Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Восстановление микроструктурных характеристик градовых облаков по радиолокационным измерениям

ВАК РФ 25.00.30, Метеорология, климатология, агрометеорология

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Созаева, Лежинка Танашевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАДИОЛОКАЦИОННОГО 9 ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАДОВЫХ ОБЛАКОВ.

1.1 Исследование микроструктуры облаков и осадков на основе 9 данных радиолокационных измерений.

1.2 Обзор методов решения некорректных задач.

1.3 Об индикации града с помощью метеорологических 32 радиолокаторов.

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ 39 РАДИОЛОКАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФОРМИРОВАНИЯ МИКРОСТРУКТУРЫ ГРАДОВЫХ ОБЛАКОВ.

2 Л О некоторых подходах к упрощению интегрального 39 уравнения радиолокации.

2.2 О формировании микроструктуры градовых облаков.

ГЛАВА 3. ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ И РЕЗУЛЬТАТАХ 73 ИССЛЕДОВАНИЯ МИКРОСТРУКТУРНОГО СТРОЕНИЯ ГРАДОВЫХ ОБЛАКОВ ПО ДАННЫМ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

ЗЛ Решение обратной задачи радиолокации методом сплайн - 73 функции.

3.2 Результаты исследования трансформации 89 микроструктурных характеристик градовых облаков в естественных условиях.

3.3 Результаты исследования влияния активного воздействия на 98 формирование микроструктуры градовых облаков.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Восстановление микроструктурных характеристик градовых облаков по радиолокационным измерениям"

Актуальность проблемы. Состояние градовой проблемы на современном этапе требует решения ряда крупных и взаимосвязанных между собой задач фундаментального и прикладного характера. Решение этих задач требует комплексного подхода и использования эффективных методов, среди которых важнейшую роль играет и дистанционное зондирование с использованием радиолокаторов.

Способом получения информации о микроструктуре облаков различных типов, аэрозольного состава атмосферы является проведение комплексных натурных экспериментов с широким использованием прямых и косвенных метеорологических измерений, развиваемых в нашей стране (ВГИ, ЦАО, ГГО) и за рубежом. Прямые методы позволяют непосредственно исследовать микроструктуру облаков и осадков, но, как известно, их возможности существенно ограничены. Косвенные методы основаны на восстановлении микро структурных характеристик дисперсной среды с помощью данных, полученных путем зондирования среды электромагнитным излучением и последующим решением соответствующих обратных задач, связывающих характеристики отраженного сигнала с микроструктурными характеристиками дисперсных систем. Дистанционное зондирование электромагнитным излучением метеообразований не нарушает структуру исследуемой среды и позволяет получать данные без существенных искажений.

Существенное преимущество обратных методов перед прямыми заключается также в возможности получения информации о микроструктуре облаков в любой момент времени и в большом объеме. Но использование этих методов связано с определенными трудностями, вызванными сложностью используемого математического аппарата. Эти трудности связаны с тем, что данная задача является некорректной: небольшие погрешности в исходных данных могут привести к сколь угодно большим колебаниям решения. Поэтому представляет значительный научный и практический интерес разработка методов восстановления микроструктурных характеристик по данным радиолокационных измерений и исследование пространственного распределения частиц различных видов в градовых облаках.

В данной работе предлагается метод восстановления микроструктурных характеристик облаков (решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода), который основан на использовании сглаживающего свойства сплайн - функций.

На основе предложенного метода и данных радиолокационных измерений проведены расчеты и исследована трансформация микроструктурных характеристик градовых облаков в естественных условиях, исследовано влияние активного воздействия на формирование микроструктуры градовых облаков.

Целью настоящей работы является:

1. Разработать метод решения интегрального уравнения радиолокации -уравнения Фредгольма первого рода.

2. Разработать программное обеспечение для восстановления микроструктурных характеристик облаков и осадков по радиолокационным измерениям.

3. Установить пространственное распределение частиц различных видов в градовых облаках, на основе которого возможно упрощение уравнения радиолокации.

4. Исследовать трансформацию микроструктурных характеристик градовых облаков в естественных условиях на основе разработанного метода.

5. Исследовать трансформацию микроструктурных характеристик градовых облаков при активном воздействии на них на основе разработанного метода.

Научная новизна заключается в следующем:

- установлено пространственное распределение частиц различных видов в градовых облаках;

- разработан метод решения интегрального уравнения радиолокации;

- на основе полученного пространственного распределения частиц различных видов в градовых облаках и радиолокационных измерений проведены расчеты и исследована трансформация микроструктурных характеристик градовых облаков в естественных условиях и при активном воздействии.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработан метод восстановления микроструктурных характеристик по радиолокационным измерениям и программные средства для использования разработанного метода в оперативной работе.

Предмет защиты. На защиту выносятся: результаты исследования пространственного распределения частиц различных видов в градовых облаках; метод восстановления микроструктурных характеристик градовых облаков, основанный на применении сплайн - функции;

- результаты исследований трансформации микроструктурных характеристик градовых облаков в естественных условиях и при активном воздействии.

Личный вклад автора. Автор непосредственно принимал участие в:

- разработке метода решения обратной задачи радиолокации; создании программного обеспечения для использования метода в оперативной работе;

- в проведении численных экспериментов на основе предложенного метода и радиолокационных измерений;

- в анализе результатов исследовании трансформации микроструктурных характеристик градовых облаков в естественных условиях и при активном воздействии.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-практических конференциях и семинарах:

1. Конференция молодых ученых "Математическое моделирование биологических, экологических и экономических систем", КБНЦ АН РФ, г. Нальчик, октябрь, 2000г.

2. Юбилейная конференция посвященная 20-летию КБГСХА , г. Нальчик, апрель, 2001г.

3. Конференция молодых ученых "Гидротермодинамические методы прогноза погоды и исследования климата", г. С. - Петербург, июнь, 2001г.

4. Всероссийская конференция по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы, г. Нальчик, октябрь, 2001 г.

5. Научные геофизические семинары Высокогорного геофизического института.

По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 17 рисунков, 13 таблиц, 107 наименований в списке литературы.

Заключение Диссертация по теме "Метеорология, климатология, агрометеорология", Созаева, Лежинка Танашевна

3.3. Результаты исследования влияния активного воздействия на формирование микроструктуры градовых облаков

Этот параграф посвящен оценке активного воздействия на микроструктуру градового облака. По предложенному методу восстановления микроструктурных характеристик градовых облаков исследовали градовые процессы с активным воздействием.

По прогнозу погоды на 23.Об.87г. ожидалось прохождение холодного фронта с северо-запада в конце дня. Скорость восходящих потоков по радиозонду Минеральные - Воды составляла 18-22 м/с, уровень конденсации располагался на 1,5-2,0 км, уровень конвекции до 12км, высота нулевой изотермы - на 4,2 км. Влажность равнялась 50-60%. Ведущий поток Северо - Западный - 50-60км/час. Ожидается развитие конвективной облачности во второй половине дня, которая будет сопровождаться ливнями, грозами и градом.

Градовый процесс 23.06.87г. был суперячейковый. Нами была исследована вторая ячейка этого градового процесса. Расчеты проводились аналогично расчетам предыдущего параграфа.

По нашим результатам, как видно из рисунка 16, град фиксируется с 16час. 14 мин. до 17час. 40 мин., что согласуется с записями журнала радиолокационных наблюдений. Причем в течение этого времени град незначительно меняется по максимальному размеру и концентрации. В момент времени 16час. 14мин. мы обнаружили не крупный град, по журналу мы имеем крупу и редкий град в осадках. Далее град в облаках начинает расти в размере и концентрации по нашим расчетам, что подтверждается наличием града в осадках. В 17час. 12мин. наши расчеты показали редкий град в облаке, что подтверждается наличием крупы и редкого града в осадках. Далее град обнаруживается в облаке и осадках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной работе решен ряд вопросов, связанных с проблемой радиолокационного исследования градовых облаков, в частности с восстановлением микроструктурных характеристик градовых облаков по радиолокационным измерениям. В результате исследовании по данной проблеме мы пришли к следующим выводам:

1. Разработан метод решения интегрального уравнения радиолокации (уравнения Фредгольма 1-го рода) для восстановления функции распределения гидрометеоров в однофазных облаках.

2. Разработаны алгоритмы и программы реализации предложенного метода.

3. На основе решения тестовых задач, а также сравнения эффективности предложенного метода с существующими одноволновым и двухволновым методами показана его работоспособность.

4. С помощью предложенного метода исследованы некоторые особенности эволюции спектра града в градовых облаках в естественных условиях и при активном воздействии на них.

Таким образом, цели и задачи, поставленные в диссертационной работе, решены успешно.

Следует отметить, что современные ЭВМ, обладая большим быстродействием, позволяют уменьшить время счета, что дает возможность использования метода восстановления микроструктурных характеристик в автоматизированных системах радиолокационного наблюдения.

Дальнейшее развитие работы будет направлено на совершенствование программно-математического обеспечения при

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Созаева, Лежинка Танашевна, Нальчик

1. Ашабоков Б. А. Двумерная нестационарная задача расчета микрофизических процессов в градовых облаках // Труды ВГИ. 1986. -Вып.65.-С.13-21.

2. Ашабоков Б.А. Федченко Л.М., Шаповалов A.B., Шоранов P.A. Численные исследования образования и роста града при естественном развитии облака и активном воздействии // Метеорология и гидрология. -1994.- №1.-С.41-48.

3. Абшаев М.Т., Розенберг В.И., Кармов Х.Н. Поглощение и полное ослабление микрорадиоволн в градовых и дождевых осадках// Труды ВГИ. 1975. - Вып.29. - С. 18-39.

4. Абшаев М.Т., Розенберг В.И., Кармов Х.Н. Поглощение и рассеяние микрорадиоволн отдельными сферическими частицами воды и льда // Труды ВГИ. 1975. - Вып.29. - С.40-72.

5. Ашабоков Б.А., Кокова Ф.М., Шаповалов A.B. Об одном методе и некоторых результатах восстановления микроструктуры однофазных облаков // Межд. Конф. «Системные проблемы надежности, мат. моделирования и информационных технологий». г. Сочи, 19989.

6. Абшаев М.Т., Атабиев М.Д., Инюхин B.C., Тапасханов В.О., Капитанников A.B. Алгоритмы автоматизированного радиолокационного измерения полей микрофизических характеристик градовых осадков // Труды ВГИ. 1989. - Вып.77. - С.32-38.

7. Атлас Д. Успехи радарной метеорологии / Пер. с англ. Под ред. К.С. Шифрина. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. - С. 111.

8. Айвазян Г.М. Применение радиолокационных измерений для исследования процессов осадкообразования в облаках // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана. 1991. - т.27. - №3. - С.304-317.

9. Айвазян Г.М. Распространение миллиметровых и субмиллиметровых волн в облаках / под ред. Г.Г. Щукина. Л.: Гидрометеоиздат, 1991, 480с.

10. Абшаев М.Т., Сенов Х.Н. Математическая модель определения микроструктуры облаков на основе регуляризующего алгоритма // Инф. Технол. в проектировании и пр-ве. 2000. - №4. - С.54-57.

11. Ашабоков Б.А., Созаева JI.T., Мальбахова И.Л. Об одном методе приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма 1 -го рода // Материалы юбилейной конференции, посвященной 20-летию КБГСХА. -Нальчик.-2001.- С.79-81.

12. Ашабоков Б.А., Созаева Л.Т. Восстановление микроструктурных характеристик облаков и осадков решением обратных задач // Материалы Всероссийской конференции по ФО и АВ на гидрометеорологические процессы. Нальчик. - 2001. - С. 62-63.

13. Ашабоков Б.А., Созаева Л.Т. О радиолокационной модели градовых облаков // Труды ВГИ. -2001. Вып.92. - С.69-77.

14. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж;, Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. - С. 316.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1983. - С. 632.

16. Баттан Л.Дж. Радиолокационная метеорология. Л.: Гидрометеоиздат, 1962.-С. 196.

17. Боровиков A.M. и др. Физика облаков. Л.: Гидрометеиздат, 1961. - С. 459.

18. Боровиков A.M., Мазин И.П. Микрофизические характеристики облаков. В кн. Авиационно климатический атлас - справочник СССР. -М.: Гидрометеоиздат, 1975. - Вып. 3. - С.127-148.

19. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М: Мир, 1986. - С.664.

20. Буйков М.В., Кузменько А.Г. О росте града в суперячейковых градовых облаках // Метеорология и гидрология. 1978. -№11.

21. Винокуров В.А. Два замечания о выборе, параметра регуляризации // ЖВМ и МФ, 1972. №2. - С.12-20.

22. Ван де Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - С. 536.

23. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. -Изд. «Наука», 1983. -С. 210.

24. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О принципе невязки при решении нелинейных некорректных задач // ДАН СССР. 1974. -Вып.214. - №3. - С.499-594.

25. Гордонова В.И., Морозов В.А. Численные алгоритмы выбора параметра в методе регуляризации // ЖВМ и МФ. 1973. - Вып. 13. - №3.-С.539-546.

26. Деймерджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими (полидисперсными частицами). М.: Изд-во иностр. литры, 1971. - С. 200.

27. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближения. Изд. Моск. Унив., 1983. - С. 207.

28. Жакамихов Х.М., Жекамухов М.К., Инюхин B.C. Расчет радиолокационной отражаемости градовых облаков в стадии их максимального развития // Труды ВГИ. 1989. - Вып.74. - С.62-72.

29. Жекамухов М.К. Некоторые проблемы формирования структуры градин. М.: Гидрометеоиздат, 1982. - С. 171.

30. Зуев В.Е., Нацц И.Э. Обратные задачи оптики атмосферы.-Современные проблемы атмосферной оптики, Гидрометеоиздат, 1990. С. 286.

31. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравненийпервого рода. ЖВМ и МФ. - 1966. - Вып.6. - № 6.

32. Иванова В.В., Васина В.В., В.П. Тананы. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

33. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962-Вып. 145. - №2.

34. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. Сборник.-1963. №2. -С. 61.

35. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Изд. Наука и техника, Минск, 1968.

36. Инюхин B.C., Марченко П.Е., Толмачев В.В. Зависимость радиолокационных характеристик губчатого града от диэлектрической проницаемости // Труды ВГИ. 1989. - Вып.74. - С.42-52.

37. Кондратьев К.Я. Метеорологические исследования с помощью ракет и спутников. Л.: Гидрометеоиздат, 1962. - С.252.

38. Кондратьев К.Я., Тимофеев Ю.М. Метеорологическое зондирование атмосферы из космоса. -Л.: Гидрометеоиздат, 1978. С. 280.

39. Качурин Л.Г. Физические основы воздействия на атмосферные процессы. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. - С. 455.

40. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух сферах // Изв.Высших учебных заведений, Радиофизика. -1975. томХУШ. - №7. -С. 919-1072.

41. Крылов И.В. Приближенные вычисления интегралов. М: «Наука», 1967.-С. 500.

42. Кокова Ф.М., Хавцуков А.Х. О проблеме дистанционного исследования градовых облаков и одном подходе к решению интегрального уравнения радиолокации // Сим. «Математическое моделирование и компьтерные технологии», г. Кисловодск, апрель, 1997.

43. С.де Бор. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985.-С. 304.

44. Ломидзе Н.Э., Надибаидзе Г.А. Рост градин и траектории их движенияв конвективном облаке (плоская модель). Математическое моделирование атмосферной конвекции и искуственных воздействий на ковективные облака. М: Гидрометеоиздат, 1988. - С. 56.

45. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.,Наука, 1980. - С. 286.

46. Латесс Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., Мир, 1970.-С. 189.

47. Мейсон Б.Д. Физика облаков. Л.: Гидрометеоиздат, 1961. - С. 542.

48. Морозов В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. ЖВМ и МФ. - 1966. - Вып. 6, №1.

49. Морозов В. А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений методом регуляризации. ДАН СССР. - 1967. -Вып. 175.- №6.

50. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М. Наука, 1977. С. 455.

51. Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы.- Л.: Гидрометеоиздат, 1976. С. 639.

52. Мельников В.М. Моменты радиолокационного спектра смеси гидрометеоров // Труды ВГИ. 1986. - Вып.63. - С.82-85.

53. Морозов В.А. О регуляризации некорректных задач и выборе параметра регуляризации // ЖВМ и МФ. 1966. - Вып.6. - №1. - С. 170175.

54. Марченко П.Е., Тхамоков Б.Х. Влияние микроструктуры градовых облаков на радиолокационно-доплеровские характеристики // Труды ВГИ. 1986.-Вып.63.-С. 185.

55. Мазин И.П., и др. Численное моделирование облаков. М.: Гидрометеоиздат, 1984.-С. 185.

56. Мазин М.П., Шметер С.М. Облака. Строение и физика образования. Л.: Гидрометеоиздат, 1993. С. 280.

57. Макуашев М.К. Статистическая теория молекулярного рассеяния света в атмосфере. М.: Гидрометеоиздат, 1989. - С. 152.

58. Мазин И.П. О квалификации облаков по их фазовому строению. Индекс фазового строения // Метеорология и гидрология. 2001 - №7 -С.5-10.

59. Мелентьев П.В. Приближенные вычисления. М.; гос.изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962.-С. 388.

60. Облака и облачная атмосфера / Мазин И.П., Хргиана А.Х. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. - С. 647.

61. Радиолокационные измерения осадков / 20. Боровиков A.M., Костарев В.В., Мазин И.П. и др. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. - С. 140.

62. Руководство по организации и проведению противоградовых работ/ Бибилашвили Н.Ш., И.И. Бурцев, Ю.А. Серегин. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.-С. 168.

63. Руководство по применению радиолокаторов МРЛ-4, МРЛ-5 и МРЛ-6 в системе градозащиты. / М.Т. Абшаев, И.И. Бурцев, С.И. Ваксенбург, Г.Ф. Шевела. Л.: Гидрометеоиздат, 1980.-С. 230.

64. Розенберг В.И, Рассеяние и ослабление электромагнитного излучения атмосферными частицами. Л.: Гидрометеоиздат, 1972. - С. 349.

65. Роджерс P.P. Краткий курс физики облаков. -Л: Гидрометеоиздат, 1979.-С. 232.

66. Степаненко В.Д. Радиолокация в метеорологии. Д.: Гидрометеоиздат, 1973.-С. 342.

67. Сулаквелидзе Г.К. Ливневые осадки и град. -J1: Гидрометеоиздат, 1967.-С.412.

68. Савинский И. Д. О решении обратных геофизических задач, представляемых интегральными уравнениями Фредгольма 1-го рода // Изв. АН СССР.- 1963,№5.-С.71-82.

69. Степанова И.Э. Об одном устойчивом алгоритме восстановления базовых цилиндров //ДАН. 2001. - т.378. - №1.- С.90-94.

70. Тверской П.Н. (ред.) Курс метеорологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1951. С. 700.

71. Тлисов М.И., Малкаров A.C. Измерение изотопного состава водорода в градинах // Труды ВГИ. 1989. - Вып. 72. - С. 121-130.

72. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. - Вып. 151. - №3. - С.501-505.

73. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. - 153. - №3. - С.49-53.

74. Тихойов А.Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье // ДАН СССР.-1964.-Вып. 15б.-№ 1 .-С. 95-109.

75. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // ДАН СССР. -1965. Вып.161, №5. - С.201-220.

76. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач,-М.: Наука, 1974-С.224.

77. Тимофеев Ю.М. Об обратных задачах атмосферной оптики // Изв.АН Физика атмосферы и океана. 1989. - Т.34. - №6. - С.793-798.

78. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М. «Наука», 1966. С. 724.

79. Таблицы по светорассеянию / Под ред. К.С. Шифрина, И.Л. Зельмановича. Л.: Гидрометеоиздаг, 1968. - Т.З. - с.432.

80. Хоргуани В.Г., Тлисов М.И. О природе зародышей и концентрации градин в облаках // Доклады АН СССР. 1976. - Т.227. - №5. - С.1108-1111.

81. Хоргуани В.Г. Микрофизика зарождения и роста града. -Гидрометеоиздат, 1987. С. 184.

82. Шифрин К.С., Турчин В.Ф., Туровцева Л.С., Гашко В.А. Определение микроструктуры рассеивающей среды, состоящей из смеси частиц с различными коэффициентами преломления // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1974. - Т. 10. - С.417-420.

83. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. М., Гостехиздат, 1951. -С.288.

84. Шифрин К.С. и др. Восстановление распределения частиц по размерам // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. - №12. -С. 1268- 1278.

85. Шифрин К.С., Колмаков И.Б. Вычисление размеров частиц // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1971. - Т.7. - №5. - С.554-556.

86. Шифрин К.С. Введение в оптику океана. Л: Гидрометеоиздат, 1983. -С.277.

87. Шифрин К.С., Голиков В.И. Определение спектра капель методом малых углов / Исследования облаков, осадков и грозового электричества.-M, Hayica. 1961. - C.266-277.

88. Aden A.D., Kerker M. Scattering of electromagnetic waves from two concentric spheres // J.Appl. Physics. 1951. -Vol. 22. - №10. - P. 1242- 1245.

89. Auer A., Veal D. The dimensions of ice crystals in natural cloud // J. Ann. Sci. 1970. - V.27. - №6. - P.919-926.

90. Hobbs P.V., Deepak A. Clouds,their formation, optical properties and effects. Acad. Press. 1981. - P. 313.

91. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique. Bull.Univ. Princenton, 1902. - P. 133.

92. Kerker M. The scattering of light and other electromagnetic radiation. -New York, Academic Press, 1969. P. 666.

93. Lenoble L. Atmospheric radiative transfer. Washington: A, Deepak, Humph, 1993.-P.324.

94. Liou K.N. Radiation and cloud process in atmosphere. Theory, observation and modeling.-Oxford: 1992. P. 504.

95. Liu Chun-Lei. Illingworth Anthony J. Toward more accurate retrievals of ice water content from radar measurements of clouds // J. Appl. Heteorol, 2000. -V.39.-№7.-P.I 130-1146.

96. Magano C., Lee C.W. Meteorological classification of natural snow crystals // J. Fac. Sci. Hokkaiddo Univ. Ser. 7 (Geoph). -1966. №2. - P.321-335.

97. Pruppacher H.R., Klett J.D. Microphisic of clouds and precipitation. D. Reidel Publish. Co, 1978.-P.714.

98. Love A. E. H. The scattering of electric wave by a dielectric sphere. -Proc. Lond. Math. Soc., 1899. V.30. - P. 308-321; 1900. - V.31. - P.439.