Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Развитие теории и методов определения пространственных координат наземных пунктов по результатам траекторных измерений спутников

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Развитие теории и методов определения пространственных координат наземных пунктов по результатам траекторных измерений спутников"

На правах рукописи

Дударев Владимир Иванович

Развитие теории и методов определения пространственных координат наземных пунктов по результатам траекторных измерений спутников

25.00.32 - Геодезия

3 и СЕН 2015

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

0055627ГЪ

Новосибирск - 2015

005562776

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий» (СГУГиТ).

Научный консультант - доктор технических наук, профессор Карпик Александр Петрович.

Официальные оппоненты:

Мазурова Елена Михайловна, доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет геодезии и картографии», заведующая кафедрой геодезии; Медведев Павел Александрович, доктор технических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный аграрный университет имени П.А. Столыпина», профессор кафедры геодезии и дистанционного зондирования;

Пимшин Юрий Иванович, доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет», заведующий кафедрой прикладной геодезии.

Ведущая организация - ОАО «Информационные спутниковые системы» им. академика М. Ф. Решетнева» (г. Железногорск Красноярского края).

Защита состоится 26 ноября 2015 г. в 13-00 часов

на заседании диссертационного совета Д 212.251.02 при ФГБОУ ВО «Сибирский государственный университет геосистем и технологий» по адресу: 630108, Новосибирск, ул. Плахотного, д. 10, ауд. 402.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте СГУГиТ

Ьир://8кищ1.ги/зс1"епсе-апс1-!ппоуа11"оп5/сИ55е11аН'оп-соипс!15/с1{85ег1аГ|"оп5^1^агеу-у^сНти-гуапоукЬ

Автореферат разослан 14 сентября 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Середович В. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Растущий интерес человечества к вопросам детального изучения физической поверхности Земли, геодинамических процессов, совершенствование аэрокосмических методов и средств морской, воздушной и наземной навигации, а также необходимость решения целого ряда научных и практических задач потребовали создания новых технологий выполнения геодезических работ и методов оперативной математической обработки результатов измерений, полученных с помощью навигационных спутников и их систем. Высокая точность решения задач космической геодезии возможна только при развитии теории и методов математической обработки больших массивов результатов траекторных измерений спутников для определения необходимых орбитальных и геодезических параметров. В данном исследовании особое внимание уделяется: параметрам движения спутника, параметрам вращения Земли (координатам истинных полюсов Земли и поправке к неравномерной шкале Всемирного времени иТ1), элементам взаимного ориентирования (ЭВО) геодезических систем координат, пространственным координатам наземных пунктов (НП), под которыми понимаются точки различного назначения, расположенные как на земной и водной поверхности, так и в воздушном пространстве.

Современная спутниковая радиотехническая аппаратура позволяет измерять длину траектории распространения электромагнитного колебания от космического аппарата (КА) до НП с точностью до 0,01 длины волны. Это дает возможность гарантированно определять орбитальные и геодезические параметры по результатам радиотехнических траекторных измерений спутников с высокой точностью при различной геометрии относительного расположения КА и НП. Чтобы решать с такой высокой точностью поставленную задачу, требуются адекватные этим измерениям математические модели и соответствующие им уравнения поправок. Для этого требуется развивать теорию и методы, связанные с учетом влияния на результаты измерений атмосферы Земли, особенностей работы приемной и передающей радиотехнической спутниковой ап-

паратуры и других физических эффектов; разработкой оптимальных математических алгоритмов формирования матриц коэффициентов и вектора правой части уравнений поправок; оценкой влияния изменения гравитационного поля Земли на движение КА.

Существующие математические методы уравнивания плановых и высотных геодезических сетей, созданных посредством выполненных относительных ГНСС-измерений, используют не все потенциальные возможности геодезических навигационных спутниковых систем типа ГЛОНАСС, НАВСТАР и др. Поэтому развитие теории и методов определения координат одного или нескольких НП при использовании различных пространственных геодезических построений на основе относительных ГНСС-измерений имеет важное научное значение.

Задача преобразования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно имеет большое научное и практическое значение. Существующие математические методы решения этой задачи достаточно точны, но отличаются своей громоздкостью и большим объемом подготовительных и вычислительных работ: требуют построения так называемого «локального геоида» или интерполирования аномалии высоты между исходными НП. Кроме того, эти методы, как правило, ориентированы на значительные по площади территории. При выполнении геодезических работ с использованием ГНСС-технологий на небольших территориях требуется оперативное решение такой задачи. Поэтому разработка теории оптимального преобразования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно является актуальной задачей.

Степень разработанности темы. За предыдущие годы накоплен достаточно большой опыт и объем знаний в области определения орбитальных и геодезических параметров по результатам траекторных измерений спутников. Весомый вклад в развитие этого направления внесен научными сотрудниками Центрального научно-исследовательского института геодезии, аэрофотосъемки и картографии (ЦНИИГАиК); Научно-исследовательского института Военно-топографической службы (НИИ ВТС); Московского государственного универ-

ситета геодезии и картографии (МИИГАиК); Открытого акционерного общества «Информационные спутниковые системы» им. академика М. Ф. Решетнева»; Сибирской государственной геодезической академии (НИИГАиК), Института астрономии РАН (Астрономический Совет АН СССР); Государственного астрономического института им. П. К. Штенберга и целого ряда других организаций. Значительный вклад в решение научных и практических задач космической геодезии привнесли советские, российские и зарубежные ученые, в том числе: Бурша М., Вейс Г., Дубошин Г. Н., Жданюк Б. Ф., Изотов А. А., Урмаев М. С., Эльясберг П. Е., Каула У. и др.

Для обработки результатов наблюдений спутников отечественными и зарубежными исследователями разработан ряд математических моделей радиотехнических траекторных измерений. При анализе этих моделей было выявлено их несоответствие возросшему за последние годы уровню точности измерений, выполняемых современной спутниковой аппаратурой. По этой причине возникла потребность в создании более совершенных математических моделей, учитывающих влияние на результаты измерений как внешних, так и внутренних факторов, обусловленных атмосферой Земли, спецификой работы приемной и передающей спутниковой радиотехнической аппаратуры, особенностями движения КА по орбите и др. Разработка более точных моделей траекторных измерений обусловила и разработку соответствующих им уравнений поправок, которые должны обеспечивать надежную оценку определяемых параметров.

Теоретическим разработкам в области математической постановки решения задачи оценивания посвящены работы Браядина В. Н., Ждашока Б. Ф., Разоренова Г. Н., Онькова И. В., Эльясберга П. Е. и ряда других авторов. Повышение точности и увеличение видов траекторных измерений спутников, рост количества определяемых параметров требует постоянного совершенствования математических алгоритмов обработки результатов измерений, что вызывает необходимость в дальнейшем развитии и совершенствовании математической постановки решения задачи оценивания.

В вопросах развития и уравнивания геодезических сетей с использованием ГНСС-технологий накоплен значительный опыт. Решению таких задач посвящены работы российских ученых: Герасимова А. П., Годжаманова М. Г., Маркузе Ю. И., Бойко Е. Г., Антипова А. В., Шанурова Г. А. и др. Особого внимания заслуживает работа Маркузе Ю. И. и Welsh W. М., в которой представлена система линейных уравнений поправок для уравнивания геодезических сетей по результатам относительных ГНСС-измерений. Для обработки ГНСС-измерений используются программные комплексы, например: «GPSurvey», «Trimble Geo-matics Office», «Ski» и др. Однако, в руководствах по их применению не приводится описание математических алгоритмов обработки этих измерений, что существенно усложняет осмысление получаемых с их помощью результатов. Кроме этого, подобные зарубежные программные продукты не позволяют активно влиять на ход вычислительного процесса. Универсальный и оптимальный математический алгоритм решения рассматриваемой задачи, по-видимому, создать невозможно, так как он будет слабо учитывать особенности отдельно поставленной задачи. Поэтому существует потребность в разработке математических алгоритмов, позволяющих эффективно решать конкретные задачи с учетом их специфики. К ним относятся задачи по определению координат как одного или двух, так и нескольких наземных пунктов в системе координат исходных геодезических пунктов, элементов взаимного ориентирования, преобразованию высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно, по созданию геодезических сетей — сплошных, протяженных, высотных и других.

Цели и задачи исследования. Целью исследования является развитие теории и методов гарантированного определения по результатам современных беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников пространственных координат наземных пунктов и орбитальных параметров с точностью, соответствующей точности современных спутниковых радиотехнических систем (РТС).

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие основные задачи:

- систематизировать и развить теоретическое обоснование регулярной постановки задачи оценивания геодезических параметров по результатам беззапросных радиотехнических траекторных измерений КА;

- разработать теорию формирования нелинейных математических моделей беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников, отвечающих современному уровню точности;

- разработать уравнения поправок для обработки результатов беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников;

- развить теорию и методику учета влияния атмосферной рефракции на результаты радиотехнических траекторных измерений спутников;

- разработать теорию оценки влияния изменения гравитационного поля Земли (ГПЗ) на движение спутника по орбите;

- развить теоретические положения и выполнить экспериментальные исследования для выявления такой геометрии взаимного расположения КА и НП, при которой по выполненным радиотехническим траекторным измерениям определяются не все оцениваемые параметры;

- развить теорию уравнивания и методы построения различных геодезических сетей по результатам относительных ГНСС-измерений;

- разработать оптимальный математический алгоритм преобразования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно.

Научная новизна:

- разработанные нелинейные математические модели и уравнения поправок для обработки результатов беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников позволяют получать оценки заданного набора определяемых орбитальных и геодезических параметров при различной геометрии взаимного расположения КА и НП с точностью, соответствующей точности выполняемых измерений;

- предложенные методы построения и уравнивания различных геодезических сетей по результатам относительных ГНСС-измерений уменьшают время и производственные затраты на выполнение топографо-геодезических работ;

- разработанный математический алгоритм преобразования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно повышает эффективность выполнения топографо-геодезических работ.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные в диссертации теоретические и методические положения позволяют оптимизировать решение измерительной задачи, связанной с определением орбитальных параметров и пространственных координат геодезических пунктов.

Полученные аналитические выражения доведены до практического использования и предназначены для решения фундаментальных и прикладных задач геодезии, космической геодезии, геодинамики и точной навигации.

Результаты исследований предлагается использовать для координатно-временного обеспечения целого ряда задач народно-хозяйственного и оборонного назначения. К ним относятся: изучение топографии земной поверхности и геодинамических процессов, поиск и освоение полезных ископаемых, геодезическое обеспечение строительства различных инженерных сооружений, определение параметров движения КА. Результаты исследований позволяют повысить эффективность проведения производственных работ и существенно снизить затраты на их выполнение.

Методология и методы исследования основаны на системном анализе, теории и математических методах изучения поведения нелинейных динамических систем, теоретических исследованиях в области космической геодезии и баллистики, небесной механики и астродинамики, астрометрии, теории фигуры и физики атмосферы Земли. Решение поставленных задач базировалось на использовании математического моделирования, анализа и синтеза, сравнения, обобщений и оценок с привлечением методов интегрального и дифференциального исчисления, численных методов линейной алгебры, теории математической обработки и интерпретации результатов геодезических измерений.

Положения, выносимые на защиту:

- результаты теоретических разработок в области формирования нелинейных и линеаризованных математических моделей радиотехнических траектор-ных измерений спутников, отвечающих уровню точности современных РТС, повышают степень состоятельности оценок определяемых параметров;

- теория расчета различия между длиной траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли и прямой наклонной дальностью до спутника повышает степень адекватности математических моделей радиотехнических траекторных измерений спутников;

-теория учета влияния изменения гравитационного поля Земли на движение спутника по орбите обеспечивает существенное преимущество перед численным методом по эффективности, быстродействию машинных алгоритмов и надежности получаемых результатов;

- теоретические и экспериментальные исследования условий наблюдаемости орбитальных и геодезических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений спутника повышают степень регулярной постановки измерительной задачи и способствуют созданию оптимальных алгоритмов ее решения;

- теоретические разработки и методика оптимального преобразования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно, а также развитая теория уравнивания и методы развития различных геодезических сетей по результатам относительных ГНСС-измерений существенно повышают эффективность использования ГНСС-измерений и понижают производственные затраты при проведении геодезических работ.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на Всесоюзном научно-организационном совещании ИТА АН СССР (г. Ленинград, 1990 г.); IX Съезде ВАГО (г. Новосибирск, 1990 г.); XLII и XLIII научно-технических конференциях преподавателей НИИГАиК (г. Новосибирск,

1993, 1994 гг.); XLIV научно-технической конференции с международным участием (г. Новосибирск, 1994 г.); XLV-XLVIH научно-технических конференциях преподавателей СГГА (г. Новосибирск, 1995-1998 гг.); Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (г. Новосибирск, 1998 г.); Международной научно-технической конференции, посвященной 220-летию МИИГАиК (г. Москва, 1999 г.); L научно-технической конференции преподавателей СГГА (г. Новосибирск, 2000 г.); Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (г. Новосибирск, 2000 г.); LI научно-технической конференции преподавателей СГГА, посвященной памяти академика В. В. Бузука (г. Новосибирск, 2001 г.); LUI Международной научно-технической конференции, посвященной 70-летию СГГА (г. Новосибирск, 2003 г.); LIV научно-технической конференции, посвященной 225-летию геодезического образования в России (г. Новосибирск, 2004 г.); Международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК (г. Москва, 2004 г.); 2-й Региональной научно-практической конференции (г. Иркутск, 2006 г.); Международных научных конгрессах «ГЕОСибирь» (г. Новосибирск, 2006-2008 гг., 2010-2012 гг.).

Работа выполнялась в рамках госбюджетной научно-исследовательской работы (НИР) «Анализ и разработка алгоритмов оценивания геодезических и геодинамических параметров по результатам траекторных наблюдений ИСЗ» (1992-1996 гг.), фундаментальной НИР № ГР 0186.0036274 «Разработка методов изучения динамики гравитационного поля и фигуры Земли планетарного, регионального и локального характера» (1995 г.) по комплексной научно-технической программе «Человек и окружающая среда», фундаментальной НИР № ГР 0196.0005075 Грант Госкомвуза РФ «Исследование динамической составляющей гравитационного потенциала Земли и его характеристик, построение их математических моделей» (1996 г.), хоздоговорной НИР №4.30.392 «Обследование приаэродромной территории, определение координат и высот препятствий» (2001 г.), госбюджетной НИР № 6.30.194 «Развитие локальных и регио-

нальных геодезических сетей с использованием результатов спутниковых траек-торных измерений» (2002-2006 гг.), фундаментальной НИР № ГР 012008.03158 «Разработка теории и методов определения геодезических и геодинамических параметров по результатам спутниковых радиотехнических траекторных измерений» (2008-2010 гг.) по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие вузовского потенциала высшей школы России на 2009-2012 гг.», фундаментальной НИР № ГР 01201151296 «Исследование и разработка теории и методов оценки состояния нелинейных динамических систем по результатам траекторных измерений космических аппаратов» (2011 г.) по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие вузовского потенциала высшей школы России на 2009-2012 гг.», фундаментальной НИР № ГР 01201252771 государственного задания Министерства образования и науки РФ «Теория и методы обработки радиотехнических траекторных измерений космических аппаратов» (2012 г.).

Разработки автора нашли применение при выполнении производственных работ, связанных с развитием геодезических сетей и проведением топографических съемок участков земной поверхности с использованием ГНСС-технологий, в ряде регионов России.

Результаты выполненных исследований внедрены в экспедицию № 171 Ноябрьского филиала ФГУП «ЗапсибАГП», в ФГУП Кузбасское топографо-маркшейдерское предприятие «КУЗБАССМАРКШЕЙДЕРИЯ», в учебный процесс СГУГиТ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлены актуальность темы исследования и степень ее разработанности, обоснованы цель и задачи, объект и предмет исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, раскрыта методология и методы исследования, приведены основные положения диссертации, выносимые на защиту, отражены степень достоверности и апробация результатов исследования.

В первом разделе «Теория оценивания параметров состояния нелинейных динамических систем» представлена математическая постановка задачи оценивания орбитальных и геодезических параметров по результатам беззапросных радиотехнических траекторных измерений КА, основанная на постановке задачи оценивания состояния нелинейных динамических систем. Рассмотрены системы элементов орбиты КА, шкалы времени, системы координат и их преобразования, используемые в диссертационном исследовании. Приведен вывод фундаментальной матрицы и рассмотрен математический алгоритм оценки влияния изменения ГПЗ на движение КА.

Движение КА происходит под влиянием целого ряда возмущений. Среди них значительную долю составляет ГПЗ, которое меняется из-за различных природных и техногенных явлений. Например, проведенные В. В. Бузуком исследования показали, что изменение масс крупных водохранилищ и озер меняет коэффициенты низких гармоник модели ГПЗ уже в третьей значащей цифре. В работе разработан математический алгоритм, позволяющий определить влияние изменения коэффициентов модели ГПЗ на движение КА.

Оскулирующие кеплеровы элементы Э орбиты спутника на текущий момент времени ? можно определить выражением

/ I

Э = Э0+/ А0-А+/В-А , (1)

'о 'о

где Э0 — вектор начальных условий движения КА на начальный момент г0;

А0 - вектор правой части системы дифференциальных уравнений движения Ньютона — Лагранжа для кеплеровых элементов орбиты КА, полученных в стационарном ГПЗ;

В - вектор-столбец изменений правых частей уравнений движения, обусловленных изменением ГПЗ (или ошибками его представления).

В выражении (1) второе слагаемое отражает возмущения элементов орбиты, вызванные влиянием стационарного ГПЗ, третье — возмущения элементов орбиты,

вызванные изменением коэффициентов ДС =[ДС00Д5,00...ДСптД5'пт] моделиГПЗ (либо ошибками ее представления). Матрица В определяется из равенства

В = В От Ь АС, (2)

где г - геоцентрическое расстояние КА; р - фокальный параметр;

Р - матрица преобразования координат из общеземной системы в звездную. Матрицы-сомножители в выражении (2) имеют вид:

D =

2-а2 -е-рл -sinv sinv О О

2-а2-г' cos v + (cos v + е) ■ г ■ рл О О

ел -sinv(l+r-£>"')

1 -л/l-e2 -(cosv + 2-е-г-рл) -(l+r-p^-sinv

О О

г-р'] ■ cos и Г ■ р'] -sinii-sin"1! -г-рл ■ s'mu• ctg; О

Q =

cosîi •cosn-sim/-sinfi-cosz cosu -sinn + sinu -cosn-cos/ sin г/-sin; - sin iî - cos n - cos к • sin n ■ cos г -sinu-smn + cosii- cos n - cos i cos и ■ sin i sin n-sin г -cosn-sin; cos г

О T = f

xa -r'-xG- tg9 -r' -,yc-cos"2cp

Ус -r~' " У a ' 1ВФ r"' " xo 'cos"2 Ф zG cosç 0

L =

(и + 1) (Я

— I •cos m■ X

m-X • Pnm(sinф) {y-) -sinm-A.-P„m(sin(p)

¿//^„(sirwp)

dq

R-

■m-smm-X -P„m(sin9)

/О . . dP„S siiup)

•smm-к----

r ) d ф

R Y

— I -m-cosm-X ■ P„,„(siпф)

где ха, Ус, 2с - прямоугольные координаты КА в общеземной системе; а, е- большая полуось и эксцентриситет орбиты спутника;

V , и - истинная аномалия и аргумент широты спутника;

г - наклонение орбиты;

Е3 - средний экваториальный радиус Земли;

Р„т (эш ф) - функции Лежандра;

ср, X - геоцентрические широта и долгота КА.

Матрица Ь всегда имеет три строки, а число ее столбцов определяется размером матрицы ДС.

Рассмотренный метод оценки влияния изменения ГПЗ на движение КА предпочтительнее численного из-за своей простоты, быстродействия и наличия конечного числа операций. Он позволяет оперативно оценивать влияние на орбитальное движение КА от одного до нескольких коэффициентов ГПЗ. Численный метод отличается большей трудоемкостью потому, что для решения задачи требуется высокая точность интегрирования дифференциальных уравнений движения. Для расчета третьего слагаемого в выражении (1) можно применять простые численные методы интегрирования (вплоть до аналитического по невозмущенной орбите), так как вычисления выполняются с числами, имеющими всего от двух до трех значащих цифр.

Во втором разделе «Математические модели и уравнения поправок для обработки результатов радиотехнических траекторных измерений космических аппаратов» выполнен анализ математических моделей радиотехнических измерений, систематизировано и развито теоретическое обоснование учета тропосферной и ионосферной рефракции в спутниковых радиотехнических измерениях. Представлено теоретическое обоснование формирования математических моделей беззапросных импульсных и фазовых радиодальномерных, а также интегральных (в шкалах времени КА и НП) и дифференциальных доплеровских траекторных измерений. Детально изложена последовательность вывода уравнений поправок, соответствующих этим моделям измерений.

В доплеровском методе приемником непосредственно измеряется число колебаний разностной частоты /а-/к, образованной смешением частоты^ при-

нятого сигнала и частоты /о колебаний генератора приемника. Частота/з обычно несколько больше частотырадионавигационного сигнала КА на величину частоты подставки Ф = Уо-Д которая всегда положительна. Вследствие взаимного перемещения передатчика и приемника в пространстве (а также влияния атмосферной рефракции, аберрационных и прочих эффектов) частота^ будет отличаться от частоты^ на величину доплеровского сдвига.

Существуют два вида доплеровских измерений - дифференциальный и интегральный. В первом случае приемником НП измеряется доплеровский сдвиг частоты, во втором - число колебаний Щ разностной частоты за строго определенный интервал времени. В интегральном методе значение Ыу может быть отнесено либо к интервалу времени = |/п, 'о] в спутниковой системе времени (ССВ), либо к интервалу Тс = [т„ т,] в локальной системе времени (ЛСВ). Длительность интервала Тх определяется разностью двух последовательных моментов ?Г[- и Гг, генерации временной метки аппаратурой КА. Длительность интервала Та определяется разностью двух последовательных моментов т,- и х] приема метки времени и с высокой точностью измеряется часами приемника. Если точно известны моменты т, и т,, то обработку измерений следует выполнять в ЛСВ, если же точно известны моменты ?п и /V, - то в ССВ. Вторичным измеряемым параметром в дифференциальном методе является лучевая псевдоскорость (К(т) + Дк) по линии НП - КА, в интегральном - разности псевдодальностей (8р0+ Дс) в ЛСВ и (5р5+ А?) в ССВ между НП и КА.

Для рассматриваемых видов измерений разработаны математические модели. В них для дифференциальных доплеровских измерений моделируется значение разностной частоты, в случае интегральных - число циклов N° в ЛСВ и N¡1 в ССВ разностной частоты. Модели измерений имеют вид:

N° = Та-<&°+ С"1 • • (5рс+ Дс), (3)

= Т5 • Ф°+ С'1 • /а ' (бр5+ Дх),

(4)

/0-Л=Ф°+С-'-Л°-(К(х) + Д„), (5)

где fs и /с°- номинальные значения частот колебаний опорных генераторов передатчика и приемника соответственно;

Ф° - номинальное значение частоты подставки;

С - скорость света в вакууме.

В формулах (3) - (5) сингулярные ошибки (медленно изменяющиеся со временем систематические ошибки) Аа и As измеряемых разностей псевдодальностей и Ау лучевой псевдоскорости обусловлены нестабильностью работы опорных генераторов приемника и передатчика, изменением условий прохождения электромагнитных волн в атмосфере Земли, аберрационным и релятивистским эффектами, внутренними временными задержками приемной и передающей аппаратуры.

Эти ошибки определяются из выражений:

Д0= (5Ф + Ф• ((т,+ т,) / 2 -т0)) • Та ■ ClJt + Др + (1 + Кт)■ TR + IRG+ Sp°fi+ брАП+

+ 5РР - К " V^j) ~ Щ ■ К(т,.)) • 5т - (5Ф - Ф° ■ 5/с / /с°) • (т, ■ у(т,.) • (ту - т0) -■ У(т,) • (т, - т0))/Л°+5Л / f° • 5pfi,

As= 2-(5Ф + Ф-((/„+ tri)/2-/„))■ Ts ■ С//0°+ Др + (1 + Кт)■ TR + IRS+ 5р*в+ + (.», ■ V{trj) - п, ■ V(tJ)■ 5ts - (5Ф - Ф° • §Л / Л°)• (пу • Р(/„) • (trj -10) --п, • p(irt)• (trl -ta))/fo+ Sps • 5/g//0° -C/fc • 5/s /Л0 • Ф0 • Ts,

Д, = (8Ф + Ф• (т- т0))■ dft + AV+ (1 + KT)■ bV!R+ bVA8+ 5КЛП+ 5VP --y(t) • 5t + F(t) ■ S/s Ifs - (y(t) + y(x) ■ (t - t0)) ■ 5Ф//,0,

где 5Ф, Ф — уход и скорость ухода частоты подставки;

т0, и - в ЛСВ и ССВ моменты синхронизации часов приемника по первой временной метке в прохождении КА в зоне видимости НП;

Др и ДК-поправки в разность дальностей и лучевую скорость, обусловленные кривизной траектории радиосигнала в тропосфере;

Кт - масштабный множитель, учитывающий погрешности моделей тропосферной рефракции;

77? и 8Кгя - тропосферные поправки в разность дальностей и лучевую скорость;

Ш и 5 К/я - ионосферные поправки в разность дальностей и лучевую скорость;

5/с, о/5 - уходы частот опорных генераторов приемника и передатчика; /а, /у - скорости уходов частот опорных генераторов приемника и передатчика;

5т, - внутренние временные задержки приемника и передатчика; Г(г) = р~\х)- р(т)-р(т)

- лучевая скорость КА (проекция вектора р (т) топоцентрической скорости КА на его топоцентрический радиус-вектор р(т) в момент времени т);

2р0= Р(гу) -Р(т,)' 5Р*= Р('гу) -Р('п)

- разности топоцентрических дальностей до КА;

5 = -С ' • (у(т) • р(т) + у(т) • Г(т))

- поправки за аберрационный эффект;

5рАП=-С-1-(К(т,.)-К(ту)+ ~(К(ту)-Г(т,))2)-Г0> 5Кап=-С'-К2(т)

- поправки за аппроксимацию;

у(т) = р-'<т) • рг(т) • f (т), (3(ir) = p'Or) ' РГ('г) • R('r)

- проекции векторов геоцентрической скорости г(т) К А и R(ir) НП на топо-центрический радиус-вектор р спутника в моменты т и tf,

от = 1-т(т)/С, и = 1-(3(ГгуС

- масштабирующие коэффициенты;

у(т) = р"1 (т) ■ (-К(т) • у(т) + г(т) • р(т) + г(т) • р(т))

- ускорение КА, движущегося относительно неподвижного НП (г(т) - вектор геоцентрического ускорения КА в момент т).

Поправки за релятивистский эффект рассчитываются по формулам

бр^с-Чр'/г-мя-'-г-1))-^, 5Kp=C-i-(P,(t)/2-h-(^'W-',"1W)).

где р. — гравитационный параметр Земли;

R,r — геоцентрические расстояния до НП и КА; р - топоцентрическая скорость КА.

Величины р, R и г вычисляются на средний момент интервала Тс, то есть на момент 0,5-(т(+ту ).

Абсолютная ошибка представленных моделей интегральных доплеровских измерений не превышает 0,01 цикла, дифференциальных - 0,003 Гц (без учета поправок за рефракцию и релятивистский эффект).

В математических моделях импульсных и фазовых радиодальномерных траекторных измерениях КА моделируется промежуток времени (т - fr) между моментом т приема радиоимпульса в J1CB и моментом tr генерации в ССВ опорного импульса, а также разность фаз Аф(т) = (tr) - фс(т), одна из которых -фаза образованных в момент генерации колебаний, модулирующих несущий радионавигационный сигнал частоты fs, а другая - фаза в момент т колебаний,

модулирующих сигнал с частотой fa опорного генератора приемника. Вторичными измеряемыми параметрами здесь являются псевдодальности рт(т) + Д, и р<(,(х) + Д,, до КА. Модели измерений имеют вид:

г -/г = С-1 ■(*(*) +Д.), (6)

Дф(т) = -К ■ С1 •// ' (рф(т) + ДФ) , (7)

где К =fsM/fs - отношение частот модулирующего fs" и несущегоyi колебаний электромагнитных сигналов.

Для модели фазовых измерений при К= 1 будет получена математическая модель так называемых фазовых траекторных измерений спутников, при К < 1 — дальномерных (кодовых).

Сингулярные ошибки Дт и Дф измеряемых наклонных дальностей р(т) определяются из выражений:

д,= -РтСО • С"1 • у(т) + 5р + (1 + Кг) ■ 5рга+ 5р/л+ С ■ (т • 5тс+ 5т + 5/Р) -- V(x)-m- 5тс + С"1 - у2 (т) • 5тс,

А,, = Ат + рф(т) • bfslfs ,

где 8рто и 5р/Я - тропосферная и ионосферная поправки;

5р - поправка за кривизну траектории распространения радиосигнала в тропосфере;

5тс - внутренняя временная задержка приемника;

5т = 5тс + 5тг - временная задержка, обусловленная внутренней временной задержкой 5т0 сигнала в приемнике и промежутком времени 5тг декодирования временной метки.

Временная задержка 5тс обусловлена нестабильностью работы опорных генераторов приемника и передатчика и находится по формуле

§*с= Wo!fa - ¥s/fs У■ - *,) + (fa/fa ~ fs!fs И* - 4?A •

В некоторых радиотехнических системах частоты /0° и совпадают. Тогда задержка 5тс может быть определена как

8тс = (т - т0) • (5Ф + Ф■ (х - т0) / 2 )//о0.

Поправка за релятивистский эффект рассчитывается по формуле 6/Р= С"2 • (р2(т)/2 -ц-(Л'(т) - г"'(т))).

Абсолютная ошибка представленных моделей не превышает 0,01 длины волны несущего колебания (без учета поправок за рефракцию и релятивистский эффект).

Все представленные модели получены при условии совпадения фазового центра передающей антенны и центра массы КА. Они могут в различной степени упрощаться в зависимости от точности решения поставленной задачи.

Состояние рассматриваемой нелинейной динамической системы на текущий момент времени * характеризуется вектором параметров состояния этой системы я = [V,...'Я, Й,.. .К/ й, сЖ со к 0]г. В нем - шестимерный вектор-столбец элементов орбиты КА (§ - число КА), IV - трехмерные векторы-столбцы прямоугольных координат положения и скорости НП в звездной системе координат (/-число НП), <Ж = всктор-столбец смещения начала референцной системы координат относительно начала общеземной системы, со = [сол-Шк <л-/]т - вектор-столбец малых углов поворота координатных осей референцной системы координат относительно осей общеземной системы, к -поправка к масштабу референцной системы координат, 0 = [хР уР иТ\т - вектор-столбец ПВЗ, состоящий из плоских прямоугольных координат хР и уР мгновенного полюса Земли и поправки ЦТ к неравномерной шкале Всемирного времени 1Л1. Величины х/>, ур и 17Т могут быть аппроксимированы на отрезке времени [Г0, степенным полиномом с аргументом Дг = / - /о в шкале КТ:

хр = Ехк-мк, = ит=£итк-ык, (8)

ЫО *=0 4=0

где хк, ук ,UTk - коэффициенты полиномов; L и L\- порядки полиномов.

Начальное состояние изучаемой динамической системы на некоторый момент t0 характеризуется расширенным вектором параметров состояния. Этот вектор составляют: шестимерный вектор-столбец Y0 элементов орбиты КА на момент h; трехмерные векторы-столбцы RG прямоугольных координат НП в общеземной системе; векторы <Ж, о; поправка к масштабу к\ вектор-столбец 0О= [х0... Хи уа... у и UT0... UTuf параметров кинематических моделей (8) изменения ПВЗ; пятимерный вектор-столбец Г = [5Ф Ф Кт 5т б/5]г мешающих параметров, компоненты которого независимы между собой. Для определения расширенного вектора параметров состояния получены уравнения поправок:

Еу ■ ДГ+ р' (т) ■ ([р(т) - V(x)]r • Ф, + рт(т) • Ф2) • AY0 - р-'(т) • ([р(т) - У(т)]г • Р + + рг(т) • Р) • AR0 - рЧх) • ([р(т) - V(x)]T ■ M + рт(т) • M) • К • Д0„ =f+Vv

- для дифференциальных доплеровских измерений;

Е0 • ДГ + ((р1 ■ рт ■ Ф,)TW-(р ' -рт-Ф,),,)• AY0 -((р"' ■ рт • Р)т,+1 -(р"1 • Рт • P)TÎ)■ ARс -

- ((р"' • рт • M ■ К)т,+1 - (р"' • Рг M • K)t()■ Д0О =fG+ VG

- для интегральных доплеровских измерений в ЛСВ;

Es -АГ + С(Р ' -рг - Ф,)^. -(Р1 -Рг -Ф,)^)-AY0 -((Р1 -Pr-P)mtl -(р' -pr -P)m)-ARC -

- ((р-1 - рт M ■ - (Р-' • рт • M • К)^) ■ Д0О =fs+ Vs

- для интегральных доплеровских измерений в ССВ;

Е, • ДГ + р"' (т) • рг • (Ф, " AY„ - Р • AR0 - M • К • Д0О) =/'+ Гх -для беззапросных импульсных радиодальномерных измерений;

Е„ • ДГ + р-'Си) ■ рт • (Ф, • AY0 - Р ■ ДК0 - M ■ К • Д0О) = Г+ Vv

— для беззапросных фазовых радиодальномерных измерений.

В этих уравнениях поправок обозначено: V(x) - вектор лучевой скорости КА; ДГ, AYo, ARC и А0О - векторы поправок к одноименным приближенным значениям векторов, заданных на момент fo V - поправки к результатам измерений соответствующего вида.

При определении начальных условий движения КА, ПВЗ и ЭВО в уравнениях поправок следует заменить вектор-столбец ARc поправок к вектору Rc координат НП в общеземной системе матричным выражением

~ 0 -Zr

AR0=dR+A:-Rr+ zr 0

0

и оценивать компоненты векторов ¡Ж, со и параметр к, образующих ЭВО. Здесь радиус-вектор Rг НП задан в референцной системе координат. Матрицы преобразования Р и Р имеют вид:

Р =

Рr=S-

cosS -sin S v' - xp ■ cosS - y,, ■ sin S

sin S" cos 5 8r.-xp-smS + yp- cos S

V'CosS'-ôe-sin.S' + Xf, v'-sinS'-Se-cos.S'-yp 1

-sinS cos S (-S' ■ V-8e) ■ cosS+iy -S"1 • 5e) • sinS

-cosS -sinS (S"' -V+5s)-sin5+(v'-5'1 •5é)-cosS

где 5 - звездное время;

V' - функция прецессии и нутации по склонению; 8е - функция нутации по наклону;

у'-параметр, являющийся результатом сложения скорости изменения прецессии и нутации по склонению;

5ё - скорость изменения нутации по наклону;

скорость изменения звездного времени в шкале Всемирного времени ип.

Матрицы М, М и К имеют вид:

М =

^•БтБ гг-соъ8 Р-И,

-Уа

, М = 5

-го-соз5' -г0-зт5 51 Р К0 О О

К =

1 *-/„ о о о о

О-(о) о

о о

1 1-1, ... С - *о)

о

о

0 о "00

1 (

о о

с - ч?

Матрица Р размерности 3 х 3 находится из равенства

Р = • (Р + ДР),

в котором

ДР =

О о -0 + 5У)

О 0 -5е

-х -2-5"'-(у + 5у)-8т5 -у - 2 + бу)-«^ -1

Фундаментальная матрица Ф = [Ф| Ф2]г определяется как

Ф,= [(г-1,5-(/-Г0)-г)/Л -Ч-г! Ра+К-г/^-р, Г/р0+Ь-Г / Ро (-/•г+ 8,)/ к Нт + ^/к

Ф2=[(3-р-0-/0)-г)/г3-г)-0,5/д, -^йУ0-{с1+К-Г/г2) ^иУ0-(е2-Ь-г/г3) (-/• г + Яз) / к (-я-г + 84)/к -ТмЛ^-^.г/г3].

В ней

К = L = (híí■N-(r+rll)■(ц¡-x\+ga■(r-r0)))lvl,

N + к = (1 +/г+д2)/2, 5 = ^(соб О,

где р, g,h,f,q,l — регулярные элементы орбиты;

г и го — геоцентрические расстояния до КА в моменты I и С, иг) — координаты КА в орбитальной системе; С| и е2 - орты координатных осей С, и т| орбитальной системы; г - наклонение орбиты;

вь вг, вз, 84- векторы размерности 3x1, являющиеся функциями регулярных элементов орбиты.

Значения правых частей уравнений поправок определяются как разность измеренных лучевой псевдоскорости К(х), разности псевдодальностей 5рс и 8р5, а также псевдо дальностей рт(х) и рДх) до К А и их вычисленных значений измеряемых параметров:

F(x)" (fa-L-^y/s 7"~ "F(x)-F(x)-A,

SPo (N°-<S>°-T0)/fs° SpG - Spc - Ac

SPs = с ■ (ftЛ - Ф° ' Ts)/fc 5 = 8P;r - 8Pi -

p,W /r P,0)-P,0)-At

-A<p(.T)-KVfs° _ РДО - рДх) - \

Матрицы коэффициентов перед поправками А Г к вектору мешающих параметров имеют вид

E,=[(C-y(T)-Y(T)-(x-T0))//s° С-(т-т0)//,° bVTR -у(х) F(x)//S°],

Е0 = [(С • Та + (Ф0//0° -1) • (тм - у(х,+1) • (V, - - Щ ■ Т(Т|) • ~ *о))) ' С-Тс- ((х, + хж)/2 - х0)//; TR (т, ■ V(z.,) - тм ■ К(т,+1))

(5рс + (»»,♦, ' t(Ti+i)' (V, - to) - Щ ■ ' ^ - to))" Ф° I fa) ' ft\.

Е, = [(2 ■ С ■ Тв - (и,+1 • Р(/п+1М'п+1 - О - п, • р(/п) • (*Г| -*„)) + 6р5) / /0°

(5р,+ («;+,' РСгм)" Сгж -'о)"",' Р('п)- Оп - Г„) - С- Г,)- Ф° / Л°) / /с°], Е^КС-т-КтйЧх-ТоУУЗ (С-т-у(х))-(х-т0)2//с°/2 6рга (С-ш-К(х)) 0], Еф = [(С—т■ у(х))• (х — х0)/£? (С-т-у(х))• (т — х0)2//? /2 5рга (С-м-^т)) рДх)/^].

В теории расчета различия между длиной траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли и прямой наклонной дальностью до спутника принята двухслойная модель атмосферы Земли. В этом случае длина фазового пути 5" радиосигнала от КА до НП определяется как

■У = 5 + 5рга + §Р/я, 5 = р + 5р,

где брп,, 5р/Л - тропосферная и ионосферная поправки, обусловленные изменением скорости распространения радиосигнала в атмосфере Земли;

5 - криволинейное расстояние до КА;

р - прямая наклонная дальность до КА;

5р - поправка за кривизну траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли.

Под параметром Б будем понимать длину траектории радиосигнала в тропосфере Земли (рисунок 1).

Рисунок 1 — Геометрическая интерпретация определения поправки 5р

На рисунке 1 обозначено: М - положение НП на поверхности Земли; О - начало геоцентрической системы координат; I* - геоцентрический радиус-вектор НП; рт - топоцентрическое расстояние до верхней точки тропосферы (точка А) в направлении на КА; гт - геоцентрическое расстояние до верхней точки тропосферы; X— зенитное расстояние КА.

Поправка за кривизну рассчитывается по формуле

8р =5-рг, (9)

в которой

рг= гувт р / , (3 = 2-агс5т(Л/гг- Бтг), ^ = N+60 ООО м,

г = агсо8(11р/(Яр)), Б = 2■£>-агсБ'ш(0,5-рг/ 4),

4 = -(1 + 0,776'10"6 • Г1 • (Р + 4 810 • е • Г1)) / (К ■ 8\п2), К= -4-10"8 м"1,

где N—радиус кривизны первого вертикала в точке расположения НП; Я — геоцентрическое расстояние до НП; р — топоцентрическое расстояние до КА; р - топоцентрический радиус-вектор КА; Т— абсолютная температура; Р - атмосферное давление; е — парциальное давление водяных паров.

В ионосфере значение 5р не превышает 0,8 см для зенитных расстояний Х< 80°. Поэтому ее можно не учитывать. Исследования показали, что численные значения поправки 5р в тропосфере для 2 > 60° достаточно большие (таблица 1). Следовательно, эта поправка должна учитываться в математических моделях радиотехнических измерений.

В таблице 1 значения 5р получены для НП, имеющего широту В =55° и высоту к = 100 м. Параметры тропосферы: Т=29Ъ°К, Р = \ 013 мбар, е = 11 мбар.

Таблица 1 - Значение поправки 5р в тропосфере

Зенитное расстояние X Длина дуги траектории 5(м) Длина спрямленной траектории (хорды) р г (м) Значение поправки 8р (см)

90° 877219,640 877174,638 4500,2

85° 482010,902 482003,493 740,9

80' 304740,135 304738,305 183,0

75* 218140,733 218140,088 64,5

70' 169394,754 169394,468 28,6

65° 138832,531 138832,384 14,7

60° 118176,717 118176,634 8,3

50' 92581,520 92581,489 зд

40° 77940,021 77940,008 1,3

30° 69059,884 69059,878 0,6

20' 63705,103 63705,101 0,2

10° 60815,279 60815,279 0,0

В математических моделях измерений (3) - (7) поправка 5р рассчитывается по формуле (9), а для доплеровских измерений - по формулам

Др = 5р, - 8р,-, ДК=Др/Гс.

Здесь поправки 5р, и бр, вычисляются по формуле (9) на моменты времени ту и т,- приема временных меток.

В третьем разделе «Вопросы наблюдаемости в задаче определения геодезических параметров» изложены общие вопросы количественной и качественной наблюдаемости и их влияние на решение измерительной задачи. Рассмотрены количественные условия наблюдаемости параметров движения КА, пространственного положения НП и параметров вращения Земли (ПВЗ) при измерении наклонной дальности и лучевой скорости КА. Представлены количественные и качественные условия наблюдаемости при определении элементов взаимного ориентирования геодезических систем координат по ГНСС-измерениям. Описаны экспериментальные исследования точности определения высотных отметок НП по результатам абсолютных ГНСС-измерений в зависимости от высоты спутника над горизонтом.

Под наблюдаемостью динамической системы понимается свойство взаимно однозначного соответствия между множеством измеряемых и множеством

оцениваемых параметров. Наблюдаемость является одним из условий регулярной постановки измерительной задачи. Нарушение этого условия на этапе определения параметров состояния анализируемой динамической системы выражается в повышенной чувствительности решения измерительной задачи к ошибкам задания исходных данных или в неоднозначности получаемого решения, а также в слабой сходимости итерационного процесса при решении системы нелинейных уравнений.

В работе для исследования качественных условий наблюдаемости применялись ранговые критерии, для количественных - число обусловленности ц(А) матрицы коэффициентов А системы линейных уравнений поправок. Здесь число обусловленности рассчитывается по каждой группе базисных векторов матрицы А для соответствующих им компонент вектора оцениваемых параметров. Такой подход позволяет более достоверно установить причину появления плохой обусловленности матрицы коэффициентов А и принять правильное решение по улучшению наблюдаемости (обусловленности системы линейных уравнений поправок) исследуемой динамической системы. Если невозможно улучшить обусловленность матрицы А добавлением информативных измерений или привлечением других видов измерений, то можно прибегнуть к сокращению числа компонент вектора оцениваемых параметров. Такой прием в вычислительных программах может выполняться без вмешательства человека: определяется эффективный ранг матрицы коэффициентов и находится нормальное обобщенное решение.

Получены качественные условия наблюдаемости в случае уточнения регулярных элементов орбиты КА, определения пространственных положений НП и ПВЗ по результатам измерений наклонной дальности и лучевой скорости. Здесь приведены только общие случаи.

Орбита К А не определяется, если:

— наклонные дальности до КА измерены вблизи точек траверса в течение одного или более сеансов, проведенных с одного или нескольких НП;

- лучевые скорости или наклонные дальности до КА, находящегося на экваториальной орбите, измерены в течение одного или более сеансов, проведенных с одного или нескольких НП, расположенных в экваториальной зоне.

Пространственное положение НП не определяется, если:

- лучевые скорости и наклонные дальности до одного или нескольких КА, находящихся на экваториальных орбитах, измерены в течение одного или более сеансов с НП, расположенного в экваториальной зоне;

- лучевые скорости одного или нескольких КА, находящихся на экваториальных орбитах, измерены вблизи точек траверса в течение одного или более сеансов;

- наклонные дальности измерены до одного или нескольких КА, имеющих полярную орбиту, в течение одного или более сеансов и вблизи зенита НП, находящего на полюсе.

ПВЗ не определяются, если:

- измерены лучевые скорости или наклонные дальности с НП, расположенного на экваторе или в области экватора (не определяются хР,уР);

- измерены лучевые скорости или наклонные дальности с НП, расположенного на полюсе или в области полюса (не определяются хр,ур и (77);

- измерены наклонные дальности до КА, находящегося в зените или области зенита НП (не определяются хр,ур и С/7);

- измерены наклонные дальности до КА, находящегося в плоскости местного меридиана НП (не определяется иТ);

- измерены лучевые скорости КА, находящегося на экваториальной орбите или пересекающего плоскость экватора (не определяются хР,уР);

- измерены наклонные дальности до КА, находящегося в области земных полюсов (не определяются хР,уР и С/7).

Следует отметить, что при определении ПВЗ дифференциальные допле-ровские измерения предпочтительнее прочих видов радиотехнических измерений, так как при решении этой задачи они более информативны.

В работе получены качественные условия наблюдаемости ЭВО для ГНСС-измерений. Установлено, что по относительным ГНСС-измерениям вектор <Ж не определяется, а по абсолютным - определяется по любому числу измерений. Последний факт объясняется тем, что матрица коэффициентов системы линейных уравнений поправок перед ¡Ж является ортогональной. Установлено также, что углы со не определяются по абсолютным и относительным ГНСС-измерениям, если:

- выполнено только одно измерение;

- измерения выполнены на пунктах, расположенных на полюсах;

- измерения выполнены на пунктах, расположенных на экваторе.

Определено, что по абсолютным ГНСС-измерениям углы <й не определяются, если несколько НП расположены на одном меридиане или в точках с координатами B = L = 45°; 125°; 225°; 315°.

Выполнены исследования количественных условий наблюдаемости ЭВО и ошибок их определения по результатам ГНСС-измерений для различных геометрических схем взаимного расположения опорных НП: треугольник, четырехугольник, четырехугольник с одной и двумя диагоналями, трех- и четырех-лучевые построения. Здесь к прямоугольным матрицам коэффициентов уравнений поправок, сформированным для абсолютных и относительных ГНСС-измерений, применялась процедура сингулярного разложения с последующим расчетом числа обусловленности р(А) и определением полного либо эффективного рангов этих матриц. В результате экспериментальных исследований установлено, что задача определения ЭВО по результатам абсолютных измерений характеризуется плохой обусловленностью (рисунок 2), приводящей к большим ошибкам (таблица 2).

Для определения ЭВО лучше использовать относительные ГНСС-измерения и геометрические фигуры - четырехугольники с одной и двумя диагоналями, четырехлучевые построения. Здесь обусловленность матрицы коэффициентов значительно меньше, чем при абсолютных ГНСС-измерениях. Значения числа обусловленности находятся в пределах от 1,4 до 3,4 (рисунок 3), а абсолютных

ошибок углов (О - от 0,000" до 0,003" (таблица 3). Численные значения этих величин практически не изменяются при увеличении средней длины линии геометрических построений.

1 - три луча; 2 - четырехугольник; 3 - треугольник; 4 - четыре луча. Рисунок 2 - Абсолютные определения

Таблица 2 - Абсолютные ошибки До углов поворота и ДсЖ. вектора

смещения в случае абсолютных ГНСС-измерений

Фигура Средняя длина линии 2,5 км Средняя длина линии 10 км Средняя длина линии 20 км Средняя длина линии 40 км

Ц(А) х10 Дсо ДсЖ м Ц(А1 х10 До ДЖ м Ц(А1 х10 Дсо Д<Ж м х10 Дсо Д Ж м

Треугольник 35 1,74" 0,69" 0,55" 27,2 43,0 32,0 11 1,73" 0,68" 0,56" 27,2 42,9 32,0 4,7 1,73" 0,68" 0,56" 26,1 42,8 32,0 2,6 1,72" 0,68" 0,56" 27,1 42,5 31,9

3 луча 38 1,74" 0,69" 0,54" 27,2 43,0 32,0 11 1,73" 0,68" 0,56" 27,1 42,9 32,0 4,7 1,73" 0,68" 0,55" 27,0 42,8 32,0 2,8 1,73" 0,68" 0,55" 26,9 42,6 31,9

4 луча 29 1,74" 0,68" 0,57" 27,4 43,1 32,0 7,8 1,74" 0,68" 0,56" 27,2 43,0 32,0 4,0 1,74" 0,68" 0,56" 27,1 42,9 32,0 2,1 1,73" 0,68" 0,56" 27,1 42,8 32,0

Четырехугольник 37 1,79" 0,66" 0,51" 25.6 44,5 32.7 8,2 1,79" 0,66" 0,51" 25,7 44,4 32,7 4,1 1,78" 0,66" 0,51" 25,8 44,3 32,6 2,0 1,78" 0,67" 0,52" 26,0 44,1 32,5

Таблица 3 - Абсолютные ошибки Дев углов поворота в случае

относительных ГНСС-измерений

Фигура Средняя длина линии 2,5 км Средняя длина линии 10 км Средняя длина линии 20 км Средняя длина линии 40 км

И(А) Да КА) До Д(А) Дю КА) До

Треугольник 2,1-Ю3 2,234" 1,560" 1,181" 7,МО3 6,665" 6,249" 4,605" 1,4-104 13,427" 12,603" 9,243" 2,8-104 26,66" 24,91" 19,76"

3 луча 9,3-Ю2 211,4" 131,7" 109,6" 83 0,396" 0,370" 0,275" 67 0,179" 0,168" 0,124" 66 0,127" 0,118" 0,087"

4 луча 2,8 0,002" 0,006" 0,002" 3,1 0,002" 0,002" 0,000" 3,3 0,001" 0,001" 0,000" 3,4 0,001" 0,001" 0,000"

Четырехугольник 7,4-102 137,1" 1,068" 0,660" 2,2-102 1,969" 0,674" 0,010" 1,9-102 0,752" 0,011" 0,003" 1,4-102 0,273" 0,005" 0,001"

Четырехугольник (одна диагональ) 2,2 0,003" 0,000" 0,000" 2,2 0,003" 0,000" 0,000" 2,4 0,003" 0,000" 0,000" 2,3 0,003" 0,000" 0,000"

Четырехугольник (две диагонали) 1,6 0,000" 0,000" 0,000" 1,5 0,000" 0,000" 0,000" 1,4 0,000" 0,000" 0,000" 1,4 0,000" 0,000" 0,000"

Менее предпочтительным для определения ЭВО относительным методом является четырехугольник и трехлучевое построение. Здесь при средних длинах линий фигур до 20 км число обусловленности быстро уменьшается, а после 20 км практически стабилизируется (рисунок 3). Отсюда следует, что в случае возникшей необходимости эти построения желательно применять только при средних длинах линий более 20 км.

Из всех рассмотренных геометрических построений треугольник является наиболее «слабой» фигурой для определения ЭВО как по абсолютным, так и по относительным ГНСС-измерениям (рисунки 2 и 4). В обоих случаях матрицы коэффициентов соответствующих систем уравнений характеризуются большими числами обусловленности и ошибками решения (таблицы 2 и 3).

Из полученных результатов проведенных экспериментов следует, что при развитии геодезических сетей относительными ГНСС-измерениями они должны содержать не менее чем четыре исходных НП. В этом случае будет образо-

вываться не менее шести векторных ходов (замыкающих векторов) между исходными НП и определение ЭВО при этом будет происходить по схеме четырехугольника с двумя диагоналями.

1 - четыре луча; 2 - четырехугольник с одной диагональю; 3 - четырехугольник с двумя диагоналями.

Рисунок 3 - Относительные определения

Рисунок 4 - Относительные определения (треугольник)

В четвертом разделе «Методы построения и уравнивания геодезических сетей с использованием ГНСС-технологий» приведены теория уравнивания и методы построения геодезических сетей, а также определения пространственных координат одного или нескольких НП векторными построениями с использованием результатов относительных ГНСС-измерений. Изложена теория пре-

образования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно, методика оперативного выявления геодезических пунктов, испытавших эффект морозного выпирания. Описаны технологические схемы и приемы выполнения топографических съемок земной поверхности с использованием ГНСС-технологий.

При проведении топографо-геодезических работ с помощью ГНСС-технологий важным моментом является преобразование высот НП из геодезической системы в нормальную и обратно. В работе разработан математический алгоритм для решения этой задачи, хорошо зарекомендовавший себя при проведении автором большого объема производственных работ.

Для решения поставленной задачи по формуле Стокса с использованием модели ЕОМ-96 (либо ЕСМ-08) рассчитывается аномалия высоты С,г4 относительно общего земного эллипсоида (ОЗЭ) \VGS-84. Затем уже определяется аномалия высоты С,п относительно референц-эллипсоида (РЭ) Красовского как

^ = & - (Н Г84 - Н Г42) = 'Си ~ ¿Н, (10)

с1Н = (Нги — Нгп),

йН= (-сог'2г+ (йг'Уг + ¿Х)со$В-со5Ь + (тх7г- + б?У)соз5зт£ + + (-сог Уг+ ауХг + (12?)- Б1аВ - (1 - 0,5 е242 ■&'т2В)-(аи - ап) + + 0,5-а42(1 + 0,5-е242 ■5т2В)т ■(е\4-е242Уэт2В,

где Нг%А — геодезическая высота точки относительно ОЗЭ \VGS-84; Нт — геодезическая высота точки относительно РЭ Красовского; йН- разность геодезических высот между ОЗЭ и РЭ в заданном НП; В,Ь — геодезические широта и долгота точки в системе РЭ; Ы— радиус кривизны РЭ в плоскости первого вертикала; с1а — разность больших полуосей ОЗЭ и РЭ; (¡е2 — разность квадратов эксцентриситетов ОЗЭ и РЭ; ае42- большая полуось и эксцентриситет РЭ Красовского; а?л, еы— большая полуось и эксцентриситет ОЗЭ \VGS-84.

После того, как по формуле (10) будет вычислена аномалия высоты можно найти геодезическую высоту точки относительно РЭ как

//г42 = На 2 + С« .

При этом значение нормальной высоты Нц выбирается из каталога координат.

Описанный метод преобразования высот точек из геодезической системы в нормальную и обратно может применяться для различных референц-эллип-соидов и вошел в ГОСТ Р 51794-2008 (Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек: нац. стандарт РФ. - Стандартинформ, 2009. - 16 с. - (Глобальные навигационные спутниковые системы)).

Одной из важных и часто встречающихся геодезических задач является развитие геодезических сетей различного назначения в системе координат исходных пунктов с помощью ГНСС-технологий. В работе рассмотрены методы и математические алгоритмы определения координат одного, двух и более НП пространственными векторными построениями на основе проведения относительных ГНСС-измерений.

Значительная часть геодезических работ выполняется на узких и протяженных (от нескольких десятков до нескольких сотен километров) участках местности, на которых выполняется топографическая съемка надземных и подземных линейных объектов (автомобильных и железных дорог, линий электропередачи, трубопроводов различного назначения и т. д.). Расстояние между определяемыми НП здесь, как правило, колеблется от сотен метров до 20 км. В таких случаях целесообразно развивать геодезическую сеть пространственными векторными ходами с применением относительного метода ГНСС-измерений. При этом в качестве исходных достаточно иметь два пункта (рисунок 5, а). Если на участке работ требуется определять ЭВО геодезических систем координат, то в число исходных необходимо включать один или два дополнительных пункта ГГС, что позволяет получить четырехугольники с одной или двумя диагоналями (рисунок 5, б, в).

36

диу.

ДЙщ

б)

п - исходный пункт; ■ - дополнительный пункт; о - определяемый пункт

Рисунок 5 - Некоторые варианты схем построения векторных ходов: а) схема 1; б) схема 2; в) схема 3

В векторном ходе (рисунок 5, а) измеряются базовые векторы ДЙ0, (г = 1, ..., к, где п - число базовых векторов) между пунктами хода. Эти векторы, как правило, представлены в общеземной системе координат. На этапе математической обработки вычисляется вектор-столбец \У = [IVх 1¥у 1¥г]т невязок координат и вектор-столбец поправок У, = {Ух, Уу, У2,]г к векторам ДНС,:

где Г*г,и Ы°2 - радиус-векторы первого и последнего по ходу исходных НП в референцной системе координат;

¿ДЙС( - сумма измеренных базовых векторов;

S¡ — длина г'-го базового вектора;

5 - сумма длин базовых векторов хода (общая длина хода). Исправленные значения базовых векторов ЛКП вычисляются в системе координат исходных НП по формуле

Затем определяются радиус-векторы НП векторного хода 0' = 1,2, ..., тя, где т — число определяемых НП) в референцной системе координат как

о

Г2>

ДНГ/=Д11И +У/.

1*п = К°п + ЛЯп, Кг2 = Иг. + ДЯп, Иг» = Кг*,-, + ДИг„ I.

Для определения координат отдельных НП можно применять пространственную векторную засечку. Она представляет собой пространственную фигуру, в общем случае многоугольную пирамиду. У нее боковые ребра образованы базовыми векторами, полученными из выполненных относительных ГНСС-измерений. В ее основании находятся исходные НП, а в вершине - определяемый НП (рисунок 6). При построении засечек в число исходных желательно также включать один или два дополнительных НП.

п - исходный пункт; ■ - дополнительный пункт; о - определяемый пункт. Рисунок 6 - Вариант построения пространственной векторной засечки

В пространственной векторной засечке геоцентрический радиус-вектор Я, определяемого НП вычисляется в референцной системе координат по каждому базовому вектору АЙС, отдельно (здесь число базовых векторов совпадает с числом исходных НП) как

Окончательно пространственное положение определяемого НП при равноточных ГНСС-измерениях базовых векторов находится по формуле

/-1

где п — число измеренных базовых векторов.

Рассмотренные методы определения координат НП просты, весьма эффективны и дают хорошие результаты. Например, в 2003 г. на Самбургском место-

рождении газа была создана геодезическая сеть, состоящая из 20 пунктов. При этом ГНСС-измерения выполнялись двухчастотными приемниками. Всего было проложено четыре основных векторных хода, опирающихся на четыре пункта ГГС. Характеристика точности полученных координат НП этой сети представлена в таблице 4.

Таблица 4 - Точность определения координат пунктов в векторных ходах

Номер хода Число определяемых пунктов Длина хода (км) Невязка в превышении Fh (мм) Относительные ошибки по координатам

X Y Н

1 8 38,9 73 1/499000 1/322000 1/533000

2 4 12,5 28 1/241000 1/447000 1/447000

3 6 19,6 61 1/1630000 1/306000 1/321000

4 2 33,3 63 1/362000 1/2223000 1/529000

Из таблицы 4 видно, что высоты пунктов векторных ходов под номерами 1, 3 и 4 по точности соответствуют требованиям нивелирования IV класса, а хода под номером 2 - III класса.

При развитии сплошных геодезических сетей применяется другой метод уравнивания. В нем формируется система линейных уравнений поправок для определения пространственных координат НП в системе координат исходных пунктов и углов поворота со:

D • бсо - Е • 5Rf + Е • 5RW = ARC,.,+I -ARÜV+, + V, (II)

где 8(0, 5R(. и 5Rj+| — поправки к приближенным значениям одноименных векторов;

Е - единичная 3x3 матрица коэффициентов;

ARGj f+l — измеренный в общеземной системе координат базовый вектор (г = 1,2, ..., п; п - число измерений);

AR0i,+1 - вычисленный базовый вектор;

V — трехмерный вектор-столбец поправок к вектору ARC.

Здесь матрица коэффициентов Б имеет вид

Б =

О -А20 ДУ0

а'2с О -дхс

-ДУС дх0 о

Она формируется из компонент измеренного базового вектора ДКС. Это имеет большое значение, так как при решении систем нелинейных уравнений итерационными методами более точное значение матрицы коэффициентов линеаризованной системы уравнений дает более точное ее решение и приводит к уменьшению числа итераций. В значительно преобладающем числе случаев вектор ЛКС известен точнее, чем пространственные положения исходных НП.

Из решения системы уравнений (11) можно не определять сразу все поправки, а сначала определить углы поворота со, а затем - пространственное положение всех НП. При таком подходе система уравнений (11) упрощается, так как из нее исключается вектор неизвестных 5со. Для определения вектора со можно применить один из двух приемов. В первом - измеряются базовые векторы между опорными НП, например, векторы ДКс,, ДГ1°;2, ДК^и ДКд4 (см. рисунки 5 и 6). Однако, такой прием увеличивает затраты на выполнение полевых работ. Во втором — вместо непосредственно измеренных базовых векторов между опорными НП предлагается получить замыкающие векторы из суммы измеренных базовых векторов по векторным ходам, проложенным между опорными и определяемыми НП. Так, например, базовый вектор ДИс2 (см. рисунок 6) можно определить как

дй£2 = дй02-дй01.

Как следует из анализа количественных условий наблюдаемости ЭВО, для достижения качественных результатов уравнительных вычислений желательно, чтобы создаваемые геодезические сети содержали в себе не менее четырех ис-

ходных ЫП. Соблюдение этого условия приводит к тому, что матрица коэффициентов сформированной системы линейных уравнений поправок будет хорошо обусловлена и мало чувствительна к ошибкам координат исходных НП и результатов измерений.

В рассмотренных схемах геодезических построений измеряются базовые векторы &R0i (i = 1,2, ..., и, где п - число базовых векторов) между НП. Для выполнения уравнительных вычислений их численные значения выбираются из электронных протоколов работы утилит используемых программных комплексов, например, утилиты «Baselines» программного комплекса «GPSurvey», либо «Trimble Geomatics Office» и других.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем:

- дано теоретическое обоснование регулярной постановки задачи оценивания параметров состояния нелинейной динамической системы по результатам беззапросных радиотехнических траекторных измерений спутников. Раскрыта сущность сингулярных ошибок и показано, что различие между измеряемыми параметрами и псевдопараметрами обусловлено наличием этих ошибок в результатах измерений. Это позволило сформировать общий вид нелинейных и линеаризованных моделей измерений для первичных и вторичных измеряемых псевдопараметров в задаче оценки параметров состояния рассматриваемой нелинейной динамической системы;

- разработаны нелинейные математические модели беззапросных импульсных и фазовых радиодалыюмерных, интегральных (в локальной и спутниковой шкалах времени) и дифференциальных доплеровских траекторных измерений спутников, которые отвечают уровню точности современных радиотехнических систем;

- получены уравнения поправок для определения расширенного вектора оцениваемых параметров по результатам беззапросных радиотехнических тра-екторных измерений спутников, что позволяет получать оценки заданного набора определяемых орбитальных и геодезических параметров при различной геометрии взаимного расположения спутника и наземного пункта с точностью, соответствующей точности выполняемых измерений;

- разработана теория и получены экспериментальные значения различий между длиной траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли и прямой наклонной дальностью до спутника. Развиты теория и методика учета влияния тропосферной и ионосферной рефракции в результатах беззапросных радиодальномерных и доплеровских измерениях спутников. Учет этих эффектов в математических моделях измерений позволил повысить степень их адекватности;

- разработана теория учета влияния изменения гравитационного поля Земли на движение спутника по орбите, которая позволяет повысить точность определения параметров движения спутника, и имеет существенное преимущество перед численным методом по эффективности, быстродействию машинных алгоритмов и надежности получаемых результатов;

- выполнены теоретические и экспериментальные исследования качественных условий наблюдаемости параметров движения спутника, пространственных положений наземных пунктов и параметров вращения Земли, а также количественных условий наблюдаемости элементов взаимного ориентирования в случае радиотехнических траекторных измерений спутников, что повышает степень регулярной постановки измерительной задачи и способствует созданию оптимальных алгоритмов ее решения;

- на основе выполненных экспериментальных исследований определены оптимальные значения высот спутника над горизонтом, при которых в процессе абсолютных спутниковых наблюдений значение высоты наземного пункта находится с максимальной точностью;

— развитая в диссертации теория уравнивания и методы создания плановых и высотных геодезических построений по результатам относительных ГНСС-измерений для определения пространственных положений наземных пунктов в системе координат исходных пунктов, а также экспериментально доказанное положение о том, что эти построения должны содержать в себе не менее четырех исходных геодезических пунктов, позволяет расширить область применения ГНСС-технологий в геодезии и повысить точность определения координат наземных пунктов;

— разработана методика оперативного выявления геодезических пунктов, испытавших влияние эффекта морозного выпирания, которая позволяет сократить производственные затраты на выполнение работ и повысить надежность создаваемых геодезических построений;

— разработан оптимальный математический алгоритм и методика преобразования высот точек из геодезической системы высот в нормальную и обратно, что существенно повышает эффективность и производительность определения пространственных координат НП с использованием ГНСС-технологий.

Таким образом, цель диссертационной работы достигнута, поставленные задачи решены. Совокупность теоретических и практических положений, имеющих важное научно-практическое значение, позволяет считать проблему разработки теории и методов определения пространственных координат наземных пунктов по результатам траекторных измерений спутников решенной, что способствует расширению области применения спутниковых технологий в геодезии.

Эффективность теоретических и практических результатов исследований подтверждена в процессе проведения в СГУГиТ фундаментальных НИР и производственных работ. Разработанные в диссертации математические алгоритмы и созданные на их основе алгоритмические программы доведены до практического применения и используются при проведении различных топографо-геодезических работ с помощью ГНСС-технологий. Применение ряда разрабо-

танных методов и технологических решений при выполнении этих работ позволило повысить как их качество, так и производительность, что обусловило значительный экономический эффект при их выполнении. Результаты исследований внедрены в производство и в учебный процесс.

Дальнейшая разработка темы связана с расширением направлений использования моделей траекторных измерений спутников, а также развитием теории и методов построения и уравнивания пространственных векторных построений.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Дударев, В. И. Математические модели доплеровских траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. - 2008. -№ 2. - С. 76-77.

2 Дударев, В. И. К вопросу расчета аномалии высоты при СРБ-определениях пространственных координат точек [Текст] / В. И. Дударев, | Г. А. Панаев | // Геодезия и картография. - 2008. - № 2. — С. 78.

3 Дударев, В. И. Математические модели беззапросных радиодальномер-ных траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. - 2008. - № 6. - С. 53-54.

4 Дударев, В. И. Оценка состояния динамической системы по результатам радиодальномерных траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2009. - № 5. - С. 17-21.

5 Дударев, В. И. Поправка в дальность за кривизну траектории распространения радиосигнала в тропосфере Земли [Текст] / В. И. Дударев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2009. - № 6. — С. 37-39.

6 Дударев, В. И. Формирование вектора правой части уравнений поправок для обработки результатов радиотехнических траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. -2010. 3. - С. 46-48.

7 Дударев, В. И. Дифференциальный и интегральный методы доплеров-ских спутниковых наблюдений [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. -2010.-№ 6. - С. 12-16.

8 Дударев, В. И. Оценка состояния динамической системы по результатам доплеровских траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. - 2010. — № 7. — С. 6-10.

9 Дударев, В. И. Развитие геодезических сетей пространственными векторными построениями [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия и картография. -2010,-№8.-С. 4-8.

10 Дударев, В. И. Оценка влияния изменения гравитационного поля Земли на движение спутника [Текст] / В. И. Дударев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. — 2012. —№ 2. — С. 8-13.

11 Дударев, В. И. Оценка параметров состояния нелинейных динамических систем в спутниковой геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 8-13.

12 Дударев, В. И. Уравнения поправок для определения геодезических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений спутников [Текст] / В. И. Дударев // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. -№ 4/С. - С. 13-18.

13 Дударев, В. И. Постановка задачи оценивания состояния динамической системы [Текст] / В. И. Дударев // Математическая обработка результатов геодезических наблюдений: сб. науч. тр. - Новосибирск: НИИГАиК, 1993. - Т. 51(91). -С. 19-30.

14 Дударев, В. И. Математические модели радиодальномерных траекторных измерений ИСЗ [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 1998. - Вып. 3. -С. 46-48.

15 Дударев, В. И. Вопросы наблюдаемости в космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 1998. - Вып. 3. - С. 33-39.

16 Дударев, В. И. Условия наблюдаемости в задаче определения параметров вращения Земли по спутниковым данным [Текст] / В. И. Дударев // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): сб. ст. - Новосибирск: СГГА, 1999. - С. 18-24.

17 Дударев, В. И. Математические модели доплеровских методов спутниковой радионавигации [Текст] / В. И. Дударев // Судовождение: управляемость, управление, навигация, обучение: сб. науч. тр. - Новосибирск: НГАВТ, 1999. - С. 21-26.

18 Дударев, В. И. Определение некоторых геодезических и геодинамических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев // Междунар. научно-техн. конф., посвящ. 220-летию со дня основания Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК): сб. ст. - М.: МГУГиК, 2000. - С. 3-9.

19 Дударев, В. И. Методика учета влияния атмосферной рефракции в радиотехнических траекторных измерениях спутников [Текст] / В. И. Дударев // Междунар. научно-техн. конф., посвящ. 220-летию со дня основания Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК): сб. ст. - М.: МГУГиК, 2000. - С. 9-17.

20 Дударев, В. И. Планирование задач оценивания элементов ориентирования геодезических систем координат [Текст] / В. И. Дударев // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000): сб. ст. - Новосибирск: СГГА, 2001. - С. 3-11.

21 Дударев, В. И. Матрица изохронных производных в регулярных элементах [Текст] / В. И. Дударев // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000): сб. ст. - Новосибирск: СГГА, 2001.-С. 12-15.

22 Дударев, В. И. Влияние ошибок расчета матрицы коэффициентов и вектора правой части на решение СЛАУ в некоторых задачах космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 2002 .- Вып. 7. - С. 21-25.

23 Дударев, В. И. Математический алгоритм расчета переходной матрицы в задаче определения орбит космических аппаратов [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 2002. - Вып. 7. - С. 17-21.

24 Дударев, В. И. Опыт выполнения топографических съемок с применением спутниковых приемников [Текст] / В. И. Дударев // Сб. материалов LUI Меж-дунар. научно-техн. конф. - Новосибирск: СГТА, 2003. — Ч. 3. - С. 265-267.

25 Дударев, В. И. Некоторые аспекты построения и уравнивания геодезических сетей сгущения с использованием GPS-технологий [Текст] / В. И. Дударев // Сб. материалов LUI Междунар. научно-техн. конф. - Новосибирск: СГГА, 2003.-Ч. З.-С. 268-269.

26 Дударев, В. И. Определение местоположения недоступных объектов при проведении топографических съемок с помощью GPS-технологий [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 2005. - Вып. 10. - С. 66-69.

27 Дударев, В. И. Выявление стабильных и мобильных пунктов Государственной геодезической сети в северных регионах [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 2005. - Вып. 10. - С. 70-72.

28 Дударев, В. И. Построение пространственной векторной засечки [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2006. Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 24-28 апреля 2006 г.). - Новосибирск: СГГА, 2006. Т. 1, ч. 1.-С. 119-120.

29 Дударев, В. И. Уравнивание пространственного векторного хода [Текст] / В. И. Дударев // Геодезия, картография, кадастр в освоении природных ресурсов Байкальского региона: материалы 2-й региональной научно-произв. конф. - Иркутск: ИрГТУ, 2006. - С. 41-44.

30 Дударев, В. И. Создание геодезической сети сгущения на территории Самбургского газового месторождения с использованием GPS-технологий [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2007. III Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 25-27 апреля 2007 г.). - Новосибирск: СГГА, 2007. Т. 1,ч. 1.-С. 139-141.

31 Дударев, В. И. Классификация систем координат, применяемых в космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 145-150.

32 Дударев, В. И. Преобразование основных систем координат, применяемых в космической геодезии [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2010.

VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля

2010 г.).-Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1,ч. 1.-С. 135-144.

33 Дударев, В. И. Сингулярный анализ решения некоторых задач спутниковой геодезии [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 1 (12). -С. 35-43.

34 Дударев, В. И. Уравнивание геодезических сетей по результатам относительных GPS-измерений [Текст] / В. И. Дударев // ГЕО-Сибирь-2011.

VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля

2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 108-116.

35 Дударев, В. И. Оценка относительной ошибки матрицы изохронных производных [Текст] / В. И. Дударев // Вестник СГГА. - 2011. - Вып. 1 (14). -С. 7-16.

36 Дударев, В. И. Поправка за кривизну траектории радиосигнала в тропосфере [Текст] / В. И. Дударев // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Экономическое развитие Сибири и Дальнего Востока. Экономика природопользования, землеустройство, лесоустройство, управление недвижимостью» : сб. материалов в 4 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 4. - С. 187-191.

Изд. лиц. ЛР № 020461 от 04.03.1997. Подписано в печать 24.08.2015. Формат 60 х 84 1/16. Печ. л. 2,00. Тираж 100 экз. Заказ //¿Г Редакционно-издательский отдел СГУГиТ 630108, Новосибирск, Плахотного, 10. Отпечатано в картопечатной лаборатории СГУГиТ 630108, Новосибирск, Плахотного, 8.