kahlweit M.J. On the stationary growth shape of NH4CI dendrities //J. Cryst. Growth. 1976. V.32. P.303-315.

38. Shochet O. and Ben-Jacob E. Coexistence of morphologies in diffusive patterning // Phys.Rev. E. 1993. V.48. №6. P.R4168-R4171.

39. Sawada Y., Dougherty A., Gollub J.P. Dendritic and fractal patterns in electrolytic metal deposits//Phys. Rev. Lett. 1986. V.56. №12. P. 1260-1263.

40. Sawada Y. Transition of growth form from dendrite to aggregate // Physica A. 1986. V.140. P. 134-141.

41. Sawada Y., Perrin В., Tabeling P. and Bouissou P. Oscillatory growth of dendritic tips in a three-dimensional system // Phys. Rev A. 1991. V.43. №10. P.5537-5540.

42. Shochet O., Kassner K., Ben-Jacob E. et al. Morphology transitions during non-equilibrium growth. II. Morphology diagram and characterization of the transition // Physica A. 1992. V.l87. P.87-111.

43. Ihle Т., Miiller-Krumbhaar H. Fractal and compact growth morphologies in phase transitions with diffusion transport // Phys.Rev. E. 1994. V.49. №4. P.2972-2991.

44. Grier D., Ben-Jacob E., Clarke R. et al. Morphology and microstructure in electrochimical deposition of zinc // Phys. Rev. Lett. 1986. V.56. №12. P. 1264-1267.

45. Honjo H., Ohta S., Matsushita M. Phase diagram of a growing succionitrile crystal in supercooling-anisotropy phase space // Phys. Rev. A. 1987. V.36. №9. P.4555-4558.

46. Шибков A.A., Желтов M.A., Королев A.A. Собственное электромагнитное излучение растущего льда // Природа. 2000. №9. С. 12-20.

47. Шибков А.А., Головин Ю.И., Желтов М.А., Королев А.А., Власов А.А. Исследование кинетики и морфологии неравновесного роста льда в переохлажденной воде // Кристаллография. Т.46. 2001. С.549-555.

48. Brener Е.А., Miiller-Krumbhaar Н., Temkin D.E. Structure formation and the morphology diagram of possible structures in two-dimensional diffusional growth // Phys. Rev.E. 1996. V.54. №3. P.2714-2722.

49. LaChappelle E.R. Field guide to snow crystals. University of Washington Press, 1961.

50. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

51. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. 288 с.

52. Сальникова Е.М. Слабонелинейный и термодинамический анализ морфологической устойчивости диффузионно-растущегокристаллического зародыша: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2003. 24 с.

53. S.R. Coriell, G.B. McFadden / Handbook of Ciystal Growth. V.l. Part B. ed. by D.T.J. Hurle. Amsterdam: North-Holland, 1993. P.785.

54. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды, М.: Мир, 1966. (Ziegler Н. / Progress in solid mechanics. V.4, Ch.2. ed. by I.N. Sneddon, R. Hill. Amsterdam: North-Holland, 1963.)

55. Выродов И.П. О вариационных принципах феноменологической термодинамики необратимых процессов в аспекте замкнутой системы аксиом //Журнал Физической химии. 1982. T.LVI. Вып.6, С.1329-1342.

56. Темкин Д.Е. О скорости роста кристаллической иглы в переохлажденном расплаве//ДАН СССР. 1960. Т. 132. №6. С. 1307-1310.

57. Huang S.-C., Glicksman М.Е. Fundamentals of dendritic solidification // Acta Metal 1. 1981. V. 29. P. 701-715.

58. Langer, J.S. Muller-Krumbhaar H. Theory of dendritic growth — I. Elements of a stability analysis // Acta Metall. 1978. V. 26. P. 1681-1687.

59. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Rev. Mod. Phys. 1980. V.52. P.l-28.

60. Kessler D., Koplik J., Levine H.- Pattern selection in fingered growth phenomena // Adv. Phys. 1988. V. 37. P. 255-259.

61. Вгепег E.A., Melnikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth // Adv. Phys. 1991. V. 40. P. 53-97.

62. Sawada Y. A thermodynamic variational principle in nonlinear non-equilibrium phenomena//Progress of Theor. Phys. 1981. V.66. P.68-76.

63. Shimizu H., Sawada Y. Relative stability among metastable state structures in chemical reaction system // J. Chem. Phys. 1983. V.79. P.3828-3835.

64. Sawada Y. A thermodynamic variational principle in nonlinear systems far from equilibrium // J. Stat Phys. 1984. V.34. P. 1039-1045.

65. Глендсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973. (P.Glansdorff, I. Prigogine, Thermodynamic theory of structure, stability and fluctuations. NY: Wiley, 1971).

66. Де-Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика, М.: Мир, 1964. 456 с. (De Groot S.R., Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics. Amsterdam: North-Holland, 1962.)

67. Тимофеева В.А. Рост кристаллов из растворов- расплавов. М.: Наука, 1978.451с.

68. Hutter J.L., Bechhoefer J. Morphology transitions in diffusion- and kinetics-limited solidification of a liquid crystal // Phys. Rev. E. 1999. V.59. № 4. P.4342 -4352.

69. Кузнецова И.Е., Мартюшев Л.М. Математическое моделирование начального этапа развития города. Кризис устойчивого роста// Урал атомный, Урал промышленный: Тез. Докладов VI Международный симпозиум (Екатеринбург, 1998). С. 103-105.

70. Кузнецова И.Е., Мартюшев JI.M. Компьютерные модели развития урбанизированых территорий // Безопасность Биосферы: сб. тезисов. Второй всероссийский научный молодежный симпозиум. Екатеринбург, 1-3 декабря 1998. С.44.

71. Мартюшев JI.M., Селезнев В.Д., Кузнецова И.Е. Применение принципа максимальности производства энтропии к анализу морфологический устойчивости растущего кристалла// ЖЭТФ, 2000, т. 118, вып. 1 (7), С. 149-162.

72. Кузнецова И.Е., Мартюшев JI.M. О возможности регулирования формы снежинок для эффективной фильтрации атмосферы // Сборник тезисов. Шестая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых России. Томск, 2-8 апреля 2000. С.423.

73. Кузнецова И.Е., Сальникова Е.М., Мартюшев JI.M. Особенности начальной стадии развития снежинки в облаке // Урал атомный, Урал промышленный. Тезисы докладов IX Международного экологического симпозиума. (Екатеринбург, 2001) С.78-80.

74. Горбич Л.Г., Мартюшев Л.М., Кузнецова И.Е. К проблеме влияния примеси на рост дендритных снежных кристаллов // Урал атомный, Урал промышленный. Тезисы докладов X Международного экологического симпозиума (оз. Сунгуль, 2002) С.23-24.

75. Мартюшев Л.М., Кузнецова И.Е., Селезнев В.Д. Расчет полной морфологической фазовой диаграммы неравновесно растущего сферического кристалла при произвольном режиме роста // ЖЭТФ, 2002, т. 121, вып.2, С. 363-371.

76. Martiouchev L.M., Seleznev V.D., Kuznetsova I.E. Application of the Entropy Production Principle to the Analysis of the Morphological Stability of a Growing Crystal // http://xxx.lanl.gov/ nlin.PS/0001043.

77. Мартюшев Л.М., Кузнецова И.Е., Манжуров И.Л. Имитатор диффузионного переноса загрязнителя. Свидетельство на программу для ПЭВМ № 2002611828, 2002.