Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Применение стохастических методов для краткосрочного прогноза уровней воды в зоне выклинивания Чебоксарского водохранилища

ВАК РФ 11.00.07, Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия

Автореферат диссертации по теме "Применение стохастических методов для краткосрочного прогноза уровней воды в зоне выклинивания Чебоксарского водохранилища"

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМ" 0РРА30ВЛНИЮ

РОССИИСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Рг- г Л П ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

I О \/н (лтми>

о '{ МА!3

На правах р^кописи

Кузьмин Вадим Александрович

УДК 556.06:282.247.-Л4.5

ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗА УРОВНЕЙ ВОДЫ В ЗОНЕ ВЫКЛИНИВАНИЯ ЧЕБОКСАРСКОГО

ВОДОХРАНИЛИЩА

11.00.07 - Гидрология суши, водные ресурсы и гидрохимия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук •

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена аа кафедре гидрофизики и гидропрогнозов Российского государственного гидрометеорологи-

ческого института

У, Л

Научный р-'ководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор В.В. Коваленко доктор технических, наук, профессор И.Ф. Карасев кандидат технических наук доцент Г.Н. Угренинов Гидрометеорологический на-

уч.ю - исследовательский центр Российской Федерации..

¡защита состоится "21 " марта 1996 г. в 15- час. на заседании специализированного совета К.063.19.01 в Российском государственном гидрометеорологическом инстн-■тутг по адресу! 195196, Санкт-Петербург, Малоохтинский пр., 98

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГГМИ.

Автореферат разослан "ЛО" февраля 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета К.063.19.01

кандидат физидзс^&атематических наук, доцент Д- Еникеева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вер^не-Волжский регион, на территории которого расположен объект исследований (рис.), звляется одним из наиболее развитых в индустриальном отношении районов Российской Федерации. Наибольшее количество промышленных предприятий находится в Нижегородской области в непосредственной близости от Чебок-зарского водохранилища. В период весе шего половодья зозможно превышение уровнем в ды отметки 70,00 м БС, 1ри котором происходит затопление значительных площадей певобережья Волги и части территорий промышленных пред-триятий Городца, Балахны, Нижнего Новгорода. При 'уровне зоды выше 72,00 м БС наблюдаются катастрофические пос-тедствия. Этим объясняется острая необходимость предот-зращения подтопления путем оптимизации режима водо-:б1 оса Горьковской ГЭС, что можьг быть осуществлено только при наличии достаточно точного прогноза зтока )ки. Без него невозможно успешное прогнозирование уров-1ей воды Чебоксарского водохранилища.

В настоящее время прогноз притока Оки осуществляется с заблаговременностью около 10 суток по методике, зазработанной в Гидрометцентре СССР Ю.В.Горо/новым и другими специалистами. Для планирования режима работы 'орьковской ГЭС достаточно ^ суток, поэтому с5~цествует >бъ'ективная необхохщмость уточнения выпускаемого прог-юза путем прогнозирование расхода воды в створе р. О :а ■ г. Горбатов с меньшей заблаговременностью и большей

'ОЧНОСТЫО.

Помимо технической, проблема прогнозирования уровня [ебоксарского в дохранилища и стока Оки имеет и мето-(ологическую сторону: в связи с изменениями, про"с-:од>.щими на объекте, статистические методы прогноза не-¡инуемо становятся непригодными из-за искажения ис-юльзуемых эмпирических параметров. В то же время дина-шческие методы прогноза не отражают вероятностной сущ-юсти природных процессов, включая и перемещение воды ю руслу реки. Поэтому разрабатываемая методика должна азироваться на таких теоретических основах, которые :озволили бы изОежать этих недостатков.

Рост парка ЭВМ и совершенствование Лизико-матема-■ических методов исследования сделали вогможным внеяре-ие в практику стеративного прогнозирования стохаст!"-еских моделей, полностью соответствующих выдгинутым рабованиям.

-А -

Схема

01ьекта исслелоьании

, Рыбинское ьлхр

Список постов:

1. Ярославль

2. Юрьевеи,

3. Чкалоьск

4. Горьковскля ГЭС

6. Городбц Балахна

7.Сормово

8. Нижний Ноьгорсл

Муром ДО. Горбатов . Ноаинки

15. К< ВРоВ

Ч.Галины

;ель и задачи исследований. Главной целы исследований влялась разработка методики краткосрочного прогноза ровня Волги в Нижнем Новгороде б период прохождения есеннего половодья. С практической точней зрения наибольший интерес представляют уровни воды, превышающие в ижнем Новгороде отметку 70,00 м БС. Для пр^/гноза таких ровней необходимо было решить следующие о_:новные за-;ачи:

. Установить функциональную зависимости уровня в Нижем Новгороде от предикторов информация по которым ожет быть получена оперативной сетью Верхне-Волжского правления по гидрометеорологии и мониторингу окружа-щей среды.

. Учитывая, что с физической точки зрения одним из редсказателей должна бьггь какая-либо- характеристика тока Оки, изучить лозможьисть ее прогнозирования на с".оые динамической модечи.

. Улучшить результаты применения такой модели путзм ее тохастического обобщения.

. Разработать методику идентификации параметров стоматической модели.

. Произвести стыковку стохастической модели с моделью, писывающей зависимость уровня в Нижнем Ноьгороде от становленных предиктор в.

. Оценить эффективность методики прогнозирогаиия еттка кН и обобщенной методики прогноза уровня Волги, етод исследования и фактический материал. Кгтод - чиненное решение дифференциальны:: уравнений, В работе ис-ользованы результаты наблюдений на 12 гидрологических остах, расположенных на Волге, за весенние периоды 9 ет (с 1906 по 1994) и 4 постов на Оке и Клязьме за 17 эт (1966, 1968, 1970, ".981-1^94) в Б.1де срочных или /точных значений расходов или уровней.

аучная новизна работы. В работе предложена методика заткосрочного прогноза уровня р. Волги в Нижнем Новго-в период прохождения весеннего половодья с забла-эвременностьы в 1-5 суток. При разработке этой мето-{ки:

. Впервые разработана и применена для прогноза модаль-¿х (то есть наиболее вероятных) расходов воды в створе , Ока - г. Горбатов стохастическая модель перемещения ^водочных волн по руслу.

Разработана н применена процедура параметризации гохастической модели для участка р. Оки от г. Мурома 1 г. Горбатова.

3. Показано, что гри использовании в динамически* моделях параметров, найденных гидрометрическим путем, е общем случае юлучаюгзя значения расходов или уровней веды, отличающееся как от средних (равновероятных), так Ь от модальных зн-чений.

4. Показано, что лри использовании в моделях параметров, найденных путем оптимизации на основе метода наименьших квадратов, получаются значения расходов шв-уровней'водн, соответствующие среднему значению.

5. Предложены зозможные пути совершенствования процедуры параметризации I одолей.

Определены условия, при. которьш целесообразно применение стохастической модели . перемещения паводочны> волн.

Эффективнтсть прогностической методики и достоверность модеги подтверждена существующими методами оценк> краткосрочных гидрологических прогнозов. Предлотенна; методика проверена пу .¿ем . выпуска поверочных прогнозо! расходов р. Оки в Горбатове за 14 лет и уровней г Нижнем Новгороде за 3 года.

Прак1плесков значение работы. Полученные результат могут быть использованы прогностическими подразделениями Верхне-Волжского управления по гидрометеорологии I мониторингу окружающей среды для прогнозирования уровне весеннего половодья в Нижнем Новгороде и расходо! воды в створе р. Ока - г. Горбатов, а также для планирования режима работы Горьковской ГЭС в весенний период. Лредложенная стохастическая модель позволяем выпускать краткосрочные прогнозы стока рек, на которы; отсутствуют посты с рядами наС иорений, достаточными дл) разработки статистических или динамических методо! прогноза с эмпирически определяемыми параметрами. Пр! использовании стохастической модели для реки, на которой наблюдения, до сих пор не велись, выпуск прогнозо] возможен уже через 20-30 дней после начала наблюдений, что выгодно отличает предлагаемую методику от существующих. Описанный в работе порядок идентификации параметров стохастической модели может быть использован при разработке вероятностных моделей прогноза со-тавляющи: водного режима других объектов. На защиту выносятся!

- методика краткосрочного прогноза наивысших, уровней р Волги в Нижнем Новгороде/

- методика краткосрочного прогноза модагьных весенни расходов в створе р. Ока - г. Горбатее;

процедура идентификации параметров ■.гох, .стической юдели.

дробация работы. Отдегъные главы работы догладывались [ обсуждались на итоговых сессилх Ученого совета РГГМИ СПб, 1992, 1993, 1994). Ь полном объеме диссертация [окладьгвалась на заседание кафедры гидрофизики и гид-юпрогнозов РГГМИ (с участием ведущих уче-'^х институ-•а), на научных семинарах в Санкт-Петербургском госу-[арственном университете, Государствен ¿ом техническом ■ниверситете, Государственном гидрологическом институ-■е, Северо-Западном управлении по гидрометеоролог!!!! и юниторингу окружающей среды, Институте озероведения АН 'Ф. Некоторые выводы доложены на международном симпозиуме "Расчеты речного стока при гроектировании" ГГИ, Санкт-Петербург, 1995 г.) По теме диссертации 'Публиковано 5 работ.

'б'^ем работы. Диссертация состоит из введения, трех лав, заключения, списка литературы и приложений. Объем аботы 110 страниц; в ней содержатся 10 таблиц, 20 ри-¡унков и список литературы из 110 наименований. ичный вклад автора заключается в непосредственном частии в постановке изложенных задач, выборе и обосно-ании методов их решения, выполнении численьых экспе-иментов и анализе полученных результатов.

СОДЕРЖАНИЕ ВАБОТЫ

Во введении обсуждается проблема прогнозирования одного режима Чебоксарскохю водохрани.шща в период рохождения весеннего по.-оводья. Обосновывается важ-с~ть и актуальность предотвращения затопления терри-орий, прилегающих к водохранилищу, показываются при-ины выбора применяемых методов, перечисляются основные оложения, раскрывающие перспективность использования тохастических методов в гидропрогнозах.

В первой главе на основе опубликованных данных ается общая характеристика исследуемого района. Помимо раткого физико-географического описания объекта в гла-е рассмотрены изменения максимального весеннего стока, роизошедшие т результате строительства каскада воля • ких ГЭС. Отмечено, что, несмотря на двуг.ратное умень-ение максимальных расходов половодий, зчачтельнме тер-итории Нижегорох зкой области по-прежнему подвергаются ериодическому подтоплеыпэ, чем и вызвана актуальность

рассматриваемой задач л. Подчеркивается важность "очногс прогнозирование притока Оки из-?а сравнительно небольшого полезного объем^. Горьковского водохранилища (2,Е кл3), приводящего к ограничению его регулирующих возможностей. Освещается исторический опыт решения проблемы прогноза и юасчета различных составляющих водного режима Горьковского и Чебоксарского водохранилищ и Оки. Приведен краткий критический анализ существующих методов кратко прочного прогноза расходов воды на реках. Указаны теоретические предпосылки использования стохастических методов 1.ак диалектического обощения динамического и статистического-. подходов. <Г"эрмулируется цел1 и задача исследований.

Вторая глава посвящена изучению возможности прогнозирования уровь 1 воды в створе р. Волга - г. Нижний Новгород на осноге одного из простейших статистически? методов - . множеЬтвенной линейной регрессии. Для этогс рассматривались различные.комбинации потенциальных предикторов, в качестве которых были взяты данные о ежедневных расходах и уровнях воды, зафиксированные на 1( гидролтичесю х постах на Волге и в бассейне Оки. Каждый такой набор мог отразить требование соблюдения водного баланса Чебоксарского водохранилища, но в итог( оптимальным оказался вариант прогнозирования уровня вч-ды в Нижнем Новгороде по его значению на момент выпуск; прогноза, среднесуточному значению расхода водосброс; на ГорькоЕ зкой ГЭС и уровню или расходу воды в створ! р. Ока - г. Горбатов. По обучающей выборке, включающе? гидрологическую информацию за весенние периоды 19861991 гг., были выведены уравненгя регрессии для прогнозов с заблаговременностью в одни и двое суток:

Н'ш = + 0Д95Н£ + 0,6271^ + 81, (1)

. Н^ = '0,0333^ + 0,0220^ + 0,51вн£1 + 104, (2)

где Нщ - уровень в Нижнем Новгороде в день I:;

С!^1 - среднесуточный расход водосброса Горьковской ГЭС в день

но» и ~ уровень и расход в створе р. Ока - г.

Горбатов в дни и (:-2. Как видно из уравнения (2), для прогноз^ с забле говременностью в 2 суток необходима информация о сбросе

на Горьковской ГЭС на сутки вперед. Допустимый расход водосброса можно рассчитать по формуле:

= 19700 - 0,6640£ - 15,6Н^г. (3)

Поверочные прогнозы уровней полсзодья 1992-1994 гг., позволили получить среднее отношение

Д"(о*» - с*,)'

(где в = У'"1 А ч,

1 Дп - т)

- фактический расход воды, отмеченный в день г;

0П(1 - расход воды, который был спрогнозирован на день 1 ;

= 2,м - (погрешность так называемого

"природного"прогноза);

Д = Д1Д (средняя погрешность "природного"

прогноза);

п - оощее число грогнозов/

к - число дней той же фазы половодья, по которым

определяется Д ; п-ш - количество степеней свободы; х - заблаговременность прогноза) равное 0,43 при использовании уравнения (1) и 0,62 при использовании уравнения (2). Это говорит о допустимости их практического применения. Кроме них предложено еще 4 вида уравнений регрессии, которые могут быть применены в прогностических целях при отсутствии информации, необходимой для расчетов по приведенным уравнениям.

Один из разделов главы содержит критический анализ использования множественной регрессии, а также других процедур и критериев, в основе которых лежит метод на-именыш х квадратов (МНК). В частности,' указывается на некорректность применения МНК в ряде гидрологических задач, отличающихся зависимостью дисперсии погрешности аппроксимации от величины членов ряда. Это означает, что, , например, параметризация моделей на основе мини-

мизации оценки в общем случае не позволяет полу-

/" 4

чить оптимальных значений параметров (что уже отмечалось в работах Г.Н.Угренинова и Н.А.Багрова). Предлагается использовать для этой цел1: робастный критерий (то есть устойчивый к небольшому количеству значитель-лых выбросов или искажениям информации, возникающим при обработке данных) . Метрика лежащая в его основе,

является частным случаем известной метрики Хьюбера:

Гв^-О^-цри-А/г*« ^ (4)

- - гри 1 / п > а

где 0П,1 ~ спрогнозированный расход; а - допустимая оправдываемость; Офд ~ фактический расход;

1 - номер погрешности в вариационном ряду; п - об-дее количество прогнозов; т = 1 > а • п}.

о /

Использование критерия у 1-и

)

(где 5С = 2 / (п - и);

1- п гх-

= Ъ ^ / п;

1.1

|Д!, - при 1 / п < а

= л» ■ /

(¿^ - ти 1 / п > а

в некоторых случаях может привести , к улучшению прогностических методик. При а = 1 он полностью совпадает с применяемым кьгне отношением ^ .

Третья глава посвящена применению динамических и стохастиче ;ких моделей для прогноза расходов воды в створе р. Ока - г. Горбатов. В качестге базовой динамической модели взята модель кинематическог волны (МКВ) Алгоритм прогноза по МКВ можно записать в следующем виде:

оГЛ = + + - (5)

"де 1 и ] - индексы узлов расчетнрй сетки;

Дь - продолжительность всеменного интервала;

- боковая приточность, которгя в данном случае

задается в виде расходов в створе р. Клязьма - г. Ковров ¡умноженнпх на коэффициент 1,7, приближенно равный соотношение площади водосбора всей Кляз. мы и площади водосбора для этого створа); г - время добегания. Использование МКВ позволяет получить для створа в Горбатове вполне приемлемые результаты прогнозирования!

, найденное при выпуске поверочных прогнозов весен-'

них расходов 1981-1994 гг., равно 0,77, а для выборки из многоводных лет - 0,50.

Полученный результат можно улучшить, применяя стохастическое обобщение МХВ, которое позволяет отразить вероятностный характер рассматриваемого процесса, полу-ая характеристику спектра возможных траекторий развития процесса в виде распределения плотности вероятности расхода воды р(0,Ъ). Стохастические методы, описанные в работах И.Ф.Карасева, Н.А.Картвелишвили, В.В.Коваленко, позволдют рассчитать это распределение на каждый день, заменив им категорическую форму прогноза.

Как известно из математической статистики, исчерпывающей характеристикой для статистического описанг^ случайной функции является п-мерная плотность вероятности . Для расчета эволюции условной двумерной плотности вероятности можно воспользоваться уравнением Фор-: кера-Планка-Колмогорова (ФПК), которое описывает дифт фузионный случайный процесс в рамках семейства криЕНЯ К. Пирсона. Уравнение ФПК (или второе уравнение Колцдг горова) ч нашем случае записывается в виде:

где параметр а(0,1:) называется коэффициентом снос^ ц представляет собой скорость изменения математического ожидания случайной величины, а Ъ(0,С) - коэффициентом диффузии и характеризует скорость изменения дисперсии случайного процесса. Эти коэффициенты полностью определяются видом .исходного динамического уравнения и характеристиками внешних воздействий и шумов:

= - ^ И, № С)] + ^ — [Ь(0, № Ч], (б)

2

а(<2, Ц = (-с(с) + 0,5Сг)0 - 0,5СЙ + И,

(7)

Ъ«3, Ь) = 6802 - 20+ вй,

(8)

где Сг - интенсивность внутреннего и'ума системы;

Сй - интенсивность внешнего шума системы;

Сгй - взаимная интенсивность шумов;

с: - среднее значение скорости распространения волны, отнесенное к длине участка;

N - математическое ожидание внешнего воздействия, равного ^ = ф^ + 1,7д£„р„). Из-за сложности численного решения уравнения ФПК на практике используются Солее простые характеристики моменты распределения:

-ко

«МО = (к=1,2,3...) ¡9)

-я

Любая кривая из семейства кривых К. Пирсона исчерпывающе описывается не более, чем четырьмя моментами, но в гидрологии из-за малой длины рядов обычно определяются оценки только трех моментов. Дифференциальные уравнения для их расчета получаются из уравнения ФПК:

(-с + О^г)^ - 0,56^ + Й, (10)

2(-с + Се)тг + 2(Ы - ^йО^Ц + Сй, (11)

3(-с + 1,5Сг)т, + з(ы - 2,5Сг-)тг + Зият1 (12)

Значение величины с и интенсивностей шумов можно найти путем идентификации по предварительному периоду, длящемуся, как правило, не более пяти недель до начала интенсивного подъема уровня воды. При идентификации значения "5, Сгй и получаются достаточно точно, а

интенсивность внутреннего шума можно определить либо из автокорреляционной функции г = ехр^-(с - 0,5С£) • либо (при наличии гидрологической информации) методами оптимизации. Численные эксперименты показали, что длл устойчивости стохастической модели необходимо изменять Сг в зависимости от ожидаемого максимального расхода '"'т.хг например, по формуле:

Св = (0,55 + (12000 - <2ЫХ) ■ 6 ■ 10"5) • 10"6. (13)

Для идентификации ьру^их параметров по предварительному периоду вычисляются оценки первых трех начальных моментов Шк т2 и тэ, а глтем по формулам

—т, — 4т! + 5т. т,

а = 0,5-3--5-г 1 1 , (14)

т2 — пц

—2т? + пит. + пит, Ь0 = 0,5-'---1-5-, (15)

Ь, =(15'^ (16)

определяются параметры уравнения Пирсона (получающегося из уравнения ФПК при др(0, У / дЪ. = 0) а, Ьо и Ьл. После этого можно рассчитать параметры прогностической модели:

с = N / (а - Ь, / 2), (17)

СЕЯ = ПЬХ / (а - Ь, / 2), (18)

С„ = -2КЬ„ / (а - Ь, /2). (19)

По полученным значениям можно строить (прогнозировать) кривую распределения плотности вероятности ежедневных расходов. Такой исчерпывающий вероятностный прогноз пока преждевременен, так как отсутствует практически применимая методика построения эмпт<рических распределений ежедневных расходов воды для нестационарных процессов, а также нет официально утвержденного критерия оценки надежности вероят: зстных прогнозов нестационарных процессов (это задача будущего). Однако, из прогнозируемого распределения плотности вероятносги можно выбрать модальное значение и применить для него гуществующие методы оценивания прогнозов. Мода распределения вычисляется по формуле:

т, - т

О- = »г + % г

(20)

где = тг - т'; (21)

щ = т, - Зт2т, + . (22)

В табл.1 в качестве примера дано сравнение результатов поверочных прогнозов по стохастической модели за 1994 год с результатами использования других методов краткосрочного прогноза того же класса (то есть методов, которые основаны на обыкновенных дифференциальных уравнениях первого порядка с постоянными коэффициентами) .

Таблица 1.

Сравнение результатов прогнозирования по различным методам (створ р. Ока - г. Горбатов) за 1994 г._

Способы прогнозирования Б/ Ал

Метод Маскингам 0, 35

Метод соответственных уровней (для расходов) 0, 36

Динамическая модель кинематической волны 0, 34

Расчет трансформации по интегралу Дюамеля 0,

Метод линейной тенденции 0, 75

Стохастическая модель 0, 31

Из таблицы видно, что стохастическая модель позволяет получить лучшие результаты по сравнению с другими методами. Поверочные прогнозы, выполненные для 19811994 гг., показали, что использование стохастической

модели привело к уменьшению отношения для много-

/ д

водных лет на 64. Таким образом, стохастическую модель целесообразно применять для прогноза расходов весенних половодий многоводных лет, когда распределение вероятности более асимметрично.

Используя полученные модальные значения расходов в Горбатове в качестве предикторов уравнений регрессии можно увеличить условную заблаговременностиь прогноза по ним до 5 суток при допустимых значениях

/ °л

(табл.2).При составлении диспетчерских графиков среднесуточный расход водосброса на Горь".овской ГЭС должен рассчитываться по формуле (3), что обеспечивает

непревышение уровнем Чебоксарского водохранилища в Нижнем Новгороде отметки 70 м БС с вероятностью 80

Таблица 2.

Результаты прогноза уровня воды ч Нижнем Новгороде

по фактическим Нин» по фактическим Ннн, <2гзс

Фгэс, Qoxa и модальным <2о*а

год заблаго- 3/ условная 5/

времен- Ал заблаго- /СТА

но сть временность

1992 1 0, 46 4 0, 58

1992 2 С, 63 5 0,79

1993 1 0, 44 4 0, 48

1993 2 0, 64 5 0, 65

1994 1 0, 40 4 0,40*

1994 2 0,59 5 0,55*

Использованы уравнения регрессии, найденные по модальным расходам в Горбатове за 1986 год.

В заключении приведены основные результаты, полученные в процессе исследования.

1.Разработана статистическая модель для прогноза уровня воды в стЕоре р. Волга - г. Нижний Новгород.

2.Разработана стохастическая модель перемещения лаво-дочной волны на участке р. Оки от Мурома до Горбатова, позволяющая прогнозировать модальные расходы.

3.Предложена процедура параметризации стохастической модели, основанная на использовании теории идентификации.

4.Показано, что в зависимости от способов параметризации прогностических методик получаются прогнозные расходы различной обеспеченности.

5.Предложен путь совершенствования параметризации гидрологических моделей на основе робастного критерия.

6.Определены условия эффективного, применения стохастической модели.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРЕДСТАВЛЕНЫ В СТАТЬЯХ:

1. О возможности использования множественной линейной корреляции для прогнозирования уровней Чебоксарского

дохранилища / РГГМИ - СПб., 1995. - б с. - Деп. В ВИНИТИ 14.08.95 » 2440-В95.

2. О выборе критерия оценивания методик гидрологического прогнозирования / РГГМИ - СПб., 1995. - 12 с. -Деп. В ВИНИТИ 14.08.95 № 2441 - В95.

3. Прогнозирование расходов р. Оки на основе стохастической модели кинематической волны.; РГГМИ - СПб., 1995. - 6 с. - Деп. В ВИНИТИ 14.08.95 Ю 2439 - В95.

4. О возможности использования уравнения регрессии для прогноза уровней Чебоксарского водохранилища в Нижнем Новгороде в период прохождения весеннего половодья // Тезисы докладов Итоговой сессии Ученого совета, СПб., изд. РГГМИ, 1994. - С. 11.

5. Применение динамических и стохастических моделей в целях прогноза режима водных систем // Тезисы докладов Международного симпозиума "Расчеты речного стока", СПб., 1995. - С.18(в соавторстве -- В.В.Коваленко, A.B. Лубяным, В.Л.Старостиным, Ф.М.Ваксом, Д.А.Подрядовым).

КУЗЬМИН ВАДИМ АЛЕКСАНДРОВИЧ АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 15.02.96. Формат 60x84 1/16. Бум.кн.-журн. Печ.л.1,0. Бум.л.0,5. Тираж 100. РТП шд-ва СПбУЭФ. Зак. 119.

Издательство Санкт-П-тербургского университета экономики и финансов 191023, Санкт-Петербург, ул. Садовая, д.21