Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Определение координат землетрясений и планирование сейсмологических наблюдений

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Определение координат землетрясений и планирование сейсмологических наблюдений"

РГб од

Иосфв§кйДфде]/э;Ленина, ордена Октябрьской революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный Университет им. М.В.Ломоносова

Физический факультет

На пропах рукописи

БУРМИН ВАЛЕРИЙ ЮРЬЕВИЧ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ И ПЛАНИРОВАНИЕ СЕЙСМОЛОГИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ

04.00.02 - геофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-натенатических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена в Институте физики Земли РАН,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук С.Д.Виноградов

(ИФЗ РАН, г.Москва)

доктор технических наук А.Б.Пешков

(НЦСС МО РФ. г.Москва) доктор технических наук И.В.Померанцева

(ВНШГеофизики, г.Москва)

Ведущая организация: Институт океанологии РАН (г.Москва)

Защита диссертации состоится " /з " _ 1ШЗг.

в /Г" час. мин. на заседании Специализированного Ученогс

совета Д.053.05.81 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: Н9899, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан № " 0 4 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета« кандидат физико-ыатвыатачас наук

В.В.РОЗАНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Определение координат гипоцентров землетрясений относится к числу обратных кинематических задач и является одной из основных задач экспериментальной и теоретической сейсмологии. Актуальность этой задачи определяется потребностями оби!ей сейсмологии, сейсморайонирования, сейсмотектоники, инженерной сейсмологии, предсказания землетрясений, глубинных сейсмических исследований и т.д. Собственно определение координат гипоцентров эаспадается на две самостоятельные задачи: анализ исходной системы фавнений, который приводит к рассмотрению различных задач опти-«ального размещения сейсмических станций (плакирования сейсмологи-шского эксперимента) и построение оптимальных алгоритмов определения координат гипоцентров землетрясений при различных исходных денных.

Задача определения координат гипоцентров является нелинейной и ¡е решение в настоящее время базируется на методе линеаризации, соторый в свою очередь основан на разложении исходных нелинейных гравнений в ряд Тейлора в окрестности решения. Получаемая в ре-¡ультата линеаризации система линейных уравнений носит, таким об->азом, локальный характер, решение которой справедливо только щ жрестности точки разложения исходных уравнений.

По существу, в основе всех известных методов решения задачи 1пределения координат гипоцентров землетрясений лежит стремление ¡вести невязку времен, т.е. уклонение теоретических времен пробега ейсмических волн от наблюденных, к минимуму. Как известно из тео-1йи решения некорректных задач, если соответствующая задача подавлена корректно по Адамару и теоретические времена вычисляются очно, то это стремление является вполне оправданным. Ситуация су-;вственно меняется, если теоретические времена вычисляются только риближенно. В этом случае точное решение приближенной задачи (не-язка в этом случае равна нулю) не всегда сходится к точному реше-яю исходной задачи, если не предполагать выполненным требование стойчивости вычислительного процесса. Таким образом, даже для орректно поставленных задач при их приближенном решении стремле-ие к максимальному уменьшению невязки может оказаться ошибочным, ри приближенном решении некорректно поставленных задач, в силу их рироды, это стремление уже недопустимо. Некоторые исследователи

выходом в такой ситуации видят определение всей области решения задачи, которая соответствует заданному уровню погрешностей в исходных данных. Однако в большинстве случаев, в силу неустойчивости решения задачи, эти области оказываются слишком большими и такое представление решений теряет всякий смысл. В связи с этим встает проблема поиска новых устойчивых подходов к решению обратных кинематических задач сейсмологии.

Как показал многолетний опыт проведения сейсмических наблюдений, а теоретические исследования и численные расчеты это подтверждают, точность определения параметров гипоцентров землетрясений е значительной степени зависит от взаимного расположения сейсмических станций и их положения относительно гипоцентральной области. Под опт;'мольным расположением станция будем понимать такое их положение, при котором погрешности в определении параметров гипоцентров землетрясений принимают минимальные значения. Существующие подходы к решению задачи оптимизации геометрии системы сейсмологических наблюдений также основаны на исследовании линеаризованно! задачи. В силу локального характера получаемых уравнений, решение задачи планирования эксперимента на их основе для всей рассматриваемой области планирования становится неправомерным. Кроме этогс современная теория планирования физического эксперимента, базирующаяся на аппарате.статистической теории оценивания, рассматривает линейные модели с невозмущенными матрицами планов и заданными законами распределения ошибок. Эти требования на практике выполняются далеко не всегда, что также требует выработки новых Подходов I задаче планирования эксперимента.

Б дальнейшем, в общем случае, под координатами или параметрам! гипоцентров будем понимать пространственно-временные координаты, т.е. четыре величины: Х,У,Н С\,руЮ и 1В-

Цель и задачи работа. Цель» работы является, выработка новы: подходов к решению задачи определения координат гипоцентров зем летрясений и планирования, сейсмологических наблюдений при различ ных исходных данных.

В соотвествии с общей целью в работе рассматриваются следунци задачи:

1. Вывод уравнений, определяющих параметры землетрясений пр различных исходных данных.

г. Исследование систем линейных уравнений, связывающих коорди

наты гипоцентров землетрясений и координаты регистрирующих станций.

3. Разработка математического аппарата нестатистического подхода к задаче планирования физического эксперимента.

4. Решение задач оптимального размещения сейсмических станций при регистрации землетрясений . при различных исходных данных.

5. Выработка нового подхода к задаче определения координат гипоцентров землетрясений.

6. Решение задачи одновременного определения координат гипоцентров землетрясений и скоростного разреза среды при малом объеме денных наблюдений.

7. Применение разработанных методов к интерпретации экспериментальных данных.

Научная новизна и защищаемые положения работы. Научная новизна работы состоит в разработке новых подходов и методов решения обратных кинематических задач сейсмологии основанных на следующих защищаемых положениях ранее не рассматривавшихся в литературе.

1. Введение и обоснование нового, нестатистического критерия оптимальности линейных планов, критерия С-олтимальности и изучение 'свойств планов оптимальных по этому критерии.

2. Вывод новых линейных уравнений связызаодпх координата гипоцентров и-регистрирующих станций на плоскости и эллипсоиде.

3. Получение неулучиаемых, униформных оценок погрешностей в определении координат гипоцентров при различных исходных данных.

4. Определение оптимальных и неоптимальшх систем наблюдений на плоскости и на шаре при различных исходник данных.

5. Обоснование нового подхода к определенна координат гипоцентров землетрясений для плоскости и для эллипсоида.

6. Построение алгоритмов определения координат пшоцентров землетрясений при различных исходных данннх.

7. Разработка методов обращения разрывнйх годографов сейсмических волн, распространяющихся от ГЛубИННЫХ источников.

8. Сглаживание экспериментальных сейсмических годографов выпуклыми кубическими сплейнпш.

9. Получеша скоростной модели верхней наитии охотоморского региона по временам пробега сейсмических воля от Курило-Японских землетрясений.

Практическая значимость работа. Решение задач сейсморэйониро-вания, сейсмотектоники, инженерной сейсмологии, предсказания зем-

летрясений, глубинных сейсмических исследований требует знание координат гипоцентров землетрясений с высокой точностью. Чем точнее известны их координаты, тем надежнее результаты исследований в указанных областях. С другой стороны, повышение точности определения координат гипоцентров при уменьшении числа регистрирущих станций позволяет проводить исследования с минимальными затратами. На основании предложенных в работе методов и алгоритмов созданы программы для ЭВМ, которые нашли применение в различных производственных и научно-исследовательских организациях: Всесоюзный Ордена Ленина пробктно-изыскательский и научно-исследовательский Институт "Гидропроект" им.С.Я.Жука, ВНИИГеофизика НПО "Нефтегеофизи-ка", Институт Вулканологии ДВНЦ РАЙ, Институт морской геологии и геофизики ДВНЦ РАН, ВЦ СО РАН, физический факультет МГУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном совещании по численным методам решения задач сейсмики (Новосибирск, 1979г.), на Международной геофизической школе "'Численные методы интерпретации сейсмических данных" (Суздаль, 1980г.), на XIX и XXI Генеральных ассамблеях ECK (Москва, 1984г.; София, 1986г.), на геологическом факультете МГУ, на научных семинарах ИФЗ РАИ, "Гидропроекта". БШИГеофизшш.

Публикации результатов диссертации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе одна монография .

Структура И объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Объем работы составляет 214 страниц машинописного текста и 45 рисунков. Список литературы включает 213 наименований.

Глава Г. Системы линейных алгебраических уравнений, оцешш погрешностей исковых паргдатров, оптишышэ лшшйннэ планы ■ ■

В первой главе приведены необходимые сведения из линейной алгебры и дан обзор основных критериев оптимальности линейных планов. Введены оценки погрешностей решений систем линейных алгебраических уравнений и предложен новый нестатистический критерий оптимальности линейных планов, критерий С-оптимальности. Доказана эквивалентность критерия С-оптимальности критериям оптимальности, выработанным в статистической теории планирования экспериментов.

Пусть целью эксперимента является отыскание оценок некоторых

4 - ч-

неизвестных параметров р по наблюденным величинам /, причем связь между ними записывается в виде системы линейных алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей К полного ранга размерности гит Сп>тУ, вид которой определяется планом эксперимента; /-(/ ,...,/п> - наблюденный вектор; р=(р1.. ,рю> - искомый вектор.

Пусть матрица К и величины задаются с некоторыми погрешностями ЬК и А/.. Относительно характера этих погрешностей не делается никаких предположений, то есть, это могут быть как случайные, так и систематические погрешности. В результате имеем уравнение относительно Лр'

Клр = Д/-ДКр .

Очевидно» задача планирования эксперимента в данном случае за ключается в ток, чтобы так разместить точки наблюдения, чтобы при заданных АК и А/ величина Лр была минимальной.

Справедливы оценки для норм абсолютного и относительного уклонения вектора р

||ЛрЦ < (ПЩЩИРП + 114/11) •

II р|| 1II /И II £||} 1Й1

Легхо видеть, что эти оценки тем меньше, чем меньше величины ||£+|| или ||£|Ц|£+||. Таким образом, задачу планирования эксперимента целесообразно сводить к задаче минимизации величин ||£+(| или

Величину ЮТС*|| по аналогии с величиной ||КЦ!|Г"1|| для квадратной невырожденной матрицы К назовем числом обусловленности матрицы К и обозначим через сопсККЗ, а критерий оптимальности, связанный с минимизацией ||^|| или 1И1ЦК*}!, критерием С-ошштьноаш (от сопе!Шоп).

При сопоставлении двух подходов (статистического и нестатистического) к планированию эксперимента естественным образом возникает вопрос - как соотносятся между собой критерии, выработанные статистической теорией эксперимента, и критерий С-оптимальности?

Наиболее просто этот вопрос решается для критериев А- и Г-оптимальности. Если минимизируется ||К*||Е евклидова норма матрицы /С1", то приходим'к критерию Л-оптииалыюсти. Если минимизируется спектральная норма матрицы К, то в этом случае критерий С-оптимальности эквивалентен критерию оптимальности. Определены условия, накла-

даваемые на матрицу плана К, при которых критерий С-оптимальности оказывается эквивалентным критерию D-оптимальности. При этом, полученные результаты справедливы как для непрерывных, так и для дискретных планов, а матрица плана может быть задана точно или с погрешностями ДК.

Гдрва 2. Определение координат гипоцентров близких землетрясений в оптимальное расположение точек наблюдений на плоскости

Рассмотрим систему уравнений, связывающую координаты гипоцентра землетрясения и координаты регистрирующих сейсмических станций, в предположении, что поверхность Земли плоская, а точки наблюдений расположены на дневной поверхности

СХ - х J>a + СУ - у.;гЧ }f= г/Ст - т ,

i -'i lio

где X, У, И и то - координаты гипоцентра и время возникновения землетрясения (время в очаге); х , у , г - координаты сейсмических станций, зарегистрировавших землетрясение, и времена прихода сейсмических волн на эти станции Ci=t ,rú; v. - эффективные скорости распространения сейсмических волн, численно равные отношении расстояния по прямой от i-ой станций до гипоцентра к времени пробега сейсмической-волны по лучу.

Последнее уравнение можно переписать в виде'

~ ГСХ - х.Эл + СУ - у,.)2 + Н*У=*Ст.- г У s 1 ,

| 1 '1 J ÍO 1 *

где Т.- время пробега сейсмической волны, соответствующее наблюденному времени прихода волны на ¿-ю станцию. В общем случае эта система переопределена и решается обычно методом наименьших квадратов, который сводится к минимизации функционала

i 21

где t.= ^ JcX - СУ - ^J'/2

Функционал S носит названия функционала невязок времен пробега сейсмических волн, а величины t имеют смысл теоретических времен пробега сейсмических волн от очага до станций.

В зависимости от постановки задачи неизвестными могут являться

следующие наборы параметров: Х.У.Н С в дальнейшем будем обозначать этот набор как случай А. Число неизвестных параметров при этом равно т=3); Х.У.И.ь СБ. :п=4); Х.У,И,тСВ, наиболее распространенный случай, когда определению подлежат пространственные координаты гипоцентра и время в очаге. В этом случае ш=4); Х,У,Н, СГ, т= =5). В общем случае величины у являются функциями пяти переменных К, У, Н, х и у.

Вводя новую переменную Г, = Xй + + И* или >) » в

зависимости от исходных данных, получим систему уравнений, которая з матричном виде имеет вид

Кр = / .

■"де К=(к) 1У - матрица системы, представляющая математическую модель изучаемой зависимости; р=/р У - вектор-столбец искомых пара-«етров; (-< }1> - вектор-столбец наблюденных величин; г.-1,2,... ,п; ('=?,<?,... ,т; п > т.

Следует отметить, что р, /,К имеют различный вид в зависимости >т выбранного набора неизвестных СЮ - СП, а ^ и т> выступают как ¡езависимые объекты.

Очень важно, что полученная система линейных уравнений зквива-гентна исходной системе нелинейных уравнений и поэтому имеет глобальный характер.

Глубина И гипоцентра землетрясения не определяется непосредст-енно решением систем, но в каждом случае Ц можно определить из оотношения •

? - Xя- У* или Ни= г> - Xй- Г* т/т*'.

1 ' О

В том случае, когда скорость распространения сейсмических волн упругой среде является функцией только глубины, времена пробега ( и эпицентральные расстояния с/ определяются по явным формулам, том случае, когда скорость распространения сейсмических волн да-яется функцией трех координат х,у,2 время пробега сейсмической олны по лучу определяется численными «зтодами. ,

Для нормы полного вектора ошйбки йр справедлива оценка

\Ы* (х Ир, Iе}'{ГИМНМ* ^ = Ц щу^^'*

Отметим основные свойства полученных оценок. Прежде всего, эти оценки неулучшаему. Это означает, что при любых фиксированных значениях параметров в правых частях неравенств всегда можно так подобрать знаки ошибок времен прихода сейсмических волн на станциях, что неравенства будут достигаться. Другим свойством оценок являет-ся'их униформность. Последнее свойство позволяет, во-первых, сопоставлять между собой оценки погрешностей в определении параметров гипоцентров при различных исходных данных и, во-вторых, выработать единый подход к решению задачи оптимального размещения сеймических станций также для различных случаев. Одно из наиболее важных свойств полученных оценок - учет погрешности самой матрицы К.

Пусть погрешности <5-^ в определении времен прихода сейсмических волн на станции являются независимыми величинами, случайные компоненты которых имеют нулевые математические ожидания и конечные дисперсии cfrChf-AKp). Тогда, как известно, дисперсия оцениваемых параметров будет определяться из соотношения

DC кр)=С%.г1Т* ( Af-öXpyt.}'1,

где DCApD - ковариационная матрица оцениваемых параметров, в DCА/-ДКр) - ковариационная матрица вектора-столбца свободных членов линейной системы.

Для оценки погрешностей в определении глубины стандартными методами теории оценивания воспользоваться нельзя. Тем не менее погрешность в определении глубины гипоцентра для всех случаев (А)-(Г] легко определяется из геометрических соображений

|ÄH| = Н - Hz = [CR.+ |Д£. ра- CD.~ Щ\Уг]1Уг-

- fCKj- |№PS- f.D. + JAD. рг]' j

где |AR4 |=0. 5 ° ; CD. ±|AD рг=СХ( +|AX. р'"ЧСУ. -|ДУ. рг 1

И |AD.| = ffXi + |АХ. ps+ У.-|ЛУ4 PEJ"'2-D.> 0.

Причем, если CR. pa< CD. + |AD. ра, то //а=0. Если Dt< (AZ^ J, т(

Н =R.}. Если R. < то Иг=0. Здесь D. и Ri - соответст-

вующие' эпицентральные и гипоцентральные расстояния. Если глубину / Ц'ипоцеитра определять по ближайшей к эпицентру станции, то в эта случае ошибки [АН\ в определении глубины, как легко убедиться, будут ииниыалыщыь

В гл.4 рассмотрен метод определения глубины источника по ветви годографа, соответствующего лучам выходящим вверх из источника, и даны соответствующие оценки погрешности определения глубины.

В том случае, когда распределение скоростей в упругой среде заданы с погрешностями 6м, выписанная вше оценка будут иметь вид

||Лр.Ц < || где 6т * ^ - -1 * к -А .

V V. XI

» > 1

Случайная величина 6^l+6^v является суммой двух независимых случайных величин. Поэтому ее среднеквадратичное отклонение равно

а. . Следует учитывать лишь то, что теперь станции в сис-

теме нельзя считать "равноценными", так как а, а следовательно и а., зависят от гипоцентрального расстояния.

Полученные оценки, являясь мажорантными, дают гарантированную оценку точности в определении параметров гипоцентров близких землетрясений. Если варьировать координаты точбк наблюдений, то можно Подобрать такое их положения, при котором оценка примет минимальное значение. Поскольку правая часть соотношения представляет собой оценку максимальной погрешности в определении параметров гипоцентра, то приходим к минимаксной задача определения оптимального размещения сейсмических станций.

Рассмотрим внутри Земли гипоцентральну» область в, в которой по некоторому закону рСХ,У,Ю распределены гйпоцентры землетрясений, а на поверхности Земли зададим область О, внутри которой следует разместить сейсмические станции для регистрации землетрясений из области б. Область П будем называть областью планирования сейсмологического (сейотческого) эксперимент.

Будем говорить, что задача планирования сейсмического эксперимента заключается в том, чтобы разместить в области П сейсмические станции таким образом, чтобы функция

Я ■ Г + с&ЦСХ, У, И,

называемая функцией потерь, где ./ = 11^11 принимала мини-

мальное значение. Здесь функционал ФСЖХ,У,и,х1 характеризует точность определения параметров гипоцентров; а - нормирующий множитель, а величина Г характеризует общие затраты на эксперимент, шраяашае, например, в денежных единицах.

Очевидно, что такая постановка задачи предполагает как определение оптимальной конфигурации сети станций, так и числа станций в области П. Возможны постановки и более частных задач, Например, в области О уже размещены а точек наблюдений. Требуется по заданному закону рСХ, У, Ю определись оптимальное дополнение сети до п+га точек в О (а возможно и число п дополнительных точек) в смысле критерия рассмотренного выше.

В большинстве случаев в качестве функционала Ф можно выбрать математическое ожидание квадрата функции XX, когда

точка М-СХ,У,И) пробегает область О

Ф = ¡ТСХ,У,И,х. )рСХ,У,И)сЮ .

п

Минимум функционала $ определяется варьированием параметров х. и у СС~! ,2,. ..в области П.

Для того, чтобы выявить наиболее общие черты оптимальных систем сейсмологических наблюдений, в диссертационнной работе подробно рассматривается функция J. При этом рассматриваются отдельно велчикы ^ = 1;К+1! и 3^= \И?ьф\1. Свойства величины Л = иКЧ! были изу-изучены в первой главе работы. Рассмотрение величины Jг=l\Ruф\\ приводит к задаче поиска оптимального гипоцентра, т.е. к определению положения гипоцентра землетрясения, который определяется данной системой станцией с минимальными погрешностями. Оказывается, что координаты оптимального гипоцентра /•/ совпадают с координатами х. и центра "тяжести" системы точек наблюдений с "весами" р1 =и.фi.

Оптимальные сети станций сейсмологических наблюдений позволяют определять параметры гипоцентров землетрясений с минимальными погрешностями. Существующие локальные и региональные сети сейсмических станций в силу различных причин не всегда имеют конфигурацию близкую к оптимальной. Естественно в этих случаях оценить, насколько хороша та,или иная система наблюдений. Задаваясь законом распределения рСХ,У,Ю гипоцентров землетрясений в области б, можно вычислить значение функционала ь-$исХ,У,Ю), характеризующего точность определения координат гипоцентров в .среднем по области В для данной системе наблюдений. Очевидно, что для заданной функции рСХ>У,Ю можно определить оптимальную систему наблюдений, которая будет характеризоваться некоторым значением функционала #о= Ф.

Естественно оценивать качество системы наблюдений отношением

(7 = Ф /Ф .

'С о

Так как Ф > Фо, то, очевидно, О < (}с< /. Параметр <?с позволяет оценивать качество системы наблюдения в целом с точки зрения максимальных погрешностей в определении координат гипоцентров.

В каждом конкретном случае, землетрясение, имеющее координаты X, У, И, может быть зарегистрировано т станциями из рассматриваемой сети Ст < тО. Для каждого единичного события рСХ.У.Ю представляет собой ¿-функцию Дирака и, следовательно, функционал § в этом случае будет равен J, а качество системы в этом случае естественно определять величиной

а - J /J .

'с. п

Определяя значение величины для каждой точки области П можно построить поле значение дс для всей области О.

Если в качестве функционала $ рассматривать функции дисперсионной матрицы оцениваемых параметров, то в этом случае необходимо задавать как функцию распределения рСХ, У, Ю, так и число точек наблюдений п.

Очевидно, что эффективность сети наблюдений зависит не только от числа станция и взаимного расположения станций Между собой и всей сети относительно гипоцентра, но и от сила землетрясения. Этот вопрос рассматривался в работах Н.В.Кондорской и З.Й.Аранови-■ 43 и др.

В заключений второй главы приведены примеры расчетов оценок погрешностей и эффективности Таджикской сети сейсмологических наблюдения. оптимальной сети наблюдений на территории России и оптимального дополнения сети Северного Вьетнама.

Глава 3» Определение координат гипоцентров близкпз землетрясений. (Новый подход)

В третьей главе предложи новый подход к решению задачи определения координат пшоцентров близких землетрясений ц скорости распространения сейсмических волн. Основной проблемой при опрэде-нии координат пшоцентров землетрясений является» как известно, определение глубины очага. В диссертационной работе определение координат гипоцентров сводится к задаче поиска минимума функционала невязки, который представляв? собой суту двух функционалов, невязки зпщентральных расстояний и глубш.

- И -

Как ухе упоминалось выше, в сейсмологической практике при определении координат гипоцентра в качестве последнего принимается точка из некоторой области которая реализует минимум функционала невязки времен

-V 1ч-Vй.

I =1

где и Г - теоретические и наблюденные времена пробега сейсмических волн от очага до регистрирующих станций. Если задаться некоторым уровнем погрешности 61, то тем значениям функционала ,

для которых, например, Щ/п < Л будет соответствовать некоторая область Я в пространстве координат х.у,у., точками которой являются координаты гипоцентров, соответствующие теоретическим временам . Далее, если для каждой точки из области Д определить значения и , подставить их в правую часть исходной системы и решить ее, то получим значения X, У,И, которые в общем случае будут отличаться от координат соответствую®« точек из в и для некоторых точек это отличие может быть значительным.

Пусть Я ,й. и и соответствуют теоретическим временам I. пробега сейсмических волн от очага до ¿-ой станции, где £ = и г - ги-

поцентральные расстояния; О = И* - эпицентральные расстояния и И ~ глубина" очага землетрясения, а г( = и^. , (I и Ь - те же ве-величины, но соответствующие наблюденным временам ? .Тогда для функционала Я справедливо соотношение

п

Б, ¿У V. ей - а ген - К>*= Б.,

I С > I I I .

» =1

г»

где и" = и У = I ^- весовые множители, характеризующие неоднородность среда. Из" полученного соотношения следует* что малость вначения функционала Ф1 не гарантирует малости значений функционалов невязок в определении глубины гипоцентра землетрясения и зпи-центральных расстояний, но Малость значения функционала влечёт за собой малость значения функционала невязки времен. Это утверждение является следствием того факта, чтд квадрат разности СК -суть квадрат разностей модулей векторов Я, и IV и не зависит от их направлений, в то время как сумма квадра|ов разностей СО. -* СИ ~ есть квадрат модуля разности Я, соответствующих векторов. Исходя из сказанного выше, задачу определения координат ги-

поцентров землетрясений следует ставить не как задачу минимизации функционала или, что эквивалентно, суммы разности длин векторов и , а как задачу минимизации функционала ^.

Обратимся к рассмотрении возможных реализаций изложенного выше подхода для различных случаев. Первый случай - неизвестными являются только координата гипоцентра X, У, Н. Второй случай - неизвестными являются X, У, И и т . Третий случай - неизвестными являются X, У, И и уСх, у.гЭ, где иСх, у,г> - функция скорости. Во всех трех случаях скорость распространения сейсмических волн является функцией трех координат х, у и 2, но наиболее просто алгоритмы определения координат гипоцентров реализуется для одномерной функции скорости, т.е. для ь-иСгУ.

Рассмотрим первую задачу. Пусть Я - множество глубин, на которых могут располагаться очаги землетрясений и Ь - элемент этого множества (Ь е Ю. Требуется найти такое Ж, которое обеспечило бы минимум функционалу 51 при условии, что К,У и И определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений

Хх.+ Уу,- 0,51; = /. ,

где £ = Xя-+ У» + /¿=0. 5Сх?+ у*- И*}. Величины <2. определяются по формулам годографа или численно из условия близости теоретических времен наблюденным временам Т. пробега сейсмических волн (определенных, например, по графику Вадати).

Вторая задача. Неизвестными являются X, У,И и т . В этом случае возможны различные подходы. Рассмотрим один из них, при котором, для определения координат гипоцентров землетрясений и времени в очаге поиск параметров Ь и то осуществляется на двумерной сетке.

Запишем систему линейных уравнений, определяющую координаты гипоцентра, в виде

Хх. + Уу. - Т тХ - 0.5? = /.

I а I I ^ ' 1

где ? = X2 + Н2; /. =

И рассмотрим функционал

п '

5 = 7 а. Сй. - 9. .)*+ СИ + пС1 + г З2,

II 1 1 1 ' о о

1 =»

где 77 = 1 /V-. Т.е. рассмотрим сумму длин разностей радиусов-векторов точек в четырехмерном пространстве.

Сформулируем задачу. Пусть X - множество глубин, на которых

могут располагаться очаги землетрясений и Ь - элемент этого множества СЬ, е. Ю, а ? - множество значений времен, элементами которого являются времена то возникновения землетрясений Стое ¿".Э. Требуется найти такие И*е 9£ и г*е 7, которые обеспечили бы минимум функционалу при условии, что Х,У,Н и Та определяются из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

Обратимся к третьей задаче. Предположим, что помимо координат гипоцентров землетрясений мы хотим определить или уточнить скоростной разрез изучаемого региона. Как уже упоминалось, предложенный подход справедлив для упругих сред с трехмерным распределением скорости распространения сейсмических волн.. Однако для определения трехмерного распределения скорости требуется привлечение достаточно большого числа землетрясений, что возможно далеко не всегда и достаточно детальной параметризации разреза, что тоже бывает достаточно сложно. Кроме того, из-за большой размерности возникающей системы уравнений задача определения скоростного распределения оказывается неустойчивой, В диссертационной работе решается задача определения координат гипоцентров землетрясений и одномерного распределения скорости. Один из вариантов решения этой задачи рассмотрен в четвертой главе. Определение скоростного распределения, как функции глубины, по годографам от землетрясений рассмотрено в главах 6 и 7.

Пусть скоростной разрез является функцией только глубины. Тогда, аппроксимируя кривую зависимости скорости от глубины ломаной лшщей, можно скоростной разрез среда представить в виде плоскопараллельных слоев с линейным изменением скорости в каждом слое. Тогда задача формулируется следущш образом. Пусть Я - множество глубин, на которых могут располагаться очаги землетрясений и Л -элемент этого множества СЬ. е Ю, а 1 - множество значений скоростей распространения сейсмических волн на нижней границе з~та слоя скоростной колонки, состоящей из Н слоев,, у. - его элемент Си е

и -т. .М Л®

б 40. Требуется определить такие п е ц и и^е которые обеспечили бы минимум функционалу 51 при условии, что К, У, И определяются из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений»

Практически решение задачи проводится следущш образом. Для каждой пары значений Ь. и г^ на сетке определяются значения с? , которые однозначно соответствуют наблюденным временам пробега

сейсмических волн заданного типа, в частности, временам пробега Р-волны в первых вступлениях. Лий подставляются в правую часть соответствующей системы линейных уравнений и ищется решение этой системы. Перебирая все возможные значения Л и и , определяем такие Л* и у* и, соответственно, X .У ,7. , которые обеспечивают ми-

3 а о о о ^

нимум функционала 5,. Времена прбега определяются из графика Вадати.

Глава 4. Определение координат гипоцентров далеких землетрясений н оптимальное расположение точек наблюдений на сфере

Как и в случае близких землетрясений в практике сейсмологических наблюдений определение координат гипоцентров землетрясений, зарегистрированных мировой сеть» сейсмических станций основано на минимизации функционала невязки времен В диссертационной работе рассматривается принципиально другой подход. Запишем уравнения, связывающие координаты гипоцентров и координаты сейсмических станций. Пусть для п сейсмических станций, расположенных на поверхности Земли, заданы географические координаты р. , X. и превыпения над уровнем моря , а гипоцентр землетрясения имеет координаты и глубину Но. Поместим в центр Земли начало декартовой сис-системы координат. Ось 0?. расположим по полярной оси Земного эллипсоида, ось ОХ на пересечении плоскости экватора и плоскости начала счета долгот, ось О У в плоскости экватора, но в мере диане, плоскость которого составляет с плоскостью начального иередиана угол 00°. Тогда можно записать систему нелинейных уравнений

о i О ■*1 , О 1 I .

связывающую координаты гипоцентра и регистрирующих станций в декартовой системе координат. В этих уравнениях Ха,Уа,2о - координаты гипоцентра; х1,у1,г1 - координаты сейсмических станций; "V = й. -

- Й ; й. = й.« \>г * у* + г?; К = Й = IX2 + У2 + г2' ;

О 1 1 ' 1 ^ 1 1 о о' о о о'

Проводя соответствующие преобразования, получш систему линейных уравнений

Ци. -сс&СЛ /й. )=сс&Сш ),

* . 1 » . 1 » Г1

ГДе У — X /г ; V = У /Г ; У = 2 /Г ; и = х /й. ; V. = у. /й, ; ш . =

О О О О О О I II I ■'1 I I

= 2./й.; го= йз-?г, И - глубина гипоцентра, отсчитываемая от поверхности Земли; йэ-- величина радиуса Земли в соответствущей точке

земной поверхности. При этом координаты гипоцентра не должны выходить за пределы земного эллипсоида, т.е. суша квадратов неизвестных U,y,W должна удовлетворять неравенству

t+e*sini!p-c'e'CbinuJ/a.

Iß+V+t----- .

t-tf bintp

Если известны только времена прихода сейсмических волн и координаты точек наблюдений, то проводя соответствующие преобразования, получим

Ш. +'Ла +Уы =cosCd /R D-т т, У'. /С г R У ,

1 J I Ч ) 1 О 1 » О »

где Q=T /г : о. s = Т i/V К ;

I О Ч I 1 i

Остановимся на оценках погрешностей в определении параметров гипоцентров далеких землетрясений и вопросах устойчивости решения соответствующих систем линейных уравнений. В том случае, когде время в очаге известно, оценки погрешностей в определении координат гипоцентров имеют вид

HApll < l!tUUsinCcl/R><yalllATl .

Параметры р. в данном случае, соответственно; равны p(=XQ/ro, р =У /г , р -2 /г .

*2 О О 3 О О

Если система линейных уравнений отвечает случаю, когда неизвестным, наряду с \>Уа и Zq, является также и Т , то оценки имею: тот же самый вид.

Полученная оценка, являясь мажорантной, дает гарантированну) точность в определения параметров гипоцентров далеких землетрясений. Если варьировать координаты точек наблюдений, то можно подо брать такое их положение, при котором эта оценка примет минималь Ное значение. Таким образом, задачу определения оптимальной reo метрии системы наблюдений можно рассматривать как задачу даншиза ции целевой функции J~llk*l! IlsinCd/JD^all, а точнее некоторого функ ционала от целевой функции J.

Для того, чтобы выявить наиболее общие черты оптимальной сис темы сейсмологических наблюдений, необходимо подробно рассмотрет целевую функцию J. Представим функцию J в виде произведения дву функций J = ИК+Н и Ja= lisinCd/Юф/аИ и рассмотрим функцию J . Ми нимальное значение функция J примет в том случае, когда сумы квадратов величин объемов всех тетраэдров, вписанных в единичну сферу, будет максимальной. С другой стороны, каждый набор точек н

сфере представляет собой набор вершин некоторого -многогранника, объем которого равен сумме объемов соответствующих тетраэдров. Известно, что многогранник, имеющий сама! большой объел среди всех многогранников с данным числом Вершин, вписанных в накуху-то фиксированную гладкую выпуклую поверхность, обязательно является истинным многогранником с треугольными гранями, т.е. является многогранником, который имеет только треугольные грани, лежащие в различных плоскостях.

Обратимся к рассмотрению функции = ИхIпСс1/Юф/а\\. Понятно, что целевая функция 3 тем меньше, чем меньше значения функции Л,. При фиксированном положении гипоцентра землетрясения 3^ стремится к нулю при стремлении к нулю <-/ . При фихсированом положении точек наблюдений 3^ является функцией координат гипоцентра. Чтобы найти минимум 3 как функции координат гипоцентра, продифференцируем 7а по I), К и У и, приравнивая производные к нулю, для определения координат оптимального гипоцентра, получим систему линейных уравнений, аналогичную системе, определяющей координаты гипоцентров. Решая эту систему, найдем координаты оптимального гипоцентра.

В случае определения координат далеких землетрясений на эллипсоиде ситуация во многом схожа с ситуацией в случае определения координат близких землетрясений на плоскости. Определим расстояние между двумя точками М и // .внутри шара как

р = \it-Cv - V С г - г

г т и м | я ,

где радиус шара; г( и гр - расстояния вдоль радиуса от центра шара до точек /I и 11-, С^- - кратчайшее угловое расстояние мезду точками Ц й Тогда квадрат суммы расстояний между точками запишется в биде

г» п

$,=> 5 [СО -ё У*+СН-Юг1 - Т П^СФ,-т >Е+С1? -г 5*1

I С ^ ^ £.»»*« о а

I =« 1:1

Таким образом задача определения координат гипоцентров землетрясений сводится к определении области и и соответствующей ей области О и минимизации функционала . Сформулируем задачу.

Пусть Ж - множество глубин, на которых могут располагаться очаги землетрясений и Л - элемент этого множества СИ е Ю. Требуется найти такое Я, которое обеспечило бы минимум функционалу

при условии, что X. У и 7, определяются из решения системы ли-

нейных алгебраических уравнений.

На практике при локализации далеких землетрясений наибольший интерес представляет задача определения четырех параметров гипоцентра: <р, Н.и то. В этом случае будем иметь

Ш + V« + Vы - Ш = сокГ<£ /К У - т г ггУГ г О ,

I I 1 ч II. 0|| а I

где 0~Т /г ; а = г. Vя/К .

О О '» I I I

Кроме этого запишем функционал

п

Я, = У со - а сн-юя+ пет - т )г =

I I £ I 1 I ' о о

I =•

II

=у а, ГСФ - \р )г + СР — г У + ц("Г - т

* * I о о ^ о о

» г«

Где гр/ИI/; -Р .

Э О

Таким образом приходим к следующей задаче. Пусть Я - множество глубин, на которых могут располагаться очаги землетрясений а Ь -элемент этого множества (Ь е Ю, а 7 - множество значений времен возникновений землетрясений и т - элемент этого множества Ст е

* о о

Требуется найти такие % и*т е 7, которые обеспечили бы минимум функционалу ."> при условии, что X. У, 2 и То определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений.

Глава 5. Обращение годографов сейсмических волн, распространявшихся от глубинных источников в вертикально неоднородных средах

В пятой главе рассмотриваюгся методы определения скорости распространения сейсмических волн, основанные на обращении сейсмических годографов полученных от землетрясений.

Пусть распределение скорости сейсмической волны вше источника и глубина источника- неизвестны. Требуется определить глубину источника 7,-7? и распределение скорости х^мСъ) на интервале 10, V*! ■ Известно, что функция 11С2.У не определяется по годографу единственным образом, так как разным скоростным функциям иСх) имеющим одну и ту же меру НСи), где

.ИСгО = Ш5<г, 2 < г*, иСъУ1< и},

соответствует одинаковая кривая 1СхУ, х е ¡0*х 1.

Поставим задачу определить функцию ЯСЮ и, следовательно, глу-

бину источника и минимальное и максимальное значения скорости в слое над источником. По определению функция М'и): а) не убывает; б) равна нулю при -к<и < Г*-иС:* -О); в) равна Н=;:* при иСО)-и^< и< а. Здесь и* и и - соответственно, минимальное и максимальное

О

значения функции иС-<0=и~* Сх) в слое над отражающей границей.

Задача определения функции иС-л')~ у'' С--~) по годографу волны, распространяющейся вверх от глубинного источника сводится к задаче квадратичного программирования в бесконечномерном пространстве, минимизации квадратичного функционала

» и

с ШСхй

/ (Ь \гГ' - а5,4

( ( ( { Ж и) V

. ХН,х)-\- <х Сей - а !■

)« 1' 1 иггу)

О

и

при линейных ограничениях сЖиУ > О .

Проделав соответствующие вычисления, получим, что функция, реализующая минимум функционала ХН,х), является решением уравнения

*

ц

[Сьй =

х Са)(Ь

= 0.5

и + и

1П-гЖи)

где и*< и < иа.

Если решение задачи ищется по участку годографа, ограниченному лучами с параметрами а и аг, то оценка погрешности в определении г* дается соотношением

а

!1Лт| ,

}йг( < -— 1а1гГ-с/' f ¡^агсБхп -1

2г?Са -а .5 \ и\

Е I '

а

I

Для определения скорости по годографу волны, распространяющейся вниз из источника рассмотрим функции

хСсО = х Сей + х Сдй , Кой = I Сей + I Сей .

«2 I г

хСсО и 1С ой представляют собой уравнения годографа для поверхностного источника.

г

■ . т

( (Зг

= хСой-2х Сей - х Ссй-х Сой = 2а

' *

■7.

Решая последнее уравнение обычным способом, получим формулу обращения годографа Герглоца-Вихерта-Чибисова.

Рассмотрим вопрос о решении обратной кинематической задачи для сред с волноводами. Будем полагать, что число разрывов годографа конечно. Пусть на глубине у* начинается волновод. Скорость в волноводе является произвольной дважды кусочно гладкой функцией, а вне волновода строго монотонной возрастающей дважды кусочно гладкой функцией. Рассмотрим в волноводе функция

НСиЭ=тж{г: г: е гПСгЭ < и>.

По определению мера НС и)-, а) не убывает; б) равна нулю при -ос <и 1 й*; в) равна при и*< и с а. Здесь г7* - минимальное значе-

ние показателя преломления в волноводе; и* - максимальное значение показателя преломления в волноводе.

Пусть первая ветвь годографа начинается в точке С О,О!) (что, вообще говоря, необязательно). Тогда по формулам обращения годографа Герглоца-Вихерта-'Чибисова по. первой ветви годографа можно восстановить скоростную кривую до некоторой глубины г*. Так как вне волновода функция и=иС-гУ строго убывающая то, следовательно, существует обратная функция 2=аГи>. Тогда уравнения годографа могут быть записаны в виде суммы интегралов Римана и Стильтьеса ч »

„ • (( \CiDcbi ( дИСгй }

а и

п *

((°кСьОигёи "( (ШСи) }

и |»/а- «г > и?- с? >

« |иг- «г ' Цг?- О2

а и

где ХСхО^-дг/дц >0, 6НСхО>0. _ч

Умножим правую и левую части первого уравнения на

второго уравнения на а/\ ъ? -рг и проинтегрируем в пределах от д д

После несложных преобразований получим систему двух интегральных уравнений фредгольшго типа относительно двух функций КС и) и ИСгО, которые удовлетворяют условиям: ХСиУ > О, бИСиУ > О ч ч *

1хСа, г УсЬ ( ,

-- = *Си>К Си,и>Ои + К Си,ыУйИСгО

Г^КГТГ ) ' 1 )

ч

( 1Са,г*У6а [ {

I ......... - = ХСиЭг/К Си,ыУОи + \ г?К Си,ыУШиУ.

* ¡1? - а* > ' >

ч

¡иР - ' + {и* -где К Си, ыУ = 21п- . - , п < и < а < Б*< и < и* \

+ \хГ- - д2 '

К Си,иУ = 21п—————----, а < и < и*< и,ы < и*.

2 ■ 1 « "I п ^а

+ - %

В пятой главе выведены новые интегральные уравнения первого рода фредгольмова типа, связывающие скоростную функцию уСгЭ и годографы сейсмических волн, распространяющихся от глубинного источника. Показано, что скоростная кривая восстанавливается по любому фрагменту годографа волны, распространяющейся как вверх от источника, так и вниз от источника. Сформулированы условия, при которых глубина источника сейсмических • волн' определяется устойчиво. Даны оценки погрешностей определения глубины источника, отражающих границ и глубины максимального проникновения лучей.

Глава б. Численное решение обратных одномерных кинематических задач сейсыики

Использование формул обращения сейсмического годографа предполагает, что лучевой параметр а, равный производной годографа, должен быть задан для каждого значения х б [О, х[(]. Поскольку предполагается, что.из наблюдений известны только величины х и г, то возникает задача дифференцирования экспериментального годографа, заданного с погрешностями дискретным набором точек. Как известно эта задача, в общем случае, является некорректной.

Из рассмотрения уравнений годографов вытекает, что на участках монотонности и непрерывности функция КхУ должна удовлетворять определенным требованиям, выполнение которых является необходимым условием для того, чтобы' 1СхУ являлась годографом рефрагированной или отраженной волны. Перечислим эти требования.

1) Функция ХхУ - неотрицательная функция, КхУ > О С к е *10,хм]У.

*

и

к

Р.) Производная функции 1Сх"> неотрицательная функция, 1СхУ > О

3) Если на сегменте [ х . х ] функция 1С хУ соответствует прямой ветви годографа, то вторая производная { (хУ - неположительная функция, ¡"сх)< 0. Если на сегменте [х 1 функция 1СхУ соответствует обратной ветви годографа, то вторая производная /"СхУ-- положительная функция, г"Сх);0. В случае годографов отраженных волн или волн, распространящихся вверх от источника вторая производная функции /СхУ должна быть неотрицательной, ¿"г х) > О.

Как же обстоит дело с реальными годографами, полученными в результате сейсмических наблюдений" Очевидно, что первое требование выполняется всегда. Второе требование выполняется почти всегда, за исключением, может быть, тех случаев, когда ошибки в определении точек годографа недопустимо велики. Третье же требование не выполняется практически никогда, Последнее обстоятельство связано с тем, что даже небольшие ошибки в определении времен и расстояний приводят к нарушению условий ГСхУ < О а"(хУ>ОУ для рефрагированных волн или Г("х) > О для отраженных. Кроме этого, неоднородность реальной упругой среды в горизонтальных направлениях также приводит к нарушению третьего требования.

Условия С'СхУ < О (С'СхУУОУ и Г(хУ > 0, которым должны удовлетворять годографы рефрагированных и отраженных волн означают, что 1СхУ - выпуклые вверх или вниз функции и, следовательно, аппроксимирующие функции ТСхУ должны учитывать характер и степень гладкости 1СхУ на достаточно большой области определения 1СхУ.

В работе предлагается строить сглаживающую функцию с помощью кубических сплайнов. Для решения задачи сглаживания записывается система линейных уравнений,определяющая вторые производные Т интерполяционного сплайна для самого себя. В качестве решения этой системы принимаются значения 7^", реализующие минимум функционала

н-«

1 =«

при условиях Т" 5 О СТ">ОУ.

Записывая функционал 5 в развернутом виде, делеем .

М-» ,М-1

' = 2 - 'Г".

1=0=,

где а = - [р* х + г^*, + р* с*-*- Л ; р* = р лм. ; X* = р, П-Х УГ + р. X Т. + Г ; Л =х -х. ; £ = / ,2",... ,АЫ.

X П -I « -< I 1 »141 I '

Как только найден минимум функционала 5, т.е. определены соответствующие значения т", без труда определяются значения Г искомого сплайна в узлах сетки Л и строится сплайн-функция, аппроксимирующая экспериментальный годограф.

Кубические сплайны оказываются эффективным аппаратом для решения поставленной задачи. Так, если воспользоваться сплайнами более высокой степени, то в этом случае уже нельзя будет гарантировать выпуклость аппроксимирующей функции на всей области аппроксимации. В то же время, сплайны меньшей степени имеют меньшую степень гладкости, что в свою очередь ухудшает сходимости соответствующих им скоростных функций к точному решению.

Рассмотренный выше метод сглаживания экспериментальных годографов с помощью выпуклых кубических сплайнов имеет один недостаток, который заключается в том, что сглаживающий сплайн опирается на крайние экспериментальные точки. В том случае, когда погрешности в определении времен прихода сейсмических волн малы, этот фактор не имеет существенного значения. В том т случае, когда погрешности в определении времен прихода достаточно велики, поведение сглаживащей кривой может существенно зависеть от положения крайних точек, на которые опирается сплайн. Такая ситуация наиболее характерна для годографов, с которыми приходится сталкиваться при одновременном определении координат гипоцентров землетрясений и скоростной кривой и которые представляют собой, как правило, фрагменты годографов, которые в свою очередь начинаются на достаточном удалении от эпицентра землетрясения. В этом случае для аппроксимации экспериментальных точек достаточно подходящей оказывается логарифмическая кривая вида

= а1пСх + Ь,

где параметр с отвечает условия с>(.

Задача определения такой кривой заключается в определении параметров а; Ь и с и решается методом наименьших квадратов.

В пятой глаЕе была рассмотрена задача обращения годографа сейсмической волна, распространяющейся вверх от глубинного источника.

В шестой главе рассматривается решение этой задачи по годографу, заданному дискретным набором точек.

Для численного решения соответствующего интегрального уравнения перейдем к его дискретизации, разбив сегмент Г аа,\лх1 на N частичных сегментов [и. >, и ]. Рассмотрим на сегменте ¿аа>игаах? функцию скачков ЛИ С/=1,2, . .. , N-13. В этом случае будем иметь

систему N линейных уравнений относительно N неизвестных ДИ ■ м

/Си) = ¡¡^ДН. , 1 = 1N

о?- р* + и2- с? ' - о ^

где й = 1 п_ -- - - положительно определенная матрица I

АН. > О.

J

Решение этой системы, которая может быть записана в виде

АТШ = Атх ,

минимизирует функционал К - ¡¡ЛАМ - мЦ*.

Таким образом рассматриваемая задача сводится к задаче квадратичного программирования в конечномерном пространстве, которая всегда имеет единственное решение ("при условии невырожденности матрицы П=АТА системы), так как выпуклый по АН функционал К ограничен снизу и непрерывен на выпуклом множестве й=ГДН.| АИ. > О).

Изложенная выше методика определения скоростной кривой по годографу волны, распространяющейся вверх от глубинного источника, дословно переносится на годограф отраженной волны.

При численном обращении годографа рефрагированной волны., соответствующего монотонному возрастанию скоростной функции, возникает проблема аппроксимации последней. Кубический сплайн, аппроксимирующий сейсмический годограф, порождает соответствующую аппроксимацию скоростной функции. Однако, часто бывает целесообразно аппроксимировать скоростную функцию и=иСг) некоторой функцией ь=г£гУ достаточно простого вида и такой, чтобы функция zm=zCq} определялась по явным формулам. Таких функций известно достаточно много. Одной из наиболее распространенных является кусочно-линейная функция. Аппроксимация скоростной кривой кусочнолинейной функцией вполне правомерна, так как для любого действительного с>0 всегда можно указать такое разбиение сегмента [О, г 1, что Сущес-

твуют и другие функции, удобные с точки зрения вычислений, для аппроксимации скоростной зависимости у=иСгУ.

В диссертационной работе рассматривается новая функции иСг), представляющая более сложную зависимость, чем линейная. А именно, рассмотривается функцию следующего вида

где uo=const, a g и h - параметры Ch < и"2-?. Эта функция позволяет более точно аппроксимировать искомую зависимость уменьшая

накапливание ошибок аппроксимации от слоя к слою.

В пятой главе задача обращения разрывного годографа рефрагиро-ванной волны свелась к задаче решения системы из двух интегральных уравнений первого рода фредгольмого типа. Численное решение последней заключаеся в решении задачи квадратичного программирования, также как и в случае обращения годографа волны, распространяющейся вверх от источника.

В качестве иллюстрации применения разработанных методов интерпретации экспериментальных данных в шестой главе рассмотрены результаты обработки данных от дальневосточных землетрясений.

В 1<365 году Р.З.Тараканов опубликовал осредненные годографы Р золн от землетрясений с глубинами очагов 0, 30, SO, 80 и 120 км Ш области, захватывающей центральную и северную Японию, южные и зредние Курильские острова, южную часть Охотского моря и прилегающую к Курильским островам и Японии сейсмическую зону Тихого океа-ia. Годографы, построенные Р.З.Таракановым, неоднократно интерпре-гировались различным? авторами, в основном оптимизационными методами. В связи с этим было интересно сравнить результаты интерпретации полученные ранее с результатами, которые получаются по методике обращения, годографов предложенной в диссертационной работе.

Из сравнения полученных наш скоростных кривых по данным от ¡емлетрясений расположенных на различных глубинах мезхду собой и ясоростными моделями полученными ранее друга® автора?™ следует, :то кривые, соответствующие источникам расположенные на глубинах О, 60, 80 и 120км, близки мезду собой и близки к га долгам получен-ын ранее. - .

Изучение скоростного распределения верхней мантии охотоморско-о региона на глубинах свыше 200км требует иного подхода, т.к. в

силу расположения гипоцентров глуОокофокусных землетрясений и сейсмических станции мы не имеем достаточно протяженных годографов сейсмических волн, распространяющихся вверх от гипоцентров землетрясений. В диссертации приведены результаты определения скоростной кривой по данным глубокофокусных землетрясений охотоморского региона путем одновременного определения координат гипоцентров землетрясения и скорости распространения сейсмических волн в слое.

Исходным материалом для построения скоростной кривой для верхней мантии охотоморского региона послужили времена первых вступлений Р- и S-волн из каталога JSC от 53 глубокофокусных землетрясений с магнитудой больше 4, происшедших в рассматриваемом регионе за период с 1935 по 1981 годы.

Результаты расчетов показали, что алгоритм достаточно устойчиг к погрешностям входных данных, которые составляли -1,0 с. В целом, полученная скоростная кривая близка к скоростной кривой для стандартной модели Земли, но на глубинах от 220 км до 600 км она расположена левее последней на 0.2км/с. Последнее обстоятельство говорит о том, что под Охотским морем в интервале глубин от 200 га до 600 км скорость распространения сейсмических волн ниже чем i среднем по Земле.

Заключение

В диссертационной работе исследуется задача определения коор динат гипоцентров землетрясений при различных исходных, данных : развиты новые методы планирования оптимальных систем наблюдений : определения гипоцентров.

В работе получены системы линейных алгебраических уравнений связывающие координаты гипоцентров близких и далеких зеылетрясени и координаты сейсмических станций и выписаны оценки погрешаете их -решений. Изучена структура матрицы системы линейных уравнений матрицы плана и сформулирован нестатистический критерий оптималь нности линейных планов, критерий С-оптимальности и доказаны свой ства планов, оптимальных по этому критерию. На основании введение го критерия, дано решение задачи оптимального расположения сейсмк ческих станций.

Для определения координат гипоцентров землетрясений предлоге новый подход, дающий устойчивое решение еадачи. Особенность это1 подхода заключается в - том, что решение задачи реализует mhhhmj

суммы кевязок эпицентралышх расстояний и глубины очага, что существенно повышает устойчивость определения последней.

Особое внимание в работе уделено задаче совместного определения координат гипоцентров землетрясений и скоростных характеристик среды. Рассмотрены два подхода: определения скоростных характеристик среды по временам пробега сейсмических волн и по годографам сейсмических волн, распространяющихся от глубинного источника.

Для определения распределения скорости распространения сейсмических волн как функции глубины по годографу сейсмической волны, распространяющейся вверх от глубинного источника, получены новые интегральные уравнения первого рода фредгольмова типа. Для определения скорости по разрывному годографу, а в общем случае по фрагменту годографа рефрагированной волны, распространяющейся вниз от источника, впервые получена система из двух интегральных уравнений того же типа, Решение этих уравнений ищется на множестве монотонных функций и сводится к решению задачи квадратичного программирования.

Расмотрены вопросы численного обращения годографов и, в частности, задача сглаживания годографов сейсмических волн, заданных с погрешностями дискретным набором точек, выпуклыми кубическими сплайнами. Разработан математический аппарат построения простых выпуклых кубических сплайнов и введена новая функция, позволяющая с.высокой точностью аппроксимировать скоростное распределение в упругой среде.

В заключении работы приведены примера определения скоростного разреза верхней мантии под Охотским морем по данным от Курило-Японских землетрясений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бурлин В.Й. Задача планирования эксперимента и обусловленность систем линейных алгебраических уравнений//Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, ISfTS, C.IS5-200.

2. Бурят B.D. Определение скорости распространения сейсмических волн в волноводе по годографу рефрагированных волн//Изв.' ЛЯ СССР. Физика Земли, 1S78, .'77. С.86-89.

3. Бурят В.Ю. Аппроксимация сейсмического годографа выпуклыми сплвйнами//Изв.АН СССР. Физика Земля, 1080, J©. С.90—96.

4. Бурлип В.Ю. Ошибки определения параметров волноводов по годографу ре£рагированных волн//Изв. АН СССР. Физика Земли, 1980, JÉ6, С.91-93. •

- S. Бурмин B.D. Формулы обращения для разрывных годографов рефраги-рованных волн//Изв. АН СССР. Физика Земли, 1980, Ш. С.94-100.

6. Бурит В.Ю. Численное решение обратной одномерной кинематической задачи сейсмики по годографу рефрагированных волн//йзв АН СССР.Физика Земли, ;981, №12. С.23-35.

7. Бурмин В.Ю. Алгоритм определения координат гипоцентров близких землетрясений и скорости распространения сейсмических волн в слое //Вулканология и сейсмология, 1983, Ш. С. 81-90.

8 Бурмин B.D. Обратные кинематические задачи для неоднородных сред//Численные методы в сейсмических исследованиях. - Новосибирск: Наука, 1983. С.106-112.

9 Вурмш В.Ю. Оптимальное расположение сейсмических станций при регистрации близких землетрясений//Изв..АН СССР. Физика Земли, 1985, Л5. С.34-42.

10. Бурмин B.D. Определение скоростной функции численными методами //Современное состояние сейсмологических исследований в Европе. - М.:Наука, 1988.' С.439-443.

11 Бурмин B.C. Обращение годографа сейсмической волны, распространяющейся от глубинного источника//Вулканология и сейсмология, 1988, J66. С.62-71.

12. Бурмин B.C. Новый подход к определению параметров гипоцентров близких землетрясений//Вулканология и сейсмология, 1992, Ш. С.73-82. .

13 Бурмин В.Ю. Численное обращение годографа отраженной волны// Геофизический журнал. 1992. т.14, tél. С.72-81.

14 Бурлим, B.D. Методы численного обращения годографов сейсми ческих волн. - М.гНаука, 1993. 100с.

13 Бурмин В'.Ю., Иго 1т Ли, Кондорская Н.В. Ахлтьев B.U. Анализ геометрии современной сети-сейсмических станций- и определение положения дополнительных станций на территории Северного Вьет-нама//Изв. РАН. Физика Земли, 1932, Ш. 0.123-128.

16. Бурмин B.D., Саврит Л.А., Кугсщнко D.B. Скоростной разрез верхней мантии охотоморского региона по данным глубокофокусных землегряСений//Вулканология и сейсмология, 1992, С. 64-75.