Теория и численное моделирование распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере

Кшевецкий, Сергей Петрович

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Теория и численное моделирование распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере
ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Теория и численное моделирование распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере"

На правах рукописи Кшевецкий Сергей Петрович

Теория и численное моделирование распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере

25.00.29 - физика атмосферы и гидросферы 01.01.03- математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург -2003

\4j4i

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете (г. Санкт-Петербург) и Калининградском государственном университете (г. Калининград)

Научный консультант: доктор физико-математических наук

Николай Михайлович Гаврилов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Юрий Зосимович Алешков, доктор физико-математических наук, профессор Леонид Айзикович Руховец, доктор физико-математических наук Сергей Николаевич Куличков

Ведущая организация: Институт прикладной физики,

г. Нижний Новгород

Защита состоится " И " 2003 г. в 12*° часов на

заседании диссертационного совета Д.212.232.35 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора при Санкт-Петербургском государственном университете

по адресу_

199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан " 15 " сЛНт&ЛулЯ 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.А.Зайцева

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА | С.Петербург ¿.у/. | * ОЭ Э005 шп)т" \

Общая характеристика работы

Предмет исследования. Актуальность проблемы

Последние несколько десятилетий отмечены значительным прогрессом в понимании волновых движений в атмосфере. Было установлено, что волны в процессе их генерации, распространения и затухания переносят энергию и количество движения в размерах, достаточных для того, чтобы играть существенную роль в глобальном балансе энергии и количества движения атмосферы.

Согласно современным представлениям энергетический бюджет верхних атмосфер планет определяется в основном усвоением солнечной радиации и притоком энергии из нижележащих слоев атмосферы; при этом важное место в переносе энергии принадлежит внутренним гравитационным волнам (ВГВ). Важными источниками ВГВ всех масштабов в атмосфере являются метеорлогические и турбулентные процессы (ветры в горах, циклонические вихри, фронты, струйные течения и т.п.).

Диссипация волновой энергии обеспечивает притоки тепла, сравнимые с солнечными. Разрушение волн приводит к формированию турбулентности в верхней атмосфере. Распространяющиеся ВГВ влияют на процессы распространения радиоволн. Перенос импульса волнами влияет на циркуляцию атмосферы. Без всестороннего учета воздействия волновых процессов невозможно построение теории теплового режима, циркуляции, состава термосферы и мезосферы.

Диссертация посвящена исследованию процессов распространения и разрушения нелинейных внутренних гравитационных волн (ВГВ) в атмосфере. Основное внимание уделяется изучению гидродинамических моделей, описывающих нестационарные процессы в газе, стратифицированном полем тяжести, развитию численных и аналитических методов решения уравнений. Разработанные методы применяются затем для исследования процессов распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере; результаты расчетов сравниваются с имеющимися экспериментальными данными.

Поведение нейтрального газа в атмосфере описывается системой уравнений гидродинамики, учитывающей поле тяжести, с уравнениями состояния и внутренней энергии для газа. В настоящее время сложная система гидродинамических уравнений, описывающая распространение волновых возмущений в атмосфере, без упрощений может быть решена только численно. Формально численное решение можно построить для любого t. Однако погрешности вычислений накапливаются. Оценка погрешности чис-

ленного решения полных гидродинамических уравнений показывает, что на временах порядка одного периода ВГВ погрешность уже может быть не меньше амплитуды ВГВ. Поэтому надежно смоделировать распространение ВГВ обычными методами с необходимой точностью в рамках полной системы гидродинамических уравнений не удается. Полные гидродинамические уравнения описывают не только распространение ВГВ, но и распространение акустических волн (АВ). Анализ структуры погрешности показывает, что при численном решении уравнений основная погрешность возникает от АВ, она в 102 —104 раз больше, чем погрешность от ВГВ, что является следствием большой частоты АВ.

Обсуждаемая трудность не является специфической проблемой ВГВ; наоборот, она характерна для многих геофизических задач. Уравнения современных геофизических моделей сложны и учитывают процессы с существенно различными временными масштабами. Часто нам особенно интересны медленные процессы, происходящие на большом временном интервале. Погрешности численного счета, происходящие от быстро протекающих процессов, на несколько порядков превышают погрешности от медленно протекающего процесса; поэтому эти погрешности мешают численному моделированию медленно изменяющегося решения. Для построения медленно изменяющегося решения необходимы специальные численные методы. Проблема численного интегрирования уравнений, описывающих процессы с существенно различными временными масштабами, ежегодно обсуждается на семинарах EGS/EGU (см. секция "Balance in atmosphere-ocean dynamics"Ha www.copernicus.org/EGS/); автор диссертации является многолетним активным участником этих семинаров.

Исторически первое решение проблемы накопления погрешностей от АВ было предложено Ричардсоном в 1922 г. Ричардсон предложил такое упрощение уравнений, которое исключает АВ из модели, а вместе с ними устраняет проблемы, связанные с этими волнами. Следующие рассуждения приводят к этому упрощению.

Эксперименты показывают, что для большинства волновых возмущений в атмосфере характерный вертикальный масштаб lz ~ 10 км. Для среднемасштабных и крупномасштабных процессов, особенно интересных для геофизики, горизонтальный масштаб lx ~ 100 -т-1000 км. Поэтому имеем задачу с малым параметром /? = {* ~ 0.1 0.01. Если перейдем к безразмерным переменным, учитывающим масштабы изучаемых ВГВ, то в безразмерных переменных для слагаемого вертикального ускорения получим оценку

d(pw) d(puw) d(pw2) dt дх dz

О (/З2) ~ Ю-2 - 10"4.

Поэтому при решении многих геофизических задач выписанные слагаемые отбрасываются. Соответствующее приближение называется квазигидростатическим. В квазигидростатическом приближении уравнение для вертикальной скорости заменяется следующим

поскольку диссипативные члены тоже малы, а остальные гидродинамические уравнения используются без упрощений. (1) — фундаментальное уравнение современной геофизики и динамической метеорологии.

Анализ показывает, что уравнения квазигидростатического приближения не учитывают АВ. Именно это обстоятельство позволяет эффективно моделировать распространение ВГВ с помощью квазигидростатической системы уравнений. (Приближение несжимаемой жидкости является другим часто используемым приближением, позволяющим исключить АВ из модели. Можно показать, что приближение несжимаемости среды изменяет скорость распространения ВГВ на 40%, поэтому при рассмотрении динамических процессов, в которых существенную роль играют ВГВ, использовать это приближение нежелательно.) Квазигидростатическое приближение сейчас используется во многих численных моделей динамики атмосферы при моделировании процессов с периодами больше, чем ~ 15 минут. К задачам такого типа относятся задачи общей циркуляции атмосферы и прогноза, задача о генерации ВГВ авроральными высыпаниями энергичных частиц и авроральными токами.

Заметим, что полная двумерная система гидродинамических уравнений требует четыре функции в качестве начальных условий: плотность р(х, z, 0); компоненты и(х, z, 0), w(x, z, 0) поля скоростей; давление Р(х, z, 0), а квазигидростатическая - только две: Р'(х, z, 0) или р'(х, z, 0) и и'(х, z, 0) или w?(x, z, 0). Переменные для квазигидростатической системы уравнений помечены штрихами, потому что, вообще говоря, Р'(х, z. 0) ф Р(х, z, 0), f/(x,z,Q) ф р(х, 2,0), u'(x,z,0) Ф u(x,z, 0), w'(x,z, 0) ф w{x,z, 0). Следовательно, переход к уравнениям квазигидростатического приближения нетривиален. По начальным условиям для полной задачи необходимо вычислить начальные условия для квазигидростатической задачи. Эта задача по пересчету начальных условий называется проблемой квазистатического приспособления или квазистатической адаптации; она обязательно решается в некотором приближении при подготовке начальных данных для метеорологических моделей.

Некоторое время считалось, что, с учетом приведенных выше оговорок, квазигидростатическое приближение можно использовать почти всегда.

Предполагалось, что если даже при t = 0 условие квазигидростатичности в атмосфере нарушено, то осуществляется переходный процесс, в течение которого быстро происходит квазигидростатическая адаптация метеополей. После этого переходного процесса имеет место квазигидростатическая или близкая к квазигидростатической эволюция параметров среды, и квазигидростатическая система гидродинамических уравнений уже применима.

Диссертантом построены приближенные аналитические решения уравнений квазигидростатической модели показывающие, что в нелинейном случае гладкого решения квазигидростатической системы уравнений при достаточно больших I, вообще говоря, не существует [6], [26), [28]. Это зависит от начальных условий, но такие случаи нередки.

Для геофизики особенно интересно решение при больших ¿. Решение для больших < можно построить как обобщенное, кусочно-гладкое. Это делается с помощью введения дополнительного диссипативного члена, содержащего малый параметр перед ним, в уравнения. Полученные регу-ляризованные уравнения решают, и затем малый параметр устремляют к нулю. (При численном решении уравнений тот же эффект достигается за счет использования диссипативных численных схем.)

Таким способом можно построить кусочно-гладкое (обобщенное) решение квазигидростатической задачи. Однако диссертантом были построены приближенные аналитические решения, показывающие, что получаемое обобщенное решение не совпадает с тем, которое следует из полной системы уравнений при /? —» 0. Более того, диссертантом были построенные асимптотические аналитические решений полной системы уравнений гидродинамики для газа, стратифицированного полем тяжести, показывающие что в нелинейном случае предельный переход (3 —> 0 приводит к классу обобщенных функций, которые могут содержать бесконечное число разрывов типа выколотой точки [28]. Численные методы, позволяющие строить обобщенные решения такого типа, не разработаны.

Можно предположить, что отказ от квазистатического приближения, то есть, учет квазигидростатического члена снимает описанную проблему. Однако исследования показывают, что недостаток негидростатической модели, регуляризованной диссипативным членом, не в том, что слагаемое вертикального ускорения не учитывается, а в том, что диссипативная регуляризация нелинейных уравнений не годится. При выводе уравнений квазигидродинамической модели отбрасывается член (Щ^ + + ^аг^) 5 учитывающий дисперсию ВГВ, и правильное решение квазигидростатической задачи, имеющее физический смысл, нужно строить с помощью дисперсионной регуляризации уравнений. Таким образом, в полной системе

уравнений слагаемые + 9^¡^ + играют роль регуляризато-

ра, а правильно построенный метод должен допускать предельный переход в слабом смысле к упрощенной, квазигидростатической модели; при таком подходе разница между полной моделью и квазигигидростатической должна стираться.

Перечисленные обстоятельства привело автора к выводу, что прогресс в изучении процессов распространения и разрушения ВГВ невозможен без создания надежных численных методов решения уравнений неквазиста-тической и квазигидростатической моделей, без детального исследования предельного перехода /? —> 0 к квазигидростатической модели, а также без создания новых аналитических моделей, более детально учитывающих особенности стратификации атмосферы Земли и позволяющих проверить нелинейную численную модель на аналитических решениях.

Актуальность исследования следует, прежде всего, из того, что кеа-зигидростатическая модель, регуляризованная с помощью исчезающе малой искусственной или численной диссипации, используется сейчас при решении многих задач динамики атмосферы и океана. Что касается полных, негидростатических моделей, учитывающих сжимаемость среды, то дая них проблема накопления погрешностей от АВ ранее не была решена. Выполнение сформулированной программы исследований привело к решению этой проблемы и к качественному улучшению прогностических расчетов.

Сформулированная сложная проблема порождает ряд более простых. Даже в линейном приближении предельный переход 0 —► О для гидродинамических уравнений не изучался, и его нельзя изучить, пока не сформулированы теоремы существования для задач с/?^0и/? = 0. Предельный переход /? —> 0 может существовать только на некотором классе начальных условий, который необходимо выделить и изучить. Ткким образом, реализация сформулированной программы требует не только построения новых численных методов, но и, прежде всего, более глубокого математического изучения уравнений модели.

Предыдущее изложение обосновывает необходимость математического изучения уравнений модели и развития специальных методов решения уравнений. Обсудим физические проблемы. В неквазистатической модели исходное волновое возмущение может распадаться на волны очень мелких масштабов вследствие солитонных эффектов [6], [26], [28]. Квазигидростатическая модель, регуляризованная диссипативным членом, принципиально не описывает разрушение ВГВ вследствие солитонных эффектов. ВГВ мелких масштабов постоянно присутствуют в атмосфере, океане. Существует проблема происхождения этих волн. Поэтому солитонный ме-

ханизм распада ВГВ интересен как один из возможных механизмов образования мелкомасштабных волн в атмосфере, океане. Неоднородности, создаваемые волнами мелких масштабов, часто представляются как случайные, и их удобно рассматривать как турбулентность. При расчете глобальной циркуляции атмосферы необходимо учитывать турбулентность, создаваемую разрушающимися ВГВ. Поэтому важной и актуальной научной задачей является изучение процессов распространения и разрушения внутренних волн, взаимодействия волн существенно различных масштабов.

Задачи исследования

Диссертация вносит вклад в изучение нелинейных процессов в атмосфере и гидросфере, в развитие важной и актуальной области численного моделирования нелинейных волновых процессов в атмосфере и гидросфере. Основным направлением исследований в диссертации является математическое изучение ряда моделей, описывающих динамику газа, стратифицированного полем тяжести, разработка математически обоснованных численных методов решения уравнений гидродинамики для стратифицированного полем тяжести газа.

В рамках указанного направления в диссертации решаются следующие основные научные задачи:

• доказательство теорем существования для широкого класса математических моделей акустико-гравитационных волн в атмосфере; исследование предельного перехода /3 —> 0; исследование гладкости решения при /3 ^ 0 и /? = 0, а также исследование зависимости обобщенного решения нелинейной квазигидростатической гидродинамической задачи от используемой регуляризации уравнений модели;

• разработка математически обоснованных численных методов интегрирования гидродинамических уравнений для негидростатической и квазигидростатической моделей атмосферного газа, стратифицированного полем тяжести;

• проверка качества разработанных нелинейных численных схем путем сравнения с линейными моделями, с аналитическими решениями упрощенных задач, с результатами лабораторного гидродинамического моделирования и с экспериментальными данными о волновых процессах в атмосфере;

• расчет распространения внутренних волн от наземных источников в среднюю и верхнюю атмосферу; изучение процессов разрушения ВГВ в атмосфере и зависимости эффекта от стратификации среды;

• разработка аналитических моделей нелинейных внутренних волн, применимых к атмосфере с реальной стратификацией; аналитическое и численное изучение эффектов солитонного распада внутренних гравитационных волн.

Научная новизна работы заключается в разработке методов численного и аналитического описания распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в средней и верхней атмосфере, в изучении процессов распада волн в зависимости от амплитуды волн и от стратификации. В диссертации получен ряд новых результатов, из которых важнейшими являются следующие:

• для широкого класса математических моделей акустико-гравитаци-онных волн в атмосфере доказаны теоремы существования; исследован предельный переход /? —► 0; изучена гладкость решения, в зависимости от параметра /?;

• разработан ряд математически обоснованных нелинейных численных моделей, описывающих динамику атмосферного газа в интервале высот 0 — 500 км, и математически исследованы разработанные численные методы решения уравнений динамики атмосферного газа; для случая волн малой амплитуды доказаны теоремы сходимости для построенных численных методов;

• аналитически и численно показано, что гладкое решение нелинейных уравнений квазистатической модели, вообще говоря, не существует при достаточно больших изучена зависимость обобщенного решения нелинейной квазистатической задачи от регуляризации; показано, что обычно используемая диссипативная регуляризация уравнений квазистатической модели дает обобщенное решение, которое невозможно получить с помощью предельного перехода /? —> 0 из полной модели;

• исследовано вертикальное распространение нелинейных внутренних волн в атмосфере и их разрушение; исследована зависимость эффекта от амплитуды; выявлены и изучены различные сценарии распада волн, в зависимости от амплитуды;

• впервые численно смоделирован и исследован распад внутренних волн, распространяющихся в стратифицированном полем тяжести газе (в атмосфере) на солитоны; оценено время распада и параметры образующихся мелкомасштабных уединенных волн;

• для уравнений, описывающих распространение длинных внутренних волн малой амплитуды в атмосфере, исследована зависимость спектра эволюционного оператора от стратификации. Рассмотрен широкий класс стратификаций, приемлемых физически, и показано, что для них не может быть более одной точки дискретного спектра. Для этой точки спектра получена оценка через параметры среды. Исследованы собственные функции. Построено общее решение задачи о распространении длинных внутренних волн малой амплитуды, применимое для широкого класса стратификаций, и вычислена асимптотика £ —> оо;

• показано, что для длинных внутренних волн характерно квазиволно-водное распространение. Вычислены квазиволноводные моды внутренних волн для стандартной модели атмосферы и для двухслойной модели. Построена теория квазиволноводного распространения волн малой и конечной амплитуды;

• показано, что механизм разрушения внутренних волн в эффекте перемешивания аналогичен распаду на солитоны в уравнении КдВ, в случае, когда нелинейность значительно превосходит дисперсию; выполнено численное моделирование эффекта на основе системы уравнений КдВ и показано удовлетворительное согласие с экспериментом.

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что построенные математически обоснованные численные модели распространения атмосферных волн пригодны для количественного описания динамических процессов в атмосфере, для решения задач о распространении волн в атмосфере от естественных и искусственных источников.

Результаты численных экспериментов по распространению и разрушению нелинейных ВГВ в атмосфере необходимы для интерпретации наблюдаемых данных.

Влияние мелкомасштабных флуктуаций на осредненные, крупномасштабные параметры атмосферы обычно учитывается в геофизических моделях с помощью дополнительных диссипативных членов в гидродинамических уравнениях (члены турбулентного переноса). Наличие нелинейных процессов преобразования крупномасштабных возмущений в мелко-

масштабные препятствует уточнению описания динамики параметров атмосферы (океана) с помощью уравнений для осредненных величин, поскольку модель должна быть самосогласованной. Это известная "проблема подсеточных волн". В диссертационной работе построена численная модель, описывающая распространение волн с существенно различающимися масштабами, с учетом их взаимного влияния и взаимной генерации. Она пригодна для изучения процессов разрушения внутренних волн и изучения связи параметров образующихся мелкомасштабных возмущений с параметрами распадающихся волн.

Разработанные методы решения задачи о распространении волн в атмосфере внедрены и используются в Институте динамики геосфер РАН для расчета генерации и распространения волн в атмосфере от источников разнообразной природы и на кафедре физики атмосферы СПбГУ для изучения влияния процессов распространения и разрушения ВГВ на циркуляцию и тепловой режим атмосферы.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется тем, что проведенный анализ основан на фундаментальных законах и точных уравнениях гидродинамики. Достоверность утверждений, сформулированных в виде теорем, подтверждается приведенными доказательствами. В тех случаях, когда доказательства не предъявлены, достоверность подтверждается сравнением результатов проведенных параллельных аналитических и численных исследований. Полученные результаты сопоставлены также с результатами других авторов, с результатами натурных и лабораторных исследований волн.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих международных конференциях, симпозиумах и семинарах: "COSPAR Colloquium on Low-latitude Ionospheric Physics" (Taipei, 1993; Warsaw, 1995), "International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications" (NOLTA) (Hawaii, 1993; Las-Vegas 1995), "Progress in Nonlinear Science, dedicated to the 100-th Anniversary of А.А.Аш1гош№"(Нижний Новгород, 2001), «Eighth International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics: Atmospheric Physics» (Иркутск, 2001), «General Assembly of the European Geophysical Society» (Nice, 1998; Hague, 1999; Nice 2000; Nice, 2001; Nice, 2002). Результаты работы докладывались также на Всероссийской научной школе «Нелинейные волны-2002» (Нижний Новгород, 2002), на Днях дифракции в СПбГУ, на семинарах кафедры физики атмосферы НИИФ СПбГУ, на семинаре Института машиноведения РАН, на школе по нелинейным волнам в г. Ка-

лининграде, на семинаре Института физики атмосферы РАН, на семинаре Института вычислительной математики РАН, на семинаре Института динамики геосфер РАН, на семинаре Института механики МГУ.

Структура и содержание работы

Диссертация состоит из введения, 10 глав, заключения и списка литературы. Содержит 180 страниц текста, 39 страниц 11 приложений, 42 страниц рисунков, графиков и таблиц. Библиография из 300 названий.

Содержание исследований Введение

Содержит обшую характеристику работы: краткое содержание, актуальность, научную и практическую ценность, цели и задачи исследования.

Введение дополнено тремя приложениями. Первое содержит краткий обзор динамических моделей атмосферных процессов. В нем, в частности, показано, что уравнения геофизической гидродинамики в безразмерных переменных записываются как уравнения с малыми параметрами при производных по времени. Уравнения с таким вхождениям параметра называют сингулярно возмущенными. Обсуждается проблема решения сингулярно возмущенных задач, с акцентом на численные методы.

Второе приложение содержит вывод модельной системы уравнений Кор-тевега-де Вриза для ВГВ и формул для приближенного решения задачи о распространения слабо нелинейных ВГВ в атмосфере.

Третье приложение содержит краткий обзор работ, посвященных исследованию проблемы предельного перехода ¡3 —> 0 в уравнении Кортевега-де Вриза, содержащем параметр 02 перед дисперсионным членом, а также проблемы регуляризации нелинейных гиперболических уравнений.

Глава 1. Волны малой амплитуды в безграничной изотермической атмосфере

Рассматривается задача о распространении волн малой амплитуды в газе, экспоненциально стратифицированном по плотности полем тяжести. Диссипативные эффекты не учитываются. Аналитическое решение задачи хорошо известно. Автором изучается вопрос о том, как произвольную АГВ представить в виде суперпозиции АВ и ВГВ и как в начальном условии выделить вклады, ответственные за возникновение волн обоих типов.

Обычно существование АВ и ВГВ в изотермической атмосфере демонстрируют с помощью дисперсионного соотношения, которое имеет несколько ветвей, называемых соответственно типам волн. Процедура выделения волн различных типов в общем решении задачи формализована автором следующим образом. Из физических соображений следует, что волны должны иметь конечную энергию. Корень квадратный из удвоенного функционала энергии удовлетворяет аксиомам нормы. Эта норма удовлетворяет правилу параллелограмма, и, согласно теореме о поляризации, по ней можно построить скалярное произведение. Поэтому можно ввести гильбертово пространство Л, такое, что решение задачи о распространении акустико-гравитационных волн в изотермической атмосфере является кривой в этом пространстве, параметризованной временем t. Показано, что кривые, соответствующие АВ и ВГВ, принадлежат подпространствам Л а С /г, Лд С к, причем На -I- /¡с и /г^ и ка- Поэтому существуют операторы проектирования Ра, Ра, позволяющие по начальным условиям для полной задачи построить начальные условия для подзадач для акустической и внутренней волн путем действия соответствующим оператором проектирования на начальные условия задачи. Вычислены операторы Рд, Рс и выведены псевдодифференциальные уравнения для АВ и ВГВ, описывающие распространение этих волн по отдельности. Таким образом, исходная задача о распространении АГВ разбита на две независимые задачи: о распространении АВ и о распространении ВГВ. Рассмотрен предельный переход д —> 0 к однородному газу и показано, что ВГВ в этом переделе переходят в стационарные вихревые решения и в такие возмущений плотности и температуры газа, при которых результирующее изменение давления равно нулю.

Глава 2. Волны малой амплитуды в неизотермической атмосфере

Изучается вопрос о разделении произвольной акустико-гравитационной волны на АВ и ВГВ, но уже для атмосферы с неэкспоненциальной стратификацией плотности. Вид стратификации не конкретизируется, рассматривается общий случай. Непрерывность стратификации не предполагается.

Запишем систему линеаризованных уравнений для стратифицированного полем тяжести газа в виде одного матричного дифференциального уравнения

г^ + 1х = 0, (2)

Здесь X — функция-столбец, компонентами которого являются компонен-

ты скорости, возмущения плотности и температуры среды; Ь — дифференциально-матричный оператор с коэффициентами, зависящими от г, содержащий производные только по пространственным переменным х, г. Как и в предыдущем случае, решение системы уравнений (2) можно рассматривать как параметризованную временем I кривую в некотором гильбертовом пространстве Н. Скалярное произведение в Н строится на основе теоремы о поляризации по формуле для волновой энергии, если учесть, что корень квадратный из удвоенной энергии удовлетворяет аксиомам нормы, и норма удовлетворяет правилу параллелограмма. Определение скалярного произведения зависит от стратификации среды. Можно предположить, что, как и в предыдущем случае, различным типам волн соответствуют некоторые подпространства На С И, Нс С Н, такие, что На /¿с и На и На = Н. Тогда должны существовать такие операторы Ьа, действующий в На, и Ьа, действующий в На, что Ь — ЬА Рй Ьа. Построению подпространств 1гА, На и операторов Ьа, Ьа посвящена данная глава.

Построены приближенные уравнения, описывающие распространение акустических и внутренних гравитационных волн по отдельности при ¡3 = тш('*н) Где 12,1Х - вертикальный и горизонтальный масштабы волн, Н — масштаб стратификации. Таким образом, построены приближенные выражения для операторов Ьа, Ьа и указаны асимптотические по параметру Р процедуры для их уточнения. Предложен способ вычисления начальных условий для каждой из подзадач; доказаны существование и единственность предложенного разбиения. Доказаны теоремы существования для полной и упрощенной задач и теоремы о сходимости решений приближенных уравнений к точным при /3 —> 0.

Выписаны дифференциальные уравнения, которые описывают "геометрию" подпространств На, Не- Эти дифференциальные уравнения неявно задают операторы проектирования Ра, Ра- Предложены численные методы для решения задачи о проектировании.

Изучено распределение энергии начального возмущения по волновым ветвям и получены простые явные формулы для энергий волн каждого типа. Например, если при £ = 0 задано начальное возмущение температуры, то Еа = ^ Е, Еа = А Е. Здесь ЕА, Ес - энергии АВ и ВГВ, а Е -полная энергия начального возмущения. Если при t = 0 задано начальное возмущение плотности, то, наоборот, ЕА = Еа = ^ Е.

Построены уравнения нелинейного взаимодействия АВ и ВГВ. Строго исследованы условия применимости квазигидростатического приближения при решении задачи о генерации и распространения волн малой амплитуды.

Глава 3. Дифференциальные свойства полей волн различных типов

Некоторые косвенные данные указывают на то, что структура разрывов у ВГВ и АВ различается. Вследствие нелинейности уравнений разрывы в волне могут образовываться даже в случае гладких начальных условий. Поэтому интересно изучить негладкие решения уравнений для стратифицированного полем тяжести газа, исследовать зависимость структуры разрыва от типа волны.

Сначала исследуются уравнения для волн малой амплитуды. Известно, что дифференцируемость функции связана со скоростью убывания при к оо ее Фурье-образа. Это обстоятельство положено в основу метода исследования. В случае экспоненциальной стратификации можно перейти от исходных уравнений к уравнениям для Фурье-образов, затем выделить волны различных типов в общем решении, затем исследовать асимптотику при к оо для волны каждого типа, и в результате установить дифференциальные свойства для волны каждого типа.

Показано, что для АВ ротор скорости и градиент энтропии являются квадратично-интегрируемыми функциями, а для ВГВ дивергенция скорости и градиент давления является квадратично интегрируемыми функциями.

Известно, что для нелинейных уравнений газовой динамики условия сшивания на разрыве даются соотношениями Гюгонио-Ренкина. Из условий сшивания Гюгонио-Ренкина в пределе малых амплитуд следуют некоторые условия сшивания для линейных уравнений. Сопоставление этих условий сшивания с выведенными выше дифференциальными свойствами позволяет сделать вывод, что ВГВ могут иметь только тангенциальные разрывы (называемые также контактными), а АВ - только разрывы нормального типа (называемые также ударными волнами). Причем это утверждение справедливо и для нелинейных уравнений.

Трехмерные уравнения допускают неволновые, стационарные решения. Показано, что стационарные решения могут иметь разрывы только тангенциального типа. Представлены аналитические примеры решений с разрывами. Произведено сравнение с наблюдениями образования и эволюции волн с разрывами в лабораторных и численных экспериментах других авторов.

Глава 4. Длинные внутренние гравитационные волны малой амплитуды

Изучаются ВГВ малой амплитуды, распространяющиеся в газе, стратифицированном полем тяжести. Предполагается /?2 = 1. Частным случаем гравитационных волн с /?2 1 являются длинные волны, для которых ^^ <С 1. Для упрощения используется квазигидростатическое приближение, в котором слагаемое вертикального ускорения в уравнении для вертикального импульса опускается. На поверхности Земли задано граничное условие — равенство нулю вертикальной скорости.

Рассмотрен широкий класс стратификаций. Непрерывность стратификации не предполагается. Из условий на стратификацию важнейшее следующее: при .г —■> оо масштаб стратификации стремится к постоянному значению, которое является абсолютным максимумом. Такое поведение параметров стратификации в модели хорошо моделирует поведение параметров среды для атмосферы Земли и других планет.

Классическим методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения вида

= О, Ц* = 0) = 0 , (3)

Здесь Ха — вектор-функция, компонентами которой являются волновая добавка к фоновому давлению и горизонтальная скорость. Скалярное произведение в этой спектральной задаче содержит компоненты вектор-функции и производные, с весами, зависящими от плотности и температуры среды. В спектральную задачу (3) спектральный параметр с входит степенным образом, причем с содержится в прямой и обратной степенях. Спектральные задачи такого типа обобщают операторные пучки. Теорема о полноте собственных функций в настоящее время не доказана для таких задач.

Однако рассматриваемую задачу на собственные значения удается переписать в эквивалентном виде

1С1 (*' ¿' / Ха{г) = сХа{2)' (4)

где ¿с1 (г, /Лгг) — матричный интегро-дифференциальный самосопряженный оператор. Вариант (4) спектральной задачи позволяет прийти к утверждению о полноте собственных функций, однако весьма неудобен для исследования собственных функций и спектра оператора. Поэтому одновременно рассматриваются два варианта (3) и (4) одной и той же спектральной задачи.

Используя метод Пуанкаре анализа на фазовой плоскости, доказано, что на выбранном классе стратификаций оператор Ьа (г, с2, (или, что то же, оператор Ьс1 (г, / йг)) не может иметь более одной точки дискретного спектра. Причем для этой дискретной точки с спектра получена оценка

4-^-дН{оо) < с2 < дН(со)

Здесь #(оо) — масштаб стратификации среды при г —> оо. Показано, что для реальных условий атмосферы моду, соответствующую этой точке спектра, можно не учитывать.

Построено общее решение задачи о распространении волн в виде разложения по непрерывному спектру, для произвольной стратификации, а затем выведена асимптотическая формула для волн при Ь —» оо. Показат но, как можно построить нормированные собственные функции сплошного спектра задачи с помощью численного интегрирования уравнений спектральной задачи.

Глава 5. Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн малой амплитуды

В предыдущей главе показано, что для длинных ВГВ волноводные моды для условий стратификации атмосферы Земли отсутствуют, поскольку единственная волноводная мода не имеет физического значения. В данной главе изучаются квазиволноводные моды ВГВ. Под квазиволноводными модами понимаются такие решения уравнений для стратифицированного полем тяжести газа, которые зависят отхи ( как ехр (г(/сх(х — с£)) и которые удовлетворяют нижнему граничному условию ги|2=о = 0 и условию излучения при ¿г —* оо. Условие излучения состоит в том, что поток энергии на бесконечности неотрицательный. Здесь "спектральный параметр" с комплексный, а малая комплексная добавка 1т(с) обусловлена затуханием волн за счет излучения из квазиволновода. Идея поиска квазиволновод-ных мод заимствована из теории а-распада в квантовой механике, однако уравнения для ВГВ весьма специфичны, и квантово-механическая теория прямо не переносится на уравнения для внутренних волн.

Квазиволноводные моды вычислены для модели с двухслойной стратификацией, в каждом из слоев которой стратификациия плотности экспоненциальная, и для стандартной модели атмосферы. Метод основан на вычислении полюсов коэффициента рассеяния 5(с). Коэффициент рассеяния выражен через функцию Иоста, а функция Иоста через вронскианы, построенные для рассматриваемой задачи. В случае двухслойной модели

почти все вычисления удалось выполнить аналитически: получены трансцендентные уравнения для определения параметра с. Эти уравнения решены с помощью построенных сходящихся итерационных процедур. Для стандартной модели атмосферы расчеты проведены численно, с помощью специально разработанной программы, позволяющей вычислять 5(с) для произвольной стратификации и находить полюса функции 5(с). Двухслойная модель, в частности, использована для тестовой проверки программы.

Показано, что для двухслойной модели стратификации имеется счетное множество квазиволноводных мод с большими временами жизни, причем для высших мод времена жизни растут с номером моды. Это является необычной особенностью квазиволноводных мод внутренних волн, отличающих их от резонансов в квантовой механике, акустике и электродинамике.

Интеграл в скалярном произведении для внутренних волн регуляризо-ван таким образом, что стал применимым к квазиволноводным модам. Доказана ортогональность квазиволноводных мод в смысле введенного "скалярного произведения". Поскольку квазиволноводных мод с большими временами жизни много, предложено приближенное решение задачи о распространении волн от произвольного заданного начального возмущения в виде разложения по квазиволноводным модам, по аналогии с разложением по собственным функциям дискретного спектра. Сделана оценка точности построенного приближенного решения, согласно которой для условий атмосферы Земли на высотах меньших 40 км погрешность около 5%. С увеличением высоты погрешность увеличивается. Дан алгоритм вычислений квазиволноводных мод.

Глава 6. Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн малой, но конечной амплитуды

Рассматривается квазиволноводное распространение ВГВ конечной амплитуды. Известно, что распространение слабо нелинейных ВГВ в волноводе приближенно описывается системой уравнений КдВ. Как ясно из предыдущей главы, для атмосферных гравитационных волн характерно квазиволноводное распространение. Выведена система уравнений, обобщающих систему уравнений КдВ для внутренних волн на случай квазиволноводного распространения. Вывод уравнений аналогичен выводу системы уравнений КдВ, но вместо обычных мод используются квазиволповодные. В новой системе уравнений неизвестные функции комплексные. Коэффициенты уравнений вычислены численно для условий атмосферы Земли. Обобщающие нелинейные уравнения учитывают излучение из квазиволновода.

Для некоторых квазиволноводных мод время жизни столь велико, что излучением из квазиволновода можно пренебречь; в таком случае приходим к обычным уравнениям КдВ. Однако вертикальные профили волн определяются квазиволноводными модами, вычисленными для реальной стратификации, а пс модами искусственно вводимого волновода. Таким образом, отличие существенно, хотя внешне уравнения совпадают.

Изучается влияние излучения из квазиволновода на солитонный распад внутренних волн. Декремент затухания квазиволноводной моды пропорционален горизонтальному волновому числу кх. Поэтому это затухание способно противодействовать укручению профиля волны за счет нелинейных эффектов и является конкурентом дисперсии. Если для некоторой моды эффект затухания действует сильнее, чем дисперсия, то для этой моды солитонный распад невозможен. Выполнены оценки, показавшие, что солитонный распад внутренних гравитационных волн возможен только для первой квазиволноводной моды внутренних гравитационных волн и для высших квазиволноводных мод, с номерами большими 13; для остальных квазиволноводных мод распад запрещен вследствие излучения волн с большими кх из квазиволновода.

Высказана гипотеза: интенсивное разрушение внутренних волн может происходить над квазиволноводом. Это объясняется излучением волн с большими кх из квазиволновода и соображениями сохранения энергии. Приведены экспериментальные данные для вертикальных профилей турбулентной вязкости, подтверждающие гипотезу.

Глава 7. Методы численного моделирования распространения волновых возмущений малой амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе

Развиваются численные методы решения задачи о распространении волн малой амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе. Уравнения гидродинамики для газа, стратифицированного полем тяжести, переписаны в безразмерных переменных. Безразмерные уравнения содержат параметр 02 перед членом вертикального ускорения; ¡3 = ; где 1г, 1Х — вертикальный и горизонтальный масштабы волн, Н — масштаб стратификации. (Сводя систему уравнений к одному уравнению, можно показать, что мы имеем задачу с малым параметром перед старшей производной по времени.) Показано, что, если численная модель плохо моделирует распространение гравитационных волн с (З2 <С 1, то она плохо моделирует распространение волн при больших Поэтому особое внимание уделяется ВГВ с /?2 < 1 и изучению предельного перехода ¡3 —> 0.

Уравнения содержат малый параметр /З2. Соответственно теория численного интегрирования должна содержать в качестве малых параметров не только шаги численной схемы т, к, но и параметр 01. Очевидно, численное решение может сходиться к точному при (г, К) —> 0 как равномерно по параметру /?2, так и неравномерно. Для численного моделирования ВГВ пригодны только методы, сходящиеся равномерно по /?2. Введено понятие, определение равномерной по параметру /З2 сходимости численного решения к точному при шагах т, Л —* 0. Предложен класс равномерно по параметру (3 сходящихся численных методов; доказана равномерная по параметру /З2 сходимость для построенных методов. Попутно доказаны теоремы существования для линейных уравнений для стратифицированного тяжелого газа для случаев /3 — 0 и /3 Ф 0, изучена гладкость решений при /3 = 0 и /3^0. Изучен предельный переход /3 —» 0 дня решения точных и конечно-разностных уравнений.

Проведены тестовые численные расчеты, показавшие, что получаемое численное решение дает 3 верных значащих цифры при решении задачи на несколько часов реального времени.

Представлены два варианта численных схем. Первая численная схема диссипативная, она избирательно подавляет АВ за счет численной диссипации, но весьма точно описывает эволюцию ВГВ. Известно, что АВ негативно влияют на точность прогноза, при решении метеорологических задач их стараются отфильтровывать. Для построенной численной схемы эта проблема решается автоматически: АВ сами по себе со временем затухают и не влияют на точность решения при больших 4. Вторая предложенная численная схема недиссипативная, она не подавляет АВ. Однако погрешности от АВ не накапливаются, поэтому она тоже пригодна для решения задач о распространении ВГВ. Построенные численные методы можно использовать и для моделирования распространения АВ, но тогда шаги необходимо уменьшить до значений, необходимых для разрешения этих волн. Результаты обобщены на случай, когда уравнения учитывают диссипативные эффекты, а также для трехмерных задач, с учетом вращения Земли. Для всех рассматриваемых задач попутно сформулированы и доказаны теоремы существования и устойчивости.

Глава 8. Численное моделирование процесса распространения внутренних гравитационных вон конечной амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе. Ссшитонные эффекты при распространении внутренних волн

В теории линейных уравнений для стратифицированного полем тяжести газа большую роль играет функционал волновой эпергии; он используется при исследовании устойчивости задачи.

Поэтому изучение нелинейных уравнений естественно начать с вопроса об обобщении функционала волновой энергии на нелинейные уравнения. Для нелинейных уравнений построен неотрицательный функционал, переходящий в функционал волновой энергии в пределе малых амплитуд. Этот функционал является сохраняющимся, если решение гладкое, и невозрас-тающим, если решение негладкое. Построенный функционал положен в основу численного метода для решения нелинейных уравнений: для построенных методов этот функционал сохраняется с высокой точностью.

Сложной проблемой является обобщение понятия равномерной по паг раметру /З2 сходимости численного метода на нелинейные уравнения. Равномерная сходимость необходима, по крайней мере, для того, чтобы погрешности от АВ не накапливались. Для нелинейных уравнений численный метод построен так, чтобы в пределе малых амплитуд он переходил в исследованный выше равномерно сходящийся метод для решения линейных уравнений.

Для нелинейной задачи использованы новые идеи. В результате нелинейного распада начальных волн могут образовываться волны очень мелких масштабов. Невозможно при численном интегрировании во всех случаях использовать достаточно мелкую сетку, разрешающую все эти мелкие волны. Мы знаем, что нелинейные уравнения динамики тяжелого газа в слабо нелинейном случае сводятся к системе уравнений КдВ, и в ряде случаев распад на мелкомасштабные волны можно понимать как солитонный распад при /З2 -С 1. Поэтому при построении численного метода можно позаимствовать некоторые идеи из теории уравнения КдВ. Для уравнения КдВ (прежде всего, Питером Лаксом) построена теория бездисперсионного предела /З2 0. Согласно этой теории при достаточно слабой дисперсии (при очень малых 0) решение уравнения КдВ практически не зависит от дисперсионной постоянной (в слабом смысле). Знак дисперсионной постоянной имеет принципиальное значение. (Тут уместна аналогия с гиперболическим уравнением, регуляризованным диссипативным членом. Изме-

нение знака диссипативного коэффициента приводит к серьезным последствиям.) Метод численного интегрирования построен так, чтобы численная дисперсия не изменяла знак дисперсионной постоянной в уравнении. Фактически это перенос идеи фон Неймана из теории ударных волн на задачи, в которых в качестве регуляризатора используется дисперсия.

Результирующие конечно-разностные уравнения сложные. Нелинейные конечно-разностные уравнения можно решить с помощью метода сжатых отображений, однако требование равномерной по параметру ¡З2 сходимости оставляет только очень сложные для реализации варианты итерационных процедур. Для написания кода расчетной программы разработана специальная программа-генератор кода на языке пакета программ символьных вычислений Maple, которая по заданным дифференциальным уравнениям, по заданным дискретизациям и по заданным формулам метода сжатых отображений вычисляет алгоритм, а затем программирует численные вычисления для компилятора высокого уровня, попутно оптимизируя код.

Исследован эффект накопления ошибок округления. Эффект существенен потому, что коэффициенты уравнений изменяются на 11 порядков и потому, что решаем задачу на больших временах. Накопление ошибок округления устранено путем специальной организации вычислений.

Исследовано влияние погрешностей дискретизации на численное решение нелинейной задачи. В данном случае решается задача о распространении волн в среде со слабой дисперсией. Поэтому численная дисперсия, численная диссипация могут конкурировать с естественной дисперсией. Поведение численного решения качественно зависит от того, какой из перечисленных малых эффектов преобладает. Для различных численных схем выведены специальные ограничения на шаги т, h разностной схемы, при выполнении которых эффекты, обусловленные дискретизацией уравнений, несущественны по сравнению с эффектом естественной дисперсии. Полученные соотношения использованы при выборе численной схемы и при выборе шагов т, h численного интегрирования.

С помощью численного интегрирования уравнений для стратифицированного тяжелого газа изучен распад ВГВ на солитоны. Численные решения сопоставлены с приближенными аналитическими; показано хорошее согласие. Оценены параметры образующихся волн и время распада.

Согласно аналитической теории гладкое решение нелинейной квазигидростатической задачи не существует, начиная с некоторого t. Вывод подтвержден с помощью численных экспериментов с построенной численной моделью. Представлены графики, иллюстрирующие утверждение. Изучены различные регуляризации квазигидростатической задачи. Представлены графики, показывающие, что обычно используемая диссипативная ре-

гуляризация уравнений квазистатической задачи приводит к обобщенным решениям, которые невозможно получить с помощью предельного перехода из точной модели.

Глава 9. Вертикальное распространение нелинейных внутренних гравитационных волн и их разрушение

Согласно современным представлениям основные источники ВГВ в атмосфере находятся на тропосферных высотах и большинство волн, наблюдаемых в средней и верхней атмосфере, приходит снизу.

Существуют статистические модели тропосферных источников, в которых волновые поля у поверхности Земли представлены в виде суммы гармонических волн:

[39], [40]. Коэффициенты апт ряда получены в результате статистической обработки экспериментальных данных. Каждый член ряда представляет собою гармоническое колебание. Если решить линейные уравнения гидродинамики с нижним граничным условием апТпехр (г (кпх — ffmt)), а затем сложить полученные решения, то получатся волновые поля на всех высотах. Таким способом строится статистическая модель атмосферных ВГВ волн на всех высотах.

Обычно краевая задача с граничным условием апш ехр (г (кпх — amt)) на поверхности Земли решается методом стационирования (методом установления). То есть, задаются нулевые начальные условия, и затем решается эволюционная задача с граничным условием anmexp(i(knx — amt)). При t —> оо получается искомое решение краевой задачи.

В действительности гидродинамические уравнения нелинейные. Интересно, прежде всего, изучить влияние нелинейности на распространяющиеся вверх гармонические колебания. Изучается вертикальное распространение ВГВ от модельного источника

Для упрощения источник задан не на тропосферных высотах 9—12 км, а на поверхности Земли. Мы исследуем поведение волн на высотах около 100 км, небольшая ошибка в расположении источника не важна. В расчетах к'1 = 200 км, а = 7.5 * Ю-4 сек-1 = 4.5 * Ю-2мин-1 = 2.7час-1. То есть, период Т = 2.3 часа.

w\z=Q = a sin (кхх - at)

(5)

Рассматриваемая задача неоднократно решалась различными авторами в приближении волн малой амплитуды. Однако обнаружено, что для рассматриваемой краевой задачи предельный переход от решения нелинейной задачи к решению линеаризованной задачи отсутствует. Это является следствием того, что в нелинейном случае источник (5) создает вертикальный поток импульса риги через нижнюю границу (эффектами, связанными с вязкостью, у нижней границы пренебрегаем). Если решать нелинейную задачу методом стационирования, подобно линейной задаче, то атмосферный газ с ростом t ускоряется в направлении распространения волны. Процесс должен стабилизироваться только тогда, когда скорость струйного течения сравняется со скоростью вынуждающей волны. Наблюдать установившееся течение в численных экспериментах не представляется возможным, потому что время установления стационарной картины огромно. При разумных временах заметно течение только на больших высотах. Течение значительно, поскольку плотность там мала.

Поскольку влияние нелинейности уравнений на решение рассматриваемой задачи всегда не мало, бессмысленно решать нелинейную задачу стационирования. При решении нелинейной задачи методом стационирования возникают ударные волны, вакуумные дырки. Для нелинейной задачи требуется постановка, отличная от постановки линейной задачи. Предложена следующая постановка нелинейной задачи. Сначала методом стационирования решается обычная задача для линейных уравнений. Затем ее решение берется в качестве начального условия для нелинейной задачи. Изучаются нелинейные поправки и процесс перехода в новое состояние. Исследовала зависимость решения от амплитуды источника. Обнаружено следующее:

1. При малых амплитудах волны не разрушаются. Основным нелинейным эффектом является образующееся горизонтальное струйное течение с характерным вертикальным профилем, медленно изменяющимся со временем. Скорость течения растет со временем и может превосходить амплитуду волны в несколько раз. Распространяющаяся вверх волна приводит также к нагреву газа на высотах выше 100 км, но этот эффект слабее. В рассмотренном примере амплитуда и волновых осцилляций горизонтальной скорости и равна II = 4 м/с на 90 км. Сравнение ее с амплитудой типичных волн, наблюдаемых радарами [36], [37], [38], [35], показывает, что она в 4 — 6 раз меньше.

2. При умеренных амплитудах волна может разрушаться. Волна создает горизонтальное струйное течение со сдвигом. К разрушению волн приводит неустойчивость Кельвина-Гельмгольмца на сдвиге.

Неустойчивость развивается не сразу, а спустя некоторое время, необходимое для образования сдвигового течения нужной амплитуды. Затем формируется вытянутое вдоль горизонтали пятно с развитой мелкомасштабной конвекцией в нем. Сравнение с данными радарных измерений показывает, что такой тип развития неустойчивости характерен, вероятно, для волн, регистрируемых радаром в Шигараки (БЫвагаМ, 34.9^, 134.9°Е) [36}, [37}, [38]

3. Если амплитуда волны достаточно большая, то механизм разрушения волн иной. С ростом высоты холодные и теплые области в волне чередуются. При этом холодные области оказываются над теплыми. С течением времени холодные проседают, теплые области всплывают.

Поэтому растет • Если отрицательный температурный гради-

ЯйТ 7-Г

ент достаточно сильный--,

\gfJ- dz

, то развивается неустой-

чивость. На Рис. 1, 2 в качестве примера показано поле возмущения температуры на больших временах, когда процесс разрушения волн развился. Сравнение с данными радарных измерений показывает,

Рис. 1: Возмущение поля температур для случая больших амплитуд, развитый процесс разрушения волн

что такой тип неустойчивости характерен, вероятно, для волн, регистрируемых радаром в Саскатуне (Saskatoon, 52° N, 107°W, 1979-1993 гг.) [35].

Рис. 2: Увеличенный фрагмент возмущения поля температур для случая больших амплитуд. Окрестность высоты 100 км

4. Существует критическая амплитуда, четко разделяющая два возможных сценария распада гравитационных волн. Если амплитуда меньше критической, то распад происходит по сценарию пункта 2. Если амплитуда больше критической, то распад происходит по сценарию пункта 3. Причем типичная амплитуда волн для радара в Шигара-ки (Shigaraki, 34.9°N, 134.9°Е) докритическая, а для радара в Саскатуне (Saskatoon, 52°N, 107°W, 1979-1993 гг.) закритическая. Здесь не учтена зависимость Н от х, не учтено наличие ветра в реальной атмосфере. Поэтому последний вывод носит условный характер. Он, несомненно, указывает на то, что результаты измерений различных радаров могут качественно различаться. Что касается конкретных указанных радаров, то вопрос требует дальнейшего исследования.

Глава 10. Эффект перемешивания как солитонный распад внутренних волн

В океанологии хорошо известен эффект разрушения внутренних волн, когда в результате распада волны образуется пятно с интенсивной мелкомасштабной конвекцией в нем [41], [42], [43]. Подобные явления зарегистрированы и в атмосфере [44]. В литературе эффект часто называют "internal wave mixing". Эффект неоднократно изучался с помощью лабораторных экспериментов. В частности, Макеван построил детализированное графическое описание развития явления [45], [46], [47].

Предложена идея, что механизм и картина распада волн аналогичны

распаду на солитоны для одного уравнении КдВ, в случае, когда нелинейный член сильно преобладает над дисперсионным. С помощью численного решения модельной системы уравнений КдВ-типа для внутренних волн смоделировано разрушение волн. Показано удовлетворительное согласие полученных результатов с лабораторными экспериментами МакЕвана. Дано доказательство сходимости использованных численных методов.

Заключение. Краткое изложение результатов

Изложенные в предыдущих разделах исследования представляют цикл взаимосвязанных работ по решению важной проблемы создания численных и аналитических методов решения задач о распространении и разрушении нелинейных внутренних гравитационных волн в атмосфере. Построенная теория распространения волновых возмущений в стратифицированном полем тяжести газе, развитые методы решения уравнений динамики стратифицированного газа, позволили поставить и решить негидростатическую задачу о распространении волновых возмущений в атмосфере, изучить процессы разрушения внутренних гравитационных волн. При выполнении настоящей диссертационной работы получены следующие основные новые научные результаты, сформулированные в виде теоретических положений, выносимых на защиту:

1. доказано, что регуляризация квазигидростатической модели с помощью диссипативного члена приводит к обобщенным решениям, которые невозможно получить с помощью предельного перехода из полной, негидростатической модели; причем негидростатическая модель выявляет распад ВГВ на мелкомасштабные ВГВ вследствие солитон-ных эффектов;

2. построен численный метод, обладающий свойством равномерной по параметру Р — ^ сходимости на классе решений, соответствующих ВГВ, и свободный от накопления погрешностей вызванных АВ; .

3. разработана численная негидростатическая модель вертикального распространения и разрушения ВГВ в реально стратифицированной атмосфере;

4. выявлен новый механизм разрушения ВГВ и образования конвективных пятен вследствие доминирования эффектов нелинейности над эффектами дисперсии;

5. построены математические методы, позволяющие разделить в начальном условии вклады ВГВ и AB с помощью решения выведенных дифференциальных уравнений для волн малой амплитуды, а также построены асимптотические при t —> оо формулы для волновых полей, применимые к атмосфере с любой устойчивой стратификацией.

Публикации Основные результаты диссертационной работы содержатся в публикациях [1-34] автора из Списка литературы: Основные результаты работы представлены в 34 публикациях, 13 работ написаны лично автором. Работы [29], [24], [32] выполнены в соавторстве с Н.М. Гавриловым. Идея работы, постановка задачи, используемые численные методы и программы, все расчеты принадлежат диссертанту. Соавторы работ [25], [21] - преимущественно экспериментаторы. Описанный в работе эффект был предсказан диссертантом. Соавторы получили экспериментальные данные, подтверждавшие существование эффекта. Вклад диссертанта состоял, таким образом, в интерпретации результатов экспериментов. В [22], [23], [34] диссертанту принадлежит постановка задачи, научная программа исследований и некоторые математические результаты (численный метод, исследование алгоритмов), но большинство вычислений выполнено А. Халимом, научным руководителем которого является С.Б. Лебле. В [31] диссертанту принадлежит метод решения уравнений, исследование алгоритма. Работа [6] выполнена вместе с С.Б. Лебле. В учебном пособии [18], содержащем оригинальные результаты, диссертантом самостоятельно написаны стр. 56109. Работа [17] содержит обобщение результатов диссертанта [11], [14] на трехмерный случай; диссертанту в [17] принадлежит постановка задачи и руководство исследованиями. В работах [8], [10] диссертанту принадлежит аналитическая модель распространения ВГВ в атмосфере и некоторые аналитические вычисления. В работах [9], [12] диссертанту принадлежит идея равномерно- сходящихся по параметру ß методов, доказательства всех теорем; Л.П. Захаров и A.B. Сергеев помогли выполнить тестовые расчеты.

В заключение автор считает приятным долгом поблагодарить Н.М. Га-врилова, консультировавшего исследования автора и принимавшего активное участие в обсуждении исследований. Автор очень благодарен С.Б. Лебле, который постоянно помогал диссертанту необходимой иностранной литературой. Автор признателен E.H. Пелиновскому, поддержавшему исследования диссертанта и помогавшему советами. Обсуждения гамильтонов-ского формализма с H.H. Романовой были весьма полезными. Многие советы Г.М. Шведа позволили существенно улучшить текст диссертации. Автор очень признателен и благодарен С.Ю. Доброхотову, практические и теоретические советы которого были очень полезны. Дискуссии с В.А. Гординым, несомненно, повлияли на направление исследований диссертанта.

Автор признателен Эдуарду Невену (Нидерланды), который постоянно держал автора в курсе семинаров EGS. Диссертант благодарен кафедре физики атмосферы Санкт-Петербургского университета и, в особенности, Р. Мануйловой за помощь технического характера и поддержку. Работа вряд ли могла быть выполнена без активной поддержки И.В. Немчинова и В.В. Шувалова. Диссертант благодарен B.C. Булдыреву и В.М. Бабичу за внимание и поддержку. Автор признателен многим другим, не упомянутым здесь исследователям, в России и за рубежом, неоднократно оказывавшим практическую помощь, снабжавших диссертанта необходимой научной литературой.

Список литературы

1. Бессараб Ф.С, Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. О взаимодействии акустических и внутренних волн // Исследование современных физических методов в неразрушающем контроле. Хабаровск, 1984. С. 51-54.

2. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Уравнение Кадомцева—Петвиашвили в теории атмосферных внутренних волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. №.9. С. 1004-1007.

3. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Нелинейная дисперсия крупномасштабных внутренних волн // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1985. Т. 21. № 5. С.1169-1174.

4. Кшевецкий С.П., Нацвалян Л.А., Лебле С.Б. Моделирование термо-сферно— ионосферных возмущений, генерируемых авроральным элек-троджетом // Ионосферные исследования. М.:Радио и связь, 1986. №42. С.38-46.

5. Bessarab F.S., Kshevetskiy S.P., Leble S.B. Оп the acoustic-gravity waves interaction in the atmosphere // Problems of nonlinear acoustics. P.l. Novosibirsk, 1987. P.144-149.

6. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Нелинейная дисперсия длинных внутренних волн // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. Т.23. С.151-157.

7. Кшевецкий С.П. Инварианты акустических и внутренних гравитационных волн.—Деп. в ВИНИТИ. JV&2749-B89. 1989. 18с.

8. Ерохин Н.С., Кащенко Н.М., Кшевецкий С.П., Мациевский С.В., Никитин М.А. Резонансное возбуждение внутренними гравитационными волнами рэлей-тейлоровских ионосферных пузырей в ночной экваториальной F-области / Препринт ИКИ № Пр-1584, 1989. 20 с.

9. Захаров Л.П., Кшевецкий С.П. Линейные негидростатические численные модели распространения длинных внутренних гравитационных волн в атмосфере / - Деп. ВИНИТИ, №3834- В90, 1990. 61с.

10. Кащенко Н.М., Кшевецкий С.П., Мациевский С.В., Никитин М.А. Резонансная генерация ионосферных пузырей внутренними гравитационными волнами // Геомагнетизм и аэрономия. 1990. Т.ЗО. №3. С.446-451.

11. Кшевецкий С.П. О длинных акустико-гравитационных волнах в атмосфере с произвольной стратификацией по плотности! Деп. в ВИНИТИ. №4746-В91. 1991. 61с.

12. Захаров Л.П., Кшевецкий С.П., Сергеев А.В. Линейные негидростатические численные модели распространения длинных внутренних гравитационных волн в атмосфере // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1991. Т.27. №12. С.1381-1382.

13. Кшевецкий С.П. Инварианты акустических и внутренних гравитационных волн в неизотермической атмосфере // Гидромеханика (Киев). 1992. №65. С.29-38.

14. Кшевецкий С.П. О длинных акустико-гравитационных волнах в атмосфере с произвольной стратификацией по плотности // Известия РАН. Физ. атмосферы и океана. 1992. Т.28. №5. С.558—-559.

15. Kshevetskii S.P., Mazovetsky Е., Shpilevoy A.Ya. Testing of soliton models of internal gravity waves by numerical experiments // 1993 International Symposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'93). Hawaii, 1993. P.709-712.

16. Kshevetskii S.P. On the spectrum of atmospheric large-scale internal gravity waves / / COSPAR colloquium on low-latitude ionospheric physics. Taipei, 1993. P.214-216.

17. Брежнев Ю.В., Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Линейная инициализация гидродинамических полей // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т.ЗО. №1. С.86-90.

18. Кшеведкий С.П., Лебле С.Б. Математические методы теоретической физики // Калинингр. г. ун—т. Калининград. 1995. 111 с.

19. Kshevetskiy S. The numerical method of solving of Euler equations for heavy liquid. The soliton simulation // International Simpozium on Nonlinear Theory and Its Application. (NOLTA'95). Las-Vegas, USA. 1995. P.126-130.

20. Кшевецкий С.П. Сравнение аналитической модели нелинейных внутренних волн с результатами численных экспериментов // Известия РАН. Физ. атмосферы и океана. 1998. Т.34 №3. С. 317-326.

21. Shagimuratov I.I., Karpov I.V., Ksheveckyi S.P., Ruzhin Yu.Ya. The investigation of the TID's from the topografical experiments // News Letter European Geophysical Society. №74. Nice. 2000. P.231.

22. Halim A.A., Kshevetskiy S.P., Leble S.B. On numerical and analytical integration of coupled Korteweg-de Vries System // Progress in Nonlinear Science. Proceedings of the International Conference dedicated to the 100th Anniversary of A.A.Andropov. V.2. Frontiers of nonlinear physics. Nizniy Novgorod. 2001. P.224-229.

23. Halim A. A., Kshevetskiy S.P., Leble S.B. A model of internal waves mixing via numerical solution of Korteweg-de Vries system // Publication Series of the John von Neumann Institute for Computing. V.8 2001. P.B91.

24. Gavrilov N.M., Kshevetskii S.P. Study of vertical propagation and breaking down of nonlinear internal gravity waves in the atmosphere. Progress in Nonlinear Science. Proceedings of the International Conference dedicated to the 100th Anniversary of A.A.Andropov. V.2 / Frontiers of nonlinear physics. Nizniy Novgorod. 2001. P.234-239.

25. Шагимуратов И.И., Карпов И.В., Кшевецкий С.П., Ружин Ю.Я. Исследование структуры перемещающихся ионосферных возмущений на основе томографических экспериментов // Геомагнетизм и аэрономия. 2001. Т.41. т. С.394-399.

26. Kshevetskii S.P. Analytical and numerical investigation of nonlinear internal gravity waves // Nonlinear Processes in Geophysics. 2001. №8. P.37-53.

27. Кшевецкий С.П. Моделирование распространения внутренних гравитационных волн в газе // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. 2001. Т.41. №2. С.295-310.

28. Кшевецкий С.П. Численное моделирование нелинейных внутренних гравитационных волн // Журн. вычислит, мат. и матем. физ. 2001. Т.41. № 12. С.1844-1859.

29. Kshevetskii S.P., Gavrilov N.M. Investigation of vertical propagation of nonlinear waves in the atmosphere // Eight international symposium on atmospheric and ocean optics: atmospheric physics. Proceedings of SPIE. 2001. V.4678. P.680-684.

30. Кшевецкий С.П. Внутренние гравитационные волны в среде с неэкспоненциальной стратификацией плотности // Журн. вычислит, мат. и матем. физ. 2002. Т.42. №10. С.1571-1583.

31. Kshevetskii S.P, Perelomova А.А. On the theory and numerical simulation of acoustic and heat modes interaction in a liquid with bubles: acoustic quasi- solitons // Applied Mathematical Modelling. 2002. V.26. P.41-52.

32. Кшевецкий С.П., Гаврилов Н.М. Вертикальное распространение нелинейных гравитационных волн и их разрушение в атмосфере // Геомагнетизм и аэрономия. 2003. Т.43. №1. С.74-82.

33. Kshevetskii S.P. Quasy-waveguide modes of internal gravity waves in the atmosphere // Izvestiya, Atmospheric and oceanic physics. 2003. V.39. P.217-227.

34. Halim A.A, Kshevetskii S.P, Leble S.B. Numerical integration of a coupled Korteweg-de Vries system. // Comupters and mathematics with applications. 2003. V.45. P.581-591.

35. Gavrilov N.M., Maiison A.H., Meek C.E. Climatalogical monthly characteristics of middle atmosphere gravity waves (10 min-lOh) during 1979-1993 at Saskatoon // Ann. Geophysicae. 1995. №13. P.285-295.

36. Gavrilov N.M., Fukao S., Nakamura Т., Tsuda T. Statistical analysis of gravity waves observed with the middle and upper atmosphere radar in the middle atmosphere. 1. Method and general characteristics // Journ. Geoph. Res. 1996. V.101. №D23. P.29,511-29,521.

37. Gavrilov N.M., Fukao S., Nakamura Т., Tsuda T. Statistical analysis of gravity waves observed with the middle and upper atmosphere radar in the middle atmosphere. 2. Waves propagated in different directions // Journ. Geoph. Res. 1997. V.102. №D12. P.13,433-13,440.

38. Yamamoto M., Tsuda Т., Kato S., Sato Т., Fukao S. A satured inertia gravity wave in the mesosphere observed by the middle and upper atmospheric radar // Journ. Geoph. Res. V.92. MHO. P.ll,993-11,999.

39. Gavrilov N.M., Fukao S.A. A comparison of seasonal variations of gravity wave intensity observed by the MU radar with a theoretical model // Journ. Atmosph. Sciences. 1999. V.56. P.3485-3494.

40. Гаврилов H.M. Внутренние гравитационные волны и их воздействие на среднюю атмосферу и ионосферу. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. JL: Изд. ЛГУ, 1988. 33с.

41. Gargett А.Е., Holloway G. Dissipation and diffusion by internal wave breaking // Jour, of Marine Research. 1984. V.42. P.15-27.

42. Garrett C.J., Munk W. Oceanic mixing by breaking internal waves // Deep Sea Res. 1972. V.19. P.823-932.

43. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.:Гидрометеоиздат, 1981. 302с.

44. Pfister L., Starr W., Craig R., Lewenstein M., Legg M. Small-scale motions observed by aircraft in the tropical lower stratosphere: evidence for mixing and its relationship to large-scale flows // J. Atmos. Sci. 1986. V.43. №24. P.3210-3225.

45. McEwan A.D. The kinematics of stratified mixing through internal wavebreaking // J.Fluid Mech. 1983. V.128. P.47-57.

46. McEwan A.D. Internal mixing in stratified fluids //J. Fluid Mech. 1983. V.128. P.59-80.

47. McEwan A.D. Degeneration of resonantly-excited standing internal gravity waves // J. Fluid Mech. 1971. V.50. P.431-448.

Сергей Петрович Кшевецкий

ТЕОРИЯ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 14.07.2003 г. Формат 60x90 Vi6. Бумага для множительных аппаратов. Ризограф. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 120 экз. Заказ 155 .

Издательство Калининградского государственного университета 236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

f i 1

Р14 34 1

( 1

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Кшевецкий, Сергей Петрович

Введение 1 Предмет исследования. Основная система уравнений. Граничные и начальные условия

Диссипативная задача

Недиссипативная задача 5 Анализ недиссипативной задачи в приближении волн малой амплитуды, случай изотермической атмосферы

Квазигидростатическое приближение

Анализ нелинейных уравнений аналитическими методами 10 Система уравнений Кортевега-де Вриза как модель нелинейных внутренних волн 10 Качественный анализ влияния нелинейности уравнений на свойства внутренних волн 11 Квазигидростатическое приближение. Дисперсионный член как регуляризатор в нелинейной модели

Основные направления, цели исследований

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Теория и численное моделирование распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере"

Научная новизна результатов работы 21

Научная и практическая ценность 22

Расположение материала по главам 23

Введение 23

Волны малой амплитуды в безграничной изотермической атмосфере 24

Волны малой амплитуды в неизотермической атмосфере 24

Дифференциальные свойства полей волн различных типов 25

Длинные внутренние гравитационные волны малой амплитуды 26 Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн малой амплитуды 27 Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн малой, но конечной амплитуды 27 Методы числеииого моделирования распространения волновых возмущений малой амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе 28 Численное моделирование процесса распространения внутренних гравитационных вон конечной амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе. Солитонные эффекты при распространении внутренних волн 29 Вертикальное распространение нелинейных внутренних гравитационных волн и их разрушение 30

Эффект перемешивания как солитонный распад внутренних волн 33

Приложение 0.1. Геофизические динамические модели атмосферных процессов 33

Динамические модели атмосферы 33

Уравнения геофизической гидродинамики как уравнения с малым параметром при старшей производной по времени 37 Проблема численного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений 39

Приложение 0.2. КдВ модель нелинейных внутренних волн и ее развитие 42

Приложение 0.3. Вывод системы уравнений КдВ (0.43) для волновых мод 45 Приложение 0.4. Регуляризация нелинейного гиперболического уравнения, бездисперсионный предел в уравнении Кортевега-де Вриза 51

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Кшевецкий, Сергей Петрович

Основные результаты работы представлены в 34 публикациях, 13 работ написаны лично автором. Работы [200], [234], [246] выполнены в соавторстве с Н.М. Гавриловым. Идея работы, постановка задачи, используемые численные методы и программы, все расчеты принадлежат диссертанту. Соавторы работ [255], [256] - преимущественно экспериментаторы. Описанный в работе эффект был предсказан диссертантом. Соавторы получили экспериментальные данные, подтверждавшие существование эффекта. Вклад диссертанта состоял, таким образом, в интерпретации результатов экспериментов. В [296], [297], [?] диссертанту принадлежит постановка задачи, научная программа исследований и некоторые математические результаты (численный метод, исследование алгоритмов), но большинство вычислений выполнено А. Халимом, научным руководителем которого является С.Б. Лсбле. В [298] диссертанту принадлежит метод решения уравнений, исследование алгоритма. Работа [4] выполнена вместе с С.Б. Лебле. В учебном пособии [70], содержащем оригинальные результаты, диссертантом самостоятельно написаны стр. 56-109. Работа [227] содержит обобщение результатов диссертанта [143], [172] на трехмерный случай; диссертанту в [227] принадлежит постановка задачи и руководство исследованиями. В работах [88], [90] диссертанту принадлежит аналитическая модель распространения ВГВ в атмосфере и некоторые аналитические вычисления. В работах [106], [264] диссертанту принадлежит идея равномерно- сходящихся по параметру ß методов, доказательства всех теорем; Л.П. Захаров и A.B. Сергеев помогли выполнить тестовые расчеты.

В заключение автор считает приятным долгом поблагодарить Н.М. Гаврилова, поддержавшего исследования автора, принимавшего активное участие в обсуждении исследований, постоянного снабжавшего диссертанта иностранной литературой. Автор также благодарен С.Б. Лебле, который постоянно помогал диссертанту необходимой иностранной литературой. Автор искренне благодарен A.A. Переломовой, неоднократно помогавшей найти нужную иностранную литературу. Автор благодарен E.H. Пслиновскому, поддержавшему исследования диссертанта и помогавшему советами. Обсуждения гамильтонов-ского формализма с H.H. Романовой были весьма полезными. Многие советы Г.М. Шведа позволили существенно улучшить текст диссертации. Автор очень признателен и благодарен С.Ю. Доброхотову, практические и теоретические советы которого были очень полезны. Дискуссии с В.А. Гординым несомненно повлияли на направление исследований диссертанта; автор также признателен В.А. Гордину за помощь научной литературой. Диссертант благодарен Эдуарду Невену (Нидерланды) и Арне Рихтеру (Германия), которые постоянно держали автора в курсе работы семинаров EGS, а также Хенку Дичкстре (Нидерланды), с которым обсуждал некоторые работы, и который представил диссертанту результаты своих исследований прежде, чем они были опубликованы в широкой печати. Йене Борксн (Германия) неоднократно снабжал диссертанта запрашиваемой иностранной научной литературой. Диссертант благодарен Р. Мануйловой за помощь технического характера и поддержку. Работа вряд ли могла быть выполнена без активной поддержки И.В. Немчинова и В.В. Шувалова. Диссертант благодарен B.C. Булдыреву и В.М. Бабичу за внимание и поддержку. Автор признателен многим другим, не упомянутым здесь исследователям, в России и за рубежом, неоднократно оказывавшим практическую помощь, снабжавших диссертанта необходимой научной литературой.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Кшевецкий, Сергей Петрович, Санкт-Петербург

1. Валлалдср С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.:Издатсльство ЛГУ. 1978. 295с.

2. Richardson L.F. Weather prediction by numerical Process. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1922.152p.

3. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Нелинейная дисперсия крупномасштабных внутрешшх волн // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1985. Т. 21. .V» 5. С.1169-1174.

4. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Нелинейная дисперсия длинных внутренних волн // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988. Т.23. С.151-157.

5. Kshevetskii S.P. Analytical and numerical investigation of nonlinear internal gravity waves // Nonlinear Processes in Geophysics. 2001. №8. P.37-53.

6. Тср-Крикоров A.M. К теории волн установившегося вида в неоднородной жидкости // Приклада, мат. и мех. 1965. Т. 29. .V» 3. С.440-452.

7. Giirscs М., Karasu A. Degenerate Svinolupov KdV system // Physics Letters A. 1990. V.214. P.21-2G.

8. GOrscs M., Karasu A. Intcgrable coupled KdV systems // J. Math. Phys. 1998. V.39. >1. P.2103-2111.

9. Karasu A. Painleve classification of coupled Kortcweg-de Vrics systems // J. Math. Phys. 1997. V.38. N7. P.3616-3622.

10. Svinolupov S.I. Jordan algebras and intcgrable systems // Fund. Anal. Appl. 1994. V.27. P.257-265.

11. Dodd R., Fordy Л. On the intcgrability of the system of KdV equations // Phys. Lett. 1982. V.89A. P.168-171.

12. Kupershmidt В.Л. A coupled Kortcweg-de Vrics equation with dispersion // J. Phys. Л: Math. Gen. 1985. V.18. P.1571-1573.

13. R.K.Bullough P.L.Caudrcy Soliton and the Kortcwcg-dc Vrics equation: intcgrable systems in 18341995 // Acta Applicandac Mathematicae. 1985. Л'»39. P.193-228.

14. Hirota R., Satsuma J. Soliton solution of the coupled KdV system // Phys. Lett. 1981. N85A. P.407-409.

15. Lcblc S.B., Ustinov N.V. Darboux transforms, deep reductions and solitons // J. Phys. ArMath. Gen. 1993. N2. p.0007-5016.

16. Lan H., Wang K. Exact solutions for some coupled nonlinear equations. П. // J. Phys. A. 1990. V.23. N18. P.4097-4105.

17. Лэм ДжЛ. Введение в теорию салотопов. М.:Мир, 1983. 294с.

18. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. М.: Мир. 1987. 480с.

19. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббои Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: "МИР", 1988. 694с.

20. Новиков С.П., Малахов С.В. Солитоны. М.: МИР. 1983. 408с.

21. Ныоэлл A. Солитотл в математике и физике. М.: МИР. 1989. 324с.

22. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Манаков В.Е., Новиков С.П. и др. М.: Наука. 1980. 401с.

23. Gavrilov N.M., Manson А.Н., Meek С.Е. Climatalogical monthly characteristics of middle atmosphere gravity waves (10 min-lOh) during 1979-1993 at Saskatoon // Ann. Geophysicae. 1995. N13. P.285-295.

24. Yamamoto M., Tsuda Т., Kato S., Sato Т., Fukao S. A satured inertia gravity wave in the mesosphere observed by the middle and upper atmospheric radar // Journ. Gcoph. Res. V.92. ND10. P.11,993-11,999.

25. Бюллетень результатов зондирования в атмосфере с помощью ракет MR-12, п. Волг., о. Хсйса, 19801982. M.: Гидрометеоиздат. 1983. 28с.

26. Брюнелли Б.Е., Намгаладзс А.А. Физика ионосферы. М.:Наука, 1998. 528с.

27. Белов П.Н. Числеш1ые методы прогноза погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 392с.

28. Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Аналитические аспекты. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 256с.

29. Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Вычислительные аспекты. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 264с.

30. Пришиты построения динамических моделей верхней атмосферы. Под ред. Э.И. Гинзбурга М.:Гидрометеоиздат. 1989. 181 с.

31. Псисико В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Н.:Наука, 1985. 302с.

32. Алоян А.Е. Негидростатические числешпле модели локальных атмосферных процессов. Препринт №479 Вычислительного центра СО АН СССР. Новосибирск, 1984. 47с.

33. Мальбахов В.М. Гидродинамическое моделирование эволюции атмосферных конвективных ансамблей. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1997. 186с.

34. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.:Гидрометеоиздат, 1974. 398с.

35. Кшевецкий С.П. Сравнение аналитической модели нелинейных внутренних волн с результатами численных экспериментов // Известия РАН. Физ. атмосферы и океана. 1998. Т.34 №3. С. 317-326.

36. Neumann J., Richtmyer R.D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // J. Appl. Physics. 1950. V.21. P.232-237.

37. Осколков А.П. Об асимптотическом поведении решений некоторых систем с малым параметром, аппроксимирующих систему уравнений Навье-Стокса // Краевые задачи математической физики. Л.: Наука. 1973. Т.8. С.147-163.

38. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288с.

39. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 556с.

40. Long И.И. On the Boussinesque approximation and its role in the theory of internal waves // Tellus. 1965. V.17. P.5-11.

41. Benjamin T. Internal wave of finite amplitude and permanent form // J.Fluid.Mcch. 1966. V.25. 241-270.

42. Леонов А.И., Миропольский Ю.З. К теории нелинейных внутренних гравитационных вата установившегося вида // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1975. Т.11 №5 С.491-502.

43. Леонов А.И. О двумерном уравнении Кортевсга-де Вриза в теории нелинейных поверхностных и внутренних волн // Докл. АН СССР. 1976. Т.229. №4. С.820-824.

44. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. 1981. Л.:Гидрометеоиздат,1981. 302 с.

45. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны в океане // Нелинейные волны. М.:Наука, 1979. С. 292-323.

46. Пелиновский Е.Н., Романова Н.Н. Нелинейные стационарные волны в атмосфере // Известия АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1975. Т.13. Ml. С.1169-1174.

47. Panchev S, Evtimov St. On stationary nonlinear waves in the equatorial atmosphere // Bulgar. Academy of Sciences. Bulg. Geophysical Journal. 1978. .V>4, P.2-9.

48. Mirie Rida M., Su C.H. Internal solitary waves and their head-on collision. Part 1 // J. Fluid Mech. 1984. V.147. P.213-231.

49. Meisen R.H., Kamp L.P.J., Sluijter F.W. Solitary waves in compressible deep fluids // Phys. Fluids. A2. 1990. m, P.1411-14134.

50. Ostrovskiy L.A., Stepanyants Yu.A. Do internal solitons exist in the ocean? // Reviews Geophys. 1989. V.27. P .293-310.

51. Островский Л.А. Внутренние волны в океане: теория и наблюдение // Матер. Всес. Конференции, Солнечногорск, март 1986. С.46-57.

52. Gear J.A., Grimshaw R., A second order theory for solitary waves in shallow fluids // Phys. Fluids. 1983. V.26. №1. P.14-29.

53. Hurthnance J.M., Internal tides and waves near the continental shelf edge // Geophys. Fluid Dyn. 1989, V.48, P.81-106.

54. Lamb K.G. Finite amplitude bank edge // J. Geophys. Res. 1994. V.99. P.843-864.

55. Mirie R.M., Pennell S.A. Internal solitary waves in a two-fluid system // Phys. Fluids, A. 1989. V.l, №6, P.986-991

56. Segur H., Hammack J. Soliton models of long internal waves // J. Fluid Mech. 1982. V.118. P.285-297.

57. Koop C.G., Butler G. An investigation of internal solitary waves in a two-fluid system // J.Fluid Mech.1982. V.112. P.225-231.

58. Wcicrstrass К. Ubcr continuirliche fuctionen cincs recllen arguments, die fur kemen wcrth letzteren cinen bestimmten differentialquoticntcn bcitzen // Mathemtische werke. Bcrilin, 1894. (reprint 19G7) V.l-7. P.71-74.

59. Найфэ AX Методы возмущений. M.: Мир, 1976. 321с.

60. G4. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. M.: Мир, 1984. 402с.

61. Со. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 208с.

62. CG. Совремсшпле численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. / Под ред. Дж. Хилл, Дж. Уатт. М.:Мир, 1979. 204с.

63. Дехкер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутга для жестких нелинейных уравнений. М.:Мир, 1988. 384с.

64. Ashour S.S., Hanna О.Т. A new very simple explicit method for the integration of mildly stiff ordinary differential equations // Comput. and Chem. Eng. 1990. V.14. №3. P.267-272.

65. Федореико Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд. МФТИ, 1994. 526 с.

66. Кшевецкий С.П., Лсбле С.Б. Математические методы теоретической физики. Калининград: Изд. Калинингр. гос. ун-та, 1995. 111с.

67. Кшевецкий С.П. Внутренние гравитационные волны в среде с нсэкспонепциалыюй стратификацией плотности // Жури, вычислит, мат. и матсм. фго. 2002. т. 42. № 10. С.1571-1583.

68. Кшевецкий С.П. Инварианты акустических и внутренних гравитационных волн. Дсп. в ВИНИТИ. №2749-В89. 1989. 18с.

69. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.:Гидромстеогодат, 1907. 35Сс.

70. Прсссмал Д.Я. Постановка и алгоритм числешюго решения зздачилокалыюго прогноза // Вопросы гидрометеорологического краткосрочного прогноза погоды и мезометеорологии. Лаборатория Гидрометцентра СССР. Л.: Гидромстеоиздат, 1988. №298. С.11-22.

71. Тарр М.С., White R.W. A nonhydrostatic mcsoscale model // Quart. J. Roy. Met. Soc. 197C. V.102. №432. P.277-296.

72. Cotton W.R., Tripoli G.I. Cumulas convection in shear flow three-dimensional numerical experiments // J. Atmos. Science. 1978. V.35. №8. P.1503-1521.

73. Мальбахов В.М. Исследование структыры торнадо // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и осана. 1972. Т.8. № 1. С. 17-28.

74. Мальбахов В.М. К теории термиков в неподвижной атмосфере // Изв. АН СССР. Фгомка атмосферы и океана. 1972. Т.8. №7. С.683-694.

75. Мальбахов В.М. Упрощенная модель квазиупорядоченных ансамблей конвективных ячеек // Метеорология и гидрология. 1997. №11. С.30-38.

76. Мальбахов В.М. Упрощенная модель ансамбля конвективных ячеек и построение процедур построения параметризации влажной конвекции // Известия АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1992. Т. 28. №6. С.631-<>40.

77. Global model of the thermosphcrc-ionosphere-protonospherc system / Namgaladze A.A., Korenkov Yu.N., Klimenko V.V. and others. // Pure ana Applied Geophysics. 1988. V.127. P.219-254.

78. Глобальная численная модель термосферы, ионосферы и протоносферы Земли / Намгаладзе А.А., Кореньков Ю.Н., Клименко В.В. и др. // Геомагнетизм и аэрономия. 1990. Т.ЗО. С.612-Ч519.

79. Numerical modelling of the thermosphere-ionosphere-protonosphere system / Namgaladze A.A., Korenkov Yu.N., Klimenko V.V. and others. // J. Atmos. Terr. Phys. 1991. V.53. P.1113-1124.

80. Гиюбург В.Л., Рухадзе A.A. Волны в мапштоактивиой плазме. М:Наука, 1970.

81. Bataille J., Kestin J. Thermodynamics of mixtures // J. Non-Equilib. Thcrmodyn. 1977. V.2. P.49-65.

82. Brce J. Non-Equilibrium thermodynamics of simple mixtures // J. Non-Equilib. Thcrmodyn. 1980. V.5. P.73-90.

83. Ерохин H.C., Кащсико H.M., Кшевецкий С.П., Мацисвский C.B., Никитин М.А. Резонансное возбуждение внутренними гравитациошшми волнами рэлсй-тсйлоровских ионосферных пузырей в ночной экваториальной F-обпасти / Препринт ИКИ № Пр-1584, 1989. 20 с.

84. Алешков Ю.З. Математическое моделирошише физических процессов. Санкт-Петербург: Изд. Санкт-Петербургского университета. 2001. 264с.

85. Кащенко Н.М., Кшсвецкий С.П., Мациевский С.В., Никитин М.А. Резонансная генерация ионосферных пузырей внутренними гравитационными волнами // Геомагнетизм и аэрономия. 1900. Т.ЗО. ДОЗ. С.446-451.

86. Lions J.L., Temam R., Wang S. New formulations of the primitive equations ofatmosphere and applications // Nonlincarity. 1992. ДО5. P.237-288.

87. Solonnikov V.A. Existence theorems for the equations of motion of a compressible viscous fluid // Annual Eev. Fluid Mech. 1981. V.13. P.79-95.

88. Valli A. An existence theorem for compressible viscous fluids // Ann. Math. Puré and Appl. 1982. V.130. P.197-213.

89. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере. М.:Мир, 1978. 531с.

90. Klemp J.B., Wilhelmson R.B. Simulation of thrce-dimensional convectivo storm dynamics // J.Atmos.Sci. 1978. V.135. ДО6. P.1079-109C.

91. Rlchmond A.D, Matsusliita S. Thermospheric response to a magnetic substorm // J. Geoph. Res. 1975. V.80. P.2830-2850.

92. Moimii A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.:Гидрометсоиздат, 1985. 418 с.

93. Обухов А.М. К вопросу о гсострофическом ветре // Изв. АН СССР. География и геофизика. 1949. Т.13. С.281-306.

94. Монин А.С., Обухов А.М. Малые колебания атмосферы и адаптация метеорологических полей // Изв. АН СССР. Геофизика. 1958. ДО 11. С. 1360-1373.

95. Боровиков В.А., Кельбсрт М.Я. Адаптация начальных условий для внутрешшх волн в слабо сжимаемой жидкости // Волны и дифрак1щя. Т. 1. Тбилиси, 1975. С.379-382.

96. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.:Наука, 1980. 351с.

97. Юдин В.А., Гаврилов Н.М. Алгоритм расчета распространения гравитацио1шых вали от нестационарных локальных источников в стратифицированной атмосфере. -Дсп. в ВИНИТИ, 1985. ДО 2860-85. 41с.

98. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.:Наука, 1988. 736с.

99. Излучение акустико-гравитационных волн при движении метеоров в атмосфере. Голицип Г.С. и др. // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы, и океана. 1977. V.13. ДО9. C.92G-935.

100. Ладыженская О.А. О разрешимости нестационарных операторных уравнений // Матем. сб. 1956. Т.39(81). ДО4. С.491-524.

101. Захаров Л.П., Кшсвецкий С.П. Лилейные пегидростатическис числешпле модели распространения длшшых внутрешшх гравитационных волн в атмосфере / Дсп. в ВИНИТИ, ДО3834-В90, 1990. 61с.

102. Кшсвецкий С.П. Моделирование распространения внутренних гравитационных волн в газе // Жури, вычисл. матем. и мат. физики. 2001. Т.41. ДО2. С.295-310.

103. Дикий Л.Н. Теория колебаний земной атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1961. 196с.

104. Тихонов А.М., Самарский А.А. Уравнения математ. физики. М.:Наука, 1977. 735с.

105. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва в газах. Труды ордена Ленина Математического института им. В.А.Стеклова. Т.119. М.:Наука, 1973. 277с.

106. Теория распространения взрывных волн. Седов Л.И. и др. // Теорет. и математическая физика. Сборник обзорных статей. К 50-летию института. Тр. МИАН СССР, Т.175. М.:Наука, 1986. С. 178216.

107. Бабич В.М. Математическая теория дифракции // Теоретическая и математическая физика. Сборник обзорных статей. К 50-летию института. Труды МИАН СССР. Т.175. М.: Наука. 1986. С. 47-63.

108. Бабич В.М. Булдырсв В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. 1972. 453с.

109. Григорьева Н.С. Асимптотические метода в задачах о распространении звука в неоднородной движущейся среде. Л.: Издательство ЛГУ, 1991. 240с.

110. Черноусенко В.М., Черненко И.В. Нелинейные волны и вихревые структуры в жидкости // Взаимодействие и самовоодействис воли в нелинейных средах. Душанбе, 1988. С. 197-213.

111. Левич В.Г. и др. Курс теоретической физики. Том 2. Квантовая механика. Квантовая статитика и физическая кинетика. М.: Наука, 1961. 936с.

112. Бессараб Ф.С, Кшсвецкий С.П., Лебле С.Б. О взаимодействии акустических и внутрешшх воли // Исследование современных физических методов в иеразрушающем контроле. Хабаровск. 1984. С. 51-54.

113. Bessarab F.S., Kshcvctskiy S.P., Lcblc S.B. On the acoustic-gravity waves interaction in the atmosphere // Problems of nonlinear acousticsio P.l. Novosibirsk, 1987. P.144-149.

114. Захаров B.E. Устойчивость периодических воли конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1968. .N"»2. С.190-194.

115. Захаров В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейной диспергирующей среде // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1974. Т.17. С.431-453.

116. Van Saarlos W. A canonical transformation relating the Langrangian and Eulerian description of ideal hydrodynamics // Physica A. 1981. V.108. P.557-566.

117. Кузнецов E.A., Захаров B.E. Гамильтоновский формализм для нелинейных воли // Успехи физических паук. 1997. Т.167. >11. С.1137-1167.

118. Гончаров В.П., Красильников B.A., Павлов В.П. К теории волновых взаимодействий в стратифипировал шых средах // Известия АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 197G. Т. 12. Л* 11. С.1143-1151.

119. Гончаров В.П., Павлов В.П. Проблемы гидродинамики в гамильтоновом описании. М.:Изд. МГУ, 1993.

120. Воронович А.Г. Гамильтонов формализм для внутрешгих волн // Известия АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1979. Т. 15. № 1. С.52-64.

121. Романова Н.Н. Конструирование нормальных переменных для волн в двухслойной среде с линейным профилем скорости // Известия АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1989. Т.20. JVH2. С.946-951.

122. Романова Н.Н. Нелинейный механизм генерации внутренних воли в атмосфере сдвиговым течением // Известия АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 199G. Т.32. .Y'G. С.755-761.

123. Sever М. Uniqueness failure for entropy solutions of hyperbolic systems of conscvations laws // Comm. of Pure and Alppl. Math. 1989. V.42 P.173-183.

124. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой механики. М.:Наука, 1986.239с.

125. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 198G. 288с.

126. Габов С.А., Свешников А.Г. Лилейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 344с.

127. Taniuti Т. Part 1. General theory. Reductive perturbation method and far field of wave equations // Suppl. of the Progr. of Thcoret. Physics. 1974. V.55. P.l-35.

128. Taniuti T. Watanabe K. Reductive perturbation method for wave modulation in multi-dimensional space // Journal of the Physical Society of Japan. 1977. V.42. ЛЧ. P.1397-1403.

129. Kawahara T. The derivative-expansion method and nonlinear dispersive waves // Journal of the Physical Society of Japan. 1973. V.35. >5. P.1537-1544.

130. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336с.

131. Треноги» В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993. 440с.

132. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и числс1шый анализ. М.: Мир, 1981. 408с.

133. Кочии Н.Е. и др. Теоретическая гидромеханика. М.:Гос. изд-во технико-теоретической литературы. Т.1,2.1955. 910с.

134. Ламб Г. Гидродинамика. М.:Огго-Гостехгодат, 1947. 929с.

135. Morawetz C.S. Lectures on nonlinear waves and shocks. :Springcr-Vcrlag. 1981. 137p.

136. Гандип Л.С. и др. Основы динамической метеорологии. Л.: Гидрометеорологическое издательство. 1955. 647с.

137. Molcmaker М., Dijkstra Н. Localization of deep convection in the presence of mcso-scalc eddies: hydrostatic versus non-hydrostatic modeling //J. Phys. Oceanography. 2000. V.30. P.475-494.

138. Кшевецкий С.П. О длинных акустико-гравитационных волнах в атмосфере с произвольной стратификацией по плотности / Деп. в ВИНИТИ, .Y"474G-B91. 61с.

139. Смертин В.М., Намгаладос А.А. Исследование зависимости характеристик внутренних гравитационных волн от параметров источника // Гсомагнстизи и аэрономия. 1981. Т.21. Х'2. С.302-308.

140. Lax P.D. Weak solutions of nonlimcar hyperbolic equations and their numerical computation //Comm. of Pure and Appl. Math. 1954. >7. C.159-193.

141. Thome G. Long-period waves generated in the polar ionosphere during the onset of magnetic storm // J. Gcophys. Res. 1968. V.63. Р.6319Ч5336.

142. Richmond A.D. The nature of gravity wave ducting in the thcrmosphcre // J. Geophys. Res. 1978. V.83. P.1385-1389.

143. Maeda S. Large-scale TID's and upper atmospheric gravity waves // J. Atmos. Terr. Phys. 1982. V.44. P.245-255.

144. Рихтмайер P. Принципы совремешюй математической физики. М.:Мир, 1982. 488с.

145. Кшевсцкий С.П. Числсгаюс моделирование нелинейных внутретших гравитационных ваш // Жури, вычислит, мат. и матсм. физ. 2001. Т.41. № 12. С.1844-1859.

146. Верещагин Д.А., Лсблс С.Б. Свойства внутренних вали в атмосфере, стратифицированной по числу Кпудссна // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1087. Т.23. С.815-820.

147. Yanowich М. Effcct of viscosity on gravity waves and the upper boundary condition // J.FIuid Mcch. 1967. V.29. P.209-231.

148. Frandcs S.H. Acoustic-gravity models and largo-scalc traveling ionosphere disturbances of a realistic, dissipativc atmosphere // J.Gcoph.Res. 1073. V.78. №13. P.2278-2301.

149. Hincs C.O. Discussion of ionization cffects on the propagation of acoustic-gravity waves in the ionosphere / / J. Gcoph. Res. Space Physics. 1070. V.75. №13. C.25G3-25G8.

150. Hickcy M.P., Cole K.D. A quartic dispersion equation for internal gravity waves in the thermospherc // J. Atmosph. Terrestr. Physics. 1987. V.49. №9. P.889-800.- 15G. Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.:Мир, 1966. 274с.

151. Schwinger J. Field theory of unstable particles // Annals of Physics. I960. №9. P.169-193.

152. Nusscnzveig H.M. Causality and dispersion relations. New York and London:Acadcmic Press, 1972.456p.

153. Taylor J.R. Scattering theory. The quantum theory of nonrealativistic collisions. John Wiley & Sons, Inc., 1972. 65Gp.1G0. Бязь А.И. и др. Рассеяние, реакции и распады в перелятивистской квантовой механике. М: Наука, 1971. 544с.

154. Resonances: the unifying route towards the formulation of dynamical processes. Foundation and applications in nuclear, atomic and molecular physics: Proc. Symp., Varmland, Aug. 19-26,1987. :Springcr, 1089. 564p.

155. Фок B.A. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М. :Советское Радио. 1070.152с.

156. Friedman J.P. Propagation of internal gravity waves in a thermally stratified atmosphere // Journal of Geophysical Reccarch. 1966. V.71. №4. P.1033-1054.

157. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 735с.

158. Зельдович Я.Б. К теории нестабильных состояний // Жури, эксперимент, и теорст. физики. 1960. Т. 39. №3(9). C.77G-780.

159. Кшевсцкий С.П. Квазиволноводные моды внутренних гравитационных волн в атмосфере // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2003. №2. С.1-10.

160. McEwan A.D. The kinematics of stratified mixing through internal wavebreaking // J. Fluid Mcch. 1083. * V.128. P.47-57.

161. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws. П. // Comm. Pure Appl. Math. 1957. V.10. P.537-566.

162. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир, 1965. 624с.

163. Садовничий В.А. Теория операторов. М.:Изд-во МГУ, 1086. 368с.

164. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.:Физматлит, 2000. 186с.

165. Кшевсцкий С.П. О длинных акустико-гравитационных волнах в атмосфере с произвольной стратификацией по плотности // Известия РАН. Физ. атмосферы и океана. 1992. Т.28. №5. С.55&-559.

166. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические сататонообразные решения уравнений с малой дисперсией // Успехи матсм. паук. 1981. Т.З. С.63-126.

167. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.:Наука, 1989. 352с.

168. Ковсия В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Н.:Наука, 1981. 456с.

169. Hartcn A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J.Comput. Phys. 1983. V.49. №3. P.357-303.

170. Иванов М.Я., Нигматулил Р.З. Неявные схемы ГЬдунова повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера // Журнал вьгшел. матсм. и матем. физики. 1087. V.27. №11. С.1725-1735.

171. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., и т.д. Численное моделирование многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976. 432с.

172. Chakravanthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws. AIAA Paper, 1985. №363. lip.

173. Casicr F. Dcconick H., ffirsch Ch. A class of bidiogonal schemes for solving the Eulcr equation // AIAA Journal. 1985. V.22. №11. P.155G-1563.

174. Baker A.J., Soliman M.O. An accurate and efficient finite element Euler equation algorithm // Lcct. Notes. Phys, 1082. №170. P.l 15-123.

175. Рихтмайср P., Мортои К. Разностные методы решения краевых задач. М: Мир, 1967. 418с.

176. Ладыженская О.А. Кравевые задачи математической физики. М.:Наука, 1973. 408с.

177. О некоторых уравнениях, возникающих d динамике вращающейся стратифицированной жидкости. Габов С.Л. и др. // Жури, вычислит, матем. и матем. физики. 1984. Т. 24. .4*12. С. 1850-1803.

178. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638с.

179. Рихтмайер Р. Принципы совремешюй математической физики. Т.2. М.:Мир, 1984. 341с.

180. Бсржс П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. 366с.

181. Щепкин Л.Л., Климов Н.Н. Термосфера Земли. Экспериментальные сведения. М.: Наука, 1980.220с.

182. COSPAR International Reference Atmosphere: 1986. Parti 1. Thcrmosphere Models // Adv. Spacc. Res. 1986.'V.8. P.l-470.

183. Lax P.D., Lcvermore C.D. The small dispersion limit for the KdV equation. I. // Comm. Pure and Appl. Math. 1983. V.36. P.253-290.

184. Lax P.D., Levermore C.D. The small dispersion limit for the KdV equation. П. // Comm. Pure Appl. Math. 1983. V.36. P.571-594.

185. Lax P.D., Levermore C.D. The small dispersion limit for the KdV equation. Ш. // Comm. Pure Appl. Math. 1983. V.36. P.809-829.

186. Calkin V.A., Russkih V.V. On the background of limit pass for Kortcwcg-dc Vrics equation as the dispersion vanishes // Acta Appl. Math. 1985. V.39. P.307-314.

187. Di Perna R.,J. Mesurc-value solution of conservation laws // Arch. Ration. Mcch. and Analys. 1985. V.88. P.223-270.

188. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галсркина. М.:Мир, 1988. 352с.

189. Molemakcr М., Dijkstra Н. Localization of deep convection in the presence of meso-scale eddies: hydrostatic versus non-hydrostatic modeling // J. Phys. Oceanography. 2000. V.30. P.475-494.

190. Rahmsstorf S. Multiple convection patterns and thcrmohaline flow in an idealized ocean // J. Clim. 1995. № 8. P.3028-3039.

191. Шокин Ю.И. О методе первого дифференциального приближения в теории разностных схем для гиперболических систем уравнений // Разностные методы решения задач мат. физ. Ч. П. М.:Наука, 1973. С. 66-84.

192. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. Вычислительный эксперимент. Белоцерковский О.М. и др. М.:Янус-К, 2000. 456с.

193. Kshevetskii S.P., Gavrilov N.M. Investigation of vertical propagation of nonlinear waves in the atmosphere // Eight international symposium on atmospheric and ocean optics: atmospheric physics. Proceedings of SPIE. 2001. V.4678. P.680-684.

194. Baker D., Schubert G. Convcctivcly generated internal gravity waves in the lower atmosphere of Venus. Part П: Mean Wind Shear and Wave-Mean Flow Interaction // Journ. of Atmosph. Sciencies. 2000. V.57. P.200-215.

195. Schubert G. General circulation and the dynamical state of the Venus atmosphere // Venus. Hunten D. M. ct al. :Eds. Univercity of Arizona Press. 1983. P.681-765.

196. Kshevetskiy S. The numerical method of solving of Euler equations for heavy liquid. The soliton simulation 11 International Simpozium on Nonlinear Theory and Its Application. (NOLTA'95). Las-Vegas, USA. 1995. P.126-130.

197. Leble S.B. Nonlinear waves in waveguides. Berlin:Springer-Verlag, 1991. 201p.

198. Пиковский A.C., Рабинович М.И. О странных аттракторах в физике // Нелинейные волны. М.:Наука, 1979. С.176-192.

199. McEwan A.D. The kinematics of stratified mixing through internal wavebreaking // J.Fluid Mcch. 1983. V.128. P.47-57.

200. McEwan A.D. Internal mixing in stratified fluids // J. Fluid Mech. 1983. V.128. P.59-80.

201. Lindzen R.S. Gravity waves in the mesospherc // Dynam. Middle Atmos. Tokyo, Derdrecht. 1984. P.3-18.

202. Ley B.E., Peltier W.R. Wave generation and frontal collapsc // J. Atmosph. Sci. 1982. V.35. Ж. P.3-17.

203. Nagpal O.P. The sources of atmospheric gravity waves // Contcmp. Phys. 1979. V.20. >6. Р.593-60Э.

204. Barat J. A case study of wave motion above a jet stream flow system observed by an instrumented balloon // TeUus. 1984. V.A36. .M>5. P.480-489.

205. Townscnd A.A. Internal waves produced by a convective layer // J. Fluid. Mcch. 1966. V.24. Л*2. P.307-319.

206. Grachev A.I., Lobachevski L.A., Matvccv L.K., Mordukovich M.I., Scrgeenko O.S. Thick convective cloudiness as a source of internal waves in the troposphere and ionosphere // Izvcstiya of USSR Acad. Sci. Phys. Atmos. Ocean. 1984. V.20. №. P.173-177.f»

207. Taylor M.J., Hapgood M.A. Identification of thunderstorms as a source of a short period gravity waves in the upper atmosphere at mcsosphcric night glow emissions // Planet. Space Sci. 1988. №10. P.975-985.

208. Kazimirovski E.S. Effects of thunderstorms in ionospheric processes // Investigations in geomagnetizm, acronomy and solar physics. M.:Nauka press, 1983. №бб. P.170-192.

209. Roberts D.H., Klobuchar J.A., Fougère P.F., Hendricson D.H. Large-amplitudetravelling ionospheric disturbances produced by the May 18 1980 explosion of Mount St. Hclene // J. Gcophys. Res. 1982. V.A87. №8. P.G291-6301.

210. Галиции Г.С., Романова H.H., Чунчузов Е.П. О генерации внутренних волн в атмосфере морскими волнениями // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1976. Т.12. №3. С.319-323.

211. Кольцов В.В., Потапова Н.И., Черток Е.И. Короткопериодныс вариадии ионосферных параметров во время удаленного зсмлятресения. Препринт №58(672). М.:ИЗМИРАН, 198G. 15с.

212. Самарджиев Д., Патова С. Wave ionospheric disturbances observed after eatyhquake on 4. Ш. 1977 at Vrancha // Bulgar. Geophys. Dcscript. 1982. V.8. >4. P.44-51.

213. Hunt J.N., Palmer R., Sir William Penney, Treas R.S. Atmospheric waves caused by large explosions //

214. Phil. Trans. Roy. Soc. of London. 1960. V.A252. №1011. C.275-315.

215. Abramov V.A., Afraimovich E.L., Varshavski I.L Observations of ionospheric effects of earth surface industrial explosion by means of radiosoundings // Acronomy and solar physics. M.:Nauka Press. 1984. №67. P.23-30.

216. Harkrider D.H. Theoretical and Observed Acoustic-Gravity Waves from Explosive Sources in the Atmosphere // Journ. of Gcoph. Res. 1964. V.69. №24. P.5295-5321.

217. Townscnd A.A. Excitations of internal waves in a stably-stratified atmosphere with considerable wind-shear // J. Fluid Mcch. 1968. V.32. №1. P.145-171.

218. Hung Y.N., Cheng K., Chen S.W. On the detection of acoustic-gravity waves generated by typhoon by use of real time HF Dopplcr frequency shift sounding system // Radio Science. 1985. V.20. №4. P.897-906.

219. Grigoriev G.I., Savina O.N. Transition emission of acoustic-gravity waves // Izvestiya of VUZ USSR. Radiophysics. 1983. V.26. №2. P.135-141.

220. Генерация внутренних гравитационных волн после падения "Skylab". Куликов В.В. и др. // Геомагнетизм и аэрономия. 1982. N.22. №3. С. 502-505.

221. Брежнев Ю.В., Кшевецкий С.П., Захаров Л.П. Линейная инициализация гидродинамических полей // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т.30. №1. С.86-90.

222. Кшсвсцкий С.П. Инварианты акустических и внутренних гравитационных волн в нсизотермической атмосфере // Гидромеханика (Киев). 1992. №65. С.29-38.

223. Kshcvctskii S.P., Mazovctsky Е., Shpilevoy A.Ya. Testing of soliton models of internal gravity waves by numerical experiments // 1993 International Symposium on Nonlinear Theory and Its Applications (NOLTA'93). Hawaii, 1993. P.709-712.

224. Kshcvctskii S.P. On the spectrum of atmospheric large-scale internal gravity waves // COSPAR colloquium on low-latitude ionospheric physics. Taipei, 1993. P.214-216.

225. Кшсвсцкий С.П., Нацвалян Л.А., Лебле С.Б. Моделирование тсрмосфсрно-ионосферпых возмущений, генерируемых авроральным элсктроджетом // Ионосферные исследования. М.:Радио и связь, 1986. №42. C.3S-46.

226. Kshcvctskii S.P. Numerical simulation of internal gravity wave propagation in a compressible fluid // Geophysical research abstracts. 2000. V.2. NP7. Balance in atmosphere-ocean dynamics. P.387.

227. Kshcvctskii S.P. Numerical simulation of désintégration of atmospheric internal waves into small-scale waves // Geophysical research abstracts. 2000. V.2. NP10. Nonlinear waves, instabilities and wave-flow interactions. P.619.

228. Waldock J.A., Joncs T.B. Source region of medium scale travelling ionosphwric disturbances observed at mid-latitudes // J. Atmos. Terr. Phys. 1987. V.49. №2. P.105-114.

229. Bull G., Neisser J., Wcimann M. On the identification of troposphcric sources of gravity waves observed in the mesosphere // Z. f. Meteorol. 1974. V.24. №9-12. P.299-308.

230. Kerslcy L., Rees P.R. Troposhcric gravity waves and their possible association with medium-scale travelling disturbances // J. Atmos. Terr. Phys. 1982. V.44. №4. P.147-159.

231. Gavrilov N.M., Shvcd G.M. Stydy of internal gravity waves in the lower thermosphère from observations <f of the nocturnal sky Airlow 01. 5577 A" in Ashkhabad // Ann. Geophys. V.38. №6. P.789-S03.

232. Гаврилов Н.М., Медведев А.С. Числсшюс моделирование мстеоролгичсских источников волновых движашй в атмосфере // Исслсд. динам, процессов в верхней атмосф. Тр. 5 Всес. совещ. Обнинск, 19-22 ноября, 1985. С.184-187.

233. Medvedcv A.S., Gavrilov N.M. The nonlinear mechanism of gravity wave generation by meteorological motions in the atmosphere // Journ. of Atmosph. and Teircsstr. Physics. 1995. V.57. №11. P.1221-1231.

234. Gavrilov N.M., Fukao S.A. A comparison of seasonal variations of gravity wave intensity observed by the MU radar with a theoretical model // Journ. Atmosph. Scicnccs. 1999. V.5G. P.3485-3494.

235. Гаврилов H.M. Внутренние гравитационные волны и их воздействие на среднюю атмосферу и иопо-сферу. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Л.: Изд. ЛГУ, 1988. 33с.

236. Чунчузов Е.П. Взаимодействие внутренних волн в верхних слоях атмосферы // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 1971. Т.7. №10. С.1090-1093.

237. Чунчузов Е.П. Об ускорении нижней термосферы гравитационными волнами // Из в АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 197G. Т.12. №7. C.7G2-7G4.

238. Абакян С.В., Дробжев В.И., Краснов В.М., Кудряшев Г.С. и др. Волны и излучение верхней атмосферы. АлмагАта;Наука, 1981. 168с.

239. Davies К., Jones J.E. Three-dimensional observations of travelling ionospheric disturbances // J. Atm. Тегт. Phys. 1971. V.33. .>1. P.39-48.

240. Ogawa Т., Igarashi K., Aikyo К., Macno H. NSNSS satellite observations of medium-scale travelling ionospheric disturbances at southern high-latitudes. // J. Gcomagn. Gcolectr. 1987. V.39. P.709-721.

241. Карпов И.В., Лебле С.Б. Аналитическая теория ионосферного эффекта ВГВ в Р2-области ионосферы // Геомагнетизм и аэроиомия. 1986. Т.26. №2. С.234-240.

242. Huang С.Н., Li J. Weak nonlinear theory of the ionospheric responce to atmospheric gravity waves in the F-rcgion // Journ. of Atmosph. and Terrestr. Physics. 1991. V.53. №10. Р.Э03-908.

243. Nekrasov A.K, Shalimov S.L., Shukla P.K., Stcnflo L. Nonlinear disturbances in the ionosphere due to acoustic gravity waves // Journ. of Atmosph. and TerTcstr. Physics. 1995. V.57. №7. P.737-741.

244. Поляков B.M., Рыбин B.B. Задача динамики ионосферной области F как задача Штурма-Лиувилля.1. // Геомагнетизм и аэрономия. 1975. Т.15. №5. С.806-817.

245. Поляков В.М., Рыбин В.В. Задача динамики ионосферной области F как задача Штурма-Лиувилля.2. // Геомагнетизм и аэроиомия. 1975. Т.15. №G. С.992-1004.

246. Гершман Б.Н. Динамика ионосферной плазмы. М.:Наука, 1974. 256с.

247. Бауэр 3. Физика планетных ионосфер. М.:Мир, 1976. 251с.

248. Rishbeth Н. Supcrrotation of the Upper Atmosphere // Reviews of Geophysics and Space Physics. V.10. №3. P.799-819.

249. Hou A.Y., Farrell B.F. Superrotation induced by critical level absorption of gravity waves on Venus: An assessment // J. Atmosph. Sci. 1987. V.44. P.1049-1061.

250. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова. М.:Фазис, 1998, 343с.

251. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 712с.

252. Лебле С.Б. Волноводнос распространение нелинейных волн в стратифицированных средах. Л:Изд. ЛГУ, 1988. 198с.

253. Захаров Л.П., Кшевецкий С.П., Сергеев А.В. Линейные иегидростатические численные модели распространения длинных внутренних гравитационных волн в атмосфере // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1991. Т.27. №12. С.1381-1382.

254. Kshevetskii S.P. Study of ruptures of nondifferentiable solutions for vortices and waves of different types // Geophysical research abstracts. 2001. V.2. NP14. Advanced mathematical methods in gcphysical fluid dynamics. P.383.

255. Kshcvctskii S.P. Uniformly converging numerical methods of integration of equations for a gas stratified by the gravity // Geophysical research abstracts. 2001. V.2. NP12. Balance in atmosphere-ocean dynamics. P.422.

256. Grimshaw R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. Appl. Math. 1977. V.56. P.241-256.

257. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary wave //Commun. on Pure and Applied Mathematics. 19C8. V.31. P.467-490.

258. Vcnakidcs S. The Kortewcg-dc Vrics Equation with small dispersion: Higher order Lax-Lcvermorc theory // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1990. V.43. P .335-361.

259. Dafermos C.M. The entropy rate admissibility criterion for solutions of hypcrbolic conservations laws // J. Differential Equations. 1973. V.14. P.202-212.

260. Neumann J. Proposal and analysis of a numerical method for the treatment of hydrodynamic shock problems. National Dcfencc and Research Commitcc Report AM551, 1944. 31p.

261. Neumann J., Richtmyer R. A method for numerical calculation of hydrodynamic shocks // Journal of

262. Applied Physics. 1950. V.21 P.232-237.

263. Lax P.D. Wendroff B. Hypcrbolic systems of conservations laws // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1960. V.13. P.217-237.

264. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.:Наука, 1980. 358с.

265. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. I. Андерсон Д. и др. М.:Мир, 1990. 382с.

266. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. 2. Андерсон Д. и др. М.:Мир. 1990. 336с.

267. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Н.:Наука, 1986.240с.

268. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.:Мир. 1987. 479с.

269. Novikov S.P., Manakov S.V., Pitacvski L.P., Zakharov V.E. Theory of Solitons. New York:Plcnum, 1984. 468p.

270. Kruskal M.D. An ODE to a PDE: Glories of the KdV Equation. An application of the equation on its 100th Birthday // Acta Applied Mathematics. 1995. V.39. P.127-132.

271. Drazin P.G., Johnson R.S. Solitons: an introduction. Cambridge University Press, 1989. 332p.

272. Novokshcnov V.Yu. Reflectionless potentials and soliton series of the KdV equation // Теоретическая и математическая физика. 1992. Т.93. №2. С.286-301.

273. DiPcrna R.J. Convergence of approximate solutions to conservation laws // Arch. Rarional Mech. Analysis. 1983. V.82. P.27-70.

274. DiPcrna RJ. Convergence of the viscosity method for iscntropic das dynamics // Comm. in Math. Phys.1983. V.91. P.l-30.

275. Plaster L., Starr W., Craig R., Lewenstcin M., Legg M. Small-scale motions observed by aircraft in the tropical lower stratosphere: evidence for mixing and its relationship to large-scale flows // J. Atmos. Sci. 1986. V.43. W24. P.3210-3225.

276. Gaxgett A.E., Holloway G. Dissipation and diffusion by internal wave breaking // Jour, of Marine Research.1984. V.42. P. 15-27.

277. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных воли в океане. Л.:Гидрометсоиздат, 1981. 302с.

278. Garrett C.J., Munk W. Oceanic mixing by breaking internal waves // Deep Sea Res. 1972. V.19. P.823-932.

279. Silva LP.D.Dc, Imbergcr J., Ivey G.N. Localized mixing due to a breaking internal wave ray at a sloping bed // J. Fluid Mech. 1997. V.350. P.l-27.

280. Silva I.P.D.Dc, Fernando H.J.S. Experement on collapsing turbulent regions in stratified fluid // J. Fluid Mech. 1998. V.358. P.2&-60.

281. Mason D.M., Kerswell R. Nonlinear evolution of the elliptical instability: an example of internal wave breakdowen // J. Fluid Mech. 1999. V.396. P.73-108.

282. McEwan A.D. Degeneration of resonantly-excited standing internal gravity waves // J. Fluid Mech. 1971. V.50. P.431-448.

283. Morton K.W., Sweby P.K. A comparison of finite difference and characteristic Galerkin methods for shock modelling // Led. Notes Phys. 1986. V.218. P.412-416.

284. Свешников А.Г. Неполный метод Галеркина в задачах математической физики // Ргос. 5 Czech. Conf. Differ Equations and Appl. Bratislava. Aug. 24-28, 1981, Leipzig. 1982. P .314-317.

285. Vrics System // Progress in Nonlinear Science. Proceedings of the International Conference dedicatedto the 100th Anniversary of A.A.Andropov. V.2. Frontiers of nonlinear physics. Nizniy Novgorod. 2001. P.224-229.

286. Halim A.A., Kshevetskiy S.P., Lcble S.B. A model of internal waves mixing via numerical solution of Korteweg-de Vries system // Publication Series of the John von Neumann Institute for Computing. V.8 P.B91.

287. Kshevctskii S.P, Pcrclomova A.A. On the theory and numerical simulation of acoustic and heat modes interaction in a liquid with bublcs: acoustic quasi-solitons // Applied Mathematical Modelling. 2002. V.2G. P.41-52.

288. Ланкастер П. Теория матриц. М.:Наука, 1982. 272с.

Информация о работе

Кшевецкий, Сергей Петрович
доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург, 2003
ВАК 25.00.29

Диссертация

Теория и численное моделирование распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы