Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Динамический подход к обращению временных невязок

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Динамический подход к обращению временных невязок"

На правах рукописи

НЕКЛЮДОВ Дмитрий Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОБРАЩЕНИЮ ВРЕМЕННЫХ НЕВЯЗОК

25.00.10 - Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Институте геофизики Сибирского отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, В.А.Чеверда

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, СИ. Кабанихин кандидат технических наук, Ю.А. Орлов

Ведущая организация:

Международный институт теории прогноза землетрясений РАН (г. Москва)

Защита состоится 25 февраля 2004 г. в и час. на заседании диссертационного совета Д 003.050.05 в в конференц-зале Института геофизики СО РАН, к.315.

Адрес: 630090, Новосибирск-90, пр-т Ак. Коптюга, 3 Факс: (3832) 332792

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИГГиМ СО РАН

Автореферат разослан и января 2004г.

Ученый секретарь —»

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук Ю.А. Дашевский

2004-4 19375

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время в обработке сейсмических данных можно выделить две основные процедуры - определение скоростного строения среды и миграция данных сейсмических наблюдений в среду с известным скоростным строением. Относительно миграционных процедур к настоящему времени сложилось ясное понимание их природы и унифицированное описание как результата действия сопряженного оператора для соответствующей прямой, динамической задачи. Миграционные процедуры позволяют получать достаточно подробные изображения исследуемой среды, которые характеризуют положение и форму отражающих объектов, но не позволяют судить ни о распределении скоростей над отражающими границами, ни об абсолютных значениях локальных скоростных неоднородностей. Все попытки итерационного применения этих процедур для полного восстановления среды не увенчались успехом. Как было показано в ряде работ за последние десять лет, это связано со спецификой строения сингулярного спектра упомянутого оператора - оказалось, что сингулярные векторы, отвечающие за плавное изменение распределения скоростей в среде, лежат в недоступной для устойчивых вычислений области. В то же время, из практики обработки сейсмических данных известно, что использование только кинематической составляющей: волнового поля позволяет устойчиво определять именно плавную (трендовую) компоненту скоростного разреза. В некотором роде сложилась парадоксальная ситуация — кинематическая информация, безусловно, содержится в полных динамических данных, но, фактически, не работает при их обращении. В связи с этим представляется актуальным предложить такой подход при обработке динамической информации, который нацелен именно на выделение и дальнейшее использование кинематической информации.

Объектом исследований в данной работе является один из возможных подходов к решению линеаризованной обратной кинематической задачи сейсмики, который позволяет учитывать динамику распространения сейсмических волн.

Цель исследований - разработка способа обращения невязок времен пробега сейсмических волн, учитывающего динамические характеристики волновых полей, а также спектральную ограниченность сигналов, используемых в сейсморазведке.

Задача исследований: восстановление скоростного строения среды с помощью обращения невязок времен пробега, которые определяются с учетом динамики распространения сейсмических волн.

Методы исследований и фактический материал

Основным методом исследования является математическое моделирование волнового поля от точечного источника в двумерной среде с помощью начально-краевой задачи для скалярного волнового уравнения. Численное моделирование включает задание двумерной модели, источника, системы регистрации и выполняется с помощью конечно-разностных методов. Теоретической основой решения поставленных задач является, построение сингулярного спектра компактного оператора и изучение структуры его устойчивых подпространств, то есть подпространств, натянутых на старшие сингулярные векторы. Обработка данных предусматривает получение матричного представления оператора и сводится к реализации процедуры устойчивого решения систем линейных уравнений, основанной на выполнении сингулярного разложения.

Основным фактическим материалом являются результаты обработки данных" численного моделирования, процессов распространения сейсмических, волн. Для опробования алгоритмов и ключевых процедур использовались как синтетические данные, так и данные реальных: сейсмических наблюдений по методу вертикального сейсмического профилирования, полученные в скважине с двумя выносными. источниками. (Западная Сибирь, предоставлены СБ. Горшкалевым в 2001

г.).

Защищаемые научные результаты

1. Линеаризованный кинематический оператор (оператор, переводящий возмущения скоростного строения вмещающей среды в невязки времен пробега)

- строится на основе применения динамического подхода к определению временных невязок, который заключается в том, что задержка целевой волны в реальной среде относительно волны того же типа, рассчитанной для референтной модели, определяется как аргумент максимума функции взаимной корреляции этих двух сигналов. Рассеянная компонента, волнового поля описывается с помощью борновского приближения в спектральной области

- сводится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно возмущения скорости.

2. Решение обратной кинематической задачи

- основано на аппроксимации интегрального оператора конечномерной системой линейных алгебраических уравнений

- строится с привлечением регуляризирующей процедуры, которая заключается в построении приближенного решения на основе усеченного 8УО — разложения матричного представления компактного оператора

- позволяет устойчиво восстанавливать трендовую компоненту скоростного разреза.

3. Совместное обращение кинематических и динамических данных в случае вертикально - неоднородной вмещающей среды

- заключается в построении динамического и кинематического операторов, действующих на один и тот же элемент пространства моделей

- решении совместной системы линейных алгебраических уравнений, составленной из матриц, которые возникают при конечномерной аппроксимации динамического и кинематического интегральных операторов.

Новизна работы. Личный вклад. Предложен оригинальный подход к решению линеаризованной обратной кинематической задачи сейсмики методом компьютерной томографии, который существенно опирается на использование динамической информации, содержащейся в сейсмических записях.

- С использованием метода возмущений получено линейное приближение для кинематического оператора; изучены свойства ядра чувствительности этого оператора; в случае вертикально-неоднородной вмещающей среды получено его представление в виде однопараметрического семейства одномерных интегральных операторов.

- Проанализировано строение сингулярного спектра данного оператора в сравнении с сингулярным спектром линеаризованного оператора динамического обращения и показано, что устойчивые области этих спектров дополняют друг друга. На основании этого предложен новый подход к совместному обращению кинематических и динамических данных (для вертикально-неоднородной вмещающей среды).

- Проведена представительная серия численных экспериментов, позволившая выяснить разрешающую способность метода динамического обращения временных невязок и определить границы его применимости. Выполнена обработка реальных данных,

позволившая уточнить скоростное строение околоскважинного пространства и существенно улучшить результаты миграции сейсмических данных. На примере синтетических данных показано, что предложенный: подход к совместному обращению кинематических и динамических данных позволяет получать более полную информацию о строении среды.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Предложенный динамический подход к обращению временных невязок может применяться при обработке реальных данных и позволит в определенных ситуациях (особенно в тех, когда нельзя пренебречь эффектами, связанными с ограниченностью спектров реальных сигналов) получать более достоверную информацию о распределении скоростей в среде, - чем стандартные методы лучевой томографии.. В случаях поверхностных систем наблюдения, когда в качестве референтной модели, используется: вертикально-неоднородная вмещающая ? среда, существует возможность совместного обращения кинематических и динамических данных, что существенно улучшает информативность получаемых результатов.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты докладывались на международной конференции молодых ученых, специалистов и студентов "Геофизика -2001" (Новосибирск, 2001), международной конференции "Математические методы в геофизике" (Новосибирск, 2003).

Результаты исследований по теме диссертации изложены в 4 опубликованных работах.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 69 страниц текста, 58 рисунков. Библиография содержит 68 наименований.

Диссертация выполнена в Лаборатории динамических проблем сейсмики Института геофизики СО РАН.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю, к.ф.-м.н. В.А.. Чеверде за всестороннюю поддержку и постоянное внимание. Хочется поблагодарить сотрудников Лаборатории динамических проблем сейсмики Института геофизики СО РАН к.ф.-м.н. В.И. Костина, к.ф.-м.н. В.Г. Хайдукова, Д.М. Вишневского за помощь в работе, а также д.ф.-м.н. СИ. Кабанихина, к.т.н. Ю.А. Орлова, д.ф.-м.н. Б.П. Сибирякова за то, что они взялись за труд ознакомиться с работой и высказать о ней свое мнение.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приводится обзор публикаций, посвященной выбранной тематике. Традиционная сейсмическая томография, основанная на лучевом методе не учитывает ограниченность спектрального состава сейсмических сигналов, т.е. тот факт, что на невязки времен пробега будут влиять возмущения скорости, расположенные в некоторой окрестности луча. Для того, чтобы охарактеризовать эту область в работе Ю.А Кравцова, Ю.И. Орлова введено понятие. френелевских объемов. С их помощью была глубже изучена разрешающая способность сейсмических методов, определены условия применимости - лучевого метода (Клем-Мусатов К.Д.; Pant,-D.R., Greenhalgh, S.A.; Williamson, P.R., Worthington M.H.). Cerveny, V., и Soares J.E. предложен алгоритм быстрого вычисления френелевских объемов, сопоставимый по затратам машинного времени с алгоритмами трассировки лучей. Это позволяет построить на их основе эффективную процедуру обращения временных невязок, учитывающую влияние возмущений скорости, расположенных внутри френелевского объема. (Vasco, D.W.). Френелевские объемы точно определяются лишь для монохроматических сигналов (или сигналов с узким спектром). Существует другой способ для того, чтобы учесть влияние конечного объема среды на времена пробега, который заключается в расчете функций чувствительности. (Li, X.-D., Tanimoto, Т.; Stark, P., Nikolayev, D.; Vasco, D.W., Majer E.L.). Функции чувствительности для трехмерных сред строятся в работах Dahlen, F.A. et. al.; Marquering, H. et. al; Zhao, L. Vasco, D.W., Majer E.L. предложен алгоритм обращения временных невязок на основе использования функций чувствительности.

В работе Luo, Y., Schuster, G.T. предложен альтернативный подход к сейсмической томографии, совмещающий обращение невязок времен и обращения полного волнового поля. Он заключается в минимизации градиентным методом целевой функции, которая представляет собой сумму квадратов временных невязок по всем положениям источников и приемников. Невязки определяются через функцию взаимной корреляции. В общем случае он позволяет получать лишь сглаженные изображения среды.

Для того, чтобы получить более полную картину исследуемой среды,. необходимо совместно использовать при обращении кинематические и динамические данные.

В работе Neele, F., VanDecar, J.C., Sneider, R. А. для повышения детальности изображений, полученных при обращении временных невязок, используются амплитуды волн, которые чувствительны к границам раздела

и представляют помимо времен пробега еще один независимый набор данных. Развитие идеи, предложенной в работе Luo, Y., Schuster, G.T. , приводится в работе Zhou, С, Cai, W., Luo, Y., Schuster G.T., Hassnzadeh, S. Здесь изображение, полученное при обращении невязок времен, используется как референтная модель для обращения волнового поля, причем обе процедуры очень схожи и требуют двукратного решения прямой динамической задачи. В результате строится итеративный процесс, который позволяет получать весьма подробные изображения среды, что показано на ряде примеров для задачи межскважинного просвечивания. Работа Zhou, С, Schuster G.T., Hassnzadeh, S., Harris, J.M. обобщает этот подход для уравнений упругости.

Большинство упомянутых работ основываются на использовании прямой волны. Подход, предлагаемый в данной диссертации предназначен прежде всего для обработки данных поверхностных систем многократного перекрытия, хотя, конечно, может применяться и для любых других сейсмических методов (сравнение свойств томографического оператора для задач межскважинного просвечивания - и отражательной сейсмики можно -найти в работах СВ. Гольдина).

Во второй главе строится линеаризованный кинематический оператор, который возникает при применении динамического подхода к определению. временных невязок; проводится анализ его сингулярного спектра, а также ядра чувствительности, характеризующего разрешающую способность этого подхода. Рассматривается сопряженный оператор и его действие на временные невязки. Отдельно рассмотрен кинематический оператор в случае вертикально-неоднородной вмещающей среды.

Динамически обоснованный кинематический оператор

Пусть полуплоскость z > О заполнена средой с неизвестной скоростью v(x, z), которая представляется в виде v{x,z) = VQ{x,z)-1r 5v{x,z),

- известная функция, должна быть найдена по волновому полю ,

возбуждаемому источниками в точках rs ={xs,Zs) и регистрируемому в точках . Предположение о малости искомого возмущения

скоростной модели позволяет представить наблюдаемое волновое поле в виде суммы волнового поля , распространяющегося в

известной вмещающей среде и его возмущения ,

вызванного наличием скоростной неоднородности

ob.i

(x, z\xs,zs\t) = u0(x, z;xs ,z/,t) + öu(x, z;x,, zs;/)

(1)

Из полного волнового поля выбирается некоторая определенную волна (например, это может быть прямая волна при исследованиях в скважине или отраженная от известной границы при наблюдении на поверхности). Пусть для заданного положения - источника и приемника эта волна наблюдается в интервале (11, 12 ) Невязка времен пробега целевой волны для реальной и референтной сред определяется как

(2)

при этом предполагается, что форма импульса целевой волны мало искажается, а также, что в выбранном интервале нет других волн).

С использованием (1) функция взаимной корреляции в (2) раскладывается в ряд Тейлора, в окрестности т = 0. При этом оставляются члены второго порядка относительно сдвига х„ учитывается малость Sv и 5и . Далее берется производная по сдвигу Г и приравнивается к нулю. Условие (2) выполняется, если задержка. выражается как (Marquering, H., Dahlem, F.A., Nolet, G. 1998):

(3)

Далее считается, что У0(г) - гладкая функция (если используется

волна, отраженная от некоторой известной границы, то гладкая функция, не имеющая разрывов вплоть до этой границы), и ее носитель содержится в некоторой области Б, целиком лежащей в верхней полуплоскости. Источники и приемники располагаются вне этой области. С использованием равенства Парсеваля, выражение (3) записывается в спектральной области. В качестве математической модели для описания процесса распространения волн в работе выбрана начально - краевая задача

для скалярного волнового уравнения. Предположение о малости 8\>(х, г) позволяет использовать борновское приближение для описания возмущения волнового поля 5и . Это приводит к следующему кинематическому оператору:

где - преобразование Фурье по времени от функции источника,

функция Грина для оператора

Возникает необходимость решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с непрерывным ядром. Как известно, эта задача требует применения регуляризующих процедур. В настоящей работе в качестве такой процедуры используется построение приближенного решения на основе усечения сингулярного разложения матрицы, возникающей при конечномерной аппроксимации исходного интегрального уравнения. Сущностью этого подхода является поиск решения в конечномерном подпространстве, натянутом на старшие правые сингулярные векторы, число которых выбирается в зависимости от точности входных данных и аппроксимации оператора. В связи с этим особенную важность приобретает поведение старших правых сингулярных векторов. Именно они определяют, какая компонента решения будет устойчиво восстановлена.

Особый интерес представляет поведение ядра полученного интегрального оператора в окрестности луча. Для его изучения был проведен следующий численный эксперимент. В окрестность луча при фиксированном расстоянии 1 от источника вносилась скоростная

неоднородность в виде круга с радиусом . После чего конечно-

разностным методом считалась прямая динамическая задача и находилось поле иоЪ% в точке Т^ . По формуле (2) определялась временная задержка, которая приписывалась соответствующему положению возмущения. В

качестве функции источника использовался импульс Рикера /(О = (1-2л-2иоГ2)-ехр(-;г2ио/2) с доминирующей частотой 30 Нг . На

Рис.1, представлена кривая , (з-сдвиг относительно луча).

Использовалась I = 0.5, X = 1 15

однородная вмещающая среда ,

( расстояние источник-приемник), Я = 0.03,

Максимальная задержка возникает не в том случае, когда возмущение находится непосредственно на луче, а в некоторой его окрестности, в тот момент, когда

возмущение начинает пересекать первые френелевские зоны, рассчитанные для

частот из верхней части значимого диапазона. Весьма неожиданно то, что при определенных положениях; возмущения невязка меняет знак. Подобные зависимости получаются и при использовании других функций источника.

Зависимость временной задержки от положения возмущения в пространстве описывается функцией чувствительности. Она определяется при вычислении ядра уравнения (4) в каждой точке и достигает максимума в тех точках, в которых внесение скоростного возмущения вызывает наибольшую задержку. В работе приводится пример функции чувствительности для однородной среды. Для простой модели вмещающей среды (слой с постоянной скоростью, лежащий на однородном полупространстве) получено матричное представление оператора (4) проведен анализ его сингулярного спектра. Старшие правые сингулярные векторы плавно изменяются и по горизонтальной переменной и по глубине, причем первый правый вектор характеризует освещенность среды. Младшие векторы имеют все более высокочастотный характер по мере возрастания индекса. Приводится пример восстановления скоростного возмущения с размерами, сравнимыми с доминирующей длиной волны по невязкам времен отраженной волны для упомянутой выше модели, где показано, что при реализации динамического подхода изображения таких возмущений будут сглаживаться по пространству.

Сопряженный оператор. Миграция временных невязок.

Численное решение линейного интегрального уравнения в случае произвольной вмещающей среды приводит к необходимости обращения больших, плохо обусловленных матриц. Для решения подобных задач успешно применяются итерационные алгоритмы. Одним из наиболее эффективных является алгоритм Первый шаг этого алгоритма —

действие сопряженным оператором на правую часть уравнения, в данном случае на временные невязки. Сопряженный оператор представляется в виде

(5)

где W - решение задачи Коши в обратном времени

Здесь Т - время регистрации данных, достаточно большое, чтобы считать наблюдаемое волновое поле существенно ослабленным при . Как

видно, действие сопряженного оператора на временные невязки весьма напоминает процедуру миграции до суммирования. Действие сопряженного оператора на временные невязки (5) применялось для решения ряда задач.

Локализация геологического объекта типа кимберлитовой трубки В качестве исходных данных использовались синтетические волновые поля, рассчитанные для сложно построенной среды, которая моделировала геологические условия Восточной Сибири (Рис. 2а). Применялась следующая система наблюдения. В скважине глубиной 200 м. находятся 20 источников с шагом 10 м. Сигнал от каждого из источников (импульс Рикера, Ц) = 70 Н) регистрируется в четырех скважинах, расположенных симметрично относительно первой на расстоянии 200 и 400 м., в каждой из которых находятся по 20 приемников. Эта система наблюдения перемещается вдоль профиля с шагом 200 м. В качестве фоновой была взята двухслойная модель. В результате действия сопряженного оператора на невязки времен прямой волны получено изображение (Рис.2б), на котором виден весь искомый объект, а не только его отражающие границы, как при миграции волновых полей, кроме того, объект восстанавливается в

области ниже 200 м., там, где нет лучей прямой волны, связывающих источники и приемники.

Уточнение скоростного строения околоскважинного пространства при ВСП с большим выносом.

При миграции данных ВСП, для правильного расположения

о

дИО

I

200 300

_^--

""5 km/» ИМ

^ MbWt ^У

ISWi

1000 1200 1100 1600 1800 2000 го -:-:-

1000 1200 1400 оВи,^! 1600 1900 2000

Рис.2, (а) - фрагмент "реальной" модели; (б) -результат действия сопряженного оператора на невязки времен прямой волны

отражающих границ, необходима исходная скоростная модель, которая обеспечивала бы приемлемый уровень невязок времен пробега. В качестве таковой как правило используется вертикально-неоднородная модель, описывающая скоростной закон вдоль скважины. Однако может возникнуть необходимость в уточнении этой модели. Численный эксперимент проводился с реальными данными, полученными в Западной Сибири. Были обработаны данные для двух выносов источника по разному азимуту: 1274 и 1068 метров. В результате получены уточненные скоростные модели, с помощью которых была успешно проведена миграция сейсмических данных.

На.Рис.3 изображены невязки времен для исходной модели (¿Т^) и уточненной модели ( , полученной в результате действия сопряженным оператором на ¿>Г0 ( вынос 1274 м.).

Далее рассматривается случай, когда в среде имеется каустика и выясняется, при каких условиях сохраняется возможность определения-невязок времен пробега по формуле (2). Для того, чтобы волна в реальной среде не сильно отличалась - по форме от волны, рассчитанной для референтной модели, предполагается, что причина возникновения

каустики известна и учтена в референтной модели. В этом случае применение подхода, основанного на определении (2) будет обоснованно. Сделанное предположение подтверждается численным экспериментом на

примере волны,

0.02 0 0.02 0.04 0.06

dT(sec)

-с-.....

.....

О

500

1000 1500

depth (meters)

Рис.3.

2000 2500

отраженной от вогнутой границы. Невязки

времен отраженной волны, которые

возникают для модели с вогнутой границей при внесении- локального -возмущения скорости, вычисляются без

сильных искажений, связанных со вторым

вступлением целевой волны. Результат действия сопряженным оператором на временные невязки для такой модели подобен результату, полученному для аналогичной модели с горизонтальной границей.

Кинематический оператор для вертикально-неоднородной вмещающей среды.

Пусть вмещающая среда является вертикально-неоднородной.

Источники и приемники заполняют всю прямую 2 — 2 Возмущение

приемники заполняют всю прямую

вмещающей среды есть финитная функция с носителем,

сосредоточенным в квадрате , которая должна

быть найдена по данным системы многократного перекрытия

м(х , 2 ; х,, г,;0 = , ; О

г'о\"я>

Введем следующее преобразование

м

(6)

Предположения, сделанные выше относительно вмещающей среды позволяют считать, что в референтной среде существуют лишь два типа волн: прямая волна и волна, отраженная от границы I = Н (целевая). Выражение временной невязки (3) будет верно и для преобразованных с помощью (6) сигналов:

Ъсг/ Л ;а;0

/)--^-Л

Щхх,а) = -

|и0

д(2

(7)

Л

Применяя равенство Парсеваля, запишем (7) в частотной области, и выполним преобразование Фурье для задержки ЗТ(х^,а) по переменной

. Используя борновское приближением для описания ■ рассеянной

компоненты би(х,2',и\м>), сводим задачу к однопараметрическому семейству линейных интегральных уравнений:

и

ядро

выражается как

"«4

^х^р™

где 0(2,2^ \ОС\м>) -функция Грина для обыкновенного дифференциального уравнения ¿^/¿¿г2 + ч>2(\/у20(г)-а)о = -5(2-2,).

Пусть функция 5у(х, г) на своем носителе представляется в виде конечного отрезка ряда Фурье по переменной х:

1 А ^

&>(хуг) = — ^г)-е i ¿Ь у=-лг

(9)

Коэффициенты этого ряда являются Ьг- функциями от 2 на интервале (И, Н) и находятся при решении (8) для различных значений параметра

Далее используя ВКБ - приближение для представления функции Грина, получено явное выражение для ядра (8).

При проведении численных расчетов: моделировалась ситуация сейсмических исследований по типу многократного перекрытия в горизонтальной скважине. Подобный эксперимент предполагается проводить с целью выделения зоны проникновения газа при разработке нефтеносного пласта. В качестве вмещающей среды был выбран.слой с постоянной скоростью ограниченный абсолютно отражающей границей. В него была помещена локальная двумерная неоднородность в виде эллипса. Точечные источники и приемники равномерно располагались поверхности Z = 0. Источники излучали импульс Рикера с доминирующей частотой и о = 1200 Нг .. Волновые поля рассчитывались конечно-разностным методом. При построении конечномерной аппроксимации уравнения (8) в качестве базисов в соответствующих пространствах были выбраны

системы ступенчатых функций. Максимальный размер матрицы

(при составлял

2 01x301 элементов. При

увеличении параметра

количество строк у

соответствующих матриц

уменьшается.

Для полученных матриц выполняется. сингулярное

разложение. Сингулярные числа очень быстро убывают. Это позволяет использовать для построения приближенного

решения (г-решения, где г-число правых сингулярных векторов, образующих подпространство, в котором отыскивается решение) лишь небольшое количество старших правых сингулярных векторов. Уже при г = 20 число

обусловленности для соответствующих матриц становиться порядка 1016 .

При построении г-решений использовались такие усечения, которые обеспечивали бы обусловленность соответствующих систем Ц = 1 0 . Это

Рис.4 Реальная часть правых сингулярных векторов Щ =5-т^Ь

позволило оценить качество решения при наличии значительных помех (относительная погрешность порядка 10%) во входных данных. На Рис.4 представлена зависимость реальных частей первых 35 правых сингулярных векторов от глубины. (Мнимые части ведут себя аналогично). Видно, что

О,-г---г—:-------

25<--:—------—,—-------

-32 -16 0 16 32

О 8 16 25

-32 -16 0 16 32 Рис.5 Суммирование ряда (11) с точными (а) и восстановленными гармониками (б)

старшие правые сингулярные векторы плавно изменяются по z. Векторы, сильно осциллирующие по z и отвечающие индексу большему чем.

К = г(к*'), не участвуют в конструировании г-решения. Поэтому решением оказывается некоторая сглаженная функция. На Рис.5 приведены- результаты суммирования ряда (9) с N = 6 точных, (преобразование Фурье по х от известной функции и

восстановленных гармоник (без нулевых). Как видно, искомый объект достаточно точно локализуется по горизонтали, хотя его границы по вертикали размыты. Достаточно точно определяется абсолютная величина-возмущения.

В третьей, главе рассматривается совместное обращение, кинематических и динамических данных в случае, когда вмещающая среда является вертикально-неоднородной.

Независимое обращение времен пробега и полного волнового поля не дает полного представления. об исследуемой среде. Так, при обращении времен пробега восстанавливается некоторая сглаженная модель (тренд), не позволяющая судить о детальном строении среды. Обращение полного волнового поля обладает лучшей разрешающей способностью, однако при этом принципиально невозможно устойчиво восстановить трендовую составляющую скоростного разреза. Для того, чтобы получить наиболее

полную картину исследуемой среды, включающую в себя информацию о ее детальном строении, т.е. наличии и расположении отражающих объектов и значения скоростей, необходимо совместно использовать при обращении1 кинематические и динамические данные. Предлагаемый в диссертации -подход к совместному обращению заключается в построении динамического и кинематического операторов, действующих на один и тот же элемент пространства моделей и решении системы линейных алгебраических уравнений, составленной из матриц, которые возникают при конечномерной аппроксимации, динамического и кинематического интегральных операторов. Кинематический оператор построен во второй. главе диссертации, динамический - рассматривается в работе Алексеева А.С., Костина В.И., Хайдукова В.Г., Чеверды В.А. 1997. Согласно этой работе линеаризованная обратная задача восстановления возмущений вертикально-неоднородной вмещающей с р еуд(ы)п о данным

поверхностной системы многократного перекрытия после выполнения преобразования Фурье по времени, координатам источников и приемников сводится к решению линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода вида:

Здесь - преобразование Фурье по х; 51](кх\к5\М>)

преобразование Фурье по всем аргументам от возмущения наблюдаемого волнового поля; О -функция Грина для уравнения

с!2б!(к2 + (и>2/Уд (2) - к2 )(? = - ) . Далее предполагается,

что представляется в виде ряда (9), кх = Ш7Г /

Это ведет к интегральному уравнению, которое после приведения к нормальному виду записывается как

pj (2) - преобразование Фурье по горизонтальной переменной х результата миграции до суммирования данных наблюдения - самосопряженный неотрицательный оператор.

В работе Clement F., Khaidukov V.G., Kostin V.I., Tcheverda V.A., 1998 показано, что старшие правые сингулярные векторы оператора (12) быстро осциллируют по z. Плавно изменяющиеся по z векторы лежат в области, недоступной для устойчивых вычислений.

Итак, можно построить кинематический оператор (8) и динамический оператор (10), которые действуют на один и тот же элемент пространства моделей Л/ = L2(D) . Решения систем, линейных уравнений, аппроксимирующих эти операторы, будут представлять собой проекции; точного решения на подпространства, натянутые на то или иное количество старших правых сингулярных векторов соответствующего оператора.. Структура этих подпространств определяет свойства получаемых решений. Результат совместного обращения операторов

(8),(10) лежит в пересечении

- набор правых сингулярных векторов

А^ И A). На примере простой вмещающей среды (слой с постоянной скоростью, лежащий на однородном полупространстве) показано, что в подпространствах, натянутых на старшие правые сингулярные векторы:

операторов .Aj°^ И А^ (их размерность определялась тем условием,

чтобы обусловленность систем линейных уравнений ¡X =1000) существуют взаимно ортогональные элементы. Таким образом, при совместном обращении происходит пополнение дополнительными базисными, векторами.того подпространства, в котором отыскивается решение. Совместное обращение заключается в решении составной системы линейных уравнений:

Mx,Zg;x/,t). A)D)

span^p jn spanfflD) j

где - матричные представления соответствующих

операторов.

Для численной реализации совместного обращения была взята двухслойная модель с горизонтальными границами.

верхний слой

вносилось возмущение —0.1 в виде эллипса. Волновые поля

рассчитывались конечно-разностным методом. При расчете кинематического оператора использовалась волна, отраженная от второй границы. На Рис.б. представлены результаты независимого обращения

А^ -(2) и А^ - (1) в сравнении с точной гармоникой. На Рис.7 приведен

результат решения системы (11). В результате суммирования ряда (9) (Ы = 1) с восстановленными гармониками получено изображение. (Рис.8.), на котором точно определяются границы и положение возмущения. Ее абсолютная величина весьма близка к той, которая дается рядом (9) с точными гармониками.

•1.5 -I -0.5 0 0 5 1 15

Рис.8 Суммирование ряда (11) с точными гармониками (1) и гармониками, восстановленными при совместном обращении (2)

Заключение. Основным результатом работы является разработка оригинального подхода к обращению невязок времен пробега сейсмических волн, учитывающего динамику их распространения. Его особенностью является то, что для поверхностной системы наблюдений в случае использования вертикально-неоднородной вмещающей среды удается свести исходное интегральное уравнение (в общем случае по трехмерной области) к распадающейся системе одномерных линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Представленные результаты численных экспериментов по анализу сингулярного спектра линейных конечномерных операторов, возникающих при дискретизации этой системы доказывают возможность устойчивого восстановления трендовой компоненты скоростного разреза при наличии значительных помех во входных данных. Сравнение сингулярного спектра вышеупомянутого кинематического оператора с сингулярным спектром линеаризованного оператора динамического обращения показывает, что устойчивые области этих спектров дополняют друг друга. Этот факт

служит теоретическим, обоснованием для предложенного подхода к совместному обращению кинематических и динамических данных. Он заключается в построении динамического и кинематического операторов, действующих на один и тот же элемент пространства моделей и решении совместной системы линейных алгебраических уравнений, составленной из матриц, которые возникают при конечномерной аппроксимации этих операторов. Численные эксперименты показывают, что при реализации данного подхода происходит значительное улучшение получаемых результатов по сравнению с результами независимых обращений.

В работе предложен одношаговый, метод оценки трендовой составляющей скоростного разреза, который. заключается в действии-сопряженным кинематическим оператором на временные невязки.. Этот подход в некотором смысле является аналогом процедуры миграции до суммирования. Его применение к реальным данным ВСП с большим выносом источника, полученным для скважины с двумя выносными источниками, позволило уточнить строение околоскважинного пространства и существенно улучшить результаты миграции.

В дальнейшем- предполагается обобщить описанный подход для уравнений упругости и перейти к 3-Б постановке.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Неклюдов Д.А., Чеверда В.А. Динамический подход к обращению, времен пробега волн// Геофизический вестник, 2001. № 12. - с. 11-14.

2. Неклюдов Д.А., Чеверда В.А. Динамический подход к обращению невязок времен пробега сейсмических волн в случае вертикально-неоднородной вмещающей среды// Труды Международной конференции "Математические методы в геофизике". 4.1. -Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003, с. 213-218.

3. Гольдин С.В., Костин В.И., Чеверда В.А, Неклюдов Д.А. "Выделение рассеивающих объектов на фоне интенсивных отражающих границ"// Доклады Российской Академии Наук, 2002, т.382, п.2 - с. 246-249.

4. Гольдин СВ., Костин В.И., Чеверда В.А, Неклюдов Д.А. "Отделение рассеяния и дифракции от регулярных отражений в сейсмических данных"// Геология и геофизика, 2003, т.44, п.8 , с. 819-827.

Технический редактор Р.М. Вараксина

Подписано к печати 05.01.2004 Бумага 60x84/16. Бумага офсет № 1. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная

_Печ. л. 1,2. Тираж 100. Заказ № 2_

Издательство СО РАН. 630090, Новосибирск, Морской пр., 2 Филиал «Гео». 630090, Новосибирск, пр-т. Ак. Коптюга, 3

* .1686

РНБ Русский фонд

2004-4 18157

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Неклюдов, Дмитрий Александрович

• ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИЗУЧЕННОСТЬ ВОПРОСА.

ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИ ОБОСНОВАННЫЙ КИНЕМАТИЧЕСКИЙ

ОПЕРАТОР (КО).

2.1. Построение динамически обоснованного кинематического оператора.

2.2. Сопряженный КО. Миграция временных невязок.

2.3. КО в случае вертикально-неоднородной вмещающей среды

ГЛАВА 3. СОВМЕСТНОЕ ОБРАЩЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКОГО И

ДИНАМИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРОВ В СЛУЧАЕ ВЕРТИКАЛЬНО -НЕОДНОРОДНОЙ ВМЕЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ.

3.1. Динамический оператор для вертикально-неоднородной вмещающей среды.

3.2. Составной оператор для вертикально - неоднородной вмещающей среды.'.

3.3. Численная реализация совместного обращения.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Динамический подход к обращению временных невязок"

В настоящее время в обработке сейсмических данных можно выделить две основные процедуры - определение скоростного строения среды и миграция данных сейсмических наблюдений в среду с известным скоростным строением. Относительно миграционных процедур к настоящему времени сложилось ясное понимание их природы и унифицированное описание как результата действия сопряженного оператора для соответствующей прямой динамической задачи. Миграционные процедуры позволяют получать достаточно подробные изображения исследуемой среды, которые характеризуют положение и форму отражающих объектов, но не позволяют судить ни о распределении скоростей над отражающими границами, ни об абсолютных значениях локальных скоростных пеоднородностей. Все попытки итерационного применения этих процедур для полного восстановления среды не увенчались успехом. Как было показано в ряде работ за последние десять лет, это связано со спецификой строения сингулярного спектра упомянутого оператора - оказалось, что сингулярные векторы, отвечающие за плавное изменение распределения скоростей в среде, лежат в недоступной для устойчивых вычислений области. В то же время, из практики обработки сейсмических данных известно, что использование только кинематической составляющей волнового поля позволяет устойчиво определять именно плавную (трендовую) компоненту скоростного разреза. В некотором роде сложилась парадоксальная ситуация -кинематическая информация, безусловно, содержится в полных динамических данных, но, фактически, не работает при их обращении. В связи с этим представляется актуальным предложить такой подход при обработке динамической информации, который нацелен именно на выделение и дальнейшее использование кинематической информации.

Объектом исследований в данной работе является один из возможных подходов к решению линеаризованной обратной кинематической задачи сейсмики, который позволяет учитывать динамику распространения сейсмических волн.

Цель исследований - разработка способа обращения невязок времен пробега сейсмических волн, учитывающего динамические характеристики волновых полей, а также спектральную ограниченность сигналов, используемых в сейсморазведке.

Задачи исследований: достоверное восстановление скоростного строения среды с помощью обращения невязок времен пробега, которые определяются с учетом динамики распространения сейсмических волн.

Основные этапы исследований:

- получить выражение для линеаризованного кинематического оператора (т.е. оператора, переводящего возмущения скоростного строения вмещающей среды в невязки времен пробега), возникающего при реализации динамического подхода и изучить его основные свойства;

- на примере синтетических и реальных данных показать, что применение динамического подхода при обращении временных невязок позволяет более полно учитывать эффекты, связанные с распространением реальных сейсмических волн и позволяет восстанавливать трендовую составляющую скоростного разреза;

- показать, что в случае вертикально - неоднородной вмещающей среды существует возможность совместного обращения кинематических (невязки времен пробега) и динамических (невязки волновых полей) данных; при этом восстанавливается более полная информация о скоростном строении, чем при независимом обращении.

Методы исследований и фактический материал

Основным методом исследования является математическое моделирование волнового поля от точечного источника в двумерной среде с помощью начально-краевой задачи для скалярного волнового уравнения. Численное моделирование включает задание двумерной модели, источника, системы регистрации и выполняется с помощью конечно-разностных методов. Теоретической основой решения поставленных задач является построение сингулярного спектра компактного оператора и изучение структуры его устойчивых подпространств, то есть подпространств, натянутых на старшие сингулярные векторы. Обработка данных предусматривает получение матричного представления оператора и сводится к реализации процедуры устойчивого решения систем линейных уравнений, основанной на выполнении сингулярного разложения.

Основным фактическим материалом являются результаты обработки данных численного моделирования процессов распространения сейсмических волн. Для опробования алгоритмов и ключевых процедур использовались как синтетические данные, так и данные реальных сейсмических наблюдений по методу вертикального сейсмического профилирования, полученные в Западной Сибири (предоставлены С.Б. Горшкалевым в 2001 г.).

Сформулированы и защищаются следующие научные результаты

1. Линеаризованный кинематический оператор

- строится на основе применения динамического подхода к определению временных невязок, который заключается в том, что задержка целевой волны в реальной среде относительно волны того же типа, рассчитанной для референтной модели, определяется как аргумент максимума функции взаимной корреляции этих двух сигналов. Рассеянная компонента волнового поля описывается с помощью борцовского приближения в спектральной области

- сводится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно возмущения скорости.

2. Решение обратной кинематической задачи

- основано на аппроксимации интегрального оператора конечномерной системой линейных алгебраических уравнений

- строится с привлечением регуляризирующей процедуры, которая заключается в построении приближенного решения на основе усеченного SVD - разложения матричного представления компактного оператора

- позволяет устойчиво восстанавливать треидовую компоненту скоростного разреза.

3. Совместное обращение кинематических и динамических данных в случае вертикально - неоднородной вмещающей среды

- заключается в построении динамического и кинематического операторов, действующих на один и тот же элемент пространства моделей

- решении совместной системы линейных алгебраических уравнений, составленной из матриц, которые возникают при конечномерной аппроксимации динамического и кинематического интегральных операторов.

Новизна работы. Личный вклад.

Предложен оригинальный подход к решению линеаризованной обратной кинематической задачи сейсмики, который существенно опирается на использование динамической информации, содержащейся в сейсмических записях.

- С использованием метода возмущений получено линейное приближение для кинематического оператора; изучены свойства ядра чувствительности этого оператора; в случае вертикально-неоднородной вмещающей среды получено его представление в виде однопарамстрического семейства одномерных интегральных операторов.

- Проанализировано строение сингулярного спектра данного оператора в сравнении с сингулярным спектром линеаризованного оператора динамического обращения и показано, что устойчивые области этих спектров дополняют друг друга. На основании этого предложен новый подход к совместному обращению кинематических и динамических данных (для вертикально-неоднородной вмещающей среды).

- Проведена представительная серия численных экспериментов, позволившая выяснить разрешающую способность метода динамического обращения временных невязок и определить границы его применимости. Выполнена обработка реальных данных, позволившая уточнить скоростное строение околоскважинного пространства и существенно улучшить результаты миграции сейсмических данных. На примере синтетических данных показано, что предложенный подход к совместному обращению кинематических и динамических данных позволяет получать более полную информацию о строении среды.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Предложенный динамический подход к обращению временных невязок может применяться при обработке реальных данных и позволит в определенных ситуациях (особенно в тех, когда нельзя пренебречь эффектами, связанными с ограниченностью спектров реальных сигналов) получать более достоверную информацию о распределении скоростей в среде, чем стандартные методы лучевой томографии. В случаях поверхностных систем наблюдения, когда в качестве референтной модели используется вертикально-неоднородная вмещающая среда, существует возможность совместного обращения кинематических и динамических данных, что существенно улучшает информативность получаемых результатов.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты докладывались на международной конференции молодых ученых, специалистов и студентов "Геофизика - 2001" (Новосибирск, 2001), международной конференции "Математические методы в геофизике" (Новосибирск, 2003).

Результаты исследований по теме диссертации изложены в 4 опубликованных работах.

Диссертация выполнена в Лаборатории динамических проблем сейсмики Института геофизики СО РАН.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю, к.ф.-м.и. В.А. Чеверде за всестороннюю поддержку и постоянное внимание. Хочется поблагодарить сотрудников Лаборатории динамических проблем сейсмики Института геофизики СО РАН к.ф.-м.н. В.И. Костина, к.ф.-м.н. В.Г. Хайдукова, Д.М. Вишневского за помощь в работе, а также д.ф.-м.н. С.И. Кабанихина, к.т.н. Ю.А. Орлова, д.ф.-м.н. Б.П. Сибирякова зато, что они взялись за труд ознакомиться с работой и высказать о ней свое мнение.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Неклюдов, Дмитрий Александрович

заключение

Основным результатом работы является разработка оригинального подхода к обращению невязок времен пробега сейсмических волн, учитывающего динамику их распространения. Его характерная особенность заключается в том, что для поверхностной системы наблюдений в случае использования вертикально-неоднородной вмещающей среды удается свести исходное интегральное уравнение (в общем случае по трехмерной области) к распадающейся системе одномерных линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Представленные результаты численных экспериментов по анализу сингулярного спектра линейных конечномерных операторов, возникающих при дискретизации этой системы доказывают возможность устойчивого восстановления трендовой компоненты скоростного разреза при наличии значительных помех во входных данных. Сравнение сингулярного спектра вышеупомянутого кинематического оператора с сингулярным спектром линеаризованного оператора динамического обращения показывает, что устойчивые области этих спектров дополняют друг друга. Этот факт служит теоретическим обоснованием для предложенного подхода к совместному обращению кинематических и динамических данных. Он заключается в построении динамического и кинематического операторов, действующих на один и тот же элемент пространства моделей и решении совместной системы линейных алгебраических уравнений, составленной из матриц, которые возникают при конечномерной аппроксимации этих операторов. Численные эксперименты показывают, что при реализации данного подхода происходит значительное улучшение получаемых результатов по сравнению с результами независимых обращений.

В работе предложен одношаговый метод оценки трендовой составляющей скоростного разреза, который заключается в действии сопряженным кинематическим оператором на временные невязки. Этот подход в некотором смысле является аналогом процедуры миграции до суммирования. Его применение к реальным данным ВСП с большим выносом источника, полученным для скважины с двумя выносными источниками, позволило уточнить строение околоскважинного пространства и существенно улучшить результаты миграции.

В дальнейшем предполагается обобщить описанный подход для уравнений упругости и перейти к 3-D постановке.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Неклюдов, Дмитрий Александрович, Новосибирск

1. Алексеев А.С., Кремлей А.Н., Жерияк Г.Ф. Обратная задача дифракции акустических волн на малых скоростных неоднородностях// Геология и геофизика, 1981, т.22, №.1, c.l 11 -118.

2. Алексеев А.С., Костин В.И., Хайдуков В.Г., Чеверда В.А. Восстановление двумерных возмущений скорости вертикально-неоднородной акустической среды по данным многократного перекрытия.// Геология и геофизика, 1997, т.38, с. 1980-1992.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики// М.: Паука, 1972, 356с.

4. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П. , Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах, //Новосибирск: Наука, 1990, 246 с.

5. Гольдин С.В. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн// М.: Недра, 1979, 344 с.

6. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии. Часть 1: Преобразование Радона в полосе и его обращение// Геология и геофизика, 1996, т.37, с. 3-18.

7. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии. Часть 2: Обратные задачи для однородных референтных сред// Геология и геофизика, 1996, т.37, с. 14-25.

8. Гольдин С.В. Обратные задачи лучевой сейсмической томографии// Геология и геофизика, 1997, т.38, с. 981-998.

9. Зеркаль С.М. Численное решение обратной трехмерной кинематической задачи сейсмики в линеаризованной постановке// Геология и геофизика, 1988, т.29, №.11, с. 126-133.

10. Ю.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ// М.: Наука, 1977, 486 с.

11. Клем-Мусатов К.Д. Теория краевых волн и ее приложение в сейсмических методах// Новосибирск: Наука, 1980, 295 с.

12. Козлов Г.А. Миграционные преобразования в сейсморазведке// М.: Недра, 1986,246 с.

13. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред// М.: Наука, 1980, 218 с.

14. Лаврентьев М.М., Бронников А.В., Воскобойииков Ю.Г., Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Сейсмическая томография сред с квазилинейным изменением скорости, содержащих поглощающие включения// Изв. РАН. Серия Физика Земли 1995, №.6, с.26-31.

15. Мешбей В.И. Метод общей глубинной точки //М.: Недра, 1973, 154 с.

16. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии// М.: Мир, 1990,280 с.

17. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции// М.: Паука, 1978,277 с.

18. Г1узырев H.II. Временные поля отраженных воли и метод эффективных параметров// Новосибирск: Паука, 1979, 294 с.

19. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики// М.: Наука, 1984, 326с.

20. Тимошин Ю.В. Основы диффракциониого преобразования сейсмических сигналов// М.: Недра, 1972, 264 с.

21. Тихонов A.II. , Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач// М.: Наука, 1980,352 с.

22. Урупов А.К., Левин A.II. Определение и интерпретация сейсмических скоростей в методе отраженных волн// М.: Недра, 1985, 218 с.

23. Bishop, Т., Bube, К., Cutler, R., Langan, R., Love, P., Resnick, J., Shuey, R., Spindler, D., VVyld, II., Tomographic determination of velocity and depth in laterally varying media// Geophysics, 1985, v.50, pp.903-923

24. Bregman, N.D., Chapman, C.II., Bailey, R.C., Traveltime and amplitude analysis in seismic tomography// J. Geophys. Res., 1989, v.94, pp.7577-7587.

25. Cardimona, S., Garmanany, R.W., Smoothing operators for waveform tomographic imaging// Geophysics, 1993 v.58, pp. 1646-1654

26. Carrion, P., Foster, D., Inversion of seismic data using precritical reflection and refraction data//Geophysics, 1985, v.50, pp. 759-760.

27. Cerveny V, Molotkov I.A., Psencik I. Ray method in seismology// Univerzita Karlova, Praha, 1977, 216 p.

28. Cerveny, V., Soares J.E., Fresnel volume ray tracing// Geophysics, 1992, v.57, pp. 902-915

29. Clayton, R., Stolt, R., A Born WKBJ inversion method for acoustic rellecton data// Geophysics, 1981, v.46, pp. 1559-1567

30. Clement F., Khaidukov V.G., Kostin V.I., Tcheverda V.A., Linearized inversion of multi-offset data for vcrtically-inhomogeneous background// Journal of Inverse and Ill-Posed problems, 1998, v.6, pp.455 477.

31. Dahlen, F.A., Hung, S.-II., Nolet, G., Frechet kernels for finite-frequency travel time-1: Theory// Geophysical J. Int., 2000, v. 141, pp. 157-174.6H

32. Farra, V., Madariaga, R., Non-linear reflection tomography// Geophysical J. Int., 1988, v.95, pp.135-147.

33. Kostin V.I., Tcheverda V.A., r-Pseudoinverse for compact operators in Hilbert space: existence and stability// J.Inverse and Ill-Posed Problems, 1995, v.3 pp. 131148.

34. Knapp, R.W. Fresnel zones in the light of broadband data// Geophysics, 1991, v.56, pp.354-359.

35. Li, X.-D., Tanimoto, T. Waveforms of long period body waves in slightly aspherical Earth model// Geophysical J. Int., 1993, v. 112, pp. 92-102

36. Lines, L. Ambiguity in analysis of velocity and depth// Geophysics, 1993, v.58, pp.596-597.

37. Luo, Y., Schuster, G.T. Wave equation travel-time inversion// Geophysics, 1991, v.56, pp.1223 1225.

38. Mao, W., Stuart G.W. Transmisson-reflection tomography: Applicaton to reverse VSP dataII Geophysics, 1997, v.62, pp.884-894.

39. Marquering, H., Dahlem, F.A., Nolet, G. Three dimensional waveform sensitivity kernels // Geophysical J. Int., 1998, 132, pp. 521 534.

40. Marquering, H., Dahlem, F.A., Nolet, G. Three dimensional sensitivity kernels for finite-frequency traveltimes: a banana doghnut paradox// Geophysical J. Int., 1999, 137, pp. 805-815.

41. Mora, P. Inversion=migration+tomography// Geophysics, 1989, v.54, pp.15751586

42. Neele, F., VanDecar, J.C., Sneider, R. A formalism for including amplitude data in tomographic inversion// Geophysical J. Int., 1993, v.l 15, pp. 482-496

43. Neumann, G. Determination of local inhomogeneities in reflection seismic by inversion of traveltime residuals// Geophys. Prosp., 1981, v.29, pp. 161-177.

44. Nowack, R.L., Lutter, W.J. Linearized rays, amplitude and inversion// Pure appl. Geophys., 1988, v.128, pp.401-421

45. Paige, C.C., Saunders, M.A. LSQR: an algorithm for sparse linear equations and sparse least squares// ACM Transactions in Math. Software, 1982 v.8, pp.43-71.

46. Pant, D.R., Greenhalgh, S.A. Lateral resolution in seismic reflection. A physical model study//Geophysical J. Int., 1989, v.97, pp.187-198.

47. Pratt, R.G., Goulty, N. R. Combining wave-equation imaging with traveltime tomography to form high-resolution images from crosshole data// Geophysics, 1991, v.56, pp.208-224.

48. Schuster, G.T. Resolution limits of crosswell migration and traveltime tomography// Geophysical J. Int., 1996, v.127, pp. 427-440

49. Schuster, G.T., Quintus-Bosz, A. Wavepath eikonal traveltime inversion: Theory// Geophysics, 1993, v.58, pp.1314-1323.

50. Snieder, R. The role of the Born approximation in nonlinear inversion// Inverse problem, 1990, v.6, pp. 247-266.

51. Stark, P., Nikolayev, D. Toward tubular tomography// J. Geophys. Res., 1993, v.98, pp.8095-8106.

52. Stork, C., Clayton, R.W. Linear aspects of tomographic velocity analysis // Geophysics, 1991, v.56, pp. 483-495.

53. Tarantola, A. Inverse problem theory. Methods for data fitting and model parameter estimation// Elsevier Science Publ. Co, 1987

54. Tieman, H.J. Investigating the velocity-depth ambiguity of reflection traveltimes// Geophysics, 1994, v.59, pp.1763 1773.

55. Vasco, D.W. Bounding seismic velocities using a tomographic method// Geophysics, 1991, v.56, pp.472-482.

56. Vasco, D.W., Majer E.L. Wavepath traveltime tomography// Geophysical J. Int., 1993, v.l 15, pp.1055—1069.

57. Vasco, D.W., Peterson J.E., Majer E.L. Beyond ray tomography: Wavepath and Fresnel volumes// Geophysics, 1995, v.60, pp.1790—1804.

58. Vasco, D.W., Peterson J.E., Majer E.L. A simultaneous inversion of seismic traveltimes and amplitudes for velocity and attenuation // Geophysics, 1996, v.61, pp. 1738-1757.

59. Williamson, P.R. Tomographic inversion in reflection seismology// Geophysical J. Int., 1990, v.l00, pp.255—274.

60. Williamson, P.R., Worthington M.H. Resolution limits in ray tomography due to wave behaviour: Numerical experiments// Geophysics, 1993, v.58, pp.727-735

61. Woodward, M. J. Wave-equation tomography// Geophysics, 1992, v.57, pp. 15-26

62. Wu, R., Toksoz, M. N. Diffraction tomography and multisource holography applied to seismic imaging// Geophysics, 1987, v.52, pp.11-25.

63. Zhao, L., Jordan, Т.Н., Chapman, R. Three-dimensional Frechet differential kernels for seismic delay times// Geophysical J. Int., 2000, v.141, pp.558-576.

64. Zhou, C., Cai, W., Luo, Y., Schuster G.T., Hassnzadeh, S. Acoustic wave-equaton traveltime and waveform inversion of crosshole seismic data// Geophysics, 1995, v.60, pp.765-773.

65. Zhou, C., Schuster G.T., Hassnzadeh, S., Harris, J.M. Elastic wave-equation traveltime and waveform inversion of crosswell data// Geophysics, 1997, v.62, pp.853-868.