Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Моделирование тепло- и массопереноса во взаимосвязанных поверхностных и подземных водах

ВАК РФ 11.00.07, Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия

Автореферат диссертации по теме "Моделирование тепло- и массопереноса во взаимосвязанных поверхностных и подземных водах"



• ч" РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

^ ч' ИНСТИТУТ ВОДНЫХ ПРОБЛЕМ

На правах рукописи

ШМАНОВА ОЛЬГА ОЛЕГОВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ВО ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ПОДЗЕМНЫХ ВОДАХ

11.00.07 - гидрология суш, водные ресурсы, гидрохимия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Институте водных проблем Российской академии наук /

Научный руководитель академик РАН М.Г.Хубларян

Официальные ошоненты: доктор технических наук

В.К.Дебольский

кандидат физико-математических наук О.Ы.Чурмаев

Ведущая организация - Московский государственный

строительный университет

Защита состоится " ( Г " 1994 г.

в час. ' мин. на заседании Специализированного совета Д.003.37.01. в Институте водных проблем РАН (107078, Москва, ул. Н.Басманная, 10, а/я 524)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института водных проблем.ЕДН

Автореферат разослан " /О « . с-ъ-г^ 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор географических^раук

профессор В.С

Залетаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучонио процоссов тепло-, солв-, массогю-реноса во взаимосвязанных водных средах имеет важное научное, природоохранное и экологическое значение. Вынос солей из донных отложений водоемов, распространение радиоактивных загрязнений из мест захорояепия отходов и при случайных выбросах, перераспределение стока между поверхностными и подземными водами могут оказывать ретапцеэ влияние на качество водных ресурсов. Тепловые процессы в мелких водоемах являются определящим фактором функционирования водных экосистем, изменения суммарного испарения и , как следствие, колебаний уровня водоемов. Математическое моделирований подобных процессов - один из важнейших методов их изучения. В диссертации поставленные задачи изучаются с помощью аналитических методов, которые позволяют выделить основные (качественные и количественные) закономерности, получить относительно простое описание полей скорости, температуры, концентрации загрязпялщих веществ.

Цель работы состоит в необходимом для прогнозирования качества водных ресурсов изучении закономерностей, процессов, происходивших во взаимосвязанных грунтовых и водных потоках, в том число в исследовании* тепло-соло переноса в этих средах. В соответствии с этой целью ставятся задачи: построить математическое описание процессов, сформулировать краевые задачи, обосновать улрощопия математических моделей-, сохраняя физическую сущность процоссов, получить аналитические решения некоторых задач тепло-, соло-, массообменв между грунтовыми и поверхностными водами, интерпретировать полученные результата.

Научная новизна. В двумерной профильной гидродинамической постановке рассмотрено нестационарное течение жидкости со свободной поверхностью и получено аналитическое решение задачи с подвижной границей. Рассмотрены как единый процесс течение в открытом русле п подрусловой фильтрационный поток, их взаимодействие в зависимости от различных конфигураций водных объектов. Аналитически решены задачи выноса растворимых солей из доппнх отлого пий, распространения радиоактивной примеси от источника на боковой границе потока. Найдена зависимость температуры и скорости испарения водоема от его глубины.

Обоснованность и достоверность научных положений и реяулътп-

тов работы подтверждается сравнением результатов с материалами натурных наблвдоний, численными расчетами аналогичных задач. Оценены границы применимости приближенных аналитических решений.

Практическое значение работы. Результаты могут быть полезны для описания представленных в работе природных процессов, при решении обратных задач (управления, определения коэффициентов переноса и др.), при проверке точности числешшх расчетов на модальных примерах. Найденные распределения скорости могут быть использованы для пахоздения поля концентрации диффундирупцих веществ, планирования природоохранных мероприятий, выбора параметров конструкций. Решения тепловых задач применимы для оценки теплообмена в испарения. Полученные распределения концентраций позволяет оценить масштабы загрязнений на различном удалении от источника.

Апробация работ. Основные результаты докладывались и обсуждались на конференции "Гидрология 2000 года" (Москва, 1986 г.), 12 школа-семинаро "Математической моделирование в проблемах рационального природопользования" (Ростов-на-Дону, 1988 г.), 3 Всесоюзном симпозиуме "Изотопы в гидросфере" (Каунас, 1989 г.), 3 школе "Математические проблемы экологии" (Чита, 1990 г.), на семинарах лаборатории теоретических пройдем водоохраны ИБП РАН.

Публтсащт. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ.

Объел и структура диссертации- Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 126 страниц машинописного текста, 31 рисунок, 4 таблицы и список литературы из 107 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В то время как человечество испытывает все большую потребность в чистой воде, загрязнение поверхностных и подземных вод постоянно возрастает. Хозяйственная деятельность человеке, и прежде всего, промышленное производство, является главным источником загрязнения. Потери жидкостей в процессе производства, сброс отходов, хранение стоков в бассейнах и скважинах, а такте добыча полезши ископаемых изменяют режим природных.вод и ухудшаит их состав. Большую роль в атом процессе играет и сельское хозяйство. Рпбота животноводческих комплексов, использование агрохимикатов, мелиорация н ирригация ведут к нарушению водного и солевого балан-

са. Развитив транспорта, наличие крупных населении пупктов ужо сейчас сказывается на состоянии водных ресурсов. А создание водохранилищ, каналов, мелиоративных систем, использование подземных вод еще больше ухудшает екологическую обстановку.

Однако прогнозирование подобных изменена дает возможность контролировать влияние хозяйственной деятельности человека на состояние окружающей среды на всех стадиях (проектирования, производства, хранения и ликвидации отходов). Математическое моделирование традиционно используется для прогноза движения загрязнителей, установления источника загрязнения и разработки мероприятий ш восстановлению качества воды загрязненных водных объектов. Аналитические методы дают возможность в относительно простой и обозримой форме получать основные характеристики состояния водной среды и прогнозировать их поведение при антропогенном или естественном изменении внешних условий.

В первой главе рассматривается проблема взаимодействия фильтрационных течений и потоков в открытом русле.

Для исследования взаимодействия потоков па склоне, взаимосвязи речных и подземных потоков, течений в водохранилищах, отстойниках и других гидротехнических сооружениях применяется совместное решение уравнений фильтрации (закон Дарси или уравнение Вринкмана) и свободного течения (уравнения Навье-Стокса, Сеп-Венана, уравнения полуэипирической теории турбулентности и т.п.) с учетом взаимодействия на границе раздела сред.

Взаимодействие свободного течения и фильтрации осуществляется на поверхности пористой среды. Происходящие при атом физические процессы, например, рязныпопив трения (по сравнении с троштвм на непроницаемой поверхности), приток массы пли всасывании в поряступ среду, приток растворенных веществ и т.п., доляшн быть отражены в граничных условиях на проницаемой поверхности.

При рассмотрении свободного течения во взаимодействии с фильтрацией в бесконечной пористой сроде с учетом проскальзывания на проницаемой поверхности ставится условие Виверса-Дгозефа

с1и а

— = — (и-и>,

йу

где ось у перпендикулярна проницаемой поверхности, и - скорость по касательной к поверхности, и - средняя скорость фильтрации, определяемая по закону Дарси, К - проницяеютсть, а - безрпзг^ертшй

эмпирический коэффициент, связанный со свойствами материала.

Теоретическому и экспериментальному обосновании условия на поверхности взаимодействия и определении коэффициента а посвящено большое количество работ (Beavers G.S., Joseph D.D., Sparrow E.M., MagnuaonR.A., Taylor G.J., Richardson S., SaTíman P.G., Liu P.L.-F., Williams W.O.).

Условие Бивеpea-Джозефе используется Для связи уравнений свободного течения и фильтрации, записываемых в различной форме в зависимости от их приложения к конкретным задачам: течение у плоской проницаемой стенки, обтекание проницаемой сферы, течение между врзщавдимся непроницаемым и неподвижным пористым дисками, поток в канале с пористыми стенками, в трещинах, течение, вызванное движением одной из стенок канала, течение между непроницаемой и пористой трубками (Bhatt B.S., Singh S., Bbattacbarya D.K., Channabasappa M.N., Szanlawsky A., Berkowltz В., Rudralah N., Verma P.D.).

Поскольку наличие пористых прокладок на стенках канала приводит к появлению проскальзывания, расход увеличивается. Решение с использованием условия Вивврса-Джозвфа дает уменьшение сопротивления и увеличение расхода в зависимости от толщины пористой прокладки и наличия ее не одной или обеих стенках канала. Увеличение толщины прокладки до некоторого значения увеличивает общий расход в канале.

Подобные постановки находят применение в решении прикладных задач: теоретически и экспериментально исследуется течение жидкости в однородном песчаном грунте при взаимодействии со свободным потоком. Скорость на верхней границе индуцированного потока и распределение скоростей по его глубине определяются в зависимости от характеристик свободного потока. Строятся модели совмостпого течения по склону и фильтрации в грунтовых водах (Спиридонов В.Н., Smith R.E., Herbert R.H.S., Winter Т.О.).

В настоящей работе рассматриваемая область течения (рис. 1) состоит из открытого и фильтрационного штоков. Стационарное свободное течение в гидростатическом приближении описывается уравнением неразрывности и. уравнением движения, включающим градиент давления, силу тяжести и напряжение трения (х и у - соответственно координаты в направлении плоской проницаемой поверхности и по нормали к пой, и и у - составлящиэ скорости в направлениях х и у

Рио.1.

Схема течения. I и II. - откритай к фшлрациошшй

потоки с00тб0тств01ш0

I!-

£ 1

я

г//* У/ ^ /у ,

4

> 4

, 4

Рио. 2

Схеш постановок.задач: а - водоупорп при х =0 и £ отсутствуют; <3 и в - водоупори только при и О соотвототвошю; г - водоупорн с двух сторон г==0 и Ь

соответственно, р - давление в свободном потоке, р - плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести, р - угол наклона проницаемой поверхности к горизонту, А - коэффициент турбулентного обмена).

Фильтрационное течение подчиняется закону Дарси и уравнению неразрывности (U, V- составляющие скорости фильтрации в направлениях х, у соответственно, Р - давление в пористом слое, к - коэффициент фильтрации, Н - толщина проницаемого основания).

Граничные условия ставятся на водоупоре (отсутствие нормальной составлянцей скорости), на проницаемой поверхности (давление и нормальная скорость непрерывны, проскальзывание по условии Бнвер-са-Дгозефа для касательной скорости), на свободной поверхности (у=Ь(х) является линией тока, давление равно атмосферному, а сдвиговые напряжения отсутствуют). Заданы также глубины свободного потока в начальном (IIq) и конечном (h^) сечениях (1 - протяженность области течения в направлении оси х). В зависимости от того, ограничена ли пористая среда при х=0 и 1 водоупорами либо водотоками, на них задаются условия непротекания либо гидростатическое условие для давления (рис.2).

Гидравлический потенциал скорости фильтрации

ф = - к [--х sin р + у coa р 1 .

I РВ J

удовлетворяет уравнении Лапласа Лф=0 с граничными условиями ф = - к (- х sin р + Ь соз р ) при у = О,

Оф/Оу = О при у - -Н,

бф/йх = 0 либо ф = -khQ соз р при х - О,

Оф/Ох = О либо ф = -kfhj соз р - 1 sin р) при 1-1. Решения записываются в виде тригонометрических рядов.

Расход жидкости в открытом потоке определяется уравнением a h

- J u dy . v0 ,

Ui 0

гдэ скорость u в случае A = con3t записывается в вида

dh

u = I — СОЗ Clx

Отсвдп для определения форьш свободной поверхности имеем уравнение

Рис. 3

к о

Аппроксимация функции X окружностями

где - расход в начальном сечвнии.

Интеграл в правой части этого уравнения представляется тригонометрическим рядом с кояффициентами, зависящими от разложения искомой функции в соответствующий ряд Фурье. Таким образом, ото уравнение является шггегро-дифференциальным и его решение затруднительно. Однако для относительно небольших значений Н ряд в правой части можно просуммировать и подучить

и И определяется из обыкновенного дифференциального уравнения

где в = сопзЬ.

Можно показать, что для не слишком больппп перепадов глубин (т.е. достаточно малых (Ьд-Ь^/Ьд и допустимо принимать, что свободная поверхность плоская, и при определении скорости фильтрации ограничиваться линейными составляющими.

Предельный случай нулевой проницаемости пористой среда дает схему течения по наклонной плоскости с прилипанием на дне. В частности, при Ь.1=Ь0 для расхода получается известное решение Слезкина.

Для нормальной к поверхности раздела составляющей скорости фильтрации на границе пористой среда нетрудно подучить удобные для практического применения алгебраические аппроксимации (рис.3).

Все результаты легко обобщаются для случая, когда на поверхности жидкости действует касательное напряжение ветра, а также для случая оттока или притока жидкости через поверхность у=-Н.

При изучении фильтрации из орошаемых массивов, водохранилищ и каналов, о также при исследовании влияния нЩильтрационного потока но уровень грунтовых вод возникает гидродинамическая задача нестационарной фильтрации со свободной поверхностью, рассматриваемая во втором параграфе.

х

Модели взаимодействия фильтрация из грунтового массива к открытому водотоку а течения в нем должны содержать описапие насыщенно-ненасыщенной фильтрации в грунте и турбулентного течения в канале, причем массобмвн между ними влияет как на фильтрацию, так п на свободный поток. Однако сложность этой задачи приводит к поиску болев простых схематизации. Значительное упрощение задачи достигается при учета одностороннего влияния уровня или расхода в водотоке на движение грунтовых вод.

Указанный физический процесс описывается уравнепшм оллшггического типа для гидравлического потенциала скорости фильтрации (в случае, например, однородной пористой среда -уравнением Лапласа) с нелинейным условием на неизвестной свободной границе. Отсутствие в свое время методов решения нелинейных задач привело к тому, что были предложены различные способы их упрощения и линваризации. Например, условие на свободной границе линеаризуется и сносится на неподвижную горизонтальную плоскость.

В данной работе предложен приближенный способ рошвния краевой задачи со свободной границей и дается оценка его точности путем сопоставления результатов . приближенного аналитического решения с численным.

Движение нвсяимавютй жидкости в однородной изотропной пористой срвдв, подчинппдейся линейному закону Дарси, описывается уравнения?,га

Р

7 = ергай ф, (117 7 = 0, ф = -к — + у,

1Р8

где 7 - вектор скорости фильтрации, у - вертикальная координата, ф - гидравлический потенциал скорости фильтрации, р - давление, р -плотность жидкости, g - ускорен® силы тяжести, к - коэффщцгонт фильтрации. .

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Краевые условия для него определяются геометрией течения и физическими условиями на его границах. Пусть область фильтрации (рис.4) ограшгмпа водо-упором 0А, водоразделом ОБ, депрессионной кривой СБ, поверхностью высачивашш СВ (сплошная линия РВ) и водотоком АВ. Тогда 0ф Зф

— = 0 при у = 0, — = 0 при х = 0 , ф = -кН при у = Н(хД), <Эу 01

Г -ку, й « у « Н ф = •{ при 1=1.

I -Ю, О « у <

I О щх.г)

п

}777777777777777777777777777777777-и

О 1х

Рис.4. Схемы течения с открытым (1) я закрытым (?) водотоком (Л - поверхность грунта)

В/П 1.0

0,75

0,50

0,25

Рис.5.

Если вместо открытого водотока па границе АС имеются закрытий участок ВС и сток АВ с постоянным расходом q (прямая 2 на рис.4), то последние соотношения заменяются на условие

Оф г О, (1 « у « Н

Г О, Ч 1 ч» о

при х=1.

Зх I Ч. 0« у и

Поведение депрессионной кривой при наличии инфильтрации шш испарения с интенсивностью е определяется уравнвпием (ш - пористость):

ОН Оф ! бф ш — = — ! - — ¿И Оу ! и Ох

ан

— + е(х,н(х)д).

Эх

!у=Н 1у=Н

Полагая достаточно малым ншслон депрессионной кривой, осрод-ним функцию, определяющую положение этой кривой, и граничное условие на ней по отрезку ШДЭ:

1

нт = - | н(хд)ах, ф = -кн при у = н. о

Тагам з® образом получи?! уравнение для определения осредпшпгой

свободной поверхности:

1 1

сШ 1 г с?ф I -- . - - 1 г

ш _ = _ _ I ах + Б(НД), е(НД) = - в(х,Н(х)Д) Ох .

<П 1 * ву ! " ^

О 'у " о

Решение для потенциала записывается в виде сумм тригонометрических рядов. Дифференциальное ураптгошго для свободной поверхности тага® содержит тригоноеттричвсккй ряд, который можно приблгсгошго просуммировать, получив обыкново1тое дифферепцяалыгоо уравнение

для определения осродленной свободной поверхности П:

АН /21 <Ш (}Д

ш— = )с—И} — __ т— - - — .

ах уйн2 я . • аг I

Приближенное интегрирование дпот простую функции, онислшппцуи движпнап свободной поверхности

-А

)охр(-кУ?1/т1)

(график этой функции показан сплошной линией па рис.5, пунктирной кривой изображено численное решение точной задачи в неосред-ненной области), или

d 4

Н - %- - J q(t) dt .

1 О

Последние соотношения позволяют находить решение задачи управления глубиной залегания депрессионной кривой. Чтобы

обеспечить требуемое движение H(t) по заданному закону, глубина в водотоке d (или величина qd) должна изменяться следующим образом:

lm ОН2 11//2 dH

d

Н2 + —г--I , шш qd = - lm

V2k dt J dt

Решена также задача о движении депрессионной кривой при наличии испарения, аппроксимируемого линейной функцией глубины, получено квазистационарное решение для случая, когда инфильтрация на свободную поверхность является произвольной функцией времени.

Предложенный приближенный способ решения задачи, а также подученные формулы, содержащие элементарные функции, позволяют решать ряд водохозяйственных задач. Определенные с их помощью значения скоростей можно использовать, например, для нахождения шля концентрации диффундирующих веществ.

Вторая глава посвящена моделированию процессов солепэреноса манду водными потоками и пористыми средами.

Длительная эксплуатация водохранилищ, создание новых каналов и водоемов приводит к тому, что в определенных режимах течения происходит осаждение солей или их растворение, вызывающее повтор-1 цое загрязнение водной среды. В формировании качества вода в водоеме и связанных с ним подземных горизонтах большое значение имеет наличие солей в породах и донных отложениях в твердой и растворенной фазах.

Контроль и управление качественным составом водотоков и водоемов требуют прогнозирования различных гидрохимических процессов, и одним из важнейших факторов формирования качества является миграция вещества между водой и донными отложениями. С увеличением антропогенной нагрузки возрастает накопление различных химических компонентов в донных отложениях, что может привести к обратному

поступлению аккумулированных веществ в воду, вызывая во вторичное загрязнениэ. Получение количественных характеристик обмена химическими веществами мевду водой и донными отложениями требует проведения разносторонних натурных, лабораторных и теоретических исследований.

При математическом моделировании концентрации примесей в связанных подземных и поверхностных водах с учетом условий взаимодействия на их границе необходимо совтасткоо роиэннэ задач солэпэ-реноса в рассматриваемых средах.

Пусть водоем с начальной концентрацией S^ занимает область 0< у <h, а область -т]< у <0 занята насыщенным (с начальной концентрацией о^) грунтом, содержащим растворимые солп d твэрдом состояния. Предполагается, что скорость течения п конвективный перенос пренебреги™ малы. Тогда одномерный нестационарный диффузионный солвпвренос п растворение твердой фазы описываются уравнениями

0S ô2S

— = к —р при О < у < Ь , <?t ôjr

да д2а fta

v 72 = 33 ZI + Т^н"47^ г: = - T«VCT) при -17 < у < О . it ef н at и

Здесь S и о - концентрация соли, m - плотность твердой фазы, Квг - коэффициенты турбулентной и молекулярной диффузия в водоекэ и грунте соответственно, 7 - эмпирический коэффициент, характеризующий скорость растворенья, стн - Концентрация насыщения, ц - пористость грунта, t - время.

На граница взаимодействия грунтовых и поверхностных вод выполняется'условие равенство концентраций и потоков соли.

Начальное условие: S = Sj, ст = о^, и = mi при t » О.

Наиболее интенсивный'солеобмон происходит в пограничных слоях, прнлогащих к поверхности дна у=0. Прп определении параштроп солепереноса в этих слоях внешние грвшщд глубоководного водоема и подстилающего грунта но» считать бесконечно удаленными а принять условие ограниченности концентрации солп на внешних границах. Решение выразим через функции i(t)=3=o при у»0:

У2

у у \ î{%) '

з = з.егГ- + -1 Г е -^ il-i , о=о„+-с е f1" * ,

2vkï 2vïk q лзг 3 и

г ^

уУЦ Уф 4ае(г-а) Х(а)-<1 г

с = -(ст,-о )ег1—--— I е - " е^йа ,

1 н 2Утае ^ /г-т -1

Из условия на поверхности раздела получим для определения неизвестной функции 1(1;) интегро-дифференциальное уравнение

г 1 1 1 * аг ат г г1~°1 Ф а Г гп ат 1

с----Г--— = зе \ +-=.[— (1~и)е [

1.УМскг УйК о аг Уг-г [УтйеЩ Угое 0 йх н У^т: \

где = 1(0) =(У1ш1+у^1а1)/(у1с +У5у).

Применив к последнему уравнению преобразование Лапласа, для образа функции 1(Ю получим линейное уравнение и обратным преобразованием найдем выражение для нве в виде модифицированных функций Бесселя и интеграла от экспонент, алгебраических функций и функции ошибок. Интегральная форма этих выражений затрудняет их практическое применение. Разложение функций в ряд по параметру е=1-УХц/к <1 устраняет необходимость численного интегрирования и позволяет получить более удобные для практики формулы:

!=оп+ (з1-он) [ф® (г (I)+... ]+ (аА-<7н) [ф£ (г )+еф? (г)+...),

т=т1+(з1-ан)1т^(1;)+£П^(1;)+... Н(а1-ан)[т^(1;)+Ет^(1;)+... 1,

где коэффициенты в квадратных скобках являются комбинацией экспонент и модифицированных функций Бесселя (рис. 6, 7).

При наличии просачивания жидкости со скоростью и в направлэ нин у в левые части уравнений солепереноса следует добавить кон' вективные составляющие ийв/ду и идо/Оу. В предположении малости

бозразгетрного параметра и=и/2тИс с помощью преобразования Лапласа аналогично рассмотренному выше случаю можно записать решение в вида разложения по степеням параметра и.

Если глубина водоема и толщина донных отложений сравнима с тсшцдша пограничных придонных слоев, условие отсутствия притока соли на поверхности водоема и изолированном основании донных отло-тшй следует ставать на конечном удалении при у=Ь,-т). Традиционный подход к решению - разделение на две подобласти и введение ¡пшзвостной заранее концентрации на поверхности раздела в качество

Рис.6. Коэффициенты разложения по параметру (1-Л) концентрации на границе раздела

Рис.7. Коэффициенты разложения по параметру (1-Л) количества растворенной на границе '"раздела твердой соли

Рис. ô а. Изменение концентрации со временем.

Ряс. 8 О. Измэнешю концентрации со временем, паракэтр кривой - вертикальная координата

Рис. 9 б. Вертикальное распределение

концентрации, параметр кривой - время

Рис. /8 в. Изменение концентрации со времэнвм, параметр кривой - вертикальная координата

концентрации, параметр кривой - вромя

дополнительного граничного условия - приводит к интегро-диффвренциалыюму уравнению относительно этой неизвестной,функции, которое не всегда удается решить аналитически. Здесь используется метод, не требующий предварительного опродолония концентрации на границе раздела областей.

Вводя вместо искомых концентраций функции и сг-=ан-ст,

будем искать последние в виде 3 =2ТЦ) Г (у), о ) Фп(У). Тогда исходные уравнения в частных производных сведутся к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям, а граничные условия дадут трансцендентное алгебраическое уравнение для определения собственных значений и систему линейных уравнений для коэффициентов разложения по собственным функциям.

Возвращаясь к исходным функциям 5 и а, можем записать функцию концентрации примеси во всей области в виде 5 = °НФН+ о^фа .

Графики функций ф , фа приведены на рис. 8, 9.

Третья глава посвящена переносу радионуклидов в водных средах. Проблемы переноса радиоактивных веществ водными штоками привлекают быстро растущее внимание. Это вызвано необходимостью общего мониторинга радиоактивности в водных ресурсах, оценки радиоактивного фона, установления стандартов уровня радиации в питьевой воде. Возникла потребность в совершенствовании методов радиоактивной защиты природной среды, в разработке схем мониторинга как искусственной, так и естественной радиоактивности.

Активизация исследований в этой области вызвана расширением атомной энергетики и особенно последствиями катастрофы на Чернобыльской АЭС, создавшей условия, когда радиоактивные продукты проникли в водную среду из-за непосредственного осаждения на свободную поверхность, со стоком с загрязненной местности, из-за миграции с подземными потоками.

Возможность распространения радионуклидов с природными водами требует изучения путей и скорости их переноса в местах размещения АЭС и захоронений радиоактивных отходов.

Миграция примесей в грунтах в большинство случаов объясняется их конвективно-диффузионным переносом с штоком подземных вод. Этот процесс описывается с помощью физико-математических моделей, в основа которых лежат уравнения в частных производных относительно концентрации примеси, напора или уровня грунтовых вод, функции тока и пр. Источники загрязжигия учитываются либо в граничных

условиях, либо в правых частях соответствующих уравнений. В общем случае модели должны учитывать такие основные факторы, как адвективные и конвективные силы, замедление распространении вследствие взаимодействия с пористой средой, сорбцию, явление дисперсии, радиоактивный распад, молекулярную диффузию и др. В реальных случаях наблюдается неоднородность водоносных горизонтов, нестацко-нарность процессов, изменения пористости, плотности, проницаемости, коэффициентов дисперсии, что существенно влияет на перенос радионуклидов.

Во многих странах одним из способов избавления от радиоактивных отходов АЭС является размещение их в глубоких подземных захоронениях и скалах. При этом необходимо учитывать возможный выход радионуклидов из хранилищ в гидросферу. Чтобы уменьшить риск быстрого их выхода, в захоронениях должен быть принят ряд мор, например, отходы должны содержаться в малорастворимой форма, емкости -устойчивы к коррозии, окружающая среда должна иметь низкую проницаемость и высокую сорбционную способность. Главнейшим барьером, однако, является сам грунт. При освобождении радионуклидов из подземного захоронения они транспортируются подвижной водой в трещинах скалы. Кроки трещин материал скалы содержит микропоры, заполненные неподвижной водой. Диффузия радионуклидов в микроноры может представлять собой механизм замедления и разбавления, извлекающий их из проточной воды трещнн. Если к тому же радионуклида сорбируются материалом грунта, то сорбция будет происходить не только на поверхности трещин, но и на поверхности микропор. Математическому моделированию, натурным и лабораторным исследованиям описанного процесса в света оценки пригодности геологических сред для размещения радиоактивных отходов посвящен широкий ряд работ (Castle R.G., Chen C.S., Dillon P.J., Lindatrom F.T., Lucas J.N., Neretnleka I., Raamuson A.). 4'

Важной задачей является прогноз распространения радиоактивной примеси от источника загрязнения, расположанного на некотором участке боковой границы двумерного' потока грунтовых или поверхностных вод (например, водоносного горизонта или реки). Эта проблема встает при оценке техногенного загрязнения от подземных захоронений отходов или при утечках и сбросах в водоемы-охладители. Аналитическое описание этого процесса полезно и для решения обратной задачи - идентификации кооф!ициоятав диффузионного переноса.

Рис;. 10 .Изолинии безразмерной концентрации /У/-Т"«'//£>, Л—их/О, У—у/к — безразмерное врейя и координаты, источник загрязнения 2<Х<3, /«•А»-0,1

Уравнение пора носа неконсерватинной примеси в полуполосе 0<у<Ь, х>0 с постоянной скоростьи и вдоль оси х имеет вид

35 6Э д2Б д2Б

01 дх дт? 7 От

где 0, - коэффициенты дисперсии в направлениях х , у соответственно, параметр задержки включен в коэффициенты и. Б, Источник загрязнения, подверженного радиоактивному распаду, сосредоточен на участке боковой границы потока [1,1] , остальные ев части непроницаемы:

' бБ/с*у = 7 е~и при у = 0,

дв/ду = О при у = 0, 0<х<Ь,Ь<х<оо;у = Ь. На входе х=0 задан приток примеси с постоянной концентрацией

начальная концентрация при 1=0. Кроме того, 95/Ох =0

при х = <».

Линейность уравнения и граничных условий позволяет записать решение в виде

Б = 1° + 3, I1 + -5— е 1* , 0 1 и2Ь

где функции Г°, I1 выражаются через комбинации экспонент и функции

ошибок, а хТ содержит еще и тригонометрический ряд.

Влияние источника показано на рис. 10. Значения концентрации

?

нормированы на 1ш7ГОу/(и Ю и умножены на е . Отметим, что постоянная распада не входит в выражение для г7 и поэтому полученные функции можно считать решением задачи о распространении загрязнения от постоянного источника, действующе го с момента \ =0. На ниж-пем рисунке 1 установившееся распределение концентрации в пространство при стационарном источнике консервативной примеси. Интересно отметить, что продольная изолиния 'имовт асимптоту у/й=0,5 и выше середины потока примесь с относительной концентрацией ЗС^/Г , большой 1, не распространяется.

Исходное уравнение не учитывает сорбции или растворения радиоактивных солей в потоке. Описание этого процесса по линейному закону приведет к появлению члена (л(я;[-я) в правой части уравнения 'п - концентрация насыщения, ц - эмпирический копффициент)• Линия замена искомой функции з<=с+энц./(\+ц.) сводит задачу к чтршшоЗ выше.

Глава 4 посвящена пороносу тепла во взаимосвязанных средах, обусловленному периодическим изменением ого притока.

Задачи о распространении тепла в неоднородных средах при периодическом поступлении его с граничной поверхности возникают при изучении многих природных явлений и технических проблем, как, например, суточные и годовые колебания температуры почв и грунтов с неоднородными тепловыми характеристиками слоев, обусловленными их различным механическим составом, влажностью и другими факторами. Зависимость испарения от температуры поверхности водоемов также требуот решения задачи топлообмона с нижележащими слоями и дном. Подобные задачи возникают и в технических расчетах теплозащитных оболочок и т.п. Заметим, что тот же подход применим к задаче о диффузии соли в двухслойной среде, если под поверхностным потоком понимать периодическое изменение концентрации вследствш выпадения осадков и испврения.

Многочисленные натурные исследования химического состава поровых растворов озер показали его заметную сезонную изменчивость. Отмечается также сезонный ход процессов в донных осадках мелководных участков морей, что находит свое отражение в колебаниях концентраций химических компонентов в течение года. Измененив во времени и по глубине концентрации химических компонентов в поровых растворах описывается диффузионным уравнением типа уравнения теплопроводности, и приведенное ниже решение тепловой задачи прямо пимо такке к прогнозированию сезонных колебаний концентрации в донных отложениях и водоемах.

Рассматривается одномерный поток тепла в двухслойной среде

ОТ Ог Т

— = D -5 , -Н < z <0 ,

dt dz

di д2г

— = ае -5 , 0< z < да .

ÖX dzd

Здесь Тит- температура, D и гг - коэффициента температуропроводности верхнего и нижнего слоев, соответственно, ось z направлена вниз, Н - толщина верхнего слоя (пвприквр, глубина или толщина верхнего слоя водоема, грунта, 2=0 - поверхность раздела слоов или дао водоема), t - время.

Колебания темпвратуры обусловлены периодическим штоком тепла но поверхности (jD - амплитуда потока, ш - частота колебаний)

ОТ

- = 7 соз оЛ при г=-Н .

52

На границе слоев ставится условие равенства температур к потоков

да (Эт Т = 1 , й - = ае- при 2 = 0.

Поскольку наибольшие колебания температуры нижнего слоя происходят вблизи его верхней границы и затухают с глубиной, в качество второго граничного условия для нижнего слоя можно без ограничения общности положить д1/д2, = 0 при а —> <» . Решение находится в виде

'(1+А^) с№\1я-2ЛзП2\1£- (1 -Л )С032(12'

. (1+Л2)сЛ2цН+2ЛзЛ2цН+(1 -А2)соз2ЦН

-гУш/гае г ___ -,

•с = е |А соз (иЛ-гУш/гае) + В ЖтЦцЛ-гУш/гж)]

Т = а(г) сов [и^ + ф(г)], а(в) = —

ЦУ2

амплитуда температуры в верхнем слое в зависимости от глубины, ф(г) - сдвиг фазы, Лг=Б/ае, р.г=и)/2Б, А. и В зависят от Н.

Оказывается, что амплитуды теплосодержания верхнего слоя и температуры поверхности нв монотонно изменяются с ростом Н (рис.11), а имеет минимумы и максимумы. При определенных значениях толщины верхнего слоя потоки тепла на его верхней и шшгай границах имеют сдвиг фаз, обеспечивающий наибольшие или наименьшие колебания теплосодержания.

Подученные результаты могут иметь существенное значение при изучении колебаний уровня водоемов, так как испарение с поверхности .водоемов является сильно возрастающей нелинейной функцией амплитуда температурных колебаний .

В данной работе установлена функциональная зависимость скорости испарения от глубины и солености мелководного водоема, приводящая к дестабилизирующему Ьлияшго атих эффектов на его урованный режим. Температура водной поверхности, определяющая упругость насыщения водяного пара и, следовательно, скорость испарения, зависит от величины радиационного баланса, теплообмена в воде, атмосфере и грунте (для мелководных водоемов), теплоты фазовых переходов (испарения и конденсации).

Для простоты годовой ход радиационного балэпса подпой гюверхно-

Рш. II . Акшшггуда ТаШЮООДВрЗЕИШ! ворхпэго охоя о оавзствгости от ого толщина. Параиэтр правой - А.

ста представим в видо одной косинусоиды R^ = RQ+ 1Ц cos wt, где Rq - средняя за год величина радиационного баланса, Н1 - амплитуда во колебаний, ш = 2%Л1 - частота колебаний, П - период, равный одному году.

В уравнениях теплового баланса для атмосферы, воды и дна температуру представим в виде суммы среднегодового значения и отклонения от него и в дальнейшем будем рассматривать уравнения для отклонений.

Одномерный поток тепла в системе атмосфера - вода - дно описывается уравнениями at

at

ет

- at ае

at

Здесь в, I и 1 - отклонения температуры от среднегодовых величин, k, D и эе - коэффициенты температуропроводности грунта, вода и воздуха, соответственно, ось z направлена вверх, Н - глубина водоема, z=0 - поверхность раздела воды и атмосферы, последний член во втором уравнении описывает объемное поглощение солнечной радиации в толще воды, R = R.,a/pwCp , a - показатель ослабления радиации.

На поверхности водоема ставится условие непрерывности температур и потоков тешш:

вт ОТ R

a , ж pD -g^- - 7Р -д- cos ut при z = 0.

Здесь р = су/ Cpfтг - отношение тепловмкостей вода и воздуха, последний член описывает поверхностное поглощение солнечной радиации, коэффициент 7 задает долю радиации, поступающую с поверхности. Влияние испарения учитывается введением аффективной теплоемкости воздуха.

Аналогично, на дне непрерывны температура и поток тепло. Ставится еще условие ограниченности температуры на бесконечности.

Решение записывается аналогично решению двухслойной задачи

a2t

= X -5 , О < Z <00 ,

бъг

a2! az = D —о + R е cos wt , -Н < z <0 , azz

a2e

= k -5 , -ч» < z < -Н .

az2

i = е [А соз + В з1п(ц)г~гЛ)72гс)],

9 = о

Т = соз сЛ

+■ з1п шг

[р соз (шг+гг'ш72к) + О з1п(шг+г*ш/2к)].

(а1Г1+

(~агг1+ +

<¥з+ а4Г4-

И 2q

-,02.

а4Г3-

°3Г4

У 4-н}* И 4

) +

„ск

ш 4+q'1

здесь 11 - - функции (12, q = а/ц, ц =Уи/20

Амплитуда температуры сода и

Т = Аг+В2 =

И

*йГ

атмосферы при

г=0

44^

Ф.

2, с1 2 - функции Н.

Графики функции Та(Н) при различных значениях параметров эе. В, к приведет па рис. 12.

Анализ полученного решения показывает, что амплитуда годового хода температуры водной поверхности сильно увеличивается с уменьшением глубины водоема (особенно в области малых глубин 0-10 м). Эта зависимость существенно нелинейна, так как с уменьшением глубины водоема модуль производной ЛГ /АН увеличивается. В этой области небольшое увеличение (уменьшение) глубины водоема сильно уменьшает (увеличивает) амплитуду температурных колебаний.

Физический механизм этого явления объясняется существенным различием тешгофязячбскпх свойств вода и дна водоема. Ввиду малой теплоемкости дно мелководного водоема в весенне-летний период бистро нагревается, что способствует болвэ сильному прогреву вода, зато в осегага-зшсгай период вода и дно сильно охлаздаптся (их гешюзапас очень мал), что ведет к увеличении амплитуды температурных колебаний. Для глубоководных водоемов (более 30 м) этот эффект практически не заметен, так как глубина проникновения тепловых волн меньше глубины водоема л дно но влияет на тепловые процессы в поверхностном слов. Эти эффекты очень заметны в природе, например, при падении уровня Аральского моря сально увеличилась контрастность ого теплового режима.

Амплитуда годового юда температуры влияет на скорость испарения. -Из уравшчетя Клазнуса-Клапейрона следует, что упругость

Рис. 12. . Зависимость амплитуда поверхностной температуры от глубины водоема, L=Z495 Да/г, Т0-285,5°К. 1^=0,461 Дк/г°К, ц/ш=10°0, р=3000, 0-2, а-0,2 1/м.

насыщения связана с температурой экспоненциальной зависимостью

г Ь L E(t)=E(T )ехр -

lRpT0 R^T (t)J

где L - теплота парообразования, R^ - газовая постоянная, TQ -среднегодовая температура, E(Tq) - упругость насыщения при температуре TQ. Ввиду нелинейной зависимости упругости насыщения от температуры средняя за год упругость насыщения не равна упругости насыщения при среднегодовой температуре. Пусть температура изменяется со временем в соответствии с законом

T(t) = Т + т cos tot,

U el

Т - амплитуда, ш - частота колебаний температуры.

Тогда, обозначив среднегодовую упругость насыщения 5Т£), получим

ЕЩ е^ % У

- = — Г _ 1+а cos wt *

Е(Т0) п q

где т] = L/RrTc, о = Ta/TQ. Можно показать, что E(t)

Е(Т0

d fT(t)

Для природных процессов л >> 1 и — - > О, т.е., с

&7 1Е(Т0П

увеличением амплитуда годового хода температуры водной поверхности среднегодовая упругость насыщения возрастает. Так как сЫ!а/сЩ < О,

d_ f B(t) 1

dH [ Е(Т )J

то — - < О, и умэньшениэ глубины водоема приводит к

увеличению скорости испарения. Таким образом, возникает механизм положительной обратной связи-. падение уровня мелководного водоема приводит к росту скорости испарения, что в свою очередь способствует еще большему паданию его уровня. Расчеты, выполненные при различных значениях коэффициентов температуропроводности, показывают, что амплитуда температуры сильно зависит от коэфЗЕициентов ж и к и почти не зависит от коэффициента Б. В то же время изменение удельной теплоемкости вода заметно сказывается на амплитуде (модельный пример с уменьшением теплоемкости в 1,25 и 1,5 раза показан на рис. 13).

0 2 4 . 6 8 и, ^

Рис. 13. Влияние удельной теплоемкости на амплитуду поверхностной температуры, параметр кривой - отношение 0Q/C, пунктир - то же при

пароконной теплоемкости

Увеличение солености поди приводит к уменьшению ео теплоемкости, то есть, к уменьшению коэффициентов р и О. Тогда амплитуда температуры будет зависеть от глубины водоема ощо и вследствие изменения удельной теплоемкости, обусловленного изменением солености (рис. 13, пунктир).

С помощью этого механизма можно попытаться объяснить сильно прогрессирующее усыхание мелководного внсокоминерализовшшого (до 30%) залива Кара-Богаз-Гол после его отсечения дамбой от Каспия и обмеление Аральского моря.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построено приближенное аналитическое решение задачи о перераспределении потока мезду поверхностным и подруслошм течениями, определены форма свободной поверхности, расход а свободном потоке, скорости течения для различных конфигураций пористой среда. Полученные формулы позволяют оценить фильтрационный и русловой расходы, их перераспределение, поле скоростей, необходимое для описания переноса примесей.

2. Получено решение нестационарной краевой задачи фильтрации со свободной поверхностью, найдены составляющие скорости фильтрации, закон движения двпрессионной кривой, в том числе при наличии испарения и инфильтрации на свободной поверхности. Определен закон управления глубиной (расходом) в водотоке, обеспечивающий требуемое движение осредненной депрессиошюй кривой.

3. Решена нестационарная задача диффузионного переноса растворимых примесей между водоемом и подсгалапцей пористой средой для пограничных придонных слоев глубоководного водоема (в том числе при наличии адвекции) и водоема коночной глубины. Получены упрощающие разложения в степвпные ряды, пригодные для оценки вторичного загрязнения водоемов из донных отложений.

4. Распространение радионуклидов от ограниченного источника на боковой части границы двумерного потока описано с помощью нестационарного уравнения конвективпо-дифйузгоппого переноса, включающего сорбцию и радиоактивный распад. Решение представлено в виде тригонометрического ряда. Построены изолинии концентрации, длящие картину изменения во времени радиоактивной загрязненности потока выше и ниже источника.

5. Рассмотрены задачи одномерного периодического теплопереноса в двух- и трехслойной среде. Обнаружена немонотонная зависимость амплитуда поверхностной температуры и теплосодержания водоема от ого глубины. Получены распределение температур в атмосфере, водоеме и грунте, зависимость поверхностной температуры водоема и скорости испарения от его глубины. Исследовано взаимовлияние колебаний температуры, глубины водоема и его солености, что необходимо для определения скорости испарения.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Приближенное аналитическое решение задачи нестационарной фильтрации со свободной поверхностью. Водные ресурсы, 1982, N 1, с. 107-112 (совм. с М.Г.Хубларяном);

2. Исследование взаимосвязи поверхностных и фильтрационных стационарных двумерных течений. Водные ресурсы, 1984, N 5, с. 34-43 (совм. с М.Г.Хубларяном);

3. Исследование конвективпо-диффузионного солепереноса мевду поверхностными и подземными водами с учетом растворения твердой фазы. Тезисы докл. конф."Гидрология 2000 года", 1986, с. 94-95;

4. Аналитическое решение задачи о распространении растворимых солей во взаимосвязанных поверхностных и подземных водах. Тезисы докл. ХЛ школы-семинара "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования", Ростов-на-Дону, 1988, с. 167;

5. Моделирование радиоактивного загрязнения водных потоков и действия защитных сооружений. Тезисы докл. 3 школы "Математические проблемы экологии", Чита, 1990, с. 43-45 (совм. с И.О.Симоновым);

6. Численное и аналитическое моделирование конвективно-диффузионного переноса радионуклидов в водных потоках. Водные ресурсы, 1990, N 6, с. 89-93 (совм. с И.р.Ппмановым);

7.Опыт использования моделей при изотопных исследованиях природных вод. Совещание экспертов МАГАТЭ "Математическое моделирование в гидрогеологии на основе изотопных данных", 1989, Вена, 33с. (совм. с В.И.Ферронским, И.О.Шмановым и др.);

0.Перенос растворимых примесей между поверхностными и подземными водами. В печати; Водные ресурсы;

9.Теплообмен в двухслойной водной среде при периодическом потоке

тепла на поверхности. В печати; Водные ресурсы;

10.0 зависимости скорости испарения от глубины водоема. В печати

(совм. с В.И.Найденовым).