Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред

ВАК РФ 04.00.12, Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред"

и-*

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 550.837 На правах рукописи

БЕРЕЗИНА СВЕТЛАНА АЛЕКСАНДРОВНА

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДА СОПРОТИВЛЕНИЙ

ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 04.00.12 - ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКОВ И РАЗВЕДКИ

ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА- 1993

Работа выполнена на кафедре геофизических методов исследования земной коры геологического факультета Московского Государственного Университета.

Научный руководитель: кандидат геолого-минералогических наук В.А.ШЕВНИН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.И.ДМИТРИЕВ (ВМиК МГУ);

кандидат физико-математических наук, В.В.КУСКОВ (МО Атомэнергопроект, Москва).

Ведущая организация - Всероссийский научно-исследовательский институт гидрогеологии и инженерной геологии (ВСЕГИНГЕО, Моск. обл.).

специализированного совета по защитам ц.053.05.24 в Московском Государственном Университете по адресу 119899, Москва, Ленинские Горы, МГУ, геологический факультет, ауд. 308.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке геологического факультета МГУ.

Защита состоится

на заседании

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук, с.н.с.

Б.А.НИКУЛИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Электрические зондирования широко используются для решения инженерно-геологических и гидрогеологических задач. Как правило, все разнообразие геологических разрезов изучаемых сред можно описать в рамках горизонтально-слоистых, а также двумерно-и трехмерно-неоднородных моделей. Следовательно, для решения практических задач необходимо иметь отработанные алгоритмы прямых и обратных задач в горизонтально-слоистой среде и алгоритмы решения, по крайней мере, прямых задач в неоднородных средах - двумерных и трехмерных.

Имеющееся на сегодняшний день математическое обеспечение не всегда обеспечивает запросы интерпретации или моделирования.

Например, современный алгоритм расчета прямой задачи электрического зондирования в слоистой среде базируется на методе линейной фильтрации. При этом для каждой установки - Шлюмберже, Веннера, дипольной и прочих нужно рассчитывать свой фильтр. Кроме того, разносы должны возрастать в геометрической прогрессии, связанной с шагом фильтра, что не всегда бывает удобно. Таким образом, есть потребность в некотором универсальном алгоритме, отвечающем запросам практики.

Для профильной или площадной интерпретации данных на участке работ требуется обработать десятки или сотни полевых кривых ВЭЗ за короткое время. Поэтому поиск оптимального алгоритма решения обратной задачи является насущной проблемой.

При решении многих геологических задач нельзя ограничиться моделью горизонтально-слоистой среды. Обычно разрез бывает осложнен двумерными или трехмерными неоднородностями. Трехмерное моделирование весьма трудоемко, расчеты занимают большое время. В связи с этим, целесообразно по мере возможности шире использовать двумерное моделирование. Таким образом, возникает необходимость иметь относительно быстрые двумерные алгоритмы, позволяющие моделировать электрическое попе в неоднородных средах. В некоторых частных случаях (например, для тонкого ппаста) универсальный алгоритм недостаточно эффективен, поэтому желательно разработать специализированный алгоритм.

Таким образом, актуальным с практической точки зрения является

совершенствование аппарата прямых и обратных задач электрических зондирований в горизонтально-слоистых и неоднородных средах.

Цепи и задачи работы. Основная цепь работы состоит в развитии алгоритмов прямых и обратных задач электрических зондирований для обеспечения интерпретации и моделирования в горизонтально-слоистых и неоднородных средах, и тем самым расширения возможностей метода сопротивлений. Для достижения этого быпи поставлены следующие задачи

1. Разработка универсального алгоритма решения прямой задачи в горизонтально-слоистой среде для произвольной электроразведочной установки и разреза любой контрастности;

2. Разработка алгоритма решения обратной задачи ВЭЗ на основе метода псевдообращения;

3. Решение прямой задачи зондирования над двумерной средой в поле различных источников - в однородном поле, поле линейного и точечного источника на основе метода поверхностных интегральных уравнений;

4. Изучение влияния на электрическое попе тонкого, ограниченного по простиранию пласта, произвольно расположенного в пространстве. Разработка алгоритма моделирования в поле тонкого пласта.

Результаты и научная новизна работы.

1. Разработан универсальный алгоритм решения прямой задачи •ВЭЗ,'-: позволяющий вычислить кривую зондирования для произвольной установки и разреза высокой контрастности с большой точностью. Настоящий алгоритм обеспечивает интерпретацию данных, полученных для произвольной установки. Его можно использовать для расчета кривыхр* со сменой длины приемной линии (кривые с "воротами"), для. учета влияния "бесконечности" при работе с трехэлектродными установками. Учитывая точность разработанного алгоритма даже в условиях контрастного разреза, его можно использовать для различных тестов, например тестирований' новых линейных фильтров, а также использовать для решений1 обратной задачи

2. Разработан и программно реализован алгоритм решения 03 ВЭЗ, использующий метод сингулярного разложения для минимизации. Данный метод позволяет оценивать эффективность решения 03.

3. Решена прямая задача электроразведки постоянным током над двумерной средой в однородном попе, попе линейного и точечного источника при использовании метода интегральных уравнений. Это позволило сделать следующие выводы:

- при решении задачи для точечного источника следует переходить в спектральную область, где вычислять спектры искомых величин (интенсивностей вторичных источников, его поля и потенциала) для конечного набора пространственных частот, а затем восстанавливать эти величины в пространственной области. Путь с применением прямого и обратного преобразований Фурье экономичнее, чем непосредственное решение задачи в пространственной области, т.к. в первом случае мы имеем дело с ограниченным набором двумерных спектральных задач, а во втором - с чисто трехмерной задачей;

- сопоставление результатов, полученных для однородного поля, линейного и точечного источников выявило область действия каждой модели. Особенно важными оказались следствия для линейных источников. Если неоднородное включение вытянуто вдоль какого-то направления, то результаты моделирования для линейных и точечных источников близки, однако в первом случае существенно сокращается время расчета. Поэтому целесообразно иметь отдельную программу двумерного моделирования и применять ее в соответствующих случаях. Однородное попе представляет интерес, в силу сходства результатов с результатами для точечных электродов при большом удалении приемников от источников поля (например, для установки срединного градиента с очень большими разносами питающих электродов).

4. На основе метода интегральных уравнений разработан алгоритм вычисления электрического поля в однородном полупространстве в присутствии двумерного тонкого пласта, длина которого намного превосходит его ширину. Тонкий пласт аппроксимируется цепочкой диполей. Это позволяет обойти обычный при двумерном моделировании ауть с использованием поверхностных вторичных источников, упростить зеализацию и сократить время расчетов. Настоящий алгоритм можно зключать в более сложные программы моделирования в неоднородных

средах, где роль тонкого пласта может играть разлом или спой угля.

Практическая ценность. Все упомянутые алгоритмы реализованы в программы, которые используются в настоящее время для целей интерпретации и моделирования в научно-исследоватепьских, производственных работах и в учебном процессе.

Прямая универсальная задача может быть использована не топько для расчета кривых зондирования для различных электроразведочных установок, но и дпя интерпретации полевых данных. Имеется версия обратной задами, использующая настоящий алгоритм. Точность разработанного алгоритма позволяет использовать его для различных тестирований, например тестирований новых линейных фильтров. Кроме того, прямая задача была использована дпя расчета поправки за конечную длину пинии ш при удалении "ворот" на кривых ВЭЗ.

Метод сингулярного разложения используется при решении обратной задачи ВЭЗ в одной из версий программы интерпретации IPX. Кроме этого, опробованный нами алгоритм сингулярного разложения используется в методе главных компонент дпя обработки ВЭЗ в неоднородных средах.

Работы по МИУ послужили стимулом,к.созданию программы моделирования в двумерной среде IE2RL. Данная программа сейчас широко используется на геологическом факультете МГУ дпя моделирования электрических полей в неоднородных средах.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях молодых ученых геологического факультета МГУ (Москва 1985, 1986, 1992, 1993 гг.); на Всесоюзной конференции по геофизическим методам исследования в гидрогеологии и инженерной геологии (Ташкент, 1991 г.)

. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения общим объемом страницы, имеет рисунка,

список литературы из 69 наименований. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю работы доценту кафедры

геофизики ИГУ В.А.Шевнину. Автор искренне признателен всем, кто на различных этапах исследований оказывал ему помощь и поддержку: канд. геол.-мин. наук И.Н.Модину, канд. физ.-мат. наук А.Г.Яковлеву, сотрудникам кафедры Е.В.Перваго, А.А.Бобачеву. Совместная работа с ними во многом определили тематику и содержание работы.

Введение . Обосновывается актуальность работы, перечисляются ее цели и задачи, далее приводятся полученные результаты и отмечается их практическая ценность и новизна. Кроме этого, введение содержит список публикаций по теме диссертационной работы.

Глава 1. Обзор алгоритмов решения прямых и обратных задач электрических зондирований в горизонтально-слоистых средах В первом параграфе производится обзор алгоритмов решения прямой задачи. Известна, что прямая задача электрического зондирования может быть решена в результате численного расчета интеграла Ханкеля

где х - попуразнос, J1 - функция Бесселя первого порядка, (т) называется трансформантой ипи кернел-функцией и несет информацию о разрезе. Сложности вычисления интеграла (1) обусловлены наличием осциллирующей и слабо затухающей функции , бесконечными пределами интегрирования и необходимостью расчета интеграла при большом числе различных значений параметра г. При использовании стандартных методов численного интегрирования для достижения приемлемой точности при расчете (1) требуются неоправданно большие вычислительные затраты, что приводит к значительному расходу машинного времени. В разное время решением этой проблемы занимались Л.Л.Ваньян, Е.Б.Изотова (1968), В.И.Дмитриев (1969), В.А.Филатов (1979), Ю.А.Дашевский (1982), Е.Ш.Абрамова (1982), Гош (1970-1972), А.А.рыжов (1981), В.А.Шевнин (1992) и другие. В данном параграфе приводится краткое

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

о

описание некоторых различных подходов.

В.А.Филатов записывает выражение для R^im) в виде абсолютно сходящегося ряда, вычисляет его сумму, отбрасывая остаток и совершая при этом ошибку, величину которой можно оценить. В результате, для обеспечения высокой точности расчета кажущегося сопротивления по алгоритму, предложенному В.А.Филатовым, при широких пределах изменения p2/Pi do~4+io4) необходимо использовать достаточно большое число членов соответствующих бесконечных рядов, а затем к полученному результату прибавлять поправку, эквивалентную отброшенным членам ряда.

Ю.А.Дашевский использует преобразование Эйлера для вычисления плохо сходящихся несобственных интегралов от осциллирующих функций Отрезок числовой оси, в пределах которого вычисляется интеграл, разбивается на интервалы, концами которых являются нули подинтеграпьной функции. Тогда абсолютные значения интегралов по участкам знакопосто-янства подинтеграпьной функции являются членами знакопеременного ряда, для вычисления которых используются квадратурные формулы. Погрешность при вычислении интеграла практически определяется числом корней осциллирующей функции. Предложенный способ дает высокую точность расчетов рк в т.ч. для больших разносов (г/Л 130 тыс.) при высокой контрастности разреза ( ю"3 < р2 / pj < ю4 ) А.А.Рыжов предлагает вычислять интеграл (1) как сумму произведений ядрат^ (ш) на коэффициенты Di заранее вычисленные для каждого разноса г. Если имеется интеграл

J = J f(z) Jx{az) dz (2)

о

то функцию £(z) можно аппроксимировать набором функций, интегралы от которых представляются в аналитическом виде, т.е. легко вычисляются значения

ъ

ln = j ^i(z) Jl{az) dz ,i-i, . . . ,N . (3)

а

Алгоритм численного интегрирования можно записать в виде Значения коэффициентов Di для каждого разноса ij вычисляются заранее

I — ( D , ?(z) ) - Y, Di'flZi) (4)

и хранятся в оперативной памяти ЭВМ. Ядро/(г) несет информацию о разрезе. Точность вычисления интеграла (2) определяется точностью аппроксимации функции f(z).

В заключение параграфа приводится описание наиболее распространенного в настоящее время способа расчета кривых электрических зондирований - метода линейной фильтрации. Первые сообщения о методе появились в печати в 1967-1973 гг.(D.P.Ghosh, 1971, P.Salat, 19671968, W.Anderson, 1973, В.Н.Страхов, 1969), хотя впервые идея была высказана Г.Кунецом (G.Kunetz) в 1966 г. В литературе были опубликованы как способы расчета линейных фильтров, так и сами фильтры (Абрамова, Андерсон, Гош, Куфуд, Иохансен). Из последних публикаций на эту тему следует отметить подробную работу В.А.Шевнина. Идея метода линейной фильтрации проста. Исходный интеграл Ханкеля (1) путем замены переменных преобразуется в интеграл свертки, который после дискретизации приводится к виду линейного фильтра. Формула линейного фильтра для расчета кажущегося сопротивления имеет вид:

РkUj) = Р! Е RUj-k)-Gk , (5)

к = 1

где Я - кернел-функция, зависящая от параметров разреза и значений абсциссы х, в - коэффициенты фильтра, число которых N. г - полуразнос питающих электродов, а его индекс. Нам представляется, что на современном этапе именно алгоритм линейной фильтрации является наиболее эффективным аппаратом для вычисления кажущегося сопротивления при решении прямой задачи электрических зондирований в слоистой среде, а также, в силу своей быстроты и точности - для решения обратной задачи ВЭЗ.

Во втором параграфе приводится обзор алгоритмов решения обратной задачи ВЭЗ. Здесь рассматриваются различные подходы к интерпретации ВЭЗ на ЭВМ, такие как метод снятия слоев, метод подбора, информационно-статистический подход к обратной задаче ВЭЗ. Область интерпретации результатов электрических зондирований в слоистых средах в настоящее время продолжает активно развиваться, что связано не только с

развитием теории, но главным образом, с совершенствованием вычислительной техники, в частности - с появлением персональных ЭВМ.

Широкую известность в электроразведке получили так называемые "прямые" методы интерпретации. Впервые идея такого метода была высказана американским математиком Л.Слихтером в 1933 г., когда он показал, что представление рк(г) в виде интеграла Ханкепя (1) обратимо, и по кривой рк(г) может быть рассчитана трансформанта ^(т) проще связанная с параметрами разреза, я(л?) допускает последовательное определение параметров разреза сверху вниз. Разработкой программ интерпретации ВЭЗ на ЭВМ на основе идеи метода снятия слоев занимались Н.Г.Шкабарня, Б.К.Матвеев, В.П.Колесников (Пермь, ЛГУ), В.А.Ряполова (Москва, ЦНИИС), Ю. Д. Ростовщиков (Казань, ВНИИГеолнеруд).

Алгоритм подбора наиболее широко используется в обратных задачах геофизики, поэтому в обзоре ему уделено наибольшее внимание. Приводится блок-схема алгоритма подбора и обсуждаются его отдельные элементы - способы поиска поправок в параметры, эффективное решение прямой задачи. В обзоре рассматривается автоматизированный подбор в рамках многослойных моделей по способу А.Зохди.

Еще одним подходом к решению обратной задачи ВЭЗ является информационно-статистический, который разрабатывался в нашей стране главным образом в работах Ф.М.Гольцмана, его сотрудников и учеников (Т.Б.Калинина, Л.Н.Порохова и др.). Предполагается, что все геофизические наблюдения содержат случайные ошибки (помехи), и поэтому сами оказываются случайными величинами, статистический подход развивает алгоритмы решения обратной задачи, снижающие влияние случайных ошибок измерений геофизических попей и позволяющие определить возможные ошибки оценки параметров разреза, вызванные наличием ошибок измерений, т.е. оценить эффективность интерпретации.

Глава 2. Пряная задача электрического зондирования горизон-тапьно-споистого разреза для произвольной установки В главе предлагается алгоритм решения прямой задачи зондирования для произвольной установки, основанный на том, что разность потенциалов между приемными электродами получается путем интегри-

рования напряженности электрического поля. Разность потенциаловд0м„ представляется в виде:

AUMlt = AU*j ~ А u£N ,

(б)

re ДUyN — U( rAM) -U(zAN) = f E(r)dr ,

Г АН

rBN

AUMBN=U(rSM) - U(rBN) = fE(r)dr ,

a E(z) - напряженность электрического поля точечного источника, расположенного на поверхности горизонтально-слоистого разреза. Для вычисления электрического поля во всем диапазоне разносов, характеризующих данную электроразведочную установку, используется прямая задача для установки Шлюмберже:

E(r) ~ Р*(ГУ

2 кг'

где р*(г) - кривая ВЭЗ над данным геоэлектрическим разрезом, рассчитанная методом линейной фильтрации. По полученным значениям рк(г±) проводится кубический сплайн. Далее производится интегрирование функции Е{х) , для чего на каждом интервале [ х± , rltl ] разносов, изменяющихся с геометрическим шагом, характерным для данного фильтра, вычисляется первообразная Fi(x) = |"я(г) dr. На заключительном этапе происходит интегрирование в конечных пределах, согласно (6).

Настоящий алгоритм реализован в виде программы DVESU на языке Паскаль на персональном компьютере IBM PC. Программа позволяет решать прямую задачу для произвольно расположенных питающих и приемных электродов. Главными достоинствами алгоритма являются:

- точное решение прямой задачи электрического зондирования для разрезов любой контрастности;

- возможность использования при этом произвольных установок; для таких "обычных" установок, как Шлюмберже, Веннера, дипольной, сетка разносов может быть любой, например, арифметической, (в

отличие от разносов для линейных фильтров, меняющихся в геометрической прогрессии);

- время, затрачиваемое на расчет кривой по описываемому алгоритму, незначительно превосходит время, необходимое для расчета с помощью линейных фильтров. Это позволяет использовать наш алгоритм для решения обратных задач электрического зондирования с произвольными установками и в случае сильноконтрастных разрезов.

Глава з. Автоматизированная интерпретация ВЗЗ в слоистых средах

на основе метода подбора

В первом параграфе рассмотрен опыт применения нами метода наискорейшего спуска - одного из наиболее распространенных способов многомерной оптимизации при автоматизированном подборе параметров разреза. Изложен традиционный подход к использованию метода, перечислены практические дополнения, связанные с логарифмическим характером сопротивлений и способ борьбы с расхождением метода при малых невязках.

Отмечены как достоинства метода наискорейшего спуска (устойчивость алгоритма, быстрая сходимость от больших невязок к малым), так и его недостатки, к которым относится медленная сходимость при малых значениях невязки, а также возможность попадания в локальный минимум в процессе подбора.

Второй параграф посвящен частным производным кажущегося сопротивления по параметрам разреза. Здесь проводится корреляция между величиной производной и влиянием данного параметра на кривуюр*(г) в выбранном интервале разносов, рассматривается проявление эквивалентности в пределах одного слоя на графиках производных.

В третьем параграфе рассматривается линеаризация обратной задачи. Известно, что одним из способов поиска поправок в параметры модели при осуществлении подбора является метод Ньютона. Он заключается в том, что в окрестности текущего начального приближения^ нелинейный оператор прямой задачи заменяется линейным оператором. В результате для вычисления поправок в параметры необходимо решить систему линейных уравнений. Основное преимущество линеаризованной обратной задачи заключается в том, что для линейных задач существуют

хорошо разработанные методы и алгоритмы их решения.

В четвертом параграфе предлагается способ осуществления инверсии при решении системы линейных уравнений. Если записать исходную систему в виде:

А х = В . (7)

где ФГФ=А, Фт?=в, Ф - матрица логарифмических частных производных, Я - вектор поправок в параметры, у - вектор невязок (расхождения между теоретической и экспериментальной кривыми р*(г) ), тогда для решения системы вместо вычисления обратной матрицыА-1 строится так называемая псевдообратная матрица А*. Для этого матрицад подвергается сингулярному разложению:

А = и Л ит , <8)

где Л - диагональная матрица собственных значений, а и - матрица собственных векторов. Псевдообратная матрица рассчитывается так:

А+ = и Л"1 ит . О)

Матрица обратная к Л тоже диагональная, каждый ее чпен равен1/Х1 (где Xi - собственные значения матрицы Л) . Эта операция выполнима, если \х не слишком малы. В противном случае, нулевые и очень маленькие собственные значения отбрасываются, а количество оставшихся составляет так называемый ранг матрицы г. Ранг матрицы показывает число независимых параметров, которые могут быть определены при решении обратной задачи. Е^ли определяется большее число параметров, то они окажутся корреляционно связанными между собой. Используемый способ псевдообращения позволяет решать систему уравнений, если определитель матрицы близок к нулю (например, в случае эквивалентности между параметрами одного слоя или слабого влияния какого-либо параметра на кривую

Гпава 4. Квазитрехмерное моделирование методом интегральных уравнений

Метод интегральных уравнений (МИУ), основанный на идее вторичных зарядов, был предложен Л.М.Альпиным. В последующие годы разработкой этого метода применительно к электроразведке занимались В.И.Дмитриев, К.Е.Ермохин, В.К.Хуторянский и др. За последние несколько пет на

кафедре геофизики МГУ И.Н.Модиным и А.Г.Яковлевым сделан значительный вклад в теорию метода интегральных уравнений, кроме того, накоплен богатый опыт его практического применения.

В первом параграфе настоящей главы излагаются основные положения метода интегральных уравнений. МИУ предполагает замену неоднородной среды однородной с вторичными зарядами. Вторичные заряды индуцируются под действием первичного поля источника в местах нарушения сплошности среды, т.е. на границе неоднородности. Суммарное попе питающих электродов и вторичных источников в однородной среде создает электрическое поле, эквивалентное полю, возникающему в неоднородной среде. Электрическое поле такой модели можно представить в виде суммы нормального поля питающих электродов в однородном попупространстве£0 (связанного с горизонтально-слоистой частью разреза) и аномального поля Евт, создаваемого вторичными зарядами, распределенными по поверхности неоднородности. Таким образом, попе в точке наблюдения представляется в виде:

Е(М) — Е° (М) - | дга<1м(3.(Р, М) • 18 (Р) , (10)

у

где М - точка наблюдения, Р - точка на границе неоднородности у ,Е0 - нормальное электрическое поле в слоистом разрезе, 0(Р,М) - функция Грина горизонтально-слоистого разреза (потенциал в точкеА? единичного токового источника, расположенного в точке Р), 1Б(Р) -интенсивность поверхностного вторичного источника тока в точкеР (она равна величине электрического тока, стекающего с единичной площади поверхности у)- При численном решении интегральные уравнения преобразуют к системе линейных алгебраических уравнений. Для этого поверхность неоднородности разбивают на элементарные ячейки, полагая, что искомая интенсивность вторичных источников 1В и первичное попе в пределах ячейки остаются неизменными. Во втором параграфе

рассматривается задача о попе точечного источника постоянного тока на поверхности проводящего полупространства, содержащего двумерную неоднородность. Такого рода задачи, двумерные по объекту и трехмерные по источнику, получили название квазитрехмерных. Формально решение прямой задачи здесь можно получить, используя аппарат трехмерного моделирования. Однако, вычислительные затраты при этом будут того же, или'более высокого порядка, что и при моделировании электрического

попя в присутствии трехмерных неоднородностей. более эффективным является подход, основанный на разложении попя на составляющие, гармонически меняющиеся в направлении простирания структур. Этим способом квазитрехмерная задача сводится к ряду двумерных задач в спектральной области для соответствующего набора пространственных частот. После решения прямой задачи на уровне спектров электрическое поле в реальном пространстве вычисляется с помощью обратного преобразования Фурье. Такой подход позволяет сократить время расчета электрического попя точечного источника в двумерных средах на несколько порядков.

Описанный алгоритм был реализован в виде программы. Тестирование и дальнейший опыт работы позволили сделать несколько принципиальных выводов.

Во-первых, квазитрехмерное моделирование дает те же качественные результаты, что и чисто трехмерное моделирование, сохраняя формы аномалий от неоднородных объектов. При этом затраты машинного времени при квазитрехмерном моделировании существенно меньше. Во-вторых, в подавляющем большинстве случаев на практике хватает чисто двумерного моделирования - линейные источники и линейная среда (нулевая пространственная гармоника для квазитрехмерного моделирования). При этом затраты времени на несколько порядков меньше, чем в трехмерном случае. Это. послужило стимулом к созданию программы двумерного моделирования, 1Е2ЯЬ (авторы И.Н.Иодин и А.Г.Яковлев), которая на протяжении нескольких пет успешно используется на кафедре геофизики МГУ и в различных геофизических организациях. В-третьих, был сделан вывод о том, что для точечного источника следует решать задачу в спектральной области как двумерную, а затем, проведя обратное преобразование Фурье, восстанавливать потенциал и электрическое поле. Тем самым исходная трехмерная задача в пространственной области сводится к набору более простых двумерных задач для спектров искомых величин (плотностей вторичных источников, электрических полей и потенциалов).

Глава 5. Прямая задача метода сопротивлений для тонкого,

произвольно ориентированного пласта в двумерной среде

В первом параграфе обосновывается необходимость решения прямой задачи электроразведки для двумерных сред, содержащих неоднородности в виде тонкого пласта, толщина которого мала по сравнению с его

длиной. Например, такого рода задача возникает если среда содержит горную выработку или угольный пласт. Использование программы двумерного моделирования методом интегральных уравнений в случае неоднородной среды, содержащей тонкий пласт, затруднительно. В этом случае вторичные источники, необходимые для моделирования тонкого пласта, должны иметь малые размеры, сравнимые с толщиной пласта. Это приводит к увеличению количества вторичных источников и, следовательно, резко увеличивает размерность задачи. Указанную трудность можно обойти, аппроксимируя тонкий пласт цепочкой диполей.

Далее рассматривается модель тонкого пласта в однородном полупространстве и записываются интегральные уравнения для линейной плотности вторичных источников, для чего поверхность ппаста разбивается на ячейки. Согласно теории МИУ, электрическое попе в точке расположения вторичного источника создается, во-первых, полем первичного источника тока и, во-вторых, всеми прочими вторичными источниками.

Показано, что источники, создающие вторичное попе на данном элементе разбиения, делятся на три различных класса. Во-первых, это источник, расположенный напротив данного элемента на противоположной грани пласта. Его вклад во вторичное попе наиболее существенен, и его попе следует вычислять как попе линейного источника. Второй класс составляют источники, расположенные на противоположной грани в так называемой "ближней зоне", удовлетворяющей геометрическому условию г/Л < 5, Л-толщина ппаста, r-расстояние между вторичным источником и элементом-приемником. Эти источники можно аппроксимировать точечными источниками, расположенными в центрах элементов разбиения. В третьей, так называемой "дальней зоне" (r/h г 5), находятся дипопьные вторичные источники. Здесь элементы, расположенные на противоположных гранях друг напротив друга являются полюсами и составляют систему зарядов типа "диполь". Именно такими источниками и покрывается основная часть поверхности ппаста. Приводятся выражения для вычисления поля для всех трех классов вторичных источников.

Во втором параграфе приводятся результаты тестирование программы, использующий данный алгоритм и очерчивается область ее применения.

В заключении диссертационной работы сформулированы следующие защищаемые положения.

1. Универсальный алгоритм решения прямой задачи ВЭЗ на основе линейного фильтра для установки Шлюмберже позволяет точно рассчитывать кривую зондирования для произвольной установки и разреза большой контрастности.

2. Настоящий алгоритм можно использовать для решения обратной задачи ВЭЗ и интерпретации данных с любыми установками.

3. Решение обратной задачи ВЭЗ методом Ньютона является более эффективным по сравнению с методом наискорейшего спуска. Для обращения полученной матрицы системы линейных алгебраических уравнений можно использовать алгоритм сингулярного разложения матриц, обладающий возможностями регуляризации и оценки числа независимых параметров.

4. Моделирование методом интегральных уравнений двумерных неоднородностей в поле точечных и линейных источников характеризуется следующими особенностями:

- для квазитрехмерной задачи (с точечным источником в двумерной среде) следует рассчитывать попе в спектральной области с последующим переходом в пространственную, это будет экономичнее, чем трехмерное моделирование;

- для вытянутого включения результаты моделирования поля линейных и точечных источников аналогичны, поэтому для расчетов в подобных случаях рекомендуется пользоваться двумерным моделированием, т.к. оно значительно проще и быстрее квазитрехмерного.

5. Использование метода поверхностных интегральных уравнений в обычном виде для вычисления электрического поля в среде, содержащей двумерный тонкий пласт, неэффективно. В этом случае следует аппроксимировать пласт цепочкой дипольных источников. Это позволит уменьшить число решаемых интегральных уравнений и сократить время счета.

Отметим, что реализация перечисленных положений в той или иной степени расширяет возможности электроразведки на постоянном токе. Так, например, универсальный алгоритм решения прямой задачи ВЭЗ дает возможность интерпретировать данные, полученные для любой практической установки. Двумерная программа по методу интегральных уравнений является одним из главных инструментов моделирования в неоднородных

средах. Шагом по пути усложнения модели является реализация в рамках программы двумерного моделирования алгоритма вычисления поля тонкого пласта.

Таким образом, подходы и алгоритмы, составившие предмет настоящей работы, развивают математическое обеспечение интерпретации и моделирования электроразведки.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. БЕРЕЗИНА С.А., МОДИН И.Н. Прямая задача метода сопротивлений для тонкого, произвольно ориентированного пласта в двумерной среде /Деп. в сб. "Мат-пы XIX науч. конф. моп. уч. и асп. Геоп. ф-та МГУ", 1993

2. РОГОВА С.А., ШЕВНИН В.А. Программа автоматической интерпретации данных ВЭЗ на основе псевдообращения / Деп. в сб. "Мат-пы XV науч. конф. мол. уч. и аспир. Геол. ф-та МГУ", Дел. в ВИНИТИ, per. Nä 6253-В88, 12 с.

3. РОГОВА С.А., ШЕВНИН В.А., ЯКОВЛЕВ А.Г., МОДИН И.Н. Алгоритм моделирования попя линейных источников вблизи двумерной неоднородности / Деп. в сб. "Мат-пы Xiv науч. конф. моп. уч. и аспир. Геоп. ф-та МГУ", Деп. в ВИНИТИ, per. №853-В885, 5 с.

4. РОГОВА С.А., ШЕВНИН В.А., ЯКОВЛЕВ А.Г., МОДИН H.H. Алгоритм моделирования попя точечного источника постоянного тока вблизи двумерной неоднородности / Деп там же, б с.

5. РОГОВА С.А., ШЕВНИН В.А., ЯКОВЛЕВ А.Г., МОДИН И.Н. Расчет попя точечного и линейного источников постоянного тока вблизи двумерной неоднородности / Межвузовский сборник "Геофиз. методы поисков и разв. рудных и нерудн. месторожд.", Свердловск, СГИ, 8с.

6. РОГОВА С.А., ЯКОВЛЕВ А.Г. Прямая задача электрического зондирования горизонтально-слоистого разреза для произвольной установки / Деп. в cb. "Мат-пы xvin науч. конф. моп. уч. и аспир. Геоп. ф-та МГУ", Деп. в ВИНИТИ, per. № 588-В92, 8 е., Вестник Моск. Ун-та. Сер. 4, Геология. 1992. № б.

7. ШЕВНИН.В.А., ЯКОВЛЕВ А.Г., МОДИН И.Н. и др. Методика и программное обеспечение интерпретации данных метода сопротивлений / "Геофиз. исследования в гидрогеоп. и инж. геологии". Тр. Гидроингео, Ташкент: САИГИМС, 1991г.

8. Электрическое зондирование геологической среды. Часть 1,2. / Под ред. В.К.Хмепевского и В.А.Шевнина. М., 1988,1992.