Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Пространственно-временное моделирование с помощью числовых функций

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Пространственно-временное моделирование с помощью числовых функций"

V Б О*

- 8 ДЬЙнСТАТУТ ЗЕМНОГО МАГНЕТИЗМА, ИОНОСФЕРЫ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН

На правах рукописи БУРДЕЛЬНАЯ Ирина Анатольевна

удк 550.384

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ

04.00.22 - Физика твердой земли

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1998

Работа выполнена в Институте земного магнетизма, ионосферы и распространенйя ^адибйЬлн Российской Академии Наук. - ^ ; - г-.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Головков В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук

Фонарев Г.А. (Институт геоэлектромагнитных исследований ОИФЗ РАН, г.Троицк;

доктор физико - математических наук Левитин А. Е. ( ИЗМИРАН)

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный

центр МГУ

Защита состоится ...29 декабря....... 1998г. в ...10....час. на заседании

Диссертационного совета ИЗМИРАН по адресу: 142092, г. Троицк,Калужское ш., Московской области, ИЗМИРАН (проезд, авт. № 531 от ст. метро "Теплый Стан", ост. ИЗМИРАН)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЗМИРАН. Автореферат разослан "...27..." ....ноября....................... 1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

доктор физико-математических наук О. П. Коломийцев

Общая характеристика работы.

Актуальность темы исследований и современное состояние проблемы.

Интерес к аналитическому моделированию геомагнитного поля, возросший в начале 70-х годов, сохранился до настоящего времени и определяется необходимостью использовать модели в разных областях современной науки (геофизика, космические исследования, навигация, геология). Аналитические модели геомагнитного поля, используя различные наземные данные (МО, ПВХ) и данные разновысотных съемок на аэростатах, самолетах и спутниках, позволяют вычислить значение поля в любой точке как на земной поверхности, так и вне Земли.

Но за последние десятилетие повысились требования к точности моделирования геомагнитного поля (ГМП) и его вековых вариаций, что связано с запросами фундаментальных исследований и практики магнитной картографии. Например, для проведения крупномасштабных магнитных съемок в геологоразведке необходима точность до единиц нТл, такая же точность требуется и для исследования геомагнитных джерков. Глобальные модели наиболее развиты и удобны в использовании, однако они дают усредненную точность по всей поверхности Земли, так как точность моделирования зависит от количества, качества исходных данных и равномерности их распределения в пространстве и времени. А на огромных океанских акваториях практически отсутствуют измерения на МО и ПВХ.

Для региональных моделей, на таких территориях как Европа, Северная Америка или Австралия, где имеется обширная сеть МО и ПВХ, существует возможность получить модель ГМП высокой точности, однако алгоритмы высокоточного регионального пространственно-временного' моделирования недостаточно разработаны.

В данной работе предлагается значительно улучшить точность пространственно-временного моделирования ГМП как на всей поверхности Земли, так и на отдельно взятом регионе с помощью применения статистического метода естественных ортогональных составляющих (МЕОС), который эффективно применялся в метеорологии при изучении количественных характеристик состояний атмосферных движений (более ранние работы -

Багров, 1959; Обухов, 1960), а затем получил распространение для анализа главного геомагнитного поля и его вариаций ( Вертлиб и др., 1970; Файнберг, 1975; Пушков,1976). Использование статистических особенностей метода позволяет значительно улучшить результаты как глобального, так и регионального моделирования изменений поля.

Цели исследования.

Основная цель настоящей работы - разработка пространственно-временных моделей, с высокой точностью описывающих изменения геомагнитного поля и их использование для изучения характеристик вековых вариаций в диапазоне характерных времен до 100 лет.

Решались следующие задачи : -разработка методики пространственно-временного моделирования с использованием одного из видов численных функций - естественных ортогональных составляющих для описания временных изменений геомагнитного поля;

- создание высокоточной глобальной пространственно-временной модели на 25 летнем временном интервале;

-разработка алгоритма регионального пространственно-временного моделирования на примере создания региональной модели на территории Канады;

- изучение статистических свойств вековых вариаций в диапазоне характерных времен до 100 лет посредством построения пространственно-временной модели на 90-летнем интервале.

На защиту выносятся спедуюише положения.

1. Глобальная пространственно-временная модель 12М8Т, построенная на интервале с 1970г. по 1995г. имеет непрерывный, несглаженный характер описания геомагнитного поля с точностью до 10-15 нТл, что на порядок лучше точности описания современными дискретными моделями международного поля относимости (серии ЮР^).

2. Высокоточная региональная пространственно-временная модель, разработанная для территории Канады на 25-летнем временном интервале с 1971г.

по 1995г. описывает поле с точностью до единиц нТл, с использованием небольшого набора данных, имеет широкое прикладное значение. 3. Короткопериодные вековые вариации ГМП с характерным временем 60 лет не синхронны во времени и фазы этих вариаций случайным образом распределены по поверхности Земли.

Научная новизна и практическая значимость работы.

До настоящего времени не было предпринято попыток построения высокоточных пространственно-временных моделей на всей поверхности Земли с представлением временных изменений ГМП с помощью числовых, функций. Существующие современные глобальные дискретные модели не отвечают требованиям, предъявляемым к описаниям геомагнитных вариаций на длительном временном интервале.

Для описания вариаций ГМП на отдельной территории способ соединения потенциального сферического секторного гармонического . анализа, с разложением на базисные естественные ортогональные функции г позволяет получить высокоточную региональную модель, . имеющую широкое практическое применение. Сравнительный анализ с, существующими на данный момент для территории Канады моделей CGRF95.5 и РОМ-Канада 71/95 показал наглядное преимущество алгоритма, в котором для пространственного описания применяется потенциальный ССГ анализ, а для временного описания - метод ЕОС. . , ..,

Использование для изучения свойств короткопериодных вековых вариаций пространственно-временной модели, построенной с помощью разработанного алгоритма на 90-летнем временном интервале позволяет выявить новые особенности этого вида вариаций.

Реализация работы.

Работа выполнена в лаборатории Главного магнитного поля Земли Отделения "Магнетизм Земли и планет" ИЗМИРАН по плану научно-исследовательских работ, проводимых в рамках темы "Исследование пространственно - временной структуры вековых вариаций геомагнитного поля " ( № гос. per. 01.9.30 010015 ).

Апробация результатов и публикации.

Основные результаты исследований, приведенных в диссертации были доложены на 7 научной Ассамблее 1АСА ( г.Боулдер, США, 1995г.), на 8 научной Ассамблее 1АСА (г. Упсала, Швеция, 1997г.) на Российско-Индийском симпозиуме (Россия, 1997г.), а также на научных семинарах и Ученом Совете ИЗМИРАН. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения, общим объемом 170 машинописных страниц, содержит 27 рисунка и 16 таблиц. В списке цитируемой литературы 96 наименований.

Диссертация выполнена под руководством доктора физико-мате-матических наук, профессора В.П.Головкова, которому автор глубоко признателен за постоянное внимание и неоценимую помощь на всех этапах работы. Хотелось бы также поблагодарить Т.Н.Бондарь и всех сотрудников лаборатории за ценные замечания и полезные советы во время работы над диссертацией. Автор также благодарит за помощь в оформлении диссертации Л.И. Яковлеву.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ .

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, определяется цель работы и решаемые задачи, приводятся краткие сведения о научной новизне, практической значимости и аппробации полученных результатов.

Глава 1. Исследования геомагнитного поля и его вариаций (Обзор).

Первая глава данной работы посвящена обзору данных, анализу точности измерений, а так же описанию ГМП и аналитических методов, применяемых при моделировании . ; |

Наиболее точные измерения ГМП можно получить по мировой сети МО и по данным высокоточных магнитных съемок низкоорбитапьнымй искусственных спутников Земли. Первая группа обсерваторских данных характеризуется

непрерывностью временного ряда, неравномерностью распределения по поверхности Земли, а также содержанием локальных магнитных аномалий.

Вторая группа высокоточных спутниковых измерений отличается равномерностью, в пространстве и коротким периодом съемки. Следует отметить, что измерения магнитного поля Земли, выполняемые в , МО являются наиболее точными по сравнению с данными любых геомагнитных съемок, включая современные компонентные спутниковые измерения. Среднегодовые значения элементов ГМП, полученные в МО, являются основным видом данных, который используется как для изучения динамики ГМП, так и в магнитной картографии. Осреднение за столь большой интервал позволяет практически исключить влияние вариаций поля магнитосферно-ионосферной природы.

Структура ГМП имеет сложноменяющийся характер как во времени, так и в пространстве. Главное магнитное поле Земли генерируется в ее жидком ядре и описывается аналитическими методами как на земной поверхности, так и в околоземном пространстве. Пространственный спектр ГМП имеет глубокий максимум (переходная зона), который позволяет формально разделить его по частотному составу на главное и аномальное. Таким образом, задача моделирования ГМП может быть осуществлена путем разложения в ряд по некоторым аналитическим функциям, причем обрезанием ряда отсекаются зысокие пространственные частоты и таким образом моделирование является настотным фильтром.

Основными аналитическими функциями в настоящее время остаются сферические гармонические функции (СГА), как функции описания 1ространственной структуры ГМП. Метод СГА и его модификаций обладают эядом недостатков, а именно, плохая сходимость рядов в результате несоответствия сферических функций характеру пространственного распределения поля,, взаимозависимость коэффициентов разложения, определяемых методом наименьших квадратов и большое число членов разложения, все это зпределяет. поиск новых численных методик, посредством которых возможно лаксимально точно описывать поле с минимальным количеством функций.

Одной из таких методик и является метод ЕОС, основными преимуществами которого, при сравнении с другими методами разложения по

ортогональным функциям являются следующие свойства: - система базисных функций строится на основе исследуемого материала; - при заданном числе членов разложения МЕОС обеспечивает лучшую аппроксимацию поля; -большая устойчивость получаемых функций; - быстрая сходимость ряда к значениям поля; - возможность одновременно использовать временные й пространственные значения поля.

Выше перечисленные достоинства и недостатки различных способов представления ГМП позволяют сделать вывод об актуальности разработки высокоточной пространственно-временной модели на основе всех имеющихся данных как на всей земной поверхности,так и на отдельных участках, используя иной подход к моделированию ГМП.

Глава 2. Методика пространственно-временного моделирования.

Если рассмотреть задачу пространственно-временного моделирования ка( статистическую задачу интерполяции в четырехмерном пространстве, тс выражение для некоторой компоненты геомагнитного поля В имеет вид :

В(ед,м)= SSE Z bij^F^ö)- - H,(r)Tk(t)- ^

i=0j=01=0 k=0

где переменные б, X - географические коширота и долгота; г центральное расстояние и t- время; bijki - численный коэффициент/,: F G, Н, Т - некоторые функции переменных. 1

Учитывая, что распределение данных на земной поверхности нерав номерно, задача моделирования решается в двух вариантах - региональном i глобальном.Так, как точность моделирования определяется точносты исходных данных, а наиболее высокоточными данными являются данные MC ПВХ и глобальных спутниковых съемок, то выбирается такой мето, пространственного моделирования,основанный на потенциальном характер магнитного поля, который описывал бы поле на разных высотах, а такж позволял в одной модели объединить данные всех компонент полного поля.

Естественным выбором для пространственного моделирования следующи; из сферической геометрии пространства, является разложение потенциала ряд по сферическим гармоникам (СГА). Для ограниченной части сферическог

пространства удобной потенциальной моделью является разложение по гармоникам сферического сектора (ССГА).

В обоих случаях (глобальном и региональном) важным преимуществом выбора СГА или ССГА является интегральная ортогональность функций разложения на поверхности модели (сфере или сферический сектор). Это свойство, при наличии равномерного распределения данных, упрощает нахождение параметров модели с помощью метода наименьших квадратов (МНК), сводя матрицу нормальных уравнений МНК близкой к диагональной.

В качестве временных базисных Тк (()- функций использовались ЕОС-функции, свойства которых определяются во-первых, быстротой сходимости ряда, во-вторых, ортогональностью функций на всем временном интервале, и в-третьих, способностью описать поле во всем спектральном диапазоне вековых вариаций. Последнее также существенно важно для улучшения точности решения статистического интерполирования, поскольку в этом случае модель не сглаживает изменения поля во времени и, следовательно, высокочастотная часть вековой вариации входит в модель, а не в остаточное поле, выступающее в статистической задаче в качестве "квази-ошибки" данных.

Метод ЕОС использует базисную систему функций, которая строится на основе статистической структуры исследуемого объекта. В общем случае экспериментальные данные составляют двумерную таблицу. Если некоторая

функция Ну задана на конечных множествах точек Ъ, /=1, 2, ... т во времени и в пространстве Ху, у = 1, 2, ... п., то поле числовых значений Ну = Н может быть получено в результате измерения некоторой

физической величины в точках Р а дискретные параметры и

х> могут быть как моментами времени, так и пространственными характеристиками или другими свойствами исследуемого процесса. Разложение в виде конечной суммы из К членов будет иметь вид :

Но = I Х,.,Ти, (к < п), {2)

к

где в нашем случае Ты - функции, зависящие только от времени; Хк] - функции, зависящие от расположения точек наблюдения, } е[1,и]- номер строки, /е[1,т]~ номер столбца исходной матрицы данных.

Алгоритм вычисления естественных ортогональных составляющих следует из доказательства ортогональности временных функций Тпри выполнении условия ортогональности для Хц :

I X ЦХ = 0 к * 1,

1 ' J О)

Е X к.Х ц * 0 к = .1,

}

Функции Ту и Х^ определяются из условия метода наименьших квадратов, чтобы сумма квадратов ошибок была минимальной:

Р = 2 5 2 =2 £ [н ц - Е X цТк|] =

2

(4)

т т

Рассматривая Ти и Х^ КЗК переменные и учитывая условие ортогональности

(3) находим минимум 8 из системы уравнений относительно 'м и :

дТ 2

зт н ¡¡х и + х ц = 0 (5)

ар = -2 Е Н чТк| + 2Хк11 Ты2 = О

5Х к.

Приравнивая члены с одинаковыми к получаем :

Щ Н М (в)

Т

_ _

£ х ^

Подставляя в (5) Ты для каждого члена разложения можно записать уравнение:

X X к,£ Н ¡:Н и = X Тк; £ -X к <7)

к 1 1 3

Если ввести следующие обозначения :

А, =-^-2НцНа, Х = "Е Тк; 2 £ X ^ • О

т ; ш 1 I

где — - нормировочный коэффициент; с учетом новых обозначений т

выражение (7 ) переписывается в виде векового уравнения :

^Jt^ki - ЛХ kj

(9)

l

где Ají - элементы квадратной и симметричной матрицы, Хк - естественные ортогональные составляющие. Решением этого уравнения является п собственных чисел Я;, которые представляют дисперсии коэффициентов разложения Tk¡ и используются для определения среднеквадратичного вклада каждой ЕОС в описание поля, следует отметить, что дисперсия ошибки аппроксимации <т определяется как:

ст 2 = Z А i ~ Z Л к . (щ

1 = 1 Л = 1

Пользуясь выражением (6) достаточно просто дпя каждого собственного зектора Xkj вычислить соответствующую временную функцию Необходимо отметить, что временные функции Тм, так же как и собствен-ные

зекторы, образуют ортогональную систему. При к Ф g имеем :

£ TkiTgi I XyS Xg, = II X kjX glI Н ¡¡И ik = i j 1 j к i (11)

m£XkjI A j|X g, — mil X kX g= = 0 j 1 i

эткуда следует ортогональность временных функций Tk¡: Е TkiT • =0 k * g

(12)

Условие ортогональности 7У выполняется строго на заданном множестве.

Свойством выше описанных функций X], Г/ является их независимость от 1ерестановки строк или столбцов. Можно считать, что в каждой точке наблюдения Р(у) измеренное значение, с некоторой минимизированной по ¡сем точкам ошибкой, моделируется линейной комбинацией к некоторых временных функций 77, где X} выполняют роль коэффициентов.

Для глобального моделирования используется разложение магнитного потенциала в околоземном пространстве в двойной ряд : ( \"+1

щед,г) = а1х - собшА. + Ь™ бш тЛ.)Р„ш(со89) <13)

п-1ш=0 V X/ 4 '

где - и Л" - коэффициенты пространственного разложения; а -

радиус Земли и Р™(соъв) - присоединенные полиномы Лежандра степени

п и порядка т, заданные в нормировке Шмидта, выбранной таким образом,

что зональные полиномы Р" и тессеральные Р™ (/я ) 0) имеют

одинаковую норму.

Коэффициенты в пространственно-временной модели зависят от времени

и £я (V и А™ (I) можно разложить в ряды по некоторым функциям : Ь = 1

Мы получаем следующий вид разложения (13):

^ / лч+1 ® п к (а

ф,Ш)=аНЕ у Тк(ф™ сшпЛ+Ь^ аппЛ)Рпт(оо50), ™

где В^с; Ь^к не зависят ни от координат, ни от времени.

Используя выражение (15) для потенциала поля, уравнение для компонент будут иметь вид:

1 гГП кн„ . /аУ+2 с№т(в)

= 2 соэггЛ+Ь^ яппЛ.}-

г да к=ш=1т=о 1 да

¥(0,Ш) = —~ = ■I Тк(г)(ш)[й С05ШЛ - 5тпЛ.](-1 РД0) ГйтО 6к 51п9к=1п=1т=0 1 Кг;

= = I (1)(п+1) • [й созпй+С(0)

06)

Уравнения (16) являются условными при использовании метода наименьших квадратов для определения коэффициентов 8"к и ЛД .

и

Для решения проблем регионального моделирования ГМП применяется метод сферического секторного гармонического анализа (ССГА), который основывается на частотном разложение геомагнитного потенциала в пределах сферической шапки с координатами полюса (0', X'). Основное выражение ССГА имеет вид:

и(0Д,г) = а, IX Г-1"( ) р;, ¡(созОХеГ €05(пЛ) + ЬГ бш(пЛ)) <17>

1=0тп-0ЧГ/ '

Базисные функции ССГА, в отличие от СГА, дают однородно сходимые разложения для магнитного поля В, которое может быть экстраполировано на небольшие расстояния за пределы площади. Естественно, что в этом случае базисные функции не будут ортогональны . Разделив набор на два подвида по четности и нечетности, внутри каждого набора базисные функции будут ортогональны, хотя некоторые функции в одном наборе не будут ортогональны к некоторым функциям в другом наборе.

Задание координат полюса сферической шапки и половины величины угла сферического сектора накладывает определенные граничные условия на применение данных. Для этого частного случая СГА долгота изменяется в пределах от 0 до 2я, а ко-широта в пределах от 0 до во, где во - половинная величина сектора, в - функции образуют два подвида ортогональных функций Р» в пределах [0; 0о]. Граничные условия удовлетворяют таким

значениям /7/, для которых выполняются следующие условия:

др"„(т)(со5во) _ 0 для к - т = четная (18)

<10

Рпш(т) (сов 0 о ) - 0 для к - т = нечетная

Для во = 90° выражение для магнитного потенциала принимает вид стандартного СГА. Для большого К и малого т степень т (т) вычисляется по следующей формуле:

6о

где во выражается в градусах.

".О*)" 0711+ 2, 2

Длина волны, соответствующая сферическим гармоникам срепени П вычисляется как \у = 360°/П ( для земной поверхности соответственно -40000 кт / п ) И следовательно, если \vmin - минимальная длина модели, то / тех находится как

1 _в_о_ ( 3 60° + 1_ (20>

й 90'Чв» и1. + 2) 2

Если рассматривать вклад только от внутренних источников, а коэффициенты §™(1),Ь5П(1) разлагать в ряды по временным функциям Тк(Ц, то выражение для геомагнитного потенциала будет иметь вид :

I К { \

и(бЛгД) = а|1)1 Тк (1)(ё^со5(т1)+Ь ,^т(пЛ))Рпт(ш) (со50), (21>

Задача пространственного регионального моделирования методом ССГА решается набором следующих выражений: 1Н1Т КЬ I ЛЛ*0**

(22)

Уравнения (22) являются условными при использовании метода наименьших квадратов для определения коэффициентов g™(t) а Ь™(1)-

В случае пространственно-временного моделирования главного магнитного поля Земли следут прежде всего учесть некоторые особенности вековых геомагнитных вариаций. На интервале моделирования в несколько десятков лет ГМП меняется относительно мало. При средней величине поля ~ 50000 нТл среднегодовые изменения компонент поля составляют около 50 нТл. Таким образом, пространственная картина изменений на интервале в несколько десятков лет как на всей поверхности Земли, так и на отдельном регионе содержит огромную постоянную составляющую.Применение МЕОС к временным рядам полного поля из обсерваторий приводит к выделению в

каждой из них постоянной части в виде одной(главной) ЕОС. Абсолютная погрешность любой ЕОС определяется погрешностью выделения ЕОСтах с максимальной дисперсией.

Для исключения этого влияния выбиралась некоторая эпоха внутри интервала моделирования в качестве поля относимости и анализировалисьь ряды отклонений поля от поля эпохи относимости. Главным аргументом в пользу выбора в качестве эпохи относимости эпоху 1980 года является наличие единственной в своем роде спутниковой компонентной съемки МАСБАТ. Высокая точность модели 06ЯР-80, построенной на данных МАСЭАТ, определяет высокую точность полной модели.

Таким образом, исходными данными для пространственно-временного анализа были изменения компонент поля на интервале моделирования относительно эпохи относимости, т.е.

Вс; = В Х19ХХ>- В,(1980) (24)

В качестве данных для создания пространственно-временной модели достаточно высокой точности могут быть использованы среднегодовые значения поля в МО, ПВХ и результаты спутниковых магнитных съемок. Первый тип данных может быть представлен в виде прямоугольной матрицы, если все временные серии имеют одинаковую длину и не содержат пропусков внутри интервала моделирования. Два других типа данных не составляют непрерывных и равномерных временных рядов. Поэтому алгоритм пространственно-временного моделирования состоит из двух этапов.

На первом этапе выбирается определенное количество относительно равномерно расположенных на поверхности Земли МО, которые имеют непрерывные временные ряды среднегодовых значений поля на исследуемом временном интервале и пользуясь этими данными в виде базовой матрицы, вычисляются временные функции Тк(т) для необходимого количества К естественных составляющих.

На втором этапе используются уже всё доступные данные, в том числе данные ПВХ, съемок над сушей, в океане или на спутнике, и решается задача пространственно-временного моделирования с использованием потенциальных сферических гармонических функций (СГА) для всей поверхности Земли

или сферических секторных гармонических функций (ССГА) в случае для отдельного региона.

Для того, чтобы использовать модульные данные спутниковых съемок применялся метод линеаризации зависимости модуля вектора поля от его потенциала. Условное уравнение может бьггь составлено относительно модели (То,Хо,Уо,2о) принятой за нулевое приближение и имеет вид :

(25)

1 о 1 о 1 о

Таким образом, моделируется не все поле, а лишь разность полей на эпохи I и й>. Если за эпоху, на которую построена модель, позволяющая с высокой точностью определить значения То, Хо, Уо, 2о . принять эпоху 1980, выражение (25) для точки р(г,6Д,0 переписывается в следующем виде:

. к ,, У/дип . л гт ^19X0 ) (26)

ДТ. = АХ. ДУ. + дг.,-^-

* Т„ т„ т„

дт.-!980 = (дх,.,

у 7

'1980 1 лу , 1 i а 7 ^

+ а 11-1980 ~^ 1-1980

1980 I 1980 '

1980 1980

Используя формулы для компонент мы получаем более расширенное выражение (26) :

у Ч

п+2

2 со8(тХ)+1СБт(тХ))|

11980

¿Рпш(8) (19

Т1980 в-1т-0 v 1980 п"|ш=0

8:со8(тЛ.)-ь:8т(тЯ.)[-1 Р0га(е) + Ч V У

< г \ п+2

со8(тЯ.) + К 8т(тЦ-I (п + 1)Р„т (0)

(27)

Следует отметить, что изменения поля за 10-15 лет от эпохи МАСвАТ не превышали 1500 нТл при средней величине поля 50000 нТл. Поэтому эффект перпендикулярной ошибки, который описан в работе Лоуса (1975) и составляет сотни нТл оставался, но величина этой ошибки уменьшалась в 50000/1500 = 33 раз, чем при моделировании самого поля, т.е. не превышала 20-30 нТл.

Глава 3. Глобальное пространственно-временное моделирование геомагнитного поля.

В настоящее время существуют две группы моделей, описывающих

изменения поля на всей поверхности Земли. Это дискретные модели международного поля относимости ( IGRF), построенные через каждые 5 лет ( Langel RA el al., 1992) и непрерывные модели, где временной ход аппроксимируется некоторыми аналитическими функциями. Такими функциями могут быть разложения в ряд Тейлора, гармонические ряды или сплайны .

При данном подходе к глобальному пространственно-временному моделированию, когда решается проблема неоднородного распределения различных фупп, использовались два основных вида данных - это ряды среднегодовых обсерваторских измерений по мировой сети МО и высокоточные данные спутниковых измерений. Данные ИСЗ МАГСАТ позволили исключить влияние интенсивных магнитных аномалий, обусловленных источниками в земной коре из данных МО, а СГ-анализ данных трехкомпонентной съемки спутника МАГСАТ позволил получить высокочастотную модель поля на эпоху съемки.

Временной интервал для глобальной модели поля выбирался, исходя из существования высокоточных моделей, построенных по данным спутниковых съемок. Так как существует модель DGRF-70, построенная по данным спутниковых съемок OGO-6 и POGO-8, которые покрывали временной интервал с середины 1969г. по начало 1971г., а так же модель WMM92.5 (optimum), построенная по данным POGS, покрывающего интервал 1991-1993г, то естественным оказывается выбор временного интервала моделирования в пределах 1970 -1995 г.

Первой группой данных, которые были использованы при создании глобальной пространственно-временной модели, являлся набор среднегодовых значений X, Y, и Z мировой сети магнитных обсерваторий (данные 150 МО), в виде разности между наблюденными значениями в произвольную эпоху и в эпоху 1980, как эпоху относимости.

Вторым видом данных является набор синтезированных значений (221) на эпохи 1970 (модель DGRF-70) и 1992 (модель WMM92.5 (optimum)), которые покрывают обширные регионы над океанами, лишенные обсерваторских данных. Чтобы исключить зоны интенсивных токовых систем в

\

ионосфере были введены широтные ограничения (выше 55° С и Ю и в узком поясе вдоль экватора). Соответственно как и для обсерваторских данных, так и для синтезированных, в анализе использовались разности на эпохи 19701980 и 1992-1980гг. Для того, чтобы уменьшить эффект перпендикулярной ошибки, который хорошо известен и составляет сотни нТл применялся метод линеаризации зависимости модуля вектора поля от его потенциала, учитывая, что изменения поля за 10-15 лет от эпохи МАГСАТ не превышали 1500 нТл при средней величине поля 50000 нТл. В результате, возможность перпендикулярной ошибки оставалась, но ее величина уменьшалась в 50000/1500 раз, чем при моделировании самого поля, т.е. не превышала 20-30 нТл.

Данные модельных спутниковых съемок в описываемом алгоритме не использовались, так как невозможно получить разницу измеренных двумя разными спутниками полей в одной точке пространства и из-за нелинейной зависимости модуля вектора от его потенциала.

На первом этапе пространственно-временного моделирования - анализа МЕОС и получения временных функций были выбраны 28 обсерваторий, ряды среднегодовых значений которых удовлетворяют условию равномерности распределения на поверхности земного шара. База исходных данных по компонентам поля X, У и 7. составлялась из разности между наблюденными значениями в отдельной эпохе для отдельной обсерватории и значениями для эпохи 1980г. (описано выше). Исходный массив состоял и 28 х 25 х 3 = 2100 значений. Так как, 75 значений временных функций Т/ определялись из 2100 условных уравнений, го переопределенность системы уравнений равна 28, что позволяет получить Ъ с точностью единиц нТл.

ЕОС-анализ выполнялся до К = 4. Для каждой ЕОС рассчитывался ее вклад в описанием обсерваторских данных (В для I е [ 1; 4 ]), а также рассчитывались среднеквадратичные отклонения промежуточных моделей. Следует отметить, что начиная с 1=3 вклад следующих ЕОС мал. Поэтому, в качестве временных функций для пространственного анализа использовались значения трех первых ЕОС ( 75 численных значений ).

Для этапа пространственного моделирования поля использовался больший набор исходных данных, в который входили как ряды среднегодовых значений 28 МО, используемых в ЕОС-анализе, так и ряды данных всех

остальных существующих МО, а также синтезированные значения на 221т. по коэффициентам моделей на эпохи 1970г. ( DGRF-70) и 1992r.(WMM92,5 optimum).

Пространственный СГ анализ проводился до степени и порядка 10 всех трех коэффициентов, описывающих пространственное распределение трех первых ЕОС. Было получено 3n(n-»-2)=360 коэффициентов вместе с тремя ЕОС, которые представлены 75 отдельными числами; суммарный набор параметров модели IZMST70/95 составляет 435.

Для нахождения 360 пространственных коэффициентов использовано 5000 условных уравнений на основе выше описанных данных. Переопределенность в методе наименьших квадратов составляла около 14, что при оценочной ошибке исходных данных около 20 нТл, что достаточно для получения минимально возможной погрешности в определяемых коэффициентах. Для

получения модели на конкретную эпоху, коэффициенты ^ и А" перес-читывались по следующим формулам :

з

8п (0 ~ 8n(DGRFS<i) + 8п1 '

.1= 1 3

AiT(0= ^(DGRFiO) + X 8п1 ' Т„ (2д)

Таким образом были получены коэффициенты для эпох 1970 и 1992гг. Для оценки точности моделирования, по этим коэффициентам синтезировались значения поля и затем сопоставлялись с моделями DGRF70 и WMM92.5 (optimum).

Среднеквадратичные расхождения по обсерваториям не превышают 20 нТл и представляют цепочку небольших фокусов вдоль экватора и ряд отдельных фокусов в регионах Северной Америки и Дальнего Востока для 1970г ( рис.1). Природу приэкваториальных фокусов можно объяснить вкладом перпендикулярных ошибок в моделях DGRF70 и WMM92,5 (optimum). Следует отметить, что в 70-х годах серия IGRF менее точна, чем IZMST7095 .

Построенная по разработанной методике глобальная пространственно-временная модель IZMST7CH55 описывает использованные данные в анализе с

высокой точностью на всем временном интервале моделирования (3040 нТл), независимо от того, обусловлена ли какая-либо эпоха спутниковыми данными или нет. Предложенная методика глобального моделирования с числовыми функциями ЕОС позволяет значительно уменьшить величину перпендикулярных ошибок и таким образом, заполнить пространства океанов, где отсутствуют компонентные данные, данными спутниковых съемок полного вектора поля. Особенностью глобальной модели IZMST является использование в анализе не полной величины главного геомагнитного поля, а величину его изменения за временной интервал от 1до13 лет.

Глава 4. Региональное пространственно-временное

моделирование геомагнитного поля на территории Канады.

При выборе региона для создания региональной пространственно-

временной модели ГМП естественным требованием является наличие достаточного количества высокоточных данных, позволяющих надеяться на получение лучшего соответствия модели данным, чем это может быть достигнуто с помощью глобальной модели. Выбор территории Канады для пробного моделирования обосновывался наличием большого количества данных и существованием других высокоточных моделей, таких как модель CGRF95 (Haines et al., 1995) и РОМ-Канада (Головков и др., 1997).

При вычислении временных ЕОС функций были использованы среднегодовые трех-компонентные значения 14 МО, которые расположены внутри региона моделирования и имеют непрерывные временные ряды измерений за последние 25 лет (с 1971г. по 1995г.). Но так как территория моделирования охватывает большую площадь, чем территория Канады, то вместе с канадскими обсерваториями (Ф.Черчилл,Минук,Моулд-бей,Оттава, Резольют-бей, Виктория) были использованы МО, расположенные на территории США (Барроу, Боулдер, Ньюпорт, Ситка, Тусон), а также Нарсарссуак (Дания), Туле (Гренландия), Уэлен (Россия).

Базовая матрица имела размерность [ 25; 42 ] и исходный массив состоял из 14 х 25 х 3= 1050 трех-компонентных зн.(разностных величин между наблюденными измерениями и измерениями эпохи 1980г, эпохой относимости). Следует отметить, что средняя величина исходных разниц для X, Y, Z- компонент поля не превышает 600 нТл .

Для пространственного ССГА были использованы трех-компо-нентные данные 15 МО, частично применяемых в ЕОС анализе, расположенных в пределах региона моделирования и временного интервала 1971 - 1995 гг. Общее количество обсерваторских значений составило 15 х 24 х 3= 1080 (Xi-Xis»o = ДХ)

Для более равномерного покрытия данными территории Канады^ были использованы наземные данные 41 ПВХ Канады. Вычислялись разницы между эпохами "съемок на одном ПВХ по трем компонентам. Общее количество разностных зн. ПВХ равно равно 41x3 = 123. Так как мы не могли использовать данные на водных пространствах, входящих в пределы рассматриваемой территории, то мы использовали синтезированные значения, полученные из глобальных моделей, ... опирающихся на наиболее точные спутниковые съемки. Всего было ; использовано 330 синтезированных значений (110 точ.).Общее количество данных, использованных в пространственном анализе -1080 значений по МО + 123 значения по ПВХ +330 синтезированных значений= 1533.

На первом этапе создания региональной пространственно-временной модели Канады за период 1971-1995гг. на основе трех-компонентной матрицы данных 14 МО расчитывались 25 х 4 = 100 численных зн. ЕОС. Разложение проводилось до К=4. По графикам зависимости о* от К отмечалось, что начиная с К=3, вклад следующей, 4-ой ЕОС в описание 1 данных МО уже незначителен, так как, для 3-й ЕОС среднее с*к для всех трех компонент не превышает 7 нТл, а для 4-ой ЕОС - 6.5 нТл. Следовательно, в качестве временных функций для пространственно-временного анализа достаточно использовать первые три ЕОС, 75

значений, определенных из 14 х 25 = 350 условных уравнений. Переопределенность системы (Р ) равна 4.5 .

На втором этапе решения задачи регионального пространственно-временного моделирования ГМП был проведен ССГ анализ. Для проведения пространственного ССГА был выбран половинный угол сферической шапки, покрывающей территорию Канады, а также координаты полюса сферической шапки - (ро = 65°, Хо = 275°. Разложение производилось до Lmax=10. Количество пространственно-временных коэфициентов расчи-тывалось как :

N = ((Lmax + l)2)-K , ; f29)

где К - степень разложения ЕОС. Общее количество пространственных коэффициентов N = 363. По полученным модельным пространственно-временным коффициентам, синтезировались значения на исходные точки и оценивалась погрешность моделирования.

Региональная модель CGRF95, опубликованная в работе Хайнеса и др., (1997) представляет геомагнитное поле относимости Канады на эпоху 1995г. и является последней в ряду подобных аналитических моделей, построенных за 10-летний период на территории Канады (CGRF85, (Хайнесидр., 1986); CGRF87.5 (Ньюит и др., 1989); CGRF90 (Ньюити др., 1991 )).

Региональная модель относимости CGRF95 была построена с применением ССГА. Разложение проводилось до Ктах= 16, общее число пространственных коэффициентов расчитывалось как (Kmax + 1)2- 289, что соответствует 49 сферическим гармоникам. Для временного разложения, в отличие от предыдущих моделей (CGRF87.5,CGRF90), где применялось простое полиномиальное разложение, в CGRF95 использовалась тригоно-метрическая cos - функция . Следует отметить,

что степень m (tm ) выбиралась различной, в зависимости от Kmax. Так, ДЛЯ Kmax = О - m = 7 ; для Kmax = 2 + 5- m = 3; ДЛЯ Kmax = 6 4- 7- - m = 1 ; для Kmax = 8 4- 16 - m = 0. Таким образом, общее количество пространственно-временных коэффициентов в модели CGRF95 равно

439. Полюсом сферической шапки является точка с координатами - сро = 65° и Ул = 85°, величина половинного угла = 30°.

Набор исходных данных состоял из данных 28 МО, из данных П8Х, из данных HC3"MAGSAT" и ИСЗ "POGS" за период с 1991г. по 1993г., из векторных аэромагнитных данных Геологической службы Канады, скалярных аэромагнитных данных (111 точ), морских измерений для периода с 1975г. по 1978г. Канадской Гидрографической службы ("160 точ.), а также данных с Северного Магнитного Полюса (25 изм.). Общее количество данных, которые были использованы при создании модели CGRF95 составляет 7012 векторных значений и 9915 компонентных значений наземных и спутниковых измерений.

Основы методики регионального пространственно-временного моделирования с использованием полиномов Лежандра для пространственного разложения ГМП и ЕОС как временных функций были заложены в работе Головкова и др. (1994), а затем опробированы на отдельных территориях Америки, Арктики, Японии и Восточной Азии (Головков и др., 1996,1997;Чернова, Головков и др., 1998).Версия РОМ-Канада 71/95 была построена на основе данных, использованных при построениях моделей CGRF95.5 и ССГА+ЕОС71/95,

В сводной табл.1 приведены результаты аппроксимации ГМП различными пространственно-временными моделями на территории Канады.

Табп.1. Среднеквадратические ошибки моделей CGRF95.5, ССГА----■■•_ ЕОС71/95, РОМ-Канада 71/95_- —

RMS X Y Z

CGRF95.5

Обсерватории 11.3 7.8 10.9

ПВХ 30.2 . 28.7 33.4

РОМ-Канада 71/95

Обсерватории 8.9 8.2 12.2

ПВХ 17.1 20.6 20.9

ССГА-ЕОС 71/95

Обсерватории 5.6 6.3 6.8

ПВХ 10.2 12.4 11.3

Можно отметить, что если точности моделей ССЯР95.5 и РОМ-Канада71/95 равнозначны, то ССГА-ЕОС показывает меньшие среднеквадратичные ошибки как для МО, так и для ПВХ. Региональные модели ССГА-ЕОС71/ 95 и РОМ-Канада используют значительно меньшее количество данных, чем ССИР95.5 (в десятки раз), и лучшими качествами аппроксимации ГМП обладают потенциальные сферические секторные функции, в отличие от полиномиальных функций Лежандра.

Глава 5. Исследование свойств короткопериодных вековых вариаций.

Для исследования структуры главного ГМП поля был использован подход, описанный для высокоточного моделирования. Ограничениями такого моделирования является отсутствие глобальных высокоточных данных в доспутниковую эпоху и невозможность получения высокоточной модели за достаточно продолжительный интервал времени. Так как, точные глобальные данные появляются с развитием МО, примерно с начала нашего века, то проведение ЕОС анализов на временных рядах на столетнем интервале представляется возможным и важным для изучения свойств короткопериодных геомагнитных вариаций.

В качестве данных для анализа были использованы среднегодовые значения X, У и г по мировой сети МО за 90-летний интервал времени с 1905г по 1995г. Из набора 185 действующих в настоящее время МО, были выбраны данные МО, имеющих непрерывный ряд измерений за исследуемый временной интервал и удовлетворяющих условию равномерного распределения на поверхности Земли. Таких обсерваторий рказалось всего 14 .

Таким образом для ЕОС - анализа на интервале 1905-1995гг. было использовано I ■ и - 90 • 42 = 3800 среднегодовых значений элементов X, У и 2 поля в 14 МО, где / - количество лет, а 3 - число обсерваторий, умноженное на количество компонент. Поскольку каждая функций Тк содержит / определяемых величин, то общее количество неизвестных

равно I'K. Количество данных для анализа позволяет определять Тк до К ¿8. Для временного анализа (а далее и для пространственного) исходная матрица составлялась из разностных значений с эпохой относимости 1980г.

Для того, чтобы сравнить разложение по ЕОС данных, распределенных по земной поверхности более равномерно, чем 14 МО, были использованы в качестве базисных -"синтетические" значения, т.е. синтезированных по 19 эпохам IGRF на период с 1905 по 1995г. В качестве поля относимости для набора синтезированных значений была выбрана модель DGRF80. Исходная матрица (19, 100), как; и в случае с обсерваторскими данными, сотояла из разностей значений поля на текущую эпоху с эпохой 1980г. Таким образом, для ЕОС-анализа было использовано 1900 значений Z - компоненты поля, синтезированные по моделям IGRF по сетке из 100 точек, равномерно распределенных по земной поверхности на 90-летнем интервале. В этом случае степень переопределенности & 12. На графиках ЕОС и в этом случае наблюдаются те же закономерности, что и на рисунках, полученных разложением данных МО. Таким образом, полученные для этого временного интервала ЕОС статистически значимы и описывают изменения поля с погрешностью, сопоставляемой с погрешностью исходных данных.

Для пространственно-временного анализа были использованы все имеющиеся компонентные данные по 185 МО за 90 лет. Пространственное расположение МО весьма неравномерное, что приводит к ошибкам в представлении поля. Таким образом искомая пространственно-временная модель не может претендовать на общую высокую точность и использование ее как стандартной для описания изменений ГМП на исследуемом временном интервале.

Для того, чтобы данные равномерно покрывали всю поверхность Земли была использована система IGRF, представленная набором ÎGRF и DGRF моделей на 19 отдельных эпох, аналогично временному

анализу и для пространственного СГА наряду с набором обсерваторских данных было использовано 5700 синтезированных значений (X, У, Z) на эпохи в 100 точ. Коэффициенты g ™k ; h"k рассчитывались для

интервала 1905-1995гг только для двух вариантов - для п=10, К=3 и п=6, К=6. Точность полученных моделей определялась среднеквадратичным значением расхождения модели с исходными данными.

Из проведенных сравнений следует, что, во-первых,точность в описании данных зависит прежде всего от степени разложения по сферическим гармоникам при К г 3, т.е. вклад высокочастотных временных функций в описание поля невелик. Во-вторых, точность моделей, полученных по данным МО и IGRF приблизительно одинаковая (50-80 нТл). В-третьих, замечена большая погрешность IGRF моделей для эпох 1945г. и 1950г.

На графиках наблюдалось, что форма третьей ЕОС близка к синусоиде с периодом, равным интервалу анализа L. Первую и вторую ЕОС в первом приближении можно представить как отрезки синусоид, которые имеют периоды, близкие 4 L и 21 соответственно. Последующие ЕОС являются периодическими квазифункциями. Так период ЕОС-4 равен 1/2L, ЕОС-5 - 1/3 L ; ЕОС-6 - 1/4 L, то есть их периоды кратны длине временного интервала. Форма последних ЕОС 7 и 8 содержат достаточно большую шумовую составляющую. И хотя они тоже являются квазипериодическими функциями и их периоды кратны L, но возрастание кратности нарушено.

Для исследования явления кратности Тк - временному интервалу, ЕОС анализ был выполнен для данных трех более коротких временных интервалов - 1925-1995 (70 лет), 1945-1995 (50 лет), 1965-1995 (30 лет), для которых по тем же 14 МО определялись ЕОС до К=8. Из проведенных ЕОС-анализов видно, что формы кривых проявляют абсолютное подобие и не зависят от длины временного интервала, то есть для каждого временного интервала третья ЕОС имеет период равный длине этого интервала.

Построенные спектральные характеристики показали, что сокращение интервала модели до 70, 50 и 30 лет не меняет форму квазиспектров, то есть форма пространственных квазиспектров для временных гармоник К<3 как и соотношение их уровней остается такой же, как и для 90-летнего интервала и не зависит от абсолютной величины периода временной составляющей.

Следовательно, можно сделать вывод, что полученный тип разложения по ЕОС отражает какой-либо особый вид пространственно-временного распределения данных. Для проверки этого положения исследование аппарата МЕОС было проведено алгебраическим методом и проверено на моделях. Было показано, что естественные ортогональные составляющие могут быть численными рядами, аппроксимируемыми гармоническими функциями с периодами кратными временному интервалу анализа, только в случае, если анализируемые временные ряды представляют случайный шум с гауссовским распределением и временные серии не коррелируют друг с другом .

Полученный результат свидетельствует, что набор временных рядов для ЕОС анализа не содержит выделенных коррелируемых во времени, во всех точках вариаций, которые могли бы составить стабильную ЕОС, независимую от длины исходных рядов данных, например, 60-летние вариации, которые выделяются отдельной гармоникой при спектральном анализе временных рядов.Можно сделать вывод, что распределение ее фазы на поверхности Земли носит случайный характер. То же можно сказать о 30- и 20-летних вариациях и джерках.

Исходя из вышеизложенного основные результаты пространственно-временного анализа вековых вариаций ГМП с использованием ЕОС как функции временного базиса разложения на временном интревале около 100 лет свидетельствует, что на диапазоне периодов от единиц до десятков лет изменения поля на поверхности Земли некоррелированы друг с другом. Выделенные другими методами вариации с характерными временами 60, 20 лет и джерки не проявляются в ЕОС в связи с их несинхронностью в разных регионах земного шара.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Показано, что использование числовых функций ЕОС для решения задач пространственно-временного моделирования перспективно для получения высокоточных моделей. Важным преимуществом такого вида функций описания временной составляющей геомагнитного поля перед аналитическими функциями является способность числовых функций несглаженным образом представлять изменения поля год от года.

2. Разработана методика пространственно-временного моделирования с использованием потенциальных сферических гармонических функций цля всей земной поверхносги( сферических секторных функций для пространственного представления поля на отдельном регионе) и метода ЕОС для временного разложения.

3.Создана глобальная пространственно-временная модель IZMST 70/95, которая описывает изменения геомагнитного поля с точностью до 10-15 нТл, что на порядок выше точности описания существующих дискретных моделей полей относимости серии IGRF.

А. Полученная высокоточная региональная пространственно-временная модель для территории Канады позволяет оценивать изменения поля на 25-летнем интервале с точностью до единиц нТл. Проведенный сравнительный анализ с иными существующими моделями для этой территории (РОМ-Канада 71/95 и CGRF95.5) показал преимущества эазработанной методики для отдельной территории. 5. На основе построения модели на интервале с 1905г. по 1995г. был зыявлен случайный характер пространственного распределения «эроткопериодных вариаций с характерным временем 60 лет.

Настоящая работа показывает перспективность использования ■меловых функций для решения задач моделирования высокоточных моделей, имеющих прикладное значение. Открывается широкие зозможности для изучения свойств короткопериодных вариаций посредством разложения по естественным ортогональным доставляющим.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1.Головков В.П., Бурдельная И.А., Филиппов С.В., Кожоева Г.А. Региональное пространственно-временное моделирование с применением метода естественных ортогональных составляющих. II Геомагнетизм и аэрономия, 1994, т.34, N 4, с. 130-137.

2. Головков В.П.,Бурдельная И.А.,Филиппов С.В.,Кожоева Г.К.Учет векового хода геомагнитного поля с помощью непрерывных ортогональных моделей. // Геология и геофизика, 1996, т.37, N10, с. 108-117.

3.Головков В.П, Бондарь Т.Н., Бурдельная И.А., Яковлева С.В. Глобальное моделирование пространственно-временной структуры геомагнитного поля.// Геомагнетизм и аэрономия,1997,t.37,N 4,с.120-131.

4. Golovkov V.P., Belov В.А., Bondar T.N., Burdelnaya I.A., Yakovleva S.V. Using the Data of Satellite Magnetic Surveys for the Spatial-Temporal Precise Modeling of the Geomagnetic Secular Variation.// IUGG XXI General Assembly Abs., 1995, Boulder USA, B86.

5. Golovkov V.P., Bondar T.N., Burdelnaya I.A., Yakovleva S.V. The Global Spatial-Temporal Modeling of the Geomagnetic Field Changes.// IUGG XXI General Assembly Abs., 1995, Boulder USA, B132.

6.Golovkov V.P., Bondar T.N., Burdelnaya I.A., Yakovleva S.V. Using Satellite Magnetic Survey Data for Spatial-Temporal Modeling of the Geomagnetic Secular Variation. //J.Geomag.Geoelectr.,1997,y.49,p.207-227.

7. Golovkov V.P., Bondar T.N., Burdelnaya I.A., Yakovleva S.V. Comparison of Candidate Models for DGRF 1990 and IGRF 1995. // J. Geomag.Geoelectr., 1997, v. 49, p.291-315.

8. Bondar T.N., Burdelnaya I.A., Chernova T.A., Filippov S.V., Golovkov V.P., Zvereva T.I., Yakovleva S.V. Spatial-Temporal Modeling of the Geomagnetic Secular Variation. // Geomagnetic field and ionoshere variations. Proceeding of Second INDO-RUSSIAN Symposium on Nature and Variations of the Geomagnetic Field, Moscow 1998, p.82-113.