Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Характеристики аномально больших поверхностных волн в океане на основе вычислительных экспериментов

ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Характеристики аномально больших поверхностных волн в океане на основе вычислительных экспериментов"

На правах рукописи

Юдин Александр Викторович

ХАРАКТЕРИСТИКИ АНОМАЛЬНО БОЛЬШИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ОКЕАНЕ НА ОСНОВЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Специальность 25.00.28 — Океанология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

і / '

Москва-2013 005059009

005059009

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Шамин Роман Вячеславович

Официальные оппоненты: Пелиновский Ефим Наумович,

доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной физики Российской академии наук, главный научный сотрудник

Резник Григорий Михайлович,

доктор физико-математических наук, доцент Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук, заведующий лабораторией

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждние науки Специальное конструкторское бюро средств автоматизации морских исследований Дальневосточного отделения Российской академии наук

Защита состоится « ¿'9' » ¿//V ¿/У; 2013 г. в ч. U'Cs мин.

на заседании Диссертационного совета Д 002.239.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук по адресу: 117997, г. Москва, Нахимовский пр., 36.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институте океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук.

Автореферат разослан «¿¿'J » it/l,ô rV? /У_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических на^^^^^^^нзбург Анна Ивановна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Аномально большие поверхностные волны, называемые волнами-убийцами, представляют собой внезапные одиночные волны с амплитудой, более чем в 2 раза превосходящей значительную высоту волн. Хорошо известно, что такие волны могут являться причинами морских катастроф из-за опасного воздействия на морские суда и буровые нефтяные платформы (см. [13]).

Актуальность изучения таких волн с помощью вычислительных экспериментов обусловлена объективными трудностями при изучении экстремальных волн на основе натурных измерений и лабораторных опытов. В последнее время возможности вычислительных экспериментов значительно выросли. В ряде работ (например, [11], [8], [10], [9], [6]) волны-убийцы изучались с помощью компьютерного моделирования. Настоящая работа наиболее близка к вычислительным экспериментам, описанным в статьях [2] и [3]. В этих работах с помощью численных методов решались уравнения гидродинамики идеальной жидкости со свободной поверхностью и бесконечно глубоким дном и были получены первые оценки вероятности возникновения аномально больших волн. Однако эти эксперименты имели значительные ограничения. В частности, довольно актуальной была проблема зависимости статистики возникновения волн-убийц от размеров расчетной области. Другая возникшая принципиальная проблема состояла в том, что накачка энергии, использованная в работе [3], не давала возможности проводить вычислительные эксперименты длительностью свыше 1000 периодов.

Важная задача в теории аномально больших поверхностных волн связана также с процессами изменения энергии и импульса волн, происходящими в момент образования волн-убийц. Физически на качественном уровне это проявляется в том, что в одной-двух волнах происходит концентрация энергии. Актуальной являлась задача получения количественных оценок концентрации энергии и импульса, что является необходимым для оценки риска опасного воздействия волн-убийц на суда и морские сооружения.

Настоящая диссертация посвящена решению этих задач.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является разработка устойчивых вычислительных экспериментов для моделирования нелинейного распространения поверхностных волн и получения на основе экспериментов статистики аномально больших поверхностных волн и их характеристик. Для достижения этой цели решались следующие задачи: (1) реализовать вычислительные эксперименты по моделированию поверхностных волн на потенциально неограниченных временых интервалах; (2) на основе результатов масштабных вычислительных экспериментов получить статистику аномально больших поверхностных волн при различных размерах расчетной области; (3) получить количественные оценки концентрации энергии и импульса при формировании аномально большой волны; (4) получить количественные и качественные картины геометрии волн-убийц; (5) получить оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн на глубокой воде в заданном бассейне.

Методы исследования. Основными методами настоящей диссертации являются вычислительные эксперименты. Вычислительные модели построены на основе уравнений гидродинамики со свободной поверхностью в конформных переменных. Для реализации этих экспериментов используются современные численные методы. Для обработки результатов численных опытов применялись методы математической статистики и теории вероятностей.

Научная новизна. В диссертации предложены принципиальные изменения в постановке вычислительных экспериментов, описанных в [2] и [3]. Во-первых, была предложена новая накачка энергии. Если в работе [3] накачка энергии осуществлялась с помощью линейного оператора, который не имел четкого физического смысла, то в диссертации накачка представлена нелинейными членами, соответствующими поверхностной силе, пропорциональной наклону профиля волны. Во-вторых, был модифицирован амплитудный критерий аномально больших поверхностных волн, который позволил повысить точность регистрации волн-убийц в вычислительных экспериментах. В-третьих, в настоящей диссертации ре-

зультаты вычислительных экспериментов не зависят от размера вычислительной области (интенсивность возникновения аномально больших волн прямо пропорциональна размеру вычислительной области, а среднее время их жизни примерно одинаково при различных размерах вычислительной области), что является принципиально важным для получения статистики волн-убийц.

На основе проведенных вычислительных экспериментов получена новая статистика аномально больших поверхностных волн, дающая новую возможность оценивать вероятности возникновения волн-убийц для заданного типичного волнения.

Новыми являются количественные оценки концентрации энергии при формировании аномально больших волн, а также качественные картины геометрии волн-убийц.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана постановка устойчивых на больших временных масштабах (более 10000 периодов) вычислительных экспериментов по моделированию динамики нелинейных поверхностных волн.

2. На основе результатов масштабных вычислительных экспериментов получена статистика аномально больших поверхностных волн, не зависящая от размеров расчетной области.

3. Получены количественные оценки концентрации энергии и импульса при формировании аномально большой волны. Показано, что при образовании волн-убийц энергия одной волны может быть в 8-10 раз больше, чем средняя энергия окрестных волн.

4. Выявлены качественные картины геометрии аномально больших поверхностных волн. Из анализа профилей этих волн следует, что примерно 95% волн-убийц имеют характерный профиль: крутой гребень на протяжении всего жизненного цикла. Остальные 5% волн-убийц на протяжении своего жизненного цикла приобретают форму как крутого гребня, так и впадины («дыры в море»).

5. Получены оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн в заданном бассейне. Для волн с высотой 4-5 м, длиной 200-250 м и периодом 11-12 с в фиксированной точке среднее время встречи с аномально большой волной равняется 20.5 час.

Достоверность полученных результатов. Достоверность численного моделирования в вычислительных экспериментах подтверждается известными математическими работами (см. [7]), в которых доказана корректность уравнений и численных методов. Геометрические результаты подтверждаются сравнением волн-убийц с известными инструментальными данными (например, с «Новогодней волной»). Оценки вероятности возникновения волн-убийц качественно согласуются с результатами натурных наблюдений (см. [1] и [12]).

Научная и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Однако ряд полученных результатов может быть использован в качестве основы для построения инженерных методик, связанных с оценкой риска воздействия аномально больших поверхностных волн на суда и сооружения. В частности, вероятности возникновения волн-убийц могут быть использованы для районирования Мирового океана с точки зрения опасности возникновения аномально больших волн. Полученные в работе типичные профили волн-убийц и количественные оценки концентрации энергии при формировании этих волн могут быть использованы для создания модели типичной волны-убийцы.

Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 9-ти научных работах, 4 из которых — статьи в рецензируемых журналах (все из списка ВАК), 5 — тезисы докладов на конференциях.

В первых двух работах из списка публикаций автору принадлежит частично постановка вычислительных экспериментов. Во всех работах автору принадлежит обработка результатов вычислительных экспериментов, их интерпретация и участие в написании статей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на Ученом совете Физического направления Института океано-

логии им П.П. Ширшова РАН (г. Москва, 2012 и 2013 гг.), на Научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (г. Москва, ИО РАН, 2012 г.); на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством A. JL Скубачевского (г. Москва, 2012 г.); в University of Heidelberg (Германия, 2012 г.); на Ученом совете ИМГиГ ДВО РАН (г. Южно-Сахалинск, 2012 г.), на заседании секции «Геофизика и геоэкология» в Институте морской геологии и геофизики ДВО РАН (г. Южно-Сахалинск, 2013 г.); на семинаре Научного центра по изучению волн-убийц под руководством Р.В. Шамина (г. Южно-Сахалинск, 2013 г.); на Международном научном семинаре «Сильно нелинейные волновые процессы в океане» в Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева (г. Нижний Новгород, 2012 г.).

Также результаты диссертационной работы излагались на конференциях: International Conference «Science and Progress» (Peterhof, Russia,

2011); International Conference «Science and Progress» (Peterhof, Russia,

2012); Крымская осенняя математическая школа (Украина, 2011); Нефть и Газ Сахалина 2012 (г. Южно-Сахалинск); General Assembly 2013 of the European Geosciences Union (Вена, Австрия).

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка используемой литературы. Общий объем работы — 150 страниц, включая 133 рисунка и 1 таблицу.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю Роману Вячеславовичу Шамину, заведующему кафедрой дифференциальных уравнений и математической физики Российского университета дружбы народов Александру Леонидовичу Скубачевскому, академику Владимиру Евгеньевичу Захарову, директору Института морской геологии и геофизики ДВО РАН, члену-корреспонденту РАН Борису Вульфовичу Левину. Автор также благодарит С.И. Бадулина, А.И. Смирнову, К.И. Кузнецова за полезные обсуждения результатов работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дано обоснование актуальности и научной новизны темы диссертации, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, перечислены основные результаты диссертации, а также рассмотрена структура диссертации.

В первой главе описаны постановки вычислительных экспериментов, статистика аномально больших волн и характерные профили аномально больших волн в вычислительных экспериментах.

В разделе 1.1 представлены основные уравнения, описывающие волны на воде. Моделирование аномальных волн основано на численном решении уравнений, описывающих нестационарное течение идеальной жидкости в двумерной геометрии со свободной поверхностью и бесконечно глубоким дном. Как отмечается в литературе (см. [13]), рассмотрение плоских волн при моделировании волн-убийц является допустимым. Отмечено также, что наиболее опасные аномально большие волны возникают в нелинейной динамике длинных и плоских волн зыби.

Использованы уравнения в конформных переменных, введенные в работе [16]. Впервые аналогичные переменные рассматривались в работах [15] и [5]. Моделирование аномально больших волн на основе уравнений в конформных переменных проводилось в работах А.И. Дьяченко и В.Е. Захарова [10], Д.В. Чаликова (например, [9]), В.П. Рубана [6], A.B. Слюняева (например, [14]).

Пусть идеальная жидкость занимает бесконечную область в переменных (х, у), ограниченную криволинейной границей. Введена комплексная плоскость z = х + iy. Эту область можно (по теореме Римана) конформно отобразить на нижнюю полуплоскость с переменными w = u + iv.

Обратное конформное отображение выражается аналитической функцией

г = z(t, w).

Эта функция является также функцией времени t, поскольку мы рассматриваем нестационарную задачу. Зная функцию z(t,u), можно восстановить профиль свободной поверхности. Для описания потенциального

течения идеальной жидкости необходимо также знать потенциал скоростей. Поскольку потенциал является гармонической функцией, то все его значения могут быть описаны значением этого потенциала лишь на границе области. Пусть ^(t, х) — значение потенциала скоростей на свободной поверхности. Соответственно, через Ф(1,г) мы обозначим аналитическую в нижней полуплоскости функцию такую, что Re<É>(i, ж) = lj}(t,x).

Будем рассматривать функцию Yl(t,w) = Ф(£, z(t,w)), которая также будет аналитической в нижней полуплоскости. Теперь введем новые переменные:

R(t,w) = —-г, V = г ,; '

Здесь и далее штрихом обозначена производная по переменной w. Точкой будет обозначена производная по времени t.

Таким образом, вычислительные эксперименты, рассматриваемые в настоящей диссертации, основаны на следующих уравнениях:

R{t, и) = i(U(t, u)R'(t, и) - U'(t, u)R(t, и)) - aR!'", (1)

V(t, и) = i(U(t, u)V'(t, и) - B'(t, u)R(t, u)) + g(R(t, и) - 1) - aV"" + F,

(2)

F = FW(3) ax

где Fw — положительный коэффициент накачки (подбирается эмпирически), а — положительный коэффициент диссипации, имеющий порядок Ю-9, g — ускорение свободного падения.

Функции U и В вычисляются по формулам:

U = P{VR + VR), B = P(VV),

где Р — оператор проектирования на нижнюю полуплоскость:

P = l(I + iH),

H — аналог оператора Гильберта для периодического случая

г2ж

H[f](u) = -U.p. [ Ж du'.

^ ' 27Г Jo tg(^)

Граничные условия принимаются 2тг периодическими по горизонтальной переменной. Слагаемое Р в конформных уравнениях соответствует накачке, которая включается только в случае падения энергии системы ниже заданного уровня. Накачка представляет собой поверхностную силу, пропорциональную наклону профиля волны (рис. 1).

х

Рис. 1. Действие силы Ь .

Операторы с четвертыми производными в уравнениях соответствуют диссипации, которая становится значимой лишь в случае обрушения волн, что предотвращает преждевременную остановку эксперимента. Физически эта диссипация учитывает возможность обрушения волн.

Использование в уравнениях диссипации и накачки в таком виде позволило проводить вычислительные эксперименты на больших временных интервалах и не останавливать их при возникновении аномально больших волн.

Раздел 1.2 посвящен постановке вычислительных экспериментов. Начальное возмущение поверхности в вычислительных экспериментах определялось как ансамбль бегущих в одну сторону волн со средним значением волнового числа К = Ко. Предполагалось, что начальное возмущение по-

верхности задается суммой гармоник со случайными фазами

1-К

2 і^-тах

ф,0)= X) Ф(к-К0)со5(кх-&). (4)

— ІК 2 іь-тах

Здесь Ктах — полное число спектральных мод, — случайная величина, равномерно распределенная на интервале —\Ктах < к < \Ктах-

Параметры спектра подбирались так, чтобы квадрат средней крутизны

2тг

= к / ^ о

и дисперсия

£>= I I к2е~ак2йк е'01"'¿к

-і

-Къ,

принимали заданные значения.

В разделе 1.3 представлен модифицированный амплитудный критерий аномально большой волны. В проведенных вычислительных экспериментах аномально большая волна регистрируется с помощью амплитудного критерия:

у(Г) = > 2.1,

1 ; Я.И ~

где Нтах^) ~ максимальная высота волнения в момент времени Н3(Ь) -усредненная значительная высота волнения в момент времени т.е.

г

,(і) = Х- I Н3{т)(1т.

НМ =

о

Здесь Н3{т) - значительная высота волнения в момент времени т. Таким образом, усредненная значительная высота волнения учитывает ин- формацию о характерных высотах волн за весь период проведения вычислительного эксперимента. Это усреднение позволяет нивелировать вклад самой аномальной волны при расчете значительной высоты волнения. Пороговое значение равное 2.1, является традиционным в литературе о волнах-убийцах (например, [13]).

Раздел 1.4 посвящен статистике аномально больших волн в вычислительных экспериментах. Для получения статистических характеристик аномальных поверхностных волн нами были проведены большие серии однотипных вычислительных экспериментов.

Среднее количество отдельных волн в начальном профиле волновой поверхности равнялось 50 и 100. Квадрат средней крутизны принимал значения

ц2 = 2.06 • Ю-3; 3.08 • 10"3; 4.10 • 10"3,

дисперсия принимала значения

К = 50 : £> е {10; 20; 30; 40};

К= 100 : О е {20; 40; 60; 80}.

Для каждой тройки {К, , И} было проведено по 30 однотипных экспериментов. Время каждого эксперимента соответствовало примерно 25005230 периодам волн.

Проводились масштабные вычислительные эксперименты для различных параметров, на основе которых формировалось начальное волнение. На рис. 2 показана плотность распределения высот. Значительная высота волн равнялась 6.68 м. Превышение этого значения в 2.1 раза на рисунке отмечено вертикальной линией. На рис. 3 приведен увеличенный «хвост» предыдущего графика, что дает возможность определить вероятность возникновения волн-убийц в проведенных экспериментах.

Использование диссипации и накачки в вычислительных экспериментах позволяет проводить весьма длительные расчеты. Причем в случае возникновения волны-убийцы эксперимент не прекращался. Таким образом, в ходе одного вычислительного эксперимента экстремальные волны могли возникать неоднократно. Как отмечалось в работах [3], [1], возникновение экстремальных поверхностных волн может быть приближенно описано с помощью распределения Пуассона. Единственным параметром распределения Пуассона является интенсивность, которая согласно закону Литтла может быть вычислена по формуле:

т7'

Рис. 2. Плотность распределения высот волн.

хЮ"4

Waves heights, m

Рис. 3. Плотность распределение экстремальных высот волн.

где N — среднее количество зарегистрированных экстремальных волн в течение времени Т.

На рис. 4 и 5 приведены графики интенсивности возникновения волн-убийц для различных значений квадратов средней крутизны в зависимости от дисперсии волн. Видно, что при двукратном увеличении расчетной области в случае К — 100 интенсивность примерно вдвое больше, чем при К = 50. Это показывает, что методика экспериментов может быть использована для получения оценки вероятности возникновения волн-убийц в заданном районе.

х ю~4

«к»

V» 'Ч, * • * 1 1

10 15 20 25 30 35 40

О

Рис. 4. Интенсивность возникновения волн-убийц при К = 50.

3.5 З 2.5

-і 2 1.5 1

0.5

20 ЗО 40 50 60 70 80

О

Рис. 5. Интенсивность возникновения волн-убийц при К = 100.

В разделе 1.5 представлены характерные профили аномально больших волн в вычислительных экспериментах.

Вторая глава посвящена процессам концентрации динамических (кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия, горизонтальный импульс, вертикальный импульс, модуль импульса) и геометрических (амплитуда, максимальная крутизна, максимальная кривизна, длина) характеристик при формировании аномально больших волн.

В разделе 2.1 вводится понятие отдельной волны и для нее описываются перечисленные выше характеристики.

В разделе 2.2 рассматриваются процессы концентрации характеристик отдельных волн. Факт появления аномально большой волны в вычислительном эксперименте устанавливается с помощью амплитудного критерия. Не меньший интерес для понимания природы этого явления и возможных последствий при воздействии аномально больших волн на морские суда и сооружения представляют и другие характеристики этих волн.

Для наглядного изучения характеристик волн в момент возникновения аномальной волны, в течение жизненного цикла этой волны, а

ч Ч/', _____Ч

^ Ч-Л ч

Ч

N •ч . > • ** ' ' ' ч

<ч »4 N » ^

также в течение всего вычислительного эксперимента нами было введено понятие концентрации характеристики отдельной волны. Концентрация показывает, во сколько раз значение какой-либо характеристики для рассматриваемой волны превосходит среднее значение характеристики для всех волн или какую часть значение какой-либо характеристики для рассматриваемой волны составляет от среднего значения характеристики для всех волн.

В частности, нами показано, что значение полной энергии аномально большой волны превосходит среднее значение энергии волн в данный момент времени в среднем в 8-9 раз (см. рис. 6).

г, 15

к а

ей

& 10

°0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Номер волны

Рис. 6. Концентрация полной энергии.

В процессе зарождения аномально большой волны полная энергия приобретает большое значение за достаточно короткий промежуток времени, о чем свидетельствует динамика максимальной концентрации энергии в течение всего вычислительного эксперимента (см. рис. 7, аномальная волна была зафиксирована через 4260 с волн после начала счета). Такие результаты характерны и для остальных рассматриваемых характеристик аномальных волн, за исключением длины.

Динамика концентрации характеристик в течение жизненного цикла аномально большой волны свидетельствует о том, что концентрация всех характеристик принимает наибольшее значение, как правило, в один и тот же момент времени.

- Ь = 0 -- - і = 4260

/ /

___- / /

°0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Время (в периодах волы) Рис. 7. Динамика концентрации полной энергии.

Третья глава посвящена оценке времени ожидания аномально большой волны в заданном бассейне при наличии длинных поверхностных волн.

Раздел 3.1 посвящен вычислению интенсивности возникновения аномально больших волн в зависимости от размера расчетной области. Среднее значение интенсивности возникновения волн-убийц для К = 50 (что соответствует длине расчетной области примерно 12500 м) оказывается равным А50 = 8 х 10-5[с-1]. Для К = 100 (длина расчетной области равна 25000 м) соответствующее значение интенсивности равно 1.5 х 10-4[с-1]. Таким образом, для вычисления интенсивности, зависящей от размера расчетной области, можно использовать следующую формулу:

A (d) = Ао d,

где Ло = 6 х 10~9[(с • м)-1], d — длина расчетной области в метрах. На рис. 8 приведен график функции среднего времени ожидания волны-убийцы в заданном размере области.

Раздел 3.2 посвящен оценке среднего времени встречи с аномально большой волной. С помощью выполненных экспериментов можно по-

лучить и среднее время жизни экстремальных волн т. Значение этого параметра не зависит от размера области и равно г = 108 с. Поскольку в экспериментах период волн примерно равен 12 с, а длина волны — 250 м, то получается, что в среднем в течение времени жизни волна-убийца проходит 2250 м. Таким образом, в заданной точке волна-убийца будет регистрироваться в среднем раз в 20.5 часов, что примерно совпадает с данными натурных экспериментов, приведенными в [1].

Рис. 8. Среднее время ожидания волны-убийцы.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

1. Предложена постановка устойчивых на больших временных интервалах вычислительных экспериментов по моделированию динамики нелинейных поверхностных волн.

2. Получена статистика аномально больших поверхностных волн, которая не зависит от размеров расчетной области. В частности, удвоение размеров расчетной области приводит к удвоению интенсивности возникновения аномально больших волн, при этом среднее время жизни таких волн примерно сохраняется.

3. Получены количественные оценки концентрации энергии и импульса в процессе возникновения аномально большой волны. Показано, что при образовании аномально больших волн энергия одной волны может быть в 8-10 раз больше, а модуль импульса примерно в 4 раза больше, чем средняя энергия других волн в один и тот же момент времени.

4. Получены качественные картины геометрии аномально больших поверхностных волн. Показано, что примерно 95% аномально больших волн на протяжении всего жизненного цикла имеют форму крутого гребня.

5. Получены оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн и среднего время встречи с ними в заданном бассейне. Для волн с высотой 4-5 м, длиной 200-250 м и периодом 1112 с среднее время встречи с аномально большой волной равняется 20.5 ч для фиксированной точки.

Публикации автора по теме диссертации

1. Шамин Р.В., Юдин А. В. Моделирование пространственно-временного распространения волн-убийц // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448. №5. С. 592-594.

2. Шамин Р.В., Смирнова А.И., Юдин А.В. Вопросы обнаружения и прогнозирования волн-убийц в вычислительных экспериментах // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2012. Т. 5. №3. С. 23-33.

3. Горленко А.В., Смирнова А.И., Шамин Р.В., Юдин А.В. Численное моделирование волн-убийц в океане //Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. Информатика. Физика. 2013. №1. С. 111-119.

4. Костенко И.С., Кузнецов К.И., Юдин А.В., Зарочинцев B.C. Инструментальное изучение аномально больших поверхностных волн в районе о. Сахалин // Датчики и системы. 2013. №2. С. 22-27.

5. Yudin А. V., Shamin R. V. The calculation of probabilities of occurences of the freak waves in various regions of the ocean // Geophysical Research Abstracts. 2013. Vol. 15. EGU2013-703-1. EGU General Assembly 2013.

6. Kostenko I.S., Yudin A. V., Kuznetsov K.I., Zarochintsev V.S. Instrumental measurements of freak waves in the southeast area of Sakhalin Island // International Student Conference «Science and Progress». Conference abstracts. St. Petersburg. November 12-16 2012. P. 142.

7. Шамин P.B., Юдин А.В. Моделирование пространственно-временного распространения волн-убийц // Тезисы докладов. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». 2012. Уфа. С. 92.

8. Yudin А. V. On Qualitative Characteristics of Rogue Waves // Conference abstracts. International Student Conference «Science and Progress» -SPb.: SOLO, 2011. P. 88.

9. Юдин A.B. Моделирование волн-убийц // Тезисы докладов. Двадцать вторая ежегодная международная конференция «Крымская Осенняя Математическая Школа (КРОМШ-20011)» — 2011. Симферополь. С. 58.

Список используемых источников

[1] Зайцев А.И., Малашенко А.Е., Пелиновский E.H. Аномально большие волны вблизи южного побережья о. Сахалин // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2011. Т. 4. № 4. С. 35-42.

[2] Захаров В.Е., Шамин Р.В. О вероятности возникновения волн-убийц // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91. Вып. 2. С. 68-71.

[3] Захаров В.Е., Шамин Р.В. Статистика волн-убийц в вычислительных экспериментах // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 96. Вып. 1. С. 68-71.

[4] Куркин A.A., Пелиновский E.H. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. Нижний Новгород: Нижегородский гос. тех. университет, 2004. 158 с.

[5] Овсянников JI. В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1973. Вып. 15. С. 104-125.

[6] Рубан В.П. Гигантские волны в слабо-скрещенных состояниях морской поверхности// ЖЭТФ. 2010. Т. 137. Вып. 3. С. 599-607.

[7] Шамин Р.В. Динамика идеальной жидкости со свободной поверхностью в конформных переменных // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: РУДН, 2008. Т. 28. С. 3-144.

[8] Baterman W. J.D., Swan С., Taylor Р.Н., On the efficient numerical simulation of directionally spread surface water waves // J. Comput. Physics. 2001. V. 174. Pp. 277-305.

[9] Chalikov D. Freak waves: Their occurrence and probability // Phys. Fluids. 2009. V. 21. Issue 7. P. 076602-1-076602-18.

[10] Dyachenko A.I., Zakharov V.E., On the Formation of Freak Waves on the Surface of Deep Water // Письма в ЖЭТФ. 2008. Т. 88. №5. С. 356-359.

[11] Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. Unstready water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrodinger equation // Wave Motion. 1999. V. 29. P. 341-361.

[12] Holt M., Fullerton G., Li J.-G. Forecasting sea state with a spectral wave model // Rogue Waves 2004 Brest, 20-22 October 2004.

[13] Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. Rogue Waves in the Ocean. Springer. 2009. 216 p.

[14] Slunyaev A. Primary Title: Freak wave events and the wave phase coherence // The European Physical Journal - Special Topics. 2010. V. 185. №1. P. 67-80.

[15] Whitney J. C. The numerical solution of unsteady free-surface flows by conformal mapping // In: Proc. Second Inter. Conf. on Numer. Fluid Dynamics (ed. M. Holt), 1971. Springer-Verlag. P. 458-462.

[16] Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Vasilyev O.A. New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface// Eur. J. Mech. B-Fluids. 2002. V. 21. P. 283 -291.

Заказ № 98-А/04/2013 Подписано в печать 19.04.2013 Тираж 150 экз. Усл. п.л. 1

"Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 V ) www. cfr. ru ; e-mail: info@cfr. ru

Текст научной работыДиссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Юдин, Александр Викторович, Москва

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов»

На правах рукописи

04201356575

ЮДИН АЛЕКСАНДР ВИКТОРОВИЧ

Характеристики аномально больших поверхностных волн в океане на основе вычислительных экспериментов

Специальность 25.00.28 — Океанология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Шамин Роман Вячеславович

Москва - 2013

Оглавление

Введение 4

Глава I. Статистика возникновения аномально больших волн

в вычислительных экспериментах 18

1. Основные динамические уравнения, описывающие волны на воде.................................18

2. Постановка вычислительных экспериментов..........25

3. Амплитудный критерий регистрации аномально больших волн 27

4. Результаты вычислительных экспериментов..........30

5. Характерный профиль аномально большой волны ......48

Глава II. Процессы концентрации характеристик при формировании аномально больших волн 90

6. Динамические и геометрические характеристики волн .... 90

7. Концентрация характеристик аномально больших поверхностных волн............................97

Глава III. Оценка времени ожидания аномально большой волны в заданном бассейне 119

8. Вероятность возникновения аномально больших волн в заданном бассейне..........................119

9. Оценка среднего времени встречи с аномально большой волной 122

Заключение 131

Благодарности 133

Литература 134

Введение

Актуальность темы

Аномально большие поверхностные волны, называемые волнами-убийцами, представляют собой внезапные одиночные волны с амплитудой, более чем в 2 раза превосходящей значительную высоту волн. Внезапность возникновения аномально больших волн в океане определяет серьезную опасность, которую они представляют для морских судов и сооружений, (см. [81], [87]).

На поверхности океана протекает большое количество физических явлений, поэтому изучение поверхностных волн является сложной задачей. Изучению поверхностных волн посвящены работы М.С. Лонге-Хиггинса [27], И.Н. Давидана [5], [6], В.Е. Захарова [14], [15], А.С. Монина [28], [33], О.М. Филлипса [41], К. Хассельмана [74], В.П. Красицкого [13], [29], С.А. Китайгородского [19], В.Г. Глуховского [4], Дж. Уизема [40], В. Крейга и К.Е. Вейна [21], В.И. Юдовича [55], П.И. Плотникова [94]- [94] и других исследователей.

Первые работы по изучению аномально больших волн были выполнены в рамках линейной теории их формирования. Рассматривались такие механизмы как дисперсионное сжатие (A. Torum, О.Т. Gudmestad, [ЮЗ]), пространственная фокусировка (Т.В. Johannessen, С. Swan [78], [79]), взаимодействие волн с течениями (И.В. Лавренов [25], [24], [83], [84]; M.G.

Brown [59]; D.H. Peregrine [92]; B.S. White [105]). Важно подчеркнуть, что исследователями были проведены демонстрирующие эти механизмы лабораторные эксперименты, в которых были получены аномально большие волны. В ряде работ (например, И.В. Лавренов [25], J.K. Mallory [86]) рассматривается роль атмосферных факторов в поцессе формирования волн-убийц. Отмечается, что усиление ветра играет важную роль в механизме дисперсионного сжатия, а изменение направления ветра является важным для пространственной фокусировки волн.

В рамках нелинейной теории аномально большие волны рассматривались как результат модуляционной неустойчивости. Изучение аномально больших волн также проводилось методами, основанными на кинетических уравнениях и уравнении Захарова (S.I. Badulin, V.l. Shrira, С. Kharif, М. Ioualalen [56]).

Начиная с 2006 года Институтом морской геологии и геофизики ДВО РАН проводятся натурные эксперименты по изучению аномально больших волн под руководством П.Д. Ковалева и Г.В. Шевченко (например, [82], [18]). Результаты натурных экспериментов близ побережья о. Сахалин представлены также в статье А.И. Зайцева, А.Е. Малашенко и E.H. Пелиновского [11].

Описанию наблюдаемого в океане экстремального волнения посвящены, например, работы [7], [8], [39], [85], [72].

Различные аспекты явления аномально больших поверхностных волн и подходы к их изучению описаны в работах E.H. Пелиновского и коллег (например, [23], [34], [35], [61], [66], [67], [68], [101], [88], [89], [90], [91]), К. Traisen [104], B.S. White [105], K.B. Dyste [71], A. Islas и С.М. Schober [77], Е.М. Bitner-Gregersen и A. Toffoli [58]. В рамках исходных нелинейных

уравнений гидродинамики моделирование аномально больших волн впервые было выполнено в работе K.L. Henderson, D.H. Peregrine, J.W. Dold [76]. В экспериментах были получены группы крутых и высоких волн, которые интерпретировались в рамках бризерных решений нелинейного уравнения Шредингера.

В настоящей работе для моделирования аномально больших волн используются нелинейные уравнения гидродинамики, записанные в конформных переменных. Впервые такой метод изучения динамики жидкости со свободной поверхностью был предложен в работе J.C. Whitney [106], рассматривался в теоретических работах (JI.B. Овсянников [32], В.И. Налимов [30], [31]). В работе [107] (В.Е. Захаров, А.И. Дьяченко, O.A. Васильев) впервые рассматривался метод моделирования аномально больших волн, основанный на конформном преобразовании области, занятой жидкостью. В этой работе начальное волнение задавалось в виде суперпозиции волны Стокса крутизны 0.1 и слабого Гауссова шума. В вычислительном эксперименте была получена аномально большая волна, амплитуда которой в 3 раза превышает начальное значение. Необходимо отметить другие работы А.И. Дьяченко и В.Е. Захарова (например, [70], [10], [108], [109]), в которых моделирование аномально больших волн осуществлялось на основе уравнений в конформных переменных. В этих работах, в частности, обсуждаются физические механизмы возникновения волн-убийц в рамках сильнонелинейной теории, на основе результатов численного решения полных нелинейных уравнений демонстрируется существование на поверхности глубокой воды гигантского бризера, что может объяснять появление аномально больших волн.

В работе В.П. Рубана [37] на основе численного моделирования пол-

ных нелинейных уравнений рассматривается вопрос о зависимости процесса образования волн-убийц от взаимного расположения спектральных максимумов, делается вывод о том, что нередко аномальные морские волны связаны с присутствием некоторых когерентных волновых структур (например, косых солитонов огибающей).

Моделированию аномально больших волн на основе конформных уравнений посвящен цикл работ Д.В. Чаликова (например, [62], [42], [63], [64]), где, в частности, отмечается, что первичное образование экстремальных волн происходит не только в результате групповых эффектов, но и в результате эволюции нелинейных волн. Также необходимо подчеркнуть, что Д.В. Чаликовым отмечается увеличение энергии вокруг вертикали, проходящей через пик волны в момент ее роста. При этом волна сильно заостряется, а ее высота увеличивается. Также в этих работах отмечается систематический характер возникновения волн-убийц в вычислительных экспериментах.

В работах A.B. Слюняева (например, [100], [38]) также отмечается роль нелинейной динамики морских волн как наиболее вероятного источника опасности волн-убийц.

Актуальность изучения аномально больших волн с помощью вычислительных экспериментов обусловлена объективными трудностями при изучении экстремальных волн на основе натурных измерений и лабораторных опытов. В последнее время возможности вычислительных экспериментов значительно выросли. Вычислительным экспериментам по изучению поверхностного волнения посвящены работы многих исследователей (например, [1], [2], [36], [65], [78]). В ряде работ (например, [76], [57], [70], [62], [37]) волны-убийцы изучались с помощью компьютерного моде-

лирования. Настоящая работа наиболее близка к вычислительным экспериментам, описанным в статьях В.Е. Захарова и Р.В. Шамина [16] и [17], где волны-убийцы описываются как нелинейный эффект гидродинамики идеальной жидкости со свободной поверхностью. В этих работах с помощью численных методов решались соответствующие полные нелинейные уравнения (дно предполагалось бесконечно глубоким) и были получены первые оценки вероятности возникновения аномально больших волн. Однако эти эксперименты имели значительные ограничения. В частности, довольно актуальной была проблема зависимости статистики возникновения волн-убийц от размеров расчетной области. Другая возникшая принципиальная проблема состояла в том, что накачка энергии, использованная в работе [17], не давала возможности проводить вычислительные эксперименты длительностью свыше 1000 периодов. В настоящий диссертации предложены подходы, с помощью которых эти задачи успешно решаются. При этом феномен возникновения волны-убийцы также предполагается следствием нелинейной динамики морских волн.

Другая важная задача в теории аномально больших поверхностных волн связана также с процессами изменения энергии и импульса волн, происходящими в момент образования волн-убийц. Физически на качественном уровне это проявляется в том, что в одной-двух волнах происходит концентрация энергии. Актуальной являлась задача получения количественных оценок концентрации энергии и импульса, что является необходимым для оценки риска опасного воздействия волн-убийц на суда и морские сооружения.

Цель и задачи работы

Целью настоящей работы является разработка устойчивых вычислительных экспериментов для моделирования нелинейного распространения поверхностных волн и получения на основе экспериментов статистики аномально больших поверхностных волн и их характеристик. Для достижения этой цели решались следующие задачи: (1) реализовать вычислительные эксперименты по моделированию поверхностных волн на потенциально неограниченных временых интервалах; (2) на основе результатов масштабных вычислительных экспериментов получить статистику аномально больших поверхностных волн при различных размерах расчетной области; (3) получить количественные оценки концентрации энергии и импульса при формировании аномально большой волны; (4) получить количественные и качественные картины геометрии волн-убийц; (5) получить оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн на глубокой воде в заданном бассейне.

Научная новизна

В диссертации предложены принципиальные изменения в постановке вычислительных экспериментов, описанных в [16] и [17]. Во-первых, была предложена новая накачка энергии. Если в работе [17] накачка энергии осуществлялась с помощью линейного оператора, который не имел четкого физического смысла, то в диссертации накачка представлена нелинейными членами, соответствующими поверхностной силе, пропорциональной наклону профиля волны. Во-вторых, был модифицирован амплитудный критерий аномально больших поверхностных волн, который позволил повысить точность регистрации волн-убийц в вычислительных экспери-

ментах. В-третьих, в настоящей диссертации результаты вычислительных экспериментов не зависят от размера вычислительной области (интенсивность возникновения аномально больших волн прямо пропорциональна размеру вычислительной области, а среднее время их жизни примерно одинаково при различных размерах вычислительной области), что является принципиально важным для получения статистики волн-убийц.

На основе проведенных вычислительных экспериментов получена новая статистика аномально больших поверхностных волн, дающая новую возможность оценивать вероятности возникновения волн-убийц для заданного типичного волнения.

Новыми являются количественные оценки концентрации энергии при формировании аномально больших волн, а также качественные картины геометрии волн-убийц.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработана постановка устойчивых на больших временных масштабах (более 10000 периодов) вычислительных экспериментов по моделированию динамики нелинейных поверхностных волн.

2. На основе результатов масштабных вычислительных экспериментов получена статистика аномально больших поверхностных волн, не зависящая от размеров расчетной области.

3. Получены количественные оценки концентрации энергии и импульса при формировании аномально большой волны. Показано, что при образовании волн-убийц энергия одной волны может быть в 8-10 раз больше, чем средняя энергия окрестных волн.

4. Выявлены качественные картины геометрии аномально больших поверхностных волн. Из анализа профилей этих волн следует, что примерно 95% волн-убийц имеют характерный профиль: крутой гребень на протяжении всего жизненного цикла. Остальные 5% волн-убийц на протяжении своего жизненного цикла приобретают форму как крутого гребня, так и впадины («дыры в море»).

5. Получены оценки вероятности возникновения аномально больших поверхностных волн в заданном бассейне. Для волн с высотой 4-5 м, длиной 200-250 м и периодом 11-12 с в фиксированной точке среднее время встречи с аномально большой волной равняется 20.5 час.

Достоверность полученных результатов

Достоверность численного моделирования в вычислительных экспериментах подтверждается известными математическими работами (см. [45]), в которых доказана корректность уравнений и численных методов. Геометрические результаты подтверждаются сравнением волн-убийц с известными инструментальными данными (например, с «Новогодней волной»). Оценки вероятности возникновения волн-убийц качественно согласуются с результатами натурных наблюдений (см. [11] и [75]).

Научная и практическая значимость работы

Диссертационная работа носит теоретический характер. Однако ряд полученных результатов может быть использован в качестве основы для построения инженерных методик, связанных с оценкой риска воздействия аномально больших поверхностных волн на суда и сооружения. В частности, вероятности возникновения волн-убийц могут быть использованы для районирования Мирового океана с точки зрения опасности

возникновения аномально больших волн. Полученные в работе типичные профили волн-убийц и количественные оценки концентрации энергии при формировании этих волн могут быть использованы для создания модели типичной волны-убийцы.

Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка используемой литературы.

В первой главе описаны результаты вычислительных экспериментов по изучению статистики аномально больших поверхностных волн. В разделе 1.1 представлены основные уравнения, описывающие нестационарное течение идеальной жидкости в двумерной геометрии со свободной поверхностью и бесконечно глубоким дном. С целью проведения эффективных вычислений используются уравнения гидродинамики, записанные в конформных переменных. Описываются нелинейные члены, соответствующие накачке и диссипации, использование которых позволяет проводить вычисления на больших временных интервалах (свыше 10000 периодов) и не останавливать счет при возникновении аномально большой волны.

Раздел 1.2 посвящен постановке вычислительных экспериментов, определению начального возмущения поверхности, удовлетворяющего заданным значениям квадрата средней крутизны и дисперсии.

В разделе 1.3 представлен модифицированный амплитудный критерий аномально большой волны, учитывающий информацию о характерных высотах волн за весь период проведения вычислительного эксперимента.

Раздел 1.4 посвящен статистике аномально больших волн в вы-

числительных экспериментах. Описаны результаты больших серий однотипных вычислительных экспериментов, в которых количество отдельных волн в начальном профиле волновой поверхности, квадрат средней крутизны и дисперсия принимали различные заданные значения. Для каждой тройки этих параметров приведены графики интенсивности (в смысле Пуассона) возникновения аномально больших поверхностных волн. На основании результатов вычислительных экспериментов сделан вывод о влиянии размеров расчетной области на интенсивность возникновения аномально больших волн.

В заключительном разделе главы представлены характерные профили аномально больших волн в вычислительных экспериментах, проведено сравнение некоторых полученных в вычислительных экспериментах волнограмм с известными инструментальными записями аномально больших поверхностных волн.

Вторая глава посвящена процессам концентрации динамических (кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия, горизонтальный импульс, вертикальный импульс, модуль импульса) и геометрических (амплитуда, максимальная крутизна, максимальная кривизна, длина) характеристик при формировании аномально больших волн. Для этого в разделе 2.1 вводится понятие отдельной волны и для нее описываются перечисленные выше характеристики.

В разделе 2.2 рассматриваются процессы концентрации характеристик отдельных волн. Концентрация показывает, во сколько раз значение какой-либо характеристики для рассматриваемой волны превосходит среднее значение характеристики для всех волн или ка