Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Математическое моделирование структурных параметров сердечно-сосудистой системы методами дифференциальных форм

ВАК РФ 03.01.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование структурных параметров сердечно-сосудистой системы методами дифференциальных форм"

На правах рукописи

005044153

КУЗНЕЦОВ Геннадий Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ СЕРДЕЧНО - СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

03.01.02 - биофизика (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 7 МАП 2012

Сургут-2012

005044153

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» и филиале ВЗФЭИ в г. Туле

Научный консультант:

Официальные оппоненты: ЕВТУШИК Леонид Евгеньевич

ДОМБРОВСКИЙ Юрий Анатольевич

БЕДНАРЖЕВСКИЙ Сергей Станиславович

заслуженный деятель науки РФ, доктор биологических наук, доктор технических наук, профессор ЯШИН Алексей Афанасьевич

доктор физико-математических наук, профессор, МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор кафедры математического анализа

доктор физико-математических наук, профессор, Ассоциация региональных операторов связи, президент

доктор технических наук, Сургутский государственный университет ХМАО-Югры, профессор кафедры безопасности жизнедеятельности

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Юго-западный государственный университет», Курск.

Защита состоится 6 июня 2012 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 800.005.02 при ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа -Югры» по адресу: 628412, Ханты-Мансийский автономный округ (Тюменская обл.), г. Сургут, пр. Ленина, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа -Югры» по адресу: 628412, Ханты-Мансийский автономный округ (Тюменская обл.), г. Сургут, пр. Ленина, 1.

Автореферат разослан «_» мая 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Майстренко Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделированию кровеносной системы человека посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Первыми работами, положившими начало таких исследований, можно считать работы Гарвея и Ньютона. Однако всплеск таких исследований начался во второй половине 20 века, когда к исследованиям по моделированию сердечнососудистой системы (ССС) человека стали привлекать математический аппарат и вычислительную технику (F.S. Grodins (1966), P.L. Vadot (1968), L. Pater (1966) и др.).

Уместно упомянуть фамилии отечественных и зарубежных авторов, которые занимались моделированием ССС и результаты которых описаны в первой главе данной диссертации: Лигцук В.А. (1977), Хадарцев A.A. (1997), Яшин A.A. (2003), Дж.Педли (1986), Федоров С.Ю. (1997), Гайтон H.A. (1969), Pincus S.M. (1993), Eleisher L.A. (1993), Phillips W.M. (1993) и др.

Каждая конкретная модель ССС строится на основе присущих ей принципах. При решении задач теоретического характера, а так же задач практического (клинического) плана, приходится пользоваться несколькими моделями, каждая из которых создана для решения конкретной проблемы. Поэтому возникает необходимость использования определенной модели (или нескольких) в рамках другой (или нескольких) моделей и наоборот. Необходимо объединяющее начало. Подходы, предлагаемые к настоящему времени (E.H. Starling, A. Hill, Хаютин В.М., Шумаков В.И., Бакусов Л.М., Лищук В.А, и др.) обуславливали анализ большого числа параметров, от которых зависит поведение ССС, а при более детальном описании ее функционирования появляется тенденция к еще большему увеличению числа параметров.

Нахождение объединяющего начала в задачах, относящихся к моделированию ССС, является в настоящее время актуальным. Наряду с переносом вещества по кровеносной системе, происходит и перенос информации. Установлено, что понятие информации тесным образом связано с жизнедеятельностью человека (Кадомцев Б.Б.). Объяснение закономерностей, на основании которых передается вещество и информация внутри организма с использованием построенной для этого математической модели, является актуальным для исследования.

Единство компонентов ССС можно объяснить изучением ее геометрии в структуре определенного пространства, по своим свойствам близким к свойствам структуры ССС. Поэтому построите модели движения крови, как во всей системе, так и в ее отдельных участках, можно проводить с использованием геометрии интегральных линий вектора скорости крови в соответствующих пространствах. Для этого в качестве структурных параметров рассматриваются геометрические характеристики ССС, пространство которой представлено в виде определенного вида риманова пространства -субпроективного. Все это позволяет в качестве параметров рассматривать базисные дифференциальные формы, получаемые из структурных уравнений соответствующего пространства, и посредством их выражать скорость крови. В

некоторых случаях рассматриваются кривизна и кручение интегральных линий скорости крови. На основании этих параметров определяются тензоры, характеризующие структуру системы кровообращения и движение крови.

Анализируя современные исследования в области моделирования ССС, возрастающее число сердечнососудистых заболеваний, можно сделать вывод о значимости тематики предпринятого исследования, позволяющего решить те задачи, для которых ранее не было предложено логически выверенного концептуального обоснования, не была разработана теория моделирования кровотока, которая с единых позиций, как в сосуде, так и в системе кровообращения позволяла решать задачи моделирования структурных параметров и анализа состояния ССС человека. Применение

дифференциальных форм для теоретического и практического исследования движения крови с использованием математической модели, построенной на основе структурных параметров ССС, ранее так широко не практиковалось.

Таким образом, разработка моделей, алгоритмических процедур и методов для математического моделирования структурных параметров ССС на базе разработанного математического аппарата является актуальной научно-теоретической и научно-практической проблемой.

Целью работы является создание математического подхода на базе методов дифференциальных форм для моделирования параметров сердечнососудистой системы и для изучения закономерностей движения крови, в ходе достижения которой решались следующие задачи:

1. Разработка специального математического аппарата для математической модели системы кровообращения, позволяющего эффективно использовать при этом структурные параметры ССС.

2. Разработка способа формализации структуры ССС человека для создания ее математической модели.

3. Получение выражений для тензоров, характеризующих движение крови в сосуде и во всей системе кровообращения.

4. Исследование структуры ССС человека с использованием математической модели при различных видах движения крови.

5. Разработка алгоритма управления процессами контроля и диагностики состояния ССС на основе структурных характеристик системы.

6. Анализ эффективности использования структурных параметров ССС в задачах по ее моделированию и контролю состояния.

Научная новизна. Впервые разработан теоретический подход для получения математической модели с использованием структурных параметров сердечно - сосудистой системы человека методами дифференциальных форм, отличающийся использованием в качестве пространства системы -субпроективное пространство, как одного из видов риманова пространства, что позволяет проводить анализ состояния системы кровообращения. Показан переход от модели всей системы к модели сосуда на основании изменения структурных параметров и тензорных характеристик.

Определены процедура и методы анализа структурных параметров системы кровообращения, основанные на принципах целостности и делимости системы,

что обеспечивает выделение ее структурных свойств, рационализацию анализа, классификацию и выделение неадекватных видов движения крови для обнаружения патологии.

Впервые предложена методология исследования турбулентного и ламинарного движений крови с привлечением структурных параметров системы кровообращения, которая позволяет характеризовать траектории движения частиц крови в норме и при патологических изменениях не только в сосуде, но и во всей системе кровообращения.

" Предложена структура информационного обеспечения формализованного описания ССС человека, отличающаяся интеграцией обоснованных в работе методов, моделей и систем уравнений в единую концептуальную систему анализа режимов работы ССС.

Создана математическая модель системы кровообращения, отличающаяся представлением системы кровообращения посредством геодезических линий специального вида риманова пространства -субпроективного, что обеспечивает исследование системы кровообращения на основе ее структурных параметров с допустимой для эксперимента погрешностью.

Разработана модель управления комплексной оценкой эффективности обнаружения патологических изменений, включающая таблицы показателей качества, их сравнение, что обеспечивает полноценность анализа результативности.

Научно-практическое значение. Разработанные модели, методы и алгоритмы позволяют проводить с высокой эффективностью анализ структурных параметров сердечно - сосудистой системы, что позволяет обрабатывать информацию о состоянии системы кровообращения и уменьшать число параметров в задачах моделирования и исследования системы кровообращения. Выявлены системные связи в системе кровообращения на основе структурных параметров всей системы и сосуда, что обеспечивает принятие необходимых решений для диагностики и корректировки патологических изменений.

Предложенная математическая модель позволяет обосновать применения свойств траекторий движения частиц крови при анализе состояния системы.

Разработанный математический аппарат успешно используется при классификации видов движения крови в ССС как в состоянии нормы, так и патологии, а так же во многих других научных направлениях, связанных с исследованием системы кровообращения и изучением фундаментальных закономерностей ее функционирования.

Предложен метод принятия решений по коррекции обнаруженных патологических изменений, отличающийся использованием структурных параметров, характеризующих движение крови. Положения, выносимые па защиту.

1. Методы, алгоритмы и модели ССС человека для анализа ее структурных параметров на основе математического аппарата дифференциальных форм.

2. Теоретически обоснован переход от структурных уравнений параметров, характеризующих движение крови в системе кровообращения, к структурным уравнениям параметров движения крови в сосуде.

3. Разработаны новые характеристики турбулентного движения крови при математическом моделировании структурных параметров ССС, которые позволяют диагностировать нарушения в системе кровообращения.

4. Обоснована модель ламинарного движения крови с использованием структурных характеристик траекторий движения частиц крови эффективна для ее применения в задачах исследовании движения крови в норме.

5. Алгоритмы управления процессами контроля состояния ССС, для получения необходимой информации и проведения анализа структурных параметров.

Внедрение результатов работы.

Результаты исследования внедрены в исследованиях ГУП НИИ НМТ (г. Тула); в исследованиях Института гастроэнтерологии АМН Украины; Курском государственном медицинском университете; Курганском государственном университете; Новгородском государственном университете им. Я. Мудрого; Курском государственном техническом университете; Ростовском государственном медицинском университете; Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова; Арзамасском государственном педагогическом институте им. А.П. Гайдара; Пермском государственном техническом университете.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены в период с 1993 г по 2011 гг. двадцатью докладами на 20 научных мероприятиях международного, всероссийского, регионального уровней, в том числе: 3-я Международная конференция по алгебре (Иркутск, 1993); Конференция профессорско-преподавательского состава ТГПУ (1996, 2004, 2005); Международная научно-практическая конференция «Современные технологии в аэрокосмическом комплексе» (Житомир, 1997); Международный конгресс «Медицинские технологии на рубеже веков» (Тула, 1998); Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ» (Тула, 1998); Первый всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем 98» (Красноярск, 1998); Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе» (Магнитогорск, 1999); Второй Международный симпозиум «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» (Тула, 1999); Всероссийский геометрический семинар (Псков, 1999); Международная конференция «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики» (Москва, 1999); Первая Международная конференция «Циклы природы и общества» (Ставрополь, 1999); Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2000); Региональная научно-техническая конференция «Интеллектуальные и информационные системы» (Тула, 2000); Третий Международный симпозиум «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» (Тула, декабрь 2000); Третья Международная

сонференция «Образование и наука в третьем тысячелетии (Барнаул, 2001); Международная сессия геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Таптева (Москва, 2001); Первая Международная научно-техническая сонференция «Физика и технические приложения волновых процессов» Самара, 2001); Шестнадцатая Международная конференция «Циклы природы I общества» (Ставрополь, 2008); Шестнадцатая межвуз. научн.-техн. конф. ГАИИ (Тула, 2008); Международная научно-практическая конф. «Менеджмент сачества в экономике, бизнесе, управлении и образовании» (М,- Тула, 2010, 2011); Международная научно-практическая конф. «Многомасштабное лоделирование структур и нанотехнологии» (Тула, 2011).

Публикации. Самостоятельно и в соавторстве по теме диссертации опубликовано 56 работ, в том числе 26 - в изданиях, рекомендованных ВАК 3Ф. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце штореферата, лично автором представлены идеи и методы, используемые при моделировании ССС и ее участков, а также были проведены необходимые ¡ычисления и эксперименты. В монографиях [1, 2] автором сформулированы основные положения защищаемых концепций, методов и алгоритмов. В заботах [4 - 6, 8 - 10, 12 - 13, 18, 20, 22, 29 - 34, 36, 39, 47 - 48, 51], шполненных в соавторстве, основные принципы и уравнения получены непосредственно автором работы и обсуждались с соавторами

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем составляет 334 страницы, содержит 33 рисунка, 10 таблиц. Список литературы включает 244 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость исследования, приведены сведения об апробации, внедрении результатов работы и краткое содержание глав диссертации.

В первой главе, являющейся расширенным введением в проблематику работы, содержится как анализ результатов, полученных ранее отдельными исследователями и научными школами, так и результаты автора данного исследования. Решаются задачи по формализации деятельности ССС человека и оптимизации пространства описаний системообразующих факторов и структурных параметров для всей системы кровообращения и ее отдельных участков. Проанализированы существующие концепции подходов к моделированию ССС. Систематизированы и охарактеризованы биофизические и математические аспекты пространственного подхода к моделированию ССС, включающего в себя рассмотрение геометрии ССС как геометрию пространства определенного вида (субпроективного пространства) для описания структуры всей ССС и геометрии евклидова пространства для изучения геометрии отдельного участка сосудистой системы и построения его модели.

Вполне логичным для вводной главы является исследование и выявление на логико-понятийном уровне сущности пространственного подхода к

моделированию ССС, а также структуры пространства, сопоставляемого пространству кровеносной системы, свойства которого позволяют проанализировать структурные параметры ССС и, с их помощью, состояние системы.

Рассматривая движение крови как стационарный поток, проще отделить структурные характеристики от динамических. Это обстоятельство позволяет проводить математическое моделирование структурных параметров системы кровообращения и исследовать движение крови методом внешних форм, без привлечения динамических характеристик. В сосуде поток крови имеет непрерывный характер, поэтому возникающие при создании теории конгруэнции и поверхности можно исследовать обычными в дифференциальной геометрии методами. В результате такого подхода получаем геометрическую картину и необходимые характеристики стационарного потока крови (рис. 1).

вихревые линии

.....линии тока

Рис. 1. Схематическое представление геометрической картины.

Вторая глава посвящена созданию необходимого математического аппарата, необходимого для математического моделирования структурных параметров и анализа движения крови по участку сосуда.

При рассмотрении геометрии участка сосуда используется геометрия евклидова пространства, то переход от одной точки к другой можно осуществлять, основываясь как на свойствах дифференцируемых отображений между областями евклидова пространства, так и на свойствах дифференцируемых отображений между различными евклидовыми пространствами (при переходе от одного сосуда к другому). Более подробно рассматриваются конформные и геодезические отображения, так они позволяют проследить движение крови вдоль сосуда и в кровеносной системе.

Дается понятие подповерхности уровня коэффициента конформности - так называемой эквиконформной гиперповерхности, то есть гиперповерхности, на которой коэффициент конформности принимает постоянное значение.

Показывается, что такие поверхности являются гиперсферами в л-мерном евклидовом пространстве.

Конформные отображения используются при моделировании ламинарного движения крови, так как сохраняются углы между векторами скорости крови в точке сосуда и в образе точки. С конформным отображением связано сходящееся векторное поле. Сходящееся векторное поле можно представить

Движение частиц крови происходит по «кратчайшим» линиям, которым в пространстве, являющимся моделью пространства ССС, будут соответствовать геодезические линии. Как и в случае конформного отображения, рассматривается вектор геодезического преобразования. Доказывается, что эквигеодезические гиперповерхности являются гиперплоскостями (Рис 3).

Геометрия дифференцируемых отображений тесным образом связана с геометрией гиперраспределений.

Приведенные результаты позволяют характеризовать геометрическую картину движения крови и ее структурные параметры в кровеносном сосуде с использованием хорошо изученной геометрии гиперраспределений и дифференцируемых отображений как между однородными, так и не однородными пространствами.

В третьей главе, являющейся центральной для создания математической модели по исследованию состояния ССС методами дифференциальных форм, решаются задачи по разработке специального математического аппарата, и предлагается структура при формализованном описании ССС для анализа

Полученные компоненты тензора деформации имеют вид:

ИАвс=5Авас + 8Аав-ёвсаА, (1)

который аналогичен виду соответствующего тензора для конформного соответствия между евклидовыми пространствами. В последнем равенстве величины аАиаА = §АВав являются компонентами вектора конформного преобразования. Здесь же находятся компоненты ковариантного тензора кривизны субпроективного пространства:

кавкь = авьёлк+алкёв1-авкёа[, -аа1%вк, (2) где УаА = аАВсов и алв = аАВ- аАав + рёлв, а р = -ёлваАав.

— ^ СЬ г \

Полученные величины алвк = аАВК +—ёлвё {сс^ск + асаис) ~

-аваАК-аАа-вк удовлетворяютсвойству:

ССАВК = а АКБ,

что с выражением для Я мкь являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы риманово пространство было конформно-евклидовым. На основании приведенных рассуждений делается вывод: Теорема. Конформное отображение между евклидовым и римановым пространствами определяет в евклидовом пространстве конциркулярное векторное поле, которое является одним из видов торсообразующего векторного поля.

По аналогии с конформным отображением между евклидовыми пространствами, вводится понятие эквиконформных гиперповерхностей, которые также являются гиперсферами. Конформное отображение между евклидовым и римановым пространствами определяет в евклидовом пространстве гиперсферы, на которых коэффициент конформности принимает постоянные значения.

Изучается не только гиперсфера в евклидовом пространстве, но и ее образ. При этом произведение радиусов эквиконформных гиперсфер, одна из которых является образом другой, постоянно. Более того, на эквиконформной гиперсфере конциркулярное векторное поле, определяемое конформным отображением между евклидовым и римановым пространствами, является сходящимся векторным полем (рис. 4).

моделировании структурных параметров всей системы кровообращения.

В завершении рассмотрения конформных отображений, рассматриваются конформные соответствия между евклидовым и субпроективным пространствами. Из конформно-евклидовых выделяются субпроективные

пространства. Это возможно тогда и только тогда, когда тензор алв имеет вид:

алв=Р(а)шАВ+(Ка)алав. (3)

На эквиконформных гиперсферах вектор конформного преобразования является сходящимся векторным полем.

Так как конформное отображение определяет в евклидовом пространстве конциркулярное векторное поле, то оно будет переходить в конциркулярное векторное поле тогда и только тогда, когда пространство допускает такое векторное поле, то есть оно должно быть субпроективным. Отсюда получен еще один результат.

Теорема. При конформном отображении между евклидовым и римановым пространствами, конциркулярное векторное поле будет переходить в конциркулярное векторное поле тогда и только тогда, когда риманово пространство является субпроективным.

Ввиду того, что траектории частиц крови представляют собой геодезические линии, рассматривается и геодезическое соответствие между евклидовым и римановым пространствами. Находятся компоненты тензора связности для данного отображения и компоненты тензора кривизны. Вводится понятие эквигеодезической гиперповерхности, которая определяется в евклидовом пространстве при его геодезическом отображении в риманово пространство. При этом доказывается факт о эквигеодезических гиперповерхностях в виде: эквигеодезические гиперповерхности являются гиперплоскостями в евклидовом пространстве Е".

При выяснении геометрии вектора геодезического преобразования, делается вывод.

Теорема. Геодезическое отображение между евклидовым и римановым пространствами порождает в евклидовом пространстве конциркулярное векторное поле, которое на эквигеодезических гиперплоскостях является параллельным векторным полем.

Даются характеристики векторам второго порядка, которые присутствуют в

уравнениях перемещения репера | у, а а | риманова пространства в некоторой

-А

карте U. Приводятся формулы для вычисления векторов в случае произвольного дифференцируемого отображения между евклидовым и римановым пространствами, а также для случаев, когда отображение является конформным и геодезическим.

Полученные в этой главе результаты позволяют использовать специальный математический аппарат для моделирования структурных параметров и анализа движения крови в рамка х всей ССС.

Четвертая глава посвящена разработке теории для моделирования стационарного движения крови в участке сосуда. Решаются задачи по разработке теории кровотока с использованием структурных параметров, методов исследования ламинарного и турбулентного движений крови. Показано, что оптимальным пространством описаний системообразующих факторов и структурных параметров является евклидово пространство, как частный случай субпроективного. Получены уравнения движения крови по участку сосуда. В начале главы рассматриваются некоторые основные идеи, подчеркивающие возможность и продуктивность применения геометрии в исследовании ССС.

Для функции ф вычисляется градиент, который по взаимным векторам е для выбранной основной тройки векторов ел, имеет вид:

~ed(p acó2 acó3 +edcp асо3 ло1 +е d<p асо1 асо2

graacp --j-2-5-• w

o) aco aco

В этом же параграфе вычисляются дивергенция и ротор вектора скорости крови. С учетом обозначений:

оз32 =- со23 = Ра (оа =р, а>'3=- a)3¡ = qA соА = q,

сО21 =-&12 = rAmÁ=r уравнение неразрывности потока крови имеет вид:

(£/v1-v2r + v3q)AQ>2AC03 + (dv2-v3p + v1r)A©3Atfl1 + + (dv3-v1q + v2p)Aü)1ACO2 = 0.

Вычисляются компоненты вихря, который находится следующим образом:

- 1 - 1 л-v = —rotv = —v ел. 2 2

Вводится понятие полной энергии частицы (Н), которая определяется из равенства:

dH = Ivvdx.

Правая часть последнего равенства обращается в нуль для перемещений, направления которых совпадают либо с направлением скорости, либо с направлением вихря, либо же с любым направлением, компланарным первым двум. Все эти перемещения лежат на поверхностях семейства так называемой «постоянной энергии».

Далее рассматриваются поверхности постоянной энергии и постоянной полной энергии (скорость постоянна), которые характеризуются тем, что на них функция Н принимает постоянное значение:____

/

\

-__/__\

в2 ;' , "Л \

еГ\| . __1 _! _ \

' V }

/

Рис. 5. Иллюстрация поверхности постоянной энергии в сосуде.

Дивергенция вектора ез характеризуется через геометрию линий тока: величина сй'уез в каждой точке потока крови равна средней кривизне конгруэнции линий тока с точностью до знака.

Величина сНуеъ равна нулю тогда и только тогда, когда конгруэнция линий тока крови является минимальной конгруэнцией.

В дальнейшем, поверхности постоянной полной энергии будут характеризоваться постоянством модуля вектора скорости крови.

В случае ламинарного движения крови по поверхностям постоянной полной энергии гемодинамическое давление принимает постоянное значение в рассматриваемом участке сосуда тогда и только тогда, когда равнодействующая всех сил, действующих на частицы данного участка, ортогональна стенкам сосуда.

Турбулентное движение крови, линии тока, скорости которой являются винтовыми линиями, изучается с использованием плоского распределения.

Пусть все винтовые линии лежат на соосных цилиндрах (рис. 6):

\

\

\ * •-" / ''/ \ \ /1

\

Рис. 6. Иллюстрация винтовой линии, расположенной на цилиндре.

Геометрия данного вида турбулентного движения крови изучается на основе геометрии плоского распределения. На основании приведенных рассуждений, показано: стационарное движение крови является турбулентным, линии тока которого являются винтовыми линиями с постоянной высотой витка тогда и

только тогда, когда вектор скорости крови ортогонален плоскому распределению.

При ламинарном движении частицы крови движутся по соосным цилиндрам, на каждом из которых скорость крови постоянна. Все частицы крови, лежащие в плоскости, ортогональной оси сосуда в некоторое начальное время, а по истечению некоторого единичного времени, будут лежать на поверхности параболоида. С геометрической точки зрения с этими поверхностями связываются определенные геометрические объекты, которые позволяют описать ламинарное движение крови и геометрию такого движения по участку

Показывается, что цилиндры являются поверхностями постоянной полной энергии. Для выяснения геометрической природы параболоида с каждой точкой оси сосуда связывается плоскость, ортогональная вектору скорости. Интегральные линии вектора скорости будут прямыми. Доказывается, что полученное распределение будет голономным.

Интегральным многообразием распределения является параболоид, ось которого совпадает с осью сосуда при ламинарном движении крови по сосуду.

Пусть геодезическая линия с вектором е\ образует угол а. Тогда ее уравнения принимают вид:

со3 = О da + г = 0.

Для удовлетворения всем условиям и уравнениям, которые накладываются

на движение крови, полагаем:

, л

—=¡;oü1+Tira2 + (L + -¿-T)co3 V ¿V

О = (ti +N sina) <а 1 - + N coscr) со2 + С, со3, (5)

где L = р 2 sin2 a + (р i - q 2) sina cosa - q 1 cos2ct, N = p3 sincr - q3 cosa, а r|, C, -неизвестные функции, которые выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись условия интегрируемости приведенных уравнений.

Результаты четвертой главы позволяют моделировать движение крови в отдельно взятом сосуде, основываясь на его структурных параметрах.

В пятой главе рассматриваются задачи по созданию теории, основанной на свойствах субпроективных пространств, для моделирования структурных параметров и анализа состояния всей ССС, разработке математического аппарата и получения необходимых уравнений движения. Субпроекгивное

пространство, геометрия которого ассоциируется со структурой ССС, здесь отнесено к голономным реперам. В начале главы приводятся аргументы в пользу изучения ССС, основывающейся на пространственном подходе, то есть на изучении структуры ССС, как геометрии субпроективного пространства. Проводятся аналогии между структурными свойствами ССС человека и свойствами субпроективного пространства, а также показывается эффективность использования субпроекгивного пространства при изучении структуры системы кровообращения человека (рис. 8).

В данной главе рассматривается случай, при котором форменные элементы крови, представляемые как материальные точки и называемые частицами крови, движутся по поверхностям. Данный подход позволяет использовать разработанный в работе математический аппарат для изучения и моделирования структурных параметров всей системы кровообращения.

пространством.

Вычисляются дифференциальные операторы для субпроективного пространства, отнесенного к голономным реперам.

Оператор градиента имеет вид, аналогичный виду этого же оператора в евклидовом пространстве. Для нахождения дивергенции, получаем:

dv = ОdvA + vBcoAB )гл + Улсов~елв, (6)

где Cas — евл. В результате чего получаем:

div vdv = (dv1 + vBco\) л со2 ла>3 + (dv2 + vBco2B) л со3 а су1 +

+(¿v3 + vBú)l) ACO1 ACO2 + (vKa^)¿r,

K*A

где в последнем слагаемом вначале производится суммирование по А, а затем сумма по К^А.

Ротор вектора скорости крови будет находиться из следующего равенства: rotv dt = -eLcoL л/л (dvA + vBcoB)(елек)-еко1 л vA(coK лсов)(елвек) Последнее равенство рассматривается и в ортогональном репере:

-roivdr = ei(col acó2 л(dv2 + v'&>,2 + v\o¡) + új1 л &>3 л(dv3 + v1®3 +

+v2ü>3)) + e2(co2 A (O1 A (dv] + V20J + v3®3) + СО1 А <У3 Л (í/v3 + vV +

+v2©3)) + ез (ю3 л tu1 л (¿/v1 + V2ty' + v3®') ■+ а? л ш2 л (dv2 + v1©2 +

+v3ü>2)) 4- ((v3 - v2 )ei + (v1 - v3 )ег + (v2 - vl)ез t.

Выражения для нахождения компонент вихря, будут иметь следующий развернутый вид:

-dr • V1 = Ó)' А С0>2 A (dv2 + Vr - V3Í>) + ffl1 Л G? А (dv3 - v'^T + \2p) + +(v'(a2 -a12)~v24 + v34)í/r

-ífr • V2 = O)2 A <y' A (¿V1 - V2r + V3g) + íy2 A ¿y3 A (ífr3 - V1? + V2p) +

+(v'a3, + v2(a\2 -a\3) - v3a'3)¿r

-rfr •V3=Ü)3Affl1A(A1-vV + V3?) + <y3 A ü>2 A (Jv2 + vV - V3/?) + -K-v'a2 + v2a'2 + v3 (4з - a^í/r,

где dr = со 'л со 2л со 3 - элемент объема в каждой положительно ориентированной карте U.

Уравнение неразрывности потока крови имеет здесь следующий вид:

(dv1 -vV + v3g)Affl2Affl3 + (dv2 + vV - v3p) acó3 acó1 + (dv3 - v*q +

wp) а со1 А со1 + (vk42 + + ^a3Ki)dr =

Выбирая вектор ез по направлению касательной линии тока крови, получим:

v-vei.

Тогда будем иметь:

— aco1 aco2 =(p2-qxW aco2 aco3. (7)

V

Пусть dv = у^®"4, тогда v3 = v(p2 -q^, где v -модуль вектора скорости. Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид:

p¡sina-q> cosa =0. (8)

Выводятся обобщенные уравнения Гельмгольца, которые имеют вид: a л (dvA + vBo/B ) = П-л (dvk + УЪсолв ) (9)

и для случая симметричности векторов елв по нижним индексам, совпадают с аналогичными уравнениями, для евклидова пространства.

На основании результатов пятой главы производится моделирование структурных параметров всей системы кровообращения для анализа ее состояния, когда форменные элементы крови движутся по поверхностям.

В шестой главе созданы математическая модель структурных параметров и теория для анализа стационарного движения крови в субпроективном пространстве, отнесенном к неголономным реперам, то есть в самом общем случае.

Уравнение неразрывности потока крови приводится к виду:

—Т— = А-01 "К + Ом). 00)

аэ

где вектор скорости сонаправлен с вектором еъ '■ V = Уез.

На основании последних утверждений получаем: в каждой точке потока крови логарифмическая производная от величины скорости по направлению линии тока, равна средней кривизне конгруэнций линий тока крови.

Величина скорости потока крови в субпроективном пространстве, отнесенном к неголономным реперам, постоянна вдоль некоторой линии тока тогда и только тогда, когда данная линия представляет собой линию, принадлежащую минимальной конгруэнции.

Находятся компоненты вихревого вектора для данного вида субпроективного пространства.

Отношение проекции вихря на касательную линии тока крови к величине скорости крови есть инвариант линии тока крови, который пропорционален квадратному корню из разности полной и гауссовой кривизны линии тока крови.

В седьмой главе рассматриваются вопросы по использованию структурных параметров кровеносной системы в анализе состояния системы.

По геометрии движения крови в сердце можно характеризовать и сердечные шумы, которые имеют значение для оценки гемодинамики и для характеристики клапанного аппарата сердца.

В зависимости от гемодинамических изменений, вызванных тем или иным пороком сердца, изменяется форма шума, а также геометрическая конструкция для данного вида движения крови. Под геометрической конструкцией здесь понимается геометрический объект, применяемый для изучения данного вида движения: в голономном случае - это поверхность, в каждой точке которой есть касательная плоскость и нормаль; в неголономном случае - распределение и нормаль к нему, интегральные линии которого как могут образовывать конгруэнцию, так и могут не образовывать.

Исследование шумов и тонов сердца на фонокардиограмме дает в руки как исследователя, так и лечащего врача, ценные данные о состоянии геометрической картины движения крови. Степень отклонения этой картины от нормы для дифференциального диагноза пороков сердца, позволяет делать оценку степени анатомического поражения клапанного аппарата сердца и уточнять в каждом отдельном случае особенности внутрисердечной гемодинамики. Корректировка геометрического объекта от имеющегося состояния к состоянию его в норме, позволяет выявлять изменения в работе сердечной мьнццы или клапанов.

Используя разработанную в данной работе модель ССС как в целом, так и ее отдельных частей и используя шумы и тоны сердца можно выявлять на ранней стадии патологические изменения как непосредственно в сердце, так и в кровеносной системе.

Всей системе кровообращения в модели соответствует две системы геодезических линий, проходящие через неподвижную точку. Две рассматриваемые системы, представляющие собой большой и малый круги кровообращения, имеют общую точку - неподвижную точку субпроективного пространства. Приведенные рассуждения наглядно продемонстрируем в виде блок-схемы модели ССС и изображены на рис.9. Представленная на рисунке блок-схема является более формальным воплощением представляемых ранее подходов, лежащих в основе моделирования деятельности ССС при построении математической модели. Более того, данная блок-схема хорошо согласуется с ранее представляемыми формализациями системы кровообращения, полученными различными авторами.

В процессе развития и накопления знаний по физиологии и патофизиологии данная модель может постоянно усовершенствоваться. Разнообразие свойств ССС, возможных гипотез по регуляции и по патологическим изменениям, столь обширно, что отразить их в рамках одной модели довольно сложно. Предлагаемая методология исследования состояния ССС позволяет это делать, не разрабатывая при этом новой модели для каждой конкретной задачи.

Возможно введение в модель и патофизиологических изменений. Патофизиологические изменения могут быть заданы изменением соответствующих видов движений. При переходе к таким изменениям начинают появляться завихрения, которые не свойственны состоянию участка сосуда или всей системы в норме. Геометрически это представимо тем, что в норме с каждой точкой сосуда связан один геометрический объект, а при патофизиологических изменениях с этой же точкой будет связан другой геометрический объект. Такие переходы как в одну, так и в другую сторону могут быть реализованы в предлагаемой модели с использованием патофизиологических и морфометрических данных клиники.

Существующие до сего момента системы поддержки принятия решений (СППР), содержащие системы по диагностике ССС, не решают на доступном для каждого врача уровне поставленных задач по эффективной и не дорогой диагностике. Поэтому была предложена структура программного и математического обеспечения СППР, включающая в себя не только задачи диагностики, но и поддерживает решение задач по прогнозированию, диагностике изменений в ССС, профилактику и возможные пути коррекции по устранению дефектов в кровеносной системе.

мкк

Рис. 9. Блок-схема модели ССС.

Примечания: С - сердце; МКК и БКК - малый и большой круги кровообращения; А - дуга аорты; AT - артерии, ТТ - капилляры, ВТ - вены нижней части тела и ног; АГ - артерии, ТГ - капилляры, ВГ - вены головы и рук; ЛА - легочная артерия; JIK - легочные капилляры; JIB - легочная вена.

В системе реализован алгоритм управления процессами контроля и диагностики состояния ССС, схема которого представлена на рис.10. Алгоритм работает следующим образом. Для обследования состояния ССС используется ультразвуковой анализатор (УА). Далее, данные, полученные для обследуемого сравниваются с табличными. Если при сравнении полученных значений

скоростей и индексов нет расхождений с табличными, то причину недуга нужно искать в другом или это является условием отсутствия отклонений в ССС. При обнаружении у пациента расхождений с табличными данными либо УА подключается к персональному компьютеру (ПК) для проведения дальнейших исследований, либо при обнаружении существенных расхождений констатируется наличие патологических изменений в ССС с организацией лечебно-оздоровительных мероприятий. При подключении УА к ПК, на экране которого появляется график зависимости кровотока от времени и на основании разработанного в работе математического обеспечения (МО) для обработки информации состояния ССС методами дифференциальных форм, делаются выводы о наличии в сосуде турбулентного движения. Последний вид движения крови в большинстве случаев не свойственен сосудам в норме и позволяет говорить о патологических изменениях. В основе МО лежат результаты глав 4 и 5, в которых получены геометрические характеристики для ламинарного и турбулентного движений крови. В качестве геометрических характеристик в МО выступают различного вида распределения, дифференцируемые отображения, интегральные линии и т.п. По этим геометрическим характеристикам на экране монитора появляются графики зависимости кровотока от времени, и с помощью метода цветового доплеровского картирования приводится анализ частотных спектров. Это позволяет выявлять виды движений крови в сосуде и выделять виды движений, которые не являются для данного сосуда нормой. Применение МО не возможно без полученных уравнений движения крови. Выведенные на экран монитора виды движения крови (ВДК) либо не подтверждают диагноз наличия патологических изменений и необходимы другие лечебно-диагностические мероприятия, либо диагноз подтвержден и необходимо проведение лечебно-оздоровительных мероприятий для ССС.

Отличительной особенностью предлагаемой автоматизированной системы является требование наличия в ней нестандартного математического обеспечения для выявления турбулентного движения на ранней стадии его появления.

Рис. 10. Алгоритм управления процессами контроля и диагностики состояния ССС.

Структурная схема предлагаемой системы поддержки принятия решений приведена на рис. 11. В этой системе информация о патологических изменениях в ССС вводится в ПК с помощью ультразвукового анализатора через соответствующие драйверы связей (ДС). Поступающая внешняя информация структурируется в виде файла исходных данных (ФИД). Далее информация о состоянии ССС из ФИД передается на вход блока традиционного принятия решения (БТПР), работа которого заключается в получении с помощью УА числовых характеристик движения крови. Кроме этого на БТПР передается информация об изменениях ССС с интерфейса пользователя.

Далее информация поступает в блок анализа (БА), где анализируется ситуация по поводу расхождения полученных данных с табличными и выносится решение либо на интерфейс пользователя о наличии или отсутствии патологии, либо информация поступает для обработки в блок работы алгоритма управления процессами контроля и диагностики (БРАУПКД) состояния ССС.

По информации, получаемой в результате работы БРАУПКД, блок определения диагноза (БОД) под управлением врача-исследователя формирует параметры для проведения курса лечения.

В базе данных (БД) находится электронные медицинские карты (ЭМК) пациентов, виды движения крови (ВДК) в ССС в норме и патологии, числовые значения для скорости крови, справочные данные по заболеваниям и другая

справочная информация.

Из банка модулей движения крови пользователь может извлечь модель турбулентного и ламинарного движений крови. С помощью блока «раскраски» этих моделей (БРМ) получаем светлые цвета для ламинарного и более темные для турбулентного движений крови. Это позволяет наглядно наблюдать за изменением видов движения крови вдоль сосуда и рационально планировать лечение, как сосудистых заболеваний, так и сопутствующих заболеваний.

С помощью интерфейса пользователя врач может наблюдать: временные фрагменты измеряемых характеристик, графики зависимости скорости от времени, окрашенность участков сосуда, отражающих ВДК; и т.д. Это позволяет точно определять места в сосуде, где произошли патологические изменения, и далее активно исследовать это место.

Приведенная схема системы принятия решений сосудистого хирурга (флеболога) позволяет с высокой степенью точности констатировать наличие у пациента патологических изменений в ССС. Результаты данных исследований были подтверждены квалифицированными врачами с использованием, как дорогостоящей аппаратуры, так и в результате проведения лечебных мероприятий. Более того, получение на экране монитора графиков, характеризующих зависимость кровотока от времени, базируется на разработанном математическом аппарате. Адекватность предлагаемого математического аппарата для обработки информации о движении крови проводится в три этапа. Первый этап предполагает получение аналитических выражений, совпадающих с общепринятыми теоретическими выкладками и получение известных положений, которые являются следствиями полученных в работе теорем. Второй этап - это проведение экспериментальных исследований

для подтверждения возможности применения математической модели структурных параметров системы кровообращения в анализе состояния ССС. И третий этап - заключения высококвалифицированных медицинских специалистов.

Рис.11. Структурная схема СППР врача сосудистого хирурга (флеболога).

23

Примечания: УА - ультразвуковой анализатор; ДС - драйвер связи; ФИД -файл исходных данных; БТПР - блок традиционного принятия решения; БА -блок анализа; БРАУПКД - блок работы алгоритма управления процессами контроля и диагностики; БПД - блок постановки диагноза; БД - база данных; БРМ - блок раскраски моделей движений крови.

На основании информации, получаемой от БТПР, БПД и дополнительной информации из БД и со стороны интерфейса пользователей, вырабатываются рекомендации по проведению профилактических, терапевтических или хирургических мероприятий, которые через интерфейс пользователя передаются врачу в качестве рекомендаций по ведению пациента.

В базе данных хранится медицинская карта пациента в электронном виде, в которой находятся его паспортные данные, данные анамнеза, итоги осмотров, опросов, экспериментальных исследований, диагностические заключения, и т.д.

Для проверки достоверности и эффективности обнаружения дефектов в системе кровообращения с использованием модели и математического аппарата этой системы, были обследованы пациенты сосудистого хирурга, а также женщины в возрасте от 17 до 41 года с неосложненным течением беременности и с фетоплацентарной недостаточностью. В ходе проведения обследований были выделены два класса: Первый класс (œ0) - люди без патологических изменений в ССС и второй класс (со 0 - люди, у которых такие изменения обнаружены.

Проверка репрезентативности полученных выборок осуществлялась на основе формулы расчета объема выборок для задач классификации по заданной величине ошибки. При уровне достоверности 0,1 получили, что выборки будут репрезентативными, если пШд= 106 человек и пт\~ 112 человек.

Первоначальные обследования проводились с использованием ультразвуковых анализаторов без разработанного математического аппарата.

Основные характеристики для оценки эффективности проводимых исследований приведены в табл. 1.

Таблица 1

Распределение результатов наблюдений

Обследуемые Результаты исследований Всего

Наличие дефектов Отсутствие дефектов

Количество обследуемых класса сй[ - п^ Истинно (ИП) Ложно (ЛО) ИП + ЛО

Количество обследуемых класса ш0 - пю0 Ложно (ЛП) Истинно (ИО) ЛП + ИО

Всего ИП + ЛП ЛО + ИО ИП + ЛП+ЛО+ИО

В таблице приняты следующие обозначения: ИП - истинно-положительный результат, который равен количеству людей с обнаруженными патологическими изменениями в ССС;

Jin - ложноположительный результат, который соответствует количеству здоровых людей, у которых были обнаружены изменения;

ЛО - ложноотрицательный результат, равный количеству людей с дефектами, у которых дефекты не обнаружены;

ИО - истинно-отрицательный результат, численно равный количеству здоровых людей, у которых дефекты не обнаружены.

Определим основные характеристики для оценки эффективности проводимых исследований.

Диагностическая чувствительность (ДЧ) обнаружения дефектов в системе кровообращения с использованием ультразвуковых анализаторов по отношению к классу шь задается отношением количества пациентов с истинно-положительным результатом к количеству больных, т.е.

Ш пп ДЧ =--(11)

Или в процентном отношении

ИП

ДЧ = —-100% (12)

И»1

Диагностическая специфичность (ДС) обнаружения дефектов ССС по классу ш0 есть отношение ИО результатов к количеству здоровых людей:

ИО _ ИО 1ПЛ0/ лг.

ДС =-или ДС ---100% (13)

ПоО По>0

Предсказательностъ (прогностическая значимость) положительных результатов П3+ определяется формулами:

ПЗ+= Ш или П3+ = Ш п -100% (14)

ИП + ЛП ИП + ЛП

Предсказательность (прогностическая значимость)_отрицательных

результатов ПЗ" задается формулами:

ИЗ" = И° или ПЗ" = И° „ -100% (15)

ЛО + ИО ЛО + ИО

Диагностическая эффективность (ДЭ) определяется равенствами:

дэ=_Ш + И0_или ДЭ __Ш + И0--100% (16)

д ИП+ЛП+ЛО+ИО ИП+ЛП+ЛО+ИО

Для контрольных выборок результаты представлены в табл. 2.

На основании данной таблицы находятся введенные выше величины. Чувствительность равна ДЧ = 128/150 = 0,85. Специфичность составляет ДС = 122/150 = 0,81. Предсказательность положительных результатов равна ПЗ+=0,82. Предсказательность отрицательных результатов П3'=0,85. Диагностическая эффективность равна ДЭ = (128+122)/300 = 0,83.

Таблица 2

Распределение результатов обнаружения дефектов в ССС

Обследуемые Результаты исследований Всего

Наличие дефектов Отсутствие дефектов

л«,, = 150 128 22 150

1^0= 150 28 122 150

Всего 156 144 300

Сводные показатели качества обнаружения дефектов в ССС с помощью ультразвуковых анализаторов без применения специального математического аппарата представлены в виде табл. 3.

Таблица 3

Показатели качества с использованием ультразвуковых анализаторов

Показатель 1 ДЧ дс П3+ ПЗ- дэ

Значение показателя | 0,85 0,81 0,82 0,85 0,83

Анализ табл. 3 показывает хорошее совпадение результатов экспертного оценивания и проверки качества обнаружения дефектов в ССС с помощью ультразвуковых анализаторов.

Дополнительные контрольные выборки были сформированы из людей, у которых исследования по обнаружению дефектов ССС проводились с использованием предложенной в работе математической модели структурных параметров системы кровообращения. Соответствующие показатели приведены в табл. 4.

Таблица 4

Распределение результатов обнаружения дефектов в ССС с использованием математического аппарата

Результаты исследований

Обследуемые Наличие Отсутствие Всего

дефектов дефектов

П^! = 110 105 5 110

п„о= 110 7 103 110

Всего 112 108 220

По данным последней таблицы рассчитываются показатели качества обнаружения дефектов ССС на основании обследований пациентов доплеровскими фонендоскопами с привлечением специально разработанных в данной работе модели и математического аппарата.

ДЧ = 105/110 = 0,95 П3+ = 105/(105 + 7) = 105/112 = 0,94

ДС = 103/110 = 0,94 ГО" = 103/108 = 0,95

ДЭ = (105 + 103)/(112 + 108) = 208/220 = 0,95 Показатели качества в этом случае показаны в табл. 5.

Таблица 5

Показатели качества с использованием ультразвуковых анализаторов и методов геометрии субпроективных пространств

Показатель ДЧ дс пз+ ПЗ" ДЭ

Значение показателя 0,95 0,94 0,94 0,95 0,95

Сравнивая табл. 5 и 3, получаем увеличение показателей качества определения дефектов в ССС при использовании методов геометрии субпроективных пространств, которые приведены в табл. 6. Таблица 6 Сводные показатели качества

Увеличение показателя ДДЧ ДДС ДПЗ+ ДПЗ" ДДЭ

Численное значение ОД (10%) 0,13 (13%) 0,12 (12%) 0,1 (10%) 0,12 (12%)

Среднее улучшение качества обнаружения дефектов по всем показателям достигает величины 11,4%.

Адекватность модели сердечно-сосудистой системы является одним из факторов по обнаружению заболеваемости и предупреждению развития кардиологических патологий.

В диссертации присутствуют три этапа доказательства адекватности.

Во-первых, при разработке математического аппарата получались аналитические выражения, совпадающие с общепринятыми теоретическими выкладками.

Во-вторых, в ходе экспериментальных исследований показана эффективность применения разработанных моделей и теоретических положений для решения конкретных медицинских проблем.

И, в-третьих, показано соответствие теоретических и экспериментальных данных. Продемонстрируем это соответствие более подробно.

Изменение площади поперечного сечения сосуда сказывается на таких характеристиках траекторий движения частиц крови как их полная и гауссова кривизна. Поэтому эластичность сосуда с геометрической точки зрения характеризуется этими понятиями.

Зависимости сечений сосудов от трансмурального давления нелинейны и для большей наглядности построим графики зависимостей сечения от давления

по теоретическим данным, полученным в работе, и сравним их с экспериментальными данными (рис. 12).

Ввиду того, что разность между полной и гауссовой кривизнами есть некоторый инвариант К - Ке , то для каждого сосуда этот инвариант будет сохранять постоянное значение. Это позволяет аппроксимировать эластичность сосудов в виде зависимости для площади поперечного сечения сосуда:

где Др - трансмуральное давление, - экспериментально определяемая площадь поперечного сечения сосуда при Др = 1-103

Последняя формула дает удовлетворительные совпадения с экспериментальными данными при значении коэффициентов: для легочной

артерии К-К =3,28; а = 16,87-Ю3 Лг; Ь = б,398-103-^; дляполойвеныК-К * М м

к=1,6;а=1,5-1034;Ь=М034. * м м

1,5

£ 1,0 Б,

0,5

0 5 10 15 20 25 кН 30

Рис. 12. Зависимости сечений сосуда от трансмурального давления. Примечания: «А - экспериментальные данные. - теория, 1 - легочная артерия; 2 - полая вена.

Формула для Б описывает зависимость поперечного сечения сосуда от трансмурального давления для сосудов эластического типа. Здесь же

1

2

! 1

выражается зависимость между кривизной линий, по которым движется кровь, и эластичностью сосудов. Эластичность со структурной точки зрения характеризуется кривизной линий, по которым движется кровь. Эта кривизна определяется в пространстве, в котором изучается структура данного сосуда. ^

Далее, для доказательства адекватности математической модели сосудистой системы возьмем малый круг кровообращения. Для сравнения теоретических и экспериментальных данных удобнее использовать приведенные относительные величины, так как условия проведения опытов и сами объекты экспериментов различны.

В качестве характеристик, определяющих состояние сосудистой системы, рассмотрим зависимость легочного артериального давления от объемного кровотока в стандартном состоянии, а это соответствует опытам на изолированных перфузируемых легких, прокачиваемых кровью с постоянным расходом. Ввиду того, что вариации значений суммарного кровотока существенны, то для сохранения методических условий сопоставимости теоретических результатов с экспериментальными, удобно в качестве независимого параметра принять отношение значения объемного расхода к максимальному.

Сравнение данных экспериментальных исследований с результатами моделирования проводилось при следующих значениях величин:

1) давление окружающей среды - 1,03-Ю3 Па (760 мм рт. ст.);

2) плотность крови - 1,274-10;

М

3) вязкость крови - 0,002 Пас;

4) соотношение расхода в состоянии покоя к максимальному = 0,2

( е„=367-10"6у)

5) коэффициент = 2,1; = 1,3.

Тогда зависимости артериального давления от кровотока при фиксированных значениях венозного давления обладают удовлетворительной степенью совпадения количественных показателей состояния с экспериментальными данными (рис. 13). На рисунке теоретические данные представлены в виде графиков, отражающих зависимости артериального давления от кровотока при различных фиксированных значениях венозного давления. Экспериментальные данные представлены в виде точек, различных по форме, и являются известными фактами для данного участка сосудистой системы. Как видно из графиков, получено хорошее совпадение теоретических и экспериментальных данных.

Предпринятое исследование обработки информации состояния системы кровообращения с использованием представленной математической модели, позволяет проводить анализ состояния системы без непосредственного экспериментального определения показателей, а пользоваться полученными в теории данными.

Рис. 13. Зависимость артериального давления от кровотока при фиксированных

значениях венозного давления. Примечания: • А ■ - экспериментальные данные. - теория

1 ■ • Р.« = 0 ммрт. ст. ; 2 - А р„„ = 4 ммрт. ст.; 3 - ■ рк> = 8 ммрт. ст.; 4- х Р«, = 12ммрт. ст.

Влияние на сосудистую систему изменения вязкости крови хорошо согласуется с опытными данными и будет иметь следующий вид: *- вязкость крови т) = 0,002 Пас (норма) 1, 2, 3 - снижение вязкости соответственно на 30%, 20%, 10% 4, 5,6 - повышение вязкости соответственно на 10%, 20%, 30%.

Восьмая глава посвящена экспериментальному подтверждению полученных теоретических результатов. Предложена структура по принятию решений при формализованном описании ССС человека на основе разработанной математической модели с использованием ее структурных параметров и дифференциальных форм в задачах анализа и управления при диагностике состояния исследуемой системы. Показано, что применение разработанного в диссертации математического аппарата при диагностике состояния ССС с помощью ультразвуковых анализаторов, дает среднее улучшение качества обнаружения дефектов по всем показателям на 11,4 %.

В ходе экспериментов подтверждаются полученные теоретические результаты.

Методом цветового доплеровского картирования (Фурье-преобразование с разложением по цветовым потокам) проводится анализ частотных спектров. Ламинарные потоки имеют низкие скорости и во всех фазах кровотока имеют постоянное значение скорости. Меньшие значения скорости соответствуют слоям, граничащим со стенками сосуда. Для турбулентных потоков значения скорости частиц в фазе турбулентности различны. Внутри такого потока вектор скорости разлагается на составляющие и поток имеет «разреженный» хаотичный характер. Внутри потока отмечается зависимость частоты от амплитуды мощности потоков.

В заключение работы подводится итог основных результатов, касающихся разработки математической модели, а также непротиворечивой и логически выверенной теории для анализа состояния ССС человека, которые в совокупности с исследованиями по дифференцируемым отображениям и структурным характеристикам системы кровообращения, позволяют более эффективно проводить ее анализ, основанный на параметрах движущейся крови как по всей ССС, так и по ее отдельному участку. Все вышесказанное обеспечивает повышение точности диагностики появления патологических изменений в сосудах и как следствие своевременно проводить ее коррекцию.

Подтверждением вышесказанного является табл. 7, в которой приводится сопоставительный анализ известных и предлагаемых методов исследования на задаче обнаружения патологических изменений сосудов.

Таблица 7

Сопоставительный анализ известных и предлагаемых методов исследования на задаче обнаружения атеросклеротических бляшек сосудов

Метод Стоимость диагностики X, Травматичность х2 Скорость диагностики Х3 Пороги обнаружения бляшек Х4 Прогнозируемая стоимость лечения Х5 Прогнозируемое время лечения Хб Общая эффективность лечения Я

1. Ангиография 1 1 1 1 4 1 1 1 =0,03 37,5

2. Данные эксперимента с традиционным математическим обеспечением 1 4 0 1 8 1 2 1 4 1 2 — = 0,08 12,6

3. Данные эксперимента с использованием дифференциальных форм 1 5 0 1 8 1 3 1 4 1 2 1 =0,1 10,7

6 1

Примечание: Я = У,-.

мЧ*,.

а; - весовые коэффициенты показателей, определяемые методом экспертного оценивания. В данном случае они принимают следующие значения: а|=5, аг=9, аэ=7, £и=10, а5=6, а6=8.

выводы

1. Создан математический подход исследования системы кровообращения, основанный на моделировании структурных параметров системы, с привлечением методов дифференциальных форм и позволяющий изучать закономерности движения крови, как во всей исследуемой системе, так и в отдельных сосудах.

2. Разработан специальный математический аппарат с использованием дифференциальных форм и структурных параметров математической модели системы кровообращения, который дает возможность строить модели этой системы и ее участков.

3. Предложен способ формализации системы кровообращения, позволяющий в качестве ее математической модели использовать структуру субпроективного пространства.

4. Получены выражения для тензоров деформации, позволяющие изучать движение крови в сосуде и во всей системе кровообращения.

5. Проведено исследование структуры ССС с использованием ее математической модели, что позволяет получить уравнения движения крови как по участку сосуда, так и во всей системе для различных видов движения крови.

6. Разработан алгоритм управления процессами контроля и диагностики состояния ССС, который совместно со структурой по принятию решений в задачах анализа и обработки информации, позволяет более эффективно выявлять дефекты в системе кровообращения.

7. С помощью разработанного специального математического аппарата для исследования состояния системы кровообращения решена практическая задача по упрощению работы учреждений здравоохранения и врачей при анализе и обработке информации о состоянии данной системы.

8. Проведенный анализ эффективности использования структурных параметров системы кровообращения в задачах по ее математическому моделированию, подтвердил адекватность разработанных в диссертации алгоритмов и методов и перспективность использования предложенной математической модели в задачах по ее диагностике.

Список опубликованных работ по теме диссертации Монографии

1. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Математическая гемодинамика: Монография / Под ред. A.A. Яшина. - Тула: ТулГУ, НИИ новых медицинских технологий. Изд-во «Тульский полиграфист».- 2002. - 276 с.

2. Кузнецов Г.В. Обратный метод электрогидродинамической аналогии в электродинамике живых систем /В книге Субботина Т.Н., Туктамышев И.Ш., Хадарцев A.A., Яшин A.A. «Введение в электродинамику живых систем» -Тула: ТулГУ, ГУП НИИ НМТ,- 2003,- С. 247 - 345.

Публикации в рецензируемых журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ

3. Кузнецов Г.В. Геодезическое соответствие между областями евклидова пространства II Известия Тул. гос. ун-та. Серия: Математика. Механика. Информатика,- 1995. - С. 97 - 102.

4. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы. Ч. 1. Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий.-1996. - Т. 3, № 1. - С. 10 -16.

5. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы. Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека//Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий.-1996. - Т. 3, № 3. - С. 13—17

6. Кузнецов Г.В., Константинова Н.В., Яшин A.A. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы: введение в теорию моделирования сердечнососудистой системы человека. Ч. 3. Поверхности «полной энергии» для специального потока крови и аппроксимированных граничных условий // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий,- 1996. - Т. 3, № 4. - С. 74 - 77.

7. Кузнецов Г.В. Об одном соответствии в евклидовом пространстве Е" // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 1996. - Т. 2, вып. 1,-С. 127-135.

8. Кузнецов Г.В., Константинова Н.В. Геометрия пары распределений в евклидовом пространстве Е3 // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 1996. - Т. 2, вып. 1. - С. 136 - 139.

9. Константинова Н.В., Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Гемодинамика сердечнососудистой системы человека. Биологическое и математическое моделирование. Ч. 1. Физиологические предпосылки и исходные понятия // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий.- 1997.-Т. 4,№ 1. — С. 27 — 30.

10. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование сердечно-сосудистой системы человека методами внешней алгебры с привлечением понятия субпроективного пространства // Вестник новых медицинских технологий. -Тула: НИИ новых медицинских технологий.-1997. - Т. 4, № 4. - С. 13 - 16.

11. Кузнецов Г.В. Геометрия дифференцируемых отображений областей евклидова пространства // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. -1997. - Т. 3, вып. 1. - С. 40 - 43.

12. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование гемодинамических процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий.-1998. - Т. 5, № 3 -4. - С. 32 - 34.

13. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Основы математической теории моделирования сердечно-сосудистой системы человека в субпроективном пространстве // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинскихтехнологий.-1999. —Т. 6, № 1. - С. 42-45.

14. Кузнецов Г.В. О пространственном подходе к моделированию сердечнососудистой системы человека // Вестник новых медицинских технологий: Прилож. - № 1. - Материалы 2 Межд. симпозиума «Биофизика полей и излучений и биоинформатика». - 1999. - С. 40.

15. Кузнецов Г.В. Основные идеи пространственного подхода при моделировании сердечно-сосудистой системы человека // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий,-

1999. - Т. 6, № 2. - С. 49 - 50.

16. Кузнецов Г.В. Конформное соответствие между евклидовым и эйнштейновским пространствами // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 1999. - Т. 5, вып. 1. - С. 130- 134.

17. Кузнецов Г.В. Особенности и эффективность пространственного подхода к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий.-

2000. - Т. 7, № 2. - С. 45 - 47.

18. Kuznetsov G.V., Yashin A.A. Hemodynamics of the human cardiovascular system in turbulent blood flow // Russian Journal of Biomechanics. - 2000. - Vol. 4, № 3. - P. 86-92.

19. Кузнецов Г.В. Моделирование движения крови с завихрениями в случае наличия поверхностей полной энергии // Вестник новых медицинских технологий: Третий Межд. симпозиум «Биофизика полей и излучений и биоинформатика». - 2000. - Т. 7, № 3-4. - С. 50.

20. Kuznetsov G.V., Yashin A.A. On the geometrical theory of stationary turbulent flow of blood // Russian Journal of Biomechanics. - 2001. - Vol. 5, № 1. - P. 83 -87.

21. Кузнецов Г.В. О голономности репера второго порядка, связанного с субпроективным пространством // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2000. - Т. 6, вып. 1. - С. 144 - 147.

22. Кузнецов Г.В., Хрунова И.Н. О векторном поле, связанном с конформным отображением между областями в евклидовом пространстве Е3 // Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2000. - Т. 6, вып. 1 -С. 148- 152.

23. Кузнецов Г.В. Геометрические основы моделирования стационарного движения крови // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий.-2001. - Т. 8, № 3. - С. 24 - 26.

24. Кузнецов Г.В. Поверхности постоянной энергии и постоянной полной энергии в гемодинамике // Вестник новых медицинских технологий- Тула: НИИ новых медицинских технологий.-2003,- Т.10, №4.- С. 83-84.

25. Кузнецов Г.В. Эффективность моделирования сердечно-сосудистой системы человека методами геометрии субпроективных пространств // Вестник новых медицинских технологий. - Тула: НИИ новых медицинских технологий,- 2007. - Т. 14, № 1, - С. 171-173.

26. Кузнецов Г.В., Привалова М.А., Яшин A.A. Структура автоматизированной системы поддержки принятия решений врачом-

флебологом // Вестник новых медицинских технологий,- Тула,- 2008.-Т. XV, №1.-С. 181-182.

27. Кузнецов Г.В. Методология моделирования структурных параметров сердечно-сосудистой системы с применением дифференциальных форм // Вестник новых медицинских технологий - Тула.- 2010. - Т. XVII, № 3,- С. 182-184.

28. Кузнецов Г.В. Исследование турбулентного движения крови на основе ее структурных характеристик // 'Вестник новых медицинских технологий -Тула,- 2011.- Т. XVIII, № 3.- С. lfc-20.

Статьи, тезисы, опубликованные в других изданиях:

29. Кузнецов Г.В. О субпроективных подпространствах II Тр. 3 Межд.конф.по алгебре. - Красноярск - 1993. - С. 191.

30. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова п-пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. -Калининград: Изд-во КГУ,- 1995. - № 26. - С. 54 - 59.

31. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова пространства Е" // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. -Калининград: Изд-во КГУ.- 1996. - № 27. - С. 48 - 53.

32. Кузнецов Г.В. Соприкасающиеся гиперквадрики пары гиперраспределений в Е° // В кн.: Материалы конф. профессорско-преподавательского состава ТГПУ им. JI.H. Толстого: тезисы докладов. -Тула,-1996. - С. 70 - 78.

33. Афромеев В.И., Кузнецов Г.В., Хадарцев A.A., Яшин A.A. Физико-технические и биологические основы комплексного подхода к СВЧ- и КВЧ-терапии // В кн.: Сучасш технологи в аерокосм!чному комплекс!: Тез. 1окл. 3 Мжнародно i науково-практично! конф. - Житомир: Изд-во Житомирсысий шженерно-технолопчний шститут.- 1997. - С. 132 - 134.

34. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. О некотором подходе к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // В кн.: Медицинские технологии на рубеже веков: Тезисы докл. Межд. Конгресса. - Тула,- 1998. - С. 61.

35. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Векторные поля и их приложения в гемодинамике // В кн.: Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докл. Межд. конф. - Тула,- 1998. - С. 139 - 140.

36. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. О конформном соответствии между различными пространствами и его приложение в гемодинамике // Волинський математичний вкник (Украина, PiBHe). - 1998. - Вып. 5. - С. 71 -75.

37. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование гемодинамических процессов в сердечно-сосудистой системе человека при условии вихревого движения крови // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 1998. -Т. 1,№2-3.-С. 111-114.

38. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование сердечно-сосудистой системы человека // В кн.: Моделирование неравновесных систем - 98. - Красноярск. - 1998.-С. 84.

39. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между евклидовым и римановым пространствами // В кн.: Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе: Материалы Всероссийской научно-практической конф,- Магнитогорск.-

1999.-Ч. 2-С. 19-20.

40. Кузнецов Г.В., Кузнецова О.В. Об одном подходе к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // В кн.: Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе: Материалы Всероссийской научно-практ. конф,-Магнитогорск.- 1999. - Ч. 2. - С. 80 - 81.

41. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова и риманова пространств // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - Калининград: Изд-во КГУ.- 1998. - Вып. 29. - С. 31 - 35.

42. Кузнецов Г.В. О векторе конформного преобразования между римановыми пространствами // В кн.: Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики: Тез. докл. Межд. конф. - Москва: Изд-во МГУ,- 1999. - С. 25.

43. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование деятельности сердечнососудистой системы человека как одного из биологических циклов человека // В кн.: Циклы: Материалы 1-ой Межд. конф. - Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ.-199. -4.2. -С. 115-116.

44. Кузнецов Г.В. О геодезическом соответствии между евклидовым и римановым пространствами //В кн.: Современные проблемы математики, механики, информатики: Тез. докл. Всероссийской научн. конф. - Тула,-

2000.-С. 37-38.

45. Кузнецов Г.В. Об одном подходе к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // В кн.: Интеллектуальные информационные системы: Тез. докл. регион, научно-практ. конф. - Тула: Изд-во ТулГУ.- 2000.- С. 81 - 82.

46. Кузнецов Г.В. Геометрия движения жидкости в субпроективном пространстве в качестве одного из видов интеллектуальной системы //В кн.: Интеллектуальные и информационные системы: Тез. докл. региональной научно-практической конф. - Тула: Изд-во ТулГУ.- 2000. - С. 82 - 83.

47. Кузнецов Г.В. О векторах второго порядка и гиперраспределениях в евклидовом пространстве Еп // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - Калининград: Изд-во КГУ,- 2000. - Вып. 31. - С. 42 - 45.

48. Кузнецов Г.В. Об одной форме записи дифференциального уравнения гиперраспределения в евклидовом пространстве Е" // В кн.: Сборник научных трудов препод., асп. и студ. ТГПУ им. J1.H. Толстого. - 2000. - С. 292 - 296.

49. Кузнецов Г.В. Об одном подходе моделирования деятельности сердечнососудистой системы человека // В кн.: Образование и наука в третьем тысячелетии: Тр. Третьей Межд. конф. - Изд-во АЭКЖ- 2001. - Ч. 1. - С. 60 -61.

50. Кузнецов Г.В. Геометрия волновых процессов в гемодинамике // В кн.: Физика и технические приложения волновых процессов: Тез. докл. 1-й Межд. научно-техн. конф,- Самара.- 2001. - С. 126.

51. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Анализ работы системы кровообращения, как процесса передачи информации клетками крови, методами внешней алгебры // Радиоэлектроника. Информатика. Управление (Укр.). - 2001. - № 1. - С. 94 -100.

52. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Геометрическая теория в гемодинамике, моделирующая один из биологических циклов человека // В кн.: Циклы: Материалы 3-й Межд. конф. - Изд-во СевКавГТУ.- 2001. - Ч. 1. - С. 95 - 96.

53. Кузнецов Г.В. К геометрической теории стационарного движения жидкости в субпроективном пространстве Н Дифф. геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во КГУ.- 2002.- Вып. 33,- с. 44-47.

54. Кузнецов Г.В. Цикличность при обработке информации для анализа состояния сердечно-сосудистой системы // В кн.: Циклы: Материалы 16-ой Межд. конф. - Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ.- 2008. - С. 102 -103.

55. Кузнецов Г.В. Математическое моделирование структурных параметров сердечно-сосудистой системы методами дифференциальных форм /Многомасштабное' моделирование структур и нанотехнологии: Материалы межд. научно-практической конф.- Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого. -2011.-380 с.

56. Кузнецов Г.В., Гришина Е.К. Обоснование применения структурных параметров системы кровообращения для повышения экономического эффекта при анализе кровотока /Проблемы образования, инновации и менеджмент знаний в подготовкен компетентных кадров: Материалы мжд. Научно-практической конф.- М.-Тула: Изд-во ТулГУ,- 2012.-475 с.

Подписано в печать 03.05.2012. Формат 60x84 1/16

Бумага офсетная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 2,2. Уч. изд. 1,9.Тираж 100 экз. Заказ 037.

Отпечатано с готового оригинал-макета в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, ул. Ленина, 25.

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Кузнецов, Геннадий Васильевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И ПОДХОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЕРДЕЧНО -СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА

1.1. Первоначальные исследования системы кровообращения

1.2. Современные подходы моделирования сердечно-сосудистой системы человека

1.3. Математическое моделирование структурных параметров сердечно - сосудистой системы человека на основе геометрии субпроективного пространства

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ ДВИЖЕНИИ КРОВИ ПО УЧАСТКУ СОСУДА

2.1. Исследование геометрии распределений

2.2. Изучение дифференцируемых отображений

2.3. Вычисление тензора деформации при моделировании структурных параметров движения крови в сосуде

2.4. Структурные параметры конформного отображения при исследовании геометрии движущейся крови

2.5. Математический аппарат для моделирования движения крови, основанный на структурных параметрах распределений при конформном отображении

2.6. Математический аппарат структурных параметров геодезического отображения для исследования движения крови в сосуде 65 2.7.Отображения, применяемые для моделирования структурных параметров движения крови по участку сосуда

2.8. Структурные параметры одного специального соответствия

2.9. Специфика моделирования структурных параметров в сосуде

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В СИСТЕМЕ КРОВООБРАЩЕНИЯ

3.1. Моделирование структурных параметров сердечно-сосудистой системы с помощью конформного отображения

3.2. Геометрические объекты, связанные со структурными параметрами сердечно

- сосудистой системы

3.3. Применение геодезического отображения для моделирования движения крови

3.4. Векторы второго порядка при анализе структуры системы кровообращения

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ ПО УЧАСТКУ СОСУДА

4.1. Обоснование применения структурных свойств системы кровообращения при ее моделировании

4.2. Основные структурные понятия для участка сосуда

4.3. Поверхности постоянной энергии при моделировании движения крови

4.4. Математическая модель частного случая турбулентного движения крови

4.5. Математическая модель ламинарного движения крови

4.6. Движение крови как геодезический поток

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ КРОВИ В СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИС

ТЕМЕ ЧЕЛОВЕКА

5.1. Особенности использования структуры сердечно-сосудистой системы для построения ее математической модели

5.2. Дифференциальные операторы системы кровообращения

5.3. Основные кинематические уравнения

5.4. Уравнения Гельмгольца и структурные параметры системы кровообращения

ГЛАВА 6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ КРОВООБРАЩЕНИЯ

6.1. Дифференциальные операторы

6.2. Моделирование структурных параметров крови

ГЛАВА 7. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ КРОВЕНОСНОЙ СИСТЕМЫ В МЕДИЦИНЕ

7.1. Анализ движения крови при характеристике шумов

7.2. Анализ состояния сердечно-сосудистой системы с применением дифференциальных форм

7.3. Структура автоматизированной системы поддержки принятия решений врачом

7.4. Проверка достоверности прогнозирования в системе кровообращения

7.5. Адекватность математической модели структурных параметров системе кровообращения

ГЛАВА 8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 296 8.1. Экспериментальные подтверждения скоростных характеристик кровотока 296 Заключение 308 Литература 313 Приложения

Введение Диссертация по биологии, на тему "Математическое моделирование структурных параметров сердечно-сосудистой системы методами дифференциальных форм"

Актуальность темы. Моделированию кровеносной системы человека посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Первыми работами, положившими начало таких исследований, можно считать работы Гарвея и Ньютона. Всплеск таких исследований начался во второй половине 20 века, когда к исследованиям по моделированию сердечно-сосудистой системы (ССС) человека стали привлекать математический аппарат и вычислительную TexHHKy:F.S. Grodins (1966), P.L. Vadot (1968), L. Pater (1966), Шумаков В.И. (1971) и др.). Широкий спектр моделей ССС привел к трудностям, связанных с тем, что при построении конкретной модели используются принципы, присущие, пожалуй, только этой модели. Однако при решении задач, которые возникают как в теоретических исследованиях, так и при решении задач клинического плана, приходится пользоваться несколькими моделями. Поэтому встает необходимость соотнести определенную модель (или несколько моделей) в рамках другой (или нескольких) модели и наоборот. Необходимо объединяющее начало, позволяющее выводы, полученные на основании одной модели, соотносить с результатами, выявленными в рамках другой модели. Подходы, предлагаемые к настоящему времени (E.H. Starling, A. Hill, Хаютин В.М., Шумаков В.И., Бакусов Л.М., Лищук В.А. и др.) обуславливали анализ большого числа параметров, от которых зависит поведение ССС, а при более детальном описании ее функционирования проявляется тенденция к еще большему увеличению числа параметров.

Нахождение объединяющего начала в задачах, касающихся моделирования ССС, является в настоящее время актуальным. Наряду с переносом вещества по кровеносной системе, происходит и перенос информации. Установлено, что понятие информации тесным образом связано с жизнедеятельностью человека (Кадомцев Б.Б., Яшин A.A.). Объяснение закономерностей, на основании которых передается вещество и информация внутри организма с использованием построенной для этого математической модели, является актуальным для исследования.

Единство компонентов ССС можно объяснить изучением ее геометрии в структуре определенного пространства, по своим свойствам близким к свойствам структуры ССС. Поэтому построение математической модели движения крови, как во всей системе, так и в ее отдельных участках, основывается на геометрии интегральных линий вектора скорости крови в соответствующих пространствах. В качестве структурных параметров выступают базисные дифференциальные формы, вводимые посредством структурных уравнений соответствующего пространства и через которых выражаются величины, характеризующие движение крови (скорость крови, кривизна и кручение интегральной линии по которой движется кровь). На основании этих параметров определяются тензоры, характеризующие структуру системы кровообращения и движение крови. Форменные элементы крови в работе рассматриваются как материальные точки и в дальнейшем исследуются их траектории или интегральные линии вектора скорости крови. Эти материальные точки для соответствия с общепринятыми названиями везде в дальнейшем будем называть частицами крови.

Полученная в работе теория позволяет проводить исследования кровотока, как в плане фундаментальных исследований, так и использовать полученные результаты в клинике, а также в практической деятельности сосудистого хирурга (флеболога). В то же время, предлагаемый метод моделирования деятельности ССС, позволяет эффективно применять полученную теорию непосредственно к проведению диагностических исследований состояния кровотока. Методы, которые базируются на непрерывности кровотока, позволяют не только использовать разработанную теорию моделирования кровотока с использованием его структурных параметров, но и проводить диагностику состояния ССС более эффективно.

Анализируя современные исследования в области моделирования ССС, можно сделать вывод, о значимости тематики предпринятого исследования, позволяющего решить те задачи, для которых ранее не было предложено логически выверенного концептуального обоснования, не была разработана теория моделирования кровотока, которая с единых позиций позволяла решать задачи построения математической модели системы кровообращения и сосуда для анализа состояния ССС человека. Применение дифференциальных форм для теоретического и практического исследования движения крови ранее так широко до этого не использовалось. Характеристики системы кровообращения, такие как скорость крови, кривизна и кручение интегральных линий, находятся из выражений, содержащих структурные параметры системы и представленные в виде дифференциальных форм.

Таким образом, разработка моделей, алгоритмических процедур и методов для математического моделирования структурных параметров ССС на базе разработанного математического аппарата является актуальной научно-теоретической и научно-практической проблемой.

Работа выполнена в рамках целевых программ, коррелирующих с проблемными планами естественных наук, в которых участвуют ГУП НИИ Новых медицинских технологий, Медицинский институт Тульского государственного университета, поддерживаемых заинтересованными ведомствами и организациями, а именно:

1. Комплексная программа развития основных направлений исследований НИИ НМТ на 1995-2000 гг.

2. Программа исследований по теме долгосрочной НИР «Кальб» (ИРЭ РАН - НИИ НМТ) на 1995-2001 гг. по теме НИР «Отмель» (1998-1999 гг.).

3. Научно-техническая программа Госкомитета по науке и технологиям РФ (направления 5.08; 5.09; 5.20).

4. Федеральная целевая научно-техническая программа на 1996-2000 гг. «Исследования и разработка по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского направления», утвержденная Министерством науки и технологий РФ; программа «Перспективные информационные технологии».

Целью работы является создание математического подхода на базе методов дифференциальных форм для моделирования параметров сердечно -сосудистой системы и для изучения закономерностей движения крови, в ходе достижения которой решались следующие задачи:

1. Разработка специального математического аппарата для математической модели системы кровообращения, позволяющего эффективно использовать при этом структурные параметры ССС.

2. Разработка способа формализации структуры ССС человека для создания ее математической модели.

3. Получение выражений для тензоров, характеризующих движение крови в сосуде и во всей системе кровообращения.

4. Исследование структуры ССС человека с использованием математической модели при различных видах движения крови.

5. Разработка алгоритма управления процессами контроля и диагностики состояния ССС на основе структурных характеристик системы.

6. Анализ эффективности использования структурных параметров ССС в задачах по ее моделированию и контролю состояния.

Научная новизна. Впервые разработан теоретический подход для получения математической модели с использованием структурных параметров сердечно -сосудистой системы человека методами дифференциальных форм, отличающаяся использованием в качестве пространства системы - субпроективного пространства, которое позволяет проводить анализ состояния системы кровообращения. Показан переход от модели всей системы к модели сосуда на основании изменения структурных параметров и тензорных характеристик.

Определены процедура и методы анализа структурных параметров системы кровообращения, основанные на принципах целостности и делимости системы, что обеспечивает выделение ее структурных свойств, рационализацию анализа, классификацию и выделение неадекватных видов движения крови для обнаружения патологии.

Впервые предложена методология исследования турбулентного и ламинарного движений крови с привлечением структурных параметров системы кровообращения, которая позволяет характеризовать траектории движения частиц крови в норме и при патологических изменениях в сосуде и во всей системе кровообращения.

Предложена структура информационного обеспечения формализованного описания ССС человека, отличающаяся интеграцией обоснованных в работе методов, моделей и систем уравнений в единую концептуальную систему анализа режимов работы ССС.

Создана математическая модель системы кровообращения, отличающаяся представлением системы кровообращения посредством геодезических линий специального вида риманова пространства - субпроективного, что обеспечивает исследование системы кровообращения на основе ее структурных параметров с допустимой для эксперимента погрешностью.

Разработана математическая модель управления комплексной оценкой эффективности обнаружения патологических изменений, включающая таблицы показателей качества, их сравнение, что обеспечивает полноценность анализа результативности.

Научно-практическое значение. Разработанные модели, методы и алгоритмы позволяют проводить с высокой эффективностью анализ структурных параметров сердечно - сосудистой системы, что дает возможность обрабатывать информацию о состоянии системы кровообращения и уменьшать число параметров в задачах моделирования и исследования системы кровообращения. Выявлены системные связи в системе кровообращения на основе структурных параметров всей системы и сосуда, что обеспечивает принятие необходимых решений для диагностики и корректировки патологических изменений.

Предложенная математическая модель позволяет обосновать применения свойств траекторий движения частиц крови при анализе состояния системы.

Разработанный математический аппарат успешно используется при классификации видов движения крови в ССС как в состоянии нормы, так и патологии, а так же во многих других научных направлениях, связанных с исследованием системы кровообращения и изучением фундаментальных закономерностей ее функционирования.

Предложен метод принятия решений по коррекции обнаруженных патологических изменений, отличающийся использованием структурных параметров, характеризующих движение крови.

Положения, выносимые на защиту.

1. Методы, алгоритмы и модели ССС человека для анализа ее структурных параметров на основе математического аппарата дифференциальных форм.

2. Теоретически обоснован переход от структурных уравнений параметров, характеризующих движение крови в системе кровообращения, к структурным уравнениям параметров движения крови в сосуде.

3. Получены новые характеристики турбулентного движения крови при математическом моделировании структурных параметров ССС, которые позволяют диагностировать нарушения в системе.

4. Обосновано применение модели ламинарного движения крови с использованием структурных характеристик траекторий движения частиц крови и показана ее эффективность в задачах исследовании движения крови в норме.

5. Алгоритмы управления процессами контроля состояния ССС, для получения необходимой информации и проведения анализа структурных параметров.

Внедрение результатов работы.

Результаты работы внедрены в исследованиях ГУП НИИ НМТ при разработке математического обеспечения для ультразвуковых анализаторов; в учебном процессе Курского государственного технического университета, Курского государственного мед. университета, Курганского государственного университета, Новгородского государственного университета им. Я. Мудрого, МГУ им. М.В. Ломоносова, АГПИ им. А.П. Гайдара, Пермского государственного технического университета, Ростовского государственного медицинского университета, а также в исследованиях ИТМ НАНУ и НКАУ (Украина) и Институте гастроэнтерологии АМН Украины (см. акты внедрения в приложении 2).

Рабочие методы исследования. При проведении исследований использовались рабочие методы, наиболее адекватно описывающие систему, ее участки и процессы, в ней происходящие. Для решения поставленных задач использовались методы дифференциальных форм, моделирования, анализа, оптимизации, формализации, лабораторных исследований и принятия решения.

Круг общих методов исследования включает метод внешних дифференциальных форм. Все рассмотрения носят локальный характер, а встречающиеся функции предполагаются достаточно гладкими. При этом, для описания геометрии отдельно взятого участка сосуда, используется геометрия евклидова пространства, а для описания геометрии всей ССС используется геометрия субпроективного пространства. Указанные методы исследования применяются в данных пространствах и позволяют получать геометрические характеристики как отдельно взятого сосуда, так и всей системы кровообращения в целом. При проведении исследований использование общих методов и методов дифференциальных форм является новым при изучении ССС.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены, в основном, в период с 1993 г по 2011 гг., двадцатью докладами на 20 научных мероприятиях международного, всероссийского, регионального уровней, в том числе: 3-я Международная конференция по алгебре (Иркутск, сентябрь 1993); конференция профессорско-преподавательского состава ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 1996); Международная научно-практическая конференция «Современные технологии в аэрокосмическом комплексе» (Украина, Житомир, 7-11 сентября 1997); Международный конгресс «Медицинские технологии на рубеже веков» (Тула, 1998); Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ» (Тула, 1998); Первый всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем 98» (Красноярск, 16-18 октября 1998); Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе» (Магнитогорск, 16-18 марта 1999); Второй Международный симпозиум «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» (Тула, 1999); Всероссийский геометрический семинар (Псков, 20 - 22 мая 1999); Международная конференция «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики» (Москва, 25 - 30 октября 1999); Первая Международная конференция «Циклы природы и общества» (Ставрополь, 25 - 30 октября 1999); Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 15-17 февраля 2000); Региональная научно-техническая конференция «Интеллектуальные и информационные системы» (Тула, 2000); Третий Международный симпозиум «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» (Тула, декабрь 2000); Третья Международная конференция «Образование и наука в третьем тысячелетии (Барнаул, 25 - 26 апреля 2001); Международная сессия геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Лаптева (Москва, 25 - 30 июня 2001); Первая Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 10-16 октября 2001); Шестнадцатая Международная конференция «Циклы природы и общества» (Ставрополь, 2008); Шестнадцатая меж-вуз. научн.- техн. конф. ТАИИ (Тула, 2008); Межд. научно-практ. кон-ф.«Менеджмент качества в экономике, бизнесе, управлении и образовании» (М.-Тула-2010); Межд. научно-прак. конф. «Проблемы образования, инновации и менеджмент знаний в подготовке компетентных кадров» (М.-Тула-2012).

Публикации. Самостоятельно и в соавторстве по теме диссертации опубликована 56 научных работ, в том числе 26 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата лично автором представлены идеи и методы, используемые при моделировании ССС и ее участков, а также были проведены необходимые вычисления и эксперименты. Все основные результаты этих работ получены автором данной работы. В монографиях [1,2] результаты получены автором данной работы. В работах [4 - 6, 8 - 10, 12 - 13, 18, 20, 22, 29 - 34, 36, 39, 47 - 48, 51], выполненных в соавторстве, основные результаты и уравнения получены непосредственно автором работы и обсуждались с соавторами.

Связь задач исследования с проблемными планами естественных наук Все предлагаемые исследования выполнены в период с 1995 г. по 2010 г. на кафедре медико-биологических дисциплин ГОУ ВПО «Тульский государственный университет». Научная поддержка оказывалась Академией медико-технических наук, информационная поддержка - журналами «Вестник новых медицинских технологий» (Тула), «Физика волновых процессов и радиотехнические системы» (Самара), «Дифференциальная геометрия многообразий фигур» (Калининград), «Russian Journal of Biomechanics» (Пермь).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Кузнецов, Геннадий Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемой работе представлены математическая модель структурных параметров и математический аппарат, который использован для создания теории и анализа состояния ССС человека. Данное исследование не только рассматривает вопросы создания теории, но и в ходе ее развития решаются проблемы, которые относятся к геометрии определенных римановых пространств и которые используются при рассмотрении структурных параметров кровеносной системы человека.

Рассмотрение структуры ССС не только ставит вопросы, которые до сего времени довольно-таки мало обсуждались в литературе, касающейся моделированию ССС человека, но и позволяет наиболее с общей токи зрения взглянуть на «внутреннее» геометрическое строение как всей системы в целом, так и отдельных ее сосудов. Также при рассмотрении геометрии ССС исследования ведутся на основании общих принципов, основанных на геометрических свойствах пространства, которое сопоставляется пространству ССС человека и которое в работе называется пространством материальных сред живого, объединенным единым функциональным назначением.

Общность принципов, лежащих в основе геометрии пространства и на основании которых исследуется геометрия ССС, позволяет преодолевать трудности, которые встают перед исследователем при его работе с несколькими моделями для исследования отдельных участков или всей кровеносной системы.

Точность такого описания основывается на том, какое конкретное пространство берется в качестве пространства материальных сред живого. Под это понятие подводится, в принципе, любая система организма человека. Но только те проявления каждой конкретной системы, которые являются следствием единого функционального назначения этой системы, позволяют сопоставить данной системе и, прежде всего, той геометрии, которая ей присуща - специальное пространство. В данной работе геометрии ССС человека сопоставляется субпроективное пространство. Такое сопоставление основано на том, что согласно принципу Мопертюи движение частицы крови в потенциальном поле сил тяжести при фиксированной энергии происходит по геодезическим линиям. Причем геодезические должны сходиться в одной точке. Все это отражено в самом понятии субпроективного пространства.

Геометрия всей кровеносной системы ассоциируется с геометрией субпроективного пространства, а геометрия отдельно взятого участка сосуда может быть рассмотрена и в евклидовом пространстве, что в предлагаемой работе и делается. Также следует отметить, что данный подход является продуктивным не только с точки зрения геометрии кровеносной системы, но и с точки зрения моделирования деятельности ССС. Полученные на этом пути факты отражают то или иное проявление движения крови по кровеносной системе, а также по отдельному сосуду.

Для проверки адекватности модели были предприняты исследования, в которых было подтверждено соответствие теоретических и практических данных.

На основании перечисленного выше, можно сделать вывод о том, что рассмотрение структурных параметров сердечно-сосудистой системы человека позволяет подойти с наиболее общих позиций к моделированию деятельности ССС и обработке информации для анализа ее состояния, а также рассматривать деятельность системы, как в нормальном ее состоянии, так и в состоянии патологических изменений.

Библиография Диссертация по биологии, доктора физико-математических наук, Кузнецов, Геннадий Васильевич, Сургут

1. Harvey, William. Movement of the heart and blood in animals. An anatomi-calessay.- 1628. (Trans. By Kenneth J., Franklin Oxford: Blackwell.- 1957).

2. Newton I. Principia mathematica. 2 nd edition, lib. □, sect. □. The circular motion of liquids, Proposition L □, Theorem.- 1713.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2-х т. М.: Наука.- 1976. - Т. 2. -576 с.

4. GirardP.S. Memoire sur le monvement des fluids dans les tubes capillaries et Iх influence de la temperature sur ce mouvement. Mem. De 1 ^ Inst. (Paris).- 1813 — 1815, p. 249-380.

5. Hagen G.H.L. Über die Bewegung des Wasserrs in engen cylindrischen Röhren. "Ann. Phys. Chem.".- 1839,- Bd. 46, S. 423 - 442.

6. Poiseuille J.L.M. Rechervhes experimentales sur le mouvement des liquids dans les tubes de tres petits diameters. "Med. Savant Etrangers".- 1846.- v. 9, p. 433 -544 (Paris).

7. Wiedemann G. Ann. Der Physik. 99, 221; Quoted by E. Hatschek (1928). In: The viscosity of liquids.- 1856.- London: Bell, p. 239.

8. Hagenbach E. Uber die Bestimming der Sähligkeit einer Flüssigkeit durch den Ausfluss aus Röhren. "Ann. Physik.".- 1860, Bd 109, S. 385 - 426.

9. Фолков Б., Нил Э. Кровообращение: Пер. с англ. М.: Медицина.- 1976. -463 с.

10. McDonald d.a. Blood flow in arteries. London, Arnold.- 1960.

11. Ноздрачев А.Д., Баженов Ю.И., Баранникова H.A. и др. Общий курс физиологии человека и животных: В 2 кн./ Под ред. Ноздрачева А.Д. М.: Высш. шк.-1991.-Кн. 2.-528 с.

12. Шмидт — Ниелъсен К. Физиология животных: Приспособление и среда. Т. 1,2.-М.- 1982.

13. Green H.D., Rapela C.E., Conrad M.C. Resistance (conductance) and capacitance phenomena in terminal vascular beds. Handbood of physiology, 2, Circulation, □ ,- 1963.-p. 935-960.

14. Reynolds O. An experimental investigation of the circumstarces which determine whether the law resistance in parallel channels. "Phil. Trans.".- 1883. - v. 174.-p. 935-982.

15. Coulter N. A. Jr., Pappenheimer J.R. Development of turbulence in flowing blood. "Am. J. Physiol." - 1949. - v. 159. - p. 401-408.

16. Astrand P.O., Ekblom В., Messin R., Saltin В., Svedbery J. Intra arterial blood pressure during exercise with different muscle groups.- "J. Appl. Physiol."-1965.-v. 20.-p. 253 -256.

17. Cotton K.L. The instantaneous measurement of blood flow and of vascular im-pedande. Ph. D. Thesis. London. 1960.

18. Grodins F.S. Integrative cardiovascular physiology: A mathematical synthesis of cardiac and blood vessel hemodynamics // Quart. Rev. Biol. 1959. - V. 34. - P. 93-116.

19. Defares Y.J., Osborn J.J., Hiroshi H.H. Theoretical synthesis of the cardiovascular system. Study 1: The controlled system // Acta Physiol. Pharmacol. 1965. -Vol. 12, №3.-p. 189-265.

20. Vadot P.L. Examen de problèmes d v hemodynamique, an moyen d x une analogie electrique. Application particulière aux malformations cardiaques //Patt. Et Biol. 1962. -Vol. 10, № 19-20.-P. 1499- 1509.

21. Pater L. de. An electrical analogue of the human circulatory system. Rotterdam.- 1966,- 162 p.

22. Шумаков В.И., Новосельцев В.H., Сахаров М.П., Штенголъд Е.Ш. Моделирование физиологических систем организма / Под ред. Б.В. Петровского. -М7.- 1971.-352 с.

23. Schocken К. The selfregulation of blood flow // Exper. Med. Surg. 1955. -Vol. 13.-P. 73-76.

24. Noordergroaf A. Hemodynamics //Biological engineering / Ed. H. Schwan. -New York.- 1969. P. 391 - 545.

25. Wagner R. Feedback principle in regulation of the circulation // Circulât. Res. 1957. - Vol. 5, № 5. - P. 469 - 471.

26. Беллман P. Математические методы в медицине: Пер. с анг. / Под ред. Л.Н. Белых. М.: Мир.- 1987. - 200 с.

27. Гродинз Ф. Теория регулирования и биологические системы: Пер. с англ. -М.- 1966.-254 с.

28. Амосов Н.М., Лищук В.А.6 Палец Б.Л. и др. Моделюваная «внутрішньої сфери» організму людини 11 Фізіол. журн. 1971. - T. 17, № 2. - С. 156.

29. Амосов H.M., Палец Б.Л., Аганов Б.Г. и др. Теоретические исследования физиологических систем. Математическое моделирование. Киев: Наукова думка,- 1977.-245 с.

30. Бураковский В.И., Лищук В.А., Соколов М.В. Анализ функции и состояния сердечно-сосудистой системы в эксперименте с помощью математической модели // Вестн. АМН СССР. 1976. - № 10. - С. 57 - 68.

31. Бураковский В.И. Основные итоги работы Института сердечнососудистой хирургии им. А.Н. Бакулева АМН СССР за 20 лет // Некоторые итоги и перспективы развития хирургии сердца и сосудов. М.- 1976.

32. Лищук В.А., Амосов Н.М., Лиссова О.И. Сердце как кибернетическая система // Некоторые проблемы биокибернетики и применения электроники в биологии и медицине. Киев.- 1964. - С. 3 -19.

33. Лищук В.А. Побудова алгоритму функціонування лівого сердця // Автоматика. 1967. - № 3. - С. 60 - 76.

34. Лищук В.А. Общие свойства сердечно- сосудистой системы: Препринт 71-15.-Киев.- 1971.-20 с.

35. Лищук В.А. Применение автоматизированных систем для научных исследований и профессионального обучения // МЗ СССР. Центр. Ин т усоверш.врачей. 1973. - 34 с. - Деп. Во Всесоюз. НИИ мед. и мед. -техн. Информации МЗ СССР. № 169-73.

36. Guyton А.С. Determination of cardiac output by equating venous return curves with cardiac response curves // Physiol. Rev. 1955. - Vol. 35, № 1. - P. 161 - 168.

37. WesterhofN., Bosman F., Devries C., Noordergraaf A. Analog studies of the human systemic arterial tree // J. Biomech. 1969. - Vol. 2, № 11.

38. Дж. Педли. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов: Пер. с англ.-М.: Мир.- 1986.

39. Гликман Б.Ф. Математические модели пневмогидравлических систем. -М.: Наука.- 1985.

40. Гайтон Н.А. Минутный объем сердца: Пер. с англ.- М.: Медицина.- 1969.

41. Баку сов Л.М. Некоторые модели и методы волновой гемодинамики. -Уфа: Изд-во УАИ.- 1992. 50 с.

42. Beneken J.E. W. A mathematical approach to cardiovascular function. The uncontrolled human system // Institute of Medical Physics Report. Utrecht.- 1965. -194 p.

43. Frank O. Zur Dynamic des Herzmuskels // Z. Biol. 1895. - Bd 32. - S. 370.

44. Starling E.H. Linacre lecture on law of the heart.- London.- 1918. 27 p.

45. Starling on the heart / Ed. C.B. Chapman, J.H. Mitchell.- London.- 1965.

46. Hill A. V. The heart of shortening and hemodynamic constants of muscle // Proc. Roy. Soc. В.- 1938. Vol. 126.- P. 136 - 138.

47. Хилл А. Механика мышечного сокращения: Пер. с англ.- М.- 1972. 183с.

48. Хаютин В.М. Сосудодвигательные рефлексы. М.: Наука.- 1964.

49. Хаютин В.М., Едемский МЛ. Бюлл. эксп. биол. и мед. - 1967.- 63, 11.

50. Едемский М.Л., Хаютин В.М. II В кн.: Физиология и патология кровообращения.- Тр. Ин-та норм, и патол. физиологии.- 1967.- М., 10.

51. Едемский М.Л., Хаютин В.М. II В кн.: Тез. докл. □□□ Всесоюзной научной сессии НТО им. А.С. Попова, секция бионики. 1967, М.

52. Лищук В. А. Опыт применения математических моделей в лечении больных после операции на сердце // Вестн. АМН СССР. 1978. - № 11. - С. 33.

53. Лищук В. А. Медицинская кибернетика, некоторые итоги обеспечения решения // Роль математического обеспечения в прогрессе медицины, Винница,- 1988.-С. 20-45.

54. Сидоренко Г.И. Кибернетика и терапия: Проблемы индивидуального лечения / Под ред. В.В. Ларина,- М.- 1970,- 209 с.

55. Бакусов Л.М., Верхотурое М.А. О солитонной природе пульсовых волн сердечно-сосудистой системы // Вестник новых медицинских технологий.-1997.-Т. □ ,№3.-С. 15-17.

56. Образцов И.Ф., Ханш М.А. Оптимальные биомеханические системы.- М.: Медицина,- 1989,- 272 с.

57. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and nonlinear wave equations. London: Academic Press.- 1984.

58. Баевский P.M., Кириллов О.И., Клецкин С.З. Математический анализ изменений сердечного ритма при стрессе.- М.- 1984.- С. 62-76.

59. Yamamoto Y., Hughson R.L. On the fractal nature of heart rate variability in humans: effects of data length and beta-adrenergic blockade. // Am-J-Physiol.- 1994.-Jan- 266(1 Pt 2). R. 40-9.

60. Yeragani V.K., Srinivasan K., Vempati S., Pohl R., Balon R. Fractal dimension of heart rate time series: an effective measure of autonomic function // J-Appl-Physiol.- 1993 Dec- 75(6). P. 2429-38.

61. Signorini M.G., Cerutti S., Guzzetti S., Parola R. Non-linear dynamics of cardiovascular variability signals // Methods Inf- Med. - 1994 Mar- 33(1).- P. 81-84.

62. Бакусов Л.М., Вулкарнеев P.X. Исследование фрактальных характеристик ритма сердца // Вестник новых медицинских технологий (ВНМТ).- 1997.Т. □ ,№3.-С. 67-69.

63. Bassingthwaighte J.В., Raymond G.M. Evaluation of the dispersional analysis method for fractal time series // Ann-Biomed-Eng. 1995 Jul-Aug - 23(4) - P. 491505.

64. Баку сов Л.М., Зулкарнеев P.X., Загидуллин Ш.З., Хафизов Н.Х. Применение показателя приближенной энтропии (APEN) для оценки регулярности физиологических процессов // ВНМТ.- 1998,- Т. □ , № 3-4. С. 13-15.

65. Eleisher L.A., Pincus S.M., Rosenbaum S.H. Approximate entropy of heart rate as a correlate of postoperative ventricular dysfunction // Anesthesiology.- 1993.- Vol. 78.-№ 4.-P. 683-692.

66. Колмогоров A.H. Новый метрический инвариант неустойчивых динамических систем и автоморфизмов в пространствах Лебега // Докл. акад. наук СССР,- 1958,- Т. 119,- С. 861-864.

67. Crassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal // Phys. Review. 1983.- Vol. 28,- P. 2591-2593.

68. Pincus S.M. Approximate entropy as a measure of system complexity // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1991.- Vol. 88,- P. 2297-2301.

69. Pincus S.M. Approximate entropy: a complexity measure for bilogic time-series data // The Proceedings of IEEE 17-th Annual Northhheast Bioengeneering conference.- New-York: IEEE Press.- 1991.- P. 35.

70. Pincus S.M. Greater signal regularity may indicate increased system isolation //Math. Biosci.- 1994,- Vol. 122,-№2- P. 161-181.

71. Милованов А.В., Никаноров Б.А., Федоров С.Ю., Хадарцев А.А. Математическое моделирование гемодинамических процессов в сердечно-сосудистой системе человека. Часть □ . Движение жидкой среды в ветвящейся структуре // ВНМТ,- 1997,- Т. □ , № з. с. 26-31.

72. Вейбель Е.Р. Морфология легких человека: Пер. с англ.- М.: Медицина.-1970.- 175 с.

73. Дьяченко А.И., Шабелъников В.Г. Математические модели действия гравитации на функции легких.- М.: Наука,- 1985.- 279 с.

74. Болезни сердца и сосудов. Руководство для врачей: В 4 т. Т.1 / Алмазов И.И., Аронов Д.М., Атьков О.Ю.: Под ред. Е.И. Чазова.- М.: Медицина.- 1992.496 с.

75. Лищук В.А. Математическая теория кровообращения.- М.: Медицина.-1991,-256 с.

76. Phillips W.M. Modelling of flows in the circulatory system II Advanc. Cardiovase. Phys.- 1983,- Vol. 5,- P. 26-48.

77. Постников M.M. Лекции по геометрии. Семестр 5. Риманова геометрия.-М.: Факториал.- 1998,- 496 с.

78. Акивис MA. Многомерная дифференциальная геометрия.- Калинин: КГУ,- 1977,- 82 с.

79. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ.- М.: Наука,-1964.

80. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 4. Дифференциальная геометрия.- М.: Наука.- 1988.

81. Каган В.Ф. Субпроективные пространства.- М.: ГИФМЛ.- 1961,- 220 с.

82. Каган В.Ф. Обобщение понятия о проективном пространстве и соответствующем абсолюте. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. 1933.- Вып. 1.-С. 12-101.

83. Каган В.Ф. Исключительный случай в теории субпроективных пространств. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. 1935.- Вып. 2-3.- С. 151170.

84. Каган В.Ф. О субпроективных пространствах. // Compt. Rend. Acad. Sci. colon.- 1930.- 191, 548.

85. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. // Труды геом. Семинара ВИНИТИ.- 1974.- Т. 5.- С. 169-193.

86. Акивис М.А., ГольдбергВ.В. Тензорное исчисление,- М.: Наука,- 1969.352 с.

87. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. // Труды Моск. матем. об-ва,- 1953,- Т. 2,- С. 275-382.

88. Акивис М.А. О плоских гиперраспределениях в Р п .// Математические заметки,- 1984,- Т. 36, вып. 2.- С. 213-222.

89. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве. // Тр. геом. сем. ВИНИТИ.- 1973.- Т. 4.- С. 71-120.

90. Mirón R. Asupra sferei neolonome si planului neolonom.// Ann. stiit. Univ.-Iasi.- 1955.- Sec. 1, 1, № 1-2,- P. 43-52.

91. Кайзер В.В. Расширения, сужения и сопряженные направления дифференцируемых распределений в многомерных проективных пространствах.// Геом. сб.- № 15- 1975.- С. 20-49 (Тр. Томского ун-та, 258).

92. Gil-Medrano P. Geometric properties of some class of Riemannian almost-product manifolds.// Rend, del Circolo Mat. di Palermo.- 1983. T. □□□□.- P. 315329.

93. Степанов C.E. Техника Бохнера в теории римановых структур почти произведения. // Математические заметки.- 1990.-Т. 48, вып. 2.- С. 93-98.

94. Алшибая Э.Д. Сферическое распределение. // Труды Тбилисского ун-та.-1983,- Т. 239.-С. 5-20.

95. Степанов С.Е. Сферическое распределение в евклидовом пространстве. // Известия ВУЗов. Математика.-1986.

96. Montesinos A. On certain classes of almost product structures. // Michigan Math. J.- 1983.- V. 30, № 1.- P. 31-36.

97. Mirón R. Asura sferei neolonome si planului neolonom. // An. Stiint. Univ. Jasi. Sec. 1.- 1955.- Т. 1, № 1-2,- S. 43-52.

98. Базылев В. Т. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств. // Ученые записки МГПИ. 1970.- № 374.- С. 41-51.

99. Кузнецов Г.В. Об одном способе вычисления тензора деформации евклидовой связности. // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика.- 1998.- Т. 4, вып. 3,- С. 84-87.

100. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.- М.: Мир.-1970,-412 с.

101. Кузнецов Г.В. Локальные диффеоморфизмы евклидова n-пространства и геометрия ассоциированных с ними пар гиперраспределений: Диссертация канд. физ.-мат. наук.- М.- 1995- 12 с.

102. Yano К. On torse-forming directions in Riemannian spaces. // Proc. Imp. Acad. Tokyo.- 1944,- 20.- P. 701-705.

103. Лумисте Ю Г. Многомерные линейчатые поверхности эвклидова пространства. // Мат. сб.- 1961.- 55, № 4.

104. Yano К. Concircular geometry □-□ .// Proc. Imp. Acad. Tokyo.- 1940.- 16,-P. 195-200, 354-360, 442-448, 505-511.

105. Myller A. Direzioni concorrenti sopra una superficie spiccanti dai punti una curva.// Rend. d. Lincei.- 1929.- 33,- P. 339-341.

106. Myller A. Directions concourantes dans une varíete metrique a n dimensions.// Bull. Soc. Math.- 1928,- 56,- P. 1-6.

107. Широков П.А. О конкуррентных направлениях в римановых пространствах. // Изв. Казанского физ.-матем. об-ва.- 1939.- 3, № 7.- С. 77-87.

108. Eisenhart L.P. Fields of parallel vectors in a riemannian geometry. // Trans. Amer. Math. Soc 27- 1925.- P. 563-573.

109. Норден А.П. Пространства аффинной связности.- M.: Наука.- 1976.- 432с.

110. Бляшке В. Дифференциальная геометрия.- M.-JL, 1935.- 330 с.

111. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова п- пространства. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур.- Калининград.- 1995,- Вып. 26,- С. 54-59.

112. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука.- 1979.

113. Кузнецов Г.В. Геодезическое соответствие между областями евклидова пространства. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 1995.Т. 1.- Вып. 1.-С. 97-102.

114. Кузнецов Г.В. Об одном способе задания сетей на подмногообразиях евклидова п- пространства. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур,- Калининград,- 1989.- Вып. 20,- С. 45-50.

115. Лумисте Ю.Г. Многомерные линейчатые поверхности эвклидова пространства. // Мат. сб.- 1961.- Т. 55 (97), № 4,- С. 411-420.

116. Марюков М.Н. О геометрии пары р распределений в евклидовом п -пространстве. // Геометрия погруженных многообразий.- М.: МГПИ.- 1985.- С. 56-60.

117. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами. // Ин-т научн. Информации АН СССР: Итоги науки. Геометрия,- 1963, 1965,-С. 65-107.

118. Кузнецов Г.В. Геометрия дифференцируемых отображений областей евклидова пространства. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика,- 1997.- Т. 3,- Вып. 1,- С. 40-43.

119. Кузнецов Г.В. Соприкасающиеся гиперквадрики пары гиперраспределений в Еп .// Материалы конф. проф.-преп. состава ТГПУ им. J1.H. Толстого: Тезисы докладов (Тула, 7-9 сент. 1996 г.).- Тула.- 1996.- С. 76-78.

120. Акивис М.А. К аффинной теории соответствия Петерсона между гиперповерхностями. // Изв. Вузов. Математика. 1994.- № 4.- С. 3-9.

121. Чешкова М.А. О гиперповерхностях, находящихся в соответствии Петерсона. // Изв. Вузов. Математика.- 1993.- № 10.- С. 69-72.

122. Кузнецов Г.В. Об одном соответствии в евклидовом пространстве Еп. II Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.- 1996.- Т. 2,- Вып. 1.-С. 127-135.

123. Кузнецов Г.В. О векторах второго порядка и гиперраспределениях в евклидовом пространстве Еп. II Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград.- 2000.- Вып. 31.- С. 42-45.

124. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля.- М.: Наука, 1990.- 208 с.

125. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий. // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград,- 1994.-№ 25.- С. 110-121.

126. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных центропроек-тивных многообразий. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград.- 1996.- № 27.- С. 122-135.

127. Шевченко Ю.И. Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий. // Тр. геом. семинара. Казань.- 1997.- № 23,- С. 175-186.

128. Шевченко Ю.И. Примеры неголономных гладких многообразий. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград.- 1998.- № 29.- С. 91-101.

129. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий: Учебное пособие / Калининград: Изд-во Калининград, ун-та.- 1998. 82 с.

130. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. // Тр. геом. семинара ВИНИТИ.- М.- 1966.- Т. 1,-С. 139-189.

131. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых алгебрами. // Изв. Вузов. Математика,- 1963. № 6 (37).- С. 159-171.

132. Рашевский П.К. Тензорные признаки субпроективных пространств. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу.- 1933.- Вып. 1,- С. 126-142.

133. Рашевский П.К. О субпроективных пространствах. // Труды семин. по вект. и тенз. анализу.- 1933,- Вып. 1.- С. 102-125.

134. Шапиро Г.М. О субпроективных пространствах. // Compt. rend. Acad, sei. colon.- 1930.- P. 551.

135. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова и риманова пространств. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград. 1998.-№9.-С. 31-35.

136. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире.- 2-е изд.- М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во «ЧеРо».- 1998.416 с.

137. Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий: Учебное пособие для вузов.- М.: Высш. шк.- 1989,- 221 с.

138. Кузнецов Г.В. Конформное соответствие между евклидовым и эйнштейновским пространствами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика,- 1999,- Т. 5.- Вып. І.- С. 130-134.

139. Акивис М.А., Болодурин B.C. О голономности основания точечного соответствия между конформными пространствами // Украинский геометрич. сб.-1970,- Вып. 9.-С. 3-10.

140. Рыбников А.К. Об аффинных связностях второго порядка // Математические заметки.- 1981.- Т. 29, № 2,- С. 279-290.

141. Рыбников А.К. Об обобщенных аффинных связностях второго порядка // Изв. вузов. Матем.- 1983,- № 1.- С. 73-80.

142. Рыбников А.К. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Матем,- 1986.- № 1,- С. 60-69.

143. Рыбников А.К. Об одном специальном типе дифференциально-геометрических структур второго порядка (Т- связности) // Изв. вузов. Матем.-1988,-№ 10.-С. 33-40.

144. Слухаев В.В. К геометрической теории стационарного движения жидкости // Доклады АН- 1971.- Т. 196, № 3.- С. 549-552.

145. Бюшгенс С.С. Геометрия стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости // Известия АН- Серия математическая.- 1948.- Т. 12.- С. 481-512.

146. Константинова Н.В., Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Гемодинамика сердечно-сосудистой системы человека. Биологическое и математическое моделирование. Ч. 1. Физиологические предпосылки и исходные понятия // ВНМТ.-1997,-Т. 4, № 1,- С. 27-30.

147. Дешам Ж.А. Электродинамика и дифференциальные формы // Тр. ин-та инженеров по электротехн. и радиоэлектрон. (ТИИЭР): Пер. с англ. 1981.- Т. 69, № 6,- С. 5-28.

148. Математическая энциклопедия.- М.: Советская энциклопедия.- 1977.- Т. 1.-С. 939-943.

149. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. 2-е изд.- М.: Редакция журнала «Успехи физических наук».- 1999.- 400 с.

150. Педли Дж. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов: Пер. с англ.-М.: Мир,- 1986,- 280 с.

151. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы. Ч. 1. Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека // ВНМТ,- 1996,- Т. 3, № 1,- С. 10-16.

152. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы. Ч. 1. Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека//ВНМТ.- 1996,- Т. 3, № 1.- С. 10-16.

153. Яшин A.A., Кандлин В.В., Плотникова Л.Н. Проектирование многофункциональных объемных интегральных модулей СВЧ и КВЧ диапазонов: Монография / Под ред. Е.И. Нефедова.- М.: НТЦ «Информтехника».- 1992.- 324 с.

154. Взаимодействие физических полей с живым веществом: Монография / Е.И. Нефедов, A.A. Протопопов, А.Н. Семенцов, A.A. Яшин; Под ред. A.A. Ха-дарцева.- Тула: НИИ новых медицинских технологий. Изд-во Тульск. гос. унта.- 1995,- 180 с. (Второе издание 1997).

155. Афромеев В.И., Кузнецов Г.В., Хадарцев A.A., Яшин A.A. Физико-технические и биологические основы комплексного подхода к СВЧ- и КВЧ- терапии //В кн.: Сучасні технології в аерокосмічному комплексі: Матеріали III

156. Міжнародної науковопрактичної конференції, 9-11 вересня 1997 року, Житомирський інженерно-технологічний інститут.- С. 132-134.

157. Бюшгенс С.С. Геометрия векторного поля // Известия АН- Сер. математическая,- 1946,- Т. 10,- С. 73-96.

158. Бюшгенс С.С. Геометрия векторного поля // Докл. АН- 1945,- Т.- XLVIII, №3.-С. 163-166.

159. Бюшгенс С.С. Геометрия векторного поля. II // Докл. АН- 1945.- Т.1. XLVIII, № 6,- С. 403-404.

160. Бюшгенс С.С. Смещения параллелизма векторного поля // Вестник московского ун-та.- 1950.- № 2,- С. 3-6.

161. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика: Пер. с фр.гт^гт Darr л іл т#АгілпАлп їх /I • 1\ /I тгл / ±±иД. -і цд. -rv.J-i. ivvjjiiviui upuua.- iva. . ivxtip.- і і. і

162. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Уравнения гемодинамики и дифференциальные формы. Введение в теорию моделирования сердечно-сосудистой системы человека. Ч. 2. Поверхности «постоянной энергии» в гемодинамике // ВНМТ,-1996,-Т. 3, № 3,- С. 13-17.

163. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование гемодинамических процессов в сердечно-сосудистой системе человека при условии вихревого движения крови // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.- 1998,- Т. 1, № 2-3,-С. 111-114.

164. Kuznetsov G.V., Yashin A.A. On the geometrical theory of stationary turbulent flow of blood // Russian Journal of Biomechanics.- 2001.- Vol. 5, № 1,- P. 8387.

165. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х т.: Пер. с нем.- 2-е изд.- М.: Наука.- 1987,- Т. 2,- 416 с.

166. Роговой М.Р. К проективно-дифференциальной геометрии неголоном-ной гиперповерхности // Укр. геом. сб.- 1970.- № 8,- С. 112-118.

167. Кузнецов Г.В., Хрунова H.H. О векторном поле, связанном с конформным отображением между областями в евклидовом пространстве Е3 II Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика,- 2000,- Т. 6,- Вып. 1.- С. 148-152.

168. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения,- 2-е изд.- М.: Наука,- 1986,- 760 с.

169. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование гемодинамических процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями // ВНМТ,-1998,-Т. 5, №3-4,-С. 32-34.

170. Кузнецов Г.В. Основные идеи пространственного подхода при моделировании сердечно-сосудистой системы человека // ВНМТ.- 1999.- Т. 6, № 2,- С. 49-50.

171. Кузнецов Г.В. Особенности и эффективность пространственного подхода к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // ВНМТ.- 2000.Т. 7, № 2,- С. 45-47.

172. Кузнецов Г.В. Об одном подходе к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // В кн.: Интеллектуальные и информационные системы: Тез. докл. региональной научн.-техн. конф,- Тула: ТГУ,- 2000,- С. 81-82.

173. Кузнецов Г.В. Геометрия движения жидкости в субпроективном пространстве в качестве одного из видов интеллектуальной системы // В кн.: Интеллектуальные и информационные системы: Тез. докл. региональной научн.-техн. конф,- Тула: ТГУ,- 2000,- С. 82-83.

174. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Векторные поля и их приложения в гемодинамике // В кн.: Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докл. Межд. конф,- Тула: ТулГУ,- 1998,- С. 139-140.

175. Ерохин Ю.А., Кузнецов Г.В., Яшин A.A. О некотором подходе к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // ВНМТ,- 1998,- № 1 (приложение): Матер. Межд. конгресса «Медицинские технологии на рубеже веков». -С. 61.

176. Кузнецов Г.В. О пространственном подходе к моделированию сердечнососудистой системы человека // ВНМТ,- 1999.- № 1 (приложение): Матер, второго Межд. симпозиума «Биофизика полей и излучений и биоинформатика». -С. 40.

177. Кузнецов Г.В. Моделирование движения крови с завихрениями в случае наличия поверхностей полной энергии // ВНМТ.: Матер. Третьего Межд. симпоз. « Биофизика полей и излучений и биоинформатика».-2000,- T. VII, № 3-4.-С. 49-50.

178. Кузнецов Г.В. Об одном способе пространственного подхода моделирования движения крови с завихрениями // ВНМТ.: Матер. Третьего Межд. симпоз. «Биофизика полей и излучений и биоинформатика».- 2000.-T. VII, № 3-4. С. 50.

179. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Основы математической теории моделирования сердечно-сосудистой системы человека в субпроективном пространстве // ВНМТ,- 1999,- Т. 6, № 1.- С. 12-45.

180. Kuznetsov G. V., Yashin A.A. Hemodynamics of the human cardiovascular system in turbulent blood flow // Russian Journal of Biomechanics.- 2000.- Vol. 4, № 3.-P. 86-92.

181. Кузнецов Г.В. О голономности репера второго порядка, связанного с субпроективным пространством // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика,- 2000,- Т. в.-Вып. 1. С. 144-147.

182. Шинкунас Ю.И. О распределении m-мерных плоскостей в n-мерном ри-мановом пространстве // Тр. геом. семинара ВИНИТИ,- 1974,- Т. 5,- С. 123-133.

183. Кузнецов Г.В. Об одном подходе моделирования деятельности сердечно-сосудистой системы человека // В кн. : Образование и наука в третьем тысячелетии: Тр. 3 Межд. конф.- Барнаул: Из-во АЭЮИ,- 2001.- Ч. 1,- С. 60-61.

184. Кузнецов Г.В. Геометрия волновых процессов в гемодинамике // Физика и технические приложения волновых процессов: Тез. докл. и сообщений 1 Межд. научно-техн. конф. (Самара, 10-16 сент. 2001 г.).- Самара.- 2001,- С. 126.

185. Кузнецов Г.В. Геометрические основы моделирования стационарного движения крови // ВНМТ,- 2001,- Т. 8, № 3,- С. 24-26.

186. Кузнецов Г.В. О субпроективных подпространствах // Тез. докл. 3-й Межд. конф по алгебре, Иркутск,- 1993.- С. 191.

187. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование сердечно-сосудистой системы человека методами внешней алгебры с привлечением понятия субпроективного пространства//ВНМТ,- 1997,- Т. 4, № 4. с. 13-16.

188. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между различными пространствами и его приложения в гемодинамике // Волинський математичний вісник,- Вып. 5,- 1998,- С. 71-75.

189. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Моделирование деятельности сердечнососудистой системы человека как одного из биологических циклов человека // Циклы: Материалы 1 Межд. конф. (Ставрополь, 25-30 окт. 1999 г.)- Ставрополь.- 1999,-Ч. 2,-С. 115-116.

190. Лаптев Г.Ф. Распределения касательных элементов // Труды геометрического семинара,-1971,- Т. 3,- С. 29 48.

191. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределение m мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Труды геометрич. семинара.-1971,-Т. З.-С. 49-94.

192. Montesinos A. On certain classes of almost product structures // Michigan Math. J. 1983,- V. 30, № 1.- P. 31 - 36.

193. Базылев В. Т. Об одном аддитивном представлении тензора Риччи р- поверхности евклидова пространства // Сибирский математический журнал.-1966,-Т. З.-С. 499-511.

194. Chen Bang-Yen. Submanifolds in a Euclidean hupersphere // Proc. Amer. Math. Soc. -1971, V. 27, № 3. P. 627 - 628.

195. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей // Ученые записки МГПИ им. В.И. Ленина,- 1965, № 243,- С. 29 37.

196. Бляшке В. Введение в геометрию тканей: Пер. с нем.- М.: Физматгиз,-1959.

197. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы,- М.: Наука, 1984,- 520 с.

198. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии: Пер. с англ.- М.: Наука.- 1986.- 224 с.

199. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии.- М.: Наука,- 1960.

200. МжнорДж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс.-М.: Мир,- 1972.

201. Хелгасои С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.- М.: Мир,- 1964.

202. Громол Д., Клтгеиберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом.- М.: Мир,-1971.

203. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения,- М.: Мир,- 1975.

204. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти,- М.: Мир, 1957.

205. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения,- М.: Наука.-1984.-208 с.

206. Лаврик В.И., Фшьчакова В.П., Яшин A.A. Конформные отображения физико-топологических моделей /Отв. ред. Ю.А. Митропольский. Ин-т математики АН УССР,- Киев: Наукова думка,- 1990,- 376 с.

207. Афромеев В.И., Привалов В.Н., Яшин A.A. Согласующие устройства гибридных и полупроводниковых интегральных СВЧ- схем / Отв. ред. Е.И. Нефедов. Ин-т техн. механики АН УССР.- Киев: Наукова думка.- 1989.- 192 с.

208. Математические методы современной биомедицины и экологии / В.И. Афромеев, A.A. Протопопов, В.П. Фильчакова, A.A. Яшин; Под ред. Е.И. Нефедова, A.A. Хадарцева и A.A. Яшина.- Тула: Изд-во Тульск. гос. ун-та.- 1997.223 с.

209. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии: Пер. с англ.- М.: Мир,-1969.-215 с.

210. Клапдор-Клайигратхаус Г.В., Цюбер К. Астрофизика элементарных частиц: Пер. с нем. /Под ред. В.А. Беднякова,- М.: Редакция журнала «Успехи физических наук».- 2000.- 496.

211. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Математическая гемодинамика: Монография / Под ред. A.A. Яшина.- Тула: ТГПУ им. JI.H. Толстого, НИИ новых медицинских технологий.- 2002,- 280 с.

212. Кузнецов Г.В., Яшин A.A. Геометрическая теория в гемодинамике, моделирующая один из биологических циклов человека // В кн.: Циклы: Материалы 3-й Межд. конф. Ставрополь-Кисловодск: Изд-во СевКавГТУ,- 2001. - Ч. 1. -С. 95 - 96.

213. Кузнецов Г.В. К геометрической теории стационарного движения жидкости в субпроективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во КГУ,- 2002,-Вып. 33,- С. 44-47.

214. Кузнецов Г.В. Поверхности постоянной энергии и постоянной полной энергии в гемодинамике // ВНМТ,- 2003,- Т. 10, №4,- С. 83-84.

215. Субботина Т.Н., Туктамышев И.Ш., Хадарцев A.A., Яшин A.A. Введение в электродинамику живых систем: Монография/ Под ред. A.A. Яшина.- Тула: ТулГУ, ГУП НИИ НМТ. Изд-во ТулГУ,- 2003,- 440 с.

216. Кузнецов Г.В. Эффективность моделирования сердечно-сосудитой системы человека методами геометрии субпроективных пространств // ВНМТ.2007. Т. 14, № 1,С. 171-173.

217. Вейбелъ Е.Р. Морфометрия легких человека: Пер. с англ.- М.: Медицина." 1970. -175 с.

218. Дворецкий Д.П., Ткаченко Б.И. Гемодинамика в легких/ АМН СССР,-М.: Медицина.- 1987.-288 с.

219. Кузнецов Г.В., Привалова М.А., Яшин A.A. Структура автоматизированной системы поддержки принятия решений врачом -флебологом // ВНМТ2008,- Т. XV, №1 С. 181-182.

220. Кузнецов Г.В. Цикличность при обработке информации для анализа состояния сердечно-сосудистой системы // В кн.: Циклы: Материалы 16-ой Межд. конф. Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ,- 2008. - С. 102 - 103.

221. Белое Ю.В., Вараксин В.А. Структурно-геометрические изменения миокарда и особенности центральной гемодинамики при постинфарктном ремоде-лировании левого желудочка / Кардиология. 2003. - №1. - С. 19-23.

222. Мкртчян Л.Г. Параметры суточного профиля артериального давления и сердечно-сосудистое ремоделирование у больных первичной артериальной гипертонией / Клиническая медицина. 2007,- №10.- С. 27-30.

223. Безляк В.В., Ковалев И.А., Плотникова И.В. Методы многомерного моделирования в детской кардиологии / Педиатрия,- 2010. №3,- С. 38-45.

224. Мезенцева JI.B. Математическое моделирование хаотической динамики сердечного ритма / Вестник новых медицинских технологий,- 2009,- №1,- С. 196-198.

225. Мезенцева Л.В. Анализ нелинейных режимов сердечной деятельности методами компьютерного моделирования / Вестник новых медицинских технологий. 2009. - №3. - С. 41-43.

226. Фаворский А.П., Абакумов М.В., Есикова Н.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В. Математическая модель сердечно-сосудистой системы: Препринт М.: МГУ.1998.- 16 с.

227. Аъиметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Частные решения уравнений гемодинамики: Препринт.-М.: Диалог-МГУ,1999.-43 с.

228. Абакумов М.В., Аишетков И.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Мухин С.К, Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Методика математического моделирования сердечно-сосудистой системы // М.: Математическое моделирование.- 2000.

229. Ашметков КВ., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Анализ и сравнение некоторых аналитических и численных рещений задач гемодинамики // Дифференциальные уравнения.- 2000.

230. Буничева А.Я., Лукшин В.А., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Численное исследование гемодинамики большого круга кровообращения: Пре-принт.-М:МАКС Пресс,- 2001,- 20 с.

231. Буничева А.Я., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Исследование эволюции параметров течения в системе кровообращения под воздействием гравитационных нагрузок: Препринт.-МАКС Пресс,- 2003. 18 с.

232. Кузнецов Г.В. Методология моделирования структурных параметров сердечно-сосудистой системы с применением дифференциальных форм// ВНМТ 2010.- Т. XVII, № 3 - С. 182-184.

233. Кузнецов Г.В. Исследование турбулентного движения крови на основе ее структурных характеристик//ВНМТ- 2011.- Т. XVIII, №3- С. 18-20.