Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Водный баланс Черного моря и его изменение под влиянием хозяйственной деятельности

ВАК РФ 11.00.08, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Водный баланс Черного моря и его изменение под влиянием хозяйственной деятельности"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕБОШШ И ОРДЕНА ТРУДОЕОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Географический факультет

Ва правах рукописи

РЕШЕТНИКОВ ВИКТОР ИВАНОВИЧ

ВОДНЫЙ БАЛАНС -ЧЕРНОГО ЮРЯ И ЕГО ИЗМЕНЕНИЕ ПОД ВЛИЯНИЕМ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

11.00.08 - океанология

Автореферат - диссертации на соискание ученой степени кандидата географических нар

Москва 1992

Работа выполнена в научно-исследовательском секторе Б/0 "Гидродроект" им. С.Я. Еука и в Московском геологоразведочном институте им. С. Орджоникидзе

Научный консультант -

кандидат технических наук С.Ю. Истомин

Официальные оппоненты:

доктор географических наук, профессор E.H. Михайлов доктрр географических наук В.И. Кукса

Ведущая организация -

Государственный океанографический институт

Залита состоится " М " Мая 1992 т. в /;?- часов на заседании специализированного гидрометеорологического совета Д-С53.05.30 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: II9899 Москва ГСП-3, Ленинские горы, МГУ, географический, факультет, ауд. 18-01 18 эта*.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке географического факультета МГУ на 21 этаже.

Автореферат разослан " 3 " ¡.ОЛ-р^А] I9S2 г.

Ученьй секретарь специализированного

гидрометеорологического совета, кандидат географических наук

С.Ф. Алексеева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

¡л\гц><й

й

-Актуальность теш диссертации связана с характерным для на-

шей экономики неблагополучием с запасными частями для многих промышленных изделий - сельскохозяйственной техники, автомобилей, бытовой аппаратуры и т.п. Это неблагополучие томимо огромных материальных потерь, связанных с длительными простоями техники, наносит обществу значительный моральный урон, т.к. способствует бурному развитию черного рынка, сопряженного с массовыми правонарушениями. Расхожее мнение однозначно сводит проблему запчастей к дефициту ресурсов и производственных мощностей, потребных для полного удовлетворения спроса. Это толкование не стыкуется с наличием огромных сверхнормативных запасов по целому ряду позиции. Поэтому грамотное определение потребностей в запчастях является далекдне последним звеном в комплексе мер, способных решить данную проблему. Естественным (и, пожалуй, единственным) способом грамотного определения потребностей в запчастях является применение вычислительной техники и соответствующих математических методов. Об этом свидетельствует успешный зарубежный опыт широкого внедрения автоматизированных систем управления запасами в промышленности, торговле и сфере обслуживания. Западный рынок программных поолуктов предлагает сотни конкурирующих прикладных пакетов управления запасами, степень их практического использования не меньше, чем, скажем, шкетов по линейному программированию.

ских методов анализа и оптимизации, позволявших существенно расширить круг поддавшихся исследованию вероятностных моделей управления запасами и получить для них эффективные алгоритмы поиска глобального оптимума.

Научная новизна выражается в следующем.

1) Ряд моделей управления запасами, предложенных ранее другими исследователями, рассмотрен в диссертации в более общих предположениях о характере случайных процессов, участвующих в их описании.

2) Предложены и исследованы некоторые новые модели, учитывавшие практически значимые факторы, с которыми сопряжено управление запасами - например, зависимость спроса от наличия, взаимодеиствие процессов восстановления (или ремонта) отказывающих элементов технических изделий и восполнения их запаса из внешних источников, нестадионарность спроса.

- создание новых специализированных математиче-

3) Впервые предложены и исследованы многомерные аналоги классических моделей управления запасом однотипных изделий.

4) Достигнуто значительное единообразие не только методов, но и результатов исследования различных моделей.

5) Разработаны новые методы глобальной оптимизации, учитывающие особенности целевых функций, характерных для моделей управления запасами. Для большинства рассмотренных моделей задача глобальной оптимизации решена впервые.

Тем самым радикально обновлен математический аппарат теории запасов и в ней открыто новое перспективное направление.

Практическая значимость. Развитый б диссертации математический аппарат можно использовать при разработке прикладных программных продуктов. Потенциальный круг потребителей такой продукции очень велик, т.к. систему оптимального управления запасами на основе персонального компьютера можно с успехом эксплуатировать в любой ремонтной мастерской. Поскольку почти все алгорит из диссертации были автором программно реализованы и прошли лабораторные испытания, доведение их до кондиций программного продукта не встретит принципиальных трудностей.

Еше один путь внедрения результатов диссертации в практику связан с использованием ее аппарата в качестве инструмента лабораторного исследования проблем управления запасами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на различных семинарах в ВЦ АН СССР, МГУ им. М.В. Ломоносова, МФТИ. Они составили онову нескольких циклов лекций для слушателей семинара по надежности и прогрессивным методам контроля качества продукции при Политехническом музее. Некоторые из результатов включены в справочник "Надежность технических систем" под ред. И.А. Ушакова (М.: Радио и связь, 1985J и в коллективную монографии "Вопросы математической теории надежности" под ред. Б.В. Гне денко (М.: Радио и'связь, 1983).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ, в том числе одна монография.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, четырех приложений и списка литературы из 143 наименований. Общий объем - 250 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит сведения, касающиеся истории становления теории запасов, ее современного состояния и ее взаимодействия с управленческой практикой. Кроме того описаны основные компоненты, участвующие в построении моделей управления запасами.

Элементарным объектом в реальных системах управления запасами, охватывающих много видов разнородных изделий и включающих разветвленную сеть складов, является запас однотипных изделий на одном складе. Именно этот объект исследуется в теории запасов и, в частности, в данной работе в первую очередь и с наибольшей полнотой. Обозначение Ж с-Ь) относится к состоянию запаса в момент времени ~Ь , при 0 на складе есть наличные изделия, при

< 0 наличных изделий нет, ко накошена задолженность в размере \11а)\ .

В вероятностных моделях спрос на запасаемые изделия описывается с помощью случайных процессов. Наиболее употребителен составной пуассоновский процесс £ (±) , при котором моменты поступления требований на запасаемые изделия образует- пуассоновский поток интенсивности Л , а размеры требований - взаимонезависимые случайные величины с одинаковым распределением х на 1, °о. При этом прирашение процесса Щ на отрезке , обозна-

чаемое через ) , имеет производящую функцию

**? [ и^-^КУ, (

где У х с г.) - производящая функция, распределения г

При описании спроса в работе использовались также рекуррентные потоки и винеровские процессы.

При отсутствии пополнений на отрезке убывание за-

паса описывается уравнением

ги) =

Поставка пополнений из внешнего источника производится на основании подаваемых заказов. Формальное правило, определяющее моменты и размер заказов, называется стратегией управления. Для некоторых простых параметрических классов стратегий в теории за-

пасов традиционно используется термин политика.

Иногда приходится оговаривать и правило выполнения заказа. Опии из вариантов этого правила состоит в том, что любой заказ выполняется с фиксированной задержкой "С , уходящей на оформление, транспортировку и т.п.

Задание перечисленных компонент модели полностью определяет (в вероятностном смысле) динамику уровня запасов 2. Обычно полагают, что все компоненты модели кроме стратегии управления фиксированы и не поддаются управляющему воздействию. Для выбора стратегии управления формируют критерий оптимальности, учитывающий разнообразные издержки, сопряженные с управлением запасами.

Часть из них удобно объединить с помощью понятия штрафной функции *fti) , которая показывает, к каким издержкам приводит запас размера I за единицу времени. Типичный пример:

/а>= 4-^i, L ¿0 ; , ¿>о; м

Кроме штрафной функции используется функция с (t.) , показывающая стоимость заказа в зависимости от его размера, например,

c(i) = C0f- С, I , с >1 ; С^с.^о. U)

Общие издержки, исчисляемые с помощью -f ч) и с с cl , представляют собой аддитивной по- времени функционал от траектории случайного процесса Z it) . При наличии у Zct) предельного распределения естественным показателем оказывается стационарная интенсивность издержек V . Именно этот показатель является основным в данной работе. Как показано в приложении I, соответствующим подбором параметров 4, ¡/г ; с„ , входящих в (I), через V легко выражаются разнообразные "натуральные" показатели: средний уровень наличного запаса, средний размер задолженности, вероятность опустошения склада, частота заказов, среднее время хранения изделия на складе, среднее время' ожидания требования'до момента удовлетворения.

В главах Т и 2 описаны и проанализированы разнообразные модели упоавления одномерным процессом . Четыре основные модели таковы.

I - модель с постоянной задержкой в доставке Т , в которой заказ на пополнение может быть подан в любой момент,

П - моцель со случайными возможностями для пополнений, в которой задан рекуррентный поток моментов времени i У таких, что интервалы ^ L = ui взаимонезависимы и имеют оди-

наковое функции распределения 6- сх) с преобразованием Лапласа-Стилтьеса Q-*~ Сs) . Пополнения в этой модели можно осуществить без задержек, но только в олин пз моментов ч/. . Особый интерес для практики представляют частные случаи, когда возможности для пополнения предоставляются либо периодически, т.е. -

регулярный поток и ^ = ~Г= Const , либо "чисто случайно", т.е.

- пуассоновский поток с известной интенсивностью ol .

Ш - смешанная модель со случайными возможностями попачи заказов и с задержкой в доставке, в которой заказы можно подавать только в моменты к ¿_ , а на их доставку ухолит постоянное время t

1У - модель со случайной задержкой в доставке при периодических возможностях полачи заказов, в которой задержки ^ в выполнении t-го до счету заказа - взаимонезависимые случайные величины с одинаковой Функцией распределения & с* i , сосредоточенные на конечном интервале (£,, ^ ) , причем 't^- t 1 - Т.

Применительно к каждой из этих моделей рассмотрено два класса политик управления.

Политики двух уровней задаются двумя параметрами:'

k - нормативный (или максимальныйj уровень запаса, п - уровень накопления расхода. Опишем как они действуют при условии И(о) - k. .(При > к

можно дождаться, пока запас не опустится до k , при ~Z(0) < k дождаться первой возможности и заказать недостающее до норматива число изделий, причем сопутствующие первоначальные затраты не повлияют на стационарную интенсивность издержек V .) Первый заказ на пополнение подается после пересечения (или достиженияJ пгопессом £ it) уровня л. _ для модели I заказ подается в момент пересечения, а для остальных моделей - в ближайший момент ц i . Размер заказа равен £ (0<) , где - момент пер-

вого заказа, т.е. заказ компенсирует весь накопленный расход. Второй заказ пояается после того как уровень и пересечет пропесс ^ ±г) в размере ^ (9^ , где -

момент второго заказа, и т.д.

Политики кратных размеров поставок также двухпараметрические: к в этом контексте попрежнему обозначает нормативный уровень запасов, а И размер стандартной упаковки. Заказы на пополнение по размеру всегда кратны п и подаются после того, как будет целиком исчерпана хотя бы одна стандартная упаковка.

Класс политик двух уровней содержит при широких условиях и решение задачи глобальной оптимизации. Точнее говоря, лучшая из политик двух уровней не может быть превзойдена по критерию минимума v никакой стратегией, приводящей к стационарному режиму Вопрос об условиях, при которых верен этот вывод, рассмотрен в приложении 2.

Введем обозначение м - к-н и будем считать, что И^3<0с и < °<> . Это предположение существенно для некоторых ре

зультатов работы и необременительно с практической точки зрения.

Результаты §§3-4 главы I суммирует

Теорем® I. При функции стоимости заказа вида (2; и при составном пуассоновском спросе во всех моделях I - 1У для политик двух уровней

Н 1

= н + (3> I=0 1

а для политик кратных размеров поставок при "ь, > О

где ^ = % > С = Со^Ит), ^ - распределение на ,

- убывавшее распределение на о, оо ^

- неотрицательная последовательность,

причем производящие функции для А, $ определяются в зависимости от модели формулами:

^ па = [¿«с^пи- ^/г)- М-д-УО-Ъ

у/«) -

= и-^зиЦИ Р И^М^ ,

^ ъ1™,^

Замечания. I) Теорема I дает явные выражения для показателя V через параметры политики управления. Однотипность этих выражений позволяет решать задачу оптимизации для всех моделей сразу..

. 2) Основная трудность при вычислении (а также при оптимизации) показателя V го формулам (3), (4) состоит в том, как расчитывать последовательности . исходя из явных вы-

ражений для их производящих функций. Решению этой проблемы посвящено приложение 3.

В §5 главы I проанализирована модель I, в которой спрос задается непрерывным случайным процессом вида

где \ Г> 01 - винеровский процесс. Рассматриваются только

политики двух уровней. Доказана

Теорема 2. Если у - нормативный: уровень запаса, а - х) - уровень накопления расхода, то при стоимости

заказа

с(и> = +■ с.«

выполняется

■ж.

где 4 + [>*у, Ч<0)

^ - плотность нормального распределения со средним >Г и дисперсией б,г"г

Замечания. I) Теорема 2 получена совместно с О.Л. Джигар-джяном.

2) Формула (5) - непрерывный аналог частного случая формулы (3), возникающего, когда - 4, - г. и, значит,

В главе 2 рассмотрен ряд имевших практическое значение модификаций основных моделей из главы I и для этих модификаций выведены формулы для показателя v

Модель I рассматривается в случае рекуррентного входного потока требований, который в не прерывается при опустошении склр да, а в §2 - прерывается к возобновляется только после прихода пополнения.

Для модели П рассмотрен случай потери "пебований, неудовлетворенных в момент поступления. Кроме того предложена и проенализи рована труппа смешанных моделей управления запасами, в которых часть отказавших изделий списывается и их расход компенсируется пополнениями из внешнего источника, а часть ремонтируется и возвращается в строй, так что на уровень запасов влияют одновременно гооцессы восполнения и восстановления, Лпя всех перечисленных модификаций для v подучено выражение типа (3>.

Наконец, рассмотрены две модели с зависимостью между расходом и наличием, в которых- случайный интервал до прихода очередного единичного требования экспоненциален с параметром V,. , если на этом интервале ~z.Lt) = с .В частности, установлена

Теорема 3. При чисто случайных возможностях пополнения, возникающих с частотой о( , и при с с с.) вида (2)

А. А-

У/см, к) = С 12 + + а-) (6)

где -+ , а- = ,

м ш

¿=-00 "С?1- 1+а-

Глава 3 посвящена многомерным моделям управления запасами, в которых целевая функция зависит от многих аргументов. Затрагиваются три реальные источника многомерности: наличие в системе многих складов, запасание разнотипных изделий на одном складе, нестационарность спроса. В §1 представлена модель двухступенчатой системы снабжения, состоящей из одного центрального и С низовых складов. Указаны условия, при которых суммарная интенсивность издержек в такой системе представляется в виде суммы

£ + < слагаемых, каждое из которых зависит только от своей пары управляющих параметров, причем зависимость эт& такая же (или почти такая же) как в (3), (4).

В §2 рассмотрена модель управления запасом разнотипных элементов на одном складе. Спрос М-) здесь считается многомерным составным пуассоновским, при котором моменты поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности }, , а размеры требований т)= (л)и ..., ) - взаимонезависимые Е -мерные случайные величины, имеющие одинаковое распределение на целых точках из , где i - число типов изделий. Через ~z.Lt) обозна-

чается -мерный векторный процесс, задающий уровни запасов всех типов изделий. Многомерный аналог политик двух уровней определяется двумя объектами: вектором & максимального (или нормативного) размера запаса и множеством накопления расхода (МНР).

При Z(<?) - k. такая политика предписывает ждать, пока векторный процесс ¿-t) не покинет это множество, после чего подается заказ состава , где - точка вне МНР, в которой ока-

зался процесс ^ От) в момент заказа. ,Шсле первого заказа отсчет расхода начинаем с нуля и все повторяется. При роль МНР играет о, и-1 ,

Назовем МНР монотонным, если при е. МНР все а. такие, что Oí a..s í , также принадлежат №. Пусть стоимость заказа партии состава определяется выражением

i

с (ж) = с0 + ZZ- С.. x¡ J .1*1 > 0J . j=i J

a - произвольная штрафная функция, заданная на целых точках

Цf , Условия .восполнения и юс нумерацию I - 1У определяем • так же, как в случае i ~ 4 . В §2 доказана

Теорема 4. Если обозначаемое через Г . множество накопления расхода монотонно, .то во всех моделях I - 1У

где J~f*-y, 1/ ~ распределение, a S - неотрицательная Функция на целых точках из , причем формулы для много-

мерных производящих- функций iz.) в точности совпадают с приведенными в теореме I, а формулы для Vs íí) отличаются только отсутствием сомножителя

Мт) (который здесь был бы лишен

смысла).

Замечание. И по. формулировке и по методу доказательства теооема 4 является прямым обобщением теоремы I (в части, касающейся политик двух уровней;. Отличия в выражениях для С и Ч> i2) объясняются тем, что в теореме I последовательность S;

'S

и константа и нормированы так, чтобы s¿ в среднем сходилась к единице при ¿ —> оо .

В §3 шссмотрено несколько вариантов моделей управления запасом разнотипных изделий, приводящих к сепарабельным выражениям туш показателей качества. Пусть - нормативные уровни запасов элементов -t типов в.комплекте запасных

элементов, создаваемом для поддержания работоспособности парка технических изделий. Обозначим через А сю стационарную интенсивность издержек, связанных с поддержанием такого комплекта, а через В - среднее число работоспособных изделий, считая неработоспособными изделия, простаивающие из-за отсутствия нужных для их ремонта элементов. В качестве целевой функции можно взять утельные издержки, приходящиеся на V ,но работоспособное изделие. Тола для сепарабельных А <*) и В с*) оптимизационная задача приобретает вид

I . .. _ 1 _ , .

нмл 10)

X.

а /V, ^

8 (х)

где -х ¿. - неотрицательные целые.-

В §4 рассмотрена детерминированная модель с периодическими колебаниями цен и спроса. В дискретном времени эта модель имеет вил

1~1 г ш ■

21 + <4 Л.) -:> ,

с = о ^¡Л

где - общая длина периода идя трех числовых последовательностей: , задающей динамику цен за одно изделие (или за единицу продукции, т.к. здесь запас может быть и непрерывным;; ^¡.^ - управляемых величин пополнения на ¡. -м такте; •I г. \ . задающей детерминированную динамику спроса, функциональная последовательность I штрафных функций также считается периодической по I с периодом £

Исключением перемените ^ ¡_ получена эквивалентная \Ы формулировка

1-0 0

где

(х) = сх; +■ с. ж -си<х.

Показано, как свести к периодической задаче типа (9) нестационарную задачу оптимального управления запасами на конечном временном интервале с закрепленными начальным и, возможно, конечным состояниями.

Вероятностному варианту модели с периодическими колебаниями иен и спроса посвяшен §5. Здесь спрос задается составным пуассо-новским процессом с переменной интенсивностью .Х(-Ь) . имеющей период Т • Считается, что на периоде выделено £ детерминированных моментов , в которые возможно пополнение, . причем стоимость ~Ъ изделий составляет 2 в момент . Политика управления задается целочисленным вектором хс) критических уровней й состоит в том, чтобы в моменты заказывать

изделий.

На отрезке "^и.) считаем, что система находится в

фазе »и . Штрафы начисляются в зависимости от номера фазы, т.е. задано I штрафных функций ^* ) ж е £ г | £ ^ ОВ) со , Лействуют обозначения

А^Ь»»^

для среднего числа требований на ъ -й фазе, ее длины и размера спроса.

В этой модели I различных фаз циклически повторяются и выбор какой-то одной в качестве первой произволен. Удобно считать что для фиксированного х первой выбрана фаза, которой соответствует максимальная компонента вектора * . 3 такой нумерации индексы заключаются в круглые скобки. Доказана

Теорема 5. Стационарная интенсивность издержек имеет вид

, <*м а

где

Замечание, Второе слагаемое в правой часта (II) не зависит от ос. . и может быть опущено при минимизации.

При Уи1 теорема 5 обобщена на случай с задер-

жкой в доставке, когда всякая заказанная в момент партия доставляется чгерез фиксированное время = £ ( к - целое). В этих условиях справедливо (II), где

Я) = у ^ ^ ^ ~ -— ;

а распределения £ такие же как в теореме 5.

Две последние главы целиком посвящены методам оптимизации. Глава 4 содержит изложение метода заполнения ямы, позволявшего минимизировать примерно Головину из полученных в главах 1-3 типов целевых функций, в том числе функции вида (4;, (5.), (6) и отдельные частные случаи (3). Этот метод применим.тогда, когда Функция одной переменной д , участвующая в выражениях для У , унимодальна и ее график имеет вид ямы. Название метода связано с тем, что процесс минимизации ассоциируется с заполнением этой ямы.

В §1 исследован вопрос о том, когда функция ^ унимодальна. Учитывается, что во всех моделях ^ - , где штрафная функция, а о. - какое-то вероятностное распределение.

Если ^ - унимодальная функция (что соответствует ее экономическому смыслу), то данный вопрос сводится к тому, при каких оператор свертки 4 *- <у сохраняет унимодальность

В условиях теоремы 2, опираясь на результаты теории вполне позитивных функций (каковыми является распределения р и 1/ из этой теоремы), без труда показывается, что при унимодальной >{ функция ^ унимодальна.

Для остальных моделей, где и «р- функции дискретног аргумента, проводится специальное исследование. Будем говорить, что функция дискретного аргумента кунимодальна, если д к^ либо знакопостоянна, либо при росте ¡. единственный раз меняет знак с минуса на плюс; А1 выпукла, если Д1*' к с V О для всех ; Ас полувипукла, если при Л А. >0 обя-

зательно выполняется а "г- ь. к I .

Например, функция (I) унимодальна и, более того, полувыпукла при всех О , а при 0< 6 $ ^ + ^з. она еше и выпукла. Если Зу , Фпз и - классы унимодальных, полувыпуклых и выпуклых функций, то, очевидно,сРвс<^с<^

Булем говорить, что распределение с^ сохраняет унимодальность, если

Аналогично определяется сохранение полувыпуклости и выпуклости. Классы распределений, сохраняющих эти свойства, обозначим через

О-я , .^-в ' Доказана

£еорема 6. . .

2)

3) о^ е Я-&

4)

Здесь = 21 Ф-. , а ^ после функции означает нестрогое ^ J

убывание этой функции.

Показанные критерии позволяют в ряде моделей без труда установить наличие нужных свойств у функции д

В §2 приведены дискретные варианты метола заполнения ямы для шести типов целевых функций, включая (4) и (6). Для всех типов отыскивается глобальный минимум, причем функция (4; может быть многоэкстремальной. По быстродействию этот метод весьма эффективен, т.к. поиск решения требует почти столько же операций, сколько вычисление значения V в сообщенной каким-то оракулом точке оптимума. При £ вида (I) трудоемкость составляет в зависимости от распределения ^ от 0 ! к*) до О (к*2-) арифметических операций (где к* - оптимальное значение нормативного запаса), причем основная вычислительная работа связана с получением значений } 1» исходя из формул для производящих функций С г.) 1 с/^ (.2.).

Решение по методу заполнения ямы складывается из двух этапов. На первом ищется дно ямы, т.е. точка

Ч ~ ^ ~ ^ ^ : >1? ^ •

На втором идет наращивание зоны т ^-и , по которой про-

извоиится суммирование в (4), причем начальная зона состоит из единственной точки с0 , а затем к текущей зоне всякий раз добавляется соседняя точка справа или слева, т.е. либо щ , ли" э т-ьи + 1 в зависимости от того, какое из значений ^м или ^ + ) меньше. Такой процесс ассоциируется с заполнением ямы, что и объясняет название метода.

Все встречающиеся в работе дискретные распределения <у вычисляются рекуррентно, поэтому и д^ ¡. при поиске должны вычисляться все подряд, начиная с д^ е . Иначе обстоит дело в условиях теоремы 2, когда дяя ^ сх) , ее первообразной £-4*)-и ее производной получаются явные формулы,

включающие кроме элементарных функций одну специальную - функцию распределения нормальной случайной величины, для которой разработаны и широко применяются высокоточные аппроксимационны'е формулы малой трудоемкости. Таким образом, значения <г ^ сю,

могут вычисляться в любой точке х. независимо и поиск

¿ид /гиг» ^ не требует перебора по какой-либо сетке. Известно, что поиск минимума унимодальной функции на априори заданном отрезке можно осуществить методами Фибоначчи и деления пополам, являющимися оптимальными по числу обращений соответственно к £ сх) ик • Оптимальность понимается в духе принципа гарантированного результата - для других методов в классе унимодальных $ найдутся такие, которые потребуют бол-шего числа обращений, чем методы Фибоначчи и деления пополам.

В §3 исследован вопрос об оптимальных алгоритмах поиска экстремума унимодальных функций на неограниченном множестве, в первую очередь на полупрямой, т.к. одна граница (скажем, нижняя) либо известна заранее (например, из условия неотрицательности), либо может быть получена за счет одного-двух обращений к д "сХ) или £ .

Доказано, что оптимальными для поиска на полупрямой являются обобщенные методы Фибоначчи и деления пополам. Оба состоят из двух этапов - на первом устанавливается недостающая граница, на втором идет поиск на ограниченном интервале. На первом этапе обобщенный летод Фибоначчи требует брать последовательность пробных точек, отступающих от заданной границы на £ Г„ , где

£ - заданная точность локализации, п - номер пробной точки, - последовательность Фибоначчи, а на втором этапе

использовать стандартный метод Фибоначчи. Обобщенный метод деления пополам (называемый также методом удвоения и деления пополам, требует на первом этапе вычислять ^ '(х\ в точках, отстоящих на £ 2 " от известной границы, а на втором использовать стандартный метол деления пополам.

Оптимальность этих методов состоит в том, что они приводят к не более чем двукратному увеличению трудоемкости по сравнению со случаем, когда априори известны обе границы, а меньший чем двойка коэффициент увеличения трудоемкости недостижим.

В §4 метод удвоения и деления пополам применяется в сочетании с идеей заполнения ямы к минимизации функции (5). Полученный алгоритм имеет трудоемкость о с с ) , где £ - точностз локализации точки минимума, и = С-**, ,

точка минимума.

В §5 предложен метоп решения целочисленной задачи (8), являвшийся многомерным аналогом метопа заполнения ямы. Предполагается выполнение условий

ь, со) ^.о, д ^ у)* о> , о}

у ) оо при у —> оо ^ I е. 1, £,

где =; ¿/^ф^д S¿ ^).

Рассмотрено два варианта задачи. В первом функции &1 с3) вычисляются по рекуррентным формулам от j к ] + 1 , во втором возможно их прямое вычисление при любом ] . Трудоемкость метода составляет для первого варианта

О (4 I 21 хХ ) , а для второго

где ос.* - решение задачи (8). Заметим, что предложенный метод отличается и условиями применимости и сутью от известных алгоритмов дробного программирования.

В главе 5 предложено несколько методов оптимизации, предназначенных для тех целевых функций из первой части работы, для' которых не приспособлен метод заполнения ямы. В §1 речь вдет об оптимизации функции (3), являющейся, как показывают численные эксперименты, многоэкстремальной. Обоснован метод ограниченного перебора по переменной ^ , использующий -тот факт, -что при широких условиях минимум по п при фиксированном /г,

единственный и легко вычисляется. Близкий по духу метод дан в §2 для модели с прерыванием потока требований из главы 2. §3 посвяшен адаптации известннх алгоритмов решения нелинейной задачи о рюкзаке для оптимизации комплектов запасных элементов.

Два последних параграфа посвяшены методу исключения тактов. В §4 этот метод развивается применительно к задаче (10;. Цусть

I ь

Доказана

Теорема 7. Если функции ^ выпуклы по ± для всех I , - решение задачи (10), а j определено в (12), то

Эта теорема позволяет исключить переменную Zj (или, что то же самое, такт 3 ) из задачи (10), понизив ее размерность. При исключении ] -го такта его атрибуты поглощаются -м

тактом (или 0-м, если ) путем подстановок

где '

После этих подстановок функция ^, С*> остается выпуклой по "Ь и вид целевой функции и ограничений в задаче (10) не меняется - уменьшается только размерность. С модифицированной задачей можно поступить аналогично, т.е. найти минимальную из точек минимума функций М и исключить соответствующий такт. 3 этом и состоит основная идея метода. В вычислительном плане он сводится к нахождению для выпуклых

функций ^¿(.-¿О , сначала "простых", а затем "сложных", полученных при подстановках (13). Всего требуется решить не более 11 — 4 таких задач одномерной безусловной минимизации.

Показано, что вместо тактов, которым соответствует минимальное значение по I , можно исключать и такты с номером к. , где = »ицс { ^ .

Для случая, когда издержки хранения линейны, а задолженность не допускается, этот метод реализуется алгоритмом с трудоемкостью 0 С£) арифметических операций.

■ Наконец, в §5 изложен метод исключения тактов применительно к. задаче минимизации функции (II). В его основе лежит

Теорет й. Пусть х£ = си^г^ ^ > х» = ^ { }

все функции $ выпуклы по I и ж.* - точка минимума функции (II). Тогда

Кроме тото показано, что в области К ^ х ^ 1" значения функции (II) совпадают со значениями функции (. ») -й переменной, полученной путем исключения ^ и всей -й фазы из выражения (II) и поглощения ее атрибутов согласно подстановкам

где

После подстановки (14) и исключения /г. -й фазы вместо (II) получаем выражение точно такого же типа, но меньшей размерности. Поскольку при подстановке (14) сохраняется выпуклость функции

д V' по I , а точка ее минимума смешается вправо, к полученной (£-1) -мерной функции можно применить тот же прием. Таким образом, и здесь метод исключения тактов в вычислительном плане сводится к нахождению безусловных минимумов выпуклых функций опной дискретной переменной. Всего потребуется решить не более 24 ~ 1 . таких одномерных задач.

Приложения I, 2, 3 уже упомянуты, последнее приложение 4 содержит пример вычислительного эксперимента. Речь идет об исследовании влияния степени разброса спроса относительно постоянного среднего на оптимальные параметры управления запасами. Для моделирования случайных всгшескоЕ спроса берется составной пуассонов-ский поток с двухточечным распределением вида

= = а. е (о, 1) .

При этом Мт) = I- 7>-р= О.й-а.)

Если зафиксировать Мт) и варьировать натуральное t как независимую переменную, подбирая

(£-H9)/L£-i) .то М-И})(м1-в.

Большим значениям £ Соответствуют сильные, но редкие всплески спроса. Априори можно предположить, что нормативные запасы и издержки должны монотонно расти вместе с t -В действительности, как показывают эксперименты, монотонный рост оптимальных запасов имеет место только при относительно небольших £ , а очень сильные и очень редкие всплески спроса при оптимальном управлении просто игнорируются, т.е. оптимальный запас оказывается таким же, как в случае xi ~ 1 . Этот эффект наблюдался во всех моделях I - 1У из главы I.

ВЫВОДЫ

Основными результатам работы являются:

1) Метод анализа вероятностных моделей управления запасами, ключевыми компонентами которого служат использование теории регенерирующих и полурегенерирущих случайных процессов, понятие фиктивного уровня, свойства свертки и производящие функции. Этот метод позволил значительно расширить круг моделей, поддавшихся исследованию, а также упростить вывод ряда формул теории запасов и их- окончательный вид.

2) Метол заполнения ямы, позволяющий для ряда моделей управления запасами отыскать глобальный оптимум за время, сравнимое с тем, что требуется пля вычисления значения целевой функции в априори известной точке оптимума.

3) Метол исключения тактов, предназначенный для оптимизации нестационарных режимов, и имеющий для линейной детерминированной модели трудоемкость О С С.) , где С характеризует объем исходной информации (размерность задачи;.

Отдельные результаты могут найти применение и вне рамок теории запасов. Сюда относятся:

1) Критерий сохранения полувыпуклости операторами свертки.

2) Концепция оптимальности алгоритмов поиска экстремума унимодальной Функции одной переменной на неограниченном множе-

стве и соответствующие оптимальные алгоритмы.

3) Быстрые алгоритмы целочисленной минимизация дробно-

сепарабельных функций.

4) Рекуррентные схемы расчета сложных вероятностных распределений.

ПУБЛИКАЦИИ Ш ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рубальский Г.Б. Управление однономенкяатуряым запасом при рекуррентном потоке требований. - В кн.: Труды конференции Ш>ТИ, с.ерия Аэрофизика и прикладная математика. - М.: ИМИ, 1970, с. 93 - 102.

2. Рубальский Г.Б. Об уровне запасов на складе с задержкой в поставках. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1972, И, с. 63 -68.

3. Рубальский Г.Б. Расчет оптимальных параметров в одной задаче управления запасами. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1972, КВ, с. 8 - 12.

4. Рубальский Г.Б. Управление многономеяялатурным запасом на складе. - Стандарты и качество, 1972, *6, с. 14 - 24.

5. Рубальский Г.Б. Оптимальные политики управления многономенклатурным запасом при задержке в поставках. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1972, #5, с. 41 - 46.

6. Рубальский Г.Б. Об оптимальном моменте заказа. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1973, с. 59 - 62.

7. Рубальский Г.Б. Вероятностная модель управления запасом с рекуррентным потоком требований случайного размера. -Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, Ж, с. 66 -71.

8. Рубальский Г.Б. .Управление запасом при случайных возможностях пополнений. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, М, с. 54-61.

9. Рубальский Г.Б. Управление запасами при случайном спросе (модели с непрерывным временем). - М.: Советское радио, 1977. - 160 с.

10. Рубальский'Г.Б. Заточи управления запасом резервных изделий. - М.: Знание, 1979. - 24 с.

11. Рубальский Г.Б. Поиск экстремума унимодальной функции одной переменной на неограниченном множестве. - Ж. вычисл. матем. и матем. фаз. , 1982, с. 10 - 16.

12. Рубальский Г.Б. Оптимальное управление запасом изделий при случайных возможностях пополнений и расходе, зависящем от наличия. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1982,

т, с. 96 - юз.

13. Рубальский Г.Б. Смешанные модели восстановления однотипных изделий и восполнения их запаса. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1984, М, с. ИЗ - 120.

14. Рубальский Г.Б. О расчете оптимальных стационарных режимов в моделях управления запасами с пуассоновским потоком требований случайного размера. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1984, КЗ, с. 68 - 77.

15. Рубальский Г.Б. Решение задач оптимального управления запасами на программируемых микрокалькуляторах. - М.: Знание, 1984. - 50 с.

16. Рубальский Г.Б. Простой алгоритм оптимизации для .моделей управления запасами с чисто случайными возможностями пополнений. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, М, с. 75 - 80.

17. Рубальский Г.Б. Несколько моделей оптимизации комплектов запасных элементов. - Надежность и контроль качества, 1985, Ш, с. 47 - 54.

18. Рубальский Г.Б. Алгоритм оптимизации комплектов запасных элементов. - Надежность и контроль качества, 1966, к2,

с. 41 - 48.

19. Рубальский Г.Б. Стратегия поставок кратных размеров в моделях управления запасами. - Известия АН СиСР. Техническая кибернетика, 1966, М, с. 37 - 4э.

20. Рубальский Г.Б. Глобальный минимум издержек в модели управления запасами с прерыванием потока требований при исчерпаню запаса. - Надежность и контроль качества, 1986, ^£7, с. 32 - -

21. Рубальский Г.Б. Модель управления запасами со случайной задержкой в поставке при периодических возможностях пополнений. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1986,

с. 95 - 104.

22. Рубальский Г.Б. Вероятностные и вычислительные методы оптимального управления запасами. - М.: Знание, 1987. - 40 с.

23. Рубальский Г.Б. Модели оптимизации комплектов запасных элементов технических изделий. - В кн.: Кибернетика и вычислительная техника, вып. 3. - М.: Наука, 1987, с. 101 - ПО.

24. Рубальский Г.Б. Об операторах свертки, сохраняющих свойство типа унимодальности у функций одной дискретной переменной. -Кибернетика, 1988, Ш, с. 9 - II.

25. Рубальский Г.Б. Метод деления пополам в задаче о-заполнении ямы. - ж. вытасл. матем. и матем. физ., '1988, №?, с. 1012 -1020.

26. Рубальский Г.Б. Детерминированная модель управления запасами с периодическими колебаниями цен и спроса. - Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1988, те, с. 89 - 96.

27. Рубальский Г.Б. Метод исключения тактов в динамической задаче оптимального управления запасами. - 1. вычисл. матем. и матем. физ., 1990, Ж?, с. 1066 -1078.

28. Рубальский Г.Б., Ушаков И .А. Приближенная формула для вероятности бесперебойного снабжения в централизованной системе управления запасами. - Автоматика и вычислительная техника, 3971, с. 75 - 77.

29. Джигарцжян О.Л., Рубальский Г.Б. Модель управления запасами со спросом, описываемым винеровским процессом. - Известия АН, СССР. Техническая кибернетика, 1988, №3, с. Ь6 - 91.

30. Джигарджян О.Л., Рубальский Г.Б. Модели управления запасами с винеровским спросом. - М.: ВЦ АН СССР, 1988. - 61 с.