Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Математическое моделирование электрического поля точечного источника внутри и над горизонтально-слоистыми средами с локальными неоднородностями

ВАК РФ 04.00.12, Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Волков, Сергей Владимирович

Глава 1. Обзор подходов и методов расчета потенциала и электрического поля по отечественным и зарубежным публикациям

1.1. Вычисление электрического поля и потенциала в трехмерных средах

1.2. Электрическое поле и потенциал в горизонтально-слоистом разрезе 17 Выводы

Глава 2. Расчет электрического поля и потенциала внутри горизонтально-слоистых сред

2.1. Тестирование метода линейной фильтрации, метода интегрирования кубического сплайна керн-функции и метода интегрирования линейной интерполяции керн-функции

2.2. Способы повышения точности вычислений методом линейной фильтрации, методами интегрирования кубического сплайна керн-функции 41 Выводы

Глава 3. Трехмерное моделирование электрического поля в горизонтально-слоистых средах с локальными неоднородностями

3.1. Боковое обтекание тока

3.2. Трехмерные эффекты искажения кривых кажущегося сопротивления приповерхностными неоднородностями

3.3. Экранирование аномальных тел

3.4. Компенсация аномального электрического поля 56 Выводы

Глава 4. Моделирование электрического поля в инженерно-геологических задачах

4.1. Описание метода оценки глубины свай

4.2. Решение прямой задачи и моделирование электрического поля сваи

4.3. Решение обратной задачи для сваи 66 Выводы

Введение Диссертация по геологии, на тему "Математическое моделирование электрического поля точечного источника внутри и над горизонтально-слоистыми средами с локальными неоднородностями"

За восьмидесятилетнюю историю электроразведки, начавшуюся с работ Конрада и Марселя Шлюмберже на постоянном токе, накоплен огромный багаж теоретических и экспериментальных знаний. Помимо методов постоянного тока широкое развитие получили методы низкочастотных и высокочастотных электромагнитных полей. В тоже время, несмотря на значительное количество предложенных и разработанных в последние десятилетия электроразведочных методов, метод сопротивления продолжает оставаться основным методом исследования верхней части геологического разреза.

В последние годы заметно увеличился объем электроразведочных исследований в городах, при строительстве и в местах расположения различного рода коммуникаций. Поскольку в перечисленных исследованиях в большинстве случаев изучаются первые десятки метров, метод сопротивления является основным методом исследования. Разнообразие и сложность экологических, поисковых, инженерно-геологических и технических задач привели к адаптации метода сопротивлений, развитию и усложнению методики решения этих задач. При работе в сложных геологических условиях на урбанизированных территориях методом сопротивлений особенно необходимо уметь быстро и точно решать прямую задачу для сложных неоднородных сред с источниками, как на поверхности, так и внутри среды.

Прогресс вычислительных методов и вычислительной техники за последние 20-25 лет привел к развитию программ математического моделирования электрического поля и потенциала. С развитием вычислительных средств, связано постепенное вытеснение физического моделирования численным. Решая те же задачи, что и физическое, численное моделирование обладает рядом неоспоримых преимуществ. С помощью математического моделирования можно быстрее выбрать методику полевых наблюдений, а также проверить правильность используемой методики. Зачастую математическое моделирование существенно помогает в выборе стартовой модели при интерпретации сложной геоэлектрической ситуации. В силу сравнительно быстрой разработки вычислительных программ и их применимости для большого числа моделей, математическое моделирование становится одним из основных инструментов современной электроразведки.

Прогресс персональных компьютеров за последние 10 лет заметно ускорил разработку численных схем и алгоритмов прямой задачи электроразведки на постоянном токе.

Актуальность проблемы

Описать все особенности строения реальной геологической среды достаточно сложно и с теоретической, и с практической точки зрения, поэтому геофизикам приходится работать с упрощенными моделями реальной геологической среды. При этом модель будет соответствовать реальной геологической обстановке, если будет описывать основные особенности строения и характер их развития в среде. Сотрудникам лаборатории малоглубинной электроразведки кафедры геофизики МГУ им МБ. Ломоносова, на базе многолетнего полевого и интерпретационного опыта, геологический разрез представляется в виде взаимосвязанной трехкомпонентной системы, показанной на рисунке 1.

ГСС-горизонтально-слоистая компонента системы, Аанизотропная компонента, Н-компонента неоднородной модели, включающей глубинные неоднородности (ГН) и приповерхностные неоднородности (ППН). Решать прямую задачу для модели ГСС+А+Н, представленной на рисунке 1, сложно и с точки зрения математического аппарата, и с точки зрения практики. Обычно прямую задачу решают для более простых моделей ГСС, А, Н. В настоящее время точность описания базовыми моделями ГСС, А, Н становится недостаточной, и активно используются комбинации ГСС+А, ГСС+Н, А+Н с кусочно-непрерывным распределением удельного электрического сопротивления.

На сегодняшний день основными являются двумерные (2-Р) и "двух-с половиной'-мерные (2,5-0) численные схемы. Соответственно, под 2-Р

Рис.1. Взимосвязь основных составляющих геоэлектрической модели. геоэлектрической моделью понимается модель, соответствующая сечению геологической среды некоторой плоскостью Х02 с двумерными источниками тока. Растекание тока с двумерных источников происходит в плоскости модели. Аналогом двумерной модели служит физическое моделирование на электропроводящей бумаге (ЭПБ), при котором плоскость бумаге соответствует двумерной модели среды и ток растекается в плоскости бумаги. Под 2,5-0 моделью понимается геоэлектрическая модель, в которой геологическая модель является двумерной, а источники тока являются точечными трехмерными. Во многих случаях, в платформенных условиях, численное моделирование электрического поля для 2-0 и 2,5-0 моделей достаточно для правильного понимания геоэлектрической ситуации.

На территориях, измененных техногенными факторами, разрез нередко осложняется локальными приповерхностными неоднородностями произвольной формы (погребенные остатки зданий, загрязнения, старые коммуникации и т.п.). При работе в таких условиях математическое моделирование должно выполняться на базе трехмерных вычислительных схем. Соответственно, трехмерной (З-Э) моделью будем считать модель, в которой тела с конечными размерами (3-0 неоднородности) сечений в плоскостях ХОУ, Х01 и YOZ произвольно располагаются в фоновом разрезе (ГСС, А, ГСС+А).

В развитии математического моделирования выделилось два направления: аналитическое и неаналитическое (на базе численных методов). Для аналитического моделирования характерна работа с фиксированной моделью фоновой (ГСС, А, ГСС+А) и аномальной (ГН, ППН) частей. Для каждой модели выводится однозначная аналитическая зависимость поведения электрического поля от геометрии, проводимости элементов модели и свойств источника. В ходе развития аналитических подходов выяснилось, что аналитические выражения для модели аномального тела можно получить, если поверхность неоднородности соответствует одной из систем координат [В.Н. Земцов, В.Г. Шак, 1990]. Прямую задачу для сферических тел следует решать в сферической системе координат, для куполообразных тел в параболических координатах вращения, для цилиндрических тел в цилиндрической системе координат и т.д. Аналитическое направление отражено в работах В.Н. Земцова,

В.Г. Шака (сферические, куполообразные, цилиндрические тела, вертикальная слоистость), С.И. Восанчука (секторные структуры) и др.

Параллельно разрабатываются универсальные вычислительные схемы, при работе с которыми, допускается изменять форму элементов модели. В рамках неаналитического подхода развиваются два метода. Метод интегральных уравнений позволяет изменять форму аномальной части (ГН, ППН) модели (В.И. Дмитриев, K.M. Ермохин, Е.В. Захаров, Н.В. Зверева, Е.Б. Изотова, В.В. Кусков, И.Н. Модин, А.Г. Яковлев, H.H. Серебрянникова,). Метод конечных разностей позволяет изменять, как аномальную, так и фоновую части модели (В.П. Бунин, В.И. Дмитриев, В.В. Кусков, В.Г. Шак, А.Г. Яковлев и др).

Широкое развитие 2-D и 2,5-D моделирования привело к анализу многими вышеназванными авторами закономерностей растекания тока, распределения электрического поля. Были обнаружены и изучены эффекты растекания тока и поведения электрического поля, в том числе эффекты связанные с влиянием приповерхностных неоднородностей на растекание тока вблизи питающих и приемных электродов (А.А.Бобачев, И.Н.Модин, Е.В.Перваго, В.А.Шевнин и др.). Особенности распределения электрического поля и растекание тока в трехмерных моделях изучены существенно слабее.

В диссертационной работе рассматриваются два основных вопроса, возникающие в связи с прямой задачей электроразведки на постоянном токе для горизонтально-слоистых сред с 3-D неоднородностями: разработка оптимальных, эффективных численных алгоритмов для решения прямой задачи и изучение особенностей поведения электрического поля внутри реальных трехмерных средах.

В работе изучаются вопросы точности и экономичности численной реализации прямой задачи для произвольно расположенного точечного источника постоянного тока внутри ГСС. Изучение вопросов точности и быстроты численного решения прямой задачи внутри ГСС, является одним из ключевых моментов в рамках построения 3-D вычислительных схем. В настоящее время обозначенный вопрос не решен, и требует изучения.

В целях более детального изучения и увеличения знаний об особенностях электрического поля в трехмерных средах, в настоящей работе проведено моделирование прямой задачи для точечного источника постоянного тока в двуслойной модели содержащей трехмерные неоднородности. Продолжено изучение, начатого в геофизической прессе, вопроса связанного с эффектами искажения кривых кажущегося сопротивления, ставшим особенно актуальным при работе в городских условиях. В работе проводится сравнительный анализ эффектов искажения кривых кажущегося сопротивления в двумерных и трехмерных средах.

В ходе полевых работ 1998-99гг сотрудниками лаборатории электроразведки кафедры геофизики МГУ им М.В. Ломоносова в рамках метода сопротивлений был предложен способ определения глубины погружения железо-бетонных свай в грунте. На основе оттестированных и опробованных численных схем расчета поля, демонстрируется решение названной инженерно-геологической задачи.

Цели и задачи работы

При написании данной работы автором изучались две большие группы вопросов трехмерного моделирования. В первой группе вопросов исследовались возможности численной реализации трехмерного моделирования методом интегральных уравнений в горизонтально-слоистом фоновом разрезе. При этом ставились следующие задачи:

1. сравнение и выбор наиболее точных, быстрых и экономичных численных схем решения прямой задачи для точечного источника внутри горизонтально-слоистой среде с произвольным числом слоев.

В процессе работы выяснилось, что численные схемы прямой задачи для точечного источника в ГСС, наиболее пригодные для реализации в 3-D алгоритмах, имеют узко-ограниченные области требуемой точности. В связи с указанным обстоятельством, были поставлены задачи:

2. определить размеры и установить причины возникновения областей с низкой точностью вычисления потенциала и электрического поля; на основы методов линейной фильтрации и интегрирования кубического сплайна керн-функции разработать вычислительные приемы и рекомендации для повышения точности вычисления потенциала и электрического поля.

Вторая группа вопросов, связанная непосредственно с трехмерным моделированием, решалась с помощью программ трехмерного моделирования, и формулируется следующим образом:

3. моделирование, сравнение и анализ эффектов влияния локальных приповерхностных неоднородностей на растекание тока вблизи питающих и приемных электроды в 2-0, 2,5-Р, 3-0 моделях;

4. изучение эффектов обтекания тока, экранирования, компенсации тока и распределения электрического поля вблизи группы (два тела) локальных приповерхностных тел.

Важной практической целью работы является использование, полученных точных способов вычисление потенциала и электрического поля в инженерно-геологических задачах:

5. решение прямой задачи для погруженных свай с целью изучения особенностей электрического поля свай; решение обратной задачи для оценки глубины погружения свай.

Полученные результаты

1. Исследованы численные схемы метода линейной фильтрации, метода интегрирования кубического сплайна и линейной интерполяции керн-функции, используемые при решении прямой задачи; для точечного источника постоянного тока в многослойной горизонтально-слоистой среде:

• реализован машинный алгоритм вычисления электрического потенциала II с точностью е<1% в многослойном разрезе при произвольном расположении точечного источника для широкого диапазона разносов г<104, при глубине модели г<104, с параметром цгр/ри для слоев модели в диапазоне [5x10"3; 103];

• реализован машинный алгоритм вычисления компоненты электрического поля Ег с точностью е<1% в многослойном разрезе при произвольном расположении точечного источника для широкого диапазона разносов г<104, при глубине модели г<104, с параметром 14=р/ри для слоев модели в диапазоне [2x10"3; 103];

• реализован машинный алгоритм вычисления компоненты электрического поля Ez с точностью s<1% в многослойном разрезе при произвольном расположении точечного источника для широкого диапазона разносов г<104, при глубине модели z<104, с параметром щ=р/ри для слоев модели в диапазоне [5x10"2; 10].

2. Создана программа трехмерного моделирования (IE3D2L) для двуслойного горизонтально-слоистого разреза с локальными неоднородностями; машинный алгоритм разработан с возможностью быстрой модернизации для многослойного горизонтально-слоистого фонового разреза.

3. Проведено моделирование по трехмерным программам IE3D2L, IE3R1, двумерной программе IE2DL;

• проведен сравнительный анализ эффектов влияния локальных приповерхностных тел на растекание электрического тока вблизи приемных и питающих электродов в 2-D, 3-D моделях;

• изучены особенности и рассмотрено влияние бокового обтекания локальных приповерхностных тел на распределение электрического поля, изучено аномальное электрическое поля вблизи двух локальных приповерхностных тел, исследованы эффекты экранирования и компенсации.

4. На базе численной схемы расчета Ег в многослойной ГСС (Введение, пункт 1 настоящего раздела) написана программа EPD решения прямой задачи сваи в горизонтально-слоистой среде. Проведено моделирование, изучены особенности электрического поля сваи и решена обратная задача.

Апробация работы

Апробация результатов выразилась в тестировании по программам TESTGREEN, IE2DL, IE3R1 (лаборатория малоглубинной электроразведки, МГУ им.М.В. Ломоносова).

Результаты работы связанные с вопросами решения прямой задачи в горизонтально-слоистых средах, с моделированием электрического поля в реальных трехмерных средах, а также с решением конкретных инженерногеологических задач излагались в печатных работах и в докладах на научных конференциях.

Публикации:

1. Волков C.B. Решение прямой задачи электроразведки постоянного тока для горизонтально-слоистого разреза, содержащего 3D неоднородности / Сборник тезисов Международной геофизической конференции SEG-EAEG-EArO "Москва'97", 1997, №1.3.

2. Волков C.B. Решение прямой задачи электроразведки постоянного тока для горизонтально-слоистого разреза, содержащего 3D неоднородности / Всероссийская научно-практическая конф. мол. уч. и спец. Геофизика-97, Петродворец, СПб, 1997.

3. Волков C.B. Прямая задача электроразведки на постоянном токе в горизонтально-слоистой среде, содержащей трехмерные неоднородности / Материалы Международной конф. студ. и аспир. по фундамент, наукам "Ломоносов", Вып.№ 2, МГУ, 1998.

4. Волков C.B. Об особенностях расчета потенциала и электрического поля точечного источника постоянного тока в горизонтально-слоистых средах. /Деп. в ВИНИТИ, №1471-В99, 1999, -17с.

5. Бобачев A.A., Волков C.B., Модин И.Н. Оценка глубины свай методом сопротивлений. /В печати.

Структура работы

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст работы представлен на 78 страницах печатного текста, сопровождается 26 рисунками, 5 таблицами и списком литературы из 69 наименований.

Автор благодарен научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору кафедры геофизики В.А. Шевнину за моральную поддержку, за своевременную и здоровую критику. Автор благодарит кандидата геолого-минералогических наук доцента кафедры геофизики И.Н. Модина и сотрудника кафедры геофизики A.A. Бобачева за творческое сотрудничество при написании работы. Особую благодарность автор выражает сотруднику кафедры геофизики С.И. Волкову за оказанную техническую помощь.

Заключение Диссертация по теме "Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых", Волков, Сергей Владимирович

Выводы

• Для численного решения прямой и обратной задачи в случае сваи можно использовать алгоритмы расчета электрического поля, оттестированные и усовершенствованные во второй главе настоящей работы.

• Относительная точность вычисления электрического поля сваи ниже, чем поля точечного источника; относительная ошибка с увеличением разносов К плавно убывает и при Р/1<0,25 может достигать 5%, а при [3/1>0,25 не превышает 1%.

• Обратная задача для сваи имеет устойчивое решение при различных эквивалентных геоэлектрических моделях и позволяет определить глубину погружения сваи с относительной точностью ± 5%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изучаются и решаются вопросы численной реализации прямой задачи для точечного источника внутри горизонтально-слоистой среды с трехмерными приповерхностными неоднородностями. В связи с этим первое защищаемое положение связано с особенностями вычисления электрического поля и потенциала точечного источника внутри горизонтально-слоистой среды.

1. Методы линейной фильтрации и интегрирования кубического сплайна керн-функции при вычислении электрического поля и потенциала точечного источника внутри горизонтально-слоистой среды, дают низкую точность, связанную с особенностями спектрального потенциала и его производной. Для повышения точности вычислений вышеуказанными методами следует использовать численные приемы согласно предлагаемым рекомендациям.

Значительная часть работы посвящена моделированию в трехмерных средах, сравнительному анализу двумерных и трехмерных эффектов распределения и искажения аномального электрического поля. Следующие два, защищаемых положения вытекают, из полученных результатов сравнения двумерного и трехмерного моделирования.

2. С-эффект искажений, связанный с влиянием изометричных приповерхностных неоднородностей находящихся вблизи питающих электродов, в трехмерном пространстве затухает в 1,5 раз быстрее, чем в двумерном пространстве.

3. Р-эффект искажений, связанный с влиянием изометричных приповерхностных неоднородностей находящихся вблизи приемных электродов, в трехмерном пространстве в 1,5 раза слабее по амплитуде, чем в двумерном пространстве.

В работе представлено решение прямой задачи для сваи в горизонтально-слоистом разрезе и решается обратная задача по отношению измерений с заземлением через сваю и с точечным заземлением. Показывается важность оценки параметров слоистого разреза на точность решения обратной задачи для сваи. В связи с этим, формулируется следующее защищаемое положение:

4. использование отношения измерений с заземлением через сваю и точечным заземлением, а также комплексирование с обратной задачей для точечного источника делают решение обратной задачи для сваи устойчивым, слабо зависящим от строения верхней толщи.

Библиография Диссертация по геологии, кандидата физико-математических наук, Волков, Сергей Владимирович, Москва

1. Абрамова Е.Ш., 1985\ Абрамова Е.Ш. Способ оперативного и точного вычисления интегралов, применимый к расчету ряда геофизических кривых. ВСЕГИНГЕО, препринт, 1985, 12с.

2. Альпин Л.М., 1980. Альпин J1.M. Метод вторичных зарядов // Прикладная геофизика. -1980. -Вып. 99. -с. 124-138.

3. Альпин Л.М., 1985\ Альпин Л.М., Даев Д.С., Каринский А.Д. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике. Учебник для вузов.- М.: Недра, 1985.-407 с.

4. Белаш В.А., 1983. Белаш В.А. Единый метод расчета геолектрических полей в горизонтально-слоистых средах // Геофизический журнал. -1983.

5. Ваньян Л.А. и др, 1962. Ваньян Л.А., Морозова Г.М., Ложеницина Л.В. О расчете теоретических кривых электрического зондирования // Прикладная геофизика вып. №34. Госпоптехиздат. -1962.

6. Варенцое И.М., 1983. Варенцов И.М. Современные тенденции в решении прямых и обратных задач трехмерной геоэлектрики // Математическое моделирование электромагнитных полей, -М., -1983. -с 26-68.

7. Ведринцев Г.А., 1960. Ведринцев Г.А. К теории электрических зондирований горизонтально-неоднородных сред// Прикладная геофизика. -1960. -Вып. № 26. -с.30-69.

8. Дашевский Ю.А., 1982. Дашевский Ю.А. Применение преобразований Эйлера для расчета стационарных и гармонических электромагнитных полей в горизонтально-слоистых средах // Сборник научных трудов СОАН, под ред. Ю.Н. Антонова. Новосибирск. -1982. -с.42-51.

9. Дмитриев В.И., Захаров Е.В., 1973. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Методы расчета поля постоянного тока в неоднородных проводящих средах // Вычислительные методы и программирование, вып № XX, -М., -1973. -с. 175-186.

10. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике, 1982. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизики // Под ред. В.И. Дмитриева. -М., -1982.

11. Дмитриев В.И., Серебренникова H.H., 1987. Дмитриев В.И., Серебренникова H.H. Численный расчет электрического поля точечного источника в слоистой среде с осесимметричным включением/ Известия ВУЗ, Геология и разведка, 1987, № 2.

12. Ермохин K.M. Ермохин К. М. Расчет полей постоянного тока в трехмерных неоднородных средах // -Деп. ВИНИТИ, per № 6732-В85.

13. Жданов М.С., 1986. Жданов М.С. Электроразведка. -М., 1986. -315с.

14. Жданов М.С., 1987. Методы решения прямых и обратных задач геоэлектрики. Ред.Жданов М.С. АН СССР Ин-т зем. магнетизма ионосферы и распростр.радиоволн, М., 1987, 162 с.

15. Заборовский А.И., 1943. Заборовский А.И. Электроразведка // изд. Нефтянной и горно-топливной литературы. 1943.-см. с. 127-129.

16. E.ß. Захаров, И.В. Ильин, 1970. Захаров Е.В., Ильин И.В., Интегральное представление в неоднородно слоистой среде // Изв. АН СССР. Сер Физика Земли. 1970. -№ 8.-е. 62-71.

17. Зиненберг В.И., 1973. Зиненберг В.И. Решение прямой и обратной задачи метода вертикального электрического зондирования / Автореферат диссерт. Новосибирск. -1973.

18. Изотова Е.Б., Зверева Н.В., 1978. Изотова Е.Б., Зверева Н.В. Расчет поля постоянного тока в неоднородных средах // Материалы обеспечения интерпретации данных рудной электоразведки, -М., -1978. -Деп. ВИНИТИ, per № 2222-78. -с. 2-26.

19. Калиткин H.H., 1978. Калиткин H.H. Численные методы // -М., -1978. -512с.

20. Кауфман A.A., 1997. Кауфман A.A. Введение в теорию геофизических методов. Часть1. Гравитационные, электрические магнитные поля. Пер. с англ.; Ред. пер. М.Н. Бердичевский. -М.: Недра, 1997. -520с.: ил. ISBN 5-24703776-6.

21. Квятковский Г.И., 1993. Квятковский Г.И. Метод сопротивления заземления в инженерной геофизике / М.:Недра,1993. с. 90

22. Крылов В.И., Шульгин Л.Т., 1966. Крылов В.И., Шульгин Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию/ -Физматгиз. 1966.

23. Кукаркин А.Б., Новиков Е.И., 1981. Кукаркин А.Б., Новиков Е.И. Вычисление интегралов от быстро осциллирующих функций методом Лонгмана // Журнал вычислительной математики и математической физики. -№ 5. -1981.-т. 21. С. 1091.

24. Кусков В.В., 1979. Кусков В.В. К вопросу об искажениях кривых ВЭЗ в условиях негоризонтальных границ раздела / Вест. Моск. Ун-та. Сер. Геол. 1979, №5. с. 68-72.

25. Кусков В.В., 1985. Кусков В.В. Численное моделирование вертикальных электрических зондирований в двумерно-неоднородных средах /Вестник МГУ, Сер. Геология, 1985,№ 1, с.82-88

26. Кусков В.В., Бастис А.И., 1985. Кусков В.В., Бастис А.И. О численном решении двумерно-неоднородных задач электроразведки методом сопротивлений /Изв. АН СССР Сер. Физика Земли, 1985, № 3, с. 70-76.

27. Кусков В.В., Яковлев А.Г., 1989. Кусков В.В., Яковлев А.Г. Электрическое поле в неоднородной среде. Электроразведка. Справочник геофизика. М., Недра. 1989. С.59-75.

28. Куфуд О., 1984. Куфуд О. Зондирования методом сопротивлений // -М., -1984. -270с.

29. Ластовецкий В.П., Белоголов В.Т. и др., 1987. Ластовецкий В.П., Белоголов В.Т. и др. Прямая задача электроразведки методом сопротивлений. Изв.вузов. Геол. и разведка. 1987, N6,c.76-81.

30. Mameeee Б.К., 1990. Матвеев Б.К. Электроразведка: Учеб. для вузов. М.: Недра, 1990-368 с.:ил.

31. Морозова Г.М., 1968. Морозова Г.М., Применение метода интегральных уравнений при решении задач теории электроразведки постоянным током // Геология и геофизика № 11. -1968. -с. 76-84.

32. Рыжов A.A., 1983. Рыжов A.A. Оптимальный алгоритм решения прямой задачи ВЭЗ / Доклады АН СССР, физика Земли № 3, 1983, с. 69-74.

33. Симоне М.М., 1994. Математическое моделирование поля вызванной поляризации с учетом влияния вмещающего геоэлектрического разреза / Автореф. на соиск. уч. степ, кандид. физ.-мат. наук, М., 1994.

34. Сухих И.А., 1970. Сухих И.А. Поле точечного источника постоянного тока в многослойной среде с плоскопараллельными границами раздела // Тр. Института геологии и геофизики, вып.№ 54. -Новосибирск. -1970.

35. Урысон В.О, 1951. Урысон В.О. О вычислении теоретических кривых электрического поля // Тр. Мое. нефтянного института им. И.М. Губкина. -Вып. № 11, Геология и промысловое дело, технология и транспорт нефти. -1951. с. 11-39.

36. Филатов В.А., 1979. Филатов В.А. Два метода вычисления кажущегося сопротивления двуслойного геоэлектрического разреза // Геология и геофизика. -1979. № 7. -с. 135-142.

37. Шак В.Г., Бунин В.П., 1980. Шак В.Г., Бунин В.П. Анализ возможностей использования разностных методов при расчетах на ЭВМ кажущихся сопротивлений / Прикладная геофизика, 1980, -Вып.98. -с.74-83.

38. Шалат П., 1973. Шалат Петер Применение теории линейных систем для вычисления интегралов геоэлектрических зондирований / Уч. зап. Ленинградского университета, -1973. - №372. -с.62-70.

39. Электроразведка, 1979. Электроразведка. Справочник геофизика / Под ред. А.Г. Тархова. М., Недра, 1979 - 518с.

40. Электрическое зондирование геологической среды, 1988. Электрическое зондирование геологической среды // Под ред. В.К. Хмелевского и В.А. Шевнина. -ч. 1. -изд. МГУ., -1988. 176с.

41. Электрическое зондирование геологической среды, 1992. Электрическое зондирование геологической среды // Под ред. В.К.Хмелевского и В.А.Шевнина.-ч. 2. изд. МГУ., 1992. 199с.

42. Электроразведка методом сопротивлений, 1994. Электроразведка методом сопротивлений./Под ред. В.К.Хмелевского и В.А.Шевнина // М., изд. M ГУ., 1994. 160с.

43. Юдин М.Н., 1982. Юдин М.Н., Альтернирующий метод численного решения прямых задач геолектрики // Математические методы в геолектрике, -М., -1982. -с. 47-52.

44. Яковлев А.Г. и др., 1992. Яковлев А.Г., Модин И.Н., Смирнова Т.Ю., Перваго Е.В. Расчет кажущегося сопротивления над сложными геоэлектрическими разрезами методом интегральных уравнений. Вестн. МГУ. Сер.4, Геол. 1992. №3.с.91-95

45. Якубовский Ю.В., Ренард И.В., 1991. Якубовский Ю.В., Ренард И.В. Электроразведка: Учебник для вузов. М.:Недра,1991. - 359с.:ил

46. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., 1964. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции // Под ред. Л.И. Седого. М., -1964. -344с.

47. Anderson W.L., 1979. Anderson W.L. Computer program numerical integration of related Hankel transforms of 0 and 1 by adaptive digital filtering. Geophysics, 1979, Vol.44, №7: p. 1287-1305.

48. Ghosh, D.P., 1971a. Ghosh, D.P., 1971a. The application of linear filter theory to the direct interpretation of geoelectrical resistivity sounding measurements. Geophys. Prospecting, 19: 192-217.

49. Q2.Ghosh, D.P., 1971b. Ghosh, D.P., 1971b. Inverse filter coefficients for the computation of apparent resistivity standard curves for a horizontal stratified earth. Geophys. Prospecting, 19: 769-775.

50. Lee, Т., 1975. Lee, Т., 1975 An integral equation and its solution some two- and three-dimentional problem in resist and inuced polarization: Geophysics, vol. 42: p.81

51. Mooney, H.M., etai., 1966. Mooney, H.M., Orellana, E., Pickett, H., Tornheim, L., 1966. A resistivity computation method for layered earth models. Geophysics, 31: 192-203.

52. Dey A., Morrison H.F., 1979. Dey A., Morrison H.F., 1979 Resistivity modelling for arditrary shaped three-dimentional structures. Geophysics. Vol. 44, №4: p753-780.

53. Pekeris, C.L., 1940. Pekeris, C.L., 1940. Direct method of interpretation in resistivity prospecting. Geophysics, 5: 31-46.

54. Roman, I., 1963. Roman, I., 1963. The Kernel function in the surface potential for a horizontally stratified earth. Geophysics, 28: 232-249.

55. Slichter, LB., 1933. Slichter, L.B., 1933. The interpretation of resistivity prospecting method for horizontal structures. Physics, 4: 307-322.