Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах с использованием томографического подхода

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах с использованием томографического подхода"

На правах рукописи

ХОГОЕВ Евгений Андреевич

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СЕЙСМИКИ НА РЕФРАГИРОВАННЫХ ВОЛНАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТОМОГРАФИЧЕСКОГО ПОДХОДА

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 2005

Работа выполнена в Институте геофизики СО РАН, Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете (Сибстрин).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Зеркаль Сергей Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Трофимов Олег Евгеньевич

кандидат физико-математических наук Чеверда Владимир Альбертович

Ведущая организация: Сибирский научно-исследовательский инстит} геологии, геофизики и минерального сырья (ФГУП СНИИГГиМС, г.Новосибирск)

Защита состоится " 04 " июля 2005 года в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.050.05 при Объединенном институте геологии, геофизики и минералогии им. A.A. Трофимука СО РАН, в конференц-зале.

Адрес: 630090, Новосибирск-90, проспект Академика Коптюга, 3.

Факс: (3832) 33-27-92

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИГГиМ СО РАН Автореферат разослан " 2 " июня 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Ю.А. Дашевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются двух- и трехмерные обратные кинематические задачи сейсмики на рефрагированных волнах, допускающие линеаризацию.

Актуальность работы.

В технологии стандартной сейсморазведки методом отраженных волн годографы рефрагированных волн используются в основном для изучения распределения скорости в верхней части разреза (ВЧР) с целью более точного определения статических поправок. Ошибочное представление о распределении скоростей в ВЧР в области линии приведения и ниже может привести к существенной ошибке в определении глубины отражающей границы и нарушению ее прослеживаемости, что делает проблематичной стратиграфическую привязку.

В настоящее время интерпретация данных ведется либо методом непосредственного решения, либо методом подбора в рамках ограниченного класса (одномерных) моделей. Существующих интерпретационных моделей недостаточно для описания реальных сред; изучение среды по отдельным годографам - нетехнологичная процедура. При этом требования к точности и достоверности сейсморазведки постоянно растут в связи с тем, что крупные структуры уже выявлены и изучены, на очереди разведка малоамплитудных структур. Возникает необходимость разработки эффективных алгоритмов решения обратной задачи, соответствующих современным требованиям и полнее использующих возможности новых вычислительных технологий.

Кинематика рефрагированных волн и вопросы интерпретации годографов рефрагированных волн и отраженных волн в градиентной среде привлекали внимание многих выдающихся отечественных геофизиков - Г.А. Гамбурцева, И.С. Берзон, H.H. Пузырева и др. Определение скоростного строения среды по зарегистрированному времени прихода рефрагированной волны - одна из первых рассмотренных обратных задач.

Обратная кинематическая задача (ОКЗ) сейсмики в своей математической части является классической задачей математической физики. Задача относится к нелинейным, поскольку время прихода волны определяется как интеграл от скорости по кривой (траектории луча), которая сама зависит от распределения скорости. Решение ОКЗ в общей постановке к настоящему времени не найдено. За свою историю (с 1905-1907г -Г. Герглотц, Е. Вихерт) ОКЗ формулировалась в различных постановках и привлекала внимание многих известных ученых (A.C. Алексеев, C.B. Гольдин, М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов и др.). Только с работ М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова началось систематическое исследование неодномерных задач. Выполненные исследования носили в основном теоретический, фундаментальный характер, и из-за сильной некорректности и

переопределенности задачи не допускали построения эффективных вычислительных алгоритмов. Использование томографического подхода позволяет для определенного класса функций скорости такие алгоритмы построить.

Цель работы:

На основе численного решения обратной кинематической задачи сейсмики с использованием томографического подхода расширить возможности способов определения аномалий скорости в среде по временам пробега рефрагированных волн в двумерном и трехмерном случаях. Задачи исследования.

1. Разработать алгоритм численного решения ОКЗ сейсмики в трехмерной линеаризованной постановке при опорной среде с линейной зависимостью скорости от глубины, в том числе для сред, содержащих непрозрачное для зондирующего сигнала включение. Оценить область применимости и точность линеаризованного подхода к решению трехмерной ОКЗ в сейсмотомографической постановке.

2. Разработать итеративный, с линеаризацией на каждом шагу, алгоритм численного решения обратной двумерной нелинейной кинематической задачи сейсмики. Оценить устойчивость, точность и разрешающую способность вычислительного алгоритма решения двумерной ОКЗ в сейсмотомографической постановке.

Фактический материал и методы исследования. Теоретической основой решения задачи является лучевая теория сейсмических волн и математический аппарат вычислительной томографии, опирающийся на теорию условно-корректных задач. Основной метод исследования - математическое моделирование, включающее в себя численное решение прямой и обратной задачи. Решение прямой (краевой) задачи основано на численном интегрировании системы нелинейных дифференциальных уравнений, процедурах сглаживания и аппроксимации. Решение обратной задачи осуществлялось как расчетом обратного преобразования Радона, так и сведением интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и решением полученной системы итерационным методом Разработанное программное обеспечение прошло достаточно полное тестирование. Работа ключевых процедур и всего комплекса программ проверяется на задачах, имеющих аналитическое решение. Решение обратных задач проводилось по синтетическим данным.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Трехмерная томографическая численная модель обратной кинематической задачи в линеаризованной постановке при линейно зависящей от глубины скорости в опорной среде.

2. Алгоритм послойного, по последовательности вложенных шаровых сегментов, изучения трехмерной среды, содержащей аномалию скорости

различного вида. Обобщение решения ОКЗ в томографической постановке на случай неполных проекционных данных.

3. Алгоритм итеративного уточнения скоростной модели среды на основе метода Ньютона для решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах. Численная реализация алгоритма итеративного уточнения скоростной модели с расчетом лучей по сеточно заданной функции скорости.

4. Результаты численного исследования: определены границы применимости и помехоустойчивость разработанных алгоритмов, сделан выбор оптимальных параметров сетки восстановления.

Научная новизна. Личный вклад.

Предложен новый подход к решению ОКЗ, на основе которого разработаны алгоритмы и программы для численного решения обратных кинематических задач сейсмики.

1. Решена обратная трехмерная линеаризованная кинематическая задача сейсмики на рефрагированных волнах при скорости в опорной среде, линейно зависящей от глубины. Для томографической системы наблюдений с расположением источников и приемников на окружности:

- разработан и численно реализован алгоритм решения обратной задачи на основе сведения ее к обратному преобразованию Радона;

- реализован алгоритм послойного восстановления распределения аномалии скорости в трехмерной среде через решение последовательности ОКЗ с данными на концентрических окружностях.

2. Решена обратная двумерная нелинейная кинематическая задача сейсмики на рефрагированных волнах:

численно реализован алгоритм итеративного решения двумерной обратной задачи сейсмики методом Ньютона на основе разработанного оригинального алгоритма расчета лучей по сеточно заданной функции скорости.

3. С использованием разработанных алгоритмов и программ проведены компьютерные исследования:

- определена область применимости алгоритмов при различных вариантах функций скорости - с локальной и нелокальной неоднородностью;

- сделана оценка точности решения обратной задачи для ряда моделей сред и помехоустойчивости алгоритмов, выбран оптимальный шаг сетки восстановления относительно плотности системы наблюдения. Теоретическая и практическая значимость проведенных в работе

исследований подтверждается следующими результатами.

Реализован томографический подход к решению обратной трехмерной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах в средах с функцией скорости от глубины, близкой к линейной. В рамках этого подхода

доказана возможность послойной, по набору поверхностей, реконструкции объемной неоднородности скорости для указанной среды.

Найден способ построения устойчивого итеративного решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах. Показано, что итеративное решение обратной задачи, во-первых, имеет регуляризирующий характер при небольших значениях аномалии скорости; во-вторых, позволяет находить решение для больших значений аномалии, чем это может быть достигнуто известными способами.

Эти теоретические результаты определяются как вклад в развитие сейсмической томографии - перспективного научного направления в сейсмических методах исследования.

Практическая значимость определяется установленными в численном эксперименте возможностями диагностировать двух- и трехмерные скоростные неоднородности верхней части разреза по данным рефрагированных волн, полученным в сейсмотомографическом эксперименте, что позволит более точно определять статические поправки при обработке данных метода ОГТ. Перенесение имеющегося опыта решения обратной задачи на интерпретацию данных глубинного сейсмического зондирования даст возможность повысить точность определения скоростного разреза земной коры.

Результаты диссертации представлены на информационно-аналитическом сервере "Методы решения условно-корректных задач" и легли в основу разработанных демо-версий соответствующих программ раздела "Геотомография" указанного сервера, что позволяет интегрировать их в учебный процесс в рамках сети Интернет, в частности при чтении курса "сейсмическая томография" на ГГФ НГУ.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на научных конференциях:

- II Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии, 4-7 июля 1985, Куйбышев;

- 61-я научно-техническая конференция НГАСУ (Сибстрин), 6-9 апреля 2004, Новосибирск;

- Международная научная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», 6-10 октября

2004, Алматы, Казахстан;

- Международная научная конференция «Сейсмические исследования земной коры», 23-25 ноября 2004, Новосибирск.

- 62-я научно-техническая конференция НГАСУ (Сибстрин), 6-9 апреля

2005, Новосибирск;

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах, в том числе одна статья в журнале Известия РАН (серия "Физика Земли", 1996г.) и одна статья в журнале Доклады РАН (2005г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 124 наименований. Работа содержит 179 страниц основного текста.

Благодарности. Считаю своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю - заведующему кафедрой высшей математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин) д.т.н., профессору С. М. Зеркалю, заведующему Лабораторией инженерной сейсмологии Института геофизики СО РАН к.т.н Ю. И. Колесникову.

Особая благодарность академику Н. Н. Пузыреву, который привлек автора к решению задач кинематической сейсмики. Библиотека специальной литературы, подобранная H.H. Пузыревым, существенно помогла в работе над диссертацией.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность, научная новизна, важность полученных в диссертации результатов, определяется их место среди других близких научных исследований. Приводится структура диссертации, и формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе излагаются общие сведения о применяемых методах диагностики скоростных свойств среды по рефрагированным волнам.

Во второй главе освещаются ключевые теоретические вопросы и вычислительные алгоритмы, применяющиеся в главах 3 и 4 для решения поставленных задач.

В разделе 2.1 излагаются общие сведения о решении прямой задачи; приводится вывод уравнений сейсмического луча и способ численного интегрирования системы уравнений луча методом Рунге-Кутта.

В разделе 2.2 дается теоретическое обоснование метода решения ОКЗ. Метод линеаризации позволяет конструктивно подойти к решению обратных задач, сводя их к линейным задачам при соответствующих допущениях. Степень корректности полученных постановок обратных задач позволяет рассчитывать на устойчивое решение. Предлагается формула обращения, которая тесно связана с методом линеаризации, и позволяет рассматривать обратные задачи кинематической сейсмики как задачи интегральной геометрии и использовать соответствующий аппарат. В трехмерном случае устанавливается, что в классической идеализации в сейсмике модели среды - с линейным нарастанием скорости с глубиной - слабая некорректность обратной задачи может быть обеспечена выбором специальной системы наблюдения.

Точная математическая постановка трехмерной обратной кинематической задачи формулируется следующим образом.

Пусть в области £> пространства Я3, ограниченной поверхностью 5, происходит волновой процесс, порожденный точечным источником колебаний, расположенным в точке с координатами (х,у,г), и пусть известна функция - время пробега сигнала вдоль луча для всевозможных

| «(Я* (1)

Здесь <18 - элемент кривой = У~'(<Ц), У(£) - скорость

распространения сигнала, £ ей. Требуется по определить У (4)-

Приведенная постановка является математической идеализацией реальной физической ситуации. При решении практических задач, во-первых, приходится иметь дело с дискретным аналогом непрерывной математической модели; во-вторых, физические условия эксперимента неизбежно накладывают свои ограничения на постановку задачи, что приводит к тем или иным ее упрощениям.

Разложим скорость У (4) в следующую сумму:

^¡е, (2)

причем среда такова, что

У0(4)=А+Вг, А =сопз1, В=сотг,

А>0, В>0.У„»\У,\ (3)

Метод линеаризации, применимый в данных условиях, позволяет записать:

= \ «,(£)<&, (4)

где время пробега сигнала вдоль луча =

"Къ) 'о'?/

- функция аномальной медленности.

Задача определения по является переопределенной: по

функции шести переменных гД^0,^1) определяется функция трех переменных У,(£) Если источники и приемники сигнала расположить на плоскости г = О, то все равно переопределенность сохранится: по функции четырех переменных определяется функция трех переменных. В диссертации в качестве системы наблюдений предлагается окружность на плоскости 2 = 0:

х2+у*=г2. (5)

В случае такой системы наблюдений переопределенность снимается, так как теперь г, - функция двух полярных углов <р\ и (р2 на источник и приемник соответственно и радиуса /•, то есть по функции трех переменных гД^,,^,/) восстанавливается функция трех переменных ИД^)

Рис. 1. К выводу формулы обращения Рис 2 Система наблюдения и

нормирование лучами поверхности шарового сегмента

Заметим, что множество лучей Г<> , соединяющих точки окружности (5), в случае У„=А + В: образует поверхность шарового сегмента (см. рис. 1,2)

При этом определяется из системы уравнений (обозначения на

рис.1):

Ы1 + (: + ^)2 = р2' <? = (•*>.>'), Р = соп*>'>

р = 0, V = (бш^-соб^), р = сопч!

Перейдем в выражении (4) от интегрирования по /', к

интегрированию вдоль Обозначим :

z = -~±Jp2-(x2 + y1) = z'(x,y).

D

Будем рассматривать случай г > 0. Тогда ds = dlj]+ (¿¡f (см. рис 1) Подставив ds в (4), после ряда преобразований получаем.

f nlix,y,z')J^fdl.

В

Переходя от последнего соотношения к каноническому представлению интегрального преобразования Радона, получим:

\1Р -р |?|<;г 2 + — В

Таким образом, в операторном виде решение задачи дается следующей формулой обращения:

щ(х,у,г) = {г+^ГхГ{р,в), (7)

где /?"' - оператор обратного преобразования Радона.

Определяя искомую функцию и, по формуле обращения (7) в круге

х2 + у2 = г2, мы тем самым определяем и, на поверхности шарового сегмента, образованного лучами Г0, опирающимися на окружность (5). Меняя г, получаем систему вложенных шаровых сегментов, на поверхности которых известна функция и,, и тем самым получаем решение трехмерной задачи в объеме, ограниченном поверхностью внешнего сегмента (с наибольшим г) и поверхностью внутреннего ( с наименьшим г), см рис 2.

Кроме подхода, связанного с обратным интегральным преобразованием Радона, в диссертации применялась апгебраизация прямого преобразования Радона (6) и сведение его к системе линейных алгебраических уравнений. Далее в разделах 2.3.1, 2.3.2 излагаются методы численного решения обратной задачи - расчет обратного преобразования Радона по алгоритму Ерохина-Шнейдерова и итерационные методы, применявшиеся для решения СЛАУ: алгоритм последовательного учета строк и проекционно-градиентный метод Ь5<ЗИ. Пейджа-Саундерса.

В разделе 2.3.3 приводится описание нелинейного фильтра для сглаживания решения обратной задачи. Предложен комбинированный нелинейный фильтр, сочетающий в себе медианную фильтрацию и последующее усреднение фильтром скользящего среднего. Медиана хорошо убирает импульсные шумы, но плохо справляется с квазибелым шумом. Обратное можно сказать о фильтре скользящего среднего. В этом пункте описывается алгоритм, сочетающий в себе позитивные черты того и другого.

Глава 3 диссертации посвящена численному решению обратной кинематической задачи сейсмики в трехмерной линеаризованной постановке. В разделе 3.1 приводится алгоритм пристрелки лучей, применяемый для решения прямой задачи в трехмерном случае.

В разделе 3.2.1 проводится реконструкция искомой функции медленности на поверхностях восстановления. Расчеты производились по алгоритму численной реализации обратного преобразования Радона.

Параметры системы наблюдений, а именно количество источников и число направлений, по которым идет просвечивание объекта, существенно влияют на качество решения обратной задачи. Исследовано особенности решения обратной задачи при малом числе источников и проекций. Установлено, что уже при пяти источниках и трех направлениях просвечивания извлекается полезная информация. Влияние числа источников и проекций на качество восстановления различно. В основном влияние количества проекций сказывается в подавлении искажений, обусловленных дискретизацией направлений просвечивания, в то время как источники отвечают в основном за восстановление непосредственно самой неоднородности.

Раздел 3.2.2 посвящен изучению возможности определения нелокальных неоднородностей и послойному восстановлению трехмерной среды.

Опорная модель среды полагалась V0(z) = Л(1 + az), А = 1, а = 0.5.

При проведении численного эксперимента по восстановлению локальной трехмерной аномалии в качестве Va выбиралась следующая функция:

Va (#) = wexp(-3(x -xaf- 3(у -yaf-10 (z - zaf), имитирующая погруженную неоднородность амплитудой te с экстремумом в точке ха=0Л, уа=0.05, za= 0.2.

Показано, что изменение скорости в локальной трехмерной неоднородности допустимо при w/A от -0.1 до 0.2, для латеральной неоднородности Va(x,y) = wexp(-3(x-ха)2 уа)2) - при w/A от -0.2 до

0.5. Для нелокальных аномалий вида Va(Ç) = Aaz и Vа(£) = рх решение устойчиво при -0.1 < Аа la <0.1, р/а <0.25.

На рис. 3 приведены результаты определения функции Va при w = 0.1 в объеме, пересекаемом лучами, соединяющими источники и приемники. Система наблюдений - 19 пар источник-приемник, число проекций в данном случае равнялось 8. Положение, форма и амплитуда аномалии скорости восстанавливаются достаточно хорошо в различных сечениях. Для реконструкции использовались данные с систем наблюдения на 8 окружностях с радиусом от 1 до 0.3, с шагом 0.1.

В разделе 3.3 излагается постановка обратной кинематической задачи с неполными данными, к которой приводит локальная непрозрачность в исследуемой области. Приводится вывод основной системы линейных алгебраических уравнений, получаемой в результате алгебраизации интегрального преобразования Радона.

Важнейшей особенностью задачи с неполными данными является неравномерная дискретизация по углам съема данных. В этом случае вблизи границы выпуклой области непрозрачности возникают затененные зоны,

Аномальная скорость восстзновчснна*

Аномальная скорость точное значение

-600 - —

-еоо -400 200 О 200 400 600

«Ю »0 О 200 400

ш

-воо 400 300 О 200 400 «00

-€00

Рис.3 а Рис-3 6

Рис 3. а) Верхний - разрез по плоскости (х,г), у=0 аномальной скорости в полутонах, интерполяция с сеток восстановления на серии шаровых сегментов По горизонтали координата X, по вертикали глубина, м. Нижний - разрез в плоскости (х,у) при г=150 м б) То же, интерполяция истинных значений с сеток восстановления на серии шаровых сегментов Изолинии через 10 м/с.

доступ информации из которых возможен лишь по ограниченному числу направлений Для подавления этих искажений требуется применение специальных способов, описанных в разделе 2 3 3. Приводится численный эксперимент, моделирующий решение поставленной задачи. Формулируются рекомендации по планированию эксперимента и определению оптимальных параметров наблюдений, обеспечивающих достоверность получаемого решения обратной задачи.

Глава 4 посвящена итерационному решению нелинейной обратной двумерной задачи сейсмики. Такая задача имеет наибольшее практическое значение, так как основана на использовании наиболее широко применимой профильной системы наблюдений многократного перекрытия. Моделируется система наблюдений с источниками и приемниками, расположенными на отрезке прямой.

В разделе 4.1 приводится постановка задачи, описание алгоритма решения, излагается итерационный подход к решению ОКЗ, основанный на алгебраической реконструкции распределения скорости в среде.

Полупространство т > 0 пространства Я2 заполнено средой со скоростью распространения волны У(х,г). В качестве исходной референтной среды

выбирается F0(z) = A(1 + az), где A=const, <x=const, А и a считаются известными. Этому распределению скорости при каждом положении источника ¿¡° =(xa,z0) и приемника = (jc,,z,), z0=z,=0, соответствует кривая Г0(£°,£') и время пробега по ней волны Задача определить V(x,z)

по , £ ) Источники и приемники заданы дискретно на отрезке Ц <х<Ь2.

Мы реализуем метод Ньютона, основная идея которого заключается в последовательной замене нелинейной задачи линейной. Метод линеаризации позволяет выразить неучтенную аномалию п[ через ее искажающее влияние г' (обозначения п° = V0~', п = V'x, = п - и° ):

Г,- J ri[dy, (8)

здесь - траектория луча в уточненной на i-м шаге среде от

источника до приемника <f'. Заменив интеграл по известному лучу суммой, получим для серии лучей систему алгебраических уравнений, решив которую, найдем п\ и построим следующее приближение п'^ =п'0+ п\, по которому будем рассчитывать невязки времени и вновь проводить линеаризацию. Таким образом, решение прямой задачи (которое выполняется методом пристрелки лучей) теперь становится неотъемлемой частью решения обратной задачи.

В разделе 4.2 излагается алгоритм численного решения и конкретизируются условия численного эксперимента, система наблюдения и сетка восстановления. Система наблюдения - N пар источник-приемник, расположенных на профиле. После расчета времени прихода лучей расстановка меняется, смещаясь на определенный шаг по профилю, всего M расстановок.

Применением равномерной сетки исследуемая область (Ц<х<Ь2, О < z S Z, Z выбирается большим глубины H максимального погружения луча в опорной среде) разбивается на «пиксели»; размер сетки I J, составляется СЛАУ на основе соотношения (8). Для этого рассчитываем время в среде с известной моделью скорости и Ти - в среде с аномалией, / - номер пары источник-приемник (1=1, .N), к - номер расстановки (k=l,..L) и составляем СЛАУ для определения неизвестной функции аномальной медленности пц=п[(х, ,zj Объединим индексы в луч-сумме, r=l, N-L, и индексы суммирования по сетке восстановления, s=l,..I J. При расчете r-го луча получаем его длину в каждой ячейке сетки восстановления А'. Правая часть системы уравнений

(невязка времени) 8ТГ =Тг- Т°. Получим

и

^ Arsnj =5Tr,(r=l,. N-L - номер луча),

ы

или в матричной форме Ап=6Т.

Системы алгебраических уравнений, возникающие при решении задач томографического типа, имеют ряд специфических особенностей: матрица разреженная и имеет достаточно большой размер. Для таких систем задача наименьших квадратов эффективно решается проекционно-градиентным методом LSQR.

В разделе 4 3 приводятся результаты численного исследования алгоритма.

Так как в результате решения системы линейных уравнений мы получаем дискретные значения скорости, то дальнейшие итерации требуют расчета лучей по сеточно заданной скорости Для реализации таких расчетов построен алгоритм, включающий в себя два шага. Во-первых, сглаживание модели выделяется в отдельную процедуру. На этом этапе главное - получить максимально гладкую модель, сохранив характерные черты полученного решения, так как решающим фактором является устойчивость расчета лучей. Второй шаг при расчете лучей по модели - использование двумерного интерполяционного полинома Лагранжа третьей степени. Шаблон для интерполяции выбирается таким образом, чтобы расчетная точка луча находилась в центральной части шаблона.

По этой методике проведен следующий вычислительный эксперимент. Основная составляющая скорости - линейная функция глубины V0(z)=A-( 1 +az) при А=1 км/с, а=0.5 км"1 Аномалия представляет собой близко расположенную к поверхности наблюдений неоднородность со значительным знакопеременным градиентом скорости по глубине:

К (*> У) = W еХР(-WI - ? " W, (Z - Za )2 ) . (9)

со значениями параметров: wx =3, =20, xa=0A, za= 0.1. Сетка восстановления, используемая в численных экспериментах: 19 ячеек по z, 29 ячеек по х, длина строки 551, число лучей (размерность данных): 9 расстановок по 30 измерений, 270 строк в СЛАУ. Границы сетки по х (-1.7,2.5) км, по z (0,0.8). Численное исследование проводилось в интервале изменения w от-0.15 до 0.3 км/с, или в относительных единицах, Р= WA-100%, от -15% до 30%.

Начиная со второй итерации, данные для решения обратной задачи определяются путем решения прямой задачи методом пристрелки в дискретной постановке по интерполированной функции скорости.

На рис 4 приведены результаты трех итераций при значении и> =0.3 (Р=30%).

Из рисунка следует, что характерные черты - величина и отчасти форма аномалии определяются уже на первой итерации. Вторая и третья итерации приводят к существенной детализации формы аномалии. Особое внимание обращает на себя эффект сокращения восстанавливаемой области скорости. Это свидетельствует о существенном изменении траектории лучей и появлении зоны, в которую лучи не попадают из-за рефракции.

Обобщая результаты, полученные при итеративном решении обратной задачи с разной величиной аномалии, сведем их все на один график, изобразив относительное среднеквадратическое отклонение от точного решения в зависимости от амплитуды аномалии и расположив в порядке номера итерации (Рис. 5).

Первая итерация

Приближение для второй итерации

Вторая итерация

1000 500 О SB Ш M

Приближение для третьей итерации

■1500 -10» 500 0 500 1000 1500

Третья итерация

1500 1000 500 0 500 1000 1500

Точное решение

Рис. 4. Итерационное восстановление локальной погруженной аномалии, три итерации и сглаженные модели для расчета невязок. По горизонтали координата профиля, по вертикали глубина, м. Скорость в полутонах, изолинии

через 40 м/с.

Из рис. 5 следует, что применение итерационного алгоритма дает существенное выравнивание <ЗЛу до порога 2-5% для всех изучаемых случаев Из результатов численного моделирования следует, что при всех исследованных случаях относительная среднеквадратическая ошибка уменьшается приблизительно вдвое на второй итерации и втрое на третьей; при больших значениях амплитуды аномалии это изменение существенно. На

третьей итерации график ошибки выполаскивается, что говорит о приближении к предельной точности решения. Предельная точность обусловлена в первую очередь дискретизацией задачи и процедурами сглаживания.

Для рассматриваемого класса задач в численном эксперименте установлено, что при относительном размере Уа к У0 в интервале 1-5% достаточно одной итерации, а от 20 до 30% эффект достигается на третьей итерации.

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

■15 -10 -5 5 10 16 20 25 30

Рис. 5. Относительная среднеквадратическая ошибка СУ(м -амплитуда аномалии), в процентах, в зависимости от относительной амплитуды аномалии Р=м7А, в процентах, при трех итерациях.

По горизонтали - относительная амплитуда Р, номера линий 1- первая итерация, 2 - вторая, 3 - третья.

Очевидно, что на качество решения будет оказывать влияние количество лучей, пересекающих ячейки сетки. Определим плотность сетки восстановления \ как отношение характерного размера ячейки сетки к шагу между приемниками. Увеличение этого отношения ведет, с одной стороны, к повышению гладкости решения, с другой - к понижению разрешающей способности алгоритма. При этом следует учитывать как среднеквадратическую норму ошибки самого решения 5, так и гладкость решения (среднеквадратическую норму производных) А) относительно гладкости точного решения До- Обозначим 8=q•Д|/Дo. В результате расчетов по различным сеткам определено, что 0(Х) имеет локальный минимум при Х=2-5-3.

При исследовании помехоустойчивости алгоритма установлено (в невязку вносился случайный шум, распределенный в фиксированном временном окне), что при случайном шуме амплитудой до 2 мс можно ожидать достаточно устойчивое восстановление аномалии. При шуме ±2 мс наблюдаются существенные искажения формы аномалии, однако методы сглаживания приводят к хорошему (менее 10% относительное среднеквадратическое отклонение) приближению к истинному значению. При случайном шуме амплитудой 4мс возможно получение основных черт аномалии скорости, ее

положения и амплитуды; сглаживание приводят к удовлетворительным результатам и в этом случае.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрена трехмерная обратная задача восстановления аномальной скорости в модели опорной среды с линейной зависимостью скорости от глубины. Сведение обратной кинематической задачи путем линеаризации к задаче интегральной геометрии позволило при использовании специальной системы наблюдений получить томографическую постановку ОКЗ.

Это сняло первоначальную переопределенность задачи, позволило рассмотреть трехмерную постановку, аппроксимируемую последовательностью вложенных задач на поверхностях второго порядка. Использование круговой системы наблюдений дало возможность получить устойчивое решение обратной задачи в линеаризованной постановке при скоростной характеристике среды - линейной функции глубины, и воспользоваться глубоко проработанными алгоритмами вычислительной томографии. Получено решение трехмерной задачи определения объемного распределения аномальной скорости в среде с квазилинейным нарастанием скорости с глубиной, чего ранее не было сделано другими методами. Показано, что разработанные алгоритмы применимы как для диагностики локальных трех- и двумерных аномалий скорости, так и для нелокальных аномалий вида постоянного градиента скорости.

В диссертации содержится решение нелинейной двумерной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах - разработан и численно реализован алгоритм итеративного уточнения скоростной модели среды. Решение, полученное на очередном шаге, замещает опорную модель, снова рассчитываются невязки времени и проводится очередная линеаризация. Оригинальный двухшаговый алгоритм расчета лучей позволил решить задачу пристрелки по сеточно заданной скорости, и получить устойчивое итеративное решение обратной задачи. Устойчивость решения обуславливается сглаживанием результата, полученного на предыдущей итерации. Было установлено как повышение точности решения обратной задачи, так и увеличение допустимого отношения восстанавливаемой части скоростного распределения к его основной известной составляющей. Доказано, что при амплитуде локальной аномалии до 30% от основной известной составляющей скорости задача решается успешно за три итерации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: 1. Зеркаль С.М, Хогоев Е.А. Результаты численного решения обратной

трехмерной линеаризованной задачи восстановления коэффициента

преломления // Препринт ВЦ СО АН СССР №524. Новосибирск: Вычислительный центр. 1984. 26 с.

2. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Обратная задача определения малых локальных неоднородностей квазилинейного показателя преломления // Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1985. С. 61-66.

3. Бухгейм А.Л., Зеркаль С.М., Зеркаль Л.Б., Хогоев Е.А. Численное исследование одной задачи нелинейной томографии // II Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии. Тез. докл. Куйбышев: КуАИ. 1985. С. 9.

4. Лаврентьев М.М., Бронников A.B., Воскобойников Ю.Е., Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Сейсмическая томография сред с квазилинейным изменением скорости, содержащих поглощающие включения // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1995. №6. С. 26-31.

5. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. О решении трехмерной линеаризованной кинематической задачи в томографической постановке // Тезисы докладов 61-й научно-технической конференции НГАСУ (Сибстрин), 6-9 апреля 2004. Новосибирск: НГАСУ. С. 125-126.

6. Белоусова О.Н., Кисленко Н.П., Хогоев Е.А. Развитие методической составляющей раздела "Геотомография" сервера "Методы решения условно- корректных задач" с использованием демо-версий численного решения томографических задач // Труды НГАСУ. Т.7, № 1 (28). Новосибирск: НГАСУ. 2004. С. 91-100.

7. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. О решении трехмерной линеаризованной кинематической задачи//Вычислительные технологии, том 9. часть II. Вестник КазНУ им. Аль-Фараби. Серия математика, механика, информатика. N 3. (42). Алматы-Новосибирск. 2004. С. 222-231. (Международная научная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» ВИТ-2004, Апматы, Казахстан, 6-10 октября 2004).

8. Хогоев Е.А. Численное исследование итеративного подхода к обращению поля времен рефрагированных волн // Сборник трудов международной научной конференции «Сейсмические исследования земной коры». 23-25 ноября 2004. Новосибирск: изд. СО РАН. С. 190-195.

9. Зеркаль С.М., Королева Е.В., Хогоев Е.А. Обратная трехмерная линеаризованная кинематическая задача сейсмики и информационно-вычислительная технология ее решения // Сборник трудов международной научной конференции «Сейсмические исследования земной коры». 23-25 ноября 2004. Новосибирск: изд. СО РАН. С. 116-120.

10. Белоусова О.Н., Кисленко Н.П., Хогоев Е.А. Представление демо-версии численного решения обратной кинематической задачи в томографической постановке в интернет-проекте "Геотомография" //

Тезисы докладов 62-й научно-технической конференции НГАСУ (Сибстрин). 6-9 апреля 2005. Новосибирск: НГАСУ. С.42. 11. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Итерационная технология сейсмотомографической диагностики на основе кинематики рефрагированных волн // Доклады РАН. №4 (401). 2005. С. 526-528.

_Технический редактор О. М. Вараксина_

Подписано к печати 26.05.2005 Бумага 60x84/16. Бумага офсет № 1. Гарнитура Тайме. Офсетная печать.

_Печ. л. 0,9. Тираж 100. Заказ № 163._

Издательство СО РАН. 630090, Новосибирск, Морской пр. 2 Филиал «Гео». 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 3

05-1 4080

РНБ Русский фонд

2006-4 11507

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Хогоев, Евгений Андреевич

Введение.

Глава 1. Обратные задачи сейсмики на рефрагированных волнах и сейсмическая томография.

Глава 2. Основы кинематической сейсмической томографии с использованием рефрагированных волн.

2.1. Прямая кинематическая задача сейсмики и алгоритм ее численного решения.

2.2. Томографическая постановка трехмерной обратной кинематической задачи и вывод формулы обращения.

2.3. Решение обратной задачи.

Два подхода к решению на основе линеаризации.

2.3.1. Численная реализация обратного преобразования Радона.

2.3.2 Алгебраический подход.

Итерационное восстановление.

2.3.3 Алгоритм нелинейной фильтрации для сглаживания восстановленного решения.

Глава 3. Численное исследование трехмерной обратной кинематической задачи в сейсмотомографической постановке.

3.1. Алгоритм численного решения двухточечной прямой кинематической задачи. ф 3.2 Численное решение обратной кинематической задачи в случае полных проекционных данных.

3.2.1 Численное исследование реконструкции на поверхностях.

3.2.2 Численное исследование объемной реконструкции.

3.3. Численное решение обратной кинематической задачи при неполных проекционных данных.

Глава 4. Итерационное решение двумерной обратной кинематической задачи с использованием линеаризации.

4.1. Математическая постановка задачи.

4.2. Алгоритм численного решения задачи.

4.3. Методика проведения численных экспериментов

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах с использованием томографического подхода"

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются двух- и трехмерные обратные кинематические задачи сейсмики на рефрагированных волнах, допускающие линеаризацию.

Актуальность работы.

В технологии стандартной сейсморазведки методом отраженных волн годографы рефрагированных волн используются в основном для изучения распределения скорости в верхней части разреза (ВЧР) с целью более точного определения статических поправок. Ошибочное представление о распределении скоростей в ВЧР в области линии приведения и ниже может привести к существенной ошибке в определении глубины отражающей границы и нарушению ее прослеживаемости, что делает проблематичной стратиграфическую привязку.

В настоящее время интерпретация данных рефрагированных волн ведется либо методом непосредственного решения, либо методом подбора в рамках ограниченного класса (одномерных) моделей. Существующих интерпретационных моделей недостаточно для описания реальных сред; изучение среды по отдельным годографам — нетехнологичная процедура. При этом требования к точности и достоверности сейсморазведки постоянно растут в связи с тем, что крупные структуры уже выявлены и изучены, на очереди разведка малоамплитудных структур. Возникает необходимость разработки эффективных алгоритмов решения обратной задачи, соответствующих современным требованиям и полнее использующих возможности новых вычислительных технологий.

Кинематика рефрагированных волн и вопросы интерпретации годографов рефрагированных волн и отраженных волн в градиентной среде привлекали внимание многих выдающихся отечественных геофизиков — Г.А. Гамбурцева, И.С. Берзон, Н.Н. Пузырева и др. Определение скоростного строения среды по зарегистрированному времени прихода рефрагированной волны - одна из первых рассмотренных обратных задач. Обратная кинематическая задача (ОКЗ) сейсмики в своей математической части является классической задачей математической физики. Задача относится к нелинейным, поскольку время прихода волны определяется как интеграл от скорости по кривой (траектории луча), которая сама зависит от распределения скорости. Решение ОКЗ в общей постановке к настоящему времени не найдено. За свою историю (с 1905-1907г - Г. Герглотц, Е. Вихерт) ОКЗ формулировалась в различных постановках и привлекала внимание многих известных ученых (А.С. Алексеев, С.В. Гольдин, М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов и др.). Обратные задачи рассматривались в основном в одномерной постановке. Только с работ М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова началось систематическое исследование неодномерных задач. Выполненные исследования носили в основном теоретический, фундаментальный характер, и из-за сильной некорректности и переопределенности задачи не допускали построения эффективных вычислительных алгоритмов. Использование томографического подхода позволяет для определенного класса функций скорости такие алгоритмы построить.

Цель работы:

На основе численного решения обратной кинематической задачи сейсмики с использованием томографического подхода расширить возможности способов определения аномалий скорости в среде по временам пробега рефрагированных волн в двумерном и трехмерном случаях.

Задачи исследования.

1. Разработать алгоритм численного решения ОКЗ сейсмики в трехмерной линеаризованной постановке при опорной среде с линейной зависимостью скорости от глубины, в том числе для сред, содержащих непрозрачное для зондирующего сигнала включение. Оценить область применимости и точность линеаризованного подхода к решению трехмерной ОКЗ в сейсмотомографической постановке.

2. Разработать итеративный, с линеаризацией на каждом шагу, алгоритм численного решения обратной двумерной нелинейной кинематической задачи сейсмики. Оценить устойчивость, точность и разрешающую способность вычислительного алгоритма решения двумерной ОКЗ в сейсмотомографической постановке.

Фактический материал и методы исследования. Теоретической основой решения задачи является лучевая теория сейсмических волн и математический аппарат вычислительной томографии, опирающийся на теорию условно-корректных задач. Основной метод исследования — математическое моделирование, включающее в себя численное решение прямой и обратной задачи. Решение прямой (краевой) задачи основано на численном интегрировании системы нелинейных дифференциальных уравнений, процедурах сглаживания и аппроксимации. Решение обратной задачи осуществлялось как расчетом обратного преобразования Радона, так и сведением интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и решением полученной системы итерационным методом. Разработанное программное обеспечение прошло достаточно полное тестирование. Работа ключевых процедур и всего комплекса программ проверяется на задачах, имеющих аналитическое решение. Решение обратных задач проводилось по синтетическим данным.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Трехмерная томографическая численная модель обратной кинематической задачи в линеаризованной постановке при линейно зависящей от глубины скорости в опорной среде.

2. Алгоритм послойного, по последовательности вложенных шаровых сегментов, изучения трехмерной среды, содержащей аномалию скорости различного вида. Обобщение решения ОКЗ в томографической постановке на случай неполных проекционных данных.

3. Алгоритм итеративного уточнения скоростной модели среды на основе метода Ньютона для решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах. Численная реализация алгоритма итеративного уточнения скоростной модели с расчетом лучей по сеточно заданной функции скорости.

4. Результаты численного исследования: определены границы применимости и помехоустойчивость разработанных алгоритмов, сделан выбор оптимальных параметров сетки восстановления.

Научная новизна. Личный вклад.

Предложен новый подход к решению ОКЗ, на основе которого разработаны алгоритмы и программы для численного решения обратных кинематических задач сейсмики.

1. Решена обратная трехмерная линеаризованная кинематическая задача сейсмики на рефрагированных волнах при скорости в опорной среде, линейно зависящей от глубины. Для томографической системы наблюдений с расположением источников и приемников на окружности:

- разработан и численно реализован алгоритм решения обратной задачи на основе сведения ее к обратному преобразованию Радона;

- реализован алгоритм послойного восстановления распределения аномалии скорости в трехмерной среде через решение последовательности ОКЗ с данными на концентрических окружностях.

2. Решена обратная двумерная нелинейная кинематическая задача сейсмики на рефрагированных волнах: численно реализован алгоритм итеративного решения двумерной обратной задачи сейсмики методом Ньютона на основе разработанного оригинального алгоритма расчета лучей по сеточно заданной функции скорости.

3. С использованием разработанных алгоритмов и программ проведены компьютерные исследования:

- определена область применимости алгоритмов при различных вариантах функций скорости - с локальной и нелокальной неоднородностью;

- сделана оценка точности решения обратной задачи для ряда моделей сред и помехоустойчивости алгоритмов, выбран оптимальный шаг сетки восстановления относительно плотности системы наблюдения.

Теоретическая и практическая значимость проведенных в работе исследований подтверждается следующими результатами.

Реализован томографический подход к решению обратной трехмерной кинематической задачи сейсмики на рефрагированных волнах в средах с функцией скорости от глубины, близкой к линейной. В рамках этого подхода доказана возможность послойной, по набору поверхностей, реконструкции объемной неоднородности скорости для указанной среды.

Найден способ построения устойчивого итеративного решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах. Показано, что итеративное решение обратной задачи, во-первых, имеет регуляризирующий характер при небольших значениях аномалии скорости; во-вторых, позволяет находить решение для больших значений аномалии, чем это может быть достигнуто известными способами.

Эти теоретические результаты определяются как вклад в развитие сейсмической томографии - перспективного научного направления в сейсмических методах исследования.

Практическая значимость определяется установленными в численном эксперименте возможностями диагностировать двух- и трехмерные скоростные неоднородности верхней части разреза по данным рефрагированных волн, полученным в сейсмотомографическом эксперименте, что позволит более точно определять статические поправки при обработке данных метода ОГТ. Перенесение имеющегося опыта решения обратной задачи на интерпретацию данных глубинного сейсмического зондирования даст возможность повысить точность определения скоростного разреза земной коры.

Результаты диссертации представлены на информационно-аналитическом сервере "Методы решения условно-корректных задач" и легли в основу разработанных демо-версий соответствующих программ раздела "Геотомография" указанного сервера, что позволяет интегрировать их в учебный процесс в рамках сети Интернет, в частности при чтении курса "сейсмическая томография" на ГГФ НГУ.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на научных конференциях:

- II Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии, 4-7 июля 1985, Куйбышев;

- 61-я научно-техническая конференция НГАСУ (Сибстрин), 6-9 апреля 2004, Новосибирск;

- Международная научная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», 6-10 октября

2004, Алматы, Казахстан;

- Международная научная конференция «Сейсмические исследования земной коры», 23-25 ноября 2004, Новосибирск.

- 62-я научно-техническая конференция НГАСУ (Сибстрин), 6-9 апреля

2005, Новосибирск;

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в И печатных работах, в том числе одна статья в журнале Известия РАН (серия "Физика Земли", 1996г.) и одна статья в журнале Доклады РАН (2005г.).

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Хогоев, Евгений Андреевич

Выводы по главе 4.

Заключая главу 4, кратко подведем итоги. В настоящей работе показано, что для двумерной линеаризованной ОКЗ (сильно-некорректной по классификации М.М. Лаврентьева) алгоритм итеративной линеаризации задачи применим и работает достаточно устойчиво. Введены весовые коэффициенты, учитывающие разную значимость лучей для реше-♦ ния в целом, в зависимости от расположения источник-приемник. Определена удовлетворительная форма интерполяции двумерной сеточно заданной скорости; перед последующим итерационным шагом производится регуляризация поля медленности. Мотивированный выбор сетки восстановления позволяет построить решение, обладающее достаточной разрешенностью и гладкостью.

Изложенная в 4 главе диссертации вычислительная технология представляет собой синтез линеаризованной кинематической задачи в ее конструктивной части и современных информационных технологий. Сочетание развития вычислительной техники и алгоритмической базы геофизики позволяет рассматривать постановки ОКЗ, реализация которых была невозможна в недалеком прошлом. Полученная возможность расширения границ применимости линеаризованного подхода (при сохранении традиционных профильных систем наблюдения) имеет существенное значение как для наблюдений на дневной поверхности, так и для межскважинной томографии. Представляется, что полученные результаты главы 4, после соответствующей адаптации, могут представлять интерес при решении задач глубинного сейсмического зондирования. Возможная область применения также инженерно-геологические задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработка новых модификаций сейсмических исследований, способных решать более тонкие задачи фундаментального и прикладного характера, которая обуславливается возрастающей сложностью практических задач [71], в большой мере стимулируется достижениями в смежных научных областях. Возможности, предоставляемые исследователям в прикладных науках современными средствами вычислительной техники и ее математическим обеспечением, позволяют уверенно решать задачи, которые в недавнем прошлом даже не рассматривались. Это прежде всего относится к задачам больших размерностей и объемов обрабатываемой информации. К таким задачам и относятся рассмотренные в диссертации постановки.

Развитие математической составляющей в сейсмических исследованиях, выражающееся в построении математических идеализаций, определяет содержательные модели сейсмики, одной из которых является уравнение эйконала. Сведение обратной кинематической задачи путем линеаризации к задаче интегральной геометрии позволило при использовании специальной системы наблюдений получить томографическую постановку ОКЗ. Томографический подход дает следующие преимущества: а) снимает первоначальную переопределенность задачи; б) позволяет рассмотреть трехмерную постановку, аппроксимируемую последовательностью вложенных задач на поверхностях второго порядка; в) двумерном случае удалось построить итерационный алгоритм конструктивного определения медленности из интегрального соотношения линеаризованной постановки ОКЗ.

Результаты диссертации существенно дополняют, в части рассмотрения двумерной постановки, результаты работы [45], а полученное развитие кинематической составляющей сейсмической томографии является перспективным в возможности постановки и интерпретации сейсмического эксперимента для диагностики ВЧР, в инженерной геологии, телесейсмике. Основные результаты и выводы.

1. Построена трехмерная томографическая численная модель обратной кинематической задачи в линеаризованной постановке при опорной среде со скоростью, линейно зависящей от глубины. Использование круговой системы наблюдений для получения томографических данных позволяет снять переопределенность и обеспечивает слабый характер некорректности исследуемой трехмерной обратной задачи. Решение обратной задачи сведено к расчету обратного преобразования Радона.

Определено влияние величины и формы аномалии скорости на качество восстановления. Сделан численный анализ по установлению связи числа приемников и проекций с качеством восстановления локальной аномалии скорости. Количество пар "источник-приемник" определяющим образом влияют на точность определения амплитуды аномалии и ее формы, в то время как увеличение числа проекций уменьшает погрешность самого алгоритма.

2. В рамках этой модели численно реализован алгоритм послойного, по последовательности вложенных шаровых сегментов, восстановления трехмерной среды, содержащей как локальную аномалию скорости, так и аномалию вида постоянного градиента.

Примеры численного решения обратной задачи показывают устойчивость алгоритма и достаточно большой диапазон применимости. Показано, что изменение скорости в локальной трехмерной неоднородности допустимо: от -10 до 20% основной известной скорости, для латеральной неоднородности от -20 до 50%. Для нелокальных аномалий: постоянного вертикального градиента — от -10 до 10% основного градиента; постоянного горизонтального градиента - до 25% от вертикального

3. С использованием алгебраизации преобразования Радона разработан алгоритм численного решения обратной трехмерной кинематической задачи в томографической постановке при неполных проекционных данных. Примеры решения обратной задачи показывают, что в присутствии зоны непрозрачности возможно установить как границы этой зоны, так и определить аномальную скорость в среде.

4. Разработан и численно реализован алгоритм итеративного уточнения скоростной модели среды, на основе метода Ньютона, для решения двумерной нелинейной обратной задачи сейсмики на рефрагированных волнах, при этом предложен оригинальный алгоритм расчета лучей по сеточно заданной функции скорости.

Установлено, что итеративное решение обратной задачи, во-первых, имеет регуляризирующий характер (позволяющий уточнить и сгладить решение, полученное на первом шаге) при небольших значениях аномалии скорости; во-вторых, позволяет находить решение для больших значений аномалии, чем это может быть достигнуто известным способом. На примере локальной погруженной скоростной неоднородности получены оценки среднеквадратической ошибки относительно максимума аномалии в зависимости от номера итерации. Доказано регулярное уменьшение ошибки от 6 до 2% и от 18 до 4% (относительно максимума аномалии) при первой и третьей итерации, с величиной максимума аномалии относительно основной известной скорости 5% и 30% соответственно. Точность решения ограничена необходимостью процедур сглаживания для расчета лучей при последующем итерационном шаге. Установлено, что достаточно 3-4 итерационных шагов для достижения предельной точности решения.

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю - заведующему кафедрой высшей математики Новосибирского архитектурно-строительного университета (Сибстрин) д.т.н., профессору Сергею Михайловичу Зеркалю, заведующему лабораторией инженерной сейсмологии Института геофизики СО РАН, к.т.н. Юрию Ивановичу Колесникову.

Особая благодарность академику Николаю Никитовичу Пузыреву, который привлек автора к решению задач кинематической сейсмики. Библиотека специальной литературы, подобранная Н.Н. Пузыревым, существенно помогла в работе над диссертацией.

К'

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Хогоев, Евгений Андреевич, Новосибирск

1. Алексеев А.С., Лаврентьев М.М., Мухометов Р.Г., Романов В.Г. Численный метод решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики//Математические проблемы геофизики. Вып. 1. ВЦ СО АН СССР. 1969. С. 179-201.

2. Алексеев А.С., Цибульчик Г.М. Математические модели сейсморазведки // Актуальные проблемы вычислительной математики и математической моделирования. Новосибирск: Наука, 1985. С. 91 -108.

3. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 146 с.

4. Аниконов Ю.Е. Несколько частных решений обратной кинематической задачи // Математические проблемы геофизики. Вып.4. ВЦ СО АН СССР. 1971. С. 57-67.

5. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. 583 с.

6. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: изд. МГУ, 1989. 199 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

8. Белоносова А.В., Алексеев А.С. Об одной постановке обратной кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 137-154.

9. Белоносова А.В., Алексеев А.С., Цецохо В.А. Математическая постановка обратной кинематической задачи сейсмики для 3D-неоднородной среды//Труды ИВМиМГ. Мат. модел. в геофизике, Новосибирск. 1998. С. 3-9.

10. Белоносова А.В., Таджимухамедова С.С., Алексеев А.С. К расчету годографов и геометрического расхождения лучей в неоднородных средах // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967. С. 137-154.

11. Березин B.C., Жидков Н.П. Методы вычислений, Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1962. 640 с.

12. Бейлькин Г.Я. Явное решение обратной кинематической задачи в негерглотцевском случае // Записки науч. семинаров ЛОМИ. Ленинград, 1978, Т. 78. С. 20 29.

13. Берзон И.С. Об определении траекторий сейсмических лучей и полей времен в средах с переменными скоростями // Изв. АН СССР, сер геофиз. 1948. № 1. С. 47-62.

14. Берзон И.С. Эффективные скорости в случае непрерывного изменения истинных скоростей сейсмических волн // Изв АН СССР, сер Физика Земли. 1955. № 4. С. 299-303.

15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1957. 343 с.

16. Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е. Итеративные алгоритмы в задачах томографии полупрозрачных сред // ИТПМ СО АН СССР. Препринт № 18-89. Новосибирск. 1989. 43 с.

17. Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е. Комбинированные алгоритмы нелинейной фильтрации защищенных сигналов и изображений // Автометрия. 1990. №1. С. 56-66.

18. Бурмин В.Ю. Обратные кинематические задачи для неоднородных сред // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 106 111.

19. Бухгейм А.Л., Зеркаль С.М., Пикалов В.В. Об одном алгоритме решения трехмерной обратной кинематической задачи сейсмики // Методы решения обратных задач. Новосибирск: Наука, 1983. С. 38-47.

20. Вайникко Т.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 179 с.

21. Воронцов И.В., Романов В.В. МикроМОВ при исследовании верхней части разреза// Геофизика, 2004, Специальный выпуск. С. 116-119.

22. Гамбурцев Г.А. Основы сейсморазведки. М.: Гостоптехиздат, 1959. 378 с.

23. Гейко В. С. Определение скоростных свойств градиентной среды и реконструкция кинематической структуры поля рефрагированной волны по ее годографу. Геофизический сборник. АН УССР, Киев: Наука, 1970. №33. С. 15-31.

24. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Наука, 1969. 450 с.

25. Гервер М. Л., Маркушевич В.М. Исследование неоднозначности при определении по годографу скорости распространения сейсмической волны // ДАН СССР. 1965. 163. №6. С. 1337-1380.

26. Гервер М. Л., Маркушевич В.М. О характеристических свойствах сейсмических годографов //ДАН СССР. 1967. 175. №2. С. 334-337.

27. Гольдин С.В. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн. М.: Недра, 1979. 344 с.

28. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии. Часть I. Преобразование Радона в полосе и его обращение // Геология и геофизика. 1996. 37. № 5. С. 3-18.

29. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии. Часть II. Обратные задачи для однородных референтных сред // Геология и геофизика. 1996. 37. № 9. С. 14-25.

30. Гольдин С.В. Обратные задачи лучевой сейсмической томографии //Геология и геофизика. 1997. 38. № 5. С. 981-998.

31. Гольдин С.В. Черняков В.Г. Метод Ньютона в решении прямой кинематической задачи // Геология и геофизика. 1998. 39. № 1. С. 103114.

32. Дитмар П. Г. Алгоритм томографической обработки сейсмических данных, предполагающий гладкость искомой функции // Физика Земли. 1993. №3. С. 7-12.

33. Дьяконов Е.Г. Нелинейное уравнение: численные методы решения. // Математическая энциклопедия. М.: Сов. Энциклопедия, 1982, Т. 3. С. 945-950.

34. Ерохин В.А., Шнейдеров B.C. Трехмерная реконструкция (машинная томография), моделирование на ЭВМ // Препринт № 23 Лен. НИ ВЦ. Ленинград. 1981. 48 с.

35. Епинатьева A.M., Голошубин Г.М., Литвин А.П., Павленкин А.Д., Петрашень Г.И., Старобинец А.Е., Шнеерсон М.Б. Метод преломленных волн. М.: Недра, 1990. 297 с.

36. Зеркаль С.М. Трехмерная обратная кинематическая задача сейсмики в линеаризованной постановке и ее численное исследование И Теория иметоды решения некорректно поставленных задач и их приложение. Новосибирск. ВЦ СО АН СССР. 1983. С. 104-105.

37. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Результаты численного решения обратной трехмерной линеаризованной задачи восстановления коэффициента преломления//Препринт № 524 ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1984. 26 с.

38. Зеркаль С.М. Определение непрозрачных зон в Земле методом компьютерной томографии в кинематической постановке // ДАН СССР. 1991. Т. 317. №2. С. 330-333.

39. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. О решении трехмерной линеаризованной кинематической задачи // Вычислительные технологии, том 9, Вестник КазНУ им. Аль-Фараби, Серия математика, механика, информатика №3 (42), Алматы-Новосибирск, 2004. С. 222-231.

40. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Итерационная технология сейсмотомографической диагностики на основе кинематики рефрагированных волн //Доклады РАН. №4 (401). 2005. С. 526-528.

41. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004. С. 116-120.

42. Лаврентьев М.М., Бронников А.В., Воскобойников Ю.Е.,Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. Сейсмическая томография сред с квазилинейным изменением скорости, содержащих поглощающие включения // Изв. РАН. Физика Земли. 1995. № 6. С. 26-31.

43. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П., Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1980. 286 с.

44. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трех линеаризированных обратных задачах для уравнений гиперболического типа // ДАН СССР. 1966. Т. 171.6. С. 1279-1281.

45. Лагунова К.Ф., Омельченко O.K. Об одном способе определения близких землетрясений и явные формулы для луча и времени // Неклассические проблемы математической физики. ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1981. С. 121-129.

46. Ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М.: ИЛ, 1962. 208 с.

47. Ливитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений//Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т.6. №5. С. 787-823.

48. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными // М.: Мир. 1975. 558 с.

49. Матвеева Н.Н. Метод математического перебора // Обратные кинематические задачи взрывной сейсмологии. М.: Наука, 1979. С. 731.

50. Милашин В.А. Почему необходимо переобработать и переинтерпретировать данные сейсморазведки, полученные в Западной Сибири в предыдущие годы // Геофизика. 2000. 4. С. 26-28.

51. Мишенькин Б.П., Мишенькина З.Р., Шелудько И.Ф. Детальное изучение земной коры в Байкальской рифтовой зоне по данным рефрагированных волн // Геология и геофизика. 1983. № 12. С. 82-91.

52. Николаев А.В. Проблемы геотомографии // Проблемы геотомографии. М.: "Наука", 1997. С. 4-38.

53. Нолет Г. Распространение сейсмических волн и сейсмическая томография // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 9-33.

54. Облогина Т.И., Пийп В.Б., Юдасин JI.A. Неоднородные среды с гармоническими полями скоростей распространения сейсмических волн // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. 3. С. 101-108.

55. Облогина Т.И. Постановка обратных двумерных задач и некоторые методы их решения // Обратные кинематические задачи взрывной сейсмологии. М: Наука, 1979. С. 64-93.

56. Павленкова Н.И. Интерпретация рефрагированных волн способом редуцированных годографов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. №8. С. 89-100.

57. Пикапов В.В. Комплекс программ томографической реконструкции локальных характеристик плазмы // Комплексы программ математической физики (СКПФМ VII). ИТПМ СО АН СССР. Новосибирск. 1982. С. 317-319.

58. Пикапов В.В. Пакет прикладных программ, ориентированный на задачи вычислительной томографии // Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск: Наука, 1985. С. 132-135.

59. Пузырев Н.Н. Построение лучевых диаграмм при произвольном законе изменения скорости с глубиной // Прикладная геофизика, вып. 2. 1945. С. 56-64.

60. Пузырев Н.Н. Определение элементов залегания отражающих границ при переменной скорости по вертикали // Прикладная геофизика, вып 6. 1950. С 18-35.

61. Пузырев Н.Н. Интерпретация данных сейсморазведки методом отраженных волн. М.: Гостоптехиздат, 1959. 446 с.

62. Пузырев Н.Н. К теории интерпретации точечных сейсмических наблюдений // Геология и геофизика. 1963. № 9. С. 66-82.

63. Пузырев Н.Н. Кинематика волн. Справочник геофизика, гл. III. М.: Недра, 1966. С. 97-180.

64. Пузырев Н.Н. Временные поля отраженных волн и метод эффективных параметров. Новосибирск: Наука, 1979. 294 с.

65. Пузырев Н.Н. Оболенцева И.Р. Кинематика сейсмических волн // Сейсморазведка. Справочник геофизика. Под ред И.И. Гурвича, В.П. Номоконова. М.: Недра, 1981. С. 81-144.

66. Пузырев Н.Н. К вопросу разделения преломленных волн на головные и рефрагированные // Геология и геофизика. 1987. № 12. С. 65-73.

67. Пузырев Н.Н. Методы и объекты сейсмических исследований. Новосибирск. Изд. СО РАН, НИЦ ОИГГМ. 1997. 302 с.

68. Пшенчик И.Н. Решение прямой сейсмической задачи для горизонтально-неоднородных сред лучевым методом // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 5-13.

69. Ризниченко Ю.В. Геометрическая сейсмика слоистых сред// Труды Института теоретической геофизики. Т. 2. 1946. 100 с.

70. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. 163 с.

71. Романов М.Е. Численные методы решения обратной задачи для горизонтально-неоднородных сред // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 90-106.

72. Романов М.Е., Алексеев А.С. Метод характеристик решения многомерных задач кинематической сейсмики // Обратные кинематические задачи взрывной сейсмологии. М.: Наука, 1979. С. 94106.

73. Слуис в.д. А., Х.А. в.д. Ворст. Численное решение больших разреженных линейных алгебраических систем // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 61-94.

74. Сейсморазведка. Справочник геофизика. Под ред. Гурвича И.И., Номоконова В.П. М.: Недра, 1981. 464 с.

75. Сейсморазведка. Справочник геофизика. Т. 2. Под ред. Номоконова В.П. М.: Недра, 1990. 400 с.

76. Тарантола А. Обращение времен пробега и формы сейсмических записей // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 145-168.

77. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

78. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.200 с.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов Н.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 157 с.

80. Чепмен К. Преобразование Радона и сейсмическая томография //Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 34-60.

81. Шарма П. Геофизические методы в региональной геологии. М.: Мир, 1989.487 с.

82. Шерифф Р., Гелдарт JI. Сейсморазведка. М.: Мир, 1987. Т. 1. 448 е., Т. 2. 400 с.

83. Ценсор Я. Методы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды // ТИИЭР. Т. 71. № 3. 1983. С. 148-160.

84. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям // М.: Мир, 1963. 252 с.

85. Фирбас П. Численное решение обратной кинематической задачи с использованием линеаризации // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 122-129.

86. Фирбас П. Профильная сейсмическая томография // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 199-212.

87. Хогоев Е.А. Применение критерия схождения годографов отраженных волн для изучения слоистости разреза // Геология и геофизика. 2004, т 45. № 3. С. 405-407.

88. Червени В. Алгоритмы расчета лучей в трехмерных горизонтально-неоднородных слоистых структурах // Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. С. 109-144.

89. Яновская Т.Б. Вычисление скоростных разрезов верхней мантии, как обратная математическая задача // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1963. №8. С. 1171-1177.

90. Яновская Т.Б. Методы решения обратной кинематической задачи сейсмологии для двумерно- и трехмерно-неоднородных сред // Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск: Наука, 1983. С. 79-120.

91. Яновская Т.Б. Проблемы сейсмической томографии. // Проблемы геотомографии. Под ред. А.В. Николаева. М.: Наука, 1997. С. 86-98.

92. Aki К., Christoffersen A., Husebye E.S. Determination of the three-dimensional seismic structure of the lithosphere// J.Geophys.Res. 1977. V 82. 2. P. 277-296.

93. Bates C., Gaskell T.F., Price R.B. Geophysics in the Affairs of Man. Pergamon Press. Oxford. 1982. 429 p.

94. Bijwaard Harmen, Spakman Wim Non-linear global P-wave tomography by iterated linearized inversion // Geophys. J. Int. 2000. 141. N 1. P. 71-82.

95. Brzostowski Matthew A., McMechan George A. 3-D tomographic imaging of near-surface seismic velocity and attenuation // Geophysics. 1992. 57. N 3. P. 396-403.

96. Cerveny V., Molotkov I.A., Psencik I. Ray method in seisvology. Praha : Univer. Karlova, 1977. 215 p.

97. Cherveny V. The application of ray tracing to the numerical modeling of seismic wave fields in complex structure. Seismic Shear Waves, Part A.:Theory. Geophysical Press. London. 1985. P. 1-124.

98. Cormack A.M. Representation of a function by its line integrals with some radiological applications // J. Appl. Phys. 1963. V.34. P. 2722- 2727.

99. Docherty Paul Solving for teh thickness and velocity of the weathering layer using 2-D refraction tomography//Geophysics. 1992. 57. N 10. P. 1307-1318.

100. Goldin S.V. Ray reflection tomography: Review and comments // Proceedings of the fourth International Symposium held in Novosibirsk, Russia on 10-14 Aug. 1994. VSP. The Netherlands, 1995. P. 169-187.

101. Hanson M., Wecksung G.M. Local basis function approach to computed tomography//Appl. Optics. 1985. V. 24. P. 4028-4039.

102. Hermann G. A relaxation method for reconstruction objects from nisy X-rays // Math. Program. 1975. V.8. P. 1-9.

103. Hermann G., Lent A., Rowland S. ART Mathematics and applications // J. Theor. Biolog. 1973. V. 42. P. 1-32.

104. Hermann G., Lent A. A family of iterative quadratic optimization algorithms for pairs of unequatities // Math. Program. Study. 1978. V. 9. P. 15-29.

105. Jarchow Craig M., Catchings Rufus D., Lutter William J. Large-explosive source, wide-recording aperture, seismic profiling on the Columbia Plateau, Washington // Geophysics. 1994. 59. N 2. P. 259-271.

106. Lanz Eva, Maurer Hansruedi, Green Alan G. Refraction tomography over a buried waste disposal site // Geophysics. 1998. 63. N 4. P. 1414-1433.

107. Natterer T. The Mathematics of Computerized Tomography // John Wiley. Stuttgart. 1986. 305 p.

108. Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // ACM Trans. Math. Softw. 1982. 8. P. 43-71.

109. Pereyra V., Lee W.H.K., Keller H.B. Solving two-point seismic ray problem in heterogeneous medium. Part I: A general adaptive finite method, Bull. Seismol. Soc. Am. 70. 1980. P. 79-99.

110. Quinto E. Tomographic reconstructions from incomplete data numerical inversion of the exterior Radon transform // Inverse Problems. 1988. V. 4. № 4. P. 867-876.

111. Qin Fuhao, Luo Yi, Olsen Kim В., Cai Wenying, Schuster Gerard T. Finite-difference solution of the eikonal equation along expanding wavefronts // Geophysics. 1992. 57. N 3. P. 478-487.

112. Snieder Roel A perturbative analysis of non-linear inversion // Geophys.J.Int. 1990. 101. N3. P. 545-556.

113. Waldhauser Felix, Lippitsch Regina, Kissling Edi, Ansorge Jorg High-resolution teleseismic tomography of upper-mantle structure using an a priori three-dimensional crustal model // Geophys. J. Int. 2002. 150. N 2. P. 403-414.

114. White D.J. Two-dimensional seismic refraction tomography // Geophys. J. 1989. Vol.97. N2. P. 223-245.

115. Taner M.Turhan, Wagner Donald E., Baysal Edip, Lu Lee A unified method for 2-D and 3-D refraction statics // Geophysics. 1998. 63. N 1. P. 260-274.

116. Tallin Andrew G., Santamarina J.Carlos Digital ray tracing for geotomography // IEEE Trans. Geosci. and Remote Sens. 1992. 30. N 3. P. 617-619.

117. Zhang Jie, Toksoz M.Nafi Nonlinear refraction traveltime tomography // Geophysics. 1998. 63. N 5. P. 1726-1737.

118. Zhang Jie, McMechan George A. Turning wave migration by horizontal extrapolation // Geophysics. 1997. 62. N 1. P. 291-396.

119. Zhang Jie, Ten Brink Uri S., Toksoz M.Nafi Nonlinear refraction and reflection travel time tomography// J. Geophys. Res. B. 1998. 103. N 12. P. 743-757.