Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Численное моделирование трехмерных прямых и обратных задач малоглубинной геоэлектрики на постоянном токе

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Численное моделирование трехмерных прямых и обратных задач малоглубинной геоэлектрики на постоянном токе"

На правах рукописи

...004692558

КОВБАСОВ Константин Валерьевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАЛОГЛУБИННОЙ ГЕОЭЛЕКТРИКИ НА ПОСТОЯННОМ ТОКЕ

25.00.10 — Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2010

004602558

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения РАН.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

д.т.н., профессор Шурина Элла Петровна

д.ф.-м.н., профессор Воскобойников Юрий Евгеньевич, к.ф.-м.н., доцент Чеверда Владимир Альбертович.

Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 29 апреля 2010 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 003.068.03 при Учреждении Российской академии наукШнституте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибйрского отделения РАН^в конференц-зале.

Адрес: проспект Академика Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090

Факс: 8 (383) 333-25-13

e-mail: NevedrovaNN@ipgg.nsc.ru

С текстом диссертационной работы можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИНГГ СО РАН (проспект Академика Коптюга, 3)

Автореферат разослан 25 марта 2010 года.

Ученый секретарь ,

диссертационного совета И1К1/

канд. геол .-минерал, наук, доцент 'У Н. Н. Неведрова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования — электрическое поле в неоднородных средах с локальными включениями с различной электропроводностью. Предметом исследования являются вычислительные схемы для расчета трехмерных электрических полей для задач прямого моделирования и инверсии, анализ свойств элементов разбиения и параметризации на эффективность алгоритмов инверсии и точность получаемых решений.

Актуальность темы. В геоэлектрике при интерпретации данных зондирований сложных по своей структуре объектов необходимо использование математических методов, реализованных в виде соответствующего программного обеспечения, позволяющего обрабатывать данные большого количества измерений и выявлять неоднородности.

Широко распространенные при малоглубинных зондированиях методы сопротивлений [Светов B.C., 2008], основанные на использовании установок, генерирующих постоянный ток, часто применяются для получения детализированной информации о пространственном распределении электрического сопротивления в среде [Günter Т. et al., 2006; Li Y. and Spitzer Т. 2002]. В работах, посвященных инверсии по данным зондирований на постоянном токе [Haber Е. et al., 2007; Pidlisecky A. et al., 2007], при прямом моделировании используются методы конечных разностей и конечных объемов [Ильин В. П. 2003]. Метод конечных элементов, в том числе и подход основанный на использовании вложенных расчетных сеток, так же широко используется при решении задач структурной геоэлектрики [На Т. et al., 2006; Marescot L. et al., 2008]. Использование семейства методов Ньютона [Ben Hadj Miled M.K. and Miller E.L., 2007; van den Doel К. and Ascher U.M., 2006], а так же МНК-решений [Banks Н.Т. et al., 2007; Ory, J. and Pratt R.G., 1995] являются широко распространенными подходами к решению задач инверсии. Построение конкретных типов регуляризирующих операторов полностью определяется классом рассматриваемых обратных задач [Ascher U.M. et al., 2006; Frühauf F. et al., 2005]. Выбор функции чувствительности оказывает значительное влияние на результативность метода решения обратной задачи [Bhattacharya B.B. and Shalivahan M.S., 2003; Boonchaisuka S. et al., 2008; Рек J. and Santos F.A.M., 2006]. Эффективные методы вычисления производных Фреше позволяют значительно ускорить процесс инверсии [McGillivray P.R. and Oldenburg D.W., 1990].

Несмотря на значительное количество предлагаемых методов определения диапазона оптимальных значений регуляризирующего множителя [Воскобойников Ю.Е., 2007], большинство из них достаточно сложно использовать при решении реальных задач либо в силу слишком жест-

ких ограничений, либо из-за отсутствия гарантированного определения такого множителя для произвольного набора данных. Наиболее часто используемым методом является метод L-кривой [Воскобойников Ю.Е., 2006; Жданов М.С., 2007; Krawczyk-Stañdo D. and Rudnicki М., 2008], хотя для некоторого класса задач сходимость не имеет места [Vogel C.R., 1996]. Возможны варианты ускорения итерационного процесса определения регуляризирующего множителя, основанные на построении адаптивных расчетных сеток [Griesbaum A. et al., 2008].

Подобласти с высоким контрастом проводимостей оказывают существенное влияние на сходимость итерационного процесса и достоверность получаемого при помощи регуляризации решения [Ascher U. and Haber Е., 2004; Chen J. and Oldenburg D.W., 2006].

Различные способы определения функции значимости данных измерений могут оказывать существенное влияние на эффективность процесса решения [Maurer Н. et al., 2000; Abubakar A. et-al., 2008].

Существующие в настоящее время пакеты программ трехмерной инверсии: res3dinv (Geotomo Inc), RESINVM3D(Pidlisecky, A., Haber, E., Knight, R) не позволяют контролировать такой параметр как регуля-ризирующий оператор, имеют фиксированный ограниченный набор алгоритмов минимизации, в них отсутствует возможность контроля над решением прямых задач и вычислением функции чувствительности.

Обратная задача определения свойств среды по данным измерений, проводимых в некоторых ее участках, является в общем случае некорректной [Романов В.Г., Кабанихин С.И., 1991], имеющей множество решений, что приводит к необходимости получения как можно большего количества априорной информации: использование результатов прямого моделирования, идентификация наиболее информативных профилей измерений.

В данной работе рассматриваются методы моделирования, позволяющие эффективно решать задачи распределения электрического поля в сложной среде с локальными неоднородностями и источниками поля в виде постоянного тока или постоянной разностью потенциалов. Произвольность расположения источников поля, а также геометрическая сложность неоднородностей, приводит к необходимости использования симплициальных разбиений, для которых реализуются локальные сгущения, обеспечивающие достаточно точную аппроксимацию границы между различными произвольно ориентированными подобластями. Использование аппарата планирования эксперимента [Ермаков С.М., Жи-глявский A.A., 1987; Иткина Н.Б., 2008] позволяет автоматизировать процесс нахождения наиболее информативных областей для измерений.

Исследование алгоритмов решения обратных коэффициентных задач — минимизация первого и второго порядков с различными вариантами регуляризирующих операторов для задач геоэлектрики в областях, имеющих проводящие и непроводящие включения, определение областей оптимальных для измерений, является актуальной проблемой не только для геофизики, но и для вычислительной математики.

Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем для решения задач идентификации геометрически сложных трехмерных объектов, электрическая проводимость которых отличается от проводимости вмещающей среды. Прямое моделирование реализуется на базе скалярного метода конечных элементов. Обратная коэффициентная задача решается с использованием алгоритмов минимизации второго и первого порядков.

Методы исследования. Функциональный анализ, методы оптимизации, аппарат планирования эксперимента, методы вычислительной математики, линейная алгебра, численные методы.

Научная задача. Разработать алгоритмы интерпретации данных площадных измерений разности потенциалов на дневной поверхности и исследовать возможность идентификации локальных включений с различной электрической проводимостью.

Защищаемые научные результаты:

• Разработаны и программно реализованы алгоритмы решения задачи распределения электрического потенциала в трехмерной среде с локальными неоднородностями, имеющими сложную геометрию.

• Разработаны, исследованы и программно реализованы алгоритмы решения обратной задачи определения диапазона относительных изменений электрической проводимости в трехмерных подобластях.

• Разработана и программно реализована вычислительная схема восстановления сложного рельефа границы проводящего слоя и непроводящего основания по данным измерений разности потенциалов на дневной поверхности.

Научная новизна:

• Разработан программно-математический аппарат трехмерного моделирования для решения обратных коэффициентных задач в геометрически сложных средах.

• Показана зависимость эффективности решения обратной задачи от алгоритмов построения трехмерных симплициальных сеток и качества получаемого разбиения.

• Разработан программно-математический аппарат для расчета функций чувствительности и построения оптимального плана измерений.

Значимость работы. Разработанные и реализованные вычислительные схемы, учитывающие геометрические особенности сложных трехмерных объектов, фрагменты которых характеризуются различными кусочно-постоянными коэффициентами электропроводности, позволяют эффективно определять поверхность, разделяющую проводящие и непроводящие включения, и оценить контраст проводимостей в смежных подобластях. Реализованная вычислительная схема построения оптимального плана используется для определения схем измерений, характеризующих параметры объектов исследования.

Личный вклад. Все результаты, изложенные в диссертации без ссылок на работы других авторов, принадлежат лично автору.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004); Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Новосибирск, 2006); Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2007); Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2007); Международная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск,2009).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ, в том числе в ведущих научных рецензируемых изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК, — 1 («Геология и геофизика», 2009, №10).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (159 наименований). Работа изложена на 124 страницах, включая 46 рисунков и 6 таблиц.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-0500702, 09-05-12047).

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н. профессору Элле Петровне Шуриной, к.т.н. доценту Наталье Борисовне Иткиной, а так же руководству Института нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука СОРАН и лично д.т.н., академику Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обоснована актуальность темы работы, цели и задачи исследования, представлены основные результаты исследования, показана научная новизна и значимость работы. Кратко описаны структура и основное содержание диссертации.

Глава 1. В первой главе представлена классификация методов геоэлектрики на постоянном токе, рассмотрены математические модели и методы моделирования для этого класса задач, сеточные методы, методы построения симплициальных сеток, подходы к решению обратных задач.

В п. 1.1 рассмотрены методы геоэлектрики, ориентированные на исследования слабопроводящих объектов. Для геофизических приложений характерно моделирование электро-магнитных полей в средах с контрастно изменяющимися диэлектрической проницаемостью и электрической проводимостью. При обработке данных измерений для реальных геофизических объектов необходимо использовать метод моделирования, позволяющий обрабатывать неровный рельеф границы слоев, произвольно расположенные и ориентированные в пространстве трехмерные объекты, имеющие границы сложной формы.

Одними из таких конкретных приложений электроразведки с использованием постоянного тока являются археологические объекты, а именно, древние захоронения, имеющие ряд особенностей: надкурган-ная насыпь, состоящая из камней, кровля мерзлоты сложного рельефа с возможными локальными поднятиями и впадинами, низкопроводящая вмещающая среда, слабопроводящий объект, приповерхностный более проводящий слой [Эпов М.И. и др., 2003]. Особенностями данной задачи является сужение области возможного размещения электродов до некоторой окрестности насыпи, что приводит к ограниченной глубинности зондирования [Кауфман Л.А., 1997] и выявление слабопроводящего объекта на фоне возможных естественных изменений рельефа кровли мерзлоты, что ведет к необходимости решения задачи в трехмерной постановке. Присутствие слабопроводящего по отношению к вмещающей среде объекта, наличие углублений в кровле мерзлоты и возможность залегания объекта на границе между проводящим и непроводящим слоем ограничивает класс методов, позволяющих идентифицировать такой тип объектов.

В п. 1.2 проведен анализ математических моделей и современных методов моделирования для прямых и обратных задач в сложных областях со слабопроводящими включениями. Использование для решения задачи моделирования распределения электрического потенциала

в окрестности исследуемого объекта (прямой задачи) метода конечных элементов на тетраэдральных разбиениях расчетной области позволяет учесть геометрические особенности области моделирования: произвольное размещение объекта, местоположение и форма электродов, сложный рельеф границ подобластей. При использовании сеточного метода решения решения в геометрически сложной области требуется применять нерегулярное разбиение [Круглякова JI.B. и др., 1998]. В трехмерных областях со специфической формой объектов наиболее универсальным является тетраэдральное разбиение области [Ainsworth М. and Coyle S., 2003].

В качестве источников поля используются электроды, на которых может быть задан либо постоянный ток, либо разность потенциалов, заданная на электродах, что приводит к необходимости решения двух эллиптических краевых задач с различными граничными условиями.

Глава 2. В данной главе исследуются особенности, связанные с решением задачи идентификации непроводящего объекта на фоне слабо-проводящей среды, рассматриваются два способа задания источника поля и формулируются соответствующие вариационные постановки и их дискретные аналоги, обосновывается выбор тетраэдральных разбиений области моделирования.

При построении симплициального разбиения расчетной области основным критерием, характеризующим сетку, является выполнение условий, определяющих качество полученной дискретизации области [Diachin L.-F. et al., 2006; Kaminsky J. et al., 2005; Zhang Y. et al., 2007], а именно: отношение радиусов вписанной и описанной сфер, отношение длин максимального и минимального ребра, отношение минимальной длины ребра к радиусу описанной сферы.

В п. 2.1 показаны особенности рассматриваемого объекта и учитывающие их методы исследования. В п. 2.2 сформулированы математические модели, описывающие распределение электрического поля, для двух способов задания источника.

Система уравнений Максвелла с соответствующими начальными и краевыми условиями является фундаментальной математической моделью, описывающей поведение электромагнитного поля [Стрэттон Д.А., 1948; Франк Ф., Мизес Р., 1957]. Стационарное электрическое поле определяется эллиптической краевой задачей относительно потенциала <р электрического поля (В). Так как при исследовании объекта (рис. 1) на электродах-источниках (граница может быть задана либо постоянная разность потенциалов (Задача 1), либо постоянный ток (Задача 2), в работе представлены две вариационные постановки.

о

Рис. 1. Расчетная область (сечение хОг)

В п. 2.3 для определения вариационной формулировки вводится функциональное пространство Нд(Г2), в котором выполняется условие непрерывности потенциала и нормальной компоненты тока на межфрагментарных границах подобластей. Вариационные формулировки, соответствующие решению задачи распределения электрического потенциала для рассматриваемых типов источников имеют вид:

Вариационная задача 1. Найти у е Н1(0), такое что — V е Н£(П) иУу€Щ{П)

— ^ а 8гас1 Ч>' ёгас1 vd.il = О, п

где II — разность потенциалов на электродах-источниках, о — удельная электрическая проводимость (См/м).

Вариационная задача 2. Найти е такое что \/г> €

- ^ <7 grad <р ■ grad V d£l + J]3у ¿Г = О,

п гя

где — плотность поверхностного тока, стекающего с электрода.

В п. 2.4 обоснован выбор тетраэдральных элементов для получения численного решения задачи, приведены критерии качества еимплици-альной сетки и соответствующие оценки. Под качеством А—мерного симплекса 5 будем понимать величину С} полученную согласно соотношению = ; где Дв — радиус вписанной в в сферы, Н0 — радиус опи-

санной вокруг в сферы.

В п. 2.5 формулируются дискретные аналоги для математических моделей с учетом выбранного разбиения расчетной области.

Глава 3. В данной главе рассматриваются и сопоставляются два подхода к решению задачи идентификации непроводящего объекта в слабо-

проводящей среде: решение обратной коэффициентной задачи при помощи регуляризации и восстановление формы границы между проводящим и непроводящим слоем. В п. 3.1 формулируются задачи определения функции чувствительности, соответствующие различным способам задания источника поля, приводится алгоритм построения ¿^-оптимального плана на основе вычисленного значения функции чувствительности. Вариационные формулировки задач определения функций чувствительности фг = для двух рассматриваемых типов источников имеют вид:

Вариационная задача 1 для определения функций чувствительности. Найти гр1 е Нд(П), такое что Ун е

— J а grad & ■ grad у сЮ, + J ст^^у <1Т = J fvd.fl, п Гх^ гг

Вариационная задача 2 для определения функций чувствительности. Найти гр1 € Но(Г2), такое что Уу е Нд(Г2)

— J с gгad 1р1 • gгad V (Ю. -Ь J а^^у йТ + J а^^-у с¡Г = J /у с1£1,

П Гз Гц П

где

у — / Ч>-> в ^ь

\0, в

С использованием функций чувствительности ^ рассчитывается £)-оптимальный план, позволяющий определить схемы расположения датчиков измерений, наиболее информативных относительно изменений электрической проводимости.

В п. 3.2. приводится алгоритм решения обратной коэффициентной задачи как задачи минимизации функционала с регуляризирующим множителем, рассматривается семейство алгоритмов минимизации, приводится их анализ и сравнение вычислительной сложности. Пусть задана референтная среда и соответствующий ей вектор параметров ш. Рассмотрим обратную коэффициентную задачу как задачу условной минимизации функционала:

ф(тп,и) = - ъ\\2 + ^\\\¥(тп - га)||2, (1а)

при условии А{т)и = д, (16)

Здесь А(т) — конечно-элементная аппроксимация операторного уравнения, и — вектор неизвестных, q — вектор правой части, <3 — оператор, проектирующий пространство решений на пространство датчиков,

/3^0 — параметр регуляризации, IV — регуляризирующий оператор. Задача минимизации решается при помощи алгоритма Ньютона N1 и его модификаций (N2, N3), Гаусса-Ньютона СГЧ, а так же методами первого порядка: Флетчера-Ривса И! и Полака-Рибьера РК. Сопоставление вычислительной сложности каждого шага итерационного процесса для решения задачи минимизации рассматриваемыми алгоритмами представлено в таблице 1.

Таблица 1

Количество операций на каждой итерации для рассматриваемых методов

№ N1 N2 N3 GN РИ. РИ

матрично-векторные умножения 21 19 13 6 7 7

решения СЛАУ 6 6 5 4 4 4

В п. 3.3 рассматривается алгоритм восстановления формы границы между проводящим и непроводящим слоями. Рассмотрим в качестве референтной среды двухслойную модель, где слой с проводимостью сг и мощностью к залегает на непроводящем основании. Будем полагать, что величина Н может изменяться в известных, достаточно узких пределах. Тогда обратной задачей будем считать задачу минимизации функционала (2) на множестве значений К £ Н

Ф(с5 = шах\и1(а, К) — (2)

гек

где N — множество результатов измерений, производимых на дневной поверхности, Щ — измеренное в г-ой точке значение электрического поля, где Щ(а,Н) — модельное значение электрического поля в г-ой точке для верхнего слоя с мощностью /г и проводимостью и.

Глава 4. В данной главе представлено описание разработанной библиотеки численного моделирования и приведены примеры ее использования на синтетических и близких к реальным данных. Рассматривается влияние свойств симплициального разбиения расчетной области и способов параметризации на точность получаемых результатов инверсии.

В п. 4.1 описывается разработанная библиотека моделирования, ее основные функциональные возможности и структура модулей (рис. 2).

В п. 4.2 рассматриваются технологические особенности реализации основных модулей библиотеки, приводятся примеры их использования, описываются возможности для расширения функционала библиотеки.

В п. 4.3 рассматривается влияние свойств геометрии элементов, полученных при разбиении расчетной области при помощи различных алгоритмов построения симплициальной сетки, на точность результатов

Рис. 2. Логические связи основных функциональных модулей библиотеки

инверсии и скорость сходимости итерационной процедуры. Проведено тестирование каждого из рассматриваемых методов решения обратной коэффициентной задачи на модельной среде, состоящей из двух плоскопараллельных слоев равной мощности. Для построения разбиения данной расчетной области используются алгоритмы, позволяющие получать тетраэдральные сетки различных типов: структурированные разбиения и неструктурированные разбиения, позволяющие более гибко контролировать количество элементов, их размеры и разреженность.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что для методов второго порядка использование разбиения, полученного тиражированием сечений, в некоторых случаях позволяет получить более близкие к истинному значению результаты, но требует большего количества итераций, а также может привести к ухудшению сходимости. Методы первого порядка при использовании для разбиения тиражированных сечений позволяют получить более точные результаты. Полученные при моделировании данные показывают, что разбиение, построенное тиражированием с постоянным шагом, позволяет получить данные, более близкие к истинным, по сравнению с менее структурированном, полученным тиражированием с переменным шагом, результаты работы которого по характеру зависимости от начального приближения сопоставимы с полученными на неструктурированном разбиении.

В п. 4.4 исследуется влияние параметризации на эффективность предлагаемых алгоритмов инверсии. В работе рассматриваются два варианта зависимости параметра то от электрической проводимости а в уравнении (1): тождественная и логарифмическая. Влияние параметризации

определяется на примере двух сред: горизонтально-слоистой среде и па-раллелепипеидальном объекте, расположенном в однородном слое.

Полученные результаты для горизонтально-слоистой среды показывают, что использование в качестве т величины 1п<т в методах второго порядка приводит к большему количеству итераций и более медленной скорости сходимости, по сравнению с тождественной зависимостью, но для случаев меньшего, чем истинный, контраста начального приближения, дает более точные результаты, а для случаев большего контраста — приводит с расхождению итерационного процесса. Для методов первого порядка использование логарифмической зависимости позволяет сократить число итераций и получить более близкие к истинному значению результаты.

Результаты для среды с объектом для методов второго порядка показывают, что использование логарифмической зависимости замедляет процесс сходимости решения, но позволяет получить более точный результат, по сравнению с тождественной. Методы первого порядка при использовании логарифмической зависимости сходятся быстрее и точнее, по сравнению с тождественной.

В п. 4.5 приведены результаты исследования влияния геометрии объекта и слоистости среды на примере алгоритма ЕП показавшего себя наиболее эффективным из рассмотренных, на примере объекта эллипсоидальной формы, помещенного в горизонтально-слоистую среду. Поскольку над исследуемым объектом выполняется серия измерений, необходимо выделить те из них, которые реагируют на наличие объекта. Для этого вводится матрица V, элементы которой имеют следующий вид:

где — тое измерение в г-ой серии, £4 — параметр, позволяющий уменьшить влияние измерений с малой реакцией на исследуемый объект. Тогда функционал в (1) примет вид

где С} и А — диагональные блочные матрицы, каждый ненулевой элемент которых соответствует матрицам в (1) для конкретного расположения электродов-источников, ни Ъ соответствующие каждому измерению блочные векторы.

Результаты работы алгоритма при соответствующих значениях параметров приведены в таблице 2, Шо —начальное значение вектора па-

(3)

Таблица 2

Результаты работы алгоритма И1 для сред с эллипсоидальным объектом

т т0 ТПистинное ¡1 0 ТПгеа

1 1 1 52 60 1.012

4.5

4 5 4.5707

1 1 1 21 120 1.01

4.5 4 5 4.5694

1 1 1 20 120 0.989

5.5

6 5 5.4726

1 1 1 0.997

5.5 6 5 23 120 5.4819

5.5 6 5 5.4873

1 1 1 1.002

5.5 5 5 27 120 5.5

5.8 5.2 6 5.797

раметров, тгез — итоговое значение. Можно отметить, что добавление матрицы регуляризации V в функционал (3) позволило контролировать влияние каждого слагаемого на процесс минимизации и существенно изменить характер сходимости итерационного процесса при использовании нерегулярных разбиений расчетной области. Сопоставляя полученные результаты с результатами для регулярных разбиений расчетной области, можно отметить возросшее количество итераций, и снизившуюся точность получаемых параметров. Кроме того с ростом количества подобластей число итераций не изменяется, но точность получаемых результатов падает.

В п. 4.6 представлены результаты восстановления формы границы между проводящим и непроводящим слоем на примере синтетических и реальных данных, длина электрической линии АВ равна 9 м, а ток — 1 А. Глубина до непроводящего основания равна 3 м. Целевой объект — параллелепипед с размерами 3 х 2 х 1.5м, расположенный в эллипсоидальном углублении. Максимальная глубина до мерзлоты расположена в центре углубления и равна 5.5 м. Результаты численного моделирования (рис. 3) показывают возможность идентификации неоднородности.

Результаты обработки реальных данных (рис. 4-7), полученных при проведении измерений на плато Укок в 2005г., показывают наличие характерного углубления под каменной кладкой, в которой находится непроводящий объект.

в) АЕХ, мВ г) 5ЕХ, %

Рис. 3. Несимметрично расположенный объект в симметричном к АВ

углублении

а) взаимное расположение объекта и установки

б) реконструированная граница

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие результаты:

1. Исследованы и реализованы методы решения задачи распределения электрического поля в трехмерной среде с локальными неод-нородностями, имеющими сложную геометрию, для двух типов источников поля: постоянный ток или постоянная разность потенциалов.

2. Исследованы и реализованы методы решения задачи чувствитель-

Рис. 4. Измерения над областью без объекта (мВ)

Рис. 6. Глубина расположения мерзлоты для области без объекта (м)

Рис. 5. Измерения над курганом (мВ)

Рис. 7. Глубина расположения мерзлоты для кургана (м)

ности потенциала электрического поля к электрической проводимости для двух типов источников поля и построение оптимального плана измерений.

3. Исследованы и реализованы алгоритмы решения обратных коэффициентных задач в трехмерных геометрически сложных средах, дан их сравнительный анализ и оценки вычислительной сложности.

4. Разработан и программно реализован быстрый алгоритм восстановления сложного рельефа границы проводящего слоя и непроводящего основания по данным электрических зондирований.

Достоверность полученных результатов подтверждена результатами экспериментального оценивания порядка аппроксимации построенных вычислительных схем, сравнением с аналитическими решениями.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Геофизические исследования археологических памятников в СевероЗападной Монголии в 2005 г. / М. И. Эпов, В. И. Молодин, К. В. Ковбасов и др. // Проблемы археологии, этнографии, антропологии Сибири и сопредельных территорий (Материалы Годовой сессии Института археологии и этнографии СО РАН 2005 г.). — Новосибирск: Изд-во Ин-та археологии и этнографии СО РАН, 2005. — Т. XI., часть I. - С. 503-508.

[2] Ковбасов, К. В. Математическое моделирование электрического поля в неоднородной среде на неструктурированной сетке (задача археологии) / К. В. Ковбасов // Сборник научных трудов НГТУ,— 2006.-Т. 1(43).-С. 75-80.

[3] Ковбасов, К. В. Математическое моделирование электрического поля в неоднородной среде на неструктурированной сетке (задача археологии). Вычислительный эксперимент / К. В. Ковбасов // Сборник научных трудов НГТУ. - 2006. - Т. 2(44). — С. 77-82.

[4] Ковбасов, К. В. Численное решение конкретного класса обратных коэффициентных задач / К. В. Ковбасов // Тр. междунар. конф. «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». - Павлодар: ТОО НПФ «ЭКО», 2006. - Т. 1. - С. 626 - 632.

[5] Эпов М. И. Математическое моделирование одного класса прямых и обратных задач / Эпов М. И., Шурина Э. П., Ковбасов К. В. // Материалы международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М.М.Лаврентьева. — Новосибирск: 2007.

[6] Ковбасов, К. В. Анализ влияния схемы измерений на точность определения местоположения объекта / К. В. Ковбасов // Материалы Российской НТК «Информатика и проблемы телекоммуникаций». — Новосибирск: 2007. — С. 130-133.

[7] Ковбасов, К. В. Идентификация линзы мерзлоты в слабопроводя-щем слое по данным электрических зондирований / К. В. Ковбасов, М. И. Эпов, Э. П. Шурина // Геология и геофизика. — 2009. — Т. 50, № 10. - С. 1171-1177.

Технический редактор Т.Л.Халина

Подписано в печать 11.03.2010 Формат 60x84/16. Бумага офсет №1. Гарнитура Тайме

_Печ. л. 0,9. Тираж 120. Зак. № 41_

ИНГГ СО РАН, ОИТ, пр-т Ак. Коптюга, 3, Новосибирск, 630090

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Ковбасов, Константин Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ.

1.1. Классификация методов геоэлектрики.

1.2. Обзор математических моделей и современных методов моделирования.

1.2.1. Прямое моделирование.

1.2.2. Алгоритмы генерации расчетной сетки.

1.2.3. Алгоритмы решения обратных задач.

Глава 2. ПРЯМОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В ТРЕХМЕРНЫХ СРЕДАХ.

2.1. Особенности исследуемого объекта.

2.2. Математические модели прямых задач.

2.3. Вариационная формулировка.

2.4. Критерии качества тетраэдральных расчетных сеток

2.4.1. Критерий Делоне и диаграмма Вороного.

2.4.2. Качество симплекса.

2.5. Дискретная вариационная формулировка.

Глава 3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФОРМЫ ГРАНИЦ.

3.1. Функция чувствительности и оптимальный план

3.2. Методы решения обратных коэффициентных задач.

3.2.1. Метод Ньютона и его модификации.

3.2.2. Метод сопряженных направлений.

3.2.3. Вычислительная сложность.

3.3. Восстановление формы границы.

3.3.1. Однородное полупространство.

3.3.2. Двухслойная модель.

Глава 4. ОПИСАНИЕ РАЗРАБОТАННОЙ БИБЛИОТЕКИ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

4.1. Общая характеристика разработанной библиотеки конечно-элементного моделирования FEAINVLIB.

4.2. Особенности реализации.

4.2.1. Операции ввода-вывода.

4.2.2. Модуль хранения и обработки матриц.

4.2.3. Модуль конечно-элементного моделирования

4.2.4. Модуль минимизации функционалов.

4.3. Влияние методов построения сетки.

4.4. Влияние характера зависимости параметра т от электрической проводимости <7.

4.4.1. Плоскопараллельная среда.

4.4.2. Объект в однородном слое.

4.5. Идентификация эллипсоидальной неоднородности

4.6. Восстановление формы границы.

4.6.1. Синтетические тесты.

4.6.2. Практические результаты.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Численное моделирование трехмерных прямых и обратных задач малоглубинной геоэлектрики на постоянном токе"

Объект исследования — электрическое поле в неоднородных средах с локальными включениями с различной электропроводностью. Предметом исследования являются вычислительные схемы для расчета трехмерных электрических полей для задач прямого моделирования и инверсии, анализ свойств элементов декомпозиции и параметризации на эффективнос ть алгоритмов инверсии и точность получаемых решений.

Актуальность темы. В геоэлектрике при интерпретации данных зондирований сложных по своей структуре объектов необходимо использование математических методов, реализованных в виде соответствующего программного обеспечения, позволяющего обрабатывать данные большого количества измерений и выявлять неоднородности. Существующие в настоящее время пакеты программ трехмерной инверсии (res3dinv, RESINVM3D) не позволяют контролировать такой параметр как регуля-ризирующий оператор, имеют фиксированный ограниченный набор алгоритмов минимизации, в них отсутствует возможность контроля над решением прямых задач и вычислением функции чувствительности.

Обратная задача определения свойств среды по данным измерений, проводимых в некоторых ее участках, является в общем случае некорректной, имеющей множество решений, что приводит к необходимости получения как можно большего количества априорной информации: использование результатов прямого моделирования, идентификация наиболее информативных профилей измерений.

В данной работе рассматриваются методы моделирования, позволяющие эффективно решать задачи распределения электрического поля в сложной среде с локальными неоднородностями и источниками постоянного тока или разности потенциалов. Произвольность расположения источников поля, а также геометрическая сложность неоднородностей, приводит к необходимости использования симплициальных разбиений, для которых реализуются локальные сгущения, обеспечивающие достаточно точную аппроксимацию границы между различными произвольно ориентированными подобластями.

Исследование алгоритмов решения обратных коэффициентных задач — минимизация первого и второго порядков с различными вариантами регуляризирующих операторов для задач геоэлектрикп в областях, имеющих проводящие и непроводящие включения, определение областей оптимальных для измерений, является актуальной проблемой не только для геофизики, но и для вычислительной математики.

Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем для решения задач идентификации геометрически сложных трехмерных объектов, электрическая проводимость которых отличается от проводимости вмещающей среды.Прямая задача реализуется на базе скалярного метода конечных элементов. Обратная коэффициентная задача решается с использованием алгоритмов минимизации второго и первого порядков.

Методы исследования. Функциональный анализ, методы оптимизации, аппарат планирования эксперимента, методы вычислительной математики, линейная алгебра, численные методы.

Научная задача. Разработать алгоритмы интерпретации данных площадных измерений разности потенциалов на дневной поверхности и исследовать возможность идентификации локальных включений с различной электрической проводимостью.

Защищаемые научные результаты:

• Разработаны и программно реализованы алгоритмы решения задачи распределения электрического потенциала в трехмерной среде с локальными неоднородностями, имеющими сложную геометрию.

• Разработаны, исследованы и программно реализованы алгоритмы решения обратной задачи определения диапазона относительных изменений электрической проводимости в трехмерных подобластях.

• Разработана и программно реализована вычислительная схема восстановления сложного рельефа границы проводящего слоя и непроводящего основания по данным измерений разности потенциалов на дневной поверхности.

Научная новизна:

• Разработан программно-математический аппарат трехмерного моделирования для решения обратных коэффициентных задач в геометрически сложных средах.

• Показана зависимость эффективности решения обратной задачи от алгоритмов построения трехмерных симплициальных сеток и качества получаемого разбиения.

• Разработан программно-математический аппарат для расчета функций чувствительности и построения оптимального плана измерений.

Значимость работы. Разработанные и реализованные вычислительные схемы, учитывающие геометрические особенности сложных трехмерных объектов, фрагменты которых характеризуются различными кусочно-постоянными коэффициентами электропроводности, позволяют эффективно определять поверхность, разделяющую проводящие и непроводящие включения, и оценить контраст проводимостей в смежных подобластях. Реализованная вычислительная схема построения оптимального плана используется для определения схем измерений, характеризующих параметры объектов исследования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004)

• Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Новосибирск, 2006)

• Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2007)

• Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2007)

• Международная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ [11,24-28,56].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (159 наименований). Работа изложена на 124 страницах, включая 46 рисунков и 6 таблиц.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Ковбасов, Константин Валерьевич

Выводы: Представлено описание основных программных модулей, даны примеры их использования и показаны способы расширения функционала разработанной библиотеки за счет добавления данных и алгоритмов пользователями. Проведенное тестирование позволило сопоставить возможность использования предложенных алгоритмов в зависимости от начального приближения и сложности области моделирования на синтетических и реальных данных, и выделить условия их наиболее эффективного применения. Исследовано влияние свойств используемой декомпозиции расчетной области на точность получаемых результатов, влияние выбора характера зависимости параметра проводимости от параметра модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены и реализованы вычислительные схемы для решения прямых и обратных задач геоэлектрики в трехмерных областях. Построены дискретные вариационные формулировки, соответствующие решению прямых задач моделирования распределения электрического поля в сложных трехмерных средах для двух типов источников: разность потенциалов между электродами и постоянный ток, стекающий с электродов.

Построены дискретные вариационные формулировки для определения функций чувствительности потенциала электрического поля к электрической проводимости для двух типов источников ПОЛЯ.

Исследованы и реализованы алгоритмы, позволяющие быстро и эффективно строить оптимальный план измерений при идентификации трехмерных объектов пониженной электрической проводимости в геометрически сложных средах.

Исследованы и реализованы алгоритмы решения обратных коэффициентных задач в трехмерных геометрически сложных средах, дан их сравнительный анализ и оценки вычислительной сложности. Разработан п программно реализован быстрый алгоритм восстановления сложного рельефа границы проводящего слоя и непроводящего основания по данным электрических зондирований.

Предложенные вычислительные схемы реализованы в виде библиотеки, которая может быть использована для идентификации трехмерного объекта произвольной геометрии в сложной трехмерной вмещающей среде по данным измерений произвольно расположенных в окрестности исследуемого объекта датчиков.

Разработанный программный комплекс может быть использован как автономно, так и интегрироваться в программно-вычислительные комплексы сторонних разработчиков для моделирования стационарного электрического поля в сложных трехмерных средах, построении функций чувствительности и оптимальных планов экспериментов, для получения оценок параметров электрической проводимости.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Ковбасов, Константин Валерьевич, Новосибирск

1. Александреску, А. Современное проектирование на С++ / А. Алек-сандреску. — Вильяме, 2008. — 336 с.

2. Баландин, М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина,— Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. 70 с.

3. Баландин, М. Ю. Векторный метод конечных элементов: Учеб. пособие / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001.- 69 с.

4. Бек, Д. Некорректные обратные задачи теплопроводности: Пер. с англ. / Д. Бек, Б. Блакуэлл, м. Сент-Клэр. Ч. — М.: Мир, 1989.— 312 с.

5. В поисках мерзлоты (результаты геофизических исследований курганных могильников на плато укок) / М. И. Эпов, А. К. Манштейн,

6. Вандевурд, Д. Шаблоны С++: Справочник разработчика / Д. Ван- -девурд, Н. М. Джосаттис. — Вильяме, 2008. — 544 с.

7. Ваньян, JI. J1. К теории дипольиых электромагнитных зондирований / Л. Л. Ваньян // Прикладная геофизика. — 1957. — Т. 16. — С. 145-160.

8. Ваньян, Л. Л. Новый способ определения электромагнитного поля диполя, заземленного на поверхности многослойной изотропнойсреды / Jl. Л. Ваньян // Геология и геофизика, — 1962,— Т. 12.— С. 107-109.

9. Ваньян, JI. Л. Электромагнитные зондирования / Л. Л. Ваньян. — М.: Научный мир, 1997, — 219 с.

10. Воскобойников, Ю. Е. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации / Ю. Е. Воскобойников. — Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2006.- 180 с.

11. Гилева, Л. В. Обоснование асимптотической устойчивости алгоритма триангуляции трехмерной области / Л. В. Гилева, В. В. Шай-дуров // Сибирский журнал вычислительной математики / РАН Сиб. отд-е. 2000. - Т. 3, № 2. - С. 123-136.

12. Делоне, Б. Н. О пустоте сферы / Б. Н. Делоне // Изв. АН СССР, ОМЕН. 1934. - № 4. - С. 793-800.

13. Егоров, В. PI. Применение ЭВМ для решения задач теплопроводности / Учебное пособие / В. И. Егоров. — СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. 77 с.

14. Ермаков, С. М. Математическая теория оптимального эксперимента / С. М. Ермаков, А. А. Жиглявский. — М.: Наука, 1987. — 320 с.

15. Жданов, М. С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике / М. С. Жданов. — М.: Научный мир, 2007. — 712 с.

16. Ильин, В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В. П. Ильин. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 345 с.

17. Ильин, В. П. О численном решении прямых и обратных задач электромагнитной георазведки / В. П. Ильин // Сиб. журн. вычисл. матем. 2003. - Т. 6, № 4. - С. 381-394.

18. Интерпретация кривых магнитотеллурического зондирования на основе метода регуляции / А. И. Тихонов, В. Б. Гласко, Н. И. Кулик, др. // Прикладная геофизика. — 1981. Т. 101. — С. 103-117.

19. Иткина, Н. Б. Планирование экспериментов для задач тепло и мас-сообмена / Н. Б. Иткина // Материалы IX Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения», АПЭП-2008. — Т. 6. Новосибирск: 2008. - С. 104-108.

20. Кауфман, JT. А. Введение в теорию геофизических методов / JI. А. Кауфман. — М.: Недра, 1997. — 516 с.

21. Ковбасов, К. В. Генерация тетраэдральных сеток методом движущегося фронта / К. В. Ковбасов // Материалы XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика.— Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003. С. 119-120.

22. Ковбасов, К. В. Математическое моделирование электрического поля в неоднородной среде на неструктурированной сетке (задачаархеологии) / К. В. Ковбасов // Сборник научных трудов НГТУ. — 2006. Т. 1(43). - С. 75-80.

23. Ковбасов, К. В. Математическое моделирование электрического поля в неоднородной среде на неструктурированной сетке (задача археологии). Вычислительный эксперимент / К. В. Ковбасов // Сборник научных трудов НГТУ. 2006. - Т. 2(44). - С. 77-82.

24. Ковбасов, К. В. Численное решение конкретного класса обратных коэффициентных задач / К. В. Ковбасов // Тр. междунар. конф. «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». Павлодар: ТОО НПФ «ЭКО», 2006.— Т. 1.— С. 626 632.

25. Ковбасов, К. В. Анализ влияния схемы измерений на точность определения местоположения объекта / К. В. Ковбасов // Материалы Российской НТК «Информатика и проблемы телекоммуникаций». — Новосибирск: 2007. — С. 130-133.

26. Ковбасов, К. В. Идентификация линзы мерзлоты в слабопроводя-щем слое по данным электрических зондирований / К. В. Ковбасов, М. И. Эпов, Э. П. Шурина // Геология и геофизика. — 2009. — Т. 50, № 10. С. 1171-1177.

27. Краев, А. П. Основы геоэлектрики / А. П. Краев.— JL: Недра, 1965.-472 с.

28. Кудрявцев, J1. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов / JI. Д. Кудрявцев. — М.: Высш. школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.

29. Лебедев, В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика.: Учебное пособие. / В. И. Лебедев.— Издание 4-е, исправленное и дополненное, изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 296 с.

30. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики. / Г. И. Мар-чук. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977. — 456 с.

31. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. под. ред. С. М. Ермакова, — М.: Наука, 1983. — 392 с.

32. Молочнов, Г. В. Береговой эффект при дипольных электромагнитных исследованиях на морских пляжах / Г. В. Молочнов // Фундаментальные проблемы морских электромагнитных исследований: Тез. док. Всесоюзного семинара. Звенигород.— М.: 1988.

33. Молочнов, Г. В. Электромагнитные зондирования на морских пляжах / Г. В. Молочнов // Сб. Геофизические методы исследования шельфа и континентального склона. ВНИИ Океангеология. — 1989. С. 96-106.

34. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики / JI. В. Круглякова, А. В. Неледова, В. Ф. Тишкин, А. Ю. Филатов // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 3.- С. 93-116.

35. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: Введение / Ф. Препарата, М. Шеймос. — М.: Мир, 1989. — 478 с.

36. Романов, В. Г. Обратные задачи геоэлектрики / В. Г. Романов, С. И. Кабанихин. М.: Наука, 1991. - 303 с.

37. Рояк, М. Э. Построение нерегулярных сеток в областях со сложной геометрией / М. Э. Рояк, Ю. Г. Соловейчик, И. А. Иванов // Научный Вестник НГТУ. 2004. - № 1(16). - С. 83-94.

38. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. Изд. 2-е, стереотипное. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 480 с.

39. Светов, Б. С. Основы геоэлектрики / Б. С. Светов. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. 656 с.

40. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и се применение / А. В. Скворцов. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.— 120 с.

41. Соловейчик, Ю. Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Пер-сова. Издательство: НГТУ, 2007. — 896 с.

42. Страуструп, Б. Язык программирования С++. Специальное издание / Б. Страуструп. — Бином, Невский Диалект, 2008. — 1104 с.

43. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс, М.: Мир, 1977.- 349 с.

44. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. - 512 с.

45. Тихонов, А. Н. О становлении электрического поля в однородном проводящем полупространстве / А. Н. Тихонов // Изв. АН ССР. Сер. Геогр. и Геофиз. 1946. - Т. 10, № 3. - С. 213-231.

46. Тихонов, А. Н. О становлении электромагнитного поля в слоистой среде / А. Н. Тихонов // Изв. АН ССР. Сер. Геогр. и Геофиз.— 1950. Т. 14, № 3. - С. 199-223.

47. Тихонов, А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 153, № 1. - С. 49-53.

48. Тихонов, А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 151, № 3.- С. 501-504.

49. Тихонов, A. H. Методы решения некорректных задач. / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — 2 изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 288 с.

50. Тихонов, А. Н. Метод расчета электромагнитных полей, возбуждаемых переменным током в слоистых средах / А. Н. Тихонов, Д. Н. Шахсуваров // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1956. Т. 3. — С. 245-251.

51. Уэйт, Д. Р. Геоэлектромагнетизм / Д. Р. Уэйт. — М.: Недра, 1987. — 235 с.

52. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование / Д. Химмельблау, — М.: Мир, 1975, — 534 с.

53. Шурина, Э. П. Анализ алгоритмов построения симпициальных сеток при моделировании процессов взаимодействия капля расплава основа / Э. П. Шурина, О. П. Солоненко, О. М. Клименко. — Препринт №6-2000, Институт Теоретической и Прикладной Механики СО РАН.

54. Abrahams, D. С++ Template Metaprogramming: Concepts, Tools, and Techniques from Boost and Beyond / D. Abrahams, A. Gurtovoy. — Addison-Wesley Professional, 2004. P. 400.

55. Adaptive mesh refinement in electromagnetic problems / A. Dfaz-Morcillo, L. Nuno, J. V. Balbastre, D. Sanchez-Hernandez // Proceedings 9th International Meshing Roundtable / Sandia National Laboratories. — 2000. — October. — Pp. 147-155.

56. Ainsworth, M. Hierarchic finite element bases on unstructured tetrahe-dral meshes / M. Ainsworth, J. Coyle // Int. J. Numer. Meth. Engng. —2003. Vol. 58. - Pp. 2103-2130.

57. Analysis of the thin plate eddy-current problem by finite volume method / J. Zou, Y. Q. Xie, J. S. Yuan et al. // IEEE transactions on magnetics. — 2004. march. - Vol. 40, no. 2, — Pp. 1370- 1373.

58. Ascher, U. Computational methods for large distributed parameter estimation problems with possible discontinuities / U. Ascher, E. Haber // Symp. Inverse Problems, Design and Optimization.2004.

59. Ascher, U. M. On effective methods for implicit piecewise smooth surface recovery / U. M. Ascher, E. Haber, H. Huang // SIAM J. Sci. Comput. — 2006. Vol. 28, no. 1. — Pp. 339-358.

60. Bangerth, W. deal.II — a general-purpose object-oriented finite element library / W. Bangerth, R. Hartmann, G. Kanschat // ACM Trans. Math. Softw. Vol. 33, no. 4.

61. Banks, H. T. Sensitivity functions and their uses in inverse problems / H. T. Banks, S. Dediu, S. L. Ernstberger // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2007. — Vol. 15, no. 7.- Pp. 683-708.

62. Beck, R. Multilevel solution of the time-harmonic maxwell's equations based on edge elements / R. Beck, R. Hiptmair // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1999. — Vol. 45, no. 7. — Pp. 901-920.

63. Bhattacharya, В. В. Use of vfsa for resolution, sensitivity and uncertainty analysis in Id dc resistivity and ip inversion / В. B. Bhattacharya, M. K. S. Shalivahan // Geophysical Prospecting. — 2003. -Vol. 51, no. 5. Pp. 393 408.

64. Bourgeois, B. Electric and magnetic dipoles for geometric interpretation of three-component, electromagnetic data in geophysics / B. Bourgeois, K. Suignard, G. Perrusson // Inverse Problems.— 2000.— Vol. 16,-Pp. 1225-1261(37).

65. Cai, X.-C. Overlapping non-matching grid mortar element methods for elliptic problems / X.-C. Cai, M. Dryja, M. Sarkis // SIAM J. Num. Anal. 1999. - Vol. 36. - Pp. 581-606. - ISSN:0036-1429.

66. Cardiff, M. Efficient solution of nonlinear, underdetermined inverse problems with a generalized pde model / M. Cardiff, P. K. Kitanidis // Comput. Geosci. 2008. - Vol. 34, no. 11,- Pp. 1480-1491.

67. Castillo, P. Femster: An object-oriented class library of high-order discrete differential forms / P. Castillo, R. Rieben, D. White // ACM Trans. Math. Softw. 2005. - Vol. 31, no. 4. - Pp. 425-457.

68. Chan, T. F. Level set and total variation regularization for elliptic inverse problems with discontinuous coefficients / T. F. Chan, X,-C. Tai // J. Comput. Phys.- 2004. Vol. 193, no. 1,- Pp. 40-66.

69. Chen, J. Three-dimentional numerical modelling and inversion of mag-netometric resistivity data / J. Chen, E. Haber, D. W. Oldenburg // Geopthys. J. Int. 2002. - Vol. 149. - Pp. 679-697.

70. Chen, J. 3D inversion of magnetic induced polarization data / J. Chen, D. W. Oldenburg // Explor. Geophys. 2006. - Vol. 37(3). - Pp. 245 - 253.

71. Chou, S.-H. A general framework for constructing and analyzing mixed finite volume methods on quadrilateral grids:the overlapping covolume case / S.-H. Chou, D. Y. Kwak, K. Y. Kim // SIAM J. Num. Anal. -2001. — Vol. 39, no. 4,- Pp. 1170-1196.

72. Chow, E. ILUS: an incomplete LU factorization for matrices in sparse skyline format / E. Chow, Y. Saad // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 1997. — Vol. 25. — Pp. 739-748.

73. Coggon, J. H. Electromagnetic and electrical modelling by the fininite element method / J. H. Coggon // Geophysics. — 1971.— Vol. 36,— Pp. 132-155.

74. A comparison of two optimization methods for mesh quality improvement / L. F. Diachin, P. Knupp, T. Munson, S. Shontz // Eng. with Comput. 2006. - Vol. 22, no. 2. - Pp. 61-74.

75. Computations of secondary potential for 3d dc resistivity modelling using an incomplete choleski conjugate-gradient method / X. Wu, Y. Xiao, C. Qi, T. Wang // Geophysical Prospecting. 2003. - Vol. 51.

76. Engl, H. W. Regularization methods for the stable solution of inverse problems / H. W. Engl // Surveys Math. Indust.— 1993. — Vol. 3.— Pp. 71-143.

77. Fletcher, R. Function minimization by conjugate gradients / R. Fletcher, С. M. Reeves // The Computer Journal.— 1964. — February. — Vol. 7, no. 2. Pp. 149 154.

78. Frey, P. J. Fast adaptive quadtree mesh generation / P. J. Frey, L. Marechal // Proceedings, 7th International Meshing Roundtable. — Dearborn, Michigan, USA: 1998. October. — Pp. 211-224.

79. Friihauf, F. Analysis of regularization methods for the solution of ill-posed problems involving discontinuous operators / F. Friihauf, O. Scherzer, A. Leitao // SIAM J. Numer. Anal. — 2005.- Vol. 43, no. 2.-Pp. 767-786.

80. Gebauer, B. Factorization method and irregular inclusions in electrical impedance tomography / B. Gebauer, N. Hyvonen // Inverse Problems. 2007. - Vol. 23, no. 5. - Pp. 2159-2170.

81. Gil, J. M. Hybrid vector-scalar finite elements for curved-triangle meshes applied to the study of electromagnetic resonances / J. M. Gil, J. P. Webb // Antennas and Propagation, 2007. EuCAP 2007. The Second European Conference on. — 2007. — Pp. 1-4.

82. Gradinardy, V. Whitney elements on pyramids / V. Gradinardy,

83. R. Hiptmair // Elecronic Transictions on Numerical Analysis. — 1999. Vol. 8. - Pp. 154-168.

84. Griesbaum, A. Efficient computation of the tikhonov rcgularization parameter by goal-oriented adaptive discretization / A. Griesbaum, B. Kaltenbacher, B. Vexler // Inverse Problems. — 2008. — Vol. 24, no. 025025. P. 20.

85. Giinter, T. Three-dimensional modeling and inversion of do resistivity data incorporating topography I. Modelling / T. Giinter, C. Rticker, K. Spitzer // Geophys. J. Int. - 2006, — Vol. 166. — Pp. 495-505.

86. Giinter, T. Three-dimensional modeling and inversion of dc resistivity data incorporating topography II. Inversion / T. Giinter, C. Riicker, K. Spitzer // Geophys. J. Int. - 2006. - Vol. 166. - Pp. 506-517.

87. Haber, E. Quasi-newton methods for large-scale electromagnetic inverse problems / E. Haber // Inverse Problems.— 2005.— Vol. 21, no. l.-Pp. 305-323.

88. Haber, E. Fast finite volume simulation of 3D electromagnetic problems with highly discontinuous coefficients / E. Haber, U. M. Ascher // SI AM Journal on Scientific Computing. — 2001. — Vol. 22, no. 6. — Pp. 1943-1961.

89. Haber, E. On optimization techniques for solving nonlinear inverse problems / E. Haber, U. M. Asher, D. Oldenburg // Inverse Problems. 2000. - Vol. 16. - Pp. 1263-1280.

90. Haber, E. An octree multigrid method for quasi-static maxwell's equations with highly discontinuous coefficients / E. Haber, S. Heldmann // J. Comput. Phys. 2007. - Vol. 223, no. 2. - Pp. 783-796.

91. Haber, E. Inversion of time domain three-dimensional electromagneticdata / E. Haber, D. W. Oldenburg, R. Shekhtman // Geophysical Journal International. — 2007. — Vol. 171. Pp. 550-564.

92. Hansen, P. C. The 1-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems / P. C. Hansen // in Computational Inverse Problems in Electrocardiology, ed. P. Johnston, Advances in Computational Bio-engineering. — WIT Press, 2000, — Pp. 119-142.

93. Holcombe, H. T. Three-dimensional terrain corrections in resistivity surveys / H. T. Holcombe, G. R. Jiracek // Geophysics. — 1984. — Vol. 49(4).- Pp. 439-452.

94. Hu, J. Current renormalization in finite volume / J. Hu, F.-J. Jiang, В. C. Tiburzi // Physics Letters B. — 2007. Vol. 653. - Pp. 350-357.

95. Hyvonen, N. Frechet derivative with respect to the shape of a strongly convex nonscattering region in optical tomography / N. Hyvonen // Inverse Problems. 2007. - Vol. 23, no. 5. — Pp. 2249-2270.

96. Kaltenbacher, B. A saddle point variational formulation for projection-regularized parameter identification / B. Kaltenbacher, J. Schoberl // Numer. Math. 2002. - Vol. 91, no. 4. - Pp. 675-697.

97. Kang, H. Numerical identification of discontinuous conductivity coefficients / H. Kang, J. K. Seo, D. Sheen // Inverse Problems. 1997. — Vol. 13,- Pp. 113-123.

98. Karlsson, B. Beyond the С++ Standard Library : An Introduction to Boost / B. Karlsson. — Addison-Wesley Professional, 2005. — P. 432.

99. Klibanov, M. V. Numerical solution of a parabolic inverse problem in optical tomography using experimental data / M. V. Klibanov, T. R. Lucas // SIAM J. Appl. Math.— 1999,— Vol. 59, no. 5,— Pp. 1763-1789.

100. Krawczyk-Stando, D. The use of 1-curve and u-curve in inverse electromagnetic modelling / D. Krawczyk-Stando, M. Rudnicki // Studies in Computational Intelligence. — Springer Berlin / Heidelberg, 2008. — Vol. 119. Pp. 73-82.

101. Lawrence, K. ANSYS Workbench Tutorial Release 11 / K. Lawrence. -Schroff Development Corporation, 2007. — P. 236.

102. Li, Y. Three-dimensional DC resistivity forward modelling using finite elements in comparison with finite-difference solutions / Y. Li, K. Spitzer // Geophysical Journal International. — 2002. — Vol. 151. — Pp. 924-934.

103. Li, Y. Finite element resistivity modelling for three-dimensional structures with arbitrary anisotropy / Y. Li, K. Spitzer // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2005. — Vol. 150. — Pp. 15-27.

104. Maurer, H. Design strategies for electromagnetic geophysical surveys / H. Maurer, D. E. Boerner, A. Curtis // Inverse Problems. — 2000.— Vol. 16, no. 5,- Pp. 1097-1117.

105. McGillivray, P. R. Methods for calculating Frechet derivatives and sensitivities for the non-linear inverse problem: a comparative study / P. R. McGillivray, D. W. Oldenburg // Geophysical Prospecting. — 1990. Vol. 38. - Pp. 499-524.

106. Morton, K. W. Numerical Solution of Partial Differential Equations: An Introduction / K. W. Morton, D. F. Mayers. — New York, NY, USA: Cambridge University Press, 2005.

107. Nechaev, О. V. Multilevel iterative solvers for the edge finite element solution of the 3d maxwell equation / О. V. Nechaev, E. P. Shurina, M. A. Botchev // Comput. Math. Appl. 2008. - Vol. 55, no. 10,-Pp. 2346-2362.

108. Nedelec, J. С. Mixed finite elements in E3 / J. C. Nedelec // Nu-merische Mathematik. — 1980. — Vol. 35, no. 3. — Pp. 315-341.

109. Nedelec, J. C. A new family of mixed finite elements in Ж3 / J. C. Nedelec // Numerische Mathematik. 1986. — Vol. 50, no. 1. — Pp. 57-81.

110. Newman, G. A. Solution strategies for two- and three-dimensional electromagnetic inverse problems / G. A. Newman, G. M. Hoversten // Inverse Problems. 2000. - Vol. 16. - Pp. 1357-1375.

111. Nonlinear inversion of geoelectric data acquired across 3D objects using a finite-element approach / L. Marescot, S. P. Lopes, S. Rigobert, A. G. Green // Geophysics. 2008. - Vol. 73, no. 3,- Pp. 121-133.

112. Ory, J. Are our parameter estimators biased? the significance of finite-difference regularization operators / J. Ory, R. G. Pratt // Inverse Problems. 1995. - Vol. 11, no. 2. - Pp. 397-424.

113. Owen, S. J. A Survey of Unstructured Mesh Generation Technology / S. J. Owen // Proceedings 7th International Meshing Roundtable. — Dearborn, MI: 1998. — October. — http://www.andrew.cmu.edu/user/sowen/abstracts / Ow587.html.

114. Patzak, B. Design of object oriented finite element code / B. Patzak, Z. Bittnar // Advances in Engineering Software. — 2001. — Vol. 32, no. 10-11.- Pp. 759-767.

115. Patzak, B. Parallel explicit finite element dynamics with nonlocal constitutive models / B. Patzak, D. Rypl, Z. Bittnar // Computers & Structures. 2001. - Vol. 79, no. 26-28. - Pp. 2287-2297.

116. Pebay, P. P. A comparison of triangle quality measures / P. P. Pebay, T. J. Baker // Proceedings, 10th International Meshing Roundtable, Sandia National Laboratories. — Newport Beach, California, USA: 2001. October. - Pp. 327-340.

117. Рек, J. Magnetotelluric inversion for anisotropic conductivities in layered media / J. Рек, F. A. M. Santos // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2006. — Vol. 158. Pp. 139-158.

118. Pidlisecky, A. RESINVM3D: A 3D resistivity inversion package / A. Pidlisecky, E. Haber, R. Knight // Geophysics. 2007. - Vol. 72. -Pp. HI--b

119. Pidlisecky, A. Cone-baaed electrical resistivity tomography / A. Pidlisecky, R. Knight, E. Haber // Geophysics. — 2006,- Vol. 71, no. 4. Pp. 157-167.

120. Polak, E. Note sur la convergence de methodes de directions conjugees / E. Polak, G. Ribierre // Rev. Francaise Informat Recherche Opera-tionelle. — 1969. Vol. 16-R1. - Pp. 35-43.

121. R. G. Ellis, D. W. O. The pole-pole 3-d dc-resistivity inverse problem: a conjugate gradient approach / D. W. O. R. G. Ellis // Geophysical Journal International. — 1994.- Vol. 119, no. 1.— Pp. 187-194.

122. Rodrigue, G. A vector finite element time-domain method for solving maxwell's equations on unstructed hexahedron grids / G. Rodrigue, D. White // SI AM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23, no. 3. - Pp. 683 706.

123. Russo, G. Fast triangulated vortex method for the 2D euler equations / G. Russo, J. A. Strain //J. Comput. Phys. — 1994. — no. 3. Pp. 291323.

124. Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition / Y. Saad. — Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. April. - 528 pp.

125. Saad, Y. Gmres: a generalized minimal residual algorithm for solvingnonsymmetric linear systems / Y. Saad, M. H. Schultz //' SIAM J. Sci. Stat. Comput. — 1986. — July. — Vol. 7, no. 3. — Pp. 856- 869.

126. Scales, J. A. Regularisaiion of nonlinear inverse problems: imaging the near-surface weathering layer / J. A. Scales, P. Docherty, A. Ger-sztenkorn // Inverse Problems. 1990. — Vol. 6, no. 1. — Pp. 115-131.

127. Schneiders, R. Octree-based generation of hexahedral element meshes / R. Schneiders, R. Schindler, F. Weiler // Proceedings 5th International Meshing Roundtable. Pittsburgh, USA: 1996.

128. Schwarzbach, C. Two-dimensional inversion of direct current resistivity data using a parallel, multi-objective genetic algorithm /' C. Schwarzbach, R.-U. Borner, K. Spitzer // Geophysical Journal International. 2005. - Vol. 162. - Pp. 685-695.

129. Si, H. On refinement of constrained delaunay tetrahedralizations / H. Si // Proceedings 15th International Meshing Roundtable. — Springer-Verlag, 2006. Pp. 509-528.

130. Si, H. Meshing piecewise linear complexes by constrained delaunay tetrahedralizations / H. Si, K. Gaertner // Proceedings 14th International Meshing Roundtable (IMR '05).— Springer-Verlag, 2005.— Pp. 147-163.

131. Soleimani, M. Computational aspects of low frequency electrical and electromagnetic tomography: A review study / M. Soleimani // International J. Num. Anal. Mod. — 2008. — Vol. 5, no. 3. — Pp. 407-440.

132. Solin, P. Scalar and vector-valued finite elements of variable order: Ticam report 02-36 / P. Solin: The University of Texas at Austin, 2002. — October.

133. Spitzer, K. A 3-d finite-difference algorithm for dc resistivity modelingusing conjugate-gradient methods / K. Spitzer // Geophys. J. Int. — 1995. Vol. 123. - Pp. 903-914.

134. Spitzer, K. The three-dimensional DC sensitivity for surface and subsurface sources / K. Spitzer // Geophysical Journal International. — 1998. Vol. 134. - Pp. 736-746.

135. Stewart, G. W. Matrix algorithms /' G. W. Stewart // Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1998. — Vol. 27. — P. 56.

136. Stewart, G. W. Matrix Algorithms, vol. I: Basic Decompositions / G. W. Stewart. — Pliilidelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998.

137. Strain, J. Tree methods for moving interfaces / J. Strain // J. Comput. Phys. 1999. - Vol. 151, no. 2. — Pp. 616-648.

138. Strikwerda, J. C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations / J. C. Strikwerda. Mathematics Series. — Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989.

139. Tamburrino, A. Electrical resistance tomography: complementarity and quadratic models / A. Tamburrino, S. Ventre, G. Rubinacci // Inverse Problems. 2000. - Vol. 16. - Pp. 1585-1618.

140. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd Edition / R. Barrett, M. Berry, T. F. Chan et al. — Philadelphia, PA: SIAM, 1994.

141. Vogel, C. R. Non-convergence of the 1-curve regularization parameter selection method / C. R. Vogel // Inverse Problems. — 1996. — Vol. 12, no. 4. Pp. 535-547.

142. Wang, T. Three-dimensional finite-difference resistivity modeling using an upgridding method / T. Wang, S. Fang, A. G. Mezzatesta // Geo-science and Remote Sensing, IEEE Transactions on. — 2000. — Jul. — Vol. 38, no. 4. Pp. 1544-1550.

143. Zhang, N. An improved direct-forcing immersed-boundary method for finite difference applications / N. Zhang, Z. C. Zheng // J. Comput. Phys. 2007. - Vol. 221, no. 1. - Pp. 250-268.

144. Zhang, Y. Surface smoothing and quality improvement of quadrilat-eral/hexahedral meshes with geometric flow / Y. Zhang, C. Bajaj, G. Xu // Communications in Numerical Methods in Engineering. — 2007.- Vol. 25, no. 1. Pp. 1-18.

145. Zhao, S. Some refinements on the finite-difference method for 3-d dc resistivity modeling / S. Zhao, M. J. Yedlin // Geophysics. — 1996. — Vol. 61.-Pp. 1301-1307.

146. Zhou, B. Finite element three-dimensional direct current resistivity modelling: Accuracy and efficiency considerations / B. Zhou,

147. S. A. Greenhalgh // Geophys. J. Int. 2001,- Vol. 145.- Pp. 679688.

148. Zhou, Q. Y. A sensitivity analysis of de resistivity prospecting on finite, homogeneous blocks and columns / Q. Y. Zhou // Geophysics.— 2007. Vol. 72, no. 6. - Pp. F237-F247.

149. Zhu, Y. Multigrid Finite Element Methods for Electromagnetic Field Modeling / Y. Zhu, A. C. Cangellaris. John Wiley & Sons, 2006. -P. 408.