Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Интегральные преобразования и обобщенные функции в задачах сопряжения стационарных тепловых полей

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Интегральные преобразования и обобщенные функции в задачах сопряжения стационарных тепловых полей"

российская академия наук уральское отделение

р Г Б 0 Институт геофизики

ЛАДОВСКИЙ ИГОРЬ ВИКТОРОВИЧ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ СОПРЯЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ

Специальность: 04.00.22 — ФИЗИКА ТВЕРДОЙ ЗЕМЛИ

Автореферат

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

2 1 М£

На правах рукописи

ЕКАТЕРИНБУРГ 1998г.

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте геофизики Уральского отделения РАН

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущее предприятие:

доктор физико-математических наук, профессор! К.А.Любимова"!

доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Мезенцев,

кандидат физико-математических наук Н.И.Начапкин

Челябинский Государственный университет (ЧелГУЗ

Защита состоится ЖЭ чсЩ1998г.

в часов на заседании специализированного совета Д 003.31.01

при Ордена Трудового Красного Знамени Институте геофизики Уро РАН по адресу: Б20219, г. Екатеринбург, ГСП-144, ул. Амундсена, 100.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института геофизики УрО РАН

Автореферат разослан _ _ 1998г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук профессор

Ю.В.Хачай

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В теории геотермических исследования стационарное уравнение кондуктивной Сили молекулярной) теплопроводности применяют для моделирования температур и тепловых потоков в верхней части земной коры [Тихонов 1937; Любимова 1968; Кутас, Гордиенко 1971; Гордиенко 1975; Кутас 1978; Сальников 1984; Кутас, Цвяшенко, Корчагин 1989] В такой модели задействованы два теплофизических параметра, характеризующие вещественный, состав горных пород - теплогенерация и теплопроводность. Теплопроводность X (сама функция и ее градиент) являются коэффициентами в левой, операторной части уравнения теплопроводности; теплогенерация о, как истокообразная функция сторонних сил, входит в его свободную правую часть. Если теплопроводность постоянна, то неоднородное распределение источников а не создает принципиальных затруднений при решении тепловых задач, поскольку алгоритмически они просто совпадают с известными задачами гравитационного потенциала для массовой плотности о А [Шванк, Люстих 1947; 31лтопа 1967; Кутас 1978; Сальников 1984]. Напротив, скачкообразное изменение теплопроводности х в моделях кусочно-однородных сред сопровождается разрывом, коэффициентов дифференциального оператора в уравнении теплопроводности. В окрестности таких разрывов не сохраняются дифференциальные соотношения между функциями теплового поля - их заменяют контактные условия сопряжения. Условия теплового сопряжения или граничные условия IV рода - это гауссов интеграл от операторной части уравнения теплопроводности по границам разрыва его коэффициентов, т.е. по границам разнотешшровод-ного контакта [Гринберг 1950; Дмитриев 1969; Фейнман, тт. 5,7 1977; Ландау, Лифшиц 1986, Светов, Губатенко 1988]. Условия IV рода задают непрерывность температур и конечный скачок нормальной составляющей температурного градиента на сопредельных границах раздела сред.

Разрывный характер изменения теплофизических свойств среды и вытекающая из него необходимость постановки условий сопряжения на границах кусочно - однородных сред - вот сдерживающий фактор применения методов классического анализа. Дело в том, что в эти условия не входят явные значения граничных функций; указана лишь степень гладкости сопрягаемых на границах тепловых полей. Ветви кусочно - гладкого решения тепловой задачи удовлетворяют системе частных уравнений, каждое из которых задано в своем пространственном базисе, но не замкнуто граничными условиями. В результате

утрачивается существенная часть классического формализма решения краевых задач. Как в методе разделения переменных, так и в идеяно близком ему методе интегральных преобразований возникает принципиальный вопрос о "сшивании" частных решений, построенных по различным системам собственных функций задачи Штурма - Лиувилля [Гринберг 1948; Лебедев и др. 1955]. Как правило, интегральные преобразования в конечных Сили в бесконечных) пределах не применяют по тем пространственным переменным, в направлении которых свойства среды меняются скачкообразно [Гринберг, 1950; Снеддон 1955; Трантер 195Б; Уфлянд 1977].

Идеи альтернативной постановки граничных задач сопряжения, с некоторой разницей в их исполнении, выдвигались неоднократно [Гринберг 1950; Дмитриев 1969; Светов, Губатенко 1988]. Разрыв коэффициентов в дифференциальном уравнении не обязательно сводить к граничным условиям; можно, не меняя уравнение, доопределить особенности коэффициентов на границах раздела при помощи разрывных дифференцируемых функций, типа функции Хевисаяда [Ладовский 1988; Ладовский 1990]. В основе такого подхода лежат эвристические построения, заимствованные из теории обобщенных функций. "Если рассматривать уравнение краевой задачи на пространстве обобщенных функций, то в этом случае нет необходимости вводить на каких - либо особых поверхностях специальные граничные условия, достаточно понимать ... дифференциальные операторы в обобщенном смысле" [Светов, Губатенко 1988, стр 21].

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы на основе функционального определения разрывного коэффициента теплопроводности, обобщить метод интегральных преобразований на случай скачкообразного изменения свойств среды и построить аналитическое решение двумерных задач теплового сопряжения в системах криволинейных координат, допускающих разделение Переменных в уравнении Лапласа.

Основные задачи исследования.

1. Обоснование эвристических предложений, позволяющих применить аппарат теории обобщенных функций для решения уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами.

2. Разработка аналитического алгоритма метода "сквозного счета" для решения контактных задач теплового сопряжения в моделях кусочно - однородных сред, границы которых принадлежат одно-параметрическому семейству плоских кривых.

3. Определение круга прикладных задач, решение которых в на-

иболее общей постановке для "естественной" системы криволинейных координат можно получить в замкнутом аналитическом виде.

4. Подбор фрагментарных моделей, на примере которых отчетливо видны основные тенденции в характере перераспределения теплового поля в геотермическом разрезе кусочно - однородных сред.

Основные результаты и научная новизна работы.

1. Предложен нетрадиционный способ постановки и аналитического решения задач линейного сопряжения стационарных тепловых полей в кусочно - однородных средах. Применение обобщенных функций позволяет переформулировать условия теплового сопряжения на границах контакта разнотеплопроводных сред и построить конструктивную схему аналитического алгоритма по принципу "сквозного счета".

2. При помощи комбинации ступенчатых функций Хевисайда выписана явная зависимость кусочно - однородного распределения теплопроводности от координат и определено прямое значение разрывного коэффициента теплопроводности на границах раздела. По обобщенным производным этого коэффициента построено граничное распределение источников эквивалентного простого слоя так, что условия сопряжения тепловых полей (равенство температур и нормальных составляющих плотности теплового потока ) выполняются тождественно.

3. Развит общий подход к постановке и решению граничных задач с условиями I, и и IV рода. Однородные граничные задачи Дирихле или Неймана внутри замкнутой Сили полуоткрытой) области можно рассматривать, как частные случаи постановки задач теплового сопряжения в расширенном пространстве изменения переменных при бесконечно - большой или нулевой величине коэффициента теплопроводности внешних сопредельных областей.

4. Дано обобщение и расширена область применения интегральных преобразований в конечных пределах на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование.

5. Получено явное аналитическое выражение для функции Грина в слоистой среде, границы которой принадлежат однопараметрическо-му семейству изокоординатных поверхностей ортогональных криволинейных координат. В задаче для погруженного цилиндра предложен нетрадиционный способ интерпретации решения по методу "зеркальных изображений". Построена схема размещения фиктивных особенностей поля при отражении источника от плоских кривых семейства коничес-

ких сечений.

6. На основе понятий обобщенных функций формализовано определение объемной плотности тепловых источников, отвечающее тому или иному типу их распределения. Приведено ассимптотическое выражение для объемной плотности "источников внешнего однородного поля". Построены интегральные свертки функции Грина и плотности распределения тепловых источников для тех моделей, которые встречаются в геотермических приложениях.

7. Дано решение термической задачи для горизонтального кругового цилиндра, расположенного под плоскостью разнотеплопровод-ного контакта. Проанализировано влияние границы раздела на аномальное поле температур и тепловых потоков в окрестности изолированных тел. По схеме метода изображений построен ряд последовательных приближений решения задачи для погруженного эллиптического цилиндра. Предложен физический критерий оценки точности полученных решений.

8. Промоделировано распределение тепловых полей в слоистой среде, границы которой в вертикальном сечении принадлежат семейству конфокальных полуэллипсов. Показана роль структурно - морфологического фактора блочного строения разреза и его проявление в региональных аномалиях глубинной и эндогенной составляющих теплового потока.

■ Практическая значимость результатов выполненной работы.

Усовершенствована и доведена до практической реализации методика решения краевых задач линейного сопряжения для кусочно -однородных сред. Это расширяет возможность и унифицирует способы получения явных аналитических решений классических задач математической физики с граничными условиями х, ни XV рода.

Разработана конструктивная схема численной реализации некоторых фрагментарных понятий теории обобщенных функций. Алгоритмы использованы в пакетах прикладных программ для совместной интерпретации гравимагнитных и тепловых аномалий однотипной источнико-вой природы Смассовой плотности, намагниченности и теплогенера-циЮ. Программы внедрены для производства изыскательских работ в НПО "Рудгеофизика".

Дппробация работы. По теме диссертации лично и в соавторстве опубликовано 15 работ. Основные результаты работы докладывались на следующих совещаниях и конференциях: Всесоюзном геотермическом совещании " Применение геотермии в региональных и поисково - раз-

ведочных исследованиях" Свердловск 1979; Республиканской научно -технической конференции молодых геофизиков, Ленинакан, 1980; VII научно - технической конференция молодых геофизиков, Киев, 1982; региональной конференция "Геотермия и ее применение в региональных и поисково - разведочных исследованиях" Свердловск 1989; vi Уральской научно - практической конференции "Применение математических методов и ЭВМ при обработке информации на геологоразведочных работах", Челябинск, 1989; информационном совещании "Достижения науки - производству", Свердловск, 1989; 18 сессии Всесоюзного семинара им. Д.Г. Успенского "Вопросы геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий", Киев, 1989; Всесоюзном семинаре им. Д.Г. Успенского "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий", Днепропетровск, 1991; межреспубликанском совещании "Геотермия сейсмичных и асейсмичных зон", республика Кыргыстан, 1991; международном семинаре "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей", Москва,1993.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения; содержит 305 страниц машинописного текста, включая 30 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 186 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается идейная сторона математической постановки граничных задач линейного сопряжения и обсуждаются методы их решения; обосновывается актуальность проблемы и излагается цель и основные направления исследований диссертационной работы.

В первой главе сформулирована постановка стационарных задач теплового сопряжения для моделей кусочно - однородных сред. По принятой классификации [Морс и Фешбах 1960; Галицын, Жуковский 1976; Цирульский 1990] - это граничные задачи линейного сопряжения в теории потенциальных полей, или граничные задачи с условиями IV рода. Расширена область определения дифференциального оператора уравнения теплопроводности на пространство обобщенных функций [Земанян 1974; Светов, Губатенко 1988] и предложена альтернативная схема учета граничных условий сопряжения на границах разнотеплопроводных сред [Ладовский 1988]. В классе однопарамет-рического семейства границ раздела функционально заданный разрыв коэффициента теплопроводности позволяет отказаться от контактных условий теплового сопряжения и заменить их строгим математическим эквивалентом. Уравнение теплопроводности с разрывными (сингуляр-

ними) коэффициентами решается методом "сквозных" интегральных преобразований, заданных над полем регулярных обобщенных функций медленного роста.

1.1.Б неравномерно нагретой неподвижной сплошной среде, когда перепад температуры между составляющими ее частями не слишком велик, тепловой поток и градиент температуры связаны линейным соотношением - законом теплопроводности Фурье [Франк и Мизез 1937; Карслоу 1947 Лыков 1967]; X коэффициент теплопроводности изотропной среды * = С1Л)

Б стационарном приближении тепловой поток удовлетворяет уравнению неразрывности

д = - сШг (XVI) = а (1.2)

В рамках линейного закона Фурье возможно описание теплопереноса в среде с бесконечно большой или малой теплопроводностью. При х ♦ » градиент температуры в среде стремится к нулю, а распределение температур будет изотермическим. При X ♦ о кондуктивная составляющая теплового потока равена нулю. Предельные соотношения между шлем температур и тепловых потоков в идеально теплопроводящей и идеально теплоизолированной среде можно рассматривать в качестве естественных граничных условий для уравнения С1.2). В геотермических моделях кусочно - однородных сред идеально проводящий или теплоизолированный контакт соответствует постановке однородных граничных условий по температуре Сзадача Дирихле) или по тепловому потоку Сзадача Неймана) для сопредельных областей.

1.2.Модели кусочно - однородных сред характеризуются разрывным (кусочно постоянным) коэффициентом теплопроводности х. Решение уравнения теплопроводности (1.2) с разрывными (сингулярными) коэффициентами существует в классе регулярных обобщенных функций [Земанян 1974]. Математической поверхностью разрыва для коэффициента теплопроводности (и градиента температуры) служит граница разнотеплопроводного контакта. Определив значение теплопроводности на поверхности разрыва при помощи обобщенных функций скачка, получаем редуцированное уравнение граничной задачи, в которого источники эквивалентного простого слоя заменяют условия теплового сопряжения [Ладовскнй 1988].

1.3.На примере решения задачи для одномерной по теплопроводности модели горизонтально - слоистой среды продемонстрирован метод решения редуцированного уравнения теплопроводности при помощи "сквозных" интегральных преобразований, заданных над расширенным пространством функций медленного роста. Найдено распределение

плотности источников эквивалентного простого слоя на границах разнотеплопроводного контакта "и - слойного" разреза. В образах прямого преобразования Фурье решение граничной задачи для источников простого слоя сводится к задаче линейной алгебры - решению системы "я" линейных уравнений с невырожденным трехдиагональным определителем. Плотность простого слоя выражается через линейную комбинацию граничных градиентов известной функции "нормального" поля - функции послойной теллогенерации; коэффициенты линейной связи зависят от параметров строения слоистой структуры: мощности сопредельных слоев и контраста их теплопроводности.

1.4.Для источников геплогенерации О(и) построена ассимптоти-ка одномерного решения задачи и проанализирована зависимость восходящей составляющей теплового потока от теплопроводности 4-х слойного геотермического разреза. Параметры разреза заданы послойным распределением теплопроводности х и теплогенерации а (X*-теплопроводность покрывающей толщи верхнего полупространства)

!Х) Г при О < и < г,

X 1; О(г) = | О , при < г < г2 Х3] [ Оэ<2>» ПРИ < г < оо

Тепловой поток на условной границе раздела "земля - воздух" (я=о) дается выражением

Ч = ---;- {(1-31йп(Х2)]хК + т^-т- Б1яп(Хг)х(К+И)},

„ X - X ^ ->3 1 )

х + Х»81ВП(Х»>

где к и и - суммарная теллогенерация' источников, распределенных по горизонтальным слоям неоднородного разреза [Булашевич 1983] Если теплопроводность Х2 промежуточного слоя (г2- не равняется тождественно нулю (51еп(Х2) = 1), получаек

х*

д(0) - (К + М) = и (К + М) (1.3)

X + хэ

Тепловой поток на уровне дневной поверхности зависит от тепловой проницаемости границы контакта "земля - воздух", т.е. от относительной теплопроводности х*Лэ полубесконечной толщи покровных образований и подстилающей толщи пород основания; "нормальная" теплопроводность Х2 промежуточного слоя конечной вертикальной мощности выпадает из одномерной модели. И если теплопроводность покровной толщи достаточно высока (X* » Хэ), то тепловой поток С1.3) на уровне дневной поверхности можно приравнять к суммарной теплогенерации нижележащих пород

д<0) = (к + м). С1.4)

Гипотетический случая равенства нулю теплопроводности Х2 (Б1ап<Х2) = 0) промежуточного слоя соответствует модели "обтекания" внешним тепловым потоком теплоизолированных тел

Ч(О) = К (1.5)

Тепловой поток, отдаваемый пачкой теплогенерирующих пластов в покрывающую толщу вышележащих пород не зависит от теплопроводности последней и пропорционален суммарной теплогенерации нижележащих пород вплоть до границы непроводящего контакта. Глубинная составляющая теплового потока перехватывается непроводящим экраном и не может выйти за пределы геотермического разреза. Такое приближение соответствует одномерной геотермической модели земной коры с нулевым потоком на границе г2> отделяющей кору от мантии [Тихонов 1937; Любимова 19Б8]. Учет мантийного потока при помощи глубинного граничного условия ) = д^ добавляет в решение С1.5) постоянную составляющую

<а(0) = к + с^ (1.6)

Обе модели (1.5) и (1.6) совпадают при = м, но в граничной задаче с заданным глубинным условием по потоку не удается выявить зависимость его восходящей составляющей от теплопроводности слоистого разреза.

Во-второй главе обосновывается применение криволинейных координат для решения граничных задач теплового сопряжения. Для горизонтального кругового цилиндра, расположенного под плоскостью контакта двух полубесконечных сред "естественной" координатной системой будет система биполярных координат [Морс, Фешбах 1960; Коппенфельс, Штальман 1963; Галицын, Жуковский 1976]. В геотермических приложениях модель погруженного цилиндра используется для оценки величины и степени пространственного затухания термоаномалий в окрестности локальных геологических объектов.

2.1. В плоскости {х,и> вертикального сечения цилидра уравнения граничных кривых (границы полупространства б0 и греницы кругового цилиндра 5к) записывается в каноническом виде:

Г Бй: г = 0

i x2 + и-н)г = к2,

где к - радиус, н - глубина до оси погруженного цилиндра.

Комплекснозначная функция координатных преобразований задает изоморфизм плоскости {х,г> на плоскость ia.fiу

*+!*= *!•*« (2±£*); (2.2)

где й = унчй - фокальный параметр сетки биполярных координат. В новой системе координат конфокальные границы (2.1) описываются

однопараметрическим семейством изокоординатных кривых ( V- а = 0

1 S„:<* = <?' б - коэффициент метрической трансформации

R = d cah(6); H = d cth(6). £2.3)

Области, ограниченные криволинейными границами so и sr плоскости {х + iz> отображаются на '2л - периодические по р горизонтальные полосы в плоскости ta + ift): верхнее полупространство z < о отображается на отрицательную верхнюю полуплоскость а < о-, внутренность погруженного цилиндра - на полубесконечную полосу а > б, его внешность - на конечную полосу osa s б. [Лебедев и др. 1955; Коппенфельс, Штальман 1963].

Координатное преобразование (2.2) предполагает не только изоморфизм геометрических объектов, но и соответствие операций. В системе биполярных координат уравнение теплопроводности имеет вид

Х(а) V2T(a,(?) + (vx-vt) + q(a,/?) = о, (2.4)

Функциональная зависимости разрывного коэффициента теплопроводности трехслойной среды аппроксимируется при помощи линейной комбинации ступенчатых функций Хевисайда

Х(а) = x* + (к - x*) U(a)+ <х - X) 1ксы5) (2.5)

где

Хт- теплопроводность покрывающей толщи верхнего полупространства;

теплопроводность вмещающей среды нижнего полупространства; Хг- теплопроводность погруженного цилиндра.

Физические компоненты вектор - градиента теплопроводности в биполярной системе координат выражаются через символические производные разрывной функции Х«х>

Vax - Тр: f(X -X'tficO+iX^X^fa-â)}; V- \ = о, ваа

так что

ч X _ _2 , „ .

Здесь Ув^ - метрический коэффициент Ламе ортогональной системы биполярных координат С^в^ = ); - Уваа врр - якобиан

координатных преобразований. Параметры теплопроводной контрастности с заданы комбинацией коэффициентов теплопроводности сопредельных слоев х - х* хх

—-- ; «= -2-(2.6)

х1+ X V ч

В уравнении (2.5) скалярное произведение векторов опреде-

лено как произведение их а - составляющих

т <» т Q(a,í3)

+ —_ +. - Vg- + V ф)6«х) + I'(¡Ь6(а~0) = О (2.7)

«Y? \<а>

Здесь ij*(í?>, - поверхностная плотность источников эквивалентного простого слоя; ее величина пропорциональна прямому значению нормальной производной температуры на границах разнотепло-проводного контакта

А/5>=2£* Ща.О- ^^ Ца* ™

2.2.Б системе криволинейных координат задача сопряжения для погруженного цилиндра сводится к решению редуцированного уравнения (2.7) для одномерной по теплопроводности трехслойной среды с объемным распределением тепловых источников Q(a,p)YB(a,f»'. Искомая функция температуры т(a.ft) определена в 2л - периодической по р открытой полосе |а| < Граничные условия задаются только на внешнем контуре слоистой области: температура ограничена на "положительной" бесконечности (внутри цилиндра) и имеет порядок роста не выше степенного на "отрицательной" бесконечности (верхнее полупространство); по р должно выполняться условие периодичности:

1Т(а,/Ы < ,при|а| * а; Т(а, /3) = Т(а, /?+2л) (2.9) Задача в постановке (2.7) - (2.9) решается при помощи "сквозных" интегральных преобразований по пространственным переменным акр. В классе обобщенных функций кусочно - гладкое решение редуцированного уравнения теплопроводности удовлетворяет как внешней, так и внутренней граничной задаче сопряжения. В классе непрерывно -дифференцируемых функций решение распадается на три разные ветви, одна из которых описывает распределение температуры т(а,/3) внутри (а >б), a другая - вне погруженного цилиндра в нижнем (о < а < б) и в верхнем (а < о) полупространствах. На границе раздела двух полупространств а = о и граничной поверхности цилиндра а = в температура меняется неперывно, а нормальная составляющая температурного градиента испытывает скачок с тем, чтобы компенсировать скачок коэффициента теплопроводности и обеспечить непрерывность нормальной составляющей теплового потока.

2.3.Модель полуограниченной среды с нулевой температурой на верхней граничной плоскости соответствует модели двух контактирующих полупространств при бесконечно большой теплопроводности покрывающей толщи X* » \ (£* — -i). Решение задачи для кругового цилиндра с контрастной теплопроводностью под плоскостью с нулевой температурой записывается в виде свертки функции "послойного" распределения тепловых источников Q(a,ft) («1 и Qz- источники вне и внутри цилиндра) и функции Грина g внешней Ср=х) и внутренней

(р=2) граничной задачи теплового сопряжения.

ги ___б Л

тр(а.р) = | | с; аг? + I 0г0).О о* ^ 1 (2.14)

о о Д

Для источников нормального (однородного) поля и источников <аг аномального поля (радиогенной и химической природы) выписаны развернутые решения тепловой задачи (2.14) и проанализированы вытекающие из них геотермические следствия.

2.4.Для внешнего сингулярного источника «о<0|о'/?о) (а0< б) получено разложение температуры в ряды логарифмических потенциалов по системе источников - изображений. Температура во внешности погруженного цилиндра эквивалентна полю (4к + 2) линейных источника (к =1, оо), попарно симметричных относительно изотермической граничной плоскости и = о. Декартовы координаты фиктивных особенностей поля удовлетворяют уравнениям координатных преобразований

Источники "к- го" приближения соответствуют отражению источников "нормального поля" (к = о) от граничных поверхностей зеркально симметричных цилиндров - образов

V-. Х2+ и 5 н,)2 =

где = й-свЬ(Ьб), н^ = <1-с№(1о5) -геометрические параметры конфокальных круговых цилиндров" к- го" порядка.

В третьей главе демонстрируется реализация нового аналитического подхода в задачах сопряжения для геотермических моделей многослойных сред. Для любой системы ортогональных криволинейных координат, разделяющих переменные в уравнении Лапласа [Лебедев и др. 1955; Морс, Фешбах 1960], редуцированная задача решается по стандартной схеме классических интегральных преобразований [Ла-довский 1990]. Вычислительная схема не требует априорных ограничений ни на количество разнотеплопроводных слоев, ни на характер распределения в них плотности тепловых источников.

3.1. Полупространство г > о ниже плоскости "нейтрального" слоя (граничной плоскости с постоянной температурой) заполняет слоистая среда, в вертикальном сечении которой границы разнотеплопроводных слоев бк (к = 1, 2 ..., ы) принадлежат единому семейству конфокальных полуэллипсов

г г

6Ь(Х,2): + = 1; а > О, (3.1)

а)< Ч г-Г

где а.к, ьк - главные полуоси "к-ого" полуэллипса; - = с -

общий для всего семейства тюлуэллипсов линейный эксцентриситет. Функция координатных преобразований

x+lz = c-ch<cc+i/}) (3.2)

отображает прямоугольную сетку плоскости ta+i/î} в ортогональную эллиптическую сетку на листах риммановой поверхности плоскости {x+iz}. Главная ветвь обратного (взаимно - однозначного) преобразования соответствует изоморфизму слоистой полуплоскости z s о на полуполосу а 2: О; О £ /1 £п; ПРИ этом ГраНИЦЫ полуэллипсов (3.1) отображаются в однопараметрическое семейство отрез ков « = о\

Откуда ^ = c-ch«5k)k; ь^ = c-eht^) (3.3)

Ступенчатое изменение теплопроводности и - слойной полосы задается линейной комбинацией функция Хевисайда и<со

00

\<a) = \ + £ \k> 0(a-6k), (3.4)

k=i

Разрыв теплопроводности С3.4) при a = бк трансформируется в пограничные источники эквивалентного простого слоя для уравнения редуцированной задачи теплового сопряжения

+ ^ + + I = С3.5Э

£_т

Плотность источников простого слоя пропорциональна параметру яу теплопроводной контрастности "к -го" и "к+1-го" сопредельных слоев и прямому значению нормальной производной температуры на границе разнотеллолроводного контакта

= Ш

I £ = СЗ.Б)

«'A k лк

Редуцированное уравнение (3.5) справедливо для любой части слоистого разреза, в том числе и на его внутренних границах а = бк; на внешних границах (контуре полуполосы а > о; о < р < п) формулируются однородные условия задачи Дирихле: температура на трех сторонах открытого прямоугольника равна нулю и ограничена в бесконечно удаленной точке

Т(а,0) = Т(а,п) = Т(0,(?) = О, при г(а,|?) =0 ^ ^

< 00 . 1хЫг1 *

3.2.Редуцированное уравнение (3.5) с явно заданным распределением сторонних источников <Иа,р)т^Г и индуцированным распределением источников простого слоя и(Р) решается методом сквозных интегральных преобразований. Для граничных условий (3.7) подходящим интегральным преобразованием по пространственным переменным а

и р будет дуальное синус - преобразование Фурье: конечное на отрезке р «5 [0,п] и обобщенное на полуоткрытом интервале а [0 »).

В пространстве "р" трансформант прямого преобразования Фурье функция температуры Т<а,п) выражается через спектральный интеграл "нормального" поля послойного распределения тепловых источников 5<а,п) и сумму источников простого слоя ик(п) на всех "ы" границах эллиптических слоев ы

Т(а,п> = Т° (а,п) + ^ £ е^А! - е-"<«+бк> (3.8)

Из граничных производных (3.6) имеем систему "н" линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ^(п)

— N

^ = С3.9)

где

[А] - квадратная матрица Яхя коэффициентов, заданных над полем регулярных обобщенных функций

» _ -п(б, «-<5 ) -п|б.-б.| ____ я .

А^ = е к 1-е 'к 11 в1еп<0к-0.);

|а=б ~ с™бец N х 1 свободных членов - граничных прок изводных температуры "нормального" поля

^ - е-п<б^> - -17» в1вв(<У

Г? = I 0(1?,П) --- ¿17?. (3.10)

I

Определитель системы (3.9)

Он = ае-Ь |Г 6<к,., - ^

обладает трехдиагональной структурой, что при любом физически содержательном законе распределения сторонних тепловых источников о (а,/?) позволяет найти явные (аналитические) значения неизвестной плотности простого слоя V на эллиптических границах; это линейные функции граничных градиентов (3.10) "нормального поля"

ы *—•

адьюнкты определителя ^ по элеметам его "к-го" столбца. Отношение (с^-^) называется структурным коэффициентом; им определяются морфологичесие особенности строения слоистой среды и характер перераспределения теплового поля по слоям неоднородного разреза [Ладовский 1990].

Ряды обратного а1паV?) - преобразования Фурье переводит образ функции температуры (3.8) в пространство кусочно гладких оригиналов т«х,р) решения граничной задачи теплового сопряжения.

З.З.Для внешнего сингулярного источника о,, выписан явный вид

функции Грина "ы - слойной" среды эллиптического цилиндра. Построена схема размещения фиктивных особенностей аномального поля для модели двуслойной и трехслойной среды по аналогии со схемой метода зеркальных изображений. Логарифмические особенности аналитически продолженного поля методом изображений соответствуют принципу симметрии Шварца [Цирульский 1990].

3.4.В системе эллиптических координат найден ассимптотичес-кий вид функции распределения "источников однородного поля" глубинного теплового потока и дан расчет тепловых полей в окрестности слоисто - неоднородных структурных впадин. Понижение теплового потока внутри приповерхностных впадин связано с экранирующим воздействием чередующихся по теплопроводности слоев.

3.5.Реализован морфологический переход к задаче с параболической геометрией и построено модельное распределение температур и тепловых потоков в разрезе выклинивающегося пласта переменной мощности. Под наклонным контактом разнотеплопроводных сред изменение градиента с глубиной и кривизна термограмм может быть объяснена влиянием структурно - морфологического фактора.

З.Б.Для слоисто - блокового строения геотермического разреза плотность теплового потока на дневной поверхности определяется не только интегральной теплогенерацией нижележащих пород, но также теплопроводностью и формой геологических структур. Для субвертикальных структурных блоков сильнее сказывается теплопроводность, для пологозалегащих - теплогенерация. Не имея априорной, например сейсмической, информации о параметрах залегания геологической структуры, разделить эти составляющие аномального поля практически не удается.

ОСНОВНЫЕ ЗАЩИЩАЕМЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Обосновано применение аппарата теории обобщенных функций и разработан метод решения граничных задач теплового сопряжения в моделях кусочно - однородных сред. Определение функциональной зависимости разрывного коэффициента теплопроводности и обобщение интегральных преобразований на случай скачкообразного изменения свойств среды позволяет расширить круг задач прикладной геотермии, решение которых записывается в замкнутом аналитическом виде.

2. На основе понятия изоморфных отображений, сформулирован общий принцип решения стационарных задач теплового сопряжения для моделей слоистых сред, границы которых принадлежат однопараметри-ческому семейству плоских кривых ортогональной системы криволинейных координат. Для конфокальных границ раздела биполярной гео-

метрии и границ конических сечений приведен явный вид аналитического решения задачи при произвольном законе распределения источников внешнего и внутреннего поля.

3. Получено решение термической задачи для горизонтального кругового Си эллиптического) цилиндра под плоскостью разнотепло-проводного контакта и на его основе промоделировано распределение температур и тепловых потоковв окрестности изолированных тел, выделяемых в геотермическом разрезе по контрасту теплопроводности и теплогенерации. Проанализирована иерархия признаков термической аномальности природных геологических объектов и, с этих позиций, дана оценка информативности геотермического метода разведки при поиске слепых рудных тел.

■4. Рассмотрены особенности проявления двойственной природы аномалий теплового потока над геологическими структурами различной морфологии. Для пологозалегающих структур более представительны источниковые аномалии внутренней, эндогенной природы; для субвертикальных - аномалии теплопроводного контраста, связанные с перераспределением внешнего теплового поля. По величине измеряемого теплового потока можно судить не только о вещественном составе горных пород геотермического разреза. В нем заключена информация об особенностях строения структурно - геологических комплексов земной коры.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах

1-Ладовский И-В. Диффузионное распределение концентрации гелия по скважине. В кн. Сборник трудов республиканской научно - технической конференции геофизиков. Ереван, 1эао, стр. ив - иэ.

2-Ладовский И-В. Опыт применения геотермического метода на одном из глубокозаяегающих месторождений колчеданных руд. В кн. Применение геотермии в региональных и поисково - разведочных исследованиях. УНЦ АН СССР, 1983, стр. 81 - 84.

3.Ладовский И.В. Температурное поле в полуограниченной среде с цилиндрической неоднородностью. В кн. Ядерно - геофизические и геотермические исследования в рудной и региональной геофизике. Свердловск. УНЦ АН СССР, 1985, стр. 33 - 44.

4.Ладовский И.В. Применение метода изображений для расчета геотермических аномалий от погруженных тел. В кн. Ядерно - геофизические и геотермические исследования. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1987, стр. 73-80.

5.Ладовский И.В- Влияние чехла мезозойско - кайнозойских образования на температуру палеозойского фундамента в Зауралье. В кн. Глубинное строение Урала и сопредельных территорий. Свердловск,

1988, СТР- 124 - 137.

6.Ладовский И.В. Применение обобщенных функций в расчетах стационарных тепловых полей в неоднородных средах. В кн. Методы интерпретации и моделирования геофизических полей - Свердловск, УрО АН СССР. 1988, стр. 85 - 107.

7.Ладовский И-В - К расчету геотермических аномалий над слоисты-ми структурами простой формы. В кн. Геотермия и ее применение в региональных и поисково - разведочных исследованиях. Свердловск, УрО АН СССР, 1S89, стр. 14.

в.Ладовский И.В. Об аналитическом решении потенциальных краевых задач в кусочно - однородных средах. //Известия АН СССР, Физика Земли, N 5, 1990, стр. 35 - 46.

з.Ладовский И.В. Прогнозные термоаномалии от скрытых на глубине природных геологических объектов. В кн. Инженерная геофизика в Уральском регионе, Екатеринбург, 1995, стр. 47.

ю.Ладовский И-В-, Щапов В-А. Опыт применения геотермичесого метода на одном из глубокозалегающих месторождения колчеданных руд-В кн. Современное состояние методики и аппаратуры для геотермических исследований. Свердловск, 198о, стр. 26.

и.Булашевич D-П., Ладовский И-В. Геотермические аномалии от геологических объектов с контрастной теплопроводностью. // Известия АН СССР, Физика Земли, N 3, 1986, стр. 71 - 76.

12.Никонова Ф.И.. Бахтерев Д.В., Ладовский И.В. Построение региональных разрезов земной коры на основе комплекса гравиметрических и сейсмических данных. //Физика Земли, N8, 1997, с. 50-56.

13.Качай Ю.В., Ладовский И.В. О восстановлении тешюфизических характеристик геотермического разреза. В кн. Геотермия сейсмичных и асейсмичных зон. Москва, "Наука", стр. 337 - 342.

14.Цирульский A.B., Ладовский И.В., Никонова Ф.И.. Федорова Н-В. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий в интерактивном режиме на базе ibm - совместимых персональных компью теров. В кн. Применение математических методов и ЭВМ при об работке информации на геологоразведочных работах. Челябинск, 1989, стр. в4.

15.Khachay Yu.V., Ladovskij i.V. Boundary problems for a heat conduction equation in non - uniform environment with reference to regional eeoterjny. Ann. Geophys. Suppl. v.14, part 1, P. 21. /

Ладовский Игорь-Викторович

Интегральные преобразования и обобщенные функции в задачах сопряжения стационарных тепловых полей

Подписано в печать 19.11.98. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 134.

Размножено с готового оригинал-макета в типографии УрО РАН.

620219, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18.

Текст научной работыДиссертация по геологии, кандидата физико-математических наук, Ладовский, Игорь Викторович, Екатеринбург

^ т 'и»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГЕОФИЗИКИ

На правах рукописи

ЛАДОБСКИЙ ИГОРЬ ВИКТОРОВИЧ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ СОПРЯЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ.

Специальность : 04.00.22 - ФИЗИКА ТВЕРДОЙ ЗЕМЛИ-

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук.

Научный руководитель доктор физ профессор

- мат наук Любимова Е.А.

ЕКАТЕРИНБУРГ 1998 г.

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ....................................................... з

ГЛАВА I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ

В КУСОЧНО - ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ..................... 14

1.1. Общие замечания об уравнении теплопроводности----- ы

1.2. Граничные условия для геотермических моделей......20

1.3 Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Логарифмический потенциал.......'.................. 38

1.4. Задача без граничных условий для горизонтально -слоистых сред. Метод сквозного..¿¡таха,............... 54

ГЛАВА и. РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ ОТ ЛОКАЛЬНЫХ

ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ОбЪЕКТОВ ............................ 85

2.1. Задача сопряжения для погруженного цилиндра с конт-

растной теплопроводностью.......................... вв

2.2. Метод зеркальных изображении в задаче для погруженного цилиндра.................................. юо

2.3. Влияние граничных условий в "нейтральном слое" на

термоаномалии от погруженных тел.................. 120

2.4. Аномалии от тел глубокого залегания. Формула удвоения...........................................132

2.5. Аномалии от тел приповерхностного залегания. Граничный режим, как фактор усиления аномального поля----159

2.6. йсточниковые аномалии.............................. 188

2.7. Поисковая информативность геотермосъемки........... 206

ГЛАВА III. ГЕОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛОИСТЫХ СРЕД. ОДНОПАРАМЕТРИ -

ЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО ГРАНИЦ РАЗДЕЛА .................... 210

3.1. Задача сопряжения для семейства границ раздела.. 211

3.2. Метод изображений для эллиптических границ......... 225

3.3. Структурно - морфологический фактор слоистого разреза............................................... 234

3.4. Пласт переменной мощности........................... 246

3.5. Послойное распределение тепловых источников и кажущаяся основность геотермического разреза............264

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................... 285

ЛИТЕРАТУРА................................................... 289

ВВЕДЕНИЕ

Развитие экспериментальной базы и совершенствование методов геотермических исследований открывают дополнительные перспективы для решения геологических задач. Прецизионные определения плотности теплового потока и детальное геотермическое картирование основных геологических провинций, массовые измерения теплопроводности и сопутствующий спектрометрический анализ радиоактивных элементов урана, тория и калия по стволу скважин - вот необходимые составляющие информационной базы при формировании геотермических концепций о глубинном строении и вещественном составе структурно - геологических комплексов земной коры.

Не многие из геофизических методов обладают такой глубинностью, как геотермия. Отсюда и масштаб решаемых с ее помощью геологических задач: от чисто практических вопросов геотермического мониторинга земной поверхности и поиска месторождений полезных ископаемых до проблемных эволюционных теорий о термическом состоянии внутренних оболочек Земли и всей планеты в целом.

Применение геотермии в комплексе с другими методами исследования земных глубин снижает степень неоднозначности геофизических моделей и повышает уровень достоверности наших непосредственных геологических знаний. Особый интерес представляет круг взаимоподобных прикладных задач, когда различные по своей природе и информативности геофизические поля могут интерпретироваться по единому математическому сценарию. Для этого вполне достаточно, чтобы искомые функции поля удовлетворяли однотипным операторам линейной краевой задачи (уравнению, начальным и граничным условиям), конечно, если имеются реальные предпосылки для связи входящих в эти уравнения физических параметров среды [22, 141].

В теории геотермических исследований стационарное уравнение

кондуктивной Сили молекулярной) теплопроводности, как правило, применяют для моделирования температур и тепловых потоков в верхней части земной коры. В такой модели задействованы только два теплофизических параметра, характеризующие вещественный состав горных пород - теплогенерация и теплопроводность. Теплопроводность X Ссама функция и ее градиент) являются коэффициентами в левой, операторной части уравнения теплопроводности; теплогенерация Q, как истокообразная функция сторонних сил, входит в его свободную правую часть. Если теплопроводность постоянна, то неоднородное распределение источников Q не создает принципиальных затруднений при решении тепловых задач, поскольку алгоритмически они просто совпадают с известными задачами гравитационного потенциала для массовой плотности о /X [37, 67, 115, 164, 176, 183]. Напротив, скачкообразное изменение теплопроводности X в моделях кусочно-однородных сред сопровождается разрывом коэффициентов дифференциального оператора в уравнении теплопроводности. В окрестности таких разрывов не сохраняются дифференциальные соотношения между функциями теплового поля - их заменяют более сглаженные контактные условия сопряжения. Условия теплового сопряжения или граничные условия iv рода - это интеграл от операторной части уравнения теплопроводности по границам разрыва его коэффициентов, т.е. по границам раздела разнотеплопроводных сред [82, 142].

Сходные проблемы, связанные с постановкой граничных условий iv рода для моделей кусочно - однородных сред, возникают и при изучении полей родственного типа, например, таких как в задачах электро - и магнитостатики, стационарных задачах электроразведки для токов растекания в проводящих средах или в задачах магниторазведки с учетом размагничивающего эффекта [22, 39, 41, 43, 50, 66, 89, 92, 101, 124, 156, 157]. Подобные задачи, независимо от их физического содержания, математически эквивалентны и принадле-

жат единому классу потенциальных краевых задач линейного сопряжения [29, 104, 158].

Решение задач с граничными условиями iv рода связано с определенными трудностями. Дело в том, что в эти условия не входят явные значения граничных функций; указана лишь степень гладкости сопрягаемых на границах полей/ Ветви кусочно - гладкого решения удовлетворяют системе частных уравнений, каждое из которых задано в своем пространственном базисе, но не замкнуто граничными условиями. В результате утрачивается существенная часть классического формализма решения краевых задач. Как в методе разделения переменных, так и в идейно близком ему методе интегральных преобразований возникает принципиальный вопрос о "сшивании"' частных решений, построенных по различным системам собственных функций задачи Штурма - Лиувилля [39, 40, 84]. Как правило, интегральные преобразования в конечных пределах не применяют по тем пространственным переменным, в направлении которых свойства среды меняются скачкообразно [40, 138, 140].

Традиционная схема решения задач линейного сопряжения опирается на интегральные формулы Грина [65, 105, 136]. Система дифференциальных уравнений относительно функций поля сводится к интегральному уравнению для плотности эквивалентного простого или двойного слоя источников, распределенных по границам кусочно-однородных сред [27, 39, 41, 124]. Плотность наведенных источников является искомой функцией, для определения которой используются свойства поверхностных потенциалов. Решить такое уравнение и

термических задачах на границах разнотеплопроводного контакта условия IV рода задают непрерывность температур и конечный скачок нормальной составляющей температурного градиента.

записать явное аналитическое выражение для функций поля удается в исключительных случаях простейшей геометрии среды [33, 39, 40, 50, 84, 136]. В более сложно построенных моделях, даже в вариантах моделей с идеализированными формами границ раздела, аналитическое решение интегрального уравнения становится весьма проблематичным [41, 101, 157, 158].

Алгоритмическая реализация в моделях с разрывным распределением параметров - проблема не только аналитических, но и численных схем расчета. Разработан и широко применяется сеточный метод "сквозного" счета для численного решения уравнения теплопроводности как с непрерывными, так и с разрывными коэффициентами [118, 135, 136]. Контактные границы разнотеплопроводных сред заменяют пространственным континиумом резко градиентных зон. Устойчивые разностные схемы, сходящиеся к точному решению исходной краевой задачи, можно получить из условия интегрального баланса тепла для элементарной ячейки сеточного разбиения. В классе задач с разрывными коэффициентами устойчивость и сходимость разностных схем будет зависеть от выбора локальной аппроксимации коэффициентов теплопроводности вблизи точек разрыва [118, 135].

Как видим, разрывный характер изменения физических свойств среды и вытекающая из него необходимость постановки условий сопряжения на границах кусочно - однородных сред - вот сдерживающий фактор развития методов классического анализа. Идеи альтернативной постановки задачи сопряжения, с некоторой разницей в их исполнении, выдвигались неоднократно [39, 45, 119]. Разрыв коэффициентов в дифференциальном уравнении не обязательно сводить к граничным условиям; можно, не меняя уравнение, доопределить особенности коэффициентов на границах раздела при помощи разрывных дифференцируемых функций, типа функции Хевисайда [76, 78]. В основе такого подхода лежат эвристические построения, заимствован-

ные из теории обобщенных функций. Их методическая направленность предельно ясно обозначена в работе Б.С.Светова: "если рассматривать уравнение краевой задачи на пространстве обобщенных функций, то в этом случае нет необходимости вводить на каких-либо особых поверхностях специальные граничные условия, достаточно понимать ...дифференциальные операторы в обобщенном смысле" [119, стр.21]. Принципы, которые заложены в альтернативной постановке задач без граничных условий для моделей кусочно - однородных сред и способы решения соответствующих уравнений с сингулярными коэффициентами, составляют предмет исследования диссертационной работы. Определение кусочно - гладких решений уравнения теплопроводности на пространстве обобщенных функций требует лишь незначительной корректировки математического формализма, чтобы адаптировать существующие методы классического анализа к задачам линейного сопряжения и построить универсальную схему их решения. Физические приложения найденных решений - стационарные тепловые поля в геотермических моделях кусочно - однородных сред с идеализированными формами границ раздела. Подбор задач проведен с тем расчетом, чтобы на конкретных примерах продемонстрировать аналитические возможности предлагаемого метода и, вместе с тем, сохранить разумную адекватность теоретических моделей реальным условиям геотермического эксперимента. Применяемый математический аппарат опирается на метод интегральных преобразований, при помощи которого в наиболее распространенных системах ортогональных криволинейных координат удается записать явное выражение для функций Грина в слоистой среде, границы которой принадлежат любому однопараметрическому семейству изокоординатных поверхностей.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы на основе функционального определения разрывного коэффициента теплопроводности, обобщить метод конечных интегральных преобразований на случай

скачкообразного изменения свойств среды и построить аналитическое решение двумерных задач теплового сопряжения в системах криволинейных координат, допускающих разделение переменных в уравнении Лапласа.

Научная новизна.

Предложен нетрадиционный способ постановки и аналитического решения задач линейного сопряжения стационарных тепловых полей в кусочно - однородных средах. Применение обобщенных функций позволяет переформулировать условия теплового сопряжения на границах контакта разнотеплопроводных сред и построить конструктивную схему аналитического алгоритма по принципу "сквозного счета"2.

При помощи комбинации ступенчатых функций Хевисайда выписана явная зависимость кусочно - однородного распределения теплопроводности от координат и определено прямое значение разрывного коэффициента теплопроводности на границах раздела. По обобщенным производным этого коэффициента построено граничное распределение источников эквивалентного простого слоя так, что условия сопряжения тепловых полей (равенство температур и нормальных составляющих плотности теплового потока ) выполняются тождественно.

Развит общий подход к постановке и решению граничных задач с условиями I, и и IV рода. Однородные граничные задачи Дирихле или Неймана внутри замкнутой Сили полуоткрытой) области можно рассматривать, как частные случаи постановки задач теплового сопряжения в расширенном пространстве изменения переменных при бесконечно - большой или нулевой величине коэффициента теплопроводности внешних сопредельных областей.

'Название соответствует сеточному методу "сквозного счета" в задачах численного моделирования тепловых полей [136].

Дано обобщение и расширена область применения интегральных преобразований в конечных пределах на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование.

Получено явное аналитическое выражение для функции Грина в слоистой среде, границы которой принадлежат однопараметрическому семейству изокоординатных поверхностей ортогональных криволинейных координат. В задаче для погруженного цилиндра предложен нетрадиционный способ интерпретации решения по методу "зеркальных изображений". Построена схема размещения фиктивных особенностей поля при отражении источника от плоских кривых семейства конических сечений.

На основе понятий обобщенных функций формализовано определение объемной плотности тепловых источников, отвечающее тому или иному типу их распределения. Приведено ассимптотическое выражение для объемной плотности "источников внешнего однородного поля". Построены интегральные свертки функции Грина и плотности распределения тепловых источников для тех моделей, которые встречаются в геотермических приложениях.

Дано решение термической задачи для горизонтального кругового цилиндра, расположенного под плоскостью разнотеплопроводного контакта. Проанализировано влияние границы раздела на аномальное поле температур и тепловых потоков в окрестности изолированных тел. По схеме метода изображений построен ряд последовательных приближений решения задачи для погруженного эллиптического цилиндра. Предложен физический критерий оценки точности полученных решений.

Промоделировано распределение тепловых полей в слоистой среде, границы которой в вертикальном сечении принадлежат семейству конфокальных полуэллипсов. Показана роль структурно - морфологи-

ческого фактора блочного строения разреза и его проявление в региональных аномалиях глубинной и эндогенной составляющих теплового потока.

Основные задачи исследования.

1. Обоснование эвристических предложений, позволяющих применить аппарат теории обобщенных функций для решения уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами.

2. Разработка аналитического метода "сквозного интегрального преобразования" для решения контактных задач теплового сопряжения в моделях кусочно - однородных сред, границы которых принадлежат однопараметрическому семейству плоских кривых.

3. Определение круга прикладных задач, решение которых в наиболее общей постановке для "естественной" системы криволинейных координат можно получить в замкнутом аналитическом виде.

4. Подбор фрагментарных моделей, на примере которых отчетливо видны основные тенденции в характере перераспределения теплового поля в геотермическом разрезе кусочно - однородных сред.

Основные защищаемые положения.

1. Обосновано применение аппарата теории обобщенных функций и разработан метод решения граничных задач теплового сопряжения в геотермических моделях кусочно - однородных сред. Определение функциональной зависимости разрывного коэффициента теплопроводности и обобщение интегральных преобразований на случай скачкообразного изменения свойств среды позволяет расширить круг прикладных задач, решение которых записывается в замкнутом аналитическом виде.

2. Используя понятие изоморфных отображений сформулирован общий принцип и предложен единый подход к решению стационарных задач теплового сопряжения для моделей слоистых сред, границы которых принадлежат однопараметрическому семейству плоских кривых

ортогональной систе�