Математическое моделирование процесса термической диссоциации газовых гидратов

Сукманова, Екатерина Николаевна

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Математическое моделирование процесса термической диссоциации газовых гидратов
ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование процесса термической диссоциации газовых гидратов"

На правах рукописи

Сукманова Екатерина Николаевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕРМИЧЕСКОЙ ДИССОЦИАЦИИ ГАЗОВЫХ ГИДРАТОВ

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте нефтегазовой геологии и геофизики имени А. А. Трофимука Сибирского отделения Российской академии наук (ИНГГ СО РАН)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Шурина Элла Петровна

Официальные оппоненты:

Воскобойников Юрий Евгеньевич,

доктор физико-математических наук,

зав. кафедрой Прикладной математики Новосибирского

государственного архитектурно-строительного университета

Дучков Антон Альбертович, кандидат физико-математических наук, зав. лабораторией ИНГГ СО РАН

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук

Защита состоится 21 августа 2013 г. в 12 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.068.03 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте нефтегазовой геологии и геофизики имени А. А. Трофимука Сибирского отделения Российской академии наук Д 003.068.03, в конференц-зале по адресу: пр-т Ак. Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИНГГ СО

Отзывы в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять:

адрес: пр-т Ак. Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090. факс: (383) 333-25-13. e-mail: NevedrovaNN@ipgg.nsc.ru. Автореферат разослан 18 июля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

РАН.

к. г.-м. н., доцент

Н. Н. Неведрова

РОССИЙСКАЯ

ГОСУДА1'СП!1:ИНАИ

биьлиптпка 2013

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования - физические процессы деструкции и диссоциации газогидратов с учётом фазовых переходов.

Актуальность темы. Гидраты углеводородных газов широко распространены в природе, что обусловливает интерес к ним как к одному из перспективных источников энергии. В настоящее время даже наиболее доступные для исследований поддонные скопления гидратов изучены относительно слабо, практически отсутствуют геофизические методики поисков и оконтуривания их залежей (Дучков А.Д., Истомин В.Е., Соколова Л.С. Геотермический метод обнаружения газовых гидратов в поддонных осадках // Геология и геофизика, 2012, т. 53, №7, 922-931). Решение этих задач во многом сдерживается недостаточной изученностью физических свойств гид-ратосодержащих пород и отсутствием адекватных математических моделей, описывающих процессы деструкции и диссоциации гидратов под воздействием внешних факторов.

Известно, что газовые гидраты существуют в так называемой «зоне стабильности», то есть при выполнении определённых ограничений на температуру и давление; при выходе за рамки ограничений (также называемых Р-Т условиями) гидраты разлагаются на газ и воду (Гольмшток А.Я., Дучков А.Д., Рощина H.A. О возможности обнаружения донных скоплений газовых гидратов геотермическим методом // Вопросы геофизики, вып. 38, 2005). Этот процесс называется фазовым переходом, или переходом из твёрдой фазы (гидрат) в жидкую (газ и вода), которые разделены границей фаз. Основная сложность математического моделирования процессов с фазовым переходом состоит в том, что граница фаз перемещается с течением времени. При решении задач с фазовым переходом общепринятыми методами необходимо перестраивать сетку на каждом шаге по времени, что резко увеличивает вычислительные затраты. Это делает актуальными методы, позволяющие сократить время решения с сохранением точности. В работе предложены и исследованы вычислительные схемы в рамках новых, активно развивающихся направлений - многомасштабных методов конечных элементов и разрывного метода Галёркина.

Цель работы: создание программно-алгоритмических средств исследования процессов термической диссоциации газовых гидра-

тов на основе вычислительных схем трёхмерного математического моделирования.

Основная задача исследования: разработка вычислительных схем многомасштабного метода конечных элементов на базе разрывного метода Галёркина для проведения вычислительных экспериментов по моделированию процесса диссоциации газовых гидратов.

Защищаемые научные результаты:

- предложены вычислительные схемы для математического моделирования процесса термической диссоциации газовых гидратов на основе многомасштабного разрывного метода Галёркина;

- в результате анализа проведённых вычислительных экспериментов показана возможность планирования и оптимизации физических экспериментов по изучению свойств газовых гидратов (метод игольчатого зонда).

Таким образом, диссертационная работа отвечает следующим пунктам паспорта специальности 25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых:

11. Математические и численные исследования в теории прямых и обратных задач сейсмики, геоэлектрики, гравиметрии, магнитометрии, геотермики, ядерной геофизики, включая геофизические методы разведки, скважинную и инженерную геофизику;

12. Разработка алгоритмов решения прямых и обратных задач геофизики, методов аппроксимации геофизических полей, цифровой фильтрации с целью повышения разрешающей способности методов и подавления помех, построения изображений, соответствующих компьютерных технологий и их применение в геолого-геофизической практике при условии достаточной новизны в чисто математической части работы.

Методы исследования. Методы математического моделирования (разрывный метод Галёркина, многомасштабный метод конечных элементов), методы линейной алгебры и математического анализа, методы оптимизации, вычислительный эксперимент, сравнительный анализ результатов физических экспериментов и математического моделирования.

Наиболее существенные научные результаты, полученные соискателем лично, и их новизна: впервые разработаны вариационные формулировки на базе многомасштабного (\lultiscale) метода конечных элементов и вариационной формулировки разрывного метода Галёркина в трёхмерной постановке для стационарных и нестационарных процессов; получены их дискретные аналоги; реализованы и исследованы вычислительные схемы. Эти вычислительные схемы использованы для моделирования процесса термической диссоциации пространственно неоднородных газовых гидратов при постоянном давлении. Установлена возможность использования предложенного программно-математического обеспечения для оптимизации проведения физических экспериментов.

Теоретическая значимость. Разработанные вычислительные схемы многомасштабного разрывного метода Галёркина являются вкладом в развитие программно-алгоритмических средств решения задач с движущимися границами.

Практическая значимость. Практическое значение имеет возможность применения результатов вычислительных экспериментов для математического моделирования процесса термической диссоциации газовых гидратов в лабораторных и природных условиях, исследования свойств гидратсодержащих пород, оптимизации использования измерительной аппаратуры; для планирования лабораторных экспериментов и анализа их результатов, разведки и оконту-ривания новых месторождений. Таким образом, данная работа является вкладом в развитие критических технологий Российской Федерации (технологии поиска, разведки, разработки месторождений полезных ископаемых и их добычи) и приоритетных направлений развития науки, технологии и техники в Российской Федерации (рациональное природопользование) согласно Указу Президента РФ № 899 от 7 июля 2011 года.

Личный вклад. Соискатель лично разработал вариационные формулировки многомасштабного разрывного метода Галёркина, алгоритм решения задачи Стефана на основе предложенного метода, реализовал программный комплекс на языке С++, планировал и проводил вычислительные эксперименты по математическому моделированию процесса диссоциации газовых гидратов, визуализировал и интерпретировал их результаты.

Обоснованность и достоверность результатов. Полученные

научные результаты подтверждены вычислительными экспериментами, проведенными с использованием вычислительных схем конформного метода конечных элементов, разрывного метода Галёрки-на, многомасштабного метода конечных элементов на основе вариационных формулировок разрывного метода Галёркина, сравнением с аналитическими решениями и данными лабораторных экспериментов.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ, в том числе: одна статья в издании, рекомендованно ВАК для представления результатов докторских диссертаций, 2 - в рецензируемых журналах, 4 - в трудах российских конференций. Общий объем публикаций - 49 стр., из них вклад автора - 36 стр.

Представление работы. Основные результаты работы докладывались на следующих семинарах и конференциях: V Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2004), Всероссийской научной конференции молодых учёных «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2004, 2005), Всероссийской конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных учёных) (Красноярск, 2006 г., Новосибирск, 2007 г., Кемерово, 2008 г.), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2007-2009), Молодёжной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (Новосибирск, 2011), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко, секция «Новые математические модели, численные алгоритмы, результаты» (Новосибирск, 2011), семинаре «Многофи-зичные задачи - модели, алгоритмы, программная реализация», Новосибирск, 2011, семинаре им. К. И. Бабенко (Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН), Москва, 2012, Второй Всероссийской научно-технической конференции «Научное и технические обеспечение исследований и освоения шельфа Северного Ледовитого океана» (Новосибирск, 2012).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх

глав, заключения, списка использованной литературы (116 наименований). Работа изложена на 106 страницах, включая 38 рисунков, 2 таблицы.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета д.т.н. Э. П. Шу-риной, доценту кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета к.т.н. Н. Б. Ит-киной, а также А. М. Прохватилову.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении приведены объект и предмет исследования, сформулированы актуальность работы, цель и задачи исследования, методы исследования, представлены основные результаты исследования и научная новизна работы. Кратко изложены структура и основное содержание диссертации.

Глава 1. В первой главе рассмотрена предметная область (газовые гидраты), класс задач с движущейся границей и современные методы их решения. Область распространения, оценка мировых запасов гидратов углеводородных газов, их основные теплофизические свойства и методы разведки приведены в п. 1.1. Известно, что при нарушении условий стабильности (Р-Т-условий) гидраты диссоциируют на газ и воду, а в области его распространения образуется зона вещества в жидкой фазе, и её граница (фронт диссоциации) меняется во времени. Таким образом, это задача с движущейся внутренней границей. В п. 1.2 рассматривается область применения задач с подвижной границей и посвящённая им литература. П. 1.3 посвя-щён математическим моделям формирования и диссоциации газовых гидратов.

В начальный момент времени всё вещество находится в твёрдой фазе (гидрат, минеральный скелет). Под действием нагревателя температура среды повышается, и когда она достигает значения Тт (К) (температура фазового перехода), гидрат разлагается, образуя метан и воду. С этого момента область разделяется на две подобласти, в одной из которых вещество находится в жидкой фазе, в другой -в твёрдой.

Теплообмен в твёрдой фазе:

ЭТа

csPs~ = div (XsgradTs) + F{I), (1)

где Ts (К) - температура, I (А) - сила тока, es (Дж/кг К) - теплоёмкость, ps (кг/м3) - плотность, \s (Вт/м -К) - теплопроводность вещества в твёрдой фазе.

Теплообмен в жидкой фазе (после диссоциации):

clPl = div (XLgradTL), (2)

где Tl (К) - температура, С£ (Дж/кг К) - теплоёмкость, pi (Дж/кг К) - плотность, Al (Вт/м К) - теплопроводность вещества в жидкой фазе.

Условие Стефана на границе фаз:

dis dTL Tn&K(t)

As ЛГ1«') - = 1ргф-дГ> (3)

где Ф - пористость, £(t) - местоположение фронта реакции в момент времени t, п - нормаль к поверхности фронта реакции, L - скрытая теплота фазового перехода, ^ - дифференцирование по нормали к границе. Условие фазового перехода:

Ts\m=TL\m=Tm, (4)

где Тт (К) - температура фазового перехода. Краевые условия:

т\гп = 3d, (5)

T\rN = о. (6)

Начальное условие:

T\t=o = П. (7)

В экспериментах по диссоциации газогидрата давление поддерживалось постоянным (Дучков и др., 2009). Сложная структура среды учитывается с помощью осреднения коэффициентов плотности, теплопроводности и теплоёмкости (Гольмшток и др., 2005). Таким

образом, данная математическая модель позволяет учесть основные особенности процесса.

В п. 1.4 приведен сравнительный анализ существующих неконформных методов конечных элементов, в том числе многомасштабных и многоуровневых методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В п/п 1.4.1 приведён обзор семейства многомасштабных методов конечных элементов и их дискретных аналогов. В п. 1.5 рассмотрены обратные коэффициентные задачи и численные методы их решения.

Основной особенностью разрывного метода Галёркина является то, что решение определяется в пространствах разрывных кусочно-полиномиальных функций, то есть не требуется непрерывность решения на границах конечных элементов. Это делает метод очень удобным для Лр-адаптации и работы с неструктурированными сетками. А благодаря использованию численных потоков (фактически особых операторов следа) можно повысить устойчивость метода. Дан обзор семейства многомасштабных методов конечных элементов и методов решения СЛАУ (Hughes и др., 1995-2007). Ряд авторов рассматривает сочетание непрерывного и разрывного методов - в разных подобластях вычислительной области используется тот или иной метод.

Огромный интерес представляют многомасштабные методы, использующие разрывный метод Галёркина в качестве численного метода решения задачи в «мелком» масштабе. В статьях ICES (Institute of Computational Engineering and Sciences, University of Texas, Austin, 2005-2006) предложен многомасштабный разрывный метод Галёркина, имеющий вычислительную структуру непрерывного метода конечных элементов. Вводятся непрерывное (грубое) и разрывное (мелкое) пространства и строится оператор перехода. Многомасштабные вариационные методы позволяют естественным образом использовать идеологию многосеточных (многоуровневых) методов для решения СЛАУ. Итерации начинаются на разрывном пространстве, после нескольких шагов невязка проектируется на непрерывное пространство, затем погрешность вновь уточняется на разрывном пространстве (коррекция). Впервые многосеточный метод был предложен в 1961 г. Р. П. Федоренко.

В п. 1.5 рассмотрен класс обратных коэффициентных задач и методы решения таких задач, в частности, метод Флетчера-Ривса.

Построение эффективных, устойчивых методов для решения прямых и обратных задач с движущейся границей является актуальной задачей вычислительной математики. Многомасштабные методы представляют собой одну из возможных альтернатив традиционных методов, использующих при решении таких задач адаптивные сетки.

Глава 2. Во второй главе проводится построение вариационных формулировок многомасштабного метода Галёркина и их дискретизация.

В п. 2.1 введены конечноэлементная сетка т/, и функциональные пространства: непрерывное пространство разрывное простран-

ство Н1(ть), векторное конечномерное пространство Е^ С Я1 (тл). Рассмотрим декомпозицию функционального пространства У = Н1(т/,) на «грубое» Ус и «мелкое» Уд (соответственно непрерывное и разрывное). Пусть разрывная компонента решения Тд € Уд определена не на всей области П, а на некоторой подобласти Г^. Непрерывная компонента решения Тс е Ус определена на П. На границе подобласти Па задано условие Та\п<1 = 0. В п. 2.3 построена вариационная формулировка разрывного метода Галёркина и на её основе - вариационная формулировка многомасштабного метода Галёркина. Пусть \7Т = а, Г = и дК, Тг (Г) = П Ь2 (ЭК). Тогда

кет/, кет,,

Тк = (Тк)кет, € Тг (Г), дк = (5к)к€т, € (Тг (Г))2.

Гт1 = Г\ап, {•} : Тт{Г) -> Ь2 (ГгП(), и оператор среднего {•} : [Тг (Г)]3 —> [Ь2 (Г)] вводится следующим образом:

на внутренней грани е^'- {и} = | (ук + ущ) , {<7} = \ (чк + Члг), на внешней грани еьп<1' {V} = у к, {?} = Як, а оператор скачка [•] : 7У(Г) [Ь2(Г)]Э, [•] : р'г(Г)]3 (Ггпг) следующим образом: на внутренней грани е¿п(

[V] = УКТ1К + Умпн, [<7] = 9л: ■ ПК + • пм, на внешней грани еьп(1 Н = укпк, [<?] = Чк пк.

Введём лифтинг-оператор г : (¿2 (Г)) —» Е^ соотношением

J r(q)■тdx = -J д ■ {г} ёв, т € Е^ п г

и численные потоки Т = {7'}, а = {VT} + T]er ([7']), т]е > О (Басси и др., 1964).

Билинейная форма разрывного метода Галёркина (Д. Арнольд и др., 2000):

a(T,v)= [ cp^-vdx + f A VT-Vvdx- f А([Г] • {Vu} +

JQ ot Jq JГ4„, (JT/)

{VT} ■ H)de - Y. Ъ [А{^(ГЛ)} • Hde -

eerin, Je

Y^e Xre^gn([T}) ■ vnds + / \gDn-Vvds. (8) eer„ Je Jr»

Вариационная формулировка с учётом конкретного вида численных потоков (Bassi и др., 1964):

найти Тс е Vc и Td € Vd такие, что

[ cp^^-vcdx + ( №Tc-Vvcdx + ^ Ve f Xre дп(Тс) • vcnds + Jn Ot Jn ееГ;, Je

/ AgDn ■ Vvc ds + I AV2'd • Vvc dx + A[7'd] • {Vvc}ds +

J r„ Jn Jrinl\jrn

¿J Ve I \re<gn(Td) ■ vcnds + I \gDn Vvcds = eer0 Je Jr°

f fvcdxVvc e Vc, (9) Jn

( cP~~KTvddx + f AV7'C • Vvddx + Y1 Ve [Аге,0(рГс]) ■ vdnds + Jn M Jn Je

/ An • Vvd ds+ AVTd ■ Vvd dx -

J r(J Jn

f A([2'd].{VVd} + {V7'd}-M)dS-•/r,„, urn

Y Ve I A{re([7'd])} • Mds - Y Ve I Are,o([7d]) • vdnds = 04vdeVd. (10)

e€I\„, Je ееГ n Je

Краевые условия (5), (6) и условие Стефана (3) естественным образом входят в вариационную формулировку, условие фазового перехода (4) в вариационную формулировку не вошло и будет использоваться для определения местоположения фронта реакции, а начальное условие (7) выполняется в сильной форме.

В п. 2.5 строится дискретный аналог вариационной формулировки.

Дискретный аналог вариационной формулировки (9), (10):

найти uch £ Vch и udh £ ^dh такие, ■что

f cp^^-vchdx+ f X4Tch-Vvcdx + T)e f Xre,go(Tch) ■ vcnds + J n dt Jn ^ Je

/ ЛgDn ■ Vvc ds + I XVTdh ■ Vvc dx+ A[Tdh] ■ {Vwc}ds +

JrD Jn я,„,иг„

У^Пе *re,gil (Tdh) ■ vcnds + / AgDn ■ Vvc ds = eer „ Je Jr"

f f vc dx Vvc G Vch,(U) Jn

f cP—^rvdhdx+ f XVTch ■ Vvddx + y~] Tie f Are,o([Tc/,]) ■ vdnds +

J a dt Jn etr„

/ An • Vvd ds + I XVTdh ■ Vvd dx -Jri, Jn

f X([rdh] ■ {V^} + {VTdh} • M)de -JrM ur„

Ve f A{re([Td/l])} • [vd]ds - ]T rje [ Ьте,о(Ы) ■ vdnds = 0\/vde Vdh. (12)

е€Г;„, Je е6Г„ Je

Рассмотрена дискретизация отдельных слагаемых вариационной формулировки, лифтинг-операторов, построены локальные СЛАУ для конечных элементов «мелкой» и «грубой» сеток, алгоритм сборки глобальной СЛАУ.

В результате дискретизации получается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) блочной структуры.

В п/п. 2.5.8 сформулирован двухуровневый алгоритм решения СЛАУ на основе идеологии многосеточных методов.

В п/п 2.5.9 предложен алгоритм решения задачи, основанный на учёте движения фронта реакции, и его технологические особенности (определение ширины подобласти с разрывным решением, идентификация фронта реакции, интерполяция решения с предыдущего временного слоя на сетку, полученную на текущем временном слое).

• Задать начальное условие 7'|1=0 = То, подобласть Ро в окрестности источника, г^ - триангуляцию Ро",

• Для каждого г = 1... ЛГ:

- на г-м шаге по времени с учётом разбиения области Pi-^ определяем решение 7'(£*);

- анализируя решение Т(и), определяем новое положение фронта

- в соответствии с положением £(<г) определяем Рг\ триангулируем Pi (строим т^(Р,));

- интерполируем полученное решение Тг на Р^.

Глава 3 посвящена верификации программного комплекса и решению прямой и обратной задачи Стефана для математического моделирования процесса термической диссоциации газовых гидратов.

Результатом прямого моделирования процесса диссоциации газовых гидратов являются термограммы (графики изменения температуры породы после включения нагревателя). В п. 3.1 производится расчёт температурного поля для льда при нормальном давлении, приводятся построенные термограммы. Приведём сравнение результатов вычислительного эксперимента с экспериментальными данными, полученными в лаборатории естественных геофизических полей ИНГГ СО РАН. Проводилось нагревание образца чистого льда в камере с термостатом.

•8.8 -9 -92

Í-8.4

с.

V-

-96 •98

',00 100 200 300 400 500 600 ТОО

t. с

Рисунок 1 - Нагревание чистого льда в камере с термостатом

На начальном этапе процесса построенная термограмма не совпадает с экспериментальной, однако, когда процесс установился, между ними обнаруживается соответствие.

В п. 3.2 посвящён построению температурного поля в однородной пористой гидратсодержащей среде. Проводится сравнительный анализ термограмм, построены графики движения фронта реакции. Результаты математического моделирования на базе разработанных схем соответствуют поведению физического процесса.

В ходе измерения температуры давление меняется слабо, поэтому для моделированяя процесса нагревания образца и дальнейшей диссоциации газовых гидратов будем использовать модель (1)-(7). Границей Го будем считать стенки камеры, Гдг - верхнее и нижнее основания камеры.

Значения параметров As, A¿, cpsps, CpLpL не всегда известны из экспериментов. Но, зная плотность, теплопроводность, теплоёмкость чистых веществ, можно попытаться определить параметры смеси, используя некоторую процедуру осреднения. Несколько возможных вариантов осреднения предложено в работе Гольмштока и др. (Гольмшток и др., 2005).

Разработанное программно-алгоритмическое обеспечение позволяет проводить математическое моделирование температурного поля в существенно неоднородной среде. На рисунке 3 приведём пример температурного поля в неоднородной среде при постоянном дав-

Гемпература зонда численно. рядкние

эксперимент

лении (включение гидратсодержащей породы в песок).

Зонд

Камера с термостатом

40мы

Рисунок 2 - Область моделирования

Рисунок 3 - Температурное поле в неоднородной среде

Были проведены вычислительные эксперименты, показывающие, что для практического обнаружения включения гидрата в минеральный скелет имеет значение не геометрическая форма такого включения, а лишь его объём и расстояние от включения до игольчатого зонда. Если включение гидрата расположено достаточно далеко

от зонда, полученная термограмма неотличима от термограммы, полученной в однородной среде (без включения гидрата). Таким образом, для каждой конкретной мощности источника тока существует расстояние, на котором «ощущается» включение гидрата заданного объёма. Это позволяет использовать разработанный математический метод для обнаружения крупных включений газогидратов, причём на расстоянии, не большем заранее установленного.

Для методов обнаружения газовых гидратов существенна возможность решения обратной задачи - задачи идентификации коэффициента теплопроводности. В п. 3.3 рассмотрено решение обратной задачи Стефана в одномерном пространстве. Такая постановка закономерна при условии однородности породы, что достижимо в лабораторных условиях. Модель наблюдения имеет вид: Ь = ,Р[А] 4- е, где с - шум наблюдений. Устойчивое решение обратной коэффициентной задачи можно получить путём минимизации функционала ошибки (

J(\) = - [ [ (т(х, г) - т'(х, г))2лыг, 2 Л„ Jn

где Т*(х,{) - экспериментальные данные.

Таблица 1 - Зависимость погрешности от уровня шума

Уровень зашумления 1-^5 истиннсю —

0 1.22 • 10-3

0.01 8.8Г- Ю-3

0.1 3.65 • Ю-2

При измерении температуры с точностью до 0.01°С коэффициент теплопроводности будет определяться с точностью до десятых. Если же погрешность прибора не больше 0.005 "С, как указано в работе Дучкова и др. (Дучков и др., 2009), мы получим два верных знака после запятой.

Основные результаты исследования сформулированы в заключении диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы:

- разработаны, реализованы и верифицированы вычислительные схемы многомасштабного метода конечных элементов на

базе разрывного метода Галёркина; предложен алгоритм решения задачи Стефана в трёхмерной постановке; разработано программно-алгоритмическое обеспечение для решения обратной задачи Стефана в одномерном пространстве; для решения данного класса задач создан программный комплекс на языке С++;

- полученные схемы применены для моделирования процесса диссоциации газовых гидратов в предположении постоянного давления; численные решения обнаруживают физичное поведение;

Предложенные в диссертационной работе подходы могут быть применены для решения широкого класса реальных задач с движущейся границей.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикация в издании,рекомендованном ВАК:

• Сукманова, Е. Н. Разрывный метод Галёркина для решения невязкой задачи Бюргерса / Е. Н. Сукманова // Научный вестник НГТУ. - 2008. - №3(32). - С. 45-56.

Публикации в рецензируемых журналах:

• Сукманова, Е. Н. Разрывный метод Галёркина для решения задач диффузии - конвекции. Вариационная постановка / Е. Н. Сукманова // Сборник научных трудов НГТУ. - 2006. - № 3. - С. 49-54;

• Сукманова, Е. Н. Решение конвективно-диффузионных задач разрывным методом Галёркина / Е. Н. Сукманова // Сборник научных трудов НГТУ. - 2006. - № 3. - С. 55-60;

• Сукманова, Е. Н. Алгоритм решения задачи Стефана многомасштабным разрывным методом Галёркина / Н. Б. Иткина, Е. Н. Сукманова, Э. П. Шурина // VI Международная научно-техническая конференция ^Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем,-- (МК-119-911), 25-29 октября 2011: Сборник статей. -Пенза, Пензенский государственный университет, 2011. - С.35 42.

Публикации в сборниках трудов российских и международных конференций:

• Сукманова, Е. Н. Математическое моделирование процесса диссоциации газовых гидратов многомасштабным разрывным методом Галёркина / Н. Б. Иткина, Е. Н. Сукманова, Э. П. Шурина // Восьмая Всероссийская научная конференция с международным участием „Математическое моделирование и краевые задачи", 15.09.11-17.09.11. - 4.2. - Самара: СамГТУ, 2011.

- С. 60 - 63;

• Сукманова, Е. Н. Математическое моделирование процесса диссоциации газовых гидратов на базе многомасштабного разрывного метода Галёркина / Е. Н. Сукманова // Российская научно-техническая конференция'«Информатика и проблемы телекоммуникаций». Секция «Информатика и математическое моделирование», 21-22 апреля 2011 г.: материалы конференции. -Новосибирск: СибГУТИ, 2011. - С. 112-115;

• Сукманова, Е. Н. Математическое моделирование процесса диссоциации газовых гидратов / Эпов М.И., Шурина Э.П., Сукманова E.H., Иткина Н.Б // Вторая Всероссийская научно-техническая конференция «Научное и технические обеспечение исследований и освоения шельфа Северного Ледовитого океана», 2-6 июля 2012 г.: сборник трудов. - Новосибирск, 2012.

- С. 52-57.

_Технический редактор Т.С. Курганова_

Подписано к печати 02.07.2013 Формат 60x84/16. Бумага офсет №1. Гарнитура Тайме.

_Печ.л. 0,9. Тираж 110. Зак. № 94_

ИНГГ СО РАН, ОИТ, 630090, Новосибирск, пр-т Ак. Коптюга, 3.

13-1109 1

2013074254

Текст научной работыДиссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Сукманова, Екатерина Николаевна, Новосибирск

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ НЕФТЕГАЗОВОЙ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ ИМЕНИ А.А. ТРОФИМУКА СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕРМИЧЕСКОЙ ДИССОЦИАЦИИ ГАЗОВЫХ ГИДРАТОВ

На правах рукописи

Сукманова Екатерина Николаевна

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.т.н., проф. Шурина Э.П.

Новосибирск - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

Глава 1. ГАЗОВЫЕ ГИДРАТЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ДВИЖУЩЕЙСЯ ГРАНИЦЕЙ 13

1.1. Газовые гидраты...........................13

1.2. Задачи с движущейся границей...................18

1.3. Математические модели.......................19

1.4. Численные методы решения задач с движущейся границей ... 22 1.4.1. Многомасштабные методы..................23

1.5. Обратные коэффициентные задачи.................27

Глава 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ 30

2.1. Функциональные пространства...................30

2.1.1. Декомпозиция пространства V...............31

2.2. Вариационная формулировка....................31

2.3. Оценка погрешности.........................36

2.4. Представление решения в виде суммы компонент ........38

2.4.1. Учёт условия Стефана....................41

2.5. Построение дискретного аналога вариационной формулировки . 41

2.5.1. Определение конечного элемента..............41

2.5.2. Дискретный аналог для задачи Стефана.........44

2.5.3. Технология построения дискретного аналога вариационной формулировки......................44

2.5.4. Лифтинг-операторы.....................46

2.5.5. Учёт краевых условий....................49

2.5.6. Сборка глобальной матрицы СЛАУ............50

2.5.7. Алгоритм вычисления оператора Ь^............53

2.5.8. Двухуровневый итерационный решатель .........53

2.5.9. Алгоритм решения задачи Стефана............56

Глава 3. ПРЯМОЕ И ОБРАТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИССОЦИАЦИИ ГАЗОВЫХ ГИДРАТОВ 63

3.1. Результаты прямого моделирования................63

3.1.1. Расчёт температурного поля для льда при нормальном давлении............................65

3.1.2. Расчёты для гидратсодержащей смеси в однородной среде 71

3.1.3. Температурное поле в среде с включениями........75

3.2. Решение обратной задачи Стефана в одномерном пространстве 83

3.2.1. Минимизация функционала ошибки............84

3.2.2. Вычисление функции чувствительности..........85

3.2.3. Результаты..........................87

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 90

ЛИТЕРАТУРА 91

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования.Гидраты углеводородных газов широко распространены в природе, что обусловливает интерес к ним как к одному из перспективных источников энергии. В настоящее время даже наиболее интересные и доступные для исследований поддонные скопления гидратов изучены относительно слабо, практически отсутствуют геофизические методики поисков и оконтуривания их залежей [1]. Решение этих задач во многом сдерживается недостаточной изученностью физических свойств гидратосо-держащих пород и отсутствием адекватных математических моделей, описывающих процессы деструкции и диссоциации гидратов под воздействием внешних факторов.

Известно, что газовые гидраты существуют в так называемой «зоне стабильности», то есть при выполнении определённых ограничений на температуру и давление; при выходе за рамки ограничений (также называемых Р-Т условиями) гидраты разлагаются на газ и воду [2]. Этот процесс называется фазовым переходом, или переходом из твёрдой фазы (гидрат) в жидкую (газ и вода), которые разделены границей фаз. Основная сложность математического моделирования процессов с фазовым переходом состоит в том, что граница фаз перемещается с течением времени. При решении задач с фазовым переходом общепринятыми методами необходимо перестраивать сетку на каждом шаге по времени, что резко увеличивает вычислительные затраты. Это делает актуальными методы, позволяющие сократить время решения

с сохранением точности. В работе предложены и исследованы вычислительные схемы в рамках новых, активно развивающихся направлений - многомасштабных методов конечных элементов и разрывного метода Галёркина.

Цель работы, создание программно-алгоритмических средств исследования процессов термической диссоциации газовых гидратов на основе вычислительных схем трёхмерного математического моделирования.

Защищаемые научные результаты:

12. Разработка алгоритмов решения прямых и обратных задач геофизи-

ки, методов аппроксимации геофизических полей, цифровой фильтрации с целью повышения разрешающей способности методов и подавления помех, построения изображений, соответствующих компьютерных технологий и их применение в геолого-геофизической практике при условии достаточной новизны в чисто математической части работы.

Наиболее существенные научные результаты, полученные соискателем лично, и их новизна: впервые разработаны вариационные формулировки на базе многомасштабного (МиШзса1е) метода конечных элементов и вариационной формулировки разрывного метода Галёркина в трёхмерной постановке для стационарных и нестационарных процессов; получены их дискретные аналоги; реализованы и исследованы вычислительные схемы. Эти вычислительные схемы использованы для моделирования процесса термической диссоциации пространственно неоднородных газовых гидратов при постоянном давлении. Установлена возможность использования предложенного программно-математического обеспечения для оптимизации проведения физических экспериментов.

Практическая значимость. Практическое значение имеет возможность

применения результатов вычислительных экспериментов для математического моделирования процесса термической диссоциации газовых гидратов в лабораторных и природных условиях, исследования свойств гидратсодержащих пород, оптимизации использования измерительной аппаратуры; для планирования лабораторных экспериментов и анализа их результатов, разведки и оконтуривания новых месторождений. Таким образом, данная работа является вкладом в развитие критических технологий Российской Федерации (технологии поиска, разведки, разработки месторождений полезных ископаемых и их добычи) и приоритетных направлений развития науки, технологии и техники в Российской Федерации (рациональное природопользование) согласно Указу Президента РФ № 899 от 7 июля 2011 года.

Представление работы. Результаты работы докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• V Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2004;

• Всероссийская научная конференция молодых учёных «Наука. Технологии. Инновации» (НТИ-2004), Новосибирск, 2004; присуждён диплом второй степени;

• Всероссийская научная конференция молодых учёных «Наука. Технологии. Инновации» (НТИ-2005), Новосибирск, 2005;

• VII, VIII, IX Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных учёных), Красноярск, 2006 г., Новосибирск, 2007 г., Кемерово, 2008 г.;

• Молодёжная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», Новосибирск, 2009;

• Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко, Новосибирск, 2011;

• Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2011, Новосибирск, 2011;

• Семинар «Многофизичные задачи - модели, алгоритмы, программная реализация», НГТУ, 2011 г.;

• Семинар им. К. И. Вабенко (Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН), Москва, 2012,

• Семинар ИНГГ СО РАН 7 июня 2012 г.;

• Вторая Всероссийская научно-техническая конференция «Научное и технические обеспечение исследований и освоения шельфа Северного Ледовитого океана», Новосибирск, 2-6 июля 2012 г.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ, из них в ведущих научных рецензируемых журналах, определённых Высшей аттестационной комиссией - одна.

Публикация в издании, рекомендованном ВАК:

• Сукманова, Е. Н. Разрывный метод Галёркина для решения невязкой задачи Бюргерса / Е. Н. Сукманова // Научный вестник НГТУ. - 2008.

- №3(32). - С. 45-56 [3].

Публикации в рецензируемых журналах:

• Сукманова, Е. Н. Решение конвективно-диффузионных задач разрывным методом Галёркина / Е. Н. Сукманова // Сборник научных трудов НГТУ. - 2006. - № 3. - С. 55-60 [5];

• Сукманова, Е. Н. Алгоритм решения задачи Стефана многомасштабным разрывным методом Галёркина / Н. Б. Иткина, Е. Н. Сукманова, Э. П. Шурина //VI Международная научно-техническая конференция <Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем> (МК-119-911), 25-29 октября 2011: Сборник статей. - Пенза, Пензенский государственный университет, 2011. -С.35-42 [6].

Публикации в сборниках трудов российских и международных конферен-

- Самара: СамГТУ, 2011. - С. 60 - 63 [7];

• Сукманова, Б. Н. Математическое моделирование процесса диссоциации газовых гидратов на базе многомасштабного разрывного метода Галеркина / Е. Н. Сукманова // Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций». Секция «Информатика и математическое моделирование», 21-22 апреля 2011 г.: материалы конференции. - Новосибирск: СибГУТИ, 2011. — С. 112-115

М;

• Сукманова, Е. Н. Математическое моделирование процесса диссоциации газовых гидратов / Эпов М.И., Шурина Э.П., Сукманова E.H., Ит-кина Н.Б // Вторая Всероссийская научно-техническая конференция «Научное и технические обеспечение исследований и освоения шельфа Северного Ледовитого океана», 2-6 июля 2012 г.: сборник трудов. - Новосибирск, 2012. - С. 52-57 [9].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы (116 наименований). Работа изложена на 106 страницах, включая 38 рисунков и 2 таблицы.

В первой главе рассмотрена предметная область (газовые гидраты), класс задач с движущейся границей и современные методы их решения. Область распространения, оценка мировых запасов гидратов углеводородных газов, их основные теплофизические свойства и методы разведки приведены в п. 1.1. Известно, что при нарушении условий стабильности (Р-Т-условий) гидраты диссоциируют на газ и воду, а в области его распространения образуется зона вещества в жидкой фазе, и её граница (фронт диссоциации) меняется во времени. Таким образом, это задача с движущейся внутренней границей. В п. 1.2 рассматривается область применения задач с подвижной границей и посвящённая им литература. П. 1.3 посвящён математическим моделям

формирования и диссоциации газовых гидратов. В п. 1.4 приведен сравнительный анализ существующих неконформных методов конечных элементов, в том числе многомасштабных и многоуровневых методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В п/п 1.4.1 приведён обзор семейства многомасштабных методов конечных элементов и их дискретных аналогов. В п. 1.5 рассмотрены обратные коэффициентные задачи и численные методы их решения.

Во второй главе рассмотрена математическая модель (задача Стефана), введены функциональные пространства, построены вариационные формулировки многомасштабного метода Галёркина, описана их дискретизация. В п. 2.1 вводятся функциональные пространства Н1 (тд), Щ(ть) и их конечномерные подпространства, а также декомпозиция подпространств на «грубые» и «мелкые» (непрерывные и разрывные). В п. 2.3 предложена вариационная формулировка разрывного метода Галёркина и на её основе - вариационная формулировка многомасштабного метода Галёркина. В п. 2.3.1 приведена априорная оценка погрешности. В п. 2.4 решение рассматривается как сумма непрерывной и разрывной компонент, в результате чего получен окончательный вид вариационной формулировки и способ учёта условия Стефана (п/п 2.5.1). П. 2.5 посвящён построению дискретных аналогов предложенных вариационных формулировок.

Глава 3 посвящена верификации программно-математического комплекса на задачах, приближенных к реальным. В п. 3.1 построены термограммы для различных составов породы (пески, льды и гидраты в нескольких комбинациях). Приводятся сравнения термограмм, графики движения фронта реакции. Выполнено сравнение численного решения с имеющимися экспериментальными данными и с аналитическим решением. Для обнаружения га-

зовых гидратов существенна возможность решения обратной задачи - идентификации эффективного коэффициента теплопроводности. П. 3.2 посвящён решению обратной задачи Стефана в одномерном пространстве. Такая постановка закономерна при условии пространственной однородности пород, что достижимо в лабораторных условиях. Там же делается вывод о возможности практического применения вычислительного метода.

Основные результаты исследования сформулированы в заключении диссертации.

Обоснованность и достоверность результатов. Полученные научные результаты подтверждены вычислительными экспериментами, проведенными с использованием вычислительных схем конформного метода конечных элементов, разрывного метода Галёркина, многомасштабного метода конечных элементов на основе вариационных формулировок разрывного метода Галёркина, сравнением с аналитическими решениями и данными лабораторных экспериментов.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д. т. н. Э. П. Шуриной, доценту кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета к. т. н. Н. Б. Иткиной, а также А. М. Прохвати лову.

Глава 1. ГАЗОВЫЕ ГИДРАТЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ДВИЖУЩЕЙСЯ ГРАНИЦЕЙ

Задачи с движущейся границей возникают в природе и технике и представляют определённые сложности при их численном решении. В главе рассмотрен этот класс задач и неконформные методы конечных элементов, которые можно применять для их решения. Особое внимание уделяется многомасштабным (МиШвсаЬ) методам и разрывному методу Галёркина.

1.1. Газовые гидраты

По структуре газовые гидраты - это клатратные соединения, образующиеся при внедрении молекул газа в пустоты кристаллических структур, составленных из молекул воды. Существуют два типа решетки гидратов: структура I, построенная из 46 молекул воды и имеющая 8 полостей, и структура II -136 молекул воды, 16 малых полостей и 8 больших. Молекулы газа - гидра-�

Информация о работе

Сукманова, Екатерина Николаевна
кандидата физико-математических наук
Новосибирск, 2013
ВАК 25.00.10

Диссертация

Математическое моделирование процесса термической диссоциации газовых гидратов - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы