Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Математические модели процессов управления биологическими системами

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Заславский, Борис Григорьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ . II

§ I. Основные пути моделирования многокомпонентных биологических систем с лимитированием.

§ 2. Общий вид моделей компартментальных биологических систем с лимитированием.

ГЛАВА П. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ КОМПАРТМЕНТАЛЬНЫХ

БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

§ I. Существование и основные свойства стационарных решений.

§ 2. Устойчивость стационарных решений.

§ 3. Асимптотическая ограниченность решений.

§ 4. Существование устойчивых стационарных и ограниченных режимов в системах непрерывного культивирования. Один лимитирующий субстрат.

§ 5. Существование устойчивых стационарных и ограниченных режимов в системах непрерывного культивирования. Многосубстратное лимитирование.

§ 6. Анализ возрастной структуры непрерывно культивируемой популяции микроорганизмов.

ГЛАВА Ш. АВТОКОЛЕБАНИЯ В МОДЕЛЯХ КОМПАРТМЕНТАЛЬНЫХ

БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

§ I. Бифуркации рождения периодических решений.

§ 2. Устойчивость периодических решений.

§ 3. Применение к моделям биохимической кинетики.

§ 4. Существование колебаний в нелокальном случае

§ 5. Модель механизма устьичной регуляции высших растений как пример допускающей автоколебания биологической системы

ГЛАВА 1У. ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В МОДЕЛЯХ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИЙ И СООБЩЕСТВ.

§ I. Модели динамики численности популяций и сообществ с неперекрывавдимися поколениями.

§ 2. Общие свойства хаотических режимов.

§ 3. Условия рождения хаотических структур в моделях динамики численности популяций.

ГЛАВА У. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

§ I. Возможность одностороннего управления вблизи стационарного решения

§ 2. Глобальная управляемость и стабилизируемость односторонними воздействиями.

§ 3, Система переменной структуры управления клеточными популяциями. Прямое управление

§ 4. Использование скользящего режима для повышения запаса устойчивости системы прямого управления

§ 5. Система переменной структуры управления клеточными популяциями. Непрямое управление.

§ 6. Оперативное управление продукционным процессом и задача программирования урожая

ГЛАВА У1. ОБЩИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПАРТМЕНТАЛЬНЫХ

БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ИМИ

Введение Диссертация по биологии, на тему "Математические модели процессов управления биологическими системами"

Активное проникновение научных методов в практику современного промышленного и сельскохозяйственного производства стало характерной особенностью нашего времени. Принятая на майском пленуме ЦК КПСС 1982 года Продовольственная программа выдвинула на первый план вопросы, связанные с созданием строгих, количественно обоснованных методов в области теоретической и прикладной, биологии. Решение этих животрепещущих: вопросов невозможно без привлечения самых современных методов математической науки в сферу традиционной биологии и использования мощного арсенала вычислительной техники третьего поколения. Разработка количественных методов принятия решений для: производственной практики требует создания замкнутой, математической теории управления многосвязными биологическими объектами.

В этой области к настоящему времени получены значительные результаты. В первую очередь они объясняются использованием огромных возможностей современных вычислительных машин. Методы решения обычно заимствовались из арсенала теории управления техническими объектами. Практика показала, что простой перенос идей из техники в биофизику не дает желаемых результатов. Стало очевидным, что необходимо создание специальных методов анализа.

В биологических задачах, как правило, предполагается использование принципов управления, не имеющих аналогов в технике. Важным примером такой: ситуации является проблема получения максимального урожая от эксплуатируемой, популяции. Управление состоит в изъятии особей из популяции. Механизм добавления обычно не используется. При выращивании растений на сельскохозяйственном поле управление сводится к увлажнению почвы, внесению удобрений и т. д. Искусственное иссушение или изъятие питательных веществ из почвы не практикуется. Применение односторонних управляющих: воздействий имеет место также в микробиологическом производстве и медицинской практике. В технических задачах, напротив, предполагается возможность двухсторонних воздействий на объект: ускорения и торможения, подъема и спуска самолета и т.д.

Другая особенность биологических, систем состоит в том, что состояние таких систем обычно задается положительными величинами. Концентрации компонент биохимических реакций, распределение биомассы живого организма по органам, численность популяций и сообществ -суть величины неотрицательные. В технических задачах подобные ограничения обычно не возникают.

Целью настоящей работы является развитие принципов управления биологическими системами. Эта задача имеет два естественных этапа решения. Первый этап состоит в том, что изучается динамика биологических систем при постоянных значениях управляющих параметров. Сюда относятся: исследование устойчивых структур, анализ процесса потери устойчивости и рождения автоколебаний, исследование случая крайней неустойчивости -хаотических структур. Второй этап решения состоит в изучении реакций биологических систем на изменения управляющих: параметров в процессе движения. Сюда относятся: вопросы управляемости биологических систем и проблема разрешимости задачи оптимального управления.

Совершенно необходимым элементом исследования является применение общих результатов к анализу конкретных биологических объектов. В связи с этим каждый существенный теоретический вывод проверяется на конкретной: модели биологического объекта. Высокая общность рассмотрения приводит к тому, что диапазон применимости весьма широк. Это экосистемы с различными типами взаимодействий, модель устьичной регуляции растения, модель биохимической кинетики, управление культивированием одноклеточных, вопросы оперативного управления продукционным процессом.

Основным объектом математического анализа является модель компартментальной биологической системы с лимитированием. Такая система представляет собой цепь камер или компартментов, объединенных перетоками вещества или энергии между ниш. Не исключены притоки из внешней среды и преобразование субстанции в каждом отдельном компартменте.Лимитирование означает зависимость скоростей преобразования вещества или энергаи от количества субстанции в системе.

В первой главе дан обзор современного состояния вопроса по детерминированному моделированию компартментальных биологических систем с лимитированием (стохастический аспект не рассматривается) .Наиболее характерным примером таких систем являются модели динамики численности популяций: и сообществ, а также модели биохимической кинетики. Проведено сравнение метода аналитического и имитационного моделирования и обсуждены их достоинства и недостатки. Рассмотрены вопросы управления биологическими системами. В этой же главе построены общие модели компартментальных биологических систем, функционирующих в условиях лимитирования.

Во второй главе рассмотрены вопросы существования и устойчивости стационарных режимов и исследованы условшг существования устойчивых ограниченных структур. Полученные результаты применены к анализу процесса непрерывного культивирования при одноступенчатом и многоступенчатом культивировании.

В третьей: главе изучены условия возникновения автоколебаний в моделях компартментальных биологических систем.Исследована бифуркация рождения периодических решений, и рассмотрен вопрос устойчивости колебаний.Доказан глобальный колебательный характер изменения численности популяции в случае неустойчивости стационарного режима и рассмотрены условия рождения нелокальных колебаний большой амплитуды. Полученные результаты применены к некоторым моделям биохимической кинетики и анализу колебательных режимов устьичного аппарата высших растений,

В четвертой, главе приведена общая модель динамики численности популяций с неперекрывающимися поколениями. Она является примером компартментальной биологической системы с дискретным временем, которая не сводится к рассмотренным ранее моделям при бесконечном уменьшении временного шага.

Специфика модели динамики численности популяции с неперекрывающимися: поколениями естественно приводит к анализу динамических систем с бесконечным фазовым пространством. Дается математическое определение хаотической структуры и выводятся конструктивные условия рождения! этой структуры. В конце главы сформулированы условия рождения хаотических режимов в конкретных моделях динамики численности популяций и сообществ.

В пятой главе приведено решение проблемы управления ком-партментальными биологическими объектами. В начале главы дана постановка задачи управления воздействиями одного знака и доказана возможность стабилизации биологической системы с помощью таких воздействий на любые параметры системы в случае малых отклонений от равновесного состояния. Доказана достижимость всякого равновесного состояния биологического объекта из любой начальной точки при управлении только скоростями изъятия и добавления. Выяснены причины неразрешимости задачи максимального быстродействия и выделен класс разрешимых задач динамической оптимизации биологических систем. Рассмотрены конкретные реализации принципов одностороннего управления при непрерывном культивировании одноклеточных организмов и оперативном управлении продукционным процессом.

В шестой главе рассмотрена структура диссертации и на содержательном уровне дана сводка основных результатов. С целью иллюстрации развитых в работе принципов управления изучена классическая задача наискорейшего выведения системы культивирования в стационарный режим. Показана неразрешимость этой задачи в точке максимальной продуктивности. Продемонстрированы пути решения задачи оптимальной стабилизации стационарного режима.

Анализ качественных свойств нелинейных компартментальных моделей- требует привлеченияг довольно сложного математического аппарата. Специфика этих моделей состоит в том, что задаваемые ими динамические системы определены в положительных конусах. Поэтому даже такая: сравнительно простая задача как отыскание стационарных решений, осложнена не только тем, что рассматриваемые уравнениш нелинейны, но и тем, что исследуется: существование лишь положительных решений. В данном случае приходится использовать теоремы о собственных векторах: нелинейных операторов, оставляющих, инвариантными конус банахова или евклидова пространства.

Вопросы устойчивости стационарных.решений, а также вопросы существования асимптотически ограниченных структур осложнены сужением фазового пространства на положительный конус. В связи с этим аппарат функций Ляпунова оказывается неэффективным и привлекаются! более современные методы теорем сравнения, а также методы анализа оператора сдвига вдоль траекторий. В отличие от классических задач все время используется не только топологическая, но и порядковая структура пространства. Исследование устойчивости периодических движений связано с мадификацией метода Малкина-Лурье для анализа моделей многомерных биологических систем. При исследовании хаотических структур привлекаются идеи дифференциальной топологии, а также такое теоретико-множественное понятие как проектный предел топологических пространств. Строгие математические доказательства часто громоздки и их изложение параллельно с содержательными результатами сильно затрудняет чтение. Поэтому доказательства всех основных утверждений вынесены в приложение. Нумерация формул и доказываемых утверждений сквозная внутри каждой главы. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер формулы или утверждения. При ссылках на формулы в приложении вначале ставится буква "П", затем -номер главы и, наконец, номер формулы.

Список основных обозначений

X - вектор евклидова иля банахова пространства ОС - скаляр

X). -(.-ая компонента вектора евклидова пространства

- положительный конус евклидова пространства Х^ обозначает | l - пг]

X-JУ обозначает Х^У и ХФУ обозначает { (X)i > ( У)с К - d,. пг}

- порядковый интервал упорядоченного о А векторного пространства

- неотрицательный оператор £>0 внутренность множества

А - замыкание множества 6 у>\. с Р

К-+ ь - положительный оператор

В*- транспонированная матрица В ск1 В - определитель матрицы В

Х У> - скалярное произведение в гильбертовом пространстве или линейный функционал в банаховом пространстве.

ГУЬ

Если ХЧьЦ? , то <Х.У> =

I Т при

J - единичная матрица ограничение оператора F-' R- на подмножество Е СЕ р^ - проекция векторного пространстваЕ на подпространство е'се

Lc(- тождественное отображение.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Заславский, Борис Григорьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема оптимального управления биологическими системами возникла в результате необходимости активного внедрения достижений современной науки и техники в биологическое производство. Прямое использование существующих методов, развитых для технических приложений, невозможно ввиду принципиального отличия живых систем от технических объектов. С точки зрения математического моделирования это связано прежде всего с положительностью показателей состояния таких систем, а также со знакоопределенностью допустимых управлений. Процесс решения данной проблемы проводился в два этапа. Вначале исследовалась динамика компартментальных биологических объектов при постоянных значениях управляющих параметров. Затем изучались реакции этих объектов на односторонние изменения параметров в процессе движения. В соответствии с этим результаты работы естественным образом распались на две группы. Часть из них посвящена вопросам образования временных структур в биологических системах. Другая часть содержит основные принципы управления биологическими объектами с помощью физически реализуемых управлений. Основные выводы работы сводятся к следующему:

Г. Устойчивые стационарные режимы реализуются при выполнении любого из следующих условий: равномерного лимитирования, т.е. такого случая, когда все процессы одинаково зависят от лимитирующего фактора; при лимитировании только одной компоненты, т.е. такого случая, когда имеется одно узкое звено, которое взаимодействует с лимитирующим фактором; при самоподдерживающемся уровне лимитирования, т.е. такого случая, когда биологическая система стабилизируема за счет внутренних ресурсов.

2. В случае неустойчивости равновесного состояния возникают либо автоколебания, либо апериодические движения, которые меняют знак отклонения от стационарного уровня.

3. Разработан метод исследования устойчивых периодических движений в компартментальных биологических системах, являющийся модификацией метода И.Г.Малкина - А.И.Лурье. Сформулированы условия устойчивости периодического движения для биологических процессов с узким звеном лимитирования.

4. Построена и исследована на базе развитых методов модель устьичной регуляции растения. Показано, что существуют как стационарные, так и автоколебательные режимы функционирования.

5. Развит метод исследования хаотических структур в многомерных системах с дискретным временем. Сформулированы критерии рождения таких структур в экологических системах с неперекрывающимися поколениями.

6. Исследована проблема оптимального управления компартмен-тальными биологическими системами. Получены условия, при которых эта задача имеет решение. Показано, что при нарушении этих условий задача оптимального управления неразрешима.

7. При малых отклонениях от равновесного состояния биологическая система стабилизируема с помощью односторонних воздействий. При управлении только скоростями изъятия и добавления всякое равновесное состояние достижимо из любой начальной точки.

8. Эффективность полученных результатов продемонстрирована на примерах: управления непрерывно культивируемыми популяциями одноклеточных; оперативного управления ростом и развитием растений на сельскохозяйственном поле.

Библиография Диссертация по биологии, доктора физико-математических наук, Заславский, Борис Григорьевич, Ленинград

1. Аткинсон Б. Биохимические реакторы. М.: Пищевая промышленность, 1979 - 280 с.

2. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970 240 с.

3. Барбашин Е.А. Методы сечений в теории динамических систем. Минск: Наука и техника, 1979 120 с.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969 -367 с.

5. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969,- 408 с.

6. Бондаренко Н.Ф., Жуковский Е.Е., Мушкин И.Г., Полуэктов P.A. и др. Модели продуктивности агроэкосистем. Л., Гидрометео-издат, 1982 264 с.

7. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979 -245 с.

8. Бурбаки Н. Очерки по истории математики: М.: Иностранная литература, 1963 292 с.

9. Виленкин Б.Я. Колебания численности популяций животных. В кн.: Колебательные процессы в биологических и химических системах. М.: Наука, 1967. с.404-411.

10. Войтович Я.В. О переходных процессах скорости биосинтеза в одноклеточных водорослях. В кн. Колебательные процессы в биологических и химических системах.М.: Наука,1967,с.341-345

11. Вол И.А., Коваль Г.М., Михайлов Н.М. Моделирование динамики процесса накопления биомассы сельскохозяйственного посева. В кн.: Теоретические основы и количественные методы программирования урожаев. Сб.трудов по агрономической физике* Л., 1979, с. 83-92.

12. Вольпе П. Биохимия клеточного цикла. М.: Мир, 1979 95с.

13. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979 335 с.

14. Габасов Р., Кирилова Ф. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971 507 с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967 575 с.

16. Герасименко Л.М., Пущева U.K. Получение синхронной культуры Chlorella vulgaris . Микробиология, 1968, т.37, вып.1,с. 70-74.

17. Гильманов Т.Г. Математическое моделирование биохимических циклов в травяных экосистемах. М.: йзд-во МГУ, 1978<-168с.

18. Гильманов Т.Г., Базилевич Н.И. Концептуальная балансовая модель круговорота органического вещества в экосистеме как теоретические основы мониторинга. В кн. Теоретические основы и опыт экологического мониторинга. М.: Наука, 1983, с.7-57.

19. Гильдерман Ю.И., Кудрина К.И., Полетаев И.А. Модели

20. Л систем (системы с лимитирующими факторами) в кн.: Исследования по кибернетике, ред.А.А.Ляпунов. М.: Советское радио, I970-? 240 с.

21. Дегерменджи А.Г., Печуркин Н.С., Шкидченко А.Н. Ауто-стабшшзация факторов, контролирующих рост в биологических системах. Новосибирск.: 1979 141 о.

22. Дибров Б.Ф., Жаботинский A.M., Холоденко Б.Н. Динамическая устойчивость метаболической цепи с одной петлей обратной связи. Биофизика, 1981, т.26, вып.4, с.590-595.

23. Дибров Б.Ф., Жаботинский A.M., Холоденко Б.Н. Динамическая устойчивость и параметрическая стабилизация стационарных состояний неразветвленных метаболических путей. Биофизика, 1981, т.26, вып.5, с.790-795.

24. Емельянов C.B. ред. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970 592 с.

25. Епифанова О.И. Гормоны и размножение клеток. М.: Наука, 1965 243 с.

26. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974 178 с.

27. Жаботинский A.M. Математическая модель клеточной популяции со стволовыми клетками. Биофизика, 1981, т.2б, вып.2, с.329-332.

28. Заславский Б.Г. Математическая модель растущей популяции с конечным числом состояний особей. Сб.трудов по агрономической физике, Л.: Гидрометеоиздат, 1971, вып.30, с.178-185.

29. Заславский Б.Г. Стохастическая модель роста клеточной популяции. Проблемы кибернетики, 1972, вып.25, с. I39-I5I.

30. Заславский Б.Г. Исследование устойчивости турбидостат-ного режима непрерывного культивирования микроорганизмов. Кибернетика, 1973, №2, с.133-137.

31. Заславский Б.Г., Полуэктов P.A. Исследование динамики импульсной системы управления культивированием микроорганизмов. Проблемы кибернетики, 1973, вып.27, с.187-194.

32. Заславский Б.Г. Исследование динамических характеристик комплексной культуры с помощью математической модели.

33. Микробиологическая промышленность, 1973, № 7 /103/ , с.25-28.

34. Заславский Б.Г. Устойчивость системы автоматического управления размерами популяций микроорганизмов. ДАН СССР,1973, т. 213 /2/, с.455-457.

35. Заславский Б.Г. Управление в культивационных системах. Тезисы 1У Всесоюзного совещания по проблемам управления. М.,1974, т.2, с.178-181.

36. Заславский Б.Г. Некоторые математические вопросы управления культивируемыми популяциями. В сб. ВЦ СО АН СССР: Кибернетические модели в биологии. Новосибирск. 1974, с.113-122.

37. Заславский Б.Г. Математическая модель стационарной неоднородной популяции. В кн.: Управление и информация. Владивосток, 1974, с.159-164.

38. Заславский Б.Г. Устойчивость в целом системы переменной структуры управления клеточными популяциями. Автоматика и телемеханика, 1975, № 4, с.94-101.

39. Заславский Б.Г. Математические основы анализа возрастной структуры популяции, культивируемой в многокомпонентной среде. Теоретическая и экспериментальная биофизика. Межвузовский сборник. Калининград.: 1975, с.148-156.

40. Заславский Б.Г. Колебательность и устойчивость режимов в культивационных системах. Динамика систем, 1976, вып.9,с.142-155.

41. Заславский Б.Г. Скользящие режимы работы систем управления клеточными популяциями. Автоматика и телемеханика, 1976, № 2, с.146-153.

42. Заславский Б.Г., Брит А.Б. Модельное исследование колебательных и устойчивых режимов функционирования устьичного аппарата растений. Доклады ВАСХНИЛ, 1981, № 3, с.26-28.

43. Заславский Б.Г. Хаос в популяции. ДАН СССР, 1981, т.258, №3,с.533-536.

44. Заславский Б.Г. Исследование квазигомоклинической структуры, порождаемой полугруппой операторов в банаховом пространстве. Сибирский математический журнал, 1982, № 2, с.80-90.

45. Заславский Б.Г. Динамика численности управляемых популяций. Автоматика и телемеханика. 1983, № 2, с.71-80.

46. Заславский Б.Г. Об управлении неотрицательными воздействиями динамикой численности популяций и сообществ. ДАН СССР, 1983, т.2, № I, с.43-46.

47. Заславский Б.Г., Нагиев А.Т. Моделирование движения влаги и солей в почвенной толще хлопкового поля. Доклады АН Аз.ССР, 1982, т.38, № 10, с.73-76.

48. Зверев A.C., Кирюхин Б.В., Кондратьев К.Я., Селезнева Е.С., Тверской П.Н., Юдин М.И. Курс метеорологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1951.

49. Иерусалимский НД. Биохимические основы регуляции скорости роста микроорганизмов. Изв.АН СССР, сер.биол., 1967,с.339-350.

50. Иерусалимский Н.Д., Чернавский Д.С. К вопросу об определяющем звене в системе ферментативных реакций. Изв. АН СССР, сер.биол., 1965, т.5, с.665-672.

51. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978 310 с.

52. Карманов В.Г., Савин В.Н. Об автоколебательном характере водного обмена растений фасоли. ДАН СССР, 1964, т.154, № 4,с.970-973.

53. Кащенко С.А. Асимптотика периодического решения обобщенного уравнения Хатчинсона. В кн.: Исследования по устойчивости и теории колебаний. Межвузовский тематический сборник. Ярославль: Изд-во ЯГУ, 1981, с.65-85.

54. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. Вып.1, М.: Статистика, 1978, 222 с.

55. Колосов Ю.С., Хидиров А.Э. Приложение методов экологии к задачам бисоциологии. В кн.: Исследования по устойчивости в теории колебаний.Межвузовский тематический сборник. Ярославль: Изд-во ЯГУ, 1982, с.66-77.

56. Колосов Ю.С. Свойства решений одного класса уравнений с запаздыванием, описывающих динамику изменения численности вида с учетом возрастной структуры. Математический сборник, 1982, т.117 /159/, № I, с.86-94.

57. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966 331 с.

58. Кутателадзе С.С., Рубинов A.M. Двойственность минковско-го и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1976 254 с.

59. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967 183 с.

60. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972 574 с.

61. Лирова С.А. Переходные состояния хемостатных культур микроорганизмов как метод изучения их физиологии при различных условиях культивирования. В сб.: Теория и практика непрерывного культивирования микроорганизмов. М.: Наука, 1980,с. 59-82.

62. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.-Л.: Гостехиздат, 1951,- 216 с.

63. Лэк Д. Численность животных и ее регуляция в природе. М.: Иностранная литература, 1957 404 ч.

64. Малек И., Фенцль 3. Непрерывное культивирование микроорганизмов. М.: Пищевая промышленность, 1968 564 с.

65. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966 530 с.

66. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983 397 с.

67. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980 368 с.

68. Маценко В.Г. О динамике возрастной структуры лимитированной популяции. Математические методы в биологии. Труды II республиканской конференции. Ред. Ю.М.Митропольский. Киев, Наукова думка, 1983.

69. Молдау X. Влияние дефицита воды на прирост растений. Известия АН ЭССР, сер.биологическая, 1973, т.22 /4/, с.348-356.

70. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Мир, 1972 297 с.

71. Назаренко В.Г., Сельков Е.Е. Механизм контактного угнетения как возможный источник сверхнизкочастотных биологических ритмов. В сб. Колебательные процессы в биологическихи химических системах. Пущино-на-0?е, 1967, т.2, с.145-148.

72. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975 500 с.

73. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1947 448 с.

74. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972 517 с.

75. Николаев П.И., Соколов Д.П. Кинетическая зависимость процессов культивирования микроорганизмов. Прикладная биохимия и микробиология. 1968, т.4, с.365-372.

76. Николаев П.И., Соколов Д.П. Определение коэффициентов уравнений, описывающих культивирование микроорганизмов. Прикладная биохимия и микробиология. 1968, т.4, с.562-569.

77. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979 512 с.

78. Одум Ю. Основы экологии. М.: Мир, 1975 740 с.

79. Опойцев В.И. Динамика коллективного поведения. Автоматика и телемеханика, 1975, № I, с.129-138.

80. Перт С.Дж. Основы культивирования микроорганизмов и клеток. М.: Мир, 1978 331 с.

81. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Анализ кинетики роста и эволюции микробных популяций. Новосибирск: Наука, 1975 215 с.

82. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964 367 с.

83. Позмогова Н.И. Синхронные культуры. В сб.: Итоги науки и техники. Серия микробиология . Культивирование микроорганизmob, 1981, t.II, с.118-151.

84. Полетаев И.А. О математических моделях роста. В кн.: Физиология приспособления растений к почвенным условиям. Новосибирск: Наука, 1973, с. 7-24.

85. Полуэктов P.A., Вол И.А., Заславский Б.Г., Пых Ю.А. Базовая модель продуктивности агроэкосистем. Проблемы экологического мониторинга и моделирование экосистем. 1983, т.6.

86. Пых Ю.А. Подмодель фотосинтеза и фотодыхания Сд растений. В кн.: Теоретические основы и количественные методы программирования урожаев. Сб.трудов по агрономической физике. Л., 1979, с.39-45.

87. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975 343 с.

88. Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризинчевко Г.Ю. Кинетика биологических процессов. М.: Изд-во МГУ, 1977 328 с.

89. Руш II., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Изд-во Мир, 1980 300.

90. Свирежев Ю.М., Тарко A.M. Опыт математического анализа глобального экологического мониторинга. В кн. Теоретические основы и опыт экологического мониторинга. Ред. Соколов В.Е., Базилевич Н.И. М.: Наука, 1983, с.138-145.

91. Сельков Е.Е. Исследование условий возникновения периодических колебаний в системах ферментативных реакций с обратной связью. В кн. Колебательные процессы в биологических и химических системах. М.: Наука, 1967, т.1, с.81-92.

92. Сиротенко О.Д. Математическое моделирование водно-теплового режима и продуктивности агроэкосистем. Л.: Гидрометео-издат, 1981 167 с.

93. Слейчер Р. Водный режим растений. М.: Мир, 1970-365 с.

94. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретныеу одели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М.: Наука, 1979 165 с.

95. Торнли Дж. Г. Математические модели в физиологии. Киев. Наукова думка, 1982 310 с.

96. Терсков И.А., Гительзон И.И. Применение плотностатного процесса управления для управляемого культивирования микроорганизмов. В кн.: Непрерывное и управляемое культивирование микроорганизмов. М.: Наука, 1967, с.3-13.

97. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981 367 с.

98. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Математический сборник, i960, т.51 /93/, № I, с.99-128.

99. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.; Наука, 1978 352 с.

100. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980 404 с.

101. Хмель И.А., Иерусалимский Н.Д. Влияние аэрации на рост Azotobacter vinelandii в проточной культуре. Микробиология,1967, т.36, с.632-639.

102. Шарковский А.Н. Разностные уравнения и динамика размеров популяции. Киев УССР, Препринт, 1982, № 18 21 с.

103. Шатилов И.С., Бондаренко Н.Ф., Жуковский Е.Е., Каюмов М.К., Нерпин C.B., Полуэктов P.A. Схема организации научных исследований по программированию урожаев. Доклады ВАСХНИЛ, 1976, № 2, с.2-4.

104. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука. М.: Мир, 1978 - 418 с.

105. Шафер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.- 359 с.

106. Шкидченко А.Н. Влияние концентрации растворенного кислорода на рост и потребление субстрата

107. Микробиология, 1973, тЛ2, с.816-821.

108. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1979 279 с.

109. Allwriht D.J. The Hopf Bifurcation in some Biochemical Control Loops. Journal of Mathematical Biology, 1981»v 11, H 1, p. 85-93.

110. Akira S. Time delay and Chaos in two Competing Specie-ses. Mathematical Bioscience, 198o, v 51» JT 3-4» 199-211.

111. Barr H.D. Cyclic Variations in Plant Properties wider Constant Enviromental Conditions. Physiologia Plantarum, т 21,711.729,1968.

112. Blasio G.D. Hon linear Age - dependent Population Diffusion. Journal of Mathematical Biology» 1980, ▼ 8,К 3,p. 263 284»

113. Boyer J.S. Measument of the Water Status of Plants» Annual Review of Plant Physiology, 1969» v 20, p. 351-364.

114. Bunnow B. How Haotic is Baos? Haotic and other "noisy*1 Dynamics in Freqency Domain. Mathematical Bioscience, 1979» v 47» It 3-4, p.221-237.

115. Busenberg S.H., Travis C.C. On the Use of Reducible Functional Equations in Biological Models . Journal of Mathematical Analysis and Applications., 1982, v 89*Д 1» p.46-66.

116. Cowan I.R. Oscilation in Stomatal Conductance and Plant Functioning Associatied with Stomatal Conductance, Observation and Model. Planta, 1972, v 10¿, N 3, p.185-219»

117. Curry R., Baker С», Streeter J. SOYMOD I. A Dynamic Simulator of Soybean Growth and Development. Trnsections ASAE, 1975,v18, n 3, p.963-968.

118. Gushing J.H. Integrodlfferential Equations and delay Models in Population Dynamics. Lecture Notes in Blomathematics, 1977, N 20.

119. Demetrius L. On Community Stability. Mathematical Biosciences, 1969, v 5, p.321-325.

120. Demetrius L. Maltiplicative Processes I. Mathematical Biosciences, 1971 v 12, p.261-272.

121. Demetrius L. Maltiplicative Processes II.Mathematical Biosciences, 1974, v 20, p.345-357.

122. De Wit C.T., Brouer R., Penning de Vries F.W.l. The Simulation of Photosynthetic systemsa : In : Prediction and measuzment of Photosynthetic Productiviti. J. Setlic (ed), Pudo, Wageningen, 1970, p.47-70.

123. Fenichel H. Asymptotic Stability with Rate Conditions. Indiana University Mathematical Journal. 1974, V 23, p. 1109-113/

124. Fischer R.A. Aspects of Potassium Accumulation by Stomata of Vicia Paba. Australian Journal of Biologycal Sciences» 1972, V 25„ p.1017-1027.

125. Griffith J.S. Miathematicas of Cellular control Processes II Positive feadback to one gene. Journal of Theoretical Biology, 1968, v 20, p. 209-216.

126. Guckenheimer J., Oster G., Ipaktchi A. The Dynamics of Density Dependent Population Models. «Journal of Mathematical Biology,1977, v4, p.101-147»

127. Gurtin K.E., Maccamy R.C. Non-Linear Age dependent Population Dynamics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1974, v 54, p. 281- 300 .

128. Hassell M^P., Comins Н.Н» Descrete Time Models for Two-species Competition. Theoretical Population Biology, 1976,v 9,p. 202-221.

129. Hasting S., Tyson. J., Webster D. Existence of Periodic Solutions for Negative feedback Cellular Control Systems. Journal of Differential Equations, 1977,v 25, p.39-64.

130. Hearon J.S. A mono tonicity Theorem for Compartmental Systems. Mathematical Bioscince, 1979„ ▼ 46, p»293- 300.

131. Hutchinson G*E* Circular Causal System in Ecology. Annals of N.Y. Academy of Sciences, 1948, V 50, p.221-246.

132. Iooss G. Bifurcation of Maps and Applications. Но г tlx Holland Publising Company, 1979.

133. Innis G.S. ed. Grassland Simulation Model. Ecological Studies, 1978»v 26.151* Kaplan J .1., Yorke J»A.Cnaotic Benayior of Multidimentio-nal Difference Equations. Lecture Notes in Mathematic«,1979,1. V 730, p.204-227.

134. Kaplan J.L., Yorke JJL. Ordinary Differential delaya*equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1974, v 48, p.317-324.

135. Kelly A. The Stable, Center-Stable, Center, Center-Unstable manifolds. Journal of Differential Equations,,1. V 3, N 4, p.540-570.

136. Kusuoka Н», Maeda Н», Kodama S. On reachability of Discrete-Time compartmental Systems with nonnegative imput Constrains. Electronic and Communications in Japan,198o, V 63-A, N 2, p.10-17.

137. Lang A.R.G. et al.Leaf Water Balance During Oscillation of Stornate! Aperture.Plant Physiology»1969,V 44„p.826-830.

138. Lelitch I. Stomatal Control. Annual Review of Plant Physiology»1969» V. 20„ p. 329-350.

139. Lewowicz J. Invariant Manifolds for Regular Points • Pacific Journal of Mathematics» 1981»V96»N 1»p.163-174,

140. Maeda H.» Shinzo K. Qualitative Analysis of a Class of Nonlinear Compartmental Systems : Nonascilation and Asymptotic Stability. Mathematical Biosciences» 1978, V 38»N 132,p.35-44.

141. Maeda H„»Kodama S. Reachability» Observability and Reachability of Linear Systems with Positive Constraints. Electronics and Commumcations in JJapan»1980, V 63-A.N 10»p.35-42.

142. Mackey M.C.» Glass L. Oscilation and Chaos in Physiologycal Systems. Science, 1978» V 197, p.287-289.n

143. Marotto P.R. Snap-Back Repellar imply Chaos in R .Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1978, V63,N1,p.199-233

144. Marotto P.R. Perrurbation of Stable and Chaotic Differeti-al Equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1979» V 72» Ni 2» p.716-729.

145. Martin R.H., Sachs E. Positive Control for a Quasimonotone Systems of Differential Equations. Mathematical Analysis and Applications» 1981» V^ M 2„ p.584-595.

146. Nihei T.r Sasa T., Miyachi S., Suzuki K„, Tamiya M. Change of Photosynthetic Activity of Clorella Cells During the Course of Their Normal Life Cycle. Archiv fur Mikrobiologia, 1954, v 21» p. 156-166.

147. Nussbaum R.D. Periodic Solutions of Some Nonlinear Autonomous Differential Equations. Annali di Mathematica Pura ed Applicata. 1974, Y 101, p. 263-306.

148. Nussbaum RJD. A Global Bifurcation Theorem with Applications to Functional Differential Equations. Journal of Functional Analysis, 1975, V 19, p.319-339.174* Olsen L»E.,Degn H. Chaos in anzyme reaction. Nature, 1977,V 267, p.177-173.

149. Oster G., Takahashi Y. Model for Age-Specific interactions in a Periodic environment. Ecological Monographs, 1974» V 44, P. 483-501.

150. Phaff M.J. Industrial microorganisms. Scientific America, September 1981,p.52-65.

151. Phillip I.K. Propagation of Turgor and Other properties through Cell Aggregations. Plant Physiology. 1958, V 33, N 3-4, P. 271-275.

152. Poor A.B. On the Theory and Application of the HopfFriedrichs Bifurcation Theory. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1976* V 60, N 4, p. 371-393.

153. Raschke K. Stomatal Action. Annual. Review of Plant Physiology, 1975, V 26, p>. 309-340.

154. Regan D.L., Roper G.H., Moss F.J. Response of Continuous Culture to Stimuli in Glucose Peed Rate and Dilution Rate. Biotechnology and Bioengineering, 1971» V 13r ® 6.

155. Rorres C. Stability of an Age-Specific Population with Density Dependent Fertility. Theoretical Population Biology,. 1976, Y 10, p. 26-41.

156. Rorres C. local Stability of Population with Density-dependent Fertility. Theoretical Population Biology, 1979, V 16,. S 3.

157. Rosseler QJ2. Chaotic behavior in Simple Reaction Systems, Zeitschrft fur Eaturforschung, 1976, Y 31 A , p. 259-264.

158. Rosseler O.K. Chaos in Abstract Kinetics* Two Prototypes. Bulletin Mathematical Biology, 1977, V 39, p.275-289.

159. Rubinow S.I. On Closed or Almost Closed Compartment Systems Mathematical Bioscience, 1973, V 18, H 3/4, p.245-£53.

160. Rubinow S.I » , Winzer A. Compartment Analysis. An Inverse Problem. Mathematical Bioscience, 1971, V 11, H 3/4*p.203-247.

161. Saperstone S.H., Yorke J JU Controllability of Linear Oscilatory Systems using Positive Controls. SIAM Journal on Control, 1971, Y 9, ST 2, p.253-262.

162. Selgrade J.E. Mathematical Analysis of Cellular Process with Positive Feedback. SIAM Journal on Applied Mathematic, 1979, V 36, N 2, p. 219—229.

163. Selgrade J.E. A Hopf Bifurcation in Single-Loop Positive Feedback Systems. Quarterly Applied Mathematics, 1982, Y 40, N 3, P. 347-351.

164. Swick KJ3. A Nonlinear Age-Dependent Model of Single Species Population Dynamics. SIAM Journal on Applied Mathematic* 1977, V 32, p.484-498.

165. Sze-Bi Hsy, Kuo-Shung Cheng, Hubl S.P. Exploitative Competitio of Microorganisms for Two Complementary ITutrients in Continuous Culture. SIAM Journal on Applied Mathematic,1. Y 41, P* 422-444.

166. Thingstad T.F., langeland T.I. Dynamics of Chemostat Cultures The Effect of Delay in Cell Respounse. Journal of Theoretical Biology, 1974, T 48, N1, p»149-157.

167. Yandexmeer J. On the Resolution of Chaos in Population Models. Theoretical Population Biology, 1982, V 22, N 1, P.17-27.

168. Yrana D. Specific Rate of Growth of Buds Related to the Genealogical Age of the Parent Cell in Candida Utilis. 1983, Folia Microbiologica, 1983,V 28(2),p.138-140.

169. Vrana D. Daughter Cells as an Important Factor in Determining the Physiological Stateof Yeast Populations* Biotechnology and Bioengineerin, 1976, V 18, 21 3-4,p.297-309.

170. Wang F.J.S. Stability of an Age-Dependent Population. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1980» V 11, II 4,p. 683-686.

171. Weiss P. „ Kavanau A. Model of Growth and Growth Control in Mathematical Teima. Journal of Genetic Physiology,1957, V 41, p.4-47*

172. Zabadal T.J. A Water Potential Threshold for the Increas Absisic Acid in leaves. Plant Physiology, 1974, v 53,P.125-127.

173. АЗЕРБА^ЩШСКШ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИМ ИНСТИТУТ ЗИШЩЕЖЯ МСХ АЗЕРБ.ССР/11^ ^1. Ч\ : i4*; "УТВЕРЖДАЮ" Директор йнст, Муса ев А. Д.п Я "rM 1983 г.1. АКТ внедрения

174. Научных результатов диссертационной работы Б.Г.Заславского "Математические модели процессов управления биологическими системами".

175. Зам.дир.по науч.работе, с.н.с.,к.б.н. yy/Mv^' САФАРОВ С.А.

176. Зав.лаб.,с.н.с.,д.с/х.н. Äw МОВСУМОВ З.Р.

177. Ст.н.е.,к.с/х.н. РЗАЕВ М.Я.

178. Мл.н.с. ,к.т.н. liK^ß/* НАГИЕВ А.Т.